Herramientas de Herramientas de Análisis en didáctica de Análisis en didáctica de

las Matemáticaslas Matemáticas

Integrantes: Yéssica MatusIntegrantes: Yéssica Matus

Manuela VásquezManuela Vásquez

Dificultad y abstracción dealgunos conceptos M atem áticos

Desconocim iento de losprocesos de Aprendizaje

Desconocim iento de técnicasespecíficas de Enseñanza

Defivciente enseñanza enla escuela

Elevado fracaso de la .Ens. de las M at

Debido a

Por

Los conceptos en Los conceptos en MatemáticasMatemáticas

No se copian, se construyen en interacción con el medio.No se copian, se construyen en interacción con el medio. No todos los individuos usan las mismas estrategias para aprender.No todos los individuos usan las mismas estrategias para aprender. Los errores no se corrigen simplemente porque el profesor lo señale.Los errores no se corrigen simplemente porque el profesor lo señale. La repetición no lleva necesariamente a la comprensión.La repetición no lleva necesariamente a la comprensión. Los conceptos Matemáticos no son independientes unos de otros.Los conceptos Matemáticos no son independientes unos de otros.

Es por eso que…..

El profesor debe disponer de herramientas y El profesor debe disponer de herramientas y técnicas profesionales que le permitan técnicas profesionales que le permitan abordar la enseñanza de la matemáticas.abordar la enseñanza de la matemáticas.

““¿Puede un profesor desconocer los ¿Puede un profesor desconocer los resultados más relevantes relativos al resultados más relevantes relativos al

oficio de enseñar Matemáticas?”oficio de enseñar Matemáticas?”

El ProfesorEl Profesor

La relación DidácticaLa relación Didáctica

Actores del Proceso de Enseñanza -Aprendizaje

SABERLo que de ser transmitido

El objeto del Aprendizaje

PROFESOREncargado de llevar

a cabo el proyecto

de enseñanza

AlumnoEl que debe aprender

lo establecido

socialmente

La Didáctica modeliza y estudia las La Didáctica modeliza y estudia las interacciones entre los tres subsistemasinteracciones entre los tres subsistemas

El aprendizaje a través de las situaciones didácticas

Un concepto no puede ser aprendido a Un concepto no puede ser aprendido a partir de una sola clase de situaciones.partir de una sola clase de situaciones.El aprendizaje se produce por El aprendizaje se produce por adaptación al medio y la situación juega adaptación al medio y la situación juega el papel de medio con el que el alumno el papel de medio con el que el alumno interactúa.interactúa.

Situación didáctica:Situación didáctica:

Una situación busca que el alumno Una situación busca que el alumno construya con sentido un conocimiento construya con sentido un conocimiento matemático, y nada mejor que dicho matemático, y nada mejor que dicho conocimiento aparezca a los ojos del alumno conocimiento aparezca a los ojos del alumno como la solución óptima del problema a como la solución óptima del problema a resolver:resolver:

EjemploEjemplo: El alumno debe traer el número : El alumno debe traer el número necesario de gorros de cumpleaños para necesario de gorros de cumpleaños para cada uno de los invitados.cada uno de los invitados.

Se presenta la situación como un juego, al Se presenta la situación como un juego, al alumno (a) le divierte y le interesa, alumno (a) le divierte y le interesa, produciéndose la devoluciónproduciéndose la devolución

Formas de resolver el problema:Formas de resolver el problema:

Correspondencia término a término.Correspondencia término a término. Si modificamos la situación de manera tal Si modificamos la situación de manera tal

que la correspondencia biyectiva fracase que la correspondencia biyectiva fracase imponiendo una nueva condición:imponiendo una nueva condición:

““que se traigan los gorros en un solo viaje”que se traigan los gorros en un solo viaje”

Cualquier estrategia ganadora tiene que Cualquier estrategia ganadora tiene que pasar inevitablemente por el conteo, por el pasar inevitablemente por el conteo, por el uso del número, por el reconocimiento de uso del número, por el reconocimiento de que el número permite memorizar una que el número permite memorizar una cantidad en ausencia de ésta.cantidad en ausencia de ésta.

Usar el número como memoria de la cantidad Usar el número como memoria de la cantidad es el concepto matemático que se busca que es el concepto matemático que se busca que el alumno construya con esta situación.el alumno construya con esta situación.

El alumno sabe por sus propios medios si el El alumno sabe por sus propios medios si el procedimiento usado es el correcto o no procedimiento usado es el correcto o no ( validación interna de la estrategia usada) ( validación interna de la estrategia usada)

Lo que denominamos aprendizaje se basa en Lo que denominamos aprendizaje se basa en el cambio de estrategia, ,lo que implica el el cambio de estrategia, ,lo que implica el cambio de los conocimientos que le están cambio de los conocimientos que le están asociadosasociados

Hipótesis didáctica: Hipótesis didáctica: ““un medio sin intensión didáctica, es decir, un medio sin intensión didáctica, es decir,

no organizado para enseñar un saber,es no organizado para enseñar un saber,es insuficiente para inducir en el alumno los insuficiente para inducir en el alumno los conocimientos que la sociedad desea que conocimientos que la sociedad desea que adquiera”adquiera”

Las situaciones de este tipo reciben el Las situaciones de este tipo reciben el nombre de “situaciones a-didácticas” en nombre de “situaciones a-didácticas” en que la acción del alumno tiene un carácter que la acción del alumno tiene un carácter de necesidad en relación con el saber en de necesidad en relación con el saber en juego.juego.

Condiciones para que una situación sea a-Condiciones para que una situación sea a-didácticadidáctica El alumno debe poder entrever una El alumno debe poder entrever una

respuesta al problema planteado (debe tener respuesta al problema planteado (debe tener los conocimientos mínimos que le permitan los conocimientos mínimos que le permitan comprender cuál es el desafío de la comprender cuál es el desafío de la situación)situación)

La estrategia de base debe mostrarse La estrategia de base debe mostrarse rápidamente como insuficiente ( de lo rápidamente como insuficiente ( de lo contrario no se produciría una evolución contrario no se produciría una evolución hacia la estrategia óptima que se busca)hacia la estrategia óptima que se busca)

Debe existir un medio de validación de las Debe existir un medio de validación de las estrategias (la propia situación, sin la estrategias (la propia situación, sin la intervención del profesor(a), debe decir al intervención del profesor(a), debe decir al alumno si su estrategia es o no válida paraalumno si su estrategia es o no válida para resolver el problema propuesto.resolver el problema propuesto.

El medio debe permitir retroacciones (la El medio debe permitir retroacciones (la información sobre el resultado de sus información sobre el resultado de sus acciones debe venir de la propia situación, acciones debe venir de la propia situación, no del maestro)no del maestro)

La situación debe ser repetible (debe poder La situación debe ser repetible (debe poder repetirse sin que se devele cuál es el repetirse sin que se devele cuál es el procedimiento adecuado, de lo contrario el procedimiento adecuado, de lo contrario el alumno estaría obligado a aprender a la alumno estaría obligado a aprender a la primera, no habría espacio para el error.primera, no habría espacio para el error.

El conocimiento buscado debe aparecer El conocimiento buscado debe aparecer como el necesario para pasar de la estrategia como el necesario para pasar de la estrategia de base a la estrategia óptima. de base a la estrategia óptima.

Desde el punto de vista del alumno una Desde el punto de vista del alumno una situación es situación es a-didácticaa-didáctica sólo si el tiene sólo si el tiene conciencia de implicarse, no por razones conciencia de implicarse, no por razones ligadas al contrato didáctico, porque el ligadas al contrato didáctico, porque el profesor lo manda, sino al razonamiento profesor lo manda, sino al razonamiento matemático únicamente.matemático únicamente.Un análisis Un análisis a prioria priori de la situación busca de la situación busca determinar si una situación puede ser vivida determinar si una situación puede ser vivida como una situación a-didáctica por el como una situación a-didáctica por el alumno (buscando condiciones necesarias alumno (buscando condiciones necesarias y si se produce una relación matemática del y si se produce una relación matemática del

alumno con su problema).alumno con su problema).

Es una situación que se Es una situación que se lleva a cabo normalmente lleva a cabo normalmente en la clase entre un en la clase entre un maestro y uno o varios maestro y uno o varios alumnos en torno a un alumnos en torno a un saber.saber.No siempre es a-didácticaNo siempre es a-didáctica..

No está organizada para No está organizada para permitir un aprendizajepermitir un aprendizajePuede ser imultáneamente Puede ser imultáneamente a-didácticaa-didáctica

Situación no didáctica Situación didáctica

El alumno es el responsable de la resolución del El alumno es el responsable de la resolución del problema que le plantea la situación y a él le problema que le plantea la situación y a él le corresponde encontrar una solución.corresponde encontrar una solución.

El alumno debe implicarse en la situaciónEl alumno debe implicarse en la situación

La acción mediante la cual el profesor busca la La acción mediante la cual el profesor busca la aceptación por parte del alumno se denomina aceptación por parte del alumno se denomina DEVOLUCIÓNDEVOLUCIÓN

Situación a-didáctica

Tipos de situaciones

Acción Formulación Validación

Teoría de situaciones: Guy Brousseau

Los distintos tipos de situacionesLos distintos tipos de situaciones

Situación de acción:Situación de acción:

El alumno se envía un El alumno se envía un mensaje a sí mismo a mensaje a sí mismo a través de los ensayos y través de los ensayos y errores que hacen para errores que hacen para resolver el problemaresolver el problema

Situación de formulaciónSituación de formulación::

El alumno intercambia El alumno intercambia información con uno o información con uno o varios interlocutoresvarios interlocutores

Situación de validación:Situación de validación:Justificación de la estrategia Justificación de la estrategia puesta en marcha.puesta en marcha.

Verificación que justifica el uso Verificación que justifica el uso del modelo para tratar la del modelo para tratar la situación .situación .

Situación diseñada para trabajar la longitud con Situación diseñada para trabajar la longitud con alumnos de tercer año: alumnos de tercer año: Situación de formulaciónSituación de formulación::

OrganizaciónOrganización MaterialesMateriales ActividadActividad ConsignaConsigna

Forman 2 grupos: A y Forman 2 grupos: A y BB

Cada grupo es a la vez Cada grupo es a la vez emisor y receptoremisor y receptor

2 bandas de cartulina: 2 bandas de cartulina: rpja y azul.rpja y azul.

Banda roja= 50 cmBanda roja= 50 cm

Banda azul= 4 cmBanda azul= 4 cm

Grupo A: Grupo A:

Banda amarilla=32 Banda amarilla=32 cmscms

Grupo B:Grupo B:

Banda verde=28 cmsBanda verde=28 cms

2 bandas de cartulina 2 bandas de cartulina blanca (40 cms)para blanca (40 cms)para recortar en ella las recortar en ella las bandas bandas correspondientes al correspondientes al mensajemensaje

Distribución de Distribución de materiales:materiales:

Grupo a: banda Grupo a: banda amarillaamarilla

Grupo B: banda verdeGrupo B: banda verde

1.- Enviar un mensaje 1.- Enviar un mensaje escrito al otro grupo, escrito al otro grupo, que permita reproducir que permita reproducir una banda de la una banda de la misma longitud que la misma longitud que la recibida.recibida.

2.- Fabricar la banda 2.- Fabricar la banda correspondiente al correspondiente al mensaje recibidomensaje recibido

Cada grupo tiene una Cada grupo tiene una banda amarilla o banda amarilla o verde.verde.

Cada grupo deberá Cada grupo deberá escribir y enviar un escribir y enviar un mensaje al otro grupo, mensaje al otro grupo, que les permita que les permita reproducir la banda reproducir la banda con la misma longitud con la misma longitud de la suya.de la suya.

Los mensajes serán Los mensajes serán enviados a través de enviados a través de la profesora, quien la profesora, quien será el mensajeroserá el mensajero

En la banda blanca En la banda blanca cada gruo reproduce la cada gruo reproduce la banda correspondiente banda correspondiente al mensaje.al mensaje.

Condiciones para que una situación de Condiciones para que una situación de formulación funcione .formulación funcione .

Que haya necesidad de comunicación entre Que haya necesidad de comunicación entre alumnos cooperantesalumnos cooperantes

Que las posiciones de los alumnos sean Que las posiciones de los alumnos sean asimétricas en lo que se refiere a los medios de asimétricas en lo que se refiere a los medios de acción sobre el medio las informaciones (unos acción sobre el medio las informaciones (unos ven las bandas a reproducir otros no)ven las bandas a reproducir otros no)

Que el medio permita retroacciones para la Que el medio permita retroacciones para la acción, con el receptor del mensaje (los acción, con el receptor del mensaje (los alumnos no necesitan al profesor para saber si alumnos no necesitan al profesor para saber si su banda está correcta)su banda está correcta)

Requisitos para que haya una situación de Requisitos para que haya una situación de validación:validación:

Que haya necesidad de comunicación Que haya necesidad de comunicación entre alumnosentre alumnos

Que las posiciones de los alumnos sean Que las posiciones de los alumnos sean simétricassimétricas

Que el medio permita retroacciones a Que el medio permita retroacciones a través de las acciones (mensajes) y con el través de las acciones (mensajes) y con el juicio del interlocutorjuicio del interlocutor

La ingeniería La ingeniería didácticadidácticaEl profesor debe realizar un un análisis a priori de la situaciónEl profesor debe realizar un un análisis a priori de la situación

Respondiendo a preguntas como:Respondiendo a preguntas como: ¿Hasta dónde transformar el saber-sabio?¿Hasta dónde transformar el saber-sabio? ¿Qué adquisiciones previas del sujeto son necesarias?¿Qué adquisiciones previas del sujeto son necesarias? ¿Cuál es la naturaleza del saber adquirido?¿Cuál es la naturaleza del saber adquirido? ¿Qué sentido toma para el alumno?¿Qué sentido toma para el alumno? ¿Le permite adaptarse a las situaciones?¿Le permite adaptarse a las situaciones? ¿Le permite resolver problemas?¿Le permite resolver problemas?

Herramientas para producir Herramientas para producir secuencias de aprendizajesecuencias de aprendizaje

Epistemología e historia del saber matemáticoEpistemología e historia del saber matemático El conocimiento de la transposición didáctica El conocimiento de la transposición didáctica

clásica que se ha hecho de ese concepto.clásica que se ha hecho de ese concepto. Los obstáculos, errores y fenómenos didácticosLos obstáculos, errores y fenómenos didácticos Las relaciones de ese concepto con otros.Las relaciones de ese concepto con otros.

Todas ellas deben conocer y controlar los Todas ellas deben conocer y controlar los

profesionales para un trabajo eficaz.profesionales para un trabajo eficaz.

La ingeniería didáctica La ingeniería didáctica Permite construir laPermite construir la

Génesis artificial de un saberGénesis artificial de un saberque que

Busca el camino más rápido y seguro para que el alumno Busca el camino más rápido y seguro para que el alumno construya con sentido el concepto matemático, evitando construya con sentido el concepto matemático, evitando

retrocesos.retrocesos.

Objetivos de la Ingeniería didáctica.Objetivos de la Ingeniería didáctica.- Estudio de los procesos de aprendizaje de un concepto determinado.- Estudio de los procesos de aprendizaje de un concepto determinado.

La elaboración de génesis artificiales (caminos) de un saber concreto o La elaboración de génesis artificiales (caminos) de un saber concreto o estudios de tipo transversal.estudios de tipo transversal.

Transposición DidácticaTransposición Didáctica Conjunto de transformaciones que sufre un saber Conjunto de transformaciones que sufre un saber

a efectos de ser enseñadoa efectos de ser enseñado

Saber-Sabio Saber - enseñadoSaber-Sabio Saber - enseñadoTransposición Didáctica

De una institución

Despersonalizado PersonalizadoDestemporalizado TemporalizadoDescontextualizado Contextualizado

Chevallard, señala que un profesor realiza una variante particular de la transposición

Observemos los ejemplos de la Observemos los ejemplos de la pág. 84pág. 84

Características del saber - Características del saber - enseñadoenseñado

El saber enseñado :

Está ordenado en una progresión en el tiempo

Es legal, viene definido por los programa oficiales.

Es lógico, progresa según la estructura lógica lineal,

cada capítulo supone conocido el anterior.

Objetos de investigación

Saber sabio

Objetos a enseñarSaber a enseñar

Saber escolar

saber enseñado

Saber del alumno

Papel de la

noosfera

Expertos y puesta a punto de los programas.

Redacción de manuales, preparación de secuencias

Papel del matemático

Actividad:Actividad:¿Cuáles son el saber sabio, el ¿Cuáles son el saber sabio, el

saber a enseñar y el saber saber a enseñar y el saber enseñado para el objeto enseñado para el objeto

“numeración decimal”“numeración decimal”

Consecuencias de la Consecuencias de la Transposición didácticaTransposición didáctica

Es la contradicción entre el

TIEMPO DE ENSEÑANZA Y TIEMPO DE APRENDIZAJE.

Es fijo

Delimitado por programas oficiales

Es variable

Depende de cada alumno

Puede generar problemas

Contrato Didáctico Contrato Didáctico ( Aporte de Brousseau)( Aporte de Brousseau)

Contrato Clásico: El profesor enseña y el alumno copia.

Contrato didáctico:Es el conjunto de comportamientos del profesor que son esperados por el alumno y el conjunto de comportamientos del alumno que son esperados por el profesor

El contrato fija las .Responsabilidades recíprocas

Distribuye papeles diferentes a cada uno

¿Qué sucede cuando el contrato didáctico no se cumple?

Efectos por el Efectos por el disfuncionamiento del disfuncionamiento del

contrato Didácticocontrato DidácticoEfecto TopazeEfecto Topaze : ( Respuesta a la baja) : ( Respuesta a la baja)Efecto JourdainEfecto Jourdain: (Admite el indicio de un : (Admite el indicio de un

conocimiento sabioconocimiento sabioEfecto de AnalogíaEfecto de Analogía: (Reemplazo): (Reemplazo)Efecto de deslizamiento MetacognitivoEfecto de deslizamiento Metacognitivo: :

(Técnica útil)(Técnica útil)

Epistemología y enseñanza de Epistemología y enseñanza de las matemáticaslas matemáticas

Conocer la historia de un saber nos Conocer la historia de un saber nos informa sobre cómo ha evolucionado, sus informa sobre cómo ha evolucionado, sus distintas significaciones de un concepto, distintas significaciones de un concepto, los problemas que ha motivado su los problemas que ha motivado su nacimiento y a los que pretende dar nacimiento y a los que pretende dar soluciónsolución

Tres matemáticas cualitativamente Tres matemáticas cualitativamente distintasdistintas

Matemáticas del maestro

Matemáticas del alumno

Matemáticas del matemático

Se deduce una transposición didáctica que transforme el objeto del saber, lo que se llama saber sabio, en objeto de enseñanza, el saber a enseñar.

La tarea de la didáctica es ejercer vigilancia epistemológica que garantice que las transformaciones sufridas por el saber sabio no lo han convertido en algo irreconocible y sin sentido

El problema del sentido se halla ligado a la El problema del sentido se halla ligado a la construcción de concepciones correctas del construcción de concepciones correctas del conocimiento. Una de las hipótesis fuertes conocimiento. Una de las hipótesis fuertes de la teoría es que el conocimiento de una de la teoría es que el conocimiento de una noción adquiere parte de su sentido en noción adquiere parte de su sentido en aquellas situaciones en las que interviene aquellas situaciones en las que interviene como solución.como solución.

La noción de concepción está fuertemente La noción de concepción está fuertemente ligada a la de situación.ligada a la de situación.

Una concepción se caracteriza por un Una concepción se caracteriza por un conjunto de conocimientos reagrupados, que conjunto de conocimientos reagrupados, que producen ciertos comportamientos y producen ciertos comportamientos y decisiones, frente a un conjunto de decisiones, frente a un conjunto de situacionessituaciones

Ejemplo:Ejemplo: La concepción que tienen los alumnos de La concepción que tienen los alumnos de

5º año con respecto a la superficie. Los 5º año con respecto a la superficie. Los alumnos tienen una concepción que tiende alumnos tienen una concepción que tiende a identificar superficie y forma, de manera a identificar superficie y forma, de manera que están convencidos de que un cambio que están convencidos de que un cambio de forma lleva aparejado necesariamente de forma lleva aparejado necesariamente un cambio de superficie.un cambio de superficie.

También tienen una concepción perimétrica También tienen una concepción perimétrica de la superficie ; según ésta concepción de la superficie ; según ésta concepción para determinar una superficie poligonal para determinar una superficie poligonal basta con dar la medida de sus lados.basta con dar la medida de sus lados.

Aprendizaje por adaptación:Aprendizaje por adaptación: Las dificultades que el alumno encuentra son fundamentales Las dificultades que el alumno encuentra son fundamentales

para provocar una adaptación, y son el elemento para provocar una adaptación, y son el elemento indispensable para la comprensión de nuevos indispensable para la comprensión de nuevos saberes, siendo a veces constitutivas de estos.saberes, siendo a veces constitutivas de estos.

Las dificultades en el aprendizaje de los alumnos Las dificultades en el aprendizaje de los alumnos están ligadas a concepciones antiguas que serán están ligadas a concepciones antiguas que serán sustituidas por otras nuevas.sustituidas por otras nuevas.

En ocasiones, se enseñan saberes falsos que mas En ocasiones, se enseñan saberes falsos que mas adelante serán reemplazados por otros.adelante serán reemplazados por otros.

Ejemplo: En el caso de las medidas de longitud. Ejemplo: En el caso de las medidas de longitud. Cuando los alumnos no conocen los números Cuando los alumnos no conocen los números decimales, se juega a la ficción induciendo a los decimales, se juega a la ficción induciendo a los alumnos a hacer solo medidas exactas, lo que solo alumnos a hacer solo medidas exactas, lo que solo es posible en la teoría. es posible en la teoría.