Hong Qian- Terminal Twist Induced Continuous Writhe of a Circular Rod with Intrinsic Curvature

8/3/2019 Hong Qian- Terminal Twist Induced Continuous Writhe of a Circular Rod with Intrinsic Curvature

1/14

.

T e r m i n a l T w i s t I n d u c e d C o n t i n u o u s W r i t h e o f

A C i r c u l a r R o d w i t h I n t r i n s i c C u r v a t u r e

H o n g Q i a n

D e p a r t m e n t o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f W a s h i n g t o n

S e a t t l e , W A 9 8 1 9 5

a n d

J a m e s H . W h i t e

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a

L o s A n g e l e s , C A 9 0 0 9 5

H o n g Q i a n : P h o n e : 2 0 6 - 6 8 5 - 2 9 7 1

F a x : 2 0 6 - 6 8 5 - 1 4 4 0

E m a i l : q i a n @ a m a t h . w a s h i n g t o n . e d u

1


2/14

A b s t r a c t

I t i s w e l l k n o w n t h a t a l a r g e l i n k i n g n u m b e r i n d u c e s a n a b r u p t w r i t h i n g o f a c i r c u l a r

r o d w i t h z e r o i n t r i n s i c c u r v a t u r e , i . e . , t h e s t r e s s - f r e e s t a t e o f t h e r o d i s s t r a i g h t . W e s h o w

h e r e t h a t f o r a n y r o d w i t h a u n i f o r m n a t u r a l c u r v a t u r e , n o m a t t e r h o w s m a l l t h e i n t r i n s i c

c u r v a t u r e i s , a t w i s t w i l l i n d u c e a c o n t i n u o u s w r i t h i n g f r o m t h e c i r c u l a r c o n g u r a t i o n a n d

t h e a b r u p t w r i t h i n g i s o n l y t h e l i m i t i n g c a s e w h e n t h e i n t r i n s i c c u r v a t u r e i s a b s o l u t e l y z e r o .

T h e i m p l i c a t i o n o f t h i s r e s u l t o n e l a s t i c m o d e l s o f c i r c u l a r D N A i s d i s c u s s e d .

2


3/14

I n t r o d u c t i o n

C l o s e d l o o p s o f D N A o f s e v e r a l h u n d r e d b a s e p a i r s , w h e t h e r t h o s e f o r m e d a s s i m p l e

c l o s e d m i n i - c i r c l e s o r t h o s e f o r m e d b y p r o t e i n b i n d i n g , p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n m a n y b i o -

l o g i c a l f u n c t i o n i n g s o f D N A , f o r e x a m p l e i n t h e c o n t r o l o f g e n e e x p r e s s i o n . T o u n d e r s t a n d

t h e g e o m e t r i c c o n f o r m a t i o n s t h e s e l o o p s a s s u m e u n d e r s t r e s s , t h e r e h a s b e e n m u c h r e c e n t

r e s e a r c h i n m o d e l i n g s u c h D N A a s a n e l a s t i c i s o t r o p i c r o d a n d s t u d y i n g t h e c o n f o r m a t i o n s

o f m i n i m u m e l a s t i c e n e r g y . I t h a s b e e n s h o w n t h a t i f s u c h D N A h a v e s e q u e n c e s t h a t c o n -

t a i n i n t r i n s i c b e n d s i n t h e i r u n s t r e s s e d s t a t e t h e r e s u l t i n g g e o m e t r i c s h a p e s u n d e r s t r e s s a r e

c o n s i d e r a b l y d i e r e n t t h a n t h o s e t h a t h a v e n o i n t r i n s i c c u r v a t u r e . I n p a r t i c u l a r , i t i s w e l l

k n o w n t h a t , i f a n u n s t r e s s e d s t r a i g h t D N A i s c l o s e d i n t o a p l a n a r c i r c l e a n d t h e n s u b j e c t e d

t o a c h a n g e i n l i n k i n g n u m b e r d u e t o t e r m i n a l t w i s t , c o n f o r m a t i o n s a s s u m e d a r e f u n d a m e n -

t a l l y d i e r e n t f r o m t h o s e w i t h e v e n t h e s l i g h t e s t o r i g i n a l i n t r i n s i c c u r v a t u r e . T h i s h a s b e e n

s u g g e s t e d ( 1 , 2 ) a n d s h o w n i n d e t a i l u s i n g n i t e e l e m e n t a n a l y s i s a n d n u m e r i c a l t e c h n i q u e s t o

s o l v e t h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s t h a t a r i s e ( 1 , 3 ) . I n t h i s p a p e r , u s i n g l i n e a r a n a l y s i s ,

w e g i v e a d i r e c t a n a l y t i c p r o o f o f t h e f a c t t h a t a n i s o t r o p i c e l a s t i c r o d w i t h a n y i n t r i n s i c

c u r v a t u r e , n o m a t t e r h o w s m a l l , u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d a l o n g t h e r o d b e c o m e s n o n - p l a n a r

u n d e r t h e s l i g h t e s t c h a n g e , e v e n a p a r t i a l c h a n g e , i n l i n k i n g n u m b e r . T h i s c o n t r a s t s w i t h

t h e w e l l - k n o w n r e s u l t o f L e B r e t ( 4 ) a n d B e n h a m ( 5 ) t h a t f o r a n o r i g i n a l l y s t r a i g h t i s o t r o p i c

r o d w i t h P o i s s o n r a t i o , w h i c h h a s b e e n c l o s e d i n t o a p l a n a r c i r c l e , a n y c h a n g e o f l i n k i n g

n u m b e r u p t o

p

3 ( 1 + ) d o e s n o t a l t e r t h e c o n g u r a t i o n f r o m a p l a n e c i r c l e .

T h e L e B r e t - B e n h a m ' s r e s u l t i s k n o w n a s b u c k l i n g p h e n o m e n o n i n t h e c l a s s i c a l m e c h a n i c .

A l a r g e t w i s t i . e . , i m p o s i n g a l a r g e l i n k i n g n u m b e r , i n d u c e s a n a b r u p t b e n d i n g ( b u c k l i n g )

i n a n a t u r a l l y s t r a i g h t , e l a s t i c t h i n r o d . T h e r o d k e e p s i t s s t r a i g h t c o n g u r a t i o n u n d e r a

m i l d t e r m i n a l t w i s t u n t i l t h e b u c k l i n g d u e t o a n e l a s t i c i n s t a b i l i t y w h i c h b r e a k s t h e a x i a l

s y m m e t r y i n t h e r o d ( 6 , 7 ) . S i m i l a r l y , w h e n t w i s t i n g a p l a n a r c i r c l e f o r m e d b y a n a t u r a l l y

s t r a i g h t r o d , a n a b r u p t w r i t h i n g o c c u r s ( 8 ) . H o w e v e r , t h e e a r l i e r r e s u l t s o f B a u e r e t a l . ( 1 , 3 )

a n d T o b i a s a n d O l s o n ( 2 ) s u g g e s t e d t h a t t h e r e i s n o e l a s t i c i n s t a b i l i t y f o r n a t u r a l l y c u r v e d

r o d s .

I n o u r a n a l s i s , t h e ( i n d u c e d ) c u r v a t u r e o f t h e c i r c l e i s

o

a n d t h e i n t r i n s i c c u r v a t u r e o f

t h e r o d i s

.

o

, w h i c h i s d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e l e n g t h o f t h e r o d L (

o

= 2 = L ) , i s n o t

n e c e s s a r i l y t h e s a m e a s

. A l o c a l c o o r d i n a t e s y s t e m a l o n g t h e r e l a x e d p l a n a r c i r c l e c a n

3


4/14

b e d e n e d : l e t ' s u s e a s t h e a r c l e n g t h o f t h e r o d . A t e a c h p o i n t ( 0 L ) a l o n g t h e

c e n t r a l - l i n e ( l i n e o f c e n t r o i d s ) o f t h e r o d ,

i s a u n i t v e c t o r i n t h e t a n g e n t i a l d i r e c t i o n , ^ i s a

u n i t v e c t o r d i r e c t e d a l o n g t h e r o t a t i o n a l a x i s o f t h e i n t r i n s i c b e n d i n g , i . e . , p e r p e n d i c u l a r t o

t h e p l a n e . U n i t v e c t o r

i s i n t h e c e n t r i p e t a l d i r e c t i o n p e r p e n d i c u l a r t o t h e r o d b u t i n t h e

p l a n e . T h e t h r e e u n i t v e c t o r s f o r m a r i g h t - h a n d l o c a l c o o r i d i n a t e s y s t e m ( b o d y - x e d f r a m e ) :

=

( F i g u r e 1 ) .

T h e c o n g u r a t i o n o f t h e r o d i s c h a r a c t e r i z e d b y a n i n n i t e s m a l r o t a t i o n

?!

( ) a l o n g t h e

a x i s o f t h e r o d (

) .

?!

i s d e n e d t h r o u g h t h e c o n t i n u o u s r o t a t i o n o f t h e b o d y - x e d f r a m e

( b ) i n t h e l a b o r a t o r y - x e d f r a m e ( l ) :

d e

d

=

?!

e ; e =

; ;

I t c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f b e n d i n g ( d

= d ` ) a n d t w i s t i n g ( t w =

) :

?!

=

d

d

+ ( t w )

w i t h t h e l o c a l c u r v a t u r e o f t h e c e n t r a l a x i s b e i n g :

=

d

d

=

q

2

+

2

E l a s t i c E n e r g y a n d E q u a t i o n s f o r E q u i l i b i u r m S t a t e

T h e e l a s t i c e n e r g y d u e t o m e c h a n i c a l b e n d i n g a n d t w i s t i n g , i n c l u d i n g t h e s t o r e d e n e r g y

o f t h e i n t e r n a l s t r a i n a n d p o t e n t i a l e n e r g y o f e x t e r n a l f o r c e a c t i n g o n t h e t e r m i n a l e n d s o f

t h e r o d , i s u s u a l l y g i v e n a s ( 9 - 1 1 ) :

U

?!

( ) ] =

1

2

Z

L

0

n

A (

?

o

)

2

+ A (

?

o

)

2

+ C (

?

o

)

2

o

d ?

Z

L

0

n

?!

F

o

d ( 1 )

w h e r e

? !

o

i s t h e i n t r i n s i c b e n d i n g a n d t w i s t i n g i n t h e r e l a x e d s t a t e o f t h e r o d , A a n d C a r e

t h e e l a s t i c m o d u l i f o r b e n d i n g a n d t w i s t i n g , r e s p e c t i v e l y . ( A ? C ) = C = w l l b e t h e P o i s s o n

r a t i o ) . F o r o u r p r e s e n t s t u d y , w e c h o o s e

o

=

, a n d

o

=

o

= 0 . E q n . 1 ] i n d i c a t e s t h a t

t h e e n e r g y f o r a r o d w i t h b e n d i n g a n d t w i s t i n g i s a q u a d r a t i c f u n c t i o n o f d e f o r m a t i o n , a n d

t h e u n i q u e m i n i m a l e n e r g y c o n g u r a t i o n i s i n i t s r e l a x e d s t a t e .

?!

F i s a n e x t e r n a l f o r c e o n

t h e t e r m i n a l s o f t h e r o d , w h i c h i s c o n s t a n t i n t h e l . T h e p r e s e n c e o f t h i s t e r m i n a l s h e a r

4


5/14

f o r c e , i n a d d i t i o n t o t o r q u e s , i s e s s e n t i a l f o r t h e r o d t o b e a c l o s e d l o o p ( 1 0 ) . T h e s h e a r f o r c e

h a s z e r o c o n t r i b u t i o n t o t h e e n e r g y U i f t h e r o d i s a c l o s e d l o o p . T h i s i s a m a t h e m a t i c a l

i d e a l i z a t i o n b e c a u s e w e h a v e a s s u m e d t h a t t h e r o d i s u n s h e a r a b l e .

I n t e r e s t i n g m e c h a n i c s o c c u r w h e n t h e t h i n r o d i s s u b j e c t t o e n d - t o - e n d , a l s o k n o w n a s

f a c e - t o - f a c e r o t a t i o n ( 3 ) a t i t s t w o j o i n i n g t e r m i n a l s . T h e s e c o n s t r a i n t s s e r v e a s t h e b o u n d a r y

c o n d i t i o n s f o r a s e t o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w h i c h g o v e r n t h e e q u i l i b r i u m s t a t e o f t h e r o d .

T h e s e t o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i s r e a d i l y o b t a i n e d f r o m U

?!

( ) ] b y t h e E u l e r - L a g r a n g e

v a r i a t i o n a l c a l c u l u s ( 9 , 1 0 , 1 2 ) :

A

0

? ( A ? C )

+ A

=

?!

F ( 2 )

A

0

? ( C ? A )

= ?

?!

F ( 3 )

C

0

? A

= 0 ( 4 )

w h e r e

0

i s t h e d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o a n d i s t h e d o t p r o d u c t o f v e c t o r s . E q n . 2 ] - 4 ] i s

a s e t o f n o n l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 7 ) .

C o o r d i n a t e T r a n s f o r m a t i o n s

O u r a n a l y s i s i s b a s e d o n l i n e a r i z i n g t h e n o n l i n e a r E q n . 2 ] - 4 ] a r o u n d t h e p l a n a r c i r c u l a r

c o n g u r a t i o n . W e p r o c e e d b y e x p r e s s i n g t h e

?!

i n t h e c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s y s t e m i n l :

( R ; ; Z ) .

A n y v e c t o r c a n h a v e i t s c o o r d i n a t e s i n t w o d i e r e n t c o o r d i n a t e s y s t e m s , t h e b o d y - x e d

f r a m e ( b ) a n d t h e l a b o r a t o r y - x e d f r a m e ( l ) . T h e s e t w o c o o r d i n a t e s y s t e m s a r e r e l a t e d

t h r o u g h t h e E u l e r a n g l e ( ; ; ) w i t h t h e t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x f r o m l t o b ( 1 2 ) :

T =

0

B

@

c o s c o s ? c o s s i n s i n c o s s i n + c o s c o s s i n s i n s i n

? s i n c o s ? c o s s i n c o s ? s i n s i n + c o s c o s c o s c o s s i n

s i n s i n ? s i n c o s c o s

1

C

A

( 5 )

T h e u n i t t a n g e n t v e c t o r i n t h e s e t w o c o o r d i n a t e s y s t e m s a r e

(

;

;

) = ( 0 ; 0 ; 1 ) a n d (

x

;

y

;

z

) = ( s i n s i n ; ? s i n c o s ; c o s ) ; ( 6 )

r e s p e c t i v e l y . O n e c a n v e r i f y t h a t b y

(

x

;

y

;

z

) = (

;

;

) T

5


6/14

I n t h e l w e h a v e :

d

d

= ?

?!

( 7 )

w h i c h d e n e s t h e i n n i t e s i m a l r o t a t i o n a l v e c t o r

?!

:

(

;

;

) = (

0

s i n s i n +

0

c o s ;

0

s i n c o s ?

0

s i n ;

0

c o s +

0

) ( i n b f f ) ( 8 )

a n d

(

x

;

y

;

z

) = (

0

s i n s i n +

0

c o s ; ?

0

s i n c o s +

0

s i n ;

0

+

0

c o s ) ( i n l f f ) ( 9 )

?!

c a n b e o b t a i n e d b y t a k i n g d e r i v a t i v e o f ( 5 ) w i t h r e s p e c t t o :

d T

d

= T

0

B

@

0

z

?

y

?

z

0

x

y

?

x

0

1

C

A

( 1 0 )

I n t h e c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s y s t e m i n l , w e h a v e :

(

x

;

y

;

z

) =

( R

0

c o s

?R

0

s i n ; R

0

s i n + R

0

c o s ; Z

0

)

I

( 1 1 )

w h e r e

I

2

= ( R

0

)

2

+ R

2

(

0

)

2

+ ( Z

0

)

2

C o m b i n i n g E q n . 6 ] w i t h E q n . 1 1 ] a n d e l i m i n a t i n g t h e ' s , w e h a v e t h e c y l i n d r i c a l c o o r d i -

n a t e s ( R ; ; Z ) f o r t h e c e n t r a l - l i n e i n t e r m s o f t h e E u l e r a n g l e s ( ; ; ) :

( R

0

)

2

+ R

2

(

0

)

2

I

2

= s i n

2

;

R

0

s i n ? R

0

c o s

R

0

c o s + R

0

s i n

= t a n ;

Z

0

I

= c o s ( 1 2 )

T h e r e f o r e ,

= ? t a n

? 1

R

0

R

0

!

( 1 3 )

T h e i n n i t e s i m a l r o t a t i o n i s r e l a t e d t o t h e E u l e r a n g l e s a s s h o w n i n E q n . 8 ] . U s i n g E q n .

8 ] , 1 2 ] , a n d 1 3 ] a n d e l i m i n a t i n g t h e E u l e r a n g l e s , w e h a v e :

=

0

q

( R

0

)

2

+ R

2

(

0

)

2

I

s i n ?

I Z

0 0

? I

0

Z

0

I

q

( R

0

)

2

+ R

2

(

0

)

2

c o s ( 1 4 )

=

0

q

( R

0

)

2

+ R

2

(

0

)

2

I

c o s +

I Z

0 0

? I

0

Z

0

I

q

( R

0

)

2

+ R

2

(

0

)

2

s i n ( 1 5 )

6


7/14

=

0

Z

0

I

+

0

( 1 6 )

w h e r e

0

=

0

?

( R R

0 0

? ( R

0

)

2

)

0

? R R

0

0 0

( R

0

)

2

+ R

2

(

0

)

2

W i t h o u t a t e r m i n a l t w i s t , t h e r o d i s a p l a n a r c i r c l e w i t h c u r v a t u r e

o

. F o r s m a l l d e -

v i a t i o n f r o m t h e p l a n a r c i r c u l a r c o n g u r a t i o n i n c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s , w e u s e r , Z , a n d

t o r e p r e s e n t t h e d e v i a t i o n s f r o m t h e c i r c l e , t h e p l a n e , a n d t h e u n t w i s t e d c o n g u r a t i o n ,

r e s p e c t i v e l y . H e n c e , R = 1 =

o

+ r ,

0

= 1 = R

o

( 1 ?

o

r ) , = , w h e r e r , , Z a r e s m a l l .

S u b s t i t u t i n g t h e s e i n t o E q n . 1 4 ] - 1 6 ] a n d n e g l e c t i n g t h e h i g h e r o r d e r t e r m s :

= ? Z

0 0

+

o

;

=

o

? (

o

)

2

r ? r

0 0

;

=

o

Z

0

+

0

( 1 7 )

L i n e a r i z e d E q u a t i o n f o r T w i s t e d C i r c l e

W i t h t h e t r a n s f o r m a t i o n g i v e n i n E q n . 1 7 ] , w e c a n l i n e a r i z e d i e r e n t i a l E q n s . 2 ] - 4 ] i n

t h e c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s y s t e m b y E q n . 1 7 ] i n t o E q n . 2 ] - 4 ] a n d k e e p o n l y t h e t h e r m s

w i t h z e r o t h a n d r s t o r d e r o f r , Z , a n d :

r

0 0 0

+ (

o

)

2

r

0

= 0 ( 1 8 )

A Z

0 0 0

+ ( A ? C )

o

? A

]

o

Z

0

? ( C

o

+ A

)

0

= ? F ( 1 9 )

C

0 0

+ ( C

o

+ A

) Z

0 0

? A

o

= 0 ( 2 0 )

w h e r e F i s t h e ^ z c o m p o n e n t o f t h e t e r m i n a l f o r c e . T h e d e f o r m a t i o n i n r i s n a t u r a l l y s e p a r a t e d

f r o m t h e Z a n d . T h e t w o e q u a t i o n s f o r Z a n d h a v e v e e i g e n v a l u e s a s t h e r o o t s o f t h e

c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l

(

2

+

o 2

) C

2

+

( C

o

? A

o

+ A

) ] = 0 ( 2 1 )

t w o o f t h e v e r o o t s a r e a l w a y s i m a g i n a r y : i

o

. A n o t h e r t w o c h a n g e s f r o m i m a g i n a r y

t o r e a l w h e n

d e c r e a s e s : i

q

( C

o

? A

o

+ A

) = C . T h e y a r e r e a l f o r

= 0 a n d

i m a g i n a r y f o r

=

o

. F r o m n o w o n w e w i l l d e n o t e

q

( C

o

? A

o

+ A

) = C b y . T h e

g e n e r a l s o l u t i o n f o r t h e i n h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l E q n . 1 9 ] a n d 2 0 ] i s :

7


8/14

Z

!

= a

0

1

0

!

+ ( a

1

s i n

o

+ a

2

c o s

o

)

1

?

o

!

+ ( a

3

s i n ` + a

4

c o s ` )

?1

2

!

+

F

C

o

2

0

!

( 2 2 )

w h e r e a ' s a r e t h e c o n s t a n t s o f i n t e g r a t i o n . T h e y h a v e t o b e d e t e r m i n e d b y a p p l y i n g t h e

b o u n d a r y c o n d i t i o n s . N o t e t h a t i f i s i m a g i n a r y , w e r e p l a c e c o s ( ) b y c o s h ( ) a n d

s i n ( ) = b y s i n h ( ) = i n E q n . 2 2 ] .

B o u n d a r y C o n d i t i o n s

T h e v e a ' s a n d F h a v e t o b e d e t e r m i n e d b a s e d o n a p p r o p r i a t e b o u n d a r y c o n d i t i o n s .

I n p a r t i c u l a r , t h e t e r m i n a l s h e a r f o r c e F i s d e t e r m i n e d a c c o r d i n g t o l o o p c l o s u r e c o n d i t i o n

Z ( 0 ) = Z ( L ) ( L = 2 =

o

) .

I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t c o n s t a n t i s n o t a s o l u t i o n f o r t h e e q u a t i o n s . T h i s i s e a s y

t o u n d e r s t a n d : i f w e i n t r o d u c e b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 0 ) = ( L ) =

0

, t h e n t h e w h o l e p l a n a r

c i r c u l a r r o d w i l l h a v e a p u r e r o t a t i o n w i t h o u t a n y i n t r i n s i c t w i s t a n d w r i t h e . A n d e v e n

t h o u g h t h e r o d i s s t i l l a p l a n a r c i r c l e , i t i s n o t i n t h e Z = 0 p l a n e , r a t h e r i t i s i n a p l a n e

w h i c h h a s a a n g l e

0

w i t h t h e Z = 0 p l a n e . T h e p u r e r o t a t i o n s o l u t i o n i s :

Z ( ) =

0

o

( 1 ? c o s

o

)

w h i c h c o r r e s p o n d s t o ? a

2

( 1 ? c o s

o

) i n t h e E q n . 2 2 ] .

T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e :

Z ( 0 ) = Z ( L ) = 0 ; Z

0

( 0 ) = Z

0

( L ) = 0 ; ( 0 ) = ? ; ( L ) = ( 1 ? ) 0 < ; < 1

( 2 3 )

w h e r e i s t h e r s t t w o e q u a t i o n s f o l l o w t h e f a c t t h a t t h e t e r m i n a l e n d s o f t h e r o d a r e j o i n t e d

s m o o t h l y a n d l i e i n t h e x y p l a n e . A n d w h e r e i s t h e f a c e - t o - f a c e r o t a t i o n a t t h e j o i n i n g

e n d s d u e t o r o t a t i n g t h e t w o t e r m i n a l f a c e s i t h r e s p e c t t o e a c h o t h e r ; w h i l e t h e p a r a m e t e r

i n d i c a t e s t h e t w i s t o f e a c h e n d w i t h r e s p e c t t o t h e u n t w i s t e d s t a t e . T h e c o n c e p t o f e n d -

t o - e n d r o t a t i o n i s m o t i v a t e d b y t h e c o n c e p t o f l i n k i n g n u m b e r w h i c h p l a y s a c e n t r a l r o l e i n

c i r c u l a r D N A ( 1 3 ) . S u b s t i t u t i n g E q n 2 3 ] i n t o 2 2 ] l e a d s t o t h e t e r m i n a l f o r c e :

8


9/14

F = C

o

= L = C

o 2

= 2 ( 2 4 )

T h u s w e c a n s e e t h a t t h e f o r c e i s i n d e p e n d e n t o f , o n l y t h e n e t e n d - t o - e n d r o t a t i o n . T h e

b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( E q n . 2 3 ] ) l e a d t o :

a

0

=

o

?

2

o

a

4

?

o

; a

1

=

o

a

3

?

2

2

; a

2

=

2

o

a

4

+

o

a

3

=

+

2

( 1 ? c o s ( 2 =

o

) ) a

4

2

s i n ( 2 =

o

)

; a

4

= ?

2

2

( 2 5 )

T h e c o n d i t i o n Z

0

( 0 ) = Z

0

( L ) e n s u r e s a s m o o t h c l o s u r e . a

2

d e t e r m i n e s t h e p u r e r o t a t i o n a l

c o m p o n e n t d u e t o t h e t w i s t . W e s e e t h a t a p a r t o f t h e p u r e r o t a t i o n , t h e s o l u t i o n i s i n d e p e n -

d e n t o f . I n o t h e r w o r d s , t h e r e l a t i v e t w i s t , i . e . , t h e e n d - t o - e n d r o a t i o n d e t e r m i n e s t h e

s o l u t i o n . T h e p u r e r o t a t i o n a n g l e i s (

1

2

? ) w h i c h i s s i m p l y

( 0 ) + ( L )

2

.

T h e n a l s o l u t i o n i s :

Z

!

=

2

2

2

?L

L

!

1

0

!

?

2

2

"

1 ?

L

2

c t g

L

2

! #

s i n (

o

)

1

?

o

!

+

2

2

s i n ( L = 2 ? )

s i n ( L = 2 )

!

? 1

2

!

( 2 6 )

F i g u r e 2 s h o w s t h e o u t - o f - p l a n e c o m p o n e n t a n d t h e t w i s t o f r o d w i t h d i e r e n t i n t r i n s i c

c u r v a t u r e . F o r n o n z e r o

, t h e e q u i l i b r i u m c o n g u r a t i o n i s n o t p l a n a r u n d e r t w i s t . T h e

c e n t r a l r e s u l t o f t h e p r e s e n t s t u d y i s t h a t f o r n o n z e r o , Z i s n o t z e r o . T h a t i s t o s a y , t h e r e

i s a w r i t h i n g ( o u t - o f - p l a n e c o m p o n e n t ) f o r a n y n o n z e r o t w i s t . A n i n t r i n s i c a l l y c u r v e d r o d

c a n n o t r e s i s t t h e t e r m i n a l t w i s t a n d k e e p i t s p l a n a r c o n g u r a t i o n . T h e t w i s t a n d t h e w r i t h e

i s d i r e c t l y l i n k e d i n t h e i n t r i n s i c a l l y c u r v e d r o d .

I n t h e l i m i t o f

= 0 , t h e t w i s t e d p l a n a r c i r c l e i s a n e q u i l i b r i u m c o n g u r a t i o n . F o r

n a t u r a l l y s t r a i g h t r o d (

= 0 ) , b e n d i n g a n d t w i s t i n g l e a d s t o a h e l i c a l c o n g u r a t i o n ; a

t e r m i n a l f o r c e o n t h e ^ z d i r e c t i o n i s n e c e s s a r y f o r t h e r o d t o f o r m a c l o s e d l o o p w i t h b e n d i n g

(

o

) a n d t w i s t i n g ( t w ) . W h e n

= 0 , E q n . 2 4 ] i s r e d u c e d t o t h e w e l l k n o w n F = C

o

( t w )

( 1 0 ) . T h e r o d k e e p s i n i t s p l a n a r c i r c u l a r c o n g u r a t i o n u n d e r m i l d t w i s t . T h e r e i s n o o u t -

o f - p l a n e ( w r i t h e ) w i t h s m a l l t w i s t t w = = L . W i t h i n c r e a s i n g t w i s t , e v e n t u a l l y a n a b r u p t

w r i t h i n g o c c u e s w h e n t w =

p

3 A

o

= C ( 4 , 5 , 8 ) .

F o r a v e r y s m a l l

, w e h a v e a s y m p t o t i c s f o r t h e s o l u t i o n :

9


10/14

Z ( )

2

3

o 2

2

4

o

2

? 3

o

2

!

2

+ 2

o

2

!

3

?

s i n

o

2

3

5

( 2 7 )

o

2

+

A

6 C

2

4

1 ? 6

o

2

!

+ 6

o

2

!

2

3

5

( 2 8 )

D i s c u s s i o n

O n e o f t h e i m p o r t a n t q u e s t i o n s i n t h e m o d e r n m o l e c u l a r b i o l o g y i s h o w t w i s t i n g o f a D N A

m o d u l a t e s i t s b e n d i n g ( l o o p i n g ) w h i c h p l a y s a c e n t r a l r o l e i n b i o l o g i c a l p r o c e s s e s s u c h a s

t r a n s c r i p t i o n a c t i v a t i o n ( 1 4 ; 1 5 ) . G r o w i n g b i o c h e m i c a l e v i d e n c e s u g g e s t s t h a t D N A m o l e c u l e s

h a v e i n t r i n s i c c u r v a t u r e i n t h e i r s t r e s s - f r e e s t a t e ( 1 6 , 1 7 ) . I n a r e c e n t p a p e r , t h e c o n t r i b u t i o n

o f i n t r i n s i c b e n d i n g t o t h e e x i b i t y o f l o n g D N A m o l e c u l e s h a s b e e n s t u d i e d i n c o n j u e c t i o n

w i t h r a n d o m p o l y m e r t h e o r y ( 1 8 ) . T h e p r e s e n t w o r k p r o v i d e s t h e r s t r i g o r o u s a n a l y s i s o n

t h e c o n t r i b u t i o n o f i n t r i n s i c b e n d i n g t o t h e e l a s t i c b e h a v i o r o f s h o r t c i r c u l a r D N A s w h i c h a r e

u s u a l l y d o m i n a t e d b y e l a s t i c i t y . I t i s s h o w n t h a t t h e f a c e - t o - f a c e r o t a t i o n o f a c i r c u l a r D N A

m o l e c u l e i s l i k e l y t o i m m e d i a t e l y c a u s e w r i t h e ( s u p e r c o i l i n g ) w i t h o u t e l a s t i c i n s t a b i l i t y .

T h e l i n e a r s o l u t i o n o f t h e p r o b l e m e n a b l e s u s t o i d e n t i f y t w o d i e r e n t m o d e s f o r r o d s

u n d e r t e r m i n a l t w i s t a n d b e n d , a d a m p e d r e g i m e (

=

o

A ? C

C

= ) , w h e r e A a n d C a r e b e n d i n g a n d t w i s t i n g c o n s t a n t s o f t h e

r o d , i s t h e P o i s s o n r a t i o , a n d

a n d

o

a r e i n t r i n s i c a n d i n d u c e d c u r v a t u r e s o f t h e r o d ,

r e s p e c t i v e l y .

I n a p a p e r o n t h e d y n a m i c s o f c i r c u l a r r o d w i t h i n t r i n s i c c u r v a t u r e j u s t p u b l i s h e d i n -

d e p e d n e n t l y , T o b i a s e t a l . ( 1 9 ) h a v e s h o w n t h a t t h e s u c i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r a

c i r c u l a r r o d w i t h i n t r i n s i c c u r v a t u r e b e i n g a t e q u i l i b i u r m i s z e r o t w i s t .

A c k n o l e d g e m e n t

W e t h a n k D r s . C r a i g B e n h a m a n d I s a a c K l a p p e r f o r m a n y h e l p f u l d i s c u s s i o n s . H Q w o u l d

l i k e t o e x p r e s s g r a t i t u d e t o P r o f e s s o r J . M i c k e y S c h u r r f o r l e a d i n g h i m , s t e p b y s t e p , i n t o

t h e f a s c i n a t i n g e l d o f D N A s t r u c t u r e .

R e f e r e n c e s

1 0


11/14

1 . W . R . B a u e r , R . A . L u n d , a n d J . H . W h i t e , P r o c . N a t l . A c a d . S c i . U S A 9 0 , 8 3 3 - 8 3 7

( 1 9 9 3 ) .

2 . W h i t e , J . H . , L u n d , R . A . , a n d B a u e r , W . R . B i o p o l y m e r s , 3 8 , 2 3 5 - 2 5 0 ( 1 9 9 6 ) .

3 . T o b i a s , I . a n d O l s o n , W . K . B i o p o l y m e r s , 3 3 , 6 3 9 - 6 4 6 ( 1 9 9 3 ) .

4 . L e B r e t , M . B i o p o l y m e r s , 1 8 , 1 7 0 9 - 1 7 2 5 ( 1 9 7 9 ) .

5 . B e n h a m , C . J . P h y s . R e v . A . 3 9 , 2 5 8 2 - 2 5 8 6 ( 1 9 8 9 ) .

6 . L a n d a u , L . D . a n d L i f s h i t z , E . M . T h e o r y o f E l a s t i c i t y . 3 r d E d . , P e r g a m a n , O x f o r d ( 1 9 8 6 ) .

7 . L o v e , A . E . H . A T r e a t i s e o n t h e M a t h e m a t i c a l T h e o r y o f E l a s t i c i t y . 4 t h E d . , D o v e r , N e w

Y o r k ( 1 9 2 7 ) .

8 . Z a j a c , E . E . T r a n s . A S M E , S e r . E . J . A p p l . M e c h . 2 9 , 1 3 6 - 1 4 2 ( 1 9 6 2 ) .

9 . B e n h a m , C . J . P r o c . N a t l . A c a d . S c i . U S A 7 4 , 2 3 9 7 - 2 4 0 1 ( 1 9 7 7 ) .

1 0 . B e n h a m , C . J . B i o p o l y m e r s , 2 6 , 9 - 1 5 ( 1 9 8 7 ) .

1 1 . A n t m a n , S . S . N o n l i n e a r P r o b l e m s o f E l a s t i c i t y . S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k ( 1 9 9 5 ) .

1 2 . G o l d s t e i n , H . C l a s s i c a l M e c h a n i c s . A d d i s i o n - W e s l e y , R e a d i n g , M A ( 1 9 8 0 ) .

1 3 . B a u e r , W . R . , C r i c k , F . H . C . , a n d W h i t e , J . H . S c i e n t i c A m e r i c a n , 2 4 3 , 1 1 8 - 1 3 3 ( 1 9 8 0 ,

J u l y ) .

1 4 . S h o r e , D . a n d B a l d w i n , R . L . J . M o l . B i o l . , 1 7 0 , 9 5 7 - 1 0 0 7 ( 1 9 8 3 ) .

1 5 . H o r o w i t z , D . S . a n d W a n g , J . C . J . M o l . B i o l . , 1 7 3 , 7 5 - 9 4 ( 1 9 8 4 ) .

1 6 . W a n g , J . C . a n d G i a e v e r , G . N . S c i e n c e , 2 4 0 , 3 0 0 - 3 0 4 ( 1 9 8 8 ) .

1 7 . R i p p e , K . , v o n H i p p e l , P . H . , a n d L a n g o w s k i , J . T I B S 2 0 , 5 0 0 - 5 0 6 ( 1 9 9 4 ) .

1 8 . S c h e l l m a n , J . A . a n d H a r v e y , S . C . B i o p h y s . C h e m . 5 5 , 9 5 - 1 1 4 ( 1 9 9 5 ) .

1 9 . T o b i a s , I . , C o l e m a n , B . C . , a n d L e m b o , M . J . C h e m . P h y s . 1 0 5 , 2 5 1 7 - 2 5 2 6 ( 1 9 9 6 ) .

1 1


12/14

F i g u r e C a p t i o n s

F i g u r e 1 A s c h e m a t i c s f o r t h e l o c a l c o o r d i n a t e s y s t e m ( b ) a l o n g a p l a n a r c i r c l e .

F i g u r e 2 T h e o u t - o f - p l a n e c o m p o n e n t a n d t h e t w i s t (

=

o

Z

0

+

0

) o f a c i r c u l a r r o d u n d e r

t w i s t . T h e P o i s s o n r a t i o ( A ? C ) = C = 0 : 2 5 ,

o

= 2 s o t h a t L = 1 . D i e r e n t c u r v e s a r e f o r

r o d s w i t h d i e r e n t i n t r i n s i c c u r v a t u r e s

=

o

l i s t e d b y t h e s y m b o l s .

= 0 r e p r e s e n t s t h e

n a t u r a l l y s t r a i g h t r o d .

=

o

= 1 r e p r e s e n t s t h e O - r i n g o f B a u e r e t a l . ( 1 9 9 3 ) . T h e b o u n d r a y

c o n d i t i o n s a r e s u c h t h a t t h e t w o t e r m i n a l s j o i n t s m o o t h l y : Z ( 0 ) = Z ( L ) a n d Z

0

( 0 ) = Z

0

( L ) .

A l l c u r v e s a r e p r o p o r t i o n a l t o b e c a s u e t h e y a r e t h e l i n e a r i z e d s o l u t i o n s .

1 2


13/14

F i g u r e 1 :

1 3


14/14

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

out-of-planeko*Z(l)/Phi

0.0

0.1

0.25

0.51.0

1.25

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

twistL*Ome

ga_

zeta/Phi

l/L

0.0

0.1

0.25

0.5

1.0

1.25

F i g u r e 2 :

1 4

Documents

Hong Qian- Terminal Twist Induced Continuous Writhe of a Circular Rod with Intrinsic Curvature