Ice cap9 error

CAPITULO 9

MEDICION y ERROR

El error está presente en todas las mediciones. Por eso los ingenieros hablan de

tolerancias en sus medidas. En un motor de automóvil el ajuste entre el pistón y el cilin-

dro se especifica como una tolerancia a menudo de milésimas de milímetros, lo que

significa que puede tolerarse un error en las dimensiones del cilindro o del pistón siempre

y cuando no pase de cierta cantidad. Las constantes de la Física siempre se especifican

acompañadas de un margen de error. Científicos e ingenieros saben que inevitablemente

se cometen errores en las mediciones, estas se controlan dentro de límites aceptables,

permitiendo que nuestros aparatos funcionen. El control del error de medición, es un

triunfo maravilloso del ser humano, y es vital para nuestra civilización.

El Error de Medición

Idealmente el error de medición es el valor absoluto de la diferencia entre la

magnitud real xr de lo que medimos y la medida obtenida x, o sea:

Error de medición = | Valor real - Medida obtenida | = | xr - x|. Sin embargo

nunca conocemos el valor real o exacto de las magnitudes que medimos, ya que aún las

mejores medidas tienen error. Por eso debemos conformarnos con medidas que, aunque

sabemos que contienen error, hemos desarrollado la tecnología para controlar el error, es

decir, obtenemos medidas precisas. Una medida precisa es aquella compuesta por un

valor m que creemos tiene mas probabilidad de ser el valor verdadero de la magnitud

que se está midiendo, acompañada de un valor e indicando el margen de error de la

medida.

Los científicos e ingenieros saben que todas las medidas tiene asociada una

incertidumbre, que debe ser cuantificada y reportada. Jamás podemos eliminar el error

de medición, pero podemos controlarlo. Por eso una medida precisa se escribe con el

formato (m ± e) = (Valor más probable ± error).Suponga que mide una longitud

El error de medición 99

(Fig.9.1) que resulta ser de 25.5 cm, es completamente seguro que tendrá un cierto error.

Si este error vale .03 cm, la longitud se debe reportar como: L = (25.5 ± .03) cm que es la

medida precisa de dicha longitud. Si en nuestro ejemplo, le restamos y sumamos el error

de medición al valor mas probable: m - e = (25.5 - .03) cm = 25.47 cm y m + e = 25.5

+ .03 = 25.53 cm, obtenemos dos valores 25.47 cm y 25.53 cm entre los cuales hay una

infinidad de números que también tienen cierta probabilidad de representar la longitud

que se midió, aunque 25.5 es el que tiene mas probabilidad de ser el exacto o verdadero.

Ese conjunto de valores entre 25.47 cm y 25.53 cm, es llamado el intervalo de

confianza de nuestra medida de longitud, porque tenemos la confianza que uno de ellos

es el valor exacto de la medida. El intervalo de confianza es el conjunto de valores,

donde sabemos que está el valor verdadero de una magnitud. Todos los valores del

intervalo tienen una cierta probabilidad de representar dicho valor verdadero.

Algebraicamente, el intervalo de confianza se indica mediante una desigualdad: m – e ≤

m ≤ m + e, que para nuestro ejemplo es (25.47 ≤ L ≤ 25.53)cm

Ejemplo 9.1 La masa de un insecto vale m = (.0002 ± .00005) kg Describa la

medida y su intervalo de confianza.

25 cm

Figura 9.1

99


Solución. Lo mas probable es que la

masa del insecto mida .0002 kg pero

que si esa no es su masa, está no será

mayor a (.0002 + .00005) kg

= .00025 kg ni menor que .00015 kg

= (.0002 - .00005) kg es decir (.00015

≤ masa ≤ .00025) kg. Expresión se lee

de la forma siguiente "el valor real de

la cantidad que se midió, está

entre .00015 kg. y .00025 kg.

Un intervalo de confianza se representa gráficamente, aprovechando el hecho que

los números reales pueden considerarse como puntos de una recta infinita (fig.9.2

superior). En el ejemplo anterior el intervalo de confianza es (.00015 ≤ M ≤ .00025), para

dibujarlo se traza un segmento de recta, se dibujan sobre el divisiones y a éstas se les

asignan valores de manera que se visualice con facilidad los límites inferior y superior

del intervalo (fig.9.2). El intervalo representado en este ejemplo es sumamente pequeño,

y se ha proyectado en un dibujo mas grande (fig.9.2 inferior), a fin de apreciarlo mejor.

Ejemplo 9.2 Describir la longitud L = (4 ± .05) m y dibuje el intervalo de

confianza

Solución La longitud 4 m es la que tiene mas probabilidades de ser el valor verdadero de

la longitud medida. Si no es la longitud

verdadera, esta no es mayor a 4.05m = (4 +.05)

m. ni menor que 4.95 m. = (4 -.05) m. De hecho

cualquier número L en medio de 4.95 m y 4.05 m (4.95 ≤ L ≤ 4.05) m, tiene cierta

probabilidad de ser el valor de la longitud. El intervalo se muestra en la figura anexa.

Coincidencia de medidas. Las medidas precisas nos proporcionan un criterio para

decidir cuando dos medidas coinciden o no. Nótese que se habla de coincidencia mas que

de igualdad. Un criterio que adoptan los científicos para definir si dos o mas medidas

coinciden, es ver si sus intervalos de confianza se interceptan. Dos o mas medidas de un

objeto o fenómeno coinciden si sus intervalos de confianza se interceptan, y difieren si

Los números reales pueden representarse como puntos de una recta infinita

.0002 kg.

.00025 kg..00015 kg.

.0003 kg. .0002 m.0001 kg.

- ∞ - ∞ 0 1 2 3- 1- 2

Un intervalo de confianza siempre se puede representar como un segmento de la recta de reales

0

Intervalo de confianza de lamedida (.0002 ± .00005) kg.

Figura 9.2

100


dichos intervalos no se interceptan.

Ejemplo 9.3 ¿Coinciden las medidas m1 = 3 .005g y m2 = 2.9 .005g?

Solución Los intervalos de confianza son

(2.995≤ m1 ≤3.005) g y (2.89≤ m2 ≤2.91)g y

claramente no se interceptan tal y como se aprecia en la figura adjunta. En conclusión

ambas medidas no coinciden son diferentes

Ejemplo 9.4 ¿coinciden las medidas L1 = (25.3 ± .4) cm y L2 = (25.6 ± .3) cm

Solución El intervalo de confianza de L1 = (25.3 ± .4) cm es (24.9 ≤ L1 ≤ 25.7) cm y el

de L2 = (25.6 ± .3) cm es (25.3 ≤ L2 ≤ 25.9) cm, evidentemente los números entre 25.3 cm y 25.7 cm están en ambos intervalos de confianza, y por ello no podemos decir que las dos longitudes sean diferentes, sino que coinciden

La figura del recuadro ilustra ambos intervalos de confianza y muestra la intersección

entre ambos.

Fuentes de Error

Es imposible evitar que exista error en las mediciones. A principios del siglo XX el

científico Alemán Werner Heisenberg, descubrió que la misma naturaleza establece

limites fundamentales en la exactitud de las mediciones. Por ello la estrategia que ha sido

mas fructífera es controlar el error desde su origen. Una fuente de error es todo aquello

que provoca errores en las medidas. Algunas fuentes de error se encuentran los ins-

trumentos mismos, otra puede ser la misma persona que mide, es mas la misma forma de

leer un instrumento, puede provocar errores.

Fuentes de error en los instrumentos Además de la habilidad de la persona que

mide la razón básica para que un instrumento provoque errores de medición es que no

esté calibrado adecuadamente para la medición que se va a efectuar con el. Algunos de

los factores que pueden alterar un instrumento son:

Factores ambientales que alteran los instrumentos. Por ejemplo la temperatura

26 cm25 cm 25.6 cm25.3 cm 25.9 cm

24.9 cm 25.3 cm 25.7 cm

101


ambiente que hace que los instrumentos se alteren desde los instrumentos electrónicos

que se sobre calientan, hasta las reglas de metal y plástico que se alteran.

El deterioro natural de los instrumentos. Como cualquier otro mecanismo o

dispositivo hecho por el hombre, eventualmente los instrumentos se deterioran, sus partes

se gastan o los circuitos electrónicos pierden sus propiedades. Inclusive instrumentos

sencillo se deterioran, las marcas de calibración se borran o sus bordes se hacen

irregulares . Todo ello puede provocar lecturas erróneas

Emplear el instrumento en condiciones para las que no está diseñado. Todo

instrumento se diseña para utilizarse dentro de ciertas condiciones ambientales y para

valores definidos de las variables que puede medir. Ya hemos visto que hay un valor

mínimo que puede medir (la resolución) y un valor máximo. Si se pretende emplear un

instrumento para medir valores mas allá de esos, o para medir cantidades mas pequeñas

que su resolución, muy probablemente obtendremos lecturas erróneas. Por ejemplo si

queremos medir longitudes y hacer aproximaciones de tamaño menor a un milímetro con

una regla de plástico, seguramente la aproximación a dimensiones menores que un

milímetro será errónea. Todo instrumento contemporáneo de alta calidad, incluye

instructivos u hojas descriptivas especificando las condiciones dentro de las cuales debe

ser empleado, y en algunos casos se indican las variaciones esperadas en las lecturas al

rebasar las condiciones para las que se diseñó.

Fuentes de error atribuibles al usuario. El empleo incorrecto de los instrumentos

puede dar lugar a errores en las mediciones, y se originan tanto en los instrumentos en si,

como en su empleo. Hay una gran variedad de estas fuentes de error y solo se describirá

en seguida, dos de las fuentes mas comunes.

Ajuste de ceros Ya hemos visto que para medir correctamente un objeto, digamos

la longitud de un lápiz con una regla debemos asegurarnos que el indicador marque

correctamente el cero o algún otro valor preestablecido, a partir del cual se vaya a

efectuar la medida. Si el ajuste de ceros no se realiza correctamente la medida nos sale un

poco mas pequeña o un poco mas grande de lo que debería ser.

102


Paralaje Aunque los instrumentos digitales han simplificado enormemente la

lectura de las medidas e inclusive se ha automatizado mediante computadoras el registro

de datos, todavía se requiere hacer

lecturas donde las posiciones de los

indicadores como manecillas frente

a carátulas con escalas dibujadas en

ellas. La figura 9.2 ilustra el

proceso de medir la longitud de un

lápiz con una regla.

Una vez que hemos colocado un extremo coincidiendo con el cero de la regla

(ajuste de ceros), leemos la longitud viendo el punto de la escala que coincide con la

punta del lápiz. Para leer correctamente el instrumento, los ojos deben colocarse de

manera que la línea visual del ojo sea perpendicular a la escala y al indicador del

instrumento (fig. 9.2c).

Si no colocamos los ojos de esa manera la lectura será incorrecta, puede ser mayor

(fig. 9.3a) o menor (fig. 9.3b) al valor real marcado por el instrumento, pues la dirección

de los ojos estaría arriba o abajo de la marca de la escala correcta. Esta fuente de error se

llama paralaje. El paralaje ocurre cuando la línea visual de los ojos no es perpendicular,

simultáneamente a la escala y el indicador del aparato. De esa forma la lectura es un

poco mayor o un poco menor que la lectura correcta.

Evitar el error de paralaje debe tomarse en cuenta siempre que medimos con reglas,

transportadores, escuadras, probetas, matraces, cronómetros de manecillas, termómetros

de mercurio y medidores eléctricos de manecillas, que son algunos de los instrumentos

mas fundamentales de la ciencia e ingeniería.

Tipos de Error Si un instrumento está mal calibrado por alguna de las razones

expuestas anteriormente, aunque se lea cuidadosamente la escala y se tomen todas las

precauciones al medir e inclusive se armen con todo cuidado el sistema de medición, de

todos modos tendremos error. Por ejemplo si una regla tiene escalas mayores a lo normal

las lecturas serán siempre mas pequeñas que las correctas. Si las divisiones de la escala

de un termómetro son menores que las de un instrumento bien calibrado las lecturas

Figura 9.3

103


siempre serán un poco mayores que las tomadas con un termómetro con escalas

correctas. También puede suceder que el experimentador por alguna razón siempre lea

con paralaje en el mismo sentido, también sus lecturas diferirán de las correctas en el

mismo sentido, ya sea que sean un poco mayores o un poco menores que las correctas.

Los anteriores son ejemplos en los que el error resultante se llama error sistemático, pues

sistemáticamente se obtendrán lecturas un poco mayores o un poco menores que las

correctas. Ocurre el error sistemático siempre que la diferencia entre las lecturas

obtenidas y las lecturas consideradas correctas difieren en el mismo sentido.

También puede suceder que siempre que medimos obtengamos lecturas diferentes.

Esto puede ocurrir por una diversidad de razones que no son necesariamente atribuibles a

los instrumentos, ni al experimentador ni al sistema de medición, simplemente puede

suceder que la misma naturaleza del fenómeno haga difícil el obtener medidas que se

repitan una y otra vez. Si medimos el tiempo que tarda en caer un objeto desde el

segundo piso de un edificio hasta tocar el nivel de la calle, mediante un cronómetro que

disparamos y paramos con la mano apretando un botón, es muy seguro que cada vez que

repitamos el experimento obtengamos lecturas diferentes, y o necesariamente son

erróneas. En este caso la diferencia entre el valor mas probable que será el promedio y

cada una de las lecturas variará en ambos sentidos en forma impredecible, a veces serán

un poco mayores y a veces un poco menores sin una regularidad. Cuando las lecturas en

una medición difieren entre si y del valor considerado mas probable, de forma irregular

el error resultante se llama error de azar.

El Control del Error

Empezaremos considerando como se realizan las mediciones. Hay medidas que

solo requieren hacerse correctamente una o dos veces, para obtener un valor adecuado.

Por ejemplo si medimos la longitud de un lápiz o de una hoja de papel, basta hacer

cuidadosamente una o dos medidas para obtener un valor adecuado. Existen sistemas

muy complejos de medición en los cuales, una vez que sabemos que los instrumentos

están trabajando correctamente, unas cuantas mediciones bastan para obtener la medida,

y siempre que la repetimos obtenemos lo mismo. Una medida que siempre que se repite

proporciona el mismo valor se llama reproducible. Medidas reproducibles típicas son las

que se obtienen con reglas, transportadores, termómetros balanzas y verniers

104


Existen medidas en las cuales siempre que se repiten se obtienen valores

diferentes. Por ejemplo si medimos el tiempo que tarda en caer una

pelota desde el segundo piso de un edificio, con un cronómetro de mano,

seguramente obtendremos valores diferentes, y las lecturas oscilarán

alrededor de un valor medio, aunque ninguna de las medidas coincidan.

Aquellas medidas que cada vez que se repiten proporcionan valores

diferentes que varían alrededor de un valor medio, se llaman no

reproducibles.

Estimación del Error en Medidas Reproducibles. Si el sistema de medición y las

personas que miden están actuando correctamente, los errores en las lecturas de medidas

reproducibles pueden originarse con mas probabilidad en las características del

instrumento. Recordemos que cuando usamos un instrumento, vemos cual es la marca de

calibración mas cercana al indicador del instrumento, y lo que indica esa marca es lo que

tomamos como el valor mas probable aunque el indicador esté un poco después o un

poco antes de la marca. Por ejemplo una lectura de temperatura (fig. 9.4). Cada una de

las marcas es el resultado de un proceso de medición en las que de alguna manera se ha

comparado, la posición del indicador con el valor aceptado de la variable que se mide.

Los puntos cercanos a cada marca también tienen cierta probabilidad de indicar la

misma medida que cada marca. Entonces aún la misma marca de calibración está rodeada

de valores probables para lo que ella marca. En la figura 9.4 se ilustra un medida de 20oC

de temperatura aunque la columna de mercurio esté ligeramente arriba de la marca

indicadora de 20oC. Dado lo anterior la incertidumbre de una lectura en estas condiciones

0oC

20oC

10oC

Figura 9.4

105


está encerrada alrededor de la marca de calibración mas cercana. Que tanto vale el error

en estas circunstancias, ha sido estudiado por una disciplina matemática llamada

estadística. El análisis matemático involucrado en la determinación de errores, en casos

como este, donde solo se requiere una buena lectura del instrumento, para obtener el

valor mas probable de una cantidad está mas allá del nivel de este libro, por lo que

solamente se establecerá el resultado: El error de una medida reproducible se calcula con

la ecuación e =

€

resolución 2

3, redondeado el resultado hasta una cifra decimal mas que

las que tiene la resolución. Se llama error de escala porque depende de las características

de la escala del instrumento.

En el ejemplo de la figura 9.4 la resolución del termómetro vale 1oC y el error de

escala er =

€

resolución 2

3 =

€

1o C 2

3 =

€

.5oC

1.7321 = .28870C una cifra mas que la resolución

significa décimas, el resultado se redondea hasta décimas y vale e = .30C. La

temperatura se reportaría como sigue: L = (20 ± .3)oC. El intervalo de confianza

correspondiente es:

(19.7 < T < 20.3) oC. Lo mas probable es que la temperatura medida valga 20 oC, y si ese

no es el valor correcto, el valor exacto no es menor que 19.7oC ni mayor que 20.3oC.

Ejemplo 9.4 Calcule el error de escala para un transportador de resolución de 10

Solución Para un transportador con resolución de 1o el error de escala será de

€

resolución 2

3 =

€

1o 2

3 =

€

.5o

1.7321 = .2887 y se redondea hasta décimas porque es una cifra

decimal mas que la que tiene la resolución, y el error de la medición vale e = .3o.

Error de escala para instrumentos con especificaciones de incertidumbre. Una

regla o un transportador de plástico comunes y corrientes, generalmente no tienen mas

especificaciones que sus escalas y los números asociados a ellas, pues no están diseñadas

para trabajo de precisión. Instrumentos de mas calidad, tienen especificaciones de los

fabricantes, indicando que tanto pueden cambiar las medidas de los instrumentos

106


conforme a las condiciones del ambiente en el que se usan. Es decir, hay dos fuentes de

incertidumbre, el error de escala er y una incertidumbre asociada con las condiciones que

el medio ambiente induce en los instrumentos que llamaremos error instrumental ei.

Una regla metálica de alta calidad, puede tener especificaciones explicando que si

la temperatura varia desde –10oC hasta 40oC habrá un variación de 1 % en las lecturas.

Esto es consecuencia de la dilatación o contracción del metal conforme varía la

temperatura. Si la temperatura disminuye la regla tiende a contraerse y los centímetros y

milímetros tienden a hacerse mas chiquitos, y si se calienta el metal la regla se expande, y

los centímetros y milímetros tienden a ser mas grandes.

En este caso el error total resulta de la combinación del error de escala er y el

error inducido por el medio ambiente en instrumento ei. Conforme a los resultados de la

estadística aceptados por la oficina internacional de pesas y medidas, el error total et

será et =

€

er2 + e

i2 =

€

error de escala2 + error del instrumento2 , y el resultado se redondea

hasta dos cifras significativas. Puede argumentarse que ambos son errores del

instrumento, sin embargo el error de escala es una propiedad del instrumento en si, y el

otro error es inducido por los factores del medio ambiente

Ejemplo 9.5. Se emplea una regla con variabilidad de 1% de acuerdo a los cambios

de temperatura del medio ambiente, y resolución de 1mm, para medir una longitud, y

esta vale 18.5 cm. Calcule el error de medición

Solución Con 1% = .01, el error del instrumento vale: ei = .0118.5cm y ei = .185 cm.

Con la resolución de 1 mm = .1 cm, el error de escala er =

€

resolución 2

3 =

€

.1cm 2

3 =

€

.05cm

1.7321 y er = .0289 cm. El error total es et =

€

(.185cm)2 + (.0289cm)2 =

€

.0351cm2

=.1874 cm y redondeando hasta dos cifras significativas el error total vale et = .19 cm. El

resultado de la medida se reporta como sigue L = (18.5 .19) cm.

Ejemplo 9.6 Mediante un cronómetro digital de resolución r =.01 s con

variabilidad de 2% conforme a la temperatura, se mide el tiempo en que cae una pelota

107


desde 10 m de altura, y este vale 1.43 s. Calcule el error de dicha medida

Solución. Con 2% =

€

2

100 = .02, el error del instrumento ei = .021.43s y ei = .0286 s.

El error de escala er =

€

resolución 2

3 =

€

.01 s 2

3 =

€

.005

1.731 = .0029 s, con et =

€

er2 + e

i2 el

error total et =

€

(.0029s)2 + (.0286s)2 =

€

.000826s2 = .028747 s y redondeando a dos

cifras significativas et = .029 s y la medida precisas del tiempo vale t = (1.43 .029)s

Estimación del Error en Medidas no Reproducibles

Para que los métodos que a continuación se presentan puedan aplicarse

satisfactoriamente se requiere un número mínimo de mediciones. Para estimar

adecuadamente el valor mas probable y el margen de error de medidas no reproducibles,

se requiere un mínimo de 10 repeticiones de la medición. Este requisito se justificará

posteriormente en sus cursos de estadística. Si realizamos un experimento, dejando caer

un objeto diez veces desde 20 m de altura, y medimos el tiempo que tarda en tocar el

piso, podemos obtener los valores siguientes:

Tabla 9.1t 1 t 2 T 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 t 10

2.015 s 2.020 s 2.025 s 2.026 s 2.017 s 2.022 s 2.019 s 2.018 s 2.020 s 2.021 sEstos datos son típicas de una medida no reproducible, pocas o ninguna de las

lecturas son iguales. El valor mas probable de una medida no reproducible es el prome-

dio de todas las lecturas redondeado hasta las cifras de las cifras de los datos. En el caso

de las lecturas de la tabla 9.1 el promedio vale

t =(2.015 + 2.020 + 2.025 + 2.026 + 2.017 + 2.022 + 2.019 + 2.018 + 2.020 + 2.021) s

10

t = 20.203 s/10 = 2.0203 s Este número abarca cifras hasta diez milésimas, mientras que

los datos originales de la tabla 9.1 únicamente llegan hasta milésimas de segundo. El

resultado de la operación debe redondearse hasta milésimas que es la resolución de los

datos, quedando t = 2.020 s y este es el valor mas probable de la medida. Siempre que se

realiza una operación matemática para operar sobre medidas experimentales, el

resultado debe redondearse hasta la resolución de las medidas originales. Debemos

redondear, pues si incluimos cifras mas allá de la resolución de las medidas originales, se

108


indicaría que tenemos mas aproximación que nuestros los reales lo que es una mentira. El

margen de error de medidas no reproducibles, se estima mediante una cantidad llamada

desviación standard que se simbolizada con la letra griega (sigma). Para calcular la

desviación standard se procede como se ilustra a continuación en la tabla 9.2, empleando

los datos de la tabla 9.1 y el promedio redondeado o valor mas probable de los mismos.

Tabla 9.2

Restas Resultado de las restas Restas al cuadrado

x1 - x = 2.015 – 2.020 s -.005 s (-.005 s)2 = .000,025 s2

x2 - x = 2.020 – 2.020 s 0 s (0 s)2 =0 s2

x3 - x = 2.025 – 2.020 s .005 s (.005 s)2 = .000,025 s2

x4 - x = 2.026 – 2.020 s .006 s (.006 s)2 = .000,036 s2

x5 - x = 2.017 – 2.020 s - .003 s (- .003 s)2 = .000,009 s2

x6 - x = 2.022 – 2.020 s .002 s (.002 s)2 = .000,004 s2

x7 - x = 2.019 – 2.020 s -.001 s (-.001 s)2 = .000,001 s2

x8 - x = 2.018 – 2.020 s -.002 s (-.002 s)2 =.000,004 s2

x9 - x = 2.020 – 2.020 s 0 s (0 s)2 = 0 s2

x10 - x = 2.021 – 2.020 s .001 s (.001 s)2 = .000,001 s2

1. Se resta a cada una de las lecturas el promedio redondeado de las mismas (columnas

1 y 2 de la tabla 9.2).

2. Cada una de estas restas se eleva al cuadrado (columna 3 tabla 9.2).

3. Se suman todos los cuadrados de las diferencias. El resultado es

(xi- x )2 = .000,105 s2

4. Esta última suma se divide entre el número de datos menos uno, 10 -1 = 9:

€

(xi

− x )2

n −1=

€

.000,105 s2

9 = .000,011,666 s2

5. Se extrae la raíz cuadrada del resultado anterior:

€

.000,011,666 s2 = .000,948,683 s y

se redondea hasta la resolución de los datos o sea hasta milésimas = .001 s.

Todos los pasos anteriores se sintetizan en la fórmula siguiente:

109


€

=2.015 − 2.02( )

2+ 2.02 − 2.02( )

2+ ......+ 2.021− 2.02( )

2

10 - 1=

(x − xi)2

i=1

i=n

∑

n -1

Fórmula 9.1 Desviación Standard

Con los datos de nuestro ejemplo, se obtiene = .001 s. Ahora se aplica la fórmula

para calcular el error e =

€

desviación standard

número de datos =

€

n

=

€

.001s

10 = .0003 s

Las calculadoras electrónicas científicas contemporáneas hacen esta operación

automáticamente. Sin embargo a menudo el redondeo lo tenemos que hacer nosotros, o

instruir a la calculadora cuantos decimales queremos para tener la misma resolución de

las medidas.

El Error Porcentual El error porcentual escrito usualmente e% es simplemente otra

forma de especificar el margen de error. Para ello se procede como sigue. Ya que

sabemos cuanto vale el margen de error y el valor mas probable, calculamos que

porcentaje del valor mas probable es el margen de error usando la fórmula siguiente:

e % = (Margen de error

Valor mas probable )100. El error porcentual es un número sin unidades ya que

estas se eliminan algebraicamente en la división

Ejemplo 9.7 Con la medida precisa t = (2.020 ± .003) s calcular el error porcentual

Solución e % = .003

2.020 100 = .1485100 = .15%

Ejemplo 9.8 La masa de un insecto M = (.0002 ± .00005) kg Calcule el error

porcentual.

Solución e % = (.000,05 kg

.000,2 kg )100 = .25100 = 25%

Redondeo

En la discusión anterior se ha mencionado la necesidad de redondear las cifras

obtenidas en las operaciones matemáticas hasta la resolución original de la medidas. Para

esto existen un conjunto de reglas aceptadas por la comunidad científica y que en

términos generales son las siguientes:

110


1. Los redondeos se apoyan en los últimos dígitos a la derecha del punto decimal.

2. El redondeo se efectúa hasta la resolución del instrumento con el que se realizaron las

lecturas. Por ejemplo si un instrumento resuelve hasta centésimas, las cifras que de el

resulten se redondearán también hasta centésimas.

3. Todos los dígitos a la derecha del límite de redondeo se desecharán

4. Si el siguiente dígito después del límite de redondeo, es menor que 5 se deja el dígito

en el límite de redondeo sin cambio.

5. Si el siguiente dígito después del límite de redondeo, es mayor que 5, el dígito en el

límite del redondeo se incrementa en 1.

6. Si el siguiente dígito después del límite de redondeo es igual a 5, y el dígito en el

límite del redondeo es un número par, este número no se cambia.

7. Si el siguiente dígito después del límite de redondeo es igual a 5, y el dígito en el

límite del redondeo es un número non, el dígito en el límite del redondeo se

incrementa en 1.

Ejemplo 9.9 Redondear 1.02342 hasta milésimas,

Solución El límite del redondeo es el número 3, ya que el siguiente dígito es el 4 < 5, y se

aplica la regla 4

Ejemplo 9.10 Redondear .000765 se redondeará hasta diez milésimas.

Solución El límite del redondeo será el número 7, ya que el siguiente dígito es el 6 > 5 y

se aplica la regla 5

Redondeos en Operaciones Aritméticas Cuando tenemos medidas con diferentes

resoluciones y márgenes de error, y esas medidas se emplean en fórmulas matemáticas, al

sustituir en ellas se utilizan los criterios siguientes.

Suma y Resta. Si se suman o restan números con diferente resolución, primero se

redondean todos los números, hasta la resolución del número con menos resolución y

luego se suma o resta.

Ejemplo 9.11 Calcular 1.234 + .03 + .975

Solución Primero se redondean los números hasta centésimas quedando 1.23 + .03 + .98

Luego se suman: Suma = 9.24

111


Ejemplo 9.12 Calcular 9.35467 - .756

Solución Primero se redondea quedando 9.355 - .756 Luego se calcula el resultado =

1.599

Redondeo con la multiplicación y la división. Se procede como sigue.

i) Se redondean todos los números hasta una cifra mas que el número con menor

resolución antes de efectuar la operación.

ii) El resultado se redondea hasta la misma resolución del número con menos resolución.

Ejemplo 9.13 Calcular (9.056)(.3) / 9.525

Solución Primero se escribe la operación redondeando hasta centésimas que es una cifra

mas allá de la resolución de .3 que es el número con menos resolución.

Obtenemos:(7.06)(.3)

4.52=9.5734 Ahora se redondea el resultado hasta décimas que es la

resolución de .3 Con esto obtenemos: (7.06)(.3)

4.52=9.5734 =9.6 .

Evidentemente queda pendiente la evaluación del error cuando combinamos los

resultados de fórmulas algebraicas, en los cuales cada una de las cifras obtenidas tendrán

su propio margen de error. Existen métodos estadísticos para calcular el error total en

estos casos, pero van mas allá del alcance de este curso.

Nótese que el hecho que cada medida tenga a su alrededor un margen de error, hace

que el hablar de medidas iguales sea un tanto diferente en la ciencia que en la vida diaria.

Lo mas correcto es decir que las medidas coinciden o no.

Observaciones Adicionales. Un estudiante va a medir el voltaje de la línea normal de

alimentación de un laboratorio. Lo usual es que tome un medidor de corriente, inserte las

puntas en las ranuras del contacto y proceda a medir. A menudo esto resulta en un

instrumento dañado o completamente descompuesto, si no se tiene la precaución de

averiguar antes de usarlo, la capacidad del medidor para manejar la intensidad de la

corriente. Los instrumentos extraen energía y materia de los medios que miden, por

ejemplo si se mide la presión de una llanta, al medir el instrumento extrae aire y por

consiguiente energía de la llanta. Una regla básica de la instrumentación es que el

aparato que se emplea para medir una variable, debe de ser capaz de recibir sin sufrir

112


daño alguno, la energía y materia extraída del medio. Si medimos el voltaje de una

fuente de electricidad, tenemos que saber mas o menos de que tamaño o intensidad es el

voltaje y emplear la entrada del instrumento, con la capacidad de aguantar la energía del

circuito que medimos. Esto es válido para todos los instrumentos de medición. No

podemos utilizar un termómetro de vidrio para medir la temperatura de un soplete de

soldador. En general: Antes de conectar un instrumento a un medio debemos tener una

idea de la magnitud de las variables, para usar la entrada del instrumento o ins-

trumentos, mas apropiada para resistir la energía o materia extraída sin sufrir daño. Un

detalle muy importante es el mencionado arriba, los instrumentos extraen materia y/o

energía de los medios que miden. Un criterio elemental es emplear instrumentos que

extraigan cantidades mínimas de energía o materia en comparación al tamaño o

magnitud del medio medido.

Preguntas de repaso

1. Definir error de medición

2. Explicar porqué las medidas exactas no existen

3. Definir medida precisa

4. ¿Que es el valor mas probable de una medida precisa?

5. Explique como se determinan los límites de un intervalo de confianza y como se

representa gráficamente

6. Explique como se determina si dos o mas medidas coinciden en base a los

intervalos de confianza

7. ¿que relación existe entre error de medición y fuente de error?

8. ¿Que factores pueden alterar a los instrumentos y causar errores?

9. ¿que es el ajuste de ceros?

10. ¿porqué el ajuste defectuoso de ceros es una fuente de error?

11. ¿Que es el paralaje?

12. describa la forma correcta de leer un instrumento donde un indicador se mueve

frente a una escala

13. ¿a que se le llama error sistemático?

113


14. ¿A que se le llama error de azar?

15. Definir medida reproducible

16. Definir medida no reproducible

17. ¿como se obtiene el valor mas probable de una medida reproducible?

18. ¿como se obtiene el error en medidas reproducibles?

19. ¿como se obtiene el margen de error de un instrumento digital cuyo manual

especifica una variabilidad de 3 % dentro de una rango de –50oC hasta 60oC?

20. ¿como se obtiene el valor mas probable de una medida no reproducible?

21. ¿Porqué el error de escala no sirve para medidas no reproducibles?

22. Describir el proceso para obtener la desviación standard e indicar cuantas medidas

por lo menos se requieren para obtener buenos resultados

23. Describir los criterio de redondeo al obtener promedios y desviación standard con

respecto a las características de los instrumentos

24. ¿Como se obtiene el error en medidas no reproducibles?

25. Explicar como se obtiene el error porcentual

26. Describa los criterios generales de redondeo

27. Explique como se redondea en el caso de sumas y restas

28. Explique como se redondea en el caso divisiones y multiplicaciones

29. Que precauciones deben guardarse para que los instrumentos no sean dañados por

la energía de los medios medidos

Problemas

En los problemas del 30 al 50 determine el valor mas probable; calcule el error de escala,

exprese el resultado en el formato de medida precisa, calcule los límites del intervalo de

confianza, dibuje el intervalo de confianza, calcule el error porcentual y redondee los

resultados conforme a las reglas establecidas en el texto.

30. Con una regla de resolución 1 mm se mide una longitud y la marca de calibración

mas cercana al extremo del es la correspondiente a 32.5 cm.

31. Con un termómetro de resolución de 1o C se mide la temperatura del agua

114


hirviendo y se encuentra que la marca de calibración mas cercan al extremo de la

columna es la de 96oC.

32. Con un transportador de resolución .5o se mide un ángulo y el indicador señala la

marca mas cercana a 25.5o

33. Con una balanza granataria de resolución .1g al medir la masa de un vaso lleno

de agua la escala mayor mide 500 gr. la segunda indica 30 gr y la última 5.5 gr

34. Un reloj de manecillas de resolución .2 s con variabilidad de 5% al cambiar la

temperatura entre -10oC y 50oC se emplea para medir el tiempo de una reacción

química y este indica 45.6 s

35. El manual de una regla establece que a la temperatura ambiente (25oC), la

variabilidad es del 1%, y la resolución es de 1 mm ¿Cual será el error del

instrumento al medir una longitud de 1.25 m?

36. Con un vernier de resolución 0.1 mm y variabilidad de 1% con la temperatura

ambiente, se mide una longitud y esta vale 4.56 s

37. Con un reloj digital de resolución .01s y variabilidad de 3% con el medio

ambiente, se mide el tiempo en que cae una objeto y se encuentra que mide .56 s

38. Una probeta de 250 ml, 2 ml de resolución y variabilidad de 5% con los cambios

de temperatura, se un volumen de nivel del líquido, y el nivel de este queda muy

cerca de la raya de calibración que indica 124 ml

39. Mediante un reloj se mide diez veces el tiempo en que cae una pelota desde 10 m

de altura y se encuentran las diez lecturas siguientes en segundos: 1.4; 1.3; 1.5;

1.6; 1.2; 1.3; 1.4; 1.7; 1.8; 1.1

40. Con un instrumento se mide la altura de una árbol sin subirse en el y se obtienen

los resultados siguientes en metros: 9.8; 9.9; 10.1; 9.7; 10.5; 9.1; 9.4; 9.6; 9.5; 9.9

41. Un astrónomo mide el ángulo en grados entre dos estrellas y obtiene las lecturas

siguientes: .005; .003; .001;. .006; .004; .008; .005; .002; .007; .006

42. Para encontrar la masa media de las hormigas un biólogo mide la masa de 10 de

ellas y obtiene los valores siguientes en

115


gramos: .10; .15; .13; .11; .15; .10; .09; .14; .12; .16

43. Un ingeniero quiere medir la masa media de un grupo de postas, selecciona 10 de

ellas y obtiene los valores siguientes en gramos: 2.3; 2.0; 3.1; 2.8; 2.7; 3.2; 1.9;

2.5; 2.4; 2.6

44. Un Biólogo quiere medir el diámetro medio de organismos muy pequeños y

encuentra los valores siguientes en centímetros: .005;

001; .006; .007; .008; .009; .002; .003; .004; .010

45. Un químico mide el tiempo de una reacción química varias veces y obtiene los

datos siguientes en segundos: 1.2; 1.3; .9; .8; 1.1; 1.5; .8; 1.6; 1; .9

46. Dos personas miden una misma longitud, una obtiene la lectura de (500 ± 1) m. y

otra persona obtiene la lectura (480 ± 30) m. ¿Coinciden?

47. Un investigador mide la masa de un objeto y encuentra la lectura (.0045 ± .0002)

kg. Mientras que otro obtiene la lectura (.0030 ± .0002) kg. ¿Coinciden?

48. El error porcentual de la presión de las llantas de un automóvil que mide 28 lb/in2

es del 5 %. Calcule el margen de error en lb/in2, escriba el resultado en el formato

de medida precisa, determine los límites del intervalo de confianza y dibújelo

49. En una probeta hay 5 divisiones entre las marcas de 20 ml y de 30 ml. Calcule la

resolución y el margen de error

50. En instrumento que mide voltaje hay 5 marcas de calibración entre la que indica

100 v y la que indica 130 v Calcule la resolución y el margen de error

51. En un calibrador de llantas de automóvil hay 4 divisiones entre la marca

indicadora de 20 lb/in2 y la de 22 lb / in2 Calcule la resolución y el margen de

error

52. En un reloj de manecillas hay una marca de calibración a la mitad de cada marca que

indica 1 segundo Calcule la resolución y el margen de error de escala

Aplique los criterios de redondeo para efectuar las operaciones indicadas en los

problemas siguientes, escribiendo los pasos de redondeo en detalle

53. Calcule: 2.345 – 3.85 + 13.327; (7.089)( - 3.2456); (2.178)/(3.4567)

54. Calcule: .00345 – 3.956 +.37; (.0034)(1.876); (2.17)(1.327)/(.06971)

116


55. Calcule: 1.39 + .0567 - 2.489;

€

2.0456

10.892;

€

25.34589

(1.379)(7.6589)

56. Calcule: - 6.7239 + 2.345 + 1.756;

€

3.1416

3.89;

€

(3.176)(.07896)

(12.329)

57. Calcule: - 3.4578 + 3.1416 – 1.57; (3.1416)(.056789);

€

(1.156)(2.78)

(.32954)

58. Calcule: - 2.723 – 1.37654 – 2.34567; (125.35)(23.4567);

€

1.17

.00687

59. Calcule: -325.42 + 2345.7 + .0567;

€

.00789

5.000067;

€

2.15

(.0487)(.0056)

60. Calcule: 0.039 – 1.2756 - .00078; (- 15.349)(2.00389);

€

(2.356)(8.0056)

(1.314)(2.7)

61. Calcule: 1234.567 + .00789 + .0425:

€

.00082

.000267;

€

.00456

(.000675)(.0093)

62. Calcule: .0075 - .0675 + .00567; (897.3)(65.0289);

€

(3.016)(13.078)

(.3)

63. Calcule: 132.54 + 2.345 – 1.8: (545.6)(.075);

€

(3.1416)(.00789)

(.07)(.0047)

64. Calcule: .0056 - .006 + .76: (-6.067)(- 2. 34);

€

(3.1416)(.00789)

(.07)(.0047)

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