ĐẠI SỐ

1. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Có hai thùng gạo chứa tổng cộng là 160kg. Nếu đổ 10 kg gạo từ thùng thứ

nhất qua thùng thứ hai thì lúc này số kg gạo ở hai thùng bằng nhau. Hỏi ban đầu mỗi

thùng chứa bao nhiêu kg gạo?

Hướng dẫn:

Gọi x(kg), y(kg) lần lượt là số gạo ban đầu trong thùng thứ nhất và thùng thứ

hai (0 < x, y < 160)

Vì số gạo ở 2 thùng chứa tổng cộng 160kg nên ta có phương trình:

x + y = 160

Vì đổ 10kg gạo từ thùng thứ nhất qua thùng thứ hai thì số gạo ở 2 thùng bằng

nhau nên: x – 10 = y + 10

Ta có hệ phương trình: 160

10 10

x y

x y

90...

70

x

y

(nhận)

Vậy ban đầu thùng gạo thứ nhất chứa 90kg gạo

Thùng gạo thứ hai chứa 70kg gạo

Bài 2: Bạn Lan đem 20 tơ tiên loại 2000 đ va 5000 đ đến siêu thi mua món qua tri

gia 78000 đ va được thối la 1000 đ. Hỏi ban đầu bạn Lan có bao nhiêu tơ tiên mỗi

loại.

Hướng dẫn:

Gọi x la số tơ tiên loại 2000 đ ( x N*)

y la số tơ tiên loại 5000 đ ( y N*)

Bạn Lan đem 20 tơ tiên loại 2000 đ va 5000 đ nên x + y = 20

Lan mua món qua tri gia 78000 đ va được thối la 1000 đ nên

2000x + 5000y = 78000 + 1000

Theo đê bai có hệ phương trình : 20

2000 5000 78000 1000

x y

x y

3

17

x

y

Vậy có 3 tơ loại 2000 đ va 17 tơ loại 5000 đ

Bài 3: Hai trương A và B có 960 thí sinh dự thi vào lớp 10, nhưng chỉ có 756 em

trúng tuyển . Tỉ lệ trúng tuyển vào lớp 10 của trương A va trương B lần lượt là 75%

và 84%. Tính số thí sinh dự thi vào lớp 10 của mỗi trương .

Hướng dẫn:

Gọi số thí sinh dự thi vào lớp 10 của trương A và B lần lượt là x và y ( x,y nguyên

dương)

Theo đê bai ta có phương trình x + y = 960

Tỉ lệ trúng tuyển vào lớp 10 của trương A va trương B lần lượt là 75% và 84%..ta

có phương trình

75%x + 84%y = 756 0,75x + 0,84y = 756

Ta có hệ phương trình {𝑥 + 𝑦 = 960

0,75𝑥 + 0,84𝑦 = 756 {

𝑥 = 560 (𝑛ℎậ𝑛)𝑦 = 400 (𝑛ℎậ𝑛)

Vậy trương A có 560 thí sinh trúng tuyển , trương B có 400 thí sinh trúng tuyển

Bài 4: (1 điểm). Mội thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của

thửa ruộng biết rằng nếu chiêu dài giảm 3 lần và chiêu rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa

ruộng vẫn không thay đổi.

Hướng dẫn:

Gọi CR, CD lần lượt là x và y ( 0 < x < y )

…..…

75y

50x...

125y3

1x2

125yx

Bài 5 : Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiêu dài gấp đôi chiêu rộng và chu vi là 60

cm. Tìm kích thước của mảnh giấy này.

Hướng dẫn

Gọi x, y lần lượt là chiêu dài và chiêu rộng của mảnh giấy hcn (x,y>0)

...

Ta có hệ pt:

x y

x y :

ìï =ïíï + =ïî

2

60 2

Giải hệ ta được x= 20m, y = 10m

Bài 6: Một hình chữ nhật có chu vi 100m. Tính chiêu dài và chiêu rộng của hình

chữ nhật , biết rằng 5 lần chiêu rộng hơn 2lần chiêu dài là 40m.

Hướng dẫn

Gọi x(m) là chiêu rộng hình chữ nhật ( x>0)

y(m) là chiêu dài hình chữ nhật (y>0)

Ta có hệ phương trình:

2.( ) 100

5 2 40

x y

y x

Giải x = 30; y = 20

Vậy chiêu dài là 30m; chiêu rộng là 20m

Bài 7: Chú Hùng đến cửa hang Điện Máy Xanh mua 1 máy sấy tóc, 1bàn ủi theo

giá niêm yết thì hết 350.000 đồng. Nhưng gặp đợt khuyến mãi, máy sấy tóc giảm

10%, bàn ủi giảm 20% nên chú chỉ trả 300.000 đồng. Hỏi giá tiên của máy sấy

tóc, bàn ủi bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn

Gọi x, y lần lượt là giá máy sấy tóc và bàn ủi (đk : x > 0, y > 0)

Theo đê bài ta có :

350

.10% .20% 350 300

350

0,1 0,2 50

350

2 500

150

200

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

x

Vậy giá máy sấy la 150.000 đ va ban ủi la 200.000 đ

2. ĐỀ THAM KHẢO CHƯƠNG 3

ĐỀ 1

Bài 1: Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: {𝑘𝑥 + 𝑦 = 1−𝑥 + 𝑦 = 1

Bài 2: Giải hệ phương trình:

a) {2𝑥 + 5𝑦 = −13

−5𝑥 + 6𝑦 = −23 b){

𝑥 + 2𝑦 = 4−3𝑥 + 𝑦 = 7

Bài 3: Tìm m để hai đương thẳng (d1): 3x + my = 3 và (d2): mx + 3y = 3

song song với nhau.

Bài 4: Hai ngươi cùng làm việc trong 15 giơ thì được 1/6 công việc. Nếu ngươi thứ

nhất làm một mình trong 12 giơ, ngươi thứ hai làm việc trong 20 giơ thì cả hai làm

được 1/5 công việc. Hỏi mỗi ngươi làm riêng thì trong bao lâu sẽ làm xong.

Bài 5: Sáng mùng một Tết hai chi em Linh va Long được mẹ lì xì số tiên tỉ lệ với

số tuổi của mỗi bạn. Biết tổng số tiên lì xì la 600.000đ. Linh 7 tuổi, Long 5 tuổi.

Tính xem mỗi bạn được lì xì bao nhiêu tiên? ( {5𝑥 − 7𝑦 = 0

𝑥 + 𝑦 = 600000)

ĐỀ 2

Bài 1: Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: {𝑎𝑥 + 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 1

Bài 2: Giải hệ phương trình:

a) {2𝑥 + 3𝑦 = 4𝑥 + 2𝑦 = 5

b){2𝑥 − 𝑦 = −46𝑥 + 𝑦 = 7

Bài 3: Tìm a,b để đương thẳng (d):y=ax+b đi qua hai điểm A(1;2) và B(-2;4).

Bài 4: Một mảnh vươn có chu vi là 140m. Ba lần chiêu rộng lớn hơn chiêu dài là

10m. Tìm chiêu rộng và chiêu dài của mảnh vươn.

Bài 5: Có hai thùng gạo chứa tổng cộng 200kg. Nếu đổ 20kg từ thùng thứ nhất

sang thùng thứ hai thì lúc này số gạo ở thùng thứ nhất bằng thùng thứ hai. Hỏi ban

đầu mỗi thùng có bao nhiêu kg gạo?

ĐỀ 3

Bài 1: Giải hệ phương trình:

a) {𝑥 + 𝑦 = −√3

𝑥 − √3𝑦 = 1 b){

3𝑥 − 2𝑦 = −132𝑥 + 5𝑦 = 14

Bài 2: Tìm a,b để đương thẳng (d):y=ax+b đi qua hai điểm A(2;3) và B(-1;4).

Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm: {𝑥 + 𝑚𝑦 = 1

𝑚𝑥 + 𝑦 = 2𝑚

Bài 4: Tổng hai số bằng 30. Hai lần số này nhỏ hơn bốn lần số kia là 12. Tìm hai

số đó.

Bài 5: Lớp 9A có 15HSG và 20HSTT được nhận tổng số tập là 250 quyển.

Lớp 9B có 12HSG va 15HSTT được nhận tổng số tập là 195 quyển. Hỏi mỗi HSG

hay HSTT được nhận bao nhiêu quyển tập? (biết số quyển tập phát cho HSG hay

HSTT la như nhau)

ĐỀ 4

Bài 1: Giải hệ phương trình:

a) {√2𝑥 − √3𝑦 = −1

(1 + √3)𝑥 − √2𝑦 = √2 b){

4𝑥 − 3𝑦 = −10𝑥

2+

5𝑦

4= 2

Bài 2: Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: {2𝑥 − 3𝑦 = 0

𝑎𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 =2

3

Bài 3: Hai ngươi cùng làm một công việc trong 7 giơ 12 phút thì xong. Nếu ngươi

thứ nhất làm trong 6 giơ, ngươi thứ hai làm trong 3 giơ thì cả hai lam được 2/3

công việc. Hỏi nếu mỗi ngươi làm một mình thì trong bao lâu sẽ xong.

Đề 5

Bài 1: Giải hệ phương trình:

a) {√3𝑥 − (1 + √2)𝑦 = −√3

(1 + √3)𝑥 − (1 + √2)𝑦 = √2 − √3 b){

3𝑥 − 5𝑦 = −72𝑥 + 3𝑦 = 8

Bài 2: Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương :

{𝑥 − 3𝑦 = −12𝑥 + 3𝑦 = 7

và {2𝑚𝑥 + 5𝑦 = 1−2𝑥 + 𝑛𝑦 = 4

Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm : {𝑚𝑥 − 𝑦 = 1

−𝑥 + 𝑦 = −𝑚

Bài 4: Một ô tô đi quãng đương từ A đến B với vận tốc 50km/h rồi tiếp tục đi từ B

đến C với vận tốc 45km/h. Biết rằng quãng đương từ A đến C là 165km và thơi

gian đi quãng đương AB ít hơn thơi gian đi quãng đương BC là ½ giơ. Tính thơi

gian ô tô đi trên hai quãng đương AB và BC.

3. VẼ PARABOL:

Ví dụ: Cho 2 đồ thi (P): y = x2 và (D): y = 2x

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép toán

Giải:

a) Vẽ đồ thi:

x -2 -1 0 1 2

y = x2 4 1 0 1 4

x 0 1

y = 2x 0 2

b) Tọa độ giao điểm:

Phương trình hoanh độ giao điểm

20

0)2(

02

2

2

2

hayxx

xx

xx

xx

Với 0 0

2 4

x y

x y

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (D) là O(0;0) và A(2;4)

2

HÌNH HỌC I. CÁC LOẠI GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN:

1) Góc ở tâm:

a) Đinh nghĩa: SGK/66

b) Tính chất: SGK/67

2) Góc nội tiếp:

a) Đinh nghĩa: SGK/72

b) Tính chất: SGK/73

c) Hệ quả: SGK/74-75

Bài tập: 16, 19/75; 20 24/76

3) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

a) Đinh nghĩa: SGK/77

b) Tính chất: SGK/78

c) Hệ quả: SGK/79

Bài tập: 27, 28, 29/79

4) Góc có đỉnh bên trong, Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn:

a) Đinh nghĩa: SGK/80, 81

b) Tính chất: SGK/81

Bài tập: 36 40/82-83

II. ĐỀ THAM KHẢO CHƯƠNG 3

Đề 1

Cho đương tròn (O; R) va điểm A nằm ngoai (O) sao cho OA=2R. Vẽ tiếp tuyến AB

với (O). Gọi BH la đương cao của ∆ABO. BH cắt (O) tại C.

a. Chứng minh AC la tiếp tuyến của (O)

b. Từ O vẽ đương thẳng vuông góc với OB cắt AC tại K. Chứng minh KA=KO.

c. Đoạn OA cắt đương tròn (O) tại I. Chứng minh KI la tiếp tuyến của (O). Tính IK

theo R.

d. AI cắt đương tròn (O) tại điểm thứ hai D. Chứng minh ∆AIC va ∆ACD đồng dạng

rồi suy ra tích AI.AD không đổi.

Đề 2

Bài 1. Cho đương tròn đương kính AB. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại điểm I bất

kì trên AB. Nối I với trung điểm M của AD. Chứng minh MI vuông góc với BC.

Bài 2. Cho đương tròn (O) đương kính AB. Điểm C nằm giữa A va O. Vẽ đương

tròn (O’) có đương kính la CB.

a. Hai đương tròn (O) va (O’) có vi trí tương đối như thế nao ?

b. Kẻ dây DE vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Chứng minh rằng tứ giac

ADCE là hình thoi.

c. Gọi K la giao điểm của BD với đương tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, C,

K thẳng hang.

d. Chứng minh rằng HK la tiếp tuyến của đương tròn (O’)

Bài 1. Bài 2.

Đề 3

Cho hai đương tròn (O; R) va (O’; R’) tiếp xúc ngoai tại A. Một tiếp tuyến chung

ngoai BC của (O) va (O’) (B∈(O),C∈(O′).

a. Chứng minh rằng đương tròn đương kính BC tiếp xúc với đương thẳng OO’ va

đương tròn đương kính OO’ tiếp xúc với đương thẳng BC.

b. Tính BC theo R va R’

c. Đương tròn (H; r) tiếp xúc với cả hai đương tròn (O), (O’) va tiếp xúc với BC tại

M. Tính ban kính r theo R va R’.

Đề 4

Cho đương tròn (O; R), lấy điểm A ở ngoai đương tròn (O) sao cho OA=2R. Từ A

vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đương tròn (O) với B, C la hai tiếp điểm.

a. Chứng minh rằng AO la đương trung trực của đoạn BC. Tính AB theo R.

b. Gọi I la trung điểm của đoạn OB, K la giao điểm của đoạn OA với đương tròn

(O). Tính diện tích ∆OIK theo R.

c. Đương thẳng AI cắt cung lớn BC tại M. Tiếp tuyến tại M của đương tròn (O) cắt

cac đương thẳng AB, AC lần lượt tại P va Q. Chứng minh: MP=p–AQ (với p la

nửa chu vi ∆APQ)

d. Chứng minh rằng diện tích ∆APQ bằng nửa chu vi của ∆APQ nhân với R.

Đề 5

Cho đương tròn (O) đương kính BC. Dây AD⊥BC tại H. Gọi E, F theo thứ tự la chân

cac đương vuông góc kẻ từ H đến AB va AC. Gọi (I), (K) la cac đương tròn ngoai

tiếp cac tam giac HBE va HCF.

a. Xac đinh vi trí tương đối của cac đương tròn (I) va (O); (K) và (O); (I) và (K).

b. Chứng minh: AE.AB=AF.AC.

c. Chứng minh rằng EF la tiếp tuyến chung của đương tròn (I) va (K).

d. Xac đinh vi trí điểm H để EF có độ dai lớn nhất.

Đề 6

Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ đương tròn (O) qua A va tiếp xúc với BC tại B. Vẽ

đương tròn (O’) qua A va tiếp xúc với BC tại C.

a. Chứng minh rằng (O) va (O’) tiếp xúc nhau tại A.

b. Gọi I la trung điểm của BC. Chứng minh rằng : ˆOIO′=90∘và AI⊥OO′.

c. Tính cac cạnh của ∆ABC biết ban kính của hai đương tròn la R va R’.

Đề 7

Cho đương tròn (O; 5cm) va (O’; 3cm) tiếp xúc ngoai nhau tại A. Một đương thẳng

qua A hợp với OO’ một góc 30˚ cắt (O) tại B va (O’) tại C

a. Chứng minh : ˆAOB=ˆAO′Cva OB // O’C.

b. Chứng minh tiếp tuyến của (O) tại B va tiếp tuyến của (O’) tại C song song với

nhau.

c. Tiếp tuyến của (O’) tại C cắt OO’ tại D. Tính CD va O’D

d. DC cắt BO tại E. Tính SABE.

Đề 8

Cho đương tròn (O; R) đương kính AB. Gọi

S la trung điểm của OA. Vẽ đương tròn tâm

S đi qua A.

a. Chứng minh (O) va (S) tiếp xúc tại A.

b. Một đương thẳng đi qua A cắt (S) tại M va

cắt (O) tại N (M, N khac A). Chứng minh :

SM // ON

c. Chứng minh : OM // BN

d. Gọi I la trung điểm của ON, đương thẳng

AI cắt BN tại K. Chứng minh: BK=2NK.

Đề 9

Bài 1. Cho đương tròn (O) nội tiếp ∆ABC. Gọi M, N, S lần lượt la cac tiếp điểm

thuộc cac cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng :

AB+AC–BC=2AM.

Bài 2. Cho hai đương tròn (O) va (O’) cắt nhau tại hai điểm A va B. Một cat tuyến

kẻ qua A cắt (O) tại C va cắt (O’) tại D. Gọi H, K lần lượt la trung điểm của AC và

AD va I la trung điểm của HK.

a. Chứng minh rằng đương thẳng vuông góc với CD tại I đi qua một điểm cố đinh P

khi cat tuyến CAD thay đổi.

b. Kẻ đương thẳng vuông góc với PA tại A, đương thẳng nay cắt (O) tại E va cắt

(O’) tại F.

Chứng minh : AE=AF.

c. Gọi AR, AQ lần lượt la đương kính của (O) va (O’). Chứng minh R, B, Q thẳng

hàng.

Bài 1.

Bài 2.