Hoja de Trabajo 20

Ondas y Rotaciones Cinemática de las Rotaciones

Jaime Feliciano Hernández

Universidad Autónoma Metropolitana - Iztapalapa México, D. F. 15 de agosto de 2012

INTRODUCCIÓN. Hasta el momento, hemos sido capaces de describir la evolución de sistemas físicos basados exclusivamente en el concepto de partícula. De hecho, hemos visto que, en más de un sentido, existe un punto especial, el centro de masa, tal que un cuerpo, por complejo que sea, puede ser considerado como una partícula en que toda la masa está concentrada en el centro de masas. Pero evidentemente reemplazar un sistema complicado por una única partícula puede ser correcto en algunos contextos, pero no en todos. Alguna diferencia debe hacer que tengamos una partícula, una esfera o un elefante de masa M. Esto nos obliga a estudiar la Cinemática y la Dinámica de los Cuerpos en Rotación. En esta hoja comenzaremos a examinar las consecuencias de que los cuerpos tengan estructura, y no sean sólo partículas puntuales. y vamos a definir y generalizar las variables propias de la Cinemática Rotacional. A. ACTIVIDAD INDIVIDUAL. VARIABLES CINEMÁTICAS DE LA ROTACIÓN. Consideremos un cuerpo rígido con una forma cualquiera. En la figura se muestra una naranja que, para tener una referencia más clara, la partimos a la mitad.

Naranja Mitad de la Naranja, vista desde arriba.

Con esta mitad tenemos la referencia de las “líneas” naturales de los gajos. Esta naranja puede rotarse hacia la derecha, alrededor de un eje que pase justo por el círculo central. Pongamos atención en el gajo señalado, y mostramos varios momentos en los que el objeto ha dado la vuelta:

Se trata de 6 instantáneas en donde se ha dejado fija una línea que indica la posición original.

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Mientras la naranja rota hasta encontrar una nueva posición de referencia, algo pasa con todos los “puntos” colocados a lo largo de una línea de referencia.

Podemos notar que todos los puntos a lo largo de la recta 0P tienen el mismo ángulo respecto a una línea horizontal. Ahora, si esto es así, ¿qué se espera que ocurra cuando la naranja rota hacia la derecha? Observemos el dibujo:

En la rotación, todos los puntos de la línea que une al origen con el punto P en el borde de la naranja se mueven conservan el mismo ángulo.

Más aún, podemos ver que cualquier punto en esa línea de referencia describe un círculo en su movimiento de rotación. Esta regularidad en la Naturaleza de los objetos sólidos que rotan es muy importante porque nos permite definir una propiedad muy útil. Pongamos atención en dos instantes y en la rotación de la naranja. En esos

instantes localizamos el punto P con los vectores de posición y , respectivamente:

1t 2t

1r 2r

2

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Justamente porque todos los puntos en la línea que va del origen al punto P tiene el mismo ángulo en un movimiento circular es que podemos definir la velocidad angular media como:

ttt ΔΔΘ

=−Θ−Θ

≡12

12ω (A)

Esta expresión nos dice que la rapidez angular media está dada por el cambio en el ángulo con respecto al cambio en el tiempo; es decir, se trata de una razón de cambio del ángulo con respecto al tiempo. Nuevamente se trata de una proporción. También podemos definir la aceleración angular media como la variación de la velocidad angular media:

ttt ΔΔ

=−−

≡ωωω

α12

12 (B)

Y de forma enteramente análoga al caso de la Cinemática transalacional, se puede definir la velocidad angular instantánea como:

dtd

tt

Θ=

ΔΔΘ

≡→Δ 0

limω (C)

Y la aceleración angular instantánea:

dtd

tt

ωωα =ΔΔ

≡→Δ 0

lim (D)

Las unidades en las cuales se miden estas variables son ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ΔΔΘ

=TiempoÁngulo

tω , es

decir:

snúmeroó

sesrevolucionó

sradianesó

sángulos

, o sea s1

, min1

, hr1

, etcétera.

De manera similar, las unidades de la aceleración angular son:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ΔΔ

= 2TiempoÁngulo

tωα , es decir:

2222 snúmeroó

sesrevolucionó

sradianesó

sángulos

, o sea 2

1s

, 2min1

, 2

1hr

, etcétera.

Recordemos que:

°== 36021 radianesrevolución π y que

esrevolucionradián 159.03.571 =°=

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Existen claras analogías entre las variables transnacionales y las variables rotacionales:

Variables transnacionales Variables rotacionales r Θ v ω a α

Sabemos que las ecuaciones de la cinemática transnacional para la velocidad y la aceleración medias, nos llevaron a la construcción de la tabla que se muestra al final de la Hoja de trabajo 5. Sería de esperarse que, por la manera como se hicieron las definiciones en las ecuaciones (A), (B), (C) y (D), que exista una estrecha correspondencia o analogía entre las ecuaciones de la cinemática transnacional y las de la cinemática rotacional. En la siguiente tabla se muestran los dos conjuntos de ecuaciones:

Cinemática translacional Cinemática rotacional

Aceleración lineal constante Aceleración angular constante

if

if

ttxx

txV

−

−≡

ΔΔ

≡__

if

if

ttt −

Θ−Θ≡

ΔΔΘ

≡__ω (1)

if

if

ttVV

tVa

−

−≡

ΔΔ

≡__

if

if

ttt −

−≡

ΔΔ

≡ωωωα

__ (2)

( )ifif ttVxx −+=__

( )ifif tt −+Θ=Θ__ω (3)

( )fipromedio VVV +=21

( )fipromedio ωωω +=21

(4)

( )ifif ttaVV −+=__

( )ifif tt −+=__αωω (5)

( )( iffiif ttVVxx −++=21 ) ( )( )iffiif tt −++Θ=Θ ωω

21

(6)

( ) ( )2__

21

ififiif ttattVxx −+−+= ( ) ( )2__

21

ififiif tttt −+−+Θ=Θ αω (7)

( )ifif xxaVV −+=__

22 2 ( )ifif Θ−Θ+=__

22 2αωω (8)

A1. ACTIVIDAD INDIVIDUAL. EJEMPLOS. Consideremos los siguientes problemas dentro de la cinemática rotacional. Ejemplo 1. Partiendo desde el reposo en el tiempo 0=t , una piedra abrasiva tiene

una aceleración angular 22.3 srad=α . En 0=t la línea de referencia AB de la figura

es horizontal. Hallar (a) el desplazamiento angular de la línea AB (y por lo tanto de la piedra abrasiva) y (b) la velocidad angular de la piedra 2.7 segundos después.

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Solución. (a) α y t están dadas; deseamos encontrar Θ , por lo que podemos usar la ecuación (7) rotacional:

( ) ( )2__

21

ififiif tttt −+−+Θ=Θ αω

Aplicando las condiciones iniciales 0=t , iωω = y 22.3 srad=α

2

21 ttiif αω ++Θ=Θ

Sustituyendo los valores:

( ) ( )( )22 7.22.3217.2)0(0 ss

radsf ++=Θ

radf 66.11=Θ

Podríamos aplicar la relación: esrevolucionradián 159.03.571 =°= para convertir a revoluciones:

(b) Ahora α y t están dadas; deseamos encontrar Θ , por lo que podemos usar la ecuación (5) rotacional:

tif αωω +=

( )( ) sradss

radf 64.87.22.30 2 =+=ω

( ) srev

radrev

srad

f 37.11159.064.8 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ω

Ejemplo 2. Supongamos que la potencia que mueve a la rueda abrasiva del problema 1 es desconectada cuando la rueda está girando a una velocidad angular de

srad6.8 . Una pequeña fuerza de fricción en la flecha causa una desaceleración angular constante, y la rueda llega finalmente al reposo en un tiempo de . Hallar (a) la aceleración angular y (b) el ángulo total girado durante la desaceleración.

s192

Solución. (a) Están dadas srad6.8=ω y st 192= , y buscamos α , así que usamos la ecuación (5) tif αωω += ; así que despejamos α :

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srads

sradt

if 044.0192

6.80−=

−=

−=

ωωα

(b) Según la ecuación (6):

( )( ) ( ) revrad

revradradssradf 27.1311159.06.8256.82519206.8

210 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==++=Θ

A2. RELACIÓN ENTRE LAS VARIABLES LINEALES Y LAS ROTACIONALES: CASO ESCALAR. Consideremos una partícula situada en un cuerpo rígido que rota con cierta velocidad angular. La partícula está colocada en un punto P, a una distancia r, perpendicular al eje de rotación que pasa por un punto A, como se muestra en la Figura 1:

(A) radio-vector: r. (B) radio-vector )(θrsen

Figura 1. Este es el caso particular del movimiento de una partícula en el punto P, en un “corte” del objeto sólido completo. En este plano la distancia del origen al punto P es r. En la figura A se muestra el corte con un plano paralelo a XY. En B se muestra el objeto en 3D, y un corte vertical que muestra el triángulo que

generaliza la longitud del radio vector.

Figura 2. Relaciones entre las aceleraciones en el plano y en el espacio. El plano es un caso particular del movimiento espacial. Ahora la distancia al origen en el espacio es )(θrsen .

Figura 3. Relaciones entre las velocidades en el plano y en el espacio. El plano es un caso particular del

movimiento espacial. Ahora la distancia al origen en el espacio es )(θrsen .

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De la Figura (1A) se puede concluir que el arco es tal que: S

rS φ= (E) Nos interesa conocer cómo cambia la trayectoria de la partícula en el punto P. por lo que:

Derivamos la ecuación (E) con respecto al tiempo:

( ) rdtd

dtdr

dtrd

dtdS φφφ

+==

Como el movimiento del punto P es circular el

radio no cambia, así que:

0=dtdr

, por lo tanto:

rddSdtdtφ

=

En esta ecuación reconocemos que:

vdtdS

= y ωφ=

dtd

, es

decir la velocidad tangencial y la velocidad

angular, respectivamente:

v rω= (F)

La ecuación (F) expresa la relación entre las variables de la cinemática lineal y las de la cinemática rotacional, y es de hecho un caso particular pues para obtenerla nos fijamos en un punto P que se sitúa sobre un plano específico en el objeto tridimensional mostrado en la Figura 1A.

Si queremos encontrar las variaciones en la

relación (F), la derivamos nuevamente con

respecto al tiempo:

( ) rddrrddvdtdtdtdtωωω

+==

Nuevamente

consideramos 0=dtdr

,

por lo que:

rdtd

dtdv ω

=

Ahora reconocemos a

dtdv

y dtdω

, como la

aceleración tangencial y la aceleración angular,

respectivamente:

raT α= (G)

Recordemos que en el movimiento circular,

como el que se muestra en la figura (1A), existe una componente de la aceleración que apunta

hacia el centro:

raR =

v 2

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Si en esta expresión sustituimos la velocidad

de la ecuación (F), entonces:

( )rr

rraR

222 ωω==

Por lo tanto: raR2ω= (H)

Las ecuaciones (G) y (H) constituyen las

componentes del vector aceleración, por lo que

podríamos escribir:

RT aaa rrr +=

RrTrar r2ωα +=

r

Aquí Tr

y son dos vectores unitarios en las direcciones tangente y radial, respectivamente.

Rr

A3. ACTIVIDAD EN EQUIPO. Aplicar las relaciones previas para resolver lo siguientes ejercicios:

A4. RELACIÓN ENTRE LAS VARIABLES LINEALES Y LAS ROTACIONALES: CASO VECTORIAL. Consideremos ahora un caso más general que el de la Figura 1A. Pensemos que el punto P está en un plano particular de un sólido que gira con una velocidad angular ω , y cuya geometría se muestra en la Figura 1B y en las Figuras 2 y 3. De estas figuras se puede ver que lo que antes habíamos considerado como r , ahora en el nuevo referencial en 3D, pasa a ser el cateto opuesto al ángulo θ , que forma el radio-vector que va del origen a P, por lo que:

Relación plana Relación espacial )(θrsenr →

Esto aplica en las Figuras 2 y 3, por lo que si sustituimos el nuevo valor de la distancia del origen al punto P en las ecuaciones (F):

rv ω=

)(θω rsenv =

Sin entrar en mayores detalles, podemos reconocer en esta última ecuación a la magnitud de un vector muy especial:

r rvr r= ×ω (I)

Es decir que la velocidad en general se escribe como el producto vectorial del vector velocidad angular y del vector de posición.

En general el producto vectorial de dos vectores A

r y B

r se representa como:

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( ) ( )zyxzyx bbbaaaBA ,,,, ×=×rr

( ) ( )zyxzyx bkbjbiakajai ˆˆˆˆˆˆ ++×++=

zyx

zyx

bbbaaakji ˆˆˆ

=

Para calcular este producto procedemos con el siguiente algoritmo:

Paso A: Consideramos el primer renglón y la primera columna. El

cruce se encuentra en el vector unitario . Esto significa que no

consideramos los valores coloreados, y multiplicamos este

vector por el determinante menor

que queda;

i

Paso B: Nos fijamos en el primer renglón y la

segunda columna, y los valores coloreados

coinciden en el vector unitario , por lo que

multiplicamos este vector por el

determinante menor que queda;

j

Paso C: Procedemos con el primer renglón y

la tercera columna. Ahora los valores

coloreados coinciden en el vector , por lo

que multiplicamos este vector por el

determinante menor que queda;

k

Paso D: Finalmente sumamos los tres resultados, poniendo un signo negativo al segundo.

( ) ( ) ( )xyyxxzzxyzzy

zyx

zyx babakbabajbabaibbbaaakji

BA −+−−−==× ˆˆˆˆˆˆ

rr

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BArr

× es un nuevo vector que se forma a partir de Ar

y Br

, y tiene las siguientes propiedades:

1. BArr

× es un vector en el espacio de 3 dimensiones.

2. BArr

× es un vector perpendicular a Ar

y Br

al mismo tiempo.

3. No tiene sentido calcular BArr

× en dos dimensiones, aunque y puedan estar en un mismo plano.

Ar

Br

4. La magnitud de BArr

× es: )(θsenBABArrrr

=× , donde θ es el ángulo entre

los vectores y . Ar

Br

5. ABBArrrr

×−=×

6. BArr

× sigue la regla de la mano derecha. Es decir que Ar

se proyecta sobre

cerrando los dedos de la mano derecha, y el pulgar señala la dirección del vector Br

BArr

× .

A5. ACTIVIDAD INDIVIDUAL. Aplique la definición y resuelva los siguientes problemas:

Sea ( )4,3,5=Ar

, calcule AArr

× Sean ( )4,3,5=A

r y ( 3,2,1− )=B

r, calcule BA

rr×

y ABrr

× . ¿Cuál es la relación entre estos últimos?

A6. ACTIVIDAD EN EQUIPO. Podemos aplicar un razonamiento análogo al seguido para las ecuaciones de las velocidades, al cálculo de las relaciones de la aceleración:

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Si derivamos la ecuación (F) con respecto al tiempo:

( )dt

rddtvda

rrrr ×

==ω

Para calcular la derivada de este producto, seguimos la regla de la derivada de un producto de funciones, excepto que tenemos que respetar el orden del producto pues no se cumple la conmutatividad:

dtrdr

dtd r

rrr

×+×= ωω

Aquí reconocemos dos términos:

αω rr=

dtd

y vdtrd rr=

vra rrrrr ×+×=∴ ωα

El primer factor es la aceleración tangencial, mientras que el segundo es la aceleración radial:

raTrrr ×=α

vaRrrr ×=ω

Por lo que:

RT aaa +=r A7 ACTIVIDAD INDIVIDUAL. Aplicar las ecuaciones para resolver los siguientes problemas.

Nuestro Sol está a (años luz) del centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea, y se mueve en un círculo alrededor de este centro a una velocidad de

lyx 4103.2

skm250 . (a) ¿Qué tanto le toma al Sol completar una vuelta alrededor del centro galáctico? (b) ¿Cuántas vueltas ha completado el Sol desde que se formó hace unos años? 9105.4 x

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A8 ACTIVIDAD INDIVIDUAL. Entregar un reporte virtual al correo electrónico del profesor y del ayudante, conteniendo la integración de los conocimientos construidos en esta actividad, que consiste en:

a) El mapa conceptual Individual, los elementos que se han ido agregando en cada punto.

a) El mapa conceptual del equipo. b) Las respuestas personales. c) Las aportaciones del equipo.

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