Hurst Coefficient Estimation by Rescaled Range and Wavelet of the ENU Coordinates

Time Series in GNSS Network A. Tierra, M. Luna , A. Staller , C. Pilapanta, R. Romero, L. Porras

Abstract- Global Navigation Satellite System (GNSS) is an efficient space geodetic method for precise spatial coordinates determination and time series generation. Time series analysis is very important in in order to find tendencies and make better predictions. In this study we, analyze time series of coordinates ENU (East, North, Up) to determine its performance of GNSS network in the Ecuador using Hurst coefficient estimation. This network is composed by 30 stations. Hurst analysis was done using two approximations. One is Rescaled Range (R/S) technic, and the second is Wavelet transformation. Times series of ENU coordinates were attained from the GNSS stations diary solutions to calculate of Hurst coefficient. Hurst coefficient estimated using both methods were higher than 0.5 which is an indication that the time series indicate persistent properties, that is, a positive correlation. Keywords: Time Series, Hurst Coefficient, Range Rescaled, Wavelet, GNSS, ENU coordinates

I. INTRODUCCIÓN OS sistemas de navegación global por satélites (GNSS, por sus siglas en inglés) son utilizados para diferentes

aplicaciones, uno de ellos es para determinar las coordenadas de un punto con gran precisión. Actualmente, los Sistemas Geodésicos de Referencia (SGR) están materializados por estaciones de monitoreo continuo GNSS (EMC). A partir de las observaciones de las EMC es posible obtener una serie temporal de coordenadas locales ENU (este, norte, up) que muestran su dinámica. Esta dinámica puede tener un comportamiento complejo, similar a un proceso estocástico. Existen diversas medidas no lineales para determinar la complejidad de una serie de tiempo con la intención de identificar la presencia no lineal y posiblemente conductas caóticas, como por ejemplo dimensión de correlación, coeficientes de Lyapunov, mapas de Poincaré, Análisis de Recurrencia Visual, Coeficiente de Hurst [1], [2]. A. Tierra. Universidad De Las Fuerzas Armadas ESPE, Sangolquí,, Ecuador. email:artierra@espe.edu.ec M. Luna. Universidad De Las Fuerzas Armadas ESPE, Sangolquí,, Ecuador. email:mpluna@espe.edu.ec A. Staller. Universidad Politécnica de Madrid, Madrid, España. email: a.staller@upm.es C. Pilapanta. Universidade Federal do Paraná, Departamento de Geomática, Centro Politécnico Jardim das Américas, Caixa Postal 19001, Curitiba, PR, Brazil, email: cgpilapanta@gmail.com R. Romero. Instituto Geográfico Militar. Quito, Ecuador, email: rvromero@outlook.com L. Porras. Instituto Geográfico Militar. Quito, Ecuador, email: luis.porras@mail.igm.gob.ec.

Corresponding author: A. Tierra

Con la estimación del coeficiente de Hurst de una serie temporal es posible determinar si ésta tiene memoria larga, y proporcionará una medida para comprender si su comportamiento presenta propiedades persistentes o antipersistentes.

El coeficiente de Hurst ocurre en varias áreas de las matemáticas aplicadas, incluyendo los fractales y la teoría del caos, procesos de larga memoria y análisis espectral. La estimación del coeficiente de Hurst se ha aplicado en áreas que van desde la biofísica a las redes de computadoras. El estudio del proceso de larga memoria a través del coeficiente de Hurst puede ser estimado por varios métodos como: Detrend Fluctuation Analysis; Periodogram regression, wavelet, box counting, Rescaled Range (R/S). Simonsen and Hansen [3] propuso utilizar la transformada wavelet. Chamoli, et. al. [4] utilizó diferentes técnicas y sugirió usar el Rescaled Rnage (R/S) and Wavelet Transformation (WT) tanto para series largas como cortas, y lo aplicaron en datos de gravedad, magnetismo y batimétrico. Masci & Thomas [5] muestra la relación existente entre la actividad sísmica y el CH del campo magnético. Sánchez et.al [6] analiza el proceso de memoria larga usando R/S y discute la eficiencia de este método. Akalin et.al [7] usaron el EH para interpretar las características del movimiento de placas en la zona Maitri-Antartica a partir de nueve estaciones pertenecientes al Servicio Internacional GNSS (IGS), y Akalin et. al [8] utilizaron el CH para estudiar las deformaciones de las placas tectónicas a partir de datos de VLBI.

En aplicaciones geodésicas las series temporales de las coordenadas son utilizadas para calcular la velocidad de un determinado punto, y a partir de una red GNSS se puede generar un modelo de velocidades con la finalidad de transformar las coordenadas a diferentes épocas [9], [10], [11], [12]. Generalmente, los modelos utilizados para realizar el análisis de las series temporales consideran que tienen un comportamiento lineal, por lo que no describen satisfactoriamente el fenómeno. Pero, muchos fenómenos tienen un comportamiento dinámico complejo, irregular y no lineal, siendo necesario que se estudien nuevos modelos que puedan resolver en forma más satisfactoria esta dinámica.

De acuerdo a esto es necesario que primero se haga un análisis de la serie temporal para determinar su comportamiento, y después usar la técnica más adecuada para modelar de una manera más adecuada y mejorar las predicciones. Por estas razones, en este trabajo se realiza un primer análisis de las series temporales de las variaciones de la coordenadas ENU (East, North, Up) de la red de estaciones de monitoreo continuo GNSS del Ecuador, mediante la estimación del coeficiente de Hurst con la finalidad de determinar el comportamiento de estas series; para lo cual se

L

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utilizaron el método Rango Reescalado (R/S) y la transformada Wavelet.

Para mostrar el desarrollo de la estimación del coeficiente de Hurst, las próximas secciones de este artículo estarán organizadas de la siguiente manera: en la sección 2, se da una explicación general del coeficiente de Hurst, así como, del procedimiento utilizado para su estimación mediante los métodos Rango Reescalado y Transformada Wavelet. En la sección 3, se indica la metodología utilizada para obtener las series temporales de las variaciones de coordenadas ENU en la red GNSS del Ecuador. En la sección 4, se presenta los resultados y su respectiva discusión sobre la estimación del coeficiente de Hurst con los dos métodos. Finalmente, en la sección 6, se indican las conclusiones de este trabajo.

II. ESTIMACIÓN DEL COEFICIENTE DE HURST

El coeficiente de Hurst es una técnica que es utilizado para analizar el comportamiento de un sistema o un fenómeno natural a partir de una serie temporal. Este análisis fue introducido por Hurst en 1951, quién se basó en las observaciones en el embalse del río Nilo, quién estudio las series temporales del caudal, y usando las propiedades de los fractales de una serie temporal desarrollo este método estadístico para determinar si la tendencia de esta serie son persistentes o no. Hurst observó que muchos fenómenos son bien descritos por la relación de escala [1]:

R(t)S(t) α t! (01) Donde: R(t) es la diferencia entre los valores máximo y mínimo , en este caso, del agua contenido en el reservorio ; S(t) es la desviación estándar de los datos obtenidos en un determinado tiempo, H es el coeficiente de Hurst, y α es la constante de proporcionalidad.

Posteriormente, Mandelbrot [13] presentó el método Range/Re-Scaled (R/S) para estimar el coeficiente de Hurst After, quién generalizó la investigación desarrollado por Hurst. Es importante notar que R/S es un método estadístico con media cero, expresado en términos de desviación estándar, cuyo análisis es no paramétrica, y no requiere que tenga una distribución específica. El valor de H puede estar entre el rango 0≤ H≤1, [5], [6], [14]; y se lo clasifica en tres tipos [15], [3], [16], [17], [18]. a) Un valor de Hurst entre 0≤ H<0.5 indica que la serie

temporal tiene un comportamiento antipersistente en el tiempo, o que existe una correlación negativa a largo plazo, es decir, si la tendencia es de crecimiento durante un intervalo de tiempo, es muy probable que durante el próximo intervalo exista un decrecimiento, o viceversa, si estaba decreciendo es muy probable que suba posteriormente. Mientras más se acerque H a 0, la fuerza de la persistencia es mayor.

b) Un valor de H=0.5, indica que la serie temporal no tiene memoria, y su comportamiento corresponde al random walk, o movimiento Browniano, es decir, no existe

ninguna correlación entre la observaciones, y haciéndose difícil hacer una buena predicción.

c) Un valor de 0.50< H≤1 refuerza la tendencia de la serie, y

se dice que tiene un comportamiento persistente, o una correlación positiva por lo tanto existe memoria larga. Si la tendencia es de crecimiento durante un intervalo de tiempo, es muy probable que durante el próximo intervalo exista también un crecimiento, o viceversa, si estaba decreciendo es muy probable que continúe con el mismo comportamiento. La fuerza de la persistencia aumenta a medida que H se acerca a 1.

II.1 Estimación Clásica de H Via Rango Reescalado (R/S)

El método clásico y bien conocido para estimar el coeficiente de Hurst es llamado como análisis de Rango/Re-Escalado (R/S). Este fue propuesto por Mandelbrot y Wallis [19], basándose en los trabajos previos realizados por Hurst, e indican que, conocido un conjunto de observaciones en el tiempo { Xt, t=1, 2,…,N), el procedimiento para estimar H es el siguiente:

1. En la serie original X de tamaño N, se hace una partición (p) en subgrupos g de tamaño n, de tal forma que g*n=N

2. En cada subgrupo g, se calcula la media aritmética ( ͞g) y la desviación estándar (sg).

3. Se determina la variación de cada dato de la serie de cada subgrupo con respecto a su media respectiva (dgi =gi - ͞g ), y se van acumulando sus diferencias Cg= Σ dgi ; i=1,2,…n

4. Se determina el rango, restando el dato mayor del menor en cada subgrupo Rg=max (Cg) –min (Cg ).

5. En cada subgrupo, se divide Rg para la desviación estándar obteniéndose de esta manera el rango reescalado (R/S)g

(!/!)! =!!!!

(02) 6. Se calcula el rango medio a partir de los (R/S)g de cada

subgrupo, obteniéndose el Rango/Re-Escalado de esa partición (R/S)p

(!/!)! =(!/!)!! (03)

7. Posteriormente, a cada subgrupo g de tamaño n, se hace

una nueva partición en nuevos subgrupos , y se repite el proceso desde el ítem 2 hasta el ítem 7.

8. A partir de la ecuación (01) y con los ((R/S)p , H es estimado por la siguiente ecuación empírica: (!/!) = !!! (04)

9. Se hace el ajuste lineal usando la ecuación (05) ln(R/S)=ln (k) +H ln(n) (05) Donde: k es una constante; la pendiente de esta recta es el coeficiente de Hurst

TIERRA et al.: HURST COEFFICIENT ESTIMATION 1065

II.2 Transformada Wavelet

De forma general, la transformada wavelet de una función continua f(t) consiste en descomponerlo en un conjunto de funciones ψs,τ (t), que forman una base llamadas wavelets [20]. Las wavelets son generadas a partir de la translación y cambio de escala de una misma wavelet, llamada “Wavelet madre”, y se define como:

�!,� ! = !! � (!!�! ) (06)

Donde s es el factor de escala y τ es el factor de traslación

Existen algunas familias de wavelet, como la Daubechies, la Coiflet, Haar, Symmlet, entre otras, [21]. En este trabajo fue utilizado la wavelet Daubechies (db8) y el coeficiente de Hurst fue estimado mediante el método Averaged Wavelet Coefficient (AWC) para cada escala [3], [22], de acuerdo a:

1. Transformamos los datos dentro del domino wavelet. 2. Se define la escala para el análisis wavelet. 3. Se calcula los coeficientes de la transformada wavelet

utilizada de acuerdo a la escala. 4. Se calcula la Averaged Wavelet Coefficient absoluta

(AWC) =W[h](a) para cada escala, y de acuerdo a:

! ℎ ! =  ! (07)

Donde 〈.〉b es el operador de la media aritmética con respecto a la variable b (parámetro de traslación), y a es el parámetro de escala a>0

5. Se hace el ajuste lineal usando la ecuación ln(AWC)=ln (kw) +H ln(a) (08)

Donde: kw es una constante; la pendiente de esta recta es igual al coeficiente de Hurst+0.5

III. SERIES TEMPORALES DE LAS ESTACIONES GNSS.

Para este estudio, se utilizaron 30 estaciones de monitoreo

continuo GNSS, que pertenecen a la red GNSS en el Ecuador, distribuidas a lo largo del país, como puede ser visto en la Fig. 1. Para el procesamiento de los datos se utilizó el software Bernese 5.0 para obtener las soluciones diarias de las coordenadas cartesianas geocéntrica (X,Y,Z), que posteriormente fueron transformadas a coordenadas locales ENU (East, North, Up).

A partir de estas soluciones se generaron series temporales de las variaciones de coordenadas diarias. Dependiendo de la fecha de funcionamiento de las estaciones GNNS, se pudieron obtener series con de 330 datos hasta 1783 datos (mas destalle sobre el procesamiento de los datos GNSS, obtención y análisis de las series temporales en Staller et al., y Luna et al, enviados para publicación).

Figura 1. Estaciones GNSS distribuidas en todo el territorio continental del Ecuador, ubicadas en la zona de la Costa, en los Andes y en la Amazonía

El tamaño de las series temporales de las 30 EMC fueron limitadas a un conjunto de datos que cumpla con la condición de que sea una potencia de 2, es decir N= 2n. De esta manera, la estimación del coeficiente de Hurst fue obtenida a partir de una serie de 256 (28 ), 512 (29 ) y 1024 (210) datos. En la Fig. 2, se pueden observar tres de treinta series temporales, en coordenadas ENU.

Figura 2. Tamaño en potencia de 2 de las Series temporales de variación de coordenadas ENU de la estación Mtec con 256 datos en la parte superior, Alec con 512 datos en la parte del medio, y Maec con 1024 datos en la parte de abajo.

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IV. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Utilizando los procedimientos indicados en la sección 2, se determinaron el coeficiente de Hurst usando tanto el método clásico R/S y la wavelet db8. Para calcular H por el método R/S de cada serie temporal de la variación de coordenadas ENU fueron calculadas para cada subgrupo el respectivo R/S de acuerdo a la ecuación (03). El número de subgrupos depende del tamaño de datos de la serie, en este caso, fueron de 8, 9, y 10 subgrupos para 256, 512, y 1024 datos respectivamente.

Posteriormente, los respectivos coeficientes de Hurst fueron estimados mediante la realización de un ajuste lineal, de acuerdo a la ecuación (05), así como el coeficiente de correlación lineal (Fig. 3). De igual forma, fue utilizada la transformada wavelet db8 con niveles de descomposición de 8, 9, 10 para los subgrupos 256, 512 y 1024 datos, respectivamente; y realizando el ajuste lineal, de acuerdo a la ecuación (08) se obtuvo el coeficiente de Hurst (Fig. 3). El coeficiente de correlación lineal (r) obtenido después de cada ajuste en todas las estaciones de la red GNSS estuvieron entre 0.92< r ≤1.

Figura 3. Ajuste lineal para la determinación del coeficiente de Hurst de la variación de coordenadas ENU de la estación Alec con 512 datos. En la parte izquierda usando R/S y en la derecho con Wavelet db8.

En la Tabla I, se puede observar los valores de los coeficientes de Hurst (H) de las series temporales de la variación de coordenadas ENU, de las 30 EMC con sus respectivos coeficientes de correlación lineal (r) obtenidas con el método R/S y transformada wavelet (db8). En la misma Tabla I, se indica el valor de la media aritmética del coeficiente de Hurst, así como, su desviación estándar, de todas las estaciones de la red GNSS.

TABLA I. ESTIMACIÓN DEL COEFICIENTE DE HURST EN LA RED GNSS DEL ECUADOR

También, el coeficiente de Hurst fue calculado para las estaciones que tenían el mismo tamaño de datos de la serie. En la Tabla II, en la columna 1, se indica el número de estaciones con el mismo tamaño de la serie. Así como los valores del coeficiente de Hurst de las coordenada ENU obtenidas, y los valores de la media aritmética y la desviación estándar.

H R/S

H Wavelet

Station/ ENU East North Up East North Up

Alec 0.97 0.97 0.95 0.90 0.90 0.92 Auca 0.64 0.98 0.90 0.54 0.84 0.80 Chec 0.99 0.99 0.95 0.95 0.99 0.90 Clec 0.91 0.92 0.94 0.86 0.82 0.93 Coec 1.00 1.00 0.90 1.00 1.00 0.86 Cuec 0.96 1.00 0.95 0.90 1.00 0.87 Cxec 0.95 0.94 0.86 0.86 0.76 0.73 Ecec 1.00 1.00 0.93 0.98 0.99 0.81 Epec 0.96 0.93 0.84 0.88 0.79 0.76 Erec 0.78 0.94 0.90 0.72 0.81 0.82 Esmr 1.00 1.00 0.97 1.00 1.00 0.94 Gyec 1.00 1.00 0.82 1.00 1.00 0.74 Ibec 0.99 1.00 0.80 0.97 1.00 0.80 Lrec 0.79 0.90 0.89 0.58 0.81 0.77 Ljec 0.89 1.00 0.88 0.88 0.99 0.88 Maec 0.91 1.00 0.90 0.86 1.00 0.87 Mhec 0.96 1.00 0.90 0.86 0.97 0.86 Mtec 0.75 0.86 0.91 0.55 0.78 0.78 Njec 0.98 0.99 0.92 0.90 0.91 0.87 Pdec 0.91 0.95 0.87 0.79 0.89 0.75 Pjec 1.00 1.00 0.96 0.95 1.00 0.86 Prec 0.82 0.89 0.99 0.67 0.71 0.90 Ptec 1.00 1.00 0.96 1.00 1.00 0.90 Quem 0.89 0.97 0.95 0.82 0.94 0.84 Qvec 1.00 1.00 0.90 1.00 1.00 0.83 Riop 0.90 1.00 0.92 0.89 1.00 0.93 Seec 1.00 1.00 0.88 0.99 1.00 0.82 Snlr 0.98 0.95 0.71 0.90 0.84 0.58 Stec 0.78 0.90 0.90 0.60 0.79 0.74 Tnec 0.85 1.00 0.87 0.78 0.99 0.84 Media Aritm. 0.92 0.97 0.90 0.85 0.92 0.83 Desvia. Estánd. 0.09 0.04 0.06 0.14 0.09 0.08

TIERRA et al.: HURST COEFFICIENT ESTIMATION 1067

Tabla II. COEFICIENTE DE HURST PARA DIFERENTES TAMAÑOS DE LAS SERIES TEMPORALES

El coeficiente de Hurst, por medio del método de Rango Re-Escalado (R/S) se obtuvieron valores medios de H=0.92, H=0.97, y H= 0.90 en las 30 series temporales de la variaciones de coordenadas ENU (east, north, up), respectivamente. Mientras que, con la técnica wavelet fueron para la coordenadas este H=0.85, para la norte H= 0.92, y para up H= 0.83. Como todos los valores son mayores a H>0.5 se puede decir que los dos métodos indican el mismo comportamiento de las series. De la misma manera, se puede decir que su comportamiento no ha cambiado a pesar de tener diferentes tamaños las series.

Observando los resultados en la tabla 1 y la tabla2, se puede indicar que los valores de Hurst obtenidos con los dos métodos en todas las estaciones GNSS están entre 0.5< H≤1, indicando que el comportamiento de todas las series temporales son persistentes, es decir, existe una auto correlación positiva, por lo tanto presentan memoria larga, y es de esperar que su comportamiento y memoria sean similares en el futuro y que a largo plazo tengan la misma tendencia. Observando las media aritméticas de los coeficientes de Hurst de la red GNSS para las variaciones de las coordenadas ENU tiene valores que se aproximan a 1 o son algunos iguales a 1, indicando que hay mayor intensidad del comportamiento persistente, y es este efecto de memoria de largo plazo el que causa la apariencia de tendencias y ciclos en el proceso. Esta aproximación a 1 indicaría la alta probabilidad de que la tendencia actual continúe. Por lo que es lógico pensar que la variación de coordenadas siga esa tendencia debido al movimiento de las placas tectónicas, salvo que exista un evento natural como un terremoto fuerte que cambie esa tendencia.

Pero, si se observan los valores de Hurst, solamente de las estaciones Auca, Lrec, y Mtec, son menores que las demás estaciones ubicadas en lo andes y en la costa ecuatoriana, e inclusive se acerca al valor de H=05, indicando que la probabilidad de que continúe con la misma tendencia actual disminuya. Esto puede ser, porque las tres estaciones al estar ubicadas en la parte amazónica (Fig. 1), se encuentran en la

placa suramericana, cuyo comportamiento del movimiento de la placa es diferente a las demás zonas del Ecuador donde existe mucha actividad sismo-tectónica, [23], [24].

Como las series tienen un carácter persistente, en primera instancia estos resultados sugieren la posibilidad de la presencia de un comportamiento caótico, esta evidencia por más débil que sea es muy importante e interesante para mejorar las predicciones sobre su evolución futura. Por este motivo, las investigaciones continuarán con el estudio de otras medidas como los coeficientes de Lyapunov, Análisis de recurrencia visual, entre otras.

V. CONCLUSIONES

De acuerdo a los resultados obtenidos, se puede indicar lo siguiente:

• Los métodos R/S y wavelet utilizados para la estimación del coeficiente de Hurst dieron los mismos resultados , es decir, se obtuvieron valores mayores a 0.5

• En todas las series temporales, de las estaciones de monitoreo continuo GNNS pertenecientes a la red del Ecuador, se obtuvieron valores del coeficiente de Hurst entre 0.50< H≤1, lo que indican que presentan propiedades persistentes, es decir, correlación positiva.

• El comportamiento de tipo persistente encontrado en todas las serie temporales, no cambia para diferentes tamaños

REFERENCIAS [1] N. Scaffeta. Fractal and Diffusion Entropy Analysis of Time Series:

Theory. concepts. Applications and computer codes for studying fractal noises and Lévy walk signals. VDM Verlag. USA, 2010.

[2] Wolf A, Swuift J, Awinney H,Vastano J (1985). “Determining Lyapunov Exponents from a Time Series”. Physica D, vol. 16, pp. 285-317, 1985.

[3] I. Simonsen, A. Hansen. “Determination of the Hurst exponent by use of wavelet transforms”. Physical Review E, vol.58, no.3, pp: 2779-2787, 1998.

[4] A. Chamoli, A. Ram. A. Dimri. V. “Wavelet and rescaled range approach for the Hurst coefficient for short and long time series”. Computers and Geosciences, vol.33, no.1, pp: 83-93.. doi:10.1016/j.cageo.2006.05.2008, 2007.

[5] F. Masci F, N. Thomas. “On the relation between seismic activity and the Hurst exponent of the geomagnetic field at the time of the 2000 Izu swarm”. Nat. Hazards Earth Syst. Sci.. vol.13, pp. 2189-2194. Doi: 10.5194/nhess-13-2189, 2013.

[6] M. Sánchez, J. Trinidad, J. García. “Some comments on Hurst coeficiente and the long memory processes on capital markets”. Physica A. Elsevier, vol.387, pp. 5543-5551, 2008.

[7] A. Akalin, S. Balaji, Y. Srinivas, N. Yuvaraj. “Plate motion predictibability using Hurst exponent apllied to the Maitri-antarctica GPS network”. Journal of the Geological Society of India. Springer, vol 82, no. 6, pp 613-620, 2013.

[8] A. Akilan, K. Abdul Azeez, H. Schuh, N. Yuvraaj. “Large-Scale Present-Day Plate Boundary Deformations in the Eastern Hemisphere Determined from VLBI Data: Implications for Plate Tectonics and Indian Ocean Growth”. – Pure and Applied Geophysics. 172. 10. pp. 2643—2655, 2015

[9] A.R. Tierra, “Prediction 3-D Velocity for Ecuador by Artificial Neural Network RBF”. IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, vol14, no.1, pp. 386-390, 2016.

H (R/S) H (Wavelet)

N° de Estación/serie Estadística E N U E N U

12/256

Media aritmética 0.85 0.93 0.89 0.74 0.83 0.78 Desviación Estándar 0.11 0.04 0.07 0.15 0.08 0.08

11/512

Media aritmética

0.97 0.99 0.90 0.91 0.96 0.86 Desviación Estándar

0.05 0.03 0.05 0.07 0.07 0.05

8/1024

Media aritmética

0.96 1.00 0.91 0.97 1.00 0.87 Desviación Estándar

0.05 0.00 0.05 0.10 0.03 0.06

1068 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 16, NO. 4, APRIL 2018

[10] L, Sánchez, H. Drewes. “Crustal deformation and surface kinematics after the 2010 earthquakes in Latin America”. Journal of Geodynamics, doi: 10.1016/j.jog.2016.06.005, 2016

[11] D. Cisneros, J-M. Nocquet, “ Campo de velocidades del Ecuador obtenido a través de mediciones de campañas GPS de los últimos 15 años y medidas de una red GPS permanente”. Revista Geoespacial, vol.9, pp. 30-49, Sangolquí-Ecuador, 2012.

[12] H. Drewes, O. Heidbach, “The 2009 Horizontal Velocity Field for South America and the Caribean”. In: Kenyon S., M.C. Pacino, U. Marti (Eds.), Geodesy for Planet Earth, IAG Symposi, 136:657-664, 2012

[13] B. Mandelbrot. “Statistical methodology for nonperiodic cycles from covariance to R/S analysis”. Annals of Economic and Social Measurement, vol1, pp. 259–290, 1972.

[14] S. Katsev, I. L’Heureux. “Are Hurst exponents estimated from short or irregular time series meaningful?”. Computers&Geosciences, vol.29, pp. 1085-1089, 2003.

[15] J. Gao, Y. Cao, W. Tung W, J. Hu. Multiscale analysis of complex time series: Integration of chaos and random fractal theory. and Beyond. Wiley&Sons. 352pp.New Jersey. USA, 2007.

[16] A. Nickolaenko, C. Price, D. Iudin.. “Hurst exponent derived for natural terrestrial raqdio noise in Schumann resonance band”. Geophysical Research Letters. 27. 3185-3188, 2000.

[17] B. Qian, K. Rasheed. “Stock market prediction with multiple classifiers”. Applied Intelligence, vol.26, pp. 25-33, 2007.

[18] S. Redondo, A. Salinas, J. Portí, J. Fornieles, A. Méndez, J. Galindo-Zaldívar, A. ; Pedrera,, A. Ruiz-Constán, F. Anahnah.. “Study of Schumann resonances based on magnetotelluric records from the western Mediterranean and Antarctica”. Journal of Geophysical Research, vol. 115. D2214. Doi:10.129/2010JD014316, 2010.

[19] B. Mandelbrot. J.R. Wallis. “Robustness of the rescaled range R/S in the measurement of noncyclic long-run statistical dependence”. Water Resources Research, vol.5, pp. 967–988, 1969.

[20] W. Keller. Wavelets in Geodesy and Geodynamics. Walter de Gruyter. Berlin. Germany. pp 279, 2004.

[21] S. Mallat. “A theory for multi-resolution signal decomposition: The wavelet representation”. IEEE Transaction on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol.11, no.7, pp. 674-693, 1989.

[22] I. Daubechies. Ten Lectures on Wavelets, (1st ed.) CBMC Series 61, SIAM, 198:254-257, 1992.

[23] E. Jaillard, G. Hérail, T. Monfret, E. Díaz-Martínez, P. Baby, A. Lavenu, J.F. Dumont. “Tectonic evolution of the Andes of Ecuador, Peru, Bolivia and northernmost Chile”. Tectonic Evolution of South America, vol.31, pp. 481-559, 2000.

[24] A. Kerr, J. “Tarney. Tectonic evolution of the Caribbean and northwestern South America: The case for accretion of two Late Cretaceous oceanic plateaus”. Geology, vol.33, no.4, pp. 269-272, 2005.

Alfonso Tierra es desde julio de 1994 profesor en la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE, Sangolquí, Ecuador. Actualmente es coordinador del Grupo de Investigación Geoespacial, y editor de la Revista Geoespacial. Obtuvo el título de Ingeniero Geógrafo en la Escuela Politécnica del Ejército, Quito, Ecuador en 1989. Recibió el título de Master en Ciencias Geodésicas por la

Universidade Federal do Paraná, Curitiba, Brasil, en 1993, y de Doctor en Ciencias Geodésicas por la misma Universidad en el 2003. Sus investigaciones se concentran en el área relacionado con las Ciencias Geodésicas.

Marco Luna es desde febrero de 1995 profesor en la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE, Sangolquí, Ecuador. Actualmente es doctorando de la Universidad Politécnica de Madrid, España. Obtuvo el título de Ingeniero Geógrafo en la Escuela Politécnica del Ejército, Quito, Ecuador en 1994. Recibió el título de Master en Energía y Medio Ambiente en la Escuela Politécnica del

Ejército, Ecuador, en 2008 y Master en Estadística Aplicada en la Escuela Politécnica Nacional, Ecuador, en 2012. Sus investigaciones se concentran en el área relacionado con las Ciencias Geodésicas y Análisis de Series Temporales.

Alejandra Staller es Profesora Titular de la Universidad Politécnica de Madrid, actualmente es Subdirectora del Departamento de Ing. Topográfica y Cartografía. Recibió el título de Doctora en la Universidad Politécnica de Madrid, España, en 2014. Sus investigaciones están relacionadas con las Ciencias Geodésicas y estudios Sismo Tectónicos.

Christian G. Pilapanta A. es desde febrero de 2016, estudiante del programa de Pos-graduación en Ciencias Geodésicas de la Universidad Federal de Paraná, Curitiba, Brasil. Actualmente forma parte del grupo de investigadores del Laboratorio de Geodesia Espacial e Hidrografía de la Universidad Federal de Paraná y del

Grupo de Investigación Geoespacial de la Universidad de las Fuerzas Armadas, ESPE. Obtuvo su título de Ingeniero Geógrafo y del Medio Ambiente en la Universidad de las Fuerzas Armadas, ESPE, Sangolquí, Ecuador, en 2013. Sus investigaciones se concentran en el área de la Geodesia Espacial.

Ricardo Romero obtuvo su título de Ingeniero Geógrafo y del Medio Ambiente por la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE, Sangolquí, Ecuador en el año 2013. Actualmente, es estudiante de maestría en ciencias del programa Ingeniería Geomática en la Universidad de Stuttgart en Alemania. Sus investigaciones principales se orientan a los sistemas de Navegación Global por Satélites

(GNSS), Redes Neuronales Artificiales, programación en Open Source.

L.I. Porras-Ramirez, Recibió su grado de Físico en el 2006 en la Universidad de Carabobo, Venezuela y su M.Sc. en la Universidad Claude Bernard Lyon 1, Francia. Trabajó en Venezuela como Profesor Universitario en la Universidad José Antonio Páez y en la Universidad de Carabobo. Trabajó como Investigador en el Laboratorio de Ingeniería de Materiales Poliméricos de la Universidad Claude Bernard

Lyon 1 y como investigador visitante en el Laboratorio de Electroquímica en la Universidad de Calgary, Canadá. Actualmente se desempeña como investigador de la Gestión de Investigación y Desarrollo del Instituto Geográfico Militar, Quito-Ecuador. Sus principales áreas de investigación son: Síntesis de Nanopartículas, Caracterización de materiales, polímeros e hidrogeles, sistemas de entrega dosificada de fármacos, biomateriales, nanotecnología, ingeniería biomédica y de tejidos, biofísica, simulación y modelamiento, análisis matemático y programación, circuitos, electrónica, sistemas electromecánicos, entre otros.

TIERRA et al.: HURST COEFFICIENT ESTIMATION 1069