Volumen 1 1936-193'7 Número 1

REVISTA

DE· I.A

UNION MATEMATICA ARGENTINA

PUBLICADA POR LOS MIEMBROS FUNDADORES:

J. ALLEND\CPoSSg (Buenos Aires). - JosÉ BABINI (Santa Fe). - FRANCISCO BlilRDIAI.ES

(Karlsruhe). JUAN BLAQUIER (Buenos Aires). - CARI.OS BIGGlmI (Buenos Aires).

- CLOTILIHJ BULA (Rosario). - ENRIQUI<} BUTTY (Buenos Aires). - JOR'GID CARRIZO

RUEDA (Buenos Aires). FÉLIX CERNUSCHI (Camhridge). - CARLOS DmuLBFAIT

(Rosario). - ALJ¡;JANDHO ESTIUDA (Buenos Aires).- FACUL'l'AD D1~ QUÍMICA INDUS­

TRIAL (Santa Fe). - FBRNANDO L. GASPAR (Rosario). - JosÉ GIANNONE (Rosario). -

ALBffiRTO GONZÁLffiZ DO;\IíNGUI~Z (Buenos Aires).' - .JosÉ GONZ,\LEZ GALÉ (Buenos

Aires). - l\íANur~L GUITAHTE (Buenos Aires). - VVALTER S. HILL (Montevideo). -

LUDO VICO IVANISSEVICH (Buenos Aires). - FiuNCISCO LA l\'IgNZA (Buenos Aires). -

HILARIO l\'IAGLIANO (La Plata). Oc'rAvIO S. PICO (Buenos Aires). - JUAN OLGufN

(Rosario). - ELBA RUl\IONDI (Buenos Aires). - JULIO RtnY PASTOR (Buenos Aires).

- JosÉ SORTHIHX (Tueumán). - FAUSTO TORANZOS (La Pln,ta).

BUENOS AIRES IMPRlCNTA y CASA lCDITOHA «CONl»

684, Plmú, 684

1936

REVISTA

DE roJA

UNION MATE)IATICA ARGENTINA

VOLUMEN 1

1936-1937

BUENOS AIRES IMPInCNTA y CASA l~J)ITOHA «CONI»

684, Plml¡, 684

1936

I

IJ" I Li l .•. · •.. ·· fff;

UNION MATEMATICA ARGENTINA

Se propone esta entidad fomentar el evidente progreso de

la investigación matemática en la ___ -\.rgentina, mediante reunio-

nes científicas, concursos, etc., y coordinar la labor de los

di versos grupos de estudiosos que en el país se ocupan de Mate­

nlática Superior, y de los investigadores dispersos en las nacio­

nes latinas de Aluérica.

El creciente desarro110 de la producción lnat,emática en todas

ellas, indica la conveniencia de publicar una revista - que

será el órgano de la nueva entidad - consagrada exclusiva­

mente a trabajos de investigación de Mat,emática Superior y

Física Teórica. Sin menoscabo del carácter nacional de la

REVISTA DE LA. U. M. A., Y a fin de que sea fiel reflej o de la

producción de los países iberoamericanos, figurarán en ella no

sólo notas y melnorias inéditas, sino también resúmenes de los

trabajos de Maternática Superior y Física Teórica realizados

en dichos países, y aparecidos en otras publicaciones.

La entusiasta acogida de la iniciativa por parte de los mate­

máticos argentinos y las valiosas adhesiones que ya van llegan­

do de otros países, nos afirman en nuestra fe y 110S estimulan a

consagrarle todo el esfuerzo necesario para que la obra sea

fecunda y duradera.

SOBRE LOS PUNTOS SI~GULARES D~ LAS FUNCIONES ANAUTICAS

POR CARLOS BIGGERI

(Buenos Aires)

El clásico teorema de Dienes (generalización del de Vivanti) afirma que el punto en el cual la circunferencia de convergencia de la serie:

00

2: (('nZn

n=O [1]

corta al semieje real y positivo del plano z, es singular para la fun­ción analítica definida por dicha serie, cuando se cumplen las dos hipótesis siguientes:

1 a) parte real de O.!n > O;

2a) I Arg. (('n I <1: < ~, (siendo,,: un valor fijo).

~

N os proponemos en la presente nota generalizar este teorema, ob­tenielido el siguiente, que permite al afijo del coeficiente ((;n moverse a lo largo de un camino tangente al eje imaginario de su plano.

TEOREMA 1. - Si se ve'r~fic((m l((;s dos condiciones siguientes: 10) Ln parte real del coe.ficiente ((,n de In serie r 11 no es neg(ttiv((;. 2°) El

v(tlor pl'incip(tl 9n del (tI'gU1nento de an (p(t1"a los 1)alo1'es de n tales q~te

an es positivo)} es tal q'ue :

lim 'Vcos o/n = 1, [2] n-)-oo

entonces} elp~tnto en el cual 1((; cirmtnferencia de convergencia de la se­

rie II J corta, al semi~je real y positivo del plano z} es ~tn punto singular pa1"a la función ((;nalítica) f (z), de.finida por dich(t serie.

6 CARLOS B1GGERI

Demostración: Sin restringir, en absoluto, la generalidad podemos suponer que el radio, R, de convergencia de la serie [1] es igual a la ~midad : dernostrare1nos) entonces) q~te el punto z = 1 es sing~llar pCt;r(t;

f (z). La demostración se basa en el siguiente lema, cuya demostración será el tema de una próxima nota.

Lem(t. - Si ponemos :

1n=n

se tiene:

a.) es condIción necesa1'ict y sujiciente para, que el punto z = 1 sect; sing'ltlar pctra f (z)) que se ver'ifiq'lte :

1im 'VI Y n I = 1 ; n-+oo

b) es condición necesarict y s~~ficiente para q'lte el p'ltnto z = 1 sea reg~tlar parra f (z)) q~te se verzfique :

lim 'VI Y n I < 1. n-+oo

Ahora bien, llamemos pn al módulo de (('n y pongamos:

En virtud del teorema de Vivanti y del lema se tiene:

lim 'VKn = 1. [3] n-+oo

Si llamamos cos o/~ al menor (en sentido amplio) de los valores de eos o/m, para 1n < n < 2n, tendremos:

[4]

Puesto que 'Vcos o/~. (Vcos o/~)Ii esttí comprendido entre Vcos o/~ y

(Veo s o/~Y, en virtud de la segunda hipótesis, se tiene:

lim 'rcos cp~ = 1. [5] n--:>oo

Sobn] los puntos singnlm'es ele las fmwiones analíticas 7

De l3], [41 Y [5] se deduce:

lim 'VI y ni > 1, n~::>o

y como lim 'VI Yn I no puede ser mayor que 1, se verifica necesaria-n~oo

mente:

lim 'VI Y n I = 1. n~oo

Si existiese l'ímite ordinario de 'V01' para n --?> 00, la condición l2] podría sustituirse por l~ siguiente condición m~l,s general:

lim Veo s o/; = 1, ;-+00

f2'J

siendo o/; el argumento cuyo valor absoluto es mctyor (en sentido am­plio) que los valores absolutos de o/n, para n < m < 2n.

En efecto, razonando como en el caso de una función analítica defi­nida por una integral determinante se tiene: si existe límite M'dinario

V1lpn) (-) I

de ,7. (para algún o: positivo y menor quelaunidad), si n~oo, n.

existe también límite ordinario de 'VI Yn 1, cuando el punto z = 1 es singulnl'; por ]0 tanto, aplicando esta conclusión y el lema ala fun-. ,1 .

ClOn --, se tlene : 1-z

poniendo:

lim'VHn=l f6] n~""

Si llama.mos p!~ al menor (en sentido amplio) de los valores de pn, para n < m < 2n, tendremos :

I Yn I > cos 9; . PI'_ • Hn. l7]

I~

Puesto que : 'V~ = (IVp:) n est~l, comprendido entre vP: y C~Vp:)2, se tiene:

lim 'V"p: = 1. f8] n~""

8 CARLOS BIGGlt:RI

Por otra parte, razonando como más arriba, se deduce:

lim 'Vcos o/; = 1. ¡9] n~""

De [6], [71, l8 J, r9] y el lema, se infiere que el punto z = 1 es sing'lt­lctr para f (z).

Si I o/n I tiende a i' para n ~ 00, la condición [2] es equivalente a la

siguiente

[2"]

Claro está, que si I o/n I tiene límite distinto de ~, la condición [2 J .:.J

también es equivalente ~Ja r2"1, pero entonces nuestro teorema no da nada nuevo: se cumplen las condiciones del teorema de Dienes.

RÉSUMÉ

Sur les points singuliers des fonctions analytiques. -- Je généra,lise dans la présente note le théoreme de Dienes, en démontrant qne : Si la partie réelle dn coefficient an de la série [1] n'est pas llégative, et si la valenr principale, ?n, de l'argnmellt de an, satisfait a. la condition [2], alors, le point OU la circonférence de cOllvergence de la série [1] coupe le demi-ax: 1'éel et positif dll plan z, cst 11U

point singulier pOUl' la fonction analytique dénnie par cette série. Je généralise eusuite ce dernier résultat, en remplayant la condition [2] par [2 /J,

pourvu qu'el1e existe de la limite ordinaire de 'V~. Voiei, a. grands traits, la démonstration de ce théoreme. On pose d'abord un

lemme. En vertu dn théoreme de Vi vauti et de ce lemme on a [3]. En appelaut

cOS?~ a. la plus petite des valeurs de cos ?1I!7 ponr 1n':::: n':::: 2n, on a [4]. De [2] 011

déduit [5]. De [3], [4], [5] et du lemme on tire le théoremc en qnestion. Dal1s une note prochaine, je démol1trerai un résnltat al1a.logne a. celui-ci ponr

les fonctions analytiques défiuies par des séries générales de Dirichlet.

SUR LES ÉQUNrIONS DIFFIDRENTIELLES LINÉAIRES

ET HO:\WGENES TRANSFORMABLES EN F.QUATIONS .~ COEFFICIIi:N'l'S CONSTANT~

AU MOYEN D'UN CHANGEl\UNT DE FONCTION : y = 1, (.o') Y

PAH J. FAYET

(París)

Dans nne note récente (1), nons avons montré que, si une équation différentielle linéaire et homogene, d'ordre qúeleonque est transfor­mable en équation de mellle forme a coerficients eOll!;tants au moyen

d'un changemellt de variable: a:; = 'u (:v), il est possible de trouver . c7x

également un ehal1gement de fOllction y = j, (x) . y, tel q ne le faiscean des courbes intégrales de l'éqnation transformée se déduit du faisceau des eourbes intégrales de l'éqnation initjale par une translation pa­rallele a l'axe des y; et réeiproqnement.

J\1:onslcnr Rey Pastor e) a donné de ce résnltat une démonstration particulierement simple.

Dans la présente note, nous non s p1'oposons d'étudier les invariants d'une équatioll différentielIe linéaire et llOmogime; relatifs a un ehan­gement de fonction : y =), (ro) • Y, ce qUl nous permettra d'expliciter les équations transformables par ce moyen en équations a coeffieients constants; puís 1I0ns montrerons que, lorsque la transformatioll en l'équation a coefficlents constants est possible, i1 existe un autre chall­gement de fonctioll transformant l'équatíon inítia,le en une autre équa­tion linéaire dont le faiseeau des courbes intégrales comprend le faisceau des conrbes intégrales de l'équation initiale.

(1) JOSEPH FAYE'l', SI/1' les éqllations liuéaires el homogenes transformables enéqlla.­

tions ¿t eoefficiellts constants al/, nwycn el' un changemcnt ele 'l.'al'iable. -- Revista Mate­

mática Hispano Antericana, número 3 de 1936.

(2) Rgy PASTOH, Sobre nn lipo ele ecuaciolles (lifcrenoiales. - Ibídem. - Bol. Sem.

Mat.) número 19.

10

I. Formes canoniques. l° Éq~{.aUon d'u s6cond O¡'d1'C. Soit l'équation linéaire et homogene du second ol'dre :

[t]

dan s Iaquelle ((,¡ et ({¡2 désignent des fonctions quelconques de ro. Le changementde fonction :

y = 1, (ro). Y l2]

tnmsfoIme l'équation [1] en l'éqnation de meme forme:

y" + 7.¡ • y' + 7. 2 • Y = O [3\ avec:

_ 2),' + ((,¡. )'. a¡- _ ,

A [4]

Donnons a ), (ro) la détermination 1.1 qui allnulle a¡ soit :

[5]

L'éql1ation ll] prend a10rs la forme:

y" -1- 1 . Y = O avec :

L" Cl 2 • 1.1 a¡2 ((,/ 1 = _--.-:.._--~-- = (lo - - --.

- 4 2 16]

La forme [6J de l'équation [1] est une forme canonique de llJ au sens cl'Halpben. C'est-a-dire que 1 est un illvariant abs01n; en d'au­tres termes, 1 ne dépend pas de la fonction 1, (ro) intervellant dans la formule du cbangement [2]. En effet, si Fon pnrt de [3] et si Fon forme avec 7.1 et a2 les expressions Lo, lo comme nous avons formé L et 1 avf'C ((,¡ et ((,2' non s obtenons :

1 Lo =:-. L;

A lo = I.

Les dérivées successivesde 1 sont aussi des illvariallts absolns. Si Féquation \1\ a ses coefficients constants, il vient :

1 = constante.

Comme 1 est un invariant absolu, on en déduit que la condition nécessaire et suffh;ante pour qu'une équation LIJ quelconque soit

81/1" les équations d1;fférentielles linéaires 11

transformable en équation de méme forme a coefficients constants, au moyen d'nn changement y =), (ro). Y, est que ses coefficients (('1

et ((,2 satisfassent a la relation :

En d'alltres termes, I'éqnation :

[

(('12 + ((,/j y"+((,l·Y'+ K 4 3 y=o

dans laquelle ((,1 désigne une fonction qnelconque de ro se transforme en l'équation y" + K . Y = O par la transformation :

-~Ja, .dx y = e ~ . Y.

Rema1"q~te : O'est un résult.at bien COllnu que le challgement défini

. par : ~ = - A 2 • Y transforme I'équation de Ricatti z

en l'équation linéaire et homogtme du second ordre :

" (A -.l A/) , A A O z - 1 1- A2

• Z - O. 2. Z = .

Par cOllséquant, d'apres les résultats précéclents, on peut dire que l'éqnation de Ricatti

est, qnelles que soient les fonctions Al et 1\.2' réductible anx qua­dratures.

2° Éq'll((,tion d1t nilmw ordre. Le changement [2J transforme I'équation :

((,n - t • y' + ((,n • Y = O f7 J

en I'équation de meme forme:

y(n) + al. y(n-t) + 0.2. y(n-2) + ... + an - t • y' + an • Y = O rSI

12 J. FAYll:'l'

ou les :l.i out respecti vement ponr expressions :

n " -." 1 al = ---¡-,--

n. (n - 1) "-j n - 1. • , • ---- • 1, - -- (ti' 1, + a,o • "

1 .2 ] ~ C!2 = ---------)-,-------

Si Pon donlle a 1, (x) la détermination L qui annulle a i soit :

-~ía" dx L=e n

l'équation [7] prendra la forme canonique :

[9J

y(n) + J2 • y(n-2) + la. y(n-3) + ... +ln-l' y' + In. y = O [10]

oa les li sont les valeurs des :l.i correspondants ou ), = L. Il est facile de vérifier que tous les Ii sont des invariants absolus. Et par suite on obtient n - 1 relations nécessaires et suffisantes que eloivent vérifier les ((Ii d'Ulltl équatioll [7 J ponr que celle-ci soit transformable en équa­tion a coefficients constants. Oes n - 1 conditions sont : Ji = Ki I'i = 2,3; ... ; nJ Ki étant eles constantes.

On pourrait aussi former ces n - 1 conclitions en écrivant que, dans Péguation tmnsformée on eloit a voir :1. 1 = 71,1; :/.2 = h2; :/.3 = ha; ... , les hi ét,ant des constantes, et en portant dalls les n - 1. relations : ai = hi ['i = 2, 3, ... , nJ la valeur ele ), tirée de la premiere al = h1'

Oomme application, on pourra, vérifier que Péquátion elu 3ieme orelre :

[ ((,1

2 1 y'" -1- (tI' y" + .((1/ + :3 -1- K¡ y' +

+ [(('/' ~_ ~. (t 3 + ((,1(t/ + al. K + lC] 'l =0 3 "1 27 1 ;) 3· i 2 Y

ou la fonction (t¡ est quelcollque se transforme en l'équation

y'" + K¡ . y' + K~ . Y = O

si Pon fait :

-~ía,.dx y=e 3 •

8111' lcs éq1wUons (lijérenticllcs li'lléaÍ1'cs

11. lntel'pl'étaUon géométriq~te . .l o Équation du second ord'í·e.

13

Reprenons l'équation [1]; et faisons le changement de fonction dé­fini par:

y = y' + [J, (a:). Y. [11]

L'équation 111 se transforme en l'équation linéaire et homogene du 3ieme ordre :

F - y'" + (¡J, + al)' y" + (2[1.' + al' ¡J. +(2). y'

+ (¡J." + al' / + a2• [1,). y = o. [12]

Obercbons alors a déterminer les fonctions [J, (ro), g (ro) et G (ro) de fagon que Fon ait :

G (ro) • F == :x fg (ro) ·f] [13]

f désignant le 1 el' membre de [1], le sens de l'identité étant entendu de la fagon suivante : les co«:'fficients des dérivées de meme ordre des 2 fonctions doivent etre égaux dans les deux membres. On trouve que [1. (ro); g (ro); G (ro) doivent satisfaire au systeme :

G=g

G ([1, + al) = g' + g . al

G (2[1/ + a'dJ. + (2 ) = g' . al + g . (f,/ + g . a 2

G ([1," + al . [1.' + a2 • [J,) = g . a2' + g' . a:.

On en tire:

~J a, .dx. G (x) g (ro) = e 2 ,

Et la derniere équation du sy8teme nOU8 donne la, relation a la­quelle doivent satisfaire les cofficients al et a'2 de (1) ponr qu'on puisse obten ir l'identité posée. On obtient aillsi :

Ct l2 (f,/

a2 - 4 - 2"" = constante.

Le condition nécessaire et suffisante ainsi obtenue est donc iden­tique a la condition tronvée dans le premier paragraplw, et qui expri­me que l'équation ll] peut etre transformée en équation a coefficients constants.

14 J. FAYET

2° Éqtuttion cl1.¿ n il31ne o¡'dTe.

Oes résultats pellvent etre étendlls a l'équation d'ordre n l7]. Pour que l'identité [12J soit satisfaite, les ({'í de [7] doivent vérifier

n - 1 relations nécessaires et suffisantes; et ces n - 1 relations sont identiques a ceBes qui exprilnent que l'équation [71 est transformable en l'équation de meme forme a coefficients constants an moyen d'nn changement y = /, (ro) . Y.

Les calenls nons donllent dans ce cas :

(('1 [J,(X)=-'

n

L'idelltit.é des résultats obtellns dans les deux paragraphes pent d'aillenrs se jnstifier aisément au moyen de la remarque suivante, utilisée pa.r Mow;;¡ieur Rey Pastor dans la Note que llOUS avons signa­lée plns hnut. : Si Y est une fonction d'une famille de type exponentiel [c'est-a,·dire sat,isfaisant a une équation linéaire et bomogéne a coeffi­cients constants], sa dérivée est l::U1SRÍ fonction de la meme famille.

3° Soit done (O) une conrbe intégrale de l'équation linéaires et homogtme d'ordre n . ..Au point M (ro, y) de (O) faisolls correspondre le point N (X, Y) dont les coordonnées X et Y sont liées a ro et y par:

ro=X; y = y' -1- [J, (ro) . y on bien:

y = e -1 i1- • da; [e -1- f y . e 1 i1- • dx • dro].

La courbe (O), líeu de lV! satisfait a l'éqllation l7] : f =- O; la conr­be ([1) líeu de N satisfait a l'éqnation [12] : F = O. Si nons snppo­sons qUfl l'équation [7J soit transforma~le eli équation a coefticients constants au moyen de y = /, (ro) . Y, la cOllrbe (O) satisfait aussi, pnisque l'identité [13 J se trouve alors satisfaite, a l'équation F ='0 qui est d'ordre n + 1. En somme :

Si nne équation différentielle linéaire et bornogfme cl'ordre n:

f _ y (n) + (('1 • Y (n- 1) + Cf,2 • Y (n 2) + ... + C(¡n-l • y' + an • y = O

est transformable en équation de meme forme a coefficients constants, au moyen de la sllbstitut,ion :

-la, .dx y=e . Y

Sllr les équations c1(fférentielZes linéaÍ'res 15

le faiseeau de ses eourbes intégrales fait partie du faiseeau des eonr­bes intégrales de l'équation tranf::lformée d'ordre n + 1 :

F _ y(n+l) + Ao. y(n) -1- Al' y(n-J) + A n- 1 • y' -1- An. y = O

qu'on obtient en faisant la substitution :

Y,+(('i .... T y= -'.1.. n

Réeiproquement, si le faiseeau des eourbes intégrales (Pune éql1a­tion linéaire et bomogene d'ordre n : f = O fait partie du faiseeau des eourbes intégrales de l'équation linéaire et homogene d'ordre n + 1 : F = O, transformé de la premiere au moyen de la substitutioll :

e'est que la substitution

y=Y'+ a l• y ,

n

-2rU,.dx ]/=e n" .y

tra.nsforme l'équation f = O es una éq nation linéaire et homog-ene cl'ordre n a eoeffieiellts constallts.

En effet, le faiseeau des eourbes illtégrales de F = O doii satisfaire, puisqn'il comprend le faisceau des courbes intégrales de f = O a une éq uation de la forme:

yen) + a i • y ('n-l) + ct2 ' y(n-2) + ... + (fn-l' y' + Un' y = K .f(x)

K étant une constante, f(x) une certaine fonction de X; par eonsé­quent, il satisfait aussi :\ l'équation linéaire et bomogene d'ordre n+l :

+CLn -¡. y'+CLn • Yl 1=0.

Mais par hipotbese, il satisfait aussi a I'équation linéaire et homo­gene d'ordre n + 1 : F = O. Il existe done 3 fonetions G (x); g (x); t (x), telles qu'on a identiquement :

d . G (x) . F - dx [g (x) . .1]

16 J. FAn~T

ce qui exprime que l'équation [7] : f = O est transformable en équa­tion a coefficients constants au moyen rl'une certaine substitutioll de la forme:

y = ), (a') • Y.

4 o Oonséq1.tence. Au point 1\'1 (x, y) d'une courbe (O), faisons correspondre le point

N (X, Y) tel que: X=x;

y = y' + f (x) • y

f (x) étant une fonction qnelconque de la variable indépendante x. La transformation ainsi définie n'est pas réciproque en généra1. L'astreindre a etre réciproque, c'est astreindre le point M a décrire une eOUl'be (O) qui satisfait a une équation diff'érentielle linéaire et homogene du second orelre et Pon peut affirmer a prim'i que cette équation sera transformable en équation a coefficients constants an moyen el'une certaine transformation de la forme [21 :

y =), (x). Y.

Oela résulte en effet immédiatement de ce qni précede puisque les faisceaux des courbes inMgrales de l'équation et de sa transformée se contiennent l'un l'autre.

D'ailleurs, l'équation différentielle de (O) est :

y" + 2 . f (:v) • y' + ff' (x) + f2 (x) - 1] . Y = O

et nous voyons aisément que la condition exprimée dans le premier paragl'aphe est bien satisfaite. 011 obtient ainsi aisément l'intégrale générale de l'équation précédente, qni peut s'écrire sous la forme:

On vérifiera aisément que l'expression de la transformée est

SERIES CUYOS COEFICIENTES CONTIENEN EXPRESIONES FACTORIALES

Pon J. BABJNI (Santa, Fe)

N os proponemm;¡, en este trabajo, estudiar algunas series cuyos coefich"lltes contienen expresiones faetoriales de base y grado varia­bles. Indicaremos esas expresiones con el símbolo (hn +!X + le) (n, h-le

donde n (entero) es el grado y h - le la difereneia. Como dicllo sím­bolo es simétrico respecto a h y le podremos siempre suponer h > k. (Para. h = le la expresión es una potencia de exponente 11,).

Consideremos en primer lugar la serie

w = \' zn (hn -1-!X + k)(n,h-k iJn! '

n=O

y para h y le racionales, no simultáneamente nulos, calcnlemos su ra­dio de convergencia. Si h = }JJ, le = I,q Y ;J. = },d con p y q enteros (p > q), ese radio será

R=hm = / 1 (h11,+!X+7c)(n,h-k(n 1)!1

11--»-:00 (hn +!X + h + le)(n+l, h-"'n!

=- 11m =- 11m • 1 / 1 (hn +;J. + le)(n,h-k 1 j . 1 (pn + (1-+ q) (n,]J-q 1

I h I n--»-:oo (hn +;J. + 'Jk) (n, h-k I h I n-)-o-o (pn + el + 2q) (n,]J-q

Como el limite es el mismo cambiando el por d -1- 1; el 2; ... , tendremos

I Rh Ip-q = lím 1

n--»-o-o

(pn + d. + q) (n, p - q ... (])11, + el -1- r + q) (11, P - q ...

(pn + d + 2q) (n,1J- q ... (pn + d -+ 'J' -1- 2q)(n,1.J- q ..•

... (p11, + (1 + p - 1 + q)(n,p-q I ... (pn+d +p-1 + 2q)(n,p-q -

= hm = 11111 = -. 1 (pn+d_+q)«1J-q)n I . I (Qn+cl+2Q)(ql Iqlq n--»-o-o (]J1~ + d + 'Jq) «p - q) n n--»-;:,o (p11, -1- el + 'Jq) (q P

2

18 J. BABINI

de donde k 1

1

k Ih

-k

I Rh I = li -I!!: I

h

-

k

R- hh

y los puntos Zo del círculo de convergencia son tales que (hzo) h = (kzo) k.

Demostraremos ahora que en ese círculo, ú) coincide con la función ~ de ecuación paramétrica

k

¡ z=t(l-(h-k)t)h-k

u.+k - (l-(h-/c)t)-h-k W = --l--:':--~t--

En efecto u.+k(n+l)

u.+k ,\\tn (l-(h-lc)t) h-k w(l-(h-k)t)h-k=;, ,

::..J n. (hn + a + le) (n, h-k

n=O

que para I (h - le) t 1< 1 puede escribirse

- (1m + a + le)(n, h-fe - (_l)m (len + a + k)(m,h-le = Ltn L t1n

n! m! n=O 1n=0

= . .-- (_1)1n (hn + a + lc)(1n+n, h-le = ~""'\ ~ tn + 111

LJ n! mI n=O 111=0

p

= \' tP \l (11) (_ l)p-n(hn -1- a + k)(p,h-k = i..Jp!l.J n p=O n=O

= -Llp(y.+k)(p,h-k= -pIhP , LtP ~tP p! pI

p=O p=o

pues Lla = h. Y, para I ht 1< 1, tendremos

u.+/c 1 _ u.+ k w (1- (h -le) t)h-k=--=w(l- (h -le) t)h-k.

1-ht '

de donde, para)os valores de t en el interior del círculo de radio: el

11 d ' 1 1 1 1 menor (e os os numeros I h _ le I y fhl' y por o tanto para os va-

lores de z correfolpondientes, (¡) y (¡) coinciden. Si se pasa ahora del parámetro t al parámetro u tal que

1 - (h - le) t = e(h-k)1¿,

Series cuyos coeficientes contienen expresiones factoriales 19

la ecuación paramétrica de ú) adopta la forma simétrica respecto a h y k

e1m _ e1m

I z=-----~ h-le

~w= h-k e-"-~t, he1m _lcé1t

De estas ecuaciones puede deducirse nuevamente el radio de con­vergencia de la serie (v, pues los puntos singulares de la función se obtendrán para los valores de 'lt tales que hehn = 7ce1m ; para los

e1m ek1t

cuales los valores de z son le = ¡;' Como dicbos valores de ~t ten-

drán igual parte real, los valores de z tendrán igual módulo y estarán pues ·sobre un círculo de radio

1

lelml R- -­- le -

lh-llc h-­e 7c-h

le =1~lh-k hl~ ,

que es el valor del radio de convergencia obtenido directamente para h y le racionales, y válido ahora para todos los valores de estos nú­meros,

De igual radio de convergencia que la anterior serán las series directamente vinculadas con ella:

~zn ~ zn-m - (hn+:Xtn -L le)(n+7n.,h-k= ¡---(hn n! I n-m

n=O n='I1t---

con am - a = mh y

~zn ,(hn + a -m -1- le) (n-tn, h-le =

LJn. n=O

a + k)(n, h-k= (¡)(m),

con a-m - :x = - mh y IX =1= hy + ks (r:, S = 0,1,2, '" (m - 1)).

Oon estas fórmulas podremos determinar las ecuaciones paramé­t.ricas de las funciones que representan, en el círculo de conver­gencia., las series de los primeros miembros. Así, para m =+1 ten­dremos que la serie

20 J. BABINI

W = -(hn + al + le) (n + 1, h-k= -(h (n + 1) + a + k)(n+1,h-k ~zn ~zn n! nI

n=O n=O

e'm _ e'm tiene por ecuación paramétrica z = - 1 ],

~ - e

mientras que la serie

~zn

W = - (hn + 7. -1 -I-lc) (n-1,h-7c = J...J n!

n=O

Y ",n

= '~(h(n-1) L.J n.

n=O

e'm _ ekt6

tendní, por ecuación paramétrica z = - Z J¡' ~ - e

1 JZ e -17.1t

w = - -1- w (t¡) cU¡ = --; a o a

y su ecuación implícita será h k

(wa) (J. - (wa) 17.

Z = - --'------h-le

De la ecuación paramétrica de ú) se deduce que

heh1¿ -lcén e- rJ•16d,1t dz=- d1.t=----;

h-le w .

de donde

y como para 'I.~=o, z=O

e-"" = 1 + a J: w (x) dw = 1 + ,n.

a + le) (n-1, h-k

Con esta expresión la ecuación paramétrica puede escribirse

T l+aO e/!1¿ = lcz + --­

(t)

l+aO e'c1¿ = hz + --- ;

(¡)

Series cnyos coeficientes contienen expresiones facto?'iales 21

y la eUminación (le 'It entre estas t.res ecuaciones da lugar a una ecua· ción diferencial de primer orden en O, pues O' = ú), que podrá escri· birse

( 1 + J.O)krJ. ( lez -1- = hz

, ú)

1 + (J.O)hU. w''''''' = (1 + aO)-hk,

de la que podrú, deducirse una ecuación diferencial de segundo orden expresctda algebraicamente, tal como

h7cz(u + h 1+ d,1

le -1_ J. = ú/ (1 -t- J.O) . w·

Veamos ahora algunos casos particulares; (t) P~tra h = O (o le = O) se tiene el caso trivial, simple aplicación de

la serie binó mica

Y ",n u.+k

ú) = ::.- (x -1- le) (n, -k = (1 - k.z) -¡;-. LJn!

n=O

Si son simultáneamente nulos h y le la serie es la exponencial

ú) = e'I.Z.

b) Para a = O Y h =l= le, caso en que la serie es

se tendrá

¿",n ú) = . ~ (hn + le) (ll,h~k

n! n=O

( l)h ( l)k hz -j- ~ = kz -1- ~ = e-hkn.

La igualdad proporcion¡lda por los dos primeros miembros da la ecuación implícita de la función; utilizando, en cambio, el.tel'cer miem· bro se obtiene, eliminando Q por derivación, la ecuación diferencial

ú/ = ú)~ (hkzú) + h + ¡ti). De est}t ecuación diferellcial se obtiene, por sustitución de las se·

ries respectivas e igualación de los eoeficientes de igual potencia de la variable, la siguiente identidad entre expresiones factoriales

)' (hp + le) (1), h - k(hq -1- le) (k, h - k(h1' + le) (1', h-k

M + L.J p! q! 1'! p+q+¡'=n-I

~ (hp+le)(P,h-k(hq+le)(q,h-k (h(n I l)+le)(n+l,h-lc

+ (le + h) = --1-,---1..J p! q! n!.

p+q=n

22 J. BABINI

que, por otra parte, puede obtenerse directamente, aplicando el bino­mio de Vandermonde.

Cuando h y le son conmensurables, la ecuación implícita es una ex­presión algebraica, que en algunos casos sencillos permite despejar ú). Así tendremos, por ejemplo,

1 ~zn ú) = = -(h (n -1)) (n,2h =

VI + h2z2 n! n=O

= \' (h2z2)1L (_ !) (n

i.J n! 2 n=O

h- 2le=O,

De igual modo podrán expresarse explícitamente mediante radica­les cúbicos y cuadráticos las funciones ú) en los siguientes casos:

h+2le=O

/ 3h

_ ~ zn ( h)V~'"2 _ L (Zh) n (2n - 1)(n,3. ú)- -hn-- - -

n! 2 . 2 n!' n=O n=O

h - 3le=O (

2h

_ ~ zn ( ~) n'3 _ L (Zh) n (3n + 1)(n,2. ú) - ,hn + 3 - 3 l' n. n.

n=O n=O

2h-3le=O ~ zn ( 2h) (n,~ ~ (Zh) n (3n + 2) ú)= - hn+- = - •

n! 3 3 n n=O n=O

Cuando h' le, la ecuación diferencial y la identidad anteriores siguen siendo válidas, no así la ecuación implícita. Pero escrita ésta en la forma

h

(

"'ú) ) Ic- h 1 1 + (h - le) 7, w + = kz + -

cZú) 1 ú)

será, para h = le,

1 -~ hz + - = e hz", + 1,

ú)

Series cnyos coeficientes contienen exp1'esiones factoTiales 23

ecuación implícita de la función que en este caso está dada por la serie

w = -(hn + h)(n,O = --(n -+ l)n ~ zn ~ (hz) n

n! n! 11=0 n=O

de radio de convergencia

1 k

Ilc k I h-le 1 ( h - k) h-lc 1

R = lím -71 = -17 llím 1 - -,,-- = e-I" l' h~lc ¿ t ¿ h~le ~ v

Si se hace Wo

ú)= , 1- hzú)o

clonde

será (1 + hz(u) (1 - hzwo) = 1;

y como (¡)o puede expresarse por la ecuación paramétrica

( z= _'ueuh

( w -e-tlh \ 0- ,

es fácil obteller corno desarrollo en serie de la misma

_ '\' (hz (n + l))n (Uo - LJ 1 n + 1 '

n=O ---

convergente para 1 z , < e 1\ l' Por lo tanto las series

+ 7 ~(hZn)n 1 Il,Zw= --, n!

'\' (hz (n + 1W"¡ 1 - hzwo = 1 - hz l.J , n -1- 1 '

n=O n=O ---

son recíprocas en el círculo de radio e ,\¿ " e) Mantengamos ahora la condición h = 71:, pero supongamos

a ~ h (~ - 1) =f= O; será entonces

¿zn ~(zh(n+~))11 ú)= ,(h(n+1)+o:)11= , t

n, n, 11=0 n=O

24 J. BABINI

de radio de convergencia (e / h /) -1 Y la ecuación paramétrica ser~l

z= - ue'm e- h ,?1¿

w=---' 1 +h~(,'

de manera que introduciendo la función Ú)o del caso anterior resulta

wo~ w= '

1- hzwo

Si además ~ = 0, es decir 7. + h = O sen\

~(hZn)n 1

w- ---- n! - 1 - hz(¡)o

1 ( 1) ~-1 t¿Z = 1 - z; e "J ,

d) Si en cambio, se mantiene la condición ~ = O, es decir a + h = O (ó a + le = O), pero h =l= le, tendremos

h

( 1 '- hO) le 1 - hO

hz+ =kz+---=l-hO, w (JJ

Eliminada O entre las dos ecuaciones anteriores, se obtiene la ecua­ción implícita de w:

h

lez = (1 _ ~) (1 + (h - le) (t,) - 1)) k-h,

(¡) lcú)

Si en cambio se elimina O por derivación, se obtiene la siguiente eeuación diferencial

lczú/ = w (w - 1) (lew + (h - le) (¡) -1));

y como en este caso la serie es

~ ~n ~ (k,>,)n

ú)= :::'-(h(n-1)+7c)(n,h-lc=. ~n(n,d, LJn! LJ n! »=0 n=O

donde led = le - h, se obtiene, por igualación de coefieientes de igua­les potencias de la variable la siguiente identidad entre factoriales de igual base y grado :

n (n,cl _ \' p(P, d q(q, d (1' -f- 1) (1' + 1, cl_

LJ p! q! /1'+1 p+q+1'=n-1 ---

_ d \' p (p, d (q + 1) (q + 1, d (r + 1) (/' + ], el ,

LI pI /q+1 /1'+1 p+q+1'=n-2 --- ---

Series enyos coeficientes contienen e.:cpresiones factoriales 25

e) Por último, se obtendr::lJ la expresión explíeita de ú), cuando sea. posible expresar e1

¿ en fnneión de z, por ejemplo: si h + le = O

Sh ~th :; arc Sh zh

•• ú)= e¿ = ,\,zn (h(n-1)+a)<n,2h= z==---h VI -1- h2z 2 !..J n! .

n=O

= \l z1L (7.2 - h2 (11, - 1)2) (=1." - h2(11, - 3)2) ..•

LJ 11, n=O

por 10 t.anto

series de radio de convergellchü I ~ I y que, por integración, dan las

series conoeidas

eh =1+ --- 1:- 1-----::urcShzh ~ (za)n+l ( h" (n - J )2) ( J¿2 (11,-

LJ In + 1 (J." ,).2

n=O---

= 1 -L Z7. -- - + - 1 - - + -. - l - - + I (Z7.) " (Zxrl ( h2) (Zl.)\ ( 4h'!.)

I I 2 ! 3 ! :,:" 4! 7.2

(Z7.)" ( 9h2

) ( h2

) • -_- 1 - -. 1 - -;; +"" D! a" a.-

eh =1--1- --- 1 ::arcsellhz ~ (za) n + 1 (

'LJln+1 n=O---

Para terminar con la f'nneión w, consideremos la representaeión definida por la función z (le - h) = e'm - é u entre los planos z y 1l.

Eligiendo la determinaeión ~¿ = z = O; al plano z eorresponderá en el plano 1t un reeinto D que contiene el origen~ .A las semirreetas del plano z que pasan por el origen, de argumento 0, corresponden en el plano ~¿ las elll'VaS de eeuaeión

e<h-k)x sen (0 - hy) = sen (0 - ley)

rotg(0-hy)=y

(h =F le)

(h= le).

26 J. BABINI

La representación es conforme excepto en el o los puntos Zo singu­lares de la función w, pues en ellos es

dz e- a.1¿

-=---=0. d~t w

A la semirrecta OZoZ corresponderá pues en el plano ~t una curva OUoU formada por los arcos Otro Y UoU ortogonales en Uo'

Para h > le > O el punto U o está sobre el semieje real negativo, Zo sobre el semieje real positivo y el recinto D está limitado por la curva de ecuación

e (h' - k) x sen hy = ley

xtghy y= O

h le

h=1c

limitadas entre las asíntotas x -? 00; y = + ~ y a las semirrectas del -/~

plano z de argumento 6 corresponden curvas de asíntotas

0-Ti: y=-­

h

En cambio, para O < h > le < O los puntos Un tienen por parte ima-

., + Ti: 1 Z + Ti:1c El . t D t / gll1ana y = ,- 7 Y os o por argumento 1 . i recm o es a, ¿ -le ~-le

ahora limitado por las rectas y = 7 + ~, y las curvas homólogas de I¿-Ie

las semirrectas de argumento (j del plano z tienen por asíntotas

Ti:lc - 00 < Ú < 60 = - -7 -7

- - I¿-h~

y ahora consideremos la serie

ú)¡ = )' zn (hn + ~ + 7c)(n,h-k LJ n=ü

o y=­

le

6-1t' y=-­

h

divergente para todo z =!= O (excepto en el caso h = le = O en el que converge para I zal < 1). Aplicando la función ú) podemos proceder a la sumación de W¡ por el método Borel. En efecto

Series cuyos coeficientes contienen expresiones fact(triales 27

y con la sustitución e'm_e 1m

zt=----le-h

1 J e''''_ekll

_ -e.'U+ ---Wi - - - e h-k du.,

z e

donde O es la curva del plano u homóloga de la semirrecta que parte del origen y pasa por el punto de afijo z del plano z, en la represen­tación definida por la última sustitución.

Para ~t = al + yi Y z = reOi el módulo de la función integrando es

fJ.xr (h - k) -- e"'v cos (hy - O) + eh cos (ky - O)

e l'(h-k)

fJ.Xl' - eh'" (x cos (hy - O) - Y sen (hy - O»

e y para

O<h>k>O

ese módulo tiende a O.

al -+ - CX)

0-7: Y=-,-¡,-

O Y=k

h le

h=le,

0< 0 < 27:

Luego, excepto el caso h = le = O, para todo z =l= O

~"' 1 J -fJ.U+ e!"'-ek<c

(¡)1= zn(lm+a+7c)(n,h-k=-:- e (h-k)Zd~{. • ..., e

n=O

La función así detinida es uniforme en todo el plano excepto para los valores de z situados sobre la o las semirrectas OZo, donde Zo son Jos puntos singulares de w, para los cuales se obtienen para w, dos valores distintos según sea el borde de D elegido como camino de integra ción.

Oonsideremos ahora las series

(¡)2 = ¿ z-n(- hn + y. + k)(-n,h-k n=]

que de acuerdo a la convención adoptada para las expresiones facto­riales de exponente negativo será

(u. = \' 1 . - LJ zn (- hn + a + h) (n, k - h'

n=1

28 J. BABINI

series convergentes para todo Z =1= O (excepto el caso h = le = O; CI. O) siempre que no se anule ningún f,tetor de las factoriales. Para eso supondremos h > k > (); a < O.

Los coeficientes de la serie 0.)2 pueden expresarse por la siguiente integral definida

1 r-= (- hn -t- a + h)(n, k-h = Jo

Basta, para demostrar esta fórmula para h k (pues para h = le es inmediata), aplicar el desarrollo en fracciones simples del primer miembro, o aplicar rei teradamente la integración por partes; elijamos este últirno procedimiento: como la fÓl'lllnla anterior es vú,lida para, n = 1, si lo es para n - 1 será

1 (- hn + a + h)(n, k-h

(:/.-

= ~= 1 )-00 e- 1t (u.-h) (ehj{. _ ek1t)n-2

a - k (n - 1) o n - 2 h - k

- el--_ 1 J-ooe- 1¿(u.-k(n-1» (e(h-k)lt_1)n-1_

a - le (n - 1) o n -1 h - le

= - 1 ¡-oo (e(h-k)lt_ 1)n-1 cle-1t('J.-k(n-l») =

a-le(n-l)Jo k-k n-l

= d'lt, J-00 e - 'I.n (e1m - e1Clt) n -1

o n-1 h-le

y la fórmula anterior es válida para n. Con eSH, fórmula tendremos

Ú)2 = \'\LJ ~ r- 00

IJz Jo 11,=1

=_ e-u.1t _ 1 J'- 00 ~ (e1m - ele1/,) n a·u

Z o L.J (h-le)z nI n=O

• ehu_ek ¡¿

1.1 -u.u+--(J)2 = - ;; ti (h - le) z d1.t,

N e'

siendo U' el semieje real nega.tivo recorrido en el sentido positivo.

Series cuyos coeficientes contienen e.rpresio'1les factoriales 29

Como el módulo de la función integraml0 es

e'1l1 _e1w

-(J.1~+-J-J.-coso e (¡!-';)1'

1W11ll cos o -(J.1~+---e ?'

(h =1= k)

(h=k),

cuando ~¿ ~ - 00 ese módulo tiende a O. En definitiva, para z =1= 0, J:<O y O<h>le>O

w. = . = - - e (h - k) ,'; cl1¿. ¿ 1 1 J _'7.u+~~-=én - z1L(-hn+a+h)(n,k-h z C'

n=l

Por úIt.imo, sumando (1)1 y W2 tendremos

~= 1 j' -u.1~+ el"'-eJiH

W3 = z1L (hn + a + le) (n, h-J,: = -:- e (h-le)?' du, W &J el!

n=-=

donde O" es la curva cOl1Rtituída por el semieje real negativo y la ho­móloga de la semirrecta que pasa por el punto de afijo z. Y el segundo miembro que tiene sentido para, todo z =1= O; siempre qne :.t. < O; 0< h > le >0 nos proporciona una fórmula de sumación de la serie divergente de] primer miembro.

Veamos, para terminar, un par de casos particulares. Si h=k=-a=l

J. 1W"

] 1~+-(V¡ = ~ z1/.nn = - - e Z dn, LJ z c

n=O

siendo O la· curva, cuya eeuación paramétrica es - fueu - Oi = t > O donde z = reO i

Si 0= 'IT; O es el semieje real posit,i,'o y

y para z = -] se obtiene

J. B.ABINI

Si 6 = O; e es la curva formada por el segmento del eje real que va del origen al punto - 1 Y una de las dos ramas de la curva de ecuación

x=-~ tgy

Adoptando y como variable de integración y eligiendo, por ejemplo, la curva de y< O

ú)¡ = \' 1,nnn = _!. r- 1 e1¡+ U;," d'l¿ _!. r-" e-t-t;yeYid(_ ~+Yi)=

!..J l' Jo r Jo tg Y 1

= j: (,-.,rare + A (,-) + iB (r)

're

Luego para z> O los dos valores de Wj que se obtienen, según sea el camino de integración elegido, difieren en

J" _!_~

2,'i e l' tgy Llw 1 =2iB(r)=- ydy,

l' o sen y Por otra parte

1

Wg = \' ( n II n = _ !. ro e 1t + 1¡;" dl¿ = ro (.'Zx)XdaJ = j' Z _d_aJ _, LJ z n z J - 00 JI o (- ZX)X

n=O z

y para z = - 1 se obtendr::í"

-= -~12913, ~ 1 j1dx

nn o XX - ,

n=l

Combinando las dos series anteriores tendremos

00

1 j 1W"

1¿+-

Ú)3 = '\' znnn = - - e Z du" i..J Z e" n=-oo

y para z real negati vo

Sel'ies C1tyos coeficientes contienen expresiones factoriales 31

obteniéndose para l' = 1

n=-oo

En cambio para z real positivo

00

lO, = ~ ,on"n = J: (rx)"dw + A ('o) + iB (r),

re

según sea el camino de integración e1egido. Si h = 1; le = O; ex < O

(t)1~ ~zn(n-1-ex)(n= ~Zn(-l)n(-ex-l)(n=-n=O n=O

J e"-l 1 -<d¿+--

=-- e Z dn, Z e

siendo O la curva de ecuación paramétrica e- Oi - e1¿-Oi = t > O. Es fácil ver que para 0 =l= O

mientras que para 0 .. 0, e es el semieje real negativo y una de las rectas y = + ~. Bligielldo y = - ~

1 j- 00 _ a.U+ e"-l e7:rJ:i Joo _ ,,-u- e" + 1 (¡)l=- e .}' d'lt-- e l' du=

r '0 ,}' o

1

rr e-tat . roo e-tdt = Jo (1- rt) "- + 1 - e""-1 h (rt - 1) "- + l'

r

de manera que para z> O los dos valores de W¡ difieren en

que es evidentemente nulo para .'l. entero, pues eH ese caso Ú)l es 1m polinomio

32 J. BABINI

Por otra paTte

=_~ ro e-",J-""

para todo z=l= O. Luego tendremos, para 0'=1= O

mientras que para () = O

"" ""

ú)3 = ,1,/1 (-1)11 (- a -1) (n = --- =-= e;;t('1,+ 1) • )' ~ (- l)n , J"" e-tclt '=J .rna(n 1 (rt _l)U.+l

/1=-"" /1=-:>:) Z

y en todos los casos

Haciendo intervenir las funciones eulerianas

"" 1

= e-xx-<l,-ldx = Y zn (-l)n11 (-:z - 1) e -; 'J"" . LJ l1(-:z-l-n) (-Z)",+lo

12,=-00

y cambiando z por

1

e ZII(-a-l). (_Z)u.+l ,

1 Y n + 1 por - n se llega a la fórmula, vá­

z

lida para z O y :z < O

COMUNICACIONES

Conse,'vation de I'énergie et expél'ience de Shankland e)

Pat' Felix Cernuschi (Pltl'is)

Dirae. (2) a int,(.lrprété le résnltat de l'expéríence de Shanklalld (3) snr la ha¡;¡p ele la théorie de. Bohr-Kramers-Slater, c'est-a-dire en ~npJlo~allt qlH-' la silllultanéité entre le quantmll de la radiation difl'u­sée e.t I't>ledl'011 correspo1Hlant dam; la radiat.ioll électronique secon­dair(~ lI't'xist,e pas qnalld 11011S utiJisons une source de rayolls I de ha nt,p fl'équPlIce, et en cOllséquence que le principe de la eOllserva­tioll de l'éIlPI'§ . .de serait ll1aplieable duns les proeessns atomiqnes de gTa])(le éllPl'gie. L'experienee de Bothe (1) et Geiger a montré que la Sitllult,HlIéité (-'xist,e ponr ]t:'8 rayons X. Dernierement Botbe a fait de llo\1vplle:-i expériellcPs avec les rHyons '( et a présenté les résultats au rlpmipI' UOlIgTe:-i (}p Phy8iqlW a Copenhagne en démontrant que la silll\1ltalléité t'xiste al1ssi pO\1r les radiationstres dnres. Par consé­qlWllt JlOllS dpVOllS ab<llldollller rléfillitivement la théorie Bohr-Kra­llH~I'S ~Iarpl' Dil'ae.

p(~it'>r1:-i (5) a fait, notel' qn'nne explicatioIl satisfaisante des résultats (le 811allklalld ponvait etre donnée en snpposant que la sünnltanéité existp, lIJais qne le príncipe de la cOllservation de l'é1lergie ne reste pas ntlahle )lonr les pl'ocessus élémentaires.

N01l8 vonlom; ülÍre remarquer que les résnltats, supposés exacts,

(1) Note pl'éselJt.ée pa.r M. Jeall Perrin a l' Academie des Sciences de Paris

(Séalll'e dll l::l oet. HI3H).

("') Na/l/re, lX7, lH3H, page2H6.

e) Plt.llll. /ll'f., 4\:), 1936, pa.ge 8.

e) ZeilN. f. Ph,lJH., :¿2, 1925, pn.ge 639.

(") N'lft/I'e, 1:)7, 1\:)36, pa.ge 904,

34 OOMUNICAOIONES

obtenus par Shankland, n'irnp1iquent pas nécessairement l'aballdon des 10is de cOllservation.

Nous admettrons que la simultanéité et la conservation de l'énergie et du moment s'appliquent aux processus élémentaires, mais que, pour des énergies plus hautes qu'un million de volts, les électrons peuvent étre excités an momellt de la collision. N otre connaissance sur les partic111es élémentaires est ponr le mornel1t tres insuffisante, et probablernel1t quelques curieux résultats expérimentaux, ql1i pa­raissent ne pas confirmer le principe de la conservation de l'énergie, peuvent avoir une explicatioll d'accord avec ce principe, mais en modifiant nos idées sur la llatl1re des particules élémentaires. Que1-ques expérimentateurs ont trol1vé, par exemple, des valeurs différell­tes pour la masse dn llentron; il est possible que ces différences ne soient pas dnes entierement anx el~reurs expérimentales, sinon pro­dnites par des états différellts d'excitation des ncutrons. En regard des électrons il n'y a pour le moment ~tl1cun fait expérirnental qui prouve que les électrons nc peuvent avoir des títats d'excitatioll. Nous croyons donc utile de dOl1ner UIle explication du phénomene de Shank1and, sans supposer la. non-va1idité du principe de la conserva­tion de l'énergie, qui a été si fructueux ponr la Physique, en partant de l'hypothese des états d'excitation des électrons.

Dans cette hypothese, l'équatioll de la conservation de l'énergie sera

fl]

et ceHe de la conservation de l'impulsion en coordonnées cartésiennes

I h'J h,/ m/ 1 - = - cos 0 -1- V cos r2 ,e e VI _ ~2 i' I hv' 1n' ¡ o = - sen e - ti V sen (l)

e v 1- ~2 i'

r21

ou v, v' sont les fréquences de la radiation incidente et diffl1sée et v" la fréquellce qni correspondrait a I'énergie absorbée par I'électron un moment de la collisiol1. En combinant [1] et r2 J,

[31

COMUNICACIONES 35

ou

Quand ,;" = 0, l'équation [3], comme il est tres facile de le voir, se rédait a la formule connue de l'effet Compton.

En donl1ant dans 12 J différentes valeurs a 'l, 'J" qui satisfassent a [1], nous obtenons une relation entre les ang1es O et cp qui peut interpréter les résultats négatifs obtenus par Shallk1and. Le nombre des états (l'excitation, et en conséquence les différentes valeurs de 'l' doivent étre tres Iimités.

Ql1elques expériences faites par Skobe1zyn (1) paraissent prouver que l'effet Uompton est vrai aussi ponr de grandes énergies. En nti-1isant la formule de Dehye-Oompton, qni dOl1ne I'énergie des électrons apres le choc en fonction de la fréquence de la radiation premiere, et· en cléterminant expérimentalement les valeurs H? max, il a obtenu avec une approximatioll suffisante le spectre de la radiation "( du Rc(,O. N ons croyons que cette expérience n'est pa~ définitive, étant donné qu'il éL utilisé senlement les résultats expérimentaux correspondant a cp = 0, et d'un autre coté que la formule de I'énergie pourrait avoir une valeur statistique sans que soit nécessa.irement vraie la relation de Uompton pour les processus élémentaires. N Ol1S considérons que la meilleure solution pour éclaircir ce probleme serait de déterminer directement an moyen d'intenses champs électrique et magnétique, si les électrons de ht radiation secondaire peuvent avoir des diftérentes valeurs de masse.

Skobelzyn (2) a fait anssi des expériences avec des rayons "( tres chus et tres homogenes du ThO' pour étudier la répartition ang111aire de l'émission ~ secondaire accompagnant la diffusion des rayons "( par l'effet Oompton. I¡(1, courbe expérimentale qu'il a trouvée n'est pas. tout a fait d'accord avec la courbe correspomlant a la formule, Klein-Nishina. Il est possible que dans ce cas aussi une reconstrnc­tion de la théorie de Klein-Nishina, en tenant compte d'états d'exci­tation des électrons, donne des résultats théoriques plus concordants avec les faits expérimentaux.

(1) Zeits. f. PlIys., 43, 1927, page 35,!'

(2) Gomptes rendu.s, 194-, 1932, page 1914-.

36 COMUNICACIONES

Sur un théOl'eme de M. Glivenko (1)

Par Alberto González Domfnguez (Buenos .A ires)

M. Panl Lévy (2) a démontré le théorfmw limite: soit une suite de loi8 de probabilités ! Un (t) ¡ et une loi U (t). Pour que Pon ait

lim Un (t) = U (t) n~oo

en tOllt point t ou U (t) est continue, iI suffit que la convergence de

vers

soit nniforme dans tout intervaIle fini de la variable x. M. V. Glivenko (3) a tout récemment démontré le tbéorfnne suivant,

qui c~mplete d'une fagon bien intéressante celui de M. Lévy : Soient une suite de 10is de probabilités ! Un (t) ¡ et une loi U (t).

Ponr qne Fon ait

lim Un (t) = U (t), n~oo

en tout point t ou U (t) est continue, il faut et iI suffit que

lim U (t) = U (t). n~oo

Oomme 011 le voit, la cOllditio11 que la c011vergence soit uniforme est sllperflue (4).

(1) Note transmise a l' Acaelemie eles Sciences de Paris par M, Emile Bore1 (Séallce c1u 14 sept, 1936),

(2) GMnptes nnd7ts, 175, 1922, pages 854-856; Galcul des P1'obabil¿tés, París, 2925, page 197,

C) Gio1'nale deH' Instituto Italiano degli Attual'i, 1936, pa,ges 160-167,

(1) Des conclition nécessail'es et s7tff¡,santes d"une allh'c natm'e avaient été d~ja don­

nées par M. M, Jacob, Gomptes 1'enil1tS, 188, 1929, pages 754-755.

COMUNICACIONES 37:

N ous donnons ici une démonstration tres breve de ce théoreme, fondée sur la remarque qu'il peut etre considéré comme le corrélatif, pour les intégrales de Fourier-Stieltjes, d'un théoreme ele M. Cara­théodory (1) sur les séries de Fourier des fonctions monotones.

La condition est nécessaire. L~t démonstration de cette partie du théoreme ayant été déja donnée par M. Lévy (2), il est inutile de la reproduire iel. La condition est Rufilsante. Snpposons en effet qu'elle soit vérifiée, et qu'il existe un point ~, pour Jequel U (t) soit continue, et ou Un C;) ne con verge pas vers U (~). JI Y aura alors une suite par­tielle ¡ Uní (t) 1, telle que lim Un ¡ (~) = L =F U (~). D'apres un théore,me

. eonnu de M. Helly (3); de la suite 1 Uní (t) 1, de fonctiolls non décrois­santes, úniformément bornées, on peut extraire une suite partiel1e ¡ Un,:. (t) 1 convergeant vers une fonctioll bornée no décroissante g (t),

.1

dans tous les points ou celle·ci est continne. Il est facHe aussi de voir que la fonction {/ (t) peut etre choisie de maniere a avoir

O)+g(t-O)¡.

La suite des fonetions caraetéristiques { ~:oo eitxdUn~ (t) } tend, en

vertu de 1'1Iypothese, vers nne fonction continue (a savoir la fOllction

\:= eitxdU (t)). Cette suite remplit donc les cOllditions exigées dans

nu théoreme de lVl. Bochner (i), d'ou Fon peut eonclure que Pon a l'égalité

~illl \':= e'itxdUn,~ (t) = r:oo étxdg Ot . \:= eitxdU (t). J-?-= • J .

Done, d'apres le théoreme d'nnieité bien connn de lVI. Boehner Cj) pour cette classe cl'intégrales, appliq ué a notre cas, on doit avoi'r

g (t) U (t).

(1) Sitznngsbel'Ícltte del' Bcd. Alead. del' Wísss. 30, 1920, pages 559-573.

(2) Loc. ci~., 1(b), page 195-196.

(S) Sítzungsbcl'ichte (le/' Alcacl. del' W'iss. WiellJ 121, 1912, pages 265-297.

(1) VOJ'lesungen /tebe/' FOlll'iersche Integmle, 1932, página 71; Cf. anssÍ VITALI­

SANSONli;, Mode¡'na Teoría delle Funzioni di VaJ'iabile Reale, Bologna, 1935, page 284.

e) Loe. cit., page 67.

38 COMUNICACIONES

On a clonc

Jim Uní (t) = U (t) j~oo

dans tous les points cle continuité de U (t) et, en particulier,

lim Uni. (~) = U (~). j~oo J

Mais, ) Un .. (t) ~ étant une suite partielle de ! Uní (t) l, on a aussi lJ

lim Un,. (~) = lim Uni (~) = L =1= U (~). j-,;>oo J i~=

Mais cela est en contradiction avec l'égalité antérieure. Le théo­renre est clonc démontré.

REMARQUE SUR LA NOTE PRÉCÉDENTE

Les mots « la condition que la convergence soit uniforme est superflue », qui figurent dans la note ci-dessns, remplacent les snivants, de la note originale pu­bliée dans les Con~ptes 1'endlts, « Tandis que le théoréme de M. Lévy donne une condition suffisallte, celuí de M. Glivenko dOl1ne une conditioll llécessaire et snftissante ». Ces mots, en effet, pourraient étl'e interprétés dans le sellS que llons contestons la priorité de M. Lévy, ce que nous n'avons pas nullemel1t voulu faire. L'eminent géometre a été, en effet, le premier a donller des con di­tiOl1S caracteristiqnes pour la validité dn théoreme limite, comUle il l'afíirme dal1s sa note des CO'/J~ptes 1'endus dil lH octobre 1936. Notre intention a été senlement de souligner que son théoreme continue a, étre yalable sans postuler FUl1iformité de la cOllvergence.

Nous ajontons que cette méme remarque (a savoir, que l'nniformité de la COll­vergence est superflue), s'applique aussi a l'énoncé clu théoreme limite clonné pa,r M. Jacob (loe. cit" p. 755). comme 110US le démontrerol1s clans une prochaine note. - A. G. D.

COMUNICAOIONES

Métrica e integraoión en los espaoios abstraotos

POI' J. Rey Pastol'

(Buenos Aires)

39

1. Desde el punto de vista físico el objeto del Oálculo integral es la medida de las magnitudes compuestas por proclucto,. mientras que el Cálculo diferencial mide las magnitudes compue8tcls P01' cociente (1). Esta simple observación elemental, frecuentemente olvidada, nos condujo hace tiempo, de modo natural, a un concepto de integral en los espacios abstractos que contenía como casos particulares a todos los. conocidos hasta entonces y en el cual, levemente modificado, quedan también contenidos los publicados posteriormente (2).

En contraste con la amplísima generaliclad de conceptos con que se desarrolla la teoría de funciones a partir de Fréchet, Hausdorff, Haun ... , las más amplias teorÍaH de la integración suelen limitarse al campo real, cuando no sólo es factible, SillO indispensable, tanto desde el punto de vista aritmético, eomo físico e), incluir las funcio­nes vectoriales, siquiera las del espacio elemental En.

Análoga observación puede hacerse respecto del concepto de me­dida, Encariñados los analistas con la, Geometría euclidiana, muchas de las teorías modernas adolecen de tal estrechez de perspectiva geométrica; pero después de las sistematizaciones de Hiemann, Lie, Klein, resulta anacrónica la exclusividad de la métrica euclidiana; toda función vectorial aditiva merece igual título y aun dentro del campo real todas ellas, con condiciones muy amplias, son equivalen­tes por simple deformación.

Oabe, todavía, generalizar el concepto de métrica, adoptancTo fun­ciones no aditivas; pero en virtud de un teorema de equiva~encia.,

(1) Cm'so cíclico de Matemáticas, 1929. - Notas críticas, 1926.

(2) ExcluÍmos la ioialización de Denjoy y teorías derivadas de ella., que son generalizaciones del cálculo de l1rimitü'as y no de la, intcgral en el seutido de Leibniz.

\3) Hay, en efecto, magnitudes físicas que vienen expresadas por integrales vectoriales cn E3' La ley de Biot-Salvat da una expresión integral vectorial del campo magnético. El potencial vcctorial viene también expresado por integrales de este tipo. La integral del vector de Pointing expresa el flujo de energía elec­tro magnética.

40 COMUNICACIONES

que comprende al de KolgomoI'off, demostramos que así 110 se logra aumentar la potencia del concepto de integral.

2. FantiZüt,{; de c01~j'ltntos. - La clasificación <le las fallJ ilias de COll­

juntos abstractos respecto <le sus operaciones invariant,t's, no ha. sÍ<lo agotada. Además, en vista de la varie(la<l de sigllifieados eon que

suelen úsarse las palabras: cuerpo, familia aditiva, ete., eOllviene poner en claro las relaciones entre las operaciones elementales que eonducell a los eonjllntos siguiflntes: S'lI,1JW S, SU,1JUL estricilL }:; (o sea <le eonjuntos desunidos); d~l(;Tencia D; dU'e-rencia estricta, ¿. (sus­traendo contenido en el minuendo); pl'od1(.cto P ,(1).

Las familias de eonjuntos earacterizados por las operaciones que admiten, las euales sirven a(lemás pa.ra engell<lrarlas, partielldo (le eiertos conjnntos generadores son: P, S, ~~, ::::U, SP, SD; desig­nando' por O la operaeión de tomar complementarios reslwcto de un eonjunto base perteneeiente o no a la familia. IJHs familias fl1lHla­mentales en la, teoría de la integraeión son las P, SP y SD.

DEF . .1. - l{ecordemos alguuas (lefiniciones eonoei(las: una des­composición "l.' de un eonjunto X en suma de eonjnIltos de ulla fami­lia (P), se diee posterior a otra 'l., y se eseribe x< x', CllH,ll(lo cada, elemento de 'l.' es parte (}(' un elemento de 'l .. Producto de dos descoUl­posiciones es la que tiene como elementos los productos dt' los ele­mentos de una, y ótra.

Se faeilita la teoría de las descomposiciones introdueiendo la no­ción de indiv,i,r·dble.

DEF. 2. - El eonjunto O de un familia (P) euya suma es A se dirá inclivisible, si ningnna parte de U pertenece a la, familia..

Si los puntos de A pertenecen a la familia, son los indivisibles de ésta; pero pertenezcan o no, se verifica:

(1) Aunque no necesitanios manejar tales relaciones, he aquí el cuadro sinóp-tico que las compendia:

De las relaciones evidentes

AB = A - (A"":" B),

resulta esta regla práctica: Cada operación comprende a sus inferiores señaladas por las flechas; cada par diagonal ligado por un trazo comprende 11, la operación

superior que ocupa el vértice opuesto. Nótese que introducirnos el signo ....:.., aná,logo al +- de C¡trathéodory, para la

diferencia general entre conjuntos cualesquiera.

COMUNICACIONES 41

'TEOR. 1. - Dos c01~Iltntos indivis'ibles son clf.s'Uniclos. La, suma (es­tricta) de todos los indivis'ibles de A en una fltmilia,(P) es A.

La dClilcomposición de A en sus indivisibles la representaremos por oo.

DEF. 3. - Una sucesión de descomposiciones de A tiende al limi­te /"0 (x1· -~ /"0) si cada par de puntos de A separados en Y'o 10 están t,ambién en alguna descomposición /"1' y por tanto en las siguientes. J1H, notación x ~ 00 expresa que el limite de /'. es la descomposición de A en sns indivisibles.

3. Jl1étl'ica8 1)ectoJ'ictles. - Oorno los valores de la.s funciones eOllsi' deradas son elementos (¡llmtos o números) de ('spaeios vectoriales, y

en la teoría eJúsica de ellos no se admiten elementos exeeúcionaIes, es forzoso, a fin de da.r mayor alllplitud a la teoría (le la illtegT¿lción, ampliados con la introdneeión de elementos impropios qne no satis· facen a los postulados de la suma, siendo en cambio:

ti) = (1) + x'= (1) (a~ elemento propio arbitrario) (l)

DEF. 4. '- La fnnción :J. (X) definida para cada conjunto X de UIHl,

útmilia (SP), con valor finito o infinito, se llama ad'itiva, (injinitamente aditiva) si el valor de eada conjunto suma de varios (de illfinitos) COll­

j untos desunidos, coincide con alguna de las sumas de valores en t'stos conjuntos, que tellga sentido, si tn,] existe. Si todas estas su­ma.s tienen el mismo valor finito, la acliti vi dad se dirá inconclidonctl; y conclicioJ1.ctl en caso contrario.

Una métr'Íclt (:J.) está definida por una familia (SP) de conjuntos~ lhtmados meclibles y Ulla función acliti va en él.

DEF. 5. - La sucesión (X n) se dirá jinitct (¡J.) (o finita respecto de esta métrica) si todo conjunto X n tiene medida finita. La sucesión creciente (Xn ) se dirá sem{finita (:J.) si todos sus eonjuntos desde UlW

X h en adelalüe tienen medidas infinitas, pero los conjuntos X i+ 1 -

Xi = Di (i > h) ti en ('11 medidas finitas y la serie ¿ [J. (Di) converge. La 1

sucesión decreciente (Xn ) se dirá semUin'Íta, si todos RUS conjnntos tie-

(1) No cabe en este resumen la exposición de la teoría completa; haste Cntlll­ciar a,]gunos rcsnltados : la sUllm de <1os Húmeros no opuestos es Clmlquiera <10 los puntos del seglllento impropio que determillan; el cual se reduce a uu pUlIto si ambos coinciden. La suma de dos números opuestos es cualquier número. La

suma de tres pnntos impropios tales que ningullo es opuesto a los comprendidos

cutre los otros dos, es cualquier punto del triángulo qne deterlllillan.

42 COMUNICA CION ES

nen medida infinita pero los conjuntos Xi - Xi=l = Lli tienen medi­das finitas y converge la serie 2:[1, (~.i)'

TEOR. 2. - Si let suces'ión 'monótona, (X n ) es finita, o sem{finiict (p,) se verifica

4. Generación ele métricas. - El ejemplo de la longitud de un arco de curva sobre un espacio abstracto (y como caso particular la 1)(wia­

ción total de las funciones reales) sugieren inlllediatamente la forma­ción de funciones métricas, partiendo de funciones no aditivas, siendo este método preferible al de Haar, por su carácter constructivo.

DEF. 6 - }!'ctmilia, gene1'atriz de conjuntos ep Ex es toda clase (P) de COl1jtultos Gi Yf~lndón gene'ratriz es toda función g (X) definida en ella.

Partiendo de una famiUa, generatriz [GiJ se forman familias (SP) y (SD) por los métodos usuales; y mediante una función cualquiera g (X)· definicht sobre la familia generatriz vamos a. engendraT una mé­trica sobre ella, sm-ceptible <le ampliación a dicha.s familias (SP) o (8D).

DEF. 7. - Un conjunto X se llama medible respecto de la genera­triz g (X) si las sumas s = 2:,g (Xi) couespondientes a las deseompo­sidones de X convergen para 1'.-,)- 00 hacia un límite [J, (X)(l), es de­cir, si se verifica la condición de Uauchy

/sm-Sn/ < s para m.>'I,n>'1

TEOR. 3. - Se demuestra fácilmente esta condición: si X es medible 1'especto de la genm'at1"iz g (X) lo son también todos sus C01~j1tntoS 11e(,1'­ciales.

TEOR. 4. - La.función métric(t [1, (X) tiene las propieclacles ele e(,(liti­'v'ideiCl1~nfinita respecto de X" y de linealielael respecto (le la generat1"iz

g (X). Si let generat'dz es aclit'iva" lc~ métrica engenelradet coi.ncüle. con ella mis1Jw.

5. Funciones Tlwclibles. - Como el concepto de función medible, según Lebesgue, solamente es aplicable a las funciones reales, puede edificarse la teoría de la integración de las funciones no reales sobre el concepto ele función escalonada, aban<lonaudo el método besgniano. Cabe, sin embargo, proseguir éste, mediante ]a siguiente

DEF. 8. - Diremos que la fnnciónf (X) definida en el conjunto A

(1) En el lenguaje de Cavalieri y Kepler se cnunciaría : «La medida de un conjunto es la suma de valores de la generatriz en sus indivisibles ».

COl\1UNICACIONI<:S 43

es meclible (M, N) si los conjuntos X correspondientes a los conjuntos y de la famUia N pertenecen a la famila M.

Para que la familia de las funciones medibles tenga propiedades interesantes y se pueda operar cómodamente dentro de ella.~ exigire­mos que las familias 1\1 y N sean (SP) y con esta 11i pótesis resulta:

TROR. 5. - Lct SW1W y cl'~lere'nC'Íct de funciones med-ibles (M, N) es ta.mbién medible (M, N).

Obsérvese que fijar la familia M es fijar una clase de conjuntos medibles en Ex; pero el concepto de función medible no sólo depende de él sino de la familia N, y al variar ésta se modifica la clase de las funciones medibles.

En cuanto al producto de funciones mec1ibles carece de sentido si no se hacen hipótesis especiales sobre el espacio Ev .

. Las funciones medibles má.s selleilJas son las que llamamos escalo­nadas.

DEF. 9. - I?unción esculonacla, en el conjunto A es toda función de punto que solamente toma un número finito o sucesión numerable de va.lores distintos, con la condición de que todo eonjunto f (ro) = cl, (1) pertenece a la familia M.

Brevemente: las funciones escalonadas son las funciones medibles (M, NI), siendo NI un conjunto finito o numerable de puntos de By.

La relación anunciada está expresada así: TEGR. 6. - Si el con:i~f,1?,to B de '/.1(( lo1'{]s ele y =f (ro) sobre A es co?n­

jJcwto en s'í, la, condición necesaria, y s1Jjic'iente pctrCI., Q1/C la j1.lnció1L sea, 11'wdible (lVI, N) es que secl, lúnite de mw s1lCesión 1lnflormemente cOn'/)er­gente de f1.f,1?,ciones escalonadas (M, NI).

6. Lct integración. - lVIientras la integral (R) prefija la descomposi­ción del conjunto bá.sico A y solo es a.pta, por ende, para las fllnciones poco oscilantes, en cambio la convergencia de las sumas por defecto y por exceso en la integral (f.J) está, asegurada, puesto que la, oscilación es arbitrariamente pequeña en cada uno de los conjuntos ll~edibles en que se descompone A, por resultar éstos como consecnenci¡:t de la descomposición efectuada en el contradominio Y y haber efectuado ésta dividiéndolo en intervalos iguales, arbitrariamente pequeños.

Ya en los casos m{ts elementales se tropieza con el inconveniente de esta rigidez sistemática de entrnmba.s teorías; funciones muy sencillas con uno o varios puntos de infinitud (p. ej. 1 ~ V;X;)serían integrables

(1) Llt notación usultl BU (x) = a) es iunecesltrilt; la lluestm se justificlt como llts frnses corrientes: ClI1'V(t f (x, y) = O; g1'llpO de .pnntos f (a;) = O.

44 CO:\l UNICACI<JN¡';S

(R) sin l11élS que adoptar la descomposición del conjulIto básico en inflnit.os illtervalos; y fllllciones elementales que no Ron integrables (L), por teller medi<la infinita. el conjullto base, siendo necesa.rio re­currir al clásico proceso de eOllvergeneia (le illtegrales, serían direc­tamente int.egrables (L) sin má~ que adoptar una deHcomposición en infinitos intervalos decreeieutf's para el ill tervalo Y.

He aquí, pues, mm llrilllera generalizacióll que se presenta con a,premio ineludible, y que sólo 1m sido emprendi(la parcialmente por algún autor: se impone afloptar un método <le descomposición, no ya del campo X o del Y, SillO del par (X, Y), que s('a dependiente de la fnnción a integrar y (lota(lo de suficiente elasticida.d para abarcar categorías extensas de funciones.

Otra, generalización, qne simplifica extraonlillal'iamente la teoría de la iritegración, radica en abandonar el l)j'('jnieio euclidiano, adop­tando lllétricaR más generales; la teoría. se nllifica así y la integral ordi­naria o euclidiana, así como la de Stieltjes, SOH casos particulares de la int('gral general, cuya teoría resulta m neho más sPIlcilla por desli­garse en cierto modo (le la teoría de la medidn. Los trabajos de Ra(lon, Vallee-Ponssin y Frécl1et pertenecen a este campo de ideas, que lIe­mos desarrollado sistemáticamente con· más amplia generalidad, en más de una ocasión (1).

Finalmente, resulta sorprendente que mientras el campo de varia­bilidarl se considera por Fréchet y otros tratadistas con la m~1.s vasta generalidad imaginable, to(los se mantielH.'ll dentro del estrecho CaIll­

po real para la fllllción, quedando exclnídas hasta las modestí::;imas fUllcione::; analít.icas, de estas teorías trazadas con tales pretemdones <le potencia. Parece impostergable, pues, que ellas y en genera,} hlS

funciones vectoriales, deban qnetlar incluídas en toda teoría que aspi­re a nna mayor eficacia.

Desde el ptíut,o de vista más a~stl'acto, el prohlema céntrico del Oálculo integral a que cOlllluce la idea física enunciada en la inÚo­(lnccióll, puede ser enunciado en formas diversHs, pero en esencia eqnivalentes :

DI1:F. 10. - Definida una métrica en el espacio Ex y otra mét.rica en el eHpaeio gy engendrar una métrica en el espacio compueHto ];J;¡; X Ey.

DEF. 11. - Dada una fnnción f(x) de punto en un conjunto A y una métrica (:J,) sobl'(~ una clase (P) de su~conjuntos deA, engendrar

(1) Escuetamente en Nolas cl''Íticas, y didácticamente en uuestro curso autogra­llallo sohre Teoría general de funciones.

COMUNICACIONI~S 45

funcioiles adiUt'as de conjunto sobre dicha clase, que sean lineales respeeto def(ro).

Cada eonjunto U del espado liJz= ExX Ey est{t definido por una fun­dón punto -+ cO'}~junt()} qne (lt"'!::lÍgnaremos aSÍ: Y = Y (ro) (1) y diremos

que ésta es nwdible eJ" 'J) si (~l cOlljunto X definido por la condición y = Yo es m(~dibh~ (J.), p~ (}eell', pertenece a la clase l\'l para casi todos

]os puntos Yo Y el C()lljunto Y (ro = roo) es médible H para. ca~i todos

los puntos roo' Expresado g-eOlllétl'icanwnte : lh~F. 12. -- Un cO'llfunto eN medible s'i casi todcis sus secciones ro = x tl ,

Y = Yo ¡'IOn medibleN. Para estabh~C(~1' la métl'iea de E z consideremos las infinitas descom­

posicio1les del conjllIlto l)H~e A en conjlllltos de la clase 1\1, descom­posiciones qne eXprp~Hl'('m()S a~í : A = ~~X; y a calla punto de ilX

corresponde un Ü01ljllll to Yi = Y i (x) de la clase N y por tanto una medida') (Yi). Si para UII eiel'to sistema (le descomposiciones "1.-+ 00

C'xiste (11 lílllitp dpl s('guJI(lo miembro, enalqniera que sea el plinto elegido de cada COlljl\lIto, la fll1wión de conjllnto buscada con la mis­ma nota.ción de Lpi blliz, queda (1pfinida m3Í :

resultanflo otra illtpgTal eOIl lo~ ffl,etores permutados Ri la multiplica­CiÓll X lIO P8 conlllllt",tinl·.

Las funciones )" 'J pnedell spr realps o vectoriales, pero en este caso (Iebe estar dl'fiillida la 1l1l11t,iplicaeión y la convergencia; como ammteee, pOI' ejelll plo, (~Oll lo~ vpctores (le }1Ja, dondl' resultan dos ti­pos fIistintos dp illt,egTal, e~eHlar y v(-'etorial; y como sucede también en lD 2 , (Ion de la fúl'llIllIa [IJ (~olldnee a la illtegTal compleja ordinaria.

Nótese qne la mayol' ampl itllll del COIJePptO definido por [1 J respec­to de la integTal ¡]p flll)(~iólI 11l111)(~rica (real o veetorial) sobre conjunto ~lhstraeto, es más apal'PIlt,e qlle ('Í·ectiva., puesto que se yerifica eyi­dentemente:

[2J

siendo f(ro) la medida (,,) del eOlljl11lto Y =f(x). Sin espeeiah~s difiellltculps t,éeniea~ se deinuestran las propiedades:

Aditi'vidad (infinir,,) I'PSPP('.Í,o del conjnnto básico; linealidad respecto

(1) Los CLUtti'O t,iJlos !loHihlt.s dH fllneiones los representa,mos así:

y=/(;.!;), y = F(x), y=/(X), y = F (X),

46 COMUNICACIONES

de la función integra,ndo; lineaUdacl respecto de la métrica, integra.­C'Íón por partes:

que expresa la permutabilidad de los dos conjuntos ~componentes (1). Refiriéndonos especialmente a la forma aritmética (2) se demuestra

igualmente, mediante el criterio de Cauchy, el teorema funclamental de existencia de la integral en los dos casos clásicos que suelen estu­diarse en la integral de Stie1tjes; cuando la fnnción integrando es contimta y la métrica de v(tricwión cwot((;dc(;, o bien inversamente.

La integral de la función de variable compleja, así como como las integrales escalares y vectoriales de J3)3 quedan incluí das en este cri­terio elemental; pero el aná.lisis completo de los tipos de funciones integrables presenta dificultades que aquí no vamos a abordar.

(~uedaría por analizar una generalizaeión posible, admitiendo mé­tricas no aditivas; el ejemplo clásico de la longitud del arco de curva sugil'ió sin duda a Kolgomoroff la idea de extender el concepto de in­tegral, con el inevitable sacrificio de la linealidad, que parece ser la propiedad esencial de todo concepto digno de este nombre; pero en realidad tal proceso coincide con el que nos condujo a engendrar mé­tricas por suma de indivisibles, y no es preciso proseguirlo más allá; en efecto, se demuestra mediante un seneillo principio de equivalen­cia, que toda integral en el sentido de Kolgomoroff, obtenida con el proceso (4) p~trtiendo de una función g (X) no aditiva, se reduce a una integral en nuestro sentido estricto, sustituyendo dicha función g (X) por su equivalente ;J, (X) que es aditiva (2) quedando, por tanto, incluÍ­da la teoría de Kolgomoroff, como todas las otras, dentro del concep­to que apenas hemos esbozado y en breve desarrollaremos didáctica­mente. (rluede para entonces la justificación de nuestro punto de vista, discrepante del eminente matemático ruso: objeto de] cálculo inte: gra] es la formación de funciones acUti vas de conjunto partiendo de funciones de punto.

(1) En la teoría elemental de la integral queda oculto este importaute signifi­cado geométrico de la integración por partes, a causa de usar funciones de punto en vez de funciones de conjunto.

(2) La idea no tiene nada de sOrprendente; baste recordar que los momentos de arcos de curva respecto de ejes o centros cualesquiera pueden definirse C011l0

límites de sumas de productos de una cierta fuución de punto (distancia o poten­

cia de dista,ucia al centro o eje) por las longitudes de las cuerdas (función no aditiva); o bien se pueden :mstituir éstas por los elementos de arco, es decir, por infinitésimos uniformemente equivalentes, que forman función aditiva.

EXTHACTOS

Ln R~VISTA DE LA U. M. A. aspira et scJ' e,rpollcntc dc lajJl'od'llc­ción matcmátic(¿ a¡'[lentina. A lc¿ consccución (lc tal propósito está (lcstiJlCHZet cste¿ sccción) dondc a:pCL1'CCcl'án 1'eslÍmcnes firmados (le todas las memorias dondc sc aborden tcma8 de Jllatcmdtica, sllpcriul') p-nblicCLüas p01' est'lIdiosos del pa'Ís cn 1'cvistas nacionales y ext1'a'lIjem8.

Incluiremos también aquellos intbajos de 'índole aneíloge¿ que apa­rezcan cn ot'l'OSl)(t'Ísc8 iiJel'o-a,mericanos, sil"vienclo ((sí nucstl'CL 1'cvisie¿ elc lazo dcnnión el/tre los dispersos cultivadorcs dc la J.lfatemdtica superior.

IniciaJlws en este númcro la serie de extractos) cu;t!et brevedael !w sillo imlJlIcsta por la cscasez de espacio elisponiblc.

JosÉ ISAAC CORRAL, Bl'ifleulas elc S/f,stitu,c[ones. Parte segunda: Bri[lada,s impCJ:tectas. - 'Toledo, 1935.

Prosiguiendo la teoría ya desarrollada en llll volumen anterior, el autor estudia deta.llach"tmente las brigadas que llama hnpeJ:fcctas) caractel'Ízadns por la propiedad de verificarse SaSb-1Sc = Sel' siendo Sa, Sb, Se Y Sel cuut,ro sustituciones cualesquiera de dicLa brigada.

A pesar de que este concepto de briflada) debido al autor, puede reducirse al clásico de [ll'Upo) el desarrollo sistemático e independiente de todas sus propiedades, expllesto minl1ciosamente por el distinguido ingenierq cubano en clara forma didáctica, no está exento de interés, y sigllifica un meritorio esfnerzo en esta rama ya tan estudiada de la ciencÍa.- A. G. D.

FÉLIX CERNUSCHT, Una nolct sobrc 1nccánicet cstaeUstica. -- BCll. ]Jfett. Hisp. Am.) vol 11111 en X, páginas 116-118, 1935.

El autor demuestra, sin utiliza.r conceptos de Mecánica Ondulatoria, I1n resultado de Fowler referente al número fUllciones de ondas independientes de cada estado estadístico independiente, de una asamblea total const,itnída por dos sistem:-ts similares A y B. Establece luego cómo, signiendo nn ca­mino análogo puede jnstificarse un importante postnlado de la Mecánica Ondnlatoria. - A. G. D.

48 EXTl{AOTOS

J. GONZÁLI~Z PJ.<~lUmA, UlIa, j'ó1'1n'ula de i'11iegmción. - Bol. Nat., 8, página 70, 1935. -- G. G. CONS'l'ANTIISESOU, Sob1'e ((,lgunas inieg1'ales M1Jer­el'ÍJ?Ucas completa1nente e:xpresables p01' medio de las i1'anscendentes ele­mentales. - lel.) pc'í,gina 186.

Partiendo de la integral de x{n-'2) /2 : Vxn + a calculada por el señor Gon­zcí1ez Perera, se llega en la segullda nota a este resultado general: «La in­tegral hiperelíptica

--- e7:1; 1 x:{n-4)/4f(xn/4)

V:x:n + eL

es redncible a la c1ase de integrales seudo-elípticas si la función f (xn /4) es racional en xn /4 y además tal que 1llla de las condieiolles funcionales

f (X71 (4) + l (- xll/4) = O,

está llenada ».

Cabe observar que el primero ue estos resultados. y el del señor González Perera son casi illmediatos efectuando un cambio de variahle en la integral elemental

j' dx

I/x'~ + a, J. B.P.

AGUSTÍN DUHAÑONA y VEDJA, Sob1'e los ce1'OS dc l(¿ 'Í'llteg1'Ctl de Laplace­Stieltjes 'incompleta,. - Oont'rib. La, Plata, volumen 1, 1935.

Apoyándose en un lema de vVidder, el autor demuestra el siguiente teo­}'(-'ma, que es el análogo,para las integrales de Laplace-Stieltjes( de un clásico teorema de Jelltzch :

Si an es lI'lL(t suces'ión d'Í'l'ergente de nú.meros positivos, todo punto Zo tal q1/C la integral COn'L'M'ge a su derecha, el:; p'unto de acu1I1:ltlaC'ión de los ceros de las secciones ele la integ~'al en los intervalos (0, a'n)' - J. R, P.

GODOFJUmo G A ROÍA, Leyes del 11w1'i1niento plalletewio einste1l'iallo y expresión de la elw1'gía totctl. - Revista de OIellcicts) yolnruen 114, Lima, 1935.

El autor llace una exposición ampliada de los resnUados consignados en dos notas suyas aparecidas en los Rendiconti) de la « Academia dei Lincei ». Valiéndose del clásico método de integración de Hal1lilton-Jacobi, y de algunos resnltados de Levi-Civita, establece los correlativos relativistas de nnmel'OSOS teoremas de mecánica celeste clásica: ley de las áreas, expresión de la energía total, leyes del movimiento de los planetas, etc. - A. G. D.

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· ... ,

SUlVIARIO

Unión Matemática Argentina ............. ~ ........ ~ .... : ..•..... ~ . . . . 3 CARLOS BIGGltRI, Soure los puntos si~igulares ele lasfúl1ciones anallticas. 5 J. FA YET, Sur les équations différentiell~s linéaireset' 'hOm()gelles tr¡tns-

formaUles en équatióris a, coefficients cOllstal1ts au moren (l'un change-ment de fonction : y = ). (z) Y ....... " •.......... , . " .~ ...... '. . . . • . 9

.J. BABINI, Series cuyos coeficientes contil1uen e,xpresiones factoriales.;.. 17 .....

COMUNICACIONES

rl~LlX CERNUSCIH, Conservation ele l'éllergie et expériellce ele Shankland. 33 ALBERTO GONZÁLEZ DOMÍNGUI<;Z, Snr un théoreme de IV!. Gliveukó. . . . . . 36 J. REY PASTon, Métrica e integración en los espacios austi'actos. . . .. . . . 39

EXTRACTOS

José Isaac Corral, Brigadas desltstituoiones . ... : ... ~ .... '.~ ... : . . . . . . . . . 47 :E'élix:Cel'llUSchi, Una nota SOb'l'c11Moánica cstadilltiqa.. . . . . . . . . . 47 J. GOllzález Pp'era, Uua fór1nula ele integ'/'{wión" .-'- G. G. Constantillescu,

SobTe algwnasintegrales hil)(:,1'eU,ptic'as .comlJletallümte· exp1'esables poF medio .de las transcenelentes ele1nentales ... .•........ ' ..•....... <.: ...... ~.... 48

Agustíl1'Durañona y Vedia, Sob~'e los' oel'OS clellt integral dc Laplace-8tielf;jes inwontplet(ls .. ............ '," ...... .' .....•.... '.' .. ' ...... ' ......... '. . 48

. qCldofreclo Gal'cía, Leyes del l1wviínicnto planetario einsteiwiano ye:x:p'l'esión de. la enel·g.ía total..·. : ........ ; ....................... ~ ... ,' . .' .' .. : .• ;'. . . • 48