HFWR )LQ GH &DUUHUD ,QJHQLHUtD GH 7HOHFRPXQLFDFLyQ …bibing.us.es/proyectos/abreproy/90611/fichero/pfcJose... · 1.5 Objetivos y alcance del trabajo9 1.6 Estructura del documento9

Proyecto Fin de CarreraIngeniería de Telecomunicación

Formato de Publicación de la Escuela TécnicaSuperior de Ingeniería

Autor: F. Javier Payán Somet

Tutor: Juan José Murillo Fuentes

Dep. Teoría de la Señal y ComunicacionesEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2013

Trabajo Fin de GradoGrado en Ingeniería Aeroespacial

Diseño de misiones de rendezvous con aste-roides próximos a la Tierra

Autor: José Manuel Montilla GarcíaTutor: Rafael Vázquez Valenzuela

Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de FluidosEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2016

Trabajo Fin de GradoGrado en Ingeniería Aeroespacial

Diseño de misiones de rendezvous con asteroidespróximos a la Tierra

Autor:

José Manuel Montilla García

Tutor:

Rafael Vázquez ValenzuelaProfesor Titular

Dep. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de FluidosEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de SevillaSevilla, 2016

Trabajo Fin de Grado: Diseño de misiones de rendezvous con asteroides próximos a la Tierra

Autor: José Manuel Montilla GarcíaTutor: Rafael Vázquez Valenzuela

El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores:

Presidente:

Vocal/es:

Secretario:

acuerdan otorgarle la calificación de:

El Secretario del Tribunal

Fecha:

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Resumen

En este trabajo se estudian los asteroides desde el punto de vista de la Mecánica Orbital bajo la premisade la necesidad de herramientas básicas para diseñar una misión cuyo objetivo final sea realizar un

encuentro controlado entre una sonda y un asteroide, ya sea con fines científicos o económicos (mineríaespacial). A grandes rasgos, y simplificándolo para poder hacer énfasis en el rendezvous, el proceso sedivide en tres partes. Primero, la necesidad de conocer la posición del asteroide en un lapso de tiemposuficientemente grande. Esto se consigue gracias al planteamiento numérico que se le ha dado. En segundolugar, se hace un estudio de la dinámica orbital alrededor de los asteroides, ya que conocer el comportamientode la sonda en las inmediaciones de estos es esencial. Aquí se ha diferenciado entre asteroides de masadespreciable y aquellos con suficiente masa como para obviar otros cuerpos, de forma que el movimiento dela sonda sea el resultado de la forma elipsoidal de estos (pues se ha usado un modelo de elipsoide triaxial parael potencial gravitatorio). En el caso de asteroides pequeños solo se estudia el movimiento relativo productode la diferencia entre las órbitas de asteroide y sonda alrededor del Sol teniendo en cuenta la elipticidad deambas, lo cual ha permitido obtener expresiones analíticas del movimiento relativo. En la última parte de unamisión de este tipo se necesitan conocer las maniobras a realizar para que, dadas las condiciones inicialesde la sonda, se consiga llegar a la superficie del asteroide en el punto deseado y con baja velocidad relativa,evitando cualquier posible colisión durante el proceso. Esto se aborda como un problema de optimizacióncon restricciones gracias a las expresiones analíticas que se han deducido previamente, lo que permite elcálculo de las maniobras impulsivas necesarias de forma rápida y eficiente. Lo anterior se mejora teniendoen cuenta posibles perturbaciones respecto de la trayectoria esperada.

I

Abstract

In this thesis asteroids are studied from the point of view of Orbital Mechanics under the premise of theneed for basic tools to design a mission whose ultimate goal is to conduct a controlled encounter between

a space probe and an asteroid, whether for scientific purposes or economic (space mining). Broadly speaking,and simplifying to emphasize the rendezvous, the process is divided into three parts. First, the need to knowthe position of the asteroid in a span large enough. This is achieved by the numerical approach that has beenused. Second, a study of the orbital dynamics around asteroids has been made, because knowing the behaviorof the probe in the vicinity of asteroids is essential. Here we have differentiated between massless asteroidsand those with enough mass to obviate other bodies, so that the movement of the probe is the result of theellipsoidal shape of these (as a model of triaxial ellipsoid has been used for gravitational potential). In thecase of small asteroids only relative movement product of the difference between the orbits of asteroid andprobe around the Sun is studied considering the ellipticity of both, which has allowed to obtain analyticalexpressions of relative motion. In the last part of a mission of this type it is needed to know the maneuvers tobe performed so that, given the initial conditions of the probe, reaching the asteroid’s surface is achieved atthe desired point and with low relative speed, avoiding any possible collision during the process. This is dealtas a constrained optimization problem thanks to the analytical expressions that has been previously deducted,allowing the calculation of impulsive maneuvers necessary quickly and efficiently. This is improved by takinginto account possible disturbances from the expected trajectory.

III

Índice

Resumen IAbstract III

1 Introducción 11.1 Importancia del conocimiento de los asteroides y de su estudio in situ 21.2 Clasificación según su composición y órbitas típicas 21.3 Breve resumen de la historia de su exploración in situ 41.4 Futuras misiones 81.5 Objetivos y alcance del trabajo 91.6 Estructura del documento 9

2 Modelado de la órbita del asteroide 112.1 Ecuación del movimiento 112.2 Posición de los planetas 122.3 Implementación en Matlab 132.4 Análisis de resultados y validación del algoritmo 14

3 Modelo de asteroide 233.1 Modelo de elipsoide triaxial 24

4 Dinámica orbital en las cercanías de un asteroide 274.1 Considerando la masa del asteroide 27

4.1.1 Integral de Jacobi 294.1.2 Radio de estabilidad de Hill 32

4.2 Despreciando la masa del asteroide 374.2.1 Ecuación del movimiento 404.2.2 Propagación analítica del movimiento 42

Validación de resultados 464.2.3 Aplicación para órbitas periódicas 484.2.4 Aplicación para inserción orbital 48

Resultados 51

5 Rendezvous sobre un asteroide 535.1 Asteroide estático 555.2 Asteroide girando 585.3 Considerando la gravedad del asteroide, bucle cerrado 62

6 Comentario del proyecto y trabajo futuro 716.1 Simulación de la órbita del asteroide 716.2 Modelo de asteroide 716.3 Órbita cerca del asteroide 736.4 Maniobra de rendezvous 73

V

VI Índice

7 Anexo 75

Índice de Figuras 81Bibliografía 83

1 Introducción

En algún sitio algo increíble espera ser descubierto.

Carl Sagan

Los asteroides son los vestigios de la formación del Sistema Solar [1], son pequeños cuerpos rocosos queno acumularon suficiente masa para convertirse en planetas y que orbitan alrededor del sol, la mayor

parte entre Marte y Júpiter. Se conocen más de medio millón, pero estos están repartidos a lo largo de unenorme volumen alrededor del sol, de forma que su separación oscila entre 1 y 3 millones de kilómetros.El concepto de asteroide engloba una gran variedad de cuerpos de diferente tamaño y composición, tantoque pueden encontrarse asteroides de cientos de kilómetros de diámetro (como Vesta con 530 kilómetros)o pequeñas rocas de apenas 10 metros de diámetro (véase la Figura 1.1), de forma que si se agruparantodos no superarían en masa a la Luna. Tienen formas irregulares y están cubiertos por multitud de cráteres,productos de la continua erosión por colisiones con otros cuerpos desde el comienzo del Sistema Solar.Pueden diferenciarse varias clases en función de su composición, algunas con gran valor económico.

Figura 1.1 Comparativa de tamaños de algunos asteroides visitados.

La dinámica orbital que los gobierna dista mucho de ser trivial. Mientras orbitan el sol, estos rotan sobre simismos, a veces de forma irregular. Algunos (más de 150 conocidos hasta ahora), poseen pequeños satélitesque los acompañan, y existen sistemas binarios de asteroides que orbitan uno alrededor del otro. Se conoceun caso de asteroide con su propio sistema de anillos (Chariklo [2], que se encuentra entre Saturno y Urano),

1

2 Capítulo 1. Introducción

y otro con varias columnas de material siendo expulsado desde su interior (P/2013 P5)1. Algunos asteroidesfueron capturados por la gravedad de planetas convirtiéndose en sus lunas, como es el caso de Fobos yDeimos y el de las lunas exteriores de los planetas gaseosos, y otros fueron desviados de sus órbitas paraacabar colisionando con la Tierra, alterando la historia geológica de nuestro planeta y el curso de la evoluciónde la vida.

1.1 Importancia del conocimiento de los asteroides y de su estudio in situ

Existen múltiples razones [3] por las que debemos alcanzar un mayor conocimiento de los asteroides y de lastecnologías que nos permitan interaccionar con ellos, pudiendo agruparse estas en tres grupos.

Para mejorar nuestro conocimiento de los orígenes del sistema solar: Ya que se formaron al mismo tiempoque los planetas, los asteroides representan una fuente de información excepcional para mejorar nuestracomprensión sobre el estado original del Sol y del disco de material que dio lugar a todos los planetas delSistema Solar. El hecho de que la mayoría de asteroides sean iguales en muchos aspectos, y por tanto hayanpermanecido inalterados desde su formación, es muy importante en este sentido. Pero más interesante esdesde el punto de vista científico, el hecho de que algunos son distintos (se han diferenciado), lo cual puedearrojar luz al proceso de diferenciación de los planetas en núcleo, manto y corteza. Precisamente es esteproceso el que ha hecho que Ceres sea ahora clasificado como planeta enano (al igual que Plutón), en lugarde como asteroide [4]. Por ello, la exploración in situ de los mismos es un requisito si queremos aprovecharla ventaja de poder observar un rango mayor de longitudes de onda y poder obtener imágenes de mayorresolución que si nos limitáramos a observaciones desde la Tierra. Históricamente, los datos obtenidosmediante naves que han pasado cerca de asteroides han mejorado y a veces revolucionado las teorías basadasen información obtenida desde la Tierra.Para disminuir el riesgo de impacto con un asteroide: Existe un grupo de asteroides (NEAs, near earth

asteroids) que representan un riesgo real ya que sus órbitas cruzan (o pasan cerca de) la de la Tierra, y estohace posible su colisión con nuestro planeta en el futuro. Se piensa que hay más de 20000 NEAs de un tamañomayor de 100m en este tipo de órbitas, y más de un millón menores. Aunque las posibilidades de un impactoque provoque nuestra extinción es baja (aproximadamente uno cada 100000 años), la frecuencia de impactoscapaces de provocar daños importantes es bastante mayor (Tunguska 1908 y Chelyabinsk 2013). Por ello,para reducir el riesgo que implican los NEAs es necesario mejorar nuestro conocimiento de su número yórbitas, así como desarrollar tecnologías que nos permitan desviar cualquiera que se encuentre en trayectoriade colisión con la Tierra.

Como fuente de recursos: Los asteroides representan una fuente importante de materias primas que puedensuponer un apoyo a la propia exploración espacial y a la economía. Podríamos aprovechar el hecho de que lanaturaleza ha realizado un proceso de refinamiento en algunos asteroides, de forma que un buen porcentajede los NEAs están formados exclusivamente de aleación Níquel-Hierro, además, los asteroides metálicoscontienen 100 partes por millón de elementos del grupo oro y platino, haciendo que un pequeño asteroide de200 metros pueda estar valorado en 100 mil millones de dolares. El 15% de los NEAs son ricos en agua,hidrógeno y oxígeno, lo cual puede suponer una gran ventaja para la futura exploración espacial, eliminandola necesidad de extraerlos de la Tierra.

1.2 Clasificación según su composición y órbitas típicas

La IAU (International Astronomical Union) no contempla oficialmente el término asteroide (no tienendefinición oficial) aunque tradicionalmente se han denominado planetas menores. Aún así, desde Agosto de2006, la IAU estableció una forma de clasificar los diferentes cuerpos del Sistema Solar (lo que hizo quePlutón dejara de ser considerado un planeta oficialmente) de forma que todos los asteroides entran dentro dela categoría de pequeño cuerpo del sistema Solar, que son todos los objetos que no se pueden clasificar comoplanetas o como planetas enanos (y que no son satélites).Normalmente los asteroides se clasifican siguiendo dos criterios [5], uno es su órbita (clasificación

dinámica), y otro es su composición (clasificación espectral). Basándonos en qué áreas del sistema solarpodemos encontrarlos, los asteroides se pueden diferenciar en los siguientes grupos:

• Near Earth Asteroid (NEA): Son aquellos que se acercan a la Tierra a menos de 0.3UA (siendo una UAla distancia media de la Tierra al sol, aproximadamente 150 millones de kilómetros) en algún punto de

1 Véase el capítulo Anexo para una explicación de cómo se nombran los asteroides.

1.2 Clasificación según su composición y órbitas típicas 3

su órbita. Dependiendo del tamaño de su órbita y de como se acerquen se distinguen varios grupos.Los Atens, con un semieje mayor2 de menos de 1UA y una distancia de afelio3 mayor de 0.983UA,algunos de ellos se cruzan con la órbita de la Tierra (alrededor de 640 conocidos). El subgrupo deAtens que nunca cruza la órbita de la Tierra se denomina Aphoele o Atira. Los Apollos, con un semiejemayor de más de 1UA y una distancia de perihelio4 menor de 1.017UA, cruzando algunos con la órbitade la Tierra (se conocen unos 3800). Los Armors, con un semieje mayor que se encuentra entre 1UAy 1.524UA pero con perihelio menor de 1.3UA, pueden cruzar la órbita de Marte pero nunca la de laTierra (3200 conocidos).

Figura 1.2 Clasificación de los NEA.

• Near Mars Asteroid: Dentro de este grupo se distinguen los Hungarias, Phocaeas y los Mars-Crossers.Los asteroides Hungarias residen en una región entre Marte y Júpiter de distancias al sol entre 1.78UAy 2UA, y por ello están sometidos a fenómenos de resonancia orbital (9:2 con Júpiter y 3:2 con Marte).Estos fenómenos de resonancia se dan cuando los periodos orbitales del asteroide y un planeta estánrelacionadas con números enteros, y pueden ser fuentes de inestabilidad orbital o de estabilidad a largoplazo. Los Phocaeas están distribuidos en el rango de 2.25−2.5UA, mientras que los Mars-Crossers(MCs) son aquellos que intersectan la órbita de Marte pero que tienen una distancia de perihelio mayorde 1.3UA (excluyendo a los Armors). Es importante resaltar que todos los MCs son inestables, por loque sus órbitas podrían cambiar a algunas que crucen con la de la Tierra.

• Sistema solar medio: Después de la órbita de Marte nos encontramos con el Cinturón de Asteroides,que a pesar de su nombre no es una región homogénea en cuanto a la distribución de estos se refiere.Además de que hay familias fuera del mismo, la fuerte gravedad de Júpiter ha creado zonas deconcentración y de huecos de asteroides, en las zonas de resonancia estable e inestable respectivamente(véase la Figura 1.3). Esta región se encuentra entre las 2.1UA y las 3.3UA, con órbitas de excentricidadmenor a 0.4 e inclinaciones menores de 30º, aunque la mayoría se encuentran sobre la eclíptica ytienen excentricidades de 0.07 aproximadamente. También es destacable la familia Hildas debido a laparticular forma que tiene el conjunto, creando un triángulo con los vértices en los puntos de Lagrange5 L3, L4 y L5 del sistema Sol-Júpiter (a pesar de que cada asteroide sigue su propia órbita elíptica).Finalmente, otro grupo importante es el de los Troyanos de Júpiter, aquellos que lo acompañan en suórbita pero a 60º por delante y por detrás (véase la Figura 1.2), es decir, alrededor de los puntos L4 yL5.

2 Es un elemento orbital que determina el tamaño de la órbita. Véase el capítulo Anexo.3 Punto más alejado del Sol.4 Punto más cercano al Sol.5 Son los puntos de equilibrio del problema de los tres cuerpos, es decir, aquellos puntos donde un cuerpo puede permanecer estáticovisto desde el sistema de referencia fijo a los dos cuerpos masivos, en el caso de los Troyanos, el Sol y Júpiter.


Figura 1.3 Distribución de asteroides entre Júpiter y Marte.

• Sistema solar externo: En esta zona se pueden encontrar los Centaurs, una familia de asteroidesque orbitan entre Júpiter y Neptuno, los TNOs (Transneptunian Objects), aquellos que se encuentranmás allá de Neptuno, y los Plutinos, aquellos que se encuentran en una órbita de resonancia 2:3 conNeptuno.

De todos los anteriores los más interesantes en cuanto a su aplicación son los NEA, ya que son los másaccesibles desde el punto de vista energético. De acuerdo a su composición la mayoría de asteroides sepueden clasificar en tres grupos:

• Tipo C (carbonaceus). Aquí se incluyen más del 75% de los asteroides conocidos. Con un albedo 6

de 0.03−0.09, tienen una composición parecida a la del sol (pero sin el hidrógeno, el helio y otrosvolátiles). Se encuentran sobre todo en la parte externa del Cinturón de Asteroides.

• Tipo S (silicaceus). Lo forman el 17% de los asteroides conocidos. Con un brillo relativamente alto(albedo de 0.10− 0.22), están formados por una mezcla de hierro metálico y silicatos de hierro ymagnesio. Se encuentran sobre todo en el Cinturón de Asteroides interno.

• Tipo M (metallic). Lo forman el resto de asteroides en su mayoría. Son relativamente brillantes (albedode 0.10−0.18), y están formados principalmente por hierro metálico. La mayoría se encuentran en elCinturón de Asteroides medio.

1.3 Breve resumen de la historia de su exploración in situ

A día de hoy 9 misiones se han realizado (una de ellas aún continua) que involucraban el encuentro conasteroides, llegando a visitar un total de 13 (contando Ceres).El 21 de octubre de 1991 se producía el primer encuentro entre una sonda hecha por el hombre y un

asteroide. La sonda Galileo, en su viaje hacía el sistema de Júpiter pasaba a 1600Km del asteroide de tipo Sperteneciente al cinturón de asteroides Gaspra, con una velocidad relativa de 8Km/s (véase la Figura 1.4).Su superficie estaba cubierta de cráteres, y un estudio detallado dio lugar a nuevos modelos de colisiones deasteroides (ya que su número sobrepasaba el límite teórico para el equilibrio de colisiones, situación en laque tantos cráteres están siendo formados como destruidos).6 Es la relación entre la luz incidente y la luz reflejada

1.3 Breve resumen de la historia de su exploración in situ 5

Figura 1.4 Imagen del asteroide Gaspra. Tomada 10 minutos antes del punto de máxima aproximación (a5300Km). Imagen: NASA/JPL/USGS.

El 28 de agosto de 1993 Galileo se encuentra de nuevo con un asteroide de tipo S: Ida (perteneciente a lafamilia Koronis). En el punto más cercano la distancia era de 2400Km y la velocidad relativa de 12.4Km/s.Como con Gaspra, mucha información de alto valor científico pudo ser extraída de las observaciones de lasuperficie de Ida, pero el descubrimiento más sorprendente no estaba sobre el asteroide, sino a su alrededor.Las imágenes revelaron que Ida poseía un pequeño satélite orbitándolo, Dactyl (véase la Figura 1.5). Estafue la primera evidencia de que un asteroide podía tener satélites y de la existencia de sistemas binarios.Combinando la información de las posibles órbitas de Dactyl con la estimación del volumen de Ida, porprimera vez se pudo realizar una estimación precisa de la densidad de un asteroide, dando un valor deaproximadamente 2.6±0.5g/cm3 (de lo cual se infiere información vital de la composición del mismo).

Figura 1.5 Imagen del asteroide Ida junto con su satélite a la derecha, Dactyl. Tomada 14 minutos antes delpunto de máxima aproximación (a 10500Km). Su eje más largo mide 60Km, mientras que Dactyltiene un radio medio de 1.4Km. Imagen: NASA/JPL/USGS.

La sonda NEAR (Near-Earth Ateroid Rendezvous) es lanzada el 17 de febrero de 1996 con el objetivo


de aterrizar en el asteroide Eros y estudiar sus características (composición, minerales, forma, distribucióninterna de masa, campo magnético...). En su trayecto tuvo un encuentro con otro asteroide el 27 de junio de1997,Mathilde, un asteroide de tipo C. A raíz de las perturbaciones medidas en la trayectoria de NEAR secalculó una densidad media de 1.3±0.2g/cm3, valor que indicaba una estructura porosa (50%) y de bajadensidad. Es por tanto plausible pensar queMathilde está formado por una agrupación de pequeñas rocas,estando el interior pulverizado por su largo historial de colisiones. Antes de que NEAR llegara a su objetivo,la sonda de la NASA Deep Space 1, una misión de bajo costo cuyo objetivo era probar nuevas tecnologíaspara la futura exploración espacial, sobrevoló un pequeño asteroide de tipo Q perteneciente a los NEAs, elasteroide (9969) Braille, el 29 de julio de 1999. El descubrimiento más importante en Braille vino de losmagnetómetros, dos sensores del motor de iones capaces de una resolución de 0.4nT . Por ello, Deep Space 1fue la primera sonda en medir directamente el campo magnético de un asteroide. Finalmente, el 14 de febrerodel 2000, la sonda NEAR alcanza al asteroide (433) Eros para llevar a cabo su misión. Desde ese momento ydurante un año, NEAR estuvo orbitando a Eros, convirtiéndose en la primera sonda en orbitar un asteroide(véase la Figura 1.6). Durante este periodo de tiempo obtuvo información acerca de su tamaño, forma, masa(su distribución), y de los campos magnético y gravitatorio. El rendezvous se produjo el 12 de febrero de2001, pudiéndose obtener las imágenes más detalladas de un asteroide hasta la fecha. La sonda fue capaz demandar información desde la superficie durante dos semanas.

Figura 1.6 Imagen del asteroide Eros. El asteroide tiene una longitud de 33Km. Imagen: NASA/JPL/JHUAPL.

El 2 de noviembre de 2002 la sonda Stardust de la NASA, en su camino hacia el cometa 81P/Wild2, tieneun encuentro con el asteroide (5535) Annefrank. Durante el encuentro (a 3100Km y 7.4Km/s en el puntomás cercano), las imágenes tomadas apenas revelaron el 40% de la superficie de este, limitando muchola estimación de su forma y tamaño. Durante el intervalo entre los meses de septiembre y diciembre del2005, la sonda JAXA Hayabusa realizó la primera extracción de muestras de un asteroide en la historia. Losdias 19 y 25 de noviembre de ese año fueron realizados dos contactos, estancias de 30 minutos y despeguesdesde la superficie de Itokawa, aunque solo el primero consiguió sacar material del asteroide. Las imágenesobtenidas durante el periodo de órbita alrededor del asteroide (a 7Km de altitud) revelan una superficiecomo nunca antes vista en un asteroide (véase la Figura 1.7), debido a la ausencia completa de cráteres.Una posible explicación [6] es que el asteroide Itokawa esté formado por una agrupación no compactada depequeñas rocas y trozos de hielo. De ser así los cráteres se llenarían de rocas cuando el asteroide se vieraperturbado por la gravedad de un planeta cercano (la Tierra en este caso). También puede ser un efectoelectromagnético causado por el sol, de forma que las partículas se volvieran eléctricamente cargadas ylevitaran en la microgravedad, llenando los cráteres. Las muestras, que fueron retornadas a la Tierra el 13de junio de 2013, fueron analizadas para revelar importantísima información acerca de la composición delasteroide y de los procesos de desgaste espacial.El 5 de septiembre de 2008 la sonda Rosetta de la ESA, cuyo objetivo era el cometa 67P/Churyumov-

Gerasimenko (y que alcanzó el 10 de septiembre de 2014), pasó cerca de (2867) Steins, el primer asteroide detipo E que se estudia de cerca. Pasó a 800Km y 8.6km/s en el punto más cercano, activando 14 instrumentospara sacar una descripción detallada del asteroide (véase la Figura 1.8). Se piensa [7] que Steins fue parte de unobjeto diferenciado mayor en el pasado y que se separó de este, además de que el núcleo podría estar formado

1.3 Breve resumen de la historia de su exploración in situ 7

Figura 1.7 Imagen del asteroide Itokawa. Imagen: ISAS/JAXA.

por una agrupación de rocas cuyo destino podría ser separarse completamente a causa de su rotación. Másadelante, el 10 de julio de 2010, Rosetta pasó cerca del asteroide Lutetia (3170Km y 15Km/s). Un estudiodetallado de la superficie, composición y densidad concluyó que el asteroide es con mucha probabilidad unplanetesimal, es decir, uno de los primeros estados en la formación de planetas en los comienzos del SistemaSolar, y que de alguna forma ha sobrevivido hasta el día de hoy a pesar de la evidencia de las continuascolisiones que ha sufrido (véase la Figura 1.9).

Figura 1.8 Imagen del asteroide Steins. El asteroide tiene unas dimensiones de 6.7x5.8x4.5Km3. Imagen:ESA ©2008 MPS for OSIRIS Team MPS/UPD/LAM/IAA/RSSD/INTA/UPM/DASP/IDA.

El 16 de julio de 2011 la sonda Dawn de la NASA, cuya misión es visitar tanto Vesta como Ceres (tercer yprimer cuerpo más grande del cinturón de asteroides respectivamente), entra en órbita alrededor de Vesta (laprimera vez que se órbita un cuerpo del cinturón principal). Con un radio de 530 Km se cree que Vesta es elremanente intacto de un protoplaneta de la época de formación del Sistema Solar (véase la Figura 1.10). Enseptiembre de 2012 terminó con su investigación de Vesta, y partió hacia (1) Ceres, para llegar en primaveradel 2015. Actualmente la misión sigue su curso normal y se encuentra en órbita alrededor de Ceres enviandoinformación muy detallada [8] (véase la Figura 1.11).


Figura 1.9 Imagen del asteroide Lutetia. El asteroide tiene unas dimensiones de 121x101x75Km3. Imagen:ESA 2010 MPS for OSIRIS Team MPS/UPD/LAM/IAA/RSSD/INTA/UPM/DASP/IDA.

Figura 1.10 Imagen del asteroide Vesta. La imagen tiene una resolución de 485m por píxel. Imagen:NASA/JPL-Caltech/UCLA/MPS/DLR/IDA.

Por último, cabe mencionar el sobrevuelo de la sonda china Cheng´E 2 del asteroide (4179) Toutatis (unNEA de clase S-) el 13 de diciembre de 2012 a una distancia de apenas 3.2Km.

1.4 Futuras misiones

A día de hoy ya hay misiones en desarrollo para estudiar asteroides (como la misión Dawn), además de planespara misiones futuras. La NASA ya tiene preparada la misión OSIRIS-REx [9], cuya fecha de lanzamiento seubica en septiembre de 2016 y tiene el de objetivo aproximarse al que se considera el asteroide más peligrosoen términos de probabilidad de colisión, el asteroide Bennu (1999 RQ36). Se planea que alcanzará su objetivoen el año 2020, y si sale como está planeado será capaz de retornar muestras de la superficie. La misiónHayabusa tiene una sucesora, la Hayabusa 2, cuya sonda se lanzó el 3 de diciembre de 2014 y tiene previstollegar en junio de 2018 a su objetivo, el asteroide Ryugu (1999 JU3), con intención de crear un pequeñocráter con un dispositivo de colisión, tomar muestras de este, y retornarlas a la Tierra para el 2020. Paraconcluir, la ESA (en colaboración con la NASA) se encuentra desarrollando una misión con objetivo el

1.5 Objetivos y alcance del trabajo 9

Figura 1.11 Imagen del planeta enano Ceres. Tomada desde una distancia de 13600Km. Imagen: NASA/JPL-Caltech/UCLA/MPS/DLR/IDA.

sistema Didymos para el año 2020, AIM (Asteroid Impact Mission), la primera misión a un sistema doblede asteroides (Didymain y Didymoon son el cuerpo mayor y el menor respectivamente). La misión tienecomo objetivo estudiar las tecnologías asociadas con el desvió de asteroides peligrosos mediante misiles queimpacten sobre estos.

1.5 Objetivos y alcance del trabajo

En este trabajo se pretende dar a conocer herramientas básicas para el estudio de los asteroides del SistemaSolar. En particular, a aquellos asteroides que tengan alguna utilidad desde alguno de los puntos de vistaexplicados en Sección 1.3 y que sean fácilmente alcanzables con la tecnología de que se dispone actual-mente. Se hará un estudio de las características dinámicas que tienen algunos asteroides (órbitas, campogravitatorio...), así como de las órbitas que se pueden alcanzar en las cercanías de estos bajo la simplificación(nada exagerada en la mayoría de los casos) de que un asteroide se puede asimilar a un elipsoide triaxial.Finalmente, se hará énfasis en la parte de la exploración de asteroides que se puede considerar más delicada,el rendevouz sobre estos, estudiando métodos simplificados para la simulación y optimización del proceso.

1.6 Estructura del documento

En esta introducción se ha pretendido dar una visión general básica del concepto de asteroide a día de hoyasí como del trabajo de exploración que se ha hecho hasta el momento, para así facilitar la comprensiónde las decisiones que se tomen en adelante en este trabajo. En el capítulo 2 se estudiará un método parasimular las órbitas de asteroides cercanos a la Tierra con suficiente precisión en lapsos de tiempo del ordende una misión de este tipo. En el capítulo 3 se planteará el modelo de asteroide que se va a usar a lo largodel trabajo, en el cual se realizan simplificaciones en su forma y dinámica rotacional. En el capítulo 4 seestudiarán las órbitas que puede desarrollar una nave alrededor de estos bajo ciertas simplificaciones, asícomo las propiedades de las órbitas periódicas dada su elevado valor práctico. El capítulo 5 expone diversosprocedimientos para el rendezvous sobre asteroides cuando se realiza la simplificación de que el asteroideno ejerce ningún efecto sobre la sonda, y considerando además el efecto de la gravedad sobre la maniobracalculada con tal simplificación. En el capítulo 6 se realizarán algunos comentarios sobre los procedimientosy simplificaciones realizadas, además de propuestas de mejora y ampliación de lo expuesto en el presentedocumento. Se añade un capítulo Anexo en el que se explican algunos conceptos relacionados con la MecánicaOrbital para ayudar a la comprensión de lo que aquí se expone.

2 Modelado de la órbita del asteroide

Para la obtención de la órbita del asteroide a partir del momento en que comienza la simulación, se integrarádirectamente la ecuación del movimiento de un cuerpo sometido a la fuerza del Sol y de otros astros. En estecaso, ya que nos interesa conocer posiciones futuras de asteroides que podamos alcanzar con relativa facilidad,solo se tendrá en cuenta la acción gravitatoria de la Tierra y de Júpiter, pues como se verá más adelante,ambos tienen efectos gravitatorios de la misma importancia cuando se trata de órbitas en las cercaníasde la Tierra. Para ello será necesario conocer en todo momento las posiciones de ambos planetas, y asípoder usarlas en la integración numérica. Esto se conseguirá aplicando un método específico para propagarlos elementos orbitales de los planetas (véase el capítulo Anexo para una explicación pormenorizada delos elementos orbitales). A lo largo del capítulo se necesitarán datos de posición reales de los asteroidespara así poder validar los resultados obtenidos de este método de simulación, para esto se recurrirá a laherramienta HORIZONS System del JPL (Jet Propulsion Laboratory). Con dicha herramienta se puedenobtener efemérides1 de alta precisión de cualquier cuerpo del Sistema Solar en el periodo de tiempo que sedesee y en intervalos elegidos por el usuario (de esta forma podemos hacer que coincidan con el paso deintegración que usemos en la simulación).

2.1 Ecuación del movimiento

Para empezar, supongamos que solo hay un tercer cuerpo que perturba el movimiento del asteroide respectodel que tendría si solo estuviera el Sol. Así, su movimiento vendrá dado por la siguiente ecuación diferencialpara un sistema de referencia inercial con origen el centro de masas de los dos cuerpos másicos:

~rIN =−µCp~rr3 +µCs

~rCs−~r|~rCs−~r|

3 (2.1)

En la Ecuación 2.1 el vector~r da la posición del asteroide respecto del cuerpo principal del sistema (el Solen nuestro caso), mientras que el vector~rCs es el que apunta al cuerpo secundario con origen en el cuerpoprincipal. Véase la Figura 2.1 donde se ejemplifica la situación anterior para el sistema Tierra-Luna.

Para esta aplicación nos interesa conocer el movimiento del asteroide respecto del cuerpo principal (y norespecto del baricentro2 del sistema completo), por lo que hay que transformar la ecuación anterior paraobtener las fuerzas que ve el asteroide vistas desde el sistema de referencia fijo al cuerpo principal.Utilizando la nomenclatura de la Figura 2.1 se tiene que~rCs =~r2−~r1, mientras que mCp~r1 +mCs~r2 =~0

(la posición del centro de masas en un sistema de referencia fijo a este es~0 por definición). Con lo anteriorse llega a~r1 = −

mCsmCs+mCp

~rCs. Por otro lado, la ecuación del movimiento del cuerpo secundario dicta que

~rCs =−G(mCs+mCp)

r3Cs

~rCs. De donde ~r1 =−mCs

mCs+mCp~rCs =

mCsmCs+mCp

G(mCs+mCp)

r3Cs

~rCs =µCs~rCs

r3Cs

.Como~rIN =~r1 +~r, llegamos al resultado que buscábamos:

~r =−µCp~rr3 +µCs


3 −µCs~rCs

r3Cs

=~γK +~γP (2.2)

1 Las efemérides astronómicas son colecciones de datos que contiene las coordenadas de los cuerpos celestes de interés para un conjuntode épocas dadas

2 Centro de gravedad

11

12 Capítulo 2. Modelado de la órbita del asteroide

Figura 2.1 Sistema Tierra-Luna.

Donde~γK =−µCp~rr3 es la fuerza Kepleriana clásica, y~γP = µCs

~rCs−~r|~rCs−~r|3

− µCs~rCsr3Cs

es la fuerza de perturbacióndebida al tercer cuerpo.Lo anterior se puede generalizar a un sistema con más cuerpos de la siguiente forma3:

~r =~γK +N

∑i=1

~γPi(2.3)

Para poder utilizar la expresión anterior (integrarla para obtener la posición del asteroide) es necesario queconozcamos la posición de los N cuerpos en todo momento. Esto se resuelve en el siguiente punto.

2.2 Posición de los planetas

La obtención de la posición de los planetas del sistema solar en un intervalo de tiempo genérico no es unproblema trivial ya que estos están sometidos a multitud de perturbaciones que alejan su posición de la quese podría esperar para un sistema de dos cuerpos (Sol-Planeta). Por ello, el procedimiento que se seguiráserá el siguiente: A partir de efemérides conocidas de los planetas en la época del J20004 se obtendrán suselementos orbitales Keplerianos en el momento del comienzo de la simulación utilizando un propagadorplanetario5. En los instantes posteriores de la simulación se seguirá usando el propagador planetario paraconocer la posición de estos.

Propagador planetario

Para la utilización del propagador planetario se usarán los datos de la Tabla 2.1, en los que se tiene tanto elvalor de los elementos orbitales en el J2000 como su variación temporal a partir de ese momento (nótese quese va a utilizar el baricentro del sistema Tierra-Luna y no únicamente la Tierra). Tradicionalmente para losplanetas los elementos orbitales heliocéntricos se dan de la forma (a,e,i,Ω,ϖ ,L), donde ϖ = w+Ω es lalongitud del perihelio, y L= ϖ +M es la longitud media.

El modelo a seguir con el propagador planetario pasa por utilizar la siguiente ecuación:

(a,e,i,Ω,ϖ ,L) = (a0,e0,i0,Ω0,ϖ0,L0)+(a,e,ddt

i,Ω, ϖ , L) ·T0 (2.4)

Donde T0 es el número de centurias julianas transcurridas entre el J2000 y el momento en que se quierenconocer los elementos planetarios heliocéntricos. Se calcula utilizando la fórmula T0 =

JD−245154536525 , donde

JD es el día juliano6 de cálculo.

3 Esta afirmación necesita de una justificación adecuada ya que se está generalizando un resultado del problema de los tres cuerpos paraun sistema con más cuerpos. La justificación se desarrolla en el capítulo Anexo.

4 Se define una época como un instante de tiempo que se usa como referencia y en el que se conoce la posición de uno o más cuerpos deinterés (planetas, estrellas...). La época estándar actual es el J2000, el 1 de Enero de 2000 a las 12:00

5 Un propagador es un método de obtención de elementos orbitales a partir de estos en un instante dado. En el caso del propagadorplanetario, este utiliza un ajuste que aproxima con bastante precisión la variación con el tiempo de los mismos.

6 Definidos por Joseph Slainger en 1582 con el propósito de racionalizar la medida del tiempo en escalas astronómicas (años,siglos)evitando las ambigüedades como los años bisiestos y permitiendo unificar los calendarios. Es una cuenta de días a partir de la épocadefinida a las 12:00 UT del 1 de Enero del año 4713 AC. Se cuenta 1 día de 12:00 UT de un día al siguiente, y las horas minutos y

2.3 Implementación en Matlab 13

Tabla 2.1 Elementos orbitales Keplerianos y su variación respecto del plano de la eclíptica y el equinoccio en el J2000.Válido para el intervalo 1800 AD - 2050 AD. Ángulos en grados y su variación temporal en grados por centuriajuliana. Fuente: JPL NASA.

a [ua, ua/cty] e i Ω ϖ L

Baricentro 1.00000261 0.01671123 -0.00001531 0 102.93768192 100.46457166Tierra-Luna 0.00000562 -0.00004392 -0.01294668 0 0.32327364 35999.37244981

Júpiter 5.20288700 0.04838624 1.30439695 100.47390909 14.72847983 34.39644051-0.00011607 -0.00013253 -0.00183714 0.20469106 0.21252668 3034.74612775

Coordenadas cartesianas a partir de elementos orbitales

Dado un sistema de referencia con origen en el foco ocupado por el cuerpo central del movimiento y eje xapuntando hacia periapsis (sistema de referencia perifocal), la posición y la velocidad dadas las coordenadaspolares vendrá por:

~rF = r~er ;~vF = r~er + rθ~eθ

Para dejarlo en función de la anomalía verdadera usaremos que la velocidad a la que barre áreas el vector~res constante (segunda ley de Kepler), lo cual se puede demostrar que significa h = r2

θ (siendo h el momentocinético específico del movimiento alrededor de la órbita, también llamada constante de áreas). Esto juntocon la ecuación de la cónica y la definición del parámetro de la órbita lleva a:

rθ =

√pµ

r= (1+ ecos(θ))

√µ

p⇒

r = θd(r)dθ

= rθesen(θ)

(1+ ecos(θ))=

√µ

pesen(θ)

Por lo que sustituyendo se obtienen las coordenadas cartesianas en función de la anomalía verdadera:

~rF =p

1+ ecos(θ)

cos(θ)sen(θ)

0

~vF =

√µ

p

−sen(θ)cos(θ)+ e

0

Las coordenadas anteriores están dadas en el sistema de referencia perifocal, y para expresarlas en el

sistema heliocéntrico hay que transformar los vectores usando la matriz de giro:

CFR =

cos(Ω)cos(w)− sen(Ω)sen(w)cos(i) sen(Ω)cos(w)+ cos(Ω)sen(w)cos(i) sen(w)sen(i)−cos(Ω)sen(w)− sen(Ω)cos(w)cos(i) −sen(Ω)sen(w)+ cos(Ω)cos(w)cos(i) cos(w)sen(i)

sen(Ω)sen(i) −cos(Ω)sen(i) cos(i)

La matriz anterior transforma un vector en el sistema de referencia heliocéntrico al sistema perifocal, por

lo que la inversa hará el cambio contrario, que es el que buscamos.

2.3 Implementación en Matlab

El procedimiento que se ha seguido para poder propagar la posición de un asteroide cualquiera desde unaépoca también genérica (dentro de un intervalo definido por el propagador planetario) mediante métodosnuméricos se explica a continuación. La estructura de los archivos de Matlab utilizados es la siguiente:

segundos en exceso de las 12:00 UT se contabilizan como decimales del día. Por ejemplo, el 1 de Enero de 2000 (a las 12:00 horasUT) es el JD 2451545.0


• Programa principal: Aquí se introducen los datos referentes al asteroide del que se quiere conocer laposición en un intervalo de tiempo, es decir, sus elementos orbitales y la época a la que pertenecen(esta puede ser cualquiera en el intervalo 1800 AC - 2050 AC, aunque es posible ampliar ese intervaloañadiendo más información del propagador planetario), así como el tiempo que se quiere propagardesde esa época. Después se llama a las funciones necesarias para realizar la tarea, estas se enumerana continuación.

• Función de ecuación diferencial del movimiento: Esta función devuelve el valor de las derivadas deposición y velocidad, en función de los valores de posición y velocidad en un instante dado, es decir,que hay que transformar la ecuación diferencial de segundo orden dada en la Sección 2.1, a un sistemade ecuaciones de primer orden para poder resolverla numéricamente mediante una función de tipo odeimplementada en Matlab:

d2

dt2~r = f (~r)⇒

ddt~r =~rddt~r = f (~r)

• Funcion que propaga la posición de los planetas: Se han realizado dos funciones para tal propósito. Unade ellas utiliza el método del propagador planetario para conocer los elementos orbitales heliocéntricosde los planetas en el instante de comienzo de la simulación. Para ello utiliza la diferencia en díasjulianos de la época inicial y la del J2000 (donde se tienen los elementos orbitales de los planetas). Laotra utiliza el propagador planetario para conocer los elementos de los planetas pasados t segundosdel comienzo de la simulación, esta utiliza los elementos calculados por la primera como elementosiniciales.

• Función para obtener coordenadas cartesianas: Utiliza el método explicado en el apartado anteriorpara obtener las coordenadas de un planeta en un instante dado a partir de sus elementos orbitales,también es llamada desde dentro de la función de la ecuación diferencial.

• Función para extraer datos de posición: A partir de las efemérides obtenidas mediante la herramientaHORIZONS extraemos los elementos orbitales en los instantes de tiempo deseados, para así podercomparar los resultados de la simulación. Se ha aplicado tanto para la posición del asteroide comopara los planetas.

En Matlab es muy común utilizar la función ode45 para resolver sistemas de ecuaciones diferencialesordinarias (EDOs), y para esta aplicación (tras haber hecho el cambio de ecuación de segundo orden asistema de primer orden) es una opción perfectamente válida, ya que permite resolverlas con multitud deopciones en cuanto a restricciones de error relativo y absoluto. Aún así, en este caso nos interesa imponerunas restricciones a los errores bastante grandes, para reducir en la medida de lo posible la acumulación deerror en posición del asteroide en misiones de larga duración. Para este tipo de aplicaciones Matlab tieneimplementado el ode113, que comparado con el ode45 es mucho mejor resolviendo problemas con toleranciasen los errores muy restrictivas. Precisamente, una situación muy común en la que destaca el ode113 es enaplicaciones de mecánica orbital, donde se requiere alta precisión. Esta función implementa algoritmos pararesolver los problemas con mucha rapidez, gracias a que necesita evaluar la función muchas menos veces.Se ha realizado una simulación de 10 años de duración con un paso fijo de 10 horas, y se ha comprobadola diferencia entre ambas funciones: ode45 115 segundos y ode113 8 segundos (es evidente cual convieneutilizar aquí). Se ha comprobado que no se está sacrificando precisión a cambio de la rapidez de integración.

2.4 Análisis de resultados y validación del algoritmo

En este apartado se mostrarán los resultados obtenidos con algunos asteroides en intervalos de tiempo quepodrían ser los de una misión real. Para validar los resultados, y por tanto el algoritmo en general, se usarándatos de esos asteroides y de los planetas obtenidos de la herramienta HORIZONS de la Nasa, y en lo quesigue se considerarán los datos reales, debido a la gran cantidad de perturbaciones que tiene en cuenta dichaherramienta para propagar la posición de los cuerpos del Sistema Solar.

Eros

El asteroide (433) Eros ya ha sido visitado como se comentó en la Sección 1.3, y para esta simulación seha elegido el 1 de enero del 2020 como punto de comienzo, así como un periodo de 5 años a partir de ese

2.4 Análisis de resultados y validación del algoritmo 15

momento como tiempo de simulación. Para la integración se ha dejado que la función ode elija el paso deforma dinámica, para así hacerla más eficiente (para distintos puntos de la órbita se necesitan pasos diferentesa fin de conseguir una precisión dada). En la Figura 2.2 se ha representado la órbita de Eros7 (junto con la dela Tierra y Júpiter), aunque esto no da demasiada información sobre las capacidades de este método paradeterminar la posición del asteroide.

Figura 2.2 Representación de la órbita de Eros (2020-2025).

Para ello se ha representado la distancia entre el asteroide real y el de la simulación en la Figura 2.3.Además, para dar perspectiva a estos datos, en la Figura 2.4 se tiene esta distancia en relación a la del asteroidereal al Sol, expresada en tanto por ciento (de forma que un 100% significa que el asteroide de la simulaciónestá tan alejado del real como este del Sol). El objetivo de este trabajo no es conocer la posición de unasteroide con la misma precisión que la que se requeriría para llevar una nave a las cercanías de este, sinomás bien para hacer el diseño preliminar de una misión de este tipo, por lo que en adelante se consideraránválidas distancias relativas menores de un uno por ciento (que no deja de ser un error bajo si tenemos encuenta la simplicidad del algoritmo).Es interesante observar la Figura 2.5, ya que se puede ver confirmada la suposición inicial sobre la que

descansa el algoritmo de que tanto la Tierra como Júpiter tienen importancias relativas similares. En el casode la órbita de Eros, es Júpiter quien tiene una clara relevancia en cuanto a la magnitud de la perturbación,pero ambos planetas ejercen una fuerza sobre el asteroide del mismo orden. Finalmente, véase la Figura 2.6,donde se ve representada la distancia entre la Tierra de nuestra simulación (obtenida con el uso del propagadorplanetario) y la Tierra real, en relación a la distancia de la Tierra real al Sol. Como puede observarse es unadiferencia muy baja que parece no seguir ningún tipo de tendencia, lo que valida la utilización de este métodopara posicionar los planetas.

Para comprobar como se pierde precisión conforme el tiempo de simulación aumenta se ha realizado otrahasta el año 2250 (mucho mayor del necesario para una misión real). En la Figura 2.7 se muestra el errorobtenido en la posición del asteroide durante el transcurso de la simulación, y como era de esperar este vaaumentando, llegando a ser demasiado grande (más de un 1%) a partir de la mitad de esta. En la Figura 2.8puede verse la magnitud de las perturbaciones ejercidas por Júpiter y la Tierra, y aunque el primero sigue

7 Se han marcado los puntos de paso por los nodos ascendente y descendente con asteriscos, de forma que para órbitas que se cortanpueda verse a primera vista como de cerca se ha realizado un acercamiento entre planeta y asteroide.


Figura 2.3 Error de la simulación, Eros (2020-2025).

Figura 2.4 Error relativo, Eros (2020-2025).

siendo más importante en general, hay momentos en que ambos tienen la misma importancia relativa, debidoa que el asteroide pasa lo bastante cerca de la Tierra. Por último, véase (Figura 2.9) que el error en posiciónde la Tierra durante la simulación se mantiene dentro de límites aceptables, incluso cuando el intervalo desimulación excede el de validez del propagador planetario.


Figura 2.5 Fuerzas de Júpiter y de la Tierra, Eros (2020-2025).

Figura 2.6 Distancia relativa entre la Tierra real y la simulada (2020-2025).


Figura 2.7 Error de la simulación en valor absoluto y relativo, Eros (2020-2250).

Figura 2.8 Fuerzas de Júpiter y de la Tierra, Eros (2020-2250).

Ryugu

El asteroide 162173 Ryugu (1999 JU3) es considerado uno de los más rentables económicamente desde elpunto de vista de la minería espacial. Con un valor estimado en 95 mil millones de dólares8 y un ∆V 9 necesariopara alcanzarlo de 4.6 Km/s de media (la Luna es alcanzable con un ∆V de 4 Km/s aproximadamente encomparación), se estima que el aprovechamiento de los materiales de este asteroide puede tener un beneficioeconómico de 35 mil millones de dólares. En este caso se ha realizado la simulación en un periodo de 15años y con los mismos parámetros, dando lugar a los datos de la Figura 2.10 y la Figura 2.11.Se puede observar que desde el comienzo de la simulación el error empieza a divergir si lo comparamos

con el caso del asteroide Eros (en la Figura 2.7 podemos ver que transcurren unos 63 años hasta que se alcanzaeste error, mientras que en este caso el tiempo transcurrido es de 15 años). Para comprender la razón de estecomportamiento es útil comprobar la evolución de la distancia entre el asteroide y la Tierra, representadoen la Figura 2.12, así como las fuerzas relativas que ejercen la Tierra y Júpiter (Figura 2.13). Se puede verclaramente que se ha producido un acercamiento entre el asteroide y la Tierra, lo cual a priori puede pareceralgo anecdótico, y sin ninguna relación con el error obtenido. Sin embargo, conviene recordar al lector una8 Información basada en su tamaño y composición, que se obtiene mediante análisis espectral de la luz reflejada.9 En astronáutica es el incremento de velocidad total necesario para alcanzar una órbita determinada, y es directamente proporcional alcoste de la misión.


Figura 2.9 Distancia relativa entre la Tierra real y la simulada (2020-2250).

de las propiedades que posee el problema de los tres cuerpos de la Mecánica Orbital: es inherentementecaótico. Esto quiere decir que para un mismo problema, y dadas unas condiciones iniciales, el resultado deuna simulación es altamente sensible a dichas condiciones iniciales, por lo que un cambio ínfimo en el valorde estas (ya sea en posición o velocidad), puede dar como resultado un cambio muy importante en las órbitas,que es precisamente lo que estamos viendo aquí. Como puede verse en la gráfica de las fuerzas relativas,al poco de comenzar la simulación la Tierra se vuelve muy importante, y es en este punto cuando la órbitadel asteroide deja de ser un producto casi exclusivo de la atracción del Sol, volviéndose el resultado de unproblema de 3 cuerpos y por tanto muy sensible a la posición de estos. Recuérdese que la posición de laTierra resulta de utilizar un método muy simplificado, y como se vio en la Figura 2.6, es un dato que desde unprimer momento acarrea un poco de error, por lo que esta es la causa de la falta de fidelidad de la simulacióna partir de este momento.

Estos resultados proporcionan mucha información acerca de las limitaciones que tiene el método elegidopara predecir la posición de asteroides que se encuentren en órbitas cercanas a la de la Tierra. Será altamentepreciso cuando se trate de órbitas cercanas a esta, pero que no terminen de cortar en ningún punto. En cambio,los resultados deben ser tratados con precaución cuando se trate de asteroides que se crucen con la órbita dela Tierra, pues incluso el pequeño error que se obtiene utilizando el propagador planetario es suficiente parainvalidar los resultados si se produce un acercamiento excesivo entre la Tierra y el asteroide.


Figura 2.10 Representación de la órbita de Ryugu (2020-2035).

Figura 2.11 Error relativo de la simulación, Ryugu (2020-2035).


Figura 2.12 Distancia del asteroide simulado a la Tierra, Ryugu (2020-2035).

Figura 2.13 Fuerzas de Júpiter y de la Tierra, Ryugu (2020-2035).

3 Modelo de asteroide

Como ya se vio en el capítulo de introducción, existen asteroides de todo tipo de formas y tamaños, porlo que un modelo general de los mismos no es en absoluto trivial, aunque es técnicamente posible llegarhasta uno que nos permita conocer con total precisión el campo gravitatorio que estos generan a su alrededorsi se tiene la suficiente información, sea cual sea el asteroide. Evaluar la dinámica alrededor de asteroidesrequiere de conocer un modelo completo del mismo, y para ello es necesario tener una descripción de suestado de rotación y de su campo gravitatorio. En cuanto a su estado de rotación, en principio este puedellegar a ser bastante complejo (rotación no uniforme alrededor de un eje que varia con el tiempo), pero debidoa las fuerzas internas de disipación que actúan sobre los asteroides en su rotación, podemos suponer paranuestro modelo que el giro es uniforme y se realiza alrededor de un eje fijo, que además es uno de los ejesprincipales de inercia. La mayoría de asteroides se encuentran en este estado de rotación independientementede cual fuera su estado inicial, y para aquellos con periodos de rotación normales (días o menos), ocurre enun periodo muy corto comparado con las escalas de tiempo del sistema solar.

El modelo de campo gravitatorio estándar que se usa en aplicaciones de navegación alrededor de cuerpospequeños es el campo de expansión de armónicos esféricos. Este se deduce de imponer a una función que seasolución de la ecuación de Laplace1, siendo la función el potencial gravitatorio dependiente de la latitudy la longitud, así como de la distancia al centro de masas (ya que la distribución de masas es dependientede estos), U =U(r,φ ,λ ) (véase la Figura 3.1). En coordenadas esféricas la ecuación de Laplace se puedeexpresar como:

1r2

∂

∂ r

(r2 ∂U

∂ r

)+

1r2cosφ

∂

∂φ

(cosφ

∂U∂φ

)+

1r2cos2φ

∂U∂λ 2 = 0 (3.1)

La solución general a (3.1) viene dada por:

U =µ

r

[1−

∞

∑n=2

n

∑m=0

Jnm

(R0r

)2

pnm(senφ)cos(m(λ −λnm))

](3.2)

El término µ/r es el potencial gravitatorio creado por una esfera y es de donde se extrae el modelo delos dos cuerpos, mientras que el resto de la serie representa la desviación respecto de la esfera. R0 es elradio de normalización, y puede usarse un valor cualquiera (a veces se usa el de la esfera que circunscribe alelipsoide), ya que solo escala el valor del potencial, mientras que lo importante es el gradiente de este. Loscoeficientes Jnm y λnm son los asociados al armónico nm, y pnm es el polinomio asociado de Legendre degrado n y orden m (evaluado en sen(φ)), que se define como:

pnm(x) = (−1)m(1− x2)m/2 dm pn(x)dxm ⇐ pn(x) =

12n2!

dn

dxn

[(x2−1

)n]

Donde pn(x) es el polinomio de Legendre de grado n. Utilizando la formulación anterior se puede obteneruna descripción detallada del potencial de cualquier cuerpo si se tiene la suficiente información referente a suforma y orientación respecto a unos ejes. Esta información puede obtenerse mediante datos radiométricos yópticos que se extraen a partir de observaciones desde tierra, o preferiblemente, desde observaciones in situpara mayor detalle.

1 La ecuación de Laplace se puede expresar como ∇2F = 0

23

24 Capítulo 3. Modelo de asteroide

Figura 3.1 Cuerpo general.

3.1 Modelo de elipsoide triaxial

Para este trabajo se va a realizar una simplificación respecto a la forma de los asteroides que consisteen suponerlos aproximadamente como elipsoides triaxiales. Esto quiere decir que su geometría quedacompletamente definida con 3 parámetros (los tres semiejes del elipsoide por ejemplo), y como consecuenciaque la descripción del potencial a partir de armónicos esféricos se puede truncar hasta los coeficientes desegundo grado. Este enfoque es una solución de compromiso entre la expansión de armónicos esféricos (queen potencia puede dar una descripción perfecta del campo gravitatorio) y el modelo de cuerpo esférico. Conel modelo triaxial obtenemos un modelo cerrado del potencial gravitatorio que tiene en cuenta los mayoresefectos debidos a la forma no esférica del objeto, y que además puede derivarse de observaciones ópticasúnicamente, pues solo necesitamos saber las dimensiones del elipsoide que engloba al asteroide con un mejorajuste.Así, de la ecuación (3.2) se realizan los sumatorios tomando hasta n = 2, por lo que aparecerán los

coeficientes J20,J21,J22,λ21 y λ22. Si orientamos los ejes principales del elipsoide con los ejes coordenados,por simetría podemos afirmar que J21 = 0 y λ22 = 0, y que por tanto λ21 tampoco es relevante (se usará J20como J2). Por tanto, la expresión del potencial para el modelo triaxial dependerá de 2 parámetros, quedandode la siguiente forma:

U =µ

r

[1+

J22

(R0r

)2

(1−3sen2φ)−3J22

(R0r

)2

cos2φcos(2λ )

](3.3)

Donde se ha tenido en cuenta que p20(senφ) = 12 (3sen2

φ −1) y que p22(senφ) = 3(1− sen2φ) = 3cos2

φ .Para calcular las dos constantes que han quedado en la expresión del potencial debemos imponer doscondiciones sobre este, y para ello utilizaremos que por definición el potencial gravitatorio debe tener elmismo valor en todos los puntos de la superficie del elipsoide. En concreto lo aplicaremos sobre los puntosde intersección de los semiejes positivos con la superficie (véase la Figura 3.2):

A : r = a; λ = 0; φ = 0

B : r = b; λ = π/2; φ = 0

C : r = c; φ = π/2 ∀λ

Donde a,b y c son los valores de los semiejes del elipsoide, cumpliendose que a > b > c. Así, haciendoque UA =UB y UB =UC se obtiene un sistema de dos ecuaciones con J2 y J22 como incógnitas:

J2

[b2

(R0a

)2

− a2

(R0b

)2]− J22

[3b(

R0a

)2

−3a(

R0b

)2]= (a−b)

J2

[c2

(R0b

)2

+b(

R0c

)2]− J22

[3c(

R0b

)2]= (b− c)

Resolviendo el sistema anterior se obtienen los valores de las constantes en la Ecuación 3.3. A continuación,solo necesitamos conocer el gradiente del potencial, pues en las ecuaciones del movimiento aparecen

3.1 Modelo de elipsoide triaxial 25

Figura 3.2 Elipsoide modelo triaxial.

las derivadas del potencial en coordenadas cartesianas. Para ello se aplica la expresión del gradiente encoordenadas esféricas:

∇U =∂U∂ r

~er +1r

∂U∂φ

~eφ +1

rsenφ

∂U∂λ

~eλ (3.4)

El valor del parámetro gravitatorio se obtendrá en adelante suponiendo una densidad constante para elasteroide y aplicando:

µ = Gmast =4π

3Gρabc

Donde G = 6.673x10−11 m3

Kg·s2 es la constante de gravitación de Newton.

4 Dinámica orbital en las cercanías de unasteroide

Una sonda que se se dirige a las proximidades de un asteroide se verá afectada por el Sol, los planetas máscercanos y en última instancia por la gravedad del asteroide (dejando a un lado las fuerzas no gravitatoriascomo la presión del viento solar o la propia propulsión de la nave). En adelante no se tendrán en cuenta lasperturbaciones debidas a los planetas, y como se explicará, distinguiremos dos tipos de situaciones en lo quea la dinámica orbital cerca de asteroides se refiere. Primero se verán los efectos de la gravedad del asteroidesobre una sonda que se encuentre lo bastante cerca como para despreciar el efecto del Sol (el asteroide debetener una masa suficiente para que esta sea una situación realista). Por último, en el caso de que el asteroidesea de masa despreciable, veremos una descripción de las trayectorias posibles en las cercanías de asteroidesque se encuentran en órbitas elípticas alrededor del Sol. Este último caso es en realidad el más común dadoque la gran mayoría de asteroides son de pequeño tamaño (menos de un kilómetro de diámetro), y por tantotener en cuenta su gravedad es poco práctico. En cambio, existen asteroides cuya masa dista mucho de serdespreciable, como es el caso de los asteroides Eros,Ida,Lutetia,Vesta... (véase la Figura 1.1).

4.1 Considerando la masa del asteroide

Para el estudio del movimiento de una sonda alrededor de un asteroide que rota y teniendo en cuenta el efectoque tiene sobre esta la distribución de masa del asteroide es muy útil utilizar un sistema de referencia fijoa este. Con esta consideración conseguimos que las ecuaciones del movimiento sean independientes deltiempo, pues un punto fijo en este sistema de referencia ve siempre el mismo potencial gravitatorio (y portanto el mismo gradiente), aunque este punto esté en realidad rotando respecto del sistema de referencia fijo alas estrellas.Consideremos un sistema de referencia fijo al centro de masas del asteroide y cuya orientación está fija

respecto de las estrellas, llamemos a este sistema de referencia S. Consideremos ahora el sistema de referenciacon el mismo origen y con el eje Z coincidente al anterior, pero cuyos ejes X e Y están fijos a la superficiedel asteroide, de forma que rota con la misma velocidad angular que el asteroide respecto de S, llamemos aeste sistema S′.Se puede demostrar que existe una relación entre la derivada temporal de un vector cualquiera en ambos

sistemas de referencia, la cual se puede expresar como sigue:[d~bdt

]S

=

[d~bdt

]S′+~wS′|S×~b (4.1)

Donde ~wS′|S es el vector velocidad angular del sistema de referencia S′ respecto del S. Por como estándefinidos los dos sistemas de referencia este vector se puede expresar como ~wS′|S = [0 0 wT ].

Sea~r el vector que da la posición de un punto en movimiento visto desde el sistema de referencia S, y ~r′ elque da la posición del mismo punto pero en coordenadas del sistema de referencia S′ (es decir que~r = [~r′]S,o lo que es lo mismo ~r′ = [~r]S′ ). Aplicando la ecuación anterior:

27

28 Capítulo 4. Dinámica orbital en las cercanías de un asteroide

[d~rdt

]S=

[d~r′

dt

]S′+~wS′|S×~r′

~v =~v′+~wS′|S×~r′

Volviendo a aplicar lo mismo a la ecuación resultante:

[d~vdt

]S=

d[~v′+~wS′|S×~r′

]dt

S

=

d[~v′+~wS′|S×~r′

]dt

S′

+~wS′|S×[~v′+~wS′|S×~r′

]Teniendo en cuenta que ~wS′|S es un vector constante por estar suponiendo un giro uniforme, se obtiene

finalmente que:

~a = ~a′+2~wS′|S×~v′+~wS′|S× (~wS′|S×~r′)

Donde~a es la aceleración que ve el punto desde el sistema de referencia S (que consideraremos inercial enprimera aproximación), y ~a′ es la que se ve desde el sistema de referencia S′. Despejando ~a′ obtenemos laecuación del movimiento en el sistema de referencia S′:

~a′ =~a−2~wS′|S×~v′−~wS′|S× (~wS′|S×~r′)

Donde se puede ver que los términos de aceleración no inerciales son la fuerza de Coriolis (2~wS′|S×~v′) yla fuerza centrífuga (~wS′|S× (~wS′|S×~r′)), ambas debidas al giro del sistema de referencia S′. La aceleración~aes la debida a la gravedad del cuerpo central (en este caso el asteroide), las aceleraciones de control, y lasperturbaciones debidas a otros cuerpos. En nuestro caso solo tendremos en cuenta la gravedad del asteroidepues estamos considerando que su masa es lo bastante grande para que esta sea la fuerza dominante. Así,teniendo en cuenta que~a =~g = ∇U , y expresando los vectores en el sistema de referencia S′, las ecuacionesque describen el movimiento de una partícula alrededor de un asteroide vienen por:

r′x = v′xr′y = v′yr′z = v′zr′x =Ux +2v′ywT + r′xwT

2

r′y =Uy−2v′xwT + r′ywT2

r′z =Uz

(4.2)

El vector ∇U está calculado en el sistema de referencia S′ con el modelo visto en el capítulo 2, por lo quepara un punto ~r′ es un vector fijo e independiente del tiempo. Dadas unas condiciones iniciales en posición yvelocidad en el sistema de referencia S′ las ecuaciones anteriores se pueden integrar mediante la funciónode113 como ya se ha hecho anteriormente, obteniendo la trayectoria de una sonda alrededor del asteroidevista desde el sistema de referencia fijado a este.

Tabla 4.1 Datos de algunos asteroides.

Asteroide a [Km] b [Km] c [Km] ρ [g/cm3] Tr [h] Fuente

Eros 34.4 11.2 11.2 2.67 5.27 JPL NASAIda 59.8 25.3 18.6 2.6 4.634 JPL NASA

Lutetia 121 101 75 3.4 8.165 ESA 2010 MPSMathilde 66 48 44 1.3 417.7 JPL NASAItokawa 0.535 0.294 0.209 1.9 12.132 JPL NASA

Considerando los datos del asteroide Ida dados en la Tabla 4.1 se ha realizado una simulación de undía de duración con condiciones iniciales [e a i Ω w θ ]t0 = [0.05 100 30 180 50 30] en elsistema de referencia S (el semieje mayor está en kilómetros y los ángulos en grados). El resultado de dichasimulación puede verse en la Figura 4.1. También se ha realizado la conversión del resultado a los ejes fijos y

4.1 Considerando la masa del asteroide 29

se ha representado en la Figura 4.2. Como puede verse, la forma no esférica del asteroide tiene efectos muyimportantes sobre la órbita de una sonda que se mueva cerca de este, pudiendo desviarla completamente deuna órbita kepleriana.

Suponiendo que el asteroide se encontrara en su punto más cercano al sol, se ha calculado la relación entrela fuerza provocada por el asteroide en la posición dada por las condiciones iniciales y la fuerza ejercida por elSol, revelando que la del asteroide es aproximadamente 2000 veces mayor, por lo que despreciar la fuerza delSol es viable en primera aproximación para estudiar la dinámica orbital en estos casos. La representación delos elementos orbitales de esta simulación se encuentra en la Figura 4.3, donde puede observarse que, ademásde la anomalía verdadera, todos los elementos orbitales sufren variaciones. Mientras que algunos parecenseguir una tendencia (argumento del perigeo y ascensión recta del nodo ascendente), otros parecen sufrircambios aproximadamente periódicos (semieje mayor, inclinación y excentricidad). Un estudio detallado delos efectos de un elipsoide triaxial sobre la evolución de los elementos orbitales se escapa al alcance de estedocumento por su complejidad, pero a continuación se procede a obtener algunos resultados interesantessobre estas órbitas.

Figura 4.1 Órbita de prueba Ida, ejes móviles.

4.1.1 Integral de Jacobi

Las tres últimas ecuaciones de (4.2) pueden integrarse para obtener una constante del movimiento, resultadode la rotación uniforme del asteroide. Esta es la constante de Jacobi, y viene por:

C =−12(v′x

2+ v′y

2+ v′z

2)+

12

w2T (r′x

2+ r′y

2)+U (4.3)

Donde T = 12 (v′x

2+ v′y

2+ v′z

2) es la energía cinética de sonda en S′, y U ′ = 1

2 w2T (r′x

2+ r′y

2)+U es el

pseudopotencial, estando ambos definidos en el instante inicial, por lo que el valor de C puede calcularseconocidas las condiciones iniciales, y se mantendrá constante en todo momento.

Dado un valor de C es posible que existan puntos donde T = 0 (velocidad nula), estos puntos determinanlas llamadas superficies de velocidad cero, que suponen barreras al movimiento, es decir, superficies a travésde las cuales la sonda no puede viajar. Un estudio de estas superficies puede ser de utilidad ya que nospermitiría elegir un estado para la sonda que nos garantice la imposibilidad de una colisión con el asteroide.Por como ha sido definido el potencial U, este tiene siempre el mismo signo fuera de la superficie del

elipsoide, y se puede comprobar fácilmente que es positivo. Así, en un punto cualquiera el pseudopotencialserá también positivo, por lo que para un valor de C < 0 se tiene que forzosamente T > 0 siempre, lo queindica que la sonda siempre estará en movimiento. Por otro lado, si C > 0, entonces existe la posibilidadde que T = 0 en alguna superficie. Estas superficies dividen el espacio en zonas de movimiento permitido


Figura 4.2 Órbita de prueba Ida, ejes fijos.

(T > 0) y movimiento no permitido (T < 0). Empecemos suponiendo un valor deC 0, y luego se discutiránlos cambios que se producen cuando C decrece hacia 0 (procedimiento seguido en [10]).Haciendo T = 0, la ecuación resultante de la superficie de velocidad cero es:

C =12

w2T (r′x

2+ r′y

2)+U (4.4)

Teniendo en cuenta que U(~r′)> 0 (para puntos fuera del elipsoide) y que U(~r′)<∣∣∣U(~r′→ 0)

∣∣∣ (ya queva como 1/r), entonces si (C−U(~r′→ 0))> 0 (lo cual se dará siempre si C 0), habrá una solución paraesta ecuación: un cilindro perturbado de radio R de forma que R≈

√2

w2T(C−U(~r′)). Con C→ ∞ entonces

R→√

2C/w2T . Solo está permitido el movimiento fuera del cilindro, y este se mueve hacia adentro cuando

C decrece. Cuando se llega al punto de que (C−U(~r′ → 0)) = 0 una superficie de velocidad cero surgedel centro del elipsoide. Esta situación se refleja en las dos primeras gráficas de la Figura 4.4, donde se harepresentado el corte de estas superficies con el plano z = 0 para el caso de Eros con distintos valores de C.Ahí ya se puede observar que desde el centro del elipsoide surge una superficie, pues el valor de C para elque esto ocurre es muy grande.Si se sigue disminuyendo C la superficie interna acabará cortando y, en algún momento, envolviendo al

asteroide (aunque dependiendo de los parámetros de este, puede que no ocurra), dejando espacio entre lasuperficie y el asteroide en sí. Dentro de ese espacio el movimiento está permitido (T > 0), por lo que hayuna barrera que impide escapar de las cercanías del asteroide. Como la superficie cilíndrica sigue ahí, existeuna banda entre ambas donde el movimiento no es posible (T < 0).Al seguir disminuyendo C, se puede alcanzar un valor que haga que ambas superficies se corten en dos

puntos simétricos del eje X. Estos son puntos de equilibrio del movimiento en el sistema de referencia fijo alasteroide (se llaman puntos de silla), y por tanto se pueden calcular a partir de las ecuaciones del movimientobuscando los puntos del eje X en los que la aceleración es nula cuando ~v′ = 0. También se pueden calculara partir del pseudopotencial, buscando los puntos en el eje X que hacen U ′x(±r′x0

,0,0) = 0, son métodosequivalentes. El punto en el que esto ocurre no tiene porque estar fuera del asteroide, para que eso pase sedebe cumplir que en los puntos (±a,0,0) la fuerza de atracción gravitatoria debe ser mayor a la centrífugaque hace alejarse a la sonda, esto se puede expresar como U ′x(±a,0,0) = aw2

T +Ux(±a,0,0)< 0. El valor dela constante de Jacobi aquí se denota por Cs, para valores inferiores a Cs, las partículas pueden viajar desde elespacio lejos del asteroide al cercano a este, pasando por ese punto.Si se sigue disminuyendo C las superficies cortan a lo largo del eje Y, los puntos donde esto ocurre se

pueden calcular de forma similar (se llaman puntos centrales). El valor de C para el que ocurre esto se denotaporCc. Una condición necesaria para que estos puntos no existan es que no existan los puntos de silla, aunque


Figura 4.3 Órbita de prueba Ida, elementos orbitales.

nosotros consideraremos que siempre existen en los asteroides bajo estudio cuando los puntos de silla estánfuera del asteroide. Para valores inferiores de C las superficies de velocidad cero no se cortan en el plano X-Yy solo existen en el espacio fuera del plano. Conforme C se acerca a cero estas superficies se van alejando delasteroide cada vez más y desaparecen cuando C = 0. Para ejemplificar lo anterior se han representado lascurvas de velocidad cero para diferentes planos (y diferentes valores de C), de forma que se ve la evoluciónde dichas superficies fuera del plano X-Y, donde se han estudiado hasta ahora. Para ello véanse las figuras(4.5), (4.6) y (4.7).


Figura 4.4 Curvas de velocidad cero, Eros.

4.1.2 Radio de estabilidad de Hill

En este apartado primero vamos a considerar únicamente las órbitas contenidas en el plano X-Y para facilitarel estudio de las órbitas que nos garantizan la imposibilidad de choque con la superficie del asteroide, luegoesto se generalizará para el movimiento fuera del plano. Consideremos una órbita que en un primer momento


Figura 4.5 Curvas de velocidad cero a diferentes niveles de z con C =Cs, Eros.

Figura 4.6 Curvas de velocidad cero a diferentes niveles de z con C =Cc, Eros.


Figura 4.7 Curvas de velocidad cero a diferentes niveles de z con C = 100, Eros.

es circular1, es decir, cuya velocidad en el sistema de coordenadas inercial sea vc =√

µ/r con r la distanciainicial. La velocidad en esta órbita en el sistema de coordenadas fijo al asteroide será entonces

√µ/r−wT r.

Así, suponiendo la sonda colocada en un punto del eje Y con la velocidad en dirección perpendicular a este(y en sentido directo), la constante de Jacobi de dicha órbita vendrá por:

C =−12(√

µ/r−wT r)2 +12

w2T r2 +U(0,r,0)

En la Figura 4.8 se ha representado la constante C de la expresión anterior como una función de r, y comose puede ver, es una función creciente con la distancia. Una aplicación de la constante de Jacobi es determinarla distancia a partir de la cual una órbita inicialmente circular tiene garantías de no entrar nunca en contactocon el asteroide, y como se ha visto hasta ahora, para que esto ocurra, C debe ser tal que las superficies develocidad cero separen el espacio que ocupa la sonda del que ocupa el asteroide. El valor mínimo de C quegarantiza esto es Cs, ya que por debajo de este las curvas de velocidad cero no envuelven al asteroide (véasela Figura 4.4). Por ello, se llama radio de estabilidad de Hill al que hace que una órbita inicialmente circulartenga C =Cs (el cálculo exacto de este radio debe hacerse numéricamente con la expresión anterior). Comopuede verse por la Figura 4.8, para órbitas circulares por debajo de esta se tendrá una constante de Jacobi queno garantiza la seguridad de la sonda, mientras que por encima será imposible una colisión.

En las figuras (4.9), (4.10) y (4.11) se han representado diferentes órbitas circulares, empezando por unacon el radio de Hill, y dos más por encima de esta. Como puede verse también se han representado las curvasde velocidad cero correspondientes a las constantes de Jacobi en cada una de ellas, y en todas el asteroide yla sonda están separadas por una de esas curvas, lo que hace imposible que se encuentren. También quedapatente que una órbita inicialmente circular no permanece de este modo, y esto es debido fundamentalmentea las variaciones de la fuerza que provoca el asteroide elipsoidal. Aun así también se puede observar quecuanto mayor es la órbita menos se ve afectada la sonda por esas perturbaciones.Estas últimas órbitas, aunque seguras, no tienen demasiada utilidad práctica, debido a que solo ven una

latitud del asteroide, limitando mucho las posibilidades de una misión de observación del mismo. En lapráctica sería más interesante buscar una órbita con cierta inclinación pero que siguiera cumpliendo con lacondición de que la constante de Jacobi sea mayor de Cs, ya que como se ha visto anteriormente (Figura 4.5),para este valor hay una superficie de velocidad cero cilíndrica que separa al asteroide de la sonda. Así,considerando una órbita circular con inclinación INC, las velocidades en el plano X-Y y la componente1 En el modelo de los dos cuerpos una órbita circular a una distancia dada del cuerpo central tiene una velocidad fijada por la expresión√

µ/r. En este caso el cuerpo central no es esférico y la fuerza que provoca no es uniforme a una distancia dada, por lo que las órbitascirculares son casi imposibles de conseguir, salvo que se trate de una órbita en alguno de los puntos de equilibrio.


Figura 4.8 C para órbitas circulares, Eros.

Figura 4.9 Orbita inicialmente circular con el radio de Hill, Eros.


Figura 4.10 Orbita inicialmente circular 10 Km por encima del radio de Hill, Eros.

Figura 4.11 Orbita inicialmente circular 50 Km por encima del radio de Hill, Eros.

4.2 Despreciando la masa del asteroide 37

en dirección Z serán vx−y = cos(INC)vc y vz = sen(INC)vc respectivamente, de forma que la velocidad endirección Z es la misma en ambos sistemas de referencia, mientras que la contenida en el plano X-Y vienepor v′x−y = cos(INC)

√µ/r−wT r. Introduciendo esto en la expresión para calcular la constante de Jacobi

suponiendo la sonda en un punto del eje Y nos queda:

C =−12((cos(INC)

√µ/r−wT r)2 +(sen(INC)

√µ/r)2)+

12

w2T r2 +U(0,r,0)

Utilizando esta expresión para calcular la evolución del radio de Hill (C =Cs) con la inclinación se hallegado a la Figura 4.12, donde se ve que este aumenta rápidamente.

Figura 4.12 Radio de Hill con la inclinación, Eros.

Una simulación de tres días de una órbita 2Km por encima del radio de Hill con inclinación 20º se harepresentado en la Figura 4.13.

Estas órbitas que cumplen la condición de estabilidad de Hill siguen sin poder acceder a las latitudes másaltas del asteroide debido a la geometría de las superficies de velocidad cero para C >Cs (el radio necesariosería tan grande que la observación del asteroide sería poco útil). Es decir, que si intentáramos conseguiruna órbita con la que poder observar la totalidad de la superficie del asteroide esta sería una con C <Cs. Apesar de esto, es técnicamente posible que una órbita que no cumpla con la condición de estabilidad de Hillsea lo bastante segura para poder utilizarse. Para que sea así, los elementos orbitales deben evolucionar deforma periódica, es decir, que las perturbaciones provocadas por el asteroide nunca modifiquen la órbita losuficiente para que llegue a chocar con este (o salga despedida). Aun así, conseguir una periodicidad perfectacon las geometrías con las que trabajamos es muy difícil, más aún con la de un asteroide real (mucho másirregular), por ello lo que se busca son órbitas cuasiperiódicas, es decir, aquellas que a pesar de ir variandode una a la siguiente, lo que hacen es oscilar alrededor de una órbita nominal. Un estudio analítico de lascondiciones para conseguir la periodicidad buscada bajo los efectos de la gravedad del asteroide se escapa delalcance de este trabajo por su elevada complejidad, aunque en la Figura 4.14 se ha representado un ejemplode este tipo de órbita (8 días de simulación), ademas de la evolución de sus elementos orbitales principales(figuras (4.15), (4.16) y (4.17)).

4.2 Despreciando la masa del asteroide

Hasta ahora se ha considerado el movimiento relativo de una sonda alrededor de un asteroide como el productodel efecto que tenía el asteroide sobre esta y obviando la órbita en la que se encuentra el asteroide, así comoel efecto del Sol sobre la sonda. Aquí se obviará el efecto del asteroide sobre la sonda (se considerará un


Figura 4.13 Orbita inicialmente circular 2 Km por encima del radio de Hill con 20º de inclinación, Eros.

Figura 4.14 Órbita cuasiperiódica de 45º de inclinación, Eros.


Figura 4.15 Evolución del semieje mayor, Eros.

Figura 4.16 Evolución de la inclinación, Eros.

Figura 4.17 Evolución de la excentricidad, Eros.


punto sin masa) y solo se tendrá en cuenta la dinámica resultante de considerar el movimiento relativo entredos cuerpos que se encuentran cerca pero en órbitas ligeramente diferentes alrededor del Sol.

4.2.1 Ecuación del movimiento

La órbita de referencia se corresponde con la del asteroide (M1), con la segunda órbita la de la nave que losigue (M2). Ambas son órbitas elípticas y Keplerianas, es decir, que no se tendrán en cuenta perturbacionesde otros cuerpos, conociéndose el semieje mayor y la excentricidad de la primera. Considérese un sistema dereferencia inercial centrado en el Sol con la base ortonormal B0 = (~X0,~Y0,~Z0), con la órbita de M1 contenidaen su plano (X0,Y0) y la periapsis sobre el eje ~X0 (véase la Figura 4.18). El movimiento relativo estará descritoen el sistema de referencia LVLH (local vertical,local horizontal) rotatorio centrado en el asteroide. La basecorrespondiente es B1 = (~x1,~y1,~z1), con ~z1 a lo largo del vector radial del asteroide hacia el Sol, ~x1 en ladirección de la velocidad e ~y1 completando el triedro a derechas (véase la Figura 4.19).

Figura 4.18 Sistema de referencia B0.

Figura 4.19 Sistema de referencia B1.


Sea~r = [x y z]T la posición de la sonda en el sistema de referencia LVLH del asteroide. La dinámicadel movimiento del asteroide y de la sonda en el sistema de referencia inercial B0 vienen respectivamente por:

~R =−µ~R∣∣∣~R∣∣∣3 (4.5)

~R+~r =−µ~R+~r∣∣∣~R+~r

∣∣∣3 + ~ac (4.6)

Donde ~ac es la aceleración de control sobre la sonda. Reescribiendo parte de la ecuación de la sonda seobtiene que:

∣∣∣~R+~r∣∣∣= [(~R+~r)T (~R+~r)

]1/2=

[∣∣∣~R∣∣∣2 +2~RT~r+ |~r|2]1/2

→

∣∣∣~R+~r∣∣∣3 = ∣∣∣~R∣∣∣3

1+2~RT~r∣∣∣~R∣∣∣2 +

|~r|2∣∣∣~R∣∣∣2

3/2

La ecuación anterior es general, pero teniendo en cuenta que queremos conocer el movimiento relativocuando la sonda se encuentra cerca del asteroide podemos utilizar esto para realizar simplificaciones. Así,cuando

∣∣∣~R∣∣∣ |~r| se tiene que:~R+~r∣∣∣~R+~r

∣∣∣3 =~R+~r∣∣∣~R∣∣∣3

1+2~RT~r∣∣∣~R∣∣∣2 +

|~r|2∣∣∣~R∣∣∣2−3/2

≈~R+~r∣∣∣~R∣∣∣3

1+2~RT~r∣∣∣~R∣∣∣2

−3/2

La expresión anterior se puede linealizar teniendo en cuenta que 2 ~RT~r

|~R|2∼ |~r||~R| . Para ello se usará que

(1+ x)α ≈ (1+αx) si x 1:

~R+~r∣∣∣~R∣∣∣31+2

~RT~r∣∣∣~R∣∣∣2−3/2

≈~R+~r∣∣∣~R∣∣∣3

1−3~RT~r∣∣∣~R∣∣∣2

≈ 1∣∣∣~R∣∣∣3~R+~r−3

~RT~r∣∣∣~R∣∣∣2~R

Introduciendo lo anterior en la Ecuación 4.6 y restando la Ecuación 4.5, se llega a la ecuación linealizadadel movimiento relativo de la sonda respecto del asteroide en el sistema de referencia inercial:

~r =− µ∣∣∣~R∣∣∣3~r−3

~RT~r∣∣∣~R∣∣∣2~R+ ~ac (4.7)

Para escribir la ecuación anterior en el sistema de referencia LVLH será necesario utilizar de nuevo (4.1),ya que en (4.7) la derivada respecto del tiempo se hace en el sistema de referencia B0. Teniendo en cuenta queen este caso ~w = [0 − θ 0]T , y que θ no es constante, aparecerá un término extra debido a la variacióncon el tiempo de θ :

~r =− µ∣∣∣~R∣∣∣3~r−3

~RT~r∣∣∣~R∣∣∣2~R−2(~w×~r)− ~w×~r−~w× (~w×~r)+ ~ac (4.8)

Donde las derivadas respecto del tiempo se hacen en el sistema de referencia B1. Teniendo en cuenta queen B1 se tiene ~R = [0 0 −R]T , los términos de (4.8) se convierten en:


~w×~r =

−θ z0

θ x

~w×~r =

−θz0

θx

~w× (~w×~r) =

−θ2x

0−θ

2z

~r−3~RT~r∣∣∣~R∣∣∣2~R =

xy−2z

Cuando estas relaciones son introducidas en (4.8), las ecuaciones del movimiento relativo en el sistema de

referencia LHLV quedan así: x = 2θ z+ θz+ θ

2x− µ

R3 x+ax

y =− µ

R3 y+ay

z =−2θ x− θx+ θ2z+2 µ

R3 z+az

(4.9)

4.2.2 Propagación analítica del movimiento

Hasta ahora las ecuaciones del movimiento obtenidas en este trabajo se han integrado directamente mediantemétodos numéricos para obtener los resultados expuestos. En este caso, las ecuaciones (4.9) son lo bastantesencillas para tener una solución analítica [11], y su deducción nos ocupará el resto de este apartado. Paraello, el sistema de ecuaciones anterior se va a transformar haciendo un cambio de variable independiente yun escalado. En lugar del tiempo, se usará la anomalía verdadera como variable independiente, así para unavariable cualquiera se tiene que:

d(·)dt

=d(·)dθ

dθ

dt= (·)′θ

d2(·)dt2 = θ 2(·)′′+ θ θ

′(·)′

Donde θ θ′ = θ . Además, escalamos las variables con ρ = 1+ ecos(θ):x

yz

= (1+ ecos(θ))

xyz

Por lo que para la variable x quedaría:

x′ = ρx′− (esin(θ))x

x′′ = ρx′′−2(esin(θ))x′− (ecos(θ))x

Ahora, para simplificar las ecuaciones de (4.9), se usará que R2θ = h, un resultado del modelo de los dos

cuerpos. Sea K = µ/h3/2 una constante para la órbita del asteroide, entonces se tiene que:

µ

R3 =µ

h3/2 θ3/2 = Kθ

3/2

θ =h

R2 =hp2 (1+ ecos(θ))2 =

µ2

h3 ρ2 = K2

ρ2

θ′ =

dθ

dρρ′ = 2K2

ρρ′ =−2K2

ρesin(θ)


Introduciendo lo anterior en la ecuación de x quedaría:

K4ρ

4x′′−2K4ρ

3esin(θ)x′ = (K4ρ

4−K4ρ

3)x+2K4ρ

4z′−2K4ρ

3esin(θ)z+ax

ρx′′−2esin(θ)x′− ecos(θ)x = 2θz′−2ecos(θ)z+ax

K4ρ3

x′′ = 2z′+ ux

De forma similar a como se ha hecho con x, las demás ecuaciones se pueden simplificar, llegando alsiguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

x′′ = 2z′+ ux

y′′ =−y+ uy

z′′ = 3/ρ z−2x′+ uz

(4.10)

Definiendo el vector de estado X(θ) = [x(θ) y(θ) z(θ) x′(θ) y′(θ) z′(θ)] y el vector de entradau(θ) = [ux(θ) uy(θ) uz(θ)] el sistema (4.10) se puede escribir de la siguiente forma:

dX(θ)

dθ= A(θ)X(θ)+ Bu(θ) (4.11)

Con:

A(θ) =

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 20 −1 0 0 0 00 0 3/ρ −2 0 0

, B) =

0 0 00 0 00 0 01 0 00 1 00 0 1

Partiendo del sistema (4.11), existe una matriz de transición Φ que permite la propagación del movimiento

relativo desde una condición inicial, además de contemplar el control de la sonda mediante impulsos:

X(θ) = Φθθ0

X(θ0)+∑i

Φθθi

Bui (4.12)

De esta forma se ve que las componentes de ui(θ) son los incrementos de velocidad (en las variablesescaladas) que se producen en los instantes en que se realizan los impulsos (ya que si se evaluara la expresiónanterior en θ0 sería lo mismo que sumarle a las condiciones iniciales de velocidad el vector u(θ0)).La ecuación de y es la de un oscilador armónico, y ademas es independiente del resto, por lo que:

y = Ky1 sin(θ)+Ky2 cos(θ)

Por otra parte, las componentes x y z están acopladas, por lo que hay que resolver el sistema formado porambas ecuaciones:

x′ = 2z+Kx1 (4.13)

Que introducido en la ecuación de z:

z′′+(4−3/ρ)z =−2Kx1 (4.14)

El problema ahora se reduce a resolver la ecuación anterior para z. Una de las soluciones a la partehomogénea de (4.14) es:

ϕ1 = ρ sin(θ)

Se puede demostrar [12] que, partiendo de la anterior, otra solución es:


ϕ2 = ρ sin(θ)∫

θ

θ0

1sin2

τρ(τ)2dτ

La integral anterior tiene varios problemas, el primero que es singular cuando θ = ±π . Esto se puedesolucionar con una integración por partes, pero el resultado no es demasiado útil por necesitar de integraciónnumérica, lo que haría que el resultado final perdiera interés, ya que lo que buscamos es una solución analíticafácilmente evaluable. Lo que se ha propuesto es el uso del siguiente término integral:

J(θ) =∫

θ

θ0

1ρ(τ)2 dτ

Esto es así porque la integral anterior es fácilmente evaluable:

θ =dθ

dt= K2

ρ2

K2dt = (1/ρ2)dθ

K2(t− t0) =∫

θ

θ0

1ρ(τ)2 dτ = J(θ)

Lo que quiere decir que la integral se puede calcular directamente a través del tiempo transcurrido, elcual se calcula mediante las leyes horarias sin necesidad de integración o de resolución de ecuaciones. Paraencontrar la solución usando dicha integral, suponemos la solución con la siguiente forma:

ϕ2 = c1ρ sin(θ)J+ρ cos(θ)+ c2

Para simplificar la notación sustituimos las siguientes variables:

φ ≡ ρ sin(θ), ξ ≡ ρ cos(θ)

Quedando:

ϕ2 = c1φJ+ξ + c2

Esto se introduce en:

z′′+(4−3/ρ)z = 0 (4.15)

Con lo que nos queda:

c1([φ′′+(4−3/ρ)φ ]J+2φ

′J′+φJ′′)+ξ′′+(4−3/ρ)ξ + c2(4−3/ρ) = 0

Sobre la ecuación anterior hay que imponer que φ es solución de (4.15) y que se cumple ξ′′+(4−3/ρ)ξ =

2e, de forma que:

c1(2φ′J′+φJ′′)+2e+ c2(4−3/ρ) = 0

El término entre paréntesis cumple 2φ′J′+φJ′′ = (2/ρ)cos(θ), por lo que reordenando se llega a:

(2c1 +4ec2 +2e2)cos(θ)+ c2 +2e = 0

Es decir que para que se cumpla la ecuación anterior las constantes c1 y c2 deben valer:

c2 =−2e, c1 = 3e2

Así, la solución propuesta queda como sigue:

ϕ2 = 3e2ρ sin(θ)J+ρ cos(θ)−2e

Para demostrar que ϕ1 y ϕ2 son soluciones linealmente independientes de (4.15) se calcula su Wronskiano:


ϕ1ϕ′2−ϕ

′1ϕ2 = e2−1

Para órbitas elípticas 0 6 e < 1, por lo que e2−1 6= 0, lo que confirma que son soluciones linealmenteindependientes. Cuando estas soluciones son usadas, una solución particular de (4.14) puede encontrarseutilizando el método de variación de parámetros:

ϕ3 =2Kx1

e2−1

(ϕ1

∫ϕ2dθ −ϕ2

∫ϕ1dθ

)=−Kx1

eρcos(θ)

Añadiendo las constantes Kz1 y Kz2, la solución completa de (4.14) es de la siguiente forma:

z = Kz1ρsen(θ)+Kz2(3e2ρsen(θ)J+ρcos(θ)−2e)− Kx1

eρcos(θ)

Que puede ser reordenada como:

z = Kz1ρ sin(θ)+(Kz2−Kx1/e)ρ cos(θ)−Kz2e(2−3eρ sin(θ)J)

Tras la sustitución y posterior integración de z en (4.13) se llega a la siguiente solución en x:

x = Kx2−Kz1 cos(θ)(ρ +1)+(Kz2−Kx1/e)sin(θ)(ρ +1)−3Kz2eρ2J

Por conveniencia se redefinen las constantes de integración usadas hasta ahora, de forma que, usandos = ρ sin(θ) y c = ρ cos(θ), la solución para el plano X-Z queda así:

x = K1−K2c(1+1/ρ)+K3s(1+1/ρ)+3K4ρ2J (4.16)

z = K2s+K3c+K4(2−3esJ) (4.17)

Por diferenciación se obtienen las expresiones para x′ y z′:

x′ = 2K2s+K3(2c− e)+3K4(1−2esJ) (4.18)

z′ = K2s′+K3c′−3K4e(s′J+ s/ρ) (4.19)

Expresando las ecuaciones del plano X-Z en notación matricial se llega a:xzx′

z′

θ

=

1 −c(1+1/ρ) s(1+1/ρ) 3ρ

2J0 s c (2−3esJ)0 2s 2c− e 3(1−2esJ)0 s′ c′ −3e(s′J+ s/ρ

2)

θ

×

K1K2K3K4

≡ ψθ~K (4.20)

Donde s′ = cos(θ)+ ecos(2θ) y c′ =−(sin(θ)+ esin(2θ)), y las constantes de ~K se calculan a partir delas condiciones iniciales. Para ello se procederá con el siguiente razonamiento:

XXZ(θ) = ψθ~K

XXZ(θ0) = ψθ0~K

~K = ψ−θ0

1XXZ(θ0)

XXZ(θ) = ψθ ψ−θ0

1XXZ(θ0) = Ψθθ0

XXZ(θ0)

Teniendo en cuenta que J(θ0) = 0 se llega a:


ψθ0=

1 −c(1+1/ρ) s(1+1/ρ) 00 s c 20 2s 2c− e 30 s′ c′ −3es/ρ

2

θ0

Para calcular su inversa necesitamos su determinante, que resulta det(ψθ ) = e2− 1 6= 0. Por lo tantotenemos garantías de que ψ

−0 1 existe para cualquier anomalía verdadera y excentricidad. Su cálculo lleva a:

ψ−1θ0

=1

1− e2

1− e2 3e(s/ρ)(1+1/ρ) −es(1+1/ρ) −ec+2

0 −3e(s/ρ)(1+ e2/ρ) s(1+1/ρ) c−2e0 −3(c/ρ + e) c(1+1/ρ)+ e −s0 3ρ + e2−1 −ρ

2 −3es

θ0

Con esto ya se tiene lo necesario para construir la matriz de transición en el plano X-Z, Ψθθ0, sin más que

multiplicar matricialmente ψθ con ψ−1θ0

. Con esta matriz de transición puede obtenerse el estado XXZ(θ) encualquier valor de θ conocido el estado inicial XXZ(θ0). Procediendo de forma similar para el movimiento enY se llega a: [

yy′

]θ

=1

ρθ−θ0

[c s−s c

]θ−θ0

×[

yy′

]θ0

≡Ωθθ0

XY (θ0) (4.21)

Las matrices Ωθθ0

y Ψθθ0

pueden combinarse para dar lugar a la matriz de transformación de (4.12), conla que puede propagarse el movimiento a partir de cualquier estado inicial. Recuérdese que los vectores deestado utilizados en este procedimiento están en variables transformadas, por lo que las condiciones inicialesdeben trasformarse adecuadamente:

~r = ρ~r, ~v =−esin(θ)~r+1

K2ρ~v (4.22)

Donde ~r y ~v son las posiciones y velocidades que se introducen en el vector de estados X(θ). Por contra,cuando se ha realizado la propagación con la matriz de transición el resultado debe transformarse de nuevoen las variables normales, y para ello:

~r = 1/ρ~r, ~v = K2(esin(θ)~r+ρ~v) (4.23)

Validación de resultados

Para comprobar la validez del método analítico propuesto se ha realizado una simulación con el asteroideItokawa de un año de duración (θ0 = 10º y θ f = 370º) con las siguientes condiciones iniciales en el sistemade referencia LVLH:

~r0 =

5.52.82.8

(Km)

~v0 = 10−4 ·

12.6−1.2−3

(m/s)

Para empezar se comprueba que en el instante inicial la fuerza ejercida por el Sol es 10000 veces mayor quela ejercida por el asteroide (supuestos ambos masas puntuales). Esto confirma que es viable tratar de formadiferente a determinados asteroides, ya que, como en este caso, tener en cuenta la gravedad del asteroide nosupondría una mejora importante en la veracidad de los resultados. La órbita de la simulación se muestranen la figura (4.20), y para poder comparar se ha mostrado también el resultado de la misma simulaciónrealizando la integración numérica de (4.10). Como puede comprobarse por el error en las tres coordenadas(del orden de 10−6), ambos métodos devuelven el mismo resultado. Se ha representado el asteroide alineadocon los ejes LVLH para apreciar el tamaño de la órbita, a pesar de que en estos ejes el asteroide está rotando.


Figura 4.20 Comparación de resultados de la simulación con métido analítico y numérico.


4.2.3 Aplicación para órbitas periódicas

Conseguir una órbita periódica en las cercanías del asteroide es de gran utilidad práctica, ya que nospermitiría realizar estudios del mismo un tiempo indefinido y sin consumo de combustible (en la práctica lasperturbaciones deberían ser compensadas cada cierto tiempo). El hecho de haber conseguido una formulaciónanalítica de la órbita relativa al asteroide nos va a permitir extrapolar las condiciones que deben cumplirsepara que una sonda repita su movimiento alrededor del asteroide cada cierto tiempo, lo cual no habría sidoposible a priori con la integración numérica de las ecuaciones del movimiento.

Un estado inicial X(θ0) es el estado inicial de un movimiento periódico si su estado propagado con (4.12)tras un periodo es igual. Esta condición se puede expresar como sigue:

X(θ0 +2π) = Φθ0+2π

θ0X(θ0) = X(θ0)

Para empezar, la componente en y del movimiento se propaga únicamente con funciones sinusoidalescon periodo 2π (Ecuación 4.21), por lo que su evolución será siempre periódica independientemente de lascondiciones iniciales. El movimiento en el plano X-Z viene por (4.20), donde las componentes de XXZ(θ)son el resultado de multiplicar matricialmente un vector de constantes por la matriz ψθ . En esta matriz todaslas componentes son periódicas, salvo los elementos de la última columna, que contienen la función J(θ)creciente con el tiempo. Es decir, que para hacer periódicas las componentes x y z la única forma es hacerque la constante K4 que multiplica la última columna sea cero. Como ya se vio, esta constante viene por lascondiciones iniciales del movimiento, en particular es la última componente del vector ~K = ψ

−θ0

1XXZ(θ0), ydado que tenemos la expresión de la matriz ψ

−θ0

1, se puede obtener fácilmente la condición de periodicidadsobre X(θ0):

K4 = (3ρ0 + e2−1)z(θ0)−ρ2x′(θ0)−3es0z′(θ0) = 0 (4.24)

Unas condiciones iniciales cuyo estado en variables transformadas cumpla (4.24) se propagará de formaque la órbita se repita a cada vuelta del asteroide alrededor del Sol. Para calcular un estado cualquiera que locumpla se puede, por ejemplo, forzar a que la componente de velocidad en x cumpla que:

x′(θ0) =2+3ecos(θ0)+ e2

(1+ ecos(θ0))2 z(θ0)+

esin(θ0)

(1+ ecos(θ0))z′(θ0)

Así, independientemente del resto de variables de estado (incluidas z y z′), la órbita será periódica, aunqueno se está poniendo ninguna otra restricción sobre esta (su forma, posición relativa al asteroide...).Para probar este concepto se ha repetido la simulación anterior pero modificando la condición inicial de

velocidad en x (lo cual supone un cambio en la velocidad en dirección x de las componentes reales), por loque las condiciones iniciales pasan a ser:

~r0 =

5.52.82.8

(Km)

~v0 = 10−4 ·

12.39976−1.2−3

(m/s)

El resultado de la simulación aparece en las figuras (4.21), (4.22) y (4.23).

4.2.4 Aplicación para inserción orbital

Ahora, y para terminar este capítulo, se va a utilizar la formulación de (4.12) en el cálculo de las maniobrasimpulsivas necesarias para insertar una sonda en la órbita de un asteroide, habiendo garantías de que noimpacten y de que permanecerá cerca durante un tiempo indefinido.

El problema a resolver es el siguiente: Antes de tener que afrontar el rendezvous sobre el asteroide, primerohay que acercar la sonda lo suficiente y dejarla en una órbita de seguridad. En general (como se vio en elcapítulo de Introducción), las naves pasan a distancias del orden de cientos o miles de Kilómetros de losasteroides y a velocidades relativas del orden 10Km/s durante los acercamientos. En el caso de una misióna un asteroide en particular, la trayectoria de la sonda se intenta optimizar de forma que en el encuentro ladistancia y la velocidad relativa sean lo menor posible, para ahorrar combustible en el frenado y la inserción


Figura 4.21 Órbita con condiciones iniciales de periodicidad (1 año).

Figura 4.22 Coordenadas X-Z del movimiento de la órbita periódica (1 año).

Figura 4.23 Coordenadas X-Y del movimiento de la órbita periódica (1 año).


en la órbita relativa deseada, aunque los valores anteriores nos servirán de límites superiores. Se quierecalcular la magnitud y la dirección de los impulsos que realizan la inserción utilizando la menor cantidad decombustible posible, es decir, se quiere optimizar las maniobras necesarias. Este problema de optimizaciónse planteará como en [13], aunque a diferencia de este artículo aquí se dejará el tiempo de inserción comoun parámetro de optimización, además de realizar los impulsos en intervalos no homogéneos como ya seexplicará.En la inserción se usará un número de impulsos predeterminado (N), que podrá elegirse entre el mínimo

necesario para poder completar la maniobra y un límite superior indefinido (como ya se verá, el algoritmose vuelve inestable para demasiados impulsos, haciendo imposible la convergencia a una solución óptimaen tiempos de computación razonables). El número mínimo de impulsos se puede estimar por la velocidadrelativa entre sonda y asteroide en el instante inicial y, sobre todo, por el valor de los niveles de saturación delos propulsores que le atribuimos a la sonda para modelar la incapacidad de realizar un impulso ilimitadamentegrande. Así, la función que se desea optimizar viene por:

min∆V

N

∑i=1

∥∥∆Vi∥∥ (4.25)

Donde ∆V =[∆V1 · · ·∆VN

]T ∈ R3N es el vector con los impulsos. Para asegurar que la sonda queda en unaórbita periódica el estado justo después del último impulso debe cumplir la condición impuesta por (4.24), ypara que esta órbita tenga un tamaño limitado, se impondrá que en cualquier instante posterior a la maniobraningún punto pueda estar fuera de una región con forma de caja cuyas dimensiones imponemos. Además,para imposibilitar el choque, se usará una restricción de tipo esfera alrededor del asteroide, para que ningúnpunto de la órbita pueda quedar dentro de la misma. Estas restricciones pueden expresarse como sigue:

s.a

∥∥∆Vi

∥∥6 ∆Vi∀ i = 1...NX(θN) Cumple (4.22)(x(θ),y(θ),z(θ)) ∈ XCAJA∀ θ > θN

(x(θ),y(θ),z(θ)) /∈ XESFERA∀ θ > θN

(4.26)

Donde ∆Vi ∈ R3 son los niveles de saturación de los propulsores. El estado de la sonda al final de lasmaniobras puede expresarse como:

X(θN) = AN +BN∆V

Con:

AN = ΦθNθ1

X(θ1)

BN =[Φ

θNθ1

B · · ·ΦθNθN−1

B B]

Y la condición de periodicidad con:

M(θN)X(θN) = 0 ← M(θ) =

[0 0

2+3ecos(θ)+ e2

(1+ ecos(θ))2 −1 0esin(θ)

(1+ ecos(θ))

]Sea XCAJA = [xc yc zc] la región de tipo caja usada para la restricción de distancia máxima, en coorde-

nadas transformadas esta restricción puede expresarse así para la coordenada x:

(1+ ecos(θ))(−xc)6 x(θ)6 (1+ ecos(θ))(xc)

De forma similar, para la restricción de tipo esfera se impone que la norma de el vector de posición encoordenadas transformadas seamayor que un radio fijado de antemanomultiplicado por el factor (1+ecos(θ))correspondiente al punto donde se está comprobando. Aprovechando que la órbita es periódica, se hacenlas comprobaciones de las regiones en algunos puntos de la órbita posterior a la maniobra espaciadoshomogéneamente en el tiempo hasta un año después de esta.

Para la distribución de los impulsos a lo largo del tiempo de maniobra (que es un parámetro de optimizaciónen nuestro problema), se puede elegir hacerlo uniformemente. Por ejemplo, en una maniobra de tres impulsos


de 1000s de duración, los dos intervalos que hay entre los impulsos se pueden repartir por igual, de formaque ambos duren 500s. En este caso, con tres impulsos, la duración de ambos se puede expresar así:

T1 = Tmα

T2 = Tm(1−α)

Siendo α = 0.5 cuando la distribución es uniforme. Cuando alfa se acerca a 1 el valor del primer intervalose hace cada vez mayor, mientras que el segundo se hace más pequeño, pero la suma de ambos sigue siendo eltiempo de maniobra, Tm. La formulación anterior puede generalizarse para un número de impulsos genéricoN, de forma que el intervalo Ti (con i = 1...(N−1)) vale:

Ti = Tmα(N−1)−i(1−α)i−1 1

Λ← Λ =

N−1

∑j=1

α(N−1)− j(1−α) j−1

Así, un valor pequeño de α agrupará los impulsos al principio, mientras que uno grande (1 como máximo),hará que la mayoría se agrupen por el final, para cualquier N y cualquier tiempo de maniobra.

Tal como está planteado el problema, el número de variables para optimizar la solución es 3N +2, por loque supone un esfuerzo computacional importante buscar una solución con más impulsos de los necesariosdadas las condiciones iniciales y las limitaciones de la sonda.

Resultados

Se ha utilizado este método para calcular la inserción orbital óptima alrededor del asteroide Itokawa condistancia en el de comienzo de la maniobra de 800Km y velocidad relativa de 1.5Km/s (la dirección se ve enlas figuras con la solución mediante una línea de trazos con la trayectoria que habría seguido la sonda sinrealizar impulsos). La saturación de los propulsores se ha fijado en 0.6Km/s para todos los impulsos, por loque debe haber un mínimo de 3 impulsos. Se han calculado las maniobras para 3, 4 , 5 y 10 impulsos, losresultados se muestran en la Tabla 4.2, así como la representación de dichas maniobras en la Figura 4.24(Los puntos donde se realizan los impulsos están señalados con asteriscos).

Tabla 4.2 Resultados de las simulaciones de inser-ción orbital.

N ∆VTotal [Km/s] α Tm [s]

3 1.5388 0.0208 3.9650e+034 1.5030 0.0234 1.5360e+055 1.5010 0.0678 2.0283e+0510 2.5961 0.3147 9.7309e+04

Puede verse que la forma de las soluciones solo es coherente cuando el número de impulsos se mantienedentro de un límite razonable, y esto es debido a que el espacio de soluciones se vuelve demasiado grandepara realizar una búsqueda completa y encontrar la mejor de todas cuando N se hace muy grande. Aun así,se ha conseguido que para pocas maniobras el valor final de ∆V sea muy parecido, por lo que es razonableasumir que el algoritmo puede encontrar una solución muy cercana a la óptima, a pesar de no tener forma desaber cual es (en este caso sabemos que debe ser cercana a la velocidad relativa inicial, ya que en generalsolo hay que frenar y aplicar el impulso que pone la sonda en una órbita periódica). Para conseguir esto seha recurrido al Global Optimization Toolbox de Matlab, que nos da herramientas para realizar búsquedas"completas" en problemas de optimización con múltiples mínimos relativos y restricciones no lineales. Enparticular se ha usado la funciónMultiStart, que realiza la búsqueda partiendo de múltiples puntos del espaciode las variables de optimización, pudiendo elegir la cantidad de estos, por lo que cuantos más se utilicen másexhaustiva será la búsqueda y más fácil es encontrar la solución óptima (aumentando también el tiempo decálculo).

En el caso de la maniobra de 10 impulsos este método no es capaz de llegar a una solución óptima (ya quesabemos que las anteriores son un caso particular de una maniobra de muchos impulsos pero con algunos deellos nulos) cuando se utiliza la misma cantidad de puntos iniciales de búsqueda que en los casos anteriores(20 puntos), y tarda alrededor de 500 segundos (cuando para 3, 4 y 5 la duración va de los 60 a los 400).Aumentar los puntos iniciales para poder encontrar una solución óptima solo conseguiría que el tiempo


Figura 4.24 Representación de la inserción orbital con diferente número de impulsos.

necesario fuera simplemente poco práctico, por lo que en ese caso habría que cambiar la metodología (solose pretende ver una aplicación del método de propagación analítico que se ha deducido, y no resolver elproblema de la inserción orbital óptima).

5 Rendezvous sobre un asteroide

En este capítulo se va a exponer una técnica para calcular maniobras de rendezvous óptimas sobre asteroidesutilizando las herramientas de propagación de movimiento relativo que se dedujeron en el capítulo anterior.Se van a utilizar las ecuaciones de (4.9), por lo que la propagación analítica del movimiento se realizarámediante las matrices de la expresión (4.12). Para facilitar la nomenclatura, la matriz que propaga unascondiciones iniciales desde θ0 hasta θk (recuérdese que con la formulación utilizada los instantes de tiempose sustituyen por el valor de la anomalía verdadera en ese momento) se llamará Ak

0 (es directamente Φθkθ0), y la

matriz que propaga el efecto de un impulso que se da en θ0 hasta θk vendrá por Bk0 (resultado de multiplicar

Φθkθ0

y B).

Así, dadas unas condiciones iniciales X0 y un impulso~u0 aplicado en θ0, el estado antes de dar el siguienteimpulso vendrá dado por:

X1 = A10X0 +B1

0~u0

Para el estado en el siguiente impulso se llega a la expresión:

X2 = A21X1 +B2

1~u1 = A21(A

10X0 +B1

0~u0)+B21~u1 = A2

1A10X0 +A2

1B10~u0 +B2

1~u1

Como es lógico, se tiene que cumplir que A21A1

0 = A20 y A2

1B10 = B2

0. Iterando, y considerando una maniobrade N impulsos, se llega a la siguiente expresión para calcular cualquier estado:

Xk = Ak0X0 +

k−1

∑i=0

Bki~ui ∀k < N (5.1)

En la expresión anterior no se está considerando el último impulso, es decir, el que se da cuando se llega aXN−1 (nótese que una maniobra de N impulsos cuenta con N estados, pero el primero lo llamamos el estado0 por lo que el último es el N−1), para lo cual solo habría que realizar el sumatorio hasta k (equivalente asumar el incremento de velocidad directamente al estado).Con lo anterior, dado el vector de estados de la forma:

X =

X1X2...

XN−1

Y conocido el vector de impulsos (en variables transformadas):

U =

~u0~u1...

~uN−1

53

54 Capítulo 5. Rendezvous sobre un asteroide

Se puede escribir una expresión matricial que nos proporcione todos los estados por los que pasa la sondade una vez:

X = FX0 +G U (5.2)

Donde F es una matriz columna de matrices Ak0 en cada fila, y G tiene en cada fila las matrices Bk

i hasta lak−1, salvo en la última, donde aparecerá Bk

k (que es una matriz identidad) para tener en cuenta el últimoimpulso como ya se ha comentado. A modo de ejemplo, para una maniobra de 4 impulsos estas matricesquedan de la siguiente forma:

F =

A10

A20

A30

; G =

B10 0 0 0

B20 B2

1 0 0B3

0 B31 B3

2 B33

El problema a resolver es calcular el vector de impulsos U (3N variables) que provoque el rendezvous

de la sonda (condición de igualdad para el estado final tanto en posición como en velocidad), mientras quelos estados previos no provoquen el choque con el asteroide (condición de seguridad para los N−2 estadosprevios, que se pueden expresar como desigualdades) minimizando el valor de los impulsos para reducir elconsumo de combustible todo lo posible (estando estos sujetos a limitaciones a su vez).Partiendo del modelo de (5.2) podemos realizar una planificación óptima, fijando los objetivos y las

restricciones necesarias. Para ello vamos a plantearlo como un problema de optimización cuadrática (quadraticprogram o QP) que podemos resolver de forma rápida y eficiente con Matlab utilizando la función quadprog.Un QP es un problema de optimización cuya forma estándar puede expresarse como sigue:

mın~r

12~rT H~r+~f T~r

s.a

A~r 6~bAeq~r =~beq

Donde las matrices H, A, Aeq y los vectores ~f ,~b y~beq vienen definidos por las características del problemaen cuestión, y son los datos de entrada que se necesita para resolverlo mediante quadprog. Nótese que solo sepueden imponer restricciones lineales con las variables de entrada (a diferencia del problema de inserciónorbital antes resuelto).En cuanto a la función objetivo, esta debe minimizar el sumatorio de las normas de los impulsos, pero

como eso no es posible con el planteamiento de un QP, lo que se hará será minimizar la energía de control (elsumatorio del cuadrado de la norma de los impulsos). Así la matriz H resulta como la identidad de orden 3Ny el vector ~f como un vector de ceros.

Respecto a la igualdad, queremos que el último vector de X cumpla con la condición de rendezvous, esdecir, queremos que XN−1 = Xrend . El valor concreto de Xrend depende de como se afronte el problema, y sediscutirá en los apartados sucesivos. En cuanto a las matrices para resolverlo como un QP, solo necesitamosaislar el estado XN−1 del vector X , para lo cual lo multiplicamos por:

G1 =[06×6 06×6 · · · 06×6 Id6×6

]Por lo que se llega a:

Xrend = G1X = G1FX0 +G1GU

Es decir que Aeq = G1G y~beq = −G1FX0 + Xrend . Para limitar el valor de los impulsos lo ideal seríaplantearlo como |~ui|6 umax, pero esto no es viable pues no es una condición lineal del valor de las componentesde U . Por ello, lo que se hará será limitar el valor de las componentes de los impulsos en si, aunque sea enrealidad una limitación diferente:

−~umax 6 U 6~umax

Donde ~umax es un vector de dimensión 3N cuyas componentes son umax. De esta forma los vectoresresultantes podrían llegar a tener un módulo mayor que umax, siendo

√3umax su máximo módulo alcanzable.

Así, para evitar esto, se puede escalar~umax para que sus componentes sean u∗max = umax/√

3, evitando este

5.1 Asteroide estático 55

problema (aunque también se está limitando en cierta manera las soluciones posibles). Para poner la limitaciónanterior en forma de desigualdad inferior podemos escribirlas como U 6~u∗max y como −U 6~u∗max, por loque la matriz A y el vector~b quedan de la siguiente forma (a falta de añadir la condición de seguridad):

A =

[Id3N×3N−Id3N×3N

]; ~b =

[~u∗max~u∗max

]Finalmente, solo faltaría expresar la condición de seguridad en forma de desigualdad para evitar así que la

sonda impacte con el asteroide. Esto solo se puede hacer limitando la región del espacio en la que puedeestar la sonda en los puntos donde se realizan los impulsos (pues solo ahí conocemos los estados de lasonda mediante X). En la práctica, una condición muy común que se impone a la posición de la nave es quese mantenga dentro de la región definida por el cono con vértice en el punto de rendezvous y cuyo eje esperpendicular a la superficie. Para simplificar, y dado que la ecuación de un cono no es lineal (lo que haceimposible implementarlo con esta técnica), aquí se impondrá como válida la región del espacio limitada porel plano tangente al punto de rendezvous (ya que la ecuación de un plano si es lineal). Esto se hará primeroen el caso muy simplificado de un asteroide que no gira y con el punto de rendezvous en uno de los ejesprincipales del elipsoide, para así ejemplificar la base de este método. Después se generalizará para el casode asteroides que giran alrededor de un eje cualquiera a velocidad constante y con el punto final en cualquierlugar de la superficie del asteroide.

Como forma de incluir el efecto de la gravedad, se ha implementado esto dentro de un modelo de ControlPredictivo basado en Modelo (MPC) al final del capítulo, para así mejorar los resultados cuando existenincertidumbres que no tiene en cuenta el modelo base utilizado en la propagación.

5.1 Asteroide estático

En este caso simplificado supondremos que nuestro asteroide (modelado como un elipsoide triaxial) tiene susejes principales alineados con el sistema de referencia LVLH. De esta forma, dadas las coordenadas del puntode rendezvous en el sistema de referencia fijo al asteroide (mismo sistema de referencia de la Figura 3.2),conoceremos las coordenadas de Xrend en el sistema de referencia LVLH. En realidad, dado que el sistemade referencia está rotando en todo momento, el asteroide también lo está haciendo con este planteamiento,pero considerando lo lento que es este giro (aproximadamente 360º en 365 días en órbitas cercanas a la dela tierra) y que el procedimiento de rendezvous dura muy poco tiempo (aquí consideraremos maniobras deduración del orden de 10000 segundos) vamos a suponer que en realidad el sistema de referencia no giradurante las maniobras para no tener en cuenta la variación de orientación entre el sistema de referencia fijo alasteroide y el fijo a la órbita.

Dado que solo nos interesan los puntos de pertenecientes a los ejes principales, las coordenadas del puntofinal son fáciles de calcular en este caso. Por ejemplo, si se elije hacer el rendezvous sobre uno de los puntosque corta con el eje x, (±a,0,0), el estado final de la sonda vendrá dado por el vector:

Xrend =

a00000

Donde se ve que la velocidad en el sistema de referencia que estamos usando es nula, ya que el asteroide

está fijo a este (si estuviera rotando la velocidad sería la misma que la del asteroide en ese punto). Ahorahay que transformar este vector de estado a las variables escaladas en las que está formulado el propagadorde movimiento relativo. Para ello se utiliza las ecuaciones de (4.22). Como puede verse, en variablestransformadas la velocidad es proporcional al vector de la posición real, por lo que el vector Xrend tendrávelocidad diferente de cero en general (aunque esto no afecta al método).

Con esto ya quedan definidas la matriz Aeq y el vector~beq, por lo que falta completar la matriz A y el vector~b con la condición de seguridad.

En este caso simplificado se usará la condición x > a para evitar que la sonda pueda chocar con el asteroide(al menos en los instantes en los que se dan los impulsos, que es donde podemos hacer la comprobacióncomo ya se ha mencionado). Dado un vector de estado X j, la condición anterior puede expresarse así:


c ·X j > a

Con c =[1 0 0 0 0 0

]. Pero en la formulación utilizada hay que usar la condición geométrica en

variables transformadas, donde las longitudes vienen de multiplicar los valores reales por ρ = 1+ cosθ , deforma que x > a se transformaría en x > aρ (el valor de ρ cambia con la posición en la órbita). Así, lo quehay que implementar sería:

c · X j > aρ j

Con el mismo vector c, ya que solo ha cambiado el punto por el que pasa el plano y no su orientación.Nótese además que las componentes de la velocidad de X j están todas siendo multiplicadas por cero ya queestamos imponiendo una condición en posición y el valor de la velocidad es indiferente en estos estadosintermedios (solo son relevantes las tres primeras componentes de c).Teniendo en cuenta que para un QP la condición en desigualdad tiene que ser del tipo menor o igual,

podemos generalizar lo anterior para todos los estados intermedios con la expresión CX 6−Xmin, donde lamatriz C viene por:

C =

−c. . .

−c

Y el vector Xmin contiene las componentes aρ j correspondientes a cada instante de tiempo. Considerando

que X = FX0 +G U podemos obtener lo que buscábamos:

A∗ =CG

~b∗ =−CFX0− Xmin

Por lo que si completamos con la limitación de los impulsos:

A =

Id3N×3N−Id3N×3N

CG

; ~b =

~u∗max~u∗max

−CFX0− Xmin

Dado que ya tenemos todas las matrices y vectores necesarios se pueden introducir en quadprog para

obtener el vector de impulsos.

Aplicación al asteroide Bede

Se va a aplicar el método anterior para calcular el rendezvous sobre el asteroide 3691 Bede (1982 FT) portardar este 226,8 horas en realizar una rotación sobre si mismo, lo que lo convierte en uno de los asteroidesde rotación más lenta conocidos. Así, la simplificación realizada de asteroide estático será aproximadamenteválida para maniobras de rendezvous que transcurran en poco tiempo. En particular se va a imponer que eltiempo de maniobra sea de 6000 segundos (lo que supone un giro de aproximadamente 3 grados).Como se vio en el capítulo anterior, para conocer las matrices de propagación es necesario conocer los

datos de la órbita (semieje mayor y excentricidad, los cuales se conocen con precisión) además del instanteinicial (dado por θ0) y el tiempo de propagación. Aquí se ha elegido θ0 = 10º y, como ya se ha dicho, eltiempo de maniobra es Tm = 6000s. Solo faltaría elegir el número de impulsos y las condiciones inicialespara poder calcular las matrices F y G que definen el problema. Se hará la maniobra de 10 impulsos, y elestado inicial vendrá por el vector:

X0 = [8 1 3 0.1E−3 −2.5E−3 −0.2E−3]

Estando la posición en Km y la velocidad en Km/s. La geometría de este asteroide en particular no es deltodo conocida pues solo se tiene información tomada desde tierra mediante medios ópticos. Se sabe que tieneun radio medio de 2,15 Km (lo cual se deduce de la luz que refleja y de la distancia al asteroide), por lo quesupondremos un semieje mayor de 3 Km y fijaremos las dos dimensiones restantes del elipsoide para que

5.1 Asteroide estático 57

esto se cumpla. Con esto se puede conocer el vector de estado en el rendezvous (dado por el valor de a) y portanto el resto de matrices para resolver el problema.

Figura 5.1 Rendezvous sin giro.

En la Figura 5.1 se han representado los resultados de aplicar el método explicado sobre el asteroide Bede.Como puede observarse por la gráfica de la velocidad relativa (en el eje x están los instantes en que se hadividido la representación de la maniobra) el impulso más grande se da al principio (el salto en cada escalónno es el valor del impulso en si, pero es representativo). Aunque parezca que la velocidad entre impulsos semantiene constante esto se debe a que el tiempo transcurrido entre impulsos es muy corto y no se producencambios significativos de velocidad.El ∆V de la maniobra completa ha sido de 4,655 m/s, y la norma de los diferentes impulsos viene por el

siguiente vector:

DVims = [0.9160 0.7607 0.6069 0.4566 0.3145 0.1991 0.1752 0.2684 0.4046 0.5529]

Cabe destacar que para este problema se impuso un valor máximo a los impulsos de 5 m/s (lo que suponíaimponer 5/

√3 como valor máximo de las componentes de los impulsos). Se puede observar que al final

del rendezvous se cumplen las condiciones impuestas en posición y en velocidad, por lo que podemos darpor válido el algoritmo utilizado. El programa en sí tarda en ejecutarse unos 0.6 segundos, de los cuales0.5 se corresponden a la ejecución del quadprog que obtiene los impulsos, y el resto se usa en calcular lasmatrices que definen el problema. Esto quiere decir que el método es lo bastante rápido para ser utilizado enaplicaciones en tiempo real ya que los cálculos necesarios se llevan a cabo rápidamente en comparación conla maniobra completa, lo cual va a tener implicaciones para las fases sucesivas de este trabajo.


5.2 Asteroide girando

En este apartado se explicarán las modificaciones necesarias para generalizar el algoritmo anterior a unasteroide que además está girando respecto al sistema de referencia LVLH alrededor de un eje cualquiera.Para esto hay que tener en cuenta que cambia la forma de expresar el estado en el instante de rendezvous,ya que se hará para poder realizarlo sobre cualquier punto del asteroide y que además este punto ahora va aestar moviéndose. También va a cambiar la forma en la que se expresan las condiciones de seguridad en losinstantes de los impulsos, ya que el plano de seguridad, que antes era x = a, ahora será tangente a un puntocualquiera y estará rotando respecto del eje de giro del asteroide.

La superficie del elipsoide parametrizada con los mismos ángulos que en el modelado del potencial vienepor la siguiente expresión:

S(λ ,φ) = (acosφ cosλ , bcosφ sinλ , csinφ) (5.3)

Así, dados los ángulos φr y λr el punto de rendezvous quedaría definido por~rAR = (S(λr,φr))T si este no

rotara sobre si mismo. Para tener en cuenta el giro solamente hay que hacer uso de la matriz de rotación deángulo θ alrededor de un eje unitario~u =

(ux,uy,uz

)que viene por:

R =

cosθ +u2x(1− cosθ) uxuy(1− cosθ)−uz sinθ uxuz(1− cosθ)+uy sinθ

uyux(1− cosθ)+uz sinθ cosθ +u2y(1− cosθ) uyuz(1− cosθ)−ux sinθ

uzux(1− cosθ)−uy sinθ uzuy(1− cosθ)+ux sinθ cosθ +u2z (1− cosθ)

(5.4)

Dicha matriz es ortogonal por lo que se cumple que RT = R−1 y detR = 1. Suponiendo que en el instanteinicial el asteroide se encuentre alineado con los ejes del sistema de referencia LVLH lo único que hay quehacer es multiplicar la matriz anterior por el vector posición del punto de rendezvous antes de la rotación,~rDR = R ·~rAR. Esto quiere decir que solamente hay que definir previamente el eje de giro y el ángulo que hagirado el asteroide. En principio no hay ninguna limitación a la hora de elegir el eje de giro, pero dado que lamayoría de asteroides giran alrededor de su eje de mayor inercia se va a elegir el eje z (pues ya se establecióque a > b > c). El ángulo girado viene directamente por el tiempo de maniobra, Tm, y por el periodo derotación Tr, mediante la expresión θ = 2π

TrTm. Lo anterior se puede generalizar a cualquier orientación inicial,

para lo cual solo hay que realizar un giro inicial θ0 alrededor de un eje cualquiera u0, y así orientar al asteroidede diferente forma. De este modo se tendrá que:

~rDR = R ·R0 ·~rAR

Donde ahora la matriz R viene por el mismo ángulo girado que se ha calculado previamente, pero con eleje de giro resultado de hacer girar el vector (0,0,1)T lo mismo que el asteroide en si:

~u = R0 ·

001

(5.5)

En cuanto a la velocidad del punto de rendezvous en el instante final sabemos que tiene como módulovr =

2π

Tr|rDR| y como dirección la que viene por la regla de la mano derecha, que puede calcularse como

~u× ~rDR|rDR| . Por lo que la velocidad del punto de rendezvous vendrá por:

~vr =2π

Tr~u×~rDR

Así, el estado final vendrá por el vector columna:

Xrend =

[~rDR~vr

]Dicho estado debe transformarse a las variables escaladas como ya se mencionó antes. Para poder expresar

la condición de seguridad primero necesitamos calcular el plano tangente al punto de rendezvous, para lo cualhay que calcular el vector normal a la superficie del elipsoide en ese punto. Dada la expresión parametrizadade una superficie, el vector normal a esta viene por el producto escalar de las derivadas parciales respectoa los parámetros, en este caso φ y λ . Teniendo en cuenta como están definidos dichos ángulos, el vector

5.2 Asteroide girando 59

normal hacia afuera vendrá por~n(λ ,φ) = Sλ ×Sφ , expresión que debe ser evaluada en el punto deseado. Así,dado un punto ~p y el vector normal, el plano viene dado por la ecuación:

(x− px)nx +(y− py)ny +(z− pz)nz = 0

Que también puede expresarse como:

xnx + yny + znz = nx px +ny py +nz pz

En el instante inicial de la maniobra el punto es el que viene dado por (λr,φr) por lo que:

~n0 =~n(λr,φr)

~p0 =~rAR

Por lo que el plano tangente viene por:

~nT0

xyz

= ~pT0 ·~n0

Para un instante j sucesivo solo hay que rotar los vectores~n0 y ~p0 mediante la matriz R j, con el ángulo θ jcorrespondiente, quedando completamente definido el plano tangente en cualquier momento. Esto también esválido si el elipsoide no esta orientado al principio con los ejes de LVLH, simplemente hay que usar R0 ·~n0como vector normal inicial y R0 ·~p0 como punto inicial, ademas de usar como eje de giro el dado por (5.5)en la matriz R j.Finalmente, la condición de seguridad que debe cumplir un estado X j intermedio entre el comienzo y el

instante de rendezvous viene por:

c j ·X j > ~pTj ·~n j

Donde c j =[~nT

j 0 0 0]. Dicha condición debe expresarse en las variables transformadas, que se

vuelve a hacer multiplicando el lado derecho de la inecuación por ρ j, ya que en el espacio de las variablestransformadas cambia el punto de rendezvous, pero el vector normal solo sufre un cambio de longitud, por loque puede usarse el mismo. De esta forma la condición queda:

c j · X j > ~pTj ·~n jρ j

Esto quiere decir que solo hay que cambiar la matrizC y el vector Xmin, quedando completamente definidasel resto de matrices y vectores del problema de optimización.

Aplicación al asteroide Itokawa

Para el método considerando el giro se usará el asteroide Itokawa (ver Tabla 4.1), con una maniobra derendezvous de 10000 s de duración (gira 80º aproximadamente) y 20 impulsos. El giro se realiza alrededor deleje principal de inercia, pero se ha orientado el asteroide con un giro inicial de 180º alrededor de

[1 0 0

](a falta de conocer datos reales del mismo). El punto de rendezvous elegido viene por φr =−30º y λr = 30ºy las condiciones iniciales son:

X0 = [−1 −1.2 2 −0.5E−3 0.01E−3 −0.8E−3]

En la Figura 5.2 se ha representado el resultado obtenido. En línea de puntos se representa la trayectoriaque iba a seguir la sonda de no haber empezado a aplicar los impulsos. El plano que está representado encada instante es el tangente al punto de rendezvous, y es el que se utiliza como condición geométrica deseguridad en cada instante (mientras el último punto dibujado esté por el lado del plano contrario al asteroideentonces será un punto válido). La maniobra en si ha tenido un coste total de 1.495m/s y la representaciónde la velocidad y distancia relativa al punto de rendezvous a lo largo de la misma puede verse en las figuras(5.3) y (5.4).

De nuevo el tiempo empleado por el programa para calcularlo todo ha sido de 0.5 segundos aproximada-mente, de los que la mayoría (0.4) se emplean en la optimización de la maniobra.


Figura 5.2 Rendezvous con giro.

5.2 Asteroide girando 61

Figura 5.3 Rendezvous con giro, velocidad relativa.

Figura 5.4 Rendezvous con giro, distancia relativa.


5.3 Considerando la gravedad del asteroide, bucle cerrado

En el procedimiento realizado hasta ahora se considera que el movimiento de la sonda es debido únicamentea la atracción del Sol, y que el asteroide no tiene ningún efecto sobre esta durante el rendezvous. Esto nos hapermitido obtener unas ecuaciones analíticas para propagar el movimiento de la misma sin las cuales habríasido imposible realizar un proceso de optimización que nos permita calcular las maniobras mostradas deuna forma tan rápida y eficiente. En realidad la sonda está sometida a varias perturbaciones que ya se hancomentado (planetas, radiación solar, el asteroide...), pero en este caso la corta distancia al asteroide haceque la más importante sea la propia atracción de este, que en ciertos casos, y cuando se está realizando laaproximación final, puede ser la fuerza dominante. Por ello, en este apartado se va a establecer un métodopara utilizar lo explicado hasta ahora en maniobras de rendezvous sobre asteroides considerando la atraccióngravitatoria de los mismos.Para considerar el efecto del asteroide hay que recordar que las ecuaciones del movimiento relativo

utilizadas provenían de restar la ecuación del asteroide a la ecuación de la sonda ((4.5) y (4.6)). En la ecuaciónde la sonda se incluía un término de aceleración extra para el control de la misma, pero también podemosincluir otros efectos como el debido al asteroide. En general el efecto del asteroide puede ser tenido en cuentaconsiderando el término de perturbación debido a tercer cuerpo que se calculó en el Capítulo 2, pero podemoshacer una simplificación si tenemos en cuenta que esto solo lo usaremos durante el rendezvous (cuando ladistancia al asteroide es muy corta). En este caso el término (~rCs−~r) de~γP se hará muy pequeño (es el vectorque va desde la sonda al asteroide) por lo que se cumplirá que:


3 ~rCs

|~rCs|3

Esto quiere decir que de los dos términos de~γP solo nos interesa el debido a la fuerza central del asteroide.En el caso que se dedujo para el Capítulo 2 el tercer cuerpo se estaba modelando como un sólido esférico,por lo que la expresión de su fuerza gravitatoria es del tipo µ~r/ |~r|3, pero en este caso la fuerza es la debida aun elipsoide triaxial, que como ya se ha visto en el Capítulo 3, tiene términos extras debido a la desviaciónrespecto de la esfera. Para tener en cuenta estos términos basta con usar en su lugar el gradiente del potencial(3.3) dado por (3.4). Por la expresión del gradiente podemos ver que la fuerza resultante dista de ser unafuerza central, ya que tiene términos asociados a tres direcciones diferentes del sistema de referencia fijo alasteroide.Visto como introducir el efecto del asteroide en la ecuación del movimiento de la sonda, para obtener la

ecuación del movimiento relativo a este el procedimiento es completamente análogo, por lo que el resultadofinal será el de las ecuaciones (4.9) con los términos del gradiente sumando en el lado derecho. El únicoproblema a resolver es que el gradiente calculado con (3.4) está dado en el sistema de referencia fijo alasteroide, mientras que en las ecuaciones deducidas, aunque tienen el sistema de referencia centrado en elpropio asteroide, estará orientado de otra forma en general. Para resolver esto solo hay que realizar un cambiode coordenadas al vector gradiente, lo cual se puede hacer con la matriz de giro que se ha venido usandohasta ahora para orientar los vectores que giran con el asteroide (al igual que para expresar el vector posiciónde la sonda en el sistema de referencia del asteroide en el momento de calcular el gradiente en si).Así, una vez tenemos unas ecuaciones del movimiento que tienen en cuenta las perturbaciones podemos

aplicar un control en bucle cerrado como sigue. Dadas las condiciones iniciales de la maniobra se calcularánlos impulsos necesarios para llegar al punto de rendezvous en las condiciones deseadas. Se aplicará el primerimpulso, y desde ese momento se propagará el movimiento de la sonda con las ecuaciones del movimientodeducidas, de forma que el movimiento de la misma se aproxime lo más posible a la realidad (será más exactocuantas más perturbaciones se tengan en cuenta). Cuando llegue el momento de dar el segundo impulsose volverán a calcular los mismos, ya que la trayectoria de la sonda se ha tenido que desviar respecto de laesperada debido al efecto del asteroide (se desviará más cuanto mayor sea el asteroide), siendo esto viablegracias a la rapidez del algoritmo para calcular los impulsos óptimos necesarios (en nuestra simulación eltiempo transcurrido en los cálculos es lo de menos, pero para una aplicación real si es importante, puesa mayor tiempo empleado más nos desplazaremos del punto en el que estábamos cuando se empezaron acalcular los impulsos). Una vez calculados todos los impulsos de nuevo, se aplica el primero de ellos, y sevuelve a repetir el proceso de propagar con el modelo completo y recalcular una vez se ha llegado al momentodel siguiente impulso.Con este procedimiento se pretende cerrar el bucle de control, de forma que para una situación real la

sonda llegue al punto deseado de forma más o menos precisa a pesar de no tener un modelo perfecto del

5.3 Considerando la gravedad del asteroide, bucle cerrado 63

sistema a controlar (la dinámica cerca del asteroide). Se ha realizado este procedimiento para el caso delasteroide Itokawa con las mismas condiciones iniciales para comprobar como de efectiva sería la maniobra sino se llegara a tener en cuenta la gravedad del asteroide y como mejoraría si se utilizara el procedimiento enbucle cerrado.

Figura 5.5 Rendezvous sobre Itokawa considerando la gravedad.

En la (Figura 5.5) se compara la trayectoria seguida por la sonda si no hubiera gravedad (la del casoanterior) con las trayectorias cuando si la hay, por un lado cuando no se tiene en cuenta (en bucle abierto) y


Figura 5.6 Rendezvous sobre Itokawa, comparación de distancia relativa.


Figura 5.7 Rendezvous sobre Itokawa, comparación de velocidad relativa.


por otro cuando a cada momento de realizar un impulso se recalculan los mismos para tener en cuenta ladesviación que se ha producido (bucle cerrado). Como se puede observar, el no tener en cuenta la gravedadprovoca que la sonda se desvíe del camino esperado y realice el contacto con el asteroide en un punto bastantealejado del objetivo, además de a una velocidad distinta de cero considerablemente grande (0.4 m/s), comose puede observar en las figuras (5.6) y (5.7) (a partir del contacto con el asteroide se ha representado conlínea más gruesa). Por otro lado, el método de bucle cerrado consigue que la trayectoria se ajuste bastante ala buscada desde un primer momento, consiguiendo que el contacto se produzca muy cerca del punto derendezvous buscado (0.05 Km) y a una velocidad relativa inferior (0.15 m/s). Es importante destacar queesto se consigue a un costo mayor, pues el conjunto de las maniobras calculadas suman un ∆V total de 1.76m/s. Aun así, aunque se ha conseguido mejorar el resultado, no es impensable realizar un rendezvous sobreasteroides a una velocidad relativa de 0.4 m/s (1.44 Km/h), pero hay que tener en cuenta que la gravedad noes la única perturbación e incertidumbre, por lo que en la práctica siempre es necesario utilizar un mecanismode control en bucle cerrado para mitigar dichas perturbaciones. Esta necesidad quedará más patente en elsiguiente caso de estudio, cuando la masa del asteroide es mucho mayor que la de Itokawa.

Para considerar el caso de asteroides mucho más másicos se ha elegido al asteroide Eros. Se ha realizadouna maniobra de 20 impulsos de 6000 s de duración con condiciones iniciales de:

X0 = [−10 40 −50 −12E−3 −15E−3 −2E−3]

El punto de rendezvous tiene las mismas coordenadas que en el caso anterior y no se ha realizado ningúngiro inicial para orientar el asteroide. El coste de la maniobra es de 41.597 m/s cuando no se tiene en cuentala gravedad, y de 57.305 m/s cuando se cierra el bucle de control. Las trayectorias obtenidas se muestran enlas figuras (5.8), (5.9) y (5.10). En este caso se puede ver claramente como la trayectoria en bucle abiertose desvía mucho de la esperada, impactando con el asteroide a más de 20 m/s (72 Km/h) lejos del punto derendezvous. En cambio, considerando las perturbaciones se consigue un buen ajuste de la maniobra deseada,haciendo contacto a 5 m/s (18 Km/h), que aún así es una velocidad considerablemente alta, por lo que esdeseable que esta disminuya. Para ello una posible solución sería realizar las comprobaciones de posición conmás frecuencia, lo cual con este método supone realizar más impulsos. Así, realizando la maniobra con 25impulsos se logra una velocidad en el contacto de 4 m/s (es 10 veces mayor que en el caso de Itokawa), comose puede ver en la (Figura 5.12). En materia de rendezvous se considera que un contacto es suave cuando seproduce por debajo de los 3 m/s, por lo que el resultado conseguido es más que aceptable.


Figura 5.8 Rendezvous sobre Eros considerando la gravedad (20 impulsos).


Figura 5.9 Rendezvous sobre Eros, comparación de distancia relativa (20 impulsos).

Figura 5.10 Rendezvous sobre Eros, comparación de velocidad relativa (20 impulsos).


Figura 5.11 Rendezvous sobre Eros, comparación de distancia relativa (25 impulsos).

Figura 5.12 Rendezvous sobre Eros, comparación de velocidad relativa (25 impulsos).

6 Comentario del proyecto y trabajo futuro

Aquí se van a comentar las simplificaciones hechas en este trabajo y las posibles líneas de investigación parafuturos trabajos que pueden complementar o mejorar lo aquí expuesto.

6.1 Simulación de la órbita del asteroide

Para simplificar el proceso de implementar en Matlab el algoritmo de simulación, se ha limitado el númerode planetas a tener en cuenta a 2. Aunque esto ha permitido obtener buenos resultados por ser los de mayorimportancia para asteroides en las cercanías de la órbita terrestre, el procedimiento es fácilmente escalablepara más planetas y cuerpos del Sistema Solar sin más que introducir otras perturbaciones sumadas a laecuación del movimiento.Aún así, esto no bastaría para mejorar los resultados dada la naturaleza aproximada del propagador

planetario, que ya de por si introduce un error en la simulación. Si se deseara obtener datos de posición delasteroide con mucha más precisión (por ejemplo durante el transcurso de la misión para hacer los cálculosfinales de inserción orbital), una posible solución a esto sería utilizar datos de la herramienta HORIZONS delJPL para posicionar los planetas. Como ya se ha comentado, esta herramienta proporciona los elementosorbitales en intervalos de tiempo fijos, por lo que sería necesario hacer cálculos intermedios si el paso deintegración de la simulación es variable (lo cual es necesario si se quiere un algoritmo rápido). Para ello sepodría interpolar la posición del planeta en cuestión mediante funciones de Matlab, lo que permitiría aplicarlo que se obtiene mediante HORIZONS.

Por último, es posible mejorar la simulación si se considera una ecuación del movimiento con más términos,es decir, aquellos que se han despreciado al considerar la acción de los planetas independientes entre si (vercapítulo Anexo).

6.2 Modelo de asteroide

En este trabajo se ha usado una expansión de armónicos esféricos truncada para aproximar el campo delpotencial gravitatorio alrededor de un asteroide. Aunque este método tiene el potencial de aproximar con granprecisión la acción gravitatoria de este tipo de cuerpos se ha obviado un fuerte punto negativo que acarrea.Fuera de la esfera que rodea al cuerpo en cuestión este procedimiento es capaz de dar resultados tanto mejorescuanto más términos de la expansión se utilicen, pero para una cantidad determinada de términos la soluciónempieza a divergir dentro de esa esfera (llamada esfera de Brillouin, Figura 6.1) cuanto más adentro de laesfera se esté evaluando. Este método se utilizaba originariamente para cuerpos aproximadamente esféricoscomo planetas, por lo que el volumen de divergencia era muy pequeño. Pero para una aplicación como lanuestra donde el objetivo es acercarse a un cuerpo no esférico hasta tocar la superficie entonces si se estácometiendo un error.La solución más inmediata a este problema es la utilización de una serie de expansión de armónicos

elipsoidales, que convergen fuera del elipsoide que rodea el cuerpo en cuestión (elipsoide de Brillouin,Figura 6.2). Estas expansiones, basadas en funciones de Lame, son básicamente iguales a la expansiónde armónicos esféricos: También son solución de la ecuación de Laplace, tienen coeficientes similares ypresentan una zona interna de divergencia (en el volumen que hay entre el elipsoide de Brillouin y el cuerpoen cuestión).

71

72 Capítulo 6. Comentario del proyecto y trabajo futuro

Figura 6.1 Esfera de Brillouin.

Figura 6.2 Elipsoide de Brillouin.

Por lo tanto se propone como futura línea de trabajo la utilización de este tipo de series para modelar elcampo gravitatorio de un asteroide durante el procedimiento de rendezvous.

Por otro lado, la dinámica rotacional se ha simplificado mucho suponiendo que la velocidad de rotaciónes constante y que el eje de rotación tampoco varía con el tiempo. En la práctica esto es una aproximaciónestupenda en la mayoría de los casos, pero que puede suponer un problema si se pretende orbitar el asteroidedurante periodos prolongados (el error cometido será mayor conforme pasa el tiempo). Así, una posiblemejora sería considerar asteroides que no roten alrededor de su eje principal de inercia (por ejemplo Toutatis),ya que su dinámica rotacional puede ser descrita en términos de funciones analíticas [14].

6.3 Órbita cerca del asteroide 73

6.3 Órbita cerca del asteroide

En cuanto a la dinámica en las cercanías del asteroide se ha hecho el estudio considerando la gravedad de unasteroide elipsoidal pero despreciando la acción del Sol como fuerza perturbadora (que puede llegar a serimportante a ciertas distancias del asteroide). Por ello se propone estudiar el efecto del Sol para diferentesasteroides y para distintas órbitas, y comprobar en que casos es viable despreciar su efecto. Tampoco se haprofundizado en el efecto de la triaxialidad del asteroide sobre los elementos orbitales mediante un enfoqueanalítico, lo cual puede ser de gran utilidad a la hora de diseñar órbitas alrededor de asteroides.

6.4 Maniobra de rendezvous

En lo que se refiere al rendezvous se han hecho bastantes simplificaciones, ya que es en realidad un procesocomplejo en el que hay que tener en cuenta multitud de factores que se comentan a continuación.

Por un lado las maniobras se han aproximado a una serie de impulsos espaciados temporalmente, lo cualpuede ser una buena aproximación para el diseño preliminar de la maniobra, sobre todo en el caso de sondaspequeñas, donde la acción de los propulsores sea muy parecida a la de un impulso. En general, y para unestudio más detallado habrá que considerar propulsión de tipo continua, lo cual dificulta la optimización.El modelo utilizado para el movimiento relativo al asteroide a la hora de optimizar la maniobra de

rendezvous no consideraba una de las perturbaciones más importantes, es decir, el propio asteroide (lo cual esdeterminante para aquellos que sean muy grandes, como se ha podido comprobar). Esto debe ser corregidode alguna forma para evitar que la trayectoria resultante sea demasiado diferente a la esperada (pudiendoprovocar una colisión en el peor de los casos). Por ello se propone incorporar el efecto de la gravedad delasteroide en el algoritmo de optimización de la maniobra de rendezvous (además de incorporar el conceptode bucle cerrado de control como ya se ha hecho). También sería interesante mejorar la forma en la que seha impuesto la condición de seguridad, por ejemplo mediante cuatro planos que delimiten una zona de tipocónica con el punto de rendezvous como vértice.

Una simplificación bastante importante ha sido la suposición de que se puede conocer con total precisióntanto posición como velocidad de la sonda desde el principio, lo cual es falso ya que toda instrumentaciónestá ligada a cierto error de medida. Por ello se propone incluir esta incertidumbre en los cálculos y, porejemplo, hacer un estudio estadístico del resultado de la maniobra para diferentes desviaciones respecto a losdatos reales.Por último, resaltar que se ha obviado por completo la necesidad de realizar un control de actitud de la

sonda, y las implicaciones que esto puede tener en cuanto a una posible saturación de las acciones de controlpara que las maniobras se lleven a cabo en el momento adecuado. Esta es por tanto una posible mejora que sepropone para los procedimientos aquí expuestos en relación al rendevouz sobre asteroides.

7 Anexo

Cómo se nombran los asteroides

El proceso de asignar un nombre a un nuevo asteroide puede llegar a durar incluso décadas. Comienza conel descubrimiento de un asteroide que no puede ser identificado con ningún cuerpo ya clasificado. Cuandoobservaciones de este procedentes de dos noches diferentes son declaradas al Minor Planet Center, se leasigna una designación provisional (estas dos observaciones no necesitan venir del mismo observador). Ladesignación estándar provisional que se usa actualmente consiste en las siguientes partes, todas relacionadascon la fecha de descubrimiento del objeto: Un número de 4 dígitos indicando el año; un espacio; Una letrapara mostrar el mes y la quincena dentro de este (la primera o la segunda) (Figura 7.1); otra letra para indicarel orden de asignación (Figura 7.2); y otro número opcional para indicar el número de veces que la letra se harepetido en ese medio mes.

Figura 7.1 Quincena del descubrimiento del asteroide.

Figura 7.2 Orden de descubrimiento.

Si hay más de 25 descubrimientos en esa quincena la segunda letra se vuelve a utilizar en el mismo ordenpero añadiendo un uno al final de la designación. Si hay más de 50 descubrimientos, se añade un 2, para másde 75, un 3, y así sucesivamente. Si es posible estos número adicionales deben indicarse usando subíndices.

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76 Capítulo 7. Anexo

Por lo tanto, el orden de designación para una quincena en particular sería el siguiente: 1995 CA, 1995 CB,..., 1995 CY , 1995 CZ, 1995 CA1, ..., 1995 CZ1, 1995 CA2, etc.Llegados a este punto se empiezan a buscar coincidencias con objetos previamente designados provisio-

nalmente. Si se encuentra una, el identificador elige una de las designaciones provisionales. La selecciónde la designación provisional no afecta a quien será el descubridor del objeto una vez esté numerado. Si nose encuentran coincidencias se sigue al objeto en sucesivas observaciones para computar su órbita. Este esseguido por el mayor tiempo posible (incluso meses).El objeto se sigue observando cada vez que completa una órbita, y cuando este proceso se ha repetido 4

o más veces el objeto recibe una designación permanente, un número. Las circunstancias exactas bajo lascuales un objeto recibe un número son algo complejas y dependen del tipo de objeto en cuestión. Por ejemplo,para los NEA suele bastar con 3 o incluso 2 órbitas registradas.El descubridor del objeto numerado se elige de dos formas. Para algunos asteroides el descubridor es el

mismo descubridor que produjo la designación principal (esto es para aquellos designados antes del 19 deOctubre de 2010). El resto de asteroides tienen por descubridor el primero que produjo el informe con laobservación de segunda noche.A este descubridor se le da el privilegio de sugerir un nombre para su descubrimiento. Este derecho se

conserva durante diez años desde su numeración. Para ello, el descubridor tiene que escribir una explicaciónde la razón del nombre elegido, que será juzgado por el Comité de Nombramiento de Asteroides, formado porquince personas implicadas en investigaciones sobre asteroides o cometas. Los nombres propuestos debenser de 16 caracteres o menos, preferiblemente de una palabra, no ofensivos y que se diferencie de nombres deotros asteroides o planetas existentes. Además, los nombres de personas o hechos históricos de índole militaro político solo son válidos 100 años después de que la persona haya muerto o haya ocurrido el evento encuestión. Tampoco son válidos nombres de mascotas o aquellos con propósito parcial o puramente comercial.

Los nombres aceptados se vuelven oficiales cuando son publicados, junto con la explicación de su nombreen las circulares del Minor Planet Center.

Elementos orbitales keplerianos

Para un sistema de referencia OxOyOzO con el plano OxOyO conteniendo al plano de la órbita y con el origenen el foco solo se necesitan tres parámetros para determinar la órbita. Los parámetros son:

• Semieje mayor de la órbita, a: Determina el tamaño de la órbita, es el semieje mayor de la elipse orbital.Se puede sustituir por p, denominado parámetro de la órbita (cuya definición es p = h2/µ), que estárelacionado con a mediante el siguiente parámetro.

• Excentricidad, e: Determina la forma de la órbita y relaciona a y p con p = a(1− e2).

• Argumento de periapsis, w: Orienta la línea de ápsides, es decir el punto más cercano al foco.

Se necesita un cuarto parámetros para determinar la posición del cuerpo en la órbita, que puede ser eltiempo transcurrido desde el paso por periapsis, ∆t, o alguno equivalente, como la anomalía verdadera, θ

(están relacionados mediante las leyes horarias). El sistema de referencia perifocal OxF yF zF está centrado enel foco, con OxF apuntando hacia periapsis, y el eje OzF en la dirección del vector~h.

Lo anterior sirve para conocer la órbita dado el plano en el que está contenida, por lo que para conocer porcompleto esta, solo hay que orientar el plano en el espacio, quedando ahora completamente determinada. Estose consigue con dos parámetros más, quedando un total de 6 que reciben el nombre de elementos orbitales.El plano de referencia del que se ha hablado será diferente dependiendo de la situación. Para órbitas

planetocéntricas puede ser el plano ecuatorial del planeta, mientras que para órbitas heliocéntricas puede serel plano de la eclíptica (como es el caso de este trabajo, donde los asteroides se posicionan usando este planocomo referencia).

Una vez orientados, el plano de la órbita y el de referencia se cortan en la llamada línea de nodos. La órbitacorta la línea de nodos en dos puntos llamados nodos, uno recorrido de abajo a arriba, el nodo ascendente ,y otro al contrario, el nodo descendente . El vector nodo~n es un vector unitario en la dirección de .

Como puede verse en la Figura 7.4, el plano se orienta por un lado conociendo la inclinación de estemediante i y por otro conociendo el ángulo que forman el punto de aries () con~n en sentido anti-horario, laascensión recta del nodo ascendente (RAAN), Ω. La inclinación se mide en el sentido indicado por~n, y esun ángulo contenido entre 0 y π .

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Figura 7.3 Sistema de referencia perifocal.

Figura 7.4 Plano orbital en relación al plano de referencia.

Cuando los elementos orbitales son los anteriores se llaman elementos orbitales Keplerianos clásicos. Enel caso de órbitas alrededor de la tierra son los más usados (aunque dependiendo de la situación es necesariousar algunos equivalentes). Para órbitas heliocéntricas, en cambio, se suelen usar otros elementos orbitalesequivalentes:

• Longitud del perihelio ϖ = w+Ω, en lugar de w.

• Longitud media L = ϖ +M, en lugar de anomalía verdadera. Siendo M la anomalía media, que secalcula como M =

√µ/a3∆t.

Así, los elementos orbitales quedarán como (a,e,i,Ω,ϖ ,L).


Justificación de la ecuación del movimiento del asteroide

Dado que en el sistema completo que se ha estudiado (Sol-Júpiter-Tierra-Asteroide) hay más de tres cuerpos,la conclusión a la que se llega en el Capítulo 2 en relación a la ecuación que rige el movimiento del asteroideestá en realidad injustificada. Se parte de un problema de tres cuerpos clásico para determinar la fuerza deperturbación sobre el asteroide cuando la masa de este se supone despreciable y por tanto no afecta a lasituación del centro de masas del sistema, que viene determinado por los otros dos cuerpos (Sol-Planeta). Unavez se ha obtenido la fuerza de perturbación debida al tercer cuerpo se generaliza la ecuación del movimientocompleta bajo la suposición de que perturbaciones debidas a más planetas que se añaden al sistema sonequivalentes e independientes entre sí. Esto quiere decir que estamos despreciando el efecto que tienen losplanetas entre sí, además del efecto conjunto de estos sobre el Sol (no estamos teniendo en cuenta que elcentro de masas del sistema completo es diferente de aquel que se supuso en el modelo de los tres cuerpos).Aquí se va a justificar la validez de estas simplificaciones bajo la premisa de que la masa del Sol es muchomayor que la de cualquier planeta (incluido Júpiter). En el desarrollo que se muestra en adelante el Solestará referido como cuerpo principal (Cp), la Tierra como cuerpo secundario 1 (Cs1) y Júpiter como cuerposecundario 2 (Cs2), de esta forma se le añade generalidad al razonamiento, pues puede extenderse a n planetasconsiderados como cuerpos secundarios.

Para empezar, la ecuación del movimiento dada en el sistema de referencia inercial con origen en el centrode masas del sistema completo se calcula siguiendo el mismo esquema, pero añadiendo la fuerza de todos loscuerpos implicados:

~rIN =−µCp~rr3 +µCs1

~rCs1−~r∣∣~rCs1−~r∣∣3 +µCs2

~rCs2−~r∣∣~rCs2−~r∣∣3 (7.1)

El vector de posición~r sigue estando definido igual (~r =~rIN−~r1), por lo que para conocer la aceleraciónde este vista desde el Sol como origen necesitamos, al igual que en el razonamiento utilizado para el modelode los tres cuerpos, la expresión de ~r1. La diferencia es que esta vez va a ser una función de la posición deambos cuerpos en relación al Sol (~rCs1

y~rCs2), y no solo de uno.

Las ecuaciones del movimiento de la Tierra y de Júpiter en el sistema de referencia inercial vendrán de lamisma forma por:

~r2 =−µCp~rCs1

rCs13 +µCs2

~rCs2−~rCs1∣∣~rCs2−~rCs1

∣∣3 (7.2)

~r3 =−µCp~rCs2

rCs23 +µCs1


∣∣3 (7.3)

Donde~r2 y~r3 son las posiciones de la Tierra y de Júpiter en el sistema de referencia inercial. Al sistemaactual hay que añadir la ecuación del centro de masas:

mCp~r1 +mCs1~r2 +mCs2

~r3 =~0 (7.4)

Que por las definiciones de los vectores de posición (~rCs1=~r2−~r1 y~rCs2

=~r3−~r1) se puede transformaren:

~r1 =−mCs1

mT~rCs1−

mCs1

mT~rCs2

(7.5)

Donde mT = mCp +mCs1+mCs2

. Derivando dos veces con respecto al tiempo la ecuación anterior eintroduciendo las definiciones de los vectores de posición en (7.2) y (7.3) se llega al siguiente sistema de tresecuaciones diferenciales:

~rCs1=−µCp

~rCs1rCs1

3 +µCs2

~rCs2−~rCs1

|~rCs2−~rCs1 |3 −~r1 =~a1(~rCs1

,~rCs2)−~r1

~rCs2=−µCp

~rCs2rCs2

3 +µCs1

~rCs1−~rCs2

|~rCs1−~rCs2 |3 −~r1 =~a2(~rCs1

,~rCs2)−~r1

~r1 =−mCs1mT

~rCs1− mCs1

mT~rCs2

79

Como ya se ha dicho el objetivo es conocer ~r1 para así introducirlo en (7.1) y tener la expresión de ~r. Delsistema anterior se puede obtener ~r1 como una función de los vectores de posición~rCs1

y~rCs2, para ello

primero se introduce la tercera ecuación en las dos primeras y así obtener una expresión de ~rCs1y ~rCs2

, queluego serán reintroducidos en la tercera. Con este razonamiento se llega a:

~rCs1

[(1−

mCs1

mT

)−

(mCs1

mCs2

mT (mT −mCs2)

)]=~a1 +

mCs2

mT −mCs2

~a2

Para simplificar las ecuaciones usaremos que mCp mCs1,mCs2

, por lo que el término que multiplica a~rCs1

se aproxima con:[(1−

mCs1

mT

)−

(mCs1

mCs2

mT (mT −mCs2)

)]≈[

1−(

mCs1

mT

)(mCs2

mT

)]≈ 1

Así, la ecuación quedaría:

~rCs1=−µCp

~rCs1

rCs13 +µCs2


∣∣3 − mCs2

mT −mCs2

µCp~rCs2

rCs23 +

mCs2

mT −mCs2

µCs1


∣∣3Donde se pueden hacer las siguientes aproximaciones:

mCs2

mT −mCs2

µCp ≈mCs2

mTGmCp ≈ µCs2

mCs2

mT −mCs2

µCs1≈ G

mCs1mCs2

mT

Que introducidas en la ecuación anterior:

~rCs1=−µCp

~rCs1

rCs13 +µCs2


∣∣3 −µCs2

~rCs2

rCs23 +G

mCs1mCs2

mT


∣∣3Agrupando el segundo y cuarto término se obtiene:

~rCs1=−µCp

~rCs1

rCs13 −µCs2

~rCs2

rCs23 +G


∣∣3(

mCs2−

mCs1mCs2

mT

)El término entre paréntesis se puede simplificar si tenemos en cuenta que:

mCs2(mCs1 mCs2

mT

) =mT

mCs1

1

Por lo que la expresión final de ~rCs1queda como:

~rCs1=−µCp

~rCs1

rCs13 +µCs2


∣∣3 −µCs2

~rCs2

rCs23

Donde se puede observar que su ecuación del movimiento es la misma que la que resulta de plantearlocomo un problema de 3 cuerpos, con la atracción del Sol como cuerpo principal más una perturbación, eneste caso debida a Júpiter. Haciendo lo mismo con la ecuación del movimiento de Júpiter queda:

~rCs2=−µCp

~rCs2

rCs23 +µCs1


∣∣3 −µCs1

~rCs1

rCs13

Introduciéndolo todo en la ecuación del movimiento del asteroide:


~r =~rIN−~r1 =−µCp~rr3 +µCs1


~rCs2−~r∣∣~rCs2−~r∣∣3

+mCs1

mT

(−µCp

~rCs1

rCs13 +µCs2


∣∣3 −µCs2

~rCs2

rCs23

)

+mCs2

mT

(−µCp

~rCs2

rCs23 +µCs1


∣∣3 −µCs1

~rCs1

rCs13

)De los términos entre paréntesis se ve que los dos centrales se cancelan mutuamente, los otros pueden

agruparse de la siguiente forma:

~r =−µCp~rr3 +µCs1


~rCs2−~r∣∣~rCs2−~r∣∣3 −G

~rCs1

rCs13

(mCs1

mCp

mT+

mCs2mCs1

mT

)−G

~rCs2

rCs23

(mCs2

mCp

mT+

mCs2mCs1

mT

)De donde se pueden despreciar los sumandos con dos masas de cuerpos secundarios en el numerador.

Haciendo además que mCp/mT ≈ 1 la ecuación del movimiento para el asteroide queda finalmente:

~r =−µCp~rr3 +µCs1

~rCs1−~r∣∣~rCs1−~r∣∣3 −µCs1

~rCs1

rCs13 +µCs2

~rCs2−~r∣∣~rCs2−~r∣∣3 −µCs2

~rCs2

rCs23 (7.6)

Resultado que confirma la suposición inicial del Capítulo 2 de que el efecto conjunto de los planetas sepuede suponer aproximadamente independiente entre si. Este resultado es equivalente al que se obtiene conla resolución clásica del problema planetario: Un problema de N cuerpos en el que se supone que una delas masas es mucho mayor que las demás, por lo que se puede descomponer en N−1 problemas de paresEstrella-Planeta donde el resto de planetas se tratan como perturbadores independientes.

Índice de Figuras

1.1 Comparativa de tamaños de algunos asteroides visitados 11.2 Clasificación de los NEA 31.3 Distribución de asteroides entre Júpiter y Marte 41.4 Imagen del asteroide Gaspra. Tomada 10 minutos antes del punto de máxima aproximación (a

5300Km). Imagen: NASA/JPL/USGS 51.5 Imagen del asteroide Ida junto con su satélite a la derecha, Dactyl. Tomada 14 minutos antes del

punto de máxima aproximación (a 10500Km). Su eje más largo mide 60Km, mientras que Dactyltiene un radio medio de 1.4Km. Imagen: NASA/JPL/USGS 5

1.6 Imagen del asteroide Eros. El asteroide tiene una longitud de 33Km. Imagen: NASA/JPL/JHUAPL 61.7 Imagen del asteroide Itokawa. Imagen: ISAS/JAXA 71.8 Imagen del asteroide Steins. El asteroide tiene unas dimensiones de 6.7x5.8x4.5Km3. Imagen:

ESA ©2008 MPS for OSIRIS Team MPS/UPD/LAM/IAA/RSSD/INTA/UPM/DASP/IDA 71.9 Imagen del asteroide Lutetia. El asteroide tiene unas dimensiones de 121x101x75Km3. Imagen:

ESA 2010 MPS for OSIRIS Team MPS/UPD/LAM/IAA/RSSD/INTA/UPM/DASP/IDA 81.10 Imagen del asteroide Vesta. La imagen tiene una resolución de 485m por píxel. Imagen: NASA/JPL-

Caltech/UCLA/MPS/DLR/IDA 81.11 Imagen del planeta enano Ceres. Tomada desde una distancia de 13600Km. Imagen: NASA/JPL-

Caltech/UCLA/MPS/DLR/IDA 9

2.1 Sistema Tierra-Luna 122.2 Representación de la órbita de Eros (2020-2025) 152.3 Error de la simulación, Eros (2020-2025) 162.4 Error relativo, Eros (2020-2025) 162.5 Fuerzas de Júpiter y de la Tierra, Eros (2020-2025) 172.6 Distancia relativa entre la Tierra real y la simulada (2020-2025) 172.7 Error de la simulación en valor absoluto y relativo, Eros (2020-2250) 182.8 Fuerzas de Júpiter y de la Tierra, Eros (2020-2250) 182.9 Distancia relativa entre la Tierra real y la simulada (2020-2250) 192.10 Representación de la órbita de Ryugu (2020-2035) 202.11 Error relativo de la simulación, Ryugu (2020-2035) 202.12 Distancia del asteroide simulado a la Tierra, Ryugu (2020-2035) 212.13 Fuerzas de Júpiter y de la Tierra, Ryugu (2020-2035) 21

3.1 Cuerpo general 243.2 Elipsoide modelo triaxial 25

4.1 Órbita de prueba Ida, ejes móviles 294.2 Órbita de prueba Ida, ejes fijos 304.3 Órbita de prueba Ida, elementos orbitales 314.4 Curvas de velocidad cero, Eros 324.5 Curvas de velocidad cero a diferentes niveles de z con C =Cs, Eros 33

81

82 Índice de Figuras

4.6 Curvas de velocidad cero a diferentes niveles de z con C =Cc, Eros 334.7 Curvas de velocidad cero a diferentes niveles de z con C = 100, Eros 344.8 C para órbitas circulares, Eros 354.9 Orbita inicialmente circular con el radio de Hill, Eros 354.10 Orbita inicialmente circular 10 Km por encima del radio de Hill, Eros 364.11 Orbita inicialmente circular 50 Km por encima del radio de Hill, Eros 364.12 Radio de Hill con la inclinación, Eros 374.13 Orbita inicialmente circular 2 Km por encima del radio de Hill con 20º de inclinación, Eros 384.14 Órbita cuasiperiódica de 45º de inclinación, Eros 384.15 Evolución del semieje mayor, Eros 394.16 Evolución de la inclinación, Eros 394.17 Evolución de la excentricidad, Eros 394.18 Sistema de referencia B0 404.19 Sistema de referencia B1 404.20 Comparación de resultados de la simulación con métido analítico y numérico 474.21 Órbita con condiciones iniciales de periodicidad (1 año) 494.22 Coordenadas X-Z del movimiento de la órbita periódica (1 año) 494.23 Coordenadas X-Y del movimiento de la órbita periódica (1 año) 494.24 Representación de la inserción orbital con diferente número de impulsos 52

5.1 Rendezvous sin giro 575.2 Rendezvous con giro 605.3 Rendezvous con giro, velocidad relativa 615.4 Rendezvous con giro, distancia relativa 615.5 Rendezvous sobre Itokawa considerando la gravedad 635.6 Rendezvous sobre Itokawa, comparación de distancia relativa 645.7 Rendezvous sobre Itokawa, comparación de velocidad relativa 655.8 Rendezvous sobre Eros considerando la gravedad (20 impulsos) 675.9 Rendezvous sobre Eros, comparación de distancia relativa (20 impulsos) 685.10 Rendezvous sobre Eros, comparación de velocidad relativa (20 impulsos) 685.11 Rendezvous sobre Eros, comparación de distancia relativa (25 impulsos) 695.12 Rendezvous sobre Eros, comparación de velocidad relativa (25 impulsos) 69

6.1 Esfera de Brillouin 726.2 Elipsoide de Brillouin 72

7.1 Quincena del descubrimiento del asteroide 757.2 Orden de descubrimiento 757.3 Sistema de referencia perifocal 777.4 Plano orbital en relación al plano de referencia 77

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