유희찬

조완

손홍찬

조정묵

이병만

김용식

임미선

선미향

유익승

한명주

박원균

남선주

정성윤

기하와벡터고등학교

�우리주변에서수학의원리를발견하여함께탐구해보자. �

수 ｜ 학 ｜ 탐 ｜ 험

항해하는배의위치는어디일까?

항구O로부터서쪽으로 10 km, 북쪽으로 3 km 떨어진A 지점

에 한 척의 여객선이 있다. 이 배가 2시간 동안 일정한 속력과

방향으로 항해했더니 항구 O에서 동쪽으로 16 km, 북쪽으로 13 km

떨어진 B 지점에 도착하 다. 항구를 원점으로 하고, 동서 방향을 x

축, 남북 방향을 y축으로 하는 좌표평면을 설정할 때, 다음 물음에 답

하여라. (단, 단위는 km이다.)

점A를 시점으로 하고 점B를 종점으로 하는 벡터 a ≤를 좌표평면위에 나타내어 보자.11

y

xO

A

B

수학탐험

실생활소재를활용하여중단원학습에 한동기유발을할수있도록

하 다. 또한, 수학을 말과 로 설명하면서 의사소통 능력을 기를 수

있도록‘의사소통하기’문제를제시하 다.

포물선 y¤ =4x에접하고기울기가 1인접선의방정식을구해보자.| 생각 열기 |

| 생각 전개 |

포물선에 접하는 접선의 방정식은 직선과 포물선의 방정식을 연립하여 만든 이차방정

식의판별식을D라고할때, D=0임을이용하여구할수있다.

연립방정식 [ 에서 y를소거하여정리하면

���x¤ +2(k-2)x+k¤ =0

이때, 판별식D=0이므로

��� =(k-2)¤ -k¤ =0, -4k+4=0, k=1

���∴ y=x+1

D154

y¤ =4x

y=x+k

x

y¤ =4x

O

y

| 생각 다듬기 |

기울기를아니까y절편만구하면되는데yy.

직선의방정식을y=x+k로놓아봐.

그럼, k의값은어떻게구하지?

포물선과직선이한점에서만나잖아.

판별식 D=0을이용해.

생각열기/생각전개/생각다듬기

소주제별로 학생 스스로 수학의 개념, 원리, 법칙을 발견할 수 있도록

생각열기를3단계구조로구성하 다. 특히, 생각전개에서는삽화또

는만화를도입하여학생들이학습내용에 한흥미를가질수있도록

하 다.

수학은고 그리스시 이래진리와진리탐구의전형으로여겨져왔으며, 자연을탐구하고기술을

개발하기위한도구로서인류문명의발전에크게기여해왔다. 특히, 20세기후반부터컴퓨터가널리보

급되고활용됨에따라수학의중요성은더욱부각되고있다.

수학은또한예로부터사람의지력을증진시켜준다고믿어져왔다. 마치기본적인체력을단련하기위하여운동을하듯이, 수학문제

를해결함으로써우리의사고능력을단련시킬수있다는것이다. 수학에서가장중요한것이스스로탐구하고생각하는데있는이유도

여기에있다.

포물선 y¤ =4x 위의 점 (1, ̀2)에서의 접선의 방정식은

p=1이고 x¡=1, y¡=2이므로 2y=2(x+1)���∴ y=x+1

●보기●

다음포물선위의점에서의접선의방정식을구하여라.

⑴ y¤ =-8x��(-2, 4) ⑵ x¤ =y��(-1, 1)

문제4

예제 2

점 (-2, 1)에서포물선 y¤ =4x에그은접선의방정식을구하여라.

구하는 접선의 접점을 (x¡, y¡)이라고 하면 접선의 방정식은

㉠이 점 (-2, 1)을 지나므로

또, 점 (x¡, y¡)은 포물선 위의 점

이므로

㉡, ㉢`에서x¡을소거하여정리하면

이것을 ㉠`에 입하면 구하는 접선

의 방정식은

y¡y=2(x+x¡) yy ㉠

y¡=2(x¡-2) yy ㉡

y¡¤ =4x¡ yy ㉢

y¡¤ =2y¡+8, (y¡-4)(y¡+2)=0∴ x¡=4, y¡=4 또는 x¡=1, y¡=-2

y=;2!;x+2 또는 y=-x-1

풀이

O(-2, 1)

y

x

보기/예제/문제

학습 내용을 쉽게 이해할 수 있도록 충분한 보기, 예제, 문제를 제시

하 다.

ÜóÖŒÜìÈ

이교과서는새로운교육과정을충실히반 하여고등학교선택과목에서학습할내용을 단원,

중단원, 소단원으로나누어체계적으로학습할수있도록하 다. 또한, 생활주변현상이나자연현

상, 사회현상등여러가지현상을학습소재로활용하여수학적개념의이해와기능의습득을돕고,

이를바탕으로수학적추론능력, 의사소통능력, 문제해결력을신장시킬수있도록하 다. 특히, 다양한문제를해결함으로써, 수학

의가치를이해하고수학에 한긍정적태도를기를수있도록구성하 다.

ÄÆâó˜Äú êÃœåŒ̃

한걸음더

소단원별로 [추론하기/의사소통/문제 해결/문제 만들기]의 문제를

풀면서 수학적 사고력을 향상시킬 수 있도록 하 다.

이교과서는고등학교수학과개정교육과정에제시된고등학교선택과목의목표와내용에따라수학학습을하면서수학적기능이나

개념이우리의주변생활과어떤 접한관련을가지고있는지를음미하고학생들이다양한수학적사고경험을하는가운데바람직한

수학적능력과태도를개발해나갈수있도록구성하 다.

수학은여러분의장래에두고두고요긴하게이용할자산이될것이다. 수학이라는학문그자체가야망의 상이되어여러분의생애

에의미를가져다주는전문분야가될수도있을것이다.

이책이여러분에게그러한수학적사고경험의기회를제공할수있기를기 한다.

중단원마무리

■다음 안에알맞은용어나기호를써넣어라.

⑴ 타원위의임의의점에서두초점까지의거리의 `은/̀̀는일정하다.

⑵ 두초점F(c, 0), F'(-c, 0)으로부터의거리의합이 2a인타원의방정식은 `이다.

⑶ 타원 + =1 (̀b>a>0)의초점의좌표는 `이고장축의길이는 `이다.

⑷ 타원 + =1에접하고기울기가m인접선의방정식은 `이다.

⑸ 타원 + =1 위의점P(x¡, y¡)̀에서의접선의방정식은 `이다.y¤b¤

x¤a¤

y¤b¤

x¤a¤

y¤b¤

x¤a¤

개념알기

중단원마무리

중단원에서 학습한 내용을 종합적으로 복습하고 문제 해결 능력을 기

를 수 있도록 하 다.

지오데식돔(Geodesic Dome)

정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 그

리고 정이십면체의 다섯 가지가 존재한다. 같은 부피의 정

다면체라도 면의 수가 많을수록 겉넓이가 작아지며, 그 모

양은 구에 더 가까워진다. 구는 같은 부피를 가지는 입체도

형 중에서 겉넓이가 가장 작은 도형이다.

한편, 건축에서 정삼각형 모양의 구조물은 가장 견고하다고

한다. 풀러는 이러한 삼각형과 구의 기하학적인 특성을 활용하여 기둥 없이 공간을 덮을 수 있는

‘지오데식 돔(geodesic dome)̀’을 설계하 다.

정이십면체의 각 면을 합동인 정삼각형으로 분할한 후 그것을 구 안에 내접시키고 각 꼭짓점을 구

면에 투사시키면 모든 면이 거의 같고 거의 정삼각형이며 구와 더욱 비슷한 다면체가 되는데, 이

것이 바로 지오데식 돔의 구조이다.

지오데식 돔은 정다면체와 구, 그리고 건축 사이의 관계를 멋지게 보여 준다.

| 수학으로 보는 세상 | 수학으로보는세상/역사속수학여행/똑똑! 수학연구실

소단원별로 실생활과 관련된 수학, 역사적 사실, 수학이야기를 소개하

여 흥미를 가질 수 있도록 하 다.

2. 타원 57

다음타원의방정식을구하고, 장축, 단축의길이를구하여라.

⑴ 두 초점F(0, 4), F'(0, -4)로부터 거리의 합이 10인 타원

⑵ 두 초점F(0, '3), F'(0, -'3)으로부터 거리의 합이 4인 타원

문제4

좌표평면에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 각각 1, 2인

두 동심원이 있다. 큰 원 위를 움직이는 점 A에 하여 반

지름 OA`가 작은 원과 만나는 점을 B라고 하자. 점 B를

지나고 x축에 평행한 직선에 점 A에서 내린 수선의 발을

P라고할때, 점P가나타내는도형의방정식을구하여라.xO

2

1

-1 1-2 2

-1

-2

BA

P

y

�추론하기/의사소통/문제해결/문제만들기�한 걸음

더

1. 일차변환과행렬 §1. 일차변환 10

§2. 여러가지일차변환 15

중단원마무리 22

2. 일차변환의합성과 §1. 일차변환의합성 26

역변환 §2. 역변환 30

중단원마무리 34

1. 포물선 §1. 포물선의방정식 40

§2. 포물선과직선 44

중단원마무리 50

2. 타원 §1. 타원의방정식 54

§2. 타원과직선 58

중단원마무리 64

3. 쌍곡선 §1. 쌍곡선의방정식 68

§2. 쌍곡선과직선 73

중단원마무리 78

Ⅰ 일차변환과행렬

Ⅱ 이차곡선

éìÖö

C O N T E N T S

1. 공간도형 §1. 직선과평면의위치관계 84

§2. 직선과평면의평행과수직 89

§3. 정사 98

중단원마무리 102

2. 공간좌표 §1. 공간에서의점의좌표 106

§2. 두점사이의거리 108

§3. 선분의내분점과외분점 110

§4. 구의방정식 114

중단원마무리 118

Ⅲ 공간도형과공간좌표

1. 벡터와그연산 §1. 벡터의뜻 124

§2. 벡터의덧셈과뺄셈 127

§3. 벡터의실수배 132

중단원마무리 136

2. 벡터의성분과내적 §1. 위치벡터 140

§2. 벡터의성분 142

§3. 벡터의내적 149

중단원마무리 158

3. 직선과평면의방정식 §1. 직선의방정식 162

§2. 평면의방정식 166

중단원마무리 174

정답및풀이 176

찾아보기 190

Ⅳ 벡터

내가 원하는 멋진 세상을

디자인해 보자!

좌표평면 위의 점을 좌표평면 위의 점으로 응시키는 여러 가지 함수의 성질을 연구하는 데기초가 되는 것이 일차

변환이다. 일차변환은 도형을 늘이거나 줄이고 회전시켜 우리가 원하는 모양을 만들어 내는 데 활용된다. 일차변환

이 행렬로 나타나고, 일차변환과 행렬은 일 일 응 관계가 있음이 알려짐으로써 행렬은 그 유용성이 확인되었다.

일차변환과 행렬 이론은 현 수학의 기초가 되는 내용으로 화와 사진, 애니메이션 등 예술 분야, 특히 컴퓨터를

이용하는분야와물리학, 경제학등여러분야에서널리이용되고있다.

학습목표

일차변환의뜻을알고, 일차변환과행렬사이의관계, 일차변환의여러가지성질을안다.

칭변환, 닮음변환, 회전변환과행렬사이의관계를안다.

일차변환의합성과역변환의뜻을알고, 이를활용하여여러가지문제를해결할수있다.

｜ 1. 일차변환과행렬｜ 2. 일차변환의합성과역변환｜

일차변환과 행렬

Ⅰ

일차변환과행렬

고궁과같은선조들의문화유산과현 건축물을살펴보면여러가지일차변환이내재되어있음을발견할수있다. 이단원에서는

행렬과 접한관련이있는일차변환의뜻을알아보고, 칭이동, 닮음이동, 회전이동등을일차변환으로이해하고, 일차변환의여

러가지성질을공부한다.

§̀1. 일차변환｜ §̀2. 여러가지일차변환

1

�우리주변에서수학의원리를발견하여함께탐구해보자. �

수 ｜ 학 ｜ 탐 ｜ 험

이동한점의위치를찾아라!

이 로고를 평행이동 (x, y)`̀15⁄ (̀x-3, y+1)에 의하여 이

동한 도형을 좌표평면위에 나타내어 보자.

11

이 로고를 칭이동 (x, y)`̀15⁄ (̀x, -y)에 의하여 이동한

도형을 좌표평면위에 나타내어 보자.

22

두 점P(x, y)와 P'(x', y')에 하여 등식

���¶ •¶ •=¶ •

이 성립할 때, 점P'은 점P를 어떻게 이동한 것인지 말해 보자.

x'

y'

x

y

-1 -0

-0 -1

33의사소통하기

x-2-4-6

y

O 2 4 6

2

-2

-4

4

6

1. 일차변환과행렬 9

현사회에서 디자인의 중요성은 날이 갈수록 증 되고 있다.

우리는 도로를 주행하는 자동차의 디자인이나 차체에 붙어

있는 로고를 보고 어느 회사의 무슨 차종인지 부분 구별할 수 있다. 제품

의 디자인이나 회사의 이미지를 상징하는 로고는 매출에도 큰 향을 미친다고 한다. 단

순한디자인과 로고에도이를 만든 그 시 의문화가 반 되어있다. 또, 디자인은기술과 인간을친 하게 만나

게하는매개체이기도하다.

오른쪽 그림은 어느 고등학교 봉사 활동 동아리의 로고 를 좌표평면

위에나타낸것이다. 다음물음에답하여라.

x-2-4-6

y

O

2

-2

-4

4

6

2 4 6

10 Ⅰ. 일차변환과행렬

학습목표｜｜●일차변환의뜻을알고, 일차변환과행렬사이의관계를안다. ●일차변환의성질을알고, 이를활용할수있다.

배운내용｜｜함수, 도형의이동, 행렬, 행렬의연산, 행렬과연립일차방정식

1 ãŒÈéìáôÂíúÂ

일차변환이란무엇인가?

2_1 행렬 ¶ •에 좌표평면 위의 점 (x, y)를 응시키기로 하자. 예를 들어, ¶ •

에점 (2, 1)이 응한다. 이때, ¶ •¶ •에 응하는점의좌표를구해보자.2

1

-1 0

-0 1

2

1

x

y

¶ •¶ •=¶ •이므로 ¶ •¶ •에 응하는점의좌표는

(-2, 1)이다.

2

1

-1 0

-0 1

-2

-1

2

1

-1 0

-0 1

| 생각 열기 |

| 생각 전개 |

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 점 P(x, y)를 x

축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행

이동한 점을P'(x', y')이라고 하면

[

이다. 이때, 좌표평면 위의 임의의 점 P(x, y)에

하여 이와 같은 점 P'(x', y')은 하나씩만 정해지므로 이러한 평행이동은 함수

이다. 이와 같이 좌표평면 위의 각 점에 그 좌표평면 위의 점을 하나씩 응시

키는 함수를 변환이라고 한다.

x'=x+2

y'=y+3xO

y

P'(x', y')

P(x, y)

23

¶ •¶ •

2

1

-1 0

0 1

¶ •

2

1¶ •

2

1

¶ •¶ •=¶ •

-2

1

2

1

-1 0

0 1

(-2 1)

2_1 행렬 ¶ •에 좌표평면 위의 점 (x, y)를 응시키면 ¶ •¶ •에 좌표평

면위의한점이 응함을알수있다.

x

y

a b

c d

x

y

| 생각 다듬기 |

익힘책 p. 9

1. 일차변환과행렬 11

일차변환 f를

f：(x, y)12⁄(ax+by, cx+dy)

또는

f：¶ •12⁄¶ •¶ •

와같이나타내기도한다.

x

y

a b

c d

x

y

좌표평면 위의 점P(x, y)를P'(x', y')으로 옮기는 변환을 f라고 할 때,

이를 기호로

f：(x, y)`̀11⁄⁄ (̀x', y')

과 같이 나타낸다.

일반적으로 좌표평면 위의 변환 f：(x, y)`̀1⁄ (̀x', y')이

[ (단, a, b, c, d는 상수)

의 꼴로 나타날 때, 이러한 변환 f를 일차변환이라고 한다.

위의 일차변환을 행렬로 나타내면 다음과 같다.

¶ •=¶ •¶ •

여기서, X'=¶ •, A=¶ •, X=¶ •라고 놓으면

X'=AX

이다.

이때, f를

f：X`̀1⁄`X'�또는�f(X)=AX

와 같이 나타내고, 행렬 A를 일차변환 f를 나타내는 행렬 또는 일차변환 f의

행렬이라고 한다.

x

y

a b

c d

x'

y'

x

y

a b

c d

x'

y'

x'=ax+by

y'=cx+dy

일차변환 f를 나타내는 식이 [ 일 때, 일차변환 f를 나타내는 행렬은

¶ •이며, 이 일차변환에 의하여 점 (2, 1)은

¶ •¶ •=¶ •

즉, 점 (0, 7)로 옮겨진다.

0

7

2

1

1 -2

3 -1

1 -2

3 -1

x'=x-2y

y'=3x+y보기

일차변환 f를 나타내는 행렬이 A=¶ •이고 X=¶ •일 때, f(X)를 구

하여라.

1

2

-0 -1

-1 -0문제1

좌표평면에서 평행이동 f：(x, y)`̀15⁄ (̀x+m, y+n)에 의한 변환은 일차변환인지

아닌지말하여라.

문제2생각나누기

12 Ⅰ. 일차변환과행렬

두점 (1, 1), (5, 3)을각각두점 (2, -2), (4, 4)로옮기는일차변환을나타내는행

렬을구하여라.

문제3

ãöåò 1두 점 (2, 1), (3, 2)를 각각 두 점 (7, 0), (12, 1)로 옮기는 일차변환을 나타

내는행렬을구하여라.

구하는행렬을¶ •라고하면a b

c d

즉, [ �[3a+2b=12 yy ㉢

3c+2d=1 yy ㉣

2a+b=7 yy ㉠

2c+d=0 yy ㉡

㉠, ㉢`을 연립하여풀면

㉡, ㉣`을 연립하여풀면

따라서 구하는 행렬은

a=2, b=3

c=-1, d=2

¶ •

-2 3

-1 2

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

3a+2b

3c+2d

3

2

a b

c d

12

1

2a+b

2c+d

2

1

a b

c d

7

0풀이

답 ¶ •

-2 3

-1 2

익힘책 p. 10

ãöåò 2 두 점 (1, 0), (0, 1)을 각각 두 점 (p, q), (r, s)로 옮기는 일차변환을 나타내

는행렬을구하여라.

구하는 행렬을 ¶ •라고 하면a b

c d

따라서 a=p, c=q, b=r, d=s이므로

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

b

d

0

1

a b

c d

r

s

a

c

1

0

a b

c d

p

q

¶ •=¶ •

p r

q s

a b

c d

풀이

답 ¶ •

p r

q s

¶ •

=¶ •¶ •

=¶ •

a b

c d

1 0

0 1

a b

c d

p r

q s

익힘책 p. 10

두 점 (1, 0), (0, 1)을 각각 두 점 (2, -3), (-1, 4)로 옮기는 일차변환 f에 의하여

점 (5, 3)이옮겨지는점의좌표를구하여라.

문제4

1. 일차변환과행렬 13

일차변환 f：X`̀14⁄`AX와 2_1 행렬P, Q에 하여 f(P+Q)와 f(P)+f(Q)

는같음을알수있다.

일차변환의성질은무엇인가?

일차변환 f：X`̀14⁄`AX에 하여

A=¶ •, P=¶ •, Q=¶ •

일때, f(P+Q)와 f(P)+f(Q)를구하여비교해보자.

1

5

3

2

-0 1

-2 2

| 생각 열기 |

| 생각 전개 |

| 생각 다듬기 |

일차변환 f：¶ • `1⁄ ¶ •¶ •에 하여 A=¶ •, X=¶ •라

고 하면 임의의 실수 k에 하여

f(kX)=A(kX)=¶ •¶ •=¶ •

kf(X)=k(AX)=k¶ •¶ •=¶ •

이므로

f(kX)=kf(X)

이다.

k(ax+by)

k(cx+dy)

x

y

a b

c d

k(ax+by)

k(cx+dy)

kx

ky

a b

c d

x

y

a b

c d

x

y

a b

c d

x

y

kX=k¶ •=¶ •

kx

ky

x

y

f(P+Q)=f(P)+f(Q)

f(P+Q) f (̀P)`+`f (̀Q)

f (P+Q )=¶ •‡¶ •+¶ •°=¶ •¶ •=¶ •76

47

0 1-2 2

15

32

0 1-2 2

f (P )+f (Q )=¶ •¶ •+¶ •¶ •=¶ •+¶ •=¶ •76

58

2-2

15

0 1-2 2

32

0 1-2 2

14 Ⅰ. 일차변환과행렬

또, X¡=¶ •, X™=¶ •라고하면행렬의연산에 한분배법칙에의하여

f(X¡+X™)=A(X¡+X™)

f(X¡+X™)=¶ •‡¶ •+¶ •°

f(X¡+X™)=¶ •¶ •+¶ •¶ •

f(X¡+X™)=AX¡+AX™

=f(X¡)+ f(X™)

이다.

따라서 일차변환에 하여 다음의 성질이 성립한다.

x™

y™

a b

c d

x¡

y¡

a b

c d

x™

y™

x¡

y¡

a b

c d

x™

y™

x¡

y¡

일차변환의성질

일차변환 f와 임의의 2_1 행렬X¡, X™에 하여

� f(kX¡)=kf(X¡) (̀단, k는 실수)

� f(X¡+X™)=f(X¡)+f(X™)

P=¶ •, Q=¶ •일 때, 일차변환 f：¶ • 14⁄ ¶ •¶ •에 하여

⑴ f(2P)=2f(P)=2¶ •¶ •=¶ •

⑵ f(P)+f(Q)=f(P+Q)=¶ •[¶ •+¶ •]=¶ •¶ •=¶ •

19

39

1

9

1 2

3 4

3

4

-2

-5

1 2

3 4

16

28

-2

-5

1 2

3 4

x

y

1 2

3 4

x

y

3

4

-2

-5보기

일차변환 f를 나타내는 행렬이 ¶ •일 때, 두 행렬P=¶ •, Q=¶ •에

하여 2f(P)+3f(Q)를구하여라.

3

0

-1

-2

1 -5

2 -4문제5

X¡+X™

=¶ •+¶ •

=¶ •

x¡+x™

y¡+y™

x™

y™

x¡

y¡

h, k가임의의실수일때, 일차변환 f와두 2_1 행렬X¡, X™에 하여

f(hX¡+kX™)=hf(X¡)+kf(X™)

가성립함을보여라.

한 걸음

더

1. 일차변환과행렬 15

학습목표｜｜● 칭변환, 닮음변환, 회전변환과행렬사이의관계를안다.

배운내용｜｜도형의이동, 삼각함수, 행렬의곱셈, 행렬과연립일차방정식

2 ãôÖó ÄìåŒ ãŒÈéìáôÂíúÂ

¶ •=¶ •¶ •이므로 일차변환 f：(x, y)`14⁄ (̀x, -y)를 나타내는 행

렬은 ¶ •임을알수있다.1 -0

0 -1

x

y

1 -0

0 -1

x'

y'

칭변환이란무엇인가?

오른쪽 사진은 인도의 건축물인 타지마할이 수로

에 비친 모습이다. 건물과 수로의 경계선을 x축,

건물의 가운데를 지나는 선을 y축이라고 하자. 이

때, 기둥의 끝 점 P(x, y)를 x축에 하여 칭이

동한 점을 P'(x', y')이라고 할 때, 점 P를 점 P'

으로옮기는 변환은일차변환인지알아보자.

| 생각 열기 |

| 생각 다듬기 |

| 생각 전개 |

좌표평면 위의 임의의 점 P(x, y)를 직선 y=x에

하여 칭이동한 점을P'(x', y')이라고 하면

[ , 즉 [

이 식을 행렬로 나타내면

¶ •=¶ •¶ •

이므로 이 변환은 일차변환이며 그 행렬은 ¶ •이다.0 1

1 0

x

y

0 1

1 0

x'

y'

x'=0¥x+1¥y

y'=1¥x+0¥y

x'=y

y'=xO

P(x, y)

y=x

P'(x', y')

x

y

O x

yP(x y)

P'(x' y')

P(x y) x

(x -y) y

익힘책 p. 12

케일리(Cayley, A.;1821

~1895)는 행렬의 이론을

창시한 국의수학자이다.

16 Ⅰ. 일차변환과행렬

점P(x, y)의 y축에 한 칭점을P'(x', y')이라고 하면 [ 에서

¶ •=¶ •¶ •이므로 y축에 한 칭변환을 나타내는 행렬은 ¶ •

이다.

-1 0

-0 1

x

y

-1 0

-0 1

x'

y'

x'=-x

y'=y보기

방정식 f(x, y)=0이 나

타내는 도형을 y축에 하

여 칭이동한도형의방정

식은 f(-x, y)=0이다.

다음의 칭변환을나타내는행렬을구하여라.

⑴ 원점에 한 칭변환 ⑵ 직선 y=-x에 한 칭변환

문제1

칭변환을 나타내는 행렬을 정리하면 다음과 같다.

ãöåò 1좌표평면 위의 두 점A(4, 3), B(2, 5)를 y축에 한 칭변환에 의하여 각각

점A', B'으로옮겼을때, 점A', B'의좌표를구하여라.

y축에 한 칭변환을나타내는

행렬은 ¶ •이므로-1 0

-0 1

따라서 구하는 점A', B'의 좌표는

¶ •¶ •=¶ •

¶ •¶ •=¶ •

-2

-5

2

5

-1 0

-0 1

-4

-3

4

3

-1 0

-0 1

A'(-4, 3), B'(-2, 5)

풀이

답 A'(-4, 3), B'(-2, 5)

세 점A(4, -1), B(3, 2), C(-1, 1)을 원점에 한 칭변환에 의하여 각각 세 점

A', B', C'으로옮겼을때, 세점A', B', C'의좌표를각각구하여라.

문제2

칭변환을나타내는행렬

칭변환 x축 y축 원점 직선 y=x

변환식 [ [ [ [x'=y

y'=x

x'=-x

y'=-y

x'=-x

y'=y

x'=x

y'=-y

나타내는행렬

¶ • ¶ • ¶ • ¶ •

0 1

1 0

-1 -0

-0 -1

-1 0

-0 1

1 -0

0 -1

이와 같이 좌표평면 위의 점을 직선이나 점에 하여 칭인 점으로 옮기는 변

환을 칭변환이라고 한다.

익힘책 p. 13

1. 일차변환과행렬 17

¶ •=¶ •¶ •이므로 일차변환 f：(x, y)`̀14⁄ (̀2x, 2y)를 나타내는 행렬

은 ¶ •임을 알 수 있다. 한편, 삼각형A'B'C'은 원점O를 닮음의 중심으로 하여

삼각형ABC를 2배로확 한도형이다.

2 0

0 2

x

y

2 0

0 2

x'

y'

닮음변환이란무엇인가?

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 삼각형 ABC와 삼

각형 A'B'C'이 있다. 삼각형 ABC 위의 임의의 점

P(x, y)에 하여 반직선 OP가 삼각형 A'B'C'과 만

나는 점을 P'(x', y')이라고 하자. OP'”=2OP”가 성

립할 때, 점 P를 점 P'으로 옮기는 변환은 일차변환인

지알아보자.

O

y

A

PP'

A'

BB'

CC'x

오른쪽 그림에서 삼각형 OHP와

삼각형 OH'P'은 닮음비가 1：2인

닮은꼴이므로다음이성립한다.

[ , 즉

[

따라서이변환은일차변환이다.

x'=2¥x+0¥y

y'=0¥x+2¥y

x'=2x

y'=2y

| 생각 열기 |

| 생각 전개 |

| 생각 다듬기 |

0이 아닌 실수 k에 하여 좌표평면 위의 점

P(x, y)를 P'(kx, ky)로 옮기는 변환

f：(x, y) 1⁄ (kx, ky)는

[ , 즉 [

이 식을 행렬로 나타내면

¶ •=¶ •¶ •

이므로 이 변환은 일차변환이며 그 행렬은 ¶ •이다. 이와 같은 일차변환

을 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 k인 닮음변환이라고 한다.

k 0

0 k

x

y

k 0

0 k

x'

y'

x'=k¥x+0¥y

y'=0¥x+k¥y

x'=kx

y'=ky O

P(x, y)

P'(x', y')

xx kx

y

ky

y

O

y

AP

P'

A'

CH'

C'xH

x 2y 2

18 Ⅰ. 일차변환과행렬

좌표평면 위의 점P(x, y)를 점P'(3x, 3y)로 옮기는 일차변환을 나타내는 행렬은

[ , 즉 [ 에서 ¶ •이다.3 0

0 3

x'=3¥x+0¥y

y'=0¥x+3¥y

x'=3x

y'=3y

보기

좌표평면에서 점 (x, y)를 점 {;2!;x, ;2!;y}로 옮기는 일차변환은 어떤 변환인지 말하고,

이일차변환을행렬로나타내어라.

문제4생각나누기

행렬 ¶ •가나타내는닮음변환에의하여세점

O(0, 0), P(1, 2), Q(-2, 3)이 각각 점O', P', Q'으로

옮겨질때, 다음물음에답하여라.

⑴ 점O', P', Q'의 좌표를 구하여라.

⑵삼각형 OPQ와 삼각형 O'P'Q'의 넓이의 비를 구

하여라.

O

Q

P

-2 1

2

3

x

y-2 -0

-0 -2문제5

f：(x, y)

12⁄ (-2x, -2y)

원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 k인 닮음변환에 의하여 도형은 |k|>1

이면 확 되고, 0<|k|<1이면 축소된다.

특히, k=1인 닮음변환을 항등변환이라고 하며, 그 행렬은E=¶ •이다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

1 0

0 1

닮음변환을나타내는행렬

k가 0이 아닌 실수일 때, 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 k인 닮음변환

을 나타내는 행렬은

¶ •

k 0

0 k

¶ •=k¶ •=kE (̀단, E는 단위행렬이다.)1 0

0 1

k 0

0 k참고

행렬¶ •가나타내는일차변환에의하여다음점이옮겨지는점의좌표를구하여라.

⑴ (1, 3) ⑵ (0, 0)

⑶ (-2, 4) ⑷ (5, -3)

2 0

0 2문제3

항등변환은임의의점또는

도형을그자신으로옮기는

일차변환이다.

[ HjjjK¶ •=¶ •¶ •

x

y

1 0

0 1

x'

y'

x'=x

y'=y익힘책 p. 13

1. 일차변환과행렬 19

단위원위의점 (x, y)를원점을중심으로 90˘만큼회전한변환은

f：(x, y) 14⁄ (̀-y, x)에서 [ 이므로일차변환임을알수있다.x'=0¥x-1¥y

y'=1¥x+0¥y

회전변환이란무엇인가?

오른쪽 그림은 배의 방향을 조종하는 조타 장치이다. 어느

유람선의 선장이 한 지점에서 조타 장치를 시계 반 방향

으로 90˘만큼 돌렸다고 한다. 조타 장치의 중심을 원점

으로하는좌표평면에서처음선장의손의위치를P(x, y)

라고 할 때, 이동한 선장의 손의 위치 Q의 좌표를 구해

보자.̀(단, 조타 장치는 반지름의 길이가 1인 원 모양이다.)

| 생각 열기 |

| 생각 전개 |

| 생각 다듬기 |

좌표평면 위의 임의의 점 P(x, y)를 원점을

중심으로 각 h만큼 회전하여 점 P'(x', y')으

로 옮기는 변환에 하여 알아보자.

오른쪽 그림과 같이 점 Q(x, 0), R(0, y)가

원점을 중심으로 각 h만큼 회전한 점을 각각

Q', R'이라고 하면

Q'(xcosh, xsinh)

R'{ycos { +h}, ysin { +h}}, 즉R'(-ysinh, ycosh)

이때, �`P'R'OQ'에서 두 각선P'O”, R'Q'”의 중점이 일치하므로

= , =xsinh+ycosh

2y'2

xcosh-ysinh

2x'2

p

2p

2

O

Q'

QR'

R

x

xh

hh

y

y

yP(x, y)

P'(x', y')

x

sin { +h}=cosh

cos { +h}=-sinhp

2

p

2

오른쪽그림에서점Q의좌표를 (x', y')

이라하고, ∠POA=h라고하면

cosh=x, sinh=y

∠POQ=90˘

이므로

x'=cos (90˘+h)=-sinh=-y

y'=sin (90˘+h)=cosh=x

따라서점Q의좌표는 (-y, x)이다.

O 1A

1

-1

-1

x

yP(x, y)

Q(x', y')

h

xO

yP(x y)

20 Ⅰ. 일차변환과행렬

따라서 [ 인관계식이성립하므로이변환은일차변환이고

행렬로 나타내면 다음과 같다.

¶ •=¶ •¶ •

이와 같이 원점을 중심으로 각 h만큼 회전하는 변환을 회전변환이라고 한다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

x

y

cosh -sinh

sinh -cosh

x'

y'

x'=xcosh-ysinh

y'=xsinh+ycosh

회전변환을나타내는행렬

원점을 중심으로 각 h만큼 회전한 일차변환을 나타내는 행렬은

¶ •

cosh -sinh

sinh -cosh

ãöåò 2원점을중심으로점 (1, 5)를 45˘만큼회전한점의좌표를구하여라.

원점을 중심으로 45˘만큼 회전한

일차변환을나타내는 행렬은

점 (1, 5)가 옮겨진 점의 좌표를

(x', y')이라고 하면

따라서 구하는 점의 좌표는

¶ •= ¶ •

1 -1

1 -11'2

cos 45˘ -sin 45˘

sin 45˘ -cos 45˘

¶ •= ¶ •¶ •=¶ •

-2'2

-3'2

1

5

1 -1

1 -11'2

x'

y'

(-2'2, 3'2)

풀이

답 (-2'2, 3'2)

원점을 중심으로 다음 각의 크기만큼 회전하는 회전변환에 의하여 점 (3, -1)이 옮겨

지는점의좌표를구하여라.

⑴ 30˘ ⑵ 45˘ ⑶ ⑷-;6%;pp

2

문제6

원점을 중심으로 점 A를 120˘만큼 회전하 더니 점 B(4, -2)로 옮겨졌을 때, 다음 물음에 답하

여라.

⑴점B를점A로옮기는방법을말하여라.

⑵점A의좌표를구하여라.

한 걸음

더

익힘책 p. 13

1. 일차변환과행렬 21

한국의전통문양과일차변환

우리나라의 전통적인 건축물이나 오래된 절, 공예품, 떡살 등에서 기하학적

인 아름다운 전통 문양을 볼 수 있다. 이러한 문양은 우리 선조들의 의식

형태의 반 이며, 정신 활동의 소산인 동시에 인간의 창의적인 예술

활동의 결과라고 할 수 있다.

문양은 한마디로 미적 감각을 불러일으키기 위하여 점이나 선, 색채를 도형과 같이 형상화한 것이

라고 할 수 있는데, 문양이라는 낱말에서 연상되는 도안의 개념과는 사뭇 다르다. 왜냐하면 문양

이 개인적으로는 각자의 삶을 통하여 발현되는 창조적 산물이며, 언어나 문자와 마찬가지로 사용

주체인 민족과 그 민족이 처한 역사적 배경에 따라 고유한 형태로 나타나기 때문이다. 그리고 문

양은 단순히 장식적인 기능에 국한되지 않고 인간 본연의 기원과 욕구를 다분히 종교적 성격을 띠

면서담아내고있기때문이다.

예를 들어, 태극 문양을 비롯한 전통적인 문양은 그

것을 공유하는 집단 사이에서 그것이 무엇을 의미하

는지 알 수 있는 약속된 부호와 같은 성격을 지닌다

고 한다.

실제로, 다음 그림의 문양은 연꽃을 단순화하여 기하

학적으로 표현한 것임을 알 수 있다.

이와 같이 전통 문양을 잘 살펴보면, 단순한 형

태의 모양을 회전변환하거나 확 , 축소하는 일차변환을 사용하여

아름다운 도형을 만들어 내고 있음을 알 수 있다.

| 수학으로 보는 세상 |

친구들과주변에서우리나라전통문양을찾아보고, 어떠한일차변환이사용되어만들어지는지알아보자.

중단원마무리

■다음 안에알맞은용어나기호를써넣어라.

⑴ 좌표평면위의변환 f：(x, y) 15⁄ (x', y')이 [ (단, a, b, c, d는상수)의꼴로

⑴ 로나타날때, 이러한변환 f를 (이)라고한다.

⑵ 칭변환을나타내는행렬

① x축에 한 칭변환： ② y축에 한 칭변환：

③원점에 한 칭변환： ④직선 y=x에 한 칭변환：

⑶ 원점을닮음의중심으로하고닮음비가 k인닮음변환을나타내는행렬：

⑷ 원점을 중심으로 각 h만큼 회전하는 회전변환을 나타내는 행렬：

x'=ax+by

y'=cx+dy

개념알기

두 점 (2, 1), (5, 3)을 각각 두 점 (1, 0), (0, 1)로 옮기는 일차변환을 나타내는 행

렬을 구하여라.

02

두 점 (1, 2), (-2, 3)을 각각 두 점 (9, 5), (-4, 11)로 옮기는 일차변환 f에 의

하여 점 (4, -1)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

03

확인문제

일차변환 ¶ •=¶ •¶ •에 의하여 다음 점들이 옮겨지는 점의 좌표를 구

하여라.

⑴ (0, 0) ⑵ (2, 1) ⑶ (-1, 3)

x

y

-2 -1

-1 -3

x'

y'01

22 Ⅰ. 일차변환과행렬

일차변환 f：X 15⁄ AX에 하여A=¶ •, P=¶ •, Q=¶ •일때,

3f(P)-2f(Q)를구하여라.

0

2

-2

-1

1 1

3 404

놀이 공원에 간 진서와 동희는 회전식 놀이 기구를 탔다. 이 놀이

기구를 회전의 중심이 원점에 오도록 좌표평면 위에 나타내면 오

른쪽 그림과 같다. 진서가 탄 관람차의 좌표를 P(1, 0), 동희가

탄관람차의좌표를Q(0, 1)이라고할때, 행렬

A=· ‚에 하여다음물음에답하여라.

창의적문제해결력

점 (1, 2)에 하여다음변환에의하여옮겨지는점의좌표를구하여라.

⑴ x축에 한 칭변환

⑵ 직선 y=x에 한 칭변환

⑶ 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 3인 닮음변환

⑷ 원점을 중심으로 p만큼 회전하는 회전변환

05

1. 일차변환과행렬 23

P

y

xO

Q

22 점 Q에 붙어 있던 나비가 행렬 A가 나타내는 일차변환에 의

하여 옮겨진 점으로 날아갔을 때, 그 점의 좌표를 구하여라.

'32

33 행렬 A¤ 이 나타내는 일차변환에 의하여 점 P가 옮겨진 점의

좌표는 점 P를 원점을 중심으로 각 h만큼 회전하는 회전변

환에 의하여 옮겨진 점의 좌표와 같다고 한다. 이때, 각 h의

크기를 구하여라. (단, 0…h…p)

행렬A가 나타내는 일차변환에 의하여 두 점P, Q가 옮겨진 두 점P', Q'의 좌표를

구하여라.

11

-

'32

12

12

'32