I. Měřítka kvantového

světa Cvičení

KOTLÁŘSKÁ 26. ÚNORA 2014

F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav

letní semestr 2013 - 2014

2

Relace neurčitosti

Odhad bez počítání pro ionisační potenciály

atomů

3

Harmonický oscilátor

Odhad z Heisenbergových relací:energie nulových kmitů

4

3. Planckova konstanta jako hraniční hodnota relace neurčitostix p

Toto je generická forma Heisenbergových relací. Vlastně je to , ne Pořádně odvozeno

To se nám teď hodí na oscilátor, kde pracujeme vlastně přesně, i když tak dalece bez počítání. Musí se ale připomenout

12

22 2

relace neurči

,

tostix p

x x x p

op op op( ) ( )O O dx x O x

5

Odhad z relace neurčitosti

To je standard, takže jen schematicky

2

2 2 212

2 2 212

2 22

Energie nulových kmitů po

12

2 2212

2 2

dle očekáván

14

0 í

2

12

z relace neurč. pro rovnost

12

12

12

12 4

12

protože

Z podmí

0

0

k

/

n y

m

m

m

m

m

H p m x

E H p m x

p m x x p

p m p

q m q

E

q

E

6

Velikost atomů

Jaké jsou empirické údaje o velikosti atomů

Jaké jsou teoretické důvody pro tyto údaje

7

Opakování o atomech

atom XAZ

OBALZ elektronů

JÁDROZ protonů

N=A-Z neutronů

náboj jádra

hmotnost atomu

poloměr jádra

Q = Z |e|

M ~ A uR = r0 A1/3

r0 = 1,2 10-15 m

V cm3atomový objem = rel. at. hmotnost g/ 103 hustota

objem na atom = atomový objem / Avogadr. číslo

13

3

34

10 /

Ar N

V M

V/

… odhad z empirických dat

http://www.ptable.com

Výpočet empirických poloměrů

8

13

1 13 3

13

34

-2 7

7 134

nmchceme molární (atomový) objem v

1 cm=10 m=10 nm

10

0.0734

A

A

r N

r N

r

V/

V

V

10

Relace neurčitosti -- aplikace

relace neurčitostix p Propojíme prostorovou rozlehlost L a energii E vázaného stavu částice o hmotnosti m … kriterium ultrakvantového režimu

1. krok kinetická energie částice ve vázaném stavu (v potenciál. jámě)

2. krok odhad z relace neurčitosti

3. krok kinetická a celková energie stejného řádu

2kinmE p

~ příznak ultrakvantového stavu

px L

2 2m E L Platí pro coulombickou interakci:

Stabilita atomů a hmoty vůbec

energie kvant. fluktuací

11

Odhad ionizační energie atomu z relace neurčitosti

2 2

2 2

obecný vztah

odhad ionizačního potenciálu

e

m E L

m I r

použijeme našich jednotek nm, eV, fs

2 2

e

0,660.076

5,7m

Empirické poloměry atomů mají hodnoty v řádu 0,1 nm (1Å)

Energie valenčních elektronů v atomech pak vycházejí v řádu eV

Atomové (protonové) číslo

Ionizační energie atomů

Ioni

začn

í e

nerg

ie

eV

Atomové (protonové) číslo

Ato

mov

ý po

lom

ěr

nm

0,25

0,15

0,10

0,05

0,20

14

Šikovné jednotky

Pro odhady veličin v atomárním světě je vhodná

volba jednotek velmi důležitá

15

me= 9.1110-31 kg NA = 6.02 1023

e = 1.60 10-19 C eNA = F

= 1.05 10-34 Js

c = 3.00 108 ms-1

kB= 1.38 10-23 JK-1 kBNA = R

u = 1.66 10-27 kg uNA = 0.001 kg

Jednotky atomistice přiměřené v rámci soustavy SI

nm, eV, fs, V, K (místo m, kg, s, A, K)

1 eV je energie, kterou elementární náboj získá při

průchodu potenciálním rozdílem 1 V,

1 eV = 1.60 10-19 J

Pak

= 0.66 eVfs me=5.7 eVfs2nm -2

e = 1.00 eVV-1 kB=1/11604 eVK -1

c = 3.00 102 nmfs-1

Šikovné jednotky -- k zapamatování

16

Kde najdeme hodnoty fysikálních konstant

• Český metrologický institut http://www.cmi.cz/index.php?lang=1&wdc=313

• NIST National Institute of Standards and Technology http://www.nist.gov/pml/data/index.cfm

• CODATA 2010 adjustmentP. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B. Newell, Rev. Mod. Phys. 84

(4), 1527-1605 (2012)

17

Atomové jednotky

Rozměrové úvahy

18

Přirozené soustavy jednotek závisejí na výběru fundamentálních konstant

Atomové přirozené jednotky

0

2

020

2

0 ,a

eE

amE

e

Atomové jednotky

• Inspirace od Bohra(1913) Rozměrová úvaha relevantní veličiny• Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii (rozměrové kombinace … kinetická energie a Coulomb. potenciál. energie)

• Výsledek

2

4

02

2

0 ,

emE

ema e

e

v plné shodě s Bohrovou teorií

2e pjednotky hodí se v

Planckovy kvantové gravitaci

relativistické kvantové elektrodynamice

atomové atomové fysice

( )

G c e m m

19

Přirozené soustavy jednotek závisejí na výběru fundamentálních konstant

Atomové přirozené jednotky

0

2

020

2

0 ,a

eE

amE

e

Atomové jednotky

• Inspirace od Bohra(1913) Rozměrová úvaha relevantní veličiny• Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii (rozměrové kombinace … kinetická energie a Coulomb. potenciál. energie)

• Výsledek

2

4

02

2

0 ,

emE

ema e

e

v plné shodě s Bohrovou teorií

2e pjednotky hodí se v

Planckovy kvantové gravitaci

relativistické kvantové elektrodynamice

atomové atomové fysice

( )

G c e m m

Atomové přirozené jednotky -- měřítko světa atomů

22

e

211

0 2e

418e

0 2

340

224e

00

260

0e

1 1

e

2 2e

e

0

1zákl. konstanty =

137

5.29 10 m

4.36 10 J

1.05 10 Js

1.98 10 m

2.19 10 m/s

1

2

137 a.u.

C

ee m e

c

am e

m eE

m ep

a

p e

m

t

m c

m c

m c

c c

v

317

40 e

2.42 10 sE m e

Atomové přirozené jednotky -- měřítko světa atomů

22

e

211

0 2e

418e

0 2

340

224e

00

260

0e

1 1

e

2 2e

e

0

1zákl. konstanty =

137

5.29 10 m

4.36 10 J

1.05 10 Js

1.98 10 m

2.19 10 m/s

1

2

137 a.u.

C

ee m e

c

am e

m eE

m ep

a

p e

m

t

m c

m c

m c

c c

v

317

40 e

2.42 10 sE m e

23

Zobecnění Bohrovy teorie

Iont s jediným elektronem

Meze nerelativistické teorieO konstantě jemné

struktury

24

Semiklasický popis vodíkupodobného iontu podle Bohra

iont ( -1)+A ZZA

OBAL 1 elektron

JÁDROZ protonů

náboj jádra

hmotnost atomu

poloměr jádra

Q = Z |e|

M ~ A u>2Z u >> me

R = r0 A1/3 << r

r0 = 1,2 10-15 m

e<0

• Elektron obíhá rychlostí v kolem nehybného jádra. Má hybnost p= me v, moment

hybnosti me vr, odstředivá síla je me v2/r … všecho klasické

• Přitahován je coulombickou silou

• Připojeno je kvantování, prostřednictvím kvanta akce, Planckovy konstanty .

• Veličina ke kvantování vhodná má rozměr akce. To je právě moment hybnosti.

2 2

2 20

1 '

4

Ze Ze

r r

25

Bohrova teorie vodíkupodobného iontu•Dvě podmínky pro Bohrův poloměr a Hartreeho energii

2 2

2em v Ze

r r

odstř. síla= dostř. síla Klasická podmínka

,2,1, kkrvemkvantování momentu hybnosti

Kvantová podmínka

2 212,k Z k Zr a k E E k

•Výsledek

2 422

0 02 2

1, e

Z Ze

Z m ea a E Z E

ZZm e

Vztah k relativitě

26

2 422

0 02 2

2

20

2 2 20

1 1Compton

konstanta jemné struktury, bezrozměrná vazbová konstanta

nere

1,

1=

137

/ / /

( )

( ) / ( )

1 137

eZ Z

e

Z Z e e Z

Z e

Z e

Z m ea a E Z E

ZZm e

e

c

v p m m a Ze Zv Z c

E Z E Z m c

a Z m c Z

ZZ

lativistická podmínka

Bohrova teorie spekter vodíku

27

2 2

1

empirická

Rydbergova konstan

1 1 1

109700 cm

BALMEROVA FORMULE

ta

Rn m

R

2 2

4

2 30

1

teoretická

Rydbergova konsta

BOHROVA F

n

ORMULE

1 1 1

8

109700

ta

cm

Rn m

meR

h c

Identifikace Pickeringovy serie

28

PICKERINGŮV PROTOVODÍK

Identifikace Pickeringovy serie

29

( 1)

22 2

2 2

Pro ion

PICKERINGŮV PROTOVODÍK

X

1 1 1

He (He(II)) 2,

1 1 1

/ 2 / 2

BOHROVA IDE

t

Pro io

NTIFIKACE

nt

Z Z

Z Rn m

Z

Rn m

( 1

2 2

)

22 2

BOHROVA IDENTIFIKACE

Pro ion

PICK

t X

1 1

ERINGŮV PROTOVODÍK

1 1

1

Pro

1

/

i

2

ont He (He(II)

/

) ,

2

2

Z Z

Z

Rn

Rn m

Z

m

Identifikace Pickeringovy serie

30

HELIUMVODÍK

Identifikace Pickeringovy serie: malý triumf

31

He H

22 2

4

2 30

FOWLEROVA NÁMITKA

BOHR ZAPOČETL POHYB V

: 1.00161

1 1 1

ŮČI TĚŽI

1 /

T

8

Š I

X

XX

R R

Z Rn m

m eR

m M h c

Krystalová struktura křemíku

Krystalová struktura křemíkuSubstituční příměs donor fosfor

The end