Hincha. Programa en Fortran IV para Determinar ... · En el desarrollo de este modelo se admiten las si-guientes hipótesis: Io). Los átomos de gas producidos en la fisión se agrupan

Sp ISSN 0081-3397

a o u ir

porR. Luqui Jiménez

Toda correspondencia en relación con este trabajodebe dirigirse al Servicio de Documentación Biblioteca yPublicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciudad Univer-sitaria, Madrid-3, ESPAÑA.

Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse aeste mismo Servicio.

Los descriptores se han seleccionado del Thesaurodel INIS para describir las materias que contiene este info£me con vistas a su recuperación. Para mas detalles cónsultese el informe IAEA-INIS-12 (INIS: Manual de Indización)y IAEA-INIS-13 (INIS: Thesauro) publicado por el OrganismoInternacional de Energía Atómica.

Se autoriza la reproducción de los resúmenes analiticos que aparecen en esta publicación.

Este trabajo se ha recibido para su impresión enJunio de 1975.

Depósito legal n2 M-35428-1975 I.S.B.N. 84-500-7180-1

- 1 -

Í N D I C E

Página

INTRODUCCIÓN 3

PRIMERA PARTE - DESCRIPCIÓN DEL MODELO UTILIZADOPARA DETERMINAR EL HINCHAMIEKTO.

1.1. Hipótesis empleadas 5

1.2. Determinación del número de burbujas ...... 5

1.3. Volumen ocupado por el gas de las burbujas. 6

1.4. Presión del gas en el interior de las bur-bu j as •. 6

1.5. Modelo de Greenwood-Speight ............... 7

1.6. Hinchamiento producido por los productossolidos de fisión ...» 13

1.7. Liberación de gases de fisión ........ ..o.. 14

1.8. Hinchamiento real 15

SEGUNDA PARTE - PROCEDIMIENTO DE CALCULO.

2.1. Valores del hinchamiento gaseoso 17

2.2. Estudio de la ecuación (14) 17

2.3. Selección del proceso iterativo 20

2.4-. Formula de iteración 21

2.5. Derivada de (Y) 22

2.6. Cálculo del hinchamiento real 23

2.7. Hinchamiento medio gaseoso de la pastilla . 25

2.8. Distribución del hinchamiento en nuestrocaso > 28

2.9. Ejemplo de aplicación 31

APÉNDICE 1 - VALORES UTILIZADOS EN LOS CÁLCULOS. 33

APÉNDICE 2 - REPRESENTACIONES GRÁFICAS 35

APÉNDICE 3 - ÍNDICE DE SÍMBOLOS .. 33

- 3 —

INTRODUCCIÓN.

El presente trabajo tiene como finalidad estudiar el fe

norneno del hinchamiento en los combustibles nucleares debido

a que su presencia es la causa de alteraciones en el mecanis-

mo de transmisión del calor desde la barra combustible al re-

frigerante ya que afecta al cambio de dimensiones de la pasti

lia combustible y como consecuencia modifica la separación en

tre ella y la vaina.

Además de esto se ha creado un programa de FORTRAN IV

que en forma de subrutina (HINCHA) se insertará en el progra-

ma TEMP-1 similar al FIGRO y ambos elaborados con el proposi-

to de determinar las temperaturas en la barra combustible.

El objetivo fundamental que perseguimos, es el de cono-

cer en todo momento de la vida del reactor las variaciones de

dimensión que experimentan las barras combustibles por efecto

del hinchamiento.

PRIMERA PARTE

DESCRIPCIÓN DEL MODELO UTILIZADO PARA DETERMINAR EL HINCHA-

MIENTO.

1.1. Hipótesis empleadas.

En el desarrollo de este modelo se admiten las si-

guientes hipótesis:

I o). Los átomos de gas producidos en la fisión se agrupan

en el interior de burbujas esféricas de igual volumen

2 o). Las burbujas esféricas se agrupan según una malla

cúbica en el seno del UO .

3 o). Se calcula una temperatura por encima de la cual se

admite q_ue todo el gas producido es liberado y por

debajo de ella no hay liberación alguna de gases.

4 o). Los cálculos se realizan para un combustible de

densidad 100 por ciento de la teórica.

1.2. Determinación del número de burbujas.

Si tenemos en cuenta la segunda hipótesis, la distan-

cia entre centro y centro de burbujas será constante y a ca-

da una de ellas podremos asignar la porción de combustible

limitada por un cubo cuya arista sea el paso de la malla,

por lo que este número quedará determinado con la siguiente

expresión:

VN * — (1)

- 6 -

siendo:

N = el numero de burbujas.

V = el volumen inicial del combustible para pequeñoshinchamientos. (Realmente debe ser el volumen final)

L = la distancia entre centro y centro de burbujas opaso de la malla.

1.3. Volumen ocupado por el gas de las burbujas.

Si consideramos la primera hipótesis, por la que se

supone que todas las burbujas son esféricas e iguales, po-

demos plantear la siguiente ecuación:

3N (2)

g 3

siendo r el radio de las burbujas y V el volumen ocupado

por el gas.

Como N la conocemos por la fórmula (1), podemos es-

cribir que :

4 VV = irr ( -) (3)•8 3 L3

1.4. Presión del gas en el interior de las burbujas.

Debido a que el combustible impide la difusión de

los gases producidos en su interior, estos, al recogerse

en las burbujas mencionadas ejercen una presión que cuando

es elevada y el material que la soporta se encuentra en

unas condiciones de presión exterior y temperatura determi-

nadas puede llegar a producir surcos y grietas en él por

_ 7 -

los que sale al exterior. Como es lógico, la deformación

que experimenta el combustible está motivada por estas pre

siones internas y por haber supuesto que el gas forma bur-

bujas esféricas utilizaremos para su determinación la ley

de Laplace, es decir:

donde:

a, es la tensión superficial del combustible.

P , es la presión del gas en el interior de las burbujas.O

P, , es la presión existente en la superficie del material,

Si tenemos en cuenta la ecuación (3) podemos despejar

en ella el valor de (r) y sustituyendo este valor en la (U)

se obtiene la siguiente ecuación:

V -1/3g_ } + (5) _. g L 4 V

h

Conocida la presión del gas,, su volumen puede determi-

narse con cualquiera de las ecuaciones conocidas.

Aplicando la ecuación de los gases perfectos, damos

origen a una teoria sobre hinchamiento que tiene en la ac-

tualidad poca acotación y si aplicamos la ecuación de Van

der Waal se llega al modelo de hinchamiento desarrollado

por Greenwood-gp¿¿gfti;, siendo éste el modelo empleado en el

FIGRO y CIGRO-1 programa este último que también realiza

cálculos de hinchamiento.

1.5. Modelo de Greenwood-Speight.

La diferencia de este modelo con el que se obtiene al

aplicar la ley general de los gases perfectos es solamente

- 8 -

la de efectuar el desarrollo basándose en la ecuación de

Van der Waal.

La aplicación de esta ecuación está justificada, debido

a que el gas se encuentra encerrado en un pequeño volumen y

a gran presión.

Esta situación hace que las moléculas estén muy pró-

ximas y como consecuencia haya interacciones entre ellas.

Además, por ser el volumen de la burbuja muy pequeño el

tamaño de la molécula tiene más importancia ya que el vo-

lumen de que dispone para moverse es el total menos su pro-

pio volumen, en estas condiciones la ecuación en cuestión

es la más adecuada y ello explica que con este modelo se

obtengan resultados más precisos.

La ecuación de Van der Waal puede escribirse como

sigue:

2 V(P + HLJ. )(_§__ _ b) = R T (6). s v m

g

donde:

m, es el número de moles de gas.o

R , constante universal de los gases (ergios/mol- K).

a y b, constantes características del gas.

Se ha comprobado experimentalmente que por cada fisión

se producen 0.3 átomos de gas, por lo que el número de moles20

obtenido con un grado de quemado de F x 10 fis/cc. será:

0.3 F. V.

m = , (7)Na x 1Q20

- 12 -

luego el número N de moléculas que hay en 1 ce será:

N =6.023 x 102 3 x 10.96

270.071 Q

20

valor semejante al que aparece en (12).

Si en la ecuación (9) sustituimos t por el tiempo de

equilibrio y el valor resultante del paso de la malla cúbica

lo sustituimos en la ecuación (8) resulta la ecuación si-

guiente :

•T-) (•0,3

9 a fZ

i/9

16 TT0.9,8

exp(18R T

a(-0. 3 F

Na x 10

2 V -2

y

Na x 10

0.3 R.

~ 2 C\

V

(13)

b_R.

= T

Si los términos de la ecuación (13) encerrados en el se-

gundo corchete los multiplicamos por 10 y los d el primero los1/9

dividimos por la misma cantidad y si además T lo multipli-

camos y dividimos por la raiz cúbica de 10, al sustituir las

partes literales por los valores numéricos que figuran en el

APÉNDICE 1, se obtiene la siguiente fórmula:

V -

io

1/9

¡10

+ 1.0360 F' (_ÍL)

V

-2

2.41596 V6.173 x 10

-3= T

- 11 -

( 6.6 . 10~5 cm2/seg T > 1,135 °K

0 ( 10~19 cm2/seg T <, 1,135 °K

( 71,700 cal/mol g T > 1,135 °K

Q =1(0.0 T < 1 ,135 °K

El parámetro B se obtiene mediante la ecuación,

0.3 F(12)

24-4 x 10 2 0

donde

F , es la velocidad de fisión por ce (fis/cc - sg)

20x 10 3 son las moléculas de combustible por ce

Este valor lo podemos encontrar mediante el siguien-

te razonamiento:

I o). Se supone que la densidad del combustible es 10.96

gr/cc. (Densidad teórica).

2 o). Se admite que el uranio del combustible es natural,

hipótesis bastante aceptable dado el bajo enrique-

cimiento que tiene este tipo de combustible.

3 o). Tomamos como combustible el U0 .

De acuerdo con estas consideraciones podemos poner

que :

1 mol de U02 = 270.07 gr.

1 mol de UO tiene 6.023 x 10 3 moléculas,

- 10 -

y el tiempo en el que se alcanza el equilibrio del nú-

mero de burbujas por:

5/6 t/3 9 a'fZ

1 6 ir-) exp(-

R1T1

1/3

(10)

1/2

en las que:

^ , volumen atómico.

& , número de átomos de gases de fisión producidospor átomo y por segundo.

K

vd

f

"s, t

constante de Bolzman.

frecuencia de Debye.

factor de entropia.

número de centros de nucleación con los que entraen contacto una burbuja al difundirse una distan-cia igual a la de su diámetro.

energía de activación para la difusión superficial.

separación entre átomos.

tiempo.

constante de los gases perfectos (cal/mol-°K)

tiempo transcurrido hasta alcanzar el equilibrio.

D , coeficiente de difusión de los átomos del gas de• ** fisión.

El valor del coeficiente D se obtiene con la siguien-

te expresión:

Dg = Do exp di)

donde:

- 9 -

donde:

F, es el grado de quemado expresado en unidades de ÍOfis/cc.

Na, es el número de Avogrado.

20

Si.en la ecuación (6) sustituimos V por el valorg

encontrado en la (5) y m por la ecuación (G) llegamos aobtener la siguiente expresión:

2O . l+TT_ _ (__

Na.10-20

Na . 10" 2 0

0.3 F(8)

La fracción de hinchamiento gaseoso (V /V) podría ser

determinada con la ecuación (8)s pero presenta la dificultad

de que L no se conoce con facilidad debido a que el paso de

la malla varía con el tiempo.

Esta magnitud alcanza un valor constante cuando los

átomos de gas producidos se recogen en las burbujas existen-

tes en lugar de formar otras nuevas.

Greenwood-Speight por cálculos de azar (aplicación

de un modelo de Montecarlo a la generación de burbujas)

llegaron a la conclusión de que esta magnitud podría deter-

minarse utilizando la siguiente expresión:

L =ati 9 a!

-) exp (-1 6 TT R1J

2/15

-1/15

(9)

- 13 -

La ecuación anterior coincide con la dada en la

(Ref. 1) y los valores de las constantes C y C que apa-

recen en ella son los que se exponen a continuación:

C = 20.7M-38T - 1,135 °K

C = 5 ,091.19

C = 3.54108T > 1,135 °K

C = 7,096.9

La ecuación (14-) mediante un proceso iterativo nos

permite conocer el hinchamiento producido por los gases

de fisión para una temperatura dada. El proceso de obten-

ción de las ecuaciones (13) y (14) puede verse en la

(Ref. 4).

1.6. Hinchamiento producido por los productos sólidos

de fisión.

Los núcleos iniciales al fisionarse originan átomos

gaseosos y sólidos, estos últimos dan lugar también a un

hinchamiento cuya suma con el gaseoso proporciona el hincha-

miento total.

Este hinchamiento resulta ser proporcional al grado2 0

de quemado y expresándolo en unidades de 10 fis/cc se

obtiene la siguiente ecuación:

V—. = K.F (15)

Si no hay recombinación de los núcleos sólidos obte-

nidos en la reacción la constante K toma el siguiente valor;

K = 0.0035

y si los núcleos se recombinan:

K = 0.0025

El valor que nosotros hemos tomado en nuestros cálculos

es el primero, por ser el que aparece en la (Ref. 1).

1.7. Liberación de gases de fisión.

El hinchamiento total se ve disminuido debido a que

parte de los gases de fisión escapan de la matriz combustible

Se ha observado que este fenómeno tiene lugar a altas tem-

peraturas y que además depende del grado de quemado. Aunque

realmente no ocurre así, cometiendo un pequeño error, ver

(Ref, 3), suponemos que el 100 por ciento de los gases son

liberados cuando la temperatura es superior a la que se ob-

tiene con la ecuación (16):

T = B + B F + B F2 (16)Ig 1 2 3

y que por el contrario, los gases son retenidos totalmente

por la matriz en caso de que la temperatura sea inferior a

la mencionada.

La temperatura de liberación de gases alcanza un va-

lor constante y mínimo (Ref. 1) cuando:

FSW = 3°

por lo que la ecuación (16) es válida en el intervalo:

0 < F < FSW

Las constantes que aparecen en (.16) toman los siguien

tes valores (Ref. 1):

- 15 -

B = 2,930.00

B = -22.6670

B = 0.32667

y con ellas se. obtiene la temperatura en °F

1.8. Hinchamiento real.

El modelo expuesto se desarrolla para el material de

densidad 100 % y en nuestro caso el combustible siempre ten-

drá una porosidad, por lo que según la (Ref. 1) el hincha-

miento obtenido mediante el modelo expuesto deberemos mul-

tiplicarlo por la fracción de densidad teórica que correspon-

da al combustible con el fin de obtener el hinchamiento real,

es decir:

= KV

(17)

donde:

K es la fracción de densidad teórica correspondiente

a nuetro combustible.

SEGUNDA PARTE

PROCEDIMIENTO DE CALCULO.

2.1. Valores del hinchamiento gaseoso.

Estos valores ha de proporcionarlos la ecuación (14)

que por ser implícita y estar afectadas sus variables de. ex-

ponentes fraccionarios, no puede resolverse mediante los mo-

delos matemáticos generales, sino que hemos de recurrir a un

proceso iterativo.

2.2. Estudio de la ecuación (1M-).

Esta ecuación presenta la forma

Vf(-£ , T) = T (18)V

donde la temperatura por ser dato de entrada es conocida.

Dicha ecuación podremos escribirla como sigue:

VgY = f ( — , T) - T (19)V

para una T dada esta formula proporcionará uno o más valores

de (V /V) para los cuales Y sea igual a cero, que serán solu-

ciones de la ecuación. Por lo que uno de estos valores será

el del hinchamiento correspondiente a la temperatura consi-

derada.

Con el fin de elegir el método iterativo y saber si exis-

te, más de. un. valor qué satisfaga la condición anterior, es ne-

cesario conocer la forma de la curva. Para esto tomamos un va-

- 1!

lor de la temperatura a la que ya conocemos el hinchamien

to (Ref. 2).

Las distintas variables en este caso tomarán los si

guientes valores:

T = 3000 °F = 1922 °K

g— = 14.6 %

Fy = 1.8 x 1013

F = 10

C = 3.54108

C = 7 ,096 . 9

que sustituidos en la ecuación (19) al resolverla para

distintos valores de (V /V) se encuentran los correspon-

dientes a Y expuestos en la Tabla núm. 1.

Estos resultados nos permiten averiguar que en este

caso el hinchamiento está comprendido antre el 12.5 y el 15.0

por ciento. Si representamos gráficamente la Tabla núm. 1

encontramos la curva de la Lámina núm. 1 que puede verse en

el Apéndice 2.

En ella observamos que Y se anula cuando V /V vale apro-

ximadamente 0.146, valor que coincide con el encontrado en la

referencia indicada anteriormente.

Si damos valores de V /V siguiendo un criterio lógicog

se encuentra que para:

V& = 0 .1465214

- 19 -

TABLA NUM. 1

V

0,050

0,075

0,100

0,125

0,150

0,175

0,200

0,225

0,250

0,275

0,300

0,325

0,350

0 ,375

0 ,400

0,425

0,450

0,475

Y

-1197,775

-833,716

-524,950

-237,247

+37,6226

+302,9537

+ 560 ,559

+811,638

+1057,067

+1297,523

+1533,551

+1765,597

+1994,034

+ 2219 ,179

+2441,305

+2660,6468

+2877,409

+3091,77

- 20 -

el valor de Y es:

Y = 0.000224

En nuestro caso es suficiente con cuatro cifras deci-

males para V /V, es decir:

-2- = O .1465

y de acuerdo con ésto, el límite que puede fijarse para Y

puede ser:

|Y| = 0.2

ya que poner un límite inferior supondría una pérdida de

tiempo en la COMPUTADORA por hacerse el proceso itera-

tivo mucho más largo. Además, por nuestro propio criterio

aceptamos como buena una solución con cuatro cifras deci-

males .

2.3. Selección del proceso iterativo.

Dada la forma de la curva, vamos a emplear por creer-

lo el más &d.eeuád§ el de Newton o de la derivada. Se ha

elegido este procedimiento por no presentar la curva ningu-

na anormalidad ya que se aproxima a una recta en el primer

cuadrante y .pasa al cuarto permaneciendo asintótica al eje

de ordenadas. Que es asintótica puede comprobarse dando

valores de V /V cada vez más próximos a cero con los queO

se obtienen los correspondientes de Y, observándose que es-

tos son siempre negativos y aumentan en valor absoluto, es

decir tienden a (-00).

- 21 -

2.4. -Formula de iteración.

La curva de la siguiente figura es del mismo estilo

que la encontrada, por lo que las deducciones matemáticas

que hagamos, así como las conclusiones que se obtengan se-

rán generales para las curvas de esta forma.

Y

Y,

Podemos escribir a la vista de la figura que:

Xl " X2

( 20)

- 22 -

y como:

dY. = DY (21)

se llega a la conclusión de que

xi DY'(22)

y en general:

Xn+1 = Xn

nDY (23)

Con este valor de X que equivale a V /V volvemos

a entrar en la ecuación de la curva con el que encontra-

remos otro de Y, y en caso de que éste no cumpla la condi-

ción de ser en valor absoluto menor o igual que 0.2 segui-

remos buscando valores de X hasta dar con el que satisfaga

la condición.

2.5. Derivada de (Y).

Para aplicar el proceso iterativo expuesto anterior-

mente, se ha de conocer la derivada de la función, y en es-

te caso resulta ser:

DY -1/6 1 Vg " 4 / 3V T ,1/9

V -31.0360(-2)F2(-^-)

e x p

î) -6.1730X10" 3

1/6 Vg

2 • Vg-" 2"+ JL.036Q F ( — )

x

2 .41596 (24)

- 23 -

Si resolvemos la ecuación (24) para el valor del hin-

chamiento :

— = 0.1465

y la temperatura con la que se obtuvo,resulta que:

DY = 10 ,8142 .579

Si para la misma temperatura damos distintos valores

de V /V se obtienen los resultados de la Tabla núm. 2.g

Estos valores son del mismo orden que los que se ob-

tienen por el procedimiento de derivación gráfica. Esta

coincidencia nos confirma que la ecuación (24) es correcta,

2.6. Cálculo del hinchamiento real.

En este caso el problema se resuelve para pastillas

cilindricas macizas. Con el fin de encontrar la solución

seguiremos los pasos que a constinuacion se exponen:

I o). Dividir la pastilla en un número de anillos del mis-

mo espesor N que satisfaga la condición siguiente:

1 - N - 100

2 o). Determinar la temperatura de liberación de gases

para el grado de quemado que hayamos supuesto.

3°). Calcular la temperatura media de cada anillo.

4 o). Comparar la temperatura media de cada anillo con la

de liberación de gases.

- 24 -

TABLA NUM. 2

Vg

—

0 ,050

0,075

0 ,100

0,125

0 ,150

0 ,175

0 ,200

0 ,225

0,250

0,275

0 ,300

0,325

0 ,350

0,375

0 ,400

0,425

0,450

0 ,475

DY

17185,28

13024,94

11841,93

11221,04

10788,81

10449,24

10166 ,98

9925 ,07

9713 ,68

9526,40

9358 ,75

9207,36

9069 ,70

8943,74

8827,87

8720 ,78

8621,39

8528,79

- 25 -

5 o). Calcular V /V para aquellos anillos cuya temperatu-o

ra sea menor que la de liberación.

6 o). Sumar los hinchamientos parciales anteriores con el

fin de calcular el total (debido a los gases).

7 o). Calcular el hinchamiento debido a los productos soli-

dos para todo el volumen inicial de combustible.

8 o). Sumar los dos tipos de hinchamiento.

9 o). Multiplicarlos por la fracción de densidad teórica

correspondiente.

La figura 1 del APÉNDICE 2 muestra un esquema de la

pastilla con su perfil de temperaturas y el número de ani-

llos en que se divide.

2.7. Hinchamiento medio gaseoso de la pastilla.

El valor medio del hinchamiento total gaseoso de la

pastilla puede determinarse empleando la siguiente ecuación

(Ref. 1):

! A " V* V "i i1 = 1 ( 2 5 )

N£ V.

donde:

V 2

(r:—). es el hinchamiento medio gaseoso del anillo (i).

V. es el volumen inicial del anillo (i).i

- 26 -

Conocido este valor se calculará el debido a los

productos sólidos; se sumarán los dos y este resultado se

multiplicará por el factor de densidad real del combusti-

ble, con lo que se obtendrá el hinchamiento total real.

2*8* Distribución del hinchamiento en nuestro caso.

En general, el hinchamiento calculado se acomoda de

la siguiente forma (Ref. 1),

I o). En la porosidad disponible.

2 o). En cambios de dimensión axial.

3 o). En cambios de dimensión radial.

4 o). En hinchamiento sobrante.

El cálculo matemático puede realizarse como sigue:

I o). Si AV/V es el hinchamiento medio total real, la can-

tidad acomodada en la porosidad inicial de fabrica-

ción (AV/V) viene dada por

<26>

donde A es una constante que se determina experimen-

talmente resultando ser menor que la unidad.

a) Que (££} 5 P. - PV p i m

donde: P. es la porosidad inicial.

P es la fracción de porosidad mínima permisibleen el combustible.

Según esto, la porosidad residual P del combustible

sera:

P = P. - (—•) (27)r i V p

- 27 -

b) Que (~) > P. - PV p i m

En este caso la porosidad residual será P y comom

consecuencia la fracción de hinchamiento determina-

da no podrá acomodarse en la fracción de porosidad

disponible para este fin por lo que quedará una can-

tidad sobrante, siendo su valor:

r>P " (pi - V • &

Esta sobra (AV/V) se cargará al hinchamiento que

quedo sin acomodar y con la suma de las dos cantida-

des se pasa a la determinación del absorbido por cam-

bios de dimensión axial.

2 o). La cantidad de hinchamiento asignada al cambio de dimen-

sión axial viene dada por:

(29)

donde (AV/V) solo se añade cuando es positivo.

La constante B se determina experimentalmente y es me-

nor que la unidad.

Pueden presentarse dos casos:

N _ /AVN ^ ,AV.maxa) Que (—)a< (T-)a

donde:

.AV.max n >. . _ , , . ,

\rr~) es la máxima fracción de hinchamiento

que puede atribuirse a cambios de dimen-

sión axial. En el ejemplo de la (Ref. 1)

- 28 -

aparece:

= 2

Si esto se cumple, entonces la longitud fi-

nal de la barra combustible

con la siguiente expresión:

nal de la barra combustible L es calculada

Lf = L. (30)

Siendo L. la longitud inicial de la barra.

b) Quea

En este caso, la longitud final se determina con la

ecuación:

Lf = L. maxa

(31)

y como consecuencia habrá una fracción de hincha-

miento que no ha podido ser acomodada por este con-

cepto, siendo su valor:

,AV> ,AV.max(V~}a " ^V~}a

AV (32)

que como en el caso anterior se cargará al siguien-

te paso .

3°j, La fracción de hinchamiento asignada a los cambios

de radio viene dada por:

AI (33)

A yA y AVen la que («""")'.• : y (y~) o s°l° se añaden si son positivos

- 29 -

La cantidad de hinchamiento acomodada en cambio de

radio exterior de la barra combustible está dada

por:

donde C es una constante experimental.

La fracción máxima permisible que puede ser acomoda-

da en cambios de dimensión del radio exterior de la

pastilla viene dada por:

p

AV_ max ._V 2 , .~ }RE C ~ ) 1 ( 3 5 )

donde:

R es el radio inicial de la pastilla.

R es el radio exterior máximo permisible.

En nuestro caso, este último lo hemos hecho coinci-

dir con el radio interior de la vaina al principio

de la vida del reactor. Aunque en la realidad esto

no es cierto, ya que la vaina aumenta su radio por

efecto de la dilatación térmica y por efecto de la

presión de contacto, motivada esta última precisa-

mente por el fenómeno de hinchamiento.

Asimismo' hemos asignado a los cambios de dimensión

radial todo el hinchamiento que sobraba de los pasos

anteriores, ya que nuestra pastilla es maciza. Esto

significa que hemos supuesto C=l.

. ,AV. < ,AV.maxa) Que (—) R E - (~) R E

Entonces el radio exterior de la barra combusti-

ble viene dado por:

e— ) R E

- 30 -

, . ,AV, ^ ,AVNmaxb) Que (~) R E > (—) R E

y el radio exterior final se calculará con la ecuación

Rf = R ]¡ (^-)j£ + 1 (37)

En este caso habrá una fracción de hinchamiento sin

acomodar igual a:

W JRE W }RE W J3 ^38J

£sta fracción (AV/V) se considera como hinchamiento

sobrante, si la pastilla es maciza. En caso de que la

pastilla' sea perforada se carga al paso siguiente,

aumento de radio interior.

Como nuestra pretensión es la de crear un programa,

a modo de ejemplo hemos tomado (AV/V) igual al vo-

lumen del huelgo entre pastilla y vaina en condiciones

ambiente, 1 atm. de presión y 20 °C de temperatura.

En realidad esta cantidad deberíamos determinarla

considerando dilataciones térmicas y deformación má-

xima que puede tener la vaina por efecto de la pre-

sión de contacto, calculada de acuerdo con algún cri-

terio de seguridad establecido por medio de la Resis-

tencia de Materiales.

Como ejemplo, en la (Ref. 1) se ven los siguientes

valores de A, B y C:

A = 0.5

B = 0.5

C = 0.5

aunque como ya hemos dicho hay que determinarlos ex-

perimentalmente.

- 31 -

2.9. Ejemplo de aplicación.

Con el fin de aclarar la anterior secuencia de cálculos

damos el siguiente ejemplo (Ref. 1):

Hinchamiento total . 30 %

Porosidad inicial 10 %

Densidad teórica 90 %

Porosidad mínima permisible 5 %

Cambio de longitud máxima permi-sible 2 %

Radio inicial de la zona 1 delcombust ib le . 0.30 inch .

Radio exterior máximo permisible

de la zona 1 0.31 inch.

Radio interior inicial zona 1 ... 0.10 inch.

Radio interior mínimo permisiblezona 1 0.0 inch.

A = 0 .5

B = 0 . 5

C = 0 .5

En este caso el 15 por ciento, la mitad del hincha-

miento, es asignada a la acomodación por porosidad.

Sin embargo solo el 5 por ciento de la porosidad es

útil para absorber hinchamiento. Como consecuencia nos que-

dará un 25 por ciento sin acomodar.

El valor de B nos indica que la mitad del hinchamien-

to sobrante (12,5 %) será acomodado por un cambio de longi-

tud de la barra. Sin embargo el hinchamiento axial máximo

es del 2 por ciento, cantidad máxima acomodada por cambio

de longitud axial. Por ello nos queda un remanente del 23

por ciento.

- 32 -

El valor de C indica que la mitad del hinchamiento

sobrante (11,5 %) es aplicado en el crecimiento del radio

exterior pero la fracción de hinchamiento máxima permisi-

ble en este caso es de 7,62 por ciento. Con lo cual aún

nos queda un 15,38 por ciento sin acomodar. El cambio de

radio interior puede acomodar un 12,5 por ciento. Por lo

que al final nos queda un exceso de 2,88 por ciento que

no puede ser acomodado.

Al final, las cosas quedan así:

Porosidad final 5 %

Crecimiento longitudinal 2 %

Radio final exterior de la zona 1 0.31 inch.

Radio final interior de la zona 1 0 inch.

Hinchamiento sobrante 2.88 %

Si el hinchamiento total fuera del 3 por ciento

en lugar del 30 por ciento, en el ejemplo anterior los

resultados finales serían:

Porosidad final 8.5 %

Crecimiento longitudinal 0.75 %

Radio final exterior de la zona 1 0.3005 inch.

Radio interior de la zona 1 0.0985 inch.

Exceso de hinchamiento 0 %

- 33 -

APÉNDICE 1

VALORES UTILIZADOS EN LOS CÁLCULOS

~ H.09 x 10 2 3 cm3

F = 1.8 x 10 1 3 fis/cm3-sg

A £-

K = 1.38 x 10 erg/°K

V = 3.22 x 10 1 2 sec"1

d

f = l.o

Z = 4

Q = 91,000.0 cal/mol.gs

a' = 3.87 x 10~8 cm

= 500 dinas/cm

12 4- 2a = 4-.175 x 10 cm -dina/(mol g) (para Xenón)

3b = 51.3 cm /mol g. (Para Xenón)

R = 1.986 cal/mol.g °K

R = 8.31 x 10 ergios/mol.g °K

- 34- -

BIBLIOGRAFÍA

1. WAPD-TM-618.I. GOLDBERG. FIGRO-FORTRAN-IV digital

computer program for the analysis of fuel swelling

and calculation of temperatura in bulk-oxide cylin-

drical fuel elements. (December 1966).

2. WAPD-TM-583. E.DUNCOMBE. Comparisons with experiment

of calculated dimensional changes and failure analy-

sis of irradiated bulk oxide fuel test rods using

the CYGRO-1 computer program. (September 1966).

3. R.F. HILBERT etc. Mechanismes of swelling and gas

reléase in uranium dioxide. J.Nuc.Mat. 38(1971),

pag. 26.

4. R. LUQUI JIMÉNEZ. Deformaciones en las barras com-

bustibles. Grupo termohidráulico de la J.E.N.

(Diciembre de 1.974).

- 35 -

APÉNDICE - 2

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

- 36 -

0

Ri

R97

I ZONA DE HINCHAMIENTO

R

F1G-1

TTETT

HÍPTr

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ÍHÍ;

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- 39 -

APÉNDICE

ÍNDICE DE SÍMBOLOS

SÍMBOLOFORTRAN

Bl

B2

E3

A

B

FV

KAS

F

PI.

PM

R

D

HAM

RV

H

PH

HS

V

SÍMBOLOIDENTI-FICACIÓN

BlB2B3

A

B

Fv

F

P .X

Pm

R

K

. AV,maxWRVL .X

Ph

Vs

V

SIGNIFICADO

Constantes de la temperaturade liberación de gases.

Constantes del reparto de hin-chamiento .

r.. , 3

fxs/cm -sg

Número del caso

Grado de quemado en unidadesde lo 2 0 fís/cm3.

Porosidad inicial.

Porosidad mínima permisible.

Radio inicial de la pastilla.

Factor de densidad teórica.

Hinchamiento axial máximo.

Radio inicial de la vaina.

Longitud inicial de la barracombustible.

Presión sobre la superficiedel combustible.

Un valor del perfil de tempera-turas .

Hinchamiento por productos soli-dos de fis ion .

Espesor de un anillo

/

- 4-0 -

SÍMBOLOFORTRAN

NM

TLG

un Tnoj.

TM(I)

V(I)

Cl

C2

Hl

H2

C3

C4

C5

C6

C7

C8

C9

H3

H4

D1U 4.

D2

D3

HG(I)

SY


N

T.Ig

V.i

ClC2

CV 'i

Y

SIGNIFICADO

Número de anillos.

Temperatura de liberación degases.

Valor inicial del hinchamien-to para comenzar el procesoiterativo.

Temperatura media de un ani-llo

Volumen de un anillo-

Constantes de la ecuación dehinchamiento gaseoso.

Partes de la fórmula dehinchamiento gaseoso.

Partes de la derivada de laecuación del hinchamiento ga-seos o.

Hinchamiento gaseoso de unanillo.

Volumen de la barra combus-tible.

. / . . .

SÍMBOLOFORTRAN

E

HMG

HMT

HMTR

upn L

DIF

HA

HAM

HR

HMR

DIF2

DIF3 == HSOB

RP


N V

.^/Vî

V m

Vg V *(•.) +

V m V

AV_V

AV

(vî

V~~ a

,AV,max

* • " R E

.AV.max

AVV 2

AV(—)3

Rf

SIGNIFICADO

Suma de los productos indicados

Hinchamiento medio gaseoso.

Hinchamiento medio total.

Hinchamiento medio total real .

Hinchamiento asignado a la po-rosidad .

Hinchamiento sobrante del deporosidad.

Hinchamientc axial.

Hinchamiento axial máximo.

Hinchamiento radio exterior.

Hinchamiento máximo radial.

Hinchamiento axial sobrante.

Hinchamiento sobrante, no aco-modado en ningún sitio.

Radio final de la pastilla

DA'TOS DE ENTRADA DEL PROGRAMA HINCHA

COLUMNA

1 - 5

1 - 4

5 - 6

6 - 8

9 - 1 3

14 - 15

16 - 18

19 - 23

24 - 30

31 - 43

1 - 6

7 - 1 2

SÍMBOLOFORTRAN

KAS

F

PI

PM

R

D

HAM

RV

H

PH

T(l)

T(2)

SIGNIFICADO

Número del caso

Grado de quemado expresado en unidades de10 2 0 fis/cc

Porosidad inicial (T.p.l)

Porosidad mínima permisible (T.p.l)

Radio inicial de la pastilla.

Factor de densidad teórica (T.p.l)

Hinchamiento axial máximo (T.p.l)

Radio inicial de la vaina.

Longitud inicial de la barra combustible.

Presión sobre la superficie del combustible.

Temperatura del centro de la pastilla.

Siguiente valor del perfil de temperaturas.

Se admiten 13 valores como máximo

UNIDADES

-

fis/cc.

cm .

cm .

cm .

din/cm .

°C

°C

-p

<LJo

Ocelü

LüO

ZD

—>

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- J .

XoÜJu_

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V

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(

BlB2B3A ,BFV

START

= 2930.= 22.66= .3266= 0.5

= 1.8E1

)

77

3

Comienza el programa

Definición de constantes

c KASKAS = 0

F, PI, PM, R, D,HAM5 RV, H5 PH

cTLG

Lectura del caso

Lectura de las varia-bles señaladas.

Lectura del perfil detemperaturas.

Cálculo de la tempera-tura de liberación.

Valor inicial deiteración.Cálculo de las tempera-turas medias de cadaanillo.

Compara temperaturamedia y de liberación

Constantes de la ecua-ción de hinchamiento.

- 1+5 -

Cl = 20.7438

C2 = 5091.19

Hl 16666

Y

[ HG(I)=HGI

HGCI)=O.O

_ J

E = 0 .0

SV = 0.0

1=1, 10

1E=E+V(I)*HG(I)

VV(I)=V(I)*HG(I)

¡y = sv + V(I) ]

I

Constantes de la ecua-ción de hinchamiento

Calcula el valor indi-cado .

Calcula el valor indi-cado .

Calcula un nuev.o valordel hinchamiento paraseguir iterando.

Almacena este valor enél vector HG(I).

Valor del hinchamientoTM(I) > TLG

Suma de los productos delvolumen de cada anillo porsu hinchamiento.

V Almacena los productos an-teriores en el vector VV(I)

Calcula el volumen de labarra combustible.

KASD,H,HA,T ( IHG(

HMG,HP,HSOB

, F,HAM,HMG,HR,) , TMI)

HMTHA,, RP

PI,HS,HMT ,HMR,(I),

, HMTRHR,

PM, R,X, TLGHMTR,HSOB,V( I) ,

RV,

, sv,HP,RP,VV(I)

( STOP )

(" END

Calcula los pará-metros señalados,

Escribe los valoresdel recuadro .

25*26*27*

2 9 *

3 0 *

PROGRAMA HINCHA

* DIMENSIÓN T(N)»TW(MM)»V(NM),riG(NM)rVv/(NM)3 # UATA tix,Ü2,Kó,h,B /2930.»2?.6ó7».32667»24* DATA Fv/l.tíFi3/e* 999 REAP<5P70Ü?FIM0=90Ü)KAS£ * RF.AO(5r lüO) F»P I»PM»R 'Ü7 * H E A n ( 5 r 2 d O ) ( T ( I > r I = l » N )

11* üO 1 1=1»NMHGlrO.uÜl

iK(TMd) • L TIF{TM(I).LU.113F..)00TÜ 2

19* OCIO 320* 2 Cl-20.7'+vid21* 02=5091.19¿2* 3 Hl=FV**.i6b'Só

C e P lC7=1,0¿6*F**2.*HGI**(-2.)

1F(ABS(Y).LE.0.2)üüT0 99H3=-.3333*FV**.16666

ül = Cl*n3/H'+

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1U8*1Ü9*110*111*

•37HHINCHAMIFNT0 MEDIO DEBIDO A LOS GASEStBX?5H= HMG,4X0«=•0F6,

113*

J15*116*117*lie*119*120*121*122*123*124*125*126*127*12a*129*150*131*lá?*133*

MEDIO T0TAL»21X»bH= HMT04X,«=' PF6 e4/MEDIO TOTAL REALe16*06H= HMTR»3X»»=«»F6.4/

540X038iiHXNCHAMIENTu ACOMODADO EN LA POROSIUAD»7X»4H= HP»5X0»=«0F6.

= HAC5Xt5=640X#18|iHlNCHAMIF.NTu AXIAL7H0X»19HHINCHAMIFNTü RADIA840X?26|-|H1NCHA[S'ÍIFMTO MÁXIMO RaP l AL 0 i g x t 5H= hMR 04X 0 • = » »F6,9 4 Ü X » 2 1 Í , H 1 | S I C H A M I F M T S ; SOBRANTE? 24X 0 6H= HSOB03X0 « = » ? F 6 . 4 /A4OX0 26hRAUlO FINAL UE LA PASI ILLA 0lgXt4H= KP0 5X»' =

310 FORMAT(40X0«PERFIL DE TEMPERATURAS EN G.CENTIG320 F0RW"AT(4üX» " T E M P E R A T U K A MEDIA DF. CADA ANILLO F"N GRoKEl.. .

] D •//)33u FORVAT14UX0 » VOLUMEN DE CADA ANILLO EN CC . 9 0 16X 0 • = V(D»34u FOHMAT(4üX0'INCREMtwTO DE VOi-UwF.N POR CADA ANILLO EN CC

1(1) •//)350 F0RÍ"AT(4ÜXP 'HINCHAMIENTO GASEOSO DE CADA ANILLO • 110X »•= HG(I4Ou F0HMATilbXrllíF7.2»3X)///)410 FORMAT(l5X»10(F7.2r3X)///)5OU F-'CR'ÍAT 115X # 1 Ü (F7.4 » 3X ) / / / >

5bü F0RMATil5X#JuíF7.5»3X)///)6U0 FOkMAT (ll5Xt 1 ü(F 7.5^3X3 )70u FORÂTtíb)9»'ü STOP

END

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J.E.N. 308 J. E.N. 308

Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid"HINCHA - P r o g r a m a en- F o r t r a n IV p a r a d e t e r -

minar hinchamientos de barras combustibles cilin-dricas de UO2 sometidas a un flujo de irradiaciónneutronica en reactores nucleares"LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp. 1 f i g s .

En este trabajo hemos analizado los parámetros y correlaciones más importan-

tes que influyen y resuelven el problema de hinchamiento en combustibles

nucleares.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- B-2S; Nuclear Fuels; Swelling; Fuel Rods;

Digital Computers; F Codes; Correlations; Gylindrical Configuration.

Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid

"HINCHA - Programa en Fortran IV para deter-minar hinchamientos de barras combustibles cilin-dricas de UO2 sometidas a un flujo de irradiaciónneutronica en reactores nucleares"LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp . 1 f i g s .

En este trabajo.hamos analizado los parámetros y correlaciones más importan-

tes que influyen y resuelven el problema de hinchamiento en combustibles

nucleares.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- B-Zb; Nuclear Fuels; Sv/elling; Fuel Rods;

Digital Computers; F Codes; Correlations; Cylindrical Configuration.

J.E.N. 308


"HINCHA - Programa en- Fortran IV para deter-minar hinchamientos de barras combustibles cilin-dricas de UO2 sometidas a un flujo de irradiaciónneutronica en reactores nucleares"LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp. 1 figs.

En este trabajo hemos analizado los parámetros y correlaciones más importan-tes que influyen y resuelven el problema de hinchamiento en combustiblesnucleares.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- B-25; Nuclear Fuels; Swelling; Fuel Rods;Digital Computers; F Codes; Correlations; Cylindrical Configuration»

J . E . N . 308

J-inta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid

"HINCHA - Programa en Fortran IV para deter-minar hinchamientos de barras combustibles cilin-dricas de UO2 sometidas a un flujo de irradiaciónneutronica en reactores nucleares"LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp. 1 f i g s .

En este trabajo hemos analizado los parámetros y correlaciones más importan-tes que influyen y resuelven el problema de hinchamiento en combustiblesnucleares

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- B-25; Nuclear Fuels; Swelling; Fuel •Rods;

Digital Computers; F Codes; Correlations; Cylindrical Configuration.

J.E.N. 308 J.E.N. 308


"HINCHA - F o r t r a n IV digi ta l compute r p r o g r a mfor the calcula t ion oí fuel swell ing in UO2 ey l indr i ca lfuel r o d s exposed to a neut rón flux in nuc l ea rreactors".LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp. 1 f igs .

In th is work we have analysed the most important parameters in fuel swelling

and the necessary correlations to sol ve th is problenu

¡NiS CLASSSFÍCA::ON AND DÍ.SCR.PÍORS,-- I K b ; N i e l a r h:.\¿: &:-': ¡ing: Frí¡ RJOS;

Digital Ccinfuícrs; F : / ; i ; ;s ; ' ^ n v ' a t i o r s ; Cviino>'i"íl Co i ru j r& 'áa i .


"HINCHA - Fortran IV digital computer programfor the calculation of fuel swelling in UO2 eylindricalfuel rods exposed to a neutrón flux in nuclearreactors",LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp, 1 f i g s .

In t h i s work we have analysed the most important parameters in fue l swel l ingand the necessary cor re la t ions to solve t h i s problem.¡N'S C!ASSIFiCAV.nN AND ESCRiPVGRS,- 'ú-2i<; N i c ' - a r Fusls; SweVHng; Fuel Rods;D-iui'Líi; 0 : r . v •.:••;•••; F CGGÍS; ^^rr-?"a'ci«"i s ; Cv! i D i n cal Conf igurat ions.

J.E.N. 308

Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid."HINCHA - F o r t r a n IV digi ta l eompute r p r o g r a m

for the calcula t ion of fuel swell ing in UO2 ey l ind r i ca lfuel r o d s exposed to a neut rón flux in nuc lea rreactors".LUQUI JIMÉNEZ, R. (1975) 50 pp. 1 f igs .

In th is work we have analysed the most important parameters in fuel swelling

and the necessary correlations to solve th is problem.

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Digital Comrutsrs; í- ¡.•ud;:;; Correlations; Cylindrical Configuration.

J.E.N. 308

Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo-de Reactores, Madrid

"HINCHA - F o r t r a n IV digi ta l eompu te r p r o g r a m

for the calcula t ion of fuel swelling in UO2 ey l ind r i ca l

fuel r o d s exposed to a neutrón flux in nuc lea rreactors".LUQUI JIMÉNEZ; R, (1975) 50 pp, 1 f igs .

In this work we have analysed the most important parameters in fuel swelling

and the necessary correlations to solve th is problem.

INIS CLASSIFICATIÓN AND DESCRIPTORS-- B-2b; Nuclear Fue'ls; Swslling; FuH Rods;

Digital Computers; F Codes; Corrslati'ons; Cyl indrical Config.,raiion.

• a a ^ s

Sp ISSN 0081-3397

porF. González Oliveros

JUNTA DE ENERGÍA NUCLEAR

Toda correspondencia en relación con este trabajodebe dirigirse al Servicio de Documentación Biblioteca yPublicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciudad Universitaria, Madrid-3, ESPAÑA.

Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse aeste mismo Servicio

Los descriptores se han seleccionado del Thesaurodel INIS para describir las materias que contiene este informe con vistas a su recuperación. Para mas detalles cónsultese el informe IAEA-INIS-12 (INIS: Manual de Indización) yIAEA-INIS-13 (INIS: Thesauro) publicado por el OrganismoInternacional de Energía Atómica.

Se autoriza la reproducción de los resúmenes ana-líticos que aparecen en esta publicación.

Este trabajo se ha recibido para su impresión enJunio de 1. 975

Depósito legal n9 M-35427-1975 I.S.B.N. 84-500-7179-8

- 1 _

Í N D I C E

Página

1. INTRODUCCIÓN

2. MODELO TEÓRICO 5

2.1. Coeficiente de transmisión a travésde los puntos de contacto 5

2.2. Coeficiente de transmisión a travésde la mezcla gaseosa existente enel huelgo 10

2.3. Coeficiente de transmisión por ra-diación 15

3. MODELO DE CALCULO 17

EJEMPLOS DE APLICACIÓN 25

5. REFERENCIAS 33

APÉNDICE A - CONDUCTIVIDAD DE LOS GASES DEFISIÓN 35

APÉNDICE B - DATOS DE ENTRADA Y LISTADO DELPROGRAMA EN FORTRAN IV 37

APÉNDICE C - LISTA DE VARIABLES "+3

- 3 -

1. INTRODUCCIÓN.

Es necesario, para el diseño de elementos combustibles,

conocer las temperaturas a las cuales van a estar sometidas

las barras de combustible y el refrigerante. El conocimiento

de estas temperaturas, permite diseñar correctamente los

elementos combustibles de tal forma que durante su estancia

en el núcleo del reactor no sean sobrepasados los límites

de diseño establecidos.

Uno de estos límites, establece la temperatura máxima

que se puede alcanzar en el combustible, generalmente la de

fusión del U0o; por lo tanto, es necesario conocer la dis-

tribución radial de temperaturas en él para todo régimen de

operación.

Para determinar esta distribución es necesario, calcu-

lar la temperatura en la superficie de la pastilla y esto

solo se puede llevar a cabo si se conoce la conductancia

en el huelgo.

Hay tres efectos que influyen sobre la conductancia:

la composición del gas del huelgo, la variación de dimensio-

nes del huelgo y la interacción combustible-vaina.

A medida que se va quemando el combustible en el reac-

tor, aparecen los gases de fisión constituidos principalmen-

te por los isótopos estables del Kr y Xe. Una cierta canti-

dad de estos gases producidos son retenidos en la estructura

cristalina, contorno de los granos o absorbidos por la porosi-

dad del UO ; no obstante, otra parte de ellos llegan a la

superficie del combustible y se liberan alojándose en el

huelgo.

Como consecuencia de la formación de una mezcla gaseo-

sa (gases de fisión con gas de llenado inicial) hay una dis-

minución de la conductividad en el huelgo y para tener en

cuenta este efecto, se considera el quemado y la tempera-

tura de la mezcla. También se produce un aumento de la

presión en el interior de la barra, donde influye decisi-

vamente el volumen del plenum considerado. Se considera

que la variación de dimensiones del huelgo es debida a

las dilataciones térmicas del combustible y de la vaina.

Cuando se llega al contacto entre la pastilla y la

vaina, la conductancia mejora debido a que la transmisión

del calor a través de los puntos de contacto es mejor que

en la mezcla gaseosa. El número de puntos de contacto, de-

pende de la presión entre pastilla y vaina así como del

acabado de las superficies y de la dureza de los materiales.

La influencia de la radiación en la conductancia se-

rá mayor cuanto más altas sean las temperaturas.

De todo lo expuesto anteriormente se deduce que, en

la elaboración de un modelo teórico que se pueda utilizar

en un programa, se debe considerar la transmisión de calor

a través de la mezcla gaseosa, por contacto entre puntos

sólidos y por radiación.

El programa HGAP emplea básicamente el modelo de

Ross - Stoute para calcular la conductancia en el huelgo.

La transmisión de calor a través de los puntos de contacto

se puede estudiar mediante las expresiones de Ross - Stoute

y la de Rapier - Jones - Mclntosh. Los resultados se pueden

representar gráficamente mediante el Trazador Calcomp.

El HGAP es uno de los resultados obtenidos de un estu-

dio previo realizado para dotar a la División de Teoría y

Cálculo de Reactores de un programa, el TEMP-1 que sustituya

al FIGRO no disponible en la actualidad. En un futuro próxi-

mo será incorporado a ese programa, con las mejoras que se

estimen convenientes9 en forma de subrutina.

2. MODELO TEÓRICO.

El modelo de Ross - Stoute (1) utilizado en el progra-

ma FIGRO (2) descompone la conductancia en el huelgo h en

tras sumandos;

h = h + h^ + hg s f r

donde:

h coeficiente de transmisión a través de los puntoss 2

de contacto (Btu/h-ft -°F).

h,- coeficiente de transmisión a través de la mezcla

gaseosa (Btu/h-ft2-°F).

h coeficiente de transmisión por radiación

(Btu/h-ft2-°F).

La convección existente no se considera por la peque-

ña dimensión del huelgo y el efecto de la radiación suele

ser pequeño en régimen de operación normal.

Al principio de vida, el término que influye más en

la conductancia es el h_ no existiendo el h hasta que sef s

produce el contacto entre pastilla y vaina al avanzar elquemado; entonces se produce un aumento de h y una dismi-

s

nución de h tanto más acusado cuanto mayor sea la presión

entre los sólidos. El término h será mayor cuanto más al-

tas sean las temperaturas.

2.1. Coeficiente de transmisión a través de los puntos de

contacto.

En el desarrollo del modelo de Cetinkale-Fishenden (3

se obtiene la siguiente expresión:

- 6 -

K,

are tg

K

(r /r) - 1

donde:

h coeficiente de transmisión total a través de lasT

superficies en contacto.

K conductividad térmica del fluido atrapado entre

los puntos sólidos en contacto.

ó distancia media aritmética entre las superficies

n número de puntos de contacto por unidad de área.

r radio real de contacto.

r radio aparente de contacto.

Tí constante pi.

2K ,K

s " K_t¡<media armónica de las conductividades

de los materiales en contacto.

Si suponemos que entre los puntos de contacto exis-

te el vacío, la expresión anterior nos queda "anulando K :

niTr K

are tg (r /r) - 1

donde h coeficiente de transmisión a través de los pun-

tos de contacto en vacío.

De este modelo se derivan los de Ross - Stoute y A.C

Rapier (4-) utilizando los resultados experimentales de

Bowden y Tabor (5) los cuales suponiendo que existe una de-

- 7 -

formación plástica entre las superficies en contacto, obtuvie-

ron la relación entre las áreas real y aparente:

A P 2 Pr - £_A "P ° 2 " Pa m r m

a

donde: P presión aparente y P presión real.

A continuación vamos a deducir las dos expresiones

partiendo de la fórmula de Cetinkale:

nTTr K n i r r KS " S~ = 2nrK por ser r >>r

TT s aare tg (r_/r)-l

a) Roas-Stoute considera que P = 0,6 H de acuerdo con losm

resultados experimentales de Holm (6) donde H es la du-

reza Meyer en unidades de presión del sólido más blando

en contacto:

2A 0,6.H.TT.r.n.A _

p = P _£. = . 2. = 0,6.H.TT.r .nmA A

a a

despejando r n y sustituyendo en la fórmula de Cetinkale

2 . P . K 1 , 0 6 P . K P .Ks s s

h s = 2 n r K s = 0 , 6 HiTr = HTT^ ~ H . r

1/2empleando la correlación empírica r = a .R~ proporcionada

por los trabajos de Ascoli y Germagnoli (7)

P .K

O

donde: a constante empírica determinada por el radio

medio de los puntos de contacto.

2 2R-, + R2 1/2

R = (_i _) media cuadrática de las rugo-2

sidades.

R.9 R. rugosidades medias.

b) A.C.Rapier considera que P = H de acuerdo con los re-

sultados experimentales de Bowden y Tabor:

P = P -£. = HiTr2nm Aa

despejando r y sustituyendo en la formula de Cetinkale

h =2nrK = 2n(-L_) 1 / 2 K = K ( ^ ~ ) 1 / 2 ( | ) U2~- K YZ(s s HTrn s s S j l ' + n H s H

suponiendo que Sñ -C l

, _ s r P vh s " C7 ( H )

donde C paso de irregularidades de la superficie

con mayor paso de irregularidades.

En la actualidad se considera el modelo de Mikic (8), (9)

como el más apropiado para las aplicaciones nucleares ya que

tiene en cuenta deformaciones elásticas y plásticas siendo P

quien define el paso de una a otra. Las expresiones de este

modelo son las siguientes:

- 9 -

1,45.K . I tans ,P>l/2 , _ . _(.—) para deformaciones elásticasn

aP 1 . 0(—) para deformaciones plásticasn

donde ¡tan 9¡ la media del valor absoluto de la pendiente

del perfil de rugosidades.

O = R1/2

La presión de transición entre la deformación elás-

tica y la plástica no está completamente definida. Para el

contacto entre metales, las medidas de Fenech y Rohsenow

(10) indican q.ue la transición se efectúa entre 100 y 200

psi; para el contacto entre metales y materiales cerámicos,

como ocurre entre vaina y combustible, la transición se

efectúa aproximadamente a 1000 psi.

A continuación presentamos un cuadro donde se pueden

ver las diferencias entre el modelo de Cetinkale-Fishenden

(y los modelos derivados de él) y el de Mikic»

Hipótesis para

Radio de contacto

Distribución decontactos.

Método de solu-ción para la dis-tribución de tem-peraturas .

Deformación decontacto.

Alturas de loscontactos

Mikic

Los contactos pue-den ser de variostamaños.

Distribuciónpseudo-uniforme.

Resuelve directa-mente la ecuaciónde La Place.

Elástica o plásti-ca dependiendo dela presión y mate-riales .

Distribución Gaus-siana o constante.

Cetinkale-Fishenden

Todos los contactosson de igual tamaño.

Distribución unifor-me .

Usa el método de re-laj amiento.

Plástica.

- 10 -

Resumiendo lo anteriormente expuesto sobre el coe-

ficiente de transmisión, los modelos se pueden sintetizar

de la forma siguiente (11):

h = F(P/H)s

n

P

Ross-Stoute

1. 0

Ks

a R 1 / 2a QR

Rapier

0. 5

Ks

Cl

0

1

.5

.0

1

Mikic

para

para

.45 Kc

Pf1000

P>1000

tan í3a

psi

psi

2,2. Coeficiente de transmisión a través de la mezcla

gaseosa existente en el huelgo.

La expresión de este término es la siguiente:

Kg

donde:

K conductividad térmica de la mezcla gaseosag (Btu/h-ft-°F)

C coeficiente adimensional relacionado con lapresión de contacto.

R ,R

g +g

rugosidades medias (ft) .

distancia de extrapolación de temperaturas dela mezcla gaseosa (ft).

t espesor del huelgo (ft).

- 11 -

El término C(R +R ) representa el huelgo efectivo

producido por la rugosidad, donde el coeficiente adimen-

sional C tiene en cuenta las imperfecciones de las super-

ficies y se puede estimar por:

C = 2,75 _ o ,000176.P

donde P presión de contacto (psi).

Si el huelgo es mayor de o,5 milésimas, se recomienda

un valor menor para C; por ejemplo, la unidad, ya que cuan-

do las superficies se separan, las imperfecciones tienen

poca importancia.

La distancia de extrapolación de temperaturas g.+g~

considera el imperfecto intercambio de energía entre las

moléculas del gas y las superficies sólidas. Este efecto

es más importante cuando el huelgo tiene una dimensión

parecida al recorrido libre medio de las moléculas.

La distancia de extrapolación de temperaturas se ob-

tiene para helio, argón y gases de fisión pero no para mez-

clas de estos gases, por eso se supone que es una función

lineal de la conductividad de la mezcla gaseosa:

. -K.fg 1

(gfg-gi)Kg + (Kfg.g. - K..gfg)

donde:

K conductividad de la mezcla gaseosa (Btu/h-ft-°F).g

K. conductividad de los gases de fisión (Btu/h-ft-°F).fg

K. conductividad del gas de llenado inicial (Btu/h-ft-°F)

g distancia de extrapolación de temperaturas corregida* para los gases de fisión (ft).

g. distancia de extrapolación de temperaturas corregida1 para el gas de llenado (ft).

- 12 -

La corrección por efecto de las temperaturas y por

la variación de presión se efectúa de la siguiente forma

donde:

g distancia de extrapolación de temperaturas de re-r ferencia a T = 68°F y P = 14,7 psi.

r rg = 24-4-,0 micropulgadas (helio)

g = 21,8 micropulgadas (gases de fisión)

g = 0,0 micropulgadas (vapor)

(12)

T temperatura media en el huelgo (°R).

y " 2N

(psi)

n_ _ Numero total de átomos de gasV Volumen del huelgo + Volumen del plenum

R = 0,0236 constante universal de los gases

(psi-ft /grmol-°R)

2 3N = 6,02.10 número de Avogadro (átomos/grmol).a

Para los gases de fisión:

n = a_ . f . B . Vfg c

donde:

o. átomos producidos por fisión.

f fracción de gases de fisión liberados en átomos (13)3

B grado de quemado (fisiones/era )3

V volumen del combustible (cm )c

- 13 -

El volumen del huelgo por unidad de longitud se calcu-

la por la fórmula:

Vg = TT(rLf+r3) |(r^-r3) + 1,2 (R1+R2

donde:

1,2 constante empírica.

r , r radios interior de la vaina y del combustiblerespectivamente (ft).

R ,R rugosidades medias (ft).

La conductividad de la mezcla gaseosa existente en

el huelgo es función de la concentración de gas de llenado-

y gases de fisión así como de la temperatura media del

huelgo.

Viene dada por la expresión:

log1Q K = ax + (b+cx)log10 T +d

donde:

T +T3 •+_ temperatura media en el huelgo (°K)2

T , T temperaturas en la superficie del combustible yen el interior de la vaina.

x ^tornos de gas de nad<y fracción molar d e l g a s d eátomos totales llenado. §

a,b,c,d constantes que dependen de la composición de lamezcla gaseosa.

Para helio como gas de llenado y gases de fisión con

un 15,3 % y 84,7 % de Kr y Xe respectivamente, estas cons-

tantes toman los valores siguientes:

- 14 -

2 ,636

0,856 para 0<x<x,

-0,265

-4,573

• 1,468

: 0 ,825 para x <x<l

—0,104

—4,308

siendo x = 0,248.

La fracción molar x en BOL es aproximadamente la

unidad y en EOL prácticamente cero.

La relación entre átomos de gas de llenado^ supo-

niendo que éste se ha efectuado en condiciones normales,

y los átomos de gases de fisión es:

huelgo

r combustibleZ =

fg

donde:

Ahuelgorazón de las secciones transversales

combustible del huelgo y el combustible.en frío.

4 3V = 2,25.10 volumen molar en condiciones normales (cm )

r razón del volumen del huelgo al volumen del huelgomás el del plenum en frío.

B, a y f se han definido anteriormente.

x = Z + 1

El huelgo t cuyas dimensiones varían debido a las di'

lataciones térmicas del combustible y de la vaina, está de

terminado por:

t = t . . . . + r , ( C , + C o Ti n i c i a l 4 1 2 c

- r (C +C I +C T?)3 4 5 f 6 r

- 15 -

donde:

t. . . huelgo inicial (ft).inicial

T temperatura media en la vaina (°C).

T temperatura media en la pastilla (°C).

C = 6 ,0.10~5

-6 Constantes para la vaina de2 ' Zircaloy (12)

C = 3,80.10~9

c^ = -i ,66.1o"14

Constantes para elC5 = 8,25.10" ble U02 (12)

C. = 2,21.10~9

r y r se han definido anteriormente.

2.3. Coeficiente de transmisión por radiación

Se tiene en cuenta mediante la expresión

donde:

F12 £3 A4 £^ 3 4

ya que F - 1 y A = A factor de intercambio global

F factor geométrico.

e y £ emisividades del combustible y de la vaina.

O = 0,173.10" constante de Stefan-Boltzman (Btu/h-ft~-°F)

T y T definidas anteriormente (°R).

- 17 -

3. MODELO DE CALCULO.

El programa está preparado para correr varios casos

a la vez y la representación gráfica en el Trazador Calcomp

da la variación de la conductancia con el quemado.

A grandes rasgos la secuencia de cálculo es la siguien-

te :

I o ) . Lectura de los datos de entrada.

2o) . Cálculo de Z y x.

3 o ) . Se da un valor a h = 1000 para comenzar el proceso

iterativo.

4 o ) . Cálculo de un perfil radial de temperaturas.

5 o ) . Cálculo de h , h y h .

6 o ) . Cálculo de una nueva h como suma de los tres términosg

anteriore s.

7 o ) . Se compara la nueva conductancia con la dada en 3o)

y pueden darse dos casos:

a) El valor absoluto de su diferencia es menor o igual

a 0,1, entonces se imprimen los valores de h s h ,

h y h .r s

b) El valor absoluto de su diferencia es mayor que 0,1,

entonces calcula el valor medio de estas dos conduc-

tancias y lo introduce en 3o) siguiendo el proceso

iterativo hasta que se alcanza la convergencia.

Las fórmulas empleadas en el cálculo de temperaturas

(°F) son:

6010 6

= T t

6 '" 900la vaina.

e . v f h

Temperatura exterior de

— -L '

q " . a aT. = T + -s—'-— ln — Temperatura interior de la vainaí.v e.v 2K bv

T q" . a Temperatura en la superficie de las.p i.v h .b pastilla.

„ _ q" . a Temperatura en el centro de la pas-c. p s.p UK tilla.

donde:

T temperatura de saturación del refrigerante a lapresión considerada.

T temperatura del refrigerante.

q" flujo calorífico en la superficie de la vaina(Btu/h-ft2).

P presión del refrigerante (psi).

2h coeficiente de película (Btu/h-ft -°F).

K conductividad de la vaina (Btu/h-ft-°F).v

K conductividad del combustible (Btu/h-ft-°F).c

2h conductancia en el huelgo (Btu/h-ft -°F).g

a diámetro exterior de la vaina (ft).

b diámetro interior de la vaina (ft).

Las fórmulas empleadas para calcular las conducti-

vidades (Btu/h-ft-°F) de los gases de fisión y del gas de

llenado a diferentes temperaturas son:

K = 241,9.10"7 . T°' 8 6

f g

para los gases de fisión donde T viene dada en °K,

(Apéndice A).

K . = 0 ,084-8 + 9 ,11 .10~ . T

para el helio dónde T viene dada en °F.

- 19 -

ORGANIGRAMA DEL PROGRAMA HGAP

c START Comienzo del programa

TRAZAD0R\CALCOMP /

Lectura delnúmero del CASO

S q(.i) , F C 5 P S 5 T S 5 -DCSDIV,DEV5AL,RC,RV,CV,CU,F,PHE,PRE,TW,HCQF,KOPT

Llamada alTrazador

c END Fin

Lectura delos datos deentrada

TR,PR,AGF,VM3R,AV,GGFRSGIRSA1,A2 ,B1,B2 ,01,02 ,DI ,D2 5CC1 ,CC2 ,CC3 5CF1 ,CF2 9CF3PI

Constantes delprograma

RA,VG,VC,VPL,RVO

= AVííRA/(VM"F"AGFíí7E2(0í<Q(I)Í!RVO)

X=Z/(1.+Z)

HGAP = 1000.Valor inicial de la conduc-tancia para empezar el pro-ceso iterativo.

NO

TEV1. LE. TEV2 ?—B

TSP=TIV+FC*DEV/(DIV*HGAP)

Selección dela formula pa-ra el cálculode la tempera-tura en la su-perficie de lavaina.

M = M+l Contador de iteraciones

TCP

TC , TF

TM = (TSP+TIV)/2

CI, CGF

- 21 -

A =

B =

C =

D =

S I

Al

B l

Cl

DI

Selección de lasconstantes segúnel valor de X.

CM=10.**(A*X + D)*TM* *(B + C* X)

EXTC,EXTV,VGV,P2,

GI,ATFT,P4-,GGF

G=((GGF-GI)*CM+(CGF*GI-CI*GGF))/(CGF-CI)

HGA2=( 8 .9795E-9)M(TSP + 4 59.)**4-(TIV+H59)**4)/(TSP-TIV)

- 22 -

C = 2.75-0.000176"PRE

Compara el nú-mero de laiteración.

THICK=(DIV-DC)/2.+DIV-EXTV/2.-DC*EXTC/2

THICK GT.0,000Q41

HGA(I)=HGA1+HGA2

HICK.LE.0.000041

Comparael valordel huelgo

Compara elvalor delhuelgo .

- 23 -

HGA1=CM/(C-(RC+RV)+G)

menor

igual o mayor

HGA3=KM*PRE/(AO*SQRT(SR)*H)

HGA3 = KM*SQRT(PRE/H)/L

HGA(I)=HGA1+HGA2+HGA3

SI

Q(I) ,CASO,FC,HGA(I) ,HGA1,HGA2 ,HGA3

HGAP=(HGA(I)+HGAP)/2

NO

<D

Opción paraseleccionarla fórmula aemplear paraHGA3

Compara .dosvalores deHGAP sucesivos

Escribe losvalores cal-culados

Calcula la media dedos valores sucesivosde HGAP

- 25 -

4. EJEMPLOS DE APLICACIÓN.

Cada problema consta de diecinueve casos con distintos

quemados cada uno y se dan los resultados en forma de tabla

y gráficamente mediante el Trazador Calcomp

Datos comunes a los tres problemas.

Quemado: 1000, 3000, 5000, 7000, 10000, 13000, 15000, 17000,

20000, 23000, 25000, 27000, 30000, 33000, 35000,

37000, 40000, 1+3000, 4-5000 Mwd/Tn.

Presión del refrigerante: 2250 psi

Temperatura de saturación: 653 °F

Diámetro de la pastilla de combustible: 0,0305 ft

Diámetro interior de la Ví.ina: 0,0311 ft

Diámetro exterior de la vaina: 0,0351 ft

Longitud activa: 7,97 ft

Rugosidad del combustible: 3,2.10~b ft

Rugosidad de la vaina: 1,6.10 ft

Conductividad de la vaina de Circaloy: 9 Btu/h-ft-°F

Conductividad del combustible U0 : 2 Btu/h-ft-°F

Presión de llenado inicial: 14,7 psi

Temperatura del refrigerante: 580 °F

Coeficiente de película: 4500 Btu/h-ft -°F

- 26 -

Primer problema

Flujo calorífico en el exterior de la vaina: 155400 Btu/h-ft"

Fracción de gases de fisión liberados: 0,01

Presión de contacto: 200 psi

CASO

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

QUEMADO

1000

3000

5000

7000

10000

13000

15000

17000

20000

23000

25000

27000

30000

33000

35000

37000

40000

43000

45000

HGA1

582,217

528 ,790

486,040

450 ,067

405,641

369,826

349 ,635

331,814

308,726

289,163

2 7 7,713

267,337

253,490

241,357

234,090

227,388

218,260

210,092

205,109

HGA2

69 ,995

72 ,081

74,056

75,980

78,770

81,427

83,126

84,762

87,098

89 ,295

90,684

92 ,015

93,907

95,670

96 ,789

97,861

99,384

100 ,812

101,715

HGA3

0. 0

0. 0

0 . 0

0 . 0

0 .0

0 . 0

0.0

0.0

0 . 0

0 . 0

0 .0

0 . 0

0 . 0

0 .0

0 .0

0 . 0

0 . 0

0 .0

0 .0

HGA(I)

652 ,212

600 ,871

560 ,096

526 ,048

484,411

451,254

432 ,760

416,576

395 ,825

378,458

368,397

359 , 353

347,397

337,027

330 ,879

325,248

317,643

310 ,903

306 ,824

- 27 -

CJ

CE

O

CE

rri

QCEz:LüZDa

OJ I

¿o

•So

¿a

Q0'0S9 00*009 00-099 00'029 00'

ldDS-d-yH/ni9

-r T8> 0

N300"00t 00-096 00-038

N H O n a N O

- 28 -

Segundo Problema

2Flujo calorífico: 502000 Btu/h-ft

Fracción de gases de fisión liberados: 0,1

Presión de contacto: 200, 600, 1200, 1600, 1800, 2000, 225Ü psi

Modelo de Ross-Stoute para la conductancia de contacto.

CASO

1

2

3

i+

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

QUEMADO

1000

3000

5000

7000

10000

13000

15000

17000

20000

23000

25000

27000

30000

33000

35000

37000

40000

43000

45000

HGA1

893 ,323

642,344

539,690

484,664

437,954

409,854

389,837

374,662

357 ,473

344,882

338,155

332,546

1025,652

1005,422

1009,546

1009,418

994,672

983,438

983,595

HGA2

128 ,302

151,981

166 ,638

176 ,237

185,549

191,367

196,443

200,210

204,590

207,963

209 ,798

211 ,407

117,822

114,607

109,211

106 ,309

105,423

104,477

102,987

HGA3

0 . 0

0 .0

0. 0

0 .0

0 . 0

0 .0

0 . 0

0 .0

0 . 0

0 . 0

0 .0

0 .0

44,417

133 ,250

266 ,500

355 ,333

399,750

444,166

499,687

HGA(I)

1021,625

794,325

706 ,328

660 ,901

623,503

601 ,621

586 ,280

574,872

562 ,064

552,845

547,952

543,953 •

1187,890

1253,279

1385 ,256

147.1,060

1499,845

1532,081

1586,270

- 29 -

CE

croi .

1,1,,,.

ce(yO

OCL_—zLLJZDC3

OO'OOZ 00-08t 00*091 QO'QM OO'QZl 00-001

i o i i j o s j y H / n i00*08N3

.SCM

« I

So

00'09 00'0* 00'03 00"0

- 30 -

Tercer Problema

2

Flujo calorífico: 502000 Btu/h-ft

Fracción de los gases de fisión liberados: 0,1

Presión de contacto: 200, 600, 1200, 1600, 1800,2000, 2250 psi

Modelo de Rapier-Jones-Mclntosh para la conductanciade contacto .

CASO

1

2

3

14

5

6

7

8

9

10

1 1

12

13

14

\ 1 5

16

17

18

19

QUEMADO

1000

3000

5000

7000

10000

13000

15000

17000

20000

23000

25000

27000

30000

33000

35000

37000

40000

43000

45000

HGA1

893 ,323

642,344

539 ,690

484 ,664

437 ,954

409,854

389,837

374,662

357,473

344 ,882

338,155

332,546

1010, 901

987,576

993 ,338

995 ,288

981 ,645

971,553

973,162

HGA2

128,302

151,981

166,638

176 ,237

185 ,549

191 ,767

196,443

200,210

204,590

207,963

209 ,798

211,407

111 ,412

106,982

102 ,660

100 ,751

100 ,268

99,764

98,909

i

HGA3

0 . 0

0.0

0 .0

0 . 0

0 .0

0 . 0

0 . 0

0 . 0

0 . 0

0 .0

0 .0

0 .0

205 ,268

355 ,534

502 ,801

580,584

615 , 803

649,113

688 ,488

HGA(I)

1021,625

794,325

706 ,328

660 ,901

623 ,503

601 ,621

586 ,280

574,872

562 ,064

552 ,845

547 ,952

543 ,953

1327,580

1450,092

1598 ,799

1676 ,623

1697,717

1720 ,430

1760 , 560

I o

«oO»-

i S.

03

O

C J o

GRflFICR

QUEIÍRD6-HGR

I

Cú

"0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00 140.00 180.00 180.00 200.00 220.00 240.00 260.00 280.00 300.00 320.00 340.00 360.00 380.00 400.00 420.00 440.00 460.00

QUEHRD0 EN MWD/TNW10KW-2

- 33 -

5. REFERENCIAS.

(1) A.M.ROSS y R.L.STOUTE.- Heat Transfer coefficient

between UO and Zircaloy 2; CRFD-1075(1962) .

(2) I.GOLDBERG.- FIGRO: Fortran IV digital computer program

for the analysis of fuel swelling and calculation of

temperatura in bulk-oxide cylindrical fuel eleients;

WAPD-TM-618 (1966).

(3) T.N.CETINKALE y M.FISHENDEN.- Thermal Conductance of

Metal Surfaces in Contacta International Conference of

Heat Transfer Institute of Mechanical Engineers, London

(1951).

C+) A.C.RAPIERj T.M. JONES y J.E.Mclntosh.- International

Journal Heat Mass Transfer, 6,397 (1963).

(5) F.P.BOWDEN y D.TABOR.- The Friction and Lubrication of

Solids, p.21, Clarendon Press, Oxford (1950).

(6) R.HOLM.- Electric Contact, p.398, Almquist and Wiksells

Stockholm (191+6) .

(7) A.ASCOLI y E.GERMAGNOLI.- On the Thermal Resistance

between Metal Surfaces in Contact, Energía Nuclear,

3,(2) 113-118 (1956).

(8) B.B.MIKIC y W.M.ROHSENOW.- Thermal Contact Resistance,

DSR 74- 5*42-4-1, Mechanical Engineering Department, Massa-

chusetts Institute of Technology (1966).

(9) M.G.COOPER, B.B.MIKIC y M.M.YOVANOVICH . - International

Journal Heat Mass Transfer, 12, 279 (1969).

- 34 -

(10) H.FENECH y W.M.ROHSENOW.- Prediction of Thermal

Conductance of Metallic Surfaces in Contact.

Trans. ASME, Paper 62-HT-32; J. Heat Transfer

(Marzo 1963).

(11) G.JACOBS y N.TODREAS.- Thermal Contact Conductance

in Reactor Fuel Elements. Nuclear Science and

Engineering: 50, 283-306 (1973).

(12) I.GOLDBERG.- A procedure for calculation of

steady-state temperature in Zircaloy-clad, bulk-

oxide fuel elements using the FIGRO computer program

(LWBR Development Program). WAPD-TM-757 (1969).

(13) J.P.HOFFMANN y D.H.COPLIN.- The reléase of fission

gases from uranium dioxide pellet fuel operated

at high temperaturas. GEAP 4596 (1964).

(14) H.von UBISCH, S.HALL y R.SRIVASTAV.- Thermal Con-

ductivities of mixtures of fission product gases

with helium and with argón. Second United States

International Conference on the Peaceful Uses of

Atomic Energy, Geneva 1958, Vol. 7, pp 697-700.

- 35 -

APÉNDICE A

CONDUCTIVIDAD DE LOS GASES DE FISIÓN.

La composición de los gases de fisión en todo momento

es de 15,3 por ciento de Kr y 84,7 por ciento de Xe. Existen

otros gases en esta composición, pero su porcentaje es muy

pequeño y no se considera a efectos de conductividad térmica.

La aportación del Kr y el Xe a la conductividad térmi-

ca de la lezcla, en cada momento será la misma y en relación

con sus respectivos porcentajes.

Para la determinación de la conductividad de la mezcla

gaseosa, nos basamos en los trabajos de H. von Ubisch, S. Hall

y R. Srivastav (14) suponiendo que la conductividad de los ga-

ses enrarecidos es proporcional a T donde T es la temperatu-

ra en °K y "s" una constante que varía entre 0,65 y 0,90,

Los resultados experimentales obtenidos con diferentes

mezclas de gases a dos temperaturas determinadas que son 29 °C

y 520 °C, dan para una mezcla de 15,3 por ciento de Kr y 84,7

por ciento de Xe un valor de "s" de 0,86 y unas conductivida--7 -7des a esas temperaturas de 147.10 y 336.10 cal/cm-seg-°C.

s

Luego partiendo de la hipótesis de que K_. = aT y co-

nociendo la conductividad a dos temperaturas, podemos calcu-

lar "a" y "s" sin más que tomar logaritmos decimales y formar

un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

T = 29 + 273 = 302 °K

T = 520 + 273 = 793 °K

- 36 -

K_ = aT1

r-,S

log K1 = log a + s.log

log Ko = log a + s.log T,

log K = log a + s.2,480006

log K2 = log a + s.2,899273

K1 = 147.10-7

K = 336.10

log K = -4,832683

log Ko = -4,473661

-4,832683 = log a t s.2,480006

-4,473661 = log a + s.2,899273

a = 1 ,081 .10 7 = 10~?

s = 0 ,856308 = 0 ,86

Como se puede ver, el valor de s calculado es muy

próximo al experimental y la expresión final de la conduc-

tividad térmica de los gases de fisión será:

K = 10 7 . T°' 8 6 cal/seg - cm - °C

y como 1 cal/seg - cm - °C = 241,9 Btu/h-ft-°F

fg= 241,9 . 10 7 . T°' 8 6 'Btu/h-ft-0?

-37 -

APÉNDICE B

DATOS DE ENTRADA Y LISTADO DEL PROGRAMA EN FORTRAN IV

Colum-nas

VariableFortran

Primera Tarjeta

1-2 CASO

i

Segunda Tarjeta

1-9

10-16

17-21

22-25

26-30

31-35

36-10

41-4-5

46-52

53-59

60-62

63-65

66-70

71-72

Q(DFC

PS

TS

DC

DIV

DEV

AL

RC

RV

cv

cu

F

KOPT

Forma-to

12

F9 . 0

F7 . 0

F5 .0

F4. 0

F5 .4

F5 .1+

F5.4

F5 . 2

E7 . 1

E7 .1

F3. 1

F3.1

F5.4

12

De finición

Número del caso

Quemado

Flujo calorífico

Presión del refrige-rante

Temperatura de satu-ración

Diámetro de la pasti-lla de U 0 2

Diámetro interior dela vaina

Diámetro exterior dela vaina

Longitud activa

Rugosidad del combus-tible

Rugosidad de la vaina

Conductividad de lavaina de Circaloy

Conductividad delcombustible UO

Fracción de los gasesde fisión liberados

Opción para la conductancia de contacto

1 Ross-Stoute

0 Rapier-Jones-Mclntosh

Unidades

-

Mwd/Tn

Btu/h-ft 2

ps i

°F

ft

ft

ft

ft

ft

fti

Btu/h-ft-°F

Btu/h-ft-°F

i

- 38 -

Colum-nas

Tercera

1-5

6-10

11-15

16-20

VariableFortran

Tarjeta

PHE

PRE

TW

HCOF

Forma-to

F5 . 1

F5 . 0

F5 .0

F5 . 0

Definición

Presión de llena-do inicial

Presión de contac-to

Temperatura delrefrigerante

Coeficiente depelícula

Unidades

p s i

psi

°F

Btu/h-Ft2-°F

1* C PROGRAMA PARA EL CALCULO CE LA CONDUCTANCIA EN EL HUELGOi.* uI.'íLMblCi. vi<21) »H¿A(21)Ó* íurtGER C A S OH* KEAL KK»L5* 50 KEAütbr40»EUD=9ü) CASüo * i. ~ í +17* K E M Ü ( b t b O ) b(I)»FCiPS» TS'UC » üIV tOEM>AL'RC >R V'CV »CU f F > FUEc PRF r TWrHC

tí* lüF»KüPTy* LATA TR r Pk » AGF rVM» P » AV »G¿FR »GIK» Alr A2 »B1»B2 r C1» C2 r DI»P2 »CC1fCQ2 »CC

10* 1 O » C F 1 » C F ¿ » C F 3 » P I / 6 C . > 14 . 7 , c . "5 t C .7911 f 0 * 0236 r 602E21.»18E -71 20?E-7r 2 .li* . ¿ O J D Í I .46<í»U.65cr0.^2b»~0«265'-0.1ü'+f-4.573»-í+.30e*óE-E»51UE-R»380E

13* K/\-( J I V / Ü C ) * * 2 - l .14* VÜ=(üiV+UC)*((üIV-DC)/¿.+1.2*(RC+RV))*Pl*AL/2.ib* v<C=Pl*DC**2*AL/if.ib* uPi_=0»0T'*VC17* HVÜ=Vb/(vb+\/PL)l'J* ¿=AV*t<A/(v,-i*F*A6F*7t££ü*Q( I)*RV0)J.9* A = ¿ / ( 1 . + 2 )

¿1*¿/¿* 1U I'^-ZÍ+I

TR-uo.

¿6* iF(TtVl.LT.TEV2) T£\Z¿7* lF(TEvl.GT.TEV2) lf.M-lii.M2¿d* T:,/--TLV+FC*DEV*AL06(DEV/0l\/)/(2.*CV)29* TSP=TIV+KC*DEV/(DIV*HGAP)

i5PC-C.55bü*(TSP-J2o)

34* TCPC=0.55bb*(TCP-52.)35* TC=(TlV+TtV)/2.36* ÍC=ü.b556*(TC-32.)37* lF=(TCP+TSP)/2.38* TF=Ü.b556*(TF-32.)39* TM=(T5P+TIV)/2.40* Cl = O.O8í*a+911E-7*TM41* TMC=ü.5556*(TM-32.>42* ¡M=THC+273.43* .CGr=2419fc>tí*TM**O.B644* iF(X.LT.Ü.24a) GO TO 245* A = H 246* b=ü¿47* L=C¿

49* oü T3 350* ¿ M=A151* D = iJl52* ú=Cl53* b=Ji ,54* 3 CM=iÜ.**ÍA*X+D)*T|v|+*(a+C*X) j.b5* t_<TC=üFl + CF2*TF+CF3*TF**2 o56* LXTV=CC1 + CC2*TC+CC,:Í*TC**2 ,57* VüV=(PI*AL*(DIV*EXTV+UIV)**2)/4,-(PI*AL*ÍDC*EXTC+DC)**2)/4.5d* TM=1.6*TM59* IK=oO-* P2=61* bI=GlK*PF<*TM/<P2*TR)o2* ATFT=MGF*7£20*ü(I)*\/C*F/(VG+VPL)63* P4=ATFT*H*TM/AV64* ÜGF=:>GFR*PK*TM/(P4'*TR)D 5 * O=((36F-GI)*C^+(CGF*GI-CI*66F))/(CGF-Cl06* A0=ü»0905t>7* ri--'J¿i.x5E366* • l\M-2.*Cl.i*C\//(CU+CV)o9* bR-SJKT((KC**2+RV**2)/2.)70* L=ü.00069

71* hGA£.= (6.97 95E:-9)*( (TSP+459. ) **4-<TíV+419. ) * *4 ) / (TSp-T IV)7¿* L=1_.7b-0.üüül7ü*PHL'ló* iF (M.LO. l ) GO TO 3374* iFClY' lCK.Lt.C.000041) 60 TO 775* ¿ó THicK=(DlV-(..'C)/¿.+ ::IV+LX FV/2 . -LC*E/ tC/¿ .7o* ÍFÍTH1CK »úi .0.U00Ü41) üO TO q

7 7* i r i iLK-O.ÜÁJ* 7 hóAl=CM/(C*(KC + RV)+5)'¡•J-* l F l K O P t - 1 ) b>hiót -ú* u nv3A3rKM=*pKfc./(Aü+Sul:<T(-iiO *H)

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APÉNDICE

LISTA DE VARIABLES

HGA(I), HGAP ... Conductancia en el huelgo.

Q(I) Quemado.

CASO Número del caso .

TR Temperatura de referencia.

PR Presión de referencia.

AGF Átomos de gas producidos por fisión .

VM Volumen molar.

R Constante universal de los gases.

AV Número de Avogadro.

GGFR Distancia de extrapolación de temperatu-ras de referencia para los gases de fisión

GIR Distancia de extrapolación de temperatu-ras de referencia para el helio.

FC Flujo calorífico.

PS Presión del refrigerante .

TS Temperatura de saturación.

DC Diámetro de la pastilla de UO .

DIV Diámetro interior de la vaina.

DEV Diámetro exterior de la vaina.

AL Longitud activa.

RC Rugosidad del combustible.

RV Rugosidad de la vaina.

CV Conductividad de la vaina de Circaloy.

CU Conductividad del combustible UO .

F Fracción de los gases de fisión liberados.

KOPT Número entero opcional para la conductan-cia por contacto.

A2~' B2* C2* D2 ) C o n s t a n t e s P a r a l a mezcla gaseosa.

CC1, CC2, CC3 .. Constantes para el Circaloy.

CF1, CF2, CF3 .. Constantes para el U02.

PI Constante pi.

RA Razón de las secciones transversales

del huelgo y el combustible en frío.

VG Volumen del huelgo.

VC Volumen del combust ible.VPL Volumen del plenum.

RV'O Razón del volumen del huelgo al volumendel huelgo más el del plenum en frío.

Z Relación entre los átomos de gas de lle-nado y los átomos de gases de fisión.

x Fracción molar del gas de llenado inicial.

M Numero de iteración.

TEV1 Temperatura exterior de la vaina porJens-Lottes.

TEV2 Temperatura exterior de la vaina porNewton.

TEVC Temperatura exterior de la vaina.

TIV, TIVC Temperatura interior de la vaina.

TSP, TSPC Temperatura en la superficie de la pas-tilla.

TCP, TCPC Temperatura en el centro de la pastilla.

TC Temperatura media en la vaina.

TF Temperatura media en la pastilla.

TM, TMC Temperatura media en el huelgo.

CI Conductividad térmica del helio.

CGF Conductividad térmica de los gases defis ion.

CM Conductividad térmica de la mezcla ga-seosa.

VGV Variación por dilatación del volumendel huelgo.

P2 Presión corregida para el helio.

GI Distancia de extrapolación de tempera-turas corregida para el helio.

ATFT Número total de átomos de gas/Volumendel huelgo + Volumen del plenum.

P4- Presión corregida para los gases defisión .

_ 4-5 -

GGF Distancia de extrapolación de temperatu-ras corregida para los gases de fisión.

G Distancia de extrapolación de temperaturas

para la mezcla gaseosa.

THICK Espesor del huelgo.

C Constante adimensional relacionada con la

presión de contacto.

AO Constante empírica.

H Dureza Meyer.

KM Media armónica de las conductividades.

SR Media cuadrática de las rugosidades.

L Paso de irregularidades de la superficie .

HGA1 Coeficiente de transmisión a través de

la mezcla gaseosa.

HGA2 Coeficiente de transmisión por radiación.

HGA3 Coeficiente de transmisión a través de

los puntos de contacto.

EXTV Dilataciones de la vaina.

EXTC Dilataciones del combustible.

J.E.N. 309 J.E.N. 309

Jjnta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid*" P r o g r a m a I-IGAP en F o r t r a n IV, p a r a el cálculo

de la conductancia en el huelgo en t re pas t i l l a y v a i -na, en b a r r a s de combust ib le UO^ - C i rca loy" .GONZÁLEZ OLIVEROS, F. (1975) 45 pp. 3 f i g s . 14 r e f s .

Emplea básicamente el modelo Ross-Stouto para calcular la conductancia en el

huelgo. La transmisión de calor a través de los puntos de contacto se puede es-

tudiar mediante las expresiones de Ross-Stoute y la de Rapier-Jones-Mclniosh.

Los resultados se puede representar gráficamente mediante el Trazador Calcomp

de la J.E.N.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- E-23; F Codes;Fuel Rods; Fuel-Cladding

Interactions; A Hoy Nuclear Fuels; Heat Transfer.

Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid.' • 'Programa HGAP en F o r t r a n IV, p a r a el cálculo

de la conductancia en el huelgo ent re pas t i l l a y v a i -na, en b a r r a s de combust ib le UO2 - C i rca loy" .

GONZÁLEZ OLIVEROS, F . (1975) 45 pp. 3 f i g s . 14 r e f s .Emplea básicamente el modelo Ross-Stoute para calcular la conductancia en el

huelgo. La transmisión de calor a través de los puntos de contacto se puede es-

tudiar mediante las expresiones de Ross-Stoute y la de Rapier-Jones-McIritosh.

Los resultados se puede representar gráficamente mediante el Trazador Calcomp

de l a J . E J .

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- E-23; F Codes; Fue! Rods; Fuel-Cladding

Interactions; Alloy Nuclear Fuels; Heat Transfer.

J.E.N. 309 J.E.N. 309

Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid.

"Programa HGAP en Fortran IV, para el cálculode la conductancia en el huelgo entre pastilla y vai-na, en barras de combustible UO2 - Circaloy".GONZÁLEZ OLIVEROS, F. (1975) 45 pp. 3 f i g s . 14 r e f s .

Emplea básicamente el modelo Ross-Stoute para calcular la conductancia en elhuelgo. La transmisión de calor a través de los puntos de contacto se puede es-tudiar mediante las expresiones de Ross-Stoute y la de Rapier-Jones-Mclntosh.Los resultados se puede representar gráficamente mediante el Trazador Calcompde la J.E.N.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.-E-23; F Codes; Fu al Rods; Fuel-Cladding

Interactions; Alloy Nuclear Fuels; Haat Transfer.

Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Madrid.

"Programa I-IGAP en Fortran IV, para el cálculode la conductancia en el huelgo entre pastilla y vai-na, en barras de combustible UO2 - Circaloy".GONZÁLEZ OLIVEROS, F. (1975) 45 pp. 3 f i g s . 14 r e f s .

Emplea básicamente el modelo Ross-Stoute para calcular la conductancia en elhuelgo. La transmisión de calor a través de los puntos de contacto se puede es-tudiar mediante las expresiones de Ross-Stoute y la de Rapier-Jones-Mclntosh.Los resultados se puede representar gráficamente mediante el Trazador Calcompde la J.E.N.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES.- E-23; F Codss; Fuel Rods; Fuel-Cladding


J-E.N. 309 J.E.N. 309


"Program HGAPwritten in Fortran IV, for thecalculation of the conductance in the gap. betweenpellet and ciad, in UO2 - Zircaloy niel rods, "GONZÁLEZ OLIVEROS, F. (1975) 45 pp. 3 F i g s . 14 r e f s .

This code.uses the Ross-Stoute model for the calculation of the conductance

in the gap. The heat transfer across the clad-pellet contact points may be

studied by means of the expressions of Ross-Stoute and Rapier-vIones-McIntosh.

The results may be reprosented graphically by moans of the Calcomp Plotter of

J.E.N.iNIS*CLASiFICATION AND DESCRIPTORS,- E-23; F Codes; Fual Rods; Fuel-Cladding

interactions; Alloy Nuclear Fuels; Heat Transfer.

Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Hadrid.•"Program HGAP wr i t t en in F o r t r a n IV, for the

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This code uses the Ross-Stoute model for the calculation of the conductance

in the gap..' The heat transfer across the clad-pellet contact points may be

studied by raeans of the expressions of Ross-Stoute and Rapier-Jones-Hclntosh.

The results may be represented graphically by means of the Calcomp Plotter of

J.E.N.

INIS CLASIFICATION AND DESCRIPTORS.- E-23; F Codes; Fuel Rods; Fuel-Classing


J.E.N. 309 J...E.N. 309

Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Hadrid." P r o g r a m HGAP wri t ten . in F o r t r a n IV, for the

calculat ion of the conductance in the gap betweenpellet and ciad, in UO2 - Zi rca loy fuel r o d s . "GONZÁLEZ OLIVEROS, F. (1975) 45 pp. 3 f i g s . 14 r e f s .

This code uses the Ross-Stoute model for the calculation of the conductancein the gap . The heat transfer across the clad-pellet contact points may bestudied by means óf the expressions of Ross-Stoute and Rapier-Jones-Mclntosh.The results may be represented graphically by means of the Calcomp Plotter ofJ.E.N.

INIS CLASIFICATION AND DESCRIPTORES.- E-23; F Codes; Fuel Rods; Fuel-cladding


Junta de Energía Nuclear, División de Teoría y Cálculo de Reactores, Hadrid.

"Prograna HGAP written in Fortran IV, for thecalculation of the conductance in the gap betweenpellet and ciad, in UO2 - Zircaloy fuel rods. "GONZÁLEZ OLIVEROS, F. (1975) 45 pp.- 3 f i g s . 14 r e f s .

This code uses the Ross-Stoute model for the calculation of the conductancein the gap . The heat transfer across the clad-pellet contact points may bestudied by means óf the expressions of Ross-Stoute and Rapier-Jones-Hclntosh.The results may be represented graphically by means of the Calcomp Plotter ofJ.E.N.

.INIS CLASIFICATION AND DESCRIPTORES-- E-23; F. Codes; Fuel Rods; Fuel-cladding

Interactions; Al]oy Nuclear Fuels; Heat Transfer.

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Hincha. Programa en Fortran IV para Determinar ... · En el desarrollo de este modelo se admiten las si-guientes hipótesis: Io). Los átomos de gas producidos en la fisión se agrupan