Hidrologia Ciencia Exactas

8/6/2019 Hidrologia Ciencia Exactas

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Estadística Hidrológica

Cátedra de Hidrología y Procesos Hidráulicos

Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y aturales. UC

Ing. Civil Facundo Ganancias Martínez - 2 -

ÍNDICE

I - INTRODUCCIÓN...................................................................................................................................- 3 - II - NIVEL DE SIGNIFICANCIA ................................................................................................................ - 3 -

III - PRUEBAS DE INDEPENDENCIA....................................................................................................... - 6 - III.1 - Prueba de Independencia: Anderson....................................................................................... - 6 - III.2 - Prueba de Independencia: Corridas de Wald-Wolfowitz ......................................................... - 7 -

Introducción.................................................................................................................................................- 7 - Desarrollo .................................................................................................................................................... - 7 - IV - PRUEBAS DE HOMOGENEIDAD...................................................................................................... - 9 -

IV.1 - Prueba de Homogeneidad: Helmert ........................................................................................ - 9 - IV.2 - Prueba estadística de t de Student................................................................................. .......... - 9 - IV.3 - Prueba estadística de Cramer................................................................................................ - 10 -

V - TÉCNICAS DE ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS ........................................................................... - 11 - V.1 - Tipos de Modelos Teóricos .................................................................................................. - 11 - V.2 - Método de los Momentos..................................................................................................... - 12 - V.3 - Método de Máxima Verosimilitud........................................................................................ - 14 -

V.4 - Método de Momentos de Probabilidad Pesada...................................................................... - 15 - V.5 - Método de Mínimos Cuadrados............................................................................................ - 16 - V.6 - Método de Momentos L....................................................................................................... - 17 - V.7 - Método de Momentos de Probabilidad Pesada...................................................................... - 18 -

VI - ANÁLISIS DE FRECUENCIA DE VALORES EXTREMOS..............................................................- 19 - VI.1 - Distribución Normal............................................................................................................- 20 - VI.2 - Distribución Gumbel............................................................................................................ - 22 - VI.3 - Distribución General de Valores Extremos (GVE)................................................................ - 24 - VI.4 - Distribución Log Pearson Tipo III................................................................................ ........ - 27 -

VII - MÉTODOS DE SELECCIÓN DE DISTRIBUCIONES...................................................................... - 29 - VII.1 - Introducción....................................................................................................................- 29 - VII.2 - Técnica Chi – Cuadrado .................................................................................................. - 29 - VII.3 - Técnica Kolmogorov - Smirnov....................................................................................... - 30 -

VII.4 - Técnica de Papeles Probabilísticos................................................................................... - 30 - VII.5 - Técnica del Error Estándar de Ajuste ............................................................................... - 31 - VIII - BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................................. - 31 -

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I - ITRODUCCIÓ

El estudio de frecuencia de caudales máximos es uno de los tópicos más estudiados de

la Hidrología, dada la necesidad de estimar la probabilidad de ocurrencia de crecidas para eldiseño de obras hidráulicas, protección de ciudades, etc.

El enfoque clásico del análisis de frecuencia se basa en el empleo de una serie de datosobservados de manera sistemática en una sección o punto de interés de un río o una cuenca.Para el adecuado empleo de dicha serie, es necesario verificar en primera instancia elcumplimiento de dos tipos de pruebas de hipótesis: Pruebas de Independencia y Pruebas deHomogeneidad.

Las pruebas de Independencia son utilizadas para demostrar que los valores queconforman la serie son aleatorios. Esta afirmación implica que la probabilidad de ocurrenciade uno cualquiera de ellos no depende de la ocurrencia del o de los valores precedentes, y noafecta de ninguna manera a la probabilidad de ocurrencia de las datos posteriores.

Por su parte las pruebas de Homogeneidad evalúan si todos los valores que conformanla muestra, provienen estadísticamente de una misma población. Para ello es necesario dividir la muestra en dos o más grupos de tamaños iguales (o diferentes), y se comparan losestadísticos de la muestra: media, mediana, varianza, entre otros.

La aceptación de las pruebas de independencia y homogeneidad de la muestra estarádada en función de un nivel de significancia propuesto, por lo general del 5 %.

II - IVEL DE SIGIFICACIA

En problemas estadísticos, al afirmar cierta hipótesis que se desea contrastar, la mismarecibe el nombre de hipótesis nula 0 H . El nombre de “nula” indica que 0 H representa lahipótesis que se mantiene como verdadera a menos que los datos indiquen su falsedad, y puede entenderse, por tanto, en el sentido de “neutra”.

La hipótesis 0 H nunca se considera probada, aunque puede ser rechazada por losdatos. Por ejemplo, la hipótesis de que dos poblaciones tienen la misma media puede ser rechazada fácilmente cuando ambas difieren considerablemente, analizando muestrassuficientemente grandes de ambas poblaciones, pero no puede ser “demostrada” mediantemuestreo, puesto que siempre cabe la posibilidad de que las medias difieran en una cantidad δlo suficientemente pequeña para que no pueda ser detectada, aunque la muestra sea muygrande.

A partir de una muestra de la población en estudio, se extrae un estadístico, esto es unvalor que es función de la muestra, cuya distribución de probabilidad esté relacionada con lahipótesis en estudio y sea conocida. Se toma entonces el conjunto de valores que es másimprobable bajo la hipótesis, como región de rechazo, esto es, el conjunto de valores para el








cual se considera que, si el valor del estadístico obtenido pertenece a él, se rechazará lahipótesis nula.

La probabilidad de que se obtenga un valor del estadístico que entre en la región derechazo aún siendo cierta la hipótesis puede calcularse. De esta manera, se puede escoger dicha región de tal forma que la probabilidad de cometer este error sea suficientemente pequeña.

Actualmente se considera siempre una hipótesis alternativa a la hipótesis nula. Demanera explícita o implícita, la hipótesis nula, a la que se denota habitualmente por 0 H , seenfrenta a otra hipótesis denominada hipótesis alternativa y que se denota 1 H . En los casos enlos que no se especifica 1 H de manera explícita, se puede considerar que la misma ha quedadodefinida implícitamente como “ 0 H es falsa”.

Si por ejemplo se desea comprobar la hipótesis de que dos distribuciones tienen lamisma media, se considera implícitamente como hipótesis alternativa “ambas poblacionestienen distinta media”. Es posible, sin embargo considerar casos en los que 1 H no es la simplenegación de 0 H .

Un test de hipótesis se entiende, en el enfoque moderno, como una función de lamuestra, corrientemente basada en un estadístico. Puede suponerse que se tiene una muestrade una población en estudio y que se han formulado hipótesis sobre un parámetro θ relacionado con la distribución estadística de la población. Supongamos que se dispone de unestadístico T(X) cuya distribución con respecto a θ , ( )T F

θ

se conoce. Supongamos, también,que las hipótesis nula y alternativa tienen la siguiente formulación:

Θ∈

Θ∈

11

00

::θ

θ

H

H

Un contraste, prueba o test para dichas hipótesis sería una función de la muestra de lasiguiente forma:

( )( )

( )

Ω∉

Ω∈=

X T SI

X T SI X

....0,0

....0,1φ

Donde ( ) 0,1= xφ significa que se debe rechazar la hipótesis nula, 0 H (aceptar 1 H ) y( ) 0,0= xφ , que debemos aceptar 0 H (o que no hay evidencia estadística contra 0 H ). A se

la denomina región de rechazo. En esencia, para construir el test deseado, basta con escoger elestadístico del contraste T(X) y la región de rechazo .

Se escoge de tal manera que la probabilidad de que T(X) caiga en su interior sea baja cuando se da 0 H .








Una vez realizado el contraste de hipótesis, se habrá optado por una de las doshipótesis, 0 H o 1 H , y la decisión escogida coincidirá o no con la que en realidad es cierta. Se pueden dar los cuatro casos que se exponen en el siguiente cuadro:

0 H es cierta 1 H es ciertaSe escogió 0 H No hay Error Error de Tipo IISe escogió 1 H Error de Tipo I No hay Error

Si la probabilidad de cometer un error de tipo I está unívocamente determinada, suvalor se suele denotar por la letra griega α, y en las mismas condiciones, se denota por β la probabilidad de cometer el error de tipo II, esto es:

P(escoger H1H0 es cierta) = α

P(escoger H0H1 es cierta) = β

El valor α es también conocido como nivel de significancia de la prueba. Sedenomina potencia del contraste al valor 1-β, esto es, a la probabilidad de escoger 1 H cuandoesta es cierta.

Cuando es necesario diseñar un contraste de hipótesis, sería deseable hacerlo de talmanera que las probabilidades de ambos tipos de error fueran tan pequeñas como fuera posible. Sin embargo, con una muestra de tamaño prefijado, disminuir la probabilidad delerror de tipo I, α, conduce a incrementar la probabilidad del error de tipo II, β.

Usualmente, se diseñan los contrastes de tal manera que la probabilidad α sea el 5%(0,05), aunque a veces se usan el 10% (0,1) o 1% (0,01) para adoptar condiciones másrelajadas o más estrictas. El recurso para aumentar la potencia del contraste, esto es, disminuir β, probabilidad de error de tipo II, es aumentar el tamaño de la muestra, lo que en la prácticaconlleva un incremento de los costos del estudio que se quiere realizar. En la Figura II–1 seidentifican las regiones de aceptación y rechazo, en la distribución normal, para un nivel designificancia del 5%.

Figura II–1. Región de rechazo y aceptación en la distribución normal








III - PRUEBAS DE IDEPEDECIA

Existen numerosas técnicas para definir la independencia de los valores que

conforman una determinada serie. Las pruebas que aquí se exhiben son las de: Anderson y lade Corridas de Wald-Wolfowitz. Ambas pruebas son presentadas a continuación:

III.1 - Prueba de Independencia: Anderson

La prueba de independencia de Anderson (Salas, 1998 apud Escalante Sandoval,2005) hace uso del coeficiente de autocorrelación serial j

k r para diferentes tiempos de retrasok . En el caso de analizar un solo registro, entonces j = 1.

La expresión para obtener el coeficiente de autocorrelación serial de retraso k se presenta a continuación (Ecuación III-1).

( ) ( )

( )∑

∑

=

+

−

=

−

−⋅−

= j

j

n

i

j j

i

j j

k i

k n

i

j j

i j

k

QQ

QQQQ

r

1

2

1 III-1

para:3

,...,2,1 jnk =

Donde:

∑=

= jn

i j

ji j

n

QQ

1

III-2

Además, los límites al 95% de confianza para j

k r se pueden obtener con la ecuación III-3.

( )k n

k nr

j

j j

k −

−−±−=

196,11%)95( III-3

La gráfica de los valores estimados para

j

k r

(ordenadas) contra los tiempos de retrasok (abscisas), junto con sus correspondientes límites de confianza, se denomina correlogramade la muestra.

Si no más del 10% de los valores j

k r sobrepasan los límites de confianza, se dice que la

serie j

iQ es independiente y por lo tanto es una variable que sigue las leyes de la probabilidad.








III.2 - Prueba de Independencia: Corridas de Wald-Wolfowitz

Introducción

En general suele suponerse que los datos recolectados en un estudio constituyen unamuestra aleatoria, de modo que cada observación o medida es tomada de la población demanera aleatoria e independiente. Tal suposición, sin embargo, puede ser probada mediante elempleo de un procedimiento no paramétrico conocido como prueba de corridas de unamuestra de Wald-Wolfowitz. Este procedimiento no paramétrico no está relacionado con la prueba de cualquier parámetro en particular y, por tanto, no tiene una contraparte paramétrica.

Los procedimientos estadísticos paramétricos consisten en la aplicación de ecuacionesmatemáticas que tienen como condición necesaria la existencia de una particular y reconocidadistribución de la población.

Para probar la aleatoriedad, la hipótesis nula es:

H 0: El proceso que genera el conjunto de datos numéricos es aleatorio.

y la hipótesis alternativa:

H 1: El proceso que genera el conjunto de datos numéricos no es aleatorio.

La hipótesis nula, de aleatoriedad, puede probarse mediante la observación del orden ode la secuencia en que se obtienen los elementos de la muestra. Si a cada elemento se le

asigna uno de dos términos, como E y F (por éxito y fracaso), dependiendo de si la medida esmayor o menor a un cierto valor, la aleatoriedad de la secuencia puede ser investigada. Si éstaes generada de manera aleatoria, el valor (E o F) de un elemento será independiente tanto desu posición en la secuencia como del valor de los elementos que le preceden. Por otra parte, siel valor de un elemento de la secuencia es afectado por los valores de los demás elementos, osi la probabilidad de su ocurrencia depende de su posición en la secuencia, el proceso que lagenera no es considerado aleatorio.

En los casos no aleatorios los elementos parecidos tenderán a agruparse (del mismomodo que cuando existe una tendencia presente en los datos) o se mezclarán de maneraalternada, de modo que se presentaría algún efecto periódico sistemático.

Para estudiar si una secuencia observada es aleatoria o no, se considera comoestadístico de prueba al número de corridas presente en los datos. Una corrida se define comouna serie consecutiva de elementos similares que están limitados por elementos de un tipodiferente o por el inicio o fin de la secuencia.

Desarrollo

Para probar la hipótesis nula de aleatoriedad, es necesario dividir el tamaño completode la muestra: n, en dos partes: n1 (el número de éxitos, o de valores superiores al valor de

referencia) yn2

(el número de fracasos, o de valores inferiores al valor de referencia).








La estadística de prueba, es representada por la letra Z, para una prueba de dosextremos. Si Z es mayor o menor de lo que cabría esperar en una serie aleatoria de datos, serechazaría la hipótesis nula de aleatoriedad a favor de la hipótesis alternativa. Si para unacombinación dada de n1 y n2, Z es mayor o igual al valor crítico superior, o menor o igual alvalor crítico inferior, la hipótesis nula de aleatoriedad puede ser rechazada al nivel designificancia α. Sin embargo, si Z se encuentra entre estos límites, la hipótesis nula dealeatoriedad puede aceptarse.

Por otra parte, las pruebas de aleatoriedad no siempre son de dos extremos, si se estáinteresado en probar la aleatoriedad contra una alternativa especifica de un efecto detendencia (de que hay una tendencia de agrupamiento de los elementos parecidos), se necesitauna prueba de un extremo En el otro extremo, si se está interesado en probar la aleatoriedadcontra un efecto sistemático o periódico, se utiliza una prueba de un extremo que rechaza la

hipótesis nula sólo si se presentan numerosas corridas.Independientemente si la prueba es de un extremo o de dos extremos, para una

muestra de tamaño n, mayor a 40, el estadístico Z está distribuido de maneraaproximadamente normal.

La ecuación para determinar el valor del estadístico Z, se presenta a continuación(Ecuación III-4).

2 R

R R Z

σ

µ −=

III-4

Donde: R es el número total de corridas observadas, el valor medio de R es dado por laecuación III-5:

12 21 +

⋅⋅=

n

nn R µ

III-5

y la desviación estándar de R es dada por (Ecuación III-6):

( )( )

121

−

−−=

n

R R R

µ µ σ

III-6

El valor del estadístico Z obtenido por el procedimiento indicado, se contrasta con elvalor de tabla de la distribución normal para un cierto nivel de significancia establecido, ycomo fue indicado previamente, si se encuentra comprendido entre los límites de tabla, sedice que las variables que integran la serie son aleatorias. De lo contrario se rechaza talafirmación.








IV - PRUEBAS DE HOMOGEEIDAD

Para demostrar la homogeneidad de una serie de datos, puede emplearse una o

diferentes pruebas de hipótesis. Dichas pruebas permiten determinar si las variables queintegran una serie de datos pertenecen estadísticamente a una misma población. Las pruebasaquí presentadas son las de: Helmert, t de Student y Cramer. En los párrafos subsiguientes seexplica en que consisten tales pruebas.

IV.1 - Prueba de Homogeneidad: Helmert

Esta prueba es sencilla y consiste en analizar el signo de las desviaciones de cada

evento j

iQ de la serie j para i = 1, 2, 3,…, n j, con respecto a su valor medio j

Q .

Si una desviación de un cierto signo es seguida por otra del mismo signo, entonces sedice que se forma una secuencia: S , de lo contrario se considera un cambio: C .

La serie se considera homogénea si se cumplen las condiciones de la ecuación IV-1:

( ) 11 −≤−≤−− j j nC S n

IV-1

IV.2 - Prueba estadística de t de Student

Si se considera una serie jiQ para i = 1, 2, 3,…, n j, del sitio j, la cual se divide en dos

conjuntos de tamaño 221 jn

nn ==, entonces el estadístico de prueba se define con la

expresión IV-2:

21

2121

222

211

21

112

+⋅

−+

⋅+⋅

−=

nnnn

sn sn

x xt d

IV-2

Donde:

211 , s x : son la media y la varianza de la primera parte del registro de tamaño n1222 , s x : son la media y la varianza de la segunda parte del registro de tamaño n2

El valor absoluto de t d se compara con el valor de la distribución t de Student de doscolas y con 221 −+= nnν grados de libertad y para un nivel de significancia: 05,0=α








Si y solo si el valor absoluto de t d es mayor que aquel de la distribución t de Student,se concluye que la diferencia entre las medias es evidencia de inconsistencia, y por lo tanto laserie j

iQ se considera no homogénea. En caso contrario la serie es Homogénea.

IV.3 - Prueba estadística de Cramer

Esta prueba se utiliza con el propósito de verificar homogeneidad en el registro j

iQ dela serie j para i = 1, 2, 3,…, n j, y también para determinar si el valor medio no varíasignificativamente de un período de tiempo a otro. Con este propósito se consideran tres bloques, el primero del tamaño total de la muestra, n j, el segundo de tamaño n60 (últimos 60%de los valores de la muestra) y el tercero de tamaño n30 (últimos 30% de los valores de lamuestra).

La prueba compara el valor

j

Q del registro total con cada una de las medias de los bloques elegidos j

Q60 y jQ30 .

Para que se considere la serie analizada como estacionaria en la media, se deberácumplir que no existe una diferencia significativa entre las medias de los dos bloques.

∑=

= jn

i j

j

i j

n

QQ

1

IV-3

para una sola muestra analizada j = 1.

( )( )

21

1

2

11

−⋅

−= ∑

=

jn

i

j j

i

j

j

Q QQn

S IV-4

∑=

=60

1 6060

n

k

j

k j

n

QQ IV-5

∑=

=30

1 30

30

n

k

j

k j

n

QQ IV-6

j

Q

j j

j

S

QQ −= 60

60τ IV-7

j

Q

j j j

S

QQ −= 30

30τ IV-8








( )

( )[ ] j

w j

ww j

jw

w

nn

nnt τ

τ

21

21

2

+⋅−

−⋅= IV-9

El estadístico t w tiene distribución t de Student de dos colas con 221 −+= nnν grados de libertad y para un nivel de significancia 05,0=α .

Si y solo si el valor absoluto de t w para w = 60 y w =30, es mayor que el de ladistribución t de Student se concluye que la diferencia entre las medias es evidencia deinconsistencia y por lo tanto la serie j

iQ se considera no homogénea. En caso contrario laserie es Homogénea.

V - TÉCICAS DE ESTIMACIÓ DE PARÁMETROS

V.1 - Tipos de Modelos Teóricos

En general en muchas ocasiones los problemas hidrológicos se analizan y sintetizan através del uso de modelos matemáticos. Estos últimos pueden ser del tipo determinístico, paramétrico o estadístico (o bien estocástico).

Un modelo completamente determinístico es aquel que se obtiene a través de

relaciones físicas y no requiere de datos experimentales para su aplicación.Un modelo paramétrico puede ser considerado como un determinístico en el sentido de

que una vez que se estiman los parámetros del modelo, este siempre genera la misma salida a partir de la información de entrada. Por otro lado, un modelo paramétrico es estadístico en elsentido de que los parámetros estimados dependen de los datos observados y aquelloscambiarán cuando los datos observados también lo hagan.

Un modelo estadístico es aquel en el cual las salidas son predecibles solamente en unsentido estadístico. En un modelo estadístico, el empleo repetido de un grupo dado deentradas de modelo genera salidas que no son las mismas pero siguen cierto modelo

estadístico (Escalante Sandoval, 2005).Todo modelo estocástico es por naturaleza estadístico. Sin embargo, suele emplearse la

denominación “estocástico” a los efectos de remarcar la dependencia de las variablesintervinientes con el tiempo (Clarke, 1988), hecho típico en la series de tiempo de variableshidrológicas

Antes de hacer inferencias de cualquier modelo es importante la estimación de sus parámetros. Cada estimador de un parámetro es una función de los valores de la muestra, lascuales son observaciones de una variable aleatoria. Así, el propio parámetro estimado es unavariable aleatoria que tiene su propia distribución muestral. Un estimador que se obtiene a








partir de un grupo de valores puede considerarse como un valor observado de una variablealeatoria. Por lo cual, la bondad de un estimador puede ser juzgado a partir de su distribución.

Independientemente de la técnica que se use para la estimación de los parámetros sedeben cumplir las siguientes propiedades:

• Sesgo nulo: Un estimador θ de un parámetro θ se dice que tiene sesgo nulocuando ( ) θ θ =ˆ E . De lo contrario es sesgado. El sesgo se obtiene como

( ) θ θ −= ˆ E B .

• Consistencia: Un estimador θ de un parámetro θ se dice consistente si paracualquier número positivo ε , el ( ) 0ˆlim =>−∞→ ε θ θ P n . Donde n es el

tamaño de muestra.

• Eficiencia: Un estimador θ se dice el más eficiente para θ si tiene sesgonulo y su varianza es al menos tan pequeña como cualquier otro estimador nosesgado para θ .Generalmente es posible obtener más de un estimador nosesgado para el mismo parámetro θ . Si 1θ y 2θ son dos estimadores nosesgados de θ , con varianzas ( )1θ V y ( )2θ V , respectivamente, entonces laeficiencia relativa de 1θ con respecto a 2θ se define a través de la relación

( ) ( )21ˆ/ˆ θ θ V V .

• Suficiencia: θ es un estimador suficiente para θ , si θ emplea toda lainformación relevante contenida en la muestra.

A continuación se presentan algunas de las técnicas de estimación de parámetros máscomunes en Hidrológica.

V.2 - Método de los Momentos

El método de los momentos es un procedimiento muy sencillo para encontrar unestimador de uno o más parámetros poblacionales. Consiste básicamente en plantear unsistema de ecuaciones, cuyo tamaño depende del número de parámetros a estimar. Esto sehace al igualar los momentos poblacionales con los muestrales.

Los momentos muestrales, también conocidos como estadísticos muestrales, seobtienen con las siguientes expresiones.

Media: ecuación V-1:

∑=

=n

i

i xn

x1

1 V-1








Varianza sesgada: ecuación V-2:

( )∑=

−=n

i

i sesg x x

n

S

1

22 1

V-2

Varianza no sesgada: ecuación V-3:

( )∑=

−−

=−

=n

i

i sesg insesg x xn

S n

nS

1

222

11

1 V-3

Cabe indicar que la denominación “no sesgado” hace referencia al hecho deconsiderarse que en la serie restan n-1 valores independientes luego de haberse calculado lamedia de la muestra (al compararse los valores de la serie con su propia media se pierde ungrado de libertad).

Coeficiente de asimetría sesgado: ecuación V-4:

( )

( )( )2/32

1

31

sesg

n

i

i

sesg

S

x xn

g ∑

=

−

=

V-4

Coeficiente de asimetría no sesgado: ecuación V-5:

( )( ) sesg insesg g nn

n g ⋅−−

=21

2

V-5

Coeficiente de curtosis sesgado: ecuación V-6:

( )

( )221

41

sesg

n

i

i

sesg

S

x xn

k ∑

=

−

= V-6

Coeficiente de curtosis no sesgado: ecuación V-7:

( ) ( ) ( ) sesg insesg k nnn

nk ⋅

−⋅−⋅−=

321

3

V-7

Desviación estándar: ecuación V-8:

2S S = V-8

Coeficiente de variación: ecuación V-9:








x

S CV = V-9

En el análisis hidrológico se recomienda el uso de los estadísticos no sesgados, ya quegeneralmente se trabaja con muestras relativamente pequeñas. Cuando n es relativamentegrande (al menos mayor de 30 o 40, los valores de los momentos muestrales sesgados y nosesgados son prácticamente similares).

V.3 - Método de Máxima Verosimilitud

Sea ( )maaa x f ,...,,; 21 una función de densidad de probabilidad de x con parámetrosmiai ,...,1, = . Si existe una muestra aleatoria n x x x ,...,, 21 de esta función de densidad,

entonces, su función de densidad conjunta es ( )mn aaa x x x x f ,...,,;,...,,, 21321 . Debido a que la

muestra es aleatoria, la función de densidad conjunta se puede escribir como en la ecuaciónV-10.

( ) ( )∏=

=n

i

mimn aaa x f aaa x x x x f 1

2121321 ,...,,;,...,,;,...,,, V-10

Interpretado en forma conceptual, la probabilidad de obtener un valor dado de x,digamos 1 x , es proporcional a ( )maaa x f ,...,,; 21 . Por otro lado, la probabilidad de obtener lamuestra aleatoria n x x x ,...,, 21 a partir de la población de es proporcional al producto de susdensidades de probabilidad individual. Esta función conjunta es llamada la función deverosimilitud L, ecuación V-11.

( )∏=

=n

i

mi aaa x f L1

21 ,...,,; V-11

Los parámetros miai ,...,1, = son desconocidos.

El método de máxima verosimilitud estima los parámetros al maximizar L, esto es,maximizando la verosimilitud de que la muestra bajo consideración es la única que puedeobtenerse al seleccionar n observaciones aleatorias a partir de ( )maaa x f ,...,,; 21 . Los valoresde los parámetros obtenidos se conocen como los estimadores por máxima verosimilitud.Debido a que con ( ) Lln se alcanza también su máximo para valores específicos de

miai ,...,1, = , como lo hace L, entonces, la función de verosimilitud se puede expresar como(ecuación V-12).

( ) ( )∏=

=n

i

mi aaa x f L1

21 ,...,,,lnln V-12

El procedimiento para estimar los parámetros o la determinación del punto donde lafunción alcanza su máximo, implica la diferenciación de L o de ( ) Lln parcialmente con

respecto a cada parámetro e igualando a cero. Por lo que se generan m ecuaciones con m








incógnitas que pueden resolverse para los m parámetros desconocidos (ecuaciones V-13,V-14 y V-15)

( )

0,...,,

1

21

=∂

∂

a

aaa L m

V-13

( )0

,...,,

2

21 =∂

∂

a

aaa L m

V-14

( )0

,...,, 21 =∂

∂

m

m

a

aaa L V-15

V.4 - Método de Momentos de Probabilidad Pesada

Greenwood et al en 1979 ( Apud Escalante Sandoval, 2005) introdujeron al método de

momentos de probabilidad pesada y mostraron su utilidad en la estimación de parámetros dedistribuciones cuyas formas inversas ( ) F x x = se definen explícitamente. Si ( ) ( ) x X P x F ≤= ,entonces, los momentos de probabilidad pesada siguen la forma de la ecuación V-16.

( )[ ] ( )[ ] ( )∫ −=−=1

0,, 11 dF F F F x F F x E M

k jik ji

k ji V-16

Donde k jiM ,, es el momento de probabilidad pesada de orden (i, j, k), [ ]. E es eloperador esperanza, e i, j, k son números reales. Si 0== k j e i es un entero no negativo,entonces 0,0,iM representa el momento convencional de orden i con respecto al origen

(Ecuación V-17).

( ) ( )∫∞

∞−

== r r

r x E dx x f xM

V-17

Si 0,0,iM existe y es una función continua de F, entonces k jiM ,, existe para todoslos números reales no negativos j y k. Para valores enteros no negativos de j, k se tiene(ecuaciones V-18 y V-19):

( )( )∑=−=

k

j

ji jk

jk i M M 0

0,,,0, 1

V-18

( )( )∑=

−= j

k

k i

k j

k ji M M 0

,0,0,, 1

V-19

Si k iM ,0, existe y es una función continua de F, entonces 0,, jiM también existe. Si

k k M M =,0,1 , se puede obtener un estimador no sesgado para k M y k , entero no negativo si

ni xi ,...,1, = son los valores ordenados de mayor o menor como:








( ) ( ) ( )∑−

=

−−=k n

i

n

k

in

k ik xn

M 1

1/1ˆ

V-20

( ) ∑=

=n

i

i xn

M 10

1ˆ

V-21

( ) ( )( )∑

−

=

−−

=1

11 1

1ˆn

i

i in xnn

M

V-22

( ) ( )( )( )( )∑

−

=

−−−−−

=2

12 1

211ˆ

n

i

i inin xnnn

M

V-23

( ) ( )( )( )( )( )( )∑

−

=

−−−−−−−−

=3

13 21

3211ˆ

n

i

i ininin xnnnn

M

V-24

V.5 - Método de Mínimos Cuadrados

Sea una función ( )maaa x f ,...,,; 21 donde miai ,...,2,1, = son los parámetros a estimar.El método obtiene el conjunto de parámetros al minimizar la suma de los cuadrados de todaslas desviaciones entre los valores observados y calculados. Matemáticamente esta suma puedeexpresarse con las ecuaciones V-25 y V-26.

( ) ( )[ ]∑∑==

−==n

i

c

n

i

i i yi yd S 1

20

1

2

V-25

( ) ( )[ ]∑=

−=n

i

mi aaa x f i yS 1

2210 ,...,,;

V-26

Donde ( )i y0 e ( )i yc son los valores observados y calculados de "" y . Y mn > es elnúmero de observaciones. El mínimo de S se obtiene diferenciando parcialmente la ecuaciónV-26 con respecto a cada parámetro e igualando a cero (ecuaciones V-27 a V-29)

( ) ( )[ ]0

,...,,;

1

1

2210

=∂

−∂∑=

a

aaa x f i yn

i

mi

V-27

( ) ( )[ ]0

,...,,;

2

1

2210

=∂

−∂∑=

a

aaa x f i yn

i

mi

V-28

( ) ( )[ ]0

,...,,;1

2210

=∂

−∂∑=

m

n

i

mi

a

aaa x f i y

V-29

Finalmente, se plantea un sistema de ecuaciones, que al resolverlo entrega losestimadores por mínimos cuadrados (ecuaciones V-30 a V-33).

∑ ∑ ∑∑ ∑=+++++

0332210... y xa xa xa xana

mmi V-30








∑ ∑ ∑∑ ∑∑ =+++++ 0113132122

10 ... y x x xa x xa x xa xa xa mmii V-31

∑ ∑ ∑∑ ∑∑ =+++++ 02232322221120 ... y x x xa x xa xa x xa xa mm V-32

∑ ∑ ∑∑ ∑∑ =+++++ 02

3312110 ... y x xa x xa x xa x xa xa mmmmmmm

V-33

V.6 - Método de Momentos L

Los momentos-L son análogos a los momentos convencionales, sin embargo, tienencierta ventaja sobre ellos, ya que son capaces de caracterizar a un mayor número dedistribuciones, además de estar virtualmente libres de sesgo aún para muestras pequeñas(Hosking, 1990, apud Escalante Sandoval, 2005))

El primer estimador por momentos-L es la media, definida como (ecuación V-34)

[ ] X E =1λ V-34

Sea )ni x( la i-ésima observación en una muestra de tamaño n, ordenada de mayor a

menor, entonces, para cualquier distribución de probabilidad el segundo momento-L es unadescripción de escala basada en la diferencia esperada entre dos observaciones seleccionadasde forma aleatoria (ecuación V-35)

( ) ( )[ ]22222 21

X X E −=λ

V-35

De forma similar, el sesgo y el coeficiente de Curtosis se pueden obtener por medio delas ecuaciones V-36 y V-37.

( ) ( ) ( )[ ]3332313 221

X X X E +−=λ

V-36

( ) ( ) ( ) ( )[ ]444342414 3321

X X X X E −+−=λ

V-37

Así como la varianza o el coeficiente de asimetría de una distribución son función delas esperanzas [ ] [ ] [ ]32 ,, X E X E X E , los momentos-L pueden estimarse en función de los

momentos de probabilidad pesada (ecuación V-38)

( )[ ]r

r X F X E = β V-38

Los primeros cuatro momentos-L son los dados por las ecuaciones V-39, V-40, V-41 yV-42.

01 β λ = V-39

012 2 β β λ −= V-40

0123 66β β β λ +−=

V-41










Si hay un número w de restricciones linealmente independiente iC , de la forma(ecuación V-52)

( ) ( )∫

∞

∞−

= dx x f x g C ii

V-52

En las que ( ) x yi son algunas funciones donde se especifican los promedios sobre( ) x f , entonces la distribución que conduce al máximo de I sujeto a las condiciones de la

ecuación V-52, es (ecuación V-53)

( ) ( )

−−= ∑

=

w

i

ii x g aa x f 1

0exp

V-53

Donde wiai ,...,2,1, = son los multiplicadores de Lagrange que se determinan a partir de la ecuación V-52 y la condición de normalización (ecuación V-54)

( )∫∞

∞−

=1dx x f

V-54

El máximo de I es (ecuación V-55)

[ ] ( )∑=

+=w

i

ii x yaa f I 1

0

V-55

VI - AÁLISIS DE FRECUECIA DE VALORES EXTREMOS

El análisis de frecuencia de valores extremos se desarrolla para estimar los valoresmáximos asociados a diferentes períodos de retorno de datos como por ejemplo las lluviasmáximas registradas en una estación pluviométrica o pluviográfica, o bien los caudalesmáximos anuales de un río.

Considerando una serie de caudales iQ , con ni ,...,2,1= , el análisis de frecuencia de lamisma se emplea para proveer la magnitud de un evento T Q , de cierto período de retorno T, por medio del ajuste de una distribución de probabilidad, la cual se selecciona como la mejor entre un grupo de ellas. (Escalante Sandoval, 2005).

El procedimiento empleado durante un análisis de frecuencia de valores extremos (sedesarrolla el ejemplo con caudales máximos) debe contener los siguientes pasos:

1. Ordenar los caudales máximos anuales de la serie, de mayor a menor.

2. Asignar a cada valor de la serie un valor de frecuencia empírica, siguiendo unadistribución de probabilidad empírica, por ejemplo la ley de Weibull:








m

nT

1+= , n: número de datos de la serie, m: posición del dato en la serie

ordenada de mayor a menor.

3. Determinar los parámetros de ajuste de diferentes distribuciones de probabilidad teóricas, por ejemplo:• Uniforme,• Exponencial de parámetro β ,• Exponencial de parámetros x0 y β ,• Generalizada exponencial,• Normal,• Log normal de 2 parámetros,• Log normal de 3 parámetros,

• Gamma de 2 parámetros,• Gamma de 3 parámetros,• Gumbel,• General de Valores Extremos (GVE), y• Log Pearson tipo III.

4. Los parámetros de ajuste de cada una de estas distribuciones de probabilidad seobtienen según los procedimientos adaptados para cada una de ellas, entre losque se cuentan:• Momentos,• Máxima Verosimilitud,• Máxima Entropía,• Momentos L,• Momentos de Probabilidad Pesada, y• Mínimos Cuadrados.

En los párrafos siguientes se presentan las distribuciones Normal, Gumbel, general deValores Extremos y Log Pearson III, con sus respectivos métodos de ajuste de parámetros.

Otras distribuciones teóricas de probabilidad, y sus métodos de ajuste, pueden ser encontradas en el material bibliográfico citado en este Apunte.

VI.1 - Distribución ormal

La distribución Normal presenta las funciones de probabilidad y de probabilidadacumulada, siguientes (Ecuaciones VI-1 y VI-2):

( )

2

2

1

2

1

−⋅−

⋅⋅⋅

=σ

µ

π σ

x

e x f

VI-1

( ) ∫∞−

−⋅−

⋅

⋅⋅

=

x x

dxe x F

2

2

1

2

1 σ

µ

π σ

VI-2








Los parámetros de ajuste de esta distribución pueden obtenerse por Momentos, por Máxima Verosimilitud y por Momentos L.

Estimadores por Momentos y Máxima Verosimilitud

x= µ VI-3

( )∑=

−⋅−

=

n

i

i x xn 1

22

1

1σ

VI-4

Estimadores por Momentos L

1λ µ = VI-5

2772,1ˆ λ σ ⋅=

VI-6

donde λ1 y λ2 son los momentos muestrales, y se obtienen con las ecuaciones VI-7 a VI-11:

01 β λ = VI-7

012 2 β β λ −⋅= VI-8

( )00 M = β VI-9

( )11 M = β VI-10

( ) ∑==

n

ii xnM 1

1

0ˆ

VI-11

Los eventos de diseño por esta distribución se obtienen mediante la expresión de la ecuaciónVI-12:

T T U x ⋅+= σ µ ˆˆ VI-12

Donde, para una probabilidad: 0 < F(x) ≤ 0,5:

35

243

2

210

1 V bV bV b

V bV bbV U

T ⋅+⋅+⋅+

⋅+⋅+−=

VI-13

( )[ ]

=2

1ln

x F V

VI-14

( )T

x F 1

1−=

VI-15

Con los siguientes valores:

515517,20=b ; 802853,0

1 =b ; 010328,02 =b ; 432788,1

3=b ; 189269,0

4 =b ; 001308,05=b








para una probabilidad: 0,5 < F(x) ≤ 1 se cambia F(x) por 1-F(x) en la expresión de V:

( )[ ]

−

=2

11ln x F

V

VI-16

y se le cambia el signo al valor obtenido de U T .

VI.2 - Distribución Gumbel

La distribución Gumbel presenta las funciones de probabilidad y probabilidadacumulada siguientes (Ecuaciones VI-17 y VI-18):

( )

−−

−

−−

⋅⋅=

α

µ

α

µ

α

x

e

x

ee x f 1

VI-17

( )

−−

−=

α

µ x

ee x F VI-18

Los parámetros de ajuste de esta distribución pueden obtenerse por Momentos, por Máxima Verosimilitud, por Momentos L y por Máxima Entropía.

Estimadores por Momentos

S x ⋅−= 45,0ˆ µ VI-19S ⋅= 78,0α VI-20

Estimadores por Máxima Verosimilitud

∑=

−−=

n

i

yien P 1

VI-21

∑∑=

−

=

⋅+−=

n

i

y

i

n

i

iie y yn R

11 VI-22

α µ −= i

i x y

VI-23

Los criterios de convergencia son dados por las ecuaciones VI-24 y VI-25:

0ˆ≅

α

P

VI-24

0ˆ≅−

α

R

VI-25








Los incrementos se calculan con las ecuaciones VI-26 y VI-27:

( ) n R P j

j j j

α

µ ⋅⋅−⋅=∂ 26,011,1 VI-26

( )n

R P j

j j j

α α ⋅⋅−⋅=∂ 61,026,0

VI-27

A partir de estos incrementos, los nuevos valores se calculan con las ecuaciones VI-28 yVI-29:

j j j µ µ µ ∂+=+ ˆˆ 1

VI-28

j j j α α α ∂+=+ ˆˆ 1

VI-29

Estimadores por Momentos L

α λ µ ˆ577216,0ˆ 1⋅−= VI-30

( )2lnˆ

2λ α =

VI-31

Estimadores por Máxima Entropía

∑=

⋅=

n

i

i y

n

P 1

1

VI-32

∑=

−⋅=

n

i

yien

R1

1

VI-33

α

µ −=

ii

x y

VI-34

Los criterios de convergencia son presentados con las ecuaciones VI-35 y VI-36:

0577216,0 ≈− P VI-35

01 ≈− R

VI-36

Los incrementos se calculan con las ecuaciones VI-37 y VI-38:

j j j R P ln4228,0 ++=∂α VI-37

j j j P α µ ∂⋅−=∂ 577216,0 VI-38

A partir de estos incrementos, los nuevos valores se calculan con VI-39 y VI-40:

j j j j µ α µ µ ∂⋅+=+ ˆˆˆ 1 VI-39

j j j α α α ∂⋅=+ ˆˆ 1 VI-40








Los eventos de diseño por esta distribución se obtienen mediante la expresión dada por laecuación VI-41.

( )[ ] x F xT lnlnˆˆˆ −⋅−= α µ VI-41

VI.3 - Distribución General de Valores Extremos (GVE)

La distribución General de Valores Extremos presenta las funciones de probabilidad y probabilidad acumulada siguientes (Ecuaciones VI-42 y VI-43):

( )1

11

11

1−

⋅

−−−

⋅

−−⋅⋅=

β β α

ν

β

α

ν

α

β

xe x f

x

VI-42

( )

β

β α

ν 1

1

⋅

−−−

=

x

e x F VI-43

La variable reducida de la Función General de Valores Extremos está dada por laecuación VI-44.

⋅

−−⋅−= β

α

ν

β

x y 1ln

1

VI-44

Estimadores por Momentos

Para 1396,135,11 <<− g :

5

432

000263.0

00376.0023314.0048306.0333535.0279434,0ˆ

g

g g g g

⋅−

⋅+⋅−⋅+⋅−= β

VI-45

Para 95,1814,1 << g :

5

432

000043.0000904.0010883.0075357.029219.025031,0ˆ

g g g g g

⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−= β

VI-46

[ ] [ ] y E B x y E B A x ⋅+=⋅+= ˆˆˆ µ VI-47

( )

( )

21

ˆ

=

yVar

xVar B

VI-48

( ) 22 x x

S xVar ==σ VI-49

[ ] β 1+Γ = y E VI-50

( ) ( ) ( ) β β ˆ

1ˆ

212

+Γ −⋅+Γ = yVar VI-51








Para 0ˆ < β distribución tipo II:

Bˆˆ ⋅−= β α VI-52

B A ˆˆˆ +=ν VI-53

Para 0ˆ > β distribución tipo III:

Bˆˆ ⋅= β α VI-54

B A ˆˆˆ −=ν VI-55

Para 0ˆ = β distribución tipo I:

S S ⋅=⋅= 78,06ˆπ

α

VI-56

S x ⋅−= 45,0ν VI-57


A partir de la variable reducida, se tiene el proceso iterativo dado por las ecuacionesVI-58, VI-59 y VI-60:

∑=

−−=n

i

yien P 1

VI-58

( ) ( )∑ ∑= =

⋅⋅− ⋅−−=n

i

n

i

y y ii eeQ1 1

1 1 β β β

VI-59

i yn

i

i

n

i

i e y yn R−

==

⋅+−= ∑∑11

VI-60

El criterio de convergencia está dado por las ecuaciones VI-61, VI-62 y VI-63:

0==−α δν

δ Q LL

VI-61

0

1=

+

=− β α δα

δ Q P LL

VI-62

01

=

+−=−

β β δβ

δ Q P R

LL

VI-63

Los incrementos se calculan con las ecuaciones VI-64, VI-65 y VI-66:

( ) ( )

+−⋅+

+⋅+⋅⋅−=

j

j j

j

j j

j j

j

j Q P R

f Q P hQb

n j β β β

α δ ν ˆ

VI-64










( )( ) ( )

( ) ( )∑−

=

−−⋅−⋅⋅−⋅−⋅

=2

1

121

12ˆ

n

i

i inin xnnn

M

VI-86

Los eventos de diseño por esta distribución se obtienen mediante la expresión:

( )( )[ ] β

β

α ν x F xT ln1 −−⋅+=

VI.4 - Distribución Log Pearson Tipo III

La distribución Log Pearson Tipo III presenta la función de probabilidad siguiente(Ecuación VI-87):

( )( )

( )( )

−

−

−

⋅

−⋅⋅Γ ⋅

= α

β

α β α

0ln1

0ln1 y x

e y x x

x f

VI-87

Los parámetros de ajuste de esta distribución pueden obtenerse por Momentos:método directo y método indirecto y por Máxima Verosimilitud.

Estimadores por Momentos: Método Directo

31ˆ+

= A

α

VI-88

∑=

=n

i

r

ir

x1

µ

VI-89

( ) ( )( ) ( )12

13

ˆln2ˆlnˆln3ˆln µ µ

µ µ

⋅−

⋅−= B

VI-90

31−

= B

C

VI-91

En función del valor que asuma el parámetro B, se tienen las situaciones dadas por lasecuaciones VI-92 y VI-93:

Si 65,3 ≤< B :

32 04557,020911,065262,123019,0 C C C A ⋅−⋅+⋅+−= VI-92

Si 5,33 ≤< B :

C A ⋅+−= 99955,145157,0 VI-93








En cualquiera de los casos anteriores se tiene:

( ) ( )

( ) ( )α α

µ µ β

⋅−−−

⋅−=

21ln1ln

ˆln2ˆlnˆ2

12

VI-94

( ) ( )α β µ ˆ1lnˆˆlnˆ 10 −⋅+= y VI-95

Estimadores por Momentos: Método Indirecto

2

4ˆ y g

= β

VI-96

β α

ˆˆ yS

=

VI-97

donde y y g S y ,, son los estadíst icos de la serie: ( )ii x y ln=


( )( )( )∑∑

==

−⋅−

−

=

n

i i

n

i

i y x

y x

n

1 010

2

ˆln1ˆln

1

1ˆ β

VI-98

( )( )

( )∑ ∑=

=

−

−−⋅=

n

in

i i

i

y x

n y xn 1

1 0

0

ˆln1ˆln

1α

VI-99

el estimador 0ˆ y se obtiene al resolver la ecuación VI-100:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0ˆˆlnˆlnlnˆ1

00 =⋅−⋅−−= ∑=

n

i

i nn y x y F β ψ α

VI-100

Los eventos de diseño para esta distribución se obtienen con la expresión siguiente (EcuaciónVI-101):

⋅⋅+

⋅−⋅⋅+

=

3

0 91

911

β β α β T U Y

T e x VI-101








VII - MÉTODOS DE SELECCIÓ DE DISTRIBUCIOES

VII.1 - Introducción

La calidad de los valores de caudal estimados para un cierto período de retorno, condistribuciones de probabilidad teórica, está dado principalmente por la comparación de dichosvalores estimados con los valores realmente observados o medidos.

Para ello es posible utilizar diferentes técnicas denominadas Técnicas o Métodos deBondad de Ajuste. Entre los diferentes métodos más difundidos se encuentran los de:

1. Chi Cuadrado.

2. Kolmogorov – Smirnov,

3. Papeles probabilísticos,

4. Error Estándar de Ajuste.

Se considera que el mejor de los métodos indicados es el del Error Estándar de Ajuste.Se arriba a esta consideración por entender que el mismo considera en la comparación de losvalores observados y estimados, el número de parámetros que se utilizan para ajustar ladistribución en prueba.

A continuación, por lo expresado precedentemente, serán presentadas, de manera

resumida las primeras tres técnicas y de forma más extensa la técnica del error estándar deajuste.

VII.2 - Técnica Chi – Cuadrado

La prueba de Chi - Cuadrado es considerada como una prueba no paramétrica quemide la discrepancia entre una distribución observada y otra teórica (bondad de ajuste),indicando en qué medida las diferencias existentes entre ambas; de haberlas, se deben al azar en el contraste de hipótesis. También se utiliza para probar la independencia de dos variablesentre sí, mediante la presentación de los datos en tablas de contingencia.

En esta prueba, para aceptar una función de distribución dada, se debe cumplir laecuación VII-1.

( ) 21;1

2

nk

i

ii

−−−<−∑

α χ ε

ε θ

VII-1

Donde 21;1 nk −−−α χ es el valor de una variable aleatoria con distribución Chi Cuadrado para

nk −−1 grados de libertad y un nivel de significancia α , k es el número de intervalos y n esel número de parámetros empleados por la función de distribución.








VII.3 - Técnica Kolmogorov - Smirnov

La prueba Kolmogorov - Smirnov consiste en comparar el máximo valor absoluto dela diferencia entre la función de distribución observada ( )iO x F y la estimada ( )in x F ˆ , con unvalor crítico “ α D ” que depende del número de datos y el nivel de significancia seleccionado.

La expresión de comparación para la prueba de Kolmogorov – Smirnov está dada por la ecuación VII-2.

( ) ( )ioin x F x F ni

D −≤≤

= ˆ1

sup

VII-2

Donde:i x : Valor i-ésimo observado en la muestra (ordenada de mayor a menor)

( )in x F ˆ : Función de probabilidad estimada( )iO x F : Función de probabilidad observada

Si los valores observados ( )iO x F son similares a los esperados ( )in x F ˆ , el valor de Dserá pequeño. Cuanto mayor sea la discrepancia entre la distribución empírica y ladistribución teórica , mayor será el valor de D.

Por tanto, el criterio para la toma de la decisión entre las dos hipótesis será de laforma:

Si α D D < : Aceptar que los datos observados siguen la distribución probadaSi α D D > : Rechazar que los datos observados siguen la distribución probada

donde el valor α D se elige de tal manera que:

P(Rechazar 0

0 H

H es cierta) = P( α D D > / Los datos siguen la distribución probada) =α ,

siendo α el nivel de significancia seleccionado para la prueba de bondad de ajuste.

VII.4 - Técnica de Papeles Probabilísticos

La probabilidad acumulada de una distribución teórica puede representarsegráficamente en un papel de probabilidad diseñado para la distribución. En uno de estos papeles las ordenadas usualmente representan el valor de x en una cierta escala y la abscisarepresenta la probabilidad ( ) x X P ≥ o ( ) x X P < , el período de retorno T o la variablereducida T y . Las escalas para las ordenadas y las abscisas están diseñadas de tal manera quese espera que los datos que van a ser ajustados se ubiquen próximos a una línea recta. El propósito del uso del papel de probabilidad es el de linealizar la relación de probabilidad detal manera que los datos graficados puedan ser fácilmente utilizados para interpolación,extrapolación o con propósitos de comparación. Para aquella distribución de probabilidad en








donde los datos observados se pueden ubicar más próximos a una recta, será la distribuciónque mejor represente a la serie de datos.

VII.5 - Técnica del Error Estándar de AjusteKite, en el año 1988, propuso un estadístico que permite seleccionar la mejor opción,

entre diferentes modelos en competencia, para el ajuste de una muestra de datos j

iQ para

jni ,...,3,2,1= , de un sitio j.

Este estadístico es conocido como el error estándar de ajuste y se obtiene con laecuación VII-3:

( )21

1

2ˆ

−

−

=

∑=

p j

n

i

j

T

j

T

mn

QQ

EEA

j

VII-3

Donde:

j

T Q Son los eventos j

iQ ordenados de mayor a menor con un período de retorno asignado:

m

nT

j 1+= y una probabilidad de no excedencia

T P

11−=

jn : Longitud en años del registro analizadom

: Número de orden del registro. j

T Q Eventos estimados por cierta distribución de probabilidad para cada período de retorno Tasignado a la muestra ordenada j

iQ .

pm : Número de parámetros de la distribución ajustada.

La distribución de mejor ajuste será aquella que proporcione el mínimo valor delestadístico E.E.A. Si una o más distribuciones tienen valores similares del E. E. A, entoncesse deberá optar por aquella distribución que tenga el menor número de parámetros.

VIII - BIBLIOGRAFÍA

CAMPOS ARANDA, D. F. (2007). “Estimación y Aprovechamiento del Escurrimiento”.440p. Editorial Campos, San Luís de Potosí, México.

CUNNANE, C. (1988). “Methods and merits of regional flood frecuency analysis”. Journal of Hydrology 100(1-4): 269-290.

ESCALANTE SANDOVAL, C; REYES CHÁVEZ, L. (2005). “Técnicas Estadísticas enHidrología” 2ª Edición. Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería,298p.







GANANCIAS MARTÍNEZ, F. (2009). “Evaluación de Metodologías Estadísticas deRegionalización Hidrológica: Aplicación a los Caudales Máximos de CuencasRepresentativas de la Región Sur-Oeste de la Provincia de Córdoba”. Tesis de Maestría enCiencias de la Ingeniería Mención en Recursos Hídricos. Facultad de Ciencias Exactas,Físicas y Naturales de la Universidad Nacional de Córdoba.

KITE, G.W. 2004). “Frecuency and Risk Analyses in Hydrology”. Water ResourcesPublications, LLC. 257p. Estados Unidos de América.

RAUDKIVI, A. J. (1979). “Hydrology, An Advanced Introduction to Hydrological Processesand Modelling”. Editora Pergamon Press, Oxford, Inglaterra.

TUCCI, C. E. M. (1993). “Hidrología, Ciencia y Aplicación”. Editora da Universidade,Universidade Federal do Río Grande do Sul. Brasil.

VON MISES, R. (1946). “Probabilidad, Estadística y Verdad”. ESPASA – CALPE ArgentinaS.A. 351p. Argentina.

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