Idoalklassen in 0berk(irpern und allgemeines Reziprozit ttsgesetz.

Von EMIL ARTIN in Hamburg.

Die HILBERTSehe Theorie der GALOmschen Ktlrper gestattet es, die Frage nach dem Verhalten der Primideale eines gegebenen K6rpers in Unterktirpern yon relativ GALOiSschen Erweiterungen, was ihre Zerlegungs- gesetze angeht, auf rein gruppentheoretische Untersuchungen zuriick- zuffihren, diese Frage also in die GALOISsche Theorie einzuordnen.

Durch das Hinzutreten des allgemeinen Reziprozitatsgesetzes ist aber jetzt die Mtiglichkeit gegeben, eine weitere, sehr allgemeine Klasse von Fragestellungen einer gruppentheoretischen Behandhmg zugfinglich zu maehen. Man ist ni~mlich in der Lage, zu entscheiden, wie die Idealklassen verschiedener K6rper miteinander verkniipft sind. Es stellt sich heraus, dab dies bereits auf Fragestellungen fiber endliche nieht- abelsche Gruppen ffihrt, daft sich also gewissermafien die Idealklassen eines Oberk0rpers im Grundktirper in nicht-abelscher Weise bemerkbar machen.

In diesen Untersuchungen erblicke ich eine der wichtigsten An- wendungen des allgemeinen Reziprozit~tsgesetzes, ja vielleicht sogar den eigentlichen Sinn desselben.

In w 1 wird'ein kurz~r Abri~ der yon uns ben6tigten Teile der HILBERT- sehen Theorie gegeben; dann werden die Verfeinerungen besproehen, die sieh aus dem allgemeinen Reziprozit~ttsgesetz ergeben. In w 3 wird dann das,allgemeine Problem behandelt und die Ergebnisse auf die Frage nach dem Verhalten der Ideale eines K0rpers in seinem absoluten Klassen- k0rper angewendet werden. Es zeigt sieh hier, daft der sogenannte Hauptidealsatz, also die letzte Vermutung HILBERTS fiber den Klassen- k0rper, auf ein rein gruppentheoretisches Problem fiber gewisse end|iche Gruppen zurfickgeffihrt werden kann. Dieses Theorem kann in jedem einzelnen Fall verifiziert werden, ist aber in der vorangehenden Arbeit von Herrn FURTW~NGLER auf auferst kunstvolle Art allgemein bewiesen worden. Mit denselben Mitteln k6nnen auch Fragen nach dem Verhalten der Ideale des Grundk0rpers in Unterk(irperu des KlassenkCirpers in An~'iff genommen werden.

1.

Es sei k ein beliehiger K0rper, K ein relativ GALOISscher Ober- k0rper von k und (~ seine Gruppe; ~ sei ein zu der Relativdiskriminante von K/k teilerfremdes Primideal und ~ ein Primteiler von ~ in K. Es

Idealklassen in 0berkiirpern. 47

gibt dann genau eine, dem Primideal .zugeordnete Substitution a yon der Art, daft fiir jede ganze Zahl _4 aus K die Kongruenz gilt:

A ~p : : a(-4) (mode3).

Diese Substitution a h~tngt aber noeh von der Wahl des Primteilers ab. Whhlt man einen konjugierten Primteiler ~(~) an Stelle yon ~ , so erh~tlt man die Substitution vav -1 anstatt a. Eigentlich ist also jedem Primideal p eine ganze Klasse i~quivalenter Substitutionen zugeordnet. Da aber eine solche Klasse dureh Angabe eines Repritsentanten bestimmt ist, kann man sieh mit der einen Substitution a begnfigen.

Nun gehe man zu einem ZwischenkOrper k~ fiber. Die Gruppe yon K/k~ ist eine Untergruppe (~, von (~. Nach der HILBEaTschen Theorie der GALOISSchen K6rper l~t~t sich die Frage nach der Art der Zerlegung yon p im K6rper k, durch eine gruppentheoretiscbe Rechnung entscheiden. Es sei gestattet, daran noch einmal kurz zu erinnerul).

Was zuni~chst die Primteiler yon p in K anget~t, so erhalt man diese aus ~ , wenn man auf ~ alle Substitutionen yon (~ anwendet. Allerdings wird man dabei ein und denselben Primteiler Offer erhalten. Das Primideal ~ bleibt fest gegenfiber den Substitutionen seiner Zer- legungsgruppe ~. Diese Zerlegungsgruppe besteht bekanntlich aus den Potenzen yon a. Um also lauter verschiedene Primteiler zu erhalten, hat man so vorzugehen: Man zerlege die Gruppe (~ in Linksnebengruppen nach ~, etwa-

---- . . . +e 3.

Alle Substitutionen ein und derselben Nebengruppe ffihren das Prim- ideal ~ jeweils in denselben Primteiler fiber. Ein bestimmter Primteiler yon p in K ist also durch Angabe der Nebengruppe bestimmt, deren Substitutionen das Primideal ~ in ihn fiberffihren. Dazu genfigt es wieder, eine einzige Substitution der Nebengruppe zu geben. Jetzt hat man die Anzahl der Primteiler yon p bestimmt, also auch deren Grad~ der fibrigens gleich der Ordnung der Zerlegungsgruppe ~ ist.

Um nun die Zerlegung yon p in einem Zwischenk0rper kl auf- zufinden, wird man yon einem beliebigen Primideal ~(~) in K ausgehen und auf dieses alle Substitutionen der Gruppe 631 wm K / k l anwenden. Man erh~lt auf diese Art alle Primideale von K, welche in ein und demselben Primideal q aus kl aufgehen. Das Prinfideal ~ wird somit diese Primideale liefern, wenn man darauf alle Substitutionen der Rechts- nebengruppe (~,v anwendet. Da aber ~ festbleibt, wenn man auf die Substitutionen der Zerlegungsgruppe anwendet, so sind in einem Komplex der Form (~lv~ genau diejenigen Substitutionen vereinigt,

J) Vgl. auch R. DEDEKIND, Zur Theorie der Ideale, G6ttinger Nachrichten, 1894.

48 E. krtin.

welchc ~ in Teiler ein und desselben Primideals q aus k~ fiberftihren. Es wird demnach zweckmi~6ig die Gruppe (~ in Komplexe nach den beiden Untergruppen (~ und ~ zerlegt:

Die Anzahl r dieser Komplexe gibt uns bereits die Anzahl der Prim- teiler q yon p in k~. Fassen wir nun einen bestimmten Komplex ( ~ v i ~ ins Auge. Er mag zum Primideal qi gehtiren. Da ~ bei den Sub- stitutionen aus ~ lest bleibt, wird man ihn in Linksnebengruppen nach 3 zerlegen:

•, 8 = rl + r.. + . . . + r8 8 .

Die Substitutionen einer solehen Nebengruppe ftihren ~ immer in den- selben Primteiler yon qi in K fiber. Es zerfgllt also q~ in K in genau s Primideale und diese sind im friiher verabredeten Sinn dureh die Nebengi~ppen gekennzeiehnet. Ein soleher Primteiler yon qi ist zum Beispiel ~i = *i(~)" Setzt man ~/ = ri~r71 , so gilt ftir alle ganzen Zahlen A yon K die Kongruenz:

(rood

Daraus folgt ffir jede natiirliehe Zahl h i die Kongruenz: ~ ' ( A ) ~ _ A~v~ h'

(rood ~i). Wenn man nun ftir h/speziell den Grad yon qi in bezug auf k nimmt und ftir A nur Zahlen aus kl, so ist die reehte Seite dieser Kongruenz der gahl A kongruent. Da p nicht in der Relativdiskriminante yon K / k aufgeht, muff jetzt sogar das Gleichheitszeichen gelten, woraus folgt, dal~ a h~ i zur Gruppe ~1 geh(irt. Eine niedrigere Potenz yon ~/ kann nicht zu (~, gehtiren, da sonst die linke Seite unserer Kongruenz gleich A ware, was der Existenz von primitiven Kongruenzwurzeln widerspr~tche. Der Grad yon qi in bezug auf k ist also die niedrigste Potenz ~ , die zur Gruppe (~ gehOrt. Endlich sieht man noch, dat$ q~ in K/k~ zur

Substitution a~' geh(Jrt.

2. Wir ffihren nun einen fiir das Folgende wichtigen Be~iff ein. Es

sei k' der gr01~te in K enthaltene, in bezug auf k relativ abelsche K~Jrper. Er geh(/rt zum grtifiten Normalteiler yon (~ mit abelscher Faktorgruppe,

.also zur Kommutatorgruppe qS' von (~. Der K~Jrper k' ist im Sinn yon TAKAGI Klassenkorper nach einer geeigneten Einteilung der Ideale yon k in Klassen. Diese mit dem 0berk(/rper K in invarianter Weise verkntipfte Klasseneinteilung der Ideale von k wollen wir die zu K geh(irige Klasseneinteilung von k nennen. Da in diesem Abschnitt andere Idealklassen iiberhaupt nicht vorkommen werden, wollen wir meistens den Zusatz ,,ztl K geh(~rig" weglassen. Natiirlich ist jetzt auch in jedem Zwischenk(Jrper kt eine bestimmte Klasseneinteilung definiert; denn K ist

Idealklassen in 0berkSrpern. 49

auch in bezug auf kl relativ GALOISSeh. Der entsprechende relativ abelsche 0berkOrper yon kl ist hier der zur Kommutatorgruppe (~ von {~1 geMrige Kt~rper k~.

Die Gruppe yon k'/k ist die Faktorgruppe ~/@' tier Kommutator- gruppe yon (~. Ihre Elemente sind die Nebengruppen yon @'. Geht~rt nun das Primideal p in K zu #, so g e M r t es in k' zur Nebengruppe ~{~'. Naeh dem allgemeinen Reziprozit~tsgesetz h~ngt nun diese Nebengruppe nur yon der Idealklasse in k ab, zu der p geh0rt. Man kann also die Idealklassen in k mit demselben Buchstaben bezeichnen wie die Neben- gruppen, also yon der Idealklasse ~@' sprechen. Ebenso kann man den in einer Idealldasse enthaltenen Idealen die Substitution der Klasse zuordnen, aueh wenn sie keine Primideale sincl. Auch bei Produkten von Klassen und Idealen kann man wie mit den Nebengruppen rechnen; denn nach dem allgemeinen Reziprozit~tsgesetz ist dem Produkt zweier Klassen das Produkt der Nebengruppen zugeordnetS).

Wir werfen nun die Frage auf, wie sich ein vorgegebenes Prim- ideal p aus k in den ZwischenkOrpern verh~lt, was die Idealklassen dieses Zwischenk6rpers angeht. Wit fragen also, in welehen Ideal- klassen des Zwischenk~rpers die Teiler yon p u n d p selbst liegen. Wir nehmen dabei an, daft man die Substitution a kennt, zu der p in K geMrt. Verwenden wir die Bezeichnungen des vorigen Abschnittes, so gehOren die Primteiler qi yon p in kl zu den Substitutionen o~i; sie

fallen also in die mit %~(~'1 zu bezeiehnenden Klassen von kl. Das Primideal p selbst ist das Produkt aller qi, liegt also in der Klasse

h, , ~1 o~ . . . % (~r Zum Beispiel ist also die notwendige und hinreichende Bedingung dafiir, dal~ p in k~ zur Hauptklasse gehOrt, die, daft

�9 " % ~1 = (~1 ist. Gehen wir nun yon einer bestimmten Idealklasse ~ (~' in k aus,

und fragen wit, wie sich die in dieser Idealklasse enthaltenen Prim- ideale im Zwischenk0rper verhalten. Die Primideale v o n # (~' werden zu einer Substitution dieser Nebengmppe gehOren, und zu jeder solchen Substitution gibt es auch wirklich Primideale in der KlasseS). Man hat also nut fiir jede dieser Substitutionen die eben angestellte Reehnung durchzufiihren; man erkennt, dab die Primideale unserer Klasse in mehrere Typen zerfallen, die sich im allgemeinen versehieden verhalten werden. Zu jedem dieser Typen gibt es aber auch wirklieh Primidea]e der Klasse.

2) E. ARTIN, Beweis des aUgemeinen Reziprozitiitsgesetzes, diese Abhandl., Bd. V. 3) N. TSC~EBOTAREFF, Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge yon Prim-

zahlen, welche zu einer gegebenen Substitutionsklasse gehSren.. Math. Ann. 95 (1925), S. 191. Vgl. auch 0. SCHREIER, t~ber eine Arbeit yon tterrn TSCHEBOTAREFF, dicse Abbandl., Bd. V, S. 1. 0der E. ARTIN. 0ber eine neue Art yon L-Reihen, diese Abhandl., Bd. lII, ,% 106. Satz 4.

5 0 E. Artin.

Spezialisieren wir unseren K0rper K zu einem relativ metabelschen K6rper. Wir wollen also jetzt annehmen, dab die Kommutatorgruppe .@' yon @ eine abelsche Gnippe ist.

Die Faktorgruppe (~/(~' werde als at)elsche Gruppe durch eine Basis dargestellt. Die Elemente e~, e-., "-., 0n seien irgendwie aus den Nebengruppen aieser Basis ausgewahlt, so daft @'0~, @'0~, " " , (~'en die Basis von @/@' ist. Es sei f i die Ordnung yon @'0i. Dann lauten die Nebengruppen von (~ nach @' allgemein ~ ' 0 1 ~ "~ " ' 02 " ' ' 0 n , WO O ~ vi g d ~ - - I ist.

Wir wollen nun speziell untersuehen, wie sich die Primideale der Klasse (~'en im KOrper k' verhalten. Ein solches Primideal geh0rt zu einer Substitution der Form r ' e , , wo r ' ein Element von (~' ist; da aber en ohnedies beliebig aus der Nebengruppe @'0,, ausgew/~hlt war. k0nnen wir annehmen, da6 p zur Substitution 0n gehOrt. Die Zerlegungs- gTuppe ~ besteht aus den Potenzen yon On. Zerlegt man (~ in Kom- plexe naeh den beiden Gruppen ~ ' und ~ , so erhi~lt man f ~ f ~ . . . f ~ _ l

' " '~ ' . . . o~'~'~, wo 0 < v i g J ~ - - I sein mu6. Komplexe der Form @ el 0~ ,~_~ =

Die vi des allgemeinen Falls haben also die Form vi ~ 0~' o ~ . . . o ' ' - ' Ft'tr die a, findet man:

lztl - - 1 - - ~ ' I Jr2 - - ~ 1 = o 1 ' . . . . " ' " �9

Es zerfallt also p im K0rper k' in f j f ~ . . . f n - 1 Primideale, welche

in den Klassen ~i f" ~-- Q~' q ~ . . . 0 ~ " 0,/"" en--"~-' "'" e~ "~ 0~ -~ von k'

liegen. Will man bestimmen, in welcher Klasse yon k' das Primideal p selbst liegt, so hat man das Produkt

~, ~ . . . 0~-, f~ -~._, . -,.~ -~, o =~ v~ ~.r 1

zu bilden. In der vorhergehenden Arbeit hat nun Herr FURTWANGLER gezeigt, dal~ dieses Produkt den Wert 1 hat. Damit ist naehgewiesen, dat~ alle Primideale der Klasse en in k' in die Hauptklasse fallen. Dies gilt natiirlieh auch ftir die anderen Basisklassen, also fiir alle Ideal, klassen von k. Es ist damit gezeigt:

Ist K ein relativ zu k metabelscher K6rper und k' der zur Kommu- tatorgruppe geh6rige Unterk6rper, so liegen in k' alle Ideale aus k in der Hauptklasse.

Dieses Resultat kann natfirlich sofort ffir beliebige, auch nieht- metabelsche K6rper ausgesprochen werden. Ist K ni~mlich ein beliebiger K0rper und q~ seine Gruppe, ferner (~' die Kommutatorgruppe yon (~ und (~" die yon q~', so ist der zu (~" geh6rige UnterkOrper yon K stets metabelsch, und der Satz iibertri~gt sich unmittelbar:

hlealklassen in 0berk6rpern. 51

Isl K ein bdieb~qer relativ (IALOISscher K6rper mit der Gruppe @ und k' der zur Komm~tatorgr~ff~pe vo~ (~ geh6r(qe Unterk6rper, so fallen in k' cdle Ideale des Grundk6rpers k in die Hauptklasse.

.

Am interessantesten aber wird jetzt folgende allgemeine Frage sein: Es sei k ein beliebiger Grundk(irper und kl eine beliebige Erweiterung yon k. Die Ideale von ki seien irgendwie in Idealklassen eingeteilt. Wie verhalten sich die Ideale aus k und ihre Primteiler aus kl, was ihre Verteilung auf die Idealklassen yon kl angeht?

Dieses Problem kann sofort auf die vorige Untersuchung zurfick- gefiihrt werden. Man Dilde namlich den zur gegebenen Klasseneinteilung v0n ki geh0rigen Klassenk(irper und bette diesen in einen zu k relativ G.~oisschen K(irper ein. Ist K dieser Ktirper, so liefert die vorangehende Untersuchung die Antwort auf unsere Frage. Denn die zu K geh6rige Klasseneiuteilung yon kl ist ja eine noeh feinere als die gegebene.

Am wichtigsten ist der Spezialfall, dai3 die in k~ gegebene Klassen- einteilung die in absolute Klassen ist. Dann gehen wir besser so vor: Wir betten den gegebenen Ktlrper in einen ~elativ GALOISschen K(irper k2 ein und konstruieren fiber diesen den absoluten Klassenk(irper K. Dann ist K ein G~LoIsscher K(irper fiber k. Bilden wir nun die zu K geh0rige Klasseneinteilung von kl, so ist dies eine Verfeinerung der ursprfinglichen.

Nehmen wir nun auch noch an, der K0rper k~ sei unverzweigt fiber k. Dann ist auch der Ktirper K unverzweigt fiber k, enthi~lt sicher den absoluten Klassenk0rper von k~, da k~ ein Unterk0rper von k~ ist, und es mu~ somit der K0rper k~ der absolute Klassenk(~rper fiber k~ sein. Die Idealklassenteilung in k~ nach K ist also die nacn absoluten Klassen.

Wenn man sich also das Problem vorlegt, das Verhalten der Ideale eines K0rpers k in seinem absoluten Klassenktlrper und den Unterk0rpern dieses Klassenk(irpers zu studieren, so wird man den Klassenk(irper k' und fiber diesem noch einmal den Klassenk(irper K errichten. Die zu K geh6rige Klasseneinteilung von k' und seinen Unterk0rpern ist dann die absolute, und man hat durch die vorangehende Untersuchung die Mittel in die Hand bekommen, alle Fragen fiber Idealklassen, die sich zwisehen k und dem Klassenk(irper k' abspielen, auf gruppentheoretisehe Probleme zu reduzieren. Beaehtet man, dab der K6rper K relativ met- abelsch ist, so fo l~ aus dem FURTW'4NGLERsehen Ergebnis unmittelbar der Hauptidealsatz:

Jedes Ideal des Grundk6rpers k wird im Klassenk6'~Ter Hauptideal.

H a m b u r g , Mathematisches Seminar, November 1928.