Untersuchung korrelierter Elektronensystemeim Rahmen derDynamischen Molekularfeld{TheorieVon der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult�atder Universit�at Augsburgzur Erlangung eines Doktorgrades der Naturwissenschaftengenehmigte Dissertation

vonDiplom{Physiker Karsten HeldausClausthal{Zellerfeld

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Referent: Professor Dr. D. VollhardtKoreferenten: Professor Dr. U. Eckern, Professor Dr. W. MetznerTag der m�undlichen Pr�ufung: 26. Juli 1999

iInhaltsverzeichnisEinleitung 11 Methoden 71.1 Dynamische Molekularfeld{Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus f�ur Mehrband{Modelle . . . . . . 111.3 Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus f�ur Manganat{Modelle . . . . . . 221.4 Maximum{Entropie{Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus 292.1 Einf�uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Hundsche Kopplung und orbitale Entartung . . . . . . . . . . . . . . 362.3 Vergleich verschiedener Mechanismen f�ur den Ferromagnetismus . . . 492.4 Dichteabh�angiges H�upfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.5 Diskussion und Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten 613.1 Einf�uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 St�orungstheorie bei starker Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.3 Von schwacher zu starker Kopplung bei halber F�ullung . . . . . . . . 723.4 Metallischer Metamagnetismus abseits halber F�ullung . . . . . . . . . 763.5 �Anderung der elektronischen Kompressibilit�at . . . . . . . . . . . . . 783.6 Diskussion und Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{�Ubergangs{Modell f�ur Cer 854.1 Einf�uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2 Dynamische Molekularfeld{Theorie f�ur das Periodische Anderson{Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.3 Der Mott-�Ubergang im Periodischen Anderson{Modell . . . . . . . . 984.4 �Ahnlichkeit der Phasendiagramme des Periodischen Anderson{ undHubbard{Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.5 Thermodynamik und Spin{Spin{Korrelationsfunktion . . . . . . . . . 110

ii INHALTSVERZEICHNIS4.6 Diskussion und Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155 Elektronische Korrelationen in Manganaten 1195.1 Einf�uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2 Dynamische Molekularfeld{Theorie f�ur Manganat{Modelle . . . . . . 1335.3 Spektralfunktion in der paramagnetischen Phase . . . . . . . . . . . . 1365.4 Optische Leitf�ahigkeit in der paramagnetischen Phase . . . . . . . . . 1395.5 Vom Doppelaustausch zum Superaustausch . . . . . . . . . . . . . . . 1425.6 Diskussion und Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Zusammenfassung 149Literaturverzeichnis 153Ver�o�entlichungen 165Lebenslauf 167Danksagung 169

1Einleitung

Ein Festk�orper besteht aus makroskopisch vielen positiv geladenen Atomkernenund negativ geladenen Elektronen. Dabei ist die Bewegung der Atomkerne wegen ih-rer 104{ bis 105{fach gr�o�eren Masse sehr viel tr�ager als die der Elektronen. F�ur dasElektronensystem erscheinen die langsamen Schwingungen der Atomkerne (Phono-nen) daher n�aherungsweise eingefroren, d. h. alle Atomkerne haben �xierte Koordi-naten. Dies ist die adiabatische N�aherung von Born und Oppenheimer (1927), in derdas Elektronensystem und die Gitterdynamik der Atomkerne entkoppeln. Die vorlie-gende Arbeit besch�aftigt sich ausschlie�lich mit dem Elektronensystem. Die meistendieser Elektronen sind als Kern{Elektronen wegen der starken Coulomb{Anziehungfest an die Atomkerne gebunden. Sie bilden mit den Atomkernen eine Einheit, einIon. Es verbleiben wenige bewegliche Valenz{Elektronen, die jedoch aufgrund ihrerBeweglichkeit die elektrischen, magnetischen sowie einen Teil der thermodynamischenEigenschaften des Festk�orpers bestimmen.Bei der Beschreibung der Valenz{Elektronen sind drei Energie{Beitr�age wich-tig. Ihre Beweglichkeit wird durch die kinetische Energie beschrieben. Sie bewe-gen sich nicht frei, sondern erfahren ein durch die Kern{Elektronen abgeschirmtesCoulomb{Potential der Atomkerne. Au�erdem wird jedes Valenz{Elektron von den�ubrigen Valenz{Elektronen abgesto�en. Es ist gerade diese Coulomb{Absto�ung, dieeine vollst�andige quantenmechanische Behandlung der Valenz{Elektronen verhindert.Bedingt durch die Coulomb{Absto�ung sind die Valenz{Elektronen nicht unabh�angigvoneinander, sondern die Bewegung jedes einzelnen ist mit der der anderen Valenz{Elektronen korreliert.In einigen Festk�orpersystemen ist die Coulomb{Absto�ung im Vergleich zu denbeiden anderen Energie{Beitr�agen weniger entscheidend. Zur Beschreibung dieserSysteme l�a�t sich eine statische Molekularfeld{N�aherung wie die Hartree{Fock{Ap-proximation oder die Lokale Dichte{Approximation sehr erfolgreich anwenden. Indiesen N�aherungen wird die Coulomb{Wechselwirkung mit den einzelnen Valenz{Elektron ersetzt durch den E�ekt, den eine mittlere (zeitlich konstante) Dichte derElektronen h�atte. Korrelationen zwischen den einzelnen Valenz{Elektronen werdenvernachl�assigt.

2 EinleitungIn anderen Festk�orpersystemen ist diese N�aherung dagegen zu grob. Insbeson-dere in Systemen mit Valenz{Elektronen in 3d{ und 4f{Orbitalen ist die Coulomb{Absto�ung gro�, weil diese Orbitale eine geringe r�aumliche Ausdehnung und zweiElektronen im selben Orbital daher einen kleinen Abstand haben. Dies sind die starkkorrelierten Elektronensysteme. Zu den besonderen Eigenschaften dieser Systemegeh�oren das Schwere{Fermionen{Verhalten in vielen 4f{Elementen und {Verbindun-gen, die Hoch{Temperatur{Supraleitung in Kupraten und der Metall{Isolator{�Uber-gang in Vanadaten. Die Theorie stark korrelierter Elektronensysteme beruht in allerRegel auf vereinfachten Modellen mit wenigen Orbitalen und einer lokalen Coulomb{Absto�ung, die die Wechselwirkung zwischen weiter entfernten Elektronen vernach-l�assigt.In den Jahren seit ihrer Begr�undung durch Metzner und Vollhardt (1989) hat sichdie Dynamische Molekularfeld{Theorie (DMFT) als ein zuverl�assiges N�aherungsver-fahren zur Behandlung stark korrelierter Elektronen{Modelle erwiesen. Diese Theoriewird exakt f�ur ein unendlich{dimensionales Gitter der Atomkerne und ist kontrolliertdurch den Parameter 1=d (d: Dimension des Gitters). Als statischer Grenzfall beischwacher Coulomb{Absto�ung ist die Hartree{Fock{Approximation in der DMFTenthalten. Im Gegensatz zur Hartree{Fock{Approximation ist das mittlere Feld abernicht durch eine zeitlich konstante Dichte der Elektronen, sondern durch eine dynami-sche, zeitabh�angige mittlere Dichte gegeben. Damit werden Korrelationen zwischenden Elektronen beschrieben, die wegen der Coulomb{Absto�ung die Tendenz haben,sich nicht gleichzeitig am selben Atomkern aufzuhalten. Bei sehr starker Coulomb{Absto�ung und einer ganzzahligen Anzahl von Valenz{Elektronen pro Kern{Gitter-platz lassen sich die stark korrelierten Elektronen{Modelle auf e�ektive Modelle mitSpin{ und Orbital{Freiheitsgraden reduzieren. Die Weisssche Molekularfeld{Theoriedieser e�ektiven Modelle ist als Grenzfall ebenfalls in der DMFT enthalten.In dieser Arbeit werden im Rahmen der DMFT mehrere Modelle untersucht: mi-kroskopische Modelle f�ur den Ferromagnetismus der �Ubergangsmetalle, das Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung als ein einfaches Modell f�ur stark anisotrope Antiferro-magneten, das Periodische Anderson{Modell als Modell f�ur das Schwere{Fermionen{System Cer sowie ein elektronisches Modell zur Beschreibung von Manganaten. DieSelbstkonsistenz{Gleichungen der DMFT werden dabei numerisch exakt mit Hilfe vonQuanten{Monte{Carlo(QMC){Simulationen gel�ost. Erg�anzt wird dies bei schwacherund bei starker Coulomb{Absto�ung durch st�orungstheoretische Analysen. Dies sinddie Hartree{Fock{Approximation, die Weisssche Molekularfeld{Theorie f�ur die e�ek-tiven Modelle mit Spin{ und Orbital{Freiheitsgraden sowie dar�uber hinaus f�ur denMetamagnetismus die St�orungstheorie vierter Ordnung in der kinetischen Energie.

Einleitung 3Aufbau der ArbeitKapitel 1 rekapituliert die Dynamische Molekularfeld{Theorie und stellt ein in die-ser Arbeit entwickeltes Quanten{Monte{Carlo{Verfahren f�ur Mehrband{Modelle mitund ohne einen zus�atzlichen lokalisierten Spin vor. Bei diesem Algorithmus w�achstder Aufwand kubisch mit der Anzahl der Orbitale, innerhalb derer die Coulomb{Absto�ung der Elektronen ber�ucksichtigt wird. Bei der Leistungsf�ahigkeit heutigerComputer ist die Behandlung von bis zu ca. f�unf Orbitalen mit Wechselwirkungm�oglich.In den Kapiteln 2 bis 5 werden vier verschiedene festk�orperphysikalische Ph�ano-mene analysiert. Jedes dieser Kapitel kann unabh�angig von den anderen gelesen wer-den und beginnt mit einer ausf�uhrlichen Einf�uhrung in die Problemstellung. Dasist in Kapitel 2 die Frage nach dem mikroskopischen Mechanismus f�ur den Ferro-magnetismus der �Ubergangsmetalle. Es werden neue Ergebnisse zum Mechanismuseiner lokalen Hundschen Austausch{Wechselwirkung bei orbitaler Entartung vorge-stellt. Selbst in dem einfachsten Modell dieser Art, dem Zweiband{Hubbard{Modellmit Hundscher Kopplung, war bislang abseits von der viertel F�ullung (ein Valenz{Elektron pro Atomkern) wenig bekannt. In dieser Arbeit werden Ferromagnetismusund orbitale Ordnung bei beliebigen F�ullungen studiert. Die Ver�anderung mit wach-sender Coulomb{Absto�ung und die steigende Tendenz zum Ferromagnetismus beim�Ubergang von zwei zu f�unf Orbitalen werden untersucht. Der mikroskopische Me-chanismus der Hundschen Kopplung wird mit zwei weiteren m�oglichen Ursachen f�urden Ferromagnetismus verglichen. Hierbei handelt es sich um eine asymmetrische Zu-standsdichte, die bereits im Einband{Hubbard{Modell zum Ferromagnetismus f�uhrenkann, und um die Austausch{Wechselwirkung zwischen Elektronen auf benachbar-ten Gitterpl�atzen. Gegen�ubergestellt werden das Phasendiagramm in Abh�angigkeitvon Temperatur und Coulomb{Wechselwirkung, die Spektralfunktion und die quali-tative �Anderung der �Ubergangstemperatur zum Ferromagnetismus mit wachsendemAbstand der Atomkerne. Charakteristika und Gemeinsamkeiten der drei mikroskopi-schen Mechanismen werden herausgearbeitet. Erg�anzend wird ein weiterer m�oglicherMechanismus, das dichteabh�angige H�upfen, in der Hartree{Fock{Approximation be-handelt.Kapitel 3 pr�asentiert neue Ergebnisse f�ur das einfachste Korrelationsmodell zurBeschreibung metamagnetischer Phasen�uberg�ange in stark anisotropen Antiferroma-gneten, das Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung. Das Hubbard{Modell ist ein ge-nerisches Modell f�ur den Antiferromagnetismus. Bei einem halbgef�ullten Band liegtein antiferromagnetischer Isolator vor, der bei schwacher Coulomb{Wechselwirkung

4 Einleitungeinem bandartigen Slater{Antiferromagneten und bei starker Coulomb{Wechselwir-kung einem spinartigen Heisenberg{Antiferromagneten entspricht. Abseits halberF�ullung liegt dar�uber hinaus ein antiferromagnetisches Metall vor. Werden die Kon-�gurationen auf solche mit einer mittleren Magnetisierung entlang einer Vorzugsrich-tung beschr�ankt, so l�a�t sich die experimentelle Magnetisierungskurve im Magnetfeldf�ur stark anisotrope Antiferromagneten beschreiben. Der Schwerpunkt von Kapitel3 liegt auf der �Anderung des metamagnetischen Phasen�ubergangs beim �Ubergangvom Slater{ zum Heisenberg{Antiferromagneten bei halber F�ullung, den metama-gnetischen Phasen�uberg�angen in metallischen Systemen sowie den drastischen �Ande-rungen der Leitf�ahigkeit am metamagnetischen Phasen�ubergang. Das letztgenanntePh�anomen wird anhand der elektronischen Kompressibilit�at untersucht.Die Resultate von Kapitel 4 wurden w�ahrend eines Forschungsaufenthaltes ander University of California, Davis, in Zusammenarbeit mit Scalettar, McMahanund Huscroft gewonnen. Aus Bandstrukturrechnungen mit Lokaler Dichte{Approxi-mation zum Schwere{Fermionen{Metall Cer wurden Parameter f�ur das PeriodischeAnderson{Modell bestimmt. Mit wachsendem Druck kommt es im Cer{Festk�orperzu einer drastischen �Anderung des Volumens um 15%, dem Volumen{Kollaps. DieBandstrukturrechnungen zeigen, da� sich im Bereich des �Ubergangs in erster Li-nie die Hybridisierung zwischen den 4d{ und 5f{Orbitalen �andert. Hauptresultatvon Kapitel 4 ist, da� das Periodische Anderson{Modell mit sich �andernder Hy-bridisierung einen �Ubergang aufweist, der sehr �ahnlich zum Mott{�Ubergang desHubbard{Modells ist. In einem detaillierten Vergleich von halbgef�ulltem Periodi-schen Anderson{ und Hubbard{Modell bei endlichen Temperaturen wird das Verhal-ten der Spektralfunktion, des Quasiteilchen{Gewichts, des lokalen magnetischen Mo-ments und der elektronischen Kompressibilit�at am Mott{�Ubergang sowie das Phasen-diagramm in Abh�angigkeit von Temperatur und Hybridisierung analysiert. Die �Ahn-lichkeit der beiden Modelle ist von Bedeutung f�ur die Theorie des Volumen{Kollapsesin Cer. Denn das Periodische Anderson{Modell bzw. seine St�orstellen{Approximationbildet die Grundlage f�ur das Kondo{Volumen{Kollaps{Szenario von Allen und Martin(1982) sowie von Lavagna, Lacroix und Cyrot (1983). Kontrovers zu diesem Szenariowird das Mott{�Ubergangs{Modell von Johansson (1974) diskutiert. Das einfachsteModell f�ur diesen Mott{�Ubergang ist wiederum das Hubbard{Modell. Die starke�Ahnlichkeit von Periodischem Anderson{ und Hubbard{Modell bei halber F�ullungzeigt, da� dem Kondo{Volumen{Kollaps{ und dem Mott{�Ubergangs{Szenario ein�ahnliches physikalisches Verhalten zugrunde liegt. Die beiden Szenarien sind nichtunvereinbar, wie in der Literatur von Johansson, Abrikosov, Ald�en, Ruban und Skri-ver (1995) sowie Allen und Liu (1992) bislang angenommen wurde. Am betrachteten�Ubergang von beweglichen (itineranten) f{Elektronen zu lokalisierten f{Elektronenwird auch die Energie des Periodischen{Anderson{Modells in Abh�angigkeit vom Vo-lumen berechnet, um zu untersuchen, ob es wie im Kondo{Volumen{Kollaps{Szenariozu einer thermodynamischen Instabilit�at kommen kann.

Einleitung 5Kapitel 5 basiert auf einem elektronischen Modell zur Beschreibung von Mangana-ten wie La1�xCaxMnO3. In diesem Korrelationsmodell werden drei Valenz{Elektronenin den drei Mangan{t2g{Orbitalen, die nur einen geringen �Uberlapp mit den be-nachbarten Sauersto�{Orbitalen haben, durch einen lokalisierten Spin{3=2 approxi-miert. Je nach Calcium{Dotierung x be�ndet sich bis zu ein zus�atzliches Elektronin den beiden eg{Orbitalen des Mangans. Der �Uberlapp dieser Orbitale mit demp{Orbital des Sauersto�s f�uhrt zu einem e�ektiven H�upfprozess zwischen den eg{Orbitalen auf verschiedenen Gitterpl�atzen. Die eg{Elektronen sind also beweglichund damit ma�geblich f�ur die elektrischen und magnetischen Eigenschaften der Man-ganate verantwortlich. Bisher wurde die Coulomb{Wechselwirkung zwischen den eg{Elektronen, d. h. deren Korrelation, in der Literatur weitestgehend vernachl�assigt.Bei der Ca-Dotierung x = 0, d. h. genau einem eg{Elektron pro Mangan{Ion, ist dieCoulomb{Wechselwirkung in Rechnungen zu e�ektiven Kugel'{Khomski��{Modellenmit Spin{ und Orbital{Freiheitsgraden allerdings implizit enthalten. In diesen Model-len f�uhrt der Superaustausch zum Magnetismus und zur orbitalen Ordnung. Bereitsohne Coulomb{Wechselwirkung liegt ein kompliziertes Modell mit orbitaler Entar-tung und einer Hundschen Kopplung an die t2g{Spins, das ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell, vor. Anderson und Hasegawa (1955) zeigten, da� in diesem Modellder Doppelaustausch den Ferromagnetismus stabilisiert. Ein Resultat der vorliegen-den Arbeit ist nun, da� die Coulomb{Wechselwirkung der eg{Elektronen sehr wohlwichtig ist. Die elektronischen Korrelationen f�uhren zu einer ausgepr�agten Verschie-bung von spektralem Gewicht in der paramagnetischen Spektralfunktion. Dar�uberhinaus ergibt sich im mikroskopischen Mechanismus f�ur den Ferromagnetismus derManganate ein �Ubergang vom Doppel{ zum Superaustausch. Das ferromagnetischeKondo{Gitter{Modell beschreibt daher die Manganate nur f�ur eine Dotierung x > 0:5korrekt.

7Kapitel 1Methoden1.1 Dynamische Molekularfeld{TheorieBetrachtet man ein dreidimensionales Kristall{Gitter, so ist die Anzahl der n�ach-sten Nachbarn (Koordinationszahl Z) typischerweise von der Gr�o�enordnung 10,z. B. Z=6 f�ur das einfach kubische und Z=12 f�ur das �achenzentriert kubische Gitter.F�ur die Verallgemeinerung des kubischen Gitters auf beliebige Dimensionen d, dashyperkubische Gitter, gilt Z = 2d. Der Limes hoher Dimensionen d ! 1 ist dahermit dem Limes Z !1 identisch. In diesem Limes wird die Kopplung eines Gitter-platzes an das restliche Gitter durch ein mittleres Feld aller Gitterpl�atze beschrieben.Diese Molekularfeld{Theorie, die im Limes hoher Dimensionen exakt ist, stellt beider Anwendung auf das dreidimensionale Problem ein N�aherungsverfahren dar, dasim Parameter 1=pZ kontrolliert wird. Bevor die Dynamische Molekularfeld{Theorie(DMFT) f�ur elektronische Modelle detaillierter besprochen wird, soll zun�achst kurzauf die Weisssche Molekularfeld{Theorie f�ur Spin{Modelle eingegangen werden.Weisssche Molekularfeld{TheorieDas einfachste quantenmechanische Spin{Modell ist das Heisenberg{Modell mit einerKopplung J zwischen den Spins Si benachbarter Gitterpl�atze i und j1HHeisenberg = �JXhiji SiSj: (1.1)Damit im Limes Z ! 1 die Energie pro Gitterplatz nicht-trivial, d. h. 0 oder 1,wird, mu� J skaliert werden wie J = J�=Z. F�ur Z ! 1 verschwindet nach demzentralen Grenzwertsatz der Ein u� eines einzigen Nachbar{Gitterplatzes wie 1=pZ1Die Summe �uber hiji ist dabei so de�niert, da� jedes Paar n�achster Nachbarn i j zweimalauftritt. Quantenmechanische Operatoren werden mit einem Hut \^" gekennzeichnet.

8 1. Methodenim Vergleich zum Mittelwert �uber alle Z{Nachbarn, d. h. Fluktuationen zwischenbenachbarten Gitterpl�atzen entfallen. Damit gilt die Hartree{EntkopplungSiSj ! hSiiSj + SihSji � hSiihSji (1.2)mit dem Erwartungswert des Spin{Operators hSii. Durch Wahl der Quantisierungs-achse, z. B. in z{Richtung, reduziert sich das Heisenberg{Modell auf das Ising{Modellmit einer Freien Energie, die einem Molekularfeld{Hamilton{OperatorHMF = �2J�Xi Szi hi + J�Xi hSzi ihi (1.3)entspricht (Brout, 1960). Das mittlere Feld hi ist dabei durch die gemittelte Magne-tisierung auf den N�achst{Nachbar{Gitterpl�atzen von i (j 2 NNi) gegeben:hi = 1Z Xj 2NNihSzj i: (1.4)Die physikalische L�osung ist diejenige mit minimaler Freier Energie (inverse Tempe-ratur � = 1=T; kB � 1) F = e��HMF: (1.5)Die Minimierung nach hi f�uhrt f�ur ein ferromagnetisches System (J > 0) auf die vonWeiss (1907) ph�anomenologisch aufgestellte Selbstkonsistenz{BedingunghSzi i = jSzj tanh(2�J�hSzi i) (1.6)F�ur Szi = �1 betr�agt die Curie{Temperatur damit TC = 2J�. Dies ist die exaktekritische Temperatur des unendlich{dimensionalen Systems und eine gute Approxi-mation f�ur das dreidimensionale System, insbesondere f�ur die Vorhersage der richti-gen langreichweitigen Ordnung und f�ur die kritischen Temperaturen des �Ubergangsin die geordnete Phase. So weicht die N�eel{Temperatur des antiferromagnetischenHeisenberg{Modells (J < 0) in der Weissschen{Molekularfeld{Theorie (TN = 2jJ�j)von der des dreidimensionalen Systems um 30% bis 40% ab. Dies zeigt der Vergleichvon TN = 2jJ�j mit der Hochtemperatur{Entwicklung [TN = 1:28jJ�j nach Hasegawa(1989)], mit der Spin{Fluktuations{Theorie [TN = 1:32jJ�j nach Singh (1998)] undder Quanten{Monte{Carlo{Simulation [TN = 1:26jJ�j nach Sandvik (1998)]. Nichts-destoweniger f�uhren Spin{Fluktuationen zu qualitativ verschiedenen kritischen Ex-ponenten und Abweichungen vom N�eel{Grundzustand, s. z. B. Mattis (1981).

1.1. Dynamische Molekularfeld{Theorie 9Elektronische ModelleAuch f�ur Modelle korrelierter Elektronen stellt sich die Frage nach einer Molekular-feld{Theorie, die f�ur Z ! 1 exakt wird. Im Gegensatz zu den oben betrachtetenSpin{Modellen wird hier aber die Hartree{Fock{Entkopplung der lokalen Dichte{Dichte{Wechselwirkung in Analogie zu den Spin{Modellen, Glg. (1.2), f�ur Z ! 1nicht exakt, sondern eine wesentlich kompliziertere Dynamische Molekularfeld{Theo-rie. Den ersten Schritt auf dem Weg zu dieser Molekularfeld{Theorie f�ur elektronischeModelle, wie dem Hubbard{Modell2 mit Coulomb{Wechselwirkung U und kinetischerEnergie t HHubbard = �tXhiji� cyi� cj� + U Xi ni"ni#; (1.7)leisteten Metzner und Vollhardt (1989), die eine nicht{triviale Skalierung der kineti-schen Energie t = t�pZ (1.8)f�ur das hyperkubische Gitter einf�uhrten. Diese f�uhrt auf die nicht{wechselwirkendeZustandsdichte bei der Energie EN0(E) = 1p2� t� e� E22t�2 : (1.9)Au�erdem wurde gezeigt, da� die wesentliche Vereinfachung f�ur Z ! 1 eine reinlokale Selbstenergie ist (k: Impuls; !: Frequenz):�(k; !) Z!1�! �(!): (1.10)M�uller-Hartmann (1989) zeigte, da� auf allgemeineren Gittern die Erhaltung des Im-pulses in unendlichen Dimensionen irrelevant wird und nur die lokale Wechselwirkungdynamisch bleibt, w�ahrend die N�achst{Nachbar{Dichte{Dichte{Wechselwirkung sichauf den Hartree{Beitrag reduziert. Ein weiterer entscheidender Schritt war die Aus-arbeitung einer Molekularfeld{Theorie von Jani�s und Vollhardt (1992), Jarrell (1992)sowie Georges und Kotliar (1992). F�ur ein allgemeines System mit M B�andern (Band{Index �) 3, Dispersionsrelation �k� und lokalen Coulomb{Wechselwirkungen U , V0 undF0, H = Xhiji�� �k� cyk� ck� + UXi� ni�"ni�# + Xi;�<�0;��0(V0 � ���0F0) ni��ni�0�0 ; (1.11)2In der zweiten Quantisierung (s. z. B. Negele und Orland (1987)) sind cj� und cyi� Vernichtungs{und Erzeugungsoperatoren f�ur ein Elektron am Gitterplatz j(i) mit Spin �; ni� = cyi� ci� .3Der Hamilton{Operator enth�alt alle lokalen Dichte{Dichte{Wechselwirkungen und wird in Ka-pitel 2, s. a. Abb. 2.1, eingef�uhrt.

10 1. Methodenist diese Dynamische Molekularfeld{Theorie durch ein lokales Einplatz{Problem ineinem e�ektiven Medium, der Selbstenergie �, gegeben. Dabei l�a�t sich die Green{Funktion G durch ein Funktional{Integral �uber Grassmann{Varibalen und � beiimagin�aren Zeiten � bzw. Matsubara{Frequenzen !n = (2n + 1)�=� (s. Negele undOrland (1987)) ausdr�ucken:G��n = � 1Z Z D[]D[�]��n���n expA[�; ;G�1] (1.12)mit G�1 = G�1 + �,A[�; ;G�1] = X��;n ���nG�1��n ��n (1.13)�UX� �Z0 d� ��"(�) �"(�) ��#(�) �#(�)� X�<�0;��0(V0 � ���0F0) �Z0 d� ���(�) ��(�) ��0�0(�) �0�0(�)und der Zustandssumme ZZ = Z D[]D[�] expA[�; ;G�1] (1.14)Selbstenergie und Green{Funktion m�ussen dabei selbstkonsistent die k{summierteDyson{Gleichung, G��n = 1(2�)3 Xk (i!n + �� ���n � �k�)�1 ; (1.15)erf�ullen. Mit dieser Selbstkonsistenz{Bedingung ist die DMFT eine erhaltende N�ahe-rung im Sinne von Baym und Kadano� (1961).Die beiden Gleichungen (1.12) und (1.15) lassen sich iterativ l�osen, wenn zwei-mal die Hilfsgleichung G�1 = G�1 + � eingeschoben wird (zur L�osung des DMFT{Iterationsschemas s. Abschnitt 1.3 oder das Struktogramm Anhang A aus Held(1995)). Jarrell (1992) sowie Georges und Kotliar (1992) erkannten, da� das Einplatz{Problem, Glg. (1.12), �aquivalent zu einem St�orstellen{Anderson{Modell ist und sichdamit mit den Standard{Methoden f�ur das St�orstellen{Modell behandeln l�a�t. Diessind insbesondere die St�orungstheorie zweiter Ordnung, die Quanten{Monte{Carlo{Simulation nach Hirsch und Fye (1986), die exakte Diagonalisierung kleiner Systeme,die \Non{Crossing"{Approximation und die numerische Renormierungsgruppe. Diese

1.2. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus f�ur Mehrband{Modelle 11L�osungsmethoden erlaubten eine �au�erst erfolgreiche Anwendung der DMFT auf Pro-bleme der Festk�orperphysik wie den Metall{Isolator{�Ubergang, Antiferro{ und Fer-romagnetismus im Hubbard{Modell, die Kondo{Physik des Periodischen Anderson{Modells und die Verkn�upfung von Bandstruktur{Rechnungen mit der DMFT, s. die�Ubersichtsartikel von Vollhardt (1993), Pruschke, Jarrell und Freericks (1995) so-wie Georges, Kotliar, Krauth und Rozenberg (1996), zus�atzlich Vollhardt, Bl�umer,Held, Kollar, Schlipf, Ulmke und Wahle (1999) f�ur den Ferromagnetismus, Furukawa(1998) f�ur das Kondo{Gitter{Modell sowie Anisimov, Poteryaev, Korotin, Anokhinund Kotliar (1997) f�ur die Verbindung mit Bandstruktur{Rechnungen.1.2 Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus f�urMehrband{ModelleDas lokale M{Band{Modell, Glg. (1.11), l�a�t sich mit einem Quanten{Monte{Carlo{(QMC{)Algorithmus nach dem Konzept von Hirsch und Fye (1986) numerisch exaktl�osen. Als Grundlage f�ur die Entwicklung des hier vorgestellten Mehrband{QMC{Algorithmus diente Ulmke (1995) und Georges et al. (1996).Zeitdiskretisierung und Trotter{ZerlegungF�ur die numerische L�osung mu� zun�achst eine Trotter{Diskretisierung der imagin�arenZeit � in � Intervalle der Gr�o�e �� = �=� erfolgen. Damit wird das Integral R �0 d�zu der Summe P�l=1 �� mit �l = l�� , und die einzelnen Terme aus Glg. (1.12) lassensich nach der Trotter{Suzuki{Formel (Suzuki, 1976)e��fA+Bg = �Yl=1 e���Ae���B + O(�� 2) (1.16)mit Operatoren A und B separieren, was im Limes �� ! 0 exakt wird.Hubbard{Stratonovich{TransformationJeder der insgesamt M(2M�1) Wechselwirkungs{Terme der Form U , V0 oder V0�F0l�a�t sich nach der Trotter{Zerlegung mit Hilfe der �ublichen Hubbard{Stratonovich{Transformation entkoppeln. Die hier verwendete diskrete Form lautet:expf��2 V��;�0�0( ���l ��l � ��0�0l �0�0l)2g =12 Xsl��;�0�0=�1 expf���;�0�0 sl��;�0�0 ( ���l ��l � ��0�0l �0�0l)g; (1.17)

12 1. Methodenmit cosh(���;�0�0) = exp(��(V��;�0�0)=2) undV��;�0�0 = 8>><>>: U f�ur � 0 = � und �0 > �V0 � F0 f�ur � 0 > � und �0 = �V0 f�ur � 0 > � und �0 6= �0 sonst : (1.18)Auf diese Weise erh�alt man anstelle von Glg. (1.12) eine hochdimensionale Summe�uber �M(2M � 1) Hilfsfelder sl��;�0�0 . Die Green{Funktion zwischen den Zeiten �1 =l1�� und �2 = l2�� G��l1l2 = G��(�1 � �2) (1.19)wird zu4G~�~�l1l2 = 1ZXl X(�0;�0)>(�00;�00) Xsl�00�00;�0�0=�1 Z DD� �~�~�l1~�~�l2� exp(X��l0l00 ���l0Ms��l0l00��l00) ; (1.20)wobei Z die ZustandssummeZ = Xl X(�0;�0)>(�00;�00) Xsl�00�00;�0�0=�1 Z DD� exp(X��l0l00 ���l0Ms��l0l00��l00)ist. Hierbei bezeichnet s den Vektor der Hilfsfeld{Kon�gurationen, Ms�� die Matrixmit den ElementenMs��ll0 = �� 2 �G�1�� + ����ll0 � �ll0X�0�0 ���;�0�0 ~���;�0�0 sl��;�0�0 ; (1.21)und ~���;�0�0 = 2�(�0��+���0 [� 0��])�1 = �1 liefert f�ur die beiden an der Hubbard{Stratonovich{Transformation beteiligten Dichten das entgegengesetzte Vorzeichen.Eine genauere Analyse des St�orstellen{Modells f�uhrt zu folgendem Ausdruck f�urMs��, der bis auf O(��) mit Glg. (1.21) �ubereinstimmt (s. Georges et al. (1996)):M s�� = �� 2 �G�1�� +���� e�~�s�� + 1� e�~�s�� (1.22)mit den Elementen der Matrix ~�s��~�s��ll0 = ��ll0X�0�0 ���;�0�0 ~���;�0�0 sl��;�0�0 : (1.23)4(�0; �0) > (�00; �00) bedeutet die Einschr�ankung �0 > �00 oder �0 = �00 f�ur �0 > �00.

1.2. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus f�ur Mehrband{Modelle 13Wicksches TheoremDa die Fermionen in Glg. (1.20) nur noch quadratisch eingehen, kann das Funk-tionalintegral durch eine einfache Gausssche Integration bzw. das Wicksche Theo-rem berechnet werden (s. z. B. Negele und Orland (1987)). Das quantenmechanischeProblem reduziert sich nach der Integration �uber die Grassmann{Variablen auf einMatrix{Problem:G~�~�l1l2 = 1ZXl X(�0;�0)>(�00;�00) Xsl�00�00;�0�0=�1 �(Ms~�~�)�1�l1l2Y�� detM s��: (1.24)Monte{Carlo{SimulationAls Schwierigkeit verbleibt die hochdimensionale Summe in Glg. (1.24) von exponen-tiell vielen (insgesamt 2�M(2M�1)) Summanden. Bereits f�ur ein Zweiband{Modell isteine vollst�andige Summation nur f�ur � � 4 m�oglich. Dies entspricht bei akzeptablenDiskretisierungen �� = �=� extrem hohen, wenig interessanten Temperaturen. AlsL�osung bietet sich die Monte{Carlo{Simulation an. Diese ist ein sehr e�zientes Ver-fahren, um hochdimensionale Summen oder Integrale zu berechnen. Dabei wird derIntegrand F (x) in eine normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung P und einen Rest-term O aufgeteilt: Z dx F (x) = Z dx O(x)P (x) �<O>P (1.25)mit Z dxP (x) = 1 und P (x) � 0: (1.26)In der statistischen Physik ist das Boltzmann-Gewicht h�au�g die geeignete Wahlf�ur P : P (x) = 1Z exp(��E(x)): (1.27)F�ur die zu berechnende Summe, Glg. (1.24), entspricht diesP (s) = 1ZY�� detMs�� (1.28)und O(s)~�~�l1l2 = �(Ms~�~�)�1�l1l2 : (1.29)

14 1. MethodenGibt es in Glg. (1.28) auch negative Determinaten, so mu� in Glg. (1.28) der Be-trag der Determinate genommen werden, und deren Vorzeichen dem Matrixelement(1.29) zugeschlagen werden. W�ahrend bei der �ublichen Integration �uber alle m�oglichenKon�gurationen summiert wird, werden bei der Monte{Carlo{Simulation Kon�gura-tionen xi nach der Wahrscheinlichkeitsverteilung P (x) erzeugt, und die betrachteteObservable O(x) �uber die stochastisch erzeugten xi gemittelt. Dabei werden die re-levanten Bereiche des Phasenraumes mit einem gro�en Boltzmann{Gewicht st�arkerber�ucksichtigt als die mit einem kleinen, w�ahrend bei der �ublichen Integration dieallermeisten Summanden praktisch keinen Beitrag zum Integral liefern (weil sie expo-nentiell klein sind). Daher stammt auch die Bezeichnung importance-sampling. Nachdem Zentralen Grenzwertsatz erh�alt man bei der Ber�ucksichtigung von N statistischunabh�angigen Summanden f�ur den Mittelwert<O>P= 1N NXi=1xi2P (x)O(xi)� 1pNq<O2>P � <O>2P : (1.30)Dabei ist der Fehler und damit die ben�otigte Anzahl der Summanden N nahezuunabh�angig von der Dimension des Integrals. Aus diesem Grund w�achst der Re-chenaufwand bei der Monte{Carlo-Simulation im Gegensatz zu einer gew�ohnlichenIntegration nicht exponentiell, sondern lediglich polynominal5 mit der Dimension desIntegrals.Neben diesem gro�en Vorteil zeigt Glg.(1.30) auch die Schwachstellen der Monte{Carlo{Simulation auf: Je kleiner das Verh�altnis von Signal zu Rauschen ist, d. h. von< O >P zu p<O2>P � <O>2P , desto gr�o�er wird der Fehler. Dies ist insbeson-dere bei dem sogenannten Vorzeichen{Problem der Fall. Bei diesem gibt es Berei-che des Phasenraumes mit positiven und negativen O(x), die sich nahezu aufhebenund zu einem kleinen Mittelwert <O>P f�uhren, w�ahrend die Standardabweichungp<O2>P � <O>2P gro� ist.Markov{Proze�Die Realisierung von nach P (x) verteilten Kon�gurationen erfolgt mit einem Markov{Proze�. Wurde x realisiert, so wird eine neue Kon�guration y mit einer Wahrschein-lichkeit P(x! y) = min f1; P (y)=P (x)g (1.31)5Der Aufwand zur Berechnung statistisch unabh�angiger Kon�gurationen xi sowie von O w�achstmit zunehmender Systemgr�o�e im allgemeinen polynominal.

1.2. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus f�ur Mehrband{Modelle 15akzeptiert. Da bei diesem Verfahren nach Metropolis, Rosenbluth, Rosenbluth, Tellerund Teller (1953) die detaillierte BilanzP (x)P(x! y) = P (y)P(y ! x) (1.32)erf�ullt wird, erzeugt der Markov{Proze� Kon�gurationen, die der Verteilung P (x)gen�ugen.6\Single"{Spin ipF�ur die Monte{Carlo{Integration �uber die Hilfsfelder in Glg. (1.24) wird der QuotientP (y)=P (x), d. h. detMs0��= detMs��, sowie der Zusammenhang von (Ms��)�1 und(Ms0��)�1 ben�otigt. Um den Rechenaufwand zu minimieren, bietet es sich an, beim�Ubergang s! s0 nur eine einzige Hilfsfeld{Komponente zu �andern. MitMs0�� = Ms�� he�~�s��i�1 e�~�s0�� + 1� he�~�s��i�1 e�~�s0��= Ms��8>>><>>>:1 + �1� [Ms��]�1��he�~�s��i�1 e�~�s0�� � 1�| {z }��s0s��9>>>=>>>;| {z }� As0s�� (1.33)

ergibt sich f�ur den Quotienten der Determinanten:Rs0s�� = detM s0��detM s�� = detAs0s�� : (1.34)Die neue Matrix (Ms0��)�1 lautet:(Ms0��)�1 = (As0s�� )�1(M s��)�1: (1.35)In der Formel f�ur As0s�� , Glg. (1.33), geht die Matrix�s0s�� = �e�~�s����1e�~�s0�� � 1 (1.36)ein. Diese hat bei dem Flip eines einzigen Hilfsfeldes sl�00�00;�0�0 ! �sl�00�00;�0�0 eine sehreinfache Struktur. Sie besteht im wesentlichen aus Nullen und hat �uberhaupt nurf�ur ein Band � mit Spin{Komponente � einen Matrix{Eintrag ungleich Null, wenn6Eine zus�atzliche Bedingung ist, da� �uber eine Reihe von �Uberg�angen aus jeder Start{ jedem�ogliche Ziel{Kon�guration erreicht werden kann. Damit ist ein endliches System ergodisch.

16 1. Methoden� = �00 und � = � 00 oder � = �0 und � = � 0. In diesem Fall ist nur eine einzigeKomponente der Matrix �s0s�� ungleich Null, die gleichzeitige l{l{Komponente�s0s��ll = expf2���;�0�0 ~���;�0�0 sl��;�0�0g � 1 (1.37)f�ur � = �0 und � = � 0 bzw.�s0s��ll = expf2��00�00;�� ~��00�00;�� sl�00�00;��g � 1 (1.38)f�ur � = �00 und � = � 00. Damit hat auch As0s�� , Glg. (1.33), eine einfache Struktur.Sind � und � von dem Flip des Hilfsfeldes sl�00�00;�0�0 betro�en, so gilt mit dem obende�nierten �s0s�� As0s��l0l00 = �l0l00 + ��l0l�ll00 � [(Ms��)�1]l0l�ll00��s0s��ll: (1.39)Dies f�uhrt direkt auf einen Ausdruck f�ur den Quotienten Rs0s�� :Rs0s�� = detAs0s�� = �1� [(Ms��)�1]ll��s0s��ll: (1.40)Um die Akzeptanzwahrscheinlichkeit f�ur den Flip sl�00�00;�0�0 ! �sl�00�00;�0�0 , Glg. (1.31),zu berechnen, ist sowohl f�ur Rs0s�0�0 als auch f�ur Rs0s�00�00 jeweils nur eine Additions{ undMultiplikations{Operation erforderlich, wobei jeweils ein Element der Matrix (Ms��)�1ben�otigt wird.Mit Hilfe einer Entwicklung nach Minoren l�a�t sich aus Glg. (1.39) auch leicht dieinverse Matrix �(As0s�� )�1�l0l00 = �l0l00 + �s0s��llRs0s�� �[(Ms��)�1]l0l�ll00 � �l0l�ll00� (1.41)berechnen. Mit Hilfe von Glg. (1.35) erh�alt man hieraus nach der Akzeptanz derneuen Hilfsfeld{Kon�guration s0 die neue Matrix[(Ms0��)�1]l0l00 = �(Ms��)�1�l0l00 + �s0s��llRs0s�� �[(Ms��)�1]l0l � �l0l�[Ms��)�1]ll00: (1.42)Diese kann mit �2 + O(�) Multiplikations{ und Additions{Operationen berechnetwerden. Der Gesamtaufwand des Algorithmus betr�agt somit in f�uhrender Ordnungin � 2AM(2M � 1)�3 � Anzahl der MC-Sweeps: (1.43)Hierbei wird in einem Monte{Carlo{Sweep jedes Hilfsfeld im Mittel einmal auf einenFlip �uberpr�uft. A ist die mittlere auftretende �Ubergangswahrscheinlichkeit (die Ak-zeptanzrate). Nachdem eine Start{Kon�guration der Hilfsfelder ausgew�urfelt wurde,

1.2. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus f�ur Mehrband{Modelle 17werden zur Thermalisierung je nach St�arke der stochastischen Fluktuationen zun�achst2.000-20.000 Monte{Carlo{Sweeps durchgef�uhrt. Danach wird die Green{Funktionund ihr statistischer Fehler aus dem Mittel von (Ms0��)�1 �uber 20.000-200.000 Monte{Carlo{Sweeps berechnet. Typischerweise mu� die QMC{Simulation f�unf bis zehnmalmit der Selbstkonsistenz{Gleichung (1.15) iteriert werden, bevor eine Konvergenz von5� 10�3 in der Gr�o�e G�1 gem�a� der Summennorm erreicht wird.Suszeptibilit�atenEine allgemeine Suszeptibilit�at � berechnet sich aus der Ableitung des Ordnungspa-rameters mx nach dem zugeh�origen Feld x. Der Ordnungsparameter setzt sich dabeiaus den mittleren Elektronendichten hn���i in Abh�angigkeit von Spin �, Orbital �und Untergitterindex � 2 fA;Bg = f1;�1g zusammen:�x = @mx@x = 12X��� fx��� @hn���i@x = 12T X���n fx��� @G���n@x : (1.44)In dieser Arbeit wurden die Instabilit�aten bez�uglich folgender Realisierungen desFeldes x untersuchtfx��� 2 8>>>><>>>>: ���� (3� 2�)(1� �)� + �� (3� 2�)19>>>>=>>>>; f�ur x 2 8>>>><>>>>: HHstHOOH��

9>>>>=>>>>; : (1.45)Dabei beschreiben x = H und x = Hst ferro{ bzw. antiferromagnetische Suszepti-bilit�at, x = HOO eine alternierende orbitale Suszeptibilit�at, die f�ur das Zweiband{Modell mit � 2 f1; 2g untersucht wurde, x = H� eine gemischte ferromagnetischeund orbitale Suszeptibilit�at mit verschiedenen Anteilen � 2 [0; 1] und x = � die elek-tronische Kompressibilit�at. Aus den beiden Selbstkonsistenz{Gleichungen der DMFT(1.15) und (1.12) bzw. (1.24) werden durch Di�erentiation nach dem Feld x zwei ent-sprechende Gleichungen f�ur @G=@x erzeugt. Die Ableitung des Funktional{Integrals,Glg. (1.12), liefert @G���n@x = T X�0�0n0 ����n;�0�0n0 x��0�0n0; (1.46)mit der dynamischen Antwortfunktion des e�ektiven Mediums x���n = @@xf(G���n)�1 + ����ng (1.47)

18 1. Methodenund der Zwei{Teilchen{Korrelationsfunktion����n;�0�0n0 = h���n����n ��0�0n0���0�0n0i � h���n����ni h��0�0n0���0�0n0i: (1.48)Bei diesen Gleichungen f�allt auf, da� die dynamische Antwortfunktion in der DMFTkeine Kopplung verschiedener k{Vektoren beschreibt. Eine k{Abh�angigkeit kann je-doch implizit �uber das externe Feld entstehen. Bei den hier untersuchten Suszeptibi-lit�aten ist dies k = (0; � � �0) f�ur die ferromagnetische Suszeptibilit�at und die Kom-pressibilit�at sowie k = (�; � � � ; �) f�ur die alternierende orbitale und die antiferroma-gnetische Suszeptibilit�at. Bei der Ableitung der zweiten Selbstkonsistenz{Gleichung,der Dyson{Gleichung (1.15), nach x ist es sinnvoll, die Gr�o�ez���n = i!n + �+ fx���x� ����n (1.49)einzuf�uhren. Man erh�alt:@G���n@x = � x���n + @G����n=@x(G���n)2 � fx���� ����n +� x����n + @G����n=@x(G���� n)2 � fx����� ����n; (1.50)mit ����n = 1(2�)3 Xk �z���n � �2k�=z����n��2 ; (1.51)����n = 1(2�)3 Xk �z����n � �2k�=z����n��2 �2=(z����n)2: (1.52)Da Glg. (1.50) lediglich verschiedene Untergitter � koppelt, aber diagonal in n, � und� ist, kann diese Gleichung problemlos nach @G���n=@x aufgel�ost werden:@G���n@x = X�0 R��0��n (fx�0�� � x�0��n) (1.53)mit der 2� 2 Matrix R in � 2 fA;Bg = f1;�1gR��n = �(det D��n)�1D��nT ��n; (1.54)wobei D und T wie folgt de�niert sind:D��n = 0@ 1� �B��n(GB��n)2 �A��n(GB��n)2�B��n(GA��n)2 1� �A��n(GA��n)2 1A ; (1.55)T��n = �A��n �A��n�B��n �B��n ! : (1.56)

1.2. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus f�ur Mehrband{Modelle 19Wird @G=@x aus Glg. (1.53) in die andere Selbstkonsistenz{Gleichung (1.46) einge-setzt, so folgt eine Gleichung f�ur die dynamische Antwortfunktion :X�0 R��0��nfx�0�� = X�0�0�0n0 n�nn0���0���0R��0��n + ���0T����n;�0�0n0o x�0�0�0n0: (1.57)Aus dieser Gleichung erh�alt man durch Inversion einer 4�M � 4�M Matrix . MitHilfe von l�a�t sich aus den Glgn. (1.46) oder (1.53) @G=@x bestimmen, was danndie Berechnung der Suszeptibilit�at, Glg. (1.44), erlaubt. Beim Phasen�ubergang indie geordnete Phase divergiert die entsprechende Suszeptibilit�at. Mit einem Curie{Weiss{Fit wird in dieser Arbeit die kritische Temperatur f�ur den Phasen�ubergang,d. h. der Nulldurchgang der inversen Suszeptibilit�at, bestimmt. Eine ausf�uhrlicheBeschreibung der Fehlerrechnung inklusive Extrapolation �� ! 0 und Curie{Weiss{Fit, wie sie in der vorliegenden Arbeit angewandt wurde, �ndet man bei Held (1995)und Bl�umer (1996). An dieser Stelle sollen in Abb. 1.1 und | f�ur den Algorithmusf�ur die Manganate | in Abb. 1.3 (s. u.) lediglich typische \Least{Square"{Fits zurExtrapolation �� ! 0 der QMC{Daten angegeben werden, wie sie zur Gewinnungder Resultate in Kapitel 2 bzw. Kapitel 5 durchgef�uhrt wurden. In Kapitel 4 wirdexplizit auf die ��{Extrapolation eingegangen.Test des AlgorithmusUm die korrekte Implementation des neuen Algorithmus zu validieren, wurden fol-gende bekannte Ergebnisse reproduziert:� Die Green{Funktion im atomaren Limes: Mit Hilfe der Spektraldarstellung(s. z. B. Rickayzen (1988))G�=1�="(!) = 1ZXmn 1! � En + Em � � �1 + e�(En�Em��)��jhnjcy�=1�="jmij2e��(Em��Nm) (1.58)l�a�t sich die Green{Funktion auf einfache Weise aus den Eigenfunktionen hmjund den Eigenwerten Em mit zugeh�origer Teilchenzahl Nm berechnen. F�urdas Zweiband{System ist Nm 2 f1; ::; 4g. Der Operator cy�=1�=" schr�ankt diebeteiligten Zust�ande hmj und hnj mit einem nicht{verschwindenden Beitragin Glg. (1.58) stark ein. Der Algorithmus wurde im atomaren Limes f�ur ver-schiedene Werte von U , V0, F0 und � anhand der Green{Funktion (1.58) f�urMatsubara{Frequenzen �uberpr�uft.� Die Suszeptibilit�at und Green{Funktion f�ur das Einband{Modell wurde f�urdie Bethe{Zustandsdichte und die asymmetrische Zustandsdichte aus Wahle,Bl�umer, Schlipf, Held und Vollhardt (1998) reproduziert.

20 1. Methoden

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

χ−1

∆τAbbildung 1.1: Exemplarische Extrapolationen��!0 der Suszeptibilit�at des Zweiband{Modells (1.11) f�ur U = 6, V0 = 4:5, F0 = 1:5, n = 1 und T = 0:2 (orbitale Suszeptibilit�at;Quadrate), U=12, V0=9, F0=3, n=1 und T =0:33 (orbitale Suszeptibilit�at; Kreise) sowieU=12, V0=9, F0=3, n=1:5 und T =0:17 (ferromagnetische Suszeptibilit�at; Dreiecke).� Die von Rozenberg (1997) ohne F0{Term berechnete �(n){Kurve des Metall{Isolator{ �Ubergangs im Zweiband{Modell wurde f�ur U = V0 = 6 und � = 4(U = 3 bzw. � = 8 in Einheiten von Rozenberg (1997)) im Rahmen des Fehlersreproduziert, s. Abb.1.2.� Die Suszeptibilit�at und Green{Funktion im wechselwirkungsfreien Grenzfall wur-den reproduziert.� Die Konsistenz der ferromagnetischen Suszeptibilit�at wurde durch Vergleichmit der numerischen Di�erenziation der Magnetisierung nach dem Magnetfeld�uberpr�uft.

1.2. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus f�ur Mehrband{Modelle 21

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

n

µ−3/2 UAbbildung 1.2: Teilchen{Dichte n als Funktion des chemischen Potentials � im Zweiband{Hubbard{Modell. Bei n = 2 und n = 3 (bzw. n = 1 aufgrund der Teilchen{Loch{Symmetrie) wird die Kompressibilit�at � = @n=@� extrem klein. Das System ist bei diesenDichten isolierend.Spin ip{TermNeben den lokalen Dichte{Dichte{Wechselwirkungen des Hamilton{Operators (1.11)tritt wegen der SU(2){Symmetrie auch ein Spin ip{Term der FormHSF = �F0 Xi;�<�0;� 6=�0cyi�� ci��0 cyi�0�0 ci�0� (1.59)auf. F�ur diesen Term ist die �ubliche Hubbard{Stratonovich{Transformation nichtanwendbar. Eine alternative Entkopplung wurde von Motome und Imada (1997) vor-geschlagen. Diese vermeidet ein Vorzeichen{Problem der Monte{Carlo{Simulation imsymmetrischen Fall halber F�ullung, hat aber ein Phasen{Problem mit komplexen Ge-wichten abseits halber F�ullung. Anstelle dieser Entkopplung wurde daher ein Ansatzmit � = p�� F0 versucht:exp��� F0 ���l ���l ��0��l �0�l =12 Xs=�1 exp �� f l��;�0�� ( ���l ���l + ��0��l �0�l): (1.60)

22 1. MethodenDieser Ansatz f�uhrt im Gegensatz zu dem in Abschnitt 1.2 beschriebenen auf einenwesentlich komplizierteren Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus, da auch Green{Funk-tionen der Form G�"#l1l2 auftreten, die Spin ip{Prozesse beschreiben und die zuvorseparierten Green{Funktionen G��l1l2 � G���l1l2 koppeln. Anstelle von 2M Matrizender Gr�o�e �� � treten M Matrizen der Gr�o�e 2�� 2� auf. De�niert man~�f����l = � �ll0 X�<�0 f l��;�0�� + X�>�0 f l�0��;��! ; (1.61)so erh�alt man anstelle des einkomponentigen �s0s��ll aus Glg. (1.38) eine 2� 2 Matrixin der Spin{Komponente�s0f 0sf�ll = �e�~�f�lle�~�s�ll��1e�~�f 0�lle�~�s0�ll � 1: (1.62)Die Berechnung der �Ubergangswahrscheinlichkeit und der neuen Matrix (Msf� )�1 beieinem Flip eines Hilfsfeldes f��;�0�0 ! �f��;�0�0 oder s��;�0�0 ! �s��;�0�0 hat die Formvon Glg. (1.40) und Glg. (1.42), wobei (Msf� )�1 und �s0f 0sf�ll jetzt 2� 2 Matrizen inder Spin{Komponente sind. Durch die Kopplung der Spin{Komponenten kommt eszu gro�en Fluktuationen in (Msf� )�1, denn der GewichtsfaktorP (sf) /Y� detMsf� (1.63)hat in etwa gleich viele positive und negative Beitr�age. Selbst f�ur hohe Temperaturenvon � = 2 und f�ur kleine Coulomb{Wechselwirkung U = 2, V0 = 1 und F0 = 0:5 wirddas mittlere Vorzeichen extrem klein. Aufgrund dieses Vorzeichenproblems konntenkeine Monte{Carlo{Simulationen mit Spin ip{Term durchgef�uhrt werden.1.3 Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus f�urManganat{ModelleEinteilchen{Green{FunktionKoppeln die elektronischen Freiheitsgrade mit der Hundschen Kopplung J an einenzus�atzlichen Ising{Spin Sz = �1, wie in Kapitel 5, Glg. (5.9), so wird das lokaleProblem, Glg. (1.12), modi�ziert:G��n = � 1Z XSz=�1 Z D[]D[�]��n���n expA[�; ; Sz;G�1] (1.64)

1.3. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus f�ur Manganat{Modelle 23mit G�1 = G�1 + � undA[�; ; Sz;G�1] = X��n ���n �G�1��n + �JSz� ��n (1.65)�UX� �Z0 d� ��"(�) �"(�) ��#(�) �#(�)� X�<�0;��0(V0����0F0) �Z0 d� ���(�) ��(�) ��0�0(�) �0�0(�):Entsprechend mu� f�ur die Berechnung der Zustandssumme ebenfalls �uber Sz = �1summiert werden. Die Selbstkonsistenz{Gleichung, d. h. die k{integrierte Dyson{Gleichung (1.15), bleibt unver�andert.Das Einplatz{Problem, Glg. (1.64), l�a�t sich in der paramagnetischen Phase durchfolgenden Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus l�osen:1. Berechne G�1 = G�1 + �.2. Bilde ~G�1 = G�1 + J .3. F�uhre mit ~G�1 den in Abschnitt 1.2 beschriebenen Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus zur Berechnung von G� aus.4. Da in der paramagnetischen Phase das Gewicht f�ur die beiden Kon�gurationenSz = �1 gleich ist, und unter Vertauschung Sz ! �Sz die Symmetrie G� !G�� gilt, erh�alt man die paramagnetische Green{Funktion aus der MittelungG = 12 (G" +G#).5. Berechne � = G�1 �G�1.6. Berechne G aus � mit der k{integrierten Dyson{Gleichung (1.15).7. Fahre mit dem neuen G und � bei Schritt 1. fort, bis sich das neue und alte G�1um weniger als 10�3 unterscheiden (in der Summen{Norm �uber alle Matsubara{Frequenzen).In diesem Algorithmus sind zus�atzlich zwei Fourier{Transformationen notwendig, umvon der Darstellung in Matsubara{Frequenzen zu der in imagin�arer Zeit zu wechselnund vice versa. Bei diesen Fourier{Transformationen wird die Gl�attung nach Ulmke(1995), s. dort Anhang B, verwendet.

24 1. MethodenSuszeptibilit�atenMit dem gleichen Vorgehen wie f�ur den Mehrband{Algorithmus lassen sich auchdie Suszeptibilit�aten in der paramagnetischen Phase bei Anwesenheit eines zus�atzli-chen Spins berechnen. Ebenso wie bei den Einteilchen{Green{Funktionen �andert sichauch die Ableitung der Dyson{Gleichung nach dem externen Feld x nicht, Glg. (1.50)bzw. (1.53) bleibt unver�andert. Der zus�atzliche Spin modi�ziert dagegen die Zwei-teilchen{Korrelations{Funktion �, die in Glg. (1.46) den Zusammenhang zwischendynamischer Antwort{Funktion und @G=@x beschreibt. Die Rechnung mit zus�atz-lichem Spin ergibt����n;�0�0n0 = 12 XSz=�1h�n��n �n0��n0iSz� XSz=�1h���n����niSz XS0z=�1h��0�0n0���0�0n0iS0z : (1.66)Wird im Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus diese Zweiteilchen{Korrelation � be-rechnet, so liefert Glg. (1.57) die dynamische Antwortfunktion . Aus l�a�t sich mitGlg. (1.53) oder (1.46) die Ableitung der Green{Funktion @G=@x bestimmen. Darauswiederum folgt mit Glg. (1.44) die Suszeptibilit�at �x.Betrachtet wurden auch Felder, die neben einer Kopplung an die elektronischenFreiheitsgrade auch an den lokalisierten Spin koppeln (insbesondere die Kopplungeines Magnetfeldes an den lokalisierten Spin mit Land�e{Faktor gS). Dies f�uhrt zuzus�atzlichen Beitr�agen in Glg. (1.66).Abb. 1.3 zeigt Extrapolationen �� ! 0 des QMC{Algorithmus f�ur Manganate,wie sie zur Erzeugung der Ergebnisse in Kapitel 5 durchgef�uhrt wurden.Test des AlgorithmusUm die korrekte Implementation des Algorithmus zu validieren, wurden mit demneuen Algorithmus folgende bekannte Ergebnisse reproduziert:� Der atomare Limes f�uhrt f�ur J ! 1 auf besonders einfache Ergebnisse. Indiesem Fall sind die elektronischen Freiheitsgrade vollst�andig entlang der z{Richtung polarisiert. Im verwendeten Zweiband{Modell ist die Magnetisierungder Elektronen m = 2Sz. Dies f�uhrt mit dem Land�e{Faktor gS f�ur den Spinund ge = 1 f�ur die Elektronen auf eine EnergieE = (2 + gs)SzH (1.67)F�ur Sz = �1 ergeben sich daraus die Magnetisierung der Elektronenm = 2 tanh(�(2 + gs)H) (1.68)

1.3. Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus f�ur Manganat{Modelle 25

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

χ−1

∆τ

n = 0.4, T = 0.200n = 0.8, T = 0.200n = 0.9, T = 0.167n = 0.4, T = 0.100

Abbildung 1.3: Exemplarische Extrapolationen �� ! 0 f�ur U = 8, V0 = 6, F0 = 1,J = 2 und Bethe{Bandbreite W = 4 bei verschiedenen Temperaturen und Elektronen{Dichten [Hamilton{Operator (5.9)], wie sie f�ur das Phasendiagramm Abb. 5.12 in Kapitel5 durchgef�uhrt wurden.und die Suszeptibilit�at �H = @m=@H = 2(2 + gs)�: (1.69)Dieses Ergebnis wurde reproduziert.� F�ur U = V0 = F0 = 0 erh�alt man das Kondo{Gitter{Modell, das sich nachFurukawa (1994), s. a. Furukawa (1998), exakt l�osen l�a�t. Diese L�osung wirdin Abschnitt 5.2 vorgestellt. Die korrekte Berechnung der Suszeptibilit�at wurde�uberpr�uft, s. Tabelle 1.1. Die Abweichung zwischen dem analytischen Resultatund dem mit dem QMC{Algorithmus berechneten betr�agt weniger als 0:01.Die Ursache hierf�ur ist die Extrapolation von �� . Eine approximative Suszep-tibilit�at in der Hartree{Fock{Theorie f�ur tiefe Temperaturen erh�alt man, wennman die Fermi{Funktion durch eine Stufenfunktion n�ahert. Dies f�uhrt auf� = 2N0(�)(1 + gSJ�)1� 2N0(�)J2� : (1.70)Die starke Abweichung der Hartree{Fock{Theorie von der DMFT des Kondo{Gitter{Modells selbst bei einer kleinen Kopplung J ist �uberraschend.

26 1. MethodenParameter QMC exakt HF� = 0, gS = 3, J = 0 0.62 0.63 0.63� = 0, gS = 3, J = 0:1 2.15 2.15 2.28� = 0, gS = 3, J = 0:2 3.60 3.60 4.64� = 0, gS = 3, J = 0:3 4.88 4.88 9.63� = 0, gS = 0, J = 0 0.62 0.63 0.63� = 0, gS = 0, J = 0:1 0.65 0.66 0.67� = 0, gS = 0, J = 0:2 0.73 0.74 0.80� = 0, gS = 0, J = 0:3 0.85 0.86 1.17� = 0:5, gS = 3, J = 0 0.60 0.61 0.61� = 0:5, gS = 3, J = 0:1 2.08 2.09 2.20� = 0:5, gS = 3, J = 0:2 3.52 3.52 4.45� = 0:5, gS = 3, J = 0:3 4.83 4.83 9.09Tabelle 1.1: Vergleich der ferromagnetischen Suzeptibilit�at des QMC{Algorithmus mitder analytischen Auswertung (s. Abbschnitt 5.2) und der Hartree{Fock{Approximation f�urdas ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell mit Ising{Spin (� = 8).1.4 Maximum{Entropie{MethodeIn der Quanten{Monte{Carlo{Simulation wird die Green{Funktion in Abh�angigkeitder imagin�aren Zeiten bzw. der imagin�aren Matsubara{Frequenzen berechnet. Vonphysikalischem Interesse ist das Verhalten des Imagin�arteils (Im) der Green{Funktionbei reellen Frequenzen, da sich hieraus die SpektralfunktionA(!) = � 1� ImG(!) (1.71)berechnen l�a�t. Diese Spektralfunktion (gefaltet mit der Fermi{Funktion) wird mitdem experimentell gemessenen Photoemissions{Spektrum (! < �) bzw. dem inversenPhotoemissions{Spektrum (! > �) identi�ziert.Um aus der Green{Funktion bei imagin�aren Frequenzen i!n die Green{Funktionbei reellen Frequenzen zu berechnen, ist eine analytische Fortsetzung n�otig. W�areeine explizite analytische Form der Green{Funktion bekannt, so w�are diese analyti-sche Fortsetzung trivial. Es m�u�ten lediglich die reellen Frequenzen ! anstelle derMatsubara{Frequenzen i!n eingesetzt werden. Ein Verfahren, das dies ausnutzt, be-steht darin, die Green{Funktion durch eine Pad�e{Approximation auf eine analytischeForm zu bringen. Bei der Quanten{Monte{Carlo{Simulation ist dies aufgrund derstatistischen Fehler und der schlechten Konditionierung des Problems der analyti-schen Fortsetzung nicht die geeignete Methode. Als Standard{Verfahren zur analyti-schen Fortsetzung der Quanten{Monte{Carlo{Daten hat sich daher die Maximum{

1.4. Maximum{Entropie{Methode 27Entropie{Methode durchgesetzt. Einen sehr sch�onen und ausf�uhrlichen �Uberblick�uber die Anwendung der Maximum{Entropie{Methode zur analytischen Fortsetzungvon Quanten{Monte{Carlo{Daten �ndet man bei Jarrell und Gubernatis (1996).Ausgangspunkt ist die Spektral{Darstellung der Green{Funktion nach Fourier-transformation: G(�) = 1Z�1 d! expf�(�� !)g1 + expf�(�� !)gA(!): (1.72)Diese Gleichung zeigt bereits, warum das Problem der analytischen Fortsetzungschlecht konditioniert ist. Der Kern obiger Faltung wird f�ur gro�e Frequenzen !extrem klein, so da� sich �Anderungen in A(!) kaum auf die Green{Funktion auswir-ken. Umgekehrt bedeutet dies, da� kleinste �Anderungen und statistische Fehler inG(�) oder auch ein unzureichender ��{Grid die Spektralfunktion A(!) bei gro�enFrequenzen stark beein u�t. F�ur kleine Frequenzen ist dies nicht der Fall, hier l�a�tsich A(!) sehr genau bestimmen.Um dieses Problem behandeln zu k�onnen, wird die Maximum{Entropie{Methodeverwendet. Dabei wird A(!) > 0 als Wahrscheinlichkeitsdichte in einem Intervall[�!0=2; !0=2] interpretiert. A priori, das hei�t ohne Ber�ucksichtigung der gemessenenG(�){Werte, wird die EntropieS = � !0=2Z�!0=2 d! A(!) ln �A(!) !0� (1.73)bzw. die Wahrscheinlichkeit P (A) / exp(TS) mit Parameter T maximiert. Damitsind alle Frequenzen ! gleich wahrscheinlich: A(!) = 1=!0. Neben dieser a prioriModellierung mu� A(!) im Rahmen des Fehlers nat�urlich das simulierte G(�) be-schreiben. Die bedingte Wahrscheinlichkeit hierf�ur ist mit Gaussschem Fehler in GP (GjA) = e� 12�2 ; (1.74)wobei �2 die quadratische Abweichung von dem aus A(!) berechneten G(�) unddem gemessenen G(�) ist. Nach dem Satz von Bayes ergibt sich aus a priori und be-dingter Wahrscheinlichkeit die a posteriori Wahrscheinlichkeit, da� A(!) die korrekteSpektralfunktion ist, wenn G(�) gemessen wurde:P (AjG) / P (GjA)P (A) / eTS� 12�: (1.75)Dies kann als Verteilung nach einer Gibbsschen Freien Energie interpretiert werden.Bei der Maximum{Entropie{Methode wird nun das Prinzip des maximalen a poste-riori Sch�atzers aus der Bayes{Statistik angewandt, d. h. es wird die Spektralfunktiongesucht, die die Wahrscheinlichkeit P (AjG) maximiert.In dieser Arbeit wird das Maximum{Entropie{Programm von Sandvik verwendet.

29Kapitel 2Mikroskopische Ursachen desFerromagnetismus2.1 Einf�uhrungDie �Ubergangsmetalle Eisen, Kobalt und Nickel zeigen metallischen Ferromagnetis-mus unterhalb der Curie{Temperatur Tc � 103K bzw. 0:1eV (kB � 1). Wegen dieserEnergieskala kommen nur die kinetische Energie und die Coulomb{Wechselwirkungals mikroskopische Ursache f�ur den Ferromagnetismus in Frage. Insbesondere ist diemagnetische Dipol{Wechselwirkung zwischen den Elektronen{Spins um zwei Gr�o�en-ordnungen zu klein. Ein weiterer wichtiger Bestandteil einer mikroskopischen Theorieist die quantenmechanische Natur und das Pauli{Prinzip, denn nach dem Bohr{van{Leeuwen{Theorem (s. Mattis (1981)) kann es in einem klassischen System keinenFerromagnetismus geben. Wie k�onnen nun die spin{unabh�angige Coulomb{Wechsel-wirkung und die kinetische Energie zu einer ferromagnetischen Ausrichtung der Elek-tronen{Spins f�uhren? Verschiedene mikroskopische Mechanismen, die gerade dies lei-sten, werden in den folgenden Abschnitten dieser Einf�uhrung vorgestellt.Hubbard{Modell mit asymmetrischer ZustandsdichteBei der Erforschung der Frage nach den mikroskopischen Ursachen des metallischenFerromagnetismus hat es in den letzten Jahren erhebliche Fortschritte gegeben: Eswurde gezeigt, da� das Einband{Hubbard{Modell unter bestimmten Voraussetzun-gen an die kinetische Energie, insbesondere eine asymmetrische Zustandsdichte mithohem spektralen Gewicht in der N�ahe der Bandkanten, Ferromagnetismus zeigt.Bereits die V�ater des Hubbard{Modells, Gutzwiller (1963), Hubbard (1963) und Ka-namori (1963), f�uhrten dieses Modell ein, um Ferromagnetismus in �Ubergangsme-tallen zu beschreiben. Bis vor kurzem war jedoch lediglich gesichert, da� nach dem

30 2. Mikroskopische Ursachen des FerromagnetismusTheorem von Nagaoka (1965; 1966) das Hubbard{Modell bei unendlicher Coulomb{Wechselwirkung (U = 1) und ein bis auf ein Loch halbgef�ullten Band einen ferro-magnetischen Grundzustand hat. Ein unbefriedigender Aspekt dieses Theorems istdie Tatsache, da� es sich nicht auf eine endliche Lochdichte im thermodynamischenLimes anwenden l�a�t. Das erneute Interesse an der Frage, ob im Einband{Hubbard{Modell,1 HHubbard = Xhiji� tij cyi� cj� + U Xi ni"ni#; (2.1)Ferromagnetismus stabilisiert wird, wurde von Lieb (1989) initiiert. Lieb zeigte, da�Ferrimagnetismus vorliegt, wenn der Transfer (H�upfproze�) tij zwischen zwei Un-tergittern mit unterschiedlicher Anzahl von Gitterpl�atzen erfolgt. Durch die Be-schr�ankung auf eine stark idealisierte Zustandsdichte mit einem achen, entarte-ten Band konnten Mielke (1991; 1992; 1993), Tasaki (1992) und beide Autoren zu-sammen (1993) (s. a. den �Ubersichtsartikel von Tasaki (1998)) Ferromagnetismusim Hubbard{Modell mit exakten Methoden nachweisen. Bei der untersuchten Zu-standsdichte mit Delta{Peak sind ferromagnetische und paramagnetische Phasen beiU = 0 entartet. Eine beliebig kleine Coulomb{Wechselwirkung U erh�oht die Energieder paramagnetischen Phase. Der Grundzustand ist ferromagnetisch. Einen ande-ren Weg zum Ferromagnetismus zeigte M�uller-Hartmann (1995) auf. Er untersuchteein t{t0{Hubbard{Modell in einer Dimension und fand f�ur U = 1 im Limes ei-ner verschwindenden Elektronendichte (n ! 0) Ferromagnetismus. Dieses Szenariowurde von Pieri, Daul, Baeriswyl, Dzierzawa und Fazekas (1996) in zwei und dreiDimensionen untersucht. Ein Hubbard{Modell mit unterschiedlichen lokalen Poten-tialen auf zwei Untergittern untersuchten Penc, Shiba, Mila und Tsukagoshi (1996).Bei viertel F�ullung, gro�er Coulomb{Wechselwirkung und gro�em lokalen Potentialsind die Gitterpl�atze des einen Untergitters genau einfach besetzt. In diesem Fallist eine St�orungstheorie bei starker Kopplung m�oglich. Es liegt Ferromagnetismusvor. Wertvolle Hinweise auf Bedingungen an das Gitter bzw. die Zustandsdichte f�urden Ferromagnetismus geben auch variationelle Untersuchungen der Stabilit�at desvollst�andig polarisierten Ferromagneten (s. Hanisch, Uhrig und M�uller-Hartmann(1997) und Referenzen darin). Insbesondere konnte die Instabilit�at des vollst�andigpolarisierten Ferromagneten gegen�uber einem einzelnen Spin ip{Proze� in der Dy-namischen Molekularfeld{Theorie (DMFT) exakt behandelt werden (Uhrig, 1996).Neben diesen Arbeiten leisteten numerische Untersuchungen einen sehr wichtigenBeitrag. Diese m�ussen sich nicht auf Spezialf�alle beschr�anken und erlauben eine de-taillierte Untersuchung des Ein u�es der Zustandsdichte. In einer (Daul und No-1In der zweiten Quantisierung (s. z. B. Negele und Orland (1987)) sind cj� und cyj� Vernichtungs{und Erzeugungsoperatoren f�ur ein Elektron am Gitterplatz j(i) mit Spin �; ni� = cyi� ci� . Die Summehiji z�ahlt Paare n�achster Nachbarn zweimal (als i j und j i).

2.1. Einf�uhrung 31ack, 1998), zwei (Hlubina, Sorella und Guinea, 1997) und unendlichen Dimensionenbzw. der DMFT (Ulmke, 1998) wurde Ferromagnetismus abseits halber F�ullung beieiner asymmetrischen Zustandsdichte, wie sie z. B. in \Tight{Binding"{B�andern mitN�achst{ und �Ubern�achst{Nachbar{H�upfen auftritt, gefunden. Neben der Asymme-trie ist ein hohes spektrales Gewicht in der N�ahe der Bandkanten wichtig (Wahleet al., 1998). F�ur extrem gro�e Coulomb{Wechselwirkungen (U gr�o�er als die sieben-fache e�ektive Bandbreite) wurde von Obermeier, Pruschke und Keller (1997) mitder \Non{Crossing"{Approximation (NCA) in der DMFT auch f�ur eine symmetri-sche Zustandsdichte abseits halber F�ullung Ferromagnetismus gefunden.Gemeinsam zeigen diese Arbeiten, da� das Hubbard{Modell das minimale Modellf�ur den Ferromagnetismus ist. Die Schwierigkeit, da� Ferromagnetismus ein Stark{Kopplungs{Problem ist und in einer einfachen St�orungstheorie2 nicht zug�anglich ist,konnte durch moderne Methoden der Vielteilchen{Theorie �uberwunden werden.N�achst{Nachbar{AustauschF�ur reale Ferromagnete kann erwartet werden, da� weitere Mechanismen, die �uber dasEinband{Hubbard{Modell hinausgehen, wichtig sind und f�ur den Ferromagnetismusin Eisen, Kobalt und Nickel ebenfalls als mikroskopische Ursachen in Frage kommen.Vor allem sind dies die Austausch{Integrale der Coulomb{Wechselwirkung V (r �r0). So zog Heisenberg (1928) den Austausch zwischen Elektronen auf benachbartenGitterpl�atzen i und j (�i: Wannier{Wellenfunktionen; r, r0 Ortskoordinaten)F = Z d3r Z d3r0 ��i (r)��j(r0) V (r � r0) �i(r0)�j(r) (2.2)zur mikroskopischen Erkl�arung des Ferromagnetismus heran und lieferte den erstenmikroskopischen Erkl�arungsansatz f�ur den Ferromagnetismus. In zweiter Quantisie-rung f�uhrt das Austausch{Integral (2.2) zwischen n�achsten Nachbarn hiji auf denTerm HF = F Xhiji��0 cyi� cyj�0 ci�0 cj�: (2.3)Mit si = P��0 cyi�� ��0ci�0 (� : Vektor der Pauli{Matrizen) l�a�t sich Glg. (2.3) auchschreiben als HF = �2FXhiji �sisj + 14 ninj�: (2.4)2St�orungstheorie bei starker Kopplung ist f�ur das Hubbard{Modell bei halber F�ullung m�oglich,liefert jedoch einen antiferromagnetischen Austausch J = 4t2=U .

32 2. Mikroskopische Ursachen des FerromagnetismusDiese ferromagnetische Kopplung zwischen benachbarten Spins f�uhrt auf nat�urlicheWeise zum Ferromagnetismus. Allerdings ist der Austausch zwischen n�achsten Nach-barn sehr klein.3 Summiert �uber Z n�achste Nachbarn ist FZ von der Gr�o�enordnung0:1eV. Prinzipiell ist dies gerade genug, um die Curie{Temperaturen der �Ubergangs-metalle im Bereich von 1000K (� 0:1eV) zu erkl�aren. In der Literatur vertretenCampbell, Gammel und Loh Jr. (1988; 1990) die Meinung, da� dieser Term wegen sei-ner geringen Gr�o�e nicht die Hauptursache des Ferromagnetismus ist, w�ahrend Hirsch(1989a; 1989b; 1997; 1999), Tang und Hirsch (1990) sowie Amadon und Hirsch (1996)diesen Term f�ur den Ferromagnetismus verantwortlich machen. Da F wesentlich klei-ner als die elektronische Bandbreite der �Ubergangsmetalle ist, kann F allein nichtzu einem gr�o�eren magnetischen Moment f�uhren. Es m�ussen vorgeformte magneti-sche Momente existieren, die durch F lediglich ausgerichtet werden. Da die Bildungmagnetischer Momente durch den U{Term des Hubbard{Modells bewirkt wird, lau-tet das minimale mikroskopische Modell zur Erkl�arung des Ferromagnetismus durchN�achst{Nachbar{AustauschH = HHubbard � 2FXhiji sisj: (2.5)Lokaler Austausch: Hundsche KopplungEinen anderen, wesentlich gr�o�eren Austausch{Term schlugen Slater (1936) und vanVleck (1953) als mikroskopische Ursache f�ur den Ferromagnetismus vor: den lokalenAustausch zwischen Elektronen auf dem gleichen Gitterplatz aber in verschiedenenOrbitalen. Dieser Term ist von der Gr�o�enordnung 1eV in �Ubergangsmetallen undf�uhrt im Atom gem�a� der 1. Hundschen Regel zur Bildung eines magnetischen Mo-ments. Die Idee ist, da� das H�upfen der Elektronen oder L�ocher dieses lokale ma-gnetische Moment auf ein globales magnetisches Moment, d. h. eine langreichweitigeferromagnetische Ordnung im Festk�orper, �ubertr�agt. Konkrete Rechnungen begannenmit Roth (1966), die ein Zweiband{Hubbard{Modell (�: Bandindex) mit HundscherKopplung F0 und Coulomb{Absto�ung zwischen den Orbitalen V0 betrachtete:H = �t Xhiji�� cyi�� cj�� + UXi� ni�"ni�#+V0 Xi;�<�0;��0ni��ni�0�0 + F0 Xi;�<�0;��0cyi�� cyi�0�0 ci��0 ci�0�: (2.6)Abb. 2.1 veranschaulicht die lokalen Wechselwirkungsterme. Roth (1966) untersuchtedieses Modell in der Hartree{Fock{Approximation und beobachtete eine Instabilit�at3Nach Rechnungen von Slater (1936) und Absch�atzungen von Hubbard (1963) ist F zwei Gr�o�en-ordnungen kleiner als U .

2.1. Einf�uhrung 33ν

=2ν

V0

V0 0

F

=1

-

U

Abbildung 2.1: Schema der lokalen Coulomb{Kopplungen im Zweiband{Hubbard{Modell. U beschreibt die lokale Coulomb{Absto�ung zwischen zwei Elektronen im gleichenOrbital, V0 die zwischen Elektronen in verschiedenen Orbitalen und F0 den Energiegewinnbei der Bildung eines lokalen magnetischen Moments.des Ferromagneten gegen�uber einer zus�atzlichen orbitalen Ordnung f�ur V0 � U=2 �F0=2 > 0 bei T = 0 und viertel F�ullung.Der Ferromagnet mit einer zus�atzlichen orbitalen Ordnung kann in diesem Modellbei starker Kopplung st�orungstheoretisch verstanden werden. Betrachtet man f�urU > V0 > F0 � t zwei Elektronen auf zwei Gitterpl�atzen in zwei B�andern, so�ndet man, da� der Grundzustand eine ferromagnetische Spinausrichtung und einealternierende Besetzung der Orbitale hat, s. Abb. 2.2.Die Erweiterung dieser St�orungstheorie auf das Gitter f�uhrt bei viertel F�ullungnach Kugel' und Khomski�� (1973) sowie Cyrot und Lyon-Caen (1975) zu einem e�ekti-ven (Kugel'{Khomski��{)Hamilton{Operator mit Spin{ und Orbital{Freiheitsgraden.Entkoppelt man die Spin{ und Orbital{Freiheitsgrade in einer selbstkonsistentenFeld{N�aherung (Kugel' und Khomski��, 1973) oder behandelt man den e�ektivenHamilton{Operator in der Weissschen Molekularfeld{N�aherung, d. h. vernachl�as-sigt man die Korrelationen zwischen verschiedenen Gitterpl�atzen (Cyrot und Lyon-Caen, 1975), so �ndet man einen isolierenden Grundzustand mit ferromagnetischerund orbitaler Ordnung. Im Gegensatz zur Hartree-Fock{Theorie, d. h. der St�orungs-theorie bei schwacher Kopplung, sagen die Stark{Kopplungs{Ans�atze voraus, da�zuerst die orbitale Ordnung und dann bei tieferen Temperaturen auch Ferromagnetis-mus stabilisiert wird. Die exakte Diagonalisierung kleiner eindimensionaler Systemebest�atigt einen ferromagnetischen Grundzustand bei viertel Bandf�ullung (Gill und

34 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus� = 1� = 2 " " " # " # " "�E= 0 �2t2=U �2t2=V0 �2t2=(V0�F0)Abbildung 2.2: Energiegewinn in St�orungstheorie zweiter Ordnung in t f�ur vier Kon�gu-rationen mit zwei Elektronen auf zwei Gitterpl�atzen. Angegeben sind die Energien Ising{artiger orbitaler und Spin{Kon�gurationen cyi=1��cyi=2�0�0 j0i. Der Grundzustand bei starkerKopplung auf zwei Gitterpl�atzen ist 12�cy11"cy22"�cy12"cy21"�j0i. Seine Energie ist�4t2=(V0�F0)(Die Rotationen dieses Zustandes im Spin{Raum haben die gleiche Energie und sind eben-falls Grundzust�ande).Scalapino, 1987; Kuei und Scalettar, 1997; Hirsch, 1997).Abseits viertel und halber F�ullung kann zwar eine kanonische Transformationauf einen e�ektiven Hamilton{Operator ohne Doppelbesetzungen durchgef�uhrt wer-den (Chao, Spa lek und Ole�s, 1977), diese Transformation f�uhrt jedoch auf einenkomplizierten Hamilton{Operator, der nur bei viertel und halber F�ullung untersuchtwurde. Es ist die hohe Entartung im atomaren Limes, die eine einfache St�orungs-theorie in t verhindert. Die Physik des Zweiband{Modells abseits viertel und halberF�ullung ist deshalb bislang wesentlich schlechter verstanden. Exakt bekannt ist nacheinem Theorem von M�uller-Hartmann (1995), da� in einer Dimension bei U = 1der Grundzustand f�ur 0 < n < 2 ferromagnetisch ist. Fr�uhere Versionen diesesTheorems mit einem kleineren G�ultigkeitsbereich stammen von Kubo (1982) undLacroix-Lyon-Caen und Cyrot (1976). Die Ergebnisse der exakten Diagonalisierung(Hirsch, 1997) in einer Dimension (sechs Gitterpl�atze) unterhalb von viertel F�ullung(n < 1) h�angen stark von den Randbedingungen ab. Bei o�enen, nicht aber bei pe-riodischen Randbedingungen, wird Ferromagnetismus gefunden. Mumoi und Kubo(1998) haben in der DMFT mit Hilfe der Lanczos{Methode einen ferromagnetischenGrundzustand bei n = 1:2 sowie eine ferromagnetische und orbitale Ordnung bein = 1 gefunden. In einer Reihe weiterer Untersuchungen mit approximativen Me-thoden wurde ebenfalls Ferromagnetismus abseits von viertel F�ullung gefunden: inder Hartree{Fock{Theorie (Cyrot und Lyon-Caen, 1975; Ole�s, 1983), in einer verall-gemeinerten Hartree{Fock{Theorie (Fleck, Ole�s und Hedin, 1997), mit komplexerenWellenfunktionen (Okabe, 1997), mit dem lokalen Ansatz (Stollho� und Thalmei-er, 1981; Ole�s, 1981; Ole�s und Stollho�, 1984) und in der Gutzwiller{Approximation

2.1. Einf�uhrung 35(B�unemann und Weber, 1997; B�unemann, Gebhard und Weber, 1997; B�unemann,Weber und Gebhard, 1998).DoppelaustauschEinen weiteren Mechanismus, basierend auf einem lokalen Austausch, schlug Zener(1951a) vor. In diesem Szenario f�uhrt nicht der Austausch innerhalb der d{Orbitale,sondern der Austausch zwischen lokalisierten d{Spins mit itineranten s{Elektronenzur ferromagnetischen Ausrichtung der d{ und s{Elektronen. Der itinerante Cha-rakter der s{Elektronen f�uhrt bei diesem Mechanismus zur langreichweitigen fer-romagnetischen Ordnung. Wegen der gro�en Ausdehnung der s{Orbitale ist dieserlokale Austausch jedoch klein. Experimentell zeigt die Magnetisierung der �Uber-gangsmetalle auch keinen Beitrag der s{Elektronen zum magnetischen Moment. Da-her wird dieses Szenario f�ur die �Ubergangsmetalle nicht mehr diskutiert. F�ur Man-ganate mit Perowskit{Struktur ist aber das gleiche Szenario relevant, wobei diet2g{Elektronen den lokalisierten Spin bilden, und die eg{Elektronen die Leitungs-elektronen sind. Dieses wurde als Doppel{Austausch von Zener (1951b) eingef�uhrt.Der Doppel{Austausch wird im Zusammenhang mit den Manganaten in Kapitel 5ausf�uhrlich er�ortert.Weitere N�achst{Nachbar{TermeIn einem Einband{Modell gibt es neben dem Austausch{Integral, Glg. 2.2, auch nochweitere Coulomb{Integrale zwischen benachbarten Gitterpl�atzen, s. z. B. Vollhardt,Bl�umer, Held, Kollar, Schlipf und Ulmke (1997). Das gr�o�te Integral f�uhrt auf einenDichte{Dichte{Term HV = V Xhiji��0 ni�nj�0 ; (2.7)der f�ur den Ferromagnetismus aber keine wesentliche Rolle spielt, s. Wahle et al.(1998) und Referenzen darin. Ein weiterer Term, das dichteabh�angige H�upfen (\bond{charge site{charge interaction"),HX = XXhiji� �ni�� + nj���cyi� cj�; (2.8)kann jedoch f�ur den Ferromagnetismus von Bedeutung sein. Dieser X{Term reduziertdie Bandbreite (beschrieben durch t) und damit den antiferromagnetischen Super-austausch des Hubbard{Modells. Dadurch wird die Gr�o�e des ben�otigten N�achst{Nachbar{Austausches F f�ur einen ferromagnetischen Gesamt{AustauschFges. = 4(t�X)2U � 2F < 0 (2.9)

36 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismusim halbgef�ullten Hubbard{Modell mit N�achst{Nachbar{Wechselwirkung wesentlichverringert. Strack und Vollhardt (1994; 1995) sowie de Boer und Schadschneider(1995) konnten exakte, hinreichende Kriterien f�ur einen ferromagnetischen Grund-zustand im halbgef�ullten Einband{Hubbard{Modell mit X{, F{ und weiteren Ter-men herleiten. Kollar (1998) konnte dar�uber hinaus hinreichende Kriterien bei halberF�ullung mit einem zus�atzlichen Loch und orbitaler Entartung bestimmen. Er unter-suchte den X{Term auch mit der Gutzwiller{Wellenfunktion und fand (auch ohneU{Term) Ferromagnetismus.�UberblickIn Abschnitt 2.2 wird die Hundsche Kopplung bei einer orbitalen Entartung in derDMFT als mikroskopischer Mechanismus f�ur den Ferromagnetismus analysiert. Eswerden folgende Fragen beantwortet: \Wie stabil ist der Ferromagnetismus abseitsder gut untersuchten viertel F�ullung?" und \Tritt bei viertel F�ullung wie in derHartree{Fock{Approximation bei h�oheren Temperaturen zun�achst Ferromagnetismusoder wie in der Weissschen Molekularfeld{Theorie der e�ektiven Kugel'{Khomski��{Modelle zun�achst orbitale Ordnung auf?". In Abschnitt 2.3 werden drei mikroskopi-sche Mechanismen f�ur den Ferromagnetismus verglichen: das Hubbard{Modell miteiner asymmetrischen Zustandsdichte, Glg. (2.1), der N�achst{Nachbar{Austausch,Glg. (2.5), und die Hundsche Kopplung bei orbitaler Entartung, Glg. (2.6). Erg�anzendfolgen in Abschnitt 2.4 einfache Hartree-Fock{Betrachtungen zum dichteabh�angigenH�upfen zwischen N�achsten{Nachbarn, Glg. (2.8). Abschnitt 2.5 fa�t die Ergebnis-se zusammen. Der Doppelaustausch wird in Kapitel 5 im Zusammenhang mit denManganaten untersucht.2.2 Hundsche Kopplung und orbitale EntartungIm folgenden wird die Hundsche Kopplung als mikroskopischer Mechanismus f�ur denFerromagnetismus in der DMFT mit dem Quanten{Monte{Carlo{Algorithmus ausKapitel 1.2 studiert. Dies geschieht anhand des Hamilton{Operators (2.6) mit einerBeschr�ankung auf eine Ising{artige Hundsche Kopplung, d. h. der F0{Term reduziertsich auf HF = �F0 Xi �<�0� ni��ni�0�: (2.10)Diese Beschr�ankung auf einen nicht SU(2){invarianten Term ist in der Literaturdurchaus gebr�auchlich und implizit beispielsweise in der Hartree{Fock{Approxima-tion und der Weissschen Molekularfeld{Theorie enthalten. Bei schwacher und star-ker Kopplung, wo sich die DMFT auf diese beiden Theorien reduziert, hat diese

2.2. Hundsche Kopplung und orbitale Entartung 37

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0 1 2 3 4 5

T

F0

PM

FM

Abbildung 2.3: T{F0 Phasendiagramm des Zweiband{Hubbard{Modells mit HundscherKopplung F0 bei U = 9, V0 = 5 und n = 1:25 (FM: Ferromagnetimus; PM: Paramagnetis-mus). Das kritische F0 f�ur den Ferromagnetismus bei Temperatur T = 0 wurde durch Inter-polation zwischen der Curie{Temperatur bei F0 = 2 und der negativen Curie{Temperaturbei F0 = 1 bestimmt. F�ur F0 > V0 w�urde eine unphysikalische Anziehung zwischen Elek-tronen in verschiedenen Orbitalen mit gleichem Spin entstehen.Beschr�ankung also keinen Ein u� auf die kritische Temperatur. Deshalb kann manauch f�ur mittlere Kopplungsst�arken erwarten, da� die kritischen Temperaturen, die indiesem Abschnitt berechnet werden, nicht wesentlich durch die Approximation einerIsing{artigen Hundschen Kopplung beein u�t werden.Um den Mechanismus der Hundschen Kopplung bei orbitaler Entartung klar vondem der asymmetrischen Zustandsdichte im Hubbard{Modell zu trennen, wird im fol-genden das Bethe{Gitter mit einer halb{elliptischen, symmetrischen ZustandsdichteN0(�) = 12�t�2p(2t�)2 � �2 verwendet; t� � 1 legt die Energieskala fest. In der Tatzeigt das Zweiband{Modell ohne Hundsche{Kopplung keinen Ferromagnetismus beiU = 9, V0 = 5 und einer mittleren Elektronendichte pro Gitterplatz von n = 1:25(s. Abb. 2.3).4 Eine kleine Hundsche Kopplung von F0 = 1:61�0:15 ist allerdings aus-4Die �Ubergangstemperaturen werden durch Untersuchung der Instabilit�at der paramagnetischenPhase gegen�uber langreichweitiger Ordnung bestimmt. Bei dieser Instabilit�at divergiert die entspre-chende Suszeptibilit�at.

38 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismusreichend, um Ferromagnetismus zu stabilisieren. Dieser Wert ist erheblich kleiner alsder von Kuei und Scalettar (1997): Die eindimensionale Kette mit sechs Gitterpl�atzenbei n = 1 und U = V0 + F0 zeigt unterhalb von F0 � 8 keinen Ferromagnetismus.5Das in dieser Arbeit berechnete F0 stimmt mit den Ergebnissen von Hirsch (1997)�uberein: In einer Dimension bei n = 1(1:5) auf sechs (vier) Gitterpl�atzen und f�urU = V0 + 2F0 �ndet man keinen Ferromagnetismus unterhalb von F0 � 1:5(2).6 Dasberechnete F0 ist auch konsistent mit den Resultaten von Mumoi und Kubo (1998),die bei einer F�ullung n = 1:2 in der DMFT Ferromagnetismus f�ur F0 = 1:4 �nden.Abb. 2.4 zeigt das magnetische T{n{Phasendiagramm f�ur U = 9, V0 = 5 undeine relativ gro�e Hundsche Kopplung F0 = 4. Ferromagnetismus tritt in einemgro�en Dichtebereich auf. Die viertel F�ullung (n = 1), bei der die St�orungstheorie int m�oglich ist und Ferromagnetismus zeigt, ist keinesfalls ausgezeichnet. Insbesonde-re liegt das Maximum der Curie{Temperatur oberhalb von viertel F�ullung. TypischeCurie{Temperaturen sind 0:1eV bei einer Bandbreite von 4eV (t� = 1eV). Dies ent-spricht etwa 1000K und ist von der Gr�o�enordnung der Curie{Temperatur der �Uber-gangsmetalle. In der N�ahe halber F�ullung unterdr�uckt der antiferromagnetische Supe-raustausch die ferromagnetische Ordnung. Ein N�eel{Antiferromagnet mit einer AB{Untergitter{Struktur wird stabilisiert. Die Quanten{Monte{Carlo{Simulation deu-tet darauf hin, da� sich die Kurven der Curie{ und N�eel{Temperatur bei endli-chen Temperaturen und n � 1:85 tre�en. F�ur n = 1:85 zeigt die paramagnetischePhase auch eine Instabilit�at gegen�uber Ferromagnetismus. Die extrapolierte Curie{Temperatur liegt jedoch etwas tiefer als die N�eel{Temperatur. Bevor der Ferroma-gnetismus auftritt, wird das System antiferromagnetisch. In der antiferromagneti-schen Phase wird die ferromagnetische Suszeptibilit�at dann modi�ziert und diver-giert nicht mehr. Da Ferromagnetismus und Antiferromagnetismus konkurrierende,sich ausschlie�ende Phasen sind, kann man erwarten, da� bei tieferen Temperaturenein Phasen�ubergang erster Ordnung zwischen diesen Phasen auftritt. Au�erdem istmit einer Phasenseparation zwischen Ferromagnetismus und Antiferromagnetismus,wie sie im Kondo{Gitter{Modell auftritt (Dagotto, Yunoki und Moreo, 1998), zurechnen, da Ferromagnetismus bei n � 1:3 und Antiferromagnetismus bei n = 2 amstabilsten ist.Abb. 2.5 zeigt zum Vergleich das Hartree{Fock{Phasendiagramm. F�ur das Bethe{Gitter mit einer unendlichen Anzahl n�achster Nachbarn ist die DMFT exakt. DieUnterschiede zu Abb. 2.4 beruhen also auf Unzul�anglichkeiten der Hartree{Fock{N�aherung, die als selbstkonsistente St�orungstheorie erster Ordnung in U bei gr�o�e-ren Coulomb{Wechselwirkungen nur beschr�ankt aussagekr�aftig ist. Qualitativ falsch5In auf die e�ektive Bandbreite reskalierten Einheiten.6Die Beziehungen zwischen U , V0 und F0 entsprechen einer Invarianz des Hamilton{Operatorsgegen�uber orbitalen Drehungen: Glg. (2.6) ist invariant bei U = V0 + F0; f�ur U = V0 + 2F0 ist diesein erweiterter Hamilton{Operator, der ein orbitales Paar{H�upfen ber�ucksichtigt, dessen Coulomb{Integral gleich F0 ist.

2.2. Hundsche Kopplung und orbitale Entartung 39

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.5 1 1.5 2

T

n

PM

FM

AFM

Abbildung 2.4: T{n{Phasendiagramm f�ur U = 9, V0 = 5 und F0 = 4 (PM: Paramagnet;FM: Ferromagnet; AFM: Antiferromagnet). Wegen der Teilchen{Loch{Symmetrie ist dasPhasendiagramm symmetrisch um halbe F�ullung (n = 2).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2

T

n

PM

FM

AFM

Abbildung 2.5: T{n{Phasendiagramm f�ur U = 9, V0 = 5 und F0 = 4 in der Hartree{Fock{Approximation. Die gepunktete Linie beschreibt einen Phasen�ubergang erster Ordnung, diebeiden anderen einen zweiter Ordnung.

40 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismusbeschreibt die Hartree{Fock{N�aherung den �Ubergangsbereich vom Ferro{ zum Anti-ferromagnetismus: Es gibt keinen antiferromagnetischen Superaustausch, der den Fer-romagnetismus in der N�ahe halber F�ullung unterdr�uckt; der Antiferromagnetismusist in diesem Bereich lediglich energetisch g�unstiger. Quantitativ um eine Gr�o�enord-nung zu gro� sind die �Ubergangstemperaturen. In der Hartree{Fock{N�aherung gibtes einen Phasen�ubergang erster Ordnung zwischen Ferromagnetismus und Antiferro-magnetismus, wie oben diskutiert.Orbitale OrdnungBei viertel F�ullung sagt die Weisssche Molekularfeld{Theorie f�ur das e�ektive Kugel'{Khomski��{Modell mit sinkender Temperatur eine Instabilit�at des Paramagneten ge-gen�uber einer schachbrettartig alternierenden orbitaler Ordnung voraus, w�ahrend dieHartree{Fock{Theorie eine Instabilit�at gegen�uber Ferromagnetismus zeigt. Bei T = 0und | im Fall der Hartree{Fock{Theorie | hinreichend kleinem F0 �ndet man mitbeiden Ans�atzen eine gemischte ferromagnetische und orbitale Ordnung. Die DMFTbeinhaltet diese beiden St�orungstheorien bei schwacher bzw. starker Kopplung Uund ist daher geeignet, den Widerspruch ferromagnetische gegen orbitale Instabilit�atdes Paramagneten aufzukl�aren. Da man auch | wie im Grundzustand | eine ge-mischte ferromagnetische und orbitale Ordnung erwarten kann, wird die Instabilit�atgegen�uber einer allgemeinen gemischten Ordnung untersucht. Dabei beschreibt einParameter � 2 [0; 1] den Anteil der orbitalen Ordnung in einem Feld h, das an dieferromagnetische Spin{ und alternierende orbitale Dichte ankoppelt:H� = �hXi�� ni�� f(1��) � + � ��g (2.11)mit � = (�1)i = �1 auf dem A{ bzw. B{Untergitter. Eine Instabilit�at gegen�uberdieser gemischten Ordnung wird in Form einer Divergenz in der korrespondierendenSuszeptibilit�at, d. h. der zweiten Ableitung des Gro�kanonischen Potentials nachdem Feld h, � = � 1L @2@h2 (2.12)beobachtet; L bezeichnet die Anzahl der Gitterpl�atze.In Abb. 2.6 ist die kritische Temperatur Tc f�ur diese Instabilit�at ([�(Tc; �)]�1 = 0)f�ur U = 9, V0 = 5, F0 = 4 und n = 1 als Funktion von � aufgetragen. Das Maximumvon Tc(�) liefert den physikalisch relevanten Wert von �, bei dem der Paramagnetinstabil gegen�uber langreichweitiger Ordnung wird. In Abb. 2.6 hat Tc ein Maxi-mum bei � = 0, was einer reinen ferromagnetischen Ordnung entspricht. Es �ndetein �Ubergang von der paramagnetischen in die ferromagnetische Phase bei Tc = 0:13

2.2. Hundsche Kopplung und orbitale Entartung 41

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tc

δAbbildung 2.6: Kritische Temperatur der Instabilit�at gegen�uber gemischter ferromagne-tischer (FM) und orbitaler Ordnung (OO) f�ur U = 9, V0 = 5, F0 = 4 und n = 1 (�=0: FM;� = 1: OO). Der Fehler ist von der Gr�o�e der Symbole.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tc

δAbbildung 2.7: Wie in Abb. 2.6, aber f�ur U = 8, V0 = 6, F0 = 2 und n = 1.

42 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismusstatt. Dies entspricht qualitativ dem Ergebnis der Hartree{Fock{Approximation, dief�ur dieses gro�e F0 auch bei T = 0 keine zus�atzliche orbitale Ordnung voraussagt, daV0�U=2�F0=2 < 0 ist. Da hier nur in der paramagnetischen Phase gerechnet wurde,kann keine Aussage �uber eine gemischte ferromagnetische und orbitale Ordnung beitieferen Temperaturen getro�en werden. Die ferromagnetische Instabilit�at der unge-ordneten Phase widerspricht der Weissschen Molekularfeld{Theorie, die eine orbitaleInstabilit�at voraussagt. Diese Theorie, d. h. die st�orungstheoretische Entwicklung inPotenzen von t, wird kontrolliert durch die Gr�o�e des Parameters t�=(V0 � F0). Beiden verwendeten Parametern ist t�=(V0�F0) = 1, also nicht klein. Daher ist es nichtverwunderlich, da� die Stark{Kopplungs{Theorie nicht die richtige langreichweitigeOrdnung voraussagt.Aufgrund dieser �Uberlegungen kann jedoch erwartet werden, da� mit einem kleine-ren F0 das Szenario der Weissschen Molekularfeld{Theorie angenommen wird. In derTat �ndet man in Abb. 2.7 f�ur F0 = 2 (U = 8, V0 = 6 und n = 1) eine Instabilit�at ge-gen�uber einer reinen (alternierenden) orbitalen Ordnung (Tc ist maximal f�ur � = 1).Das T{n{Phasendiagramm (Abb. 2.8) f�ur diese Coulomb{Wechselwirkungen setztsich aus orbitaler Ordnung in der N�ahe von viertel F�ullung, antiferromagnetischerOrdnung im Bereich halber F�ullung und Ferromagnetismus zwischen diesen Phasenzusammen. Die ferromagnetische Phase ist bei dieser kleineren aber auch realistische-ren Hundschen Kopplung bereits erheblich reduziert. Das Phasendiagramm Abb. 2.8wurde von Z�ol , Pruschke und Keller (1999) best�atigt, wobei anstelle der QMC{Simulation die \Non{Crossing"{Approximation zur L�osung der DMFT{Gleichungenverwendet wurde. In der \Non{Crossing"{Approximation konnte Z�ol et al. (1999)zeigen, da� die Spin ip{Beitr�age der Hundschen Kopplung einen nur sehr kleinenEin u� auf die kritische Temperatur der Phasen�uberg�ange haben. Diese Beitr�agewurden in den QMC{Simulationen nicht ber�ucksichtigt.Der �Ubergang vom Ferromagnetismus zur orbitalen Ordnung bei n � 1:2 f�uhrterneut auf die Frage nach einer gemischten Ordnung. Wie in Abb. 2.6 und 2.7 f�urn = 1 �ndet man auch f�ur n = 1:2 in Abb. 2.9 keine gemischte Ordnung. Direktam �Ubergang von ferromagnetischer zu orbitaler Ordnung ist die Instabilit�at sowohlgegen�uber einer reinen ferromagnetischen Ordnung (� = 0) als auch gegen�uber einerreinen orbitalen Ordnung (� = 1) gr�o�er als die gegen�uber einer gemischten Ordnung(0 < � < 1). Dies zeigen die beiden Maxima bei � = 0 und � = 1 in Abb. 2.9. Darauskann man schlie�en, da� das Zweiband{Hubbard{Modell mit Hundscher Kopplungentweder eine Instabilit�at gegen�uber reiner ferromagnetischer oder reiner orbitalerOrdnung zeigt. Im Gegensatz zu Ferro{ und Antiferromagnetismus schlie�en sichorbitale Ordnung und Ferromagnetismus aber nicht aus und k�onnen sich sogar ge-genseitig verst�arken. Dies f�uhrt zu einem gemischt{geordneten Grundzustand in derHartree{Fock{Approximation und der Weissschen Molekularfeld{Approximation bein = 1. Da letztere einen kontrollierten Ansatz darstellt, der f�ur gro�e Coulomb{Wechselwirkung das richtige Ergebnis liefert, mu� auch der DMFT{Grundzustand

2.2. Hundsche Kopplung und orbitale Entartung 43

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 0.5 1 1.5 2

T

n

FM

AFM

OO

Abbildung 2.8: T{n{Phasendiagramm f�ur U = 8, V0 = 6, F0 = 2 und n = 1. Zus�atzlich zuden Phasen aus Abb. 2.4 wird eine schachbrettartig{alternierende orbitale Ordnung (OO)gefunden.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tc

δAbbildung 2.9: Wie in Abb. 2.6, aber f�ur U = 8, V0 = 6, F0 = 2 und n = 1:2.

44 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismusbei gro�en Coulomb{Wechselwirkungen und n = 1 ferromagnetisch und orbital ge-ordnet sein.Eine Besonderheit ergibt sich bei n = 0:9. Die orbitale Suszeptibilit�at bei h�oherenTemperaturen, Abb. 2.10, verh�alt sich Curie{Weiss{artig. Aus der Extrapolation beih�oheren Temperaturen w�urde man eine orbitale Ordnung bei T � 0:04 erwarten. Be-vor es jedoch zu dieser orbitalen Ordnung kommt, �andert die inverse Suszeptibilit�atihr Verhalten und steigt wieder an (die Suszeptibilit�at f�allt ab). Bei n = 0:9 gibt eskeine orbitale Ordnung. Wie kann man dieses Minimum in der inversen orbitalen Sus-zeptibilit�at erkl�aren? In Abb. 2.10 ist zus�atzlich die Spektralfunktion an drei charak-teristischen Punkten abgebildet. In der Spektralfunktion entwickelt sich eine Kondo{artige Resonanz. Da die Hundsche Kopplung der Bildung lokaler Spin{Singulettsentgegenwirkt, kann man erwarten, da� es sich nicht um einen Kondo{E�ekt derSpin{Freiheitsgrade handelt. Ein Kondo{E�ekt in den orbitalen Freiheitsgraden isthingegen plausibel und w�urde auch das Verhalten der inversen Suszeptibilit�at er-kl�aren: Die wachsende Resonanz an der Fermi{Kante geht in diesem Szenario miteiner Abschirmung der orbitalen Momente einher. Diese Abschirmung f�uhrt wieder-um zu einer reduzierten orbitalen Suszeptibilit�at.Von mittlerer zu starker KopplungMit wachsender Coulomb{Wechselwirkung und bei viertel F�ullung beschreibt dieWeisssche Molekularfeld{Theorie des e�ektiven Kugel'{Khomski��{Modells das Zwei-band{Hubbard{Modells in der DMFT genauer. Das e�ektive Modell mit orbitalemFreiheitsgrad � (�z = �12 f�ur das 1. bzw. 2. Orbital) lautet (s. Gill und Scalapino(1987)): He� = 4t2U Xhiji �sisj � 14��� zi � zj + 14�+ 2t2V �F Xhiji �sisj + 34��� i� j � 14�� 2t2V +F Xhiji �sisj � 14��� zi � zj � 14 � 12 ��+i ��j + ��i �+j �� : (2.13)Untersucht man diesen Hamilton{Operator in der Weissschen Molekularfeld{Theorieund nimmt eine ferromagnetische oder schachbrettartig{alternierende orbitale Ord-nung mit hszji = m2 ; hs+j i = hs�j i = 0; (2.14)h� zj i = ��2 ; h�+j i = h��j i = 0 (2.15)

2.2. Hundsche Kopplung und orbitale Entartung 45

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

χ−1

T

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

χ−1

T

0

0.1

0.2

0.3

0.4

−4 −2 0 2 4 6 8 10

A(ω

)

ω

0

0.1

0.2

0.3

0.4

−4 −2 0 2 4 6 8 10

A(ω

)

ω

0

0.1

0.2

0.3

0.4

−4 −2 0 2 4 6 8 10

A(ω

)

ω

0

0.1

0.2

0.3

0.4

−4 −2 0 2 4 6 8 10

A(ω

)

ω

Abbildung 2.10: Inverse orbitale Suszeptibilit�at ��1 als Funktion der Temperatur T f�urU = 8, V0 = 6, F0 = 2 und n = 0:9. Dargestellt ist auch die Spektralfunktion A(!) alsFunktion der Frequenz relativ zum chemischen Potential bei drei verschiedenen Tempera-turen (T = 0:05, T = 0:14 und T = 0:25). Eine Extrapolation der inversen Suszeptibilit�atbei hohen Temperaturen w�urde eine Nullstelle, also einen Phasen�ubergang in die orbital{geordnete Phase bei Tc � 0:05 vorhersagen. Bevor dieser �Ubergang statt�ndet, steigt dieinverse Suszeptibilit�at jedoch wieder an. Gleichzeitig bildet sich in der Spektralfunktion(die mit der Maximum{Entropie{Methode berechnet wurde) eine Resonanz an der Fermi{Kante.

46 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismusan, so erh�alt man mit Z N�achst{Nachbar{Pl�atzen eine Energie pro GitterplatzHiWMF = �4Js�szi � zi Z m�� 2JssziZ m� 2J�� zi Z � + konst. (2.16)mit den KopplungskonstantenJs� = 18 �4t2U + 2t2V �F � 2t2V +F � ; (2.17)Js = 18 ��4t2U + 2t2V �F � 2t2V +F � ; (2.18)J� = 18 ��4t2U + 3 2t2V �F + 2t2V +F � : (2.19)Berechnet man nun die Magnetisierung m bzw. die orbitale Ordnung � selbstkonsi-stent nach m = 1Z Xszi=� 12 X�zi =� 12 2szi e��HiWMF ; (2.20)� = 1Z Xszi=� 12 X�zi =� 12 2� zi e��HiWMF ; (2.21)Z = Xszi=� 12 X�zi =� 12 e��HiWMF ; (2.22)so erh�alt man als �Ubergangstemperatur f�ur ferromagnetische (orbitale) OrdnungTC(TOO) = Js(J� ). Da J� die gr�o�te der drei Kopplungskonstanten ist, setzt dieorbitale Ordnung bei der h�ochsten Temperatur ein.In Abb. 2.11 wird nun dargestellt, wie sich die �Ubergangstemperatur des Zweiband{Hubbard{Modells zur alternierenden orbitalen und ferromagnetischen Phase mit derCoulomb{Wechselwirkung U �andert. Die orbitale �Ubergangs{Temperatur bei n = 1wird ab U � 10 gut durch die Weisssche Molekularfeld{Theorie des e�ektiven Kugel'{Khomski��{Modells beschrieben: TOO = 2J� / t2=U . Die Curie{Temperatur bei n =1:5 verh�alt sich anders: Mit wachsender Coulomb{Wechselwirkung sind nur nochKon�gurationen mit der minimalen Anzahl von lokalen Doppelbesetzungen erlaubt.Diese Doppelbesetzungen m�ussen wegen der Hundschen Kopplung zus�atzlich ein lo-kales magnetisches Moment haben. Eine starke Coulomb{Wechselwirkung f�uhrt aufdiese Einschr�ankung der Kon�gurationen, hat aber im reduzierten Hilbert{Raum kei-nen Ein u� mehr. Es ist die kinetische Energie, welche die lokalen magnetischen Mo-mente im reduzierten Hilbert{Raum ordnet. Daher s�attigt die Curie{Temperatur imLimes gro�er Coulomb{Wechselwirkung mit einem Grenzwert proportional zu t. DaTOO / t2=U und TC / t ist, kann bei einer �Anderung der Coulomb{Wechselwirkungdie orbitale Phase im Verh�altnis zur ferromagnetischen Phase beliebig klein werden.

2.2. Hundsche Kopplung und orbitale Entartung 47

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 2 4 6 8 10 12 14 16

T

U

OO (n=1)

WMF

FM (n=1.5)

Abbildung 2.11: Kritische Temperatur f�ur den �Ubergang zur orbitalen (OO) und ferroma-gnetischen (FM) Ordnung bei n = 1 bzw. n = 1:5 als Funktion von U mit V0 = 3=4 U undF0 = 1=4 U . Zum Vergleich ist die kritische Temperatur in der Weissschen Molekularfeld{Theorie (WMF) aufgetragen.Von zwei zu f�unf B�andernEs soll nun untersucht werden, wie die Ergebnisse f�ur das Zweiband{Modell mitzunehmender Anzahl der B�ander skalieren. Im halbgef�ullten Mehrband{Modell ist derEnergiegewinn eines lokalen magnetischen Moments durch die Hundsche Kopplungim Hamilton{Operator (2.6) 1�F0. F�ur f�unf B�ander steigt der Energiegewinn bereitsauf 10�F0 an (allgemein: M(M � 1)=2�F0). Der Ein u� der Hundschen Kopplungw�achst also sehr stark an. Dies hat nat�urlich einen erheblichen Ein u� auf die Curie{Temperatur, s. Abb. 2.12. Beim �Ubergang von zwei auf f�unf B�ander w�achst TC umden Faktor 5.Bei den verwendeten Parametern und einer Bandbreite von 4eV (t� = 1) ent-spricht dies einer �Ubergangstemperatur von fast 3000K. Diese ist in etwa um denFaktor 3 gr�o�er als die Curie{Temperaturen der �Ubergangsmetalle. M�ogliche Ursa-chen f�ur das �Ubersch�atzen der Curie{Temperatur sind:1. Die DMFT ber�ucksichtigt zeitliche, vernachl�assigt jedoch r�aumliche Fluktuatio-nen, welche die �Ubergangstemperatur zus�atzlich verringern. Dies ist genau ent-gegengesetzt zur Spin uktuations{Theorie, die r�aumliche Fluktuationen ber�uck-

48 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3 4 5 6

Tc

MAbbildung 2.12: Kritische Temperatur als Funktion der Anzahl der B�ander M f�ur n=3=4 M ; U=8, V0=6 und F0=2 (Quadrate) sowie U=4, V0=3 und F0=1 (Kreis).sichtigt und zeitliche Korrelationen vernachl�assigt, s. die �Ubersichtsarbeiten vonMoriya (1985) und Jelitto und Ziegler (1983). Letztendlich f�uhren sowohl r�aum-liche als auch zeitliche Fluktuationen zu einer Verringerung der �Ubergangs-temperatur.2. Das Verh�altnis von Coulomb{Wechselwirkung zur Bandbreite (U; V0 � 2W )entspricht typischen Werten f�ur �Ubergangsmetall{Oxide. Bei �Ubergangsmetal-len wird eine etwas kleinere Coulomb{Wechselwirkung (U; V0 � W ) und F0 � 1aus Bandstrukturrechnungen bestimmt (Anisimov und Gunnarsson, 1991).3. Eine Kristallfeld{Aufspaltung wurde nicht ber�ucksichtigt.Der zweite E�ekt verringert die Curie{Temperatur um ca. 20%, wenn die Coulomb{Wechselwirkung halbiert wird (s. Abb. 2.12). Eine Kristallfeld{Aufspaltung kann er-heblich drastischere Konsequenzen haben. Geht man von einer kubischen Symmetrieaus, so liegen die drei t2g{B�ander energetisch niedriger als die beiden eg{B�ander. Sinddie B�ander drei bis f�unf die t2g{B�ander und erweitert man das F�unfband{Modell (2.6)

2.3. Vergleich verschiedener Mechanismen f�ur den Ferromagnetismus 49um eine energetische Absenkung der t2g{B�ander um ��, was durchH�� = ��� 5Xi=3 Xi�� ni�� (2.23)beschrieben wird, so �ndet man in der QMC{Rechnung f�ur n = 3:75, U = 4, V0 = 3,F0 = 1 und �� = 2 anstelle der ferromagnetischen Ordnung eine antiferromagne-tische. Die Ursache hierf�ur ist, da� bei der verwendeten F�ullung von n = 3:75 diedrei t2g{B�ander in etwa halbgef�ullt sind. Dies f�uhrt zu einem antiferromagnetischenSuperaustausch zwischen den t2g{B�andern, der bei diesen Parametern �uber den fer-romagnetischen Austausch dominiert. Dieses Modell ist mit den in Kapitel 5 unter-suchten Erweiterungen des Kondo{Gitter{Modells verwandt. In Kapitel 5 werden diehalbgef�ullten t2g{B�ander durch lokalisierte Spins ersetzt.2.3 Vergleich verschiedener Mechanismen f�ur denFerromagnetismusIn diesem Abschnitt wird die Hundschen Kopplung bei einer orbitalen Entartungmit zwei weiteren Mechanismen f�ur den Ferromagnetismus verglichen: der asymme-trischen Zustandsdichte im Einband{Hubbard{Modell, Glg. (2.1), und dem N�achst{Nachbar{Austausch in einem Einband{Modell, Glg. (2.5). Alle Ergebnisse wurdenmit der gleichen Methode, QMC{Simulationen in der DMFT, gewonnen. Unterschie-de und Gemeinsamkeiten der drei mikroskopischen Mechanismen f�ur den Ferroma-gnetismus werden in diesem Abschnitt herausgearbeitet.T{n{PhasendiagrammAbb. 2.13 vergleicht das T{n{Phasendiagramm (n: Anzahl der Elektronen pro Git-terplatz) bis zur halben F�ullung im jeweiligen Modell. Das Hubbard{Modell mitasymmetrischer Zustandsdichte und die Hundsche Kopplung bei orbitaler Entartung,zeigen ein erstaunlich �ahnliches Phasendiagramm mit Ferromagnetismus abseits hal-ber Bandf�ullung und Antiferromagnetismus in der N�ahe halber Bandf�ullung. Diesentspricht auch der einfachen experimentellen Beobachtung, da� Mangan und Chromantiferromagnetisch sind und ein in etwa halbgef�ulltes d{Band haben, w�ahrend Eisen,Kobalt und Nickel ferromagnetisch und nicht halbgef�ullt sind.Ein ganz anderes Phasendiagramm �ndet man, wenn der Ferromagnetismus durchden N�achst{Nachbar{Austausch stabilisiert wird. Bei diesem Mechanismus tritt Fer-romagnetismus nur in der N�ahe halber F�ullung auf. Bei tiefen Temperaturen undhalber F�ullung wird das System zudem isolierend. Der N�achst{Nachbar{Austausch

50 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T

n

PM

FM

AFM

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.5 1 1.5 2

T

n

PM

FM

AFM

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T

n

PM

FM

U=6U=8

Abbildung 2.13: Magnetisches T{n{Pha-sendiagramm verschiedener mikroskopischerMechanismen f�ur den Ferromagnetismus.Links oben: Hubbard{Modell mit asymme-trischer dreidimensionaler fcc-Zustandsdichtemit �Ubern�achst{Nachbar{Transfer t0 = t=4und U = 6 nach Ulmke (1998). Links unten:Zweiband{Modell mit Hundscher KopplungF0 = 4 (U = 9, V0 = 5, symmetrische Bethe{Zustandsdichte). Rechts: N�achst{Nachbar{Austausch{Wechselwirkung F � = FZ = 0:5(symmetrische Bethe{Zustandsdichte) nachBl�umer (1998).kann also nicht der relevante Mechanismus f�ur den metallischen Ferromagnetismusder �Ubergangsmetalle sein.SpektralfunktionUm weitere Charakteristika der mikroskopischen Mechanismen herauszuarbeiten, wer-den in Abb. 2.14 die SpektralfunktionenN(!) verglichen. Wieder zeigen das Hubbard{Modell mit asymmetrischer Zustandsdichte und die Hundsche Kopplung ein �ahnlichesVerhalten. Das Spektrum der Minorit�ats{Spins hat einen Peak an der Fermi{Kanteund ein Satellitenband bei h�oheren Frequenzen.

2.3. Vergleich verschiedener Mechanismen f�ur den Ferromagnetismus 51

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

−2 0 2 4 6 8 10

N

ω

Spin ↑Spin ↓

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

−5 0 5 10 15 20

N

ω

Band1/Spin↑Band2/Spin↑Band1/Spin↓Band2/Spin↓

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

−6 −4 −2 0 2 4 6

N

ω

Spin ↑Spin ↓

Abbildung 2.14: Spektralfunktion verschie-dener mikroskopischer Mechanismen f�ur denFerromagnetismus (das chemische Potentialliegt bei ! = 0). Links oben: Hubbard{Modell mit asymmetrischer fcc-Zustandsdichtemit U = 4, n = 0:6 und T = 0:04 nach Ulm-ke (1998). Links unten: Zweiband{Modell mitHundscher Kopplung F0 = 4 (U = 9, V0 = 5,n = 1:25, T = 0:09, Bethe{Zustandsdichte).Die Unterschiede zwischen Band 1 und Band2 beruhen auf dem statistischen Fehler derQMC{Simulation. Rechts: N�achst{Nachbar{Austausch{Wechselwirkung F � = FZ = 0:5(n=1, T =0:07, Bethe{Zustandsdichte).Qualitative Abh�angigkeit vom GitterabstandAbschlie�end soll qualitativ untersucht werden, wie sich die Curie{Temperatur beieiner �Anderung des Gitterabstands verh�alt. Mit dem Gitterabstand �andert sich der�Uberlapp q der Wellenfunktionen zwischen benachbarten Gitterpl�atzen. Eine einfachequalitative Annahme ist, da� der N�achst{Nachbar{Transfer t linear und der N�achst{Nachbar{Austausch F quadratisch mit q w�achst, weil bei der Berechnung von t undF der �Uberlapp zwischen n�achsten Nachbarn einmal bzw. zweimal eingeht. Damitist F � = ZF / t�2. Im folgenden wird die Energieskala mit U = 1 festgesetzt, dasich die lokale Coulomb{Wechselwirkung mit einer �Anderung des Gitterabstandesi. d. R. nicht stark �andert. Konkret wird F � = 3t�2 gew�ahlt, da F � dann typi-scherweise eine Gr�o�enordnung kleiner als U ist. Abb. 2.15 zeigt das Verhalten derCurie{Temperatur als Funktion von t� / q. Im Hubbard{Modell mit asymmetrischer

52 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

T

t*

FM

PM

Abbildung 2.15: Curie{Temperatur als Funktion von t� (U � 1). Quadrate: N�achst{Nachbar{Austausch (n = 1, Bethe{Zustandsdichte) nach Wahle et al. (1998); Krei-se: Hubbard{Modell mit asymmetrischer Modell{Zustandsdichte (Asymmetrie{Parametera = 0:98; n = 0:4) nach Wahle et al. (1998); Rauten: Zweiband{Modell mit HundscherKopplung (F0 = 1=4 U , V0 = 3=4 U , n = 1:5, Bethe{Zustandsdichte).Zustandsdichte und im Zweiband{Modell mit Hundscher Kopplung verschwindet dieferromagnetische Phase, wenn der �Uberlapp der Wellenfunktionen und damit die ki-netische Energie zu gro� wird. Andererseits ist die Curie{Temperatur proportionalzur kinetischen Energie (zu t�) f�ur kleine t� und verschwindet f�ur t� ! 0. Im Zwi-schenbereich ergibt sich ein charakteristisches Maximum. Dies entspricht auch derexperimentellen Situation, da� Ferromagnetismus in d{ und f{Elektronensystemenmit einem geringen N�achst{Nachbar{�Uberlapp auftritt. Anders ist hingegen das Ver-halten, wenn der N�achst{Nachbar{Austausch den Ferromagnetismus stabilisiert. Indiesem Fall w�achst die Curie{Temperatur mit zunehmendem �Uberlapp an. W�are diesder zugrunde liegende Mechanismus, so w�urde man eine st�arkere Tendenz zum Fer-romagnetismus in den s{ und p{Schalen erwarten.Dieser Vergleich zeigt, da� der N�achst{Nachbar{Austausch als mikroskopischeUrsache f�ur den metallischen Ferromagnetismus der �Ubergangsmetalle nicht in Fra-ge kommt. Die beiden anderen Mechanismen, Hubbard{Modell mit asymmetrischerZustandsdichte und Hundsche Kopplung bei einer orbitalen Entartung, zeigen ein

2.4. Dichteabh�angiges H�upfen 53erstaunlich �ahnliches physikalisches Verhalten. Zumindest in den drei betrachtetenGr�o�en, T{n{Phasendiagramm, Spektralfunktion und Abh�angigkeit vom Gitterab-stand, gibt es kein f�ur nur einen Mechanismus charakteristisches Verhalten. Ein sol-ches charakteristisches Verhalten h�atte in der vorgestellten qualitativen Studie einenAnhaltspunkt f�ur den mikroskopischen Mechanismus von Ferromagnetismus in �Uber-gangsmetallen geben k�onnen. So bleibt die Frage, ob die asymmetrische Zustands-dichte oder die Hundsche Kopplung oder beide zusammen den Ferromagnetismus inEisen, Kobalt und Nickel stabilisieren, unbeantwortet.2.4 Dichteabh�angiges H�upfenIm folgenden wird der Vergleich des letzten Abschnitts um einen weiteren mikrosko-pischen Mechanismus, das dichteabh�angige H�upfen X, erg�anzt. Amadon und Hirsch(1996) haben diesen Term bereits in der Hartree-Fock{Approximation und mit ex-akter Diagonalisierung kleiner Systeme untersucht. Dabei haben die Autoren mitwachsendem X auch die kinetische Energie t erh�oht, so da� die Bandbreite in derparamagnetischen Phase in der Hartree{Fock{Theorie konstant bleibt. Mit dieser Re-skalierung der kinetischen Energie bei gro�er Coulomb{Wechselwirkung U kommenAmadon und Hirsch (1996) zu dem Schlu�, da� der X{Term den Ferromagnetis-mus destabilisiert. In der DMFT skaliert der X{Term wie die kinetische Energie mitX = X�=pZ. Dies f�uhrt, wie das Feynman{Diagramm in Abb. 2.16 zeigt, im Limeshoher Koordinationszahl zu einer nicht{lokalen Selbstenergie. Eine Analyse diesesTerms in der DMFT steht noch aus. In diesem Abschnitt werden die Mechanismen,durch die der X{Term Ferromagnetismus stabilisiert, detailliert in der Hartree{Fock{Theorie analysiert, ohne wie bei Amadon und Hirsch (1996) die kinetische Energiezu reskalieren. Ausgangspunkt ist dabei das Einband{Modell:H = Xhiji� tij cyi� cj� + U Xi ni"ni# + XXhiji� �ni�� + nj����cyi� cj� + h.c.�: (2.24)In der Hartree{Fock{Approximation besteht die Selbstenergie nur aus den Hartree{Diagrammen Abb. 2.16a und 2.16b. Denn bei einer Slater{Determinante mit Magne-tisierung in z{Richtung verschwinden die Spin ip{Terme (die Fock{Terme). Manerh�alt mit den n�achsten Nachbarn von i (j 2 NNi)�ii� = Uhni��i+X Xj2NNihcyj��ci��i; (2.25)�ij� = X�hni��i+ hnj��i� (2.26)

54 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus

i

j

i

a) b) c)

i j

i ii

i

k

j j j

Abbildung 2.16: Feynmann{Diagramme f�ur die Green{Funktion mit X{Term. Ge-schl�angelte Linien geben die Wechselwirkung X, gerade Linien die Green{Funktion, i(j)den Gitterplatz und " (#) die Spin{Ausrichtung an. Abb. a) und b) sind die beiden Hartree{Diagramme, in denen eine mittlere lokale Dichte an den N�achst{Nachbar{Transfer koppeltund vice versa. Abb. c) ist ein Beispiel f�ur einen nicht{lokalen Beitrag zur Selbstenergie.F�ur einen �Ubern�achsten{Nachbarn k eines Gitterplatzes i gibt es f�ur das Bethe{Gitter ge-nau einen Gitterplatz j, der diese verbindet. F�ur das hyperkubische Gitter gibt es genauzwei M�oglichkeiten f�ur j. In d{Dimensionen skaliert das Diagramm also wie X2 = X�2=d.Es ist also von der gleichen Gr�o�enordnung wie die nicht{wechselwirkende Green{Funktionzwischen i und k und liefert einen nicht{lokalen Beitrag zur Selbstenergie.und den Hartree{Fock{Hamilton{OperatorHHF = �tXhiji��1 + �ij��t � cyi�� cj� +Xi� ��ii� � ��ni�: (2.27)Dieses Einteilchen{Problem l�a�t sich durch eine Fourier{Transformation (Ri: Orts-vektor am Gitterplatz i; L: Anzahl der Gitterpl�atze)ck� = 1pLXi eikRi ci� (2.28)diagonalisieren:HHF = Xk� 1 + 2X�t ( 1LXk0 hnk0��i)! �knk� +Xk� U ( 1LXk0 hnk0��i)+ 2X�t ( 1LXk0 �k0hnk0��i)� �! nk�;

2.4. Dichteabh�angiges H�upfen 55wobei L die Anzahl der Gitterpl�atze,Ri der Gittervektor f�ur den Gitterplatz i und �kdie nicht{wechselwirkenden Einteilchen{Energien sind. Dies f�uhrt auf die Einteilchen{Energien des wechselwirkenden Systems~�k� = �k� �1 + 2X�t n� �m2 � + U n� �m2 + 2X�t E��; (2.29)wobei die Teilchendichte n, die Magnetisierung m und die kinetische Energie E�selbstkonsistent zu bestimmen sind:n = X� Z d� N0(�) f(~��); (2.30)m = X� � Z d� N0(�) f(~��); (2.31)E� = � Z d� N0(�) � f(~��): (2.32)Hierbei bezeichnet f(~��) = 1=(1+exp[� ~��]) die Fermi{Verteilung. Anhand der Hartree{Fock{Einteilchen{Energien (2.29) erkennt man zwei Mechanismen, die den Ferroma-gnetismus unterst�utzen. Zum einen bewirkt der X{Term eine spinabh�angige Redu-zierung der Bandbreite und damit eine Erh�ohung der Zustandsdichte an der Fermi{Kante. Zum anderen bewirkt der X{Term wie auch der U{Term eine Verschiebungvon Minorit�ats{ und Majorit�atsband gegeneinander; dies f�uhrt so in der Hartree{Fock{ bzw. Stoner{Theorie zum Ferromagnetismus. Dies zeigt sich auch in der Zu-standsdichte des wechselwirkenden Systems, s. Abb. 2.17:N(~�) = d�d~�N0(�(~�))= 11 + x�t(n� �m) N0 ~� + � �Um2 + 2X�tE��1 + x�t(n� �m) ! : (2.33)Bei T = 0 lassen sich die Selbstkonsistenz{Gleichungen (2.29) sowie (2.31) und(2.32) einfach l�osen. Eine Besetzung der wechselwirkenden Hartree{Fock{Zust�andebis zur Fermi{Energie (~�k� � �F ) entspricht einer Besetzung der nicht{wechselwir-kenden Energien f�ur �k� � �F + U2 �m+ 2X�tE�1 + X�t(n� �m) : (2.34)Diese Beziehung folgt aus der Inversion von Glg. (2.29), wenn die Konstante Un=2der Fermi{Energie �F zugeschlagen wird. Eine Entwicklung der beiden Glgn. (2.31)

56 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−3 −2 −1 0 1 2 3

N(ε)

ε

↑−spin↓−spin

Abbildung 2.17: Skizze der Hartree{Fock{Zustandsdichte N(�) mit X und U{Term. DerX{Term f�uhrt neben einer spinabh�angigen Verschiebung der B�ander auch zu einer spi-nabh�angigen Renormierung der Bandbreite um den Faktor 1 + x�t (n� �m).und (2.32) in erster Ordnung in m und E� � E�� f�uhrt mit der Zustandsdichte ander Fermi{Kante ~N = N �F1 + X�tn! 11 + X�tn (2.35)bis auf Korrekturen von O(m2) +O([E� � E��]2) aufm = ~N "Um + 2X�t �f1 + X�tnm+ 2X�t (E� � E��)# ; (2.36)E� � E�� = ~N �F1 + X�tn "Um + 2X�t �f1 + X�tnm+ 2X�t (E� � E��)# : (2.37)L�ost man Glg. (2.37) nach E� � E�� auf und setzt das Ergebnis in Glg. (2.36) ein,so erh�alt man m = ~N U + 2X�t �f1 + X�tn!241 + 2X�t ~N �f1+ X�tn1� 2X�t ~N �f1+ X�tn 35m: (2.38)

2.5. Diskussion und Zusammenfassung 57Damit eine L�osung mit nicht{verschwindender Magnetisierung existiert, mu� der Ko-e�zient vor m in Glg. (2.38) gr�o�er als eins sein.7 Dies ist das Stoner{Kriterium mitX{Term: U + 2X�t �f1 + X�tn � 1~N "1� 2X�t ~N �f1 + X�tn# : (2.39)Das hieraus resultierende T = 0{Phasendiagramm ist in Abb. 2.18 dargestellt. DerX{Term f�uhrt zu einer Vergr�o�erung der ferromagnetischen Phase und liefert auchohne U{Term Ferromagnetismus in der Hartree{Fock{Approximation. Bei einer klei-nen Coulomb{Wechselwirkung ist die Tendenz zum Ferromagnetismus unterhalb vonhalber F�ullung am st�arksten. F�ur gro�e Coulomb{Wechselwirkung zeigt sich dage-gen bei halber F�ullung (n = 1) die st�arkste Tendenz. In diesem Bereich gro�erCoulomb{Wechselwirkung beruht der Ferromagnetismus auf der starren Verschie-bung der B�ander f�ur Majorit�ats{ und Minorit�ats{Spin mit U . Dies ist ein Artefakt derHartree{Fock{Theorie, die nur durch eine Symmetriebrechung die Bildung von zweiB�andern bei �U=2 beschreiben kann. In einer korrekten Theorie m�ussen sich oberesund unteres Hubbard{Band bei �U=2 dagegen auch in der paramagnetischen Phasemit wachsender Coulomb{Wechselwirkung bilden. Die Gutzwiller{Approximation f�urdieses System nach Kollar (1998) sagt voraus, da� f�ur halbe F�ullung auch mitX{Term�uberhaupt kein Ferromagnetismus vorliegt und stattdessen ein Metall{Isolator{�Uber-gang �a la Brinkman und Rice (1970) auftritt. Auch f�ur n = 0:8 wird die Tendenzzum Ferromagnetismus in der Hartree{Fock{Approximation deutlich �ubersch�atzt,s. Abb. 2.19.2.5 Diskussion und ZusammenfassungIn diesem Kapitel wurden die ersten DMFT{Ergebnisse zur Hundschen Kopplung beiorbitaler Entartung als mikroskopische Ursache f�ur den Ferromagnetismus pr�asen-tiert. W�ahrend der Ferromagnetismus bei viertel F�ullung durch St�orungstheorie beistarker Coulomb{Wechselwirkung (Kugel'{Khomski��{Modelle) analysiert und ver-standen werden kann, beschr�ankten sich die Untersuchungen abseits von dieser F�ul-lung bislang vor allem auf st�orungstheoretische Ans�atze bei schwacher Coulomb{Wechselwirkung und variationelle Analysen8. Eine nicht perturbative Analyse istaber f�ur ein Ph�anomen wie den Ferromagnetismus, der bei mittlerer bis starkerCoulomb{Wechselwirkung auftritt, n�otig. Neben einem Nagaoka{�ahnlichen Theorem(M�uller-Hartmann, 1995), da� bei U = 1 in einer Dimension einen ferromagne-tischen Grundzustand voraussagt, standen f�ur das Zweiband{Hubbard{Modell mit7Der m3{Beitrag f�uhrt dann zu einer L�osung des Iterationsschemas mit endlicher Magnetisierungm. 8Diese sind ebenfalls mit zunehmender Coulomb{Wechselwirkung immer weniger zuverl�assig.

58 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismus

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4

X

U

FM

PM

n=1 n=0.5 n=0.25

Abbildung 2.18: X{U{Phasendiagramm des Hubbard{Modells bei T = 0 f�ur verschiedeneElektronendichten n (FM: ferromagnetische Phase; PM: paramagnetische Phase).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4

X

U

FM

PM

Hartree−Fock−−ApproximationGutzwiller−Approximation

Abbildung 2.19: X{U{Phasendiagramm f�ur n = 0:8 wie in Abb. 2.17 im Vergleichmit der Gutzwiller{Approximation nach Kollar (1998). Die Ergebnisse zur Gutzwiller{Approximation zeigen, da� die Hartree{Fock{Approximation die Tendenz zum Ferroma-gnetismus deutlich �ubersch�atzt.

2.5. Diskussion und Zusammenfassung 59Hundscher Kopplung bislang Resultate aus der exakten Diagonalisierung eindimen-sionaler Systeme zur Verf�ugung. Komplement�ar zu diesen eindimensionalen Ergeb-nissen zeigen die neuen DMFT{Resultate, die im Limes unendlicher Raumdimensionexakt werden, da� Ferromagnetismus in einem gro�en Bereich elektronischer Dichtenstabil ist. Die maximale �Ubergangstemperatur, d. h. die maximale Tendenz zum Fer-romagnetismus, wird oberhalb von viertel F�ullung beobachtet. Die viertel F�ullung istalso keinesfalls ein ausgezeichneter Punkt mit einer besonders gro�en Tendenz zumFerromagnetismus, wie dies beispielsweise die halbe F�ullung f�ur den Antiferromagne-tismus ist.Neben Ferromagnetismus wurde im Zweiband{Modell eine schachbrettartig al-ternierende orbitale Ordnung gefunden. Im Gegensatz zum Ferromagnetismus istdie orbitale Ordnung in der Tat auf einen kleinen Bereich in der N�ahe von vier-tel F�ullung beschr�ankt. Je nach Gr�o�e der Hundschen Kopplung wurden bei vier-tel F�ullung zwei Szenarien beobachtet. Bei einer starken Hundschen Kopplung gibtes einen �Ubergang von der ungeordneten paramagnetischen Phase zu einer Phasemit reinem Ferromagnetismus ohne orbitale Ordnung. Dies entspricht dem Hartree{Fock{Szenario. Bei einer schwachen Hundschen Kopplung erfolgt dagegen ein �Uber-gang in eine Phase mit reiner orbitaler Ordnung. Dies entspricht der Vorhersage derWeissschen Molekularfeld{Theorie f�ur das Kugel'{Khomski��-Modell. Eine gemischteorbitale und ferromagnetische Ordnung entwickelt sich nicht direkt aus der ungeord-neten Phase. Das hier mit QMC{Simulationen gewonnene T{n{Phasendiagramm desZweiband{Modells wurde in NCA{Rechnungen von Z�ol et al. (1999) best�atigt. Eineweitere DMFT{Studie von Mumoi und Kubo (1998), die den Grundzustand analy-siert, wurde kurz nach den hier vorgestellten Ergebnissen ver�o�entlicht. Die Autorenfanden einen Grundzustand mit ferromagnetischer und orbitaler Ordnung bei T = 0und n = 1.Neben dem Zweiband{Modell wurden auch Modelle mit drei und f�unf B�andernanalysiert. Dabei verst�arkt sich die Tendenz zum Ferromagnetismus durch den Me-chanismus der Hundschen Kopplung dramatisch. Bei typischen Parametern f�ur �Uber-gangsmetalle ergeben sich Curie{Temperaturen von 2000K bis 3000K.Ein weiterer mikroskopischer Mechanismus f�ur den Ferromagnetismus, das dich-teabh�angige H�upfen (\bond{charge site{charge interaction"), zeigt in der Hartree{Fock{Approximation zwei E�ekte, die den Ferromagnetismus stabilisieren. Zum einenkommt es wie in der Stoner{Theorie zu einer spinabh�angigen Verschiebung der B�an-der, zum anderen wird deren Breite zus�atzlich renormiert.Drei mikroskopische Mechanismen f�ur den Ferromagnetismus, die Hundsche Kopp-lung bei einer orbitalen Entartung, eine asymmetrische Zustandsdichte im Hubbard{Modell und der N�achst{Nachbar{Austausch, wurden anhand des T{n{Phasendia-gramms, der Spektralfunktion und einer qualitativen Analyse der �Anderung derCurie{Temperatur mit dem �Uberlapp der Wellenfunktion verglichen. Dabei zeigt derMechanismus des N�achst{Nachbar{Austausches ein deutlich abweichendes Verhalten

60 2. Mikroskopische Ursachen des Ferromagnetismusund kann den metallischen Ferromagnetismus der �Ubergangsmetalle nicht erkl�aren.Im Gegensatz dazu sind die physikalischen Observablen der beiden anderen Mecha-nismen erstaunlich �ahnlich. Insbesondere konnte keine f�ur nur einen Mechanismuscharakteristische Eigenschaft gefunden werden. Dies h�atte in der vorgestellten qua-litativen Studie verschiedener Modelle im Vergleich mit dem Experiment m�oglicher-weise eine Aussage �uber die mikroskopische Ursache des Ferromagnetismus in Eisen,Kobalt und Nickel erlaubt. Die Frage, ob die Hundsche Kopplung bei einer orbitalenEntartung oder die asymmetrische Zustandsdichte oder beide Mechanismen zusam-men die haupts�achliche Ursache f�ur den Ferromagnetismus der �Ubergangsmetalle ist,bleibt damit o�en.

61Kapitel 3Metamagnetismus in starkanisotropen Antiferromagneten3.1 Einf�uhrungDer Name \Metamagnetismus" wurde von Becquerel und van den Handel (1939)eingef�uhrt, die ein anomales Magnetisierungsverhalten von Mesitinspat, dem Karbo-nat von Eisen und Magnesium, im Magnetfeld beobachteten: Bei einer Temperaturvon 1.5 Kelvin steigt die magnetische Suszeptibilit�at in diesem System auch in ei-nem Magnetfeld von 2 Teslar noch an. Ein solches konkaves, nicht{lineares Verhal-ten der Magnetisierung (s. Abb. 3.1) konnte nicht im Rahmen der g�angigen Theo-rien des Para{ und Ferromagnetismus erkl�art werden. Becquerel und van den Han-del (1939) nannten das Ph�anomen daher auf Vorschlag von Kramers (s. Becquerel(1940)) \Metamagnetismus". Zumindest die qualitative theoretische Erkl�arung desMetamagnetismus ist �alter als der Begri� selbst. N�eel (1932) und Landau (1933)schlugen unabh�angig voneinander das Konzept der antiferromagnetischen Ordnungvor, um das ungew�ohnliche Verhalten der magnetischen Suszeptibilit�at in bestimm-ten Materialien zu erkl�aren. Zur Beschreibung von Metallen wie Chrom und Mangannahm N�eel (1932) eine entgegengerichtete Magnetisierung auf zwei Untergittern, dieschachbrettartige N�eel{Ordnung, an. Landau (1933) andererseits sagte f�ur Isolatorenwie EisenII{, Kobalt{ und Nickel{Chlorid die korrekte magnetische Struktur voraus:ferromagnetische Schichten, deren Magnetisierungsrichtung von Schicht zu Schichtantiferromagnetisch alterniert. F�ur diese beiden antiferromagnetischen Ordnungenverschwindet die totale Magnetisierung. Landau (1933) beschrieb dar�uber hinausqualitativ das Verhalten dieses Antiferromagneten im Magnetfeld. Unter der Annah-me einer schwachen antiferromagnetischen Kopplung zwischen den ferromagnetischenSchichten kann ein kleines Magnetfeld von der Gr�o�enordnung der antiferromagneti-schen Kopplung die Magnetisierung der Schichten, deren magnetisches Moment dem

62 3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

m

2. Ordnung

1. Ordnung

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

H

0.0

0.5

1.0

1.5

χ

2. Ordnung

1. Ordnung

Abbildung 3.1: (a) Schematisches Verhalten der Magnetisierung m (pro Atom) im Ma-gnetfeld H bei einem metamagnetischen Phasen�ubergang erster bzw. zweiter Ordnung(durchgezogene bzw. gestrichelte Linie). Die Magnetisierung steigt am metamagnetischenPhasen�ubergang stark an. (b) Die Suszeptibilit�at �(H) = @m(H)=@H hat ein charakteri-stisches Maximum.

3.1. Einf�uhrung 63Magnetfeld entgegengerichtet ist, umklappen. Dies f�uhrt zu einem starken Anwachsender totalen Magnetisierung, d. h. zu dem von Becquerel und van den Handel (1939)beobachteten metamagnetischen Verhalten.Stark anisotrope AntiferromagnetenEin qualitativ �ahnliches Verhalten wie in Mesitinspat und ein noch drastischeresmetamagnetisches Verhalten wurde sp�ater in vielen anderen Systemen beobachtet.Prototypen sind dabei die Metamagneten FeCl2 und Dy3Al5O12 (DAG) (s. den �Uber-sichtsartikel von Stryjewski und Giordano (1977)). Bei diesen Isolatoren bilden dieValenz{Elektronen lokalisierte magnetische Momente am Fe{ bzw. Dy{Ion. Die Spin{Bahn{Kopplung bewirkt, da� diese magnetischen Momente entlang einer Vorzugs-richtung (\Easy{Axis") e ausgerichtet sind. Unter dem Ein u� eines gen�ugend star-ken Magnetfeldes entlang der Vorzugsrichtung H k e verschwindet nun die antifer-romagnetische Ausrichtung der Momente, d. h. die antiferromagnetische Magneti-sierung mAF k H. Es kommt zu dem von Landau (1933) beschriebenen �Ubergang.Dieser metamagnetische �Ubergang kann ein Phasen�ubergang erster oder zweiter Ord-nung sein. In den beiden oben angegebenen Prototypen �ndet man sogar beides:bei tiefen Temperaturen ist der Phasen�ubergang erster und bei hohen Temperatu-ren zweiter Ordnung. Neben diesen isolierenden Systemen gibt es auch metallischeAntiferromagneten mit einer starken Anisotropie im Spin{Raum, die ein metama-gnetisches Verhalten zeigen. Dies sind insbesondere Uran{Verbindungen (Stryjewskiund Giordano, 1977; Sechovsk�y, Havela, Proke�s, Nakotte, de Boer und Br�uck, 1994),SmMn2Ge2 (Brabers, Nolten, Kayzel, Lenczowski, Buschow und de Boer, 1994) undvermutlich auch TbRh2�xIrxSi2 (Ivanov, Vinokurova und Szytu la, 1995).Klassi�kation von MetamagnetenEine moderne De�nition spricht generell von einem \metamagnetischen �Ubergang",wenn die magnetische Suszeptibilit�at �(H) = @m(H)=@H bei einem Magnetfeld Hcein Maximum hat, was mit einer starken Erh�ohung der Magnetisierung m(H) f�urH > Hc einhergeht (s. Abb.3.1; s. die �Ubersichtsarbeit von L�uthi, Thalmeier, Brulsund Weber (1990)). Mit dieser De�nition ist Metamagnetismus ein sehr allgemeinesPh�anomen, das in den unterschiedlichsten Systemen auftritt.1. Die oben vorgestellten stark anisotropen Antiferromagneten sind die \klassi-schen" Metamagneten.2. Auch Antiferromagneten ohne eine starke Anisotropie zeigen einen metama-gnetischen �Ubergang. Allerdings klappt in diesen Systemen nicht die Magne-tisierungsrichtung eines Untergitters um, sondern bei Anlegen eines Magnet-feldes H k mAF kommt es zu einem Spin{Flop{ �Ubergang in eine Phase mit

64 3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagnetenm k H ? mAF . Da in dieser Phase die totale Magnetisierung m gr�o�er ist,minimiert ein Spin{Flop die Energie bei einer kleinen magnetischen Anisotro-pie, d. h. einer kleinen magnetokristallinen EnergieES.O. = K sin2 �; (3.1)wobei � der Winkel zwischen dem magnetischen Moment und der Vorzugs-richtung ist, s. Bruno (1989). Eine gut lesbare Einf�uhrung in die Theorie dermagnetischen Anisotropie �ndet man bei Bruno (1993). Ein Beispiel eines Anti-ferromagneten mit Spin{Flop{�Ubergang ist La2CuO4 (L�uthi et al., 1990; Thio,Thurston, Preyer, Picone, Jenssen, Gabbe, Chen, Kastner, Birgenau und Aha-rony, 1988).3. Die wohl einfachste theoretische Erkl�arung eines metamagnetischen Verhaltensist eine Zustandsdichte mit einem Minimum an der Fermi{Kante �f . Mit zu-nehmendem Magnetfeld erh�oht sich die Zustandsdichte bei �f � H. Die Sus-zeptibilit�at steigt und zeigt damit ein metamagnetisches Verhalten. Diese Artdes Metamagnetismus �ndet man beispielsweise im eindimensionalen Hubbard{Modell bei U = 0. Takahashi (1969) wies mit dem Bethe{Ansatz nach, da� dieCoulomb{Wechselwirkung diesen �Ubergang zu einem Phasen�ubergang ersterOrdnung verst�arkt.4. Einen metamagnetischen Phasen�ubergang erster Ordnung im Hubbard{Modellzeigt auch die Gutzwiller{Approximation (Vollhardt, 1984). Im Gegensatz zumBethe{Ansatz ist in dieser N�aherung der metamagnetische Phasen�ubergang je-doch mit dem Mott{ �Ubergang identisch. Ein solches Szenario fanden auch La-loux, Georges und Krauth (1994) mit Hilfe der exakten Diagonalisierung in derDynamischen Molekularfeld{Theorie (DMFT). Die Autoren erkl�aren diese me-tamagnetischen �Uberg�ange durch die Existenz von zwei L�osungen, d. h. Isolatorund Metall, mit einer unterschiedlichen Suszeptibilit�at, zwischen denen es zueinem Phasen�ubergang erster Ordnung kommt.5. Ber�ucksichtigt man neben der besonderen Zustandsdichte aus 3.) die Coulomb{Wechselwirkung im Rahmen der Random{Phasen{Approximation, so erh�altman die Theorie des Itineranten Elektronen{Metamagnetismus von Wohlfarthund Rhodes (1962). Diese beschreibt metamagnetische Phasen�uberg�ange ersterund zweiter Ordnung in paramagnetischen Systemen und wird zur Beschrei-bung von stark austausch{erh�ohten Paramagneten wie TiBe2 und YCo2 (Acker,Huguenin, Pelizzone und Smith, 1981; Sakakibara, Goto, Yoshimura und Fuka-michi, 1990) angewandt.6. Eine weitere wichtige Klasse metamagnetischer Systeme sind bestimmte Schwer{Fermionen{Systeme wie CeRu2Si2 und UPt3 (s. L�uthi et al. (1990)). Ohka-

3.1. Einf�uhrung 65wa (1989) schlug als Erkl�arung f�ur den Metamagnetismus in diesen Schwer{Fermionen{Systemen einen Mechanismus analog zum Kondo{Volumen{Kollaps(der ausf�uhrlich in Kapitel 4 besprochen wird) in Verbindung mit einem ferro-magnetischen Austausch vor. Bei diesem Erkl�arungsansatz wird der metama-gnetische �Ubergang von einer starken Volumen{Ausdehnung begleitet. Auchin Kondo{Isolatoren wie YbB12 kommt es zu einem metamagnetischen �Uber-gang, der mit einem Isolator{Metall{�Ubergang einhergeht (Sugiyama, Date,Iga, Kasaya und Kasuya, 1988). In diesen Systemen verursacht die Kondo{Singulett{Bildung neben einem Ladungs{Gap auch ein Spin{Gap, d. h. eineverschwindende magnetische Suszeptibilit�at bei H = 0. Wird das �au�ere Ma-gnetfeld H gr�o�er als das Spin{Gap, so steigt die Magnetisierung stark an. DasSystem ist metamagnetisch. Eine quantitative Beschreibung dieses Metamagne-tismus inklusive von Plateaus f�ur n 6= 2 in selbstkonsistenter St�orungstheoriezweiter Ordnung kombiniert mit der DMFT �ndet man bei Czycholl, Qin undSchweitzer (1993). Weitere Resultate dieser St�orungstheorie und die numerischeBehandlung mit exakter Diagonalisierung (innerhalb der DMFT) zeigen Sasound Itoh (1996) sowie Saso (1997a; 1997b).Stark anisotrope antiferromagnetische IsolatorenNach dem Exkurs �uber verschiedene Arten metamagnetischer Systeme soll nun dieTheorie stark anisotroper Metamagnete, die ein sehr reichhaltiges Phasendiagrammmit Phasen�uberg�angen erster und zweiter Ordnung zeigen, besprochen werden. Dietheoretische Beschreibung begann mit Landau (1937), der das komplexe multikriti-sche Verhalten ph�anomenologisch im Rahmen der Landau{Theorie der Phasen�uber-g�ange beschrieb. �Uber diese ph�anomenologische Theorie hinaus, in Richtung zu einermikroskopischeren Beschreibung, gehen Untersuchungen des Ising{Modells. Hiermitlassen sich isolierende Metamagneten mit einer starken Anisotropie modellieren. Umdas experimentelle Szenario mit Phasen�uberg�angen erster und zweiter Ordnung zu be-schreiben, reicht ein einfaches Ising{Modell mit antiferromagnetischer Spin{Kopplungjedoch nicht aus. Ben�otigt wird ein Modell mit antiferromagnetischer und ferroma-gnetischer Wechselwirkung, z. B. eine antiferromagnetische Kopplung J zwischen Zn�achsten Nachbarn und eine ferromagnetische Kopplung J 0 zwischen Z 0 �ubern�achstenNachbarn1 H = J2 Xhiji SiSj � J 02 XhhijiiSiSj: (3.2)Alternativ ist auch ein Modell mit einer ferromagnetischen Kopplung innerhalb vonantiferromagnetisch gekoppelten Schichten m�oglich. In der Weissschen Molekularfeld{1In den Summen hiji bzw. hhijii wird jedes Paar Ising{Spins Si Sj n�achster bzw. �ubern�achsterNachbarn zweimal gez�ahlt.

66 3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten"

!H

T TNa)��AFTCP P "

!H

T TNb)�CE P�BCEAF

Abbildung 3.2: Schematisches H{T{Phasendiagramm von (a) dem typischen Ising{Metamagneten und (b) dem Ising{Modell mit einer nur schwachen ferromagnetischen Kopp-lung. Durchgezogene Linie: metamagnetischer Phasen�ubergang erster Ordnung; gestrichelteLinie: zweiter Ordnung; AF: antiferromagnetische Phase; P: paramagnetische Phase.N�aherung sind diese beiden Modelle �aquivalent. Eine sehr detaillierte Untersuchungdieser Molekularfeld{N�aherung von Kincaid und Cohen (1974) zeigt, da� das H{T{Phasendiagramm (H: inneres Magnetfeld; T : Temperatur) zwei unterschiedlicheTopologien haben kann. Ist die ferromagnetische Kopplung stark (Z 0J 0 > 3=5 ZJ),so enden die Phasen�uberg�ange erster Ordnung in einem trikritischen Punkt (TCP,Gri�ths (1970)), oberhalb dessen die Phasen�uberg�ange zweiter Ordnung sind (s. Abb.3.2a). Bei einer schw�acheren ferromagnetischen Kopplung (Z 0J 0 < 3=5 ZJ) spaltetdieser TCP auf in einen bikritischen Endpunkt (BCE) der Phasen�uberg�ange ersterOrdnung und einen kritischen Endpunkt (CE) der Phasen�uberg�ange zweiter Ordnung(s. Abb. 3.2b).Geht man �uber die Molekularfeld{Theorie hinaus, so konnten numerische Monte{Carlo{Untersuchungen von Herrmann und Landau (1993), Selke und Dasgupta (1995),Selke (1996) sowie Pleimling und Selke (1997) ein Szenario mit BCE und CE, s. Abb.3.2b, nicht best�atigen. Zwar beobachteten Pleimling und Selke (1997) ein Maximumin der �Ubergangslinie zweiter Ordnung, wie in Abb. 3.2b. Statt eines Phasen�uber-gangs erster Ordnung innerhalb der antiferromagnetischen Phase fanden die Autorenaber nur starke nicht{kritische Fluktuationen, d. h. BCE und CE fallen zusammen.Das Szenario aus Abb. 3.2b ist sehr �ahnlich zu dem experimentellen Phasendiagrammvon FeBr2 (Fert, Carrara, Lanusse, Mischler und Redoules, 1973; Vettier, Alberts und

3.1. Einf�uhrung 67Bloch, 1973). F�ur FeBr2 zeigen Magnetisierungsmessungen von de Azevedo, Binek,Kushauer, Kleemann und Bertrand (1995) sowie Pelloth, Brand, Takele, de Azeve-do, Kleemann, Binek, Kushauer und Bertrand (1995) jedoch lediglich eine Anomalieinnerhalb der antiferromagnetischen Phase. Im Gegensatz hierzu deuten Messungender spezi�schen W�arme von Katori, Katsumata und Katori (1996), Neutronenstreu{Messungen von Katsumata, Katori, Shapiro und Shirane (1997) sowie die Faraday{Mikroskopie von Petracic, Binek und Kleemann (1997) auf einen Phasen�ubergangerster Ordnung innerhalb der antiferromagnetischen Phase hin, was Abb. 3.2b ent-spricht. In einer neueren Arbeit von Petracic, Binek, Kleemann, Neuhausen und Lue-ken (1998) wurde dieser Widerspruch in den experimentellen Ergebnissen aufgekl�art.Die Phasen�uberg�ange erster Ordnung in der Magnetisierung und spezi�schen W�armetreten auf, wenn das Magnetfeld nicht entlang der Vorzugsrichtung e angelegt wird.F�ur H k e k mAF gibt es dagegen nur starke, nicht{kritische Fluktuationen. DieExperimente f�ur H k e entsprechen damit den numerischen Ergebnissen zum Ising{Modell, die besagen, da� der Molekularfeld{�Ubergang zwischen CE und BCE durchr�aumliche Fluktuationen unterdr�uckt wird. Die experimentellen Ergebnisse im Fal-le eines Winkels zwischen H und e konnten von Pleimling und Selke (1999) miteinem Spin{Flop{Zustand in einem anisotropen Spin{1{Heisenberg{Modell beschrie-ben werden.Stark anisotrope antiferromagnetische MetalleMetamagnetische Phasen�uberg�ange in stark anisotropen antiferromagnetischen Me-tallen, wie z. B. Uran{Verbindungen, wurden bislang haupts�achlich durch die semi{ph�anomenologische Theorie des Itineranten Elektronen{Metamagnetismus von Mo-riya und Usami (1977) beschrieben. Bei diesem antiferromagnetischen Analogon zuder Theorie von Wohlfarth und Rhodes (1962) wird die Coulomb{WechselwirkungU in der Random{Phasen{Approximation (RPA) ber�ucksichtigt. Dies f�uhrt zu einerModi�kation der ferro{ und antiferromagnetischen Suszeptibilit�at (�F bzw. �AF )1�F = 1�0F � U; 1�AF = 1�0AF � U (3.3)gegen�uber der Suszeptibilit�at ohne Wechselwirkung (�0F bzw. �0AF ). Unter der Annah-me einer kleinen antiferromagnetischen und ferromagnetischen Magnetisierung (mAFund m) wird eine Landau{Theorie mit Freier EnergieF (m;mAF ) = 12�Fm2 + 12�AFm2AF + a m4 + a0 m4AF+b m2m2AF + b0 (m�mAF)2 �Hm (3.4)aufgestellt. Letztendlich basiert die Theorie des itineranten Elektronen{Metamagne-tismus auf dieser Landau{Theorie, die mit geeigneten Parametern Phasen�uberg�ange

68 3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagnetenerster und zweiter Ordnung beschreibt.Ein quantenmechanisches Modell korrelierter Elektronen, das auf den mikroskopi-schen Ursachen des Antiferromagnetismus, d. h. Coulomb{Wechselwirkung und kine-tische Energie beruht, schlugen Held, Ulmke und Vollhardt (1996) zur Beschreibungmetamagnetischer Phasen�uberg�ange vor: das Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung.Das Hubbard{Modell, Glg. (1.7), ist das generische Modell f�ur den Antiferroma-gnetismus. Bei halber F�ullung und einer Zustandsdichte mit Nesting{Instabilit�atzeigt das Modell eine antiferromagnetische, isolierende Phase. Dieser antiferroma-gnetische Isolator entspricht bei starker Coulomb{Wechselwirkung einem Heisenberg{Spin{Antiferromagneten und bei schwacher Coulomb{Wechselwirkung einem band-artigen Slater{Antiferromagneten mit einem Gap an der Fermi{Kante (Hartree{Fock{Theorie). Abseits halber F�ullung wird dieser Antiferromagnet metallisch. DasHubbard{Modell beschreibt also trotz seiner Einfachheit vier verschiedene antiferro-magnetische Phasen (metallisch oder isolierend; bandartig oder spinartig) und den�Ubergang zwischen diesen.Das Hubbard{Modell selbst ist isotrop im Spin{Raum (SU(2){symmetrisch) undkann daher nicht das Verhalten stark anisotroper Antiferromagneten modellieren.Die totale und die antiferromagnetische Magnetisierung des isotropen Modells zeigeneinen Phasen�ubergang zweiter Ordnung (Giesekus und Brandt, 1993). Die Beschrei-bung des Metamagnetismus stark anisotroper Antiferromagneten ist m�oglich, wennman sich auf die Phasen mit einer mittleren Untergittermagnetisierung entlang ei-ner Vorzugsrichtung mAF k m k e (k H) beschr�ankt. W�ahrend diese Phasen imStandard{Hubbard{Modell eine h�ohere Energie als die mit mAF ? m k e (k H)haben, werden sie durch die Energie der magnetischen Anisotropie, Glg. (3.1), ener-getisch bevorzugt. Bei hinreichend starker Anisotropie liegt also die Phase mAF km k e (k H) vor. Im Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung wird die Existenz ei-ner Vorzugsrichtung oder \Easy-Axis" angenommen. Deren Ursache, die Spin{Bahn{Kopplung, wird nicht mikroskopisch ber�ucksichtigt.Held et al. (1996) untersuchten metamagnetische Phasen�uberg�ange im Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung numerisch im Rahmen der DMFT und beobachtetenbei einer Coulomb{Wechselwirkung von der Gr�o�e der Bandbreite das Szenario ausAbb. 3.2b. In der Hartree{Fock{Approximation wurde die ben�otigte Anisotropie{Energie, die zur Stabilisierung der Phase mAF k m k e (k H) ben�otigt wird,zu 10�2eV abgesch�atzt, wenn Coulomb{Wechselwirkung und Bandbreite von derGr�o�enordnung 1eV sind. Eine magnetische Anisotropie{Energie von dieser Gr�o�e istrealistisch, da die Spin{Bahn{Kopplung sogar bis zu 10�1eV erreichen kann. Bosta-nov und van Dongen (1999) studierten detailliert das metamagnetische Verhalten inder Hartree{Fock{Theorie und fanden ebenfalls Phasen�uberg�ange erster und zweiterOrdnung, die sich in einem trikritischen Punkt wie in Abb. 3.2a tre�en. Mit wach-sender Coulomb{Wechselwirkung nimmt der Bereich mit Phasen�uberg�angen zweiterOrdnung in der Hartree{Fock{Approximation immer st�arker ab. In �Ubereinstimmung

3.2. St�orungstheorie bei starker Kopplung 69mit Held et al. (1996) fanden Bagedorn und Hetzel (1997; 1998) einen metamagne-tischen Phasen�ubergang erster Ordnung im zweidimensionalen Hubbard{Modell mitVorzugsrichtung bei T = 0 mit der Projektions{Quanten{Monte{Carlo{Technik.Im folgenden Abschnitt 3.2 wird der metamagnetische �Ubergang im Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung in St�orungstheorie bei starker Kopplung in Ordnungt4=U3 analysiert. Abschnitt 3.3 besch�aftigt sich detailliert mit dem �Ubergang vonstarker zu schwacher Coulomb{Wechselwirkung, d. h. dem �Ubergang vom spin{ zumbandartigen Metamagneten. In Abschnitt 3.4 wird schlie�lich der Metamagnetismusin der metallischen Phase abseits halber Bandf�ullung und in Abschnitt 3.5 die �Ande-rung der elektronischen Kompressibilit�at am metamagnetischen Phasen�ubergang un-tersucht.3.2 St�orungstheorie bei starker KopplungBei halber Bandf�ullung ist im Hubbard{Modell eine St�orungstheorie in der kineti-schen Energie bzw. im Transfer t um den atomaren Limes, der aus einem lokalisiertenElektron auf jedem Gitterplatz besteht, m�oglich. In zweiter Ordnung ergibt sich eine�ektives Heisenberg{Modell mit einem antiferromagnetischen Superaustausch derSt�arke J = 4t2=U HHeisenberg = J2 Xhiji Si � Sj � 2HXi Szi ; (3.5)zwischen den Spins Szi = 12(ni" � ni#), Sxi = 12(cyi"ci# + cyi#ci") und Syi = � i2(cyi"ci# �cyi#ci"). Geht man f�ur das Hubbard{Modell von der DMFT aus, so erh�alt man entspre-chend die Weisssche Molekularfeld{Theorie f�ur das e�ektive Heisenberg{Modell beistarker Kopplung. Nimmt man dar�uber hinaus eine Vorzugsrichtung e mit Magnet-feld H k e an, so treten keine Phasen mit Spin{Flop auf. Daher reduziert sich dasHeisenberg{Modell in der Weissschen Molekularfeld{Theorie auf das Ising{Modell.Wie in der Literatur bekannt (Kincaid und Cohen, 1975; Lawrie und Sarbach, 1984),sind die metamagnetischen Phasen�uberg�ange in diesem Modell ohne zus�atzliche fer-romagnetische Kopplung f�ur T > 0 zweiter Ordnung und lediglich bei T = 0 er-ster Ordnung. Dies entspricht der Darstellung aus Abb. 3.2a mit einer trikritischenTemperatur Tt = 0, jedoch nicht den experimentellen Resultaten in metamagneti-schen Isolatoren wie FeBr2 bzw. den Ergebnissen zum Ising{Modell mit zus�atzlicherferromagnetischer Kopplung oder dem theoretisch im Hubbard{Modell mit Vorzugs-richtung gefundenen Verhalten mit Phasen�uberg�angen erster Ordnung f�ur T > 0. Inder Weissschen Molekularfeld{Theorie kann das Verhalten der Ising{Modelle in einereinfachen Art und Weise verstanden werden. Im Grundzustand ist die Energie pro

70 3. Metamagnetismus in stark anisotropen AntiferromagnetenGitterplatz E(m;mAF ) = J�8 (m2 �m2AF )�Hm; (3.6)wobei J� = ZJ = 4t�2=U ist; m und mAF ist durch die Untergittermagnetisierungen(� = �1 f�ur die beiden Untergitter) gegeben:m = 12X�� �n��; (3.7)mAF = 12X�� ��n��: (3.8)Die Minimierung der Energie (3.6) nach der ferro{ und antiferromagnetischen Ma-gnetisierung m und mAF zeigt, da� eine maximale antiferromagnetische Magnetisie-rung (mAF = 1, m = 0) die niedrigste Energie f�ur H < J�=4 hat, w�ahrend dervollst�andig polarisierte Ferromagnet (mAF = 0, m = 1) energetisch am g�unstigstenf�ur H > J�=4 ist. Dadurch wird bei H = J�=4 ein Phasen�ubergang erster Ordnung in-duziert. Bei diesem Magnetfeld liegt eine hohe Entartung vor, weil alle Realisierungenmit m + mAF = 1 die gleiche Energie haben. F�ur T > 0 werden wegen der EntropiePhasen mit einer gemischten ferro{ und antiferromagnetischen Magnetisierung bevor-zugt, weil die beiden vollst�andig polarisierten Phasen mit m = 1 bzw. mAF = 1 nurdurch eine einzige Kon�guration realisiert werden k�onnen. Eine gemischte Magneti-sierung mit m + mAF = 1 wird jedoch durch verschiedene Kon�gurationen erreicht.Daher erh�alt man f�ur T > 0 in der N�ahe von H = J�=4 eine sich kontinuierlich�andernde Magnetisierung: Tt = 0. Ein trikritischer Punkt mit Tt > 0 wird nur bei ei-ner zus�atzlichen ferromagnetischen Kopplung J 0 beobachtet. Diese ferromagnetischeKopplung bevorzugt energetisch sowohl eine rein antiferromagnetische als auch einerein ferromagnetische Phase gegen�uber gemischten Phasen mit m + mAF = 1. Diesf�uhrt bei T = 0 zu einem Hysterese{Bereich, in dem beide Phasen stabil gegen�uberder Bildung von Phasen mit m < 1 bzw. mAF < 1 sind. Dieser Hysterese{Bereichund die damit verbundenen Phasen�uberg�ange erster Ordnung verschwinden erst beieiner Temperatur Tt > 0.W�ahrend die ferromagnetische Kopplung zwischen �ubern�achsten Nachbarn J 0 ad{hoc in den Ising{Modellen zur Beschreibung des Metamagnetismus angesetzt wird,tritt diese im Hubbard{Modell in der n�achsten Ordnung der St�orungstheorie (t4=U3)auf nat�urliche Weise auf. Dies legt die Vermutung nahe, da� diese Ordnung derSt�orungstheorie das Phasendiagramm Abb. 3.2a oder 3.2b liefert. Neben dem J 0{Term treten in dieser Ordnung aber noch weitere Terme auf: eine Kopplung zwischenvier Spins auf verschiedenen Gitterpl�atzen. Nach Takahashi (1977) und van Dongen

3.2. St�orungstheorie bei starker Kopplung 71(1994) ergibt sich f�ur ein hyperkubisches Gitter der Hamilton{OperatorHeff = �J4 Xhiji Qij + J 04 Xi;� 0 6=�� Qi+� 0;i+�+ t4U3AXf2g (Q12Q34 +Q14Q23 �Q13Q24) ; (3.9)J = 4�t2U +BZt4U3 � ; (3.10)J 0 = 4 t4U3C: (3.11)Hierbei ist Qij der Hermitesche OperatorQij = �2�Si � Sj � 14� : (3.12)� und � 0 sind jeweils Gittervektoren zwischen einem Gitterplatz i und einem n�achstenNachbarn. 2 ist eine Plaquette von vier im Uhrzeigersinn benachbarten Gitterpl�atzenf1; 2; 3; 4g.2 F�ur ein hyperkubisches Gitter ergeben sich nach van Dongen (1994) dieKopplungskonstanten A = 20, B = 4 und C = 2. F�ur ein Bethe{Gitter entfallenhingegen die Plaquetten (A = 0) und die Kopplung zwischen �ubern�achsten Gitter-pl�atzen J 0 wird antiferromagnetisch mit C = �1, da es keine geschlossenen Schleifengibt.Um die metamagnetischen Phasen�uberg�ange des e�ektiven Stark{Kopplungs{Modells (3.9) zu untersuchen, wird im folgenden von einer gemischten ferro{ undantiferromagnetischen Magnetisierung entlang einer Vorzugsrichtung ausgegangen.Diese Phase hat die Energie3E = 12 1Um2 � 12 1Um2AF + 132 1U3 �16Bm2 � 16Bm2AF+Am4 � 2Am2m2AF � 2Am2 + Am4AF + 6Am2AF�16C m2 � 16Cm2AF�H m+ konst.: (3.13)Anhand dieser Formel erkennt man, da� die ferromagnetische Kopplung zwischen�ubern�achsten Nachbarn C sowohl vollst�andig polarisierten Ferromagnetismus als auchvollst�andig polarisierten Antiferromagnetismus energetisch bevorzugt. Im Gegensatzhierzu unterst�utzt der Plaquetten{Beitrag A eine gemischte Phase mit ferro{ undantiferromagnetischer Magnetisierung. W�ahrend C wie in den Spin{Modellen die2Jede Plaquette wird nur einmal gez�ahlt.3t� � 1 legt die Energieskala fest.

72 3. Metamagnetismus in stark anisotropen AntiferromagnetenTendenz zu Phasen�uberg�angen erster Ordnung zwischen Ferro{ und Antiferromagne-tismus also erh�oht, wird diese Tendenz durch den konkurrierenden Term A unter-dr�uckt. Zur Bestimmung des Grundzustandes mu� die Energie nun nach m und mAFminimiert werden. Dabei m�ussen die Randbedingungen jmj � 1 und mAF � 1� jmjerf�ullt werden, d. h. keines der Untergitter darf eine Magnetisierung gr�o�er 1 haben.Di�erenziert man E nach mAF , so �ndet man drei Nullstellen von @E=@mAF : einMaximum bei mAF = 0 und zwei Minima beimAF = �r8U2 + Am2 � 3A+ 8B + 8CA : (3.14)F�ur eine hinreichend gro�e Kopplung U (U > 2 f�ur A = 20, B = 4 und C = 2) liegendiese Minima au�erhalb des zugelassenen Wertebereichs mAF � 1� jmj. Die Energiewird daher minimal am Rande des Wertebereichs, d. h. f�ur mAF = 1�jmj. Setzt mandiesen Wert in Glg. (3.13) ein, so liefert die Minimierung nach m den Grundzustandm = 8>><>>: 0 f�ur H � 12 �A+2C+2U2+2BU31 f�ur H � �C+U2+BU3A�2C�2U2�2B+2H U3A�4C sonst (3.15)mAF = 1�m: (3.16)Mit wachsendem Magnetfeld zeigt der Grundzustand einen Phasen�ubergang zweiterOrdnung f�ur A > 4C. Diese Bedingung ist sowohl f�ur das hyperkubische als auch f�urdas Bethe{Gitter erf�ullt. Die Terme, die �uber die St�orungstheorie zweiter Ordnungbzw. das Ising{Modell mit antiferromagnetischer Kopplung J hinausgehen, f�uhrenalso nicht zu Phasen�uberg�angen erster Ordnung bei endlichen Temperaturen. ImGegenteil, selbst bei T = 0 bewirken sie Phasen�uberg�ange zweiter Ordnung.3.3 Von schwacher zu starker Kopplung bei halberF�ullungW�ahrend das halbgef�ullte Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung bei starker Kopp-lung nur metamagnetische Phasen�uberg�ange zweiter Ordnung zeigt, �ndet man beischwacher Kopplung vorwiegend Phasen�uberg�ange erster Ordnung (Held, 1995). Ei-ne genauere Untersuchung im Rahmen der Hartree{Fock{Approximation von Bo-stanov und van Dongen (1999) ergab, da� die Hartree{Fock{Theorie bei sehr kleinerCoulomb{Wechselwirkung im Grenzfall U ! 0 zun�achst einen trikritischen Punkt mitTt = 0:56 TN (TN : N�eel{Temperatur) zeigt. Mit wachsender Coulomb{Wechselwir-kung nimmt der Bereich mit Phasen�uberg�angen zweiter Ordnung schnell ab, und beiU = 4 gilt bereits Tt = 0:97 TN (f�ur ein Bethe{Gitter mit Bandbreite W = 4), d. h. es

3.3. Von schwacher zu starker Kopplung bei halber F�ullung 73liegen fast nur noch Phasen�uberg�ange erster Ordnung vor. Dieses Szenario bei schwa-cher und das Szenario mit Phasen�uberg�angen zweiter Ordnung bei starker Kopplungsind als Grenzf�alle in der Dynamischen Molekularfeld{Theorie (DMFT) enthalten.Bei mittlerer Kopplung ist eine analytische L�osung der DMFT nicht m�oglich, undeine exakte Behandlung kann nur numerisch erfolgen. Wie in der Hartree{Fock{ oderder Weissschen Molekularfeld{Theorie kann man sich auch in der DMFT auf die Un-tersuchung bestimmter Phasen beschr�anken. Mit einer Vorzugsrichtung bzw. \Easy{Axis" in z{Richtung sind das die Phasen mit verschwindender Magnetisierung in x{und y{Richtung, d. h. auf beiden Untergittern � verschwindet die Green{FunktionG�"# = G�#" = 0: (3.17)Abb. 3.3a zeigt die Magnetisierungskurve m(H) f�ur U = 2 und eine Bethe{Zustandsdichte der Bandbreite W = 4 (t� � 1). Unterhalb der N�eel{TemperaturTN = 0:114� 0:006 zeigt die Magnetisierungskurve ein metamagnetisches Verhalten:In einem kleinen Magnetfeld wird die Magnetisierung exponentiell mit abnehmenderTemperatur unterdr�uckt. Dann steigt die Magnetisierung stark an, und die ferroma-gnetische Suszeptibilit�at �(H) = @m(H)=@H wird bei dem kritischen Magnetfeld Hcdes metamagnetischen Phasen�ubergangs maximal. Abb. 3.3 zeigt exemplarisch je-weils einen Phasen�ubergang erster und zweiter Ordnung. Eine genauere Analyse vonvielen Magnetisierungskurven zeigt f�ur U = 2, da� der metamagnetische Phasen�uber-gang zweiter Ordnung f�ur 1=14 � T � TN und erster Ordnung f�ur 0 � T � 1=14ist. Bei Hc verschwindet der Ordnungsparameter des Phasen�ubergangs, die antifer-romagnetische Magnetisierung, s. Abb. 3.3b. Aus dieser mAF (H){Kurve wurde daskritische Magnetfeld Hc berechnet. F�ur die Phasen�uberg�ange zweiter Ordnung wurdeein Quadratwurzel{Fit in der N�ahe des �Ubergangs angenommen und f�ur die Pha-sen�uberg�ange erster Ordnung wurde Hc aus dem Mittelwert des Hysterese{Gebietesbestimmt. Aus den Werten von Hc wiederum wurde das metamagnetische Phasen-diagramm, Abb. 3.4, bestimmt.Abb. 3.4 zeigt, wie sich das Phasendiagramm mit der Coulomb{WechselwirkungU �andert. Die Ergebnisse f�ur U = 4 (Abb. 3.4a) wurden bereits in Held et al.(1996) gefunden und sind hier nur zum Vergleich angegeben. F�ur diese Coulomb{Wechselwirkung �ndet man Phasen�uberg�ange erster Ordnung f�ur 0 < T < 1=16 undPhasen�uberg�ange zweiter Ordnung f�ur 1=8 < T < TN � 1=5. Daneben zeigt sichim Bereich mittlerer Temperaturen 1=16 < T < 1=8 ein noch komplizierteres Ma-gnetisierungsverhalten. Wenn die statistischen Fehler der QMC{Methode auch einede�nitive Aussage schwer machen, so deuten die Ergebnisse doch auf zwei �Uberg�angehin: einen Phasen�ubergang erster Ordnung [zwischen einer Phase mit sehr kleinerMagnetisierung m � 0 (AFI) und einer antiferromagnetischen Phase mit reduzier-tem mAF und deutlich gr�o�erer Magnetisierung m > 0 (AFII)] sowie einen weiterenPhasen�ubergang zweiter Ordnung bei einem gr�o�eren Magnetfeld, bei dem die an-

74 3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten

0

0.05

0.10

0.15

m

T=1/5

T=1/12

T=1/16

a)

0 0.04 0.08 0.12

H

0

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

mAF

T=1/24

T=1/32

b)Abbildung 3.3: QMC{Ergebnisse mit Fehlerbalken f�ur (a) die Magnetisierung und f�ur (b)die antiferromagnetische Magnetisierung als Funktion des Magnetfeldes bei verschiedenenTemperaturen und U = 2 (halbe Bandbreite).

3.3. Von schwacher zu starker Kopplung bei halber F�ullung 75

0

0.1

0.2

0.3 U=4

H BCE

CE

AFI

AFII

a)

P

0 0.05 0.10 0.15 0.20

T

0

0.1

0.2

0.3

H

b)

U=3

U=2

Abbildung 3.4: H{T{Phasendiagramm f�ur das Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung inder DMFT. f�ur (a) U = 4 und (b) U = 2 und 3. Gestrichelte Linien bezeichnen Pha-sen�uberg�ange zweiter, durchgezogene Phasen�uberg�ange erster Ordnung. AFI und AFIIsind antiferromagnetische Phasen mit unterschiedlicher Magnetisierung, P ist die parama-gnetische Phase. BCE und CE geben den bikritischen und kritischen Endpunkt an. DieErgebnisse zu U = 3 wurden in der Diplomarbeit Bl�umer (1996) gewonnen.

76 3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagnetentiferromagnetische Magnetisierung vollst�andig verschwindet. Diese Ergebnisse korre-spondieren mit dem Szenario der Abb. 3.2b. F�ur U = 2 wurden Phasen�uberg�angeerster Ordnung in dem Intervall 0 < T � 1=16 und solche zweiter Ordnung imBereich 1=14 < T < TN = 0:11� 0:01 gefunden (s. Abb. 3.4b). F�ur diese Coulomb{Wechselwirkung ist der Bereich mit zwei aufeinander folgenden Phasen�uberg�angenbei zwei kritischen Magnetfeldern verschwunden oder sehr klein geworden. DiesesResultat ist �ahnlich zu dem Schema aus Abb. 3.2a. Das Phasendiagramm f�ur U = 3(Abb. 3.4b) zeigt einige Charakteristika des Szenarios aus Abb. 3.2b bzw. des Pha-sendiagramms f�ur U = 4. Insbesondere gibt es ein Maximum in der Kurve der Pha-sen�uberg�ange zweiter Ordnung, und die Linien erster und zweiter Ordnung habenim Schnittpunkt eine unterschiedliche Steigung. Ein Bereich mit zwei aufeinanderfolgenden �Uberg�angen konnte in den numerischen Daten nicht festgemacht werden.Damit liegt das Phasendiagramm f�ur U = 3 zwischen den Szenarien der Abb. 3.2aund Abb. 3.2b.Aus diesen drei Phasendiagrammen kann quantitativ der �Ubergang von mitt-lerer zu schwacher Kopplung analysiert werden. Dazu ist in Abb. 3.5 die N�eel{Temperatur bei H = 0 (Kreise) und die Temperatur Tc des kritischen Punktes,bei der die metamagnetischen Phasen�uberg�ange zweiter Ordnung enden, (Quadrate)eingezeichnet. Tc ist also gerade die Temperatur des kritischen Endpunktes bzw. destrikritischen Punktes in Abb. 3.2a bzw. 3.2b. Unterhalb von Tc ist der metamagneti-sche Phasen�ubergang in einem externen Feld erster und oberhalb zweiter Ordnung.Abb. 3.5 zeigt, wie mit abnehmender Coulomb{Wechselwirkung der Bereich mit Pha-sen�uberg�angen zweiter Ordnung (Tc < T < TN) immer weiter abnimmt, w�ahrend derBereich mit Phasen�uberg�angen erster Ordnung nahezu konstant bleibt. Auf dieseWeise erfolgt der �Ubergang zum Hartree{Fock{Szenario, das bei diesen Coulomb{Wechselwirkungen fast ausschlie�lich Phasen�uberg�ange erster Ordnung zeigt. DasHartree{Fock{Szenario sagt nach Bostanov und van Dongen (1999) auch, da� f�urnoch kleinere Coulomb{Wechselwirkungen der Bereich mit Phasen�uberg�angen zwei-ter Ordnung wieder ansteigt.3.4 Metallischer Metamagnetismus abseits halberF�ullungBislang wurden die metamagnetischen Phasen�uberg�ange im Hubbard{Modell mitVorzugsrichtung nur im isolierenden Fall halber F�ullung untersucht. Eine St�arke die-ser Theorie korrelierter Elektronen ist aber gerade, da� im Gegensatz zu den Spin{Modellen auch metallische Metamagneten mikroskopisch beschrieben werden k�onnen.Abseits halber F�ullung bleibt die kommensurable antiferromagnetische Phase in ei-nem gro�en Parameterbereich stabil, insbesondere in dem untersuchten Bereich mit

3.4. Metallischer Metamagnetismus abseits halber F�ullung 77

0 2.0 4.0 6.0 8.0

U

0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

T

Tc

TN

Abbildung 3.5: N�eel{Temperatur TN (Kreise) und (tri{)kritische Temperatur Tc (Rauten)als Funktion der Coulomb{Wechselwirkung U . Oberhalb von TN ist das System parama-gnetisch. In dem Temperatur{Bereich Tc < T < TN �nden in einem �au�eren Magnetfeldmetamagnetische Phasen�uberg�ange zweiter Ordnung statt, diese sind erster Ordnung f�urT < Tc.Dotierung � = j1 � nj � 0:075 und Temperatur T � 1=32. Neben dem Antifer-romagnetismus werden im Hubbard{Modell in der DMFT zwar inkommensurablemagnetische Phasen und Phasenseparation gefunden. Eine inkommensurable Phasesagen Freericks und Jarrell (1995) aber nur bei noch tieferen Temperaturen als denhier betrachteten voraus. Auch eine Phasenseparation, die im Rahmen der Hartree|Fock{Theorie und St�orungstheorie zweiter Ordnung bei konstantem Ordnungspara-meter von van Dongen (1995) bei T = 0 gefunden wurde, tritt f�ur T � 1=32 nichtauf. Dies zeigt die n(�){Kurve in Abb. 3.6, die ein monotones Verhalten ohne Sprungzeigt. W�urde Phasenseparation auftreten, so m�u�te die elektronische Kompressibi-lit�at � = @n=@� negativ werden oder eine Hysterese vorliegen.Abb. 3.6 zeigt auch, da� der dotierte Antiferromagnet metallisch wird, denn ineinem Isolator wie bei n = 1 w�urde die Kompressibilit�at verschwinden bzw. expo-nentiell klein in 1=T sein. Die Magnetisierungskurve des metallischen Metamagne-ten unterscheidet sich erheblich von der des isolierenden Metamagneten. So zeigtAbb. 3.7a f�ur � = 0:05 eine deutlich gr�o�ere Magnetisierung bei kleinen Feldern alsf�ur den metamagnetischen Isolator (� = 0). In der Tat ist der metamagnetische Pha-sen�ubergang in der Magnetisierung wesentlich schw�acher ausgepr�agt. Die Erkl�arung

78 3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten

2.0 2.4 2.8 3.2 3.6

µ

1.0

1.1

1.2

1.3

n

T=1/7

T=1/10

T=1/16

Abbildung 3.6: Teilchendichte n als Funktion des chemischen Potentials � im Gro�kano-nischen Ensemble. Bei den untersuchten Temperaturen liegt Antiferromagnetismus in derN�ahe halber F�ullung und Paramagnetismus f�ur � = j1 � nj > 0:075 vor. Es gibt kein An-zeichen f�ur eine Phasenseparation. Auch f�ur T = 1=32 (nicht dargestellt) wurde kein Indizauf Phasenseparation gefunden.hierf�ur ist, da� der metallische Metamagnet kein \Slater{Gap" an der Fermi{Kantehat, und die homogene magnetische Suszeptibilit�at damit wesentlich weniger durchdie antiferromagnetische Ordnung unterdr�uckt wird als bei halber F�ullung. Der me-tamagnetische Phasen�ubergang ist jedoch deutlich sichtbar in der antiferromagne-tischen Magnetisierung mAF (H) (Abb. 3.7b). Aus der Kurve mAF (H) wurde dasPhasendiagramm (Abb. 3.8) konstruiert. Im Vergleich zu halber F�ullung �ndet dermetamagnetische Phasen�ubergang mit zunehmender Dotierung bei immer kleinerenTemperaturen und Magnetfeldern statt. Das charakteristische Maximum in der Linieder Phasen�uberg�ange zweiter Ordnung bleibt auch mit Dotierung bestehen. Pha-sen�uberg�ange erster Ordnung wurden f�ur T � 1=32 nicht gefunden. Sie k�onnen aberf�ur noch tiefere Temperaturen auftreten.3.5 �Anderung der elektronischen Kompressibilit�atMit dem metamagnetischen Phasen�ubergang kann eine �Anderung in der elektrischenLeitf�ahigkeit des Systems einhergehen. Um diesen interessanten E�ekt zu studieren,wird im folgenden die �Anderung der elektronischen Kompressibilit�at � mit wachsen-

3.5. �Anderung der elektronischen Kompressibilit�at 79

0

0.05

0.10

0.15

m

δ=0δ=0.05

a)

0 0.04 0.08 0.12

H

0

0.10

0.20

0.30

0.40

mAF

δ=0δ=0.05 b)

Abbildung 3.7: (a) Magnetisierung m und (b) antiferromagnetische Magnetisierung mAFals Funktion des �au�eren Magnetfeldes H f�ur U = 2 und T = 1=16. Im Gegensatz zu halberF�ullung (Dotierung � = 0) wird die Magnetisierung abseits halber F�ullung bei � = 0:05durch die antiferromagnetische Ordnung gegen�uber der paramagnetischen Magnetisierungkaum reduziert.

80 3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten

0

0.1

0.2

0.3 δ=0

H BCE

CE

AFI

AFII

a)

P

0 0.05 0.10 0.15 0.20

T

0

0.1

0.2

0.3 δ=0.025 δ=0.05 δ=0.075

H b)Abbildung 3.8: �Anderung des metamagnetischen H{T{Phasendiagramms mit Dotierung� f�ur U = 4. Abb. (a) wiederholt zum Vergleich das Phasendiagramm Abb. 3.4a bei halberF�ullung. Abb. (b) zeigt die Phasen�uberg�ange zweiter Ordnung, deren H{T{Bereich mitder Dotierung rasch abnimmt. F�ur T = 1=32 konnten im Rahmen des numerischen Fehlersnoch keine Phasen�uberg�ange erster Ordnung gefunden werden.

3.6. Diskussion und Zusammenfassung 81dem Magnetfeld H untersucht. Diese ist ein Indiz daf�ur, ob das System isolierendoder metallisch ist. Im Falle eines Isolators ist � = 0 bei T = 0 und exponentiellklein bei Temperaturen, die kleiner als das antiferromagnetische Gap sind. In einemeinfachen Metall wie einer Fermi{Fl�ussigkeit ist � dagegen proportional zur Zustands-dichte an der Fermi{Kante und damit auch zum Drude{Gewicht der Leitf�ahigkeit.Eine endliche Kompressibilit�at ist damit in aller Regel mit einem metallischen Ver-halten verbunden. Es gibt aber auch Ausnahmen. So lassen sich beispielsweise ineinem durch Unordnung induzierten Anderson{Isolator Niveaus an der Fermi{Kantebesetzen. � ist also endlich. Die Niveaus an der Fermi{Kante sind aber lokalisiert undtragen nicht zur Leitf�ahigkeit bei.Abb. 3.9 zeigt die elektronische Kompressibilit�at � als Funktion des MagnetfeldesH bei U = 2. Bei halber F�ullung (� = 0) steigt die Kompressibilit�at mit wachsendemMagnetfeld. Bei tieferen Temperaturen ist dieser Anstieg besonders ausgepr�agt. So ist� bei T = 1=25 f�ur ein Magnetfeld unterhalb des metamagnetischen Phasen�ubergangsbeinahe Null. Das System ist ein Isolator. Am metamagnetischen Phasen�ubergangkommt es dann zu einem starken Anstieg der Kompressibilit�at, zu einem Isolator{Metall{�Ubergang im Magnetfeld. Bei h�oheren Temperaturen wie z. B. T = 1=14 istdieser Isolator{Metall{�Ubergang in der Kompressibilit�at nicht so deutlich zu sehen,da � aufgrund eines kleineren antiferromagnetischen Gaps und der h�oheren Tem-peratur auch bei H = 0 relativ gro� ist. Nicht abgebildet ist der �Ubergang beiU = 4, wo die Kompressibilit�at sowohl vor als auch nach dem metamagnetischenPhasen�ubergang sehr klein ist (0 < � < 0:03 f�ur T = 1=8). Bei dieser gr�o�erenCoulomb{Wechselwirkung sind die Elektronen im wesentlichen als Spins lokalisiert,und beim metamagnetischen Phasen�ubergang �andern die Spins lediglich ihre Orientie-rung. Einen solchen metamagnetischen Isolator{Isolator{�Ubergang beschreiben auchdie e�ektiven Spin{Modelle, die man im Grenzfall gro�er Coulomb{Wechselwirkungerh�alt. Abseits halber F�ullung beobachtet man ein ganz anderes Verhalten der elek-tronischen Kompressibilit�at. F�ur � = 0:05 sinkt � mit wachsendem H um ca. 50% ammetamagnetischen Phasen�ubergang. Abseits halber F�ullung �ndet also ein �Ubergangvon einem antiferromagnetischen Metall zu einem Metall mit homogener Magnetisie-rung statt.3.6 Diskussion und ZusammenfassungIn diesem Kapitel wurden metamagnetische Phasen�uberg�ange in stark anisotropenAntiferromagneten anhand des Hubbard{Modells mit Vorzugsrichtung untersucht.Diese quantenmechanische Behandlung in einem Modell korrelierter Elektronen un-terscheidet sich erheblich von der traditionellen Beschreibung im Rahmen von Spin{Modellen oder der (semi{)ph�anomenologischen Landau{Theorie der Phasen�uberg�an-ge. Insbesondere k�onnen qualitativ verschiedene Metamagneten in einem einzigen

82 3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagneten

0 0.04 0.08 0.12

H

0

0.25

0.50

0.75∂n

/∂µ

T=1/14

T=1/25

δ=0.05

δ=0

Abbildung 3.9: �Anderung der elektronischen Kompressibilit�at � mit dem Magnetfeld Hf�ur U = 2 bei halber F�ullung (� = 0) und abseits von halber F�ullung (� = 0:05). F�ur� = 0 sind Resultate bei T = 1=14 (durchgezogene Linie) und T = 1=25 (gestrichelteLinie) eingetragen, f�ur � = 0:05 nur diejenigen bei T = 1=14. Die Pfeile geben den me-tamagnetischen Phasen�ubergang an. Dieser �Ubergang ist bei halber F�ullung gleichzeitigein Isolator{Metall{ �Ubergang und abseits halber F�ullung ein Metall{Metall{ �Ubergang miteiner starken �Anderung der elektronischen Kompressibilit�at.einfachen Modell beschrieben werden: bandartige und spinartige Metamagneten, diemetallisch oder isolierend sein k�onnen. Der �Ubergang zwischen dem Band{ und demSpin{Bild erfolgt mit wachsender Coulomb{Wechselwirkung U . Bei halber F�ullungliegt ein metamagnetischer Isolator und abseits halber F�ullung ein Metall vor. Der�Ubergang zwischen diesen verschiedenen Bereichen ist eng verkn�upft mit zwei fun-damentalen experimentellen Parametern, dem Druck (U=t nimmt mit wachsendemDruck ab) und der Dotierung. Ein Spin{Modell kann dagegen nur isolierende Me-tamagnete mit lokalisierten Momenten beschreiben. Dies ist ein Grenzfall des mi-kroskopischen Modells korrelierter Elektronen. Dieser Grenzfall wurde in Abschnitt3.2 in St�orungstheorie bis zu Beitr�agen von einschlie�lich t4=U3 analysiert. Es wurdein der Weissschen Molekularfeld{Theorie gezeigt, da� die metamagnetischen Pha-sen�uberg�ange in diesem Bereich selbst bei T = 0 von zweiter Ordnung sind. InAbschnitt 3.3 wurde die �Anderung des metamagnetischen H{T{Phasendiagrammsbei halber F�ullung in der DMFT mit QMC{Simulationen studiert. Bei U = 4 ist dieStruktur des Phasendiagramms �ahnlich zu dem von FeBr2 (Fert et al., 1973; Vettier

3.6. Diskussion und Zusammenfassung 83et al., 1973; de Azevedo et al., 1995; Pelloth et al., 1995; Katori et al., 1996; Katsu-mata et al., 1997) bzw. dem Ising{Modell (Kincaid und Cohen, 1974; Kincaid undCohen, 1975; Selke, 1996) mit schwacher ferromagnetischer Wechselwirkung. Die An-wendung einer Molekularfeld{Theorie, die im Limes gro�er Koordinationszahl exaktwird, erscheint f�ur FeBr2 besonders gerechtfertigt, da dieses System 20 �aquivalenteGitterpl�atze in zwei benachbarten Eisen{Ebenen hat (Hern�andez, Diep und Bert-rand, 1993). Mit sinkender Coulomb{Wechselwirkung U nimmt der Bereich mit Pha-sen�uberg�angen zweiter Ordnung immer weiter ab. Das Maximum in der Phasen�uber-gangslinie zweiter Ordnung verschwindet. Damit �ahnelt das Phasendiagramm beiU = 2 dem von FeCl2 (Stryjewski und Giordano, 1977). Diese Beobachtung stimmtmit der Hartree{Fock{Theorie �uberein, die f�ur diese Coulomb{Wechselwirkung einentrikritischen Punkt wie in FeCl2 vorhersagt.Abseits halber F�ullung wurden in Abschnitt 3.4 metamagnetische Phasen�uberg�an-ge in metallischen Systemen wie z. B. Uran{Verbindungen (Sechovsk�y et al., 1994;Brabers et al., 1994) untersucht. F�ur die mikroskopische Beschreibung dieser Syste-me ist eine Theorie korrelierter Elektronen, wie das Hubbard{Modell, notwendig.Ein wesentlicher Unterschied zu den metamagnetischen Isolatoren tritt bereits in derMagnetisierungskurve m(H) auf. Der metamagnetische �Ubergang in den metallischenSystemen ist in m(H) wesentlich weniger ausgepr�agt. Die Ursache hierf�ur ist, da� eskeine Energiel�ucke an der Fermi{Kante gibt. Mit wachsender Dotierung nehmen diekritischen Magnetfelder und Temperaturen f�ur den metamagnetischen Phasen�uber-gang rasch ab.Mit dem metamagnetischen Phasen�ubergang einher geht eine deutliche �Anderungder Leitf�ahigkeit des Systems. Anhand der elektronischen Kompressibilit�at wurdenim Hubbard{Modell mit Vorzugsrichtung drei verschiedene Szenarien beobachtet:1. F�ur den spinartigen isolierenden Metamagneten (U � 4 bei halber F�ullung)�ndet ein �Ubergang von einem antiferromagnetischen Isolator zu einem Isolatormit einem gro�en (ferro{)magnetischen Moment statt.2. Ebenfalls bei halber F�ullung, aber f�ur eine geringere Coulomb{Wechselwirkung(z. B. U = 2), wurde gleichzeitig mit dem Verschwinden der antiferromagne-tischen Ordnung am metamagnetischen Phasen�ubergang ein Isolator{Metall{�Ubergang beobachtet. Ein solches Ph�anomen tritt beispielsweise in der anti-ferromagnetischen Phase des kolossalen Magnetowiderstand{(CMR{)SystemsLa1�xCaxMnO3 auf. In der N�ahe von x = 0:5 kann durch das Anlegen ei-nes Magnetfeldes die antiferromagnetische Ordnung unterdr�uckt werden, wobeider Widerstand um einige Gr�o�enordnungen abnimmt, s. Schi�er, Ramirez,Bao und Cheong (1995) sowie Ramirez (1997). Da La1�xCaxMnO3 keine aus-gepr�agte magnetische Anisotropie zeigt, ist die Behandlung im Rahmen einesModells mit \Easy{Axis" sicherlich nicht gerechtfertigt. Das Hubbard{Modell

84 3. Metamagnetismus in stark anisotropen Antiferromagnetenmit Vorzugsrichtung beschreibt aber sowohl den isolierenden Antiferromagne-ten als Ausgangspunkt als auch das Metall mit ferromagnetischer Ausrichtungder lokalen Momente am Endpunkt des �Ubergangs qualitativ korrekt.3. Abseits halber F�ullung �andert sich die elektronische Kompressibilit�at am meta-magnetischen Phasen�ubergang um 50% bei U = 2 und Dotierung � = 0:05. Einsolcher Metall{Metall{�Ubergang mit einer starken �Anderung des Widerstan-des wird in verschiedenen stark anisotropen Metamagneten beobachtet, z. B. inUPdGe, s. Sechovsk�y et al. (1994). Auch in metamagnetischen Schichtsystementritt ein solcher gigantischer Magnetowiderstands{(GMR{)E�ekt auf und wirdbislang durch die Theorie der spinabh�angigen Streuung von Levy und Zhang(1995) oder durch Bande�ekte theoretisch beschrieben. Die Ergebnisse aus Ab-schnitt 3.5 zeigen, da� auch elektronische Korrelationen eine solche �Anderungdes Widerstandes im Magnetfeld verursachen k�onnen.

85Kapitel 4Kondo{Volumen{Kollaps{ undMott{�Ubergangs{Modell f�ur Cer:Vergleich von PeriodischemAnderson{ und Hubbard{Modell4.1 Einf�uhrungVolumen{Kollaps in CerIm Seltenerd{Metall Cer (Ce) kommt es mit wachsendem Druck zu einem au�er-gew�ohnlichen Volumen{Kollaps. Bei 0.9 GPa und Raumtemperatur �andert sich dasVolumen um 15%, s. Abb. 4.1 nach Olsen, Gerward, Benedict und Iti�e (1985). Es�ndet ein Phasen�ubergang erster Ordnung zwischen einer kubisch{ �achenzentrierten(fcc) {Phase bei niedrigem Druck und einer fcc �{Phase bei hohem Druck statt.Einen �ahnlichen �Ubergang mit 9% Volumen�anderung �ndet man im NachbarelementPraseodym (Pr) bei 573K (S�oderlind, 1998). Die vorherrschende Meinung in der Li-teratur1 ist, da� es sich im Fall von Ce um einen isostrukturellen �Ubergang handelt,der durch die �Anderung des Elektronensystems hervorgerufen wird. Von Eliashbergund Capellmann (1998) wurde dies in Frage gestellt. Diese Autoren argumentier-ten auf Basis der experimentell von Davis und Adams (1964) beobachteten gr�o�eren�Anderung der Kompressibilit�at in der �{Phase, da� �{Ce eine symmetriegebrochene,verdrehte Struktur hat. Diese Struktur wurde jedoch experimentell in Ce bisher nichtbeobachtet. In Praseodym, das ein f{Elektron mehr als Ce hat, �ndet man eine solcheverdrehte fcc{Struktur, allerdings in der { und nicht in der �{Phase, s. McMahan1S. z. B. Benedict, Grosshans und Holzapfel (1986) sowie McMahan, Huscroft, Scalettar undPollock (1998).

86 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cer

Abbildung 4.1: P (V ){Isotherme von Ce bei Raumtemperatur, entnommen aus Olsenet al. (1985). Die gef�ullten und leeren Quadrate bezeichnen die �{ bzw. {Phase mit der-selben fcc Struktur. Die anderen Symbole bezeichnen andere strukturelle Phasen.et al. (1998) und Referenzen darin. In dieser Arbeit wird daher davon ausgegangen,da� der {�{�Ubergang in Ce isostrukturell ist. Diese Einf�uhrung gibt einen �Uber-blick �uber die m�oglichen elektronischen Ursachen. Den elektronischen Modellen istgemein, da� sich mit dem Volumen das Verh�altnis von Coulomb{Wechselwirkung zuf{Elektronen{Bandbreite oder f{d{Hybridisierung �andert. �Uber den genauen mikro-skopischen Mechanismus besteht jedoch eine erhebliche Kontroverse.\Promotional"{ModellDas \Promotional"{Modell nach Zachariasen (1949) und Pauling (1947) versucht, den {�{�Ubergang durch eine �Anderung der elektronischen Kon�guration von 4f 1(spd)3nach 4f 0(spd)4 zu erkl�aren. Experimentelle Ergebnisse (Koskenmaki und Gschneider

4.1. Einf�uhrung 87Jr., 1979) und Bandstruktur-Rechnungen mit Lokaler Dichte{Approximation (LDA)(Johansson, 1974) best�atigen allerdings nicht, da� sich die Anzahl der f{Elektronenin der N�ahe des {�{�Ubergangs entsprechend stark �andert.Mott{�Ubergangs{ModellAufgrund dieser experimentellen Erkenntnisse und der LDA{Rechnungen schlug Jo-hansson (1974) das Mott{�Ubergangs{Modell vor. Dieses Modell geht von einem Mott{�Ubergang zwischen zwei verschiedenen (meta{)stabilen Phasen aus: einer itineranten�{Phase, die durch ein traditionelles (Einteilchen{)Bandbild beschrieben wird, undeiner {Phase, in der ein f{Elektron pro Ce{Atom lokalisiert ist. Bei diesem Szenarioverschwindet das lokale magnetische Moment der {Phase beim �Ubergang in die iti-nerante �{Phase. W�ahrend die {Phase bei T = 0 zun�achst metastabil ist (s. Abb. 4.2nach Johansson et al. (1995)), gewinnt sie aufgrund der gr�o�eren Entropie mit stei-gender Temperatur erheblich mehr freie Energie als die �{Phase. Bei einer kritischenTemperatur erfolgt ein �{ {Phasen�ubergang erster Ordnung. Die Freie EnergieF (V; T ) = ELDA(V; T =0)� TS (4.1)ist durch die LDA{Energie ELDA bei T = 0 und in der {Phase durch einen zus�atz-lichen Entropie{Term S = kB ln(2J + 1) (4.2)mit J = 5=2 gegeben. Bei dem Phasen�ubergang erster Ordnung �andert sich dasCe{Volumen erheblich, s. Abb. 4.2.In der aktuellen Ausarbeitung dieses Szenarios (Johansson et al., 1995) wird die�{Phase durch die Dichtefunktional{Theorie mit Gradienten{Korrektur (GGA) be-schrieben. In der {Phase wird das lokalisierte Elektron dem Kern zugeschlagen,und die �ubrigen Elektronen werden im Rahmen der LDA behandelt. Das lokalisierteElektron wird neben dem Entropie{Term, Glg. (4.2), zus�atzlich durch einen adju-stierbaren Parameter �E , der dem Term E(V; T = 0) in Glg. (4.1) zugeschlagenwird, ber�ucksichtigt. Diese Berechnung, welche die genaue Bandstruktur einbezieht,ergibt eine gute �Ubereinstimmung mit der experimentell gewonnenen Pc(T ) Kurvef�ur den Volumen{Kollaps. Eine verbesserte Beschreibung der {Phase kann im Rah-men der selbstwechselwirkungs{korrigierten Lokalen Dichte{N�aherung (SIC{LDA)erfolgen (Szotek, Temmerman und Winter, 1994; Svane, 1994; Svane, 1996; S�oder-lind, 1998). In diesen Berechnungen ergibt sich ebenfalls ein Energieunterschied zwi-schen �{ und {Phase in der richtigen Gr�o�enordnung, d. h. mRy (10�2eV). Aller-dings ist dieser erheblich geringer als bei Johansson et al. (1995), und die {Phase ist| im Gegensatz zum Experiment | f�ur alle Temperaturen bei Atmosph�arendrucksogar stabiler als die �{Phase ((Svane, 1994) bzw. (Szotek et al., 1994)).

88 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cer

Abbildung 4.2: Energie und freie Energie f�ur �{ und {Ce als Funktion des Volumensaus Johansson et al. (1995). Der Bereich zwischen den beiden L�osungen wird durch einLegierungs{Modell der Form Ce xCe�1�x beschrieben, so da� sich eine einzige F (V ){Kurveergibt. Der Volumen{Kollaps entsteht in diesem Modell durch die Absenkung der Energieder bei T = 0 metastabilen {L�osung mit wachsender Temperatur. Ursache hierf�ur ist dieh�ohere Entropie.

4.1. Einf�uhrung 89Diese Berechnungen k�onnen als ein ausgefeilter | und durchaus erfolgreicher |Versuch angesehen werden, einen Mott{�Ubergang in Ce, d. h. ein Problem hoch{korrelierter Elektronen, im Rahmen eines letztendlich auf einem Einteilchen{Bild be-ruhenden Verfahrens zu beschreiben. Insbesondere in der N�ahe des �{ {�Ubergangsk�onnen elektronische Korrelationen allerdings eine gr�o�ere Rolle spielen als in diesemMott{�Ubergangs{Modell angenommen wurde. Zu beachten ist weiterhin, da� die Be-schreibung der �{ und {Phase mit Hilfe zweier unterschiedlicher Methoden bereitsvon zwei verschiedenen (meta{)stabilen L�osungen ausgeht. Das Ergebnis eines Pha-sen�ubergangs erster Ordnung zwischen diesen beiden verschiedenen L�osungen wirdalso bereits per constructionem hineingesteckt.Kondo{Volumen{Kollaps{ModellKontrovers zum Mott{�Ubergangs{Modell wird das Szenario eines Kondo{Volumen{Kollapses (KVC) diskutiert. Dieses Modell des �{ {�Ubergangs wurde von Allenund Martin (1982) sowie von Lavagna, Lacroix und Cyrot (1983) vorgeschlagen.Dabei werden die f{Elektronen durch das Kondo{Modell und in neueren Arbeiten(Allen und Liu, 1992; Liu, Allen, Gunnarson, Christensen und Andersen, 1992) auchdurch ein St�orstellen-Anderson{Modell beschrieben. Der Unterschied zwischen �{und {Phase beruht auf einer unterschiedlich gro�en f{d{Hybridisierung bzw. Kondo{Austausch{Konstante J , die vom Volumen abh�angt. Dies f�uhrt im Kondo{Modell zustark verschiedenen Kondo{TemperaturenTK / exp �� 1N(0)J � (4.3)in der � und {Phase, wobei N(0) die d{Elektronen{Zustandsdichte an der Fermi{Kante ist.2 Der Kondo{E�ekt f�uhrt zu einem anomalen Beitrag zur Grundzustands-energie EK � �TK bzw. zur Freien Energie FK. Dieser anomale Beitrag bildet zusam-men mit dem normalen Beitrag, der z. B. durch den Kompressionsmodul BN � 280kbar (bei VN = 36A3) der Nachbarelemente La und Pr beschrieben werden kann, dieFreie Energie F (V; T ) = 12BN (V � VN)2VN + FK(V; T ): (4.4)Beim KVC{Szenario entsteht der Volumen{Kollaps nun durch eine thermody-namische Instabilit�at des Systems gegen�uber einer Volumen�anderung. Er tritt auf,2Die Kondo{Temperatur f�ur �{ und {Ce kann dabei aus der Breite � der quasi{elastischenmagnetischen Streuung in Neutronenstreu{Experimenten bestimmt werden, � / TK . Aus Glg. (4.3)werden dann die entsprechenden Austausch{Konstanten J in der �{ und {Phase bestimmt. Im ex-perimentell nicht zug�anglichen Volumenbereich zwischen diesen Phasen wird exponentiell (Lavagnaet al., 1983) bzw. nach einem Potenzgesetz (Allen und Martin, 1982) interpoliert.

90 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cer

Abbildung 4.3: Anomaler Beitrag aufgrund des Kondo{E�ekts im Single{Impurity{Anderson{Modell zur Energie in Abh�angigkeit vom Volumen nach Allen und Liu (1992).Egs: Grundzustandsenergie des Kondo{Singuletts in Ce; ELa�Prgs : f{Elektronen{Beitrag inLa und Pr, der im Kompressionsmodul BN ber�ucksichtigt wird. Der anomale BeitragEgs �ELa�Prgs stimmt n�aherungsweise mit �TK �uberein.wenn @2F (V; T )=@V 2 < 0 ist. In diesem Fall wird die Energie durch eine Maxwell{Konstruktion minimiert, d. h. es ist energetisch g�unstiger, wenn das System in einePhase mit kleinerem und eine mit gr�o�erem Volumen separiert. Damit es zu einemKVC kommt, mu� der anomale Beitrag @2FK(V; T )=@V 2 den stets positiven Beitragdes normalen Terms kompensieren. Aufgrund der starken Abh�angigkeit der Kondo{Temperatur vom Volumen ist dies m�oglich (s. Abb. 4.3).Abb. 4.4 nach Allen und Liu (1992) zeigt die P (V ) = �@F (V; T )=@V Isother-men mit der Maxwell{Konstruktion. Die Behandlung mit Hilfe des Single{Impurity{Anderson{Modells erlaubt auch die Beschreibung des Ce{Spektrums (Liu et al.,1992), das in der �{Phase eine Resonanz in der N�ahe der Fermi{Kante aufweist[s. Abb. 4.5 nach Wuilloud, Moser, Schneider und Baer (1983) sowie Hillebrecht,Fuggle, Sawatzky und Campagna (1984)].In diesem Kapitel soll der Volumen{Kollaps in Ce mit Hilfe des PeriodischenAnderson{Modells (PAM) untersucht werden. Dies ist die Verallgemeinerung desSingle{Impurity{Anderson{Modells auf das Gitter und damit das dem Kondo{Vo-lumen{Kollaps zugrundeliegende Modell. Abschnitt 4.2 bespricht das PAM, dessenBehandlung im Rahmen der Dyamischen Molekularfeld{Theorie (DMFT) und dieDMFT{Literatur zum PAM. Abschnitt 4.3 pr�asentiert einen Mott{�Ubergang im PAM

4.1. Einf�uhrung 91

Abbildung 4.4: Im Rahmen des Kondo{Volumen{Kollaps{Modells berechnete P (V ){Isothermen (durchgezogen) und Maxwell{Konstruktion (gestrichelt) nach Allen und Liu(1992).

Abbildung 4.5: Isochromatisches Bremsstrahlungs{Spektrum (BIS) von Ce als Funktionder Frequenz in eV. Links: �{Ce nach Wuilloud et al. (1983); rechts: {Ce nach Wuilloudet al. (1983) und Hillebrecht et al. (1984).

92 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cerbei endlichen Temperaturen. Abschnitt 4.4 zeigt die �Ahnlichkeit der beobachtetenPhasen und �Uberg�ange des PAM mit denen des Hubbard{Modells auf. In Abschnitt4.5 werden die Energie, die spezi�sche W�arme und die Spin{Spin{Korrelations{Funktion berechnet und teilweise mit den QMC{Simulationen f�ur das 43{Gitter ver-glichen. Die wichtigsten Ergebnisse werden in Abschnitt 4.6 zusammengefa�t und dieImplikationen f�ur das KVC{ und Mott{�Ubergangs{Modell besprochen.4.2 Dynamische Molekularfeld{Theorie f�ur dasPeriodische Anderson{ModellPeriodisches Anderson{ModellDas PAM ist das minimale Modell korrelierter Elektronen zur Beschreibung von f{Elektronensystemen. In diesem Modell wird die detaillierte orbitale Struktur ver-nachl�assigt. Stattdessen werden die (s{, p{, d{)Leitungselektronen{B�ander durchein einziges Band mit Dispersion �dk und die f{Elektronen durch ein atomares spin-entartetes Niveau �f beschrieben. Die Leitungs{Elektronen mit Impuls k und dief{Elektronen hybridisieren mit St�arke Vk. Neben den Einteilchen{Potentialen gibt eseine lokale Coulomb-Absto�ung Uf zwischen zwei f{Elektronen. In zweiter Quantisie-rung werden diese Terme im Gro�kanonischen Ensemble mit chemischem Potential� durch den Hamilton{OperatorHPAM = Xk� �knkd� + �fXi� nfi� + Xk� Vk (dyk�fk� + f yk�dk�)+ UfXi nfi"nfi# � �Xi� nfi� + ndi� (4.5)ausgedr�uckt. Dabei ist ndk� (nfi�) der Besetzungszahl{Operator f�ur Leitungs{Elek-tronen (f{Elektronen) im k{Raum (am Gitterplatz i) mit Spin �, dyk� bzw. dk� ist derErzeugungs{ bzw. der Vernichtungs{Operator f�ur Leitungs{Elektronen mit Impulsk und Spin �, f yk� bzw. fk� der f�ur f{Elektronen. Die Verwendung von d f�ur dieLeitungs{Elektronen deutet an, da� in Ce die d{Elektronen am st�arksten mit denf{Elektronen hybridisieren (McMahan et al., 1998). Der Ansatz eines einzigen f{Niveaus erscheint f�ur Ce eher gerechtfertigt als f�ur andere Seltenerd{Metalle, da Ceeine elektronische Kon�guration mit einem f{Elektron hat, und somit Multiplett{Aufspaltungen eine geringere Rolle als in den Nachbar{Elementen spielen. Die d{B�ander werden in dieser Arbeit durch ein einfaches \Tight{Binding"{Band mit einemN�achst{Nachbar{Transfers tdd auf dem einfach kubischen Gitter (scc) beschrieben:

Dynamische Molekularfeld{Theorie f�ur das Periodische Anderson{Modell 93�dk = �2tdd [cos(kx) + cos(ky) + cos(kz)]: (4.6)Der Hamilton{Operator (4.5) ist f�ur �f = 0 und � = U=2 symmetrisch unter einerTeilchen{Loch{Transformation. Dieses symmetrische PAM hat die Eigenschaft, da�die f{ und d{Niveaus f�ur alle Temperaturen T , f{d{Hybridisierungen Vk, Coulomb-Wechselwirkungen Uf und H�upfamplituden tdd im Mittel halb besetzt sind, d. h.hnfi = hndi = 1.f{d{HybridisierungDie Wahl der f{d{Hybridisierungen Vk soll etwas detaillierter er�ortert werden. Diegebr�auchlichste Hybridisierung ist eine konstante HybridisierungVk = tdf : (4.7)Im Ortsraum entspricht dies einem lokalen �Uberlapp zwischen d{ und f{Elektronenam gleichen Gitterplatz. Dies vereinfacht zwar viele Berechnungen, ist aber auchunphysikalisch. Denn dieser �Uberlapp verschwindet gerade, weil die f{ und d{Orbitaleorthogonal zueinander sind. Der gr�o�te nicht{verschwindende �Uberlapp ist damit derN�achst{Nachbar{�Uberlapp. Ein N�achst{Nachbar{�Uberlapp wird durchVk = �2tdf [cos(kx) + cos(ky) + cos(kz)] (4.8)beschrieben. Diese Wahl der Hybridisierung ber�ucksichtigt allerdings nicht, da� died{Orbitale eine gerade und die f{Orbitale eine ungerade Parit�at haben. Damit hatdas Transfer{Integral in positiver x{Richtung gegen�uber dem in negativer x{Richtungdas entgegengesetzte Vorzeichen. Man erh�alt einen sin(kx){Term anstelle des cos(kx){Terms. Unter Vernachl�assigung der Richtungsabh�angigkeit der Transfer{Integrale, diedurch das Dipol{ und das Quadrupol{Moment der Orbitale verursacht wird, erh�altman Vk = �2itdf [sin(kx) + sin(ky) + sin(kz)]: (4.9)In Abb. 4.6 sind die wechselwirkungsfreien (Uf = 0), frequenz{abh�angigen f{Elektronen{Spektralfunktionen Af(!) des symmetrischen PAM f�ur die drei eingef�uhr-ten Hybridisierungen angegeben. Die Spektralfunktionen wurden aus dem Imagin�ar-teil der f{f{Komponente (in Glg. (4.10) entspricht dies der 1{1{Komponente) derGreen{FunktionG(!) = 18�3 Z d3k (! �Hk)�1 = 18�3 Z d3k � ! �Vk�Vk ! � �dk ��1 (4.10)

94 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cer

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

−10 −5 0 5 10

Af (ω)

ωAbbildung 4.6: Wechselwirkungsfreie Spektralfunktionen Af (!) f�ur konstante (durchge-zogene Linie), sinus{f�ormige (gestrichelte Linie) und cosinus{f�ormige (gepunktete Linie)Hybridisierung bei tdd = 1 und tdf = 1.via Af (!) = � 1� Im Gff(!) = � 1� Im 18�3 Z d3k 1! � V 2k!��dk (4.11)bestimmt. Die drei Spektralfunktionen unterscheiden sich wesentlich. Bei der konstan-ten Hybridisierung, Glg. (4.7), existiert ein Gap an der Fermi{Kante. Das System istdamit sogar bei Uf = 0 ein Isolator. Die sinus{f�ormige Hybridisierung, Glg. (4.9),f�uhrt zu einem Quasi{Gap. Nur die cosinus{f�ormige Hybridisierung, Glg. (4.8), hateine endliche Zustandsdichte an der Fermi{Kante (! = 0) und beschreibt ein Metall.Die Ursache des metallischen bzw. isolierenden Verhaltens wird klarer, wenn mandie Einteilchen{Energien im k{Raum, d. h. die Eigenwerte der 2 � 2{Matrix ausGlg. (4.10) berechnet. Die Einteilchen{Energien ergeben sich zu:��k = �sV 2k + ��dk2 �2 + �dk2 : (4.12)

Dynamische Molekularfeld{Theorie f�ur das Periodische Anderson{Modell 95F�ur das symmetrische PAM liegt die Fermi-Energie bei �F = 0. Eine konstante Hy-bridisierung Vk = tdf bewirkt nun ein Aufsplitten von �+ und ��. Es existiert eineEnergiel�ucke an der Fermi{Kante von der Gr�o�e� = 2 st2df + ��dmax2 �2 � �dmax; (4.13)wobei �dmax die obere Bandkante des d{Elektronen{Bandes ist, d. h. nach Glg. (4.6)�dmax = 6 tdd. F�ur die cosinus{f�ormige N�achst{Nachbar{Hybridisierung ist dagegenVk = 0 an der Fermi{Kante. Damit verschwindet die Wurzel in Glg. (4.12) an derFermi{Kante und folglich die Aufspaltung der B�ander. Es liegt ein Metall vor.Dieser qualitative Unterschied bleibt auch mit Coulomb{Wechselwirkung beste-hen, wenn eine Fermi{Fl�ussigkeits{Phase vorliegt, s. a. Hewson (1993). Dann ist dieSelbstenergie in hinreichender N�ahe zur Fermi{Kante � gegeben durch die linearenTerme einer Taylor{Reihe�(!;k) = @!� (! � �) +rk� (k � kF ): (4.14)Dies f�uhrt auf eine modi�zierte Green{Funktion (~! = ! � �)Gk(!) = � ~! � @~!� ~! �rk� (k � kF ) �Vk�Vk ~! � �dk ��1 : (4.15)Die Pole dieser Green{Funktion liegen bei den Quasiteilchen{Energien��k = �sZV 2k + ��dk + Zrk� (k � kF )2 �2 + �dk + Zrk� (k � kF )2 ; (4.16)wobei Z = �1�@!���1 das Quasiteilchen-Gewicht ist. Da k�kF an der Fermi{Kanteverschwindet, h�angt die Existenz oder Nichtexistenz eines Gaps auch in der Fermi-Fl�ussigkeit nur von dem Verhalten des um pZ renormierten Vk ab. Das Metall beiUf = 0 bleibt auch mit Wechselwirkung ein Metall, der Isolator bleibt ein Isolator.Im Falle einer k{unabh�angigen Selbstenergie ist die f{f{Komponente der Green{Funktion bis auf die Renormierung durch das Quasiteilchen{Gewicht mit der wech-selwirkungsfreien Green-Funktion identisch:Gffk (!) = 18�3 Z d3k Z~! � Zrk�(k � kF )� ZV 2k~!��dk : (4.17)Um mit dem symmetrischen PAM ein Metall wie Ce zu beschreiben, ist vonden drei angef�uhrten Hybridisierungs{Funktionen die cosinus{f�ormige, Glg. (4.8), dieeinzig m�ogliche.

96 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur CerDynamische Molekularfeld{TheorieIn der DMFT werden die f{Elektronen des PAM durch das Einplatz{ProblemGff�n = � 1Z Z D[ ]D[ �] �n ��neA[ ; �;G�1]; (4.18)beschrieben (Georges et al., 1996), wobei n die Matsubara{Frequenz !n = (2n+1)�=�indiziert, G�1 = G�1 + � undA[ ; �;G�1] = X�;n ���nG�1�n ��n � Uf �Z0 d� �"(�) "(�) �#(�) #(�) (4.19)ist. Das atomare Einplatz{Modell der DMFT, Glg. (4.18), f�ur das PAM ist mit demdes Hubbard{Modells, Glg. (1.12), identisch (zur De�nition von Z, , n und � s.dort). F�ur die folgenden Ergebnisse wurde dieses Einplatz{Problem mit QMC{Si-mulationen gel�ost (s. Abschnitt 1.2). Der Unterschied zwischen PAM und Hubbard{Modell besteht in einer unterschiedlichen Selbstkonsistenz{Gleichung, d. h. in einerunterschiedlichen Ankopplung an das Gitter. F�ur das PAM lautet diese Selbstkonsi-stenz{Gleichung Gff (!) = 18�3 Z d3k 1! + �� �f � �n � V 2k!+���dk : (4.20)In den Gleichungen (4.18) und (4.20) tauchen die d{Elektronen nicht mehr auf. Dadiese nur quadratisch in die e�ektive Wirkung eingehen, konnten sie ausintegriertwerden. Es verbleibt ein e�ektives Einband{Problem der f{Elektronen mit einemretardierten Potential, das in Frequenz{Darstellung die Form V 2k =(! + �� �dk) hat.DMFT{Literatur zum Periodischen Anderson{ModellDas PAM wurde in der DMFT mit konstanter Hybridisierung, Glg. (4.7), intensivuntersucht. Die meisten Arbeiten betrachteten dabei das symmetrische PAM. F�urkonstante Hybridisierung ist das System ein Kondo{Isolator. An dieser Stelle solleneinige wichtige Arbeiten kurz besprochen werden. Jarrell, Akhlaghpour und Pruschke(1993) untersuchten das symmetrische PAM mit QMC-Simulationen und beobachte-ten die Entwicklung eines Gaps innerhalb der Quasiteilchen{Resonanz an der Fermi{Kante mit sinkender Temperatur. Mit diesem Ladungs{Gap geht ein magnetischesSpin{Gap der gleichen Gr�o�e einher. Weitere Ergebnisse sind ein Skalenverhalten derspezi�schen W�arme und die Instabilit�at gegen�uber antiferromagnetischer Ordnung.Die antiferromagnetische Ordnung, insbesondere das TN{tdf{Phasendiagramm, wur-de von Sun, Yang und Hong (1993) im Rahmen der Slave{Bosonen{Molekularfeld{Theorie untersucht. Eine weitere Untersuchung der antiferromagnetischen Instabilit�at

Dynamische Molekularfeld{Theorie f�ur das Periodische Anderson{Modell 97des symmetrischen PAM, insbesondere das Uf{tdf{Phasendiagramm bei T = 0, �ndetman bei Rozenberg (1995). In dieser Arbeit wurde das Einplatz{Problem durch ex-akte Diagonalisierung des entsprechenden St�orstellen{Anderson{Modells gel�ost. ImGegensatz zum Hubbard{Modell mit \Perfect{Nesting"{Zustandsdichte tritt bei derverwendeten konstanten Hybridisierung Antiferromagnetismus erst ab einer endli-chen Coulomb{Wechselwirkung auf. Unterhalb eines kritischen Uf / t2df liegt einparamagnetischer Kondo{Isolator vor, oberhalb dieses kritischen Uf ein antiferroma-gnetischer Isolator. Eine ausf�uhrliche Diskussion des symmetrischen PAM anhandvon QMC{Ergebnissen �ndet man bei Jarrell (1995). Das Hybridisierungs{Gap inder paramagnetischen Phase wird dort ausf�uhrlich diskutiert, ebenso die magneti-schen Eigenschaften. Das TN{Uf{Phasendiagramm zeigt ein kritisches Uf , oberhalbdessen eine antiferromagnetische Instabilit�at existiert. Wie im Hubbard{Modell zeigtdie TN (Uf){Kurve ein Maximum.Czycholl et al. (1993) untersuchten erstmals das asymmetrische PAM. In selbst-konsistenter St�orungstheorie zweiter Ordnung in der Coulomb{Wechselwirkung Ufuntersuchten sie die magnetische Suszeptibilit�at, den Widerstand und die Hall-Kon-stante als Funktion der Temperatur. Ein interessantes Ergebnis ist auch das meta-magnetische Verhalten (s. a. Kapitel 3) bei und in der N�ahe halber F�ullung, d. h.das des symmetrischen PAM. Aufgrund des mit dem Ladungs{Gap einhergehendenSpin{Gap ist die Magnetisierung bei kleineren Magnetfeldern zun�achst gering. Mitwachsendem Magnetfeld wird das Spin{Gap �uberwunden, die Magnetisierung steigtstark an. Der Metamagnetismus des symmetrischen PAM wurde ebenfalls intensivvon Saso (1997a; 1997b) mit Hilfe der gleichen st�orungstheoretischen Behandlungund exakter Diagonalisierung untersucht. Eine weitere st�orungstheoretische Behand-lung mit Hilfe der iterierten St�orungstheorie (IPT) �ndet man bei Georges et al.(1996). Das berechnete Spektrum zeigt, im Gegensatz zu typischen Ergebnissen3 dervon Czycholl et al. (1993) verwendeten selbstkonsistenten St�orungstheorie, in quali-tativer �Ubereinstimmung mit den QMC{Simulationen von Jarrell et al. (1993) nebender zentralen Resonanz mit Gap zwei Satelliten bei �Uf=2.Einen detaillierten Vergleich zwischen asymmetrischem PAM und St�orstellen{Anderson{Modell �ndet man bei Tahvildar-Zadeh, Freericks und Jarrell (1997; 1998).Die QMC{Simulationen zeigen insbesondere, da� die Kondo{Temperatur des PAMwesentlich kleiner ist als die des St�orstellen{Anderson{Modells und da� die zen-trale Kondo{Resonanz im PAM weniger stark temperaturabh�angig ist. Tahvildar-Zadeh, Freericks und Jarrell (1997) berechnen auch das magnetische T{hndi{Pha-sendiagramm bei hnfi � 1 mit Antiferromagnetismus in der N�ahe des symmetri-schen Punktes hndi = 1 und Ferromagnetismus in der N�ahe der Viertel{F�ullung,d. h. hndi = 0:5. Eine neuere Arbeit von Tahvildar-Zadeh, Jarrell und Freericks3Spektralfunktionen zur selbstkonsistenten St�orungstheorie zweiter Ordnung in korrelierten Elek-tronensystemen geben Schweitzer und Czycholl (1990) an.

98 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cer(1998) zeigt eine supraleitende Instabilit�at des PAM.4.3 Der Mott- �Ubergang im PeriodischenAnderson{ModellLokales MomentWenn nicht anders angegeben, wird in der folgenden DMFT{Analyse des symme-trischen PAM, Glg. (4.5), die cosinus{f�ormige N�achst{Nachbar{Hybridisierung, Glg.(4.8), verwendet. Die Energieskala wird durch tdd � 1 gesetzt und U = 6 gew�ahlt. IneV entspricht dies realistischen Parametern f�ur Ce, das in LDA{Rechnungen vor allemeine �Anderung von tdf mit dem Volumen zeigt (McMahan et al., 1998). Alle Rechnun-gen wurden in der paramagnetischen Phase durchgef�uhrt, z. T. bei Temperaturen, beidenen eigentlich antiferromagnetische Ordnung vorliegt. In diesem Fall entsprechendie Rechnungen einem Modell mit identischer Zustandsdichte, in dem Antiferroma-gnetismus jedoch durch eine geeignete Dispersionsrelation frustriert wird,4 wie bei�ahnlichen Untersuchungen von Georges et al. (1996) f�ur das Hubbard{Modell. EineAnalyse der antiferromagnetischen Instabilit�at der paramagnetischen Phase wird inKapitel 4.4 nachgeholt. Die Vergleiche mit dem Hubbard{Modell, Glg. (1.7), bezie-hen sich auf das einfach{kubische Modell mit N�achst{Nachbar{Transfer t, d. h. mitder gleichen Dispersionsrelation wie die der d{Elektronen im PAM, Glg. (4.6).Die Coulomb{Wechselwirkung U unterdr�uckt Doppelbesetzungen hni"ni#i undf�uhrt so zur Bildung eines lokalen magnetischen Moments hm2zi = h(ni" � ni#)2i =hni"+ni#i�2hni"ni#i. Abb. 4.7 zeigt dieses lokale Moment f�ur drei verschiedene Werteder Hybridisierung als Funktion der QMC{Diskretisierung �� . Physikalisch relevantist nat�urlich nur der extrapolierte Wert �� ! 0. Das Hauptergebnis von Abb. 4.7 ist,da� der extrapolierte Wert sich von dem Wert bei �� = 0:125 in etwa um die Symbol-Gr�o�e, d. h. um �hm2zi = 0:005, unterscheidet. Wegen der geringen ��{Abh�angigkeitwird daher nachstehend |au�er bei der Bestimmung der antiferromagnetischen Sus-zeptibilit�at| auf eine ��{Extrapolation verzichtet und bei �� = 0:125 gerechnet.Die Ausbildung eines magnetischen Moments mit wachsender Coulomb Wechsel-wirkung U bzw. abnehmendem tdf bei konstantem Uf = 6 zeigt Abb. 4.8. In derHartree{Fock{Approximation (exakt f�ur tdf = 0) werden elektronische Korrelationenvernachl�assigt, d. h. hni"ni#i = hni"ihni#i und damit hm2zi = 12 . Dies ist zugleich derGrenzwert von hm2zi bei kleinen Coulomb{Wechselwirkungen Uf bzw. gro�en Hybri-disierungen tdf . Andererseits sind im atomaren Limes bei kleinen tdf die Doppelbe-4Jede Zustandsdichte l�a�t sich durch verschiedene Dispersionsrelationen realisieren, s. z. B. Wahleet al. (1998).

4.3. Der Mott- �Ubergang im Periodischen Anderson{Modell 99

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

<mZ2>

∆ τAbbildung 4.7: Extrapolation �� ! 0 des lokalen magnetischen Moments hm2zi beitdf = 1:5 (Quadrate), tdf = 1 (Kreise) und tdf = 0:6 (Dreiecke). Die Fehlerbalken gebenden statistischen Fehler an und gehen praktisch nicht �uber die Liniendicke hinaus.setzungen vollst�andig unterdr�uckt. Es liegen entkoppelte Spins mit hm2zi = 1 vor.Abb. 4.8 zeigt einen kontinuierlichen �Ubergang zwischen diesen beiden Grenzf�allenitineranter und lokalisierter f{Elektronen. Die DMFT{Ergebnisse stimmen bei klei-nen tdf hervorragend mit den QMC{Rechnungen von McMahan et al. (1998) aufdem 43{Gitter mit periodischer Fortsetzung �uberein. Bei gr�o�eren tdf ergeben sichdagegen Abweichungen, die m�oglicherweise durch das | hier wichtiger werdende |\Finite{Size{Scaling" bedingt sind.Normalerweise nimmt die Anzahl der Doppelbesetzungen mit sinkender Tempera-tur wegen der geringeren Bedeutung der Entropie ab, das magnetische Moment alsozu. F�ur kleine tdf wird dieses Verhalten in Abb. 4.9 auch beobachtet. Im Gegensatzdazu nimmt f�ur gr�o�ere tdf das magnetische Moment mit der Temperatur signi�kantab. Die Ursache f�ur dieses Verhalten ist der Kondo{E�ekt: Durch die Hybridisie-rung tdf werden die lokalen f{Elektronen{Momente mit sinkender Temperatur aufeiner Nieder{Energieskala abgeschirmt. Gleichzeitig bildet sich in der f{Elektronen{Spektralfunktion eine zentrale Abrikosov{Suhl{Resonanz.

100 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cer

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

<mZ2>

tfd

QMCDMFT

Abbildung 4.8: Vergleich zwischen DMFT und endlich{dimensionaler QMC{Simulationf�ur das lokale magnetische Moment hm2zi als Funktion der Hybridisierung tdf .

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

<mZ2>

tfd

T=0.1T=0.2T=0.4

Abbildung 4.9: Lokales magnetisches Moment hm2zi als Funktion der Hybridisierung tdfbei verschiedenen Temperaturen in der DMFT.

4.3. Der Mott- �Ubergang im Periodischen Anderson{Modell 101SpektralfunktionAbb. 4.10 zeigt die Spektralfunktion der f{Elektronen des PAM f�ur zwei unterschied-liche Hybridisierungs{St�arken. Bei einer kleinen Hybridisierungs{St�arke von tdf = 0:3liegen in Abb. 4.10a zwei schmale B�ander bei �U=2 vor. Dies entspricht einer Pha-se mit lokalisierten f{Elektronen. Ist die Hybridisierung st�arker (tdf = 1 in Abb.4.10b), so bildet sich zus�atzlich eine zentrale Abrikosov{Suhl{Resonanz an der Fermi{Kante. Im Gegensatz zum PAM mit konstanter Hybridisierung zeigt das PAM mitN�achst{Nachbar{Hybridisierung in Abb. 4.10b keine Aufspaltung dieser Resonanz.Die f{Elektronen sind daher itinerant und tragen zur Leitf�ahigkeit des Systems bei.Mit der Ausnahme einer Reduktion der Spektralfunktion an der Fermi{Kante stim-men die Ergebnisse der DMFT hervorragend mit den QMC{Simulationen f�ur das43{Gitter �uberein.Die Spektralfunktion des PAM mit N�achst{Nachbar{Hybridisierung ist erstaun-lich �ahnlich zu der des Hubbard{Modells. Dies tri�t sowohl auf die Phase mit itine-ranten als auch auf die mit lokalisierten f{Elektronen zu, s. die Nebenbilder in Abb.4.10a und b. In diesem Abschnitt wird daher der �Ubergang zwischen lokalisierten unditineranten f{Elektronen im PAM und Hubbard{Modell ausf�uhrlich verglichen.Abb. 4.11 stellt f�ur das PAM dar, wie die Quasiteilchen{Resonanz mit abnehmen-dem tdf zun�achst schmaler wird und schlie�lich vollst�andig verschwindet. Aus metalli-schen f{Elektronen werden lokalisierte f{Elektronen. Dieser �Ubergang wird durch denwachsenden Ein u� der Coulomb{Wechselwirkung mit Uf=tdf induziert, ist also einMott{�Ubergang.5 Im Hubbard{Modell wurde eine Phase �ahnlich der von tdf = 0:65,bei der die Quasiteilchen{Resonanz bereits verschwunden ist, die Spektralfunktionaber noch endlich ist, von Schlipf, Jarrell, van Dongen, Bl�umer, Kehrein, Pruschkeund Vollhardt (1999) als Indiz f�ur Nicht{Fermi{Fl�usssigkeits{Verhalten gedeutet.Quasiteilchen{Gewicht und Kompressibilit�atBei dem Mott{�Ubergang �andert die Selbstenergie � ihr Verhalten (s. Abb. 4.12). F�urgro�e Hybridisierung tdf liegt bei kleinen Frequenzen ein lineares Fermi{Fl�ussigkeits{Verhalten mit einem Realteil Re�(!) / �! (bei hinreichend kleinen !) bzw., alsFunktion der Matsubara{Frequenzen, mit einem Imagin�arteil Im�(i!n) / �!n vor.F�ur kleine Hybridisierung tdf divergiert � hingegen.Genauer quanti�zieren l�a�t sich dieser �Ubergang durch das Quasiteilchen{GewichtZ = (1� @�(!)=@!)�1, d. h. durch das spektrale Gewicht der zentralen Abrikosov{Suhl{Resonanz. Zur Berechnung von Z wird @�(!)=@! durch den Di�erenzenquoti-enten Im�(i!0)=!0 und alternativ durch einen \Least{Square"{Fit 3. Ordnung in !nberechnet.5Einen �Uberblick �uber den Mott{�Ubergang liefert Gebhard (1997) sowie Imada, Fujimori undTokura (1998).

102 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cer

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

Af(ω)

ω

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

Af(ω)

ω

A

ω

(a) A

ω

(a)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

Af(ω)

ω

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

Af(ω)

ω

A

ω

(b)

A

ω

(b)

Abbildung 4.10: Spektralfunktion A(!) (Frequenzen ! relativ zur Fermi{Energie) derf{Elektronen des PAM f�ur Uf = 6, T = 0:2 sowie tdf = 0:3 (a) und tdf = 1:0 (b). Darge-stellt sind die mit Hilfe der Maximum{Entropie{Methode gewonnenen Resultate der DMFT(durchgezogene Linie) und der QMC{Simulation des 43{Gitters nach Huscroft et al. (1999)(gestrichelte Linie). Das \Inset" stellt die entsprechende Spektralfunktion f�ur das Hubbard{Modell mit U = 6, T = 0:2 und tff = 0:3 (a) bzw. tff = 1:0 (b) dar.

4.3. Der Mott- �Ubergang im Periodischen Anderson{Modell 103

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

A(ω)

ω

tdf = 1.00tdf = 0.80tdf = 0.75

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

A(ω)

ω

tdf = 0.75tdf = 0.65

Abbildung 4.11: �Anderung der Spektralfunktion A(!) mit tdf beim �Ubergang von itine-ranten zu lokalisierten f{Elektronen.

104 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cer

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 5 10 15 20

− Im Σ

ω

tfd = 1 tfd = 0.80tfd = 0.75tfd = 0.70tfd = 0.65tfd = 0.55

Abbildung 4.12: Selbstenergie des PAM als Funktion der Matsubara{Frequenzen beiT = 0:15 und verschiedenen Hybridisierungen.Abb. 4.13 zeigt explizit, wie das Quasiteilchen{Gewicht mit abnehmendem tdfbei tdf � 0:65 verschwindet.6 Der Mott{�Ubergang des PAM mit N�achst{Nachbar{Hybridisierung ist dem des Hubbard{Modells sehr �ahnlich. Bemerkenswerterweiseverschwindet das Quasiteilchen{Gewicht auch im PAM mit konstanter (lokaler) Hy-bridisierung auf �ahnliche Art. Das in diesem Modell vorhandene Band{Gap innerhalbder Quasiteilchen{Resonanz ergibt sich aus der Hybridisierung und scheint keinenentscheidenden Ein u� auf das wechselwirkungsbedingte Quasiteilchen{Gewicht zuhaben.Eine aussagekr�aftige Gr�o�e f�ur den Metall{Isolator �Ubergang ist die elektronischeKompressibilit�at � = @n=@�. Sie mi�t das Ausma�, in dem einem System durch einekleine Potential�anderung Elektronen beigef�ugt werden k�onnen. Bei einer Energiel�uckein der Zustandsdichte ist die Kompressibilit�at exponentiell klein. In einem Metallerwartet man dagegen eine endliche Kompressibilit�at. Abb. 4.14 zeigt die Kompres-sibilit�at der f{Elektronen im PAM. Der Mott{�Ubergang bei tdf � 0:65 ist deutlich zuerkennen. Wiederum ergibt sich f�ur das PAM mit N�achst{Nachbar{Hybridisierungein �ahnliches Verhalten wie im Hubbard{Modell. Im Gegensatz hierzu ist die Kom-pressibilit�at f�ur das PAM mit konstanter Hybridisierung f�ur alle tdf sehr klein. Bei6Z verschwindet wegen der Art der Berechnung nie vollst�andig.

4.3. Der Mott- �Ubergang im Periodischen Anderson{Modell 105

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Z

tAbbildung 4.13: Verschwinden des Quasiteilchen{Gewichts Z bei T = 0:15 f�ur dasHubbard{Modell (gef�ullte Quadrate) und mit t � tdf f�ur das PAM (nicht{gef�ullte Qua-drate: N�achst{Nachbar{Hybridisierung; Dreiecke: konstante Hybridisierung).

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

κf

tAbbildung 4.14: Kompressibilit�at der f{Elektronen �f = @nf=@� bei T = 0:15 f�ur dasHubbard{Modell (gef�ullte Quadrate) und mit t � tdf f�ur das PAM (nicht{gef�ullte Quadrate:N�achst{Nachbar{Hybridisierung; Dreiecke: konstante Hybridisierung).

106 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cergro�en tdf ist die Ursache hierf�ur die durch die Hybridisierung bedingte Energiel�uckeinnerhalb der Abrikosov{Suhl{Resonanz. Bei kleinen tdf andererseits deutet das Ver-schwinden des Quasiteilchen{Gewichts Z einen �Ubergang in eine Phase mit lokali-sierten Elektronen �ahnlich der des Mott{Isolators im Hubbard{Modell an, d. h. es�ndet in diesem Modell ein �Ubergang von einem Band{ zu einem Mott{Isolator statt.4.4 �Ahnlichkeit der Phasendiagramme desPeriodischen Anderson{ und Hubbard{ModellsExtrapolation von �� ! 0Neben dem bisher analysierten �Ubergang von itineranten zu lokalisierten f{Elektronengibt es im PAM eine Instabilit�at gegen�uber antiferromagnetischer Ordnung. In derparamagnetischen Phase beobachtet man dabei eine Divergenz der antiferromagne-tischen Suszeptibilit�at. Da die antiferromagnetische Suszeptibilit�at (zur Berechnungs. Kapitel 1.2) typischerweise relativ stark vom unphysikalischen Diskretisierungs-parameter �� abh�angig ist, wurde f�ur diese Gr�o�e eine Extrapolation �� ! 0durchgef�uhrt. Abb. 4.15 zeigt diese Extrapolation exemplarisch f�ur drei Hybridisie-rungsst�arken und T = 0:15. Wie beim lokalen magnetischen Moment ist die ��{Abh�angigkeit bei kleinerer und mittlerer Hybridisierung zu vernachl�assigen. Erst beigr�o�erer Hybridisierung beobachtet man eine deutliche Abh�angigkeit. Die folgendenErgebnisse f�ur die antiferromagnetische Suszeptibilit�at und die N�eel{Temperatur sindnach �� = 0 extrapoliert. Letztendlich ergab sich jedoch f�ur die N�eel{Temperaturnur ein kleine Abweichung vom Wert bei �� = 0:125. In Abb. 4.17 (s.u.) liegt dieseAbweichung auch bei den gr�o�eren Hybridisierungen innerhalb der Symbol{Gr�o�e.Bestimmung von TNBei der N�eel{Temperatur TN divergiert die antiferromagnetische Suszeptibilit�at inder DMFT mit einem kritischen Exponenten �1, d. h. in der N�ahe von TN gilt�AF = a (T � TN)�1: (4.21)Dementsprechend zeigt die inverse Suszeptibilit�at, ��1AF , ein lineares Verhalten, dasmittels eines einfachen \Least{Square"{Fits die genaue Bestimmung von TN erm�og-licht. Abb. 4.16 zeigt diesen Fit und die verwendeten QMC{Daten im Bereich T =0:1 bis T = 0:3. Bei tdf = 0:4 ergibt sich eine etwas gr�o�ere Unsicherheit, weildie Suszeptibilit�at nur bis T = 0:1 berechnet wurde und die N�eel{Temperatur mitTN = 0:02 erheblich kleiner ist. Bei tdf = 1:4 ist ein lineares Verhalten im BereichT � 0:3 nicht mehr gegeben. Daher wurde dieser Datenpunkt bei der Bestimmungvon TN nicht ber�ucksichtigt.

�Ahnlichkeit der Phasendiagramme des PAM und Hubbard{Modells 107

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

χAF−1

∆ τAbbildung 4.15: �� ! 0{Extrapolation der inversen antiferromagnetischen Suszeptibi-lit�at ��1AF bei T = 0:15 (tdf = 0:4: Dreiecke; tdf = 0:8: Kreise und tdf = 1:2: Quadrate).Bestimmung des Mott{�UbergangsAls Kriterium f�ur den Mott{�Ubergang wird eine �Anderung in Im�(i!n) (s. Abb. 4.12)mit tdf herangezogen: F�ur Im�(i!0) < Im�(i!1) sind die f{Elektronen itinerant, dieerste Hybridisierungs{St�arke, bei der Im�(i!0) > Im�(i!1) ist, wird als Mott{�Uber-gang identi�ziert. Ein Vorteil gegen�uber einer Bestimmung des Mott{�Ubergangs aufBasis des Quasiteilchen|Gewichts aus Abb. 4.13 ist die Eindeutigkeit und Einfach-heit dieses Kriteriums.PhasendiagrammDie auf diese Weise gewonnene N�eel{Temperatur und das kritische tdf des Mott{�Uber-gangs bilden das T{tdf{Phasendiagramm des symmetrischen PAM, Abb. 4.17.7 Ver-gleicht man die in der DMFT gewonnene N�eel{Temperatur mit dem Bereich, in demdas 43{Gitter langreichweitige, antiferromagnetische Korrelationen zeigt, so ergibt7Der in der antiferromagnetischen Phase eingezeichnete Mott{�Ubergang w�urde nur in einemModell mit gleicher Zustandsdichte aber einer Dispersionsrelation, die eine antiferromagnetischeOrdnung verhindert, beobachtet.

108 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cer

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

χAF−1

T

tdf = 0.40tdf = 0.50tdf = 0.60tdf = 0.65tdf = 0.70

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

χAF−1

T

tdf = 0.8tdf = 0.9tdf = 1.0tdf = 1.2tdf = 1.4

Abbildung 4.16: Inverse antiferromagnetischen Suszeptibilit�at ��1AF gegen T (QMC{Daten: Symbole; \Least{Square"{Fit: Linien).

�Ahnlichkeit der Phasendiagramme des PAM und Hubbard{Modells 109

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0 2 4 6 8 10 12 14 16

T/tdf

Uf/tdf

AFI

PMMPMI

Abbildung 4.17: T{Uf{Phasendiagramm des PAM mit paramagnetischem Isolator(PMI), paramagnetischem Metall (PMM) und antiferromagnetischem Isolator (AFI). Diegef�ullten (nicht{gef�ullten) Rauten geben Punkte mit (ohne) antiferromagnetischer Ordnungauf dem 43 Gitter an.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

T/W

U/W

AFI

PMM PMI

Abbildung 4.18: T{U{Phasendiagramm des Hubbard{Modells auf dem Bethe{Gitter mitBandbreite W nach Schlipf et al. (1999) und Ulmke et al. (1996) (Bezeichnung der Phasenwie in Abb. 4.17).

110 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cersich eine gute �Ubereinstimmung. �Ahnlich wie im Hubbard Modell, Abb. 4.17, gibt esim PAM mit N�achst{Nachbar{Hybridisierung eine \Perfect{Nesting"{Instabilit�at beischwacher Kopplung (Uf=tdf ) und eine antiferromagnetische (RKKY{)Spin{Kopplungbei starker Coulomb{Wechselwirkung. Diese f�uhrt auf TN / t4df=U3f , w�ahrend derAnderson{Superaustausch im Hubbard{Modell TN / t2=U liefert. Wie im Hubbard{Modell ergibt der �Ubergang von schwacher zu starker Kopplung ein Maximum inTN . In beiden Modellen �ndet ein �Ubergang von itineranten zu lokalisierten Elek-tronen statt. Dies ist der f�ur das Hubbard{Modell bekannte Mott-�Ubergang und inder Sprache der Kondo{Physik das Kreuzen der Kondo{Temperatur mit sich �andern-dem tdf . Der numerische Vergleich zeigt, da� die Physik der f{Elektronen des PAMmit N�achst{Nachbar{Hybridisierung und die des Hubbard{Modells sehr �ahnlich sind.Auch wenn die Temperatur{ und Hybridisierungs{Skalen unterschiedlich sind, so istdoch die Topologie der Phasendiagramme sehr �ahnlich. Ein Unterschied besteht darin,da� der Mott{�Ubergang im Hubbard{Modell vollst�andig innerhalb der antiferroma-gnetischen Phase liegt. Zu beachten ist dabei, da� der Mott{�Ubergang nur bis zueiner bestimmten Temperatur klar zu identi�zieren ist und die N�eel{Temperatur imHubbard{Modell bei �ahnlichen Breiten der f{Spektren h�oher liegt.Auch das intensiv untersuchte PAM mit konstanter Hybridisierung zeigt eine�ahnliche Physik mit Antiferromagnetismus und einem Verschwinden der Abrikosov{Suhl{Resonanz. Wesentliche Details, wie die Notwendigkeit eines endlichen Uf f�urden Antiferromagneten und die zus�atzliche Energiel�ucke innerhalb der Abrikosov{Suhl{Resonanz, sind jedoch unterschiedlich.4.5 Thermodynamik und Spin{Spin{Korrelations-funktionEnergieDie Untersuchungen zum PAM werden in diesem Kapitel um die thermodynamischenGr�o�en Energie und spezi�sche W�arme sowie die N�achst{Nachbar{Spin{Korrelationzwischen den f{Elektronen erg�anzt. Im Gro�kanonischen Ensemble wird die Energieaus der Doppelbesetzung sowie den k{abh�angigen Green{Funktionen berechnet. ProGitterplatz ergibt sich f�ur das PAM, Glg. (4.5), in der paramagnetischen Phase:E = 1(2�)3 Xk� �dkhnkd�i+ �fhnkf�i+ Vkhdyk�fk�i+ Vkhf yk�dk�i + Ufhnf"nf#i= 2(2�)3 Xk �dk�1 +Gddk (�=0+)+ �f�1 +Gffk (�=0+)+ 2Vk �1 +Gdfk (� =0+)+ Ufhnf"nf#i: (4.22)

4.5. Thermodynamik und Spin{Spin{Korrelationsfunktion 111Die hierbei auftretenden spin{unabh�angigen Green{Funktionen lassen sich aus denfrequenz{abh�angigen Green{Funktionen, Glg. (4.15),Gffkn = 1i!n + �� �f � �n � V 2ki!n+���dk ; (4.23)Gddkn = 1i!n + �� �dk � V 2ki!n+���f��n ; (4.24)Gdfkn = Vk(i!n + �� �dk)(i!n + �� �f � �n)� V 2k (4.25)durch Fouriertransformation (!n ! �) bestimmen.Um das charakteristische Verhalten der Energie am Mott{�Ubergang besser her-auszuarbeiten, wurde in Abb. 4.19 die Hartree{Fock{Energie abgezogen. Im atoma-ren Limes tdf ! 0 bilden sich lokalisierte Spins, und die Wechselwirkungsenergieverschwindet. Diese Energie | aber nicht die Entropie | wird korrekt von der anti-ferromagnetischen Hartree{Fock{L�osung beschrieben. Mit wachsendem tdf �ndet je-doch der Mott{�Ubergang statt, und die lokalen Momente werden durch den Kondo{E�ekt abgeschirmt. Da die Hartree{Fock{L�osung weiterhin Antiferromagnetismuszeigt, sinkt die DMFT{ bzw. QMC{Energie gegen�uber der Hartree{Fock{Energiedeutlich ab, s. Abb. 4.19.Der Vergleich zwischen DMFT und endlich{dimensionalen QMC{Simulation zeigteine qualitative �Ubereinstimmung. Bei gr�o�eren tdf beruht die quantitative Di�erenzm�oglicherweise auf \Finite{Size"{E�ekten, denn in der St�orungstheorie nach Stei-ner, Albers, Scalapino und Sham (1991) gibt es in der dargestellten Energiedi�erenzeinen quantitativen Unterschied von �(E � EAF{HF) � 0:1 zwischen einem 43{ undeinem 83{Gitter (McMahan et al., 1998). Die DMFT zeigt ein kleines Maximum inder Energiedi�erenz nahe des Mott{�Ubergangs. In der QMC{Simulation ist diesesMaximum bei h�oheren Temperaturen ebenfalls vorhanden (Huscroft et al., 1999), beiT = 0:15 jedoch nahezu verschwunden. Eine m�ogliche Erkl�arung hierf�ur sind antifer-romagnetische Korrelationen, die zu einer geringeren Energiedi�erenz gegen�uber derantiferromagnetischen Hartree{Fock{L�osung f�uhren k�onnen.Das stark konkave Verhalten der Energie am Mott{�Ubergang bei tdf � 0:7 kannwie im Kondo{Volumen{Kollaps{Szenario zu einer thermodynamischen Instabilit�atund damit zu einem Phasen�ubergang erster Ordnung von itineranten zu lokalisiertenElektronen f�uhren. Da die Hartree{Fock{Approximation die Energie der lokalisiertenPhase f�ur kleine tdf gut beschreibt, kann die Energiedi�erenz zwischen der DMFTund der Hartree{Fock{Approximation auch als Energiedi�erenz zwischen der Phasemit minimaler Energie (lokalisierte oder itinerante Phase) und der lokalisierten Phaseinterpretiert werden: �E = min(Elok.; Eit.)� Elok.: (4.26)

112 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cer

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

E−

EA

F−

HF

tfdAbbildung 4.19: Energiedi�erenz EDMFT � EAF{HF und EQMC � EAF{HF gegen tdf f�urT = 0:15 in der DMFT (nicht-gef�ullte Quadrate) und zum Vergleich f�ur T = 0:167 auf dem43{Gitter (gef�ullte Quadrate) nach Huscroft et al. (1999).Mit der aus der Bandstruktur{Rechnung von McMahan et al. (1998) gewonnenenBeziehung tdf / V �2 kann aus der Steigung der Energiedi�erenz am Mott{�Ubergangdie Druckdi�erenz zwischen itineranter und lokalisierter Phase berechnet werden:V�P2 = �12 @�E@ lnV = @�E@ ln tdf : (4.27)Aus der Energiedi�erenz f�ur die DMFT ergibt sich damit V�P=2 � 0:5eV, w�ahrendf�ur das 43{Gitter V�P=2 � 0:3eV ist. Diese Werte sind nicht inkonsistent mit derexperimentellen P (V ){Kurve. Extrapoliert man die experimentelle Kurve der �{ und {Phase aus Abb 4.1 in die Region des Phasen�ubergangs erster Ordnung, so erh�altman V�P=2 � 0:5eV (McMahan et al., 1998).Spezi�sche W�armeAus der berechneten Energie kann die spezi�sche W�arme durch den Di�erenzenquo-tienten CV = �E=�T n�aherungsweise berechnet werden. Die spezi�sche W�arme istin Abb. 4.20 als Funktion der Temperatur aufgetragen. Bei tdf = 1 zeigt die spe-zi�sche W�arme neben einem breiten Maximum bei T � 1:5 ein weiteres bzw. eine

4.5. Thermodynamik und Spin{Spin{Korrelationsfunktion 113

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

CV

T

tdf = 0.4tdf = 1

Abbildung 4.20: Spezi�sche W�arme CV als Funktion der Temperatur T in der DMFT.Schulter bei T � 0:65. Diese Schulter ist f�ur tdf = 0:4 verschwunden und f�allt in denTemperatur{Bereich, in dem sich die zentrale Kondo{Resonanz bildet.Spin{Spin{KorrelationsfunktionAbschlie�end wird die Korrelationsfunktion hsdi sfji zwischen f{ und d{Spins aufbenachbarten Gitterpl�atzen i und j berechnet. Dabei istsdi = 12X��0 dyi�� ��0di�0 und sfi = 12 X��0 f yi�� ��0fi�0 (4.28)mit Pauli{Matrizen � .In der DMFT verschwinden Vertex{Korrekturen zu dieser N�achst{Nachbar{Kor-relationsfunktion. Daher verbleibt in der paramagnetischen Phase lediglich der un-korrelierte Anteil hs+di s�fji = hdyi"di#f yj#fj"i (4.29)DMFT= �hdyi"fj"i hf yj#di#i (4.30)= �(1 +Gdfij )2: (4.31)

114 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur Cer

−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0 0.5 1 1.5 2

<s

d s

f>

tdf

U=0DMFTQMC

Abbildung 4.21: f{d{Spin{Spin{Korrelation hsdi sfji zwischen N�achsten{Nachbarn i undj als Funktion der Hybridisierung tdf bei T = 0:1 (QMC nach Huscroft et al. (1999) beiT = 0:13).Diese f{d{Green{Funktion zwischen n�achsten Nachbarn kann aus der k{abh�angigenGreen{Funktion berechnet werden, wobei wegen der kubischen Symmetrie ohne Ein-schr�ankung der Allgemeinheit j als n�achster Nachbar in x{Richtung gew�ahlt werdenkann: 1 +Gdfij = hdyi"fj"i = 18�3 Z d3k hdyk"fk" cos(kx)i: (4.32)F�ur die f{d{Spin{Spin{Korrelation ergibt sich in der paramagnetischen Phase insge-samt: hsdi sfji = 12�hs+di s�fji+ hs�di s+fji�+ hszdi szfji (4.33)= 32hs+di s�fji = �32(1 +Gdfij )2: (4.34)Der Unterschied zwischen DMFT und U = 0 bzw. der paramagnetischen Hartree{Fock{L�osung (gleiches Gdf wie bei U = 0) besteht darin, da� die wechselwirkendeGreen{Funktion in Glg. (4.34) eingeht. Dies f�uhrt in Abb. 4.21 zu einer Verringe-rung des Betrags der f{d{Spin{Spin{Korrelation. Ein ganz anderes Verhalten zeigt

4.6. Diskussion und Zusammenfassung 115die numerische L�osung des 43{Gitters. Die f{d{Spin{Spin{Korrelation ist (vom Be-trag) erheblich gr�o�er und zeigt bei mittleren tdf ein Maximum. Im dargestelltentdf{Bereich ist dieses Maximum kaum sichtbar. F�ur den Grenzwert tdf ! 1 erh�altman jedoch wieder den U=0{Wert, da der Ein u� von tdd und U verschwindet. F�urden Grenzfall U = 0 k�onnen \Finite{Size"{E�ekte abgesch�atzt werden: Bei tdf = 1:6und T = 0:1 ergibt sich f�ur das 43{Gitter hsdi sfji = �0:033, w�ahrend im thermo-dynamischen Limes hsdi sfji = �0:035 ist. Dies erkl�art nicht die gro�e Di�erenz unddas Maximum bei mittleren tdf . Letzteres beruht auf in der DMFT vernachl�assig-ten N�achst{Nachbar{Korrelationen und der antiferromagnetischen Ordnung, denndie DMFT{Resultate beziehen sich auf die paramagnetische Phase.4.6 Diskussion und ZusammenfassungVergleich zwischen DMFT und QMCVergleicht man die Ergebnisse der QMC{Simulation f�ur das 43{Gitter mit periodi-scher Fortsetzung und die der DMFT, so ergeben sich zwei Bereiche mit Abwei-chungen. Bei gr�o�erer Hybridisierung tdf ist das lokale magnetische Moment in derDMFT kleiner als in der QMC{Rechnung (Abb. 4.8), ebenso die Energiedi�erenz zurHartree{Fock{Approximation (Abb. 4.19). Die Ursache hierf�ur liegt vermutlich inSkalierungse�ekten, da der Ein u� des Gitters mit wachsendem tdf gr�o�er wird, unddamit der Unterschied vom thermodynamischen Limes (DMFT) zum 43{Gitter mitperiodischer Fortsetzung (QMC). Ein starkes Indiz f�ur diese Erkl�arung ist, da� auch inSt�orungstheorie ein solcher Skalierungse�ekt beobachtet wird (McMahan et al., 1998).Die andere Abweichung liegt im Bereich mittlerer tdf und ist weniger eindeutigzu erkl�aren. In diesem Bereich zeigt die QMC{Simulation eine kleine aber noch si-gni�kante Aufspaltung der Spektralfunktion an der Fermi{Kante (Abb. 4.10), einMaximum in der Kurve E � EAF{HF (Abb. 4.19) und eine ausgepr�agte antiferroma-gnetische Korrelation zwischen den Spins der d{ und f{Elektronen auf benachbartenGitterpl�atzen (Abb. 4.21). Diese Abweichungen beruhen m�oglicherweise auf kurz-reichweitigen antiferromagnetischen Korrelationen oberhalb der N�eel{Temperatur.Abgesehen von diesen Unterschieden in einigen Observablen f�ur bestimmte Para-meterbereichen ist die �Ubereinstimmung zwischen DMFT und QMC{Rechnung her-vorragend. Dies spricht f�ur die Genauigkeit beider Methoden: die G�ute der DMFTund die gute Approximation des thermodynamischen Limes mit einem periodischfortgesetzten 43{Gitter.

116 Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott{ �Ubergangs{Modell f�ur CerVergleich zwischen Periodischem Anderson{ und Hubbard{ModellIntegriert man im Periodischen Anderson{Modell die d{Elektronen aus, so redu-ziert sich das Zweiband{Modell auf ein e�ektives Einband{Modell mit einem re-tardierten Einteilchen{Potential der f{Elektronen. Die Spektralfunktion dieser f{Elektronen des Periodischen Anderson{Modells mit N�achst{Nachbar{Hybridisierungund die des Einband{Hubbard{Modells sind bei halber Bandf�ullung sehr �ahnlich.Aufgrund der beobachteten �Ahnlichkeit in der Spektralfunktion wurde der �Uber-gang zwischen itineranten f{Elektronen zu lokalisierten f{Elektronen in beiden Mo-dellen detailliert verglichen. Dieser �Ubergang wird durch den wachsenden Ein u�der Coulomb{Wechselwirkung (mit wachsendem Uf=tdf bzw. U=t) induziert. Einsolcher �Ubergang wird als Mott{�Ubergang bezeichnet. In der Sprache der Kondo{Physik ist dieser �Ubergang gerade das Kreuzen der Kondo{Temperatur mit demsich �andernden tdf , d.h. die Temperatur liegt f�ur kleine tdf im lokalisierten Bereichoberhalb der Kondo{Temperatur und f�ur gro�e tdf im itineranten Bereich unterhalbder Kondo{Temperatur. In der elektronischen Kompressibilit�at, dem Quasiteilchen{Gewicht und dem lokalen magnetischen Moment ergibt sich f�ur beide Modelle einsehr �ahnliches Verhalten am Mott{�Ubergang. Dies deutet darauf hin, da� PAM undHubbard{Modell bei halber Bandf�ullung eine gleichartige Physik beschreiben. Einentsprechender �Ubergang mit einem Verschwinden des Quasiteilchen{Gewichts ander Fermi{Kante wurde auch im PAM mit konstanter Hybridisierung gefunden. Al-lerdings ist dieses Modell bei halber F�ullung immer ein Isolator: bei gro�em tdf einBand{Isolator, bei kleinem tdf ein Isolator mit lokalisierten Elektronen wie beimMott{Hubbard{Isolator.Implikationen f�ur Kondo{Volumen{Kollaps{ undMott{�Uber-gangs{SzenarienDie �Ahnlichkeit des PAM und des Hubbard{Modells hat Implikationen f�ur die Theoriedes Volumen{Kollaps in Cer. Denn diese beiden Modelle bilden gerade die Grundlagef�ur die beiden konkurrierenden Szenarien, die f�ur den Volumen{Kollaps in der Litera-tur diskutiert werden. Dem Szenario eines Kondo{Volumen{Kollapses nach Allen undMartin (1982) sowie Lavagna et al. (1983) liegt das \Single{Impurity"{Anderson{Modell, also die St�orstellen{Approximation des PAM, zu Grunde. Das Hubbard{Modell andererseits ist das einfachste Modell f�ur einen Mott{�Ubergang. Ein Mott{�Ubergangs{Szenario wird aber gerade von Johansson (1974) f�ur den Volumen{Kollapsin Cer verantwortlich gemacht. Der Vergleich von PAM und Hubbard{Modell zeigtein �ahnliches physikalisches Verhalten in beiden Modellen. Die beiden Szenarien sindalso nicht unvereinbar, wie in der Literatur von Johansson et al. (1995) sowie Allenund Liu (1992) bislang angenommen wurde.

4.6. Diskussion und Zusammenfassung 117Das Szenario eines Mott{�Ubergangs wurde im Zusammenhang mit Cer im Rah-men von Bandstruktur{Rechnungen untersucht (Szotek et al., 1994; Svane, 1994).Dies entspricht einer Molekularfeld{L�osung des Hubbard{Modells, in welcher derMott{�Ubergang zwischen einer lokalisierten Phase mit oberem und unterem Hubbard{Band und einer itineranten Phase mit einer einfachen Ein{Peak{Struktur in der Spek-tralfunktion erfolgt. Gleichzeitig verschwindet das lokale magnetische Moment am�Ubergang. Die Untersuchung in diesem Kapitel zeigt, da� unabh�angig von der Artder Hybridisierung, die f�ur den �Ubergang verantwortlich ist (tff im Hubbard{Modelloder tdf im PAM), eine korrelierte L�osung stets Kondo{artige Eigenschaften in deritineranten Phase zeigt, insbesondere eine zentrale Abrikosov{Suhl{Resonanz und einFortbestehen eines lokalen magnetischen Moments am �Ubergang. F�ur das Hubbard{Modell wurde die Abwesenheit eines Phasen�ubergangs erster Ordnung k�urzlich vonSchlipf et al. (1999) in einer gr�undlichen Studie gezeigt. Auch im PAM liegt beiden betrachteten endlichen Temperaturen kein Phasen�ubergang erster Ordnung vor.Man �ndet jedoch wie im Kondo{Volumen{Kollaps{Szenario am Mott{�Ubergang ei-ne stark konkave Energie. Dies kann zu einer thermodynamischen Instabilit�at unddamit zu einem Volumen{Kollaps f�uhren. Obwohl die Lokale Dichte{Approximationkeine Kondo{artigen Eigenschaften in der itineranten Phase beschreibt, stimmt dievon S�oderlind (1998) berechnete Abh�angigkeit der Energie von der Kristallstrukturexzellent mit dem Experiment �uberein.Auf Basis der beobachteten �Ahnlichkeit des Mott{�Ubergangs im Hubbard{Modellund PAM kann man spekulieren, ob der Mott{�Ubergang erster Ordnung in V2O3(s. Rice und McWhan (1970) und Referenzen darin), f�ur den das Hubbard{Modellvielleicht ein geeignetes Modell ist, die gleiche physikalische Ursache hat wie derVolumen{Kollaps in Ce. Insbesondere, ob der Phasen�ubergang erster Ordnung inV2O3 durch eine �ahnliche thermodynamische Instabilit�at in der N�ahe des Mott{�Uber-gangs bedingt wird (bez�uglich der c{Gitterkonstante) wie im Szenario eines Kondo{Volumen{Kollapses f�ur Ce.

119Kapitel 5Elektronische Korrelationen inManganaten5.1 Einf�uhrungKolossaler MagnetowiderstandDer Magnetowiderstand, also die �Anderung der Leitf�ahigkeit im Magnetfeld, ist vonerheblicher technologischer Bedeutung. Insbesondere basieren die Lesek�opfe der neue-sten Festplattengeneration, die 1997 vorgestellt wurden (Spooner, 1997) und Spei-cherkapazit�aten von �uber 20GB haben, auf dem \gigantischen Magnetowiderstand"(GMR). In diesen Lesek�opfen erm�oglicht der GMR{E�ekt die Umsetzung der ma-gnetischen Information auf der Festplatte in ein elektronisches Signal. Verursachtwird dieser E�ekt durch die parallele Ausrichtung ferromagnetischer Schichten imMagnetfeld, die ohne Magnetfeld antiferromagnetisch alternieren. Dabei �andert sichmit der magnetischen Struktur auch der Widerstand. Eine Ausf�uhrliche Darstellungdes GMR �ndet man bei Sechovsk�y, Havela, Proke�s, Nakotte, de Boer und Br�uck(1994) sowie Levy und Zhang (1995).Ein sehr gro�er Magnetowiderstand wird auch in den Manganaten R1�xMxMnO3(R2fLa,Pr,Nd ...g und M2fCa,Sr,Ba,Pb ...g) mit Perowskit{Struktur (Abb. 5.1) ge-funden. Wegen der Bedeutung des Magnetowiderstands wurden diese Systeme in denletzten Jahren sehr intensiv studiert. Den ersten neueren Arbeiten (Kusters, Singel-ton, Keen, McGreevy und Hayes, 1989; Chahara, Ohno, Kasai und Kozono, 1993; vonHelmolt, Wecker, Holzapfel, Schultz und Samwer, 1993; Jin, McCormack, Tiefel undRamesh, 1994; Jin, Tiefel, McCormack, Fastnacht, Ramesh und Chen, 1994; Schif-fer, Ramirez, Bao und Cheong, 1995) folgten mehr als 400 weitere in den letztenf�unf Jahren, s. die �Ubersichtsartikel von Ramirez (1997) und Nagaev (1996). Um denMagnetowiderstand der Manganate von dem der GMR{Materialien zu unterscheiden,schlugen Jin, McCormack, Tiefel und Ramesh (1994) die Bezeichnung \kolossaler Ma-

120 5. Elektronische Korrelationen in Manganatengnetowiderstand" (CMR) vor. In den CMR{Maganaten kommt es zu einem �Ubergangvon einem paramagnetischen Isolator1 bei hohen Temperaturen zu einem ferromagne-tischen Metall bei tiefen Temperaturen (Abb. 5.2). Neben der Temperatur kann auchein Magnetfeld diesen Isolator{Metall{�Ubergang, bei dem sich der Widerstand umeine Gr�o�enordnung und mehr �andert, induzieren. Erstmals wurde dieses Verhaltenbereits in den f�unfziger Jahren von Jonker und van Santen beobachtet (Jonker undvan Santen, 1950; van Santen und Jonker, 1950).Das eigentliche Problem, den CMR zu verstehen, liegt in der Erkl�arung der un-gew�ohnlichen Eigenschaften der paramagnetischen Phase. Erste theoretische Ans�atzezur Beschreibung des paramagnetischen Isolators oder bestimmter Aspekte dieserPhase beruhen auf:1. Lokalisierung der Leitungselektronen durch die Bildung von Gitter{ oder Jahn{Teller{Polaronen (Millis, Littlewood und Shraiman, 1995; Millis, Shraiman undMueller, 1996; R�oder, Zang und Bishop, 1996; Lee und Min, 1997; Alexandrovund Bratkovsky, 1999) oder magnetischen Polaronen (Kusters et al., 1989).2. Anderson{Lokalisierung durch die Spinunordnung der paramagnetischen Phase(Varma, 1996) auch in Verbindung mit Ladungsunordnung (Sheng, Xing, Shengund Ting, 1997; Li, Zhang, Bishop und Soukoulis, 1997) oder Summierung derBerry-Phase beim H�upfproze� der Leitungselektronen (M�uller-Hartmann undDagotto, 1996).3. Phasenseparation in Nanodom�anen (Dagotto, Yunoki und Moreo, 1998) z. B.in Verbindung mit einer spinabh�angiger Streuung zwischen den Nanodom�anen(Furukawa, 1998).4. Reduzierung des Drude-Gewichts aufgrund einer anisotropen Dispersion in derN�ahe eines Mott-�Ubergangs (Imada, 1998).5. Isolierendes Verhalten durch Ladungsordnung bei x = 0:5 (Khomski�� und Sa-watzky, 1997).Der 1. Erkl�arungsansatz erscheint besonders vielversprechend, da z. B. durch Iso-topenaustausch O16/O18 ein erheblicher Ein u� der Gitterfreiheitsgrade auf die fer-romagnetische �Ubergangstemperatur nachgewiesen werden konnte (Zhao, Conder,Keller und M�uller, 1996). Keiner dieser Ans�atze kann jedoch bei einer realistischen1Die paramagnetische Phase soll hier als Isolator bezeichnet werden, weil der Widerstand � mitabnehmender Temperatur T w�achst: @�=@T < 0. Im Gegensatz zu einem gew�ohnlichen Isolator oderHalbleiter, zeigen die Manganate bei einer endlichen Dotierung 0 < x < 1 jedoch ein sehr kleinesspektrales Gewicht in der N�ahe der Fermi{Kante sowohl in Experimenten zur Photoemissions{Spektroskopie (Park, Chen, Cheong, Bao, Meigs, Chakarian und Idzerda, 1996) als auch zur opti-schen Leitf�ahigkeit (Kim, Jung und Noh, 1998).

5.1. Einf�uhrung 121

Abbildung 5.1: Perowskit{Struktur von LaMnO3 reproduziert aus Satpathy et al. (1996).Jedes Mn{Ion ist oktaedrisch von sechs Sauersto�{Ionen umgeben. Die magnetischen Mo-mente des Mn bilden ferromagnetische Schichten, die antiferromagnetisch koppeln.

Abbildung 5.2: Magnetisches und elektronisches Phasendiagramm von La1�xCaxMnO3in Abh�angigkeit von der Temperatur T und der Ca{Dotierung x nach Schi�er et al. (1995).P: Paramagnet; AF: Antiferromagnet; F: Ferromagnet; CO: Ladungs{Ordnung. I: Isolator;M: Metall.

122 5. Elektronische Korrelationen in ManganatenWahl der Parameter die ungew�ohnlichen Eigenschaften des isolierenden Paramagne-ten (@�=@T < 0), der ein Gap bzw. ein sehr kleines Gewicht an der Fermi{Kanteim Photoemissions-Spektrum (Park et al., 1996) und in der optischen Leitf�ahigkeit(Kim et al., 1998) aufweist (s. Abb. 5.3), erkl�aren. Im Gegensatz zum GMR ist dasisolierende Verhalten der paramagnetischen Phase und damit der CMR noch nichtwirklich verstanden.Im folgenden erfolgt eine Beschr�ankung auf die elektronischen Freiheitsgrade derCMR{Manganate mit Perowskit{Struktur, die das komplexe magnetische Phasen-diagramm aus Abb. 5.2 zeigen. Insbesondere sollen die mikroskopischen Ursachendes Ferromagnetismus diskutiert werden. Als Grundlage hierf�ur werden zun�achst dieKonzepte des Doppel{ und Superaustausches sowie die Literatur hierzu vorgestellt.Doppelaustausch{TransferIn den Perowskiten R3+1�xM2+x Mn3+=4+O2�3 werden die Mangan{Ionen oktaedrisch vonsechs Sauersto�{Ionen umgeben, s. Abb. 5.1. In dieser kubischen Symmetrie hy-bridisieren die zwei eg{Orbitale des Mangans (d3z2�r2{ und dx2�y2{Orbital) relativstark mit den p{Orbitalen des Sauersto�s, weil der �Uberlapp zwischen diesen Or-bitalen gro� ist. Diese Hybridisierung f�uhrt zusammen mit der Coulomb-Absto�ungzwischen Mangan{Elektronen und Sauersto�{Ion zu einer Anhebung der eg{Energiegegen�uber dem t2g{Niveau des Mangans. In einer vereinfachten Beschreibung wirddavon ausgegangen, da� das dreiwertige Seltenerd{Element R und das zweiwertigeMetall M die elektronischen Eigenschaften des Systems nur durch die �Anderung derLadungstr�ager{Konzentration auf den (gemischt{valenten) Mn{Ionen{Pl�atzen und u.U. durch die �Anderung der Gitterkonstante beein u�t. Die p{Orbitale des Sauersto�ssind, obwohl vollst�andig gef�ullt, f�ur den e�ektiven Elektronen{Transfer zwischen denMangan{Pl�atzen verantwortlich.Zener (1951b) schlug f�ur den Transfer eines Elektrons von einem Mangan{Ion zueinem anderen, d. h. f�ur&%'$ &%'$" "# "# "Mn O Mn Mn O Mneig p ejgp�! ,einen Mechanismus vor, den er \Doppelaustausch" nannte. Betrachtet man zun�achstals Transfer einen Proze�, bei dem das Mangan{Elektron direkt vom Gitterplatz i

5.1. Einf�uhrung 123

Abbildung 5.3: Schematische Darstellung des Spektrums von La1�xSrxMnO3 mit Sauer-sto� 2p und Mangan eg sowie t2g{B�andern auf Basis von Photoemissions{ und Sauersto�{1s{R�ontgen{Absorptions{Spektrum (XAS) nach Saitoh et al. (1995). F�ur x = 0 (LaMnO3)und x = 1 (SrMnO3) gibt es eine Energiel�ucke an der Fermi{Kante. Erstaunlicherweisebleibt die Zustandsdichte an der Fermi{Kante trotzt Dotierung x sehr gering. Das Systemist isolator{�ahnlich, mit einem (Quasi{)Gap an der Fermi{Kante.zum Gitterplatz j wechselt, so wird dieser Transfer durch den direkten �UberlappZ d3r1 d3r2 ejg(r1)p(r2) H eig(r1)p(r2) (5.1)beschrieben. Hierbei bezeichnet ei(j)g bzw. p die eg{Wellenfunktion am Gitterplatz i(j)bzw. das p{Orbital, r1 bzw. r2 sind die Koordinaten der beiden Elektronen mit Spin", und H ist der Hamilton{Operator. Da die d{Orbitale stark lokalisiert sind, �uber-lappen eig(r1) und ejg(r1) praktisch nicht. Aus diesem Grund verschwindet der direkteTransferproze� Glg. (5.1). Werden Mangan{ und Sauersto�{Elektron im Endzustand

124 5. Elektronische Korrelationen in Manganatenjedoch vertauscht, so erh�alt man den Transferproze� eig ! p und gleichzeitig p! ejg.Dies entspricht dem Austausch{IntegralZ d3r1 d3r2 ejg(r2)p(r1) H eig(r1)p(r2): (5.2)Bei diesem Integral gibt es nur noch einen �Uberlapp zwischen benachbarten p{ undeg{Orbitalen. Deshalb ist dieser von Zener vorgeschlagene Doppelaustausch{Transferprinzipiell m�oglich. Anderson und Hasegawa (1955) wandten allerdings berechtig-terweise ein, da� der Doppelaustausch{Transfer in einer Basis aus orthonormiertenFunktionen, d. h.Z d3r1 eig(r1)p(r1) = 0 bzw. Z d3r2 ejg(r2)p(r2) = 0; (5.3)verschwindet. Mit einem Einteilchen{Hamilton{Operator H = H 0(r1)+H 0(r2) zerf�alltdas Integral (5.2) n�amlich in ein Produkt, wobei der eine Faktor gerade der p{d{�Uber-lapp, Glg. (5.3), und der andere das p{d{Integral �uber den Hamilton{Operator ist.F�ur orthonormierte Funktionen verschwindet nun der p{d{�Uberlapp, Glg. (5.3), unddamit auch der Doppelaustausch{Transfer.Anderson und Hasegawa schlugen alternativ zum Doppelaustausch{Transfer, dererster Ordnung in H ist, einen Proze� zweiter Ordnung in H vor:���� ���� ����" "# " "# ""#�! �!�E = �O!Mnmit der Ladungstransfer{Energie �E = �O!Mn, die f�ur den Transfer eines Elek-trons vom Sauersto�{ auf ein Mangan{Ion ben�otigt wird. In St�orungstheorie zweiterOrdnung ergibt sich aus diesem Proze� ein e�ektiver Mangan{Transfer t der Gr�o�et = R d3r2 ejg(r2)Hp(r2) � R d3r1 p(r1)Heig(r1)�O!Mn = t2dp�O!Mn ; (5.4)wobei tpd der Transferproze� zwischen Sauersto�{ und Mangan eg{Orbital ist. Mittpd � 1:5eV und �O!Mn � 5:5 eV erfolgt eine Absch�atzung des e�ektiven Transferszu t � 0:5 eV (s. Feiner und Ole�s (1999) und Referenzen darin).Doppelaustausch{ModellDer Mn{Mn{Transfer wird beg�unstigt, wenn das lokale magnetische Moment der d{Elektronen gem�a� der 1. Hundschen Regel vor und nach diesem Transfer maximal

5.1. Einf�uhrung 125ist, d. h. wenn die t2g{Spins ferromagnetisch ausgerichtet sind. Da der Elektronen{Transfer die kinetische Energie absenkt, wird durch diesen \Doppelaustausch{Mecha-nismus" nach Zener (1951b) Ferromagnetismus stabilisiert. Anderson und Hasega-wa (1955) arbeiteten diese Argumentation aus und leiteten das Doppelaustausch{Modell aus einem Modell mit Mn{Mn{Transfer und Hundscher Kopplung ab. Indiesem Abschnitt soll dieser Weg vom ferromagnetischen Kondo{Gitter{Modell zumDoppelaustausch{Modell rekapituliert werden.Mn3+=4+ hat vier bzw. drei d{Elektronen. Die energetisch tiefer gelegenen t2g{Orbitale sind demnach halbgef�ullt und bilden aufgrund der Hundschen Kopplung einmagnetisches Moment. Wegen des geringen �Uberlapps mit den Sauersto�{Orbita-len erscheint es gerechtfertigt, dieses Moment als einen lokalisierten Spin{3=2 zumodellieren. Alle weiteren d{Elektronen f�ullen dann die eg{Orbitale. Sie koppelnan die lokalisierten Spins via Hundscher Kopplung J und delokalisieren durch denDoppelaustausch{Transfer t. Dies wird durch das ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell mit zwei eg{B�andern und einem t2g{Spin pro Gitterplatz beschrieben:HKLM = �t 2X�=1Xhiji cyi�� cj�� � 2J 2X�=1Xi si� Si; (5.5)s. a. Abb. 5.4. Hierbei ist cyi�� bzw. ci�� der Erzeugungs{ bzw. der Vernichtungs{Operator f�ur ein Elektron mit Spin � am Gitterplatz i im eg{Orbital �, si� =12P��0 cyi��� ��0 ci��0 mit Pauli{Matrix � ist der Spin der eg{Elektronen, und Si dert2g{Spin. F�ur das Transfermatrix{Element t wurde eine einfache Form gew�ahlt, diediagonal in den Orbitalen ist und keine Richtungsabh�angigkeit ber�ucksichtigt.Im Grenzfall starker Kopplung (J � t) reduziert sich das Kondo{Gitter{Modellauf das Doppelaustausch{Modell. Dabei approximiert man i. d. R. zun�achst denSpin{3=2 durch einen klassischen Spin. Dieser hat dann eine wohlde�nierte Richtung,und die eg{Elektronen werden bedingt durch die starke Kopplung entlang des t2g{Spins ausgerichtet. Ist das eg{Elektron am Ausgangs{Gitterplatz im Zustand sz =1=2, so kann nur der Anteil transferiert werden, der in Richtung des Spins des Ziel{Gitterplatzes zeigt (s. Abb. 5.5). Das ist gerade der sz 0 = 1=2{Anteil in einem um denWinkel � rotierten Koordinaten{System, wobei � der Winkel zwischen den beidenbenachbarten t2g{Spins ist.Eine Rotation im Spin{Raum wird durch die unit�are TransformationU=� cos �=2 � sin �=2sin �=2 cos �=2 � (5.6)beschrieben. Die Projektion auf den Anteil des eg{Elektrons mit paralleler Ausrich-

126 5. Elektronische Korrelationen in Manganaten""j "jMn3+ Mn4+��Jegt2g

t�!Abbildung 5.4: Skizze zum ferromagnetischen Kondo{Gitter-Modell mit dem Transfert zwischen den eg{Orbitalen benachbarter Mn{Gitterpl�atze und der lokalen HundschenKopplung J an die t2g{Spins.

t

θ

egt2g

Abbildung 5.5: Skizze zum Doppelaustausch{Modell. Nur die Komponente des eg{Elektrons entlang der Richtung des t2g{Spins kann von einem Mn{Ion zum anderen trans-feriert werden.

5.1. Einf�uhrung 127tung zum Spin des Ziel{Gitterplatzes, d. h. mit sz 0 = 1=2, liefert�� 10 � ; U � 10 �� = cos �=2:Verallgemeinert man diese �Uberlegung auf das Gitter, so erh�alt man das Doppelaus-tausch{Modell (Anderson und Hasegawa, 1955)HDE = �t 2X�=1Xhiji cos �ij2 cyi� cj�: (5.7)Hierbei bezeichnet �ij den Winkel zwischen den klassischen Spins benachbarterMangan{Pl�atze, und cyi�(cj�) erzeugt (vernichtet) ein eg{Elektron in Richtung desklassischen Spins.Liegt eine ferromagnetische Ausrichtung der Spins vor (�ij = 0; cos(�ij=2) = 1),so ist der Gewinn an kinetischer Energie der eg{Elektronen maximal. Liegt da-gegen eine antiferromagnetische Ausrichtung vor (�ij = �; cos(�ij=2) = 0), sokann keine kinetische Energie gewonnen werden. Diese �Uberlegung zeigt, da� dasDoppelaustausch{Modell den Ferromagnetismus stabilisiert. Dies ist neben den de-tailliert in Kapitel 2 besprochenen Mechanismen eine weitere mikroskopische Ur-sache f�ur den Ferromagnetismus. Dieser mikroskopische Mechanismus, der auf demDoppelaustausch{Transfer und der Hundschen Kopplung beruht, wird als Doppelaus-tausch bezeichnet.Von de Gennes (1960) wurde eine Erweiterung des Doppelaustausch{Modells,Glg. (5.7), um einen antiferromagnetischen SuperaustauschH = Jt2gXhiji SiSj (5.8)zwischen den lokalisierten t2g{Spins auf benachbarten Gitterpl�atzen betrachtet. Die-ser Superaustausch entsteht, wenn der erheblich kleinere Transferproze� zwischenden t2g{Elektronen in zweiter Ordnung St�orungstheorie ber�ucksichtigt wird. Nachde Gennes f�uhrt das Wechselspiel von antiferromagnetischem Superaustausch undferromagnetischem Doppelaustausch zu einer gekanteten Spin{Phase.In den letzten Jahren wurde das ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell unddas Doppelaustausch{Modell mit einem Leitungsband intensiv untersucht. Furuka-wa (1994) l�oste das ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell exakt im Rahmen derDynamischen Molekularfeld{Theorie. Diese L�osung wird im n�achsten Abschnitt vor-gestellt. In der Arbeit (Furukawa, 1994) und in folgenden Publikationen von Furuka-wa (einen detaillierten �Uberblick �uber diese Publikationen bietet Furukawa (1998))

128 5. Elektronische Korrelationen in Manganaten

Abbildung 5.6: Curie{ �Ubergangstemperatur (in Bezug auf die Bandbreite W ) f�ur dieferromagnetische Ordnung als Funktion der Ca{Dotierung x bzw. der mittleren Anzahleg{Elektronen n = 1 � x f�ur das ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell mit einem ein-zigen eg{Band und J = 1 nach Furukawa (1998) (durchgezogene Linie). Die gestrichelteLinie ist eine analytische Fitkurve der Form Tc / x(1 � x). Bei x = 0 und x = 1 (einbzw. kein eg{Elektron pro Gitterplatz) ist das durch die t2g{Spins spin{polarisierte Lei-tungsband vollst�andig gef�ullt bzw. leer. Es kann durch eine ferromagnetische Ordnung dert2g{Spins daher keine kinetische Energie gewonnen werden: Tc = 0. Bei x = 0:5 ist dasLeitungsband halb gef�ullt, der Gewinn an kinetischer Energie und Tc sind maximal. Beieiner endlichen Kopplung J entsteht eine zus�atzliche antiferromagnetische Phase bei x = 0und Phasenseparation zwischen Antiferromagnetismus und Ferromagnetismus.werden u. a. die Spektralfunktion und die optische Leitf�ahigkeit in der para{ und fer-romagnetischen Phase, der Widerstand, die Magnetisierung als Funktion der Tempe-ratur, das T{x{Phasendiagramm mit para{, ferro{ und antiferromagnetischer Phase(s. Abb. 5.6) sowie die M�oglichkeit einer Phasenseparation untersucht.Der Aspekt der Phasenseparation im Kondo{Gitter{Modell wurde detailliert vonDagotto und Mitarbeitern ausgearbeitet: Die Monte{Carlo{Simulation, die Dyna-mische Molekularfeld{Theorie, die Dichte{Matrix{Renormierungs{Gruppe (DMRG)und die Lanczos{Methode zeigen Phasenseparation zwischen einer antiferromagne-tischen Phase mit einem Leitungs{Elektron pro Gitterplatz (Dotierung x = 0) undeiner ferromagnetischen Phase mit weniger Leitungs{Elektronen (s. Yunoki, Hu, Ma-levezzi, Moreo, Furukawa und Dagotto (1998), weitere Arbeiten werden bei Dagot-to et al. (1998) besprochen). Arovas und Guinea (1998) fanden im Rahmen der

5.1. Einf�uhrung 129Schwinger{Bosonen{Molekularfeld{Theorie, da� die von de Gennes (1960) gefunde-ne Phase mit gekantetem Spin ebenfalls instabil gegen Phasenseparation ist. M�uller-Hartmann und Dagotto (1996) leiteten einen e�ektiven Doppelaustausch{Hamilton{Operator her, der die Berry{Phase quantenmechanischer t2g{Spins ber�ucksichtigt.Monte{Carlo{Simulationen dieses Hamilton{Operators von Calder�on und Brey (1998)zeigen jedoch, da� die Berry{Phase die Curie{Temperatur nur unwesentlich �andert.Neben diesen Arbeiten zum Kondo{Gitter{Modell mit einem Leitungs{Orbitalgibt es neuere Arbeiten, die beide eg{Orbitale ber�ucksichtigen. In Molekularfeld{Theorie untersuchten van den Brink und Khomski�� (1999) ein solches Modell f�ureine Dotierung x / 1, d. h. eine geringe Ladungstr�agerkonzentration. Yunoki, Mo-reo und Dagotto (1998) studierten Phasenseparation mit Monte{Carlo{Simulationen.W�ahrend im Modell mit einem Leitungsband bei x = 0 kein Ferromagnetismus vor-liegt (s. Abb. 5.6), ist in dem Modell mit zwei B�andern der kinetische Energiegewinngerade hier maximal2. Es liegt damit Ferromagnetismus und keine Phasenseparati-on vor. Yunoki, Moreo und Dagotto (1998) konnten allerdings zeigen, da� durch einesehr gro�e Jahn{Teller{Kopplung (>2eV) eine Reduktion auf ein e�ektives Einband{Modell m�oglich ist. Dieses zeigt dann wieder Antiferromagnetismus bei x = 0 undPhasenseparation zwischen diesem Antiferromagneten und dem Ferromagneten beix > 0.Modell korrelierter Elektronen f�ur ManganateEin sehr wichtiger elektronischer Beitrag wird im Kondo{Gitter{Modell vernach-l�assigt: die Coulomb{Absto�ung der eg{Elektronen. Insbesondere bei geringer Do-tierung x, d. h. einer mittleren Besetzung von fast einem Leitungs{Elektron, tre-ten im Kondo{Gitter{Modell Doppelbesetzungen auf. Diese werden jedoch durch dieCoulomb{Wechselwirkung erheblich reduziert. Ein elektronisches Modell f�ur Manga-nate mit zus�atzlicher Coulomb{Wechselwirkung innerhalb der eg Orbitale beschreibtder Hamilton{OperatorH = �t 2X�=1Xhiji cyi�� cj�� � 2J 2X�=1Xi si� Si+U 2X�=1Xi ni�"ni�# + Xi �~� (V0 � ��~�F0) ni1�ni2~�: (5.9)Hierbei ist die erste Zeile gerade das Kondo{Gitter{Modell (5.5), U(V0) ist die intra{(inter{) orbitale Coulomb{Absto�ung und F0 eine Ising{artige Hundsche{Kopplung(s. a. Abb. 2.1); ni�� = cyi�� ci��. Wegen der starken Hundschen Kopplung sind Dop-pelbesetzungen innerhalb eines Orbitals selten, denn diese Kon�gurationen haben2F�ur J � t entspricht x = 0 f�ur das Zweiband{Modell x = 0:5 f�ur das Einband{Modell

130 5. Elektronische Korrelationen in Manganatenkein maximales magnetisches Moment. Der U{Term spielt daher eine geringere Rol-le. Wichtig ist hingegen der V0{Term, der einer lokalen Doppelbesetzung (auch mitmaximalem magnetischen Moment) in zwei verschiedenen Orbitalen entgegen wirkt.Bandstruktur{Rechnungen liefern eine ungef�ahre Absch�atzung der Parameter.Nach Satpathy et al. (1996) gilt U; V0 � 8 � 10eV, F0; J � 1eV und f�ur die eg{Bandbreite W � 1 � 2eV. Singh und Pickett (1998) best�atigen eine eg{Bandbreitevon dieser Gr�o�e. Mit dem gleichen Ansatz wie bei den Bandstruktur{Rechnungen,d. h. U = EN+1 + EN�1 � 2EN mit der Gesamtenergie E bei N(�1) Elektronen,kann die Coulomb{Wechselwirkung auch experimentell aus der Di�erenz von Photo{Emissions{ (f�ur die Energie EN � EN�1) und R�ontgenstrahl{Absorptions{Spektrum(f�ur die Energie EN+1�EN ) abgesch�atzt werden. Bocqeut, Mizokawa, Saitoh, Nama-tame und Fujimori (1992) sowie Saitoh et al. (1995) bestimmten in �Ubereinstimmungmit den Bandstruktur{Rechnungen folgende Werte der Coulomb-Wechselwirkung:U � 7:5eV und F0 � 0:7eV. Wesentlich gr�o�er als bei den Bandstruktur{Rechnungensind hingegen die experimentell von Park et al. (1996) sowie Saitoh, Sekiyama, Ko-bayashi, Mizokawa, Fujimori, Sarma, Takeda und Takano (1997) bestimmten eg{Bandbreiten von W � 3eV und W � 4eV f�ur La1�xSrxMnO3. Einen vergleichbarenWert liefert die Absch�atzung von Feiner und Ole�s (1999) nach Glg. (5.4) (W � 4eVbzw. t � 0:5eV).Superaustausch in Kugel'{Khomski��{artigen ModellenF�ur x = 0 ist im atomaren Limes des Modells (5.9) jeder Gitterplatz mit einemLeitungs{Elektron besetzt. Im Fall starker Kopplung (U > V > F0; J � t) kann derTransfer t in St�orungstheorie zweiter Ordnung ber�ucksichtigt werden. Abb. 5.7 zeigtwie in Kapitel 2, Abb. 2.2, vier Kon�gurationen des Zweiplatz{Modells mit zweiLeitungs{Elektronen und den Energiegewinn in St�orungstheorie zweiter Ordnung.Der Unterschied zu Abb. 2.2 ist der zus�atzliche t2g{Spin, der die Energien modi�ziert.Am Grundzustand, einer alternierenden orbitalen Besetzung mit ferromagnetischerAusrichtung der Spins, �andert dies nichts.Die vollst�andige Beschreibung des Gitter{Modells (5.9) in St�orungstheorie zwei-ter Ordnung in t f�uhrt auf Kugel'{Khomski��{artige Modelle mit Spin{ und Orbital{Freiheitsgraden, wobei die Kopplung zwischen diesen Freiheitsgraden durch St�orungs-theorie zweiter Ordnung in t entsteht. Dieser Superaustausch ist ein anderer Mecha-nismus f�ur den Magnetismus als der Doppelaustausch. Eine sprachliche Subtilit�at ist,da� f�ur beide der Doppelaustausch{Transfer t eine wichtige Rolle spielt.Ishihara, Inoue und Maekawa (1997) sowie Shiina, Nishitani und Shiba (1997)leiteten Kugel'{Khomski��{artige Modelle unter Ber�ucksichtigung des t2g{Spins ab. Inbeiden Arbeiten wurden die e�ektiven Modelle in einer Molekularfeld{Theorie be-handelt, bei der ein orbitales Molekularfeld angesetzt und daraus die magnetischeOrdnung berechnet wurde. Eine zwischen 3x2 � r2 und 3y2 � r2 schachbrettartig{

5.1. Einf�uhrung 131""j ""j ""j ##j ""j ##j ""j ""j�E= 0 �2 t2U+2J �2 t2V0+2J �2 t2V0�F0Abbildung 5.7: Vier Kon�gurationen mit zwei Leitungs{Elektronen auf zwei Gitter-pl�atzen und deren Energiegewinn in St�orungstheorie zweiter Ordnung in t unter Ber�uck-sichtigung des t2g{Spins. Der Grundzustand hat eine ferromagnetische Spinausrichtung undeine alternierende Besetzung der Orbitale.alternierende orbitale Ordnung entspricht in der eg{Basis (3z2 � r2, x2 � y2) ei-ner gekanteten Ordnung. Diese Ordnung wird aufgrund der beobachteten Jahn{Teller{Verzerrung erwartet und f�uhrt zu einer ferromagnetischen Ordnung der Spin{Freiheitsgrade. Ein zus�atzlicher antiferromagnetischer Superaustausch zwischen dent2g{Spins [Hamilton{Operator (5.8)] kann jedoch die | aufgrund der planaren Or-bital{Struktur | schwache ferromagnetische Kopplung in z{Richtung �uberwinden.Dies f�uhrt dann zu einer Phase ferromagnetischer Schichten mit alternierender Ma-gnetisierungsrichtung, dem experimentell beobachteten (A{Typ{)Antiferromagneten(s. Abb. 5.1).Feiner und Ole�s (1999) fanden, da� der (A{Typ{)Antiferromagnet statt durch denantiferromagnetischen Superaustausch auch durch eine tetragonale Verzerrung stabi-lisiert werden kann. In jedem Fall sind Terme n�otig, die �uber den Hamilton{Operator(5.9) hinausgehen, um anstelle von Ferromagnetismus Antiferromagnetismus zu sta-bilisieren.Literatur zu Modellen mit elektronischen KorrelationenDie besprochenen Kugel'{Khomski��{artigen Modelle mit Spin{ und Orbital{Freiheits-graden sind nur ein Grenzfall der zugrunde liegenden elektronischen Modelle. Elek-tronische Modelle mit Coulomb{Wechselwirkung wie etwa Hamilton{Operator (5.9),also stark korrelierte Systeme, sind im Kontext der CMR{Materialien bislang kaumuntersucht worden. Einige Arbeiten besch�aftigen sich mit der spin{polarisierten ferro-

132 5. Elektronische Korrelationen in Manganatenmagnetischen Phase. So untersuchte Rozenberg (1998) den Metall{Isolator{�Ubergangim CMR{Modell (5.9) ohne t2g{Spin und ohne Hundsche{Kopplung F0 in der Dy-namischen Molekularfeld{Theorie (DMFT). Die ferromagnetische Phase, die geradedurch die vernachl�assigten Terme entsteht, wurde dabei durch ein �au�eres Magnetfeldstabilisiert.Weitere Arbeiten in der vollst�andig spin{polarisierten Phase �ndet man etwa beiMotome und Imada (1999) und Imada (1998), die ein Hubbard{Modell mit zwei or-bitalen anstelle der �ublichen Spin{Freiheitsgrade untersuchten. Mit Quanten{Monte{Carlo{(QMC{)Simulationen (Motome und Imada, 1999) wurde au�erdem die isolie-rende Phase bei x = 0 untersucht. Dar�uberhinaus konnte Imada (1998) unter Vor-aussetzung einer anisotropen Dispersion �k mit einem Skalenansatz in der N�ahe zumMott{�Ubergang eine Phase mit einem kleinen Drude{Gewicht bei einem gleichzei-tig kleinen Sommerfeld{Koe�zienten der spezi�schen W�arme beschreiben. Dies wirdauch experimentell beobachtet und widerspricht einem einfachen Quasiteilchen{Bild,in dem das Drude{Gewicht antiproportional und der lineare Koe�zient der spezi�-schen W�arme proportional zum Quasiteilchen{Gewicht ist.Eine perturbative Berechnung der optischen Leitf�ahigkeit des orbitalen Hubbard{Modells bei schwacher Coulomb{Wechselwirkung �ndet man bei Takahashi und Shiba(1998). Kilian und Khaliullin (1998) berechneten ebenfalls die optische Leitf�ahigkeitin einem verwandten Modell, dem orbitalen t{J{Modell mit der \Slave"{Boson{Molekularfeld{Theorie. Au�erdem studierten Wurth und M�uller-Hartmann (1998)die Instabilit�at der vollst�andigen Spin{Polarisation in einem Einband{Kondo{Gitter{Modell mit zus�atzlicher Hubbard{Wechselwirkung variationell.Aufbau des KapitelsIm folgenden wird nun das elektronische Modell f�ur Manganate, Glg. (5.9), im Rah-men der DMFT bei endlichen Temperaturen untersucht. Abschnitt 5.2 besprichtzun�achst die analytische L�osung des ferromagnetischen Kondo{Gitter{Modells nachFurukawa (1994) und dann die numerische L�osung des elektronischen Modells f�urManganate in der DMFT.In den Abschnitten 5.3 und 5.4 werden neue Ergebnisse f�ur die Spektralfunktionbzw. die optische Leitf�ahigkeit in der paramagnetischen Phase pr�asentiert. Insbe-sondere wird untersucht, welchen Ein u� elektronische Korrelationen haben, die imferromagnetischen Kondo{Gitter{Modell nicht ber�ucksichtigt werden.Abschnitt 5.5 behandelt den �Ubergang zur ferromagnetischen Phase. Das wich-tigste Resultat ist, da� sich die mikroskopische Ursache f�ur den Ferromagnetismusmit Ca{Dotierung x vom Doppelaustausch des Kondo{Gitter{Modells bei x / 1 zumSuperaustausch Kugel'{Khomski��{artiger Modelle bei x = 0 �andert.

5.2. Dynamische Molekularfeld{Theorie f�ur Manganat{Modelle 1335.2 Dynamische Molekularfeld{Theorie f�urManganat{ModelleAnalytische L�osung des Kondo{Gitter{ModellsDas Kondo{Gitter{Modell, Glg. (5.5), l�a�t sich nach Furukawa (1994) in der DMFTanalytisch l�osen. Der Grund hierf�ur ist, da� das Einplatz{Problem von eg{Elektronenund t2g{Spin in der DMFT f�ur den Hamilton{Operator, Glg. (5.5), mit einem klas-sischen oder Ising{artigen t2g{Spin Szi = �1 f�ur jede Spin{Richtung ein Einteilchen{Problem ist. Die lokale Green{Funktion f�ur Orbital �, Spin � und Matsubara{Fre-quenz !n = (2n+1)�=� lautet als Funktional{Integral �uber den Grassmann{Variablen und � (s. Negele und Orland (1987)):G��n = � 1Z XSzi =�1 Z D[ ]D[ �] ��n ���n� exp(X�0�0n0 ��0�0n0 G�1�0�0n0 �0�0n0 + J X�0�0n0 �0 ��0�0n0 �0�0n0 Szi)(5.10)mit G�1 = G�1 + � (�: Selbstenergie; G: Green{Funktion) und der ZustandssummeZ = XSzi =�1Z D[ ]D[ �] exp(X�0�0n0 ��0�0n0 G�1�0�0n0 �0�0n0 + J X�0�0n0 �0 ��0�0n0 �0�0n0 Szi) :Dieses Einteilchen{Problem hat f�ur einen Ising{Spin Szi eine e�ektive Wirkung, diequadratisch in den Grassmann{Variablen und � ist. Damit l�a�t es sich durcheine einfache Gauss{Integration l�osen. Mit jSzi j = 1 ergibt sich:G��n = h�G�1��n + �JSzi ��1iSzi= 12 1G�1��n + J + 12 1G�1��n � J : (5.11)Die gleiche Formel (5.11) erh�alt man auch, wenn die Mittelung h� � � iSzi �uber denWinkel eines klassischen Spins anstelle eines Ising{Spins Szi erfolgt. F�ur den Spin{3/2der t2g{Elektronen kann man erwarten das Quanten{Fluktuationen bereits wenigerstark sind als z. B. f�ur einen Spin{1/2 und die klassische Behandlung daher eine guteApproximation ist.Die Gleichung (5.11) ist selbstkonsistent mit der k{integrierten Dyson{GleichungG��n = 1Z�1 d" N0(")i!n + �� ���n � " (5.12)

134 5. Elektronische Korrelationen in Manganatenzu l�osen. Je nach verwendeter Zustandsdichte kann die L�osung vollst�andig analytischoder beliebig genau durch ein einfaches Iterationsschema geschehen. Auf letztere Wei-se wurden die Ergebnisse zur paramagnetischen Zustandsdichte des Kondo{Gitter{Modells mit Bethe{Zustandsdichte in Abschnitt 5.3 gewonnen.Suszeptibilit�atDie nachfolgenden Schritte unterscheiden sich von Furukawa (1998), bei dem das�au�ere Feld nur an die t2g{Spins koppelt. In der paramagnetischen Phase ist dieGreen{Funktion Gn unabh�angig vom Spin � und Orbital{Index �. Ein kleines Ma-gnetfeld h f�uhrt zu einer entsprechend kleinen �Anderung der Green{FunktionG��n = Gn + �mnh: (5.13)Dabei ist mn eine im allgemeinen frequenzabh�angige Magnetisierung. F�ur die Bethe{Zustandsdichte f�uhrt die k{integrierte Dyson{Gleichung auf (s. Georges et al. (1996))G�1��n = G�1��n + ���n= i!n + �+ �h� t2G��n= i!n + �+ �h� t2Gn � t2�mnh: (5.14)Setzt man diese Form der k{integrierten Dyson{Gleichung in Glg. (5.11) ein, soerh�alt man eine einzige Selbstkonsistenz{Gleichung f�ur das Kondo{Gitter{Modell inder DMFT:Gn + �mnh= � 1i!n + �+ �h� t2Gn � t2�mnh+ �JSzi �Szi= XSz det[G�1" + JSz] det[G�1# � JSz] expf�gSSzhgP ~Sz det[G�1" + J ~Sz] det[G�1# � J ~Sz] expf�gS ~Szhg� 1i!n + �+ �h� t2Gn � t2�mnh + �JSz= XSz Qn0�0 �i!n0 + �+ �0h� t2Gn0 � t2�0mn0h + �0JSz� expf�gSSzhgP ~SzQn00�00 �i!n00 + �+ �00h� t2Gn00 � t2�00mn00h+ �00J ~Sz� expf�gS ~Szhg� 1i!n + �+ �h� t2Gn � t2�mnh + �JSz : (5.15)Hierbei ist gS der Land�e{Faktor f�ur den t2g{Spin, der die St�arke der Kopplung diesesSpins an das Magnetfeld beschreibt. Die Determinaten und die Exponentialfunktionentstammen der Mittelung h� � � iSzi , bei der gem�a� Glg. (5.10) ein Funktionalintegral

5.2. Dynamische Molekularfeld{Theorie f�ur Manganat{Modelle 135�uber Matsubara{Frequenzen eingeht. Bei der letzten Umformung ist zu beachten, da�G diagonal in n ist und keine Abh�angigkeit von � und � besteht. Entwickelt man indem Ausdruck (5.15) die einzelnen Terme in h, so erh�alt man bis auf Terme von derOrdnung h2Gn + �mnh= XSz �1 +Pn0�0 �t2�0mn0h+�0hi!n0+��t2Gn0+�0JSz� f1 + �gSSzhgP ~Sz �1 +Qn00�00 �t2�00mn00h+�00hi!n00+��t2Gn00+�00J ~Sz� f1 + �gS ~Szhg� 1i!n + �� t2Gn + �JSz � �t2�mnh+ �h�i!n + �� t2Gn + �JSz�2!= i!n + �� t2Gn(i!n + �� t2Gn)2 � J2 + �h��� (i!n + �� t2Gn)2 + J2f(i!n + �� t2Gn)2 � J2g2 (�t2mn0 + 1)� �gSJ(i!n + �� t2Gn)2 � J2+2J2Xn0 �t2mn0 + 1f(i!n + �� t2Gn)2 � J2g2 1(i!n + �� t2Gn)2 � J2# : (5.16)Der Quotientenvergleich f�ur den h0 und den h1 Term liefert zwei Iterationsschemata,um zun�achst Gn= i!n + �� t2Gn(i!n + �� t2Gn)2 � J2 (5.17)und daraus dann auch mn zu berechnen. Letzteres f�uhrt direkt auf die ferromagneti-sche Suszeptibilit�at� = X� @[n�" � n�#]@h = X� @[G�"(� = 0+)�G�#(� = 0+)]@h = 4Xn mnei!n0+:(5.18)Mit diesem analytischen Ausdruck f�ur die ferromagnetische Suszeptibilit�at wurde diekorrekte Implementation des QMC{Algorithmus, wie in Abschnitt 1.3 beschrieben,�uberpr�uft.Numerische L�osung eines Modells mit elektronischen Korre-lationenWird zus�atzlich zum Kondo{Gitter{Modell die Coulomb{Absto�ung innerhalb dereg{Orbitale in dem elektronischen Modell (5.9) ber�ucksichtigt, so erh�alt man ein

136 5. Elektronische Korrelationen in Manganatenentsprechend komplizierteres Einplatz{Problem. Anstelle von Glg. (5.10) lautet dieGreen{Funktion des korrelierten SystemsG��n = � 1Z XSz=�1 Z D[]D[�]��n���n expA[�; ; Sz;G�1] (5.19)mit Zustandssumme Z undA[�; ; Sz;G�1] = X��n ���n �G�1��n + �JSz� ��n (5.20)�UX� �Z0 d� ��"(�) �"(�) ��#(�) �#(�)� X�<�0;��0(V0����0F0) �Z0 d� ���(�) ��(�) ��0�0(�) �0�0(�):Die Selbstkonsistenzgleichung, die k{integrierte Dyson{Gleichung (5.12), �andert sichnicht.F�ur die folgenden Resultate wurde das Einplatz{Problem (5.19) numerisch mitHilfe von Quanten{Monte{Carlo{(QMC{)Simulationen gel�ost und mit der Selbst-konsistenzgleichung (5.12) bis zur Konvergenz iteriert. Der hierzu entwickelte QMC{Algorithmus wurde in Abschnitt 1.3 vorgestellt.5.3 Spektralfunktion in der paramagnetischenPhaseIn diesem und dem folgenden Abschnitt soll der Ein u� elektronischer Korrelationen,d. h. der Coulomb{Wechselwirkungen innerhalb der eg{Orbitale, auf die Eigenschaf-ten der paramagnetischen Phase mit Hilfe der Dynamischen Molekularfeld{Theorieuntersucht werden. Diese Coulomb{Wechselwirkungen werden im ferromagnetischenKondo{Gitter{Modell gerade vernachl�assigt, obwohl sie mit U; V0 � 8eV die gr�o�teEnergieskala bilden. Ein geeignetes elektronisches Modell f�ur die Manganate, das dieCoulomb{Absto�ung ber�ucksichtigt, ist der Hamilton{Operator (5.9).Bei der numerischen QMC{L�osung der DMFT{Gleichungen wurde die Green{Funktion G(i!n) in Abh�angigkeit von imagin�aren Frequenzen i!n bestimmt. MitHilfe der Maximum{Entropie{Methode (s. Abschnitt 1.4) konnte hieraus die Green{FunktionG(!) bei reellen Frequenzen ! gewonnen werden. Deren Imagin�arteil ImG(!)entspricht wiederum der Spektralfunktion der Einteilchen{AnregungenA(!) = � 1� ImG(!): (5.21)

5.3. Spektralfunktion in der paramagnetischen Phase 137Multipliziert mit der Fermi{Funktion liefert A(!) einen theoretischen Ausdruck f�urdas Photoemissions{Spektrum.Abb. 5.8 zeigt die Spektralfunktion A(!) in der paramagnetischen Phase f�ur eineeg{Elektronen{Dichte n = 0:7 (Ca{Dotierung x = 0:3), eine Bethe{Zustandsdichtemit Bandbreite W = 4, Coulomb{Wechselwirkungen in den eg{Orbitalen von U = 8,F0 = 1 und V0 = U � 2F0 = 6. Hierbei wurden alle Einheiten auf die Bandbreitebezogen, was in eV (mit der experimentell beobachteten Bandbreite) realistischenParametern f�ur Manganate wie LaxCa1�xMnO3 entspricht (Bandstrukturrechnungensagen dagegen W = 1 � 2eV voraus; s. S. 130). Um den Ein u� der HundschenKopplung J zwischen eg{Elektronen und t2g{Spin zu studieren, sind in Abb. 5.8 Er-gebnisse f�ur zwei unterschiedliche Kopplungsst�arken J = 1 und J = 2 dargestellt.3Zum Vergleich ist die Spektralfunktion des ferromagnetischen Kondo{Gitter{Modellsohne elektronische Korrelationen angegeben. In diesem Modell kommt es mit zuneh-mendem J zu einer Aufspaltung der halb{elliptischen Zustandsdichte in zwei B�andermit Abstand 2J .Wird die Coulomb{Wechselwirkung innerhalb der eg{B�ander ber�ucksichtigt, so�andert sich das Spektrum drastisch. Es bildet sich ein Satelliten{Band im Bereich derSt�arke der Coulomb{Wechselwirkung V0. Dieses beschreibt Einteilchen{Anregungenmit einer lokalen Doppelbesetzung. Aufgrund der Ungenauigkeit der Maximum{Entropie{Methode bei gr�o�eren Frequenzen, l�a�t sich allerdings nicht de�nitiv sagen,ob dieses Satelliten{Band aus einer einzigen breiten Struktur besteht, wie Abb. 5.8suggeriert, oder noch eine innere Struktur mit mehreren Maxima besitzt. Genauer istdie Maximum{Entropie{Methode dagegen in der N�ahe der Fermi{Energie (! = 0).Hier reduzieren die elektronischen Korrelationen das spektrale Gewicht in einem Be-reich von ! = �2 (eV), wobei die Spektralfunktion an der Fermi{Kante selbst nahezuunver�andert bleibt. Es entsteht ein ausgepr�agter Peak an der Fermi{Kante.Insgesamt ergibt sich eine deutliche Verbreiterung der eg{B�ander durch elektro-nische Korrelationen. Aus diesem Grund wurde die Rechnung f�ur die BandbreiteW = 2, die Bandstrukturrechnungen liefern, wiederholt. Abb. 5.9 zeigt, da� auchf�ur eine nicht{wechselwirkende Bandbreite von W = 2 die Coulomb{Wechselwirkungzu breiten B�andern f�uhrt. M�oglicherweise ist der Unterschied zwischen Experiment(W = 3 � 4eV f�ur " und #{Band) und Bandstrukturrechnung (W = 1 � 2eV) alsodurch die elektronischen Korrelationen bedingt, die die Breite der eg{B�ander erh�ohen.Die Temperaturabh�angigkeit der Spektren ist gering. F�ur das Kondo{Gitter{Modellist das Spektrum sogar vollst�andig unabh�angig von der Temperatur.Nicht erkl�aren k�onnen die Spektren Abb. 5.8 und Abb. 5.9 die experimentelle Be-obachtung einer Energiel�ucke an der Fermi{Kante, innerhalb der sich nur sehr wenig3Dies liegt oberhalb und unterhalb von J = 3=2, was f�ur F0 = 1 einer Hundschen Kopplungentspricht, die unabh�angig von den beteiligten Orbitalen ist. Da der t2g{Spin drei Elektronen be-schreibt, gilt J jSzj � 3=2F0. Hier ist jSZ j � 1.

138 5. Elektronische Korrelationen in Manganaten

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

A(ω)

U=0 U=8, T=0.2 U=8, T=0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

−2 0 2 4 6 8 10 12

A(ω)

ω

U=0 U=8, T=0.2U=8, T=0.1

Abbildung 5.8: Spektralfunktion A(!) als Funktion der Frequenz ! relativ zur Fermi{Energie des elektronischen Modells f�ur Manganate (5.9) bei einer Ca{Dotierung x = 0:3(n = 0:7), einer Bethe{Zustandsdichte mit BandbreiteW = 4, Coulomb{Wechselwirkungenzwischen den eg{Orbitalen von U = 8, F0 = 1 und V0 = U � 2F0 = 6 sowie einer Kopplungder eg{Elektronen an den t2g{Spin der St�arke J = 1 (oben) bzw. J = 2 (unten). ZumVergleich ist die Spektralfunktion des ferromagnetischen Kondo{Gitter{Modells (U = F0 =V0 = 0; gepunktete Kurve) eingetragen. Elektronische Korrelationen f�uhren zu einem oberenSatelliten{Band im Bereich der Coulomb{Wechselwirkung V0 und auch zu einer Reduktiondes spektralen Gewichts im unteren Band in der Umgebung der Fermi{Energie.

5.4. Optische Leitf�ahigkeit in der paramagnetischen Phase 139

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

−2 0 2 4 6 8 10 12 14

A(ω)

ω

U=0 U=8, T=0.2 U=8, T=0.125

Abbildung 5.9: Spektralfunktion A(!) als Funktion der Frequenz ! (Fermi{Energie bei! = 0) f�ur x = 0:3 (n = 0:7), W = 2, U = 8, F0 = 1, V0 = U � 2F0 = 6 und J = 3=2. Diegepunktete Kurve ist die Spektralfunktion des ferromagnetischen Kondo{Gitter{Modells(U = F0 = V0 = 0).spektrales Gewicht be�ndet, s. Abb. 5.3. Diese Energiel�ucke oder Quasi{Energiel�uckebei verschiedenen Dotierungen x ist ein Charakteristikum der ungew�ohnlichen para-magnetischen Phase der Manganate. Eine andere experimentelle Beobachtung ausAbb. 5.3 wird jedoch korrekt beschrieben: Bei Ber�ucksichtigung der elektronischenKorrelationen wird f�ur x = 0:3 spektrales Gewicht aus dem unteren eg{Band in dasobere transferiert.5.4 Optische Leitf�ahigkeit in der paramagnetischenPhaseAus dem Imagin�arteil der Green{Funktion bzw. der Spektralfunktion wurde mittelsKramers{Kronig{Transformation auch deren Realteil und daraus die Selbstenergie inAbh�angigkeit von reellen Frequenzen ! berechnet. Der Imagin�arteil der Selbstenergiean der Fermi{Kante ist f�ur das ferromagnetische Kondo{Gitter{Modell (5.5) und auchf�ur das Modell mit elektronischen Korrelationen (5.9) endlich. Die Anregungen des

140 5. Elektronische Korrelationen in ManganatenKondo{Gitter{Modells bei kleinen Energien lassen sich also nicht durch Quasiteilchenim Rahmen einer Fermi{Fl�ussigkeits{Theorie beschreiben. Der Grund hierf�ur ist,da� die t2g{Spins in der hochentarteten paramagnetischen Phase ungeordnet sind,und daher die Eigenzust�ande der eg{Elektronen keinen festen Impuls haben k�onnen.Genau der gleiche Mechanismus f�uhrt auch im Falikov{Kimball{Modell, das in derDMFT die gleiche Selbstenergie wie das Kondo{Gitter{Modell hat (Furukawa, 1994),zu einem Verhalten, das nicht durch eine Fermi{Fl�ussigkeit beschrieben werden kann.Aus der Selbstenergie � bei reellen Frequenzen ! l�a�t sich die Green{Funktionder paramagnetischen Phase in Abh�angigkeit des Impulses k berechnen:Gk(!) = 1! + �� �(!) + i� � �k : (5.22)Hierbei dient � = 1=100 der k�unstlichen Verbreiterung von Delta{Peaks in der Green{Funktion auf eine endliche Breite und H�ohe.Da in der DMFT Vertex{Korrekturen zur optischen Leitf�ahigkeit �(!) entfallen,l�a�t sich �(!) direkt aus der k{abh�angigen Green{Funktion bestimmen, s. Georgeset al. (1996):Re�(!)=� 1� 18�3 Z d3k 1Z�1 d!0 ImGk(!0)ImGk(!0+!) f(!)�f(!0+!)! (5.23)mit der Fermi{Funktion f(!) = 1=[1 + exp(�!)]. Glg. (5.23) enth�alt gerade denBeitrag des einfachen Teilchen{Loch{Diagramms zur optischen Leitf�ahigkeit [Gk(!0+!) ist der Propagator des Teilchens; Gk(!0) der des Lochs].Zur Berechnung der optischen Leitf�ahigkeit nach dem beschriebenen Vorgehenwurde ein Programm von Bl�umer verwendet.Abb. 5.10 zeigt die optische Leitf�ahigkeit bei einer Ca{Dotierung x = 0:3 (n =0:7), einer Bandbreite W = 2, Coulomb{Wechselwirkungen U = 8, F0 = 1, V0 =U � 2F0 = 6 und einer Kopplungsst�arke an den t2g{Spin J = 3=2. Bereits imKondo{Gitter{Modell (gepunktete Kurve) ist die optische Leitf�ahigkeit bei kleinenFrequenzen gegen�uber dem nicht{wechselwirkenden Modell (gestrichpunktete Kurve)erheblich reduziert. Anstelle des Drude{Peaks des nicht{wechselwirkenden Systems(J = 0; gestrichpunktete Linie) mit einer Gleichstrom{Leitf�ahigkeit von �(0) � 12bei T = 0:125 (� = 1=100) betr�agt die Gleichstrom{Leitf�ahigkeit im Kondo{Gitter{Modell lediglich �(0) � 0:23. Der Grund hierf�ur sind starke Streuungen der eg{Elektronen an den ungeordneten t2g{Spins bzw. ein endlicher Imagin�arteil der Selbst-energie bei der Fermi{Energie. Da sich die Anregungen des Kondo{Gitter{Modellsnicht als Quasiteilchen einer Fermi{Fl�ussigkeit beschreiben lassen, verliert aber auchdas Konzept eines Drude{Peaks in der optischen Leitf�ahigkeit, der antiproportionalzum Quasiteilchen{Gewicht ist und f�ur T ! 0 zu einem Delta{Peak wird, seine

5.4. Optische Leitf�ahigkeit in der paramagnetischen Phase 141

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6

σ(ω)

ω

U=0, T=0.125U=8, T=0.2 U=8, T=0.125J=0 , T=0.125

Abbildung 5.10: Optische Leitf�ahigkeit �(!) bei Ca{Dotierung x = 0:3 (n = 0:7) f�urzwei Temperaturen und die Parameter aus Abb. 5.9, d. h. Bandbreite W = 2, Coulomb{Wechselwirkungen U = 8, F0 = 1, V0 = U�2F0 = 6 und J = 3=2. Die optische Leitf�ahigkeitbei kleinen Frequenzen ! reduziert sich gegen�uber dem Kondo{Gitter{Modell (U = F0 =V0 = 0; gepunktete Kurve) um einen Faktor zwei. �(!) unterscheidet sich erheblich vondem Drude{Peak des nicht{wechselwirkenden Systems (J = 0 und U = F0 = V0 = 0;gestrichpunktete Kurve) mit �(0) � 12 bei T = 0:125.Grundlage. Stattdessen ist die Gleichstrom{Leitf�ahigkeit in der paramagnetischenPhase des Kondo{Gitter{Modells nahezu unabh�angig von der Temperatur.Zwei Beitr�age zur optischen Leitf�ahigkeit sind in Abb. 5.10 f�ur das Kondo{Gitter{Modell zu erkennen. Bis zu einer Frequenz von ! � 1 tragen Teilchen{Loch{Paareaus dem unteren Band des Spektrums der Abb. 5.9 zur optischen Leitf�ahigkeit bei.In der Umgebung von ! = 3(= 2J) f�uhren L�ocher im unteren Band zusammen mitTeilchen im oberen Band zu einem zus�atzlichen Beitrag in der optischen Leitf�ahigkeit.Die elektronischen Korrelationen reduzieren die optische Leitf�ahigkeit bei kleinenFrequenzen noch einmal um den Faktor zwei auf �(0) � 0:13 f�ur T = 0:125. Nochdramatischere Konsequenzen haben die elektronischen Korrelationen f�ur den zweitenPeak bei ! = 3. Die Coulomb{Wechselwirkung f�uhrt anstelle des schmalen oberenBandes des Kondo{Gitter{Modells auf ein breites Anregungsspektrum im Bereichder Coulomb{Wechselwirkungsst�arke (Abb. 5.9). Damit verschwindet der Peak inder optischen Leitf�ahigkeit bei ! = 3. Stattdessen gibt es eine sehr ache Struktur,

142 5. Elektronische Korrelationen in Manganatendie in der !{Skala von Abb. 5.10 gerade noch erkennbar ist. Auch mit elektroni-schen Korrelationen wird keine starke �Anderung der optischen Leitf�ahigkeit mit derTemperatur beobachtet.5.5 Vom Doppelaustausch zum SuperaustauschNachdem der Ein u� von elektronischen Korrelationen in der paramagnetischen Pha-se besprochen wurde, soll in diesem Abschnitt deren Bedeutung f�ur den Ferromagne-tismus analysiert werden. In der Einf�uhrung, Abschnitt 5.1, wurden zwei Mechanis-men, die zum Ferromagnetismus in Manganaten f�uhren, diskutiert: der Doppelaus-tausch im Kondo{Gitter{Modell und der Superaustausch in Kugel'{Khomski��{artigenModellen. Beides ist in dem elektronischen Modell f�ur Manganate (5.9) als Grenzfallenthalten.Ohne Coulomb{Wechselwirkungen innerhalb der beiden eg{Orbitale reduziert sichder Hamilton{Operator (5.9) auf das Kondo{Gitter{Modell (5.5). In welchen Grenz-f�allen kann die lokale Coulomb{Absto�ung innerhalb und zwischen den beiden eg{Orbitale (U bzw. V0) vernachl�assigt werden? Da V0 und U mit ca. 8eV die gr�o�teEnergieskala bilden, sind die entsprechenden Beitr�age nur dann klein, wenn es keineDoppelbesetzungen innerhalb eines Orbitals bzw. in zwei verschiedenen Orbitalen amgleichen Gitterplatz gibt. F�ur den U{Term verhindert gerade die Hundsche KopplungJ mit dem t2g{Spin eine Doppelbesetzung mit zwei Elektronen entgegengesetztenSpins, weil diese kein maximales lokales magnetische Moment haben. Der U{Termspielt also generell bei einer vorhandenen starken Hundschen Kopplung nur eine un-tergeordnete Rolle. Im Gegensatz dazu verhindert der V0{Term auch Kon�gurationenmit zwei eg{Elektronen auf dem gleichen Gitterplatz, deren Spins gleichgerichtet sind.Diese Kon�gurationen haben im Kondo{Gitter{Modell mit zwei B�andern inkorrekter-weise keine um V0 erh�ohte Energie. Nur wenn bei einer geringen Anzahl eg{Elektronensolche Kon�gurationen selten sind, also bei Ca{Dotierung x / 1, kann das Kondo{Gitter{Modell (5.5) die Eigenschaften des allgemeineren Modells f�ur Manganate (5.9)gut beschreiben.Die e�ektiven Modelle vom Kugel'{Khomski��{Typ bilden gerade den entgegenge-setzten Grenzfall lokalisierter Elektronen bei x = 0. Sie k�onnen aus dem allgemeinenelektronischen Modell (5.9) durch St�orungstheorie in der kinetischen Energie abgelei-tet werden. Abseits der viertel F�ullung mit einem eg{Elektron pro Gitterplatz (x = 0)werden die Elektronen beweglich, und anstelle der Kugel'{Khomski��{artigen Modellew�urde die St�orungstheorie in der kinetischen Energie wesentlich kompliziertere Mo-delle vom Typ des t{J{Modells mit einer zus�atzlichen kinetischen Energie in einemreduzierten Hilbert{Raum ohne lokale Doppelbesetzungen liefern. Hier verliert dase�ektive Modell vom Kugel'{Khomski��{Typ seine Anwendbarkeit.Die Curie{Temperatur in diesem Grenzfall starker Kopplung l�a�t sich auf sehr ein-

5.5. Vom Doppelaustausch zum Superaustausch 143fache Art im Rahmen der Weissschen Molekularfeld{Theorie berechnen. F�ur eine star-ke Hundsche Kopplung an einen t2g{Ising{Spin bilden die vier Kon�gurationen ausAbb. 5.7 [zusammen mit den Kon�gurationen, die durch die Transformationen ("!#)und (� = 1; � = 2) ! (� = 2; � = 1) entstehen] alle m�oglichen Kon�gurationen zwi-schen zwei benachbarten Gitterpl�atzen. Ist eine alternierende orbitale Ordnung vorge-geben, so sind nur noch die letzten beiden Kon�gurationen aus Abb. 5.7 erlaubt. Beieiner Magnetisierung m haben von den Z Nachbargitterpl�atzen im Mittel Z(1+m)=2einen "{Spin und Z(1�m)=2 einen #{Spin. In der Weissschen Molekularfeld{Theoriegewinnt ein "{Spin also Z(1+m)=2-mal die Energie t2=(V0�F0) und Z(1�m)=2-malt2=(V0+2J) in St�orungstheorie zweiter Ordnung in t. Die Gesamtenergie des "{Spinsbetr�agt damit E" = �Z 1 + m2 t2V0 � F0 � Z 1�m2 t2V0 + 2J : (5.24)Entsprechend hat ein #{Spin in der Weissschen Molekularfeld{Theorie die EnergieE# = �Z 1�m2 t2V0 � F0 � Z 1 +m2 t2V0 + 2J : (5.25)Dies f�uhrt zu einer statistischen Besetzung von "{ und #{Spin gem�a� dem Boltzmann{Gewicht expf��E�g und damit zu einer Magnetisierungm = tanh f� (E# � E")g = tanh�� � Zt2V0 � F0 � Zt2V0 + 2J�m� : (5.26)Die kritische Temperatur f�ur das Einsetzen der ferromagnetischen Ordnung bei vor-handener orbitaler Ordnung ist also in der Weissschen Molekularfeld{Theorie durchTc = Zt2V0 � F0 � Zt2V0 + 2J (5.27)gegeben. W�urde bei h�oheren Temperaturen nicht zun�achst eine orbitale Ordnungeintreten, so w�urden ohne orbitale Ordnung auch die Kon�gurationen eins und zweiin Abb. 5.7 beitragen. Die Curie{Temperatur w�areTc = Zt2V0 � F0 � Zt2V0 + 2J � Zt2U : (5.28)Im Gegensatz zum Grenzfall der Weissschen Molekularfeld{Theorie bei x = 0 undstarker Kopplung erfordert die L�osung des elektronischen Modells f�ur Manganate(5.9) in der DMFT aufwendige numerische Simulationen. Die Curie{Temperaturenm�ussen dabei mit Hilfe eines Curie{Weiss{Fits aus den numerischen Daten bestimmtwerden. Dieser Zwischenschritt ist in Abb. 5.11 dargestellt.

144 5. Elektronische Korrelationen in Manganaten

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

χ−1

T

n=0.2n=0.3n=0.4n=0.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

χ−1

T

n=0.6n=0.7n=0.8n=0.9

Abbildung 5.11: Curie{Weiss{Fit der Form a(T=Tc � 1) an die inverse ferromagnetischeSuszeptibilit�at ��1 als Funktion der Temperatur zur Bestimmung der �UbergangstemperaturTc in die ferromagnetisch geordnete Phase. Das so f�ur verschiedene Elektronendichten nbestimmte Tc ist in Abb. 5.12 aufgetragen.

5.5. Vom Doppelaustausch zum Superaustausch 145

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T

x

FM

PM

Abbildung 5.12: Curie{Temperatur f�ur den �Ubergang vom Paramagneten (PM) zumFerromagneten (FM) als Funktion der Ca-Dotierung x bzw. der mittleren Elektronen{Dichte n = 1 � x. Gestrichelte Kurve: Kondo{Gitter{Modell mit Bandbreite W = 2und J = 3=2; gef�ullten Quadrate: Modell korrelierter Elektronen (5.9) mit zus�atzlichenCoulomb{Wechselwirkungen U = 8, V0 = 6, F0 = 1 in den eg{Orbitalen; Kreis: WeissscheMolekularfeld{Theorie dieses Modells. Das Modell korrelierter Elektronen beschreibt den�Ubergang vom Doppelaustausch des Kondo{Gitter{Modells bei x / 1 zum SuperaustauschKugel'{Khomski��{artiger Modelle bei x = 0.Abb. 5.12 zeigt die so gewonnene Curie{Temperatur, bei der ferromagnetischeOrdnung einsetzt, in Abh�angigkeit von der Ca{Dotierung x bzw. der mittleren Anzahleg{Elektronen n = 1� x. Zus�atzlich sind die zwei Grenzf�alle des elektronischen Mo-dells f�ur Manganate (5.9) angegeben: das Kondo{Gitter{Modell (5.5) (s. Abschnitt5.2) und die Weisssche Molekularfeld{Theorie bei x = 0, Glg. (5.27). F�ur das Kondo{Gitter{Modell ist die Curie{Temperatur f�ur eine gro�e Hundsche Kopplung J propor-tional zur kinetischen Energie t und maximal bei x � 0, da bei dieser Dotierung miteinem eg{Elektron pro Gitterplatz ein Maximum an kinetischer Energie gewonnenwerden kann. Dies wird aber durch die, im Kondo{Gitter{Modell nicht ber�ucksich-tigte, Coulomb{Absto�ung verhindert. Anstelle einer Curie Temperatur Tc / t liefertdie Weisssche Molekularfeld{Theorie f�ur x = 0 und starke Coulomb{Wechselwirkungnach Glg. (5.27) Tc = Zt2=(V0 � F0)�Zt2=(V0 + 2J). Da die kinetische Energie t kleinim Vergleich zu der Coulomb{Wechselwirkung V0 ist, ist diese Curie{Temperatur we-

146 5. Elektronische Korrelationen in Manganaten

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

T

x

FM

PM

Abbildung 5.13: Wie in Abb. 5.12 aber mit einer Bandbreite W = 4 (gepunktete Linie:Fitkurve).sentlich kleiner als die Energieskala t bzw. die Curie{Temperatur des Kondo{Gitter{Modells.Das elektronische Modell f�ur Manganate (5.9) beschreibt in Abb. 5.12 das vollst�an-dige Verhalten f�ur alle Ca{Dotierungen x. F�ur x ' 0:5 ist die Vorhersage des Kondo{Gitter{Modells approximativ richtig. F�ur geringere Ca{Dotierungen spielen elektro-nische Korrelationen eine wichtige Rolle und das Kondo{Gitter{Modell �ubersch�atztdie Curie{Temperatur deutlich (bis zu einem Faktor 6 bis 7 bei x = 0). In diesemBereich ist der Doppelaustausch nicht mehr die mikroskopische Ursache f�ur den Ferro-magnetismus. Es kommt zu einem �Ubergang zum Superaustausch bei x = 0 mit einerdeutlich geringeren Curie{Temperatur. Bedingt durch diesen �Ubergang vom Dop-pelaustausch zum Superaustausch zeigt die Curie{Temperatur in Abh�angigkeit vonder Ca{Dotierung x ein Maximum, wie es auch experimentell im Phasendiagrammvon La1�xCaxMnO3 (Abb. 5.2) beobachtet wird. Dieses Maximum liegt allerdings beieiner gr�o�eren Ca{Dotierung als im Experiment. Ein anderer E�ekt, der ebenfalls einsolches Maximum in Tc erzeugen kann, ist die Jahn{Teller{Kopplung, die im Bereichx � 0 eine Rolle spielt und das Zweiband{Modell auf ein e�ektives Einband{Modellmit geringerer kinetischer Energie und Curie{Temperatur reduzieren kann.Nicht dargestellt ist im T{x{Phasendiagramm, Abb. 5.12, eine orbitale Ord-

5.6. Diskussion und Zusammenfassung 147nung, die in der Weissschen Molekularfeld{Theorie der e�ektiven Spin{ und Orbital{Modelle bei x = 0 zus�atzlich zur ferromagnetischen Ordnung auftritt. Die QMC{Simulationen zeigen bei x = 0:1 ebenfalls eine Instabilit�at der ungeordneten Phasegegen�uber orbitaler Ordnung. Die orbitale Ordnung ist allerdings bereits bei x = 0:2verschwunden. Nicht ber�ucksichtigt wird in dem elektronischen Modell (5.9) eine an-tiferromagnetische Kopplung zwischen den t2g{Spins, wie sie der Hamilton{Operator(5.8) beschreibt. Diese Kopplung f�uhrt auf nat�urliche Weise zum Antiferromagnetis-mus bei x = 0, wo keine eg{Elektronen vorliegen, und bei x = 1, falls die antiferro-magnetische Kopplung st�arker als der Superaustausch ist. Derartige antiferromagne-tische Phasen werden in La1�xCaxMnO3 (Abb. 5.2) beobachtet.Abb. 5.13 zeigt das T{x{Phasendiagramm bei einer doppelt so gro�en BandbreiteW = 4. Es zeigt sich ein �ahnliches Maximum in der Curie{Temperatur, wobei dieabsolute Temperatur des Maximums um ca. 60% gr�o�er ist. Dies entspricht bei einerdoppelten Bandbreite nicht ganz einem Faktor zwei, da die Curie{Temperatur desKondo{Gitter{Modells nur f�ur J � t wie Tc / t skaliert. Die Bedingung J � t ist inAbb. 5.13 aber nicht mehr erf�ullt. Deutlicher ist der Anstieg der Curie{Temperaturbei kleinen Dotierungen x um einen Faktor 3 bis 4, wo f�ur den Superaustausch Tc /t2=V0 skaliert.5.6 Diskussion und ZusammenfassungDie theoretische Beschreibung der elektronischen Freiheitsgrade in dotierten Manga-naten wie z. B. La1�xCaxMnO3 basiert bislang ma�geblich auf dem ferromagnetischenKondo{Gitter{Modell, bei dem der Doppelaustausch f�ur die ferromagnetische Ord-nung verantwortlich ist. In diesem Kapitel wurde gezeigt, da� elektronische Korrela-tionen, die im Kondo{Gitter{Modell vernachl�assigt werden, sehr wohl wichtig sind.Insbesondere ist die Coulomb{Absto�ung V0 zwischen zwei Elektronen in verschiede-nen Orbitalen von erheblicher Bedeutung.In der paramagnetischen Phase bewirkt diese Coulomb{Absto�ung zwischen deneg{Elektronen einen Satelliten{Peak bei ! � V0 im Spektrum (Abb. 5.8). Au�erdemwird das spektrale Gewicht in einem Bereich um die Fermi{Energie von ! = �2| nicht jedoch an der Fermi{Energie selbst | deutlich reduziert und die Breiteder B�ander erh�oht. M�oglicherweise sind elektronische Korrelationen daher die Ur-sache daf�ur, da� Bandstrukturrechnungen wesentlich schmalere eg{B�ander liefern,als experimentell beobachtet wird. Wie im Experiment (Abb. 5.3) ergibt sich eineVerschiebung von spektralem Gewicht aus dem unteren eg{Band ins obere.Die optische Leitf�ahigkeit (Abb. 5.10) bei kleinen Frequenzen wird durch elektro-nische Korrelationen um den Faktor zwei reduziert. Ein weiterer Peak in der optischenLeitf�ahigkeit des Kondo{Gitter{Modells bei ! = 2J geht �uber in eine breite Struk-tur mit einer sehr kleinen optischen Leitf�ahigkeit. Die Leitf�ahigkeit unterscheidet sich

148 5. Elektronische Korrelationen in Manganatenbereits im Kondo{Gitter{Modell deutlich von dem Drude{Peak des wechselwirkungs-freien Systems ohne Hundsche Kopplung an den t2g{Spin, denn die paramagnetischePhase l�a�t sich nicht in einem einfachen Quasiteilchen{Bild einer Fermi{Fl�ussigkeitbeschreiben. Auch wenn die paramagnetische Phase des elektronischen Modells f�ur dieManganate (5.9) keine Fermi{Fl�ussigkeit ist, so erkl�art sie doch nicht die ungew�ohn-lichen Eigenschaften der paramagnetischen isolierenden Phase der CMR{Manganate,die im Bereich der Fermi{Energie nur ein extrem kleines spektrales Gewicht in derPhotoemissions{Spektroskopie und der optischen Leitf�ahigkeit zeigen. Gitterfreiheits-grade, die in dieser Arbeit nicht ber�ucksichtigt wurden, k�onnen hierf�ur m�oglicherweiseeine wichtige Rolle spielen. Bislang gibt es in der Literatur aber noch keine mikrosko-pische Theorie, die die ungew�ohnlichen Eigenschaften der paramagnetischen Phasebeschreibt.F�ur die mikroskopische Ursache des Ferromagnetismus wurde in dieser Arbeit ein�Ubergang vom Doppelaustausch des Kondo{Gitter{Modells zum Superaustausch beiCa{Dotierung x = 0 gefunden. Das Kondo{Gitter{Modell liefert nur eine verl�a�licheCurie{Temperatur f�ur eine Ca{Dotierung x > 0:5 bzw. eine eg{Elektronendichte proGitterplatz von n < 0:5. In diesem Bereich sind Doppelbesetzungen selten und dieCoulomb{Absto�ung V0 spielt eine weniger wichtige Rolle. Das Modell mit elektroni-schen Korrelationen kann f�ur n < 0:5 durch das Kondo{Gitter{Modell approximativbeschrieben werden.Der Transferproze� zwischen den Mangan{Gitterpl�atzen t erfolgt indirekt �uber dieSauersto�{Orbitale und ist daher klein gegen�uber der Coulomb{Wechselwirkung V0.Aus diesem Grund ist der Superaustausch bei x = 0 (Tc / t2=V0) in den Manganatenerheblich kleiner als der Doppelaustausch (Tc / t). Dies f�uhrt beim �Ubergang vomDoppelaustausch zum Superaustausch zu einem Maximum in der Curie{Temperaturals Funktion der Ca{Dotierung (Abb. 5.12). Dieses Maximum wird experimentell inLa1�xCaxMnO3 beobachtet (Abb. 5.2). Die Theorie sagt allerdings eine etwas zu gro�eCa{Dotierung x f�ur dieses Maximum voraus. Die Ursache f�ur diese Diskrepanz liegtm�oglicherweise in einer antiferromagnetischen Kopplung zwischen benachbarten t2g{Spins, die hier nicht betrachtet wurde. Diese antiferromagnetische Kopplung f�uhrtauch zu zus�atzlichen antiferromagnetischen Phasen bei x � 0 und x � 1, wie sieexperimentell in La1�xCaxMnO3 beobachtet werden.

149ZusammenfassungZu den mikroskopischen Ursachen des FerromagnetismusIn Kapitel 2 wurde in der Dynamischen Molekularfeld{Theorie (DMFT) gezeigt, da�die Hundsche Kopplung bei einer orbitalen Entartung ein sehr e�ektiver Mechanis-mus zur Stabilisierung ferromagnetischer Ordnung in einem gro�en Bereich elektro-nischer Dichten ist. Bei typischen Parameterwerten f�ur �Ubergangsmetalle, d. h. einerCoulomb{Wechselwirkung von U = 4eV, einer Hundsche Kopplung von F0 = 1eVund einer Bandbreite von 4eV, ergeben sich f�ur das F�unfband{Modell �Ubergangstem-peraturen von ca. 2000K. Bislang war der Mechanismus einer Hundschen Kopplungbei orbitaler Entartung vor allem bei viertel F�ullung in einem Zweiband{Modell mite�ektiven Kugel'{Khomski��{Modellen beschrieben worden. Diese F�ullung ist jedochkeineswegs ausgezeichnet f�ur den Ferromagnetismus, wohl aber f�ur eine alternierendeorbitale Ordnung, denn letztere ist nur in der N�ahe von viertel F�ullung stabil.Ein detaillierter Vergleich von drei m�oglichen Ursachen f�ur den Ferromagnetismusin der DMFT zeigt, da� die Hundsche Kopplung bei orbitaler Entartung und eineasymmetrische Zustandsdichte sehr �ahnliche Phasendiagramme und Spektralfunktio-nen haben. Der dritte untersuchte Mechanismus, die N�achst{Nachbar{Austausch{Wechselwirkung, weicht deutlich von den beiden anderen ab und kann nicht die Ur-sache f�ur den metallischen Ferromagnetismus in Eisen, Kobalt und Nickel sein. Obdie Hundsche Kopplung bei orbitaler Entartung oder eine asymmetrische Zustands-dichte oder beide Mechanismen zusammen ma�geblich f�ur den Ferromagnetismus der�Ubergangsmetalle sind, bleibt nach wie vor o�en.Zum Metamagnetismus stark anisotroper AntiferromagnetenIn einem �au�eren Magnetfeld H verschwindet die antiferromagnetische Ordnung desHubbard{Modells mit Vorzugsrichtung in einem metamagnetischen Phasen�ubergang.In diesem Modell �ndet bei halber F�ullung mit abnehmender Coulomb{Wechsel-wirkung U ein �Ubergang von einem spinartigen Heisenberg{Antiferromagneten zueinem bandartigen Slater{Antiferromagneten statt. Dabei f�uhren die Ergebnisse ausKapitel 3 auf folgendes Szenario f�ur die Ordnung des metamagnetischen Phasen�uber-gangs: Bei starker Coulomb{Wechselwirkung U zeigt die St�orungstheorie vierter Ord-

150 Zusammenfassungnung ausschlie�lich metamagnetische Phasen�uberg�ange zweiter Ordnung. Bei mitt-lerer Coulomb{Wechselwirkung (U=Bandbreite) liegen in der DMFT bei tiefen Tem-peraturen T Phasen�uberg�ange erster und bei h�oherer Temperatur Phasen�uberg�angezweiter Ordnung vor. Mit weiter abnehmender Coulomb{Wechselwirkung nimmt derBereich mit Phasen�uberg�angen zweiter Ordnung weiter ab, es liegen fast ausschlie�-lich Phasen�uberg�ange erster Ordnung vor. Dies sagt auch die Hartree{Fock{Approxi-mation in diesem Bereich voraus, die f�ur U ! 0 nach Bostanov und van Dongen(1999) eine erneute Zunahme der Phasen�uberg�ange zweiter Ordnung zeigt.Am metamagnetischen Phasen�ubergang �andert sich die Leitf�ahigkeit des Systemszum Teil erheblich. Im Bereich des Slater{Antiferromagneten f�ur kleine Coulomb{Wechselwirkung kommt es zu einem Isolator{Metall{�Ubergang im Magnetfeld, w�ah-rend im Bereich des Heisenberg{Antiferromagneten f�ur gro�e Coulomb{Wechselwir-kung ein �Ubergang von einem antiferromagnetischen Isolator zu einem ferromagne-tischen Isolator beobachtet wird.In Kapitel 3 wurde auch das metamagnetische Verhalten abseits halber F�ullunguntersucht. Hier liegt bei nicht zu tiefen Temperaturen und nicht zu gro�en Do-tierungen ein antiferromagnetisches Metall vor. In dieser metallischen Phase ist dermetamagnetische Phasen�ubergang in der Magnetisierungskurve m(H) wesentlich we-niger ausgepr�agt. Wie schon im Fall des metamagnetischen Isolators �andert sich auchim metamagnetischen Metall die elektronische Kompressibilit�at am Phasen�ubergangstark. Dies deutet auf einen �Ubergang zwischen zwei Phasen mit stark verschiedenerLeitf�ahigkeit.Zum Kondo{Volumen{Kollaps{ und Mott- �Ubergangs{ModellIntegriert man die d{Elektronen des Periodischen Anderson{Modells (PAM) aus, soreduziert sich dieses auf ein e�ektives Einband{Modell mit einem retardierten Poten-tial. In Kapitel 4 wurde anhand des numerischen Vergleichs in der DMFT gezeigt,da� dieses im Vergleich zum Einband{Hubbard{Modell etwas kompliziertere Poten-tial bei halber Bandf�ullung und endlichen Temperaturen nicht zu einem Unterschiedim physikalischen Verhalten der beiden Modelle f�uhrt. Im Gegenteil, die elektronischeKompressibilit�at, die Spektralfunktion und das Quasiteilchen{Gewicht (bzw. die ef-fektive Masse) verhalten sich in beiden Modellen am Mott{�Ubergang sehr �ahnlich.Die Phasendiagramme in Abh�angigkeit von der Temperatur und dem Verh�altnis ausWechselwirkung und f{d{ (PAM) bzw. f{f{ Hybridisierung (Hubbard{Modell) mitMott{�Ubergang und antiferromagnetischer Ordnung sind topologisch identisch.Die beobachtete �Ahnlichkeit ist von Bedeutung f�ur die Theorie des Volumen{Kollapses in Cer, denn die beiden kontrovers in der Literatur diskutierten Szenarieneines Mott-�Ubergangs und eines Kondo{Volumen{Kollapses beruhen gerade auf demMott{�Ubergang des Hubbard{Modells und der St�orstellen{Approximation des PAM.Kapitel 4 zeigt, da� diese Szenarien nicht widerspr�uchlich sondern �ahnlich sind.

Zusammenfassung 151Am Mott{�Ubergang wurde in der Energie als Funktion der Hybridisierung tdf bzw.des Volumens eine stark konkave Struktur beobachtet. Diese kann wie im Kondo{Volumen{Kollaps{Szenario zu einer thermodynamischen Instabilit�at und damit zueinem Phasen�ubergang zwischen einer itineranten und einer lokalisierten Phase beizwei verschiedenen Volumina f�uhren. Die berechnete Druck{Volumen{Di�erenz zwi-schen itineranter und lokalisierter Phase V�P=2 = 0:5eV ist mit der experimentellenV (P ){Kurve konsistent.Zu den elektronischen Modellen f�ur ManganateDer Doppelaustausch{Mechanismus, wie er durch das ferromagnetische Kondo{Git-ter{Modell beschrieben wird, wurde bislang haupts�achlich f�ur die ferromagnetischeOrdnung in Manganaten wie z. B. La1�xCaxMnO3 verantwortlich gemacht. In Ka-pitel 3 wurde gezeigt, da� elektronische Korrelationen, die im Kondo{Gitter{Modellvernachl�assigt werden, sehr wohl wichtig sind. Insbesondere ergibt sich mit abnehmen-der Ca{Dotierung ein �Ubergang vom Doppelaustausch im Bereich 0:5 < x < 1 zumSuperaustausch bei x � 0 als mikroskopischer Mechanismus f�ur den Ferromagnetis-mus. Da der e�ektive Mangan{Mangan{Transfer t klein ist gegen�uber der Coulomb{Wechselwirkung V0, ist der Superaustausch (Curie{Temperatur Tc / t2=V0) erheblichkleiner als der Doppelaustausch (Tc / t). Es kommt daher zu einem charakteristischenMaximum in der Curie{Temperatur als Funktion der Ca{Dotierung, wie dies expe-rimentell | allerdings bei einer etwas kleineren Ca{Dotierung | in La1�xCaxMnO3beobachtet wird (Schi�er et al., 1995).Auch in der paramagnetischen Phase sind elektronische Korrelationen wichtig.Sie f�uhren zu einem Satelliten{Peak in der Spektralfunktion und einer deutlichenReduktion des spektralen Gewichts in der Umgebung der Fermi{Energie. Dar�uberhinaus wird die optische Leitf�ahigkeit bei kleinen Frequenzen durch elektronischeKorrelationen um einen Faktor zwei reduziert und ein weiteres Maximum in der op-tischen Leitf�ahigkeit des Kondo{Gitter{Modells bei h�oheren Frequenzen extrem ab-geschw�acht. Zwar entspricht die paramagnetische Phase nicht einer einfachen Fermi{F�ussigkeit, sondern hat eine Selbstenergie mit endlichem Imagin�arteil an der Fermi{Energie. Trotzdem lassen sich mit dem Modell korrelierter Elektronen die ungew�ohn-lichen Eigenschaften der paramagnetischen isolierenden Phase der Manganate miteinem extrem kleinen spektralen Gewicht an der Fermi{Kante nicht beschreiben.

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Ver�o�entlichungen 165Ver�o�entlichungen

Teile der Kapitel 2 und 3 wurden an folgenden Stellen ver�o�entlicht:K. Held, M. Ulmke, N. Bl�umer und D. Vollhardt, \Correlated{electron theory ofstrongly anisotropic metamagnets", Phys. Rev. B 56, 14469 (1997).D. Vollhardt, N. Bl�umer, K. Held, M. Kollar, J. Schlipf und M. Ulmke, \Non{perturbative approaches to magnetism in strongly correlated electron systems", Z.Phys. B 103, 283 (1997).K. Held und D. Vollhardt, \Microscopic conditions favoring itinerant ferromagnetism:Hund's rule coupling and orbital degeneracy", Euro. Phys. J. B 5, 473 (1998).D. Vollhardt, N. Bl�umer, K. Held, M. Kollar, J. Schlipf, M. Ulmke und J. Wahle,\Metallic ferromagnetism: Progress in our understanding of an old strong{couplingproblem", Advances In Solid State Physics 38 (Vieweg, Wiesbaden, 1999), S. 383.

Lebenslauf 167LebenslaufName Karsten HeldGeburtsdatum 20. Juli 1971Geburtsort Clausthal{ZellerfeldStaatsangeh�origkeit deutschAusbildungAug. 77 { Jul. 81 Grundschule Bremerh�ohe, Clausthal{Zellerfeld.Aug. 81 { Mai 90 Schillergymnasium, M�unster. Abschlu�: Abitur.Okt. 90 { Apr. 95 Studium der Physik an der RWTH Aachen.Diplomarbeit bei Professor Dr. D. Vollhardt,RWTH Aachen, zum Thema \Quanten{Monte{Carlo{Simulationen des Hubbard{Modells mitN�achst{Nachbar{Wechselwirkung: Metamagneti-sche und metallische Phasen".Abschlu�: Diplom mit Auszeichnung.Jun. 96 { Jul. 99 Promotion bei Professor Dr. D. Vollhardt, Uni-versit�at Augsburg (bis Aug. 1996 RWTH Aa-chen).Abschlu�: Dr. rer. nat. (summa cum laude).AnstellungenOkt. 91 { Feb. 95 Studentische Hilfskraft an der RWTH Aachen.Mai 95 { Mai 96 Zivildienst am Institut f�ur Medizin des FZ{J�ulichim Bereich MR{ und PET{Bildverarbeitung.

168 LebenslaufSep. 95 { Mai 96 Nebent�atigkeit als wissenschaftlicher Angestellteran der RWTH Aachen.Jun. 96 { Aug. 96 Wissenschaftlicher Angestellter an der RWTHAachen.seit Aug. 96 Wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Universit�atAugsburg. Bis Juli 1998 System{Administratoram Lehrstuhl Theoretische Physik III.Aug. 98 { Nov. 98 Forschungsaufenthalt bei Professor Dr. R. Scalet-tar, University of California, Davis, USA.

Danksagung 169DanksagungHerrn Professor Dr. D. Vollhardt m�ochte ich f�ur die interessante Themenstellung, sei-ne stete Diskussionsbereitschaft und Unterst�utzung und den Raum f�ur eigene Initia-tiven w�ahrend der letzten drei Jahre in Aachen und Augsburg danken. Er erm�oglichtemir auch die Teilnahme an diversen Workshops und Konferenzen sowie meinen For-schungsaufenthalt an der Univerity of California, Davis.Professor Dr. Richard Scalettar, Dr. Andy McMahan und Dr. Carey Huscroft mach-ten durch Ihre gro�e Gastfreundschaft und die vielen anregenden Diskussionen dieZeit in Davis und Livermore zu einem besonderen Erlebnis.Bei Herrn Professor Dr. U. Eckern m�ochte ich mich f�ur die �Ubernahme des Koreferatsbedanken.Besonders wichtig waren mir die vielen Diskussionen und die gemeinsamen Projek-te mit meinen Freunden und Kollegen Dr. Martin Ulmke, Nils Bl�umer und Dr. JanSchlipf.Dr. Marcus Kollar, Privat{Dozent Dr. Peter van Dongen, Professor Dr. A. Kampf,Joachim Wahle, Vladimir Bostanov, Walter Hofstetter und allen anderen Kollegenin Aachen und Augsburg danke ich f�ur viele hilfreiche Gespr�ache und Anregungensowie die o�ene und freundliche Atmosph�are am Lehrstuhl.Das �Uberlassen des Maximum{Entropie{Programms durch Dr. A. Sandvik war einewertvolle Hilfe f�ur diese Arbeit.Nicht zuletzt geht mein Dank an Julia und Annika Held f�ur Ihre liebevolle Un-terst�utzung in den letzten Jahren.