Hidrostática

Capitulo 4

FundamentosDefinición:

Se llama hidrostática aquella parte de la hidráulica donde se estudian las leyesde equilibrio de los líquidos y la aplicación práctica de estas leyes.

La estática de fluidos estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos enreposo y cuanto se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática.

Ecuaciones fundamentales

Para comenzar, se debe partir de las ecuaciones fundamentales de densidad ypresión.

donde la densidad es: 𝜌 =𝑚

𝑉; kg/m3 ; si consideramos a

ρ 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆, entonces el liquido es 𝒊𝒏𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊𝒃le

La presión es : 𝑝 =𝑭

𝑨; N/m2 = 1 Pascal

La presión la podemos clasificar en manométrica, absoluta e hidrostática.

Presión hidrostática

Es la presión que un fluido en reposo ejerce sobre las paredes del recipiente quelo contiene.

Aplicando los conceptos deequilibrio y suponiendo unaporción de líquido en formade una cuña, la cual seencuentra en reposo.

Incluiremos un sistema decoordenadas (X,Y).

Analizando esta porción de líquido y suponiendounas fuerzas netas (Fx, Fy y F) que actúan sobre lasuperficie de esta cuña y que son perpendicularesa las caras. Considerando sus superficies tenemos:

Realizando un estudio de equilibrio tenemos:

Por lo tanto:

→ Σ Fx = 0

Fx – F sen α= 0 ⟹

↑ Σ Fy = 0

Fy – F cos α= 0 ⟹

A las fuerzas (Fx, Fy y F) actuando de maneraperpendicular y al ángulo (α) que se forma con lahorizontal.

Así como las componentes de la fuerza (F).

Una vez realizado nuestro concepto de equilibrio, y tomando ahora la porción delíquido:

Por lo tanto:

sen α =Ax

A⟹ Ax = A sen α ∴

cos α=Ay

A⟹ Ay = A cos α

Tenemos que considerar esta cuña como si fueraun triangulo rectángulo en tres dimensiones,donde estamos calculando sus áreas por lo tanto:

Obtenemos:

Ax, Ay y A

Ahora dividiendo:

𝐹𝑥𝐴𝑥

=𝐹 𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝛼=𝐹

𝐴

𝐹𝑦

𝐴𝑦=𝐹 𝑐𝑜𝑠 𝛼

𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛼=𝐹

𝐴

Esto nos demuestra que la fuerza por unidad de área es igual en las tres caras de

nuestra muestra de fluido en forma de cuña.

A esta ecuación se le conoce como Presión hidrostática (P)

P =𝑁

𝑚2= 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑃𝑎

Por lo tanto si:

𝐹𝑥

𝐴𝑥

=𝐹

𝐴=𝐹𝑦

𝐴𝑦

Ecuación fundamental de la hidrostática

A partir de los conceptos de densidad y presión hidrostática pero ahoraconsiderando los efectos de la gravedad tendremos:

Una porción infinitesimal demasa del liquido en formade disco con cierta área yespesor.

donde:

y = distancia al origen del sistema de coordenadas

𝜕y = diferencial de y

F = fuerza perpendicular

F + 𝜕F = fuerza perpendicular más un diferencial de F

Cm = (centro de masa) considerando un peso comoun diferencial de masa por gravedad 𝜕 m g

yF

𝜕yCm

F + 𝜕F

𝜕m g

(0,0)

Como la suma de las fuerzas actuantes en el sentido “X” es cero, consideraremosúnicamente las fuerzas en el sentido de las “Y”, por lo tanto:

↑ Σ Fy = 0

F − F + 𝜕𝐹 − 𝜕m g= 0

F − F− 𝜕F= 𝜕m g ⟹

𝝏F=−𝝏m g …. (1)

Ahora bien sí:

P =F

A⟹ F = P A ∴

Como el área no cambia, se puede decir que:

𝝏𝐅 = 𝝏𝐏 𝐀 …. (2)

Sabemos que:

𝜌 =m

VConsiderando a la densidad como una constante tenemos y despejando am:

m = 𝜌 V ∴

𝜕m = 𝜌 𝜕V

El volumen será el área del disco por su espesor que tiene un valor de 𝜕y

𝝏m = 𝝆 𝐀 𝝏𝒚 …. (3)

Sabemos que de la ecuación 2 el 𝝏𝐅 es igual a 𝜕P A e igualando con la ecuación 1

𝜕P A = − 𝜕m g

Sustituyendo el valor de 𝝏𝐦 de la ecuación 3 tenemos:

𝜕P A = − 𝜌 A 𝜕y g

𝜕P = − 𝜌 g 𝜕𝑦Por lo tanto:

Es decir que la razón de cambio de la presión respecto a la disminución de laaltura se mantiene constante.

𝝏𝐏𝝏𝐲= − 𝝆 𝐠

Consideremos ahora el cambio de altura entre dos puntos dentro de unrecipiente con un líquido en reposo.

Conocemos que :

𝜕P = − 𝜌 g 𝜕𝑦Integrando tendremos:

P1

P2

𝜕P = − 𝜌 g

y1

y2

𝜕y

Y

X

P

y1

1

y2

P2

(0,0)

P2− P1 = − 𝜌 g y2 − y1

O bien:

(0,0)

P1 = P2 + 𝜌 g ∆y

Ecuación fundamental de la hidrostática

Unidades de la ecuación fundamental de la hidrostática

Sabemos que la presión hidrostática se mide en:

𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 =𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠

𝑚2

Si la densidad 𝜌 se mide en𝑘𝑔

𝑚3

La aceleración de la gravedad en𝑚

𝑠2

Y el incremento ∆𝑦 en (metros)𝑚

Tendremos que:

𝑁

𝑚2=𝑁

𝑚2+𝑘𝑔

𝑚3𝑚

𝑠2𝑚

Acomodando las unidades de la densidad y la aceleración de la gravedadtendremos que:

𝑘𝑔−𝑚

𝑠2𝑚

𝑚3 por lo tanto será 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑚

𝑚3 , por lo que queda𝑁

𝑚2 = 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙

P1 = P2 + 𝜌 g ∆y

Ahora de la ecuación fundamental de la hidrostática:

Sustituyendo la presión P1 por P y colocando lapresión P2 en la superficie del líquido, a la cualllamaremos presión atmosférica ( Patm), ahora la ∆𝒚 sesustituye por una altura h, en donde la presión P estápor debajo de la superficie, por lo tanto tendremosque:

P1 = P2 + 𝜌 g ∆y

𝐏𝐚𝐛𝐬 = 𝐏𝐚𝐭𝐦 + 𝝆 𝐠 h

La cual llamaremos Ecuación de la Presión Absoluta

La Presión Manométrica es la diferencia entre la presión absoluta y la presiónatmosférica, es decir:

𝐏𝐚𝐛𝐬 − 𝐏𝐚𝐭𝐦 = 𝝆 𝐠 h

𝐏𝐦𝐚𝐧 = 𝝆 𝐠 𝐡

Por lo tanto la presión manométrica será:

También se puede expresar la presión absoluta como sigue:

𝐏𝐚𝐛𝐬 = 𝐏 𝐦𝐚𝐧 + 𝐏 𝐚𝐭𝐦Consideraciones:

1. Un vació perfecto es la presión más baja posible. Por tanto, una presiónabsoluta siempre será positiva.

2. Una presión manométrica superior a la presión atmosférica siempre espositiva.

3. Una presión manométrica inferior a la presión atmosférica es negativa, y enocasiones se le llama vació.

4. La magnitud de la presión atmosférica varia con la ubicación y condicionesclimatológicas. La presión barométrica como la que se emite en los reportesdel clima, es un indicador de la variación continua de la presión atmosférica.

5. El rango de variación normal de la presión atmosférica cerca de la superficiede la tierra es de 95 a 105 kPa aproximadamente. Al nivel del mar la presiónatmosférica estándar es de 101.3 kPa.

6. La lb/pie2 es la unidad estándar de la presión en el Sistema Tradicional deEstados Unidos (llamada con frecuencia psi)

Comparación entre las presiones

absolutas y manométricas