I problemi classici della Geometria GrecaI problemi classici della Geometria Grecadi Carmelo Di Stefanodi Carmelo Di Stefano

I sacerdoti mi dicevano che questo re [Sesostri, che regnò dal 1874 al 1841 a.C] distribuì la terra a tutti gli Egiziani, assegnando a ciascuno un ugual lotto quadrangolare, e che trasse le sue rendite da questa fonte: col prescrivere che si versasse un’imposta annuale. Che se il fiume portava via a qualcuno una parte del suo lotto, questi si recava da lui, gli comunicava ciò che era avvenuto, ed egli mandava a controllare e misurare di quanto fosse diminuito il terreno, affinché in avvenire il versamento fosse proporzionato all’imposta prescritta. E così io credo che sia stata scoperta e introdotta nell’Ellade la geometria.»

Erodoto (485 a.C. - 425 a.C ), Storie

Perché nasce la geometria?Essenzialmente due ipotesi.

«è logico che, essendo state scoperte numerose arti, le une dirette alle necessità della vita e le altre al benessere, si siano sempre giudicati più sapienti gli scopritori di queste che non gli scopritori di quelle, per la ragione che le loro conoscenze non erano rivolte all’utile. Di qui, quando già si erano costituite tutte le arti di questo tipo, si passò alla scoperta di quelle scienze che non sono dirette né al piacere né alle necessità della vita, e ciò avvenne dapprima in quei luoghi in cui gli uomini dapprima furono liberi da occupazioni pratiche. Per questo le arti matematiche si costituirono per la prima volta in Egitto: infatti là era concessa questa libertà alla casta dei sacerdoti.» Aristotele(384 a.C. – 322 a.C.) Metafisica

Quali che siano le motivazioni della nascita della Geometria, in ogni caso fra i greci essa diviene un sistema ipotetico-deduttivo, come la definirà molto più tardi Mario Pieri (1860 – 1913).Pertanto essa è basata, in Euclide, su Definizioni, Postulati e Nozioni comuni.Le Definizioni sono spesso modi per indicare l’idea che l’Autore ha di certi oggetti geometrici, spesso primitivi, cioè non dimostrabili, come punto, retta, piano, …I Postulati sono i risultati base del sistema, quelli che condizionano la sua struttura futura.Le Nozioni comuni, sono invece verità in qualche modo innate, come le proprietà dell’uguaglianza.Sono proprio i Postulati che condizionano la costruibilità degli oggetti geometrici.

Postulati del Libro I degli Elementi di Euclide (?325 a.C.- ?265 a.C.)«I.   Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto a ogni altro punto;II.  E che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta;III.  E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza;IV.  E che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro;V.   E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minore di due retti, le due rette

prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti.»

«Sebbene alcuni dei maggiori traguardi che ha raggiunto la mente umana siano posti in forma negativa, è eccessivamente pericoloso discuter-ne i limiti in modo categorico. Tali traguardi sono che non vi è un moto perpetuo, che la ve-locità della luce non può essere superata, che il cerchio non può essere quadrato con riga e compasso, che analogamente un angolo non può essere trisecato e così via. Ognuno di questi risultati è il culmine di grandi sforzi intellet-tuali. […] Sebbene siano negazioni, queste e altre scoperte sono successi positivi e grandi contributi alla conoscenza.»

Oscar Morgenstern, 1963

Duplicazione del cubo

Il problema viene spesso posto come leggendario. Secondo alcuni si narra che durante la peste di Atene del 430 a.C., fu chiesto all’oracolo di Delo come far finire il flagello. Fu risposto raddoppiando l’altare di Apollo. Pertanto si costruì un altare le cui dimensioni erano doppie di quello attuale e la peste non cessò, poiché in tal modo il volume dell’altare era 8 volte quello iniziale. Il problema, noto per tale motivo come problema deliano, è perciò quello di costruire un cubo di volume 2, cioè un segmento di lato 3 2

Trisezione dell’angolo

Il problema probabilmente nasce per costruire poligoni regolari i cui lati siano multipli di 9. Infatti già Antifone (Atene 480 a.C.; Atene 411 a.C) prima e Brisone (Heraclea 450 a.C., ? 390 a.C.) dopo di lui, cercando di determinare un valore approssimato di quello che attualmente si chiama , avevano utilizzato per primi il cosiddetto metodo di esaustione, inscrivendo e circoscrivendo poligoni regolari in un cerchio. Così lo stesso Archimede (Siracusa 287 a.C., Siracusa 212 a.C.) determinò il suo famoso valore di 3,14 proprio partendo da un triangolo equilatero e raddoppiandone i lati aveva inscritto e circoscritto poligoni di 96 lati. Trisecando l’angolo quindi si poteva passare dal triangolo al poligono di 9 lati, di 27 e così via.

Quadratura del cerchio

Proprio le questioni accennate sul calcolo di , hanno portato in modo naturale alla ricerca di una procedura per costruire un quadrato, quindi il suo lato, avente la stessa area di un cerchio. Il che equivale a costruire un segmento lungo appunto . Il problema era molto popolare, come testimoniato dal seguente estratto da Aristofane (450 a.C., 385a.C.) da Gli uccelli (414 a.C.)

METONE: Sono fra voi...GABBACOMPAGNO: Malanno come sopra! A far che cosa, tu? Con che proposito? Con che disegno? Che t'indusse a fare questo viaggio?METONE: Misurar vo' l'aria, e spartirvela a iugeri!GABBACOMPAGNO: Perdio! E tu chi sei?METONE: Chi sono io? Metone, conosciuto per l'Ellade e a Colono!GABBACOMPAGNO (Accennando ai suoi strumenti): E dimmi un po': che roba è mai codesta?METONE: Son misure per l'aria. Hai da sapere che l'aria, su per giú, somiglia a un forno. Dunque, prima ci adatto questa squadra, dall'alto punto poi questo compasso... Capisci?GABBACOMPAGNO: Niente affatto!METONE: E poi spartisco con la squadra diritta, affinché il circolo ti risulti quadrato, e in mezzo resti la piazza, e in questa sbuchino le vie diritte, proprio verso il centro... come si vede in una stella: essa è rotonda, e dritti vibra d'ogni parte i raggi!GABBACOMPAGNO: Ma quest'uomo è un Talete!

Duplicazione del cuboArchita (Taranto 428 a.C: - ? 350 a.C.) 375 a.C. Duplica il cubo usando superfici tridimensionali

Duplicazione del cuboMenecmo (Alopeconesso 380 a.C. - ? 320 a.C.)

Duplica il cubo con sezioni coniche. Con una parabola e un’ellisse

Duplicazione del cuboMenecmo (Alopeconesso 380 a.C. - ? 320 a.C.)

Duplica il cubo con sezioni coniche, con due parabole.

Duplicazione del cuboCon analoghe considerazioni ma con strumenti molto più potenti, anche René Descartes (La Haye 31/03/1596 – Stoccolma 11/02/1650) nel 1637, ne La Geométrie, duplica il cubo con sezioni coniche, con una parabola e una circonferenza.

Duplicazione del cuboGregorio di Saint Vincent (Bruges 8/09/1584 – Gand 27/01/1667), nel 1647 in Opus geometricus quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum, usa un’iperbole e una circonferenza.

Duplicazione del cuboDiocle (Karisto 240 a.C. - Eubea 180 a.C.), studia una particolare curva, detta cissoide, che serve anche per qua-drare il cerchio, oltre che per duplicare il cubo.

TRISEZIONE DELL’ANGOLOIn effetti i Greci riescono a trisecare l’angolo, ma con una procedura non permessa, ossia con l’inserzione di misure, o come essi la chiamano con una neiuseis. Si mostra che il problema equivale a risolvere un’e-quazione algebrica di III grado.

Ippia (Elide 460 a.C. - 400 a.C.) usa una strana curva, per trisecare l’angolo. Ovviamente questa curva non è costruibile con riga e compasso.

Archimede (Siracusa 287 a.C. - Siracusa 212 a.C.) costruisce anch’egli una curva dinamica, una spirale, che fra le altre cose serve per trisecare l’angolo.

Nicomede (? 280 a.C. – 210 a.C.) 230 a.C: scrive Sulle concoidi in cui presenta una curva che serve per quadrare il cubo e per trisecare l’angolo.

Pappo (Alessandria 290 – 350) circa nel 320 nelle sue Collezioni matematiche, triseca l’angolo come intersezione di una circonferenza e di un’iperbole di eccentricità 2.

Trisezione dell’angoloÉtienne Pascal (Clermont Ferrand 02/05/1588 – Parigi 24/09/1651), padre del più noto Blaise, nel 1637 scopre una curva, chiamata poi Lumaca di Pascal, che può servire a trisecare l’angolo.

Trisezione dell’angoloColin Mac Laurin (Kilmodan Febbraio 1698 Edimburgo 14/06/1746) Nel 1724 in Geometria organica sive descriptio linearum curvarum universalis determina una curva che può servire per trisecare gli angoli.

Ippocrate (Chio 470 a.C. - ? 410 a.C.) 440 a.C. scrive i primi Elementi di Geometria, a noi non pervenuti. Da un frammento della Storia della Geometria di Eudemo (Rodi 350 a.C. - ? 290 a.C.), sappiamo che riesce a quadrare delle figure a contorno non rettilineo: le lunule.

Qualcuno dice che il secondo esempio per Ippocrate era la dimostrazione che anche il cerchio potesse quadrarsi, dato che avevamo espresso la sua area come differenza di un trapezio quadrabile e delle lunule quadrabili. Ciò è ovviamente falso poiché in questo modo non abbiamo quadrato le tre lunule. E’ stato dimostrato, ma solo nel 1766, che vi sono esattamente 5 lunule quadrabili.

Ci sono anche costruzioni bene approssimate di segmenti che sono lunghi circa . Per esempio la seguente è del gesuita polacco Adam Kochansky e si trova in Observatio-nes Cyclometricae ad facilitandam Praxin accomodatae, arti-colo pubblicato nel 1685 su Acta Eruditorum 4, 394-398.

Dinostrato (? 390 a.C. - ? 320 a.C.) usa la curva di Ippia che abbiamo già visto, perché questa permette anche di quadrare il cerchio.

Soluzioni (negative) dei problemiCostruire con riga e compasso, dal punto della geometria analitica significa determinare le intersezioni fra una retta e una circonferenza, cioè risolvere un sistema di secondo grado, quindi costruire numeri soluzioni di equazioni di II grado.

Soluzioni (negative) dei problemiCon riga e compasso possiamo costruire numeri interi, razionali e anche irrazionali quadratici. In generale possiamo costruire tutti e soli i numeri del tipo In cui a, b e k sono numeri costruibili.Così possiamo costruire per esempio:

a b k

2 3 5 1 3 2 5 2

41 2

Soluzioni (negative) dei problemiGauss (Brunswick 30/04/1777 Göttingen 23/02/1855) aveva congetturato che i problemi della duplicazione del cubo e della trisezione di un angolo non sono risolvibili con riga e com-passo, ma senza dimostrazione. Charles Sturm (Ginevra 29/09/1803 - Parigi 18/12/1855) lo di-mostrò ma non lo pubblicò. Pertanto è Pierre Laurent Wantzel (Parigi 05/06/1814 Parigi 21/05/1848) che nel 1837 pubblica il teorema secondo il quale i problemi della duplicazione del cubo e della trisezione dell’angolo non possono essere risolti con riga e compasso. Ossia che

Un’equazione algebrica di III grado a coefficienti razionali ha radici costruibili se e solo se ha almeno una radice razionale.

Soluzioni (negative) dei problemiCarl Louis Ferdinand von Lindemann (Hannover 12/04/1852 Monaco 06/03/1939), nel 1882 in Über die Zahl prova che π è trascendente, quindi non si può costruire con riga e compasso un quadrato che ha la stessa area di un dato cerchio.

Ovviamente con la simbologia moderna è facilissimo costruire infinite curve che risolvono i problemi della duplicazione del cubo e della quadratura del cerchio.