ASSALAMU’ALAIKUM

5

4

3

2

1

1. Restianna Ambarwati

2. Nanda Widiyanto

3. Puspita pramudya W

4. Diah suryani

FKIP PGSDUNIVET

Oleh :

5. Ayu puspitawati

8

Definisi

• Himpunan (set) adalah konsep dasar dari semua cabang matematika

• (Gerorg Cantor ) sebagai bapak teori himpunan. Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas.

• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

9

KONSEP HIMPUNAN1. Himpunan Kosong

adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan { }.Contoh , A = himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua.

2. Himpunan berhingga dan tak berhingga

Suatu himpunan disebut berhingga bila banyaknya anggota menyatakan bilangan tertentu, atau dapat juga dikatakan suatu himpunan berhingga bila anggota-angota himpunan tersebut dihitung, maka proses perhitungannya dapar berakhir. Sebaliknya suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga bila banyaknya anggota himpunan tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan tertentu. Contoh :

Himpunan berhingga K = himpunan nama hari dalam seminggu

Himpunan tak berhingga R = himpunan bilangan asli

10

3. Himpunan didalam himpunan

Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis A С B jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x anggota B.

Contoh :

diketahui Himpunan A = { 1,2 3 4,5 }, Himpunan B = { 1, 2, 3}

Maka dapat ditulis B С A

4. Himpunan bagian sejati

A disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika A С B, B bukan anggota A.

11

5. Dua himpunan yang sama

Himpunan A dan Himpunan B disebut disebut dua himpunan yang sama , ditulis A= B jika hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggota- anggota B, artinya setiap anggota A ada di B, setiap anggota B ada di A.

6. Dua himpunan yang ekivalen

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, jika dan hanya jika:

• n(A)=n(B), untuk setiap A,B himpunan berhingga• A dan B berkorespondensi satu-satu, untuk A,B

himpunan tak berhingga.

12

7. Himpunan kuasa

Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari himpunan A.

NOTASI HIMPUNAN

• himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu.

13

14

Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.

Keterangan Notasi Contoh

Himpunan Huruf besar S

Elemen himpunan Huruf kecil(jika merupakan huruf)

a

Kelas

Huruf tulisan tangan

15

Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.

Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks

Notasi

16

simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan

atau Himpunan kosong

Operasi gabungan dua himpunan

Operasi irisan dua himpunan

, , , Subhimpunan, Subhimpunan Sejati, Superhimpunan, Superhimpunan Sejati

Komplemen

Himpunan Kuasa

Himpunan dapat didefinisikan menjadi 2 cara

1. Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).

17

2. Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.

18

19

Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection)

• Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

Contoh 14. (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A ∩ B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A ∩ B = ∅. Artinya: A // B

20

2. Gabungan (union) • Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Contoh 15. (i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A ∪ B =

{ 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A ∪ ∅ = A

21

3. Komplemen (complement) • Notasi : A = { x | x ∈ U, x ∉ A }

Contoh 16. Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, (i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8} (ii) jika A = { x | x/2 ∈ P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

22

Contoh 17. Misalkan: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” (E ∩ A) ∪ (E ∩ B) atau E ∩ (A ∪ B)

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990

yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” A ∩ C ∩ D (iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” BDC ∩∩

23

4. Selisih (difference) • Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B

Contoh 18. (i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B

= { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = ∅ (ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

24

SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN

• Sifat komutatifA ∩ B = B ∩ A dan A U B = B U A

• Sifat asosiatifA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C dan A U (B U C) = (A U B) U C

• Sifat distributifA ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) dan A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

• Hukum De Morgan(A ∩ B)C = S AC ∩ BC dan (A U B)C = AC U BC

• Hukum IdentitasA U A = A, A ∩ A = A, A U Ø = A , A ∩ Ø = Ø dan A U AC =S dan S ∩ AC = ØS U A = S, S ∩ A = A, dan (Ø)C = S , (S)C = Ø, dan (AC)C = A

• Sifat dasar himpunann(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n (A U B) jika A ∩ B ≠ Øn(A U B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B) jika A U B ≠ Øn (A – B) = n(A) – n(A ∩ B)

• Sifat Absorpsi

A ∩ (A U B) = A, A U (A ∩ B) • Sifat Idempoten

A ∩ A = A, A U A = A

25

TEOREMA DALAM OPERASI HIMPUNAN

• TEOREMA I :Misalkan A subhimpunan B. Maka perpotongan A dan B adalah A, jadi, bila maka

• TEOREMA II : Misalkan A subhimpunan B. Maka perpaduan A dan B adalah B, jadi, bila maka

• TEOREMA III : Misalkan A sebuah subhimpunan B. Maka adalah subhimpunan , yaitu jika maka .

• TEOREMA IV : Misalkan A sebuah subhimpunan dari B. Maka perpaduan A dan (BA) adalah B, yaitu, bila maka

26