31

Home - UCLA Mathematics

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Home - UCLA Mathematics

����������� ���������������������� �"!#��$&%'%(�*)+�(,-���/.�%0-��12��3546�7�(87�9�7�:�<;5�7��=:�9�>-�';5�7?(87�9�@��

ACB6D<EGF %-12HI.�% D 0-��12,-� D .��J� D 3K3<��1 E 0���� E 0(���ACB6D<EGF %-12HL�()<)<1M%! E HN��� E % D $�O*)P%-QGO D %-H E �(QR�ACS %TU��16�M��1 E ���AWV )P��. E �(Q FYX<D ."� E % D �

Z[Z[Z\Z[ZB�D<ERF %-1MHL.�% D 0-��1M,-� D .��]� D 3^3���1 E 0���� E 0-���A ���_�+� 0-���(Q`1M� �(3�Oa�2��� DbE`D Qc���M�[TU�����edf� D %(�2���N��%7T X<D<ERF %(12Hg.�% D 0-��1M,-� D .��E`D ����1��(."����Th��Q`QiT E ���K.�% D � E`D�X<E �jO-k<T E �2�KQ E H E �2��k#� D 3lT E ��� E`D ����,-1���Q`��m�n�%ToTh�E`D 0-���M� E ,p���2�q�<%T E � ERD ����12�(.��2�rT E ���K3<��1 E 0(�:� E 0(����m

A �r�<�ts<12�M�vu X ����� E % D Th�\.�� D ���2� E ��4 ERF�w7x .�% D 0(��1M,-��� X�D<ERF %-1MH\QGO^�2% w ky� D 3���<� FYX<D .�� E % D � w7x �(1M�z3 ER{ ��1M� D � E �($<QR�(k�3<%#���h�2� E � E Ht)<QROJ���+��� w^E �U�(Q`�M%J3 EG{ ��1��� D � E �($<Q`� |^} D 3^3<%#��� w&~x �(Q`�M%[.�% D 0-��12,-����% w&~ |A �r�<��� D �MTh��1K��%��2�<���2��.�% D 3�u X ���M� E % D�E ��k X�D�F %-1M� X<D ���2��QGO-k D %<m���%��M�����.�% X<D �2��12��!��(H\)�Q`�(k]Th��T E Q`Q X �2��T E �2�<% X ��)<1M%'% F �M%-H\��$<�(� E . F ��.������($&% X ���1 E ,-% D %(H\�"��1 E . FYX�D .�� E % D ����T/� E .9��Th��T E Q`Q�H\�(�(��1 E ,-%-1M% X �l�:�*���<��� D 3�% F���<���2� D %��������"m��U% D � E 3<��1^���<� FYX<D .�� E % D � w7x 4l�f���98:�i�_� � 3<�"s D ��3�$pOw7x �Y�P��4�� � �+���¡ e� ERD �¢�&�P�"k�� D 3�Q`�"� w 4l�£����8:�i�N� � $P��������¤���12% FYX<D ."�� E % D�w ���P��4��g��mo�r��� D k�� ERD .��^� E`D �9�(�����*0��(Q X ���N$&���jTh��� D �9�¥� D 3¦�-k�Th��+� 0-�[§�¨©� wx � w �zª��«�+���¡ k5T/�<��12�]Th� X �2�]�2�<� X<D<EGF %-12H¬Ht���21 E .J§�¨©� w �2­��q4��� X )<® ¯�° ±2²  ¡³�´pµ w �Y�P�·¶a­5�Y�P� µ E`D ��1M%'3 X .���3 E`D �����v)<1M��0 E % X ��Th�����ed¸� D %(������m V'ERD .��� �+���¡ r.�% D 0(��1M,-���r��%]��k#Th�z��� X �U�2���¹$�O\���<�6�2u X ����¤��q�2���M�U���+��� w7x .�% D 0-��12,-���X<D<ERF %(12HtQRO���% w m�º D ���<�*%����<��1]�+� D 35k we~x ���P�©�¬�«���¡ P.�%-�7�Y�P�P�"k�� D 3��2% E`D)+�(1M� E . X Qc�(1 µ w&~x ���-�/¶ w&~ �¢�p� µ �»�«���¡ mW�r� X � we~x 3<%'��� D %(�t.�% D 0-��12,-�^)P% E`D �M�T E �2�q�2% w ~ ke� D 3^�2% E`D )+�(1�� E . X Qc��1r3<%'��� D %(��.�% D 0(��12,(� X<D<EGF %-12HtQRO\� E ���<��1�m½¼ D)+�(1M� E . X Qc�(1hTU���+� 0-�

§§-� Q E Hx¾ ¨ w7x �Y�P�q¿� Q E Hx ¾ ¨

§§-� w7x �Y�P��À

Page 2: Home - UCLA Mathematics

A �r�<�¹� D �MTh��1½��%����<�rs+1M�M�hu X ���M� E % D\E �½�(QR�2% D %<m·} D ��!<��H\)<QR� E � �����6�M��u X � D .��% FrFYX<D ."� E % D � w7x 4/� ¶ �-� ����� � 3<��s D ��3�$pO w7x �Y�P�*4�� � �x���� �   m��r�<���M�FYX<D .�� E % D �/�(12��3 EG{ ��12� D � E �($<QR�[�YT/�pO�|7�"m½}¹QR�2%<k<% D ��. � D � �(� E QGO*.9�<��.9�*���+���

µ � µ ª w7x �Y�P��ª µ � µ � ��

F %-1©�(QRQh��� � ¶v�-����� �YT/�pO�| �2u X ��12�K$P%������ E 3<�����"kh� D 3��2%�$pOa���<�l�Mu X ����¤��������� w7x .�% D 0(��1M,-��� X<D<ERF %(12HtQRO[��%[���<� �($��2%-Q X ���q0��(Q X � FYX<D .�� E % D^w ���P��4 � µ � µ m� X �/��� E � FYX�D .�� E % D_E � D %(��3 EG{ ��12� D � E �($�Q`�����6��mh�r� X ��kP�2�<� X<D<ERF %(12HLQ E H E �U% F3 ER{ ��1M� D � E �($<Q`� FYX<D .�� E % D � D ����3 D %(��$&�q3 ER{ ��1M� D � E �($<QR�(mAWV %<k E`D � X H\H\�(1MO(k X<D<EGF %-12HI.�% D 0-��12,-� D .��J% F �2�<� FYX�D .�� E % D � wx �2� O'� D %(�2� E`D ,�($P% X �¹�2�<�].�% D 0(��1M,-� D .��[% F ���<�J3<��1 E 0���� E 0-��� w&~x m��6%Th��0(��1�ki�2�<�].�% D 0-��1M�2� E ���1 X �(ke�(�/Q`% D ,[�(� w7x .�% D 0-��12,-���z��������QR� �(���/% D ��)P% E`D � 4A����� ������ ����� ���^���e���9�/$&�K� D�E`D �2��1M0��(Q�k�� D 3 F %-1]�"0-��1MO E`D �2��,-��1©���»�-kQ`��� w7x 4����e���9�6� � $P�*��3 ER{ ��12� D � E ��$<Q`� FYX<D .�� E % D T/��%-�2�K3<��1 E 0���� E 0(� w&~x 4���+�����J� � E �N.�% D � E`D�X % X ��m V#X )<)&%-�2���2�+���t���<��3<��1 E 0���� E 0-��� w&~x .�% D 0(��1M,-�X<D<ERF %(12HtQRO]�2%©� FYX<D ."� E % D ­N4&���+�����P� �¥m V'X )<)&%-�M�q�(Q`�M%v�2�+���U�2�<��1M�z�"! E �M�����)P% ERD ��� ± � X .9�¥���<���6�2�<�JQ E H E �rQ E H x ¾ ¨ wx ��� ± �/��! E �M�2��m��r�<� D �2�<� FYX�D .�� E % D �w7x .�% D 0(��12,(� X<D<EGF %-12HtQRO ��%J�v3 EG{ ��12� D � E �($<QR� FYX<D .�� E % DNw k'� D 3t���<��3<��1 E 0���� E 0-�% F w ��u X �(Q`�r­&mA ¼ D�F %-12H\�(QRQRO-kp�2�<�q�($&%0-�z������%-1M��HL�2� O'���2�+��� EGF w&~x .�% D 0(��12,(��� X<D<ERF %(12HtQRO-k#� D 3w7x �Y� ± �J.�% D 0(��1M,-��� F %(1©�2%-Ht�l� ± kh�2�<� DWw7x �(QR�2%�.�% D 0(��1M,-��� X<D<ERF %(12HtQRO-k½� D 3�� ® Q E H x¾ ¨ w7x �Y�P����Q E H x ¾ ¨ �� ® wx ���P�"mA! "�� # �$�� ���6% D QROt, E 0-�����<�6$P��, E`D<D�E`D , % F �����¹)<1M%'% F �<��1M�(;��2�<�¹1M��H\� E`D 3���1½% F���<��)<1M%'% F�E �r, E 0-� D �(���[��%-H\�"TU%(12�l�(�M� E , D Ht� D � mAWV'E`D .�� we~x E � .�% D � ERD�X % X ��k�Th�U�2��� F 1M%-H ���<� FYX<D 3+��H\� D ���(Qp���<��%-12��H % F .��(Q`. X Q X ��¢�2����HJO*��������� �\�^��������� }¹� D %(�2����k+%(1r�r�<��%-1M��H¬>�m�8'��% F&%�X 3 E`D �h�2�+���

wx ���P� ¶ w7x �Y� ± ���(' ° ®*)M² ® ´ w ~xT/�<� D �+��� � ± ����� ke� D 3

w7x �Y�P�·¶ w7x �Y� ± ��� ¶,' ° ® ² ®*) ´ w ~x8

Page 3: Home - UCLA Mathematics

T/�<� D �+�����+�2� ± � mA�� �"���C$&���2�<��Q E H E �U% F·w7x �Y� ± �r�(�r�^� �o4

�W4�� Q E Hx ¾ ¨ w7x �Y� ± ��À�hO[�pO')&%(�2�<��� E ��k����"! E ������m�n�%T�k'� E`D .��¹� ��.9� w&~x E ��.�% D � E`D�X % X �U% D ���+������k<� D 3w&~x .�% D 0-��1M,-��� X<D<EGF %-12HtQRO���%�­&k TU�_�2���K$�OC�U%(12%-QRQc�(1�O� F 1M%-HgQc���M�]Th�����&df�D %(�����r���+���r­ E �/�(QR�2%[.�% D � E`D�X % X ��m½n6%T 3���s D ������� FYX�D .�� E % D^w 4&���+�����P� �$�O*�2���M� ERD ,

w �Y�P�U4�����¶ ' ° �9² ®*) ´ ­ � ' ° �9² ® ´ ­F %-1��(Q`Q'�+�����+����� m � % s D<E �M�t�2�<�/)<12%#% F kpTU���+� 0-�/��% �2��%7TW���+��� wx .�% D 0-��12,-���X<D<ERF %(12HtQRO ��% w k#� D 3[���+�:� wlE ��3 EG{ ��12� D � E �($�Q`��T E �2�[3<��1 E 0���� E 0-�r­&mr�Y�r�<�61M�����% F �2�<��)<12%#% F�E �/�(�M� E , D ��3^�(�r�<%(H\�"TU%-1M�'�"m �

A ¼¡��� X 1 D �/% X ���2�+���/�r�<��%-12��H�� E �U�M� E Q`Qe��1 X �zT/�<� D ����� FYX<D .�� E % D � w ~x ��12� D %(��(�2� X H\��3_�2%[$P��.�% D � E`D�X % X ��k+$ X �/�2�<��)<12%#% F�E �rHt%-12�q3 E�� . X QG� ;<�M��� %�X 3 E`D mA �hOl.�%(H]$ E`D�E`D ,]�2� E ���2�<��%-1M��HLT E ���l��������� E ��1M�M��12�(�2��� ������� k+Th� %($��9� ERDA�� ��� � � �� �����#� � ���J���+����� $P��� D_ERD ����1�0��(Q k�� D 3 F %-1r��0(��1�O E`D ����,-��1��,�¦�-k�Q`���w7x 4e���+�����i� � $&����3 ER{ ��1M� D � E �($<QR� FYX�D .�� E % D T/�<%-�2�h3<��1 E 0���� E 0-� w&~x 4&���+�����P�� E �t.�% D � E`D�X % X ��m V'X )<)&%-�M�����+�:�N�����¥�2��1 E ����� ¨x�� ��� w&~x � ¨ E �N�($��2%-Q X ����QRO.�% D 0-��12,-� D � k5T/�<��12� � w ~x � ¨ 4 �¦� X ) ® ¯(° �9² � ´ µ w ~x ���P� µ E �/���<�v� X ) D %-12H % F�w ~x k5�(�3<���M.�1 E $P��3 E`D Qc�(���«TU�����ed¸� D %(������m V#X )<)&%-�2�r��Q`�2%/���<�����2�<�U�M��1 E ��� � ¨x�� � w7x �Y� ± �E �z.�% D 0-��1M,-� D � F %-1q�2%(H\�J� ± �o���e���9��m]�r�<� D �2�<�©�2��1 E ����� ¨x�� � w7x .�% D 0-��12,-���X<D<ERF %(12HtQROt% D ���+����� ��%t�©3 EG{ ��12� D � E �($<QR� FYX<D ."� E % D k+� D 3 ERDKF ��.��

§§p�

¨�x�� �

w7x �Y�P���¨�x�� �

§§-� wx ���P�

F %-1/�(Q`Q&�+�����+����� mA! "�� # �$��/V �����������*�t�<%-Ht��Th%-12�em �A ��� D %TI)+� X �M�*��%�, E 0-�K� D ��!��(H\)�Q`�*% F � FYX<D .�� E % D T/� E .9� E �].�% D � E`D�X % X ���0-��1MO�T/�<��12�(kq$ X �l3 EG{ ��12� D � E �($<QR� D %T/�<��12�C�Y�2� E �N)+�(1M� E . X Qc�(1t�"!��(Ht)<QR��T����3 E �M.�%0-��12��3�$pO¥��� E ��12�M�21��(�M�9��mt}6,p� ERD kiTU�©T E Q`Qy)�12��� X Ht�t� D %T/QR��3<,-�[% F �������1 E ,-% D %(H\�"��1 E . FYX<D .�� E % D ��m

Page 4: Home - UCLA Mathematics

A ��� ����� � � � �"� w 4p�I� � $P�·�2�<� FYX<D ."� E % D w �Y�P��4�� � ¨x�� � �'� x .�%-� ��p8 x �i�P��mn6%(�2�����+�����2� E � �M��1 E ��� E � X�D<ERF %-1MH\QGO .�% D 0-��12,-� D � k'�2�+� D ��� ��%q�2�<�r��� E ��1M�M�21��(�M���¡�2���M��ky� D 3�� E`D .��[� �(.9� E`D 3 E 0 E 3 X �(Q FYX<D .�� E % D �'� x .�%-�7�¢p8 x �i�P� E �q.�% D � E`D�X �% X ��k'���<� FYX<D .�� E % D_w�E ���(Q`�M%©.�% D � ERD�X % X ��mh��%TU�"0-��1�k E � E � D %(�r3 ER{ ��12� D � E ��$<Q`��¢�2�����<%-Ht��Th%-12�'�"mA } 12��Qc���2��3ik'$ X �/�2Q E ,-�p�2QROt3 ER{ ��1M� D � k'�"!��(Ht)<Q`�¹% F �].�% D � ERD�X % X ��k D %T/�<��1M��3 ERF �F ��12� D � E ��$<Q`� FYX<D .�� E % D k+��)<)P���(12� ERD %/X 3 ERD m

Z[Z[Z\Z[ZB�D<ERF %-1MH �()�)<12% ! E H\��� E % D $pOK)&%-QRO D %-H E ��Q`��mA }¹�hTh�z�+� 0(��� X �M�U�2��� D k<.�% D � E`D�X % X � FYX<D ."� E % D �U.�� D $&�¹0-��1MO\$+�(3<QGOt$P���+� 0-��35kF %-1 E`D �M�9� D .��N�2�<��O�. � D $&� D %T/�<��1M�l3 ER{ ��1M� D � E �($<QR�(m�º D ���<�l%(�2�<��1J�+� D 3ikFYX<D .�� E % D ��� X .9�¥����)&%-QGO D %-H E �(Q`�U�(12����QRTU�O#�/0-��1MOlTh��Q`Q $&���<�0(��3ik E`D )+��1M� E ."�X Qc�(1©$&� ERD ,��(QRTU� O#�\3 EG{ ��12� D � E �($�Q`�(m��+%-1�� X<D �:����QGO-k T/� E Q`�KH\%(�M�[.�% D � E`D�X % X �FYX<D .�� E % D �q�(12� D %(���(�6TU��Q`Q·$&���+� 0(��3��(�z)&%-QRO D %-H E ��Q`��k+�2�<��O�. � D �(QGT�� O#�q$P�� � ���������������������! "�#�$�&%('*) $pO�)&%-QRO D %(H E �(Q`��;<��� E � E Ht)&%-1M��� D �]�Y$ X �q3 E � . X QG���12��� X QR� E �z� D %T D �(�z���<��+ '��,'���-�%.�/��-0-1�������0�! "�#�$�&%2�,��3%54 '0����'�� k«� D 3 E �¹������ X $6�M��.��6% F ��� E �r�2��."� E % D m

A87 ��9;:=<#>?< �: � � ���h���+�����p$&�h� D ERD ����1�0��(Q m } � ������@�����2�&���� ���e���9� E � � FYX<D ."� E % Dw 4&���+�����P� �I% F ���<� F %-12H w ���P�U4 � � xA � ±CB A � A k#T/����12�q�,��� E ��� D*E`D ����,-��1� D 3 B ± � À À À�� B x �(1M�]12���(Q D�X H]$&��1M��m ¼ F B x ¿� ��k&���<� D � E �z.��(Q`QR��3��2�<� )6',D&��'0'% F w m

A ��� ����� � � �r�<� FYX<D .�� E % DKw 4&� �(��8:�&� � 3<�"s D ��3K$pO w �Y�P�U4��o�� E � 8:�CF�¶�(� � � E ���©)P%-QGO D %-H E �(Q&% D � �(��8:� % F 3<��,-12���v�<mAHG �6< ����I!>�� �JI�I �K�=� �� � < � �K>?< �:L>���� ������ � ¼ F ���+����� E �\� D�ERD ����1�0��(Q k w 4���+����� � � E �t��.�% D � E`D�X % X � FYX�D .�� E % D kU� D 3HMON ��kh�2�<� D ���<��12�^�"! E �����\�)P%-QGO D %-H E �(QQP�% D ���+�����·� X .9���2�+���z§#¨]�.Pr� w �¹ªRM�� E mf�(m µ PN���P� ¶ w ���P� µ ªSMF %-1/�(Q`Q&�+�����+��������m

A } D %(�2�<��1iTU� Oq% F �M����� ERD ,���� E �5�2�<��%-1M��H E � �(� F %-QRQ`%T/��m % ��.��(Q`Q:���+���UTN�M���+������;��K�T��(�����<�r�M)+�(.��U% F .�% D � E`D�X % X � FYX�D .�� E % D � F 12%-HL���e���9�'��%z��k(T E �2�J���<� X�D<ERF %-1MHH\�"��1 E .U§�¨]m � �"�VP\�2���e���9��;��*� $&�U���<�U�2)+�(.��r% F �(QRQ')&%-QRO D %(H E �(Q`� % D ���+����� ;-�2� E �E �r�]� X $<�2)<�(.�� % F TN�M���+������;��K��k<� ERD .����(QRQ5)&%-QRO D %(H E �(Q`�½�(1M�q.�% D � ERD�X % X ��m½�r������ E ��1M�M�21��(�M�r�()<)<1M% ! E HN�:� E % D �2�<��%-1M��H ���<� D �(�2�M��1M�2�U���<���r��0(��1�O*.�% D � E`D�X % X ��

Page 5: Home - UCLA Mathematics

FYX<D .�� E % D©E ��� D �(3<�<��12� D �½)&% E`D ��% F P\�2���+����� ;��l�";�%-1 ERD %����<��1·TU%-1M3<��kp�2�+��� �����.�Q`%(� X 1M��% F ���<�r�M)+�(.��r% F )&%-QGO D %-H E �(Q`� E �����<�r�M)+�(.��r% F .�% D � ERD#X % X � FYX<D ."� E % D ��4P\�2���+����� ;��*���RTN�M���+������;��l��À

¼ D )+�(1�� E . X Q`�(1�k���0(��1�ON.�% D � E`D�X % X � FYX<D .�� E % D % D ���e���9� E ������� X<D<EGF %-12H Q E H E �·% F)P%-QGO D %-H E �(QR��mA �r�<�[)<12%#% F % F �2� E �z�2�<��%(12��H E �q�2%-Ht��T/�<��� .�%-Ht)<Q E . ���2��3�� D 3�T E Q`Q�$P�[3<% D �E`D ���9�(,(����m·���¹s+1M�M� D ����3*���<� D %(� E % D % F � D ���������! "�#�$�&%2�,�� %(��%#4 '��2)6'� %.�#%2� mA87 ��9;:=<#>?< �: � � ���*���+�����½$&�N� D�E`D ����1M0��(Q�mN} FYX<D ."� E % Daw 4 �g� � E ����� E 3��%K$P� -� ��� ����% '*) % D ���e���9� EG{�w ���P�z� � F %(1q�(Q`Q��o¿�o���e���9��m]���t�2� O¥���+�:� wE � �0�����K����%.��� -�?��� ����%('*)\ER{�E � E �v� X )<)&%-1M�2��3a% D �2%-Ht� E`D ����1M0��(Q6���+������m^¼ F/wE �z.�% D � E`D�X % X ��� D 3�� X )<)&%-1M�2��3�% D ���e���9��kiTh�©3<��s D �[�2�<� E Ht)<1M%-)P��1 ERD ����,(1��(Q� ¨� ¨ w ��%t$P� �

¨� ¨ w 4�� � ° ��² � ´ w m

A n6%(�2�v���<���q� FYX�D .�� E % D .�� D $&�J� X )<)&%-1M�2��3�% D Ht%-12�����<� D % D � E`D ����1M0��(Q k F %-1E`D ���9� D .��*� FYX�D .�� E % D T/� E .9� E �J� X )<)P%(1M����3�% D �£����(� E �]�(QR�2%¥� X ��%-H\��� E . ��Q`QRO� X )<)&%-1�����3 % D �f8'���:�©�YT/�pO�|7�"m�¼ D )<1 ERD . E )<Q`��kr��� E �lH E ,-�p�*Ht� � D �2�+���K% X 13<��s D�E � E % D % F � ¨� ¨ w¥E � D %��rTU��Q`Q 3<�"s D ��35k&��%7Th��0(��1���� E � E � D %(�r�2�<��. �(�M�(4A�� ��� � ��� ¼ Frw 4i� � � E �q.�% D � ERD�X % X �v� D 3�� X )�)P%-1�����3�% D � D�E`D ����1M0��(Q���+������k�� D 3 E �t�(QR�2%�� X )<)P%(1M����3W% D � D %����<��1 ERD ����1�0��(Q � B �9§-��k½�2�<� D � ° �9² � ´ w �� ° �¡² � ´ w m

A! "�� # �$��/V �����������*�t�<%-Ht��Th%-12�em �A87 ��9;:=<#>?< �: � ��� M�N��[� D 3������ �-m�} FYX<D ."� E % D^w 4p�I� � E ���2� E 3l�2%$P��� D �5M#� ���� ���������! "�#�$�&%2�,�� %(� %54 ' �2)6'� %2�#%.�rEGF5E ��%-$P�"O#�½�2�<� F %-Q`QR%7T ERD ,¹�2�<12���)<12%-)&��1�� E ����4A ���p� w¥E �r� X )<)&%-1M�2��3^% D � ¶ �-� ����ke� D 3 w ���P����� F %-1/��Q`Qy¶ � ªb�¥ª �-mA �¢$e� w�E �r.�% D � E`D�X % X ��ke� D 3 � ¨� ¨ w ���-mA �¢.� µ w �Y�P� µ ªOM F %-1/�(QRQ�]ª µ � µ ª¦�(mA ºq)'� E % D �(Q-1M��H\�(12�e4 �+%-1 ���<%-�M�h% F O-% X T/�<%¹�(12� F �(H E Q E �(1eT E ����������� E 1��(. 3<��QR���FYX<D .�� E % D ke�()<)<1M%! E HN��� E % D ����%[���<� E 3<� D � E �jOl�(12��T�� O#�6�2%N��)<)<12% ! E H\���2���2� E ��Y0-��1MOK3 E �2.�% D � E`D�X % X �9��3<��QR�9� FYX<D .�� E % D $pOK�t.�% D � ERD#X % X � FYX<D ."� E % D ��T/� E .9� E �� �(� E ��1��2%N� D �(QRO#¤���"m

Page 6: Home - UCLA Mathematics

A º X 1·)<12%#% F % F �2�<�U��� E ��12����1����2���()<)�12% ! E H\��� E % D �2�<��%-1M��H 12��Q E ���y% D �2�<12���r�(��OF �(.��2��m/�r�<�Js+1M�M� F �(.�� E �/���+�:�¹)&%-QRO D %(H E �(Q`��.�� D $&�]�()�)<12% ! E H\��� E % D ���2%\�����E 3<� D � E �jO&4A�� ��� � � � � �+%-1U��0-��1MO M Nb�[� D 3K��0(��1�OK� ����o�q������12�q��! E �M�2��� D �5M#� ��j��()<)<1M%! E HN��� E % D ��%©���<� E 3<� D � E �jO*T/� E .9� E �/�[)&%-QGO D %-H E �(Q P % D � ¶ �-� ����mA! "�� # �$��/V �����������*�t�<%-Ht��Th%-12�em �A ����T E Q`Q X �2���2�<���M��)&%-QGO D %-H E �(Q#�()<)<1M% ! E HN�:� E % D � �2%z���<� E 3<� D � E �jOJ�2%��()<)<1M% !#�E H\�����r.�% D � E`D�X % X � FYX<D .�� E % D �½$pO\)&%-QGO D %-H E �(Q`��m ����T E Q`Q D ����3\���<� F %-Q`QR%T E`D ,E Ht)P%-1��9� D � D %(� E % D k<��%7Th��0(��1�k&�2�+���/% F � �0����&����6%2�,�� mA87 ��9;:=<#>?< �: ��� �"� w 4-�L� � � D 3_­N4p� � �¬$P��.�% D � E`D�X % X ��ke.�%(H\)+��.���QGO� X )<)&%-1�����3 FYX<D ."� E % D ��my���/3<��s D ���2�<� �0����&�����%2�,��]w�� ­\4p�I� � % F w � D 3­N��%[$&�q���<� FYX<D ."� E % D

� w�� ­������P�U4 � ' ¨� ¨ w ����� ­5�Y�t¶�����§�PÀ

A n6%(�2�*���+��� EGF¹w � D 3�­��(1M�_.�% D � ERD#X % X �t� D 3�.�%(H\)+��.���QGO�� X )<)&%-1M�2��3ik½���<� DF %-1]� ��.9�����2�<� FYX<D ."� E % D�w ����� ­5�Y�_¶���N�Y�2�<% X ,(���[% F ���©� FYX<D ."� E % D % F �<�E �t�(Q`�M%�.�% D � ERD#X % X �\� D 3W.�%-Ht)+�(.��2QRO�� X )<)&%-1M�2��3ikU�2%��2�<�^�($P%0(��3<�"s D<E � E % DHN�(�����/�2� D �2��mA �U% D 0-%-Q X � E % D ��)<Qc� O¥� D�E H\)&%-1��9� D �q1M%-Q`� ERD �+% X 1 E ��1q� D ��QRO#� E ��� D 3 E`D�S ���/k� D 3��(1M�©�(Q`�M% E Ht)P%(1M�9� D � E`D )<�pO'� E .���k«� D , E`D ����1 ERD ,<k5� D 3�� E , D �(Q )<12%#.����2� E`D ,<m} DaERD �j3<��)������M� X 3�O�% F .�% D 0(%-Q X � E % D TU% X Q`3�%#.�. X )pO�� D � D � E 12�*.�% X 1M�2�(; F %-1D %T�k�Th�l% D QGO�, E 0(�l�^0-��1MO�$�1 E � F 3 E �M. X �M� E % D m����N$P��, E`D $pO�Q E ��� ERD ,��M%-H\�$+�(� E .q)<12%()P��1M� E ���/% F .�% D 0(%-Q X � E % D mA! "�� C� �I�<5> < �:� #� � ��� w 4�� � �¥k+­^4'�¬� ��kP� D 3���4'�¬� � $&� .�% D �� E`D�X % X ��k:.�%-Ht)+�(."��QGOq� X )�)P%-1�����3 FYX<D ."� E % D ��m �r�<� D ���<� F %-QRQ`%T E`D ,r�M�9�:����Ht� D �2��(12�z�21 X ��mA ���p�v�r���l.�% D 0-%(Q X � E % D�w�� ­ E �]�(Q`�M%��¥.�% D � E`D�X % X ��k�.�%-Ht)+�(."��QRO�� X )<)P%(1M����3FYX<D .�� E % D m

>

Page 7: Home - UCLA Mathematics

A �¢$e�/� �U% D 0(%-Q X � E % DtE � .�%-HtH X ����� E 0-� �����/�+� 0-� w � ­©� ­ � w ; E`D %(�2�<��1 Th%-123��w�� ­5�Y�P� � ' ¨

� ¨ w� �<�j­i���t¶��<��§�]� ' ¨

� ¨­i� �<� w �Y�t¶ ���U§�[��­ �/w �Y�P�"À

A �¢.�v� �U% D 0(%-Q X � E % D�E �¹Q E`D ���(19�U���]�+� 0-� w � ��­ � �e�r� w � ­ � w � � m6}¹QR�2%<kF %-1/� D Ol12���(Q D�X H]$&��1 B k�TU� �+� 0-� w�� � B ­�� � � B w � � ­©� B � w�� ­<��mA! "�� # �$��/V �����������*�t�<%-Ht��Th%-12�em �A ºq)'� E % D �(Qy1M��H\�(12�e46�r�<��1M�\��12�©H\� D O¥%(�2�<��1 E H\)&%-1M��� D �z)<1M%-)&��1M� E ���q% F .�% D �0-%-Q X � E % D k F %-1 ERD �M��� D .�� E � E �6�(�2�M%'. E ��� E 0(�(k � w � ­<� � �^� w � �Y­ � �&��k5� D 3 E �.�%-HtH X �2���vT E ����3<��1 E 0���� E 0-����k/� w � ­�� ~ � w&~ � ­�� w � ­ ~ k�T/�<� DCw � D 3a­�(12�[3 EG{ ��12� D � E �($<QR�(m©�r�<� � E 12�(.©3<��QR�9� FYX<D .�� E % D *H\� D � E % D ��3�� �(1MQ E ��1 E �v� DE 3<� D � E �jO F %-1¹.�% D 0-%-Q X � E % D 4 w � [� �6w � w m��r�<���M�[12��� X QR�2�q�(1M�]�2Q E ,-�p��QGO�+�(123���1z��%K)<1M%0-�©���+� D �2�<�©% D ��� ERD�S 12%-)&%-� E � E % D �'k �<%Th��0-��1�ky� D 3�TU�©T E Q`QD %(� D ����3^�2�<��H E`D ��� E �r.�% X 12�2��mA }¹�½H\� D � E % D ��3t� �(1MQ E ��1�k-�2�<�6)�12%#% F % F ���<�/��� E ��12����1����2����)<)<12% ! E H\��� E % D �2�<��%��12��HI12��Q E ����% D �2�<12��� F ��.�����m �r�<���2��.�% D 3_�(�"O F �(."� E ���2�+���r.�% D 0-%-Q X � E % D T E �2�)P%-QGO D %-H E �(QR�h)<1M%'3 X .����¹� D %(���<��1/)P%-QGO D %-H E �(Q�4A�� ��� � � � � � ��� w 4y� � �g$&�l�¥.�% D � E`D�X % X � FYX<D ."� E % D � X )�)P%-1�����3�% D�f������� k#� D 3*Q`�"�h­N4-� � �L$&�z� .�% D � E`D�X % X � FYX<D ."� E % D � X )<)P%(1M����3*% D � ¶ �-� ���T/� E .9� E �6�t)&%-QRO D %(H E �(Qi% D � ¶ �-� ����m��r�<� D�w � ­ E �6�t)P%(QRO D %-H E �(QP% D �£��� ��� m��n6%����q�<%Th��0-��16�2�+��� E �rH\� Ol$&� D % D �¡)P%-QGO D %-H E �(Q&% X �2� E 3�� % F �£��� ���c�"mA! "�� # �$��/V#E`D .��z­ E ��)P%(QRO D %-H E �(Q&% D � ¶v�(� ����k�TU��H\� ONs D 3_� DKERD �2��,-��1r�,���� D 3K12���(Q D�X H]$&��12� B ± � B � � À À À�� B x � X .9�_���+�:�

­5�Y�P� � x�A � ±

B A � A F %-1/�(QRQ5�+��� ¶ �-� ����À

º D �2�<��%(���<��1/�+� D 3ik F %(1/�(Q`Q5� ���£��� ����k�Th� �<�0(�w � ­5�Y�P� � ' ¨

� ¨ w� �<�j­5�Y�t¶ �<�h§ �©� ' ° ±2² ��´ w ����� ­5���[¶ �<�U§�

?

Page 8: Home - UCLA Mathematics

� E`D .�� w E �l� X )<)P%(1M����3�% D �£��� ��� m V'ERD .��¥� �»�f�'� ����� D 3 �2�<��0(��1 E ��$<Q`�^% FE`D ����,-1���� E % D � E � �(QR�2% E`D �f������� k TU�\�+� 0-�N�^¶ � ��� ¶v�(� ����m_�r� X �vTU�\HN� O� X $<��� E � X �2� ERD % X 1 F %-1MH X Qc� F %(1�­N��%[%-$'�9� ERDw�� ­5�Y�P��� ' ° ±2² ��´ w �����

x�A � ±

B A ���N¶ ��� A § �&À

�����"!')+� D 3_�2� E � X � E`D ,©�2�<��$ E`D %(H E �(Q F %(12H X Q`�J��%[%-$���� E`Dw�� ­i���P� � ' ° ±2² ��´ w � �<�

x�A � ±

B AA�� � ±

���

� � � � ¶ � � � � � � ¶ ��� A � � §�PÀ

���].�� D�E`D ����12.9�+� D ,-�]�����J�jTU%K� X H\H\��� E % D �]�Y�2� E � E ��º�� � E`D .��]$&%(����� X Ht��(12�zs D�E ��� �U��%[%-$���� E`Dw�� ­5�Y�P� �(' ° ±2² ��´ w �����

x�� � ±

x�A � �

B A���

� � � � ¶ � � � � � � ¶ ��� A � � §�

�YT/�pOl3 E 3*���<�qQ E H E ����% F ERD �2��,-12��� E % D .9�+� D ,-�|�¼¡��HN� O*����Q`)*�2%©)<Q`%�� � � D 3 �% D �*,-12�()<�e��mqn6%T TU� ERD ����1M.9�+� D ,(�]���<� � � X HtHN�:� E % D T E �2������� E`D ����,-1���Q k� D 3K%-$<�M��1M0(�v�2�+���r� � E � ERD 3<��)&� D 3<� D �6% F �&k��2%t%($��9� ERDw�� ­i���P� �

x�� � ±

� � ' ° ±2² ��´ w � �<�x�A � �

B A���

� � � � ¶ � � � � ¶ ��� A � � §�PÀ

¼ F Th� �2� X �63���s D �

T � 4��(' ° ±2² ��´ w � �<�x�A � �

B A���

� � � � ¶ � � � ��¶ �<� A � � §�F %-16���(.9� � � ��� À À�À�����ke�2�<� D T � E �¹� D�X HJ$P��16T/� E .9� E � E`D 3���)&� D 3<� D �z% F �«k� D 3lTU� �+� 0-�

w�� ­5���P�½�x�� � ±

T � � �F %-1/�(Q`Q&�+���£��� ����m·�r� X � w � ­ E �/�[)P%-QGO D %-H E �(Q&% D �f�'� ����m �

@

Page 9: Home - UCLA Mathematics

A �r�<���2� E 1M3[�(��O F ��.�� E �·�2�+��� ERF % D �/.�% D 0(%-QR0(���U� X�D<ERF %-1MH\QGOJ.�% D � ERD#X % X � FYX<D ."�� E % D T E �2��� D �()<)<1M% ! E HN�:� E % D ��%*�2�<� E 3<� D � E �jO-k5Th�©%-$���� E`D � D ��T FYX<D ."� E % DT/� E .9� E �r.�Q`%-�M���2%©���<��%-1 E , ERD �(Q FYX<D .�� E % D 4A�� ��� � � � � � ��� w 4y� � �g$&�l�¥.�% D � E`D�X % X � FYX<D ."� E % D � X )�)P%-1�����3�% D�f������� k�T/� E .9� E �·$P% X<D 3<��3t$pOJ�2%-Ht� N��[� E m¸��m µ w �Y�P� µ ª� F %(1 �(Q`Q��+���K�"k� D 3�Q`��� M N �^� D 3�� � � �t$&�[� X .9�����+����% D �[�+�(� µ w ���P�h¶ w ����� µ � MT/�<� D �"0-��1¹�«� � ����� D 3 µ �*¶ � µ � �m � ���/­l$&�J� D O��#M#� (�¡� �()�)<12% ! E H\��� E % D��%©���<� E 3<� D � E �jO-m �r�<� D Th�v�<�0(�

µ w�� ­i���P��¶ w ���P� µ ª �� � 8 (�(MF %-1/�(Q`Q&�+���£��� ����m

A! "�� # �$��/V �����������*�t�<%-Ht��Th%-12�em �A �U%-H]$ ERD<E`D ,h���<���2����%-,-�"���<��1�kTh�h%-$'�9� ERD �/)�12��Q E H E`D ��1MOr0-��12� E % D % F ���<�·��� E ��1���M��12�(�2���()�)<12% ! E H\��� E % D ������%-1M��H_4A�� ��� � � �� �����#�� �"� w 4+� � ��$P�]�N.�% D � E`D�X % X � FYX<D .�� E % D � X )<)&%-1�����3�% D�f������� mr�r��� D�F %-1���0(��1�O M N ��k&�2�<��1M�J��! E �M�2�z� FYX�D .�� E % D P 4'�¬� � T/� E .9�E � )&%-QRO D %-H E ��Q�% D �f�'� ���&� D 3t� X .9�\���<��� µ P\�Y�P�<¶ w �Y�P� µ ªOM F %-1½�(QRQ��+���£��� ��� mA! "�� # �$��/V �����������*�t�<%-Ht��Th%-12�em �A n6%T Th�N)&��1 F %(12H �K�2��1 E ���J% F H\%#3 E s+. ��� E % D �¹��%_.�% D 0(��1M�©�U%-12%(Q`Qc��1MO�@ E`D ��%���<� �(."� X �(QP��� E ��1M�M�21��(�M�¹�()�)<12% ! E H\��� E % D �2�<��%-1M��H_m·���qs+1M�M� D ����3¥�©� E Ht)<Q`�Q`��HtH\��mA�� ��� � ���#� � ��� w 4&�£��� ���e� � $&�z�v.�% D � ERD�X % X � FYX�D .�� E % D T/� E .9�l��u X �(Q`�U�% D �2�<��$P% X<D 3+�(1�OK% F �f������� k E m¸��m w ���p��� w ���7���o��m � ����� 4p� � �¬$P�q�����FYX<D .�� E % D 3���s D ��3�$pO��2���M� ERD ,��N���P��4�� w �Y�P� F %(1¹� ���f������� � D 3��N���P� 4�� �F %-1���¿���£��� ��� m �r�<� D � E �/�(Q`�M%[.�% D � ERD�X % X ��m

A! "�� # �$��/V �����������*�t�<%-Ht��Th%-12�em �A �r�<� FYX�D .�� E % D � %-$���� E`D ��3 E`D � ��HtHN�K= E ���2%(H\�"� E Ht���q� D %T D �(� �2�<� '/ �% '�K-��,�� � �6w ����'���� m

A �e1M%-H �U%(12%-QRQc�(1�O*@[� D 3 � ��HtHN�©=]Th� E H\Ht��3 E ���2��QRO[%($��9� ERD=

Page 10: Home - UCLA Mathematics

A�� ��� � � �� ��� � � � � ��� w 45�f�'� ���P� � $P�v�[.�% D � ERD�X % X � FYX<D .�� E % D � X )<)P%(1M����3% D �£��� ���e� X .9�*���<��� w ���p� � w ���7� ����m·�r�<� DNF %-1½��0-��1MO$M N��q������12�6�"! E �����U�)P%-QGO D %-H E �(QKP 4e�f�'� ���&� �L� X .9�N���+�:� µ PN���P�&¶ w �Y�P� µ ªOM F %(1U�(QRQ<�+���£��� ��� mA n6%T»TU������12� D ,(�2�<� D �U%-1M%-Q`Q`�(1MO ��C$�Oo12��H\%0 E`D ,C���<�����2� X H\)�� E % D ���+���w ���p� � w ���� �o��m

A�� ��� � � �� ��� ����� � ��� w 45�f�'� ���P� � $P�v�[.�% D � ERD�X % X � FYX<D .�� E % D � X )<)P%(1M����3% D �£��� ����m·�r�<� D*F %-1U�"0-��1�O M Nb�v�2�<��1M�z�"! E �����r� )P%(QRO D %-H E �(QCP 4&�f�������&� �� X .9�_���+��� µ PN���P�y¶ w ���P� µ ªOM F %-1/��Q`Q5� ���f�'� ����mA! "�� # �$�� � �"� � 4&�f�������&� � 3<� D %(�2���2�<� FYX<D ."� E % D

�\�Y�P�U4�� w ���P�y¶ w ���p� ¶a��� w � �7�y¶ w �¢�p�2��Àºq$��2��1�0-�J�2�+����� E ���(QR�2%t.�% D � ERD�X % X �J�YT/�pO�|7�"ki� D 3^�2�+�����N�¢�p�½� �\����h�¦��m�hO��U%-12%-QRQc�(1�O����k TU�N. � D �2� X �Js D 3a�^)&%-QRO D %-H E ��Q�� 4U�£��� ����� � � X .9����+��� µ �N���P�·¶ �N���P� µ ªOM F %(1/�(Q`Q&�+���£��� ����m � X �

�\�Y�P�y¶ �\�Y�P�����\�Y�P� � w ���p� � ��� w ���7�y¶ w �¢�p�2� ¶ w �Y�P����2%J�2�<�¹.�Qc� E H F %-Q`QR%7T/��$pO\�2���M� ERD , P¦��%v$P�����<�6)P%-QGO D %-H E �(QCP\�Y�P�U4����\�Y�P� �w ���p� � ��� w ���7�y¶ w �¢�p�2��m �

A � E`D ��Q`QRO(k#Th��. � D )<1M%70(� �2�<�q��� E ��12�M�21��(�M���()<)<1M%! E HN��� E % D �2�<��%(12��H_mA! "�� # �$ �$ G��6< � ��I!> � � I�I �J� � �� � < � ��>?< �: >��� ����� � � �"� w 4&���+�����P� �$P�½�r.�% D � E`D�X % X � FYX<D .�� E % D % D ���+������m � ��� ­N4&�f�������&� � 3<� D %(�2���2�<� FYX<D ."� E % D

­5���P�U4 � w � � � � �U¶ �'�j�P� F %-1/�(Q`QP�+���£��� ���ºq$��2��1�0-�����<� D �2�+���

w � �<�y� ­5�2��� ¶ �#���<� �h¶ �#�2� F %-1/��Q`Q � �����+������À�r�<� FYX<D ."� E % D ­ E �¹.�% D � ERD�X % X �q% D �£��� ���r�YT/�pO�|7�"k � D 3��2%K$pO��U%(12%-QRQc�(1�O��(�TU�]H\� OKs D 3��N)&%-QRO D %(H E �(Q�� 4 �f�'� ��� � ��� X .9�¥���+��� µ �\�Y�P� ¶�­5���P� µ ªSMF %-1/�(Q`Q&�+���£��� ����m·¼ D )+�(1�� E . X Qc��1�k F %(1/� D O � �����+����� k+Th� �<�0(�

µ �N�M���J¶ �'���<� �h¶ �'�M�y¶�­5�2� �J¶ �#����� �U¶ �#�2� µ ªOM#À¼ F Th����� X � �M��� P\�����h4����N�M����¶ �#���<� �<¶ �#�M�"k-����� D TU�r%($<�2��1M0-�r�2�+���VP E � ��Q`�2%��)&%-QGO D %-H E �(Q5�YT/�pO�|:��k�� D 3\�M% Th���+� 0-� µ P\������¶N­5����� µ ªOM F %-1��(QRQ � �����+����� k�(�/3<��� E 12��3im �

� �

Page 11: Home - UCLA Mathematics

A n6%(�2�·���+���5���<�·��� E ��12����12�(�2� �()<)�12% ! E H\��� E % D �2�<��%-1M��H % D QRO�TU%(12���«% D $P% X�D 3<��3E`D ����1M0��(Q`�����+����� ;[.�% D � E`D�X % X � FYX<D ."� E % D �_% D � .�� D<D %���$&� X<D�ERF %-1MH\QGO��()'�)<12% ! E H\������3�$�O�)&%-QGO D %-H E �(Q`��m �+%-1 ERD �M��� D .���k¹��������!')P% D � D � E �(Q FYX<D ."� E % Dw 4U� � � 3���s D ��3b$pO w �Y�P��4�� �® .�� D<D %(�\$&���()�)<12% ! E H\������3C$pO�� D O)P%-QGO D %-H E �(Q�k+$P��. � X �M�©�"!')&% D � D � E �(Q FYX<D .�� E % D �¹,-1M%7T F �(������1¹���+� D � D O�)&%-QROp�D %-H E �(Q�� D 3��2%/������12� E � D %/T�� Oq% D � . � D ��0(� D H\�(���·���<��� X )vHt���21 E .y$P�"�jTU��� Dw � D 3��©)&%-QRO D %(H E �(Q&s D<E �2�(m

A �r�<��1M� E �K��,-� D ��1��(Q E ¤���� E % D % F ��������� E ��1M�M��12�(�2�_�()�)<12% ! E H\��� E % D �2�<��%-1M��H��%�� E ,-�<��1l3 E Ht� D � E % D ��4 EGF�� E �K� D Ob.�%(H\)+��.��K� X $<�2�"�^% F � x �YT E ���b������ X .�Q E 3<� � D H\�"��1 E .©§�� � �"k«� D 3 w 4 � � � E �q�l.�% D � E`D�X % X � FYX<D ."� E % D ki���<� DF %-1���0-��1MO3M N��_�2�<��1M�N��! E �M�2�]�^)&%-QGO D %-H E �(Q P�4 � � � % F ��0��(1 E �($<QR���� � � À À À"�2� x � X .9�����+�:�K§�¨©� w �0PJ� � M#m �r�<��)<1M%'% F % F ��� E �NHt%-12�^,-� D ��1��(Q���<��%-12��H E � ERD %/X 3 ERD k<�<%Th��0(��16Th��T E Q`Q D %(� D ����3 E �/�<��12�(m

Z[Z[Z\Z[ZS %7Th��16�2��1 E ���A ��� D %TI3 E �M. X �M�t� D�E Ht)P%(1M�9� D �J� X $&.�Q`�(�2�©% F �M��1 E ���©% F�FYX�D .�� E % D ��k ���+���]% F� ��� '���- '����,'0- m

A87 ��9;:=<#>?< �: � � ��� ��$&�[�*12���(Q D�X H]$&��1�m]} �������$�&��� ��� '�� - '����,'0- �0'� %('���'*)�&% � E �/� D Ol�2��1 E ���/% F ���<� F %-1MH ¨�

x�� ± B x ���N¶ �#� xT/�<��1M� B ± � B � � À�À À E �©���2��u X � D .��_% F 12���(Q D�X H]$&��1M�_� D %(�[3���)&� D 3 ERD ,�% D �P�";TU� 12� F ��1/��% B x �(�r�2�<�v��� �0� '�� ���,'� % % F �2� E �/�2��1 E ����m�n6%(�2���2�+����� ��.9�^����12HB x �Y�\¶ �#� x E`D �2� E �/�M��1 E ��� E �/� FYX<D .�� E % D % F �t1M� �(Q50��(1 E �($�Q`�¹�«m

A ��� ����� � �r�<�¹�M��1 E ��� � ¨x�� ± � � �Y� ¶�8-� x E �U� F %-12H\�(Qe)P%Th��1h�2��1 E ����.�� D �2��1M��3���r8#m·�r�<�z�M��1 E ��� � ¨x�� ± 8 ® ���v¶�p� x E � D %(�U� F %-1MHN��Q+)P%Th��1U�M��1 E ����k�� E`D .��6�����.�%#� � . E � D ���¹8 ® 3<��)&� D 3^% D �«mA ���©.��(Q`Q ���<���2�[)P%Th��1��2��1 E ��� �������$�&� $&��.�� X �M�[Th�[3<% D %(�qO(���v�(�2� X Ht�]���+������<���2�/�2��1 E ����.�% D 0-��12,-� F %-1 � D OJ�«m �6%Th��0-��1�k����<���2���2��1 E �����(12�/� X ��%-H\��� E . ��Q`QRO, X �(12� D ������3���%^.�% D 0(��12,(�NT/�<� D ��� ���YT/�pO�|:��m^¼ D ,-� D ��1���Q k��2�<�t.�Q`%(�2��1��,-���2�J��%,�+k·�����*� �(� E ��1 E � E � F %(1v��� E �]�M��1 E ���J�2%�.�% D 0(��12,(�(m�} H\%(12�N)�12��. E �M��M�9�:����Ht� D � E �/��� F %(Q`Q`%T/��m

�(�

Page 12: Home - UCLA Mathematics

A87 ��9;:=<#>?< �: � � �"� � ¨x�� ±CB x �Y�N¶ �'� x $P� � F %-12H\�(Qi)&%TU��16�M��1 E ����m½��� 3<��s D ����<� �/��)&�# - � ���0����&'��,D6'� �0' ��% F �2� E �r�M��1 E ���r�2%t$&�q���<��u X � D � E �jO��4 � �

Q E H�� X ) x¾ ¨ µ B x µ ��� xT/�<��1M� Th� �(3<%-)��/�2�<��.�% D 0-� D � E % D �2�+��� �± � � � � D 3 �

�¨ � ��m

A n6%(�2���2�+���«���(.9� D�X H]$&��1 µ B x µ ��� x E � D % D � D ��,p�:� E 0(�(k:�2%�Q E H�� X ) x¾ ¨ µ B x µ ��� x .�� D�9�(���U% D � D O 0��(Q X � F 12%-H �/��% � �ok E`D .�Q X � E 0(�(my�r� X ���W. � D �(Q`�M%6���(�(�h% D � D O0(��Q X �z$&���jTh��� D �©� D 3 � � ERD .�Q X � E 0-�[� E`D )<�(1M� E . X Qc�(1 E � E � D %(� D ��.����2�2�(1 E QRO*�12� ��Q D�X HJ$P��19�"m/n�%(�������<���6�2�<� 1��(3 ERX �/% F .�% D 0-��1M,-� D .��©�(QGT�� O#�¹��! E �M�2��k&��0(� DERF �����_�M��u X � D .�� µ B x µ ��� x E � D %(�©.�% D 0-��1M,-� D ��k�$P��. � X �2�l���<�lQ E H»� X )C% F � D O�2��u X � D .��J�(QRTU� O#����! E �M�2�]�����<% X ,-� E �/H E ,-�p�r$&� � � %-1q¶���"mA ��� ����� � � �r���U1���3 E`X �«% F .�% D 0(��12,(� D .���% F �2�<���2��1 E ��� � ¨x�� ± � ��¶¹8-� x �Y�y¶�p� xE � �

Q E H�� X ) x ¾ ¨ µ � � ¶z8 x � µ ��� x� �Q E H�� X ) x ¾ ¨ 8�� ��� x �

�8 À

�r�<��1��(3 ERX �/% F .�% D 0-��12,-� D .��v% F ���<���2��1 E ��� � ¨x�� ± 8 x � �Y� � 8-� x E ��

Q E H�� X ) x¾ ¨ µ 8 x�� µ ��� x ��

Q E H�� X ) x¾ ¨ 8 x ��

� � ���'À�r�<��1��(3 ERX �/% F .�% D 0-��12,-� D .��v% F ���<���2��1 E ��� � ¨x�� ± 8�� x � �Y� � 8-� x E �

�Q E H�� X ) x¾ ¨ µ 8 � x�� µ ��� x �

�Q E H�� X ) x¾ ¨ 8 � x �

�� � � �o
A �r�<��� E , D<E s+.�� D .�� % F �2�<��1��(3 ERX �r% F .�% D 0(��12,(� D .�� E ���2�<� F %-Q`QR%T E`D ,<mA����� ������ � �#�� ��� � ¨x�� ±�B x ���l¶ �#� x $&�]� F %(12H\�(Q«)P%Th��1z�M��1 E ����ki� D 3�Q`�����$&� E ���r12�(3 ERX �r% F .�% D 0-��12,-� D .���m

A ���p� � � E 0-��1M,-� D .��J% X ��� E 3<�v% F �����J1���3 E`X ��% F .�% D 0-��12,-� D .�� �¹¼ F � ��� E �6� X .9����+��� µ �N¶ � µ N��]k'���<� D �2�<���2��1 E ��� � ¨x�� ± B x �Y�N¶ �#� x E �r3 E 0-��12,-� D � F %(1����+���0(��Q X �q% F �«mA �¢$e�½� �U% D 0(��12,(� D .�� ERD � E 3<�����<�h1��(3 ERX � % F .�% D 0(��1M,-� D .���·¼ F � �¥� E � � X .9�]���+���µ �l¶�� µ ���]k5���<� D ���<�]�M��1 E ��� � ¨x�� ±CB x �Y�K¶��#� x E �z��$<�2%-Q X ����QRO^.�% D 0(��12,(� D �F %-1����+�:�r0(��Q X �q% F �«m

�8

Page 13: Home - UCLA Mathematics

A �e%(1¹)+�(1����t�Y.�3<� ��TU�t�(�M� X Ht�J�2�+��� � N ��� E mf�(mz�2�<�©�2��1 E ���q.�% D 0(��12,(��� �������Q`� ���M��% D �v%(���<��16)&% ERD �/�2�+� D ��� �#�"m � �"� w 45� �J¶ �]��� � ���U� � $P�������FYX<D .�� E % D�w ���P��4�� � ¨x�� ±�B x �Y�N¶��#� x ;+��� E � FYX<D .�� E % D_E �/, X �(1�� D �2����3^��%t�"! E ���$�O��¢$e��m

A �¢.� � B�D<ERF %(12H .�% D 0-��1M,-� D .��]% D .�%-Ht)+�(."�9�p� �+%-1�� D O_� � � � �]ke�2�<� �2��1 E ���� ¨x�� ±�B x �Y��¶ �#� x .�% D 0(��12,(��� X<D�ERF %-1MH\QGOJ��% w % D �����¹.�%(H\)+��.�� E`D ����1M0��(Q����/¶� ��� � � ��m ¼ D )+��1M� E . X Q`�(1�k w¥E �r.�% D � E`D�X % X �6% D � �J¶ �]��� � ���"m

A �¢3e�z� � ER{ ��1M� D � E ��� E % D % F )&%TU��1��M��1 E �����U�r�<� FYX<D ."� E % D_w¥E ��3 EG{ ��12� D � E �($�Q`�¹% D� �J¶ �]��� � ���"kP� D 3 F %(16� D O^� � � � �]k&�2�<�v�M��1 E ��� � ¨x�� ± � B x �Y�l¶!�#� x �+�.�% D 0-��12,-��� X<D�ERF %-1MH\QGOt�2% w ~ % D ���<� E`D �2��1M0��(Q½���v¶ � ��� � � � mA �¢����¢¼ D �2��,-12��� E % D % F )P%Th��1h�2��1 E ���9���+%-1h� D O[.�QR%-�2��3 E`D �2��1M0��(Q�� �P�����&.�% D �9� E`D ��3E`D � � ¶ �]��� � ���"k�Th�v�<�0(�

' °�²� ´ w

�¨�x�� ± B x

���q¶ �#� x � ��¶ � �J¶ �#� x � �� � � À

A! "�� # �$��/V �����������K�©�<%-Ht��Th%-12�em �ACS �(1����l�¢�p�q� D 3b�¢$e��% F �2�<�*�($&%0-�t���<��%-12��H , E 0(�N� D %(���<��1vTU� O��2%^s D 3������1��(3 ERX �r% F .�% D 0-��12,-� D .���k5$pO X � E`D ,[O-% X 1 F � 0(%-1 E ���q.�% D 0(��1M,-� D .��J�����M�/��%[Th%-12�% X �r����� 12� D ,-��% F � F %(1�T/� E .9�K���<��)&%TU��1��M��1 E ����.�% D 0(��1M,-����4A ��� ����� � � �U% D � E 3<��16���<�©)&%TU��1q�2��1 E ��� � ¨x�� ± � ���K¶��� x m �r���©1���� E %\�2������2�<%T/�v�2�+������� E ���2��1 E ���v.�% D 0-��12,-���vT/�<� D µ �_¶ � µ �I�N� D 3�3 E 0-��12,-���vT/�<� Dµ ��¶ � µ N ����T/��O�|7�"m �r� X �N�2�<�^% D QRO�)&%-�2� E $<QR�_0��(Q X � F %-1©���<�^1��(3 ERX �t% F.�% D 0-��12,-� D .�� E � � � ��� EGF � � �-k«���<� D Th�N�+� 0(�N.�% D �21��(3 E .��2��3��r�<��%(12��H�78<���-�"; EGF � No�-k<�2�<� D Th�v�+� 0(� .�% D ��12�(3 E ."����3^�r�<��%-12��H �78<�Y$e�2��m

A n6%(�2�6���<���U�r����%-1M��H �78 E �½� E Q`� D �h% D T/�<�����+��)<)P� D �hT/��� D µ � ¶ � µ � �]k E mf�(m��� ���<��)&% E`D ��� �U¶ ��� D 3 � � �]m·¼ D 3<����3ik'% D �6.�� D �+� 0-��� E �2�<��1�.�% D 0-��1M,-� D .��%-1r3 E 0(��1M,-� D .��J�:�r���<%-�M��)P% ERD ����;+�M�����<%-Ht��Th%-1M�&mA n6%(� E .�� ERD �r�<��%-1M��Hg�8*�2�+����T/� E Q`�©�l)&%7Th��1 �2��1 E ��� � ¨x�� ±�B x ���^¶ �#� x T E Q`Q.�% D 0-��12,-�q)&% ERD �jT E �2�z% D ���<� ERD ����1�0��(Q � �¹¶ �]��� � ���"k E � D ����3 D %(�r.�% D 0(��1M,-�X<D<ERF %(12HtQRO\% D �2�+��� E`D �2��1M0��(Q½�Y�2���v�<%(H\�"TU%-1M�'�"mrº D ���<��%(�2�<��1��+� D 3ike�r�<��%��12��H¬�78��¢.���(�M� X 1M��� X �½���+�:�h�2�<�6)&%TU��1��2��1 E ���hT E Q`Q+.�% D 0-��1M,-�z% D � D Ot�2H\�(Q`QR��1

Page 14: Home - UCLA Mathematics

E`D ����1M0��(Q5��� ¶ � ��� � � ��my¼ D )+��1M� E . X Q`�(1�k:$&� E`D , X<D<EGF %-12HtQROz.�% D 0-��12,-� D �h% D ��0(��1MO.�Q`%(�2��3�� X $ ERD �2��1�0(��Q·% F � �©¶ �]��� � ��� E � D %���� D % X ,-�¥��%K, X ��1�� D �����]$&� E`D ,X<D<ERF %(12HtQROt.�% D 0(��12,(� D �z% D �(QRQi% F � � ¶ �]��� � ���"mA } FYX<D .�� E % D�w �Y�P��T/� E .9� E �/Q X .9��O_� D % X ,-�_��%t$P� 12��)<12���2� D ���($<QR�]�(�6�\)&%TU��1�2��1 E �����<�0(�J�©�M)P��. E ��Q D �(Ht�(;��2�<��O_�(1M� ��'*�&� �&��&��� %2� � mA87 ��9;:=<#>?< �: � �"�t� �]¶ � ��� � � ��$&�]� D %-)&� D¥ERD �2��1�0(��Q k&� D 3¥QR��� w 4�� � �$P�N� FYX<D ."� E % D 3<��s D ��3�% D �^�2������� � T/� E .9�a.�% D ��� E`D �K� �t¶ � ��� � � �"m������� OK���<��� w�E � �0'*�&�=�&��&����%.� ���� � �J¶ � ��� � � � ER{ ���<��12� �"! E �����6�t)&%TU��1�2��1 E ��� � ¨x�� ±CB x ���]¶,�#� x .�� D ����1M��3_�����[T/� E .9�*�+���r�J1���3 E`X �½% F .�% D 0-��1M,-� D .��,-12��������1����+� D %-1r��u X �(Q ��% � k<� D 3KT/� E .9�_.�% D 0(��12,(���6�2% w % D � �v¶ � ��� � � ��mA ��� ����� � � �r�<� FYX�D .�� E % DKw 4&�¢����8-� � �L3<�"s D ��3l$�O w ���P�½� � ¨x�� ± � ��� ¶�7� x E �r12���(Q«� D �(QGO�� E .¹% D ������8(�"mA �r�<� D %(� E % D % F $&� ERD ,l12���(Q � D ��QRO�� E . E �¹.�Q`%(�2��QGO�1M��Q`������3��2%K� D %(�2�<��1 D %(� E % D k���+���/% F $&� E`D , �0������� '/ �&��&��� %2� � k<$ X ����� E � E �/�©��%() E . F %-1��^�������p8'k&�U%(H[�)<Q`��!l} D �(QRO#� E ��ke� D 3KT E Q`Q D %(�/$P��3 E �2. X �2�M��3�����12��mA ��� D %7T 3 E �2. X �2�¥T/� E .9� FYX<D ."� E % D ���(1M�a12���(Q]� D �(QRO�� E .(m �e1M%-H �r�<��%(12��H�78<�¢.�3e�tTh�¥�2���¥���+�:� ERFvw�E �*12���(Qz� D �(QRO�� E ._% D � �K¶ � ��� � � �"kr����� D�w�E �$P%(�2�N.�% D � E`D�X % X �r� D 3N3 ER{ ��1M� D � E �($<Q`��% D � �6¶ � ��� � � �"m����z.�� D*ERD\F �(."����� OH\%-1M�(4A87 ��9;:=<#>?< �: � �"��� $&�*�^� X $<�M���©% F ��m^���N�2� Oa� FYX�D .�� E % Daw 4�� � �E � �� �0' )&� � '���'� %2�2� � ' �� � EG{WE � E �J3 EG{ ��12� D � E �($�Q`�(m¥�^%-1M�*,-� D ��1���Q`QRO(k F %-1� D O � �I8*TU�\��� O����+�:� w 4�� � � E � � %2�#� '0- )&� � '��0'� %2�2� � ' �� �tk�%-1� X �M� � %2�#� '0-1)&� � '���'� %2�2� � ' k EG{�w�E �63 ER{ ��1M� D � E �($<Q`��k5� D 3 w ~ E � � ¶��J� E Ht���3 ER{ ��1M� D � E �($<Q`��my¼ F wKE � � � E H\���½3 ER{ ��12� D � E ��$<Q`��k-TU�63<��s D ���2�<� � � 3<��1 E 0���� E 0-�w� �� 4�� � � $pOv���<��1M��. X 12� E 0-�r1 X Q`� w� � 4 � w ~ kp� D 3 w� �� � � w� � �+� � ~ F %-1·��Q`Q� ��8'mz���©�(QR�2%*3���s D � w ± 4�� w ����� E � E � w 3 EG{ ��12� D � E ���2��3��\� E Ht���9��ki� D 3TU�_�(QRQ`%T ��0-��1MO FYX<D ."� E % D ��%�$P�l¤���1M%�� E Ht���©3 EG{ ��12� D � E �($<QR���¢� E`D .��K.�Q`���(12QGOw ± �"! E �M��� F %-1h�"0-��1MO w �"m·} FYX<D .�� E % DNE �½��� E 3N��%]$&� �#� V �#%('����1)&� � '���'� %2�2� � 'ER{¥E � E � � � E H\����3 ER{ ��1M� D � E �($<QR� F %-1r��0(��1MO � ����m

A �r� X � F %-1 ERD �M��� D .���k �2�<� FYX<D .�� E % D�w ���P�J4 � µ � µ F E �z�jT E .��t3 ER{ ��1M� D � E �($<Q`�©% D��k<$ X � D %(���2�<12���z� E H\���U3 EG{ ��12� D � E �($<QR�©��T/��O�|7�"m½¼ D 3<����3ik w   � w ~ ~ ��> µ � µ kT/� E .9� E � D %��/3 ER{ ��1M� D � E �($<Q`��k+������m���

Page 15: Home - UCLA Mathematics

A! "�� C� �I�<5> < �: ���#� � ��� w % F � FYX<D .�� E % D 1M� �(Q¹� D �(QGO�� E .^% D ����� E`D ����1M0��(Q� �v¶ � ��� � � �"k�T E ���l����� )&%TU��16�M��1 E ���/��!�)<� D � E % Dw �Y�P���

¨�x�� ± B x ���N¶ �#� x

F %-1/�(Q`Q&�+��� �v¶ � ��� � � �"m �r�<� D^F %-1/� D O E`D ����,-��1 � ����k��2�<� FYX<D .�� E % D^w¥E �� � E H\���63 EG{ ��12� D � E �($�Q`� % D � �]¶ � ��� � � �"kP� D 3��2�<� � �©3���1 E 0���� E 0-� E �¹, E 0-� D$�O

w � ���P���¨�x�� ± B x � � �Y� � �7���¢� � 8-�5À À À �¢� � � ���Y�N¶ �#� x

F %-1/�(Q`Q&�+��� �v¶ � ��� � � ��mA! "�� # �$��/V �����������K�©�<%-Ht��Th%-12�em �A�� ��� � � �� ��� � � � � � � ��� I $ �� ���� ����� � ��� w % F � FYX�D .�� E % D 12���(Q � D �(QGO#� E .% D ���<� E`D �2��1M0��(Q½� �v¶ � ��� � � �"k�T E ���l���<��)&%TU��16�M��1 E ���/�"!')+� D � E % D

w �Y�P���¨�x�� ± B x ���N¶ �#� x

F %-1/�(Q`Q&�+��� �v¶ � ��� � � ��m �r�<� D_F %-1/� D O ERD �2��,-��1 � ���'k<TU���+� 0-�w � � �#��� � � B � �

T/�<��1M� � � 4 �����^8��À À À� � �¢� D 3*Th� �(3<%-)��U���<�z.�% D 0-� D � E % D ���<���/� � ���7�"m¼ D )+��1M� E . X Q`�(1�k#TU���+� 0(��� �&� � ���� - ��������6� �w ���P� �

¨�x�� ±

w� x � �#�� � ���N¶ �#� xF %-1/�(Q`Q&� ERD � �v¶ � ��� � � �"m

A! "�� # �$��/V �����������K�©�<%-Ht��Th%-12�em �A �r�<�*)&%7Th��1J�2��1 E ��� � ¨x�� ±�������� � x�� ����¶ �#� x E �v�2%-Ht��� E Ht��� . �(QRQ`��3�������� �&��� ���- '����,'0- % F�w �(12% X<D 3 �+m �y� O#Q`%(1�df� F %-12H X Qc����� X �/�(�M�2��1������2�+��� EGF � FYX<D ."� E % D*E �� D �(QGO#� E .�k'����� D_E � E �r��u X �(Qi��% E �2�r�y� O#Q`%(1r�2��1 E ����m

��

Page 16: Home - UCLA Mathematics

A n6%(�2�����+���½��� O'QR%-1�df� F %-1MH X Qc�z% D QROvTU%-1M��� F %-1 FYX�D .�� E % D �·T/� E .9�\�(12��� D ��QRO�� E .(;���<��12�t�(12�[��!<��H\)<QR����% F½FYX<D ."� E % D �qT/� E .9���(12� ERD s D<E ����QGO¥3 EG{ ��12� D � E �($�Q`�]$ X �F %-1�T/� E .9�_���O#QR%-1�df�r���<��%-12��H F � E QR���¢�M���q�������_�©�<%-Ht��Th%-1M����mA } D %(�2�<��1 .�%(12%-QRQc�(1�O�% F ��� O'QR%-1�df� F %-12H X Qc� E �����+�:�]�_12� ��Qh� D �(QRO�� E . FYX<D ."� E % D. � D �+� 0-�v���/Ht%-�M�/% D � )&%TU��1/�2��1 E ���6�:�¹�©)&% E`D ��4A�� ��� � � �� ���,� � �=: < � � �6:��6I�I $Q� �� � ��I ����< �6I ��� � ��� w % F � FYX<D ."� E % D 1M� �(Q� D �(QGO#� E ./% D ���<� E`D ����1M0��(Q�� �r¶ � ��� � � �"k�T E ���t�jTU%])&%TU��1U�M��1 E ���h�"!')+� D � E % D �

w �Y�P���¨�x�� ± B x ���N¶ �#� x

� D 3w ���P�½�

¨�x�� ± § x ���*¶ �#� x À

�r�<� D B x ��§ xJF %-1/�(Q`QP�,����mA! "�� # �$�� �hO��U%-12%-QRQc�(1�O¥� ��keTh�J�<�0(� w � � �#�h� � � B � F %(16��Q`Q � ����m/� X ��Th��(Q`�M%l�+� 0-� w� � � �#�¹� � � § � k $pO�� E H E Qc�(1/12���(�2% D<E`D ,�m V'E`D .�� � � E � D ��0(��1�¤���12%<kTU��. � D .�� D .���Q E �/� D 3^%-$'�9� ERD B � �o§ � F %-1/��Q`Q � ����k+�(�/3<��� E 12��35m �A º D �2�<�l%(�2�<��1]�<� D 3ik½� D � D �(QRO�� E . FYX<D .�� E % D . � D .���1��9� ERD QRO��+� 0-�K3 EG{ ��12� D �)P%Th��1��2��1 E ���½����3 ER{ ��1M� D ��)&% E`D ����m �+%-1 ERD �M��� D .���k-���<� FYX<D .�� E % D\w �Y�P�U4�� ��j� ® k3<��s D ��3�% D � ¶�������k��+�(�r���<��)&%TU��1��M��1 E ���

w �Y�P��4 �¨�x�� ± �

x

�(12% X�D 3_��k+% D ���<� ERD �2��1�0(��Q½��¶ �-� �7��k<$ X �6�(QR�2%©�+�(�r�2�<��)P%Th��1��2��1 E ���

w �Y�P� � ���¶�� � 8

�/¶�8<���N¶ �  ��

¨�x�� ± 8�� 8<���N¶

�8 �M� x �

¨�x�� ± 8

x � � ���*¶ �8 � x

�(12% X�D 3o���(8'kU% D ���<� E`D �2��1M0��(Qv�¢��� �7�K� D %(���K���+�:�\�2�<����$P%0-�^)P%Th��1\�2��1 E ����+�(�z�t1��(3 E`X ��% F .�% D 0-��12,-� D .��©% F � �-8'k+���<� D ���¹��%t���<�v12%#%(�/�����M� m/¼ D 3�����35k E �. � D $&�©)<12%0-� D �2�+��� EGFhw�E �q� D ��QRO�� E .]% D � D O ERD �2��1�0(��Qr� �[¶ � ��� � � �"k«� D 3� � ¶-��� � 7� E �h�v� X $'� E`D ����1M0��(Qe% F � �/¶ � ��� � � ��k����<� DKw_E �U��Q`�2%v� D ��QRO�� E .�% D� >

Page 17: Home - UCLA Mathematics

� �-¶ -��� � 7�"; ERD )+�(1M� E . X Qc�(1�k E � �+�(� �6)&%TU��1��M��1 E ��� �"!')+� D � E % D ��� �m·��%TU�"0-��1�kTU�©T E QRQ D %(��3<%l�2%K�<��12��k $&��.�� X �M�[�2� E �z�2�<��%(12��H E �z���(� E ����� �2%l)<12%0(� X � E`D ,���<�6HN�(.9� E`D ��1MO[% F .�%-H\)�Q`�"!\� D �(QRO#� E �h� D 3N.�% D ��% X 1 E`D �2��,-12��� E % D k#�(�hO(% X T E Q`Q�2��� E`D �^�������p8'k+�U%-H\)�Q`�"!*} D ��QRO#� E ��mZ[Z[Z\Z[Z

}6$P��Q df�/�2�<��%(12��HA�� �"� w �Y�P�\� � ¨x�� ± B x ����¶ �'� x $P�_��)&%7Th��1[�M��1 E ���[.�� D ����1M��3W��� ��T E �2���1��(3 ERX �l% F .�% D 0-��12,-� D .��a� � � � � �M�21 E .���QGO�$&���jTh��� D ��� D 3 ERD s D<E �jO-m�e1M%-HL�r����%-1M��H»�78JTU� � D %T ���<���/���<� )P%Th��1��2��1 E ���/.�% D 0-��12,-���z�($��2%-Q X ����QROT/�<� D �"0-��1 µ �]¶+� µ � �]k<� D 3N3 E 0(��12,(���UT/�<� D µ �v¶,� µ N��]m��6%Th��0-��1�ke���½�����$P% X�D 3+�(1�O µ �6¶ � µ � � �2�<�/� E � X ��� E % D©E �½Ht%-1M�r.�%-Ht)<Q E . ���2��3i;����<���2��1 E ����HN� O� E �2�<��1r.�% D 0-��12,-�v%-1r3 E 0(��1M,-�\�¢�2���v��%-H\�"TU%(12�'�"m½�6%Th��0(��1�k ERF �2�<���2��1 E ����3�%'���.�% D 0-��12,-�v���r�2�<��$P% X�D 3+�(1�Ol)P% E`D � k��2�<� D_E � E �r12���(�2% D �($<QGONTh��Q`Q $&���<�0(��3i; E`D)+�(1M� E . X Qc�(1�k E � E �r.�% D � E`D�X % X �¹�:�r���+���/$&% X<D 3+�(1MO*)P% ERD � m

A ��� � � I8>��� ����� � � ��� w ���P��� � ¨x�� ±CB x �Y��¶��#� x $P����)P%Th��1_�2��1 E ���.�� D �2��12��3W�:� ��T E ����12�(3 E`X �]% F .�% D 0(��12,(� D .���� � � � �om�¼ F ���<�l)&%TU��1�2��1 E ����.�% D 0-��12,-���z��� � � �]k<����� D�w�E �r.�% D � ERD�X % X ����� � � �]k E mf�(mQ E H® ¾ � ����� ® ¯ � � � ² � ���

¨�x�� ± B x �Y�\¶ �#� x �

¨�x�� ± B x �

x ÀV'E H E Q`�(12QGO-k EGF �2�<�J)&%TU��1z�2��1 E ���¹.�% D 0-��1M,-�����:� �]¶ �]ke���<� D�w�E ��.�% D � E`D�X % X ���� �v¶ �]k E m¸��m

Q E H® ¾ � � ��� ® ¯ � � � ² � ��� ¨�x�� ± B x ���*¶ �#� x �

¨�x�� ± B x ��¶ ���

x À

A �U� F %-1M�qTU��)<1M%70(�v}6$P��Q df�r���<��%-12��H^k�Th� D ����3_�2�<� F %-Q`QR%7T ERD ,]QR��HtHN��mA�� � � � �K> < �: � � � � � >?I $ �� ���� � � � �"�C� � x � ¨x�� ± � D 3I� � x � ¨x�� ± $&�a�2���u X � D .�����% F 1M� �(Q D�X H]$&��1M�_T/� E .9� .�% D 0-��12,-����%�Q E H E ��� � D 3�� 12���2)&��.��� E 0(��QGO-k E mf�(m�Q E H x ¾ ¨,� x � � D 3^Q E H x¾ ¨,� x � �Nm V'X )�)P%-�M�v�2�+�������<�v� X H� ¨x�� ± � � x � � ¶ � x � � xJE ��.�% D 0-��1M,-� D ��mh�r�<� D �2�<�z� X H � ¨x�� ± � x � � � � x � � ¶ � x �E �/�(QR�2%[.�% D 0(��12,(� D � k&� D 3¨�

x�� ± � � x � � ¶ � x � � x ���� ¶ � ± � ± ¶ ¨�x�� ± � x � � � � x � � ¶ � x �"À

�?

Page 18: Home - UCLA Mathematics

A! "�� # �$��/V �����������K�©�<%-Ht��Th%-12�em �A n6%(�2�U���+�:�·���<�U� X HtHN�:� E % D $pO])+��1M��� F %-12H X Qc�6�<�(� �z.���1M��� E`D � E H E Qc��1 E �jO6T E �2����<��Ht%-12�zTh��QRQG�j� D %T D �# %(',D&�*�&%2�,�� � �K�&��%#-V���������� �

' ¨± w ~ �Y�P�j­5�Y�P�r§-�l� w �Y�P� ­5���P� µ ¨± ¶ ' ¨

± w ���P� ­ ~ ���P�r§p�«À¼ D 3<����3ik+���<�q�jTh%N��12� �(.�� X �(QRQRO\u X�E ����.�Q`%-�M��QRON12��Qc���2��3im

A n6%T TU��. � D )�12%0-�¥}6$P��Q df�t�2�<��%(12��H_m ¼¡�\T E Q`Q/� X�� .�����%�)<12%0-�^���<�_s+12���.�Qc� E H_k E m¸��m·���+���Q E H® ¾ � ����� ® ¯ � � � ² � ���

¨�x�� ± B x ���*¶ �#� x �

¨�x�� ± B x �

x

T/�<� D �"0-��1N���<�^� X H � ¨x�� ±CB x � x .�% D 0-��12,-����;¹�2�<���M��.�% D 3b.�Qc� E H T E QRQ����<� DF %-Q`QR%7T¬�YT/�pO�|:� $pOa1M��)<Q`�(. ERD , B x $pOb��¶ �7� x B x¥E`D ���<�l��$P%0-�N.�Qc� E H_m^¼ F Th�HN�(���¹�����z� X $��M� E � X � E % D �r§ x 4 � B x � x � D 3 �*4 � ® � ��k'���<� D ���<�q��$P%0-�q.�Qc� E H. � D $P�q1M��T/1 E �2�2� D �(�

Q E H� ¾ � � � ¯ �+� ² �

¨�x�� ± § x �

x �¨�x�� ± § x

T/�<� D �"0-��1 �2�<�©� X H � ¨x�� ± § x .�% D 0-��1M,-����m_�Y���pO E �¹��� E �z��u X<E 0��(Q`� D �¹��%*�����)<12�"0 E % X �/.�Q`� E HN|7�A ��1 E ����� 4�� � ¨x�� ± § x ke� D 3 F %-1r��0(��1�O�� ���©T/1 E ���

��W4�� �� �+��x�� ± § x �y¶��

�2% E`D )+��1M� E . X Q`�(1 ± ��¶���m·�r�<� D %($<�2��1M0-�/���<��� Q E H�� ¾ ¨�������k�� D 3©���+���§ x �� x � � ¶ x m �r� X � F %-1/� D O � ����¶ �-� ��hTU� �+� 0-�¨�x�� ± § x �

x �¨�x�� ± �� x � � ¶ x � �

x À

� @

Page 19: Home - UCLA Mathematics

}¹)<)<QGO E`D ,��2�<� � X HtH\��� E % D $pOz)+��1M��� F %(12H X Q`��k� D 3 D %(� ERD ,����+�:� Q E H x¾ ¨�� x ���k�Th�v%-$'�9� ERD¨�x�� ± § x �

x � ¶ ± � ± ¶¨�x�� ± x � � ���

x � � ¶�� x �"Àºq$��2��1�0-�/���+�:�r¶ ± � ± � � ��my�r� X � �2%�s D<E �M�[�2�<�r)<1M%'% F % F }6$P��Q df�·���<��%-12��H^kE ��T E Q`Qi� X�� .�����%[�2�<%T �2�+���

Q E H� ¾ � � � ¯ �+� ² �

¨�x�� ± x � � � �

x � � ¶ � x ������À

V'E`D .�� � E ��.�% D 0-��1M, E`D ,[�2%*�-k�Th�qH\�ON�(�UTh��QRQi12���M�21 E ."� �[��%_�£��� �7� E`D ����� ��3l% F��¶ �-� �7��; E`D )+�(1�� E . X Q`�(1UTh� H\� O*�9���(� �N��%[$&��)P%-� E � E 0-��mA �e1M%-HI�2�<�q��1 E � D ,(Q`� ERD ��u X �(Q E �jO F %-1r�2��1 E ����k<Th� �+� 0-�

µ¨�x�� ± x � � � �

x � � ¶�� x � µ ª¨�x�� ± µ x � � ���

x � � ¶ � x � µ �¨�x�� ± µ x � � µ ���

x ¶ � x � � �"��2%t$�ON���<���2u X ����¤��v�����M� E �/� X�� .����6��%[�M�<%T ���+�:�

Q E H� ¾ � � � ¯ �+� ² �

¨�x�� ± µ x � � µ ���

x ¶�� x � � � ����À

V'E`D .��z���<����!�)�12���M� E % D � ¨x�� ± µ x � � µ ��� x ¶ � x � ��� E �r.�Q`���(12QGO D % D � D ��,p��� E 0-��k E �T E Q`QP� X�� .�� �2%t�M�<%T ���<���Q E H � X )

� ¾ � � � ¯ �+� ² � ¨�x�� ± µ x � � µ � �

x ¶�� x � � � �o�'À

� �"� M Nb��m V'ERD .�� x .�% D 0-��1M,-��� �2%q��k(�2�<��1M�r�"! E ����� � D �I� X .9�©���<��� µ x µ ªOMF %-1/�(Q`QP� N ��m��r� X �/TU���+� 0-�¨�x�� ± µ x � � µ ���

x ¶ � x � � �rª��x�� ± µ x � � µ ���

x ¶ � x � � � �¨�

x�� � � �M�� � x ¶�� x � � ��À

� =

Page 20: Home - UCLA Mathematics

�r�<�6Q`�(�M��� X HtHN��� E % D©E �����2��QR���2.�%-) ERD ,��2��1 E ����k�T/� E .9�t� X Ht����% M � � � �r��T/�pO<|n6%(�2���2�+��� � x � �t�����^� �ok+� D 3K��� X �¨�x�� ± µ x � � µ � �

x ¶�� x � � �Uª��x�� ± µ x � � µ � �

x ¶�� x � � � � M � � � � Àn6%T ���(�(�©Q E H E �2�6�����_� �-mJºq$��2��1�0-�©���<����� x ¶ � x � � � �l�(���_� � F %-1��0-��1MOl�,���'� �-� À À�À�� ��m V'E`D .��zTh�q. � DKE`D �2��12.9�<� D ,-�qQ E H E ���h� D 3 V �#%(' � X Ht��kTU�q��� X ���+� 0-�

Q E H � X )x ¾ ¨¨�x�� ± µ x � � µ ���

x ¶ � x � � ��ªOM#À� X � M NW�[TU�(���(12$ E ��12�(1MO(k+� D 3l�2� X ��Th�vH X �M�/�+� 0(�

Q E H � X )x¾ ¨¨�x�� ± µ x � � µ ���

x ¶ � x � � � �o�� E`D .��q���<��QR� F �M�¡�+� D 3l� E 3<��H X �M��$P� D % D � D ��,p��� E 0-��m �r�<��.�Q`� E H F %-Q`QR%7T/��m �

A ���qT E QRQ5�M��� �2%-Ht���()<)<Q E .���� E % D ��% F }¹$&��Q�d¸���2�<��%(12��H Q`������1�mZ[Z[Z\Z[Z

� X QR� E )<Q E . ��� E % D % F )P%Th��1��2��1 E ���A ��� D %T¦�M�<%T ���+�:���2�<� )<12%#3 X ."�6% F �jTh%N� D �(QRO�� E . FYX<D ."� E % D � E ���(,p� ERD � D �:�QRO�� E .(mA����� ������ � � � ��� w 4&� ��¶ � ��� � � � � � � D 3l­N4&� ��¶ � ��� � � �½� �¬$P�FYX<D .�� E % D �/� D �(QGO#� E .q% D � �v¶ � ��� � � ��k<T E �2�_)&%TU��1/�2��1 E ������!')+� D � E % D �

w �Y�P���¨�x�� ± B x ���N¶ �#� x

� D 3­5���P� �

¨�x�� ± § x ���N¶ �#� x

12���M)P��.�� E 0-��QRO(my�r�<� D©w ­N4&� �5¶ � ��� � � �·� � E � �(Q`�M%�� D �(QGO#� E . % D � �P¶ � ��� � � �"kT E ���K)&%TU��16�M��1 E ���/�"!')+� D � E % D8��

Page 21: Home - UCLA Mathematics

w ���P� ­5�Y�P���¨�x�� ± ��x �Y�\¶ �#� x

T/�<��1M� ��x 4�� � x� � ±@B � § x � � m

A � ��� � ��� � �r���z�2��u X � D .��N� ��x � ¨x�� ± E �U�M%-H\�"� E H\���h1M� F ��1M12��3*��%©�(�½���<� �0����&� ����%2�,�� % F ���<� �2��u X � D .����t� B x � ¨x�� ± � D 3a��§ x � ¨x�� ± ; E � E ��.�QR%-�2��QROl1M��Qc�:����3K��%[�����D %(� E % D % F .�% D 0-%-Q X � E % D 3 E �M. X �M�2��3�� �(1MQ E ��1�k ERD ���<� )<12%#% F % F �2�<����� E ��1M�M�21��(�M��()<)<1M%! E HN��� E % D ���<��%-12��H^m

A! "�� # �$�� ���l�<�0(�l��%��2�<%TI���+���J���<�l�M��1 E ��� � ¨x�� ± ��x �Y��¶ �#� x .�% D 0-��12,-�����% w ���P� ­5�Y�P� F %-1]�(QRQ½� ��� �N¶ � ��� � � �"m¥n6%TIs'!�����%¥$&�l� D O�)P% ERD � E`D� �J¶ � ��� � � ��mU�½OK�r�<��%-1M��H �78#k<TU� �2���v���<����$P%(�2� w � D 3K­*�<�0(�J12�(3 E`E % F.�% D 0-��12,-� D .��*��� Q`� ���M� � mt¼ D )<�(1M� E . X Qc�(1�ki���<�t�2��1 E ��� � ¨x�� ±�B x �Y�^¶ �#� x � D 3� ¨x�� ± § x ���*¶ �#� x �(12� �($<�M%-Q X ����QGO*.�% D 0-��1M,-� D ��mh�r� X � ERF TU��3<�"s D �T 4��

¨�x�� ± µ B x �Y�\¶ �#� x µ

� D 3�¬4 �

¨�x�� ± µ § x ���*¶ �#� x µ���<� D T � D 3 �¬�(1M��$P%(�2�ls D<E �2�(m

A �e%(1/� D O � ����k+.�% D � E 3���1������ )<�(1M� E �(Qi� X H��x�� ±

¨�� � ± µ

B��Y�\¶ �#� � § x ���*¶ �#� x µ À

����. � D 1M��T/1 E ���z�2� E �/�(���x�� ± µ § x ���*¶ �#� x µ

¨�� � ± µ

B����*¶ �#� � µ �

T/� E .9�_$pOl3<��s D<E � E % D % F T E �r��u X �(Qi��%��x�� ± µ § x ���N¶ �#� x µ T �

8#�

Page 22: Home - UCLA Mathematics

T/� E .9�¥$pO_3<�"s D<E � E % D % F � E �/Q`���2�����+� D %-1���u X �(Q«��% � Ttmr�r� X �6���<�J�($P%0(�)+�(1M� E �(Q&� X H\�r��12�z$&% X<D 3���3K$pO � T F %-1���0(��1�O ��m ¼ D )+�(1�� E . X Q`�(1�k����<�¹�2��1 E ���¨�x�� ±

¨�� � ± µ

B����*¶ �#� � § x �Y�\¶ �'� x µ

E �r.�% D 0(��1M,-� D � keT/� E .9�^Ht� � D �����+���/�2�<��� X H¨�x�� ±

¨�� � ±

B����*¶ �#� � § x �Y�\¶ �'� x

E �/�($<�M%-Q X ����QGO*.�% D 0-��1M,-� D ��mA�� �"� X � D %T .�%-Ht) X �2�6��� E �½� X H E`D �jTU%]TU� O'��m � E 1M�M�h% F �(QRQ kpTU�¹. � D ) X Q`Q+�����§ x ���*¶ �#� x F ��.���%(1r% X ��% F ���<��� ¨

� � ± � X H\H\��� E % D k#��%[%-$���� E`D¨�x�� ± § x �Y�N¶ �#� x

¨�� � ±

B��Y�\¶ �'� � À

�hOl% X 1 F %(12H X Q`� F %-1 w ���P�"k<��� E � E �r��u X �(Qi��%¨�x�� ± § x ���N¶ �#� x w ���P�";

$�O*% X 1 F %-12H X Qc� F %(1�­i���P�"k<�2� E � E �r��u X �(Qi�2% w ���P� ­5�Y�P��m �r� X �w ���P� ­5�Y�P� �

¨�x�� ±

¨�� � ±

B��Y�\¶ �#� � § x ���*¶ �#� x À

n6%ToTh�v.�%-Ht) X ���z�2� E �r� X H E`D �©3 EG{ ��12� D �/TU�O(m ����12�"T/1 E ��� E ���(�w �Y�P�j­i���P� �

¨�x�� ±

¨�� � ±

B�§ x �Y�N¶ �#� x � � À

�hO1� X $ ERD<E df�y������%-1M��H F %-1 �M��1 E ���6�Y�2���r�������t� D %(����� F 1M%-H HvOt�����2�_� �� }z�.�Qc���2�9��k<$&��. � X �2�q����� �M��1 E ����TU�(���($<�M%-Q X ����QGON.�% D 0-��12,-� D ��k+TU��H\�ON12�"T/1 E �2� E ��(�w �Y�P�j­i���P� �

¨�� � ±

¨�x�� ± B � § x �Y�N¶ �#� x � � À

8(8

Page 23: Home - UCLA Mathematics

n6%T H\�(�(�q�2�<��� X $<��� E � X � E % D � ~ 4���� � � k<�2%[12��T/1 E �2���2� E �/���w ���P� ­5�Y�P� �

¨�� � ±

¨�x�� � �

B�§ x�� � � �Y�\¶ �'� x � À

¼ F Th�[�(3<%()��z�����].�% D 0(� D � E % D ���+���q§ A � � F %-1z�(QRQ D ��,p��� E 0(� � k5���<� D ��� E � E ���u X �(Qi�2%w �Y�P� ­5���P�½�

¨�� � ±

¨�x�� � ± B �

§ x�� � � ���*¶ �#� x � À}¹)<)<QGO E`D ,1� X $ ERD<E df��������%-1M��H �(,-� E`D k#TU� %-$���� E`D

w �Y�P� ­5���P�½�¨�x�� � ±

¨�� � ±

B�§ x�� � � ���*¶ �#� x � �

T/� E .9�KTU� . � D 1M��T/1 E ��� �(�w �Y�P� ­5���P�½�

¨�x�� � ±

�Y�\¶ �'� x � ¨�� � ±

B�§ x�� � � À

V'E`D .�� § A T����¹�]T/�<� D � E � D ��,-��� E 0-�(k<Th� . � D 12�"T/1 E �2�z��� E �/�(�

w �Y�P� ­5���P�½�¨�x � � ±

�Y�\¶ �'� x � x ��� � ±

B�§ x�� � � �

T/� E .9�_$pOl3<��s D<E � E % D % F �vE �w ���P� ­5�Y�P� �

¨�x�� � ± ��x��

���*¶ �#� x � ��(�/3<��� E 12��3im �

Z[Z[Z\Z[Z�r�<� �"!')&% D � D � E �(Q«� D 3KQ`%-,p��1 E �2�<H FYX<D .�� E % D �A ���r.�� D[D %T X �M�/�2�<�rH\�(.9� E`D ��1MOJ3<��0(��QR%-)P��3 ERD ���<�/Q`�(�M� F �"Tb�M��.�� E % D �·��%�3<�"�0-��QR%-)\�v1 E ,-%-1M% X � F % X<D 3+��� E % D[F %-1�HN� D O©���9� D 3+�(123 FYX<D ."� E % D � X �2��3 E`D HN�:���'���H\��� E .���m·����$P��, E`D T E ���K���<����!�)&% D � D � E ��Q FYX<D .�� E % D m

8�

Page 24: Home - UCLA Mathematics

A87 ��9;:=<#>?< �: �+%-1���0(��1MOJ12���(Q D�X H]$&��1 �«k-TU�U3<��s D �����<� '/ !� ��@'� %2�2�&����� ��%2�,���"!') �Y�P�U��%[$&�q���<��12���(Q D�X H]$&��1�"!') ���P�r4��

¨�x�� ±

� x� � À

A ��� D %T Q E �������<��$+��� E .�)<1M%-)&��1M� E ���r% F �2�<���"!')&% D � D � E �(Q FYX<D .�� E % D mA����� ������ � �A ���p� �+%-1z�"0-��1MO�12���(Q D�X H]$&��1q�«k ���<�[�M��1 E ����� ¨x�� ± ® �x � E ���($<�M%-Q X �2��QGO¥.�% D 0(��1 �,-� D � m¦¼ D )<�(1M� E . X Qc�(1�k��"!') �Y�P�t�"! E �����K� D 3 E �*1M� �(Q F %-1*�"0-��1�OW� � ��kr�����)P%Th��1��2��1 E ��� � ¨x�� ± ® �x � �<�(�¹� D^ERD s D<E ���q1���3 E`X �/% F .�% D 0(��12,(� D .��(ki� D 3^��!') E �� D � D �(QGO#� E . FYX<D .�� E % D % D ��¶�o� ���"mA �¢$e�U��!�) E �r3 EG{ ��12� D � E �($�Q`�z% D ��ke� D 3 F %(1r��0-��1MOl� �¥�¥k+�"!') ~ �Y�P��� ��!�) ���P�"mA �¢.�5��!') E � .�% D � E`D�X % X � % D �^k:� D 3 F %-1i�"0-��1�O E`D ����1M0��(Q<���+������k:Th���+� 0-� � ° �9² � ´ �"!') ���P�i§p�l��"!') � �"�y¶��"!') � �'��ÀA �¢3e� �+%-1r�"0-��1�OK�«� � �¥�^k<TU���+� 0-� �"!') ��� � ��� � ��!') �Y�P���"!') � �<��mA �¢��h�����+� 0-���"!') �¢�p� � �-m }6Q`�2%�k F %-1��"0-��1�Ol�+�¥��k<�"!') �Y�P� E �r)P%(� E � E 0(�(k+� D 3�"!') ��¶/�P��� � �·�"!')«���P�"mA � F �/��!�) E ���M��1 E ."��QROKHt% D %���% D � E`D .�12���(� ERD ,<4 E`D %����<��1�Th%-123���k EGF �«� �K�(1M�J1M� �(QD#X H]$P��12��k<���<� D Th� �<�0(�v��!') ����� NW�"!') ���P� EGF � D 3K% D QRO ERF � NC�«mA! "�� # �$��/V �����������K�©�<%-Ht��Th%-12�em �A87 ��9;:=<#>?< �: �r�<� D�X H]$&��1 � E �r3<��s D ��3_��%t$P�

� 4�����!�) � �7� �¨�x�� ±

�� � �

�� � � �

� � � �8 � � �

� � À À�À�À

A! "�� C� �I�<5> < �: � � �e%(1r��0-��1MOK1M� �(Q D�X H]$&��1r�«k<Th���+� 0-� �"!') �Y�P��� �® m

A! "�� # �$��/V �����������K�©�<%-Ht��Th%-12�em �A ���qT E QRQP�2� X � X �M� �

® � D 3_��!')y���P� E`D ����12.9�+� D ,-� ��$<QRO(m8:�

Page 25: Home - UCLA Mathematics

AWV'E`D .�� � N��N��T/�pO<|7��keTh���2�����2�+��� � ® � � � �(�r�K� � �ok+� D 3 �® � �[�(���� ¶�om �e1M%-H¬��� E �q� D 3¥�2�<� E`D �2��12Ht��3 E ���2�v0��(Q X �J���<��%-12��H Th�©�2���]���+������<�t1�� D ,-�N% F ���<� FYX<D ."� E % D �"!') E �\����� ����m V'E`D .��t�"!') E � E`D .�12���(� ERD ,<k E � E �E`D �M��.�� E 0-��kP� D 3��<� D .��J�"!') E �6�[$ E �M��.�� E % DKF 12%-H � ��%��¢��� ����ke� D 3^�2� X �¹�+���� DKE`D 0-��12�2� F 12%(H»����� ���·� �^m

A87 ��9;:=<#>?< �: ���q3<��s D �q���<� ��&%2��/�&� � �*D��&���#%#46� ��6 ��%.�,�� Q`%-,[4&�¢��� ��� � ����(QR�2%�. �(QRQ`��3�Q D �©�2%�$&�_�2�<� ERD 0(��1M�2�¥% F ���<�_�"!')&% D � D � E �(Q FYX<D ."� E % D m��r� X ��"!') �¢QR%-,e�Y�P�M������� D 3^QR%-,e�Y�"!') �Y�P�M�½���«mAWV'E`D .��]�"!') E �6.�% D � E`D�X % X ��� D 3��M�21 E ."��QGO^Ht% D %���% D � E`D .�12� ��� E`D ,<kPTh�©�2���]���+���Q`%-, E �·�(QR�2%z.�% D � ERD#X % X � � D 3©�M��1 E ."��QRO�Ht% D %���% D � E`D .�12���(� ERD ,[�¢�M��� S 1M%-)P%(� E � E % D�% F ��������? �(@ D %(�2���_% F HJO�������� ��� }¹� .�Qc���2�9��m V'ERD .����"!') E �^��Q`�2%3 ER{ ��1M� D � E �($<Q`��k<� D 3K�2�<��3<��1 E 0���� E 0-� E � D �"0-��1�¤���12%<k'TU� �2��� F 1M%-HI�2�<� E`D 0(��12�M�FYX<D .�� E % D �2�<��%-1M��H �2�+���«Q`%(, E ����Q`�2%/3 EG{ ��12� D � E �($�Q`�/�Y�2����������� ?��(@ D %(����� F 1M%-H����������� }¹�z�"m+���JQ E �M���M%-H\� %(�2�<��16)<12%-)&��1�� E ����% F ���<� D ��� X 1��(Q«QR%-,p�(1 E ����H$P��Q`%T�mA����� ������ � �A ���p� �e%(1]��0(��1MO��(� �¢��� ����kyTU�l�<�0(�KQ D ~ �Y�P�[� �® m�¼ D )+��1M� E . X Q`�(1�k�$pO������FYX<D 3+�(Ht� D ���(Q&�2�<��%(12��H % F .��(Q`. X Q X ��k'Th�z�+� 0-� � ° �9² � ´ �® §p�l� Q D � �"�i¶�Q D � �#� F %-1� D O E`D ����1M0��(Q����+����� E`D ���'� ���"m

A �¢$e�h�����+� 0-� Q D ��� �<� ��Q D ���P� � Q D ����� F %-1/�(QRQP�«� � ������� ����mA �¢.�U�����+� 0-��Q D � �7� �o�[� D 3_Q D ��� �7�P� � ¶¥Q D �Y�P� F %-1/�(QRQ5�+������� ����mA �¢3e� �+%-1/� D O*�+������� ���U� D 3 � �¥�^k<TU� �+� 0-��Q D �Y� � � � �hQ D �Y�P��mA �¢�� �+%-1r� D Ol� ����¶ �-� ��"k�Th�v�<�0(�

Q D ���/¶��P��� ¶¨�x�� �

� x� À

¼ D )+��1M� E . X Q`�(1�k'Q DlE �6� D �(QRO�� E .z% D �¢����8-��k�T E �2�K�2�<��)P%Th��1��2��1 E ���/�"!')+� D � E % DQ D ���P�½�

¨�x�� �

��¶ �7� x � �� �Y�N¶b�7� x

F %-1��+���¢����8-��m8(�

Page 26: Home - UCLA Mathematics

A! "�� # �$��/V �����������K�©�<%-Ht��Th%-12�em �A ��� D %T�, E 0-�[�*Ht%'3<���M����)<)<Q E . ��� E % D % F }¹$&��Q�d¸�z�2�<��%(12��H_4 F 12%-H¬���<�[��QR����1��D ��� ERD ,¥�M��1 E ���]�2���M�[Th�l�2���K�2�+��� � ¨x�� � �+� � ���x E �].�% D 0(��1M,-� D � m��½Oa}¹$&��Q�d¸����<��%-12��HLTU����� X �/�M�������+���¨�

x�� �� ¶v�� x � �

� � Q E H® ¾  ¨�x�� �

��¶ �7� x � �� �Y�\¶��7� x

� Q E H® ¾   Q D �Y�P����Q D ��8-�"���� X �rTU� �+� 0-������� F %(12H X Q`�

Q D ��8-� � �/¶ �8 � �

¶�� � �

� ¶�À�À À�ÀZ[Z[Z\Z[Z

} u X<E .9�N3 E ,-1M���M� E % D % D .�%-H\)�Q`�"! D�X H]$&��12��mA ��%q)<1M%'.�����3 FYX 1����<��1·TU� D ����3[�����r.�%-Ht)<Q`��! D�X HJ$P��1 �MO#�M�2��H � m����/�(�2� X Ht����+���hO-% X �(12� F ��H E Q E ��1�T E �2�N�����z.�%-Ht)<QR�"! D�X H]$&��1M� F 12%-H %(�2�<��1h.�% X 12�2����k+�M%TU�]T E Q`Q«% D QGO�, E 0-�J�2�<�]$<1 E � F ���M�z% F 3<���M.�1 E )�� E % D �6�<��1M�(mJ��������� p8tT E QRQ�, E 0-��[H X .9�^Ht%-1M�q3<����� E QR��3K�M� X 3�Ol% F ���<� � D �(QRO#� E ��% F .�%-Ht)<Q`��! D�X H]$&��1M��mA87 ��9;:=<#>?< �: � } �0������� '/ �� �'��¹E � � D O��"!')<1M���2� E % D % F �2�<� F %(12H � � ���2kT/�<��1M� ��� D 3(�¥��12��12� ��Q D#X H]$P��12��;J���<����O'HJ$P%-Q��t���_)<1M���2� D � E � � X �M���)<Qc�(.����<%(Q`3<��1�T E ��� D % ERD �21 ERD � E .tHt� � D<E`D ,�m*��TU%�.�%-Ht)<Q`��! D�X H]$&��12�� � ���� D 3 B � §����(12�©�2� E 3���%K$&�t��u X �(Q k�� � ����� B � §��Mk EG{ �^� B � D 3 �J� §+m� 0(��1�Ob12���(Q D#X H]$P��1N� E �\.�% D � E 3���12��3���.�%(H\)<QR�"! D�X H]$&��1N�(�\Th��QRQ 4¥� �� � ���2m��r�<�]� X H % F �jTh%l.�%-Ht)<Q`��! D�X H]$&��12� � � ���r� D 3 B � §�� E ��3<��s D ��3�(��� � � ���j� � � B � §��¡�U4 � � � � B � � � � � §#��2m �r���z)<12%#3 X ."�r% F �jTh%©.�%-Ht)<QR�"!D#X H]$P��12� E ��3<�"s D ��3a�(�\� � � ���j��� B � §��j�v4�� � � B ¶ ��§#� � � ��§ � � B ��Mm\�r���3 ER{ ��1M� D .��J% F �jTU%*.�%-Ht)<Q`��! D#X H]$P��12� E �/3<��s D ��3�$pO�� � � ��¡��¶�� B � §��j��4��� �N¶ B � � � �z¶ §'���2ma�r���lu X %(� E � D �t% F �jTU%�.�%-Ht)<QR�"! D#X H]$P��12� E �J3<��s D ��3$�O�� � � ���j���<� B � §��¡��4���� � � ��¡��� �� � � � � ¶ �� � � � � �j�"k&)<1M%70 E 3<��3_���+��� B � §�� E �D % D �¡¤���1M%<m·�r�<� �0������� '/ �0�� ��"D��&%(' % F � .�%-Ht)<Q`��! D#X H]$P��1�� � ��� E ��3<��s D ��3$�O � � ����4����v¶ ��Mm/�r�<�]�($��2%-Q X ���q0��(Q X �v% F �\.�%-H\)�Q`�"! D#X H]$P��1 � � �� E �3<��s D ��3a$pO µ � � ��� µ ��� �   � �   mN�r�<�\�2)+�(.��N% F �(Q`Q .�%-Ht)<Q`��! D�X H]$&��12� E �. �(QRQ`��3 � m

8�>

Page 27: Home - UCLA Mathematics

A ���qT/1 E ��� �½�(�/�2��%-1M�2�+� D 3 F %-1/� � � �Mm�n6%(�2� E`D )+�(1�� E . X Qc��1U���+�:� �  U� ¶v�(mA ����1M��H\�(12�����+���l�2�<��.�%(H\)<QR�"! D#X H]$P��12�l%-$&��O��(Q`Q����<� D %(12H\�(Q¹1 X Q`���l% F�(Q`,-��$<1��'k F %-1 ERD �M��� D .�� EGF �'� � ���K�(1M�©.�%-Ht)<QR�"! D�X HJ$P��12��k �2�<� D ��� � � ���K�

��� � � �ek:� D 3l��� � ���J� �+� � �#�"k:���2.(m�� �^%-1M�h)�12��. E �M��QRO(k:�2�<�½.�%-Ht)<Q`��! D�X H]$&��1M�F %-12H¬� '�� ) ��mzº D �v. � D �(Q`�M%N�2��%7T �2�+���¹�2�<�J1 X Q`���¹% F .�%-Ht)<Q`��!��(1 E ���<Ht��� E .�(12��.�% D � E �M�2� D �KT E �����2�<%-�2��% F 1M� �(Qq��1 E �2�<Ht��� E .��Y�(mf,<m� � � E �N��u X �(Qz�2%@�12��,p�(1M3<Q`���2�N% F T/�<���2�<��1*% D � X �M���N�2�<�¥��3<3 E � E % D � X )<)<Q E ��3b$pOC� %-1[������(3<3 E � E % D � X )<)�Q E ��3K$�O � ��mA �r�<�v%()P��1���� E % D % F .�%-Ht)<Q`��!K.�% D � X ,p��� E % D )<1M���M��1M0(���q��Q`Q5�2�<�J��1 E �2�<Ht��� E .z%-)'���1��:� E % D ��4 � � � � � � � k � ¶ � � � ¶ � k � � � � � kp� D 3 � � � � � � � mr�Y¼ D���<�[Qc� D , X �(,(�©% F �(QR,-��$�1���k .�% D � X ,p�:� E % D�E � � DO�&6%(��� ���(� 46� -�� % F ���<�t.�%(H[�)<Q`��! D�X H]$&��12���"m��r���J.�%(H\)<QR�"!K.�% D � X ,-����� � D 3��($<�M%-Q X �2�q0(��Q X � �(1M� 1M��Q`������3$�ON���<� E 3�� D � E �jO µ � µ  �� � �+mA ¼ F � E �\��.�%-Ht)<QR�"! D�X H]$&��1�k/�2�<� D µ � µ � � ERF � D 3b% D QRO ERF ���g��moº D �. � D �M�<%T �2�+��� µ � � µ � µ � µRµ � µ k µ � � � µ � µ � µ � µ � µ � ERF�� ¿� �p�"k/� D 3b���+���µ � � � µ ª µ � µ � µ � µ my¼ D )<�(1M� E . X Qc�(1�k-TU�z.�� D � X 1 D ��E`D ��%J�vHt����1 E ./�2)<�(.��z$pO3<��s D�E`D ,t§&����� � �U4�� µ �z¶ � µ m½º D �q. � D �2��%7T����+�:� ��E � E`D*F �(."���].�%-Ht)<QR�����H\�"��1 E .z�2)<�(.���m

A �r�<�¥H\�(.9� E`D ��1MO�% F ��� E �\�M���l% FzD %(�����*� D 3W���<��)<12�"0 E % X �\�2���N% F�D %(�2���\% F)P% ERD �jT E �2��� D 3 X�D<ERF %-1MH .�% D 0(��12,(� D .���% F 12� ��QG�¡0��(Q X ��3��2��1 E ���*% FqFYX�D .�� E % D �� ¨x�� ± w �Y�P�P�2%/.�%0-��1 .�%-Ht)<Q`��!#� 0��(Q X ��3q�2��1 E ��� �(�iTU��Q`Q�m ¼ D�F �(."� ���<��12� E � ��Q`Ht%-�M�D %�.9�+� D ,-� ERD �2�<�t�2�<��%(1MO-m��Y¼ D ���<�[����!#��$&%'%-�ek·.�%-Ht)<Q`��!#� 0��(Q X ��3 FYX�D .�� E % D ��(12� X �M��3_���<1M% X ,-�<% X ����mA �e%(1 E`D ���9� D .��(k�% D �½. � D 3<��s D �h�2�<�h��!')P% D � D � E �(Q FYX<D ."� E % D ��!�) � �p� F %-1 �0������� '/

� ERD ��!��(.��2QRO*�2�<�����(Ht�qHN� D<D ��1��(� F %(1r12� ��Q D#X H]$P��12��4�"!') � �p�/4��

¨�x�� ±

� x� � À

º D �*. � D ���9���2�l� D 3�)<1M%0-�l���<�N1���� E %��2���M� F %(1J.�%(H\)<QR�"!��2��1 E ���©� D 3 X �M� E ���%l�2��%7T ���+�:�q�"!') ���-�q.�% D 0-��12,-��� F %(1q��0-��1MO �'m]¼¡�z� X 1 D ��% X �¹���+����H\� D O^% F���<��)<1M%-)P��1M� E ��� F 1M%-H �r�<��%-12��H��7?]�M� E QRQi�<%-QR3i4yTh�v�+� 0(� �2�+���/�"!') � � � � � ��"!') ���p� � ��!') � � ��k F %-1 ERD �M��� D .��(mK�Y�r�<�[%(���<��1q)<12%()P��1M� E ���q1M��u X<E 1M�©.�%-Ht)<QR�"!3 ER{ ��1M� D � E ��� E % D � D 3�.�%-Ht)<Q`��! ERD �2��,-12��� E % D k5� D 3¥Th�]T E Q`Q D %(�q3 E �2. X �2�z�2�<���M�8(?

Page 28: Home - UCLA Mathematics

�<��1M�(;/���<%-�M�¥�(1M�_�2%-) E .�� F %-1*�^�������p8-��mb} D %����<��1 X �M� FYX Q�%-$<�M��1M0���� E % D�E ����+��� �"!') � �p�����"!') � ����;#�2� E �½. � D $P�6�2��� D $pOt.�% D � X ,p��� ERD ,����<�6)+�(1M� E �(Q+� X Ht�� �x�� ± � �x � � D 3K�9�(� ERD ,[Q E H E �2�U����� � �omA �r�<�z.�%(H\)<QR�"!NQ`%-,-�(1 E ���<H � X 1 D �r% X �U�2%©$P�¹�2%-Ht��T/�+�:��Ht%-12�6� X $��2Q`��k<HN� E`D QGO$P��. � X �M�z�"!') E � D %]Q`% D ,-��1 E`D 0(��1M� E $<QR�(k'� D 3l��Q`�2% $&��. � X �2�¹�2�<�60��(1 E % X �h)&%TU��1�2��1 E ��� F %-1����<�6Q`%-,-�(1 E ���<H % D QRO[�<�0(�q� s D<E �2�612�(3 E`X �h% F .�% D 0-��12,-� D .��t� X<D Q E �(��"!') k T/� E .9���+�(� � D�E`D s D<E �2�]1���3 E`X ��% F .�% D 0(��1M,-� D .����m\}6,p� E`D kiTU�[T E QRQ D %(�3 E �M. X �M�½�2� E ��1��:���<��1½3���Q E . ���2� E �M� X �/�<��12�6� D 3t12� F ��1½�2�<�/12���(3<��1 �2%]���:���_�p8'm

Z[Z[Z\Z[Z� 1 E ,-% D %-Ht���21 E . FYX<D ."� E % D �A ��� D %7T 3 E �2. X �2�l���<� D �"!#�KHt%-�M� E H\)&%-1��9� D �\.�Qc���2�l% F �M)P��. E ��Q FYX<D ."� E % D ��k� F ����1]���<�l��!�)&% D � D � E ��Qr� D 3�Q`%-,-�(1 E ���<H E . FYX<D ."� E % D ��k D ��H\��QRO����<�l��1 E ,-% D %��H\�"��1 E . FYX<D .�� E % D ��m��¢�r�<��12�l��12�t�2��0(��12�(Q�%(�2�<��1 X �2� FYX QU�M)P��. E �(Q FYX<D .�� E % D � E`DHN���2�<��H\��� E .���k«� X .9���(�������N�pO#)P��12$&%-Q E .[�21 E ,-% D %-Ht���21 E . FYX<D .�� E % D �J� D 3��pOp�)P��12,-��%-H\�"��1 E . FYX<D ."� E % D ��kz�2�<��,p�(HtHN��� D 3�¤����9� FYX<D ."� E % D ��kq� D 3o��Q`Q E )�� E .FYX<D .�� E % D ��k<$ X ���2�<��OK%#.�. X 1/H\%(12�q1���12��QGOl� D 3KT E Q`Q D %(�/$P��3 E �2. X �2�M��3�����12��m �A ��1 E ,-% D %-H\�"��1 E . FYX�D .�� E % D �_�(1M��% F ��� D 3<�"s D ��3 X � E`D ,�,-��%-H\�"��1 E .�.�% D .���)�����kD %(�9��$<QROv���<%-�M�6% F . E 12.�Q`����kp��1 E � D ,(Q`����kp� D 3\� D ,(Q`����m �6%Th��0(��1�k E � E �h��Q`�2%�)&%-�2� E �$<Q`�z�2%\3<�"s D �����<��H X � ERD ,[H\%(12� � D �(QGO�� E .¹.�% D .���)��2��kP� D 3 E`D )+�(1�� E . X Q`�(1U������¢.�%(H\)<QR�"!<�U�"!')&% D � D � E �(Q FYX�D .�� E % D mA87 ��9;:=<#>?< �: ¼ F � E �/�©12���(Q D�X H]$&��1�k<���<� D Th��3<��s D �

.�%-�7���P�r4�� � �® � � � �

®8

� D 3� E`D ���P�r4�� � �

® ¶ � � �®

8 � À����12� F ��1r��%[.�%-��� D 3_� E`D �(�r�2�<� �0� -��#@' � D 3 -��#@'hFYX<D ."� E % D �r12���2)&��."� E 0(��QGO-m

A �r�<���M� F %-12H X Qc�(�zTh��1M�]3 E �2.�%0(��12��3�$pO � X QR��1�keT/��%*12��.�%-, D�E ¤���3^�2�<�JQ E`D �*$&�"��jTU��� D �2�<��.�%-Ht)<QR�"!l��!')P% D � D � E �(Q«� D 3K���<�q�21 E ,(% D %-Ht���21 E . FYX<D ."� E % D ��m

8�@

Page 29: Home - UCLA Mathematics

A �e1M%-HI�2�<��)P%Th��1/�2��1 E ����3<��s D�E � E % D % F �"!') k<Th�v�+� 0(�� �® ��� � �¢�*¶ �e 

8 � ¶���CF � � � E

� � � À�À À� D 3

� � �® � �/¶ ���N¶ �  

8 � � ��� F � � � E

� � ¶�À À À� D 3K�2% F 12%-HI���<� �($&%0-� F %-12H X Qc�(�6TU� �+� 0-�

.�%(��Y�P��� �/¶ �e 8 � � � E

� � ¶�À À Àp�¨�x�� ±

��¶ �7� x �e  x� 8:� � �

� D 3� E`D ���P�����*¶ � F

� � � �

� � ¶bÀ À�À��¨�x�� ±

��¶ �7� x �   x � ���8�� � �7� � À

A ¼ D )+�(1�� E . X Qc��1�ke.�%-��Y�P�6� D 3¥� ERD �Y�P���(12�J�(QRTU� O#�z12���(Q m¹�UQ`���(12QGOl���<� FYX�D .�� E % D �� E`D � D 3K.�%-���(1M���(Q`�M%©12� ��QG� � D �(QRO�� E .�% D ��¶�o� ���"k'� E`D .��q���<� E 1�)&%TU��1/�2��1 E ���.�% D 0-��12,-��� F %(1 ��0-��1MO[�¥�¢�(mf,<m·$pO©�2�<�/1���� E %¹�2���M�9�"m ¼ D )+�(1�� E . X Qc��1�������� E`D ��� D 3.�%-� E`D � FYX<D ."� E % D �/�(1M� .�% D � ERD#X % X ��� D 3_3 ER{ ��1M� D � E �($<QR�(mA ����Q E �M�r�M%-Ht�q$+�(� E .�)<12%-)&��1�� E ���r% F ���<��� E`D � � D 3_.�%(� E`D � FYX<D .�� E % D ��$&��QR%T�mA����� ������ � � �A ���p�;�+%-1·� D O]12���(Q D�X H]$&��1·�«k-Th�/�+� 0-�r� E`D ���P��  � .�%-� �Y�P�  r���(my¼ D )+�(1�� E . X Qc��1�kTU���+� 0-� � ERD �Y�P� ��� ¶ �-� ��� � D 3_.�%-�7���P� ��� ¶ �-� ��� F %-1/�(Q`QP�+�¥�¥mA �¢$e���+%-1t� D O�12���(Q D�X H]$&��1[�«kUTU�_�+� 0-�^� ERD ~ ���P�*�».�%-�7���P�[� D 3W.�%-� ~ ���P�*�¶¥� ERD �Y�P��mA �¢.���e%(1�� D O*1M� �(Q D�X H]$&��1��«k'Th�q�+� 0-��� E`D � ¶��P��� ¶¥� E`D �Y�P��� D 3l.�%-�� ¶��P�½�.�%-� �Y�P�"mA �¢3e� �e%(1]� D Oa1M� �(Q D�X H]$&��1M�]�«� �Pk�TU�l�+� 0(�l.�%-� �Y� � �<�v� .�%(��Y�P��.�%-�7� �<�h¶� E`D �Y�P��� ERD � �<��� D 3_� E`D ��� � �<� ��� E`D �Y�P��.�%(������ � .�%-����P��� ERD �����"mA �¢��U�����+� 0-��� ERD ���p��� �t� D 3^.�%-�7�¢�p� � �-m

8�=

Page 30: Home - UCLA Mathematics

A � F ���+%-1½��0-��1MON12� ��Q D�X H]$&��1h�«k'Th�z�+� 0-� � �® � .�%-�7���P� � �p� ERD �Y�P�h� D 3 � � �

® �.�%-� �Y�P�·¶ �p� ERD �Y�P��mA! "�� # �$��/V �����������K�©�<%-Ht��Th%-12�em �A n6%ToTh�v3����2.�1 E $P���2%(H\�q%(�2�<��1/)<1M%-)&��1M� E ���r% F � E`D � D 3K.�%(� mA�� ��� � � � ��� �r�<��1M���"! E �����6�[)&%-� E � E 0-� D�X H]$&��1r��� X .9�_���+���/� E`D ���P������mA! "�� # �$��_V'X )<)P%(�2� F %-1�.�% D ��12�(3 E .�� E % D ���+�:��� E`D �Y�P�*¿�I� F %-1��(QRQy��� ����� ���"mºq$��2��1�0-�J�2�+���/��� E �/TU% X Q`3¥��Q`�2% E H\)<QGON�2�+���6.�%-�7���P�v¿�¦� F %-1��(Q`Qi�,�W����� ���"k� E`D .�� EGF .�%-�7���P�6� �N���<� D � E`D � 8:�P��� �*$pO¥�r�<��%-12��H 8(�<�¢3e�v�YT/�pO�|:��m V'ERD .��.�%-� ���p�����(k7�2� E � E Ht)<Q E ���5$pO6���<� ERD �2��1MH\��3 E ���2�y0��(Q X �y���<��%-12��Ho���<��� .�%(�7�Y�P� N� F %-16�(Q`Q � N ����T/��O�|7�"m¹}¹Q`�M%<k&� E`D .��J� E`D �¢�p�����*� D 3¥� E`D ~ ���p�U� �1No�'kPTh��2���[���<��� � E`D�ERD .�1M� �(� E`D , D � ��1v�'k ��� D .�� E � )&%-� E � E 0-�]�2%_�2�<�[1 E ,(����% F ��mt�hO���<� E`D ����12Ht��3 E ������0��(Q X � ���<��%-12��H Th�©�(,-� E`D .�% D .�Q X 3��v���<���z� E`D ���P��N � F %-1�(Q`Q&� N��_�¢%����<��1MT E �M��� E`D Th% X Q`3K�+� 0(�J�©¤���12%t% D ����� ���M�"mA ¼ D )<�(1M� E . X Qc�(1 ERF Th�½3���s D � �2�<� .�%(��� D ,-� D � FYX�D .�� E % D .�%(�7���P�r4���.�%-����P���·� ERD �Y�P��k���<� D .�%(��Y�P�½Th% X QR3l$P�z)&%-� E � E 0-�¹� D 3l3 EG{ ��12� D � E �($<QR�6% D �(Q`Qe% F �¢��� ���"m �e1M%-H���<� u X %(� E � D �61 X QR�v� D 3��r�<��%-12��H 8(�[Th�J�M��� ���+���������v3<��1 E 0(�:� E 0(��% F .�%(�7���P�E ��¶v� �·� E`D ���P�� ���T/�pO<|7� ¼ D )+�(1�� E . X Qc��1�k¹Th�a�+� 0-��.�%(� ~ �Y�P��ª ¶v� F %-1���Q`Q� N ��m �hO����<� FYX<D 3+��H\� D ���(Qq���<��%-12��H % F . �(QR. X Q X �K��� E � E H\)<Q E ���*���+���.�%(��Y� � :� ª .�%(��Y�P�h¶� F %-1���Q`Q��8N �_� D 3 N ��m[� X � Q`�"�2� E`D , t� �TU�z�M���¹�2�+���h��� E �U.�% D �21��(3 E .��2��% X 1U�(�2�M��1�� E % D ���+�:��.�%�� E �h)P%(� E � E 0(�¹% D �¢��� ����YT/�pO�|:��m �A�� �"� � $&�*���<�K�2�"� � 4 � ��(� ����� ���N4 � E`D ���P�\� � ��k E mf�(m � E �J�2�<�l�2�"�% F 12%#%(���¹% F � ERD % D ����� ���"m��hO � ��HtHN�l8#�-k � E � D % D �j��Ht)��jO(m }6Q`�M%<k5� E`D .��� E`D�E �©.�% D � ERD�X % X ��k � E �©.�Q`%-�M��3��YT/�pO�| X �M�^�r�<��%-12��H �+�Y3e� F 12%(H �������8 D %(�2�����"m_�r� X ��� .�% D �9� ERD �]��Q`Q E �2�J��3<�<��1M� D �©)&% E`D �2��k·� D 3��2� X �].�% D ��� E`D �E`D�F � �J�"m �r� X � ERF TU��H\�(�(�q�2�<��3<��s D�E � E % DA87 ��9;:=<#>?< �: ��� 3���s D ������%[$&���2�<� D�X H]$&��1

��4�� ERD�F ��+���¢��� ���U4p� ERD ���P�½��� ����<� D Th�K�+� 0-�l� N ��� D 3�� ERD ��� �[� ��ma�½Oa3<�"s D<E � E % D % F � k�� E`D .�� D<D %(��+� 0-��� D O�¤���12%#��� E`D ���'�2� �"k6� D 3 �2% ERD )<�(1M� E . X Qc�(1*H X �M�K$&��)P%-� E � E 0-��% D

(�

Page 31: Home - UCLA Mathematics

�����2�«�"kU�¢. F ml�2�<�N��12, X Ht� D �2� E`D � ��HtHN�^8'� X � ERD ,^�2�<� ERD ����1MH\��3 E �:���©0��(Q X ����<��%-12��H*��m V'E`D .��l.�%(� ~ ���P�N� ¶¥� E`D ���P�"k�TU�l��� X �[.�% D .�Q X 3<�l���<���[.�%-��Y�P� E ��M��1 E ."��QROv3<��.�12���(� ERD ,�% D �����M� �"m V'E`D .���.�%(�7���p� ���-k-��� E � E Ht)<Q E ��� E`D )<�(1M� E . X Qc�(1���+����.�%-�7��� � � �-;�� E`D .��[� E`D   �Y� � � .�%-�� 7��� �z� �N� D 3�� E`D �Y� �z� ��k Th�t�2� X �.�% D .�Q X 3����2�+���/.�%-�7�Y�«� � ¶v�(mA ¼ D )+��1M� E . X Q`�(1UTh���+� 0-� � X Q`��1�d¸� F �(Ht% X � F %(12H X Q`�

� ³ � � .�%(�7�Y� � � �p� ERD �Y�«�½� ¶v�(ÀA ��� D %T .�% D .�Q X 3<�qT E ���K�2%-Ht��%(������1r)<1M%-)P��1M� E ���/% F � ERD � � D 3K.�%(� E`D �(mA����� ������ ���#�A ���p� �+%-1J� D Oa1M� �(QU��Th�K�+� 0-�K.�%-� �Y� � � �©� ¶¥.�%-����P�]� D 3�� ERD �Y� � � �[�¶¥� ERD �Y�P��m·¼ D )+�(1�� E . X Q`�(1·TU�6�+� 0-�z.�%-�7��� � 87� � ��.�%(�7�Y�P��� D 3\� E`D �Y� � 8:� ���� E`D �Y�P�"k E m¸��m � ERD � D 3K.�%-�6�(12�q)&��1 E %#3 E .6T E ���K)&��1 E %#3�87� mA �¢$e�U¼ F � E �r1M� �(Q�k������ D � E`D �Y�P����� ERF � D 3_% D QGO EGF � �7� E �/� DKE`D ����,-��1�mA �¢.�·¼ F � E ��12���(Q k-�2�<� D .�%-� �Y�P���o� ERF � D 3t% D QGO ERF � �:� E �½� DtE`D ����,-��1�)<Q X �/���-8'mA! "�� # �$��/V �����������K�©�<%-Ht��Th%-12�em �A ���z.�� D % F .�% X 12�M�q3<��s D ���(Q`Qe�����z%(������1U�21 E ,(% D %-Ht���21 E . FYX<D .�� E % D ��4y�9� D ,-� D � k.�%(��� D ,-� D ��k+�2��. � D � k&� D 3_.�%-�2��. � D ��kP� D 3^3���0-��Q`%-)^�(QRQP����� F ��H E Q E ��1 E 3<� D � E � E ���% F ��1 E ,-% D %-Ht����1�O-mW� X �NTh�^T E Q`Q D %��N3<%��2%��<��1M���¢� E`D .��^O(% X )<1M��� X HN�($�QRO� D %7T �<%To��%[3<%t�(QRQ5��� E �/� D O�T�� O��"m

'�