126

HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

^ yP¯�_agadOz*h�e

}|¾%�}�A¿>*�»o¿�·��¼N·*�^½(��?�=!{¿��@·*���o»x·;!o·�<�@¾-�+�A»o¹�¼>½:ºr�N·�·���Q¾Mº &�½:¼N¾#·�¹�·*��¼AºK@-�o¿��@¾!�° ��ä2ÿ� ��± �pÐ��(Ët·32{¼N¾#·��¼AºN·'*�½$!o¾�½Z¹�¾%�$·*�A¼A»=!{¿�½���¼N·*�C�° ��ä2ÿ� ��± �L���8k ¾M¹�»+��¿:@-�s½:¹P�oºN¾$5o¹�·'&�½9!o·(¹�½-�HºN·�¿��w½-�C�° ��ä2ÿ� ��± ���²�!º�¾��N½-��!o·�½-��¼A¿>A ¿:!x½$!.�oºN¾$�o»x·*�A¼>½-���w½:º>½¹�¾%�$·*�A¼A»=!{¿�½���¼N·*�C�

Ò � �

Page 2: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� ������� � ���� �� �� ������

������������ �� ��� ���������

���� �������� � ������ ��������

Page 3: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO
Page 4: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

������ �����

����������

� �� ����� �� ��� ����� ���������� � � ���� ������ �

� � � ��� �� � ���� ��� � ������� �

��� �� �������� � �� ���� � � � ��� ��� � � � � � � �

����� �� �������� � ��� �� � � �� ��� � � � � �

����� �� �������� � �� ���� � �� ��� � � � � �

��� ��� ���� �� ��� � ��� ���� �� ��� � � � � � � � � � �

��! �� ������ �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � "

� � �� ���� ���� � �� �������� ��

��� �� ��#��� �� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � �$

��� ��� ������� �� %���� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� ������ �� �� � �& �� � � � � � � � � � � � �"

����� ' ���� � � �� (�� �� ������� � ����� � � �)

��! �� ������� �� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � �*

� ��� � ��� ���� �� ������ � ��� � �� � ��� ��

!�� �� % ����+ ����� � ��,���� � � � � � � � � � � � � � � �!

!�� �� �� �� �� ����-����� � � � � � � � � � � � � � � �$

� � ��������� ������� ����� ��

��� � ��� ����. �� % ���� � ���� �� ,��� � � � � � � � !�

��� /����� �������� ���� � �0�� �� � ��� � � � � !!

����� �� �� �������� &���� � � � � � � � � � � � � !�

����� �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � !

����! �� &������ � ��� 1���� ��2��&� ��� � � � !)

Page 5: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� �� �������� � ��� ����������� ��� � � ����������

� !� �� � � � ������� ��

��� 3������� � ���������+ � ������ ����4 �� ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �$

����� ����4 �� ��� ���� �� &��� ��� ������� ��� ���. ��� �� � � 5� � � � � � � � � � � � �$

��� �� �� � - � �� ���- � �� ���� � �� ��� � � � � �)

����� ��� 6 ���-� ��� � �� �� � � �� ��� ��� ����� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � �)

����� �� 7���� �� �4#���� - �� ������ � � � ��

����! �� &��� ��� ������� � ���� � � � 3# � � � ��

" #�$��� � � %�&�� �' �()) �*�� � +����� �(

$�� �&� � � �� ��� � � � ���� � � � � � � � � � � � � � � $*

$�� '�� � � ����. �� � ����. ���� ��,���� � � � � � � � � $�

, -���� ����*� � ���&�� � ��� �.��� � ���� � "(

�� 3��� ��� � &��� � ���� ��� � ����� � � � $)

�� � ����� � &������ (�� ����� �� � ��� � � � � � � � � �

�! �� ������ ��� �� � � � ��� � � � � � � � � � � � � $

Page 6: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

���� �������

3���� � �� � �� ��� �� ��� ��� � ����� #���� (�� �������2��� �� ���� � � �� ���&� �� � � ,�� ���� ������ ��������������(� �� �����0� ����� # ���� � �� �� ���&� �� � ������� ������� ��� ������ (�� ���� �������� �� ���������� �� ��2�� � �� � ����� ��� ������� ������� � ����� ��� � ����� ������ �� ���� ��+ ����� � �� � �����8� �� # ���� � ������ ����� � (� ������ #���� ������� � �� �����0� ������2��. � ��� ������� ��� ����� ����. � ��� �������. ��� �������� ��� ����� �� ��� ����� ������

6��� ��� �� ���� #����� � �0���� ��� ��9� ��� � �� �� ��� � ��� �� ������� ��� ����� �� ��� ��� � ����� ���� ��������� ������� ���� ���� ��� ��������� ��� � �� ��� � �2���� �� ����� - ��� �������� � ���� �� � ���� � �� ���� ��� �� �������� ��+ ������ ����� �� �����: �� �� ��� ���� 0����� � ���������. ���� 5�������. �� ��� � ��� �� �� �. ���� ��� �� ������� � �� �����0� ��� � �� #� ������ �������� �� ����� �� �� # ���� �+ #����� � �0���� �0������ �� ���8��� �� ������ �� ����. ��������� � ���� �� �� � ���� ��� ������ �� ������ ��� ���� �� ��� � ���� �� ������� � ,��� �������� � �� ����� � �� ��� ��� ��������� � ��� ���� ������

��� �&���,�� ���� ���� � � ������ ��� � �4������ �� �� ������� - �� ��#�� � ���� �� ��4�� �� ���&� �� (�� �� ��2���� � ���� ��� ��� � ��� #���� ���� ����4 �� - ����������� � �� ���&� �� ��� � �� # ���� � �� ��� �������: �����&� �� �� ���� � � �� ��� ���� ����� #���� � � ������#������ - �� �� �������� ;'� �-�� � ��. ������. �� ���������� ��� �� � �� � � �����. ������ �� �� ��� ��� (������ �� ����� � �� �� #����< ;'-�� ���& �� ,���� �������� � �(����� ���&� ��< ;=�� ��� ���&� ���. �������<;=�� ��#�� ���&� ���< ;6�� (�7 � ���� (�� �� ���#������ �� #����� � �0���� (�� �� � ���� �� ���� ����� ������ ��� 1� �� ������ �� �������� ��� � ,�� ��� ����������<

�� �1�(���� �� ������� ��� � ���� � �� �� �������� �� ���(�� �� ���� �� �������� - �� ���� ������ '���� ������ ��2�� �� � ���. � �� �������� ���� �� ������� ���&� �� �� ���2

Page 7: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

����������

��� ��� ����. � � ���� ����� ���� �� ������ - �� �# ��� � �# ���.������� ��� � ��� �4��� ����� ��� ��� �������� �� �� ��� � ������&� ��� � ���� �����. �� ���� ���9� ��� �� ���� �� ��2���� - �� ��� �4���� ����� �4 �&� �� � ��� � ��� �� �����&� �� ��� ���� (�� ��9��� (�� ��� ���&� ��� �� � 2��������� ��� ������ � 1� ��� � ������ ��� � ��� ��� � ��� ���� ��� ���(�� ����� � ���� ���#��� � ������ -: � ��������. ���(�� � �� � �������� �� ��� � ��� #��� (���� ��� �� ������ �� ����� � ��0���� ���&� ��� � �� ������� ������

������� ������� � �� � ��� �7� �� � �� ��� � ��� ���&� 2�� � #� �� ��� � �1 ���� � ����� ��. ���� ������� ���� ��� ,������ ������ �� ��������. ��� ����. �� �,��2��� � � ����� �� �� ��� � � ��� �� ��� � � � ��� ���&� ��� �������� ������ � �. � ���� ��� �� &� �������� �� ����4 ����� ����� �� �������: ������ ����� � �� ��� �������� ���: #��2�� �� ��,����� �� �������� (�7 #�� ����&� �� ���� �������� ��� � �� �������� � ��� �� #����� �� ����� �� �� � ��� � ������ ��� (�� �4 �� ����(� �� ����� ������ ���

�� �����0 ��� �� �� ��� � ��� ���&� �� � �� ����� �� ��# ���� � �� ����: ��� 7 �� #� ���� �� � �� #� #������ ��#�� ���� � ��� ����� ��� � ��� (�� ���� �� ��,������� � �������� ��� �� ���� ����� #� � �� ������ � ���� �� #�� � � ��2�� ��#�� ���� ��� ��������� (�� ����� �� ���0� �� ������� ��� ���������� ��� (��#���� ���&� ��� �,�������2��� ��� � �� ������ ���& ����� �� ���� ��� ���&� ��� ���>�4 ��� � �&�� ��� ������ �� �����: 5����� ��� 7: �� ���� ����� #�� ��,���� �� ��������� ����� ���&� ���� ��������� �������� �� (�����. ����� � ����� ������� � ��� ��2������ � ��� ����. � ����� �� ����� �������� �� �� ������ -� ��� ������� �� ���������� ���� ������ '� ��� (�� ���� ����� � �� �4��� � - �� ������� � �����9� �� #��� ������ ���������� � ��� ���� �� ������� ���� ��9� ������ ��� �.�� �� ��. � ����4 ���� � �� ���&� �� � ����7� �� �� # �2��� �� 3����� (�� � ���� � �� �� �4��� �� � ������ �� ����������� ���� # ���� � ���& ��� ��� �������� ��>�4 ��� ��������� (���� ��� �� ��������� � ����(� �� ���� ���� ���

�� ���� �� �� ����

���� � �� �� �� ��� ���� ���� �� �������� - �� ���� ������� ���� ���� ����� �� ��� � �� ����� �� � (���� ���� �����2��� �� ������ - ������� �� �� ��� � ��� ���&� ��. � ���� ���� (� ������. �� ,��� �� � �� �� #����� � �0����. ��� 2�� ��� ��� � �� �������� - �� ��� � �� ��� ?�� � ����� ���2� ���� � ������ ������� �� �� ��� - �� � �� ��������+

Page 8: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

������. � ��� 7�� ��� � ������� �� �� � ����� ���� �������� �����7� �� ��� 1���� ���� ����� ��� ����� ��� ��� ,�� �� �������� ����. �����. ����� ���. ����������. ���� %��� �� ��2,����� �� ��#�� � ���� �� ����� � � �� ���7� ��� ���������� �� ����. ��� ,�� ��� ������� ���� ����� �� ����� @� �2��� �7� �����A. ��� ��� ��� ����� ��� � � ����� ���� ��,�� �� ���&� ��� ���� ������� ��� �� �� �� �� ���&����&� �� ��#�� ���� ��� ��� �������� � ���� ����� �� # ���2� �. �� ����� �� � �� �����������+ �������� �� � � 9���� �� ����� ��� �� ���8�: �� ����� - �� ��� � ����� �� ������� -.����� � � ������ �����. 0��� �� ����� � ��-� �� � �7� ���� �� ����� - ���� � �� ��� � ����� � � ����� �� �� �� ��� �4��� ��� �� � ,������ �������� �� ������ � �� � �� �� �(�� � �� ��9 7���� ��� �� ������ �� # ���� � � �� �� ������&� ��� ������ �� ����� - �� �������� � ���2������������ �� ��� � ��� ��&�� �� 2�� �2 � �� ��� � ��� ��-� �� � ��(�� �� � ���� � �� �� � #� �� ��9 ��� ��� ����������� ����

�� ���� � � � ��� ��� �������� �������� �� �,�� �2���������� ��������� � � ������ �� ��� (�� ����� �� � ��2��� � ���� �����7� � ��,��� �� �� ���&� �� ��. � �� (���� ��-� �� � �� ����� �� (������ �������� � ,���� ���� /����� ����� �� ����� � �� - ����� �������� � ���� � �� ����� �� ��# ���� � ���� ������ �� ���&� �� (�� ,��� ����� �� �� � ��� �� ������� �� ��� #�����. � �� ���� ����� ����� #����� ��(����� ���� �������� �� ��� - ���� B�� ��� �� ��� ���&� 2��� � ��� ���&� ��� ��� ���C �� � �� ��� �� ��� � ������ ����& � �� �7�� � �� ������ ������ - ����� (�7 �� � ���� (�7� ��� ��� ���&� ���� 3����� ���� ����� - ���� ���&� ��� �� �� � ����7� �� �������� � ������� # ��-� ��� �� �� ��0�� ���� ���� �����0��

� �� �� ��� ����� �� ������ ����� �� ���� - � �� �� � ��� -�� ���� ������ ���7�� ��� ���� �������� � ���� �� �� ���� � ����� �� ��� �. ���� ���� ������ ��� �� �������� /�� �42�������� � �������� ��&� ��� �� ��� ����� � � ����� (������ ��� ��� ��,����� ��� ������� �� �� �� ���� �� % ���� ��� � ������

�� ������ ����� ������ ���� - �� �&����� �� &���� � ���12���� � ���� � �� �� ,������ - �� ��������� ������

��� �������� �� ��� ������������ �� ���������� � ��� � ���� ��������-0 ��� (�� ������� � �� ����� �� �� # ���� � �� ��� ����� -��� 9 �� � ��� ��� ���

���������� �� ��� �� ��������� �

Page 9: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO
Page 10: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

����� �

� ����� �� ��������� �� ������ � �����

��������

Page 11: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO
Page 12: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

������

�� ��� ��������� �� ������

=�� � ��� �������� ������ � � ���� � ������ �� ��&��� ����� �������� �� ��� (�� �� ����� �� ����� ��� � �� �� �:���� � ���� �� #������ ����� �� ���� ��� ���� ��� ��(� � 2�� ������ �� ����. � �� ����� �� ��� (�� ����& ������������ ����2� ���� 6������� � ���� � �. � ������. ����� � ,�� � �������� ������ �� ��������. ���� ���� ���� � �� �� � �� ��,������ ��� �� ����� �� ������ �� �� ���������: �� �� ����������� ��� �������� �� ��� ������ #� �� ��������: �� �� 9�� ���. ��� �� ��� ��� �� ��� ������� ���� ��� � ,���� �� ��� ���� ��� �� �� � � ���� �� ��9� � ����7� �� ��� ����� �� � ��� ����������� ������� �� ���� ��� ��� � �� �� �� ���� � �� �� (������� �� ���� ���� 6�� ���� ������ ��,�� ��� #�� � ��� ������ �� ����� � ���9��� (�� � �4 ���� #��� �8�� � ��� ���� ������� ����� �� ����� (�� �1 #� �� ���������

�� ���&� ��. �������. � �� ��9 7���� � �� ����� ������4 ������ �*** �8�� �� # ���� �. � � ��� ������� ��2�� �� �4���� - ��������� �� �� � (�� � ,�� ���� �����2������� #�� � ��� ��� ���&� �� � � ������ 7���� � ���������� �� # ��-� ��� � ���� �����. ��� �� � ��� �������� ��������- ��� ���� ���� �� �� ��� �������� �������� � ���������� - �� �� �4��� �� � ���&� �� �� �� #�� ���� ���� ������ ��� ���. ��� �0����. ,���� � �� �� ���� ��������� �4�� ��� - � ��� ,�-��� �����- ��� ������������

� �� �������� �� � �� �������� ��� 7 ������ ����� �� ���� ����� �� �� #�� ��� ��� �� ���������. �� ����2���� ������ ������� � �� �������� - (�� ���� �� ��0�� ��,������� �� �������� �� ��������� ���� ���������� � ���2���� � (�� ������� ��� ��� � ������ � �� ��9 � - �� ����������� �����- ��� �� � ������ ����� ��� (�� ������� ������������ ������ �� �� ��� (�� #�� � ��� ������ � ���� � �

!

Page 13: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� ��� ��� �� ��������� ���������

�� � � ���&� �� ����� �� �������� �� �����0��� �� ���������� ��� �� �� � �� �� �� 3� �� ���� �� ��� � ����. ���������� �����- ��� �� �9��� ���� ��� &�. � �� ���� �2�� �� �9��� �� � ��� ����� ���,���� � � ������� ���������&� ���: ���� �� �������� �� � �� - �� �� ���&� ��. �� ���&� �� �� �� ��������. ���(�� ����� � �� �� �� ��4 ���� � ��� �7� �� (�� #�� ��� ��� �������

6��� ������� � �� # ���� � �� �� �� �� ����� ��� ���&� 2��� �� ������� ������ � ������� � # ���� � �� �� ��������+�� ������ � �� �� � � ���� �� ����� ���� ���� ,������������ �����- ��� ,�� �� �� ��� ������ ������ ���� ��9 ��� �� �� ���7�� ��. &� ���& �� ��� 1�����

��� � ��������� �� ������� ����������

�� �4��� �� � �� ��� �� ���� � � � ��� ��� �� �� � ����� �������� �� ���������� �� �� ��������+ ����� ����� �4��� ���2�� ��� �-�� ���� �� ��� � ��� �-�� �� ���� %�� 7 ��� ������� � ��� ��������� �� ������� �� �� ���� � ������� � �� �������0�� � ��� �� ���� � � � ��� ���. ��� �� ���� ���������2� ��� ��� � ����� �� ���������� ��� ���-� ���+ � ��� ��2 �. D1� ��� ��� � �� ��� ��� ���� ���� : E��� ��� �� ���������� 5��#��. �� � ��� ��� ���: ?���� ��� ��� 9���� ��� /��2���. �� � �� �� �� ������� �� � � 9���� �� ��� ��������� ��� ,�2��������� ��� � ���+ 6�� �0����. ������ (�� ?���� ��� ���������� �� /����� ����� ��� �� ������� � ���������: ��� E������������ � 5��#��. ����� �� ���. �� ��� � � � �� ,���� ����

� ������. �� #��#� �� (�� �4 �� ��� �������� ���-� ���(�� ��������� �� � ���. �� �� 9��� - ��� ��� � ��� �������. ��� ���� �� ��� ���������. � � � 9�� (�� � �� ��� �� �(������� � � ��� ��� �4 �� ��� �� � �� � ����� ���� ��� ������������� �� �� ���- ��� �� (�� ��� �������� ���-� ��� � ������2�� ����� �� ���� ������ ������

�������� �� ���� ��� �� !��� �� ���� ������� �� ��� ������� "��������#� ��$������� �%�� �� �� ��� ����� �� ��&'� � ��������� �� ������'� ������ �� ������'� �����#���� (���(� )%�%��'�����

��� � ������ � ����� � ��� ���� ��� ��� � �������0�� ������� # ���� � �� �� ���&� ��� 6��� � � � �� � ���� (�� �,��� 2����� �� ������� � ���� � �� ������ �� �� (�� ��� ���2��� ��������. �� ����� � # ��-� �� �� �� ���������� - (�� ���#����� #� #��#� ��� � ����� �� ���,������ ��������� ������������ �� �� �� ���� ���� ��� ���� ����

����� � ������� � � ����� � ������

%��� �� ��� ��� ��� �� � ������� � ���� ��� ��� ���&� �� �� ��� #��#�� �����- ��� � ����7�. ��� �0����. ���� �������� - �� � ���� �������� �� ��������� �������� ���1 ���� � �� (�� ,���� � ���� ��� �� ��� ����

Page 14: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� �� ���������� �� ������� ����������

����� ����� ������ ��� � ���� 55 � 555 ������. �� �������� *� ������ �������� ��� ���� �� ������� %�%��'����� ��� �� � �� ���+��������� �� ���� ��������� ���� ����� ���� �� ��%����� ����,����� �� �� ��������'� ��� ���������� �� �� ������&���'� �� ������ �-�� .� �� ��� �� .(� �� �������'� � �+� �# �������� ��� � ��� � ������� ��� �� �� ������� �� � ��� �� �� �� �� ������� �� ������ �����!��� �� ��,����������� �� ������ �� /�(� ���������� ����� �����#����� �� /����0��'���� ������ ��� ��������� �����!���� �� �� ����(� ������&������ 0���� ��� ���� ��� ������'��

��� �- �� ���9���� �������� ��� ����� ��� ���&� ����� ���� �����. �� �&����� �� ��� �� ���� �� �� ��� ,�� ���� ��� ������ ������ �� �� � �� � � ��� �� �� �� ������ ���2���� �. � ������. � ,�� ������������ �� �� �� ����� ����9� ���. � �� ���- (�� �,���� ������ ������� �� ����� ��2��� �������� ���(�� �� � �1� ��� ������ � ���9��� �� 2����� ��� ��0�� ��� �� �� � ��� ��&�� ��+ �� ������ ����. � � ��������� �. ��� �� �� ��� ������ � ��&�� �� ���� �� ����2��� � ���� ��� �- ��. �� (�� ��� ������ � ����� �� � � �������� �) - !* ����� ��� ������� �� �� ��� ��� � �� ������� ��� �� ���,��� �� �������� ���. �-����� � >��� ������������� �� ������� � �� �� �. ��� �0����. ������ �4���� ��2��� � �� ������� �������� ��� � � ��� �� �8� � �� ���� ��!* ���� ���� ��. � �8���� � �� ���� �� 9�� �� ���� �8�� %����� ������� � ���� �� ��� ��� �- ���. ����� ��� ��� ���� ��2 ��������� �� �� ,������������ ���

���������� ) ���������� �� �� ����� � � ����1 �� 0������ � �� � ��������� � ��������'� � �� 0������ ���� ������� ) �� �� �%��� ��� ��� �� ����� ��� ���������� �� �/������� ��� ���%�/�� �� %���!��� ,���� ��� ��,���&�� �� ����� � �������� � ���� �� ������ 234567 ������# ������� ) ������ � ����� ����� �� � �� �� ������ 23��56�

�� �� ��� �� �� ���. ��� �� ������� � �� ��� ��� �� ,�� ���� �� ������� � �� �� ��

��� ������� ��� ���&� ���. ��� � ��� ��� ������� #��� ���. �� ������� � �� ����� - �� �������� �&� ��� �� �� �7� 2��� %���� ������� ��� ���& �� � ����� � �� � �� ��� � �� ������� � � � ��� ���. ���� �� ��� ���&� �� ������ � ���� ��2���������� � �� � �� � �� � �� ������� � ��� ����� �7� ������������ ���� � ���� ���� ���&���� ���&� �� �� �� ���&� ���� �� ���� � � � ��� ��� �� �4� ��� ���-����� � ����� ��2� � ����� � �� � ���� �� � ��� ����� �������� ��� ��� �0������ ���� � �� ��� � -� ���0���� �4��� ����� �� ����� �������� �� .� (������� �� �������!� �(� ���

� ���������� ���� �� �� ������� ������� ���� �������������� �%�� ���� '�� � ������ ) ������ ������#����7 ��� �� %�%��'������ �� ��������� �#���� �� ���� �) �,��1���� ��������� ����� � (��������1 �����#���� ���� �� ������������� �%�����������

����� �� �� # ���� � �� �� ���&� �� �� �� ���� � � � ��� �������� ������ � �,����� �� � � - �� ������� �� �� ���� ��� ���2����� �� �� 7����� ���� ��� ��� � �� ������ ����� � ���9��(�� �� �����0� � ������ ������ �� ���� ?�� �. �� (�� ������4 ����� � �� �������� �. �� # � ��� ������ �� � ��� �������. ��� �0����. �� ����� ������� ��� ������ ��� �� �� 7�����

���� � ������� � � !���� "���#

/������ ���� ��� �� �� ���&� �� �� ��� � ���� �� ��,����� �� � ����. ��� ������ � �� ���� �� ��� �� � � �� ���.� � (�� ��� ����� ��� &� �� ���� �� �� � �������� ���&� ��� �����- �� �� �� �� ��� ���� � ,���� ���� ��� � ,��� �� ��2��� ��� ��� � ������ �� ��#�� � ���� �����7� �� ��� �� � ������ ��� (�� � ����� �� ������ ��� �� ���� �� ���� �� ���������� ��� �� ������ �� � ����� � �� �������� ��� �- �� ��� �� �. ���� � �� (�� �� ��9��� � ��� ������ ��� � �� ���&������-� �� �� �� �� �� ��0�� �� ���. �� ����. ���������� ����� ������� �� (�� ������ � �� � ��� � ��� ����� ��� ��� �8�. ��� (�� ��

���������� �� ��� �� ��������� 8

Page 15: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� ��� ��� �� ��������� ���������

���7� ��� �� �������� ���� - �� ���� ��� ���7� ��&�� �� ����� �������� ��� �� � ������� ��

6��� ������ �������. � �-�� �� ���� ��� � ���9��. � ���� 7 �� ���� ��� ��� �� � ����� �� � �� ���� � ��� � ��� E������ ����4 ������. ���& �������� ����� ��� �� ������������ ����-��� �� ���� ,����� �� �������� ���� �����2�� ���� ���� � �7� ��� (�� ����� ������� #���� ��������2���� � (�� � � ��� ��������� �� ���� ���� �����������7�� �� ����� �� ���� �-� �� �� �&������ � �������� ������� ���� ������. �� �� ��� &� ������ ��� # ���� 2������ �� �� �� �F����. ����� � ���� ��� ����������� ��� � ���������� ��� �- �� �� ��� ������ ��� ��� ������������� ����-��� �� ���� � ��� ������ ����. � �����+

�� ��� �� �������� �� ,������ ��� � ���:

�� ��� �4������ ��� ��� ���� ��� ��� ���. (�� ��� (� � ���������� (�7 ������ � �� � ���:

!� %��� � ���&���� ��������� �� @�4������� �� ��� 1������� �������� ��� ���� ����� � ��� ���� ���� � �������A

� �������� �. �� ������ - ���-� �� ��� � ����� ,������ �� �� ��� �� ��� � �� �������� �� ��� �� -. �� �������. � � ����� (�� ������� � �� �� ����� �� �� � ��� ���� ��� ��� � � � ���� ��� �4�� ��� �� ��� � �� ���� ���,�� �� �� �� ,��� �4���� ����� ��� ����

��(�� �� ���&� �� �� ��� ��. �� � ,���� �. �� ���� &� ���� ���� �� �� # ���� � �� �� ���&� �� �� ���. �� ���2���� � ������ �� � ��� (�� �4 ��� ������ �������� ��� ���� 1 ����� � �� �������� - �� ����� ���. � � �� ����� �� �� ���� � - �� �� ���� � # ���� �� 3�� ������ � ���(� ��7����. ��� 7 ��� ���� ����� �� ���� ���� ������ � � ����� �2�� �� ���������� �� ��� ������ ���� ������ � �4�����2�� # ���� �� (�� �� ��9��� �� �����0� �� ��� ������������� �����. ��� �0����. �� ��� �� ��#�� # ���� �� ����� �������������� � ��&� #7���� � ������ � ���� �� # ���� � (���� ��� ������� ��� �� ������� ��� ����� �������� ����

���& ��� ������ � � ������ ,����� ��� �� �� �� ����-���� ���. ������ (�� ������ ������� �� ��� ���� �� ���� �� - ��� ��� ��� ����� (�� ���� ����� �� �" �� ?��� ��� �8� �"� �������4 ��� �������� &� (�� ��9� ���� ���� ��0������ (�� ������ �� - �� ���- � �� ���� ��� �� ��� �������� ��� (�������� � ���� #���� ������ ��� ��� �� ��. � (�� ��(�� ���2 ��� #���� ���� �#� ��� ��� ��� � ������ #���� �4�� ���� ��� (�7�� ��������� G���� �������. � ������. ���� ����� (�� ������ �� - �� ��� ��� ���� ��� ��� ��� ��� � ���� �� ���

$

Page 16: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� ��� ��� �� ��� � ��� ��� �� ����

������� ���� �����- ��� �� � �0���� &� ��� ������������ ��� # ���� ������ � �� ����� � ��� �� ��� �������0�� # ��-� ����

=���� �(�� #��� �������� ������ �������� �� �� ����������� �- �� � �� �� �� �� ����� � �� ��� ��� ���� �� ��� � �� ���.��� (�7. �-� � ��&�� �� �������. �� ��� � �& �������� �� ������ � �� ��� �� ������� �������� ��� (�� ,���� ��������� ���� ��� ����� � � � ��� ����

��� ������� �� ��� � ������� �� ���

6��� �������� �-� �� ������� � ��� ��� �� ��� �� ������ ������ ,� � �� ���� �� � ��� ��� �� ���. ��� (�� ������������ ����+ H ��� ��� �� ��� ����� ������ ��� �-�� � �� �������� ��� ����� ���� - �� �� ����� �� �� % ����. ��� � ��������� �� 9���� ���� �� ������� � ��� ��� ����� �� ��� �����7��� ����� � ����� ��� � �� ����� ��� � �� ��� �� ��������������� ��� �� % �����

H ��(��� ���7�� �� �� �� (�� ������ � � ��� ��� ����� �� �� (�� ������� � �� 9���� ���� �� ������� ����� ����� ���� ���� �� % ���� � �� ���� � �� ����� �� �� ��� �������� �� % ���� � ��� ����. ������ �-� �� ����� ������ �� ������� ��� �� ���� �� ,��� ����� �� � ��� ��� �� ����� �� ����� � ������� ���� &� (�� ��� ����� �����6��� � ����� ��� ��� ���� �� ��� �� �������: � ����� �� ��� ��B���� ��� ��(��8�C ���� ���� � �������� �� � ��� ��� ����/���� ������ #����� �� �� -�� �� �� �� ��� � ���� � �� % �������� �������� ���� 1�� � ��������

�� -�� �� (�� ����� �� �� ��� � ���� � �� % ���� � ��� ������. � � (�� � ��� �� ����� &� ���� ���� (�� �� ����42 � � �� �� ��� &� (�� � �� � ���,���� �� � �� 9�����1 �� � ���� -. ��� �������� � ���� � �� �#��� (�� �� -�� 2�� �� �� ��� � ���� � �� % ���� �� ����� ��� 3���� �� ������ �� ��������� �� �� % ���� �� � ���� � ����� �� !���"�* I ��*�� �* I� ���� ��� �� - @� �!J ����4 ������A #��� (��������� ���� ���� ��� 7 (�� �� ���8� ����� � �� ��������� -� %����� �� % ���� �� �� �� � ���� � �� ��� ���� � ��� ��� ����� ����� �� �� -�� ��. � � (�� �� ��� �� -�� ����4 ������ �� � !.!J� � �� ��� ���� ����� �� �� % ��2�� ���� &� ����� (�� �� ���. � � �� ��� ��� � �� ����� � ������� ���& ������ � ������. � �� �� (�� �� ���0� ������&� ��(��8� � � ����� � ���� ���. ������ 7���� ������ ���� ��� ���� ���

���������� �� ��� �� ��������� 9

Page 17: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� ��� ��� �� ��������� ���������

SOL ������ ����

:��� �� ��%�� �� �� ;�����

K ���� ���+ �������� �� � ��� ��� �� ���

�����������

:��� �� ���'� ��� ���� �

K ���� ���+ �������� �� � ��� ��� �� ���

��� �������� �� ����

��(�� � �� ���� �� �������. ��������� � ����� � � -����4 ������ ���� ��� �8�� !�* � �!* ������ L��� �- � �����,����� ��� ����� �� � ���� �� � �� � ���� ����� � ����- �,������ �� # �-��� � (�� ����� ��� � �� � ��� ME5 � ����������������. ���� �� ���� �� ������ ��� ��� �� �����. ��� ,������ - �� �� ������ #�� ��7�� ��+ (�� �� ��� �������90� � �� % ���� ����� �� �� -�� �� � ���� � 7��

��������� ���- ��� �� ��� �� - ��� ���8� ��� � �2��� �����. ���� ��� �������� ���������� � ���� � �� ����� � �� # �-��� � ,�������� �4���� ����� �� ��� �� �����2��� - � ����� ��� ��� � �� �� ���� ����� ����� � �� (�� �������� �������� (�7 ���������� ������ � �� ���� ��� ������ ���� �� ��� � &���� ��� ��� � �� �� ��� � ���� � ��� � &������ �� % �����

H� �� ��� ������ &� ��������� ��� �����0� �� ����������� �� 7���� �4 �&� �� (�� � ��� � ��� �������� ���� �� ��2#���� � �-� �� ��� ����� ��� �� ��� �4 ��� (�� ���� ������������ ���� �� ����� �� ���� ���. (�� � �� ��� ����� �������� ������� ���� ����: � 7���� �� � ����� # �-��� � ���� ��� ��� � ��� ���� ����

��������� ����- �� ��������� ������� ��� ������ �� ��� 2� - ��� ���. �� % ���� � �� ��� ������ � ��� ��� ����� �� ������ ������ � �� ������ ��� (�� ������� �� ��� � ��� ����� � ��� �������� ��� � ����� �� �� 9���� ��! � �7� �� �� ������2� ��� � ���� � �� � �#�� ������� ��� ����- �� ��������� ��������

"

Page 18: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� ������� �� �����

LunaTierra

Sol

K ���� ��!+ ' ����� (�� ��������� � ��� ��� ����� �� ���� ��� ����� � ���& #��#� � ������� �� ��0�� �� �� ��������� �������� �� ��� �� - �� ��� � �� ��� ��� � ���� % ����N���N����

�� ������ � �� ���������� ��������� ��� ��������� �� �� ������ ������ 2�� <�6 �� ���������� �����'����=

>���� ��� ?�� 9�9����>���� �� �� ;����� @�AB�>���� �� �� ��� ��9AB�BC������� ;�����D?�� �E4�@84��@�C������� ;�����D��� ABE�884�99

� �� ���+

�� '���� �� �� ������� - ���� �� � ���� � � �� % ������� ��� � �� ����

�� '���� � (�� ��� � &����� ��� ��� � �� �� ��� #� �� ������ �� �� ������� -�

!� '���� �� �� � &���� �� �� ��� � ���� � ��� � &���� ���� ����� �� �� % ���� � �� ��� ������ � ��� ����

����� ���� ���������� ��� � ��� � ��0�� � � ����� ��2� �� �� �� 9���� ��! (�� ��������� ��� ������� ��� �2��� ���8�� � � ���� �� ����� ��� ��� � ���� % ����N���N���. ���� � � ����� �� ������� ��� ���� � ,�� �������������� � ��������� ��� �,����� ��

�� ������� �� �4���� - ���� ��� ��� �� ��� ��� � �� ���� ���� � ��� ��� � �� �� % �����

��� ������ � ��� ��� - ���� �� �� ����� ������

�� �� ��� �� � �� ��� ��� �� � �� �! ����� �"� ���

� #��� $%&�" ������ ��� �� ��� ��� �� ��'������ �

()! ����� �"�*+

���� ����� �� #���� ������� � ���� ������ ����� ���������� �� ������� - ���� �� � ���� � � �� % ���� ��� ��� ��� ���� �� �� ��� (�� �� ����� ,�� ������� � ���� �� ����!�������. (� � �������� - �� ������� - � � �� �� ������������������ ��� ��������� ��� ���� �� ��� �� ��0��� �� �� % ��������4 ������ �) ����� ���� (�� �� �� �� ���� ����� ���2�� �-� ����- � ���� ��������� � ���� � ������ �� ��� # �-��� �.(�� �� ������� � ��� ��� -�

���������� �� ��� �� ��������� 4

Page 19: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� ��� ��� �� ��������� ���������

� �� ��� ��� �� ��� ��� ����

� 3���� �� ��� ������� �� ��� �4&������ � �� 2���. �� ������� (�� ������ �� ����� �� ��� �� �� ���������& �4&������ � �� � ���� - �� ������ � ���� @9�������A�

L

T S

���

;�����

� � ���

?��

� � ��

K ���� ���+ ��� ������� �� � �� ,��� � &���� ����� � �

������. ������ (�� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� N���� �� ��(�� �9���� � �� �� ��� # �-��� �N. � �� (�� ��� (���� % ���� � �� ��� ,��� � &���� ����� � �� ���� �����(� �� ���� ���� � ����� ����� (�� �� ������� (�� �2� �� � �� ������ # �-��� � ���7 � ������ � ���� � �� �� � ��� (�� ��� �� �� ��� ��� ����

� ��� ���� �� ��� �� �� �� ���� ��� ��� &����� ����������� �� &���� ���(�� �� ��� ���� ��� ��� ���� &�����.�� �� ����� D�� ,���� ��� ���#��

(�� ���� ���������&��� � ���#�(�� �� ��������D � � ����%�� �������� ���#�(��� . ���� ,������ �� ���� �� �� ���#�(�� �� �(��� ��� ��= �� � ��%�� ��,������ ���#�(�� �� 0���� ������ �� ���(���� �� ���� ���� � ��%�� 0����� �� �/�� ��� ��� � ������#����� "������ � ����&�� � ����� ,���� ������(���� ��� � ��� �� � ������������� ��%���!�� ����� ����

�� � �� &���� ����(� ��� (���� �������� ���� �� ,���.��(�� � �� �� �� �� ��� ������ � ������. �� ������� ��� ���� �&������ �� ���7�� ���. � ����� ��� � ������0��� �� ���� �� � ���� ,�� ���� ��#� &���(��8�. �������� ������ �� ������� - � �� (�� �� �2������ �� ��� ����� �� ��� ������ E�������� ����� ����������� � �� �������� ��

6����� (�� �� 1 �� ����4 ���� ��� �������� - �� ����� �� (�� �� �� ��� ����� �� % ����. ,����- ��� # �-��� �(�� 7��� ��� �� ��� � ��� ����. ���� (�� �� �� ��� �������� &����� �� �����. �� ������� ���� (�� ��� �� ���

��������� � � ����� �� ,-����� �� ���7�� ��� � ����-�� �������'� ) �� ������� �� �� �� ������ �� �� #�(�� ,� � ��%���� ��,!��� � �� ���(� �� �� 0�������� ����� �� #�(�� � ����� ��� ������ �� �����,������� �� ����� �� ���%���� ���� ���� ���� �� ��� �(��FG����

�� ��������� � � ������ �������� - ���7�� �� ���� �������� ������� - � ����� - � �� (�� � �� ��������� �(������ ����- � �� ������ - �� (�� �� ������� - ������� ��� �� � ������ ������� - (���� �1 �� ��0�� ��� ����� ����. ���� ����4 2������ �� ��� �� ������� ��� ��� ����� &� ���0��� �� ��% ���� (�� �� ���� � ������. �� �������� - �� ��������2��� ������� ����� � ���� �� � ��� �-� ���

H� �� ��� ������� ���� ��� ��� ��������� ������ � ������4 �� - ���� �� &���� (�� ,��� � �� % ���� ��� ���2

�*

Page 20: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� ������� �� �����

���� �� � ��. (�� � ��� �� ���. � � ��#� &� �����+������ 6�(��8�� ��� �� ��� � ��� &����� ����� �������������� � ,���� �� � �� ������� - ���� ��� ����� �� � �� &��2�� N����� ����� ���� &����� ������� � � � ��N. ��� ������� ���� �����

-� .� ��� �� ����� � �������� �� �� ��� ���� ���

��� " � #�� � �� ����/� ��� ��� ���� ����� ���

�� ���0� �� � ���� ��������

�� ������ ������- (�� ��� � &����� ��� ��� � �� �� ��� �� .� �����#���� � ���� �� �� ���#��(�� �� ���������� � ������ �� ����� ,����� ��� �� ������������� ������ ����-�� � ���#�(�� ��� ����� � ������� �� �� ,����� ������� �� �� ��������# ���� ���#��(�� ���/���� �)� #�(�� ���(��� ) �� ���� ������� � ������)�� �� ��� �� �� ���� �� ����'�������� ��%�' ����� �8 ' �� �-��� 1 �� �� �������� ����%������ ���������� �! �� ��%!� ��������� �������� H����!� �� ���/��&�I �����%�� G��� .� �������� �%!� �� �����#�(�� �� ������ #�(�� �(����� ���/���� ) �� �� �� ����� ���� �� �� ����������

�� ��� ��0� �� �� &���� � ����� �� % ���� @=�� ������ (������ &���� �� � ��A. �� (�� ������� �� ����� - �� (�� �� ���� ��� ���� �� �� ���8� ������� ����� ��� �������������� �� % ����� ���� #��#� (������ ��9���� � �� �������� -�� � ��� ��� ����� �� ����

������. ��� � ��� �� ������ � �� 9���� ���. �� ������� -� �� (�� �� ������� ��� ���8�� ��� ��� � �� �� ��� �� �� �� (�� �� ������� - ���� ��� � ���� �� � �� % �����

� ��

���

��

� ����

K ���� ���+ ��� �� &����� ��� � �� �� ���0����. � ��� ������ ��

�� ��

��� '� �(�� �� ������ (�� ��� ��� �� ��� ��� � ��

��� ���& � �� �� ������� - (�� ��� � ���� �� � �� % �����

��� ����. � �� ������� - � �� (�� �� ������� ��� � �2��� �� � �� % ���� �� �� ��� � �� ��� �� �� �� � �. �� ��������� - �� �����& ��� 7 ���� ��� � &����� � ��� ����� (�� #����� � ���� � �� �#��� �� ��� ��� �-� ����� �� ��2��� ���8�� �� �� ��� � �� �� % ����� � �� �� �����. ���� (���� � ����� (�� ������&���� �� � � � �� 9���� ��! (���� ��2��� ���. ��������� �����- �� ����� - ���� �� � &������ �� ��� � �� � &���� ��� ��� (�� ���������� �� ����� �� ��% ���� � �� ���� - (�� �� ��� �� ���������� ������ � ��� ����

(� # ���� ��� ���� �� ���� ��"�� �� �� � ��

�� �� ��� ����� �� ���� � #�� ��� � �� ������� �� ��

��� ����� � ���� �� � #���

3�� ������ �� ���� �� ��(��� �� �� 9���� ��� � �� (����������&���� �� �������� �� � ��� ��� �� ���� ���������������- (�� �� � ��� (�� ������� �� ��� ����� (�� �����2�� � ������� ��� �� ����� �� �� % ���� #���� (�� �� ������ ��2

���������� �� ��� �� ��������� ��

Page 21: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� ��� ��� �� ��������� ���������

�������� ��� �� �� #���� ���&�. �� � ��� (�� ���������������� �������� �� ���� �������� �� �� ���������� �� �� ���� � ��,����� ) �� ����� �� �� ����%�� �� ���� � 0� ��������� �������������� �� ��%�� �� ���������

����� (�� ������ ���������� ������ #���� (�� �� ������������������� ��� �� ��� #����. �� ��� (�� �� ��#��� ��� ����� ����� ���������� ��� �� % ���� � �� ����� ���� �� ����� ����� ��� �� �� ��� ����� �� ��#��� �� �� ���. ��� �� ������� �� 9���� ��$�

TIERRASOL

K ���� ��$+ �� ��� � �� �� ����� �� �� % ���� � �� ��� �� ������� (�� �� � &���� �� �� ���

1� 2�����"� ��� �� ��� �� 343 ����� ��� ���� ��� � ��

" ��� 0� �� -4)5 ����� ��� ���� ��� � #��� $%&�" ������

��� �� ��� �� 166 ����� ��� ���� ��� � �� " ��� 0� ��

��'������ � (437 ����� ��� ���� ��� � #��*+

K 07��� �#��� � �� � ����� (�� �� ������ � �� 9������ . �� (�� ������� ����������� �� ��� � - ��� ���. �� % ����� �� ��� ������ � ��� ��� ����� �� ���� � �� �� ��� � ������. (�� ����. ���1 ���������. (�� �� �� ����� �� ��� � �� ������ � �� �� ��� � �� �� ���. (�� ���� (�� �� �� ��� (���� ��� � �� �� ����� �� �� % ���� � �� ���� �� � �� ��.������� �����. ��� � ���� �� � �� � ���� ��� ��� � �� ���. (������ (�� ���& � �� ������� - �� � ��

��� �� &����� (�� ������� ��������� � �� 9���� �� �����0����. �� ��� (��+

��� �

����

� ��

��� �

��

� ��

��� �

� �� (�� �� �� ��+

��� � ��� �� �

��� (��+

��

Page 22: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� ������� �� �����

���������������������������������

���������������

�� � �� � ���� � ��

�� � ���

� �

�� � ����

��

������ ��� #�(�� �(����

�� ���#�(�� ��%����� �� ���/����� ��� ��

K ���� �� + �� � ���� % ����N���N��� �� � ���� ��� �� ������

� �

��

O �#��� �� ������� - �� �� ��� � �� ��� �� �� �� ����������� �� ������ �� �� ���+

� ��� ��

��

�� ���� ������� ����4 ������ (�� �� ��� � ��� ��� @������ &����A �� �� � ����� �� ��� � @����� � &����A �� �� % ����. �(�� �� % ���� �� ����4 ������ �� �� ����� &� ����� (�� ������ @P����� �� ��� �&������ �� �� ������ � � ��� ������QA�

=��#�� ����� �&������. (�� #���� �#��� �-�� ������� �� � �2��� �� � ��� �� B����� ���C. ���� ������ � ������ � ,��� ������������� ���� ������ � �� ��� �� - ����� ��� ���� �� ���8��� �� % ����� H� �� ��� �&������ &� ���� ��� ���� ������ ������� �� �� ��� ��� �� ��� ���,���� � �� �� % ���� ,�� ������� ����� ��� ����"���� � ��� � �� � ��� 555 ����� � ������ ��� ������ � �� �������� !�

���������� �� ��� �� ��������� �A

Page 23: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� ��� ��� �� ��������� ���������

�������� �� ������

� /�� �0 �0 �� ����� ��� �������� D��26 ���� E����. �)))��+ �RH ����. ��� ' ��4. ��� =���� L7� �� ����� ��� �� � ����� � - � ���������. �***+ �� � �����. ��� � ����. ��� #������������. ���� ��������. ���������

� /�� �0 �0 8���� � " � ����� ��,0�� �� � ����

��������� ����� D��26 ���� E����. �) !� �+ ?��#� �����7� �#�� ��� ������ %������ �� � - � ���������. �))!+ ? ��� ���� ��� � �� ���� � �� ���� �� �� K ����,��. ���������

��

Page 24: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

������ �

�� ����� �� �������������

�� ��#�� ��� # ���� ������ �� ���� (�� ��� ���� (�� �� ��2������ ,�� �������� ��� �� ��� ��� � �� ���+ L���� 55.����4 ������ � �� �8� �!** ������ � ��� ���� �� � ���� ������� � ������� � ������ ������ ��� ��� ������ ����� ����� �� ���� ������� 3���� ��� �� � ��� ���� ��� ��� / �� ����� ����� � ����� �� ��� ������� �� ����. �� �4 ��� �� ������ - ������2� ��� � ��� ��������

���� # ���� � �� �� �� � ��#�� � ���� �� ��4�� � �� # �2��� � �� �� ���&� �� �������� � �� ���� ����� ���� �� ��� ������� �� �� (�� ��������� ���� �� ������ �� ��� # ���� 2������ ��������� G���� ��������� ��� # ��-� ��� ��� � ,�� 2��� ��� ���� �� �� �� �� �� �������� � � ������ ��� � ����+ ��������� �. ����� �� � �� �� �� �� 5� �. ����� �� �� �������2� -. ����� �� �� ���. �� ������� �� ,��� � ����� ���1 ����� � ���� �� � - �� � ���� � �� 1 �� ��� � ,�-�� #�2 .� ��%���� �� ��������� � ������

�� �)� #��� ,��� ����������� ���� � �!���� ����7 �� �� ������� �#�(�� �������� ) �� �� � ����� ��%� �� ��������� ���� ����&����� ��(�� ) ��� # �� �� ���������� ��� �������� �������� � �� ��������� ����� �� 0��� �� �(�� F�F��� � ������' �� �� ��� ��%��� ������������ �� ����'�� �� (��� ���� �� �� ������'� ��� ���������� �����#���� (���(� ) ������� ������������ �� �� ������� �� ������� ���� ��%�����

� ���� � �� ��� � - �� �� ���� � � � ��� ���. � � � ��� �� ������� �����������. ��� �0����. � ����� ��������. ������ �� ��2������ - ��� ���� ����� ������� �� ������� �� ������� ����� �������� ���� &��� ��������� �� �� ��� �� ��� &���� �� ������� ����� � ����. �� ,��� ��� ����� ��� ��� ���� ��������� ��������� ���1 �� ����-� �� ��� ���� 9� � � ������ � ����������-� ��� ������ �� �� ,��� ��9 � �� (�� ����� ����� �� &�������� ������� � ���� ������� � ���� ������� �� ��������� ��� �� ������ N#����� � �������� �� &��� �(� ������ ��� �� � ������� ���� �� ����� � ���&�N. �� �� ��� ����������&� ��� � �� ���&� �� �� ��� �� �� �� �F�����

��(�� �� ����� �,��� ����� �� �������. � ����7� �� ������������ ��� ��������� � ���� �� #���� �� ���� �������: ���#��#�� # ��-� ��� �� ����� � ���� �� ������� (�� ������� ���� � - � �� >��� � �� �������� ���� �����

��

Page 25: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� !�������� ��� ���� ��������

�� ����� - �� �������� � ��� (�� �� #� �� �������� ��� ���� � ���� � (�� � �� ��� ��� �� � � �������� �� ��� �� 7�� �� � � ��� ������� �� �� � ��� - �� ������������ ������ ���7�� ���� � �� �������� ���� �� ��� ���� �����0��� �� �� &����� � �������� �� �&����� �� � ���� �������- ���: � ���� ����� ����� ��� 7 ������ ���������� �� �� �� � ���� �� ����� ����. ���� � � ����� &� ���� ������� ���� ���� ������ ���7�� ��� ����� �� �� ,�2� �� ��� �� ��#�� �� ��� �7� ��� ��������� � ���������� �� ���� �������� #�� � ��� ���� ��� �� ��� � �� ����� ������� � �� 9� ��: �� � ���� � � �� (�� � ��0�� �� ���0����� ������ ���� �� ��: ����

�� ����� � ���7�� �� �� ��� �������� �� ��� ����� #�� �� � � 9��� �� � �� # ���� � �� �� ���&� ��� � ���� �.��� �0����. �� ���&� �� �� ��� #�"� � ��$����%� ��2�� � - ������ �������� � ��� (�� 1 ����� �� ��,���� � � ,��2���� ������� �� ��� ����� � � ��� 1�� ���� �������� (���� ����� #���� ���� � ���� ���� �� �� ������ ��� �������� �����&� �� ������ ���. ��� �0����. ���& ����� �� ��������� ��� (�� �� #��� ��,���� � � ���� � �� �� ��������� %�� 7���� ��� ����� ���&� ��� �# �� �� �� �� �F���� ������������� �� ��� ����� �4���� ����� � �������� �� ��� ������� ������. ����� ����� �������� ������ ��� � ����� ���� (�� �� ���&���� �� �� ���&� �� ��� � ������ ��&�� ����� �������� � ��� (�� �� ��� �0� ���7�� �� ������ � ������ ����� - �� ����� ����� ��� ���. � �� #���� � �� ���������� �� 7���� �� ���� �� �� ���� � �� (�� � �#�� ���������� ���� � ����

��� � ������� �� �� ���

�� �� ��� �� ��� �������� �� ����� � �� �� ��� 3# �� ��� ��� &� �� ���/���. ���� �� � �� �8� �$! ������� ) ������2�� (�� ����� ����� ����� �� �&����� �� � ���� �� ����� ������&� �����. ��� 7����� ���7�� ��� �� � ����� ���� �� � � �2��� �� �� ������� � ������� ����� ��� �� ������� ��� ������� ��� ����� �� �� &����� � ����� �&������

� �� �� ��� �������� �� ������ �-� �� � �� ��#����� � ���� �� ����� �,���� ���� ���� �� ����� - � �� ���+

3������� ���� �������. � ���� � ���� � �� �� ����. � �������� �����. ��� � ��� ������ �� 9���� ���� '���� �� �42���� �� �. ������� �� � ���� � �� �� ��� &� ������ ��� ���� ������ �� ���� � �� (�� � �#� � ���� ����� � �� �������������� � �. �� ���� (�� ��� ����� ����� ��� ���&�� ������ '�� �� ���. ������ �� � ���� � �� ���� �� ���

�$

Page 26: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� ��� ������� �� "����

� ������ �� ���� � � �� ������ �������� � �. �� ��� ����(�� ���� ���& �� ������

A B C

G E E’ G’

H H’

F F’

D

K ���� ���+ ��� �� &����� ��� � ����� �� ���������

%������ � ��� ��� - � �� �� ������ (�� � � ����� .� �� �#������ ��� ������� ����#�(�� ���(����� ��� �� ���#�(������ �� �� �(�� ����� �������� �� ������� ������� �� �� ����� � ��������� � �/� �� ������

2�� �������'� �� �� ����� ���������� � �(+� �� �(�� ���6 ) �-������ ��1����� �� ���� �1����� �� ����� � ���0� �/�� .� ���� ���#�(���� �%������ � ���(����� ��� �� �������.� ����� �� �� �(�� ���(���������� (��� �� �������� �� �� �������'� �� ��%���� (���1����� )���� �� (������ ��� � ������ �������� �� � �� �(��� �� �� ��%����� �� ��#� �(����� � �� ���(� �������� �� ������(����� �� ��� �� �����#�(���.� �1����� (���1������ � ���� ���� ���#�(�� �� ���(����� ������ ����� ��� �� �� � ���� ��������� � ���������� .����� ������ ���������� �� ��� ����# ���� �����!�� �� �� ������� �%������ �(�� ���(����� ��� �� �������=�� ������� ���� �� ����&�� �� �(��� � �� ���(� �� �� ����� ��� ����) �� ���� ��� �� �� ����#�������� �����&���'� �� �� �� ������������� � ���������'� �� �����(��# ��������� ���#�(�� �)����� ) #�(�� ��������� �(����

����� � �� � � �� ������ �������� � � � ������� � 7������� ��� ����� �� � ��� �� �� ��. ����� �� �����. ���� �������� �� � �� �� ������� �� �� �� �� �� �� ��#��� ��� ���(�� ����&�����

�� 7���� ���7�� �� ��� ���� � ���� ������� ,�� �����(�� #��� ������ �� ��� �� &�����. ������ � ,��� � ���8�.(�� �������� � ���� � �� �#��� ������ �� ��

� �� ������� ���� ��. �� ��� � - �� (�� ��� ������� ��2�7 ��������� � �� �� � ���� � �� �� (�� ��� �� ����� ������� ��� � - �� � ������ �� 9���� ��� ������ �-� ����� ��� ���� � (�� (������ �� � � � �� ���� ��� ���� ��� � -�

A B C

E’ G’G E

H H’

D

F F’

K ���� ���+ �� ���� � �� ��� � - �� ������� �� � ���� ����� ��� �������. ��� �� &����� ��� � ����� � �� ��2�������

��� �� ������� �� �����

3���� ��� # ���� ������ �� ���� (�� ���� � �0- � �� ��� �(�� �����0� � ���� � �� ����� � �� �� ��������� ������ ��2� ������ ��� �� �� ��� ��� � ����� �� 8���. #������� �� ���� ��� ��� � ���� ��� ������������ �� �� � �� � �

���������� �� ��� �� ��������� �9

Page 27: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� !�������� ��� ���� ��������

�� ��� �����. � (� ��� �� ��� ��� ���� � ������� ����� ��� ���� ��� - ����� �� �� ��� � ������ �� ���� �����7� �� (�������� ��� � ����� ,�������� �&���� #��&. �� �� ��� &� �������� # ���� ������ �� �� ���&� �� �� ��� ��� ���� (���� ���� �� � - �� ����,���� - �� �� ��������. �������� ���� � ���&���� �� ��&�� �� � ,���������� �� �7� 2�� � ���� � ���&���� ������ ��� ������ ������� �� ��� ����(�� ����4 ������ � �� �8� � ������ #���� ������� � ��2�������� � 7���� ���� ����� �� ��� �� ��� ����� ����+ �������� �� �� � �& �� � �� � ���� � ����� �� �� ��� � �� (�� ��������� � ����� � �� ��� /�� ��������� � ��� ��� -�� ����� ��� ���������

� �� "��#� � # �������

�� ,��� � �� ���� ��� # ���� ������ �� �� ���� � �� ��� �� #�#��#� ������ �-� �������� ���� ���� �� � �� ������ �� ��� �& �� � �� � �� � ����� ��� ,������ H� �� ����� 7�����.�� &� ��� ���. ��� ���� � �� � �� ��� ��� �� �� ����� @�� ��� �& ��A � �� �� ���� � (�� �� ����� @�� �� ����A���� �4&������ �� �� (�� 7��

� �� ���� (�� �� ����� �� � ��0��� ����� ��� �����(����� �� ���� �����)����� �� ����� �� �� ��#���� �� �������� %��� � �� ���� 0���� �� �� ��)�����# ��%�� �� ���(��� ��,������� �(+� �� ��,������ ������ ������� ���� �� ������ �� �� %��� �����(��� �� �� ��%�� � �� �� ������ ��� ���������� �� ����� �(+��� �1���� �� ������ "��� � �� ������ �� �� ��#���� � ����������� ������� � ������ �� �� ���(��� ����� �� ������ �� �� %�� 0��� �� ������ �� ����� ������� �� ���������'��� �� ��#���� �� ��� �� �� ��%��� ��)���� �%�� �� ��� ) �� �1������ ,������� ���� �� ��#���� �� �������

���� � �� ������. �� �� ����� - ���� ��� ��0��� � �� ������� �� �� ���� ����� ��0����� 6���������� ���� #��#� ��2�� #���� � �� ��� �� ��� ��� �������� -. �����7� �� #����#��#� �� �� ��� � � 1��� ��� ������� �� ����� � �� �2��� � (�� 0���� �� ����� �� �4&������ ���� (�� �� ��������� ��0����

/�� ��������� � �������� �� ���� ���� � ���� -� '�� ��� �� �� �� - (�� ������� ��� ������� �� ��� � �& ���. ������� (�� �� ���������� � �� ����� � ���������� � �� �������� �� � �& ��. � � (�� �� � ���� � (�� ����� � ���� ������ ���� (�� ������� ����� �� �4���� �� �� ����� #���� �� ������� �� � �& ��. �� ��� (�� �� ������� ����� � �-�� �� � ������� � � ��� 7 �� � ���� � �� ����� �� �� � �& ��� ����� ���� � �� �� ��� ��� �� ��� � ��� ������ (�� �� ���� ���� � �& �� �� �������� @9���� ��!A�

�4 ��� ����� ���� ��� &� ���������� ������ ��� ��� � ��(�� �������� ���� ���� �,������ ��� �� �� ��� (�� �� ��� ������ �� � ��� - �� �� ������ �������� � �� �4���� �� �� ������� �� � �& �� � (�� ��� 7 �������� �� ����� ��������2� ���� '� ���� ��� ������ ��� �� &����� ���0����. ��������� � �� ��� ��� �������� (�� �� ������ �� �� � �& �� � �� ��2���� �� �� ������ ������ � �� �� ������� -� �� ��������������� (�� ���� #���� ������� � ���� ���� �� �� - ���� (�������� (�� ��� ����� ��� ��� ��� ���������. �� ��� ����� -

�"

Page 28: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� ��� ������� �� "����

h

K ���� ��!+ �� ����� � � ��� � ���������� � �� ������ �� ��� �& ��. � � (�� #�� (�� ��� ����� �� ��� ��� #���� �� ������� �� ����

������� � �� ���� �� ��������� � �� ��-4 � ���������

h

D

CE

A

B

K ���� ���+ ��� �� &����� ���� � ��� �� ���0����

� �� ������� �� %���� �������� �� � ���� ������� -� � � ��� �� ������ ��� ���� ���� �� ��� ��� �� �� �����. (�����& �4&������ �� �� (�� �������� �� � � � � �� �������� �� � �& �� ���� �� ��� ��� �� �� ������ �-�� ���� ���������� ��&� �� �� � ���� � ���� �� ���� �� �� ����� (�� ���2������� �� �7�� �� �� �� � �& �� � �� ����� �� �� ���� �� ��� �& �� ���� ������ � ����� �� �� ������ @K ���� ���A�

� � $��� �� � %#� �� ��#��� # � ���

�� �����. ��(�� � #�� � ��� ������� ���� ��� # ���� ������.(�� ���� ������ ������� � ������� ��&� �� �� � ���� � ��� (�� �� �������� � ����� �� �� �� ���� �������� (��(������ ������� �� � ���� � � � �� ����� (�� �4 ��� ����� ����� (�� ���& � ���1 � � � � �� ��. � �� � ��� ����� �������. � �� ���� � �� ���� ������� �� ��������� �� ����� -(�� ������ ���� �� �� (�� �� ������ � �� 9���� ���+

'���� ���� �� ��������. �� ��� � �� ����� �� ���� ��� ��� 7���� � �� ������ ����� � �� � �� (�� �� �@������ ��� � - � ��A �� � @�� ����� ���� �� ������� �������A� ���� �� � ���� � � ������ �� � � �������� ������ ������ @���� ����� � � ���� ������� �� �� ����� �� ��2�����. �� �����A. �� ��9� ������ ���� ��� ���� (�� �� ������������� � �� ����� � ���� �� 3�� ���� ���0&���� �� ��

���������� �� ��� �� ��������� �4

Page 29: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� !�������� ��� ���� ��������

B

CD

E

A

K ���� ���+ ��� �� &����� ���� � ��� �� ����������

������ ��� �� �� � ��. #���� �������� �4&������ �� ������#� (�� ������ ��� ����� � @���� ���&���� � �����A� � @���� #��� �������� �� ������A� ���� ���� ������������ ���� � �� 9���� ����

� ��� ��� -. � ���� )* ������ � �� ���0��� �� �� �� ���.#���� (�� ����� �� ����� �� ������ � �� ����� @������� (��� ����� ���� �����. � �� (�� � ������ �� ��� #�� � ���&�A���� ���& �� 9�� �� ������ ������ ��. ���� �� � ���� � � �� (�� ��������� �� ����� �� ���� ����� �� �� (�� #��� ������ ��� ���� 1�� � ����. ����� �� ���0&���� �� �� �� ����

�� ��� (�� ��- %���� �� (�� ��� &����� ����� �� �� �� �0 ����� ������. � ����� ��� �� &����� � �� ��� &����� ������� � ���� ��� 7 ����. ������ ��� �� &����� � ����� - ���� ��� � �4���� ��� �����

��� �� ��� ��� �� �� ���

6������� (�� ����� �� �� ��� �� - �� � ���� �� � �� ������� ��� ���� ���� ,����� ����� ��� ���� ��� ������7� 2�� �� �� ���� � � � ��� ��� (�� #� ������� � ������� � ����7��� ����� �� �� ��. �# ��. � �� � �� ����� � �� ������� (���������� � ��� ��� - �� ������� ����� �� �� ������ ��.� �� ��%���� �� �� �� �����#%���

�� ����� �� �� ��#���� �����!����� �������� ����� �� �%������� )�� ��#���� 2�� ���� ��� ��%��������� ������������6� .�� ���� �� �����!� ��������� ����������� +���������� �� ���#�(�� ���/�����.� ��� ���� �� �� �� ��� �������� ������������ �������� �� ���������� �� ��� �� ���#�(�� ���/�����

�� ��� ����� �� � ���� � ���� �� ���������� � �� ��� ������ - � �� ���� ��� ���� ������� �� �� �� ��� �0��2��� (�� ������ �� ���� � - ��� ���� ��� ����� �� ���#���� ��� ����. ���� ����� 3# �. ���� �� � �1� �� �� ��. ���4��� - ��� 5� �. ��� ������ ������� � �������

6��� ����� �� �� ������ �� �� ��� �� ���� ���� �� ������� ��� �� ������� @9���� ��$A� ���� ��� ���& ��� �� �� �������� @��� �0���� � A (�� �������� � �� � ���� � �� "**� ��������� (�� �� ������ ��� ���������� �� �� *. �� ���(�� �� � ���� � � ��8����� � �� 9���� ��$ �� !�!*�

/�� ���0��� �� �� �� ��� ������ #���� (�� �� � ���� � �� � �&� ���� �� �� ��� ���� ��� �� �4���� �� �� ������� ��������

�*

Page 30: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� �� ��#���� �� �� ���

(�� �� � ���� � (�� �� #��� ���0��� �� "* �

=����� �� �� ���0&���� ����� �� ������ ������. #��2�� (�� �� �4���� � �� � � ���7 �� ����� � ������ � ������������� (�� �� #��� ���0��� )* �

3� ����� ����� (������ ������� �� ������ �� �� ���� ���

� � �

� � ��

� ���

� � ��

� � ����

K ���� ��$+ �� ������� �� �� ����

�� &����� ���� � �� �� ���0����� �� �� �������� ��� �� &����� ���� � �� �� � ���� � �� ����� ����� ����� ���0��� ������� ��� ����� ��� �� ������� ��� ��� ������� ����� �� ���� �� &����+

���� � �� � � ��

��

���� � �� � ��

��

O ��� ��� ����� ��� ������� ���. ������ ������ ������ � �� (�� 1 ����� �� ������� �� �� ����� �� �+

��

��

��� �

�� �� � ��

�� �

H� ��� ��� ����� - ��� �� ����� �� �� �����+

�� � � �

�� ���� � �� �

�� ��� (�� �� ������ �� �� ��� �� �� � ����

��� �������� �� ��� ����� � �� ��� ��� ��� ��&�� ��� ���� ���&� �� ����� � ��� ������� ��� �� �� ���&� ���# �� 6��� �� ������� �# � ��� ����� ����� ������� (����� ����� ���&� ���. ��� �� �����. ��>�0��� � ��� ��� ������ �� ���� � ����4�� ��������� ���&�. �� ��> ��� �-� ��(�� ��� ��� ���� � �� �� ������ - �4 �&� �� ��� ���� �2�� ���&� �� ��� ���������. ���� � ���� �� ���&� ��

���������� �� ��� �� ��������� ��

Page 31: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� !�������� ��� ���� ��������

���� (�� ����� ������ ���� � ����������� � �� � ��0�� 2�� ��&�� ��� 3���� ��� � ����� �������� �����0��� �� ������ �� ���&� �� �4 �&� �� ��� �����. (�� ����� ��� ������2� ��� �� ������� �� ����. �� ��> ��� (�� ���� ���� ������ -�� �� ���&� �� ����- � �� ���� ��� ���&� �� �# � ��# �� �� ����+

B��� ������� S��� �� ��� ��������T �� #� ������ �� �.�� ���� ��# �����!�� ��� %���� )��� ���� ��%�� � ������ �� ������������������3��5� �� �� �� � ����� ���� �� �� ������'� �����#���� ���� ������&���'� �0��� �� ������ � ������������ 0��'���� ) ������� ���� �� � ��������'�

������� � ������ ����� ��� ����� � ���� S��� ���2���� ��� �� ��� ����� ��������T ��� �� � ����1�� ���� ��,���� �� �� ��� ������ � ����� �� ��2��4�� � �� (�� �����. �� ���� (�� �� ��� ������ �������� ���� �� ������C�

� ������. ��� � ���� ������ ��� ����� ��� ��� ������ ����� ��������. �� ������ ,�������� �� � ���&���� ������. ������� �� � �� ������ � �� (�� ������� � �� ����� -� ���&�.��� ������ ��� ��������� �� � ��-���� � �� (�� �� ����2�� �� �� �� 9���-9�� � # ��-� �� �� ��� ���&� ��� � �� �� � 2��� � ��� ��� � ����� ��� � ���� �� ��-���� ����� ��� 7 ����� �� � ����,�� ����� �� ����� � ��� � ������� �� (�� ��������� � ���� � ����

��� ������ � ��� ������ ��� �� &����� � ��� (�� ���������� &����� � �� ���,��� - �� � ������ �������� �� �� ����� � ��� �������� ���� � �� �� �������� �� �� ���� ��#�&� ��� ���. ���1 ������ � �� �������� ��

��

Page 32: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

������ �

�� ����� �� ������������� �� �����

=����� � �0���� � �� �� �F���� ���� ��� �-� ��� ����������� ���� �� �������� � �����: ��� ��� ��� (�� �� ����� ������� (�� �� ��� ������ 90� � ��� ��������� ������ � �������� ��� �-���� (�� � ���� ����� ��� �������� %�� 7 ���� �-��� ��� �� �������� � �� ���� � �-� �� ��� �� ���� ��� ������� ���� � ���� � �� ��� �������� ���. ����� ������ (��� ��� �4�� ��� - � ��� ������� ����

6��� ����. �� % ���� ��� � � ��� ���� (�� >����� ������� ����. ������ ��� ���� ���� ���� ��� 6��� ����%���.���� �� ��� 9�-��,�� �� ���� �� ? ����. �� % ���� ������ ����� ����� �� � ��� �� ���. �� ��� � ��� ��������� ��� � ���� �� ,����(�� ��� 7 >����� � �� � �� � (�� �� ���� ��������� �� ��% ����� ���1 ���� �����. �� #��#� (�� �� ��� � �� ��� �������� ��#� �� ����� � (�� �� ������� � ��� ������ &� ����� �� ��% ���� � �� � ���� � � ������� ��� �� ����� (�� �� ������ ��� ����

��� � �����! ������ � ��"����

���� � �� �� ���������� ��� �����-� ��� �� �������� ��� ����� �� ���� � - �� �� ������� � �� � �� �� ��������!���. (� � � � - ����4 ������ �� �� � ��� E55 ������. ����-�� ������ - ���7�� �� ��� � ����� (�� �����- ��9 � ��2��� � �-�� ��� ���������� ��� ���� ��� ������� � �� 2�������. � � ��� 7 �� ���� ������� ��� ������� �� ����� ����%���. �������� ������ �� ��� &� �� � ���� ����� ��������� ��� �������� ��� (�� # � ��� ���������� ��# �-��� � �� (�� �� % ���� ��� ���� ��� ��� ��� ��� � �� ����+

�� ��� ��������� � � ���� ����� � ,������ ��� ����� � �� ���

�!

Page 33: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� $�� ����� ��� �� �����%������ �� �� "����

K ���� !��+ 6��� ��4���� �� % ���� ��� ����������� /��������. ��� �� ������ �� 9�-��,�� �� �� 7����. (�� �� ��� ���� ��������� �� ����� ��� ��0� �� % ���� ������ �� ��#�. � �(�� ��� ������������ � �� ��� � ���� � � ��� ��� �� �������� � ����

���� 6�� �0����. � �� ��� ����� ����� �� �������� ��� ��������� (�� � ��� � � ���� � ���� �: ���&�.�������� ��� (�� ��� � � ���� �������� ����� �� �����2 ��� � ����. � ���� ������� #�� ��� � �� #�� �����

�� � �� �������� - �� ��� ��� ���� �� ���. �� ����� (�� ��� �� ��� ���� � ����� � ������� ;����� �� ����� ���� % ���� �� (�� ��� ����� �� ���<

����������� ������� (�� �� % ���� ��� � � � ��� �� ��������. ����� �� �� ��� ������ � � ��. � ���� ���,�� ��� �� ����� � ��� � &���� �� � �#� ����� ���&�. ���1 ���� �����. � �� % ���� �������� -� � � �� ����� ��� � ����� �� ���� ��2��� ���(�� ����� � �#� ��� � - �(� � ����� ��� ����� �� ���������� �������� � � �4 ���� ��� ���- ���� (�� �� ����������&� � � ���� � � ���� � �� �������� �� �(� � �� � ������ ��� 6������. �� % ���� �� ������� �4���� ����� ��� ��� ���� ���������7�� ��� ��� ����� �+ � � �� ������. ��� ������� ���������������� ��� ���� ���. ���� �� �� ���� � �� � ��. ����������. ������� �����. ��� ���������� ��� �� ���� � ������%��� � ��� (�� �� ��,������ ���� ������

G��� �� ��� ������ ��������� �� ���� (�� �����- ��������� � ���� ����� �� ������ - ��� � ����� ,�� ���������� @�**2��" ������A � (� � �� �� ��� ���� �� ������ ��� �� (�� ����� � �� ��� �� ��� ���� �. � � (�� ��� �� �� ��� ��� �������� ������� ��� �� ��� � - ������ � ��� �� �4�� ��� - ������(�7 �� ��� ��� ���� �� ��� � �� ���+ ��(�� ���������������� ��� 7 (�� �� % ���� ��� ����. ������ (�� �4 ��������� ������� (�� ��� �� ��� � - ���� �� ��� � �� ��� ���������� ��� ���� �� ����

��

Page 34: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� �� "����& ����� � ��%����

6��� ����������. �� ��� ����- �� � ���� � ��� ����� �� �� ��� ��� � �� (�� ����� ��� ������� ����2�� ��������� ���� �� ��� � ������ ����- � �� ����� ����������� �� ,�� �4��� ��� � �������� &� ��� ��. ���2��� ��� �� ������� - �� ��� ������ ����. �� 0 � � �� ��.��� ���� ����� �� ��������� ��� ����. �� ����. �� � ���� � ���� ������ ��� ����� &� ������� (������ � �� ����� ��� ��2������� ��� �� ��� � ������ � ����� ���� �� ,���� - ���� % ����� 6��� ���&� �� 7���. � �������� � �� �� � ���� � ���� ���� ,���� -. ��#�� � ����� ��� ��� ������ ��� ��0�� �� ��% ���� � � ��� ����� � ��� ����������

�� �� �� ���� �� ����4 �� - � �� ,��� ��,7� �� �� ��% ���� ,�� ����������� � ����� �� ��� 6 ���-� ���� 3-� ���2 �� ����� "���('���� ,� ,�����

�� "��#(��� � ������������� �� ���(�� G� ������ "��� �� ������ ���+���� ) �� (������!� ���� �� � ����'� ���� �� �� ,��&� �������*� ����������� �� ����� �� ���%�/��� �� "���('���� �� �� �� !��� 8�

���� � ��� ������ - �� � ���� �� ������ �� ��� ������� ��#��#�� ��� ��� # ���� ������ �� ��9��� � ������ ��� ��� ���(�� ��� ���� � �� ��,��� ��� � ��� ���� �� �� ���� ���9���� '� ����(� �� ���. � ���� � �� ��� �� (�� �� % ������� ��,7� ��. ��� � ���-� ��� ������������ � ���� � ������������ �-� ���

�����"���. �� ��� ��� ��� ���� �� ��� ����-��� ���2� ���� ��� ���- � ���� ����� ���� �� � �����+ �� % ����.�����. �� ��,7� ��� L������ (�� ���� � � �� #�� ���� ��� ��� �� ����� ��� � ���� ��� �� ��� - -�� �� ������ �� ��� ������ ���8� �� �� % ���� � ������� - �� �� ��(��8����8� ��� ��� ���������� G��� �� ��� ������ ���� ����� � ��� % ���� ��,7� �� �� ������ � �� �������� - �� ��� ��� �����'����� � ��� ��� ���� �� �� ���. ��� �0����. �� � �� (�� �������� �� � ���� �������. ��� (�� �� ��� ���. (�� �� ���������� �� ����� �� �� % ����. ��� �� ������ �� (�� �� % ���� ����,7� ���

�� �� - �� �� % ���� ��,7� �� ,����� ����� ��� ���� �2 �� �����(��,!� 0� ������ � �� ���(��� �� 0������ �� ��,��� ������'���� ������ �����#���� ) �����'������ .� ��%�� �� ���� �� ���� 3�5 ��� ��(�!��� ��,������� ��� ��,����&�� �� �� 0������ �� �� �����(��,!�) ������'� ��� �� ������� ) �� $������������ �� ������&������ ������������� ����#� �� ������ �� �� ������������! � (����� �� �� %�%���(��,!������� �� ����#���� ����� �� ����'� �� �����������'� �� �� ���(��� (���(�#��� ) ���������� ��!����) ����'�����

�� �� 9�-��,�� � � ���9��� �� �� �� �F���� � � �� ��� �������� � ���� � �� ������. ��#�� �� ��� ���� � ����� �� �-��4������ �� ��� � - ����� �� �����9� � ��,7� ��. � �-� ������� ���� �� ���������� - �������&9�� ���������

5����� ��� � ��0�� ���� #� � �� #��#�� ������ ���� ��� ��� H� �� ��� ���� &� �� ���� (�� �1 �� ������� ���� ���� ��� �� ����� (�� ���� ����4 ������ ��� ������ ��2 � ������ � ������ ���8��. ����. ����� � ����� ��� ����� ��2���&9��� �� �� �� ��� ?������� �� �� ���������� �� ��� �������� �� ����� � ������� �� ,������ � �� ��� � �0�� � �� ���7���� ���������� ������� � � ���� �� � ��� �����

���������� �� ��� �� ��������� �8

Page 35: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� $�� ����� ��� �� �����%������ �� �� "����

��� � ���� �� ����#������

��� �� ���� ���. �� ���� �������� ���. �� (�� �� % ������� ��,7� ��. �� �� ��� ����� ��� &� ��������� (�� ���2���� �� ���������� �� �� ��������,�� ,�� ������ ��&��� ����� ���� �� ���� ��� ����� ��� �,����� ����4 �� ��� ���� �� � �2��,���� � ,���� ��� �� ������ �� �� �F����� H� �� ��� &� ��������� ,�� �� ������� � ���� ��� ����"���� � ���.� �� � ��� 555 ������ ��� ������ � ������� ������ �������� ��������� �� �� � ��. � �� �-� ������ - ���� ������ ���� �� �� �� � ���,���� � �

����"���� � �0- ����� �� ����� �� U,� ��. ���� #������ ��. #���� �����. ���� ����� �� 9����,��� 6����� ����� ,����(��� �� ��� 6������ 555 ���� ������ �� ���� ��. ��� (�� �����#- � ���0�����. ���� ���� ������� � �� �0�� � �� ������� �� �� �F���� ���� ������� ���&� ��� � ��������. ����(�� � ����� #���� � ������ ���0����� ��� �� � ���� ���2���� �� (�� ������� � �� (������� ������������ �� � ���������� ���� ��� � ������ �� � �� ����� �� �� ������� #��7 ��� ��� ,�� ��� ����� -� H� �� ��� �� ��� ��� � �� � ���� �����0����� (�� ����� ����� �� ���� - �� �� �����. (�� �������2�� �� � ������ ����� '���� ���0����� ��� �� ���� �������������� ����� ��� ������ ���� ��� �� ���� � � �� � � ������� ����(� ������� �� � ��� 7 ��#�� ������ ��� �� ����� ,���� �8�2� ��� � �� � �� ������ ������ ������. ����� ����� �������� �� (�� � �� ����� - �� � ���� �� ��9���. ������� ����� ���� ����� � ����� �(������ (�� ������ � �� � ���� � ��9���2�� ��� � ���� ���� ��� ����� �� ������� � �� 7���� � ��(�� ����"���� �� ����- �� �� � ���� - �� �� � �� ����� �������� - ������� � �)*�*** ���1����

� ����"���� �� �� ��� ���� ��� �� ��� ����� �� �� 2�� - �� �� ������ ��. ��� � ���� �� �� �� ��� � �� ��� � ���������� �� �� % ����� �� ��� � �� (�� � - �� ���8� ���� % ����. (�� ��� ������ � ��� ��� -. �� �� �� ��� &� �� ���� � ��� �����

����"���� ������ (�� � �� ����� � � �� ����� �� ��� ���������� �4������� � �� �� � �� � �� @��������� ���&.� �� ���A� ������ ,����� � �� (�� �� �������� - ,�� �������� ���� � � ���� � �� ��� �� ���,�� �. � �� / ��. ,���� ����&. ���� ,��� ��� �� ��� ��� ��� ����� ��� ��� � �� ���2�� � � �� ������ �� ���� ���� �� �������� � ��� ��� (�� ��0������ " ������ 3�� �� ������ (�� ��� ����� ���& �4�������� �� ��� � ��� � �� �� % ����. �� ��� ���� (�� ����� �4&�������� � �� �� � ����� ��� ��4��� �� � ���� �� ����"���� ��2��� �� �� �� �� �� % ���� �� #� ���� �� � �� ���� ��� (������� �� �� �����0� ���� �� �� ����� @� ��� 5 ������A.

�$

Page 36: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� �� ����� �� ����������

� ���� ��� ������� ����� ���� �����- ����

�� ��� �� � ��� ��� �����0� �� ����"���� ,�� (�� ������� �� �� �� ������� �� � �� � �� ����� � ������������ �� ���� �� � ���,���� �. (�� ������ � ���� � �� �2� ��� ��������� 6��� �������� �-� ������ - �� �������(�� ��� ���� ���� ���� ���� �������� # �-��� � (�� ����� ��� � �� 7����+

�� #�� "�� ��� ��� ����� � �� �� ,�� �����

��(�� �� #��� �� � ���� ���� ��� ����� - � ������2�� ���� ���� @��� �&������ �� ��������� � �� ��������� � �� �� �� �� �� ������ �� �� � �& �� � �� ���������A �� ��������� �(�� � ��� ��� �� 0��� 9��� - �� �������4 �� -�

5�� ��� (�� �� ��� ���& � �� ��� � - �. ������� ���2��� � �� % ����. @9���� !��A� 3�� ����� ����� ���� ��� 2

1 2 3 4

K ���� !��+ �� � ���� � � �� (�� �� �������� ��� ��� �� ����9� ������ ����� ��� ���� (�� ����"���� ����4 ���(�� ��� ����� ����� ��������� � �� �����9� � �� �� % �����

� - (�� ��� ����� �� ��������� �� �� ��� ����4 �� -�� ������. � �� �� (�� ��� ������ �� ��� � - ������ &� ���0���. ��������� �-� ��� �����. ����� �� �������9� � �� �� % ����. �� ����4 � ���� ��� &� � ��������������� @9���� !��A�

�� ����"���� ������- (�� � ������ @����0 �� ���A. ����0�����. ���������� �� � ���� �����. ����� (�� �� �� � ���������� ����

�� ������ ��� �� ������� �����- �� &� ��������� � ���� � �� �� �F����� 3�� ���� � � ���� ���� ����������� ����� �� �����9� � ����. ������� ������2��. ���� �� � �� ��� ��� � �� � ���� - �� �� ����� ��2���� �� ���� � �� ������� �� ����"����. �� ���.�������� ����� �� �����. �� ������ (�� ������ �� ���� ���� ��� � �� �� % �����

�� ��� ����� - �� �� � ���� - ��� ��� � �� ������� �2� �� ��� ����� ��� ��� ��� �� ��� ��� �� �������

���������� �� ��� �� ��������� �9

Page 37: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� $�� ����� ��� �� �����%������ �� �� "����

���� ���� ���7�� �� (�� ������� ��(���� ���� � �� 9��2�� !�!+ ��� � ��� ��������� �������� ��� �� ����� ������������� �� &����� (�� �� ������. �� ��� (�� ��� ��(��� �� �� 9���� !�! ��� ��� &����� ��8������ �� ������� '� ���� ���. ����"���� ������� � &����� �� �����9� � �� �� % ����. (�� ����� �� � �� ����� ��� ��� � (�� �� ��� �� �� � � &���� ����� ���� �� ����� �� �� % ����� ����"���� ����� �� ������

� ��� ,���� ��� "�� ��� ��� ��� �� ������ " �� ���.� ����� �� (����� �� #�(�� ����� ������������� �� ��7 ��� �� ������� 1 ��� �� #�(�� �� � ���!���� (����� ��� �� ������� �� ������,�������� �� ���� �� �� ������� �� �������' ��� �� �

�� ���� ��

�����,��������

.� � ��� ����#� ���� ������ �� #��(�� �� ������� �� ������'� ������� ���(��� ��� ���� �� �� �����,�������� ) ������ � � ��� � �� ������� ��� #�(�� ������� �%������ ���� ���� �� �����,������� �� ������#�������� �� ���� �� �� ����� ���� �����,������� �� ����'�� ��� ���� �������'� �� ,� ,������&��� 0����� �(�� F�F�

�� ���(��� �� ������� �����,�������� �� ���� +��������� �� ��#����� 2�6 ) � ������ ����&������ ,'���� � � ��� ;�� ) ����0��� ������� �� ����#�� ����� �������� �� �� ������ ��(��� ����� ���� �����,������� 0� �� �� �� ���������� ������� � �����

��� ����� ���� �� ���� ��

�� ��� �� �

��� �� �� �����,������ ���� �� ���� �� ���

# �-��� � (�� �� � ���& � �� �&������

!� # ��� ��� �� � �� ������� �� :��/��� " ����� �� ��5�666 �� �����

� �� ��� �� ���. ��� �� ��� �� ��� ��� ��� �4���2����� � �7� �� �� ������ ��� ������. ��� �� ��� � ���;�� �� '� ���� #�� ����. ��� � ���� �� ������ ��� �2� ��� ��� ��� ������� �� ����� �� ����� �� � ����������� (�� ���� �** �1� ���� ' ���� �� &� ��������� �4�������� � �� ����� H ����� � �(� ����� � ���***�1� ���� 6��� ��� ����� ���� �� �� ����� ������ ��� �������. ������ (�� �� � � �� �1� �� �� � ��2�� � �� ���. ��� �0����. ��� �� �� (�� �� �� � ����� ���� � � � L��� � �������. �������� � �� �� 2�� ��� ����� � (�� �� � �- ����"���� ��� # ���� ������������� �� ������� � ,�������

A

S

K ���� !�!+ �� �� �� ��� ��� � �� �� � ���� ������� � ���� �������-������ ��� &����� ��������� �� ������

�#��� ������ � ��� � ��� �� �������� �-� ������ -

�"

Page 38: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� �� ����� �� ����������

����"���� ���� �� � �� � ���,���� � �� �� % �����

%�� � ��� ������ #��. � �� � ���,���� � �� ���� ��������� ��� �� ��� �� � ������. ���� #��#� � ,�� ��� ������#���� ��#� �����7�. �� ��� (�� ����"���� � ������- ����� � �� �� % ���� ���� ����� ����� ��� �� �� �� �� �� ��� ����� �� � ���,���� �. � � (�� � �������� ������- � �#� ��� ����

����"���� ��� ������ (�� ���0����� � � �� ������� �� �� �� � ��. �� ��� �. � � �� ������ ��'��� ������ � ���� �� �� % ���� @9���� !��A�

A

S

A

S

K ���� !��+ '���� ��� ����� ����� �� �����9� � �� �� ��,���.� ���� ������ ������� � ������� &4 � (�� ��� ��� 6�������. #��� �� ��� ����� �� ���� (�� ����� � ���� ��� ������ �� ����� �� �� ��,���� ��� �������� &4 �� (�� ���� ��� �������� �� ��� � ������

�� ����� - (�� �� � �- ����"���� ���� ������� �� ��2� ��� �� �� � ���,���� � ��������� ,�� �� � �� ���+

����� ��� �������

����� � � ����������������

������ ��������� �� �� �������

������ ��������� ��� � � ����������������

�� �� �� �7� � �� �� ������� �� � ��� ��� �� ��� �����.��� ���� (������ #����� �� ������� � ������� �� ��� 2����+ ��*** ����� ���

�� ������ �7� � �� �� ������� �� � ��� ��� �� �� ������������ 3�� �� �� �� ������ �� � �� � �� �� �� �� ��� ���,���� � �������. �� ������� �� ���� ������ �7� � ��� � �� ��� ���� ��. �� ������� �� �� ������ �� ��� # �-��� �.�

�������� �� � ���,���� � ��������

�#��� �� �&����� �� �� ��� ��� �� �� � ���,���� � �� �� % ��2�� �� �� ���+

������� �� �� �����%������ ��������� �� � � ���

���������� �� ��� �� ��������� �4

Page 39: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� �� $�� ����� ��� �� �����%������ �� �� "����

!*

Page 40: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

������ �

���� ��� ���� � �� �

� �� � ��� E5 �� �������� � ��� � ���������� ����- ��� ��2������ 9���-9��� (�� #���� ,����� ��� �� ����� � ��� ����������� � ��� � ������� � �� ���� (�� #���� ���2�� ��� ���&� ��� #���� ������� � ������. ��� ������� ����� �� ���� �������� ��� �� �-� �� ��� ���� ��� ��������� �� ���� - ��#� ���� � ��&�� ��� ��� �� �� � 2�. �� ��(� ������� � �� �� ����. ���� ���� �� ���&� �� ��.� ������. �� � ���&���� � ,����� �� (�� #���� �� �� �������� 7���� �� ���� ������� - �� ����

6��� �� ��� � ����. ��� ���&� ��� ������ �� ��� �(��2���� �4 � ��� ��� �� ������ � �� � � ��� ������� ��� ����2� ����. ���&� �� ����� ���� ���� �� � �� ���7�� �� (�� ��2(����� �� ��� �������. �� �� �� �� ��� ����� � �� ������������� ����. � �� ���. ���&� ��� � �� � &����� �� ��� 2���� �� ����� � �� ����� ��� &���� �� �� ���&� �� � ������� �������� ������� 3�� ���� �� �� ����� � �� ��� �� &��2��� ��� ������ � ���� ��������� ��� �������� ������� ���(�� �����0� �� ���&� �� &���� ���� �� �&����� �� ��� ����� �&����� �� � ,������ �� &������

$�� �� ��������% �� ����� ����� �� "���

K�� � �� � ��� 55 ����� ������� ���������- ��� ��� ������������� ���+ �� :����� � � �� 8���,�. ���� ����� ������� �� �������� - �� ����� �� (�� � �� ��� ����� ����� � ��2��� ����� �� ��� �� ��� ������������ �� (��. ����� 7���� #������� ��� ��������. ���&� ��� � ������,�� ��0� � ��������. ������� ��� � ,���� - ��� ����������. �������� �� :����� � ����� ��� ������� � ���9��� � ��������� ���� ������,� �� �������� - �� �����

!�

Page 41: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� '� (���������� )������ � �����

6��� �������. �� � ��� ��� �� ��,��� �� �� % ���� � ������ �� ����� � �� ���� � ���� � �� ��� ���������� 6��� 7�. ������� - �� �� ��,�� � ��� �� �� % ���� � �� ��� � �(� � � ���9���-9���. � � (�� �� ���� � �4��� �� � ��� ��� �� ��9��2��+ ��� �0����. (�� �� ���. �� ��� � ����� ������� ��������� �������� � �� ������ �� �� � ��� ���� ����(� �� ��2�������� � �� % ���� ��� �� ������. �� (�� � �� % ���� ,��������. ����� ��� � �� ��� � ����� ��� ��������

�� ����4 �� - (�� ������� # �� � �� ������,�� ,�� ��2�� ������ � ���9��� ������ �������� � �� ����� - �4 ��������� �� % ����. �� ��� � �� ��� ���� ������� ��� �� �����2����� - �������� �� �� ��,��� ��������� � �,����� � ��� ������ ��,7� ��� ������� (�� � ��������,�� � �� #���� �� ���� �� � ����� #���� ������ �� ,��� � �� ���8� �� �� % ��2�� � �8���� (�� B�� �� ��� � �4(� � �� ������ �� ��� ���&� ��������� ����� ����� �� ������� #����C 3� �� ����� �� ���������� � ��� ���&� ���. 2������� �������2 �� % ���������� ��� ����������� �� �� �� �� ���� �� �� (�� ��� �2��������� #���� ����������� �� � ����

H� ��� �9���� (�� �� ,��� �� �� % ���� �� ��,7� ��. �� ����2.� �� ���!��� �� �� � � ��� ������� (����� �� ���� ��� �� !��� ���� ���������� �� ������� �������������� �%�� �� �� ��������'� ������ ������'� �� �� � �������������� �� �������� ��� ����'(��,��

��� �� � ��� ��� �-� � ��0���� ����� �� �����9� � ����. �������� �� ����- �� ����� �� � ����� � � ��� ���� ���������2� ���. ���� ����� �� �� �� ����� � ����� - (�� �� ���������� #�������

� ���� � ��� � ��� 55 ��� ������� ��� � ��� 7����� �� �����2����� - �� �� % ���� (�� #���� ������������ ������� ,�������,��&����� ��� ���� ������ ��� ���� ��� &� �����2� ��� � ,��&�� ���� ? ����� (�� � ��� � ���� ���� ���� ,�������� ����� ����� �� ������� �������� ���. ������ �� ��� � ��2�� �� ���� ��� �� ���������� ��� � �-� ��� ����� ��� ������ ��4��� ���� ��� � � ��� ��** �8�� ������ ���� � �������

� ��� ���� � �� ����- ����������� ���� ?&� � �. ����9��� ��� �� �� ���� � �� � �� ����� ��� � ���� �� ������2 � ���������� ��� ������ � ���9���+ �� ��������,�� �� ����� ��� ����. ����� �� �8� !** �� �8� )** ,�� �&� ����� �� �2� �� � ��� ��-����� ��� ��� ��������� �� ����� �� �� � ������� ������� �� �� (�� �� ���� � �� � �� �+ ���� (�� �4 �� � �B� ���C (�� �������� �� ��� �� �� �� �� �� �/� �� �2��� (�� � � ����� ��� ���� ��� ��� ��� ��� � 7� ����0��� (�� �����0��� �� ���� - � �� % ����. ��� #��������� �� ������ �� ��� � ��� �� PO ���� ��� ��#� &� ,&� ��� ������� � �� �������� �� (�� �� % ���� ,���� ����Q ���&�.��� ������ � ��� �� ���������� - ��� ���� ��. � ����� &����& ��� #�� ����. � �� �� ��� ��0��. (�� �� ����������� � ��7�� �� ��� ���� ��� ���� �� �� ���� ?�� � ����� ,����� ��������. ������������ �������� � ���� ������ �� ,���� ��

!�

Page 42: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

'�� *����� ����������� ��� ��+�� ��������

�������� - ��9� ��� ��� ���� ������ � ��� ����� �� % ������� � � ��� ���� � ���������� � �� ��� �� � �� �� (�� �� ���.�����7� �� ������ ��� �� �����. � �0��� ��� ����0� ��� #�� �������� ������ � ��� � �� � � � �� ��� ��� �� �����

$�� &����� ���������� ���� ��'�� ��(

�����

? ����� � ��� ���� �� � ���� - �� �� � �� � ��� �� (�� ����������� � ���. � �� ���. �� �� ��� � �� � ��� E55 �� �� ��2�� ��� � - � ��� ��� '�&��� � �� �4��� - &���� ����2��8��� � ����� ������� � �� ���������� � ���9��� ���&����� �������� ,���� �� ���� ���0����� � ������ � ������ ���� � ���������� � �����- ��. �� � �� ����� � � ������� ���� ��� - ������ � �� �� � ������� �� ��� ������ � ��� &����� � ������� �� ������� � ��� ��� (�� #������������ �� ����� �� ��� �� ���� ��������� �� ������� � (��������� ��� ��(� �������� &����� #�� � �� ������� - �����2���� �� ��� #�� ����� �� ��� ��� ��� ���� ��� � �� ��-�,����� � ���� - � � ������ (�� #���� �� �� �� ��� ���7 ��� ��� 2� ���� ,���� �� ����4�� (�� ��� � - � ��� &����� � ����� ����� ������� ������ �� ���� � ,�����,��� ���������� � ���9��(�� ��� ����� ������ ��� �� � �����

�� ���� � ���#� � �������� �� ������� - �� �� �� �������� ���������� �� ��� �� �. 5� � � ���� �� ��� &����� # � ����� ��� ������ - �� �� ������� ��&� ��+ �� ��� ����� � �������&�� ����� ���. � (� ��� �� �����#�. �� ���� ��� - ��� �� ��� ������ (�� ���� �� ���������-: ������ ����� ��� �� ��� �������� �� ���. � � ������ ���� �� ��,�� �� � �� ����������� ���� �� ������� ����- �� �� ������ �� ��� '�� � ��� �9� � ,���� ��� &����� (� ��� �� �����0��� ��� :�9����� �.(�� � � 9�� �� ��� ����. �� (�� ���� ����� ,�� �� ���� ��2��� �� �� ������� ��&� ��� �� ���7� &���� ��� �� �������� ,��������� �� � ��� ���&� ��� � �� ��� � ���������� ������� ��� �������� # �� ��� ��� �� �������� - �� ������ �����- ������� ��� &� ���� ��� (�� �0����� ������ ����� ��� ��������� �����

�� ,���� - ����� ��� �� ,����� # ��-� ��� ������ #���� � �� ����� �� �� ����� - ���� �� ��� � - � �� � �� �. ����2� ����� � �� �������� � �� ������,��+ ��� � ������ ��� � ���� >����� ��������� � ��� ���&� ��� (�� �����8��� ��� ��������� ��� ���� ��� � �� �� ���� (�� #������ � ��� 2���� ��������� ��� �� ��� � - ��� ���: ��� �0����. �� ���� - ���� ����� �� #���� ����� �� ��� ��� �� �� ����� �� � ��0������ " ����� ���� (�� �� ��0��� ��. � ���&� ��� ������ �

���������� �� ��� �� ��������� AA

Page 43: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� '� (���������� )������ � �����

#������ �� ���� � �� ?���� ����� ������ �4 ��� � ���� �2�� �� ��� �� ���� �������� � ������� �� � � ���� � ��� � ���M55 ��� ��(� ��� ������� ����-��� ���,�� ����� (�� �� 2� ���� �������� ��. ��������� � ����0�� �� ���� ��� ����� ������ �� ��� ���& �� �������� �������� ���&� ��� ����� ��� ��� �� � - �����- �� ��� � ��� ���� ���������� ��� #���� ����� ���� ��� �� ������� � ����� ��������� ��� � ����� 5�������.����� �� �� � ���� - �� �� ?��� ����� ����(� �� ��� � - ����� �� - � � ������� �� ������,�� ���&� ��� � �� � � ���� � ��� 5M #���� �������� �� �� �������. ������� �����20�. �� ����� �� �� ��� � - �� � ���� �� �� �����9� � ��,7� ���� �������� � �����

�� �� � ����������� �� ��

�� � � �� �� �� �������� ������� �- � ���� ����� � ������&� ���. ����� ���� � �� ��� ��� - � �� ��������� 3��� ����� ����� ���� ���. ���� � �� (�� ��� �� ��� � �� (��# ��-� ����� �� ����- � ���������� ��� ����� ��� ���� ��� ����� ���� &����� � � �� &���� @��� ������� ����� ������0 ��9�A �� �� ��� ���� � ��� � �� (�� �� ���������� � ��� ��4����������� �� ���&� ���� =����� �� ��,����� �� ��0�� � � ������� �� ��� ��,���� (�� ��� 7���� ���� ����� �� �����������(�� � ��� ���� ������� =���� �#��� #��� ������� �� ����2� ��� ���� ����� �� � �� &���� �. ��� ������. �#��� ����������� �� ��� &������

�� ��� �� (�� ��� &����� �� �� B� ��������C �� ���2�� �� � ������������ ������� ����� �� ���� �� - �� �� 2��� �������� �� �� ��� �� ��� �����. (�� ���& �� (�� �������# ������ � ��� ��� -�

��� �� ���� ����� ���� ��� ��� �� � &����� ,���� ��2������ � ���� ��� ��� �� ����. ���� ��� (�� #�� �� ���� ����� ������0 ��� @���. �����. ������A ,���� � ��� �������� ���. � � ������� �� ��� � �� �� � ���,���� � �� � � ��� � �

������ ������ � �����7� �� ���� ��� � ���� &���� �� ��� ��� ���� ������ ��������� ��� �4������� � ���� $* @9���� ���A� �������-��� �� ���� ������� � �������� ��� �� ���� ������.(�� ������� ���� � ,������ ��������� �� &���� �� �� �� ���2������ ��� �� �� �������

�� 5� � �������� �� ���� � �� ���7� ��� �� �� �� �� ���&����� � � ���� � �� ������ ��� ���&� ��� � �� �������� ��� ,��� � �� (�� �����7� �� ��� ������� ������� �� '����5� �. ��� ������. �� ���� � - � ��� &�����. (�� �����0������ ������ ������. � ����� ���� � ������. ���� � �� � ��� ME������ - ��� ��� �� ��� � ������ ��������� ��� ���� ��� ���� �� ���������

!�

Page 44: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

'�� *����� ����������� ��� ��+�� ��������

K ���� ���+ � ��� �� ���� ����� ��� ��� �� �� �� �� �2�� ��� ���� � &���� @������ � �� � ���,���� � �� ��� � $*A.� 7��� �� �� ���� ��� �� ��� ��� �� �� ������ ��������� ����

��� ���&� ��� � �� ����� ���� ��� �&������ �� ����,������ � �� �� ������ (�� �� ������ ��� ����. (� �&� ���(������ ��� �������� �� ��� (�� �� ������� ��� �� ���� ���7��� � &����� ����� �� �7�� �� �� � �� &���� ��� ��. � � ��2��� �� ����� �� �� � ���,���� �� H� �������� ���� �������7�� �� ������� (�� � &���� ������ � � �� �4&�������� ����� �� ��� ��� (�� �� &���� (�� ������ �� �� ���������� � �� �� �7�� �� ����� �� � ���,���� � @9���� ���A�

?��������

��

��

K ���� ���+ H� ���� ���� ���7�� �� �� ������� (��. ���� �� �� ������. �� &���� �� �� ����� �� ����� �� �� � ���,���2� � �� �4&������ �� ����� (�� �� &���� �� �� ����� �� ������� �� � ���,���� ��

�� ���� �� (�� �� � ���� �� � ���� �� ����� �� ���� �� ��� � � �� ��� �� ����� ��� ��� � (�� �� � ��� ����+

B��� /"9�� @R�� ������RA. (�� ������ ����� �� .�� ���� � ��� ��%�� �� ����� �� ���� ��� 395� �� �� �� �� ���� ����/�2) ����������� �� ������� � ��������������6 �� � ��������� �����#����� �� ����� �� ��� �� ���� ������(�����

����� - � /"� '� ���� �7� � ������ - �� �������&���� ,�7� ����� ��� ���� /��. (��. � �� ��� ����&�� �� &���� �� � � � ��� �������. �� ���� ��� /"����� �� ���� ����������� ��� ��. �� ��������� ������ ������� ���������� � ������� -. �� ��2,�� ��� �� ����. /��. (��. ���� ����� ����� ���

���������� �� ��� �� ��������� A8

Page 45: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� '� (���������� )������ � �����

� � 9���� �� �������� ��� ���� �� �� �� �0�� ����� ������. � ���: /�� ,�� ������ �� ��� �����. (��� ���� � �� � �� ��� ����� ���. ���� ����� R�� ����R@�� �� ����A. R���#�R. R��#��R �. � �������. R�����R�O �� �#� � �� �� ������ ������� ����C�

'� ��� (�� �� ����� ��9 �� (�7 �� � ���+ �� ���� ���� ������4 �� �� ������� �� ������ ���� �� �� � ��� 1�- ��

��� ��� � � � ������ �� � � ���� ����� � ���� � �� �(��.�� ��9 � - ��� ������ ��� �� ��. ���� ��� ��� ������ ������ ������ ��� �� &���� ����&����� O �����7� �� �� ��������� �� - ������� �� ��� &�����. (� ��� ��������� �� ����� ����� ������ �� ���7�� ���. ���� � � ������ &� ����� �������. � (� ��� � ���� � ��� ��� � �� ����� (�� �� ������� � � ���� � �� ���� ��� ��� � �� ��� ��� ����0�� �� ���. �� ����� �4��� �� � �(����� 7�����

��� �� � ��� ����0�� ������� ��� ���� �&� ����� �� ����������� �� ����/ �� ,���� ����������� �%�� �� ���� �%������� �� ������� ������ �� ���� �� �� ��&������(����1�����= �� � ������� ) ��� ��������� �� ��� �� H0� ������� �� ��%�� ���������I�? ��(��� �� ������ �� ����/��� �� ��� ������� �� ��,������ ���(����� ;�� ) ���� ����� �� �(����� ��%�� �� ����� ���� �� ������ � ��,������ ���� �� #�(��

�� ���������� �� �� ��)� ��� �� ����������

B

C

D EA

"��� �� �� ���#�(�� ��� )��� �� ���/����� � ������'2���� ��0� �# �����6 �� �(������� �� �������=

�� � � �

) � ��� �� ����'� � �� ����' ���C� ��� ����� � ���� #�(�� �� ������ �����# � +���� ����� �� �� ����(����� �� �� �� ��� �� �� � ��������� �� ���(��� �� �� ���� ��� ����/���� �� ������ �,����������� ��������� ��� �� ���(��� �� �� ��%���

��� ��� �������� ������ �������� ����� �� ����� @9���� ��!A� �� �� #�� ��� ��8���� ���& ���� ����� ��� �� ����� ���1��� ���� �� � ��� ���������� �� ����-�� &���� ��!#���( �42� - �-� ��� ��� �� ��� ��� �� �� ����� � �� ����� ������� ��� � ��� �� � ,������ &����� � ���� ����� �� ��� ��� ���� ����� ���� ���� &���� 90� �� �� (�� ����� ����� � �� (�� ����� � �� ���� �� � � ������ �+ � ���� ��� ������ �����/ �� ��� ������� ���� �� ����

� ��

���

�����

K ���� ��!+ L���0�� �� ���� 6��� ���� &����. �� ���� � ������������ ��� �� ��� ��� �� �� ������ �� �� ����0 ������2�� ������ �������� ����� �� ����� ������� ���� ��� ������ �������

O � �� �� &���� ,����� �1 (���� ��� ����� �� # �������+���& �� ���� �. (�� ��� ���� �� ��� B�� # ������� �� �� ��2���C�

O �����7� ��� �� ��� �������� �� ���� ��� ��� �� ��������� (�� ��� � ��� ����� ��� ��� ����� � ��� &����� ��� �� &���� ����(� ���� �� ���7� �� � �� �� ��� &����� ���

!$

Page 46: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

'�� *����� ����������� ��� ��+�� ��������

��� ,-����� �� ���7�� ��� �� ��� 9�- �� ���� ������ � .� �%/����� �� �� ���%�����'� �� ��%���� ����# �� ,�������� �� ����� ���#���� ��������� %��� ����������� ������� ������ �� � ��# ���������� ��� �� �� ��� �� �� ���&��� ���(����1����� � ��,!��� ���������� �� ������'� ����� �� #�(���� � ������(� ��� ���� .���� �� � #�(�� �� ��� �� � �� ��%����� ��� ��� #�(�� �� ��� �� �� ��� ����� #�(�� �� ���� �� ���� ������ �� ��� �� �� ����� ) �� ����(����= �� ������ �� ��� ���� ��� ��������� �� ���(�������!� ����� �������� �# �� ���� ��������!�������� �� �/�� �� ������������

����� ������� ��� �� ���� ��� ��� - � �� �������� � ��� �������� � ����- �� �������� - �� ������ ���� ��� &����� ��� (�� ���������� ���� ���� &���� �� ����� �� ��� �����2���� ���� ��� � �������

� �� � � �� ��� � ��� ME55 ������ ��� ��� �� ���� ������� ��� (�� �� ��� ������ �� ��� �� �� ,���� ���� � �. �� ��2� �. (�� ��� &����� �� � ��� ����� �� � ���,���� � �� ��� ���: �� ���� ���. ��� ����� �� ���7�� ��� �� ��� �� ��� ������ �� ���7�� ���� 3�� �������� � �� ���� �� ��� -���� ��� ������ ����� �� ���� � ��� �� �� �� ���� �� ��2��+ �� ��� &. (�� ���������� � � ���� �� � ���,���� � (�� �� �4&������ �� �� (�� �� ��� � �� �� � ���,���� � ������ -� 6�� ����. �� �� �� ��� &���� N� ��� ���N �� � ���� �� �� �� ��� �����

�� � �� ����� ���

��� &����� #���� �������� �� ������ - < ������ ��� � 2 �� �� �� ������� � �������������������� �� � ��������� �� ��������'� �� ���#�(�� �� �� ����(���� �� #��%� � �� ������� ������ � ��� ������ �� ���� �� ����� ���� �(�� �(�����=

������

������

������

����� @(�� �� �� �� � ���� ����� �� � ��� 555 ������A. � �� (�� ��% ����. (�� ���& (� ���. �� � �1� � �� ����� �� �� ��� � �� ��2,���� ���7�� ���� �� �������� � @�� ������� ���� �� ��� �� ���� �� N�����N � ������� N����. ������N. �� ��� �. B���������� ������CA ��>�0�. ����� � ����. ��� ����� �� � ������

�� �� ��� ��,���� � �� � �������� � (�� �� ����0� � ��(�� #�� ������� ��� ��� ���& � �� ����� (�� �)�����.�� ��� �� 6����� �. � � � - � �� ���,����� #������. �� �� ����0�� ���&� �� (�� �� ������ �� ����� �� #������. �"� �

��$����%� ���� � - ����� �� �������� � � � ������� (�� ,������������ ��� ��� ������� &������ �� ���� (�� ����� - �� �������� ��� ����� �� �� �� �F����. �� ���� ��� ��� �������� ��� ���� - � ��� ���� ������ �� ���� ?�� �. ���� �� ������ �� ���,��� �- � �� 5����

�� �������� � � �� ,��� � ������. ���1 �� ������ � �� ,�2�����,��� �� ����� ,����� �� � � ��� (�� �� ��� � � � ��� ����� �� ��� � � �� ��� �������� �� � �� ���&� ��� ��� (�� ��� �� ���������� ������� ���� ������ � ���� ����� � ����

�� ����� ,����� �� �� (�� �� �� � ���� ���� #���� �� 2��� �����- ��� ��� ��� �0���� ���������� �� #��� � ��2� � ������ �����7� �� #����� �� ������ ��� ��� � �� ����������. � ������� � �� ��9����� - �4���� ��� � ��� � ��,��#� ������ � ,������ �� ����� �� �� ����� (�� �� �� 2� ���� ���� �� � �������. � ���� �� � ���,�� ������ ��� ����� ������ �� ����� �������� �� ������� -�� ��� ������

���������� �� ��� �� ��������� A9

Page 47: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� '� (���������� )������ � �����

��������� �� ���2����. �� � �

� �� ����� @��9��A �� �� �2� ��� ��� (���� � &���� ��� ��2������ � �� ��� ��2(��8�� �� 9� �� ���� �4������ ���

�������� ��� �� #���� #�� ��� � ��� �� ����� ����� �� �0� ��2����. � � � ��� �� � ���� @� ����7� �� �� ��(��8� �������� � �2����� ��� ��� �����A �� �4���� �� �� ��� ��� (�� �� (������� ��

6�� �0����. ���� �� � �� ������ � �� �� ����� ����� ���.� (��%��� �� �� �(�� E�E ) �� ��� ������ �� ��(�� �� �� ��%����� �� ��� �� !��� 0�� ��� ��������� ���!��� "���!������ ������������ �� ����� #$" 3�@5� �� �� �� ����� ����(� �� ����� ��'� �� �������� ��������� ����&��� �� �� ���(������ �� �� ������ � �-��� ��������� �(���

@���� � ���� � ������ ����� �� ����� ������ ���� �� ��2������ -A �� ��0��� �� �������� � �� ��� (�� �� � ���� (�� ����� ����7� �� ��� �� 9� �� �� �� �� ����� �� �������� � �� ������2� �� �� �� �� �� �� �� �� - ��� &���� �� �� ����� ��#�� �����. �. �� ��� (�� �� �&����� �� �� ������ �� �� ����� �� �� ��� #�� ��� ��� �� �� ������ �� � �#� &���� @9�������A+

���� ���

� �� ���� � �

�� ������ ����� �� �� �����. �. ������ �������� ����� ������� #������. ��. �� ������ �� �� ������ (�� ���� �� �� �����2��� ��

��

K ���� ���+ ?�� �� �� �� ������ �� �� ����� �� � �������� ��

!"

Page 48: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

'�� *����� ����������� ��� ��+�� ��������

�� �� �� ������ � ��� ������ ��� �������

�� &������ ,�� �� ��� �� ��� ���&� ��� � �� (�� �� &�������- �� ������� &����� � ������. �� � ,����� � �� � 2��4 � ���&� �� ������. � �� &������ &���� � �4 ���� �1� ��� ��. � � (�� 1���� � ������ ��� ��� �4�������� ����� ����+ %����0��� �� ��� ������ ��� �&� ���+ ��� ������.(�� � � 9���� ���� ��� ��� B����� �� � �7� � � ����C ��� � ���������. (�� � � 9���� B����� � �7� �� ���0����C.�� ��� �. �� ������� - �� ��� �7� �� ���0���� � ��� ��� ����� �� �� ����� -� � ��� ���&� ��� &����� �� ��� ����.���&�. �� �&����� �� ��� ������

��� &�����. ��� �� �� � � ���. �� ���� �&� �� � ���2,������ �� ������� �� ��#�� � � � ��� ���� ���&�. ��2� ��� � � �� ���� ��� � ������� �� ������� �� ��� ����+�� ����. �� �� ��. � � ��. ���� %���� ����� � ,���� �� ���������� ����>�0��� � ��� ����� &�����. � � ���� ����� � ��� ���&� ���.(�� � ���� ��� �������� �� � ���� �� ����� - �� ���. @��2,��7� ��A � � ����� �� � ���� �� ����� - # �1 @��� � ���.�� ���� � ��A� K ����� �� � ���� # �1 �� ����. ��(�� ������ ���� � ��� ���,��� �� ��� 1���� ,���� �� � ������� ���������� (�� �� � ���� #�� � ��� �� #�������� ��� � ������ ����� - &���� �. ��(�� ������ ���� ���� � �� ������ ���� � �� (�� �� �� � �� �#��� � ����� ������ �� ������� ��& ��.������ � ���� �� ����� - �� ����� ��� ���� ��� � ���� ��N��&� ���

� ��� ����. ��#�� � ���� &� �����. ������ ������� ��2�� ������ � ������� ��� �� � ���� �� ����� - ��2��&� ��.���� ����� �� ��� �� *������ � ����. &� ���� �� ���+�(������ @�� *N���*A� � �� ���� #��� :���� @B� ��� ��� �� �� �� ��%���� �# ����������

������� �� �� ���� ����� � �� �(������=HJ�#��� ����/� � �� ������#� ��� �-�� �����&���� �� �� ���/�+����� � ���� �1 ������� ���/� ���(����� ���� ���/�� �� ������&� � ���(������ � ����� ��� �(��� ��KI.�� ��%���� �� �(�� � �� ,�������'� �������� ���� �� �!����%� �&��������� ����� ���� �1����� � ���� �� �� �� ���������=

� � �� �� �� �� �� �� � � ��� ���

.� �� ����� �� �����&��� ��� �� ���/� �� ����/� �������� ) ������� �� �(��� �� �(��� ��������� �� ���� ���/�� ��� ��� ��& )��� ������ �� ������ �� )� 0�� ������� �� �(��� ���/�� �� ����� �� ������ ��= �� ����� )����

&����CA ���� ����� �4��� �� ����� �� - � ��� � �� ��2����� �� ��� 7����� ������� ��� �� � ����� ��� ��� &�����. ��2������� �� �� � ��� - ��� ���� � ���� �� ����� -� ��� ���� ��N��&� �� ��� ���� �� � ��� ������ ��. ���� ���2������� �� �� � ���� ��� 1���� ����� @���� ��� �� ��� ����� ��� ����A. �� ��� (�� �� ���� �� +�(������ ���� �� ��� >��� � � �� ������� ��� - ��� � ���� ��� � ����

? ����� ��� �������� �� ������ ������� ��� � �� ����� � ���� � �� � � ��� ���&� ���. #������ ��0��� � ������ ����9� ���� ������ �. � �� (�� � �� ���&���� � ��#�� �����# ��-� ��� # ��� �����

=�� � �� � ��� 5M �� ��,�� � ��� �� �� % ���� � ��� ������� �� �2��� ����� ��� �� ���� ������� �� #���� ������ � ��� ������2��� ��� �� ����� &� � ����� �� �� ���� � ���� � �������� ��� �

���������� �� ��� �� ��������� A4

Page 49: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� '� (���������� )������ � �����

���� ��� ������ �� ��� �� ������ - � ������� �� ����������� �� ����� ��� �� ����/� ����� 0� ������ ) �� �������� 0� �������� �� ������ �� ������� ��� ���/�� >�&������ �� ������� �%������� ��� ���� ��� ��+���� �� �� ���� ��������� �! ���� ���� ��� ����� �-� �������� �EE ���/� �� ����/�� �� ���� �� L��%������ ����� ��0� � ���������� �� ������ ����������� ��� �� ������������ ���������� �� ���� ������� ��0� � ��������� �� �� %�����(!�� �� ����� � �� ��1�����

������� �� �� % ���� ���� ��� �- #���� �� � ��� ME � ���2�� &� ������ � ��� ���� �� #���� ������ ��� �������� (�������� � ���� #���� ������� �� ���� ��� �� ����

� ���� � ��� � ��� M555 � ������ �� L��� ���. � ������ ��2������ ���� � ��� �� �� � ��� �� ������ � ���� (�� ��� ��������������� �� ������� � ���9�� � �����-� ��+ �� ��������� - ������ � �� ����� �� � ���� �������: �� ��� - �� �� �����:�� � ���� ��� ��� � ��� � ����� ��: �� ����� ���- �� � �� ������ � �� ������ - �������� � �� ������ - ��� ����� � � ��� ��� ,���� �� ����� ������ � ���� �� ������� - ��������%�������� �� ���� � �� ������ ����� �� ���� ����� � �������2��. �� � ���� ����� ��. � ��������� �� �� �����0� �� ���� ���-� ���. ��� �� ��� ��������� � �� �� ��� �� ��� ��������� ����� �� �� � -�

�*

Page 50: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

'�� *����� ����������� ��� ��+�� ��������

�������� �� ������

� /�� �0 �0 # � ����� �� �� ����� �� 2����� � ��� �#.G� �))!� �+ 5���� ��� - � 3 �� �. 1� �)$. �����

� /�� �0 �0 �� ���� �� ��� ���� V���. '� �))!� �+ 5���2� ��� - � 3 �� �. 1� �*�. 0�� ��

���������� �� ��� �� ��������� E�

Page 51: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO
Page 52: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

����� ��

� �������� �� ������������ ���� �

� !�����

�!

Page 53: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO
Page 54: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

������ �

� ��� �� �����

���� ��� �8�� �$�* � �$�! ��������� ������ @@<A��)"N�$� A ���������- ��� �� ���� ���� ����� �� (�� 7� �� ���-�� �0 ��� �� ��� ������������. �� �� (�� ������� �� ,���� ����� �7� �� �� �� �� ��� ����� �� �&����� �� ��� �����. &����� ���1���� � �� ����� � �� � �� ��� �� �� � � � �� ��� � � � ���� �9�� (�� ��� 9����� �� �� �� ������ ����� ���2� ��� ��������� � �� &���� ������ #� �� ���� �� �� ����2�� ���. �� � ��� � �� ���� (�� �� 9���� �� � �� �������� ��� ,����� ��� �����4 ����� ���� ��� ���������� ��������� �� (�� �� ��� ����� - �� ���� � �� �������. ���������. ���� �������� �� ����� � ���� �� � ��� ,���� ���(��� �� ��� ��� �� ��� �� ��� ������ (�� ������� �� ����� � ��� 9 ���

� ���� ������� ��,���� �� � �� # ���� � �� �� ���&� 2�� (��. ��(�� �������� � �� 7���� �� ���� �� � �� (��� � - ������. �� ��� �� ������ �� 7���� �� �&������ 6���0����. �� ����� ����� �� ��� � � � ���� ,�� �� �� � ������� ��,�%��� ���� �� ������ �� �������� ������� ����2�� ��� �&����� �� &���� � ���1���� � ������. �� �� � ��� -�� ���� 7���� �� ����� ���� �� ����� �������� �� ,���� ���-� �� (�� � ��� �����. � �� ���� � ��&� ��. � ������� ������2��� ��� 9���-9��� � ���&� ���� 6��� ��� �� ���� ���&� ����� ����. ����(� �� ����� ��� ��� � �� B�� 9���� ���� �� ����� ��#�� � ���� �� ��(��8�� ��� �� (� ���C ��������� ,��2����� ���������: �� ��� (�� ��(�� #������ ����� ���� � ��� - ,���� �� �� � �����. ��� ,����� ����� �� ����������� ���� '�� �� � ���� #��#� ��������� �������� �� ������� �������� (�� ��� ��� ��� �������� ��� �����������&� ��� �� �� ������ � � �� � ��� �-� �� (�� �4 ��� �� ���� 2� -�

� �� ��-4 � �������� ����� ����� ������ �� ��� ��� ��2� ��� ��� 7���� �� ��� � � � ����: ���� ���� �� �������(�� ��� ���� ��� ��� - ���� �� ����� ��� B� ������C � ��

��

Page 55: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� ,� �� )��� ��� �������

����� ��� B �� � ��C � �� (�� �� ��,������ � �� �&���,����� ��� � ���� ��� ������ ���� ��������. ����� ��� ��,��2�� � �� ������� # ��-� �� (�� ������ ������� �� &��� �� ���������

)�� �������� � ���������! ������� �����(

������ ���� �

6��������� ��&�� ������� �� ������� � �� �������� ��� �� ������ �� ������ ���� �� ������� �� ��(��������� �4 ����� ��� �� �� �������� ���,����� N�������� �� �� ����� �� �������C��� �� ������� � ������� ���

,���� � ��������%������� �# ��,!����� ������� � �!����� ��(�� 0����������� �� �� �����#���� (������� (1��� ��� ������� � ����� ��� �!������

� ������N � ������ ������ ��� ����4 ������ � �� � ��� E������. � �� �������� �������� � �� ������ � �� � ��� E55 ������

� ��� �� ���� � � � ��� ���. �� ������� �� ������� �� &����� �� 9���� ���� ���� �� �������� �������� � �#� 9���� ������ (�� ����� ��� � ���� ��� ������. ���� �����9� � �������2�� � ���� &� ,&� � �� ��������� '� ���� ��� �� ������ ������4 �� - &� � ��� 9� ���� �� �����9� � �� �� 9���� ������ -�

������ #�� ������ � �������� �� &��� � �� � ������� �� ��� �� �� � ���� �� �4���� -

� ���

��(�� �� 0��� 9��� - �� � �#� ,-���� � �� � �������� �� � ����� �&����� ��� &��� �� � ������� �� � ������� # ��-� �� 2�������. ������ (�� ������� �� �� � ��� - �� �� ����� ������ ��� ��� - ������ 7����� �� �&����� ��� &��� ��� ��������������� � ���� � �� ���. ��� �� � � 5� � � ����� ���� �������� �� �� ����� (�7 ����� �� � ��������

&���� "���'�� ����� � � �� ��� �� ����#�� �

������( � ����� � ��

H� �� ��� �������� &� �� ���� �� �� ���&� �� �� �� ������ ���� �� �� &��� �� � ������� � �� �� � �� ���+

�� ���� �� ��� � ������� �� - ����� �� �)������ .��)�

�� �� )���/

3�� ����� -. �� ������ ������ �

��� � &���� � ������ ��

��������� �� ��������: ��� (�� �� ����� - ������� �� � � ������� &��� @��� � ������A�

� �7� �� ��������. �� ����4 �� - (�� ��� ��� � ��� �������+

�$

Page 56: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

,�� �������� � ���������& ������� � ��0������� ��� �

�����9� �

��� �

��

��

��

��

����

�� ����4 �� - ������� � ���� � ���� ������� ���& � ���� �� ������� �� � &���� ����� ��� @) ��� �A � ��� � ��� ��������������� � �� ��� �� � ������� �� � 7���� �� �&����� ������(�� �� ��� �� ������� �� &��� �� � ������� ����(� ���� 3�2� ��������. �� ���� ��� � ,������ ����4 �� ��� ���� �� &��� "��� ��������� �#�� �� �� � ����

�������� ��� ����� �� � ����� � ���� ��� �#���� ����&����� �� �� ����'� ��(�%����� 0�%���� ��� �� �#����� �� �� ������ ��� �!���� ����#����� �� � � �

��� .� �� �����

��� 2 ��%���� �(� ���6 �%������ ���(�����=

��� �

��

��

�� �� �

��� �

��

� � � � �

� � �

"��� �� ��� ��� ��%���� %�%��'���

�� �� #��� ��� ������� �������� ������ ) �� � ��������'� ��� � ������ �������� �� �� �(����� ������=

�� � ����

��� � � �

��� ������� �������� � ���� � ��� �� �. �� (�� �4������� ���� ��� - �� ������� �� �� ,-���� �������

�� 7���� ���� �� ��� ��� ��� �� �� ���� ����4 �� �� &����� � ������� ����(� ��� ��� ������ � � �������� ���� ����� � ��� �� �� (�� �� ��� ��� �� �� � ���,���� � �����2���� ���: � ��� ��� - �� � � ��� ���� ���� �� &��� �� � �#���������� �� ��������� ���� �� ��� �� ����4 �� - ���� �� &������ ������� � ��� ��� ����. �� 7���� �� � ����. �4������� ������ ������� �� �� �� � �� ���+

�����9� � ��� ��� �� �� � ���,���� ��

��

�� ��#�� ��� ��4��� �� # ���� � �� �� ���&� �� (�� ��� ����� ���&���� �� �7� �� � �� ���&� �� ���� �� � �� 7���� �� �2��� � ����� �� ��� �� � (�� ��� ,����� � �� ���� � ��� (������ ��� ���� �� #� ������� ��� ���� ��� ��� # ��-� ����������� �� �� ��� � ��� �� �� � ������. � �� �� (�� ���� �4��� ��� ��� ���������� �� ���� ��� ��� (�� #� ������2�� ���� - �� ���� ��� ���&� �� � ����� ��������. ����2� ����� 5� �. ���� ������� - �� ���� ��� #� �� ���� �&�����

H� �� ��� �������� (�� �� ��� ��� � ��� ������ �. �2� ���� ����� �� �������� ���������� �� �� 5� �. ������ ���2���� � ������� ���� �����9� � ��� �� �� (�� �� �� � ������������� �� ����� ��� ������� ����� �� �� �� ��� � ��� ����9��. (�� ������ ��� � �� ��� � 7���� ���� ������ �� �7� ��������� # ���� ������ ���� �� �� ��� � �� (�� �� ��� � � ����� �������� ���7�� ����� �� ������� �� �� ���������� ���������� ��� �- � ��� ���&� ��� � �� � ������� �� ����� -�� �7� ���

�� � �� ��� 7���� (�� ����� � ���� ���� ������� �� &������ ������� ��� �� � ���� � 5� �� � ���� ���� �� ������ ��2� 7 � ������ ��� �� ���&���� ������: � ������. �����(�� � ��� ��� ����� ���� ���� N�� ��� � ��� �� �N �� ������2� �� �������� �� � ���� �&������ �� �7� ���. � ���� ���� - ������4 �� - �� ����� � ���� ���7�� ������

6��� ������� �� ������� � ����� -. �� 7���� (�� �� �� � �2��� �� �� (�� ������� ��(���� ���� � �� 9���� ���+

���������� �� ��� �� ��������� E9

Page 57: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� ,� �� )��� ��� �������

A

C D

B

O

F

G

E

E

K ���� ���+ 3����� � � ������� ����4 ��� �� ���� &��� (�� ���������� �� � �� @5� �A� � � �

�� ��

��

��� � �� ������� - �� ��� � ������� ��� �������� ������� ���� �� � ' ��0��� �� � ���,���� � �� ����� � � ���� � ��� �������� �� ���� � �� ��� ���� (�� ���+�� � ��������'� ��� ����� �� � ���

�!���� �� �� �#���� � ����� �� ���(����� ������=

�� ������� � ������'� ��� ������� ��"��#(��� �� ������ ������ �� ������� �� �� �����,������� �����������

��

��� �� �� ������ �� ����� �� ��

�����,������� �� ����� �� ��#=

��

��� �

�� �

��

� ���

��

���� �� #��� �� ��� �����,������� 0��� �� �� � ��������'� ��� �� #������ ������� �� ���� � 0� �� ����������� ������'�=

�� �

��

��

�� � �

C� ����� �� � ��������'� %���� ��� � �=

� ��

� ���

�� �� ��

� �

� ��

�� ������� �� ����� � � � ��� � � ��. ���1 ���� 7����.�� (�� � �� �� �����9� � ����4 ������ ���� � �� �����9� ���� �������� � ���

��(�� � ����� ��� # ���� ������ ���& �� ������� � ��2��. �� �������� (�� � ��. �� �� �� � ��� �� �� ��� ��� ���������� �� - �� ��� ����� ��� ���� �� &��� �� � �������. ��� &���� � �� ��� ��� �� �� � ���,���� � ��������� ���� �������4 �� ��� (�� �� � ���� � ��� �&������ �� �������� ��29� ������ � � � �� ��� � ��� ���&� �� �� ���&���� ��� �2 ��+ � �4 ���� � ���7� �� ���&���� ��������� ��� ��� ������4 �� - ���� ��� &� �4����. � � � ���7� ��&�� �� ����� �� � ��� - �� �� ���&� �� � �� �����0� � �� � �� � �� ��

����� ����� ��� 7 � ���� �������� ����� ����4 �� ������� �� &��� ��� �������. � ���� ����� ������ �� ��� ���� ������ ���� � � � 3# �: ���� ���� �������� �� 7���� ���2� ������ ������ ���� ���� ��&� ��� �� � ���� - � �� (�� ���������� �� ���� ��� ���&� �� � ���� � � � ��� ����

�"

Page 58: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

,�� �� ����� � �� ���� �� �� !���� ������

)�� � ����#� � �� ���#� �� �� *���� ��(

����

�� ������� ��� �����0� � ��� (��#������ ��� � ��� @�� �&����� ������� (�� �� ������� � �� �� (�� �� ����� ���: �� ��� �� - ���� ��� ��� �� ���� �� ������ � ���� ������ � ���� �� �������2� -. ����A ���� � - � ��� ���� ��� ��&�� �� ���� �� �&������� &���� � ���1���� �� ������� �� � ����� (�� ��� �� ���������� ���� ��� ��� ������� � �� �������� -� ���� ����. � ������� �� ��� �� �� ���&� �� ������ ��. &� � ���� �� ������ ��������� (�� � �� � �� ��&�� ��. ���� ��� �������� ����������(�� ,����. � ���� �����. �� � ����� � �� ����� � �� ������������� ����� �� �� �&����� �� &���� � ���1���� K���� ���� � ���� �������� ��� (�� � �� � ��� M5M ������� �� ���������� ����&����� ������. �� �� ��� ������ # ��� �� �� ���&� ���

��� ���&� ��� �� ���� ���� 9���� ��� ��0���� ���&� ���� � ,������ ����������+

� �� ��������� (�� ������ ��� 1���� ��������: �

� ��� ���������� (�� �������� ������� ����� � ��� 9������� �. � � ! � �� ����

'�� ��0���� (�� ������� ��� � �� �� ��������� ������ ������� �� � ���� ����� 6��� �� � �� 9���� � �� ���� ���� � �������� � 1���. � � (�� �� &��� � �������� �4�������� � �7� �� �� �� ������� - ���� �� 9���� (��(����� ����� �� � ���� 9���� �� ���� ��� '� ���� ���. ����,���� � ���� ���� � � � 1����� �� ������� �� �� ������ �� ��9� ������ ��� � ��� ���� (�� ������ ��� �������� ������� ��� ��� ���� ���� ��� 1�����

6���. ;��� (�7 � ����� �� ��� � 1��� ���� �� ��� ���.�� &��� � �� ����� �� �� 1 �� 9����. ��� � ��� �� ����#�� ��� #���� ��� ����< �� ��������� � ���� ������� �������� � ������ (�7 ,�� �� ������� 6 ���-� ���

&� �� ��� )�� �*����� � � ������ � � � � �� ��

������#� ����

6 �&����� ,�� �������&�� �� ����. �� ��-����. *��!��� ����������� �� .��������� '����� ��� ������ � �0�� ���� �������� (�� �� ���� � �-�� ���� ���� ���&� ���� � ��� 7 ��� � ����. � � ���� # ��-� �� (�� ,�� ���� ��� �� ���������� ���� ��� ���� ��� ��� � ��� ��� ���&� 2��� ��������� ������� � ��� ���&� ��� � ����� ���� ��2 ��� ���� ������� � ������ �� ���,��� - ��� � ����� H� ����� &4 �� &� �������� �� �� ������� � ���-� �� ��� (��

���������� �� ��� �� ��������� E4

Page 59: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� ,� �� )��� ��� �������

��� 1���� �� ��� ���� � (�� ��� ����� ����� ��� � ������=���� ������. �� ���� ����� �� ��� ���� ���� ����� ��2 �7� �� � �������� �� �� � ���� � �� ����� - �� ���������������� � �� ������ � ���� - ������ �� �� �-� �� � �� 9����,���� ������. ���� � �� �� ���� ��� ��&�� �� � ������������� ����� � ��� � ���-� ���. ���,������ ����������� ���� � �� �� ��� � ��� (�� �� �� ��� ��� �� &� ���� ����� ����� ����� � �� � ���

'���� � - �� ������� � 3�����. � �� ��� �� 5��� �. ,�2.� �/�� �� �# ����(� �� �� ��� ��� �� �� ����&���'� �#����� ���������� �������� ���� H.� ��������� "��#(���I ������ �� ��%������7 ������������ ���������� ���%�1���,������� �� �� �%�� �(� ���� ������ ) �0����.����� �� ���������� ,#����������,�������%�� �� �� ����&���'� �� ���������� ���� �� ����(M����� �� ������ � ��(�%����� ) ����� �� �����(���� �� � ���#�(�� ����#�(�� ��� ���& ������� �� �� �� �� ������ �� ����7 �� �(��� � ������������ � (���1����� ) ����� ���� ������ ��� ������� ���������%�� �� ���(���� �� � ����#�(�� ��(�� � �� �� �� �� ������ ��� ������ �� �� ������� ��������� �%�� ����� �� ������ ���������� � �� �������'� �������� ���� �����#���� �� ����(� ������&�������7 �� �(��� � �� �������'� (����(��

� ��� ���&� �� � �� � �� � ��� �� � � �� �� �� ����������� ����� 9���� � ��� � ��� ��� �� � ���� ��� �-� 2�� ����� ���� ������ ��� � � � ��� ��� &� �� ���� �� #���� �� �4��� ��� �� �� � ��� - �� � ������ � ����� �� ����� -(�� ����� � � ���� �� ,���� ���. � (�� ���� �� �� �� ��� �����0� ��� � �� � � � ������ ��� � ����� �� �4���� - ,���2� ��� � �� ��� ����� � �� �� � ��� - �� 1�� ���� � � � ����� ��1���� �������� ��� ����������� ������ � ���� �� �� ���� � ���� ��. �����9� ��. ����� ����� � ������ ��� � ���-� ��������� ��� 7 ��� 1���� ,���� ��� ��. (�� ��� ��� ����4������ �� ��� � �7� �� �� ������� ���: ���� ��� ���� 2��� ��� � ����� - �� �� ������ �� ��� ������� ��� ��� �������� ���� ��� � ������ ����� �� �������� �� � ���� ���� �������� #�� ���� �� ��� ���� �� <� �����

%���� ���� �� ��� ��� ��� � �� &���� ����&���� ������������ �� �� H� ��� ��� �������� - � ���� �� �������(�� �� &��� �� ����(� ��� �� ��� ��������� ������ ��� ����� ������ ������� �� �4&������ �� ��� ��� &��� ��� �������� ������� # ������� @9���� ���A

11

11

K ���� ���+ 3��� ���� ����� ��� ������ �� 6 �&�����

�� �� ���� (�� �� # ������� � ����� ��� � 1�� ��� �������� ������. ���(�� ��(�� ��� ���� (�� 7� � ������� � ��� �������� 6����� (�� ���� ����� �-�� �4 ���� ��� 1���� ��������� ��� ,���� ���. ���� (�� ������ ��&� ��� �� ,���� - (�� ������

�*

Page 60: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

,�� �� ����� � �� ���� �� �� !���� ������

���� �4������ �� ����� �� �� # �������. �� ��� �. ������� �1��� �4�������� � ,��� �� ,���� - (�� ��������� �� ��� ����� �� � ����� �� � �������� �� ���� ��

=�� � ��� ������ (�� �4 ��� 1���� (�� � �� ��� ����4��������� � ,��� �� ,���� - ���� (�� � ����� �� ���� ��������� ���� �� �� �� �� �� �� ��� ���: ��� �� �� ���� ��� 1����. (�� �� ���� � ���� ����� � �� ��� ��� �� �� � ����� ��

� �������� ���� ���� �� �� � ���� �� 1���� ���&

� ���1 � � � ������ �� ���� � � �

�: ���� ��� &� ���� ��.

���& ����

�� �

�: �1 �������� ���� � ������� ��� �4�����

��� ������� � �� (�� �� ������� ���� ��� (� � 7���� � ����� ������ �� ����� �4�����

�� ���� ��� � �� � ���� �4���� ���+ �4 ��� 9 ���

1���� �� ���� ���� ����. (�� �� ��� (�� �� ��� � �9�������� �� ������ � ��� ���� ����� � �� � ���� �� �2���� - ������� �� �� ��� ���� ������ ,��������� �� ������� ����+ �� ��� � ����

��� (�� ��� � ���-� ��� �� �������� �� �� �� �� B����C(�� � ��� � 1��� � �� ��� �� (�� ����� ������� ���� ���2� ���� � �� � ��� (�� ��� 1���� ��� ���� ��� � ���-� ��� ������ � �� ����� ��� ����� �� ,&� � �������� (�� �� ������� 2 ��� ��� ������� �� ���� �������� -� '�� ��� � ��2��� ��� ����� �������������� � � ���� � �� ������ ��������� ��� ����� �� ��� 1���� ���� �������� �������� ���7�� 2��� � ��,�� ��� � ��� �� ��� � �7� �� �� ������� ���� =������� �������� ���� ������� �� ��� ����� ������ � ����� ������� ��. @� �&������� ���� �� ���� �� &���� � ���1���A��� ��� ��� ���0���� � ���� �� ��� ��� ����� ��������������.��(�� �� ��9 � - � �� ��� � ��� �-� ����� ����������

��� ����. �� ���&���� �� ��� ��� ����� ����������� 2���� � ��� � �� ���� � ��� ���� ��� ��� �� ��� � ���-� ���.����,����� � ���7�� ��� ��� ��� ����� ��� �� �7� ��� ����� (�� ���� �� #���� �������� ��� ���&� ��� �������� #���� �� �� ��� ���� �� ���� �� - �� � 1��� � �� �� �����7�� �� @������� ����� �� ����0� �� � ����� �� ���� ���1���� � ��� ����. ��� ����� ����(� �� � ���� � ��� ��2 ���A. (�� �� ��� �� ���0��� �� 9����� ���� �� ������ -��� ������� ���&� �� �� &��� �� � ���� � �� ������ �� ����������� ��&�� ��� (�� ����� �� �� �&������

&� � �� ����� � �'+ #���* � ������

G���� ������0�� ���&� ��� �� ���� ��� �(����� 7���� �� ����� ��� 9�-��,�� �� ����. ���� ��� #�� ��� ������ �� �� �� ������ ���� ����� ��� � �������� �� ��-����� ���������� ������� ��������� ���������� 9 �� �� ��� ������ (�� ������

���������� �� ��� �� ��������� 8�

Page 61: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� ,� �� )��� ��� �������

�� � ���� ��� ��� ��������� �� �� � �� ��� ����+

1*� ���� ������ �� �2�� � ��� ����� 3��� 4������5

����� ������� 2�� �������� �� ���� �� �� �������6 �

����� �� ���� �� �� 2�� 2����6 � ����� ���� ��� �� ����

�� �� 2�� 2����� ���� ������ ���� ������� �������� �

��#� ��� ��5 ��� 2�� ����� ��������7

��(�� ������� � �� ���� ��#� ������ �� �� ����� - �2��� ��� 9�-��,�� � ��� ���&� ��� �� ����. �� ��> ��� ���������� ��� ������0�� ��� 9 �� � ��� ����������� ��� �� �42���� - �� � �� �������. � �4 ��� 7����� �-� ��� (�� ���2 � ��� ������� ����� ��� ���7�� ��� �� ���� ��� � 9��������(�� �� ��� ���� �� � �#� ��������

��� ���&� ��� �� ���� � ��8��� �� ���� ��9 � ��� ��4 ��� ���� ����� ����� (�� ���0��� � �� ��(��� �� ��2������ ������ ��� '� ���� �����. �� (�� �� ������ ����2� ����� � ����� ����� �� �� ������ �/��� � ���1

������. (�� � �� � ��� � ���� �� �� ���� ��� (��.

����� ��� ���������5 ��� ����� 2�� ����5 ��� �� ��

��#�� ��������� ��� 2�� ���� ����� ��� ����

�������� ���� #��#� ��� � ���� ���. �� ���&� �� �� ��������� ������� �� (�� #�� ������� ��� ������ � /1

+�����. �� ����� - �������� ���� ����� �������� �� ������ ��� �-� ����� ������� ������� �������� ����2� ����� �� �� �&����� �� &���� � ���1���� �� 7���� ���4#���� - �� ������ ������ ���,������� �� ����������2� � ���� �� ������ ���&� �� � � ������� �� � ��� /������������ � 7� � ����7� ��� �� ������� (�� ����&�������� �����+ ������� �� &��� ��� �������: ���� ��� � ���� � �� 3# ��

&� �� �� ��� �� ����#�� � !���� � � ,+�

� ���� �. ���&� ��� ���� ���� � ������ #���� ����� ��(�� �� �0�� (�� �� ����� #���� ���� ������� �� ����4 2�� - ���� �� &��� �� � ������� ��� ��� � � � �� � ���,��2�� � ��������� ��� 9����� ���� ����� (�� ��� ��� ���� ���� ���� 1��� �� ����� @9���� ���A � �������� � �������� ���&���� ��9 ������ '� ���� ���. �� �����9� � �� �� 9����� ����� - �� ����4 ���� ���� ��� &�. � &�. � �� �����9� ��� �� 9���� ���� ����� 6��� �� ���� ��� ��9 � - �� ���� � ���.��� ��������. ������� ��. �� ��� (�� � ����� ��� � ��������� ��� �� ��� ����4 �� ��� �� �������� - �-� ��+;=���� �-�� ��� ��� ��� ����4 ����< 6����� (�� �� �������

��

Page 62: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

,�� �� ����� � �� ���� �� �� !���� ������

��� �� ����� ����4 ���� �� ������� � ������ ��� � ���� �2�� ����������. ;��� ������ ��� ��� ������ � ����� ���4&������ �� &��� �� � ������� ����(� ���<: � ��� ����. ;��&���� �� ����� (�� �� ������<

�� �4 �� (�� ��� � ��� � ������ �������� ���� ��������-� �� ����� �� ��9 � - �� � �� �� �� �� � � �� � ��� � (��.

� �� ����(� �� �� ��� (� ���� �� ����� ����(�� �� ���. � ��� ����� ���� ����� ��� (�� �� ���. � ��� ����� �����. ������ ������ � ���������� �� ��(��8� ��� (�������

�� ������ �� ��� �������� (�� ��������� �� �&����� �� "��� ��%�� �� � '���� � 2 ���/�� �� � �!����6 ����� �� ����#��� �� ���� '���� �� � �����!��� �� �(����� ������= .� ����� ��(�� � �����)� � '���� � ���� ��� 2 �� �/�� �� � ��!(��� ��������� �� �!����6� �� ���� �� �� ��,�������� ����� ��%� ��� ������ ��� ���-� ���� ������7 �� ���������� �����)���� ����� '���� �������� �� �� ��,������� � ���&�� ������ �� �# �� �� ������.� �(��� �(��� � �����)� ����'���� � � 2�� �(�� #��� �� � 6 ������ ���� ���������'�� � ��%� �� ��������� �� �� 0� '��� � � �� )� � �� � ���(� � �������������� ) �� � ��&��������� �'(��� 0� �� ��� � ��

&���� � ���1��� �� �������� �� � ���� ���� �4 ���

�� �� ��� ,���� - �4���� �� ����� �� &��� �� � ������� ���� ����� �� ���� �� �������� � ��� �����0�� �� ��,�%���.(� � �������� (�� �� �����9� � ��� ������� �� �� �� (�� ���� � �� &���� ����&����. �� �� ����� ����� �� �� ��� � � ������ �� ��� ��� �� �� � ���,���� � @9���� ��!A�

�� ������ (�� ����- � ���� ��,�%��� �� �� ������ ��� ���� ������ - �� �������+

�� 6����� (�� � �� ��� ��� (�� ��� �����

�� 6����� (�� ������ �� ��� ��� (�� ��� ����

!� � �������� �. �� ����� �9��� (�� ���� 9����� � ���� �� �����9� ��

��,�%��� ������- ��� 7 �� ����4 �� - ���� �� ������� �� ���- �� ������� ��� ��� ���� �� &��� ��� ������� � ���������� �� �� ��� �: � ���� �� ��� ��� �� �� � ���,���� ���������� ��� � �� � &����� ���� ����� �� ���� ����� ��(�� ������� #�� � ��� ��� �� E����� � ��� ��� -.���0&���� � ���� �� �� �������� - ��� � ��� �� ����- ����� ��,�%���. �-� ������ ������ ���7�� ����� ������4 �� - ���� �+

3�� ������ �� � ���,���� � �� � &���� � ���� ��� ��������� ��������+ � � � � �� ��������� ��� �������� � ���2��� ��. ���� ���� �� � @9���� ���A ��� ����� ��� �������� ��������� � �� � ���,���� �. �� ��� (�� �� ���� ��� �������� �� ��

�� ����� (�� �� �������� ��� �������� ������� ���� (�� ����� ��� �� �� � ���,���� �. ��� (�� ����� �� ����� -+

� ! � � � ! �

/���� ������ �#��� �� ����4 �� - �� ���/� ���� � (�������� ������ �� �� �� ����. ���� ��� ��� ��������.

���������� �� ��� �� ��������� 8A

Page 63: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� ,� �� )��� ��� �������

K ���� ��!+ �� &��� ��� ������� �� �� �� (�� �� ��� �� &���� "@%� =���#+ �� =��� �, :��������A

��� ���� ��� � ��� �&������. �� #�4&��� ��� �� � �� � ���2,���� � @9���� ���A�

6����� (�� �� ���� ��� #�4&��� �� �4&������ �� ��(�� �� ��� �. �� �������� �� � �� 3�� ����. �� ����� - �������� ����� � �� ��� ��� �� �� � ���,���� � ���&+

�� # � � � � # �

H ��� ���� �� ��������� (�� ����� �� ���� ���� �� ������2��. ������ �9��� (�� �� ����� �� � #� �� ����� ������ ������ ! � ��

��

Page 64: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

,�� �� ����� � �� ���� �� �� !���� ������

K ���� ���+ 6������� ��� ��� � � ������ ��� � �� � ���,��2�� �

� � ����� �� #�4&���� ��&���� ���-���� ������������ ����4 �� - &� 9�: � �1 &� � ��&���� ���&����:� ���. ����� ������ �� ����4 �� - #��#� ��� ��,�%������ ������ �� �������� �� �������� �� ��. ��. �" � )$ �����.���� ��� �� ����4 �� - ���� � � �� �������+

���$�� # � # ��$��

(�� ������� �� � ����� ����4 ��� �� !����"� � �� �8� ��**'��&�� � �� 5� � ������ � ����� ���� � �� !.���$: �� �� � ��� ME �� ���&� �� ����� ��!���&� �������� ������4 �� - �� !.����)�$�!�") )!�. ����������� ����������� �������� �� � ������� ������� �� ��� ��� (�� � � ���������

�� �� � ����� ����� (�� �1 ������� ��� �� � �2����� �� ������& � �� � � � �� �� � ���,���� �: �� ��� (��. "���!��� ��������� ��� �1���� ���

�� �� �1���� ������� �� �#���� ���� ?�� ��%��(�� �� � �� �� ����������� � ����&� ��� �������� ������������ ������ �������� �� �� ����� �������� �� ������� ) ���&��� ���(����1������

��(�� ������ ������ � ������� (�� �� ����4 � ���� ���(������. � �� ��� ��� ������� � ����� �4�����

���� �� 7���� �� ����4 �� - �� ��� �������� 2��� ��� � � ������ ��� ��� �� � ���� ��� ��� �� ���� ���� ����4 ���� &��� ��� �������� � ������. �� ���� ������ �� � ���������� (�� ������ ����4 ���� �� ����� ��� &��� ���� ���(������ � ���� ��� �� ��� ����� ���� � ��� �� ��������2 ��� ��� � � ������ ���2� � ��������� �� &��� ��� �������� ��� ��: � �����7� ��� #�4&���: � �����7� ��� ���-���. � �������� �����. ������� ����4 �� �� �� �� ���� �� ������� �������� ;6�� (�7 ������ ��� ������ � ���� ��� ���&� ����� ���� ������ �� ����� ��& �� ��� ������� ��� ��������� 7 �� &��� ��� �������� � ������ ��<

E����� ���� �� �������� � �� ������� (�� ���� ��������� 7����. ����� � ��� �� ����(� �� �������� � ������ ��.��� �� �� ��� &� �� � ����� � 3# � ���� ������� �� &���

���������� �� ��� �� ��������� 88

Page 65: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� ,� �� )��� ��� �������

��� �������+ ����4 ������ � �� � ��� 555� *�� #�� �������� � �� ��� ,-���� ���� �������� �� �����9� � �� � �������. (������� �� �� � &���� � ��� �������. � �� ��� ��� �. �� �� � ���2,���� � ��������� ���+

� �

6����� �������� �� ������� ���� ���� �������� (���� ,-���� �� �,��� ����� ��������+

� �

��

� �

6��� �������� �� ��� ���. *�� #�� �� � �� � 7���� (�� ������� �� ��� �� � �� �� �� � ���� �. �����7� �� #��������4 ��� �� &��� ��� ������� �� ��� �� �� �� ����� - ���������� ��� ��� (�� ����. ���� ��. �� ����� 1��� ������� (�� �� ���� ��A�

E���� � ������� �-� ,�� �� ���� 7����+

3�� ������ � ������� ������� ��� �� � �� � ���,���2� � @9���� ���A� 6����� ������ �� �����9� � �� ����(� ��� ������� �������� ��� �� ���� �� �������� ��� �� ������ � � 2� � ��� �� ��������� ��� �� � �� �� (�� ��� � �� ���������� � ���� 1��� �� �����. ���� �-� �� ������ �� ������4 ��� ���� ��� &� �� ��� �: � �-� �� �������� �� ����������� �� ����4 &���� ���� ��� &� � �� ��� ��� �� ��� ���,���� �� 6�� ���. �� &��� ��� ������� ����� �� &��� ���������� ����� ������� �� 1��� �� �����: � ��� ��� ��2� 7 ������ ��������. � �� #��#� �� � ����. (�� �� �����9� � ���������� �� ������� �� ��� �&���� � �� �� ����(� �� ���� ��������������. ���� ������ �� �������� ��� �� ��� ��� �� �� � ���2,���� � � �� ������ ��� �� ��� �+

� � � � �

� � ��

� ������. � ����� ��� �� ���� � �� �� � ���� ����������� - #�� ��� #����� ���� � ����(� ��� �� ��� ���&� 2��� �� ���� ��&� ��� � �� ������� �������� �� ���(�7� ���1�� �� � ��� � �� ����� ��� ��������. �� ������ - �� �� ���&� 2�� � �� ���� � ��&� �� ���� � � ��� �� ����� ��� �-� �� ����� ��� �� �� ��� ����� - ��� 9 ��. (�� � ��� ��� �����9 � � �7� �� ���&� ���� ��� �������� ��� �� � ������ 7���� �� �4#���� - ���� ����� ���� ��(� ��� ���� � ���� ��� ����� ���. (�� ��� �� � ���� 1 ����� ��� ����2� ���� #������ ��� ���� � ��� �� �������� - ���&� 2��� � ���� ��� ��. �� ��������� �� �� ���&� �� �� ��� ��# � �� ���������� � ,������ %�� 7 ��� 9�-��,�� �# ��

�$

Page 66: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

,�� �� ����� � �� ���� �� �� !���� ������

�� ��������� ��� ��� ������0�� (�� �� ��� ���� �� �� � � � - 9 �� �� �� ��� ��� 9 ��. � �� �� ��� � � ��� �� ��� ������� �� ��� 9 �� ��� ��� �� ����� ����� ��� � ��������� ������. ��� ���&� ��� �# �� �� ������� �� ���������������� � ��� (�� ��� �� ����� - ��&�� ��� /� ������ �� 2��� �� ��� �� ���� B 9 ����� ��(��8�C ���(�� �� ���� ���� �� 9���� ������� ��� �&������� 6��� �� 9����,�� ��� ���.������������ ����4 ������ � �� � ��� E ������. �� ��������� �� �0����. � � �� �� � ������: � ��� � ������ �� ����. � ������. � ����4 ������ � ��� ��� � ����. �� � �������-� �� ��� �� ���� �� �� ��&�� �� � ���9���

�� ��� �� � �� (�� �� ������� �� ����� � �� 9������� ���� �� �� �� ������� �� ��� � �� - ,�� ��������4�� � ����� ��� ��� ���&� ��� ��� � ��� ME55 ���� �� ����� �����0 ��� ��� 7���� �� �4#���� - � �� �������� - ���������� �� ��� - �� ���� �� � ���� - 9���-9�� ������ �� �� ����� ��� ����� � � � ���� � 9 ����� ��(��8��. (�� #����� �� �4��� ��� � ��� ����� ���� �� ����. � � ���� ����4����������� ������ �����- �� ���� �� ��� 7���� ����� � � � ���� �� (�� �� ��,������ �� �� ���� �� ���������

���������� �� ��� �� ��������� 89

Page 67: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO
Page 68: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

������ �

"�#������� � $����� %&'' ( � �� )��� ��

'����� �� ���� ?�� � � ��� #���� �� � ��� ME5 ��� 7������� � ����� ���� �������� &���� � ���1��� �� 9����� ���7�� ��������� ��� �� � � �� ��� ����� ��� �� ����

�� ������ �� �������� ���� �� �� ������� �� 7���� �� ������ ���� �� �&����� �� &���� � ���1���� '����7� ��#���� ������ �� ��&��� ��� ��� �������� �� ,���� �� 2���������� � 7�. � ��� ��� - ��� ������ &� � ������� ��� � 9���� � �� �� � ��� - �� ���� 7����� 6��� ���� � �� 7������ ������ ������ �� �� (�� �� � �� ���& ,����� ���� 1��� 9 �� �� �����: (�� �� �����9� � ���& ,����� ��� 9 ��� � ���. � (�� � �-� �� �� � �� ��� ���& ,����� ���� 1��� 9 �� �� �����9� �� ������ 6��� ������. ���B � � � ����C ��� �� ��� �� �� ��� � ������� � ��� � ��2 ��� ��� ������ ����� ����� �� 7���� �� ,����� �� ��� �� ��� ����+

� ��� �-� ��� � �� �� �� ������ � � ��� ���� ���#��#�� ��� ����� ��������� � ��� ����� � � �� ��� ���� � ���& � ���� � �� �� ������� -. �2����� �� ����� �� ��� �-� ��� ������ ��� 7 �� �� ������� -�

� ���� �����. � ��� ���� ��� ������� ���� �� �� ���8�.������ ��� ��� �-� ��� ����& �� �� ������

5�� ��� ��� �0���� � ��� �� � ��� �������� ������� ���� 3���(� �� ����,���� - (�� #����� ��� ��� � ������ � ������� ������� ���& �� ���� 9���� �� � �� ���(�� � ��� �� ��� �� �� ������

�)

Page 69: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� 8� �2������� � �������& �-99 �:�� �� 4�����

+�� ��,��� �� ��� ���� ���

3� �� 7����. ������ ������� ����� ��� �� &��� � �� ���2�������� � � � ��

"��� ������� �� ��#���� %������ ��������� � ��� � ���� ���� ) ����� ��� �� �1����� �� � ��!(��� �������� �� � ���� ���� �� �� � =

V

� ����� �� �0���� ) ��� �� �������� �#����� ������������ �� ��� �������� �� ��#���� �� ���(������ %�� � ��!(��� ��(��� �)��1����� � ��1 �%�� �� �������� �� �������� ��� ��!(����

a

l

"��� �� ���� �� ���� �� �� ��#���� �� ���#�(��� �� ��� �����#� ���#�(�� �'�����

�� �� ��� 9�����. �� ��� (�� ��� ��� ,�� � ����� �� �&������� ����� �� ����� � �� ���� �� (�� �� �� ��� 9����� ,�������� ���� �� ��0�� � ��������� � �������� �. � ��������� �� � 7���� ���� �������� � �������� �� ����� ��� &��� �� �� 1 �� 9����. � � (�� �� ���������� �� ��������2��� � @� ���� ��A ���� ��� ������������ �� ��� �-� ��� �� �� (���� ������� �� ������� �� ���8�� ��������� ��� ���� �� ������� �� �� �� ��� ��� 9�����. � ���� ��� ��� ������ �� ���� �������

�� 7���� �� ������ �� � �4������ �0���� ���� ��2>�4 ��� ������ �� �� ������ ���&� �� ��� ��� �� � �� ������ �� � �� ���� ��� ���&� �� � �� ����� ��� � ������ ��� �� ��� � � � ���� ��������� �� �������� ���� �������&���� � ���1��� �� 9����� ���7�� ���. ���� �������� ����2���� ����� ����� �� �� ��� ��� �� �� ��� � ����� - �� ������� ��� �� �� ��� ���� � ������ �1 ��0�� �� ��� ��9 � ������������ ��� ��� ���&� ��� ��� � ��� M5M � (�� ��� ������ �� ������ ��� �&����� �������

H� � ���� �� �� � � � �� ������ ���� ������� �� �42���� - ��� ����� �� � � � ��� �� ��� � � ������ �� 3�2� �������� ��� 7 � �� �� �� �� �� ������ � ���� �������� ��� �����9� � � ��. ��� � ��� �� � �� � �� 9��2�� $���

K ���� $��+ ��� ���� ��� ��� � � ��� � �� �� �� � �� ����&����

���� ���� ���� 9����� � �� �� ������ ��� � ������������ � �� ���� �� ��� �� ��� 9����� @� � ��� � � ����&2����A (�� � �� ���� &��� � ���

� �� ��� �� 7���� �� ��� � � � ����. ������ ����� � (���� ����� ��� � � ��� � �� ����� ��� �� �� �� � ��+

E���� ��� � � ��� ���

$*

Page 70: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

8�� �)��� �� ��� ����#���

'� ���� ���. #��� � �� 9���� �� �&����� ��� ����� � 2 '�� ������ � �� ����� �

V V

V

V

Vl

a

�� ���������� �%�� � ���� ��

��#���� ��(��� ����� �%������������� ���#�(�� �(��� ���� �������(� �� ��!(��� �� �� %��� .� #����� �� ����� ������� ��#� �� ������������ �� �� �� �� #��� �� �����#�(��=

� � �� � ��

?� �� ��#���� �� ,�� ����� � ������� %�� ��(��� �� ���� ��������)� �� ��!�� �(���� �� ���� ��0�%�!� �� ������� �� � ����� ��#��� �� ���� �����

'�� ������ �� ����

a

l

g

��� ������� �� ���� ��� �� ��#����� .� �� �!���� �� �� %����� ���� �����%��� � ��!(�����(��� �������� ) �������� �� ��#���� �)� �1����� �������� ����� �1����� ��� ����� N%������ �!�� ��#���� ������� �� �� ������ ������ �� �� �+���� �� ������ �� %�� �� �� ��#���� ����������� ���%�1� �� �+���� ������ �� �� ��#����� �� ���� ���� #��� ������� ��� ���� ��# � � � � ��

���� ��� �� �����9� � ������� @�� � � ���A ����&���� �� �� ���� 9���� �� ����� ��� ����� ����� @�� �� ��A. ��#� &�,&� � �� ��0���

���� � ��� ������ #���� ���� �������� �� ����� �� ���� �� ������ � � ��� � �� �� ���� . �����&���� �� �� ����2� �� �� � �& �� ���� ���� ��� � ����� �&���� �� �����9� �� �� @9���� $��A�

K ���� $��+ ��� ���� ��� ��� ��� � �� � �& �� � �� ���� &����

3��� �� �� ����� �� �� � �& ��. % �

����. ������

����� � �� ����� ��� ���+

E���� ��� ��� �

����

�� �� � � � �� ������ ,�� �� ���,������� ���� ��2����� �� ����� �� 9����� �� ���� � ��. ���� �� ���� �7� ����& � �� ��� ����� - �� B����� ��� ���� ���C �� �� 9�������(�� �,��� ����� ��� ��� ���� ��� �� �� 9���� ������� � � � �� ��� ��� ���� ��� �� ����. � �� ��� ��� ����� �(�� �� ��� �� ���� ��� @&����A ���� ���� � �����+ ���������� �� ����� �� � �-� �� ����� ��� ������. ������ �2��� #��� �� ���� ������ (�� ���� � � ���� ������ 6���� ����. ����� ��� ������ ��������� �� � �-� ��. #��� ������ � ����� (�� #� �� ���� � � ���� ������. � �� (�� ��(�� (������ �� ������ � ������ '� ���� �&����. ������ ���� ��� �&����� �� &����. #��� �� ���� � ����� (�� �����#�� � �� 0���� (�� ���7. �� �� ��� �� � ��� � ��������� �����9� �. ���� ������ #������� ��� ������ ���� ����� ������� � ����7� �� ��� �0����� � �� �����

3�� ������ �� ������� � �� �� 9���� $�!. ���� ��� � �� �

� ��� ���&���� � �� ��� �� �� ���� (�� �� ��� �� ���������� ���& ,����� ��� ��������� ����� �� ��� ��� ��

���������� �� ��� �� ��������� @�

Page 71: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� 8� �2������� � �������& �-99 �:�� �� 4�����

K ���� $�!+ ��� ��� - �������� ��� �� � � � �� �������+��� ���� ��� �� ���� 9����� � �� ����������

������� ��� (������. �������� ����� � ���-����� (������� ��� ��� ����� � �� ����� �� �� � ���,���� � ��������2� ��� ��������� �� �4���� - ���� �� �����9� � ��� �������.���� ��. � ���� ���1 ���� �� &��� �� � ������� �� ��� � $��!��� � �� ����� �

������������ �� ����� �(�� ����� �������� �� � �%�� .��%� ��� ����� ����� �� �� ��#���� �� ������ ���� �1��������+� �� ������ N ��� �%� ) �� %������ �� �� �� �� �����

h

.������ � �������� ��� ��%�� ���� ������ � �� ���� ��#���� ��# �

��� ������ ��� �%�� ?� ������� �� #��� �� �� %�� ) � � �� ����� ���� ��#���� ��#=

� �

� � �� �

� � �

?�(+� ������ � ���������'�� ������� ������'� � ������� ���������� ��#����� �� �� ����� ���1 �� ����� �� �� %�� ��(����

����� �� �� (�� �� �� � ����&���� ��� �� (�� ������� � ��9���� $�!� /��������� ����� �9��� ��� �� ,�����. � �� ,��2�� � ������ ����� ��� #� � �� � ��� ����� (�� ��� ��� ��������(� ���. ��� �� ����� (�� ���7. �� � �� � �� ����� ���������� � �� ������ � �� ����� �� �� � ���,���� �. ���� ������ � ������ � ������ �� �����9� � � ������� �����

6������� �������� � ,���� ��� 7���� �� ������ (���� #��� ����� ���� � �� ��� ��� -. ������ (�� ��� ����� ������� ��� (�� #��� ��� ������ � ���� �� �� ��� 9����� ��� ����������

��� ���� ������ �� �0���� (�� �� ������ � �� 9���� $���/�� ������ ������� �� �4���� - ���� �������� �� &��� ���2���� ��� ��� �� ������ � � ��� � �� �� ���� . �� ��� (����������� �� ������ � �� 9���� �(� ������ ���� &� ��� ����� ��0��� � �� ��� � ����� ��� (�� �� � �� � � � ����.�������� ��� ����� ����� �� ���� ��� ��� �� ��� ��� �� �������� ��� � ���,���� �� ���� ��� �� ������ ��� ����� ������2���� �� ��� �� ���� �� ���� �� �� ����� � ���,���� �� ����2���& �� �� ������ � � �� (�� �������. �� ��� (�� �� ��� ������& � �� ����� ���&�. ��� ��� ��� �� ����� ��� ����������1 �� ����� (�� ����� � �� ������� � ��� ���. ��������

�.���%����� ���� ����� ������ �� ���� �� �� ����� ���!� �(+��#� �� �� ����� � �� �� ����'�� ��� ) ���� ������ �� �(�� @�E� "�����/��&� �� ���#�(�� � ����� ��=

��

����

C� ��� ������'� �� �� ������������ �%������ ��=

���� ���

$�

Page 72: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

8�� �)��� �� ��� ����#���

����� � (�� �� ��� � �� �� &���� �� �� 9���� $�� � �� �� �������9� ��

���1 ����. �� �4���� - ������� �� (�� ��� � ��� �������� �� �� �� �� ��%� �# ����(� ��� ��������� �� ������ �� �� ��#���� � �� �� � �������� ���� ��%�� F�� �� �� ��������� ��!��� ��� ������ �� ���� ������� � ���� �� %�� �����(��� ��� �������� �� ��� ��#���� ������� ����-��

B

E D

A

C

F

? ��(��� �� ������ ��� ���������� ����� ��� ) ���� � ����� ���� �(���

C

A

B

F

F

F

�� � � ���#�(�� ����#�(���'����� C�%����� �� �� ��� ���������� �� �� ���� ������ ) �� �������� �� ������ � ��� ����������� ��������� �� ���� ,����� � ���� ��(��� �� %�� ���

&��� ������� �� � ��� ����� � ��. � ���� �� ,����. ������ &��� ������� �� � ��� �� ������� ��� � ��. � ��� � ��������� � ��� ��� @� ��� ���� �� ����. ����� �� �� ��� ����������� �� � ����� �� ����� - ���� �� � �& �� � �� ��� ���� ���&����� �� &��� ������� � �����A�

K ���� $��+ =��� ��������� N���������N �� &��� ������� ������ ����� �� ��� ��� �� ����� ��� � ���,���� �� � ��� �� 2���� ��� �� ������ ��� ���� /� �� ��� ����� �� �� � � � �� ��� � � � ���� � ���� ����� ���(�� �� �� &���� �� �� 9���� ����� �� ��� �� �� 9���� �� � �� ����

E���� ��� (�7 ,���� �� ����� ��� (�� #��� #��#�+

�� �� &���� (�� ������� � ��0��� � �� 9���� $�� �� � �0��2�� �� �����9� � ���� � ������. ������ �� ���� (�� � ��� ����� ����� - �� �����9� �� �� ���� �� 9����� ���7�� ��� ������� ���� ��&�� ��+ �� ������ ��� 7 ��� ����� ��� �����92� �� ����� 9����� ���7�� ��� �� � �� ����� ��� � ���. �� � ���. �� � �& ��. � � ����� � ������. ������ ��� ���2�� �� �����9� � � �� ����� � �� � �� ��� ��� �� ����������� ������. ������� � ��,���� � ������ � ����� �� �����9� ����� @9���� $��A�

�� ���� ��� � ���,���� �� (�� ����� ������������� ����� �� �� ���� (�� �� #��� #��#� #��� ��0��� �� ��� �2���� �� ���� - (�� #��� ��� ���� �� ������ �� �����9� � �������� ������ � ������ � �� ���� � ���� �����. #��� ��0��� ����� ����� (�� ��� ���� ��� ��� ���. ��� �� ������� (�� ��������� �� ����� � � ����� �� ��� �� �������. ���� ��������� �� ���& � ���� ��� �� � ���,���� � �� ��� ��� ���(�� �� (�� � �� �� ���� ,�� ���

�� �� ����� ��� ��� ���� �� �&����� �� �� �����9� �������� �� � � � ���. � ������. �� ����� ��� � �� ����� -��������. ���� �� &��� ������� ��� � � ��� �� ��� � � ������ � ���� �� (�� �� �� � ����&���� �� ���� �� � ������ �. ����� �� ����� �9��� (�� ���� ��������� �� � �� �� �� ��� ��� -��� 7���� �� ������. (�� � �� ��� ����� ���� �������

���������� �� ��� �� ��������� @A

Page 73: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� 8� �2������� � �������& �-99 �:�� �� 4�����

K ���� $��+ �0����� �� �����9� �� �� � �� �����

�����9� �� ����� � � ����� � �� � �� ��� @�� � � ��� ����� ����A �� �����9� �� ����� @�� ���������� ���������� ���� � ���A�

K���� ��� ���&� ����� ����� ����� ��� �4 �� �� �����2$��!��� �� ����� ����� ��� ������ �� �� ��#�������������� �#� � �� ������ �� ����� �(����� � ��&��������� ������� �� �� ����&��� ��� ��������� ��#��� ��������?� �� �� �!���� �� �� %�� �����%���� ��!(��� �������� ����� ���������� �� ��#���� ������� �� �� ������� ������� �� �+���� �� ���� ��� ��!(���� �� ������ �� �� ��#����������� ��� �� �� ������ ��� �����?�(+� ���� �� ������ � ��� ���� ������� ��� ���� ���� �� �� ������� �� �� ��#����� ��� �=

� �

�#��� �� �� %�� � �����

� �

���

��

��� �� ��� #���� ���� ��� �&����� ������ �� � � �� ��2������� �� ����. ���� ���� � �� �� (�� ������ ����� ����� ����� - ��������+ '� �� �� ���� (�� �� �� � � ��� ������ ,�� �� ����������� ���� ������� �� &��� �������9� �� �����. ��� 7 ,�� �� ���� ������� ���1��� ��9����� �� � �� ������ �����9� �� �� � �� �����. � ����2��. � �� ���������� � ������ �� �����9� �� � � �� �2�����

���� � �� �� �������� �����-0 ��� (�� �� �� ����� � �2�� ,���� ��� ���� �� � ����� ��� �� ���� � ��� � ��� ME55���� ������ �� 7���� �� ��� � � � ����� �� ���� � ��� ����� ������ ��� ��� �� ��� � � � ���� ��� ������ &� ����-�2 ��� (�� ���&� ���. (�� ��,���� (�� �� � � � - � �������� �� 9���� ������ � ����� �� ��� ������ ��� ���-� ��� ��2��� �� ��� � ���� � �$�) �� ���#��- �1�� ����� �� 7������ ��� � � � ���� � �� ���# � - �� ��� � ��� ����� �� ��� � ����.��� ���&���� (�� �� 1 �� ������ ��������� ��� ����� �� �&�2���� �� &���� � ���1��� ��� �� ����� ��� ��� �4#���� -(�� �� �� � ���� � ��� ������ �� �� �������� ������ ����2�� ���,������� ,� � �� ���� �� ��� ������0�� 9���-9��� (���������� �� �� �������� - �� �� ����� ��� ��� �� � ��2�� � � � ����. ���� ��� ����� ����� ����� ��� 7� � �����- ��

$�

Page 74: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

8�� ��� �������5 ��� �����5 ���� ��%����

�� -� ������� (�� �� 7���� ��� �-�� � ����,���� ��&�� ������ �� ��� �� 7���� �� �4#���� -�

6���� (�� �� ������ �� ��� ����� ���� (�� #��� ���� 2�� #���� �(�� #��� ��������� � ���� � ,�� ���� � ������.,� � �� ����� �� ���� � �� �� �������� ��� � �&. ����� ����.�������� (�� �� 74 �� �� �� ��� ��� - �������� �� � ����2� ��� �� � �� �� ��������� �� � ��� ���� ��� �� ��� ���� � �������� (�� ���& ���������� � 7�� �� ��9��� � �� �� � - � �� (�� � ��� �7� ��� ���&� ��� �� ��9��� ���� ���� #���� �4��� �����. �� � ���� ���. � (�7 ����� ,�� ��� � (�7 ����� ��

�#���. � ���� �����. ������ � ��� � ��� �� ����������� (�7 ������ �� � ��� ���� �� ��� � �� ��� �� �� � � � ����� � � � ���� ����� ��0��� ���1��� �� 9����� ����2����� � ��� (�7 �� ����� � ������ � ���� �� ��4�� �� ��������������� ���� �� ��� ��� -. �4���� �����. � �� �&����� �����1����

+�� -�� �������% ��� �����% ���� ��"����

������ ������ �� �����0� �� ��,�%���. (�� #���� � �������� �� � � ,�� �� � ������ �����7� �� ��� � ���� &� ������� �� ���� G������ �� ���� ���&� �� �� ��,�%��� (�� ����0��� ������ �� L��� ��� �������� � ��� �4 ��� �� ��� ��� � ����� ��� �-� �� �� �� (�� �� #��� #������ � ��2��� ���� ��� � ��(�� ��� ��� ���&� ��� �������&����� ������ ������#��� (�� ���� � ��� �� �� � � � �� ��� � � � ���� #����� � �� �� � ���� ��� ��� ��-����� �� �� �� ������� � ���� ������� � �������. �� � ���� �� (�� � ��� ����� ����� �� �� ���� ��� � ����

� ������. � �� �8� �)*$ �� �����- � ��(��8� �����0�(�� ��,�%��� �� - � ����"���� � �� ���� �� �4�� ����� 7���� �� � �� �� �� ���� ������ ��� ����� ���� &���� ����1���� �� 7���� ���� ��� ����������� ���+ �� ��& �� ��� ���� ���7�� ��� �� ������� ��& �� ������ ����� ���� ���� �� - �� �(� � �� � �� � ������. (�� �� ��� ��� ����� ���� ����� �� �������� �� 9����� ���������: �� ������� ���7�� 2�� �������� ��� (�� ��� ������ � ��� �-� ��� ,������ ������� ��� ����� � ���������� �� �� ��,�%��� �9����+

=����� �� � ��� � ��� ,�����. � �� � ��2�� ���� 7���� ������ ������� ����� ������� (���1 � � #� �� �� � �� ����

H� �� ��� ������� ,���� ��� �� ��,�%��� ������ ����&����� �� ���1��� �� ������� ��������� �� �� (�� �� ������ �

���������� �� ��� �� ��������� @8

Page 75: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� 8� �2������� � �������& �-99 �:�� �� 4�����

�� 9���� $�$. � (�� ��� �� ������� �� ,-���� ���� ���������� ����� �� �� ��,���� 3�� ������. ��� � ��� �� � �� ��� 9����. � � � ��� �� ��� � � ������ � � ������ �� ��� �� ��,��� �� ��� � : � �� ��� �� �7�� �� � �� ����� ���� ��,��� � ���� �� ��� � � ����

K ���� $�$+ �� ��� ���� � ��(������ �� ������� ��� �� (���� ����� �� �� ��,��� �� ��� � �� % �

����

3���(� �� ���� - �������� � �� ���� ��� � � ��� ����� � ������� 9������ H� ��� ��� - ��� ������ �� 6 �&����� ������� (���� &��� �� �� ���� - � � ������ �� �� ��� �� ��� &���� �� ������� ��� ������ ��� � � ���� � � �� �� ��� � �� � ��� ���� 9���� $�$. ������ ����� � ��� ��&� �� �� ����� �� �� ��,���+

�� ���� - ����� �� � � ��� �� ������ ���1 �� � ���� ������� �� � � ��� �� ��� � (�� ����� ��� ���� ��� ����� �� ��,���@� ��� �� ��� � &A. � ����� �� ��� @� ��� �� ��� � �A�

���1 �� ������ �� 6 �&����� ������ �������� (��

��

� �� � &��

� ���&�. ������ (�� ��� �����9� �� �� ���� �� �� ��� ���� �������� �� � � ���. �� �� ��,��� � �� ��� ��. ������� �����+

U��� �� �� ���� - ��� � � ��� ��

U��� �� �� ���� - �� �� �� ��,��� �&�

U��� �� �� ���� - ��� ��� ���

������. �� ����� - (�� ����� �� � ���� � ��� ������ ��6 �&����� � � 9�� (�� �� &��� �� �� ���� - ��� � � ��� �� ��� ����� ��� �� ��� &���� �� ��� ���� ��� �� �� �� ��,��� � �������

3�� ���� �� �&� �� ���� ���� ���� �������� � �� ����. ��!,�%��� ����0� �� � ���� �� 7���� �� �4#���� - �� ��!

���� (�� ���� ����� - �� ����� ��� 7 ���� �� ����� ����� ���� �������. � ��� �� ����+

E��� ��� � � ��� E��� ��� ��� � E��� �� �� �� ��,���

$$

Page 76: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

8�� ��� �������5 ��� �����5 ���� ��%����

6����� (�� �� ���� ��� �� ����� ��� � � ���. % ��.� �� ��� ���. E �

���. �� � �� (��+

�� E���� �� �� �� ��,��� ��

����

�#��� �� �� �� ��� (�� �� ����� �� �� �� ��,��� ���

��� � �� �� �� ��,��� ���& �� �����+

E���� �� �� ��,���

����

� �� ���� ���7�� �� ��,�%��� ������- ������������������ ����� ����� �� �� �&����� �� &���� � ���1���� ?�2�#�� �� ����� ������ ����� ����� �� �� � ��8� � �� �������� -�� ����� �� ����� =���� ������. � ����� � � ���� �����2� ����. ��� ���&� ��� �� ���� #���� ������������ ,����2������ ����� ��� ��-� ��� � � #���� ������� ��#� � �������� �� �� �7� ��� ��� �������� � �� �(� �� � (�� ���� � ���� ���. � ���� ����. #���� ���� (�� ��� 9���� ��,����� #���. ���� �� ���� ��� � ���9�� � �� ������� ����,��� ������� �� �����0� ������� � ���� ��� ��,�%��� ,���� �4���� - � ���� #��#�+ �������- &(� �� �����0�� ���� (�� �� � ����. ��� �0����. ��� �,����� ��� ���� � �� �� ,������6��� &(� ��. ,�����. ���� � �� ��� � ���. ��� �� ��#�� � ���. ������� � � ��� � ���9�� ������ ,�� ��� ���&� � � �� ��� ��� �� ,�� ��� @��& ��A ����� ��� ��������������&� ��� � � ������� � �������� #���� �� � ��� ME55. ������� �� � � �� � ���� �� ��& �� � �� ���&� �� ���� ��� ��2���� �� ��������� ���� �4�� ��� �� ��� ������ � ,�� ��� ���.��� �� 9���� ���� � �� L��� ��� ������ - �� �� ���.(�� �� ������� ����� �� ��&�� �� ��� � ��8� � �� �� �������� -�� &(� ��: ������ ��� ������� �������� �� �� ���� � �������0��� ��� �����0�� ��&� ��� ����� &(� ��� � 9���� ���� ��� ME5. �� ��� �����0��. ���� �����. �� /����� /�����. ����& �� ����- � ������ ��� �� ����0� ���&� �� � � ����������� ����� � ������� �7� ��� ��� ��� ����� ���� �� ���2� ��� - ���&� ��. � ���� ����� �� �&� � � 9 ��� ���

���������� �� ��� �� ��������� @9

Page 77: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO
Page 78: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

������ �

* �� � ��( ������� � ��� �� ���

/������ # ���� � �� ��� � ��� �� ���� �8�� ��� � ��� ME55�/����� �� ��# � - � �� ������ �� �� ����� ������ ��� �� �2�� �� �� % ���� � �� �,���- � �� ������ ����� &�� ��. (�� ��� �2����� � �#� ������ ��� #��7� ��� � ���� � �� ������ �� ����-�� 0��� 9��� ��� ��������. ������ ��� ����� ���� �� ������,�� �� ��� �� ���� /����� ��. ���� ��#�� �������. �� ,�2����� �� �� ,�� �� ������

� �� �8� �$!* �� ���� ��������� �� ���� >������ ���� ������ ��'���� ��� ��� < ������� " 2��������. (�� ,�� ���2 .�� �� �%�� �� O������ ��#� ��

� ��������� �������� �� ����������� ? ������ � �'���� ) ���������� 2%���� �� ���� � �� �� �� �����6� ��%� ��$�/�� �� ����������� ��1���� ) �� ����� ��� (��������� ) �� ������� � ���� �%�������������� ,!��� ) �����#����,����������

�� ��� �8�� �����7�� �� ���� ���& ���� �� � ,��� �� � #&� � ��1� � � &���� ���� ���� ������0�� (�� � �����. ���� � �&� � �9���-9�� � # ��-� ��. ������ �� ��� ������ �� � � �� �� �� ����,����� /����� ,�� ������� � 0� � � ����� �8�� �����7�: �� ������ ���# � - � 7� ,�� ������� � � ������� (�� �� ��� ���� �� ��� ��� � �� � � � ���� � � � ��� ��� � ����� �� ����. ��$!$ ��� - �� ������ ���� ,�������+ ��� 2������������" ����� ������ � ��� ��� ���� ��� ����� �������� � ��2�� ������� ��� ��� ������0�� (�� � �� ���� ���� ��. ������� � ���� ��� ����� �� ���&���� �� ��� ���&� ��� � �� ���2������� ��� ��� � �� �� � ��� ������ �� ��9��� � �� ������ ����� (�� �� ���. ������� �����. � �� ���&� �� � ��� ���� � ������ ����. � �� �� ��� � ,��� � ����������

.�� �������� �� ,��� � �������� ��

������

� ��� ,������� �� �� ���� �� /����� (�� ������� � ������������ �� �� � �� ������ ���� ������ ���7�� ��� ,����2����� (�� �� ��9��� � �� ����� - ���� �� ��� ���. �� &��� � ������� �� � �-� ���

$)

Page 79: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� ;� <���� � ����:� � ������ �� ��� �#��� �� !�����

� ������. ���1 ������ � ������� � ��� ��� -. ������ �-� �� ����� �� ��� ��� �� ����� �� �� &��� �� ����.� �� �� �� ����� �1 �� ������� ���� (�� �� �� �� &����

%���� ��� �0���� (�7 ������ � �� ���� �� � �������� ���� �� � � ����� #���� (�� �� �� ��� �� �� ������ ��� 9���� �� ������� �� ���������� ��� ���� � ��� ������� � ��� 9���

�� ��� ��� �������� (�� �� &��� � �� #� ���� ����. ����� �� ���. � � (�� �� #� ��� �� ���� ��� �� ;O �-� #� ���� ���� �����< � �� 9���� �� ����� ��� �-� �� ����� �� #���� �� ���� ��� " �� ���� ��� �� ��� ��� �� �� �� ����

K ���� ��+ � ������ �� ���(��� �� �� ����� ��� �%� ����� ������� ����#���� �� �� #����

K ���� ��+ � ������ �� ���(��� �� �� ����� ��� �%� ����� ������� �+%��� �� �� �������

� ������. ����� ,������� �� ���� ��� �� �� �� ��������� ��� 9�����+ � �� �� (�� ����� �� ��� ��� �� ��� ���2��� �� �� 9����. �� �����9� � ����� ���1 �� �������� � ������� ���1 �� ����� �� (�� ������ � �� ���� ��� ���� ����� ��� ����� � ���. ��� �0����. �� (�� � ����� ��� � �� �������� � �� �� ������� -. � � (�� �4 ��� ��� 7 �

*

Page 80: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

;�� ��������� �� )��� � ��������� �� �������

��� � �� ,��� � �� �� (�� �� �� ���� ���� 5�������� ��2������ ,�� ��� ��� ����. ��� ���. �������� � ���� - ��� ��,������ ������ (�� �4�� �� �� ����� - ���� �� ,��� � �����8� �� ��� ����� � ��0���� (�� �� ������ � ���� �����. �� .� �� ����� ����( �� ����� �� ����

���� ������ �%�� �� 0��%�� �� ������������ ������ �� ���� ��� �� !���� ���%�/�� ��(�� � ���� ����������� �� �� ������'� �������� �����,����� ����������� ) �� ����'��

����� - �4 ����� ���� ,��� � ���� ��� � ���� � �� ����������7�� ��� #� � �� ��� ���� � �� ����� �� �� # ���� � � �� ����� �� ��(� �������� ��� ��� ���� ��������� (�� ����� �� � � ��2��� ������� ����� � �� ���� ��� �� � ,������ �� ������. (�� �� ��� ��� �� ���� �� � ��(�� � ����� ��� ����� ������� ���� ��� � �� �� ������� -� =�� � ���. ��� �0�2���. �� �� � ��� - �� ����� ����� ��� ��� �� ������ � �-� ���&������� ��� �8�� �� 9���� �� �� ������: � � ��(�������� ���� � �� � �� ���������� - �� ��� ���9��� � ������� �� ����������������� � �� ������ - #����

� �� � �� ��� ,������ �� ��� 2������������ ��/�����.���� �. �� �������� �� �� ���-. �������� �� ������� �� 2���� �� ��(�� ���,�� � �� ���� � �����. �� � �� � ��� ��2������ ������ �������� ,�� ��� ��� �� ���. �� ������. ����� ���� � �� ������� ��� � �� ��������. (�� ������ ������2������ � ��0�� � (�� ������ �� ������#� ����� - �� ���������� N,��� � ���8�N �� � ������+

�:#?� @ �� ��� �� � ��� �� ����� ��� �� �� �����������

�/� �� ����� �� ��/� � ����� ��� ����� �� �����4 �����

������ ������� � � ��� ������� :��4 �� �� ���� �����

��� ��� � �� �� ���� ������ ��� ����� ���� ��� �� �����4

�� ��� ����/� � 0� �� ����4 ��� �����4 �� ��� �� ��9

�� �� ���� ��� ��� ������ ��� �� ����� ���� � ����� ����� �4 ?��� " �� ���� ���������4 �� ��� � ��� ��� ��� ���9

���������4 ��� �� ��� ����� ��������� ���� ��� �

�� �� �� ������ ���� �� ����4 �������4 ��� �����4 ��� ��9

/�� ��� �� ���� �� � ���4 ������� " ��������4 �����

�� �� ���� �� ��� ���� ��� AB��0� �� �� ��� �� ����� ���

�� �� �� � � �� �� � �� � ��� �� ����� ��� ������4

���� � ��� �� ��� ��� �� �� � ���� � �4 " �� �����

������� ���� �� �� � � ��� �� ����� ���� � ���� ���4 ��

�� ��� �� �����4 ���� ����� �� ����� ��� ��� �� ��

�� � �� ����� ��� �� ������ � ����� �� ��� ���C AB��0�

�� �� ��� ��� ����� ���� ������ �� ���� �� �� ��� ��� ���/���� ������ �� ���� � � ����C >�� ����� ���� ��� ���

������ ��� �������� ��� ������������ � ��� ,�� �� " �9

��� �� ��� ��� ��� �����4 �� ���0� �� ��� ����� ��/� ���

��� �� ��� ��� ��� ��������� ���� � �������� �� ���4

�� � � ��4 �� �0�� ���� �� ��� �� ����� �� �� � �

�� ������� �� ���� �� ���� ��� ��� ��� ��4 �' ������ �

���� �� �� �� ������ ���4 " ��� � � ���� �� ����

������ �� ����� �� ���� �� �������� � ���� � ������ ��

���������� �� ��� �� ��������� 9�

Page 81: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� ;� <���� � ����:� � ������ �� ��� �#��� �� !�����

�� ���� � ���� ����� ��� � � ��� �� ����� ���� �� ��

��������� � � � ���� �� ���� �� ���������� �� ��� ����9

���4 ���������� � �� �� ��� ������4 ��� ����� ��� ��4 �� ��

��� ����� � �� � ��� �������4 ����� ��� ����� �� �� ���

������� � ����

�� ��4�� �� /����� ��� ��� ��� ����� �-� �� ����� ���� ,��� � �� ���8� �� � ������+ �� ������ �� �� (�� ������� ����� � ������ ����� � �� �� (�� ����� �� �����.� �� ���� ����� �� ���� ������ � �� (�� ��� ������ �� ����� �����9� � ��� ������ (�� ����� �� ������� �� �� ������ ����������� �� (�� ����� �� ����� �����. ��� 7 ������� ������ � �� �� �����. ��(�� � ����� �� ����� ����

.�� *������ � ,� ���� /�� ������ �� ����

� �� ,������ (�� ������� � ��� ��� - /����� ��� ����4�� ��� ��� ,�� ��� ���� ��� � ��� ��� �� ���8�. ��� ������� �-�� � ��� ����� � ��� � � ��� 7 ��� �0���� � ��� �������2� ��� ��(� ����- ��� � ��� ���8��� ���� �� #� ��������������� ���� ������ ���������� � �� ��� ���� � (�� ��������� ��� ������� �-� ��� � �� ,������� � ������� � ��� ��� ���� ��� ������������ �� ��� ��� - �� ����� ���� ������+

�:#?D >� �� ��� �� � ����� �� �� �� ����� �4 ��9�� ���0�� ��4 �� ����� � ��������� �� ����4 �� ���� �� ��

� ���� �� � ���� �����4 ���� ��� ��������� ��9

����������� �������4 �� ���� ��� ��� ��������� ,���

����4 ������ � ������ ������4 �� � ,�� ��� ��� ����4

� ���4 ����4 ���/�� "4 �� ���4 ��� ��� � �� ���� � �"�� ��4

�������� ��� ������ :��4 ����� ���� � � ���� ��� �9

����� �� �� ��� ���������4 " ��� ��� �� ���� ��

������ �/� �/� �� ����� ����� ��� ���������4 ������� �4

���� �� �� �� �� ���� �� ������4 ������ � � �� ������4

��� �������� �� ����� " ���� ��� ������ ����� ���4 ��

�� ��� �� � ���� �� � ��� ��� ��� " ���� �� � ��� �� ��9��4 �� ��� �� ��� �� �� ��� ���� ��� ������ �� ���� �

������������� ��� � ��� " �� ���� � ��� ���� �� ���� ���

������ �� ��� ��� ������ � ����E �� ���4 � ���4 �� �"�

���� � ��� <�� �����4 ����������� �� �������� ���� �4

����D

F�������� ������� �� � � � ����������� � ���� �� �� �����

< ���� �� ���� �/����� �� �� ��� �� �" ��������4 ����/�9

��� � ��� �� �� ����� ���� ������ � �� ����� ��� �� ��

Page 82: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

;�� !������ � )�#���� 2�� ������ �� ����

��� �4 ��� ������� ���� �� �� ���� �� � �������� ���

������� ���� �� �� ���� ���� � ,������ ��� ����������

� ����� ��� ������� �� �� ���� ���0� ��� ��������

<� �� ���� ���0�� �� ��0 ������������ �� � ���

��� ����� ������ >� ��� �� ������ ��� ����� ������ ��9

���4 �� �� ������� ���� �4 �� ���������� ��� �� �� �� �

��� ������� �� �� ����� ����4 ���� � ���� ��� �����9 �� � ��� ����� ��� ��� " ���� �� � � ,�� ��

��� ������4 � ���� ��� ��� � �� ����������� �� �� �� ����

�� ������ ��� � �� ��� ������ �� �� � ����E �� � �

����4 �� �� � � ������� ��

��� ��������4 ���

����������� �� �� �� ��

����� ����� �� � �� ��4 ��

���� ��������� ��4 �����

�������� ����4 � ��������

��� ������4 �� �������"� ��

� ���� �������� �� ,���4���� ���4 ��� ����4 �� ���� ��� ���� �� �� � �� ��� ���������

<� ��� ������ ��� �� ��� ������� ���� ���� ���� ��

��� � �� ���� ������ 0�4 ���� � ��� �� ��� ��� �� �����

������� ��� ��� �� ������ �� ����� �� ��� ����� �������

E����� � �� ���� - ���� �� �-� �� ����� ����� �2�#� &� �&� ����� (�� �� �����9� � � �� �� (�� � ������������ 3� ���� ����� �� ����� � �� ���� ��� � ������� ���� (�� #���& �� ��� ��������� ��� �� ����� ��� ����� �� ��2����� ,�� �� �� ������. (�� � �� &� (�� �� �� �� ��� ����� ���� � ��� �� �����9� �� /� ����� ��� ���� ���� ��������� �� ���� -. ��� ������� � ���� � �� ������ �4��� 2�� � ��� � ��. � � (�� ���� �� � �� �� ���� � ���� ���� ���� ���� �� 3����� ��&� �� ���� ��� ���� � � ��� � ,���������� ���� �� �������� - �� ,�������. ��� �0����. ������� ����� �� ������ � �� 9� ��� '� �� �� ����. �� ����� � ������� �� ��� ������. ��� #����� �� ��� � ���� � ��� ����������� �� � �� �� ���� ����� ��� ���� � �� ������� ����

����&���� � ������ �� � � �� �&� ��� �� �� ,�� �� � ���������� ������ �������� (�� � ����� ��� ��� (�� ������� ��� 8�� � ��� ������ � ����� �4 �� �+ H � ���� (�����. ��� �0����. �� �� ����� &� ����� (�� �������. #���&������� �� ���� �� � �� �� � ����� �� ���� �� � ������ � � 9�� (�� ��������� #������ �� �� �� ����� (�� � ��� .� ��%�� ���)� � � � 23�A56 � �

��%�� �) %���� ��� ��,���&�� �� ��������'� ����� �� ,���� ) �� ����-� ���� ��� ����

����4 ������ �* ����� � ������ ��� ��� (�� �*�***I ����

%� ��� � ����� (�� ��� � �� �� ��� ����4 ������" ����� �� ����� � ! ����� �� ��#� ���������� �� ���� -

���������� �� ��� �� ��������� 9A

Page 83: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� ;� <���� � ����:� � ������ �� ��� �#��� �� !�����

�� ��������

�� I ��� ��� ���� ���� ��������. (�� ������������� �� ��� ���� � �� ������� #�����: �� ��� (�� � ��������� ����� � � �����. ���� ����� � ��� #����� (�� ,������ � ���� �� ��#� &� ��� ����� ���� � ���� ����. ���� �������� � ������ ����. �� #����� ��,����� ��0� �� ���� � �����

���� � ��� ������ �� �� � ��� - �4 ����� ���� ��� ���2���. (�� ��� 7 � �� � ���� �� ���� ���� =�������� ���� ��� - �� ���� �0���� ,��&�� ��+

�� ������� G�&���� �� ��9��� � � �����. �� 9���� � ����������� �� �������� � ��� ����0� � �������� �� ��� ������������� ��� ,������ H ,���� G�&���� ��� �� �� � 6������ ��'���� � �� �� ��� ���� ��

�� �� � �� ������ � �� � �� � ������ ���(�� ����� �� ������ �� �* �����. �� ���� (�� �� �42����� ����� �*** ����� ���������� �� ����������������� �� � � ��0� �� &���� � �� ���� �� �����2�� #�� � ��� ����. (�� �� �������� �� �� ��������� ��� #�0��� � ��� � �� � ���� ��������. ������������� �� ���� � � ���������� �� ����������

? �#��� 6���+ ����������� �� �� ���� ��� �����'�� ����

'� �� �� ���� (�� � �� ���� �� ������� #�����. ������� ,�� �� ��� ����� �� �� �� � #����� �� �������� ���� ������ - ��� ����� � ��� ����� � ����� �������� ����4 ���2��� ��� !�* I�W�� �� ����� ,�� �� ��� �������� � (��������.� ��#� ���� �� (�������� ��� ����. (�� � �� ��� � - #��2 ����� ���� ������� � �� I �-����� ��������� ������� ����2��� ����4 ������ �� �� ��� ��� (�� �� ������ @P�-�� ������� �� �� �� � �� �* �� ������ � � ����� �� � ��� &���� ������ ����� ��� !* ��������QA

3�� ���� �� �� ��4�� �� ��� ���. � �� � � ������ � ��2� ��� - �� � �� ��� ����+

�F�<� �� �� �� �� �� ����4 �� ��� �� ���� �������

�� ����� ������� ��� ����� �� ��� �����4 ���� �� �� ��� ��

� �����4 ���4 ���;� ���4 ��� ���� ����� ��� ����� ��� ��

���,� � "4 ��� �����4 �� ��� ������

�:#?� ?��� ��/�����4 ���� ���������4 �� ������ �� �9

��� � ��� �� � ���� ����� ��� " ��� �� ������� ��� ���

���� �� " � �� ������ ������ �������� �� ����� " ��9

���� ��� � ,������ ���� ��� ��� ��������� �� � �� ��9

����� �� �� ���� �� ������ ,��� ��� ������ " � �� � �� ��

� ��4 ��"� ����� ������ � �� ��� ��� � � �� ����� ���� ����

�� ��� ��� ���� ��� ���4 ���� ���4 ����������� � �� �� �

Page 84: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

;�� !������ � )�#���� 2�� ������ �� ����

�� ��� ������ ��� �� ����� ����������4 ��� ����� ����4 ��

�� ���� ��� ,������� �4 �� �� ����� ��� ������� �� ��� �

�� ��� �� �������"�4 ������������ �4 �� ���� ��� � ���

�� ��� ������ ������ � �� � ��� � ������� � � �� ���

���� ��� ������ �� ��"�� �� �� �� � ������� ����� ��� ��� ��� ����� � � ���� �� � ,������ �� ��� �����4 ������� ���

������ " �;������ �� ���� ��" ������4 ���� ��� �� �� �����

�F�<� ?�� ��� ����� ��� ����� �� ����� ���� ��9

��� ����� B��0�� ���� ���4 � �� �� ��� �� ����� ����� ���

����� �� ��4 � ���4 ������ �� ������� �4 ���� ����� � ��4

��� �� �� ���� �� �������"� �� ���� �� ��� ������ ��� ��

��� �� �������� <� � ��� � � �� �� � ��� �� �� ��������� �����4 � �� ���4 ����� �� ��� ���� �� ��� ������ ��� ���

�� �� �� ����� �� <�� �� � �� �� ������� �4 ���� � ��� �����

�� �� � �� � ��� ��� ��� ��� �� ����4 ���4 ��� �����4 �

� �� �� ��� ������4 ���� �� ������ <� ���4 A���0� ���

��� �� ��� ��� �� �����4 ��� ���� �� ���� �� ���� � ��

�� ���4 �� ��� ���������4 �� ���� ��� �� �� � �� �� � �

,����C �� � �����4 �� � �4 ���� ��� �� ����� ��� �����

�� ������

�:#?� ?��� � ��/������� ��� ��" ����4 ��� ���� �9

����� ���� ������ �D A�� ��0�� ������� ��� ��� �����

�� �� ����� ���� �� �� ��4 ��������� �/� �� �� ��� ��9

������ ��� �� ,���� � ������ ��� � ��������4 ��� �/���

������ ,��� �����C

�F�<� �� 0� �� ��������� � ����� �� �����

�:#?� �� ��� ��� ����� ����� ������� ����4 ���������4

�/� �� �� �� �� ����� � ��" ������"�� � �� �� ��� ��� ��

��� �� � ��� �� �� � �� �� ��� ������ ��������� � ����

��������� ��� ��4 �� ���� ��� �� ����� � �� ��� �����

��� �� ��4 �� ����� ��� � ������� ��� ���� � � � ������ �����4 ��� �� �� �� ��� �� ���� ������ �� ����������

<� ���4 �� ��� ������ ��� ��� ������4 �� ������� ��� ���

�;������4 � ��������� � �� ��� ���� � �"� �� �����4 ���

��� �����4 �����0����� �� ��� �� ������ � ���� �� ��� ������4

�� ,�� ��� �� ��� ������ ��� ���� ������� �������� � ��

��� �� �� �� ��� ���� �� ��� ������ �� ��D �� 0� ��4 �� � �� ��� ������ ��� ��� � � �� ����� ���� ���� �� �� �

��� ��� ��� �����4 ���� � ���4 �� ��0����4 �� � ��� � ���

��� ���� �� ���� �� ���� ���� ��4 ���� � �� ��� ������ ���0��

G��������� �� � �����/��� � � �� ����� �� ��� ����� ���

�� �� �� ������ �� ������4 ��� ��� �� ���� ���� � ��E

�� � ��4 �� �� ���

�F�<� �� ��0�� ����������E �� ;���� ��� ����� ��� ��

��� 0� �� ��� ���� �� ���������� ������ ��� ��4 ���

���������� �� ��� �� ��������� 98

Page 85: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� ;� <���� � ����:� � ������ �� ��� �#��� �� !�����

�"� ��� ������ ����� 0���4 " ��� ����� � �� ��

�� �� ����� �����4 �� �� �� �� �� ������ " �� �� �� ���

������

�:8G� �� ������� � ��� �� ��� ��� ���� ����9

�����4 � � �� ��/����� ���� � �������� ��� � ���� <����

�� ���� �� ��� ,������ ���� ��� �� �� �� ����� ������4

�/�� �� ��4 � ��� �� �� ���� �� ��� ��� � �����

�����4 ���� ��� ������/������ �� �������� �� ��� ������4

�� �� �� �� ����� �/��

�:#?� �� ��� �� ��� �� ������� ����4 �� �� ����� �E "

��'������ � ������ �� ����� �� �� ��� �� ���� � ��� ��

�� �� ����4 �� ���4 ����� H� �� �� �4 �� �� �����

�/� �� ���� " � �� �� � � ������� " ���� ��4 ����9

� ��� �� �� ���4 �������� �� �� ��4 ��������� � ��

�������

.�� �� ���������� �� �� ������

H� �� ��� 9����� ���7�� ��� �� � �� ����� �� �� (�� �� �2������� &� � ���� �� �� � � ���� '���� � ���� �� � ����� ����� ��� ���&� ��. �� ���7� ��� ������� ���� ���������7�� ��� ��� ������ �� � � ��� (���� ��>�0��� � ������������ �� ��� ���&� ��� �� ����� 6�� �#���. ������& �� (����������� ������ ���� ������ �� ��� ���� ������ �� �� ��2������ ��� � � ��� (�� �� ��� � �& ��� ��� �� �� ��������� ���� ,������ �� ��� ������������� �� /������

/������ �4��� �� � ��� � �� �� ��0�� ��� � ���� �� ,��2� � ���� �� �� ����� �� (�� � � ���� �� � ,������ � �2� ��� ����� ���,������� ���� �� �� ����� ���. �� ��� �.����� ������ �� �� ������ '� ���� ������. ��������� � (�� � � � ��� ����(� ��� ������ ��������� � ������#����@� �&������� ��#������ � ����#�� ��� �����A � (�� ������� ������ �� ����� - ����� �� (�� �� ������ ���,�� ����#��� �� (�7 ������ �� �� �����9� � ��� � � ��� ����� �� �����2���. (�� ������ �� � �,����� �� �������� -. �� �� ����� � ���� ������ �� �� ��� ��� �� ���� �� ���� ������ � ���� � ���� (�� ���� � �� ��� � �� ��� ���� ���� ������

� �� ,������ (�� ������� � ��� ��� -. /����� #���� ���� � � ��� ������0�� ����� �� ����� - ���� �� � �� � ����2 ��� �� ��� ����� � �� ���� ��� ��� ��� � ��� ���&� ���. � ���2� �����. ����� �� ��� ��� - �� �� �������� � �� ���������� ������ �� ������& �� ������ ���&� ����� �-� � � � ���. �� �� �� ����� (�� ���� ����. �� ������� �� �����9� � ��� �� (�� �� �� ����,����� � ���� &� ����� � ������#�.���� (�� ��� ���� �� ����� �� �� �F����+

$

Page 86: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

;�� �� ����������� �� �� ������

�F�<� @� �� ������ � � ���� � ���,������ " ��� ����

������ ��� � � �� �� ���� ���� �� �� � �E " �� ���� �������

�� 0� � �� �� ��� ��� ��0�� �������4 �����4 ���;� ���� � �� �9

��4 �� ��� �� �� ���� ����� " ��� �� �� �����

�� ��� ������ � �� � ���� ��� <� � � ���4 �9� � �� ���� �������� " ������� �� ������� ��,���

�� ����4 ��� ��� �� ����� ��� " ��� �� ���� ��� ��

������ ��� �0���� 2���4 �� � � �4 �� ������������� "

����� ������ ��� ��� ��0�� ����� �� ��� ���� � ��� �9

��4 �� � � " ����� �� � � �� ��������4 �� ���� ���4

������ �� ��� ���� ,����� " � �����4 ����� ����

�� ���,���� ���� �� ����������

�:#?� B�� ����� �� ��������� �� ��� ��� �� "� ��� ��� ��

������ ��� �� ������� <�� �� �� ��� �� �� ��� �� � � � �

�� ���� �� ��� ����4 " " ��� ��0�� ������ �� ��4 A�� ����4

���4 ��� �� ������ ���� �� �' ���� ��������� � ��� � ��C

I� �0 �� ��0�� ����� � ������ �� �� ���� ��� ����� ����

���� ��� ��4 ��� �� �� ����� � �� ��� ��� �� � ��������4" ��� �� �� ��� �� �� �� � ?���� ���� �� �� ���������� �D

��� �� ������� �4 �� ���0��4 �� ���� �� �� �� �� �����9

�� ��'��� �� ����� ���4 " ��� �� ���� �� �� � �� �

����� �� ���� ����� # ��� ��� ��/� �� �� � ���4 ���4 ����

��0��4 ��� � �� ���� ��� H� � ��� �� �� ��4 " �� ��� ��/�

��������� �� ��� �� ���� � ����� .� ��� ���� �� �������4

�������� � �� 0� ��� �� ,��� �����4 ���0����� ��

�� ��� ��/��� �� � ����E ������� ��� ��� �� ���������

�����4 ���0����� �� �� ��/��� �� ��� ��� �� �����4 ��

���� ���4 �����0� �� ��� �� �"� ���� ����� �����4 ����

������� ��� � ��� ���� �� ������ �� �� ��/�4 �� �� ������� : ��� �� ���4 �� � ��������4 ����� �� ��� �����

>�/� �� ���� �����������4 �� ��0 ��� � �� ������

������ �� �" ������� � ��� ��� ��� ���

�F�<� @� �� ��� ��� �� �� ������� �� ��� �� �����9

���� � �� � � �� ��� �� � ��� ���� �� ������ ������

�� �� ��� �������� <����4 �� ���� ���4 �� ���� ������

� �� ���� ��/� �� ��4 ��� ��� ������ " �� ���� �� ����

�� ������� ���4 ����� �� ���� �� ���� ��� � �� �� �� "

���� ��� �� ���� �� ����� ��4 �� �� ����� ��� � ��� ������9

�"� � � �� ���� ���4 ���������� �� ��������� ��� � 4

�� ���� �� � ���� � �������� ���� � ��� �� �������

����� �� �� �� ��� ������ � �� �� ��/� �������

�� �� ��������4 � ���� � � �� �� ���

J� ������� ��� �� �������4 ���� ���������4 ����� ��

���� � �� � �������� �� ���� ��� � ��������� � ��

���� ��� ������ �4 ���� ���� ����� �� ����0 ��9

���������� �� ��� �� ��������� 99

Page 87: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� ;� <���� � ����:� � ������ �� ��� �#��� �� !�����

��� ��

<� �� ��� �� �� ����4 " ���0����� �' ������ � ����

���������4 �� ��� ��� ��� ��0���� � ����� ����4 �� �� ���

������� ��� ������� ����������

� ��� ��� -. ���� �� �4��� �� �������� -. ���� �� (���� ���������'� �� �� ��� O����������� �# ��� ��/� �� �� �� ��� ����� ��!� *����� ����&������ ���� ��%����� �� ,'���� �� �#����� � �� �� ����� 0�%������ ��� �� � ��(� �� O������ �� ��!�0�����

����� �� �� ��� ����� - �� ��� � � ���� �� ���� ����� ��������� � ������� � ,������ (�� ������������� �� � � ��� ������� ����� � �� ������� � # �� ��� ����� �� ������� - ���� ���&���� �� ���� ��� � � ���� �� �� �� �� �� ��� ����� �� �������9� �. �� ��� (�� �� (�� ���� � ������ �� ���� �����(�� ��� �����9� �� �� ���� ��� � � ���� ������ � ����� @� ���� � ����� ��� �����A. ���& ���� �� � �� ������� - ����� �� �� � �������� �� �� ������� - �� ��� ��� ������

3�� ������ ��� � � ���� �� � �� �� � �� �� ������ � �������� ������ � ����� � ���� � �� ���� ���� �� �� ����� ����������� ��� ,-���� (�� �� ��� �� �������� �� �����+

E���� 3 � ��� � ���� ��

E���� 3 � ��� � ���� ��

�#���. ��� ���� ��� ���1��� #��� �������� (�� �� ������������� (��+

���� �� ���� ��

'� ���� ������� �� ������� - � �� ���+

���

���

����

O� ����� � �� �� ��������� �������� ���� �� �������(�� �� �����+ (�� � ���� �� � � ���� ��� �� �����. �������� @�� &��� �� �� ���� �� ���A ���& � ������� - ����� ���� ��������

�����,� � ������� � � ��� ������,� � ������� � � ��� �

���� ������ ��

� ������� ���� �7� �� �� �������� ������ �� � ��� ��1�� � ����� � (�� ����� �� ���� ��� ��� �� �� � ��. �� ���(��+

�����9� � � � ��� ��

�����9� � � � ��� ��

������

������

�� �

�� ���

����

O �� �(�� ������� �� ������ �� ��������� (�� �� ������. (�� ��+

�����9� � � � ��� ������9� � � � ��� �

�����

"

Page 88: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

;�� �� ����������� �� �� ������

%�� ��� �� �������� -. ���� �� ������� �� � ������+

�:#?� �� ������� �� ���� � ��� �� ��� ����� ��

����� 4 ���������� ��� �� ������� �� �� ��� �� ��� ��9

�� ����� �� ��� ��� �� ����� ��� �� ����� �� " �� ����

�� �"� �� �� � �� � ����� �� ���� ����4 � ����� ���9

���� �� ����� � ��� ���� �� ������4 �� �" ����

�� ���� � ����� �� �� ���� ���� ���� $��� ������� �9

��� ��� ���+4 ��� ����� ��� ��� ��� �� �������� � ����9�� �� ������� � ����� ��� ���� �� �� ��� �� �� ����� ��

��� ��� ������ ��/� �� ��4 ��� �� ����������� �� �;���

�� ����4 �� �' ������ �� �� �������� ������� � ����� �"�4

�� � ,�� ��� �� �� ��� ����� � �������� �� ��� ���

�� ���� ���� �� ������ �� �"� ��� � ���0��� � � �� ��

��/ ����� �� �� � ���� 2������� �� ���� ���� � ��

�� " �� �� ������� �������� ��� �� ������ �' ������ �� ���

� �� " ����� ��4 ������� �4 �� �� ��� ����� ��� ���� �

�� �� �'������� ��� ��� ��� ������ ��� ��� ������ ,������

�� �� ������� �� �� ����� �� �������������

���������� �� ��� �� ��������� 94

Page 89: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO
Page 90: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

��� �

'���� � ���� �� � ��� # ��-� ��. ��� �� ���� �� ��� �����-�2 ��� ��� #���� ,���� ������7�� ���+ �� �� � ���� ��� � ������� �� �� ������ ��� ������+ �����. ������. ���� %�� 7������ � ����� �� �� � - ������� � �� �����0� �. � ������.� �� ��� � ��� ��� � �� � ��� ���� ������ 6��� ������ �������(�� #�� �� � �� ��� ����. ��� �0����. ���� ���& � ��� ������ ��� �� �� ������: � ������ �������. �� � ���� �4���2� ��� ��� � �� ��� �� � �� �� ����: � �1 � ��� ������� �������� ��������� ������ ������� �������. ���� ��. �����.������. ����. 0������. ���� (�� ����� ������ � �� ���� ���� ������� � ,������ ���� � �� ������

�� �������� (�� ����� - �� L������ - K������ 0��- � ������� ����� � �� ���������� �� ��� � ����� �� �� �� ���� 2� �����+ �� ��0�� �� ��� �� ��� ��� � ����� �� �� �� ���� 2� ����� @#�� (� � #���� ��� 7 �� �����. ��� ������ ������� �� � ��� �� ���� ��A. (�� ��������� ��� �� �4���� - ���� ���� ,����� �� �� (�� �� ������ ���������� � ����������+�� � ���� �� ���� ���1 �� ������� - � ��� 0������ �� �����0�. ���� ��� ��8���� ,������� (� ��� �0������ ��� � ����� �� �� 2�� � ��� ���� �� �������� %��� �� ����� ���� �� �� ���������#���� ������ ��������� ��,�������. ��&�� �� � ����-� �����.���� ��� ����������� �� �� L������ -� ��� ���� - �� ���7� ���������� �� �� �� ��/� ��. (�� � ��� ��� � �� ����� ����� � ���� ,���� � ,����� � ���� ������� '�� � ��� ������� � ��� �� �� �� �� ��� ���. 1 �� � ���� ��� ����9��� " � ���� ��� ������ ��� ��� (�� �� ,���� - ����� � �� ���������� O ��� �� - �� �����

H� � ��� �� �������� ���� �� � ��� �����. &���� � ���1������ � ��� #��� �� �� #�� ��� � ���� ����� ���&. � �� ��2���� �� ��� ���� ���. ��#� &� ���& �� ������ ��� � ��� ��2� � ��� ��� ���� �� � ,������ � ����� �� �� ��� � ��. #��� ���. &� ����� - �� �� # ���� � ��� �� � ���� � - ��������� �� 7���� (�� �� ��� ���&� ���� 6��� ��� ���&� ������ 7 ,��� ����� �� �� # ���� � ��� �� � �� ��� ���� � ��� ����&�. �� ��� ��� - ���� ��� �� ������ �� H� ������ - �������. �� ��� ���� �������. �� (�� �� ���� ��������. @�

"�

Page 91: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�� ����� ;� <���� � ����:� � ������ �� ��� �#��� �� !�����

����� ���� ����A ����� �� ���8��� �� ��� ���&� ��� ������� �� � ��� � � ��� �� �������+ ��� ���&� ��� (�� ���� ��2�� ���� ��� � � �� ����� � �� �� �� �� ������� � � ����� ������� - �� (�� ����&� �� ��� �� �� �� #�� ��#��. ��#��.��� ��� ��� ���&� ��� �� ���� ��� � #��. ���&�. �� �������� ����� &� ���& �� ��� ��� ��� ���� %��� ��� ��� ���������� ������� 0��� 9� �� - � � ���� ��� ���&� ���.� �-�� ��� �� �� �� ��. ������ ����� ��� � ,���� ����� ���� � �� ��� � ���

"�

Page 92: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

+��� ����

S�T ���X. �� @�) )A+ %#� ����� �, ���� '����. /�X O��I�@�� � - �� � �� ��� �8� �)�)A�

S�T 3���������. �� @�)"�A+ �� ��������� �� ��� �� Y�����.���������

S!T '����,��. D� @�**�A+ H� ������� - ���&� ��� = ���2� ��. 0����� � ��������� 6�����. ���������

S�T ��� �� . �� @�))�A+ ' &���� ����� ��� ��� &4 �� � �2���� ��� ��� 6����� �� � 3���� ���� �� ���.?��� �� @�� � - �� � �� ��� �8� �$!�A�

S�T ��� �� . �� @�) $A+ 3�� ����� ��� � �������� ������&� ��� ����� ��� ����� � �� ��� �� ��� �� /�2� ���. ?��� � @�� � - �� � �� ��� �8�

S$T ���,�I��. �� @���A @�)))A+ ��� ���&� ��� � �� � ����� � ��� �� �� V����� 5������� ���. ?��� ��

S T �#�����#���. �� @�))$A+ �� ������ ��� ���� ����� ������&� ��� � ��� ������ � ��������� 6 �& ��. ?��� �@�� � - �� � �� � ��7� ��� �8� �))�A�

S"T Y���. V� @�)"*A+ ��� �� ��� � ��� #������ � ��� MM5.?��� ��

S)T � �� ����. Y� @�***A+ �� � ��� � ����7� ��� � ���� �� 20����. ?������ . ��������� @�� � - �� � �� � ��7���� �8� �)))A�

S�*T ����-. D� @�)))A+ 3������ �� � �� ��� ��� � ���� ��2 ��� �� �����. ������ - K���#. ?��� ��

S��T ?�I �� �I. L� @�***A+ = ���� � �� ��� ���&� ���+ ����&����� �� ����� 6� �-�. ��������

S��T ?������Z. D�3� @�)) A+ � # ����� �, �# ��� ?��#��� ������ ���. ������ @�� � - �� � �� � ,���7� �� �)" A�

"!

Page 93: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

� �� ����,��

S�!T ?�?�#�. %� � ����. D�%� @�)"$A+ %��8� � � ��������. ������ - 6���� 3 ���9��. ��������� @�� � -�� � �� � ��7� �� �)"!A

S��T ?��� ��. 6� @�)"�A+ 6���� �� �� � ��� �����. ������ -6���� 3 ���9��. ���������

S��T �����. '� @�))"A+ ��� ���� '�����. ���� 6�(��8� ���# ���� �. ?��� � @�� � - �� � �� � ��7� �� �))�A

S�$T E ����. ?�5� @�))!A+ 5�������� ���&� ��� ��� � ���ME5� �+ F���� ������ " 2�����. 1� �* �

"�

Page 94: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

� � � � � � � � � � � � � � � �

� �� � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � ��� � � � ! " � � � # � $ � � � # � � � % � � ��� � � � � ��� � & � � �('�� � � �# � � �() � � � ��� � $ * � �� ��� � ��� � + � � � * ��� � � � ��� � � � � � � ��� � � � � � , - . + � � � � � � � � � �/ � �� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� � �0� � � � 1 2 3 � � � �(���0� � � � ��� ��� � ��� � 4

k

2

3

−1

−2

−3

1

1 2 3 4 5 6 = 2n−20

0

k+ell

6

4

2

0

6

4

k−ell2

0n=4ell

5 � ��� � � � � � � ��� � � �6 � � � � � � � � � � � � ��7 � � � ��� � ��� � ��� � � 4 8 � � � � � � � � � � � � 9� ��� � � � � � � ) � � � � � � � :<; =�> ? 2 :@- = - ? + ��� � � � � � � :<; =�> ? 2 :BA = C A ? + :DA = - ? + :BA = A ? +��� � � � :FE = C E ? = G G G = :FE = E ? � � H � ��� � ��� � � � ��� I � � # � * � � � � � � � � � �(� � J � !

K ��� �0� � � � � � � � ��� � � �L � � + � � � � � � � � � � � � � � M/� � � � $ �DN � � * � � �0� � ��� � & � �� � � � � � � � % � � � � � ��� � � � �� % � � � ��� � � ��� � + � � ��� � � � � $ � �0� � � � � �(� � 4 � � � � � � ���� � * � �(� � � � � � ; + � � � � � � � ��� � � � > + � � � � � � � ��� � � � ; O > + $ � � P �L ��� � � � � � ��� �� � ; C > ! Q � � �RJS� � � �(� + � � �0� � � � � � � � � � ��7 � � � �0� � � � � � + � �/ � � � � � � $ � � � � ���� � * � �(� � � � � ��� � ��� � � � 4

� � � � * � �(� � � � ; T U V W X Y Z# � $ � � % � � � � � ��� � � U T U U U T T

U

Page 95: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

� � � � * � �(� � � � > C � C E C A T U V W# � $ � � % � � � � � ��� � � T T U U U U T

� � � � * � ��� � � � ; O > T U V W X Y Z# � $ � � % � � � � � ��� � � U T U U T T U

� � � � * � ��� � � � ; C > T U V W X Y Z# � $ � � % � � � � � ��� � � U U U T U T T

� � � � � � � � � � � � � + � � � � � � � � & � � � � � � � 1 C A � ��� � '�� � �(� � � � � � � � � � $ � � � �> � � � � & � � � �� � � � � � - = E 1 C E �<!��

K � � � ��� � ��� ��� + �0� � � �� � � � � ��� � � � � � � ��� � � � :<; =/> ? 2 :@- = - ? ! " � �(� � � � � �� ����' � � � � � �(� � + � �� � � � � � � ��� � � �0� � � � ��� ��7 � � � � � � � � � � � � ��� + � � � � � � � � �0�� � � �(� ��7 � � ��� � ��� � � � ��� � ��� � � � ��� I � � # � * � � � � � � � � � ��� � JS� � ! � � � � � � � # � $ � � �� �6 ��� & � � � � � �/ � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � ��� � + � � ��� � � � � � � ����' � � � + � � � � ����) � � � ���� � � � � � $ � + � �L � � � � � � ! � � �(��� � � � � � # � �� � � � � � � � � � � � � ��� � � � �(� # � � � � � � � �(� �� � ��� � � � � ��� � � � � � � ��� � + � � � � � � � � � � � & � �L � � � � �0� P �6 ��� � � � ��� � & � � � � � ��� � � !

Q � �(� � � � ��� ��� ��� ���() � � � � � � ��� � � � � � 4

� � � � � � ! " # $ $ % & ')( *� � � � � � ! " + % , $ � - '�( *� . � � / � % 0 ! . 1 % � ! 1 2 � & 0 % 3 ! 4# $ $ % & " � � , * 3 5 ! � � 5 3 6 1 � � . 6 ! � � 5 3 6 0 � � � . 6 ! � � 4+ % , $ � - " 7 2 2 � * 7 2 % $ 4� � , � 8 9 : 5 � 6 ; � ! ! � . 8 9 : 5 0 % - 6 � 6 ; � ! ! � . 8 9 : 5 � 2 � < � / 6 � 2 � � , 8 9 : 47 2 2 � 7 1 $ � � , 8=< % � . ! : 5 0 % - 6 / � > ! � 8=< % � . ! : 4

? @ A B C D A E A F GIH J K C F L C F F @ M N @ H GOD J F P J N J E C QRC E J N S T @ GUH J N N A GOD J F V W D A F=H J FF @ M N @ H GOD J F X F A J E H @ J QOGRY J N Z D QOC F J N N J S F V> 2 [ \ 1 ] , 6 ; ] ^ ^ _ 8 [ _ , 3 5 [ _ , ^ ` ` :a b b

3 c [ _ de9 5 f f f 5 g _ h g ib b^ ` ` c [ _ d h _ j k 5 f f f 5 _ h k i

3 6 l m m l n d�3 i j j 4o

Page 96: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

^ ` ` 6 l m m l n de^ ` ` j _ h k i j j 43 6 1 ` ] � 6 ^ ` ` 6 l m m l n d 3 j ^ ` ` i j j 43 6 � [ _ ] � 6 ^ ` ` 6 l m m l n d�3 h ^ ` ` i j j 47 2 l m \ 8e3 h ^ ` ` 5 3 j ^ ` ` : � � m ] ^ 4_ 6 ; ] ^ ^ _ � j j 4

> � [ \ \ ^ ` ^ � ^ � ; ] ^ ^ _ 8 [ _ � � � [ _ � ^ ` ` :a b b� c [ _ de9 � f f f � g _ h g ib b^ ` ` c [ _ d h _ j k � f f f � _ h k i

� � l m m l n d� i h h ^ ` ` � l m m l n de^ ` ` j _ h k i h h � � � ` ] � � ^ ` ` � l m m l n d�� j ^ ` ` i h h � � � [ _ ] � � ^ ` ` � l m m l n d� h ^ ` ` i h h 7 � l m \ 8 � h ^ ` ` � � j ^ ` ` : � < l ` � ^ _ � ; ] ^ ^ _ � h h

? J A � P N A F G�� D � � l m m l n d�� i j j T @ GOA N A L A E GON T @ A F A L A M A GOD E N A K A D H J N ����� � ���A Q � J QOC N � � l m m l n d� i X C F A J X A Q A D H A N C B @ J N L J L C A D Q J P C F GRE G�� D � L A Q J N N J S � d i V� C H J T @ A L A E GRK C F ^ ` ` � l m m l n de^ ` ` j _ h k i A D � A Y L A ^ ` ` � l m m l n d ^ ` ` i X S J T @ A� H C K J � J QOC N A F A D ��� ! " # $%$%$&# � " ' V

( J K M G�) D * J S + D J N + H GOD J P J N J GOK P N GOK GON , Q H J M Q�, N - X T + , , .0/ Z 1 + 2 N 3 2 3 - , 45 2 6 2 / 7 8OY 9 � l m \ :

; � [ \ � m [ _ � � 9 � l m \ < ; � = > ?@

A � B < = C D = E F = G H I C J K L M M = ? @= C D N < F ? L= A < = O H ? @ P P Q R A = R S T

N E K LU V W D G G X X L

Y S R T S N E F LZ [ = R S < N G H I C J K ? @

= A < 9 V Q B > < N \ = ? ?U V W D G G X ] X L

^

Page 97: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

S R T S U V W D G G X � X LN M E H L

YU V W D G G S C > R L

YU V W D G G S C > R L

Y

� 5 � 2 6 � 8�- 3 � � � � 7 3 � 4 2 3 2 � 9 V Q B > < N \ = ? � � � � � � � 5 8�6 � ��� �� � � � � � � � � ��� �� � ��� � � � � � � � �� � � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � �

� � � ��� ��� � ��� � � � ��� � � � � � � � � � � ��� � � C U B S S C D ! " ! S R R � � #%$ & ' ( ) ( $ *,+� � � � � � � � � � � � - . / � 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 12- 3�/ 4 � � ��� � � �5� � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ��� � � � � � � � � � � � � � �5� � � � � � � �� 16- 3�/ 4 � 0 � � ��� � � � � � ����� � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � �5��� ��� �� � �87 � � � �� � � � � 9

� : ; < = ! > ? ? @ � : ; " AB

� C @D" E : F G AH > ; I H : " J

> ? K > H > ; I H : L M : F L F " JN

O P�� Q R � �5� Q � S � R S � � S S � � T U V5� W � Q ��W X Y R S Z R S [ S \ W ] Q X / S ^ _ Q ` W _ R ] ^ Q a b

c d d ? e : f H > g > : ; h i @ e : ; j i k e : ; j > ? ? AB

e C @ i E L M : F L A B l l ? < f d ? I g : < m < ? > ; d n < m o <i p p J> ? ? q F g < = h > ? ? @ i A JH > ; I H : ; H I > J

N > ? K > H > ; I H : C < ? K > JN

O P \ Q X R \ V ^ Q V ^ ` X S ] S ^ \ Q S _ ` W ^ \ Q [ W X a r Q P V�s ^ Q S _ ] t ^ V5] W u Q _ W X Z W P V�v _�S Q w b

c d d x e y f H z g z y { h i h z x x | e y { j i k e y { j z x x }~

Page 98: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

e � | i h � � � � � �6i � } ~ l l � e � � � � � � z e y � z y x � f d x � g y � i ke � | e y f � z g z y { h i | i k z x x } } l l � � � � � x � � e � � e z y { z f d x � g y �

� z { � � y � � x � z � l l � y d � z � � z y d � � � � g � �� z x � z e � | z x x � g � � h z x x | i } }

z x x p p � l l e y f � z g z y { � � � e x � z x xz x � z e � | e y f � z g z y { h i | i k z x x } } l l � y d � z � � z � � z � { � g d � � x � e y � x

� z { � � y � � x � z � l l z y { d y f z � e y { z y { � g d � e y f � z g z y { � � x � f d x � g y �� z { � � y { � � z �

� � � t r � � � ] � � ] � \ ��[ � � ^ � � � \ � ] ��� � ` ��� ^ � � � ^ _ � ` � _ � ] ^ � a r � � � r� ^ � ! � ��^ � " ^ � � � ` � #$� %'& � ! � ( � ! ! � ! %)� � * & � ! � " � � * � � � � r � � � + � , � � � � %-& � ! � %.�� �0/ � � � * & � 1 2 �3& � � � & � , ��� � ( �0� * � � %.� ! � � � * � � ! � / � ! � ! � % & � 4 %�� ! � ( � , � %�� � � , � �� � ( � � 1

5 � � * + � � � , � � %�%�� / � + � � % 6 %-& � , � � � * & � 798 :<; = > 7@? A B ? : C = + � % & � 4 %�� ! � " %.�! � & � * � + � D � � %'D � E F G H I 1

2 % � ! � , � ! � � � � + � % � % / � ! � & , � ( � * � � �3& � � * ( � %0� ( � ! � * � ! � � * � � * � % � � * & �7@8 :3; = > 7$C : C = 1 2 * � % � � � � / � * � ! � %@" %�%.� , � � %)� # � * ( ��� * E J K L M K I � N OQP R I G G S "T U V D V ! V , W X ( W * U * Y W ( W , Z X + V + V & [ %0% V �\ ] ] G E J K L M K I ^ N O J K N M P R J K N M I G G S_

J K N P O M P S R I G G O M I G G S `

a b J G I OQP M F c c F d e9P f g gI G G M F c c F d eQI G G h K i j f g gO k O OlP h I G G S m n S o o P M p G q H M I G G M F c c F d e9P h I G G f S g gO k O OlP i I G G S m n S o o P M r J K q H M I G G M F c c F d e@P i I G G f S S _

J E O k J K s c I r I K N M P M I G G OlP R I G G S S _c I N q c K E F G H I `

ttu [ X3v [ [ w W x [ y z�W T U V w [ { V z.[ | U } { ~0� } V X { W Y ~)[ x z�W X D [ z�W x V X � � � { W } z�W X T U V

| U V z�z.[ � [ � [ [ } U V � [ X � [ x ~.[ � z V X � � � � � ~ V } v x [ X T U V z)[ { [ X ~�z�z.[ �9� �3� � V X3v � [ v [ { [ �� [ Y W x [ z0� U } [ x V ~ } [ y z0W { U [ z X V x V � V�� [ V } T U V U } W � V z�W X { U [ v x W � [ z0W x V X � V z�W X[ x x [ � X � M � c c � d y � � � M � c c � d y � M p � q � M � � � M � c c � d � � M r � � q � M � � � M � c c � d � �

Page 99: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

� � � x � � � � x � � � � z � � � x � � � x g g � � � z � � � � � � z�� � } � � y z�� � { � } v � � � x � � �@� �3� � � � ~ } { x � �� � } v � } � � � � } � ~0{ � z� � � { w � � � x � � � � � } ~0{ � � � { � � { ~�� } � � { � � } � � � � � �3v � � � �� z } � z ��� � B � � � � � � z � � � �0� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� � � ��� � � � � � � � � � M � M � � �� � � � � � � � ! " � � � � # �$� � � � � � � ��� � % � � � � � � � � M � M � � � &Q� ' � � � ( � � � ! � � � � � � � � �� � � � � � � ) � � � �� � � � � � ��� � ��� � ��� � � � * # + � � � � � � � , � � �� ��� � � ��� � " � � - M � � . / � 0 � �10 ��� � / � " � � � � 2

3 / 4 , ! 5 � 5 � ��� , ��� � , � 5 ��� 5 � � � � + 5 6 M 7 8 9 : M ; 8 8 M < � � < = + 6 M � > ? 9 : M ; 8 8 M < � � < =5 � @ A B � 4 5 C 2 @ B B 4 5 C D � E 4 5F� G 4 5 4 � 5 ��H � �1I � D / G / 4 � � � / ��H G % & &J6 K ; 8 8 ( L M ( N 2O 4 4 5FP D Q D R 4 S D T U�5VP U�R H W U�Q G 5 4 R P S 4 X D Y1I Y 4 5[Z \ X]S 4 U�R D 5[Z ^

_ 4 5 W Q U 4 R T G ` 5 U Y�Y 4 H D Q G 5 Q a 5 D Y�Y$a T 4 Y b W c Y 4 d e > 8 ; ` 4 5 C G S f W 4 g 4 Q G 5 4 R hc G R P S D T G W R D c D 5 U�Y�Y$D R G D P D c D T D C G S R UiR H W R D S 4 U�R D ^ j S G 5 4 H W U�Q G 5 �

7 9 k l m 9 ; ; ? nJo p ; 8 8 q rs G Y�G c D Q G t W R D S u U�R D u R Y$D C G t U�c Uiv R D c P W D Y�^

w x nzy l m { | | y } ~ ~ � � � l y l m { | | y } q �w x n�� � � w y k q

� � w y k l � � � � � n q r� � y x w � l � � { y k � � r� | � | k | l m { | | y n[o p | � � q rw x n � w y � � | � | y k l o l | � � n[o p | � � q q

� | k { � y x � � } | r� | k { � y x w y � l y | � k n[o p | � � q r

�� U u Y R � Q u S � T u S u U�R � t u t u Y f W u f W u S u Q � t ��� � S uz� u Q � Y � � � ` \ t U f W u S u Q � t

U�Q � S U�Q U S u Y P � b Y u S � �$� � � w y k ~ k � { | � ` Y � U�Q � S U�Q U�Q � t � u R P � T � c � t � ` c � R P � b U�hY�Ui� � Q � t Y$� c � R � � W S � c U�v R ` \ f W U1P � Q � t Y� S u UiR � ^ � c � R � U�R W � c U�v R UiR � u R � � Q � tU�R c S u Q u R � � S Y � t c � R � � T � S u t � t U u tF� � t � Y u b U u R ` Y�Y� Q � Q � t Y� Q U�t Q � S W � U�R � S u hc W S t U1  � Q u R � u � � S � U�R � u R � � S c � Y � c � S Y� � Y1� U�Q � S u U�R � u R � � S � t U¡� U � ` \ t U R � `t � Y�U�Q � t T u   � Y1  U u R T � x � � } | ^

w x n � x w y � l y | � k n[o p | � � q q �� | � | k | l m { | | y n[o p | � � q rw x n � w y � � | � | y k l o l | � � n[o p | � � q q

� | k { � y x � � } | r� | k { � y x w y � l y | � k n[o p | � � q r

¢

Page 100: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

� | k { � y k � { | r�

� f W ��` Y� S u U�R � f W u g u Q � t c � Y � c � T � R � u S � Y$� � Y1� U�Q � ^ � R � � R c u t ` Y�Y� Q � Q � tT U S u c � � Q u R � u � Y$� S W � U�R � x w y � l y | � k T u Q � R u S � S u c W S t U1  � � � S � c � Y � c � S Q a tS u U�R � t T u t T u Y� � � t U�c U�v R � c � W � Y�^ � U Y� S W � UiR � T u   W u Y¡  u T U�c U u R T � x � � } | ��Y �c W � Y u R s � � t u u t � � ��� u w x n � x w y � � y | � � � u t � � � � u � � tF� � u � � � � � � � �� � � ��� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �i� � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � �1� � � � � � � � � � �� � ��� � � � � � �¡� ��� � � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �   � �   � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! ��� � � � ��� " � � " � � � � � � � � � � � � " � � � � ��� � ��� � � � � � �� � � � � �$# � � � � " � � � % & ' � & � (

) � � � � � � * � ��� � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � ��� � � � # � + � � % & ' � & � ( , �.-" � � � � � � � � � ��/ � � � � % & ' � & � ( 0 1 2 1 3 � � � � " ��� � � ��4 � 5 � � � � 6 � � � � 7 8 8� 9�� � � � 9 � :

% & ; < � % & 0 % & ; � = > ? 2 ? @ � = A � = > B CED 3F

% � 0 � = > ? G H I I � = > ? J K 3 F? � = = G G L M � � > � N L G G � = > B C 1 D G G L G � % O � P � Q P � = ' J L

G G C.G & R < Q � = P � S R � � & � J LG G L C 1 I T � P = U = % & ; % & > � P � R ; % P & � D D L G G � & ' � G G � & ' � V

= � ; R = & 1 VW& X � ; P % 0 � = > B C T D 3 V% � 0 & G T 3 F

? � = = G G L Y � � ' & J T Z L G G � & ' � V= � ; R = & T V

W< � ( [ > % B � & X 0 � = > ? J H 3 V% � 0 < � ( [ > % B � & 3

< � ( [ & [ S R � � & � X � ; P % 0 � = > B C.H D 3 V� � � � < � ( [ & [ S R � � & � X & A & VQ U = % & ; X 0 0 � = > ? J \ 3 ] � ; P % 0 � = > B C^\ D 3 N � � � � � 3 V

_ ` = � � % O � 0 H A & a T 3 V� � � ` = � � % O � 0 H A & a T 3 V_ [ U � R � [ � � � ` = � � % O � 0 H A & a T 3 V

b

Page 101: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

_ [ < % & R � [ � � � ` = � � % O � 0 H A & a T 3 VQ P � = ' ` = � � % O � 0 H A & a T 2 H A & a T 3 V

� % & ' [ & � ( ; 0 1 2 1 3 V? P R ; G G � & ' � G G L X X X X X X X X X X X X X X X X X L G G � & ' �

G G L Y R < Q � = P � ? P & � % > R = � ; % P & � N L G G ? P & � % > [ ? P R & ; G G � & ' �G G L � � ( ` & R < Q � = P � S R � � & � N L G G < � ( [ & [ S R � � & � G G � & ' � G G � & ' � V

= � ; R = & 1 VW

� � � � � � � � �

� � ��� � � ��� � ��� � � � � ��� � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � � � �� � � � � � ! " # $ � � �� ��� � � %

& ' '' &' ' '' '' & '& ' '' '' ' && '' ' '

' & '' '' ' '& &' ' '' & '' '' ' '& '' ' &

' & '' '' ' '' && ' '' ' && '' ' '' '' & '

' ' '& &' ' '' '' & '' ' '& '' ' && '' ' '

' ' '& '' ' &' '& ' '' ' &' '& ' '' &' ' '

' ' '' && ' '' &' ' '' ' '' && ' '' '' ' &

� � � � � � � � � � ��� � � � � ( � $ � �)� * � � � � � ��� � �)+ � %

� � � , -/. 01. � �)� � � � � � � � �� � � � ! " 2 � � �) � 3 4 � � � 5 * � � � � ��� � � � � � �� �) � 6

' & ' ' '' ' & '' ' ' ' && ' ' '' ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' '& ' ' &' ' & ' '' & ' ' '' ' ' &' ' ' ' '& ' ' &' ' ' ' '' ' ' '& ' ' ' '' ' ' &' ' & ' '

' & ' ' '' ' ' &' ' ' ' '& ' ' '' ' ' ' &' ' ' '& ' ' ' '' & ' &' ' ' ' '' & ' ' '' ' & '' ' ' ' &' ' ' '& ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' '& ' & &' ' ' ' '

' ' & ' '& ' ' &' ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' '& ' ' '' ' ' ' &' ' & '' & ' ' '' ' & ' '& ' ' '' ' ' ' &' ' ' '' ' ' ' '& ' ' &' ' ' ' '& ' ' '' ' ' & '

' ' & ' '& ' ' &' ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' '' ' ' && ' ' ' '' & ' '' ' ' & '' ' ' ' '& & ' &' ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' &' ' ' '& ' ' ' '' & ' '' ' ' & '

' ' ' & '& ' ' '' ' ' ' '& ' ' &' ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' && ' ' '' ' & ' '' ' ' & '& ' ' '' ' ' ' '' ' ' && ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' && ' & '' ' ' ' '

' ' ' ' '& ' & &' ' ' ' '' ' ' '& ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' &' ' & '' & ' ' '' ' ' ' '& ' & '' ' ' ' &' ' ' '& ' ' ' '' ' ' &' ' ' ' '& ' ' '' ' ' & '

' ' & ' '' ' ' && ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' '& ' ' &' ' ' ' '' ' ' &' & ' ' '' ' ' & '' & ' '& ' ' ' '' ' ' &' ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' '& ' ' &' ' & ' '

' ' ' & '' & ' '& ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' &' ' ' '' ' ' ' '& & ' &' ' ' ' '' ' ' ' '' & ' && ' ' ' '' ' ' '' ' ' ' && ' ' '' ' ' ' '' ' ' &' & ' ' '

7

Page 102: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

� � � ��� � � � �� � 3 4 � � ��� � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � �� � � ! " 4 6

' & ' ' ' '' ' & ' &' ' ' ' ' '& ' ' ' '' ' ' ' ' &' ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' '& ' ' ' ' '' & ' ' &' ' ' & ' '' & ' ' ' '' ' ' ' &' ' ' ' ' '& ' ' ' &' ' ' ' ' '& ' ' ' '' ' ' ' ' &' ' ' ' '& ' ' ' ' '' ' ' ' &' ' & ' ' '' & ' ' ' '' ' ' & '' ' ' ' ' && ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' && ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' '& ' ' ' &' ' ' & ' '' & ' ' ' '' ' & & '' ' ' ' ' &' ' ' ' '& ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' '& ' ' & &' ' & ' ' '

' ' & ' ' '& ' ' ' &' ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' && ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' && ' ' ' ' '' & ' ' '' ' ' ' & '' ' & ' ' '& ' ' & &' ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' '& ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' &' ' & & '' & ' ' ' '' ' & ' ' '& ' ' & '' ' ' ' ' &' ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' '& ' ' ' ' '' ' ' ' &' ' ' ' ' '& ' & ' '' ' ' ' & '' ' ' & ' '& & ' ' &' ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' &' ' ' ' '& ' ' ' ' '' & & ' '' ' ' ' & '

' ' ' ' & '& ' ' ' '' ' ' ' ' '& ' ' ' &' ' ' ' ' '' ' ' ' && ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' && ' ' ' '' ' ' & ' '' ' ' & ' '& ' ' ' &' ' ' ' ' '' ' ' ' '& ' ' ' ' '' ' ' ' &' ' ' ' ' '& ' ' ' '' ' ' ' ' &' ' ' & '' & ' ' ' '' ' ' & ' '& ' ' ' '' ' ' ' ' &' ' ' ' '& ' ' ' ' '' ' ' ' &' ' ' ' ' '& ' ' ' &' ' ' ' ' '& ' ' ' '' ' ' ' & '' ' ' ' & '& ' & ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' && ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' && ' ' & '' ' & ' ' '

' ' & ' ' '' ' ' ' && ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' && ' ' ' '' ' ' ' ' '& ' ' ' &' ' ' ' ' '' ' ' ' &' & ' ' ' '' ' ' & ' '' & ' ' && ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' && ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' & ' &' & ' ' ' '' ' ' ' & '' & & ' '& ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' &' ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' '' ' ' ' ' '& & ' ' &' ' ' & ' '' ' ' ' & '' & ' ' '& ' ' ' ' '' ' ' ' &' ' ' ' ' '& ' ' ' '' ' ' ' ' &' ' ' ' '' ' ' ' ' '& ' ' ' &' ' & ' ' '

� � � � ��� � � � ��� � � � � � � � �� � � � ! " 2 � � �� � � � � � � � � 5 * � � � � ��� � � %

Page 103: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�����������

� ����������������� ���!������"�#�%$&�'�

(*)�+ ���,�.-�/102-�354�����6/78�90:�8/10�;=<7��3�0�>?�@;A��3B/10C��8>�<1>�0:83D8/FEG-?9HI��AJ6LKI9/102-?M<1/1<1>�0�>N>?�/10�H�90*MI8�PO0*M<1;=0�H )

QG)�R H;A�,<7��2;=-�0�/1EG-�<7=�90�HI4�8;AMI�SEG-?@MI@460*�=T8;=0U<13VMI=�8H0�3VMINHI�����@/10B-?M<1/1<1>�0�>S4��6O0�;AM<1;=0B>?@/10��8>�<1>�0.W2EG-?X3?�9Y�08W�094��Z>�<1>?��EG-?8>�0*�[�AJ6LK0�>?��8328/�83G-�3�;=<10�>?�9>?\M-24�����6/78�90 )

Page 104: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�����������

] ^U_'�[#,���'`�aFb��cd���!������"�#�%$&�'�fehgAg=i

jk�90*l�<13�0�EG-?m-�3�0�;A���9<1H<8O��3n8>�-�;=0*M<7o*0.EG-�<7=��;A��3?�Z;A=�pM-:��46<13�<8O��39;A������AqZ4�=�MI�.83:�90*MI8�PO0*M<1;=0�H0�;A=�,;=0�>?8/�46/10�3VMI80��9<783VMI�m>?%-�3�0�HI=�,<7%>?�4�����6/78�90�H )sr 8Hs<13VMI=�8H0�H0*��=�sH<�MI%460*�8;A83.0�>?8;=-�0�>?��H460*�,0�HI=��-?M<1/1<7T80�>?��Hp83@-�3�0�;=/10�HI�>?X�90*MI8�PO0*M<1;=0�H )

t[uwvZxzyP{%|%}~vZu�v?}��xz|��6|z��������u��2u��'�h��u����8HI46-�O8H�>?X/7==�[8/�H<7l�-�<783VMI\MIAqZMI�nMI�,0*M0n>?X;A��3VMI8HIM0*�m09/10�H[>?��H[;=-?8HIM<7��3?8H[EG-?XHIX46/10�3VMI80�3 )�6�A�[�h�k�1�,�A�k���=�?�L���8�L�I�,�=�[�m�I���k�=� �\��Z�X�h�I�¡ Z�p¢�I���h��£��h�k�����Z�k�=�V¤¡�L�h�h�m���Z�F¥k�V��V¤¦�[�h���=� §7�\��V¤¦�A��§7�Z�=§¨�k�=�

�=�s�L�I�I¤¦�n�h���I�*���k�=�� V��©�Z��L�A���h��L��L�A����z� �h���=�.�h�=�Z�h���,����Z��V��V¤¡�L�n��F�=� §7�\��V¤¦�hªC«F�=�L�C��7� �A�p�,��¬=�=� ��D�h����Z�.�h�=��­®���I�¡ V�k�§¨�=��¯X�,�=�V§¨�h�A�\���§7¤¡§¨�h�A�X�k�=�2����k�=�V¤¦�=�Z�k���h���I�:�h�k�h�=�\��Zª��6�A���h�k�1�,�A�X°�V�[�,�\��Z��V��V¤¡�L�=��k��L�k�C�h��� �2°�V�X£��2��Z�k�=�V¤¡�L�h�h�2��F�=� §7�\��V¤¦�C� �9�I§ �8�V����[§7�V¤¦��V¤¦�=�Z�h�n�\�=�V¤¦��Z��X�I�*���=�V¤¦��Z�A����B�k�=�V¤¦�h�¤¦��k�=�5��s�h�k�h�=�\��D�h��� �:�h�=��­®�=�I§7�Z�hªn±z�I¤¦�n�=���L�n�k�A�I§����@��§7�V��¤¦�A²[�h�I�¡ Z�p¢�I�k��� �A�.�h�k�1�,�A�.°�V�m£��=�³�L�k�§¨�§¨�h�n� �§7�®¥�=�I�\�h�§�¢�=�:�,�=� ��C����*�,�k�=�'� ��¥k�V��V¤¦���h���=� §7�\��V¤¦�hª´��I�,�h�\£��h�k�X�I§ �8� �A�\�,�m£��h�Z¢µ �C�h�I�,��I¬=�h�h�2�I�I¤¦��£��k�k£��A�s V��L�.£��A�I¤¦�:�����©�Z�:¶8·,¸V¹:�Z���,��� �L�8��¢�9§7�V¤¦��¡ Z�L�¤¦�=���[¢�=�Z��L������I§º�I¤¦��\��°�V����¤¡§7� § ­®�h�k�=�[ V�=�L�m�k�=�����V§¨�k�=�k�,�®ªs±s�V¤¡�L���=¤¡�L�A���A�¡ V�k�¤¦�A�k�6�,�p�h�I�,��V��I§�¢��°�V�%� ���=§7�L�k�k�§�¢�=�

£��h�§¨��� �n��V�=�»�,����Z�k�=�L�h�k��� �n�h�k�1�,�9�h�=��­®�=�I§7�Z�n�=���L�=�V¤¦�m�I�2¼�½8¾�¿®½@�L Z���V¤¦�h�k�9�=��� �h���=�X��³��z°�V�X�I�I¤¦�h�k��� �¥k�V��V¤¦�.�h�.�=� §7�\��V¤¦�A�p¤¦�=�\�=�Z�h�:�k�=�\�9�L�¨¥��L��Z�§¨�9� �m V�A�I§¨�§�¢�=�B�h����,�=� ª9±s�5����I�,°�V��\���I§ �8��§¨��V¤¦�.�L V�=�L�k�k���=� �8���Z�A���1�,��� Z� �A�m°�V�'���V�I�I¤¡�L�=�:�z¢�=�\�X� ��£��h�k�®À

Colmena

Colmena60º

Á�Â�à ÄpÅhÆ�Ç È'ÉLÆ~Ä�Ê*Ë®ÌhÆ~Ä8Í�à Ä%Î*Ï,Æ�ÉkÐ�Ñ*ÒÄ�ÉkÂmà ÄpÓhÇ Æ�ÉkÔkÔkÇkÒÏ®Â\ÓhÉkÃ�ЦϮÃ7Í�ÓhÉFÈ'Ï8ÓhÏpÕ=Ì�Ésà ÄpÓ�Ä,Â�ÖIÄ�ÉkÐ�×AÉLƦÑ�Ç ÔIÄ,Ã7Ø»Á�Â�à Ä�ЦÉkË®Ì�Â*Ó�Ä8Íà Ä'Î*Ï,Æ�ÉkÐ�Ñ*ÒÄ�Ù®Ú®Û�Ä'à Ä[Ç ÖIÕ=Ì�Ç ÉLÆ~Ó�Ä[ÓhÉ%à Ä�ÓhÇ Æ�ÉkÔkÔkÇkÒÏ®Â.ÓhÉ�à Ä[ÔkϮà È'ÉkÂ*Ä'ÔkÏ®ÂXÉkÃ?ЦϮÃ7ÜVÅ�Ï,ÆFÉkà à ÏhÍVà Ä[Ó�Ä,Â�ÖIÄ'ݺÏ,Æ�È[Ä'Ì�ÂNÒÄ,Â�Ë®Ì�à Ï�ÓhÉÙ®Ú®ÛFÔkÏ®Âmà Ä�×AÉLƦÑ�Ç ÔIÄ,Ã7Ø

Page 105: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

Þ�ßzàGá=â�ã�äå»æBç�è R 3X8/�H<7l�-�<783VMI�8HEG-?8�90[HI�Y�0'�=4��8HI83VM0�>?��/10'4���H<1;=<8O��3\>?%>�<7é¡=�83VMI8Hz;A��/1��83�0�HW�-�3�0\é�-?83VMI�>?[4���/783 )�ê �,0*M0�>?�>�<7�6-�K0*��8/�8HEG-?8�90X>?�/10X>�0�3?T80XEG-?[�80�/1<7T80*�6O0X/10X0*��LK0\83n;=0�>�0-�3�0�>?X/10�H[;A��/1��83�0�H )

Colmena 1

Colmena 2

Colmena 3

Þ�ßzàGá=â�ã�äå»æìë�è'í HI�Z;=<109;A��3³;=0�>�0�î6l�-?�,0�8/�8HEG-?8�90�>?X>�0�3?T809EG-?X;A����8HI4���3�>�0 )

(1) (2) (3) (4)

Page 106: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

(*)mï�ð -�O�;A�=8H�EG-?XY�09>?XH0*��=�,HI\460*�,0��8HI��/7o�=��;A����8;AM0���83VMI.8HIMI�4�����6/78�90Vñ

ï�ò ��3�H<1>?=�,0�HnEG-?N>�<1;,Y?��Hn;A��3?�Z;=<1�9<783VMI��HCHI��3 O-?M<1/78H9460*�,0S/10Dé¡���,�90�;=<8O��3w>?N-�3�0B4�=�,HI��3�0Vñjk3�>�<1;=0�4����[EG-�O )

QG)mï8ê X460*�8;A�-�3C4�����6/78�90�0�>?8;=-�0�>?�Gñóõô Oö ï8÷ 0*�,0nEG-�O�3�<7o�8/¡ñó ���R 3@;=-�0�/1EG-�<7=�,0�>?X/7��H[;=0�HI��H=ø»0*�l�-���83VM0�M-2�8HI46-?8HIM0Zø�4����'é�08o���� )

ùG)mï8ú �Z>�<ºî»;=0*�hOö 0�H�8/�4�����6/78�90.>?mé¡���,�90�EG-?m�8H-�/7M0*�,0.�PO0�H[;A=�,;=0�3?�90.M-2;A��3�;A=4�;=<8O��32HI�����\/108>�-�;=0�;=<8O��3@�90*MI8�PO0*M<1;=0Vñ ô <�8H[0�H8Oö ø�<13�>�Oö ;=0�3?��Hp83@EG-�O�HI83VM<1>?�?ø?4����[é�08o���� )

Page 107: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

û )�÷ /10�3VMI80.-�3n3G-?=o��.LKI=�,;=<1;=<7�X83n8/»;=-�0�/6HI�-?M<1/1<1;A839/7��H��9<1H����H%;A��3VMI83�<1>?��H��90*MI8�PO0*M<1;A��HpEG-?8328HIMI )

Page 108: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�����������

ü ^U_'�[#,���'`�aFb��cd���!#�ý�����X�9��`F`�aFb��cþ���!#���ÿ�[#,��$ýc����

R 3U-�3�028H;=-?8/10@>?n83�HI��3�0�3?T80@4��,<1�90*�,<10:8HIM�O0�3U8HIM-�>�<10�3�>?�@;sO-�0�/�8H�8/%���Z>?8/7�³;A��H����/8O��l�<1;A�NEG-?-?M<1/1<7T80�3C;,Y�<1;A��H[WC;,Y�<1;=0�H[83@H-�H'AqZ46/1<1;=0�;=<7��3?8H'0�;A=�,;=0n>?8/�-�3�<7o�=�,HI� )t[u��kx��Vywu���� ��u��:}�������uR 3w;=-�0�3VMI�P0S/10Ué¡���,�90S>?5/10 ê <7=��,0Zø�H-�Hn�8HI46-?8HIM0�HCY�0�3ìH<1>?�S;=/10�H<ºî»;=0�>�0�H:>?50�;=-?=�,>?� 0S/7��HH<7l�-�<783VMI8H[���Z>?8/7��H=�

������ ��������6½���� �����k½����! "� �# "$&%º½'��(*)�����+�)&%º½8¾V½� "+-,�+�$�¾�¼*�.�� "+0/������ ��213��4%½65�¼*+7����� �����k½-��8�$�¾V½�)&%º½8¾V½&(*�,¾9%º½�:7$&�<;�� ;-�=%º½�>-�,¾7?��-@*5A$�¾V½.�L�k�h�=�Z�h�A:7$&�B���C?�D½½'����� EV½��,¾F��%G "� ��% +0/

������ ��IH���6½���� �����k½�����$�¾V½����CJK���k½&/������ ��MLG���6½���� �����k½�����$�¾F���� N?�D½8¾&>-$&% +0/������ ��2O3���6½<��� �����k½=���P$�¾V½B���CJK���k½BQ�$&�� ,½B5�%º½<>-�,¾7?��!;�� ;-��¼*�,¾7?���+[¼*�R��% %º½&(-�,¾S$�¾V½<�T$&)����TU� "� �

)&%º½8¾V½&/������ ��IV���6½F��� �����k½&( ,½-�T�W���CJ6D�����. ,½&(3���B)&%º½8¾V½�½'����� EV½X5n½'EV½ZYC+F5[%º½-�B)����#�T+h¾V½-�=;�� ;-�,¾I�T+-E&���¼*�. #QV½��T$&)����TU� "� �<)&%º½8¾V½&/

Modelo 4 Modelo 5 Modelo 6

Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3

(*)�ê �,0*M0:>?����,>?83�0*��/7��H����Z>?8/7��H�0�3VMI=�,<7���8H=ø�HI=lpO-�3@M-³4����46<7�n;A�,<7MI=�,<7�?ø»>?8/z�PO0�H�08o*0�3?T80�>?�C0�/��83?��H�08o*0�3?T80�>?� )

Page 109: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

QG)mï�ò ��3?�Z;A8H'4����46<78>�0�>?8Hp;=<783VM8Oö î»;=0�H'EG-?\8HIMGO83³<13Vo���/1-�;A�,0�>�0�Hp832/10.é¡���,�.-�/10�;=<8O��32>?m8HIMI��H[����\>?8/7��H®ñóõô Oö ó ���ô Oö 8HC0�H8Oö ø'8H;A�,<7��³;=-[O0�/78HnW�;�O������/10�H:HI8;=-?83�;=<10*�hOö 0�H ) ô ��3�0�/10U0�>?8�PO0�H:;=-[O0�/78HC>?³8/1/10�H9MI460*�8;A83@4����46<78>�0�>?8H'�90*MI8�PO0*M<1;=0�H )

ùG)�R /1<7l�\-�3?��>?X/7��H'���Z>?8/7��H'0�3VMI=�,<7���8H=ø?Aq?;A=4�MI�98/����Z>?8/7��8HIé8O=�,<1;A�?ø6Wn8HI����T80�-�3�0.46/10�3�<ºî»;=07\;=<8O��3@>?X/10�0�;AM<7oZ<1>�0�>28H;A��/10*��EG-?X>?8H0*����/1/10*�hOö 0�H�460*�,0���LKI���,0*��>�<1;,Y?�9���Z>?8/7� )

Page 110: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

]���v?}~v?��x����6���m�^ u`_ ��u�|�xFv0a��R 32;=-�0�3VMI�:0�/10�AqZ46/1<1;=0�;=<8O��32>?8/�;=<1;=/7�9>?8/�>�Oö 0.WC/10�3?�Z;,Y?�ø6/7��H'���Z>?8/7��H'AqZ4��8H0�>?��H'4����[/7��H[;,Y�<1;A��Hé�-?=���3@/7��H'H<7l�-�<783VMI8H=�

������ ����cbP%G "�. "% +�)&$&�®¼*�<�"d*)&% �. ,½'�#�T�=�,¾X?&D����,�� ¾&+7��¼*��%,�+Z;�� ,�� �,¾7?�+\¼*��%G�T+-%e(&:7$&�-8fhg �<���� "+h¾V¼*�'¼*�"?���D½-�F¼*�B%º½-��,�+h¾7?k½�i¾V½-�fhg ���I�,�k�L V�X½'%3���T)V½- "� +fhg �<���� "+h¾V¼*�'¼*�"?���D½-�F¼*�B%º½-��¾�$&E����

������ ��21�bP%��T+-%75B%º½R% $�¾V½R���C?�D½8¾j�,¾j%º½h¼*+7�G+-)&$&���C?�+%¼*�k%º½l��� �����k½&/GbP%*¼Dm ½!5B%º½�¾&+* #Q&�s¼*��)��,¾V¼*�,¾¼*��%>-� ��+m¼*�<%º½���� �����k½��T+-E&���<�T�3,��.�T,\½&/������ ��IH��6½���� �����k½jn����CJ6D�����. ,½6n�)�����,\½8¾&�� "�B� ¾&,oD+-;�� %5A��%G�T+-%��I�V�k�< "$V½8¾V¼*+�%º½�% $�¾V½��k�¦�,�

p=p=p=p=p=p=pp=p=p=p=p=p=pp=p=p=p=p=p=pp=p=p=p=p=p=pp=p=p=p=p=p=pp=p=p=p=p=p=pp=p=p=p=p=p=pq=q=q=q=q=q=qq=q=q=q=q=q=qq=q=q=q=q=q=qq=q=q=q=q=q=qq=q=q=q=q=q=qq=q=q=q=q=q=qq=q=q=q=q=q=q

r=r=r=rr=r=r=rr=r=r=rr=r=r=rr=r=r=rr=r=r=rr=r=r=rr=r=r=rr=r=r=rr=r=r=rr=r=r=rr=r=r=rr=r=r=r

s=s=s=ss=s=s=ss=s=s=ss=s=s=ss=s=s=ss=s=s=ss=s=s=ss=s=s=ss=s=s=ss=s=s=ss=s=s=ss=s=s=ss=s=s=sModelo 1

Modelo 3Modelo 2

(*) ��C/7��H����Z>?8/7��H\AqZ46-?8HIMI��H�83U8/%0*460*�M0�>?�N0�3VMI=�,<7���.460*�,0@/10@é¡���,�90@>?:/10 ê <7=��,0Zø ï ;=-[O0�/78H46-?8>?83@0�HI�Z;=<10*�,HI.;A��3N;=0�>�0n-�3?�9>?./7��H[EG-?.HI�-?M<1/1<7T80�320�EG-�Oö 460*�,0�AqZ46/1<1;=0*�[8/z;=<1;=/7�n>?8/z>�Oö 0W2>?X/10�3?�Z;,Y?�ñ

QG)�R 3Dl�83?=�,0�/¦øz/7��HX;,Y�<1;A��HXY�0�;A83B-�HI�@>?9/10�Hm�8/10�;=<7��3?8HXHI��/ tG>�Oö 0:W5/1-�3�0-tG3?�Z;,Y? )nï í EG-�On;A�=8HEG-?XHI�>?=��X/10�-?M<1/1<7T80�;=<8O��3C>?\M0�/78H[�8/10�;=<7��3?8H®ñ

Page 111: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

ùG)�R /1<7l�\-�3?��>?\/7��H'���Z>?8/7��H�4��8HI83VM0�>?��HpWn8HI����T80�;�O������46/10�3�<ºî»;=0*�hOö 0�H�-�3�0.0�;AM<7oZ<1>�0�>C8H;A��/10*�460*�,09��LKI���,0*��/10�é¡���,�.-�/10�;=<8O��32>?X>�<1;,Y?�9���Z>?8/7� )

û )�R /[�9<1H���DM<74��B>?@AqZ4�=�,<783�;=<105HIN/1/7=opO�B0B;=0*���U;A��3w3�<��3?��H�W 3�<��3�0�H�83�;A���.-�3�<1>�0�>?8H9<13u\>�<10�H�0���=�,<1;=0�3�0�H=øF83 (Zv ø ù�v Wxw v >?n4��,<1�90*�,<10 )Cú ��HIMI�,0*�60�3�-�3�024��=é¡=�83�;=<10@8HI4�8;=<10�/�4����AqZ46/1<1;=0�;=<7��3?8H[0�3�Oö �9<1;=0�Hp460*�,0�8/10*�����,0*��-�32���Z>?8/7�9>?8/�;=<1;=/7�9>�Oö 0-tG3?�Z;,Y?�>?8/�M<74��?�y R /�HI��/�WC/10�/1-�3�02z�>�Oö 0-tG3?�Z;,Y?7{pEG-�<7=�832>?8H;=0�3�H0*� )y R /�HI��/����,<1/1/10��PO0�H�>�-?�,0�3VMI\8/�>�Oö 0.4����,EG-?m8HIM�O0983?é�0�>�0�>?�y R /�HI��/�WC/10�/1-�3�0�3?�9EG-�<7=�832HI=��0��9<7l���Hï�ò O�����n<13VMI=�4��=M0*�hOö 0�Hp8HIMI��H�3G-?=o���H����Z>?8/7��H'AqZ46/1<1;=0*M<7o���H®ñ

Page 112: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

w ) í /7l�-�3�0�H�>?n/10�H\MI�,0�>�<1;=<7��3?8HX;=-�/7M-?�,0�/78H\WD;A��H����/8O��l�<1;=0�H.>?n/10@;A���.-�3�<1>�0�>B<13�>?��\~0���=�,<1;=0�3�0;A��3�/10�EG-?pHI'/1/7=opO��0m;=0*���\/10�AqZ4�=�,<783�;=<10�0�3VMI=�,<7���jz¡4��=l�-�3VM0�| v û�{z0*460*�8;A83�83�8/ZH<7l�-�<783VMIMIAqZMI�:�9<7MI��/8O��l�<1;A�?�

}I�V¯h�=�X~K��+* ,½7��:7$&�!���k½<�T$V½6;-��5��T� ¾�JK+-��,\½&('?�+-,oD+<$�¾V½B)V½'�T?���¼*�l��Dm ,��.�T,\½B5�%º½<���T)V½'�# "��D+B)�+-��,¾0 "� ,\½�5�½'% ���®¼*�®¼*+-�F¼*�<��% %º½&(�JK+-��,\½8¾V¼*+�$�¾F>-�k½8¾�¼*�.�� "+0/ g $�¾&+-,�E&���=JK$&���n���h�S~�?�� �����k½7�N/�n���h�R�T�!:7$&�CY~½'EV½'¼*��JK�6Dm +p½��&�h�=�A~� "� ��% +��N(7:7$&� �,¾S "���GD+'½M�.§u~��T+-%��N(-$�¾S>-�k½8¾�¼*�.�� "+<% $&,�� ¾&+7�T+0/�.§G�T��:7$&�®¼�½'EV½A:7$&� �"?�+0(Z¼*��,�+�¼*+9:7$&��%º½-�R����>-� +h¾&���R,oD½-�REV½ZY~½-�%¼*��%º½X��� �����k½S���C?k½'EV½8¾��,¾%º½�+7�� "$&���º¼�½h¼3/�n���h�=?��,¾GDm ½� ,½'% +-��5h�.§u:7$&���6Dm ½�¼*���� ,½8¾0�L½'��(�¼*�B,�+�¼*+S:7$&���&�h�=�\¼*� ;��º¼*��D+���%3?�� ��,�)�+S�,¾�¼Dm ½5m¾&+* #Q&�-8��.§0�L½'%º¼*�6Dm ½p¼*��%u�CYC��¼*��%�,�$�¾V¼*+�5�;��º½ZY~½'�6Dm ½p½'% ���®¼*�®¼*+-�z¼*�l%º½j>-�k½8¾�ERD+-;-�®¼�½j "��% ���C?��-/�l$&�k½8¾7?��<%º½�¾&+* #Q&�-(*� �6Dm ½�½�%º½-��)V½'�T?�����,oD½-��EV½ZY~½-��½\¼*���� ,½8¾0�L½'��/�.§��T�B�T�,¾7?6Dm ½j�T+-% +�5A:7$&���6Dm ½� "+-,�)V½�i¾GDm ½&(�¼*�=,�+�¼*+�:7$&�B "���GD+�+'?���+�¼*�.�� "+� "+-,�+2D��%�5S% �B% %º½',oD+���=�0��§�~K% $�¾V½7�N/k�R,�E�+7��>-+-E����L¾V½'EV½8¾X��%6¼Dm ½�5X%º½�¾&+* #Q&�-/�l$&�k½8¾7?��j$�¾�EV½8¾0:7$&�"?��-(0$�¾V½SE���% %º½S,�$ZYC����(��T�j�T�,¾7?�D+X "���# ,½m¼*��%��T+-%e(0�,¾���%G% $&>�½'�%¼*�����=�0��§�/�R,�EV½-�l�T�j�,¾*J¨½h¼�½'��+h¾F59����� ¾7?��,¾7?�D+A���� "+h¾0 "� % �º½'��%º½-��(*)�����+9���=�0��§3�T��:7$&�CY&D+�½F�&�h�=�0(u:7$&� �,¾¼*�� "�º¼*��D+A:7$&�[½�)V½'�T?�� ��¼*�<�,¾7?�+h¾0 "����(!�.§�>-+-E����L¾V½'�6Dm ½j�,¾��T+-% �®¼�½h¼A��%6¼Dm ½�5F���=�0��§�%º½�¾&+* #Q&�-/������+�% +7�F¼Dm ½-��:7$&�����=�0��§�)V½-�L½'�k½� "���# ,½m¼*��%G�T+-%e(& "$&E&��� �6Dm ½��T$F��+7�C?���+0/

��8HI46-�O8H�>?:;A��3?�Z;A=��8HIM0N<13?é¡���,�90�;=<8O��3�ø ï ���Z>�<ºî»;=0*�hOö 0�HX83S0�/7l��5/10N<13VMI=�4��=M0�;=<8O��3SEG-?:Y�0�H>�0�>?��83³/10�4��=l�-�3VM0�0�3VMI=�,<7����0�;A=�,;=0n>?X/10�H'�8HI46-?8HIM0�H[>?X/7��H[3�<��3?��H®ñóõô Oö ó ���ô <�8H�0�H8Oö ø ï 83@EG-�O�HI83VM<1>?�Gñ

�G)mï�ò �=8H5EG-?S83�M-ÿ83VMI���,3?�wAq?<1HIMI83 0�HI4�8;AMI��H5;=-�/7M-?�,0�/78HNEG-?S<13ZJ»-?W�83õ83 /10Pé¡���,�90�;=<8O��3;=<783VM8Oö î»;=09>?X/7��H'8HIM-�>�<10�3VMI8H®ñóõô Oö ó ���ô <Z8H�0�H8Oö øV<13�>�Oö ;=0�/7��HsW.8HI4�8;=<ºî»;=0\;=-[O0�/78H�HI'�Aî6=�8390\/10mé¡���,�90�;=<8O��39�90*MI8�PO0*M<1;=0 ) ô <?3?�\8H�0�H8Oö ø<13�>�<1;=0\0�EG-�Om;A�=8H�EG-?�HI�>?=���EG-?�H8Oö Aq?<1HIM0�3983n��MI�,0�H�;=-�/7M-?�,0�H=øG;A�����./10�EG-?�HI���83�;=<7��3�08328HIMI.;=0�HI� )

Page 113: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�����������

� ^U_'�[#,���'`�aFb��cd���!������"�#�%$&�'�fehg=i

jk�90*l�<13�0�EG-?m-�3�0�;A���9<1H<8O��3n8>�-�;=0*M<7o*0.EG-�<7=��;A��3?�Z;A=�pM-:��46<13�<8O��39;A������AqZ4�=�MI�.83:�90*MI8�PO0*M<1;=0�H0�;A=�,;=0�>?8/�46/10�3VMI80��9<783VMI�m>?%-�3�0�HI=�,<7%>?�4�����6/78�90�H )sr 8Hs<13VMI=�8H0�H0*��=�sH<�MI%460*�8;A83.0�>?8;=-�0�>?��H460*�,0�HI=��-?M<1/1<7T80�>?��Hp83@-�3�0�;=/10�HI�>?X�90*MI8�PO0*M<1;=0�H )�n��x������6ywu��2���`a������6|%v?}�u�������u�����6�"�[�F�G�6�"�����0���Z ����&�¡�&�7¢9�0£ �Z�7¢Z¤[¥G�F¦Z���6§��u�� ¡¨����3¢�£�¢6§T�M�6�ª©0«���£e���u ��9¢M�6�ª��£e���6�N�7��¬­�*§��N�7¢©0«2��£e���u ��9¢[®Z�G�9¯K���0�-���F�u���2�0�9¢���¢A�0£ �Z�7¢��� �¯�®Z�G�X¢'�9¯��7¢j°��"��¢6§G±�I�u &¨��[ �¯ ²�±�u�ª§�£C�6��°3�&¤X³��0�6�´± 7¢����6¯��£ ¦��u�G§C��¯K�C²0 hµ¶ �0�A¢��X¦Z���6§��u�� I ��u�x�"·&§��N R¸���&¤S¹�º­±���[�M�u I�0�A�u &¨��6��¢'�[�6¯W�"�T°3 ��6§C��»

(*)mï�ð -�O�;A��3?�Z;=<1�9<783VMI��H[HI��90�3?LK0�328328/�4���Z;A8HI�n>?\�8HI��/1-�;=<8O��32>?\8HIMI�4�����6/78�90Vñ

ï�ò ��3�H<1>?=�,0�HnEG-?N>�<1;,Y?��Hn;A��3?�Z;=<1�9<783VMI��HCHI��3 O-?M<1/78H9460*�,0S/10Dé¡���,�90�;=<8O��3w>?N-�3�0B4�=�,HI��3�0Vñjk3�>�<1;=0�4����[EG-�O )

QG)mï8ê X460*�8;A�-�3C4�����6/78�90�0�>?8;=-�0�>?�Gñóõô Oö ï8÷ 0*�,0nEG-�O�3�<7o�8/¡ñó ���R 3@;=-�0�/1EG-�<7=�,0�>?X/7��H[;=0�HI��H=ø»0*�l�-���83VM0�M-2�8HI46-?8HIM0Zø�4����'é�08o���� )

Page 114: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

ùG)mï8ú �Z>�<ºî»;=0*�hOö 0�H�8/»4�����6/78�90.>?mé¡���,�90�EG-?m8/��8H-�/7M0�>?�.é�-?=�,0��PO0�H';A=�,;=0�3?�90.M-2;A��3�;A=4�;=<8O��3HI�����X/10�8>�-�;=0�;=<8O��3³�90*MI8�PO0*M<1;=0Vñ ô <�8H[0�H8Oö ø�<13�>�Oö ;=0�3?��Hp83@EG-�O�HI83VM<1>?�?ø�4����'é�08o���� )

Page 115: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�n��x������6ywu��2���`a������6|%v?}�u��ª¼ gAg6½&¾¿j ��N X�"��¢Z��¯ À*�6���6¯�¢�£�²*�u£C�6�G§T��°��N�0�6¯K�6�[ X�u 7¢��0��§T�6���6���6�I¨Z�G�6�G§C 9®Z�G�=�u A¢�£Á�&�9 &�& �°�§C &�&�[�0�<�u�I ��G§�£�²*���[ ��� �¯�± ��N 0���'¤�ÂP�7¢R°��N�0�6¯K�6�[ 7¢9�0�X��¢6§T���[ ��� �¯P¨����G§�£C�6���6�­�u�� M�"·&§T�6�3¢Z [�0��¢Z¨Z��£ °3¨Z£±�����0��¯��7¢S¨�������£eèZ£Á���� ��G§T��¢<£e��°��G��¢6§C�7¢�°3���j¯� A¯K�6¬9¨����R± ��£Á¨� F®Z�G�� *§C R¸���6�­��£e�"�"¨'§C ����6�G§T�� A¯��7¢�°��N�0�6¯K�6�[ 7¢��0�<�3�6�"�6��¨Z£Á 7¢Z¤ÄB�[°3 ��6§�£Á¨Z�u¯� ��ZÅ

y r ��H�Y?=�8>?=���H�3�0*M-?�,0�/78H[46-?8>?83³3?=l�0*�,HI�0n;A8>?=�\0n-�3@AqZMI�,0G�3?�C/7�nEG-?�Aq?;A8>�0:>? µ¶ >?./10é¡���M-�3�0.MI��M0�/ ) ô <�Y�08WCY?=�8>?=���H'>�<7�8;AMI��H'EG-?\3?�9HI\3�<7=l�0�3CW:��MI���H[EG-?\H8Oö ø?H�O��/7�9/7��H'EG-?\3?�HI�3�<7=l�-?83C460*l�0*�6O0�3@8/�Aq?;A8HI�:EG-?XH-?4�=�\0�8HIXMI=�,;=<7�?ø�WC3?��8/��8HIMI� )y r �BEG-?2Aq?;A8>�0D/10D>?8-�>�05>?2-�3 Y�< KI�5>?@H-�460*�MI@/7=l�0�/';A�����UY?=�8>?=��DHI@;A��3�H<1>?=�,05-�3�=l�0�/7�9WC3?�n>?=��\>?=o���/7o�=�,HI )y r 0:8HI4���H0n�8;=<7�� µÆ >?�/7��H��6<783?8H=ø�;=-�0�/1EG-�<7=�,0nEG-?�HI80C/10:;=0�3VM<1>�0�>�ø�W³/7��H2ÇÆ �8HIM0�3VMI8H\HI��3>�<7oZ<1>�<1>?��H[83VMI�9/7��Hm>?8H;A83�>�<783VMI8H=ø�>?�M0�/F�90�3?=�,0CEG-?�/7��H\Y�< KI��H�o*0*���3?8Hm�8;=<7�60�3N8/F>?���6/7>?X/7�9EG-?X�8;=<7��832H-�H'Y?=�,�90�3�0�H )

�����u�����6�"���F�G�6�"���F�0���Z ����&�c o¢��È��¢C°3�7¢Z 7�[�&�7¢I�0£ �Z�7¢2¬h�u�� o�0£ �Z 7�[�6�G§��"�2¯��7¢�®Z�G�2�"�T°3 ��6§T�­¢���3�6�"�6��¨Z£Á &¤X³��0�6�´± 7¢��<�u���­�0�9¢���¢A�0£ �Z�7¢F¯K���0�-�����6�ª�6¯��[�����6�G§C���0�X¢��o�F�G�6�6§T�9�u�� ­¨� ��G§�£Á�& &�­£�²*� �¯ �¯� M®Z�G�S§�£C�6���X�6���6¯��[�����6�G§C�M�0�!¦Z �¯e¯K�"¨��6�Z¤jÄB¯P��£ ¦��u�G§C���0���Z �§C ����6£u±�6�o¨����[�[¯K�C²0 &�&�I ��u�� �°�6��¢Z����  #�'�6�� o ­¯� X¦Z ��F£e¯ £Á ¡§C ��G§C�o¨����[��¯��o®Z�G���0���Z ��G±É  � ­�u�c§T�6�N¨��6���0£ �Z�7�j¢�£<¯��¡§��uÀ-£C�6�N &¤­¹�º­±���[���0�-���6�G±É  �u &¨��6��¢'�[�6¯W�"�T°3 ��6§C��»

(*)mï�ð -�O�;A��3?�Z;=<1�9<783VMI��H[HI��90�3?LK0�328328/�4���Z;A8HI�n>?\�8HI��/1-�;=<8O��32>?\8HIMI�4�����6/78�90Vñ

ï�ò ��3�H<1>?=�,0�HnEG-?N>�<1;,Y?��Hn;A��3?�Z;=<1�9<783VMI��HCHI��3 O-?M<1/78H9460*�,0S/10Dé¡���,�90�;=<8O��3w>?N-�3�0B4�=�,HI��3�0Vñjk3�>�<1;=0�4����[EG-�O

Page 116: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

QG)mï8ê X460*�8;A�-�3C4�����6/78�90�0�>?8;=-�0�>?�Gñóõô Oö ï8÷ 0*�,0nEG-�O�3�<7o�8/¡ñó ���R 3@;=-�0�/1EG-�<7=�,0�>?X/7��H[;=0�HI��H=ø»0*�l�-���83VM0�M-2�8HI46-?8HIM0Zø�4����'é�08o���� )

ùG)mï8ú �Z>�<ºî»;=0*�hOö 0�H�8/»4�����6/78�90.>?mé¡���,�90�EG-?m8/��8H-�/7M0�>?�.é�-?=�,0��PO0�H';A=�,;=0�3?�90.M-2;A��3�;A=4�;=<8O��3HI�����X/10�8>�-�;=0�;=<8O��3³�90*MI8�PO0*M<1;=0Vñ ô <�8H[0�H8Oö ø�<13�>�Oö ;=0�3?��Hp83@EG-�O�HI83VM<1>?�?ø�4����'é�08o���� )

û )mï�ð -�O�>�<7é¡=�83�;=<10�H�83�;=-?83VMI�,0�H�83VMI��/10né¡���,�.-�/10�;=<8O��3N>?.8HIMI�4�����6/78�909W³/10:EG-?�HI�46/10�3VMI�O�8328/�4�����6/78�90�0�3VMI=�,<7���Añ

w )mï8ê 9460*�8;A83D�8/7=o*0�3VMI8H�>�<1;,Y�0�HX>�<7é¡=�83�;=<10�Hm0@/102Y?���,02>?8/F0*4��83�>�<7T80hKI9�90*MI8�PO0*M<1;A�³>?9/7��H0�/1-��93?��H®ñ óõô Oö ó ���ï8÷ ����EG-�O�ñ

Page 117: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

³ dt´ bOdkj¶µcvxm¸·!¹Om

� Ò � h 5oºN·�»n/:I4���� �½:ºAº>½(4x·�º0/t�4��@ ��� ÒCÁ%±%Á 69�Ë�4x·9&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�¾����Tº>½(<@¿�¹�¿�½��¹�A»+*�½:ºCj�� ½��x·��7½:ºCj&#·�ºr�C��It�µ�HÄ(·�¿�¼N·�¹J/( J���A�(½(&#·�ºN¾�ºm/J�`���m�T¿�� 4x¾$�n/ h ����I^·�ºK!o·*�0/]�`�Q�[Iw!e�C� 6*»L]��&À+U<C9]��[X��3V ¿UF>-�+�K]��[XQ8$Ye¿�]$Y�>�V`80�'XJU��Ñ1�/+äJ�SI�ko  /+�r½:ºAÇ��0/+�6� � ± ¤e� Ó �

� µ � h ¿��o¹�·',7/�Ù+��� ÒCÁ%Á�Ò 69�N�E��¼ 4x·�ºN·(½��D,9&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*��¿��#&#· ½-�A»oºN·'&#·��¼3�"It�µ�t�e¿>&�&./i�4�D,H}|¾0Ai·�/I}���n·;!e�C� 6Mü�U ]7��ÀDX Yg\.]$Y�>'7:U ]$T3Y=X Yg\-X Y"V;��Ài8�8�7�C9]��&À+U<C9]��[X��3V�Dº�¾g!+!o·�º^½��=!�k�¼N¾M»+*�4�¼N¾-�K¤ Ë�4x·Â ��·�8ä]�o¿>Ai·�ºr�A¿�¼�,���}|¾-�=!o¾-�n/ � Á ¤e� � �

� R � h ¹��A¿��w½M/o J��� ÒCÁ%±%Á 69�~»�UF>$XQ>7](VmUWV49+]�7�8�7>](V(�[T ].>$X��'XQ8$Y�]�7:UWV0Ã�¼�80���COU3Yw�48(VK1%9�TF8�9��=UWV��J](VG>DU^�[T ]$Z£ ]C�`8Dé��¿�ºN·*�*��¿:@-��I^·�x·�º>½:¹l!o·A6L·�x¾0A�½-��¿:@-�®�4·;!x½(*7@$*�¿�� ½M/ÈI"IT J�

� p � h ¹��A¿��w½M/r J�P,ÏIs½:ºNÃ�»x·�¼0/�}�¹Ù��� ÒCÁ%±�µ 69���UWV`8(V ¿­C�XQ>DUWV�X�COUWV��gTKUWV�!�e»+5o¹�¿�� ½-��¿�¾-�+��!o·�¹�IÉ»+�N·�»!o·^¹�½� �¿2½�+��¿�½��  5oº>½Ok ¾K��¿�½:¹l!o·(¹�½# �½:¿i2x½�!o·h�4·�+�A¿�¾-�+�0/��H½:ºr�@·�¹�¾-�w½��

� ü � h ¹�¼ 4x·�¿:!o·�/��4� }��m½��=!JÙ�4x¾-�+�N¾-�n/�Ù+� I¹��� ÒCÁ%Á(p 69�H �ºA¿�¼N·�ºA¿�½��Q¾Mº�½-�r�N·*�r�A¿��+*#¿���¼N·�º �oºN·�¼A¿>Ai·8A�½:¹�¿:!{¿�¼�,¿��qÃ�»w½:¹�¿�¼>½:¿>Ai·]ºN·*�N· ½:ºr�K46�lIt�µ�A�^·�+<@¿��n/!�A� Ä��|½��=!p}�¿��+�@¾M¹��n/|¶�� k��¾m]$Y�>�£F8�8�¿ 8C¢¨��+]�7 Xn�J]��[X&¯$UTKUWV0U ]$T ��ÀK�Pk{½(*i·�/�}|¾-�=!o¾-�n/ p�±�ü ¤ p�Á%Á �

� � � h �=!o·�ºr�N·�n/�Ä��l� ÒCÁ%±�ü 69�$ �½;A�½:¹�¿�·�ºA¿4À ��&#·�¼ 4x¾g!ɾ��e¿��=!{¿>A ¿��A¿>5o¹�·*�C��Á�T ��ÀDX&¯$U�¢`8$ThÀDXV��48$T91)8C¢1U�N7]7�@�V;�'XJU3Y��WUWV'/ R�Ò / µ%Á�Ò ¤ R � �K�

� � � h �=!{ºN·�º}�}�`�m½��=!;º^½:¼r�K4n/�I4�n� µ�Ó�Ó�Ò 69� h �@¾$&��w½:ºA¿��N¾-�ʾ���4�»e�+*�½:ºA¿�½��s½��=!È·�+*�¹�¿�� 4'¼N· ½-�K4x·�ºr��À�@¾-�+�@·'�o¼A¿�¾-�+��¾��S&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*��½��=!�¿�¼r�¼N· ½-�K4o¿��+*+��L�>-�+�K]��[XQ8$Y�]�7�V��É�;>$XJUWVGX YÂC9]��&À+U<C9]��[X��3V ¿pDR / R�Ò ¤ � p �

� ± � h ºr� ½;A ¿J/ h ��� ÒCÁ%Á�Ò 69�]Ë�ºT¾F5�·�x·3^x¼r�Z¾��H»+�A¿��+*F4o¿��A¼N¾Mº ,��:Ã�8$T��&À+U¥7:U ]$T3Y=X Yg\�8C¢DC9]��&À+U<C9]��[X��3V'/Ò�Ò � µ 63/ Ò�Ò �

� Á � h ºr� ½;A ¿J/ h � ½��=!-�TºA»+� � 4x·�¿>&#·�º0/!I¹��� µ�Ó�Ó�Ó 69�:��¿:!x½-��¼A¿�� ½:¹�»+�N·*��¾��l�oºA¿>&�½:º ,¨�N¾M»oºr�@·*�H�nºN¾$&±¼ 4x·4o¿��A¼N¾Mº ,�¾���&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�C��ü6À+U<COUWVmX Y�UF>-�+�K]��[XQ8$Y�/ Ò � Ò 63/ ü�ü ¤e� p �

� Ò�Ó � h �r�K4x·�º0/�I¹�o½��=!'�¬À h &85oºN¾%�A¿�¾+/+äA�:� ÒCÁ%Á(p 69�NIe¼ 4e�x¾$&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�'�T½1!{¿�½:¹�¾$*�»x·%��Ã�8$T^�&À+UA7:U ]$T3ZY=X Yg\'8C¢AC9]��&À+U<C9]��[X��3V'/ Ò'p � µ 6 R � ¤ pDR �

Ò � Á

Page 118: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�T¿>5o¹�¿�¾$*�º>½��nÇ�½

� Ò�Ò �1�H½:º 5o¿��n/MI}�P� ÒCÁ%Á � 69�uË�4x·�ºN¾M¹�·^¾��l�oºN¾$5o¹�·'&���¿���¼ 4x·S4o¿��A¼N¾Mº ,�½��=!�¼N· ½-�K4o¿��+*#¾��l&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�C�It�µ�:6L¾-�w½:¹:!' �½:¹�¿��+*i·�ºm�[Iw!¬� 6'ÄPXn�J]+»L]��&À+U<C9]��[X��K]DÃ�¾_XV��48$T3X��K]�7�TKUWV0U ]$T ��ÀF]$Y�>�Xn� V�X Yw��U�\$T ]��[XQ8$YÅ Xn�&À'��U ]7��ÀDX Yg\%��I hSh ��¾M¼N·*�0/ p5Ó / Ò �*¤ µ�ü � h � ½$!o·'&]¿����eºN·*�r�0/e��·�º²¶�¾Mº � �

� Ò µ �1�H½:º 5o¿��n/wI}��� µ�Ó�Ó�Ó 69�#����¼N·'*�º>½:¼A¿��+*�4o¿��A¼N¾Mº ,6��ºN·*�N· ½:ºr�K4%��·�ºr� ��·*��¼A¿>Ai·*�C��It�µ�¨�w½:»+Ai·�¹J/�Ù+�>/NA�½��Is½�½��x·�n/2Ù+���[Iw!e�C� 69�/¾_XV��48$T911X Y)C9]��&À+U<C9]��[X��3VmUF>-�+�K]��[XQ8$Y�Ã{Ë�4x·��A �I"�0�A¼A»=!M,7/gÄ^¹�»�ºT·�º h � ½�j!o·'&]¿��¦�e»+5o¹�¿�� 4x·�ºr�0/©�^¾MºK!{ºN·*�K4�¼C�

� Ò0R �1�H½:ºA¼N¾-�n/��X��� ÒCÁ%Á%Á 69��Ie¼ 4e�x¾$&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�Z½��=!®�N4o¿�¹�¾%�N¾$�+4D,���Æ�U3Yw�[T ]�72£<7>]��Q�P¢9îgTE>$XQ>7]�¿:�[X[¿)>DU3TC9]��&À+U<C9]��[X[¿(/ Á%Á.ÇMµ / ü(p ¤ ü%± �

� Ò'p �1��·�º *�*�ºN·�n/!Ù+� }��l� ÒCÁ%± � 69�wIN�o¿��N¾g!{¿�·*��¿���¼ 4x·_&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�L¾���&#·;!{¿�·'A�½:¹n�E�A¹�½(&./=k�ºA¿��+*i·�º��u·�ºCj¹�½(*=/+��·�º+¶�¾Mº � �

� Ò�ü �1�T¿�� 4x¾$�n/ h ��� ÒCÁ%±%± 69� h � ��·*��¼N¾%�¥�N¾K��¿�½:¹�·*��,¨��»o¹�¼A»oº>½:¹�·*��!o·L¹�½Z·;!{»+� ½-��¿:@-�-&�½:¼N·'& ) ¼A¿�� ½���L�Y+V0U3Z7�]$Y�Þ0]'>DUA7>](V « XJU3Y��'X�](V'/ � � µ 6 Ò µ�Ò ¤ Ò µ�ü �

� Ò � �1�T¿�� 4x¾$�n/ h �n� ÒCÁ%±%± 69��Is½:¼ 4x·'&�½:¼A¿�� ½:¹4·�+��»o¹�¼A»oº>½:¼A¿�¾-�6��Ä^¹�»�ºT·�º0/��^¾MºK!{ºN·*�K4�¼C�� Ò � �1��¾i½:¹�·�º0/�Ùi¾H� ÒCÁ%Á%Á 69�A�r½:ºA¼A¿���¿>�w½:¼A¿�¾-�n/NÄX�x¾�ºH¹�·;!M*i·�½��=!�5�·�¹�¿�·��.�'�Z½��@¾$&�&�»e�o¿�¼�,H��·�ºr� ��·*��¼A¿>Ai·

¾-�G&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�L¹�· ½:º��o¿��+*+�6L�>-�+�K]��[XQ8$Y�]�7 ¡ �É�;>$XJUWVmX Y�C9]��&À+U<C9]��[X��3V'/ p5Ó / µ�ü%Á ¤ µ%±�Ò �� ÒC± �1��¾0,��@·�/�6�� @ ��� µ�Ó�Ó�Ó 69�h�w½:¹�¹�½-��¿�·*�(¿��s¿���¼N·�º �oºN·�¼A¿��+*"!x½:¼>½��PIt�µ�_�H½:»x·�º0/µI¹��½��=!I(½-� � ·�¹�¹J/�I4�

®M�+]�7 Xn�J]��[X&¯$UmTKUWV0U ]$T ��ÀDX Yg\ Å Xn�&À'��U�N��&¿�X�C9]0\DU1]$Y�>�V`8-�gY�>�/�k{½(*i·�/�}|¾-�=!o¾-�6�� ÒCÁ �1��¾0,i·�º0/o J�=� ÒCÁ(p�Á 69�rË�4x·�4o¿��A¼N¾Mº ,]¾���¼ 4x·}� ½:¹���»o¹�»+��½��=!]¿�¼r���@¾-�+�@·'�o¼A»w½:¹�!o·'Ai·�¹�¾$�+&#·��¼C�i�^¾0Ai·�º0/

��·�º+¶�¾Mº � �� µ�Ó �1��¾0,i·�º0/| J��� ÒCÁ � Á 69� h 4o¿��A¼N¾Mº ,Ⱦ���Is½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�C��Iw!{¿���¿:@-�ª·�§� ½-�A¼N·�¹�¹�½��x¾L� ÒCÁ%± � 69�0ºL¿��A¼N¾MºA¿�½

!o·^¹�½�&�½:¼N·'& ) ¼A¿�� ½�� h ¹�¿�½��+<C½M/�Is½$!{ºA¿:!¬�� µ�Ò �1�TºN¾�ºV�n/�Ëh��� ÒCÁ%Á(p 69�^ �ºN· ½:¼A¿��+*Ƚ��=! � �x¾�ºH¿��+*-&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�^¼ 4oºN¾M»+*�4s¹�½��+*�»w½(*i·]½��=!Ê·32M��·3j

ºA¿�·�+�@·%�ÈL�>-�+�K]��[XQ8$Y�]�7nV��É�;>$XJUWVQX Y�C9]��&À+U<C9]��[X��3V'/ µ �g/+�6� � Á ¤ Ò�Ó�Ó �� µ�µ �1�TºA»iÈ�·�/NÄ���� ÒCÁ%Á%Á 69�� T¾M¹�¹�½(5�¾Mº>½:¼A¿>Ai·�¹�· ½:º��o¿��+*+�|ºL¿>*�4x·�º·;!{»+� ½:¼A¿�¾-�n/u¿���¼N·�ºK!o·'��·�=!o·�+�@·�/�½��=!

¼ 4x·^½:»o¼ 4x¾MºA¿�¼�,�¾�� � �x¾�ºH¹�·;!M*i·��d6L·'Ay� ·;!¬� 6�� Ë�4x·�Ùi¾$4e�+�[º�¾$� � ¿��+�¥ä]�o¿>Ai·�ºr�A¿�¼�,��eºN·*�r�0/2}|¾-�=!{ºN·*�C��eºA¿>&#·�º>½#·;!{¿���¿:@-�F!o· ÒCÁ%Á�R �

� µ�R �1�T»oº *i·�º0/gI}� �4���+k�¼>½:º 5o¿�ºK!P/2I¹��� µ�Ó�Ó�Ó 69�eË�4x·�4x· ½:ºA¼T¾��P&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�C�gÄ(·',� �»oºAºA¿���»o¹�»+& �eºN·*�r�Ç kD�oºA¿��+*i·�º��u·�ºA¹�½(*=/+��·�º+¶�¾Mº � �

� µ(p �] �½�é=@-�n/� J��� ÒCÁ%Á�ü 69��Iʾg!x½-�1,¹��ºN·@·�+��¿�½-�#·�¸·'�o¿��A¼N·'&#¾M¹�¾$*�Ç�½L&�½:¼N·'& ) ¼A¿�� ½���k�»�ºN·�¹�·'A�½��+��¿�½�w½:º>½¹�½�!{¿:! ) ��¼A¿�� ½���It�µ�$Á��@�J](V¬>DUG7>](V�Ä�ÉFÉAÊ�8$T3Y�].>7](V$9+]$T ].U<7�]�9�TKU3Y�>$X�Þ0]C�0U@1D7>]GU3Y+V0U97�]$Y�Þ0]>DUG7>](VAC9]���U<C�·��[X��K](V'/�Is½$!{ºA¿:!¬�

Ò � Ó

Page 119: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�T¿>5o¹�¿�¾$*�º>½��nÇ�½

� µ�ü �] �½(&��+5�·�¹�¹J/6�A� J�N� ÒCÁ�ü � 69�F}t½O&#·;!{¿���¿:@-�6�nIt�µ�mk�¿�¹>Ai·*�A¼N·�º0/6�4·�¿�ºr�@·�/�Is½-�K4n/4 �½(&��+5�·�¹�¹J/�@q·', ¹�[Iw!{¿���¿:@-�W·�à� ½-�A¼N·�¹�¹�½��x¾%!o· ÒCÁ � Á 6*¢n]#¢`8$T<C9]Â>DU<7K9=U3Y+V;]�C�XJU3Yw�48ËC9]���U<C�·��[X��#8�/AI�ºA¿ �N½:¹>5�¾+/�H½:ºr�@·�¹�¾-�w½M/+�6� ��� ¤ Á�µ �

� µ � �] �½:ºAº0/gI}�.ºA��� ÒCÁ � Ò 69�w� ç »=?�·*�u¹�½m4o¿��A¼N¾MºA¿�½7�GIw!{¿���¿:@-�G!o·3^+�o¿�¼A¿>A�½8!o· µ�Ó�Ó�Ò / h ºA¿�·�¹J/g�H½:ºr�@·�¹�¾-�w½��� µ � �] �4w½(&#¾MºAºN¾+/| J��,.��·'&#¾-��¼N·�/�Ù+� I¹��� ÒCÁ%±%± 69��Ie¹��oºN¾$5o¹�·'&�½#!o·�¹�½9&#·;!{¿:!x½�����¿:! ) ��¼A¿�� ½O!o·�¹�½-�

&�½(*%�o¿�¼A»=!o·*�$¹�¿��x· ½:¹�·*�C��k�Ç���¼N·*�A¿��0/�Is½$!{ºA¿:!¬�� µ%± �] �¹�½�2{¼N¾-�n/~I4��� ÒCÁ%±(p 69�0}�¿>Ai·�½��=!­¹�· ½:º��6� h �­¿���¼AºN¾g!{»+��¼A¿�¾-�¸¼N¾É¼ 4x·���� ,��K4x¾M¹�¾$*�,­¾���*�ºN¾�ºH¼ 4

½��=!��K4w½��+*i·�¿���·'Ai·�º ,M!x½;,#¹�¿��Q·%�gIw!{¿���¿:@-�'·��� ½-�A¼N·�¹�¹�½��x¾!��� ÒCÁ%Á�ü 6w��¿>A ¿�º�,�½(�oºN·�=!o·�ºC� h ¹�¿�½��+<C½M/Is½$!{ºA¿:!¬�

� µ%Á �] T¾$5+5n/-�`�>/�½��=!8�H½:»x·�ºr���Q·�¹:!P/�ºA�D�[Iw!e�C� 6w� ÒCÁ%Á�ü 69�tË�4x·�·'&#·�º *i·�+�@·T¾��+&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿�� ½:¹g&#· ½��o¿��+*��¿���¼N·�º>½-��¼A¿�¾-�É¿��<��¹�½-�r�AºN¾ ¾$& ��»o¹�¼A»oºN·*�C��}t½`ºHºN·�+�@·1IeºA¹>5w½:»+& h �r�N¾K��¿�½:¼N·*�0/�ºL¿�¹�¹��K!x½:¹�·%�

� R�Ó �] T¾M¹�·�/�I¹��� ÒCÁ%Á � 69�T �»o¹�¼A»oº>½:¹¬��� ,��K4x¾M¹�¾$*�,�� h ¾-�x·(½��=!��n»o¼A»oºN·_!{¿��r��¿>�o¹�¿��x·%�MIw!{¿���¿:@-�È·��� ½-�A¼N·3j¹�¹�½��x¾F� ÒCÁ%Á%Á 69�����A¿��@¾M¹�¾$*�Ç�½���»o¹�¼A»oº>½:¹Ù�=Iw!{¿���¿�¾-�x·*��IʾMº>½:¼>½M/�Is½$!{ºA¿:!¬�

� R�Ò �] T¾M»oº>½���¼0/�6��:½��=!�6L¾$5+5o¿��+�0/�6��D� ÒCÁ(p2Ò 69��@�4w½:¼t¿��l&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�3�  2K�Q¾MºK!�ä]�o¿>Ai·�ºr�A¿�¼�,��eºN·*�r�0/��·�º¤Ì�¾Mº � �=Iw!{¿���¿:@-�<�@¾-�+�A»o¹�¼>½$!x½9!o· ÒCÁ � ± �

� R�µ �] �º>½`ºM�Q¾MºK!P/�Ä���� ÒCÁ%Á � 69����¿>*i¾M¼r� � ¿�½��s½(�+�oºN¾i½-�K4x·*��¿��F4�»+&�½��L!o·'Ai·�¹�¾$�+&#·��¼^¿��ȼ 4x·�¿����Q¾Mº &�½�j¼A¿�¾-�É·�º>½���L�>-�+]��[XQ8$Y�]�7 ¡ �É�;>$XJUWVmX YJ»L]��&À+U<C9]��[X��3V'/ R�Ò / pDR ¤ � µ �

� R�R �] �ºN¾ ¾ � /� �46�=� ÒCÁ%Á(p 69�u T¾$&��o»o¼N·�ºr�T½��=!¼ 4x·V�@¾M¹�¹�½(5�¾Mº>½:¼A¿>Ai·$·32M��·�ºA¿�·�+�@·H¾��m¹�· ½:º��o¿��+*+�.6L¾M»o¼A¹�·;!gj*i·�/�}|¾-�=!{ºN·*�C�gIw!{¿���¿:@-��·��� ½-�A¼N·�¹�¹�½��x¾!�e¾MºK!o·�w½$!o¾MºN·*��,#½(�oºN·�=!{¿><C½��A·J�@¾M¹�½(5�¾Mº>½:¼A¿>Ai¾e�2IʾMº>½:¼>½C¤I"IT S/ ÒCÁ%Á%Á �

� R(p �] �ºN¾%� 5D,7/ h ��@ ��� ÒCÁ%Á ��69��Ë�4x·1&#· ½-�A»oºN·¾���ºN· ½:¹�¿�¼�,��PIw!{¿���¿:@-�q·�q½-�A¼N·�¹�¹�½��x¾�� ÒCÁ%Á%± 69�#}t½O&#·3j!{¿:!x½.!o·#¹�½�ºN· ½:¹�¿:!x½$!¬��}t½8��»w½���¼A¿i^'� ½-��¿:@-�x,s¹�½8�N¾K��¿�·;!x½$!f¾K�*��¿:!o·��¼>½:¹J/ Ò µ�ü�Ó ¤ Ò � Ó�Ó �u �ºAÇ�¼A¿�� ½M/�H½:ºr�@·�¹�¾-�w½��

� R�ü �+�^·�+<@¿��n/e�A� Ä��o½��=!�}�¿��+�@¾M¹��n/iÌ����n·;!e�C� 6S� ÒCÁ%Á(p 69�Oº^½��=!M5�¾ ¾ � ¾��rÃ�»w½:¹�¿�¼>½:¼A¿>Ai·^ºN·*�N· ½:ºr�K4n/�k{½(*i·�/}|¾-�=!o¾-�6�

� R � �+�^·�»o¹�¾��Q·�»n/�Ù+�P� µ�Ó�Ó�Ò 69��ä]�w½�ºN·*��ºN· ½-��¿:@-�G&�½:¼N·'& ) ¼A¿�� ½���ºL¿��A¼N¾MºA¿�½-�0/��B»x·'*i¾%��,9�oºN¾$5o¹�·'&�½-�C�e�e¹�½�j�x·�¼>½M/=�H½:ºr�@·�¹�¾-�w½��

� R � �+�^·�»o¹�¾��Q·�»n/�Ù+�`�4¿>*�»x·�¿�º>½-�0/�}���� µ�Ó�Ó�µ 69�O���+4x·�ºA¿�¼>½��+�@·��eºN¾$5o¹�·'&��¿�� h º>½(5o¿�� h ¹>*i·'5oº>½ÉË|ºN· ½:¼A¿ij�N·*�'��º�¾�º Ë�4x·',�k�¼A¿>&�»o¹�½:¼N·��o»o¼A»oºN·Ët· ½-�K4x·�º�À �8��·�¹�¿�·��.�(¾-�fIs½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�3�+ T¾$&�»e�o¿�� ½-��¿:@-�½-�@·'�o¼>½$!x½F�w½:º>½®�A»H�oºN·*�N·��¼>½-��¿:@-�.·�¸·�¹Hü6ÀDX TF> « 8$Y0¢0U3TKU3Y��WUJ8C¢��&À+UHL¥�gTF8�9=U ]$Y ¡ 80�'XJU��Ñ1�¢`8$TÍ�UWV0U ]$T ��ÀFX YJ»L]��&À+U<C9]��[X��3VKL�>-�+�K]��[XQ8$Y�/=��·�¹�¹�½:ºA¿�½M/ µ%± !o·J�Q·'5oºN·�ºN¾�½:¹ µ�R !o·FIs½:º < ¾9!o· µ�Ó�Ó�R �

Ò � Ò

Page 120: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�T¿>5o¹�¿�¾$*�º>½��nÇ�½

� R%± �+��¿�½ � ¿:!o¾0,7/���� h �>/��u¾%���o¿�½$!o¾M»n/lk���½��=!#º^½`º � �0/6Ù+� Ä���� ÒCÁ%Á ��69�^ T¾-�+�@·'�o¼A»w½:¹t�K4w½��+*i·¿��s½-�A¼AºN¾(j�x¾$&8,6��&#¾g!o·�¹��^¾���¼ 4x·· ½:ºA¼ 4q½��=!ʾ���¼ 4x·�!x½;, Ç �o¿>*�4�¼¦�',���¹�·Z¿��ª½(&#·�ºA¿�� ½��K¤�¿��=!{¿�½��b�K4o¿�¹:!{ºN·�6�L¥�gTF8�9=U ]$Y��`8-�gT3Y�]�7�8C¢~9�V917��Ài8�7=8K\�1)8C¢1UF>-�+�K]��[XQ8$Y Ò µ � µ 6 Ò�ü%Á ¤ ÒC±(p �

� R%Á �+��Ç�½(<7/'�M��� ÒCÁ%Á�ü 69��}t½��@¾M¹�·*��¼A¿>A ¿:!x½$!®�@¾$&#¾��Q·�=@$&#·�x¾¨�@¾-�DAi·�ºr�>½-��¿�¾-�w½:¹´�H»e�s½�� ) ¹�¿��A¿��]�N·*��»x·�Mj��¿�½:¹Ù��Í�U�¯0XV��J])>DU$9�V3X��#8�7=8K\�3�]9V`80�'X�]�7�]�9�7 X��K].>7]�/ Ò ¤ µ / Á�R ¤ Ò�Ò�Ò �

� p5Ó �+��Ç�½(<7/�Ù+� ���l� ÒCÁ%Á ��69��Ie¹n&�»e�=!o¾#!o·(¹�½���¿�·�+��¿�½�,�¹�½-��&�½:¼N·'& ) ¼A¿�� ½-�S!o·�¹n&�»e�=!o¾e����¿��r��»oºr�N¾9!o·¿��+*�ºN·*�N¾#·�'¹�½E6L· ½:¹ h � ½$!o·'&]¿�½9!o·� �¿�·�+��¿�½-��I�2x½-��¼>½-�0/+�4Ç��A¿�� ½-��,��^½:¼A»oº>½:¹�·*�0/�Is½$!{ºA¿:!¬�

� p2Ò �+��¿�¹�¹�·�º0/ h �n� ÒCÁ(p�Á 69�uË�4x·�½��+��¿�·��¼�&#· ½-�A»oºN·'&#·��¼r��¾��r¼ 4x·�· ½:ºA¼ 46��É ¡ É ¡ / p5Ó � Ò 63/ � ¤ Á �� p�µ �+��»o¼ � ½M/�Ù+��� ÒCÁ%Á(p 69��Ieº>½:¼N¾%�A¼ 4x·�x·*��À�&#· ½-�A»oºN·'&#·��¼^¾��e¼ 4x·�· ½:ºA¼ 4ɺN·*�@¾-�+�A¿:!o·�ºN·;!¬�²Á�T ��ÀDX&¯$U�¢`8$T

¾_XV��48$T91'8C¢�LON7]7�@� ¡ �'XJU3Y��WUWV'/=Ai¾M¹Ù� p � / ü�ü ¤ ��� �� pDR �1Ieº��x·*�A¼0/e�`�P� ÒCÁ%±%Á 69�uË�4x·�¿>&��w½-��¼H¾���5�·�¹�¿�·��.��¾-��¼ 4x·�¼N· ½-�K4o¿��+*#¾��l&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�C�=���µ��Ieº��x·*�A¼0/

�`���[Iw!¬� 6/»L]��&À+U<C9]��[X��3V$��U ]7��ÀDX Yg\�?L�&À+U�V��J]���U!8C¢L�&À+US]$T���� µ(p�Á ¤ µ�ü(p 63/K�w½:¹>&#·�ºH�eºN·*�r�0/�}|¾-�=!o¾-�6�h ºA¼AÇ���»o¹�¾�½-�*�@·*�A¿>5o¹�·�·�¹�·*��¼AºK@-�o¿�� ½(&#·��¼N··�)Î�Î�Î$ÏWÐ�Ñ~ÏWÒiÓ�Ï4Ô�Õ;Ö�×HØ.Ù�Ú;Ð�Û�Ü;ÖiÝ`Þiß;ÒiÓàÜ~Ï4á�Ü�Þ�â

� p�p �1INA�½��+�0/;I4� @ ��� ÒCÁ�Ò ��69�� �½;A�½:¹�¿�·�ºA¿4À �T¼ 4x·@¾MºN·'&Ì¿��O4o¿��T¾�ºV�'ºT¾MºK!e�C�kü6À+U%Á!COU3T3X��K]$Y)»L]��&À+U<C9]$Z�[X��K]�7²»�8$Yw�&À�7 1�/ µ(p � Ò�Ó 63/ p�p �*¤ p5ü�Ò �

� p5ü �A�w½:»+Ai·�¹J/�Ù+�l� ÒCÁ%Á�Ò 69�HäJ�A¿��+*¥ãL¿��A¼N¾Mº ,�¿��JIs½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*��Iw!{»+� ½:¼A¿�¾-�6�²Ã�8$T��&À+UG7:U ]$T3Y=X>\*8C¢AC9]��[ZÀ+U<C9]��[X��3V'/ Ò�Ò � µ 6 R ¤ � �

� p � �A�w½:»+Ai·�¹J/�Ù+�>/�A�½���Is½�½��x·�n/�Ù+���[Iw!e�C� 6#� µ�Ó�Ó�Ó 69�¥ãL¿��A¼N¾Mº ,ª¿��y&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�#·;!{»+� ½:¼A¿�¾-�6�rË�4x·�A �I"�H�A¼A»=!M,7/=Ä^¹�»�ºT·�º h � ½$!o·'&]¿����e»+5o¹�¿�� 4x·�ºr�0/©�^¾MºK!{ºN·*�K4�¼C�

� p � �A�4¿>*�»x·�¿�º>½-�0/�}���� µ�Ó�Ó�µ 69�'6L· ½:¹�¿:!x½$!�·#4o¿��A¼N¾MºA¿�½"!o·�¹�½.&�½:¼N·'& ) ¼A¿�� ½ª·��¹�½��Q¾Mº &�½-��¿:@-�¸¿��o¿���¿�½:¹!o·�¹n�oºN¾��Q·*�N¾Mº>½$!o¾e��� ç »=?¦�@¾-��¼N·�o¿:!o¾%�3��� ç »=?¦�@¾-�+�A¼AºA»o¿>&#¾%�3�LIt�µ�H�r½:º>½�� ) �n/²I4� h �M, h !MooºA¿><'j�Tº>½;Ai¾+/ h ���[Iw!e�C� 63/;äX�=U�¯(](V/9=U3TWV49=U �@�[X&¯(](V+>DUSX Y+¯$UWV��[X>\7]7�'XQB$Y"U3Y�>$XQ>�·7�@�[X��K]¥>DU­7>](V « XJU3Y��'X�](V#17>](VH»L]���U<C�·��[X��K](V0Ã'ä]�o¿>Ai·�ºr�A¿:!x½$!8�4·;!x½(*7@$*�¿�� ½O!o·� T¾M¹�¾$&85o¿�½�,�Is½(*�¿��A¼N·�ºA¿�¾e��I(½:¿�½M/=��¾$*i¾M¼ ) �

� p�± �A�4¿>*�»x·�¿�º>½-�0/�}���^·�»o¹�¾��Q·�»n/�Ù+��� µ�Ó�Ó�µ 69�+ãL¿��A¼N¾Mº ,ª¾���&�½:¼ 4n/`�A¼N¾MºA¿�·*��¾���!{¿>Ai·�ºr�A¿�¼�,�� h �oºN¾$��¾%�>½:¹�Q¾MºQ�oºN·3j��N·�º A ¿��@·]¼N· ½-�K4x·�º�¼Aº>½:¿��o¿��+*+�r T¾$&�»e�o¿�� ½-��¿:@-�y�oºN·*�N·��¼>½$!x½'·�q¹�½�å`æx�&À « 8$Y0¢0U3TKU3Y��WU'8C¢�&À+U « à É;à L�à Á8à L�Ã�»�ÃD��¿�¹�½��x¾0A�½¿|¹�½DI^·�¹�¼Aº on/ Ò µ ½:¹ ÒCÁ !o·¥�B»o¹�¿�¾e�

� p�Á �A�4¿>*�»x·�¿�º>½-�0/µ}��>/²�^·�»o¹�¾��Q·�»n/µÙ+�N� µ�Ó�Ó�µ 69�K}t½-�_Ai¾K�@·*�Q!o·��n»o¼A»oºN¾%�_&�½M·*�A¼AºN¾%��½���¼N·]·�¹w!o·'5w½:¼N·�!o·¹�½-��!o¾%�V��»o¹�¼A»oº>½-�C� h ��¼>½-��!o·�¹6�@¾-�+*�ºN·*�N¾¿���¼N·�º��w½-��¿�¾-�w½:¹:¢n]O�'XJU3Y��'X�]-U3Yw��U1U<7�9��©£<7 X��#8Dà « ��7��É�gT ]À���C9]$Y=XV��J]²1�>DUWV;]$T3TF8�7�7=8L�'XJU3Yw�Ñ3 8��#8$Z2��U �'Y�8�7=BK\$X��#8%�wk{½:¹�½(&�½��+� ½M/ µ%± j R�Ò !o·#¾K��¼A»+5oºN·%��k ·*�*��¿:@-��4�

� ü�Ó �EI(½:¹�¿��=!o¾+/#}�� Ù+�_� ÒCÁ%Á ��69�xk{½(5�¾Mº'½ª¼AÇÙ��IÊ·�¼N¾g!o¾M¹�¾$*�Ç�½¹��»w½:¹�¿�¼>½:¼A¿>A�½­·�®¿��DAi·*�A¼A¿>*�½-��¿:@-�à�N¾K��¿�½:¹Ù�ä]�o¿>Ai·�ºr�A¿:!x½$!G�u·�º>½-��ºA»+<C½��w½M/=�u·�º>½-��ºA»+<��

Ò � µ

Page 121: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�T¿>5o¹�¿�¾$*�º>½��nÇ�½

� ü�Ò �EI(½:ºr��Ç�½-�H½:ºAºN·�x¾+/!�`��� µ�Ó�Ó�Ó 69��}t½���¿�·�+��¿�½'·�ª¼A»+�Q&�½��x¾%�O�[����¼AºN¾g!{»+�*��¿:@-��6��lI�� �w½-�>½C¤o �½:¹>��·�/Is½$!{ºA¿:!¬�

� ü�µ �EI(½:ºr��Ç�½C¤g��¾MºK?*�0/�Ù+� I¹�N� ÒCÁ%Á�ü 69�¬À �½(�o¼>½:º(¹�¾�Ã�»x·4�N·8A ¿>Ai·�À��­�^¾%�^·E�A·'&��o¹�¾%�Q!o·]½-�@·�ºr� ½(&]¿�·��¼N¾e�Ë�?*��o¿�� ½-�O!o·JãL¿��A¼N¾MºA¿�½L!o·G��¿:!x½",¦6L·��nºN·�=!x½-��¿:@-��!o·ÈËt·32{¼N¾e�wIt�µ��Í�U�¯0XV��J]ç>DU¬9�V3X��#8�7=8K\�3�]V`80�'X�]�7�]�9�7 X��K].>7]�/ ü � Ò µ 63/ ü �*¤e� R �

� ü�R �EI(½:º��n»e� � ·�¹J/�k����[Iw!¬� 6-� ÒCÁ%Á%Á 69��}t½-��&�½:¼N·'& ) ¼A¿�� ½-�#·�¸¹�½FA ¿:!x½®�@¾M¼A¿:!{¿�½��w½�� h !{¿��N¾-�Ë@q·*�A¹�·',��5�·�ºN¾i½(&#·�ºA¿�� ½��w½M/�Is½$!{ºA¿:!¬�

� ü(p �EI(½-� � ·�¹�¹J/I4��½��=!��H½:»x·�º0/µI¹� @ �N� µ�Ó�Ó�Ó 69�^Ët¾�º�½:ºK!e�m�o»+5o¹�¿���½-�*�@¾M»e��¼>½(5o¿�¹�¿�¼�,6�m��·',i¾-�=!¶�>½(&�j�o¹�¿��+*=/uºN·�¹�¿�½(5o¿�¹�¿�¼�,.½��=!xA�½:¹�¿:!{¿�¼�,��wIt�µ�-�H½:»x·�º0/�I¹� @ ½��=!ZI(½-� � ·�¹�¹J/$I4���n·;!e�363/G®M�+]�7 Xn�J]��[X&¯$UTKUWV0U ]$T ��ÀDX Yg\ Å Xn�&À'��U�N��&¿�X�C9]0\DU8]$Y�>�V`8-�gY�>�/�k{½(*i·�/�}|¾-�=!o¾-�n/ R�R � ¤ R�ü�Ó �

� ü�ü �EI^·�º *i·�n/7Ä��+� ÒCÁ%±�µ 69�4Ët¾�º�½:ºK!#¼Aº>½��+���Q¾Mº &�½:¼A¿�¾-�]¿����N¾K��¿�½:¹ � �x¾�ºH¹�·;!M*i·%�DkD�oºA¿��+*i·�ºw�u·�ºA¹�½(*=/���·�ºÌ�¾Mº � �

� ü � �EI^·�º *i·�n/SÄ��m� ÒCÁ%Á(p 69�¦6L· ½:¹�¿�¼A¿�·*�Ƚ��=!®ºN·�¹�½:¼A¿�¾-�+� 4o¿>�+�C�Sk ¾M»e�=!{¿��+*��'¿�� �N¾K��¿�½:¹h�@¾-�+�A¼AºA»+��¼A¿�¾-�6�Iw!{¿���¿:@-�²·��� ½-�A¼N·�¹�¹�½��x¾!�6L· ½:¹�¿:!x½$!o·*�#,.ºN·�¹�½-��¿�¾-�x·*�C� h �oºN¾;2{¿>&�½-��¿�¾-�x·*�ɽª¹�½b�@¾-�+�A¼AºA»+�*��¿:@-��N¾K��¿�½:¹�� ÒCÁ%Á � 63/+�r½:¿:!+@%�0/��H½:ºr�@·�¹�¾-�w½��

� ü � �EI^·�º *i·�n/�Ä��w� ÒCÁ%Á�ü 69��k ¾K��¿�½:¹H�@¾-�+�A¼AºA»+��¼A¿�¾-�¸½��=!ª¼ 4x·#·;!{»+� ½:¼A¿�¾-�w½:¹��oºN¾K�@·*�r�C�PIt�µ��k�¼N·<È�·�/�}��½��=!H*�½:¹�·�/kÙ+� « 8$Y+V��[T��+�@�[X&¯0XV<C X Y�UF>-�+�K]��[XQ8$Y�/�}t½`ºHºN·�+�@·-IeºA¹>5w½:»+& h �r�N¾K��¿�½:¼N·*�0/�ãL¿�¹�¹��K!x½:¹�·�/�A� Ù+�

� ü%± �EI^·�¼N·3j h ¹�¾-�+�N¾+/�Ù+� J�+,-!o·�¹n�H½:ºAºA¿�¾+/+�4�n� ÒCÁ%±%± 69��IÊ·;!{¿:!x½�,)6L· ½:¹�¿:!x½$!¬� h ¹>4w½(&85oº>½M/�Is½$!{ºA¿:!¬�� ü%Á �EI�¿��+*i·�ºA¿��K4n/  ��� ÒCÁ%Á�R 69�O}t½�½-�A¼AºN¾-�x¾$&]Ç�½Z·��·�¹m¼A¿�·'&���¾8!o·( T¾M¹:@-�6�;ÉWY+¯$UWV��[X>\7]7�'XQB$Y�1 « XJU3Y��'X�]�/

�Do+&8� ÒCÁ � /x·�x·�ºN¾+/+�6� � ¤ Ò�Ò �� � Ó �EI�»o¹>5�· � ¿�½��n/gI}��� ÒCÁ%± ��69�eË�4x·�¾MºA¿>*�¿��'½��=!9A�½:¹�»x·�¾��|¼ 4x·J�A¼>½$!{¿�¾-��»e�o¿�¼T»+�N·;!95D,OIeº>½:¼N¾%�A¼ 4x·�x·*�

¿��'¼ 4x·(¼ 4o¿�ºK!8�@·��¼A»oº ,G�X� J�>/�Á�T ��ÀDX&¯$U�¢`8$T­¾_XV��48$T91'8C¢�LON7]7�@� ¡ �'XJU3Y��WUWV'/ R �g/ R�ü%Á ¤ R � R �� � Ò �EI�»o¹�¿ � ·�ºr�0/n����½��=!��T¹�¾$&./nÄ��w� µ�Ó�Ó�µ 69�EÀ h 4o¿��A¼N¾MºA¿�� ½:¹T½��+*�¹�·�À>/t½��A»oº Ai·',s¾��TºN·*�@·��¼�¹�¿�¼N·�º>½:¼A»oºN·

¾-�®¼ 4x·Ê»+�N·s½��=!�A�½:¹�»x·Ê¾��84o¿��A¼N¾Mº ,.¿���*i·@¾$&#·�¼AºA¿�� ½:¹�·;!{»+� ½:¼A¿�¾-�6�#L�>-�+�K]��[XQ8$Y�]�7 ¡ �É�;>$XJUWV"X Y»L]��&À+U<C9]��[X��3V'/ p �g/ µ�µ�R ¤ µ�ü%± �

� � µ �+ã^½:ºAºK?�/�6��� �¹�½:ºr� � ·�/{ �½:ºA¹�¾+/%�A�+� ÒCÁ%±�ü 69��}t½LºN·�¹�½:¼A¿>A ¿:!x½$!4��»o¹�¼A»oº>½:¹=!o·T¹�½-�r·'&#¾K��¿�¾-�x·*�C�$Iw!{¿���¿:@-�·*�4� ½-�A¼N·�¹�¹�½��x¾ � ÒCÁ%±%Á 69��IʾM¼A¿>Ai¾%��,�&#·*� ½��o¿�� &#¾%�]¿���¼AºN¾g!{»+�*��¿:@-�®½É¹�½É¼N·@¾MºAÇ�½L!o·�¹�½s½-�*��¿:@-�6��H½:ºr�@·�¹�¾-�w½M/+�r½:¿:!+@%�C�

� � R �+ã�· ½:¼ 4n/iËh� }���� ÒCÁ%± ��69�rË�4x·�ºT¾Mº � �u¾�� h ºr�K4o¿>&#·;!o·*�S� ÒCÁ%± ��6�ºH¿�¼ 4#¼ 4x·�&#·�¼ 4x¾g!#¾�� h ºr�K4o¿>&#·;!o·*�� ÒCÁ�Ò µ 6��©�^¾0Ai·�º0/'��·�º¤Ì�¾Mº � �

� � p �+ã�· ½:¼ 4n/xËh� }��l� ÒCÁ�µ�Ò 69� h 4o¿��A¼N¾Mº ,�¾���*�ºN·@· � &�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�C�=�u¾M¹��C�+��,-�K���i�^¾0Ai·�º0/+��·�ºèÌ�¾Mº � �Ò � R

Page 122: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�T¿>5o¹�¿�¾$*�º>½��nÇ�½

� � ü �+ã�·�ºA¼ <'j³}t½(<C½:ºN¾�ºH¿�¼ <7/K6��n��·�DAi·�o¿��A¼N·#Ä^¿�º � »+�0/l�4�4½��=!óIÉ¿�¹�¹�·�º0/`�A��� ÒCÁ%Á�µ 69����&��o¹�¿�� ½:¼A¿�¾-�+�Z¾�� �»oºAºN·��¼H6L·*�N· ½:ºr�K4ʾ-�ª T¾ ¾$��·�º>½:¼A¿>Ai·1����¼N·�º>½-��¼A¿�¾-�<�Q¾Mº( �¹�½-�r�AºN¾ ¾$& h �+�o¹�¿�� ½:¼A¿�¾-�6�����µ�/ã�·�ºA¼ <'j}t½(<C½:ºN¾�ºH¿�¼ <7/�6��{½��=!�IÉ¿�¹�¹�·�º0/e�A�P�[Iw!e�363/©ÉWYw��U3T ]7�@�[XQ8$Y"X Y « 8�8�9=U3T ]��[X&¯$U¥é�TF8-��9�V�?��&À+U0ü6À+UF8$TKU3Z�[X��K]�7�Á�Y�]��48�C�1¥8C¢Dé�TF8-��9�¢lU ]$T3Y=X Yg\�/m �½(&85oºA¿:!M*i·Aä]�o¿>Ai·�ºr�A¿�¼�,��eºN·*�r�0/+�+�6� µ�ü�R j µ%±�Ó �

� ��� �+ã�¾�ÈN/�ãA�o½��=!JI^·;!+!o·*��}�� h �P� ÒCÁ � µ 69�uË�4x·S5�·'*�¿��o¿��+*��H¾��l*�º>½(�+4o¿��^ºN·*�@¾MºK!{¿��+*+��É ¡ É ¡ / ü�ü � Ò � R 63/µ%± �*¤ R�µ(p �

� � � �+ã�¾M¹��A¼N·�¿��n/�Ù+� h ��½��=!I�»+5oºA¿�»+&./µÙ+� �M�N� ÒCÁ%Á(p 69�J�N4x·�x¾$&#·�x¾M¹�¾$*�,7/lIe¼ 4e�x¾$&#·�¼ 4x¾g!o¾M¹�¾$*�,l/�½��=!����¼N·�º �oºN·�¼>½:¼A¿>Ai·��eº>½-��¼A¿��@·%��It�µ�%�^·�+<@¿��n/y�A� Ä���½��=!Ï}�¿��+�@¾M¹��n/�Ì����n·;!e�C� 6%ã^½��=!M5�¾ ¾ � ¾��TÃ�»w½�j¹�¿�¼>½:¼A¿>Ai·(ºN·*�N· ½:ºr�K4n/ µ � µ ¤ µ � µ /�k{½(*i·�/�}|¾-�=!o¾-�6�

� � ± �+ãL»o¹�¼r�r�K4n/t�M��� ÒC±%±�µ 69�'I�ºA¿�·*�K4o¿��r�K4x·�»e�=!ç6!ê$&]¿��r�K4x·�IÊ·�¼AºN¾M¹�¾$*�¿�·%� h � ½$!o·'&]¿��r�K4x·'��ºA»+� � j(»6��u·�ºA¹�½(*��>½��+�A¼>½:¹�¼0/�I�º>½(<��

� � Á �1��5 ) éx·'<7/$Ëh�Q� ÒCÁ%Á � 69��Ie¹X�@¾$& ¿^·�¹S��·�ºNÃ�»©½"!o·É¹�½��+�A¿��@¾M¹�¾$*�¿�½¹�N¾K��¿�½:¹Ù��It�µ����¾M¼N·�¹�¹�½f·�¼È½:¹Ù����A¿��@¾M¹�¾$*�Ç�½Ok ¾K��¿�½:¹Ù�+ä]�o¿>Ai·�ºr�A¿�¼>½:¼  5�·�ºA¼>½�!o·Z �½:¼>½:¹�»e�D,�½M/��H½:ºr�@·�¹�¾-�w½M/ Ò�ü ¤ ü�Ó �

� � Ó �1��5 ) éx·'<7/xËh�n� ÒCÁ%Á�Ó 69� h �oºN¾;2{¿>&�½-��¿�¾-�x·*��½¹�½1�+�A¿��@¾M¹�¾$*�Ç�½��N¾K��¿�½:¹Ù��k ·�=!x½:¿J/=�H½:ºr�@·�¹�¾-�w½��� � Ò �1�Ù�nº>½(4n/�I4�n� ÒCÁ%± ��69��}t½-�]��¿��nº>½-�C�;ãL¿��A¼N¾MºA¿�½�!o·^»e�w½�*�º>½��È¿��DAi·�+��¿:@-�6� h ¹�¿�½��+<C½M/�Is½$!{ºA¿:!¬�� � µ �1�³éo¿>*�»x·'<7/�}��w� ÒCÁ%Á�ü 69��I"?�¼N¾g!o¾%�¦��»w½:¹�¿�¼>½:¼A¿>Ai¾%�Z·���+�A¿��@¾M¹�¾$*�Ç�½��N¾K��¿�½:¹´�_�oºN·*�N·��¼>½-��¿:@-�6�tÍ�U�¯0XV��J]

>DU$9�V3X��#8�7=8K\�3�]9V`80�'X�]�7�]�9�7 X��K].>7]�/ ü � Ò ¤ µ 63/ ü ¤ µ � �� � R �1����¼N·�ºE¤g�X6�I�I T¾$&�&]¿��A¿�¾-� � ÒCÁ%± ��69�JIs½:¼ 4=?'&�½:¼A¿�Ã�»x·*��½:»%^x¹�!o·*�'ë(*i·*�C�/I(½:»o¼ 4o¿�·�ºE¤D��¿�¹�¹�½:ºr�0/

�r½:ºAÇ��C�� � p �1����¼N·�ºE¤g�X6�I�I T¾$&�&]¿��A¿�¾-�G� ÒCÁ%Á ��69��ãL¿��A¼N¾Mº ,(¾��=&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�C��ãL¿��A¼N¾MºA¿�·*�4¾��=�oºN¾$5o¹�·'&��C�(Ie¹�¹�¿>�Mj

�N·*�0/e�r½:ºAÇ��C�� � ü �ÂÙ�½(4e� � ·�/©ãA�e�A��� h ºr� ½;A ¿J/ h ���+�H½:º 5o¿��n/=I}���=��· �g� ·�n/  ���e�o»oºA¿��+*�4x·�¼A¼A¿J/��M���+Ie¹l�E!{ºA¿��r�A¿J/ h ���+!x½

k�¿�¹>A�½M/i J����@q·@· � �0/� J�g� µ�Ó�Ó�Ó 69�tË�4x·u»+�N·�¾��w¾MºA¿>*�¿��w½:¹K�N¾M»oºr�@·*�t¿���¼ 4x·w&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�t��¹�½-�r�AºN¾ ¾$&8����µ�t�w½:»+Ai·�¹J/�Ù+�>/+A�½��JIs½�½��x·�n/�Ù+�l�[Iw!e�C� 69�~¾_XV��48$T919X Y�C9]��&À+U<C9]��[X��3V1UF>-�+�K]��[XQ8$Y'�mË�4x·m�A �I"��A¼A»=!M,7/+Ä^¹�»�ºT·�º h � ½$!o·'&]¿����e»+5o¹�¿�� 4x·�ºr�0/©�^¾MºK!{ºN·*�K4�¼C�

� � � �ÂÙ�½-�@¾$5+�0/�Ù+� Ä��>/ªIs½ � ¾M¼N¾+//Ì��>/�k�¼A¿>*�¹�·�º0/ªÙ+� @ ��½��=! �x·�º�� ) �=!o·'<7/L J��� ÒCÁ%Á ��69�>Ù�½(�w½��x·*�N·Ê½��=!½(&#·�ºA¿�� ½��#¼N· ½-�K4x·�º�À ��·'A�½:¹�»w½:¼A¿�¾-�+��¾���&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*��¹�·*�r�N¾-�+�'�4½J�x·�º¸¼N·*�K4e�o¿�Ã�»x·M�Q¾Mºu·32M�o¹�¾MºA¿��+*5�·�¹�¿�·��.�C�²Ê�8-�gT3Y�]�7�8C¢AC9]��&À+U<C9]��[X��K]�7t£KU ÀM]-¯0XQ8-�gT'/ Ò � � Ò 63/y�*¤ µ(p �

� �%� �ÂÙ�4x¾-�+�N¾-�n//�4��@ �r½��=!UÙ�4x¾-�+�N¾-�n//6�� Ëh��� ÒCÁ%Á�µ 69���4¾%�A¿�¼A¿>Ai·G����¼N·�ºK!o·'��·�=!o·�+�@·B�GÄ(·',f¼N¾LI0� j�Q·*��¼A¿>Ai·' T¾ ¾$��·�º>½:¼A¿�¾-�6�����µ�Dã�·�ºA¼ <'j³}t½(<C½:ºN¾�ºH¿�¼ <7/~6��4½��=!xIÉ¿�¹�¹�·�º0/��A���[Iw!e�363/w����¼N·�º>½-��¼A¿�¾-�¸¿�� T¾ ¾$��·�º>½:¼A¿>Ai·¬I�ºN¾M»+�+�'��¼ 4x·�Ë�4x·@¾MºN·�¼A¿�� ½:¹ h �w½:¼N¾$&8,Ⱦ��~I�ºN¾M»+�>}|· ½:º��o¿��+*=/� �½(&85oºA¿:!M*i·4ä]�o¿ijAi·�ºr�A¿�¼�,��eºN·*�r�0/M�+�6� Ò � p j ÒCÁ%Á �

Ò � p

Page 123: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�T¿>5o¹�¿�¾$*�º>½��nÇ�½

� � ± �1ÄL¾0, ºK?�/ h ��� ÒCÁ � R 69�N��¾-�w½;Ai·��¼A»oº>½] �½;A�½:¹�¿�·�ºA¿�,¹�½Q*i·@¾$&#·�¼AºAÇ�½8!o·$¹�¾%�¥�@¾-��¼A¿���»x¾%�C�MIt�µ�Kì$íÉ�;>DUWV>î ÀDXV�í48$T3XJU)>DU¥7>]¥9=U3Y+V�¨KU#V;�'XJU3Y�í[X 8¥��=U0Ã�Iw!{¿���¿:@-�¸·��� ½-�A¼N·�¹�¹�½��x¾!�OI��A¼A»=!{¿�¾%��!o·O4o¿��A¼N¾MºA¿�½F!o·�¹��·�+�>½(&]¿�·��¼N¾¨��¿�·��¼AÇi^'�@¾"�Wï Á �%��6���k�¿>*�¹�¾°ã�ã_�3/!Is½$!{ºA¿:!P/+�6� R�µ�ð ¤ R(p�Á �

ñ � Áàò Ä^»o¹�½M/�@ ���Wï Á � ð 69�¶IÉ¿�½:º ,È¿4¹�»=!M<@¿�·%��Iw!{¿���¿:@-�ª·�§� ½-�A¼N·�¹�¹�½��x¾!�#}t½-��&#·;!{¿:!x½-�_,'¹�¾%�S4x¾$&85oºN·*��Wï Á%±�ð 6���k�¿>*�¹�¾°ã�ã_�3/!Is½$!{ºA¿:!¬�

ñ ±�ðàò !o·#}t½��+*i·�/�Ù�½���ó�ï Á%± �2�kIs½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�0/M���+�A¿>*�4�¼0/{½��=!MIÊ· ½��o¿��+*+��6$¿ � � �A»e�o¿>Ai·�ºr�A¿�¼N·�¿�¼0/KäL¼AºN·*�K4�¼C�ñ ± ï ò !o·>}t½��+*i·�/¶Ù+�:�Wï Á%Á�ô 69�õ6L· ½:¹��oºN¾$5o¹�·'&��)ºH¿�¼ 4®ºN· ½:¹­ºT¾MºA¹:!�&�½:¼ 4x·'&�½:¼A¿��*�C��It�µ� h ¹��A¿��w½çöJ�=ó

÷!ø A�ù�ú#û'<7/�Ù+� I¹�=óe�!ü��r�0/�I¹�=óiý�?�ú#û'<7/ h �=ó;6%ü��`þ+/�}��;ù��=!Fk��4ù�úK!P/ h �M���µ�Kÿ�TF80�WUKUF>$X Yg\(VE8C¢Aí&À+U��¥í&ÀÉWY�í�U3T3Y�]�í[XQ8$Y�]�7 « 8$Yg\$TKUWVWV+8$Y »L]�í&À+U<C9]�í[X��K]�7�L�>��+�K]�í[XQ8$Y�/ ±�R ¤�ï�ï ð �

ñ ±��àò }ù��+5�û�D5�ù-�K4©û�ú0/�6��iù��=!)ý�û�+*.û ø=ø û',7/©�4�P�Wï Á%Á%Á 6 h ��ù ø ,��Fü��'�0��ù ø ��� ø ù�Fü��+*¥ù�ú#û�ù-�%ù��=!#A.þ ø �+&Dû*�C�It�µ�$»L]�í&À+U<C9]�í[X��K]�7�U�N�9=UF>$Xdí[XQ8$Y+V'/ Á� ¤�ï � ��kD�;úFü��+*.û�ú��Kû�ú ø ù(*=/+�­û�ºèÌ/þ�ú � �

ñ ±�Ràò }ù(& }ù;,�¤.Ì/þ-�+*'ù��=!.kD4©û�.ÄGù��+*�� 4©û�y�Wï Á%±�ô 69�OI�ù� 4©û'&¥ù�Fü���ù ø �;ú#þ$5 ø û'&��%þ-�8���;ú A.û',�ü��+*Eü��ù��+��ü2û��Aö�4;ü���ù���Á�T ��ÀDX&¯$U�¢`8$T­¾_XV�í48$T91¥8C¢�LON7]7�`í ¡ �'XJU3Y��WUWV'/ R�ô /²ï ¤�ï Á �

ñ ±(p�ò }�ûàö~þ$&�� #û�/�I¹�>/ÈI ü ø=ø ú#þ0,7/�@ �>/�ù��=!�ý:ú#û�ü��r� ø û�/6Ù+���[Iw!e�C� 61�Wï Á%Á�� 69����4©û84�ù��=!M5�þ�þ � þ�������ù ø üij�ù�Fü>A.ûAú#û*�#û�ù�úr�K4Jü�� û;!��+��ù�Fü2þ-�6� h ��ù$!;û'&Eü���ý:ú#û*�r�0/!}�þ-�=!;þ-�6�

ñ ±�àò }�û�ú &¥ù��n/8k��:�Wï Á%Á�ô 69� ����#û�úr���+5��Fû*��Fü>A�ü��,¤ü��z&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü��*� ø û�ù�ú��;ü��+*��Zù¹�K4�ù ø=ø û�+*.û�#þ� 4©ûú�ù$!iü���ù ø �`þ-�+��Fú��+��Fü>A�ü������ù�ú�ù$!iü>*�&8��Ê�8��gT3Y�]�77¢`8$T!Í�UWV0U ]$T ��ÀFX YJ»L]�í&À+U<C9]�í[X��3V�L�>��+�K]�í[XQ8$Y�/ ��ô� � 63/�ï R�R ¤�ï �ð �

ñ ±�ôàò }�û�ú &¥ù��n/_k��_� ��ð�ð ï�69�çö�� ø ��;ú�ù ø /S!iü��r���;úr�Fü>A.ûF�+� ,��K4©þ ø þ$*�,6� h �#þK��ü2þK��� ø ��;ú�ù ø ù(�+�;ú#þ.ù-�K4�#þ����=!M,�ü��+*� 4©û�#û�ù-�K4;ü��+*�ù��=! ø û�ù�ú��;ü��+*�þ���&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü��*�C�OL�>��+�K]�í[XQ8$Y�]�7 ¡ í��;>$XJUWV�X Yõ»L]�í&À+U3ZC9]�í[X��3V'/ p�ô / ±���� ï�ï R��

ñ � ��ò }�û�ú &¥ù� n/=k � �Wï"!�! � 69�/ö�� ø ��;ú�ù ø ��û�ú$# ��û�%�Fü>A.û�#~þ� O&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�#%ù� =!O&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�#'#û�ù�%K4;ü� +*ù� =! ø û�ù�ú� ;ü� +* � I( µ��k�û`û'*.û�ú0/*)�/=ó,+Kþ�ü>*�0/6Ù � ó²ù� =! @õù�#$%K4©û�%�ü2þ+/*- � �dû;! # � 6Mü/.+U�����7�í��gTKUD8C¢+í0.+UC9]�í0.+U<C9]�í[X��3V8��7>](VWV3TF8�8�C�/�ö$ù(&85;úFü:!M*.û1-2 ;ü>A.û�ú$#Fü��,*ý:ú#û�#$#0/�ö$ù(&85;úFü:!M*.û �

ñ ��� ò }�û�ú &¥ù� n/8k � � ��ð�ð�ð 69� h %�ù�##û�þ�3¬ü� �#û�ú�4;ú#û��ù�Fü2þ� 5#�þ�3�##þ6%�ü[ù ø � h ú#û�#�4�þ� 5##û7#þ�k�#û<Ȳûù� =!��4©þ$&�45##þ� � Ê�8��gT3Y�]�77¢`8$TQTKUWV0U ]$T �8.FX Y�C9]�í0.+U<C9]�í[X��3V�UF>��+�K]�í[XQ8$Y�/ R ï�/ � ï ð"�������6�

ñ � ! ò }²ü>&./�ö � k � �Wï"!�!�!769�Jý(�+5 ø ü&%G��&¥ù(*.û�#Dþ�3FI�ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�# � ýN4©� !iü&#$##û�ú��ù�Fü2þ� � -2 ;ü>A.û�ú$#Fü��,¦þ�3I�2;û�#û�ú � 6!û83Qû�ú#û� 5%�ü[ùEû ø û�%�FúK@� ;ü&%�ùDû� µ��Î�Î�Î$Ï#Ý�9�Ð:ÏWÒiÓ�Ï4Ô�Õ;Ö�Ð�Û�Ù�Ó`Þ�Ò�Ü�á©Û.ÖiÓ.Û.ÒàÞ�Ï4á�Ü�Þ�â

ñ ! ðàò }*�5%�ù�#0/wI � �Wï"! ��� 69�M}�û:4;ú#þ$5 ø ½'&DûG!;û�#�4��;ü�Eú#û�ü� ©û�#Dù��<;Fû��x!;û�#�?�%K4©û�%�# � I( µ�*Í%¨ �'T#¨ ]�í[XQ8$Y+VC9]�í0.;¨<C9]�í[X>=��=UWV0ÃO}²ü>5;ú�ù�ü=úFü2û.k6%�ü2û� �Füi^?���©û*û�@�û�%K4 ;ü&���©û h ø 5�û�ú��� ø ù� 5%K4�ù�úK!P//ýtù�ú�A&#0/(+Kþ ø �3/ ! � � ô��

ï ��

Page 124: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�~ü>5 ø ü2þ$*�ú�ùB3�A[ù

ñ !iï ò I<%�}�û`þg!P/i� � � � �Wï"!�! � 69�:6!û�##û�ù�ú$%K4*þ� *ùàȲû�%�$ü� #&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�#�û;!��5%�ù�Fü2þ� µ� h ú#û�%`þ� 5%`û�4 ���ù�jø ü><àù�Fü2þ� � I( µ�K¾m]$Y�>�£F8�8�¿E8C¢$Í�UWV0U ]$T �8.-X Y'»L]�í0.+U<C9]�í[X��3V°ü�U ]7�8.DX Yg\�]$Y�>G¢lU ]$T3Y=X Yg\�/ ���"�� ! ô��I�ù�%�I ü ø=ø ù� n/5C­û�º¤Ì/þ�ú � �

ñ ! �àò I�ù�ú�#þ� n/ ) � �Wï"! � ï�69�KýN4©û� ©þ$&Dû� ©þ$*�ú�ù�4+4D, � �Hû�#$%�úFü>5;ü� +*D%`þ� 5%`û�4 Fü2þ� 5#%þ�3E 4©ûHº~þ�ú ø !Jù�ú#þ�� =!�5# � ÉWY+V�í[T8�+�`í[XQ8$Y�]�7 ¡ �'XJU3Y��WU'/ï ð /²ï ��������ð�ð��

ñ ! Ràò I�ù�ú� < ø þ�ÈN/�Ù � ö � �Wï"! � � 69�ã!ü&#�#þ�ü=ú#û�!;û�#n&¥ù� 4=?'&¥ù�Fü&���©û�#F%K4;ü� ©þ�ü&##û�# � Iw!iü&%�ü:@� ¬û� Gü� +* ø ?�#��Wï"!�! � 6h 4;ü&#�#þ�ú ,)þ�3(%K4;ü� ©û�##û�I�ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�# � k�4;úFü� +*.û�ú0/��$û�ú ø A� �

ñ ! p�ò I�þ�ú#û�� � 6!û',7/=I � �Wï"! � ô 69��I ø �ù�üi2;û'&Dû� �S!;û ø &Dû�Fú#û � I�þ ø=ø /=��ù�ú$%`û ø þ� �ù �ñ ! àò 5�û� IG�5#�ùM/#I � �Wï � R ï�69�H��4©û�ù ø *.û'5;ú�ù¦þ�3ÂI�þ$4�ù(&Dû;!�5�û� *IG�5#�ù � IHû`þ�ú *  ø &D#I+Kû�ú ø ù(*=/

ã!ü ø !;û�# 4©û�ü>& � �[Iw!iü&%�ü:@� çï"! � ô 6 �ñ ! ôàò C­û��+*.û'5�ù��©û�ú0/  � �Wï"! �� 69�J��4©ûGû32©ù�%�2#$%�ü2û� 5%`û�#�ü� �ù� �Fü&���;ü��, � �Hþ0A.û�ú0/?C­û�º¤Ì/þ�ú � �ñ ! ��ò C­û��+*.û'5�ù��©û�ú0/  � �Wï"! R(p 69�(+Kþ�ú *�úFü2û�%K4;ü&#$%K4©û�I�ù� 4©û'&¥ù�Fü � � k�4;úFü� +*.û�ú2+Kû�ú ø ù(*=/=�$û�ú ø ü� �ñ ! � ò C2� ©û�#0/,� � ù� =!"�~ú ,�ù� �0/²ý � �Wï"!�! ô 69�¶I�ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�#K� =!;û�úQ!iü�Ȳû�ú#û� �K �ù(&Dû�# � �L µ� « .DX�7=>$TKU3Y

>.8$X Yg\DC9]�í0.+U<C9]�í[X��3V'/=� ø ù�% � º~û ø=ø /  263Qþ�úK! �ñ !�! ò  ú�#û'*�ùM/  � �Wï"! � ô 69���E!;û�ù�#w,@%�ú#û`û� 5%�ü[ù�# � h ø ü[ù� +<àùM/2I�ù$!iúFü:! � �[Iw!iü&%�ü:@� I%`þ� 5#�� ø �ù$!©ùm!;ûGï"!�!�!76 �ñ ï ð�ðàò ýtùB;#ù�ú#û�#0/BI � ) � �Wï"!�! � 69�F�û�ù�%K4©û�ú�À #�5�û ø ü2û83>#tù� =!+û;!��5%�ù�Fü2þ� �ù ø ú#û�##û�ù�ú$%K4µ�F% ø û�ù� ;ü� +*M� 4Eù�&Dû�#$# ,

%`þ� 5#�Fú��5%� � Í�U8N0XJU Å 8C¢�L�>��+�K]�í[XQ8$Y�]�7�Í�UWV0U ]$T �8.g/ ô�� � R 63/ R�ð����MR�R����ñ ï ð ï ò I�ù ø û�0/ h � ó%ýtù�ú�ù$!�A&#0/¶Ù � �Wï"! � p 69�"I ø #¥þ�ú�A>*.û� 5#¥ü ø À û� 5##û� D,�ù(&Dû� �G!;û ø À O ø *.û'5;ú�ùP#Fü>&85�� ø ü&%�ù �

�L 5#�Fü��� �!;û+ö/ü:?� 5%�ü2û�#�!;û ø À Iw!��5%�ù�%�ü:@ � -2 ;ü>A.û�ú$#Fü��ù��!;û_5�ù�ú$%`û ø þ� �ùM/���ù�ú$%`û ø þ� �ù �ñ ï ð��àò ý�û'4 � þ� ©û� n/QI � ù� =!Q��ê�ú� ©û�ú0/GI � �Wï"!�! ô 69��I�ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�ù ø 5�û ø ü2û83># � I( µ�ÂÆ�U3Y�í[T ]�72£<7>]�íQí�¢8RgT

¼QXQ>7]�¿�í[X[¿¥>DU3TA»L]�í0.+U<C9]�í[X[¿(/5! ô.Ç�p /?!�! � ï�ï R��ñ ï ð�Ràò ýN4;ü ø ü�4 4�þ��n/tI � C � ù� =!õö�4;úFü&#�#þ��n/�ö � �Wï"!�! � 6M��4©ûEû<Ȳû�%�$#Gþ�3�ùS4;ú#û�4�ù�ú�ù�#þ�ú ,L&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�#

4;ú#þ$*�ú�ù(& ü� S%K4�ù� +*�ü� +*@4;ú#þ�#�4�û�%�Fü>A.û�#û�ù�%K4©û�ú$#�Àiù��Fü���=!;û�#'#þ�º$ù�úK! #�&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�# � L�>��+�K]�í[XQ8$ZY�]�7 ¡ í��;>$XJUWVQX Y »L]�í0.+U<C9]�í[X��3V'/ R� /²ï � ! ����ð�ô��

ñ ï ð(p�ò 6!û�ù�##þ� n/iý � �Wï"!�! p 69�J��4;ú#û`ûGù�4 4;ú#þ.ù�%K4©û�#�#þ@4�ù�ú�Fü&%�ü�4�ù�Fü>A.ûAü� 5���;ü=ú , � I( µ�K�Hû� +<`ü� n/ C � Ä � ù� =!}²ü� 5%`þ ø n/;Ì � k � ¾m]$Y�>�£F8�8�¿'8C¢1=��+]�7 XdíJ]�í[X0N$U8TKUWV0U ]$T �8. � kiù(*.û�/�}�þ� =!;þ� n/ R��(p��MR�R ! �

ñ ï ð�àò 6!þ�º~û�/t� � I � �Wï"!�! ô 69�TC­û�ºUFú#û� =! #¬ù� =!õþ ø !ü>&¥ù(*.û�#Gü� P 4©û94;ü&#�#þ�ú ,�þ�3�&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�# � �L µ�6!þ� �ù ø !'ö$ù ø ü� +*.û�úQ�[Iw! � 6DÄPXdíJ]G»L]�í0.+U<C9]�í[X��K]DÃ�¾_XV�í48$T3X��K]�7�TKUWV0U ]$T �8.G]$Y�>8Xdí V�X Y�í�U�\$T ]�í[XQ8$Y Å Xdí0.í�U ]7�8.DX Yg\�I hSh C­þ�#û�#0/ p�ð / R"� ï ô�� h %�ù$!;û'&Eü&%�ý:ú#û�#$#0/ C­û�º¤Ì/þ�ú � �

ñ ï ð�ôàò kiù�2;û�/­I � � � �Wï"!�!iï�69�çö�� ø ��;ú#û�ù� =!V%`þ$*� ;ü�Fü>A.ûL!;û'A.û ø þ�4+&Dû� �'�%k���=!iü2û�#'ü� �&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�ù ø� =!;û�ú$#��ù� =!iü� +* � }ù`º�ú#û� 5%`û8I:ú ø 5�ù��+& h #$##þ6%�ü[ù�#û�#0/;ã!ü ø=ø #K!©ù ø û�/5C � Ù �

ï ��ô

Page 125: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�~ü>5 ø ü2þ$*�ú�ùB3�A[ù

ñ ï ð���ò k6%�úFü>5�ù¥ö � Ù � ù� =!"k6%K4;ú#û�ü>5�û�ú0/�ý � � ��ð�ð ï�69� �ð�ð�ð Ù�ù(4;ú#û¬IHû`þ$&Dû�FúFü2û � k�úFü� +*.û�ú2+Kû�ú ø ù(*=/=�$û�ú ø ü� �ñ ï ð � ò k�û�ü:!;û� D5�û�ú *=/ h � �Wï"! ô�� 69�1��4©ûDúFü����ù ø þ�úFü>*�ü� õþ�3�*.û`þ$&Dû�Fú , � Á�T �8.DX0N$U�¢`8$T¬¾_XV�í48$T91�8C¢ÂLON7]7�`í

¡ �'XJU3Y��WUWV'/+A.þ ø � ï�/ p ��� ������6�ñ ï ð ! ò k�û�ü:!;û� D5�û�ú *=/ h � �Wï"! ô�� 69����4©û¥úFü����ù ø þ�úFü>*�ü� ¦þ�32%`þ�� �Fü� +* � Á�T �8.DX0N$US¢`8$T¬¾_XV�í48$T91�8C¢°LON7]7�`í

¡ �'XJU3Y��WUWV'/+A.þ ø �?� �Wï�63/�ï �Dp�ð��ñ ï�ï ðàò k�û�ü:!;û� D5�û�ú *=/ h � �Wï"! �$R 69�  � 4©û)ù�ú#û�ù�þ�3Hù<##û'&Eü � %�ü=ú$% ø û � Á�T �8.DX0N$U_¢`8$TE¾_XV�í48$T91�8C¢HLON7]7�`í

¡ �'XJU3Y��WUWV'/+A.þ ø � !M/�ï � ï ��� ï�ï �ñ ï�ï�ï ò k�û�ü:!;û� D5�û�ú *=/ h � �Wï"! � ð 69�(��4©û­úFü����ù ø þ�úFü>*�ü� Jþ�3E 4©û�5�ù ø ù� 5%`û � Á�T �8.DX0N$UN¢`8$T%¾_XV�í48$T91D8C¢#LON7]7�`í

¡ �'XJU3Y��WUWV'/+A.þ ø �?��R /�ï � ! ������ô��ñ ï�ï �àò k�û�ü:!;û� D5�û�ú *=/ h � �Wï"! � ï�69�'��4©ûGúFü����ù ø þ�úFü>*�ü� �þ�3J%�ü=ú$% ø û+ù� =!G#$����ù�ú#û � Á�T �8.DX0N$U�¢`8$TH¾_XV�í48$T91)8C¢

LON7]7�`í ¡ �'XJU3Y��WUWV'/=A.þ ø �?�� � p 63/ ��ô ! �MR����6�ñ ï�ï Ràò k�û�úFú�ù� ©þ+/µÙ � �Wï"!�! 69�A�­ü&#$%��;ú$##þ: �ù�úFú�ù�Fü>A.þG,"!;û�#$%�úFü�4W%�ü:@� õù�� #þ$5;ü2þ$*�ú ) ^?%�ù � Í�U8N0XV�íJ] >DU­9�V3X Z

�#8�7=8K\�3�]OV`80�'X�]�7�]�9�7 X��K].>7]�/+A.þ ø �? �Wï ��� 63/ p ï ���ô��ñ ï�ï p�ò kD4©þ�û� �3Qû ø !P/ h � ã � � ��ð�ð�ð 69�  5�;Fû�Fü>A.þ�#S,G&9?�#þg!;þ�#_!;û ø ùDü� DA.û�#�Fü>*�ù�%�ü:@� û� "Iw!��5%�ù�%�ü:@� pI�ù�j

#û'& ) Fü&%�ù � ¢n]1\7]7�WU�íJ]*>DUG7>]¬Í�U ]�7 ¡ 80�'XJUF>7].>*>DUA»L]�í�U<CDX�í[X��K](VKL�V49+]�Y�8�7>]�/ 4 � ï � "����ð�R��ñ ï�ï àò k�ü2û�ú�4;ü� 5# � ùM/ h � ù� 5Z�}�û�ú &¥ù� n/�k � �Wï"!�! ô 69�wI(4;ü&#�#û'&Dþ ø þ$*�ü2û�#%þ�3n&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�#!ù� 5Z)þ�3l&¥ù� 4©û3j

&¥ù�Fü&%�#$û�Z��5%�ù�Fü2þ� � �L µ���~ü&# 4©þ�4n/ h � û��ù ø � �dû�Z #36~ÉWY�í�U3T3Y�]�í[XQ8$Y�]�7;¾m]$Y�>�£F8�8�¿¥8C¢!»L]�í0.+U<C9]�í[X��3VL�>��+�K]�í[XQ8$Y�/=Ä ø ��º~û�ú0/��Hþ�ú$Ziú#û�%K4� �

ñ ï�ï ôàò k � þ��0/�Ù � � ��ð�ð ï�69�+ö�4�ù ø=ø û� +*�ü� +*�ù:4 �;ú#û ø ,L&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�ù ø 4�û�ú$#�4�û�%�Fü>A.ûEþ� [#û�ù�%K4©û�ú$#�À/%`þ$&�j4�û�#û� 5%`û � ý:ú#þ6%`û`û�Ziü� +*�#�þ�3* 4©û�\�å�í0.+à « 8$Y0¢0U3TKU3Y��WUG8C¢­í0.+U%ÉWY�í�U3T3Y�]�í[XQ8$Y�]�7é�TF8���91¢`8$T­í0.+U%ÿ�V91$Z�8.i8�7=8K\�1*8C¢H»L]�í0.+U<C9]�í[X��3V�L�>��+�K]�í[XQ8$Y�/?-2Fú#û�%K4�0/=A.þ ø p / 4 � ï"! R"����ð�ð��

ñ ï�ï ��ò k ø ù;A�ü� n/i6 � �Wï"! � 69� h #�L �Fú#þ6Z��5%�Fü2þ� I#þEö~þ�þ�4�û�ú�ù�Fü>A.û�}�û�ù�ú� ;ü� +*E6!û�##û�ù�ú$%K4 � �L µ�Nk ø ù;A�ü� n/i6 �kD4�ù�ú�ù� n/nk � ÄGù(*�ù� n/nk � }ù(<àù�ú#þ�º�ü� <7/�6 � @û'5+5n/�ö � ù� 5Z�k6%K4+&1�5% � /�6 � �[IJZ #363/²¢lU ]$T3Y=X Yg\*í48« 8�8�9=U3T ]�í�U^] « 8�8�9=U3T ]�í[X Yg\)í48¬¢lU ]$T3Y�/©ý ø û� ��+&¶ý:ú#û�#$#0/ C­û�ºèÌ/þ�ú � /�4 4 �? j�ï ��

ñ ï�ï � ò k��ù � û�/�6 � I � �Wï"!�! p 69�­ö$ù�##û�k���5Ziü2û�# � I( µ�%�Hû� +<`ü� n/WC � Ä � ù� 5ZÏ}²ü� 5%`þ ø n/�Ì � k � ¾m]$Y�>�£F8�8�¿*8C¢=��+]�7 XdíJ]�í[X0N$UmTKUWV0U ]$T �8. � kiù(*.û�/�}�þ� 5Z;þ� n/ ��R�ô"���(p6�6�

ñ ï�ï"! ò k�#û<Ȳû�/ª} � ý � ù� 5Z *�ù ø û�/¶Ù � �Wï"!�! 69�ö~þ� 5#�Fú��5%�Fü>A�ü&# & ü� û�Z��5%�ù�Fü2þ� � }ù`º�ú#û� 5%`ûLI:ú ø 5�ù��+&ã!ü ø=ø #$Z©ù ø û�/5C�Ù �

ñ ï ��ðàò k�#û�ü� ©û�ú0/�ã � I � �Wï"!�! ð 69�'C­û`û�Z;û�Z�%`þ�þ�4�û�ú�ù�Fü2þ� F5�û�^º~û`û� <#$%�ü2û� 5%`û�û�Z��5%�ù�Fü2þ� �ù� 5ZG&¥ù� 4©û'&¥ù�jFü&%�#%û�Z��5%�ù�Fü2þ� � Æ�U3Y�í[T ]�72£<7>]�íQí�¢8RgT­¼QXQ>7]�¿�í[X[¿¥>DU3TA»L]�í0.+U<C9]�í[X[¿(/?! ð � ô 63/�ï"! p�� ï"! �6�

ï ���

Page 126: HISTORIA, MATEMÁTICAS Y REALIDAD. EL CASO

�~ü>5 ø ü2þ$*�ú�ùB3�A[ù

ñ ï � ï ò k�#û�ü� ©û�ú0/©ã � I � �Wï"! � � 69�KýN4;ü ø þ�##þ�4+4;ü&%�ù ø ù� 5Z*û�4;ü&#�#û'&Dþ ø þ$*�ü&%�ù ø ù�#�4�û�%�$#�þ�3�&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�#­ù� 5Z 4©û�ü=ú:ü� �#û�ú�ù�%�Fü2þ� Dº�ü� 4� 4©û`þ�ú ,¬ù� 5Z@4;ú�ù�%�Fü&%`û$ü� �&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�#/û�Z��5%�ù�Fü2þ� � Ã�8$T�í0.+U�7:U ]$T3Y=X Yg\8C¢AC9]�í0.+U<C9]�í[X��3V'/ � �Wï�63/ ��� ï R��

ñ ï ���àò �û�úFú�ù ø=ø /�I � �Wï"!�! � 69�/6!û�4;ú#û�##û� �Fü� +*S 4©ûGû�ù�ú� 4�À #M# 4�ù�4�û � ��4©û_4�þ ø û'&Eü&%�#2#��;úFú#þ�� 5Ziü� +*�I�ù��Mj4�û�ú���;ü&#�À #%û32�4�û�Ziü�Fü2þ� �#þ°}ù�4 ø ù� 5Z � É ¡ É ¡ / � R / � ï � ����R��6�

ñ ï ��Ràò �$ü[ù� MjCk6#0/ h � ù� 5Z�k�º~û� <7/�) � Ù � �Wï"! � ô 69� h %K4;ü� ©û�##û.&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�ù ø ö ø ù�#$#Fü&%Jþ�3_ 4©û` 4;ü=ú$Z%`û� ���;ú ,6�a 4©û1##û�ùEü&# ø ù� 5ZF&¥ù(4©û'&¥ù�Fü&%�ù ø &¥ù� ���ù ø þ�3�}²ü���ã2�;ü � ¾_XV�í48$T3X�]D»L]�í0.+U<C9]�í[X��K]�/�A.þ ø �ï R � � 63/?!�! � ï�ï �6�

ñ ï �(p�ò ��4©þ$&�45##þ� n/ h � I � �Wï"!�! � 69�T�û�ù�%K4©û�ú�À #85�û ø ü2û83>#�ù� 5ZP%`þ� 5%`û�4 Fü2þ� 5# � h # ,6 � 4©û�#Fü&#�þ�3a 4©ûDú#û3j##û�ù�ú$%K4 � �L µ�DI­ú#þ���º�#0/t� � h � �[IJZ�6+¾m]$Y�>�£F8�8�¿�8C¢OTKUWV0U ]$T �8.Ë8$Y¦C9]�í0.+U<C9]�í[X��3V¥7:U ]$T3Y=X Yg\�]$Y�>í�U ]7�8.DX Yg\DÃ:/�ï ����� ï p�� /�I<%�I ü ø=ø ù� n/5C­û�º¤Ì/þ�ú � �

ñ ï ��àò �þ�û�4 ø ü� <7/  � �Wï"! p !769�I��4©ûI%�ù ø %�� ø �5# � h *.û� ©û�Fü&%Jù�4 4;ú#þ.ù�%K4 � ��4©û:� ;ü>A.û�ú$#Fü��,¦þ�3Gö�4;ü&%�ù(*.þý:ú#û�#$#0/!}�þ� 5Z;þ� � �[IJZiü&%�ü:@� çï"! ô�R 6 �

ñ ï ��ôàò �n<àù� �ù � ü&#0/²ö � ù� 5Z h ú$%�ù;A�üJ/ h � � ��ð�ð�ð 6��L �#û'*�ú�ù�Fü� +*-4;ü&#�#þ�ú ,Jþ�3w&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�#­ü� < 4©û1% ø ù�#$#Cjú#þ�þ$&��~ù� �ù� �ù ø ,6Fü&%1#��;ú A.û', � I( µ��)�ù��+A.û ø /ÈÙ � /+A�ù� JI�ù�ù� ©û� n/�Ù � �[IJZ # � 69��¾_XV�í48$T919X Y�C9]�í0.+U3ZC9]�í[X��3V1UF>��+�K]�í[XQ8$Y�Ã#ü/.+U­É « »*É�V�í��;>�1�/=Ä ø ��º~û�ú h %�ù�Z;û'&Eü&%�ý(�+5 ø ü&# 4©û�ú$#0/©�Hþ�ú$Ziú#û�%K4� �

ñ ï ����ò +Kû�ú� �ù� �0/µÙ � ý � �Wï"! ô� 69��IF,6 4©û¬û�K4�û� 5#K?`û@%K4©û'< ø û�#_*�ú#û�%�# � IJZiü&%�ü:@� õû� [%�ù�#�#û ø=ø ù� ©þ��Wï"!�! R 69�I ü�#þ�,:4�û� 5#�ù(&Eü2û� �#þ¥û� ø ù�*�ú#û�%�ü[ùDù� �Fü>*���ùM/ h úFü2û ø /=��ù�ú$%`û ø þ� �ù �

ñ ï � � ò +­ü>*.þ�$# � ,7/È} � �Wï"! � � 69�#I ü� 5Z ü� 7##þ6%�ü2û��, � ��4©ûTZ;û'A.û ø þ�4+&Dû� ��þ�3�4;ü>*�4©û�úK45# ,�%K4©þ ø þ$*�ü&%�ù ø 4;ú#þ(j%`û�#$##û�# � ãHù�ú A�ù�ú$ZI-2 ;ü>A.û�ú$#Fü��,'ý:ú#û�#$#0/©ö$ù(&85;úFü&ZM*.û � IJZiü&%�ü:@� Jû� I%�ù�#�#û ø=ø ù� ©þ!�wI ø Z;û�#�ù�úFú#þ ø=ø þ�Z;ûø þ�#b4;ú#þ6%`û�##þ�#b45#Fü&%`þ ø @$*�ü&%`þ�#2#�� 4�û�úFü2þ�ú#û�#1� ��ð�ð�ð 63/�ö/ú�A�Fü&%�ùM/=��ù�ú$%`û ø þ� �ù �

ñ ï � ! ò +Kþ$*.û ø /DÄ � �Wï"! � R 69��I:ü� 9A.û�ú &Dû�#$#�� +*�#�4;ú#þ$5 ø û'& ú#û�ü&#�NA.þ� )ö�4;ü� �ù_ �ù�%K4¥ýtù�úFü&# � ¾_XV�í48$T3X�]A»L]�í[Z.+U<C9]�í[X��K]�/+A.þ ø � ï ð / R�ô�ð"�MR�ô��6�

ñ ï R�ðàò +Kþ�#� ;ü[ù�Z;þ��n/8k � ù� 5Z �~ú#û�º~û�ú0/H@ � ) � �Wï"!�! p 69�sI�û� ��ù ø &Dþ6Z;û ø #Jþ�3@ 4©û[Z©ù;, Ç ;ü>*�4�7%',�% ø û �« 8K\$Y=Xdí[X0N$UQV;�'XJU3Y��WU¥ï � /�ï ��R"� ï � R

ñ ï R ï ò +/ù� IZ;û�ú~@õù�û�ú$Z;û� n/+� � } � �Wï"! ô�ô 69� h �3dc� +*.ûMZ;û�ú h #�Fú#þ� ©þ$&Eü2û � C­þ�þ�ú$ZM4©þ�È>}*$Z � I­ú#þ� ;ü� +*.û� �ñ ï R��àò +/ù� GZ;û�ú�@õù�û�ú$Z;û� n/�� � } � �Wï"! �� 69��k6%�ü2û� 5%`û h º$ù � û� ;ü� +* � C­þ�þ�ú$ZM4©þ�Èp}*$Z � I­ú#þ� ;ü� +*.û� �ñ ï R�Ràò @ ü ø û� 5# � ,7/�- � �Wï"!�!iï�69� h 55#�Fú�ù�%��&Dû�Ziü[ù�Fü2þ� 5#%þ� ` 4©ûK%`þ� 5%�ú#û�#ûGù� 5ZI%`þ� 5%�ú#û�#ûHü>&�4 ø ü&%�ù�Fü2þ� 5#

3Qþ�ú#&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�#*û�Z��5%�ù�Fü2þ� � I( µ�õãHù�ú#û ø /�� � ù� 5Z¤ýtù�4�û�ú�0/_k � �dû�Z # � 6 « 8$Y+V�í[T8�+�`í[XQ8$Y=XV<C�/h 5 ø û32*ý(�+5 ø ü&# 4;ü� +*=/?C­þ�úFº~þ�þ6ZP/5C � Ù �

ñ ï R(p�ò Ì~ù�% � û ø /�I � ,¦ö~þ$5+5n/Ký � k�þ6%�ü2þ$&¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�ù ø ©þ�ú &D#0//ù�ú *��+&Dû� ��ù�Fü2þ� ¤ù� 5ZËù�� #þ� ©þ$&8,çü� &¥ù� 4©û'&¥ù�Fü&%�# � Ê�8��gT3Y�]�77¢`8$T­Í�UWV0U ]$T �8.FX YJ»L]�í0.+U<C9]�í[X��3VKL�>��+�K]�í[XQ8$Y�/ ��� � p 63/ 4 �+p� � �Dp6���6�

ï � �