Hallo Gr 11 Wiskunde leerders

NB. Ek sukkel om die res van Oefening 12 (Meetkunde) te scan.

Ek sal aanhou probeer.

As jy weet van Wiskunde leerders wat dalk nie op Brandwag se

Internet kan kom nie, stuur asb die oefeninge op Whattsup aan hulle.

Doen asseblief hersiening van verlede jaar se funksies en alle trigonometrie- werk.

Kyk gerus na wolkskool op Brandwag se webblad en Klaskamer 10 op kanaal 145 op die televisie.

Sterkte en lekker werk oor die volgende 3 weke.

Bladsy 1 van 68

Bladsy 2 van 68

HERSIENINGSOEFENING VAN GRAAD 10 WERK VIR VOORBEREIDING VIR KWARTAAL 2 GRAAD 11 SE WERK.

Dit is dalk ‘n bietjie baie werk, maar gaan verby die werk wat vir jou maklik is en oefen die moeiliker werk.

Graad 10

Funksies

Werkkaart 1

Vraag 1: Die algemene vergelyking van ‘n reguitlyn word gegee deur y=mx+c. Wat is die waardes van m en c in die volgende vergelykings?

1.1 y=3 x (2)

1.2 y=x+3 (2)

1.3 y=2 (2)

1.4 y=−12

x+1 (2)

1.5 y=−2x−5 (2)

1.6 y=−32

x+ 13 (2)

[12]

Vraag 2:

2.1 Voltooi die volgende tabel: (3)

x -2 0 2

y=x -2

y=2x 4

y=12x 0

Bladsy 3 van 68

2.2 Gebruik die tabel in 2.1 en skets die grafieke van y=x ; y=2x en y=12x op

dieselfde assestelsel. (4)

2.3 Wat is die invloed van m op die grafiek van die vergelyking y=mx ? (1)

[8]

Vraag 3:

3.1 Gebruik die x-waardes{−1 ;0 ;1 } om die grafieke van y=−x; y=−x−2en y=−x+3op dieselfde assestelsel te skets. (4)

3.2 Watter ooreenkoms is daar tussen die y-afsnit en die waarde van c in elke vergelyking? (1)

[5]

Vraag 4: Skets grafieke van die volgende lineêre funksies. Bepaal en dui die afsnitte met die asse aan.

4.1 y=−2x−1 (2)

4.2 y=x+3 (2)

4.3 y=−x+3 (2)

4.4 x=2 y−4 (2)

4.5 y=2 (2)

4.6 x=−1 (2)

[12]

Vraag 5: Bepaal die vergelyking van die lyn:

5.1 deur die punte (4 ;0) en (0 ;−4 ). (3)

5.2 met ‘n gradiënt van −2 en wat die y-as by −1 sny. (1)

5.3 wat die x-as by −2 en die y-as by 6 sny. (3)

5.4 wat deur die punt (2 ;−4) gaan en die y-as by 1 sny. (3)

[10]

Vraag 6: As die twee lyne x− y=−1 en y=ax+ 52 se snypunt se koördinate (1 ;2) is, bepaal

die waarde van a. [3]

Bladsy 4 van 68

Totaal: [50]

Memorandum

Vraag 1:

1.1 y=3 x m=3 c=0 (2)

1.2 y=x+3 m=1 c=3 (2)

1.3 y=2 m=0 c=2 (2)

1.4 y=−12

x+1 m=−12 c=1 (2)

1.5 y=−2x−5 m=−2 c=−5 (2)

1.6 y=−32

x+ 13

m=−32

c=13 (2)

[12]

Vraag 2:

2.1

x -2 0 2

y=x -2 0 2

y=2x -4 0 4

y=12x -1 0 1

(3)

2.2 Die grafieke van y=x ; y=2x en y=12x. (4)

Bladsy 5 van 68

2.3 Hoe groter m, hoe steiler is die grafiek.m is die helling van die grafiek (1)

[8]

Vraag 3:

3.1 Die grafieke y=−x; y=−x−2 en y=−x+3. (4)

3.2 Die y-afsnit en die waarde van c is dieselfde in elke vergelyking. (1)

[5]

Vraag 4:

4.1 y=−2x−1 (2)

y-afsnit: Stel x=0: y=−1

x-afsnit: Stel y=0: 0=−2 x−1

∴2 x=−1∴ x=−12

4.2 y=x+3 (2)

y-afsnit: Stel x=0: y=3

x-afsnit: Stel y=0: 0=x+3∴ x=−3

4.3 y=−x+3 (2)

y-afsnit: Stel x=0: y=3

x-afsnit: Stel y=0: 0=−x+3∴ x=3

4.4 x=2 y−4

y-afsnit: Stel x=0: 0=2 y−4∴2 y=4∴ y=2

x-afsnit: Stel y=0: x=−4

4.5 y=2

y-afsnit: y=2

x-afsnit: geenBladsy 6 van 68

4.6 x=−1 (2)

y-afsnit: Geen

x-afsnit: x=−1:

[12]

Vraag 5: Die vergelyking van die lyn:

5.1 deur die punte (4 ;0) en (0 ;−4 ). (3)

Bladsy 7 van 68

Y-afsnit is -4. ∴ y=mx−4OFm=−4−00−4 Vervang die punt (4 ;0 ) in y=mx−4:

¿1

0=m (4 )−4 c=−4∴4m=4∴ y= x−4∴m=1

∴ y=1x−4of y=x−4

5.2 met ‘n gradiënt van −2 en wat die y-as by −1 sny. (1)

m=−2 en c=−1

y=−2x−1

5.3 wat die x-as by −2 en die y-as by 6 sny. (3)

Metode 1: y=mx+6

Vervang punt (-2; 0):

0=m (−2 )+6∴2m=6∴m=3

∴ y=3x+6

Metode 2: c=6

m=∆ y∆ x

= 6−00−(−2)

=62=3

∴ y=3x+6

Bladsy 8 van 68

5.4 wat deur die punt (2 ;−4) gaan en die y-as by 1 sny. (3)

Y-afsnit = 1: ∴ c=1

Vervang punt (2 ;−4) in y=mx+1:

Dus: −4=m (2 )+1∴2m=−4−1∴2m=−5∴m=−52

y=−52

x+1 [10]

Vraag 6:

Die punt (1 ;2) bevredig albei vergelykings. Vervang dus (1 ;2) in albei vergelykings om die onbekendes te bereken.

b (1 )− (2 )=−1∴b=−1+2¿1

2=a (1 )+ 52∴a=2−2 1

2¿−12

[3]

Totaal: [50]

Graad 10

Funksies

Werkkaart 2

Bladsy 9 van 68

Vraag 1: Een van die algemene vergelykings van die kwadratiese funksie is in die vorm y=a x2+q waar a≠0. Gee die waardes van a en q in elk van die volgende vergelykings.

1.1 y=x2 (2)

1.2 y=−x2+1 (2)

1.3 y=3 x2−1 (2)

1.4 y=−12

x2+6 (2)

1.5 3 y=−6x2−9 (2)

[10]

Vraag 2:

2.1 Die parabool y=2x2 se arms is nader aan/verder van die y-as as y=x2 se arms. (1)

2.2 Die vergelyking y=−2x2 het ‘n minimum/maksimum waarde (1)

2.3 Die y-afsnit van y=−x2+5 is die punt (__; __). (1)

2.4 Die y-koördinaat van die draaipunt van ‘n parabool van die vorm y=a x2+q is dieselfde as die __-waarde. (1)

2.5 ‘n Positiewe q-waarde laat die grafiek op/af skuif. (1)

2.6 As a<0, wys die parabool se arms na bo/onder. (1)

2.7 Die x-afsnit(te) word ook die _________ van die vergelyking genoem. (1)

[7]

Vraag 3: Beskou die funksie f ( x )=−x2+4.

3.1 Skryf die koördinate van die draaipunt neer. (1)

3.2 Bepaal die koördinate van die x-afsnitte algebraïes. (3)

3.3 Skets die grafiek van f ( x )=−x2+4. (3)

3.4 Vir watter waardes van x is f dalend? (2)

3.5 Gee die waardeversameling van f . (2)

3.6 Gee die vergelyking vanh ( x ) as h ( x ) die resultaat is as f ( x )=−x2+4 met 5 eenhede afgeskuif word. (2)

[13]

Totaal: [30]

Memorandum

Bladsy 10 van 68

Vraag 1:

1.1 y=x2 a=1 q=0 (2)

1.2 y=−x2+1 a=−1 q=1 (2)

1.3 y=3 x2−1 a=3 q=−1 (2)

1.4 y=−12

x2+6 a=−12 q=6 (2)

1.5 3 y=−6x2−9 a=−2 q=−3 (2)

[10]

Vraag 2:

2.1 Die parabool y=2x2 se arms is nader aan die y-as as y=x2 se arms. (1)

2.2 Die vergelyking y=−2x2 het ‘n maksimum waarde (1)

2.3 Die y-afsnit van y=−x2+5 is die punt (0; 5). (1)

2.4 Die y-koördinaat van die draaipunt van ‘n parabool van die vorm y=a x2+q is dieselfde as die q-waarde. (1)

2.5 ‘n Positiewe q-waarde laat die grafiek opskuif. (1)

2.6 As a<0, wys die parabool se arms na onder. (1)

2.7 Die x-afsnit(te) word ook die wortel(s)van die vergelyking genoem. (1)

[7]

Vraag 3: f ( x )=−x2+4

3.1 Draaipunt: (0; 4) (1)

3.2 X-afsnitte: Stel y=0: (3)

∴0=−x2+4∴ x2=4∴ x=2of x=−2 . Koördinate: (-2; 0) en (2; 0).

3.3

Bladsy 11 van 68

(3)

3.4 x>0 ( of x∈ (0 ;∞ ) ¿ (2)

3.5 y ≤4 ( of y∈¿ ) (2)

3.6 h ( x )= f (x )−5¿−x2+4−5¿−x2−1 (2)

[13]

Totaal: [30]

Graad 10

Funksies

Werkkaart 3

Bladsy 12 van 68

Vraag 1:

1.1 Gee die vergelyking van g(x ) as g(x ) die grafiek is wat gevorm word as f (x)=2x2

met nege eenhede afskuif. (1)

1.2 Gee die minimumwaarde van g(x ). (1)

1.3 Vir watter waardes van x sal g(x )<0. (3)

1.4 Bepaal x as g ( x )=−7. (3)

[8]

Vraag 2: Bepaal die vergelykings van die volgende parabole:

2.1 . (3)

2.2 (4)

2.3 y=−x2+q (3)

2.4 . (4)

2.5 .

2.6

Bladsy 13 van 68

[20]

Vraag 3: Beskou die grafiek van die funksiesf ( x )=−a x2+q en g ( x )=mx+c.f en g sny in A(0; 6) en B(3 ;0).

3.1 Bepaal die waardes van a ,m ,c en q. (6)

3.2 Bereken:

3.2.1 OA (1)

3.2.2 BC (1)

3.2.3 AB (3)

3.3 Bepaal die simmetrie-as van f . (1)

3.4 Gee die waardeversameling (terrein) vanf . (2)

3.5 Gee die definisieversameling (gebied) van g. (1)

3.6 Bepaal vir watter waarde(s)van xis f ( x )<0. (2)

[17]

Totaal: [45]

Memorandum

Vraag 1:

1.1 g ( x )=f ( x )−9=2 x2−9 (1)

1.2 Minimum waarde van g ( x ) is −9. (1)

1.3 2 x2−9<0

Kritieke waardes:

2 x2−9=0∴ x2−92=0∴ x=± 3

√2

g(x )<0 vir waardes van x tussen die twee kritieke waardes.

∴g( x)<0 vir −3√2

< x< 3√2

(3)

1.4 2 x2−9=−7∴2 x2=−7+9∴2 x2=2∴ x2=1∴ x=±1 (3)

[8]Bladsy 14 van 68

Vraag 2:

2.1 y=a x2+3 (3)

Vervang (-1; 5) in vgl:

5=a (−1 )2+3∴a=5−3¿2

Dus: y=2x2+3

Bladsy 15 van 68

2.2 y=a (x−x1) (x− x2 ) (4)

∴=a (x− (−4 ) ) ( x−(4 ) )¿a ( x+4 ) (x−4 )

Vervang (-3; -7) in vgl:

−7=a (−3+4 ) (−3−4 )−7=a (1 ) (−7 )∴a=1

y=(1)( x+4 ) (x−4 )y=x2−16

2.3 y=−x2+q

Vervang(2 ;−5 ) :

−5=−(2 )2+q∴q=−5+4¿−1 (3)

∴ y=−x2−1

2.4 y=a ( x+2 ) ( x−2 ) (4)

Vervang (-1; 6):

6=a (−1+2 ) (−1−2 )6=a (1 ) (−3 )

∴a= 6−3¿−2

y=−2 ( x+2 ) ( x−2 )¿−2 ( x2−4 )y=−2x2+8

2.5 y=a x2−16 (3)

Vervang (2; 0) in vgl:

0=a (2 )2−16∴4a=16∴a=4

y=4 x2−16

2.6 y=a x2+36

Vervang (6; 0) in vgl:

0=a (6 )2+36∴36 a=−36∴a=−1

y=−x2+36

Bladsy 16 van 68

[20]

Vraag 3: Beskou die grafiek van die funksies f ( x )=−a x2+q en g ( x )=mx+c. f en g sny in A(0; 6) en B(3 ;0).

3.1 c=6 en q=6 (albei y-afsnitte).

m=y A− yBx A−xB

¿ 6−00−3 ¿−2

Vervang (3; 0) in f ( x )=−a x2+6

dan is 0=−a (3 )2+6∴9a=6∴a=69¿ 23 (6)

3.2 3.2.1 OA= y A− yO¿6−0¿6 (1)

3.2.2 BC=x B−xC¿3−(−3 )¿6 (1)

3.2.3 AB2=OB2+OA 2 [Pythagoras]

¿32+62¿9+36¿45∴ AB=√45 (3)

3.3 Simmetrie-as van f : x=0. (1)

3.4 Waardeversameling van f : y ≤6. (2)

3.5 Definisieversameling van g: x∈ R. (1)

3.6 f ( x )<0 vir x←3 of x>3. (2)

[17]

Totaal: [45]

Graad 10

Funksies

Werkkaart 4

Bladsy 17 van 68

Vraag 1: Die algemene vergelyking van ‘n hiperboolword gegee asy=ax+q. Wat is die waardes

van a en q in die volgende vergelykings?

1.1 y=1x (2)

1.2 y= 4x+1 (2)

1.3 y= 13 x

−2 (2)

1.4 y=−6x

+2 (2)

[8]

Vraag 2: Beskou die funksiey= 4x en beantwoord die daaropvolgende vrae.

2.1 Voltooi die volgende tabel:

x -8 -4 -2 -1 0 1 2 4 8

y ...... -1 ...... -4 −¿ ...... 2 1 ......

(2)

2.2 Gebruik die tabel en skets die grafiek van y= 4x . (3)

2.3 Vir watter waardes van x is die grafiek stygend? (1)

2.4 Gee die vergelyking van

2.4.1 die horisontale asimptoot. (1)

2.4.2 die vertikale asimptoot. (1)

2.5 Gee die definisieversameling (gebied) van die grafiek. (2)

2.6 Gee die waardeversameling (terrein) van die grafiek. (2)

2.7 Het die grafiek van y= 4x ‘n simmetrie-as? (1)

Bladsy 18 van 68

[13]

Vraag 3:

3.1 Skets die grafiek van y= 4x+1. Gebruik die grafiek van vraag 1 as riglyn. (3)

3.2 Wat is die invloed van q op die grafiek van y=ax+q? (1)

[4]

Vraag 4: Gee die vergelykings van die asimptote van die volgende vergelykings:

4.1 y=3x+1 (2)

4.2 y=−4x

−2 (1)

4.3 y=−2x (1)

4.4 y=6x+2 (1)

[5]

Vraag 5: Die waardeversameling van ‘n hiperboliese funksie y=ax+q.word gegee as

{ y : y∈ R; y≠1 }. Wat is die waarde van q in dié vergelyking? [1]

Totaal: [31]

Graad 10

Funksies

Werkkaart 4

Bladsy 19 van 68

Memorandum

Vraag 1:

1.1 y=1x a=1 q=0 (2)

1.2 y= 4x+1 a=4 q=1 (2)

1.3 y= 13 x

−2 a=13 q=−2 (2)

1.4 y=−6x

+2 a=−6 q=2 (2)

[8]

Vraag 2: Beskou die funksiey= 4x en beantwoord die daaropvolgende vrae.

2.1 Voltooi die volgende tabel:

x -8 -4 -2 -1 0 1 2 4 8

y −12 -1 -2 -4 −¿ 4 2 1

12

(2)

2.2 y= 4x . (3)

Bladsy 20 van 68

2.3 Stygend vir geen waardes van x. (1)

2.4.1 Horisontaal: y=0. (1)

2.4.2 Vertikaal:x=0. (1)

2.5 Definisieversameling: x∈ R ,x ≠0. (2)

2.6 Waardeversameling: y∈R , y≠0. (2)

2.7 Ja. (Simmetrie-asse: y=−x , y=x). (1)

[13]

Vraag 3:

3.1 Die grafiek van y= 4x+1 met vraag 1 as riglyn. (3)

Bladsy 21 van 68

3.2 Vir elke x-waarde is die ooreenstemmende y-waarde nou 1(¿q) meer as in die vorige grafiek. In effek word die grafiek q eenhede boontoe geskuif. Negatiewe q-waardes sal die grafiek ondertoe skuif met q eenhede. (1)

[4]

Vraag 4: Die vertikale asimptote sal in al die gevalle dieselfde wees, nl. x=0. Die horisontale asimptote is soos volg: (1)

4.1 y=1 (1)

4.2 y=−2 (1)

4.3 y=0 (1)

4.4 y=2 (1)

[5]

Vraag 5: Die asimptoot van ‘n hiperboliese funksie y=ax+q is altyd die waarde wat die funksie

nie kan aanneem nie. Dus is q=1 [1]

Totaal: [31]

Bladsy 22 van 68

Graad 10

Funksies

Werkkaart 5

Vraag 1: Teken sketse vany=ax+q as

1.1 a>0 en q=0 (2)

1.2 a<0 en q=0 (2)

1.3 a<0 en q>0 (2)

1.4 a<0 en q<0 (2)

1.5 a>0 en q>0 (2)

1.6 a>0 en q<0 (2)

[12]

Vraag 2: Bepaal die vergelykings van die volgende grafieke:

2.1 (3)

2.2 (3) 2.3Bladsy 23 van 68

2.4 (4)

2.5

[17]

Vraag 3: In die skets isf (x)=7x en g is ‘n reguitlyn. A en B is punte op f .

3.1 Bepaal die vergelyking van die reguitlyng. (2)

3.2 Bepaal die koördinate van A en B (die punte van die hiperbool naaste aan die oorsprong) (3)

Bladsy 24 van 68

3.3 Bepaal die lengte van OA. (3)

3.4 Gee die definisieversameling van f . (1)

3.5 Gee die vergelykings van die simmetrie-asse van f . (2)

[11]

Totaal: [40]

Bladsy 25 van 68

Memorandum

Vraag 1:

1.1 a>0 en q=0 (2)

1.2 a<0 en q=0 (2)

1.3 a<0 en q>0 (2)

1.4 a<0 en q<0

1.5 a>0 en q>0

1.6 a>0 en q<0

Vraag 2:

Bladsy 26 van 68

2.1 q=0. Vervang (-2; 4) in y=ax

∴4= a−2

∴a=−8 (3)

∴ y=−8x

2.2 q=0. Vervang (3; 1) in y=ax

∴1=a3

∴a=3 (3)

∴ y=3x

Bladsy 27 van 68

2.3 q=−2. Vervang (2; 0) in y=ax−2.

∴0=a2−2∴ a

2=2∴a=4 (3)

∴ y=4x−2

2.4 q>0 maar onbekend. Vervang (1; 3) en (-2; 0) in y=ax+q om twee vergelykings met

twee onbekendes te kry wat gelyktydig opgelos kan word:

(1 ;3):3=a1+q∴3=a+q⟶ A

(−2 ;0 ) :0= a−2

+q∴0=a−2q⟶B

A−B :3=3q∴q=1

In A: 3=a+1∴a=2 (4)

∴ y=2x+1

2.5 q=1. Vervang (-1; -3) iny=ax+1:

∴−3= a−1

+1×−1 :3=a−1∴a=4

∴ y=4x+1 (4)

[17]

Vraag 3: In die skets isf (x)=7x en g is ‘n reguitlyn. A en B is punte op f .

Bladsy 28 van 68

3.1 Die helling van g is 1 want dit maak ‘n hoek van 45 ° met die positiewe x-as (m=tan 45 °). Die lyn gaan deur die oorsprong, met ander woorde c=0.

∴ y=(1 ) x+0∴ y=x(2)

3.2 Die punte A en B se x- en y-koördinate is dieselfde. Dus uit y=7x volg dat

xy=7∴ x2=7∴ x=∓ √7= y

∴ A (−√7 ;−√7) en B(√7 ;√7). (3)

3.3 OA2=(x A)2+( y A)

2 Pythagoras

¿√72+√72¿7+7¿14

∴OA=√14 (3)

3.4 Definisieversameling van f : x∈ R ,x ≠0. (1)

3.5 Simmetrie-asse van f : y=x en y=−x. (2)

[11]

Totaal: [40]

Graad 10

Bladsy 29 van 68

Funksies

Werkkaart 5

Memorandum

Vraag 1:

1.1 a>0 en q=0 (2)

1.2 a<0 en q=0 (2)

1.3 a<0 en q>0 (2)

1.4 a<0 en q<0

1.5 a>0 en q>0

1.6 a>0 en q<0

Bladsy 30 van 68

Bladsy 31 van 68

Vraag 2:

2.1 q=0. Vervang (-2; 4) in y=ax+0

∴4= a−2

∴a=−8 (3)

∴ y=−8x

2.2 q=0. Vervang (3; 1) in y=ax+0

∴1=a3

∴a=3 (3)

∴ y=3x

Bladsy 32 van 68

2.3 q=−2. Vervang (2; 0) in y=ax−2.

∴0=a2−2∴ a

2=2∴a=4 (3)

∴ y=4x−2

2.4 q>0 maar onbekend. Vervang (1; 3) en (-2; 0) in y=ax+q om twee vergelykings met

twee onbekendes te kry wat gelyktydig opgelos kan word:

(1 ;3 ):3=a1+q3=a+q

∴3−q=a⟶ A

(−2 ;0 ) :0= a−2

+q∴0=a−2q

∴2q=a⟶B

A=B

3−q=2q

3=3q∴q=1

In A: 3−q=a∴a=2 (4)

∴ y=2x+1

Bladsy 33 van 68

2.5 q=1. Vervang (-1; -3) iny=ax+1:

∴−3= a−1

+1−4=−a∴a=4

∴ y=4x+1 (4)

[17]

Bladsy 34 van 68

Vraag 3: In die skets isf (x)=7x en g is ‘n reguitlyn. A en B is punte op f .

3.1 Die helling van g is 1 want dit maak ‘n hoek van 45 ° met die positiewe x-as (m= tan 45 °). Die lyn gaan deur die oorsprong, met ander woorde c=0.

∴ y=(1 ) x+0∴ y=x g ( x )=x(2)

3.2 Die punte A en B se x- en y-koördinate is dieselfde. Dus uit y=7x volg dat

xy=7 x= y∴ x2=7∴ x=±√7= y

∴ A (−√7 ;−√7) en B(√7 ;√7). (3)

3.3 OA2=(x A)2+( y A)

2 Pythagoras

¿√72+√72¿7+7¿14

∴OA=√14 (3)

3.4 Definisieversameling van f : x∈ R ,x ≠0. (1)

3.5 Simmetrie-asse van f : y=x en y=−x. (2)

[11]

Totaal: [40]

Bladsy 35 van 68

Graad 10

Funksies

Werkkaart 6

Vraag 1: Die algemene vergelyking van ‘n eksponensiële funksie isy=a ∙bx+qwaar b>0 en b≠1. Skryf neer die waardes van a ,b en q in elk van die volgende vergelykings:

1.1 y=3 ∙2x+1 (3)

1.2 y=3x−1 (3)

1.3 y=−2x+1 (3)

1.4 y=(12 )x

−2 (3)

1.5 y=−3∙2− x (3)

[15]

Vraag 2: Teken ruwe sketse van y=a ∙bx+q as

2.1 a>0, b>1 en q=0 (2)

2.2 a<0, b>1 en q=0 (2)

2.3 a>0, 0<b<1 en q=0 (2)

2.4 a<0, 0<b<1 en q=0 (2)

2.5 a>0, b>1 en q<0 (2)

2.6 a>0, b>1 en q>0 (2)

[12]

Vraag 3: Bepaal die vergelykings van die volgende grafieke:

3.1 Die grafiek is van die vorm y=bx en loop deur die punt

Bladsy 36 van 68

3.1.1 (2 ;4) (2)

3.1.2 (2 ;0.25) (2)

3.1.3 (−2 ; 19) (2)

3.2 Die volgende grafieke is van die vorm y=a ∙bx. Bepaal hulle vergelykings.

3.2.1

b=2

(3)

3.2.2

3.3 Die volgende grafieke is van die vorm y=bx+q. Bepaal hulle vergelykings.

3.3.1

(4)

3.3.2

[22]

Vraag 4: Bepaal die vergelykings van die volgende grafieke:

4.1 (6)

4.2 a=1 (3)

4.3 a=1(3)

Bladsy 37 van 68

4.4 a=1 (4)

[16]

Totaal: [65]

Totaal: [65]

Bladsy 38 van 68

Graad 10

Funksies

Werkkaart 6

Memorandum

Vraag 1: y=a ∙bx+q

1.1 y=3 ∙2x+1 a=3 b=2 q=1 (3)

1.2 y=3x−1 a=1 b=3 q=−1 (3)

1.3 y=−2x+1 a=−1 b=2 q=1 (3)

1.4 y=(12 )x

−2 a=1 b=12 q=−2 (3)

1.5 y=−3∙2− x a=−3 b=12 q=0 (3)

[15]

Vraag 2:

2.1 a>0, b>1 en q=0 (2)

2.2 a<0, b>1 en q=0 (2)

Bladsy 39 van 68

2.3 a>0, 0<b<1 en q=0 (2)

2.4 a<0, 0<b<1 en q=0 (2)

2.5 a>0, b>1 en q<0 (2)

2.6 a>0, b>1 en q>0 (2)

Bladsy 40 van 68

Vraag 3:

3.1 Vervang die gegewe punte in die vergelykingy=bx:

3.1.1 (2 ;4 ): 4=b2∴b=2

Vergelyking: y=2x (2)

3.1.2 (2 ;0.25 ) : 14=b2∴b=1

2

Vergelyking: y=(12 )x

of y=2−x (2)

3.1.3 (−2 ; 19 ) : 19=b−2∴3−2=b−2∴b=3

Vergelyking: y=3x (2)

3.2 3.2.1 Gegee b=2, Stel (0 ; 12 ) in y=a ∙2x.

∴ 12=a ∙20

∴a=12

Vergelyking: y=12∙2

x

(3)

3.2.2 Stel (0; 3) in y=a ∙bx

∴3=a ∙b0∴a=3

Stel (1; 6) in y=3 ∙ bx

∴6=3 ∙ b1∴b=2

Vergelyking: y=3 ∙2x (4)

3.3 3.3.1 Die asimptoot y=−2 beteken dat q=−2. Stel dan (2 ;2) in y=bx+q.Bladsy 41 van 68

∴2=b2−2∴b2=4∴b=±2 (maar b>0 )∴b=2.

Vergelyking: y=2x−2. (4)

3.3.2 Stel (0; 2) in y=bx+q:

2=b0+q2=1+q

q=1

Stel nou (-2; 5) in y=bx+1:

∴5=b−2+1∴b−2=4∴( 1b )2

=22∴ 1b=2∴b=1

2

Vergelyking: y=(12 )x

+1. (5)

[22]

Vraag 4:

4.1.1 q=0 want asimptoot is op x-as.a=1 want y-afsnit is (0; 1).Stel (2; 4) in y=bx.

4=b2∴b=2

Verg: y=2x (3)

4.1.2 y=2−x (simmetries in y-as) (1)

4.1.3 y=−2−x (simmetries in x-as) (1)

4.1.4 y=−2x (simmetries in y-as) (1)

4.2 y=bx+q

∴ y=bx+2Stel in (2 ;6 )∴6=b2+2∴b2=4∴b=2(b>0)

Vgl: ∴ y=2x+2

4.3 y=bx+q(0 ;−3): −3=1+q∴q=−4

(-2; 0): 0=b−2−4∴( 1b )2

=4∴b=12

Vgl: ∴ y=( 12 )x

−4

4.4 y=bx+q

(0 ;−2): −2=1+q∴q=−3

(1 ;0): 0=b1−3∴b=3

Vgl: ∴ y=3x−3 (3)

Bladsy 42 van 68

[16] Totaal: [65]

Totaal: [65]

Bladsy 43 van 68

Graad 10

Funksies

Werkkaart 7

Vraag 1: Die grafieke van f (x)=bx en g ( x )=mx+csny mekaar by A op die y-as en in die punt B(1; 3). Die grafiek van g sny die x-as by C.

1.1 Gee die koördinate van A. (1)

1.2 Bepaal die vergelykings van:

1.2.1 f en (3)

1.2.2 g (3)

1.3 Skryf die waardeversameling van f neer. (2)

1.4 Bepaal die koördinate van punt C. (2)

1.5 Vir watter waardes van x is:

1.5.1 f (x)>0 en (1)

1.5.2 g(x )>0 (1)

1.5.3 g(x )≤ f (x)? (2)

[15]

Vraag 2: Die grafieke van f ( x )=−4x

+1 en g(x )=a ∙bx

word gegee. f en g sny by D(−1 ;5).

2.1 Bepaal die vergelyking van g(x ). (5)

2.2 Skryf die definisieversameling van f neer. (2)

2.3 Gee die vergelykings van die asimptote van f . (2)

2.4 Gee die refleksie van g in die y-as. (2)

2.5 Bepaal die lengte van AB as OC=2 eenhede. (4)

[15]

Bladsy 44 van 68

Totaal: [30]

Graad 10

Funksies

Werkkaart 7

MemorandumVraag 1: f (x)=bx en g ( x )=mx+c

1.1 A(0; 1) want in f (x) is a=1. (1)

1.2 1.2.1 Stel (1; 3) in f (x)=bx.

∴3=b1∴b=3

Vgl: f (x)=3x (3)

1.2.2 Stel (1; 3) in g ( x )=mx+1OF mg=3−11−0

=2

∴3=m (1 )+1 y-afsnit by A(0; 1)∴m=3−1=2∴g ( x )=2 x+1

Vgl: g ( x )=2 x+1 (3)

1.3 f : y>0 , y∈R (2)

1.4 Vir punt C, stel y=0 in g(x ).

∴0=2 x+1∴ x=−12 .C (−1

2;0) (2)

1.5 1.5.1 f (x)>0 vir alle waardes van x. (1)

1.5.2 g(x )>0 as x>−12 . (1)

1.5.3 g(x )≤ f (x)(kyk by elke snypunt)Bladsy 45 van 68

as x≤0 of x≥1. (2)

[15]

Vraag 2: f ( x )=−4x

+1 en g(x )=a ∙bx

2.1 Uit f is E(0; 1). Dus is a=1 in g(x ).

Stel (-1; 5) in g ( x )=bx. ∴5=b−1

∴b=15

∴g( x)=( 15 )x

(5)

2.2 Def. vers. f : x∈ R ,x ≠0. (2)

2.3 y=1 en x=0 (2)

2.4 Refleksie van g in die y-as:y=5x (2)

2.5 AB=g (2 )−f (2 )¿( 15 )2

−(−42 +1)¿ 125+2−1¿1 125 (4)Totaal: [30]

Bladsy 46 van 68

Graad 10

Funksies

Werkkaart 8

Vraag 1: Die grafieke van f ( x )=x2+2 en

g ( x )=a x2+q is gegee.

1.1 Bepaal die vergelyking van g(x ). (4)

1.2 Bereken die koördinate van G , A en F. (4)

1.3 Bepaal die lengte van

1.3.1 AF (1)

1.3.2 TK (5)

1.3.3 AB (1)

1.3.4 DE as OC=3 eenh (3)

[18]

Vraag 2: Die grafieke van f (x)=2−x en g(x )=−2−x word gegee.Bereken:

2.1 die koördinate van C en D. (2)

2.2 AB as OH=2 eenhede. (3)

2.3 die koördinate van E en F as EF=12 . (4)

[9]

Vraag 3: Die grafieke van f ( x )=ax en g(x )=2x

word gegee.Bladsy 47 van 68

3.1 Bepaal die vergelyking van die hiperbool. (3)

3.2 Gee die refleksie van

3.2.1 f in die x-as. (1)

3.2.2 f in die y-as. (1)

3.2.3 g in die x-as. (1)

3.3.4 g in die y-as. (1)

3.3 Gee die definisieversameling van g. (2)

3.4 Gee die vergelyking van die asimptoot van y=2x+1. (1)

[10]

Totaal: [37]

Graad 10

Funksies

Werkkaart 8

Memorandum

Vraag 1: Die grafieke van f ( x )=x2+2 en

g ( x )=a x2+q is gegee.

1.1 Draaipunt is by (0; 4), dus is q=4.

Stel in (2; 0): 0=a (2 )2+4∴4a=−4∴a=−1

∴g ( x )=−x2+4 (4)

1.2 G (0 ;2 ) (draaipunt van f )

A(−2;0) (uit simmetrie met ander wortel)

F (−2; f (−2 ) ):

f (−2 )=(−2 )2+2¿4+2¿6Bladsy 48 van 68

∴F (−2;6 ) (4)

1.3 Die lengte van:

1.3.1 AF=f (−2 )−g (−2 )=6 (1)

1.3.2

By T en K is g(x )=2.

∴2=−x2+4∴ x2=2∴ x=±√2

TK=xK−xT¿√2−(−√2 )¿2√2 (5)

1.3.3 AB=2− (−2 )=4 (1)

1.3.4 As OC=3 eenh, dan is DE=f (3 )−g(3)

DE=(3 )2+2— (−32+4 )¿9+2+9−4¿16 (3)

[18]

Vraag 2: Die grafieke van f (x)=2−x en g(x )=−2−x word gegee.

2.1 Stel x=0: C (0 ;1) en D(0 ;−1). (2)

2.2 As OH=2 eenhede, dan is

AB=f (−2 )−g (−2 )¿2−(−2)−(−2−(−2) )¿4+4¿8. (3)

2.3 EF=12 .

∴ f ( x )−g (x )=12

Bladsy 49 van 68

∴2−x−(−2−x )=12

∴2 ∙2−x=12

∴2−x=14

∴ x=2

∴E (2; 14) en F (2;−1

4) (4)

[9]

Vraag 3: Die grafieke van f ( x )=ax en g(x )=2x

word gegee.

3.1 Stel (2; 4) in f ( x )= ax

∴4=a2∴a=8∴ f ( x )=8

x (3)

3.2 Refleksies:

3.2.1 y=−8x (1)

3.2.2 y=−8x (1)

3.2.3 y=−2x (1)

3.2.4 y=2−x (1)

3.3 x∈ R. (2)

3.4 y=1. (1)

[10]

Totaal: [37]

Bladsy 50 van 68

Graad 10

Trigonometriese Funksies

Werkkaart 1

Vraag 1:

1.1 Identifiseer elk van die volgende grafieke asy=sin x, y=cos x ofy=tan x.

1.1.1 (1) 1.1.2 (1) 1.1.3

1.2 Gee die waardeversameling vir die grafiek in

2.1.1 vraag 1.1.1 (1)

2.1.2 vraag 1.1.2 (1)

2.1.3 vraag 1.1.3 (1)

1.3 Gee die definisieversameling vir die grafiek in vraag 1.1.1. (1)

1.4 Wat is die periode van die grafiek in

4.1.1 vraag 1.1.1 (1)

4.1.2 vraag 1.1.2 (1)

4.1.3 vraag 1.1.3 (1)

[10]

Vraag 2:

2.1 Skets die grafiek vany=−sin x en y=cos x , x∈ [0° ;360 ° ], op dieselfde assestelsel. (4)

2.2 Vir watter waardes van x is

2.1.1 y=cos x dalend? (2)

2.1.2 y=−sin x dalend? (2)Bladsy 51 van 68

[8]

Vraag 3:

3.1 Skets die grafieke van y=tan x en y=−tan x, x∈ [0° ;360 ° ] op dieselfde assestelsel. (5)

3.2 Wat is die verwantskap tussen die twee grafieke in terme van simmetrie? (2)

[7]

Totaal: [25]

Memorandum

Vraag 1:

1..1

1.1.1 y=tan x (1) 1.1.2 y=sin x (1) 1.1.3 y=cos x

Bladsy 52 van 68

1.2 Waardeversameling:

2.1.1 y∈R (1)

2.1.2 −1≤ y ≤1 (1)

2.1.3 −1≤ y ≤1 (1)

1.3 Definisieversameling: x∈ R , x ≠90° , x≠270 ° (1)

1.4 4.1.1 180 ° (1)

4.1.2 360 ° (1)

4.1.3 360 ° (1)

[10]

Vraag 2:

2.1 y=−sin x en y=cos x , x∈ [0° ;360 ° ] (4)

2.2 2.1.1 y=cos xis dalend vir 0 °<x≤180 °. (2)

2.1.2 y=−sin x is dalend vir 0 ° ≤x<90 ° en 270 °<x≤360 ° (3)

[9]

Vraag 3:

3.1 y=tan x en y=−tan x, x∈ [0° ;360 ° ] (5)

Bladsy 53 van 68

3.2 Die twee grafieke is mekaar se refleksie in die x-as. (1)

(Hulle is ook simmetries om die asimptote en die lyn x=180 °.)

[6]

Totaal: [25]

Bladsy 54 van 68

Graad 10

Trigonometriese Funksies

Werkkaart 2

Vraag 1: Skets die volgende grafieke op dieselfde assestelsels:

1.1 y=2sin x en y=sin x+1 (4)

1.2 y=sin x en y=cos x−1 (4)

1.3 y=2 tan x en y=2 tan x−1 (4)

[12]

Vraag 2: Bepaal die vergelykings van die volgende grafieke:

2.1 (3)

2.2 (3)

2.3 y=−cos x+q

2.4 y=a sin x+q

[12]

Vraag 3: Die grafieke f (x)=acos x en g ( x )=b sin x+q word getoon.

Bladsy 55 van 68

3.1 Wat is die waardes van a ,b en q? (3)

3.2 Gee die waardeversameling van g. (1)

3.3 Vir watter waardes van x is f ( x )−g ( x )=2? (2)

[6]

Totaal: [30]

Memorandum

Vraag 1:

1.1 y=2sin x en y=sin x+1 (4)

1.2 y=sin x en y=cos x−1 (4)

1.3 y=2 tan x en y=2 tan x−1 (4)

Bladsy 56 van 68

[12]

Vraag 2:

2.1 y=a sin x+q (3)

Stel(30 ° ;0)in: ∴0=a (12 )+q→A

Stel (270 ° ;−1.5) in: ∴−1.5=a (−1 )+q→B

A−B :1.5=1.5a∴a=1

Dan volg uit A: q=−12

∴ y=sin x−0.5

ALTERNATIEF:

Vorm: y=sin x

Verder is sin 30 °=0.5 en sin 270 °=−1. Die moedergrafiek het dus 0.5 eenhede na onder geskuif. Daarom is y=sin x−0.5

2.2 Die vorm van die grafiek is dié van ‘n negatiewe cosinus funksie. Verder is cos 90°=0. Daar het dus geen vertikale verskuiwing plaasgevind nie. Die amplitude is 3.

∴ y=−3cos x (3)

2.3 y=−cos x+q (3)

Om die waarde van q te bereken: Stel(60 ° ;0) in gegewe funksie.

∴0=−cos 60°+q

∴q=12

∴ y=−cos x+12

2.4 y=a sin x+q (3)

sin 90 °=1 en sin 150 °=0.5. In beide gevalle het die moedergrafiek dus 0.5 eenhede afgeskuif.

Bladsy 57 van 68

∴ y=sin x−0.5

[12]

Vraag 3: f (x)=acos x en g ( x )=b sin x+q

3.1 a=−1 , b=−1 en q=−1. (3)

3.2 Waardeversameling van g: −2≤ y ≤0 (1)

3.3 f ( x )−g ( x )=2 vir 90 ° ≤x ≤180 ° (2)

[6]

Totaal: [30]

Bladsy 58 van 68

Werkkaart 1 Gr10 – Trigonometrie

Vraag 1: Bereken die volgende korrek tot twee desimale plekke.

1.1 sin 73 ° (1)

1.2 tan89.9 ° (1)

1.3 cos255 ° (1)

1.4 cosec 58 ° (2)

[5]

Vraag 2: Bereken die volgende sonder die gebruik van ‘n sakrekenaar:

2.1 s∈30 °+ tan 45 ° (3)

2.2 cos60 ° × tan60 °+ tan 60° (3)

2.3sin 45 ° ∙cos 45°tan 60 ° ∙ tan30 ° (2)

[8]

Vraag 3: Los die volgende vergelykings op. Rond jou antwoord af tot twee desimale plekke waar nodig.

3.1 4 tan θ−3=0 (2)

3.2 sin(x+10 ° )=0.68 (2)

3.3 cos2θ=0.275 (2)

[6]

Vraag 4:

4.1 As cosθ=−35 en 0 ° ≤θ≤180° bepaal sonder sakrekenaar die waarde van:

4.1.1 sin θ (3)

4.1.2 3 tan θ+1 (2)

4.2 As 13sin θ−5=0 en θ∈ [90 ° ;360° ], bepaal sonder sakrekenaar die waarde van:

4.2.1 tanθ (3)

Bladsy 59 van 68

4.2.2 cos (90°−θ ) (2)

4.2.3 (sin θ+cos θ )2 (3)

[13]

Totaal: [32]

Bladsy 60 van 68

Memorandum

1.1 sin 73 °=0.96 1.2 tan89.9 °=572.96

1.3

cos255 °=0.33

1.4

cosec 58 °= 1sin 58°

=¿1.18

2.1 sin 30 °+ tan 45 °

¿ 12+ 11

¿1 12

2.2 cos60 ° × tan60 °+ tan 60°=cos60 °× sin 60°cos 60°

+ tan60 °

¿ sin 60 °+tan 60 °

¿ √32

+ √31

¿ √32

+ 2√32

¿ 3√32

2.3sin 45 °∙ cos 45°tan 60 ° ∙ tan30 °

=

1√2

∙ 1√2

√31∙ 1√3

¿ 12

3.1 4 tan θ−3=0

∴ tan θ=34

∴θ=36.87 °

3.2 sin(x+10 ° )=0.68

Bladsy 61 van 68

∴ ( x+10 ° )=42.843643°

∴ x=32.84 °

3.3 cos2θ=0.275

∴2θ=74.0379858…°

∴θ=37.0189929…°

≈37.02°

4.1 cosθ=−35 en 0 ° ≤θ≤180°∴θis in tweede kwadrant)

x2+ y2=r2

∴ y2=52−32

∴ y=4

4.1.1 sin θ= yr=45

4.1.2 3 tan θ+1=3× yx+1

¿3× 4−3

+1

¿−4+1

¿−3

4.2 13sin θ−5=0 en θ∈ [90 ° ;360° ],

∴ sinθ= 513

= yr

x2+ y2=r2

∴ x2=132−52

∴ x=−12

4.2.1 tanθ= yx= 5

−12=−512

4.2.2 cos (90°−θ )=sin θ

¿ 513

Bladsy 62 van 68

4.2.3(sin θ+cos θ )2=( 513 +−12

13 )2

¿(−713 )2

¿ 49169

Werkkaart 2 Gr10 – Trigonometrie Oplos van driehoeke

Vraag 1: Los op vir x in elk van die volgende reghoekige driehoeke:

1.1

1.2

1.3

1.4

[8]

Vraag 2: Bereken:

2.1 AC.

2.2 ED.

Bladsy 63 van 68

Bladsy 64 van 68

[12]

Vraag 3: Twee vlagpale is 30 m van mekaar af soos op die skets aangedui. Een is 10m hoog en die ander een 15m. Twee stywe toue verbind die bokant van elke paal aan die voet van die ander paal.

3.1 Op watter hoogte bo die grond sal die twee toue sny?M.a.w.wat is die waarde van h? (8)

3.2 Indien die twee pale 20m van mekaar sou wees,hoe hoog bo die grond sou die toue dan sny? (4)

[12]

Totaal: [32]

Bladsy 65 van 68

Memorandum

1.1 cos63 °= x16

∴ x=16× cos63 °

¿7.26384799 ..

≈7.26

1.3 tan x=1814

∴ x=52.125016 .. °≈52.13 °

1.2 x14

=tan28 °

∴ x=14× tan28 °

¿7.443932. .

≈7.44

1.4 sin x=1216

∴ x=41.810314 ..°

≈41.81 °

2.1 tan 48 °= 8DC

∴DC= 8tan 48 °

¿7.20323235 ..

tan36 °= 8AD

∴ AD= 8tan 36 °

¿11.0110553. .Verder is

AC=AD+DC

¿11.0110553..+7.20323235 . .

¿18.214287 ..

≈18.21

Bladsy 66 van 68

2.2 sin 28°= 6AC

∴ AC= 6sin 28 °

=12.7803268…

ADAC

=cos34 °

∴ AD=10.5953711…

EDAD

=tan16 °

∴ED=AD× tan16 °

¿3.03817 ..≈3.04

3.1 tanθ=1530

=12 en tan α=1030

=13

Laat BC=x en CD= y

Dan is hx=tan θ=1

2

∴ x=2h

En hy=tanα=1

3

∴ y=3h

Maar x+ y=30

∴2h+3h=30

∴5h=30

∴h=6m

3.2 As pale 20 m uitmekaar, dan is

tanθ=1520

=34 en tan α=1020

=12

∴ hx=34

∴ x=4 h3

En

Nou is x+ y=20

∴ 4 h3

+2h=20

∴ 4 h+6h3

=20

∴10h=60

∴h=6

Ongeag die afstand tussen die pale, sal

Bladsy 67 van 68

hy=12

∴ y=2h

die toue altyd op 6 m bo die grond sny.

Bladsy 68 van 68