8/19/2019 Hoja1_estadistica_2014

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Fsica Estadstica. Hoja 1

Los ejercicios marcados con asterisco son para correccion.

1*. Se tira una moneda al aire 200 veces. Utilizando la aproximacion gausiana a la dis-tribucion binomial, determinar las probabilidades de obtener cara:

a) 101 o 99 veces.b) 100 veces o 200 veces.

2. La distribucion de Poisson fue introducida por S. D. Poisson en 1837, como el lmite dela distribucion binomial para sucesos muy poco probables ( p 1), pero que acumulados sobreN   1 intentos llegan a tener un valor acumulado medio    =  pN  que es de orden 1.

a) Demostrar que en esas condiciones la probabililad de que el suceso con probabilidad  p

haya ocurrido  n  veces del total de  N   intentos esta bien aproximada por

P (n) = en

n!  ;

b) Comprobar que el valor medio de   n   es precisamente   hni   =     y obtener su desviacioncuadratica media.

3.   En una de las primeras aplicaciones serias de la distribucion de Poisson, von Bortkiewiczanalizo en 1898 los datos sobre los accidentes con resultado de muerte debidos a coces decaballos en 14 unidades de caballera del ejercito prusiano, con un numero aproximadamenteigual de soldados en cada una. Para cada unidad se recogieron los datos anuales, en un periodode 20 a~nos, formando un total de 280 observaciones. En 143 de estos casos no hubo ningunamuerte en ese a~no y unidad, en 92 casos hubo una muerte, en 32 casos hubo dos, en 11 casoshubo 3, solo en 2 casos hubo cuatro accidentes mortales y en ninguna unidad se haban dadomas de cuatro muertes en un solo a~no.

El colectivo estadstico estara formado por esas 280 observaciones (20 a~nos por 14 unidadesdel ejercito) y la variable aleatoria  n   = 0; 1; 2;:::   sera el numero de soldados muertos, de untotal N   muy grande. Von Bortkiewicz argumento que la probabilidad  p  de morir por una cozes muy baja, pero el numero   N   de soldados sometidos a ese riesgo es alto, de modo que sedeberan cumplir las condiciones para observar una distribucion de Poisson.

Analizar los datos para comprobar o refutar esa hipotesis y razonar sobre las implicaciones

que resulten de ella.

4*. La antena de telefona movil que cubre el campus de la UAM debe atender a unapoblacion de 20000 personas, y suponemos que en promedio utilizan su movil 1 minuto a lahora, durante la hora punta.

a) >Cual es el numero medio de llamadas hni que se estaran realizando en un instante dadode esa hora punta?

b) >Cual es la desviacion tpica de ese numero de llamadas,   =q hn2i hni2?

c) > Se dan las condiciones para describir el numero de llamadas mediante una distribuciongausiana?

d)   Si la compa~na instala el repetidor con un capacidad para atender exactamente alnumero medio previsto de llamadas   hni   >cuantas veces nos encontraremos que no tenemoslnea disponible?

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e) Repetir el calculo si la compa~na aumenta el numero de lneas a  hni + .f) Repetir el calculo si la compa~na aumenta el numero de lneas a  hni + 3.Ayuda   Utilcese la aproximacion gausiana y una tabla de valores para la funcion error

complementaria, denida como

erfc(x) =  2

Z   1

x

du eu2

5*. Un metal es evaporado en el vaco desde un lamento caliente. Los atomos de metalresultantes inciden sobre una placa de cuarzo situada a cierta distancia formando una pelculametalica. Esta placa de cuarzo se mantiene a baja temperatura de forma que cualquier atomometalico incidente sobre ella queda jado en el punto de impacto sin moverse ya de all. Losatomos que posteriormente puedan caer encima quedaran formando una segunda, o sucesivas,capas atomicas.

Puede admitirse que los atomos tienen la misma probabilidad de chocar con cualquier ele-mento de area de la placa, que consideramos dividida en subareas del tama~no de un atomo, delas que habra un numero N   muy grande. La probabilidad de que uno de estos elementos de

area reciba cada atomo es p = 1=N   1.Si evaporamos metal hasta formal una pelcula que en promedio tiene 5 capas de atomos,a) >Que fraccion del area total encontraremos todava sin cubrir por metal?b) >Que fraccion del area total encontraremos con una sola capa?c)   >Que fraccion del area total encontraremos con exactamente el numero promedio de

cuatro capas?d)  >Que fraccion del area total encontraremos con mas de 10 capas?