Heber Augusto Cotarelli de Andrade

Implementação de Procedimentos Numéricos para a Análise de Elementos Drenantes em Solos

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Concentração: Geotecnia.

Orientador: Eurípedes do Amaral Vargas Jr

Rio de Janeiro, abril de 2003.

Heber Augusto Cotarelli de Andrade

Implementação de Procedimentos Numéricos para a Análise de Elementos Drenantes em Solos

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Eurípedes do Amaral Vargas Jr Orientador

PUC/Rio

Tácio Mauro Pereira Campos PUC/Rio

João Luiz Elias Campos Consultor

Luiz Eloy Vaz PUC/Rio

Ney Augusto Dumont Coordenador Setorial do Centro

Técnico Científico - PUC-Rio

Rio de Janeiro, abril de 2003.

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.

Heber Augusto Cotarelli de Andrade Graduou-se em Engenharia Civil, pela Universidade Federal do Paraná - UFPR, em 2000. Durante a graduação, atuou nas áreas de geotecnia e de materiais. Desenvolveu trabalhos de iniciação científica entre 1998 até o final da graduação. Ingressou no curso de mestrado em Engenharia Civil, onde recebeu bolsa de melhor desempenho acadêmico (FAPERJ).

Ficha Catalográfica

Andrade, Heber Augusto Cotarelli de Andrade.

Implementação de Procedimentos Numéricos para a Análise de Elementos Drenantes em Solos / Heber Augusto Cotarelli de Andrade; orientador: Eurípedes Vargas do Amaral Jr. – Rio de Janeiro: PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2003.

v., 125f.: il. ; 29,7 cm.

Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.

Inclui referências bibliográficas.

1. Engenharia civil – Teses. 2. Estabilidade de Taludes. 3. Elementos Finitos. 4. Elementos Drenantes. I. Vargas, Eurípedes do Amaral. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.

A meus queridos pais, A minha querida esposa Ana Flávia,

Por estarem sempre ao meu lado me incentivando.

Agradecimentos

Aos meus pais, José Eraldo e Eliana, por todo amor, carinho e ensinamento, que

foram essenciais em toda minha vida.

A minha esposa, Ana Flávia, pelo grande amor, compreensão e apoio durante

todos os anos de convivência.

Ao Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Jr., pela sua orientação, estímulo, amizade

e pelo conhecimento adquirido durante esses anos de trabalho.

Aos amigos do Tecgraf, da equipe da Naval, e em especial ao Ivan pela pessoa

sincera e amiga.

A todo apoio técnico do Tecgraf dos amigos João Luiz, Araken, Willian, Antônio

Miranda e outros que contribuíram muito no desenvolvimento da tese.

A todos meus familiares que torceram por mim em mais uma conquista na minha

vida.

Aos amigos da PUC, que contribuíram de alguma forma para a realização deste

trabalho, em especial os da sala 317.

A todos os professores do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.

A todos os funcionários do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.

A PUC-Rio, ao CNPq e a FAPERJ pelos auxílios financeiros à pesquisa.

A todos os meus colegas da PUC-Rio pela convivência, muito obrigado.

Resumo

Andrade, Heber Augusto Cotarelli de; Vargas, Eurípedes do Amaral. Implementação de Procedimentos Numéricos para a Análise de Elementos Drenantes em Solos. Rio de Janeiro, 2003. 125p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Esta pesquisa visa o desenvolvimento de uma ferramenta numérica capaz de

simular a inclusão de elementos drenantes em solos, sejam eles representados por

drenos subhorizontais ou poços, constituindo sistemas de drenagem amplamente

utilizado em estabilidade de encostas, túneis, escavações e outros.

A implementação foi gerada nos programas de fluxo SWMS_2D e

SWMS_3D (Simunek e outros, 1994). A formulação proposta considera a

equação de fluxo do elemento drenante e a estratégia numérica de sua inclusão na

equação de fluxo do solo pelo método dos elementos finitos.

Algumas análises numéricas foram realizadas visando a validação do

algoritmo. Para os poços foram analisados os casos confinados e não confinados e

em regime permanente e transiente, comparando as soluções numéricas obtidas

com as soluções analíticas de Theis (1935) (Freeze, 1979), para aqüífero

confinado, e de Neumann (1975), para aqüífero não confinado.

Para os drenos subhorizontais, propõe–se aqui uma metodologia de análise,

levando em consideração os parâmetros hidráulicos e geométricos de um

elemento de dreno. Sua aplicação atual não requer muito rigor e este estudo vem

com a proposta de ser uma ferramenta geotécnica na fase de projeto de uma obra.

Palavras-chave Elementos Drenantes; Elementos Finitos; Estabilidade de Taludes; Análise

Numérica.

Abstract

Andrade, Heber Augusto Cotarelli de; Vargas, Eurípedes do Amaral. Implementation of Numerical Procedures for the Analysis of Draining Elements in Soils. Rio de Janeiro, 2003. 125p. MSc. Dissertation - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

This research aims at the development of a numerical tool capable to

simulating the inclusion of draining elements in soils. These elements are

represented by subhorizontais drains or wells, constituting systems geotechnical

widely used in stability of slopes, tunnels and other problems.

The implementation was based in the finite elements programs of flow

SWMS_2D and SWMS_3D (Simunek e outros, 1994). The proposed formulation

considers the equation of flow of the draining element and the numerical strategy

of its inclusion by using the method finite elements.

A few numerical analyses were carried out aiming at the validation of the

proposed algorithm. For the wells, the confined and unconfined cases and in

permanent and flow transient conditions have been analyzed, comparing the

obtained numerical solutions with the analytical one by Theis (1935) (Freeze,

1979), for water-bearing confined, and one by Neumann (1975), for water-bearing

unconfined.

For the subhorizontais drains, an analysis methodology is proposed here,

taking in to consideration the hydraulical and geometric parameters of a drain

element. In this case illustrative examples are presented. The implementation

carried out is a simplified one but is should be adequate for the design of

geotechnical structures.

Keywords Draining Elements; Finite Elements; Stability of Slope; Numerical Analysis

Sumário

1 Introdução 20

2 Elementos Drenantes em Solos 22

2.1. Rebaixamento com Drenos Horizontais Profundos – DHP 22

2.1.1. Características Gerais 23

2.1.2. Especificação da Composição dos Drenos – DHP 25

2.1.2.1. Tubo 25

2.1.2.2. Argamassa de Cimento 25

2.1.2.3. Filtro Geossintético 25

2.1.2.4. Execução 26

2.2. Rebaixamento com Poços 26

2.2.1. Sistema com Ponteiras Filtrantes 26

2.2.2. Sistema de Poços Profundos 28

2.2.2.1. Rebaixamento com Injetores 28

2.2.2.2. Rebaixamento com Bombas de Eixo Vertical 29

2.3. Considerações Gerais 30

3 Soluções Analíticas de Fluxo em Poços Circulares 31

3.1. Aqüífero Não Confinado 31

3.1.1. Regime Permanente 31

3.1.2. Regime Transiente 35

3.2. Aqüífero Confinado 37

3.2.1. Regime Permanente 37

3.2.2. Regime Transiente 40

4 Implementação de Procedimentos Numéricos 42

4.1. Os Programas SWMS-2D e SWMS_3D 42

4.2. Equação de Fluxo em Meios Não Saturados 43

4.2.1. Determinação das Propriedades Hidráulicas dos Solos Não

Saturados 43

4.3. Condições Iniciais e de Contorno 45

4.4. Solução Numérica da Equação de Fluxo 46

4.5. Equação de Fluxo do Elemento Drenante 50

4.5.1. Solução Numérica das Equações de Fluxo do Elemento Drenante52

4.5.2. Inclusão do Elemento Drenante em Malha Qualquer 55

4.5.3. Propriedades Geométricas do Elemento de Dreno 61

4.5.4. Propriedades Hidráulicas do Elemento de Dreno 66

4.5.5. Propriedades Geométricas e Hidráulicas do Elemento de Poço 69

4.6. Geração dos Modelos de Análise 72

4.6.1. Determinação da Geometria e Malha de Elementos Finitos. 72

4.6.2. Determinação das Condições Iniciais e de Contorno. 73

4.6.3. Determinação das Propriedades dos Materiais Envolvidos. 74

4.6.4. Fluxograma da Implementação 75

5 Implementações Adicionais 78

5.1. Implementação do Coeficiente de Armazenamento Específico do Solo7

5.2. Implementação de Condição de Contorno para Carga Hidrostática

Variável 81

5.3. Leitura de dados da linha drenante 81

5.4. Leitura e Impressão de Dados 82

5.5. Gerador MeshBox3D 83

6 Resultados Obtidos 85

6.1. Elemento de Poço 85

6.1.1. Aqüífero Confinado 86

6.1.1.1. Regime Permanente 88

6.1.1.2. Regime Transiente 90

6.1.2. Aqüífero Não Confinado 95

6.1.2.1. Regime Permanente 96

6.1.2.2. Regime Transiente 97

6.2. Elemento de dreno subhorizontal 101

6.3. Resultados Bidimensionais 113

7 Conclusões 121

8 Referências Bibliográficas 123

Lista de figuras

Figura 1-Detalhe do dreno subhorizontal profundo (Hachich e outros,1998). 23

Figura 2-Detalhe instalação de drenos subhorizontais profundos (Alonso,1999). 24

Figura 3-Sistema de rebaixamento por ponteiras (Hachich e outros,1998). 27

Figura 4-Sistema de rebaixamento por injetores (Hachich e outros,1998). 28

Figura 5-Detalhe de um poço com bomba submersa. 30

Figura 6-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço

(Alonso, 1999). 32

Figura 7-Curvas de rebaixamento versus tempo para um ponto no domínio

(Neumann, 1975). 36

Figura 8-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço

(Alonso, 1999). 38

Figura 9-Curvas esquemáticas do modelo de van Genuchten. (a) curva que define

a relação da umidade volumétrica ( )θ versus a carga de pressão ( )ψ ; (b)

curva que define a relação da permeabilidade não saturada ( )K versus a carga

de pressão ( )ψ . 45

Figura 10-Fluxo através do elemento de linear. 50

Figura 11-Linha drenante interceptando um elemento bidimensional. 56

Figura 12-Visualização do cálculo das funções de interpolação no elemento

bidimensional. 57

Figura 13-Linha drenante interceptando um elemento tridimensional. 59

Figura 14-Visualização do cálculo das funções de interpolação no elemento

tridimensional. 59

Figura 15-Visualização das propriedades geométricas do elemento de dreno. 61

Figura 16-Variação das propriedades geométricas em seções circulares. 63

Figura 17-Representação do elemento drenante na face de percolação. 64

Figura 18-Curva característica do elemento de dreno. 68

Figura 19-Coeficiente de armazenamento do dreno ( DC ) 69

Figura 20-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço. 69

Figura 21-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço. 72

Figura 22-Fluxograma da implementação das linhas drenantes. 75

Figura 23-Disposição dos subelementos tetraedros nos elementos hexaedros

(Simunek e outros, 1995). 84

Figura 24-Malha 3D usada para simulações do poço 86

Figura 25-Discretização do elemento de poço (Sudicky e outros, 1995). 87

Figura 26-Variação das equipotenciais no modelo de aqüífero confinado. 87

Figura 27-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para

mle 5.0= . 88

Figura 28-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para

mle 75.0= . 89

Figura 29-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para

mle 0.1= . 89

Figura 30-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para

mle 5.1= . 90

Figura 31-Comparação da solução numérica de Theis (1935) e Papadopulos and

Cooper (1967) (Sudicky e outros 1995) solução com armazenamento 91

Figura 32-Comparação da solução numérica implementada do modelo discreto

(com e sem armazenamento e mr 0= ) com a de Theis (1935). As curvas

com WC se referem as com armazenamento considerado. 92

Figura 33-Comparação da solução numérica implementada do modelo discreto

(com e sem armazenamento e mr 5= ) com a de Theis (1935). 92

Figura 34-Comparação da solução numérica implementada (com e sem

armazenamento e mr 0= ) com a de Theis.(1935). Tamanho do elemento de

0.5m. 93

Figura 35-Comparação da solução numérica implementada (com e sem

armazenamento e mr 0= ) com a de Theis (1935). Tamanho do elemento de

0.75m. 94

Figura 36-Comparação da solução numérica implementada (com e sem

armazenamento e mr 0= ) com a de Theis (1935). Tamanho do elemento de

1 m. 94

Figura 37-Comparação da solução numérica implementada (com e sem

armazenamento e mr 0= ) com a de Theis (1935). Tamanho do elemento de

1.5m. 95

Figura 38-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para

comprimento do elemento ( )el de 0.1, 0.5 e 1.0 m. 97

Figura 39-Curvas comparativas dos resultados numéricos obtidos com a solução

de Neumann (1975), a uma distância mr 10≅ do poço. 99

Figura 40-Curvas comparativas dos resultados numéricos obtidos com a solução

de Neumann (1975), a uma distância mr 15≅ do poço. 100

Figura 41-Visualização do rebaixamento da superfície freática. 101

Figura 42-Visualização em corte do rebaixamento da superfície freática. 101

Figura 43-Malha tridimensional para a análise do dreno. 102

Figura 44-Isopressão da condição inicial aplicada ao modelo. 103

Figura 45-Vista geral das isopressões da condição inicial aplicada ao modelo. 104

Figura 46-Corte longitudinal – Dreno 1′′=φ . 104

Figura 47- Corte transversal na saída do dreno – Dreno 1′′=φ . 105

Figura 48-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno 1′′=φ . 105

Figura 49-Corte longitudinal – Dreno ″

= 41

1φ . 106

Figura 50-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno ″

= 41

1φ . 106

Figura 51-Corte longitudinal – Dreno″

= 21

1φ . 107

Figura 52-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno ″

= 21

1φ . 107

Figura 53-Corte longitudinal – Dreno″

= 43

1φ . 108

Figura 54-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno ″

= 43

1φ . 108

Figura 55-Corte longitudinal – Dreno 2 ′′=φ . 109

Figura 56-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno 2 ′′=φ . 109

Figura 57-Vista Geral – visualização da superfície freática para modelo com 2

drenos subhorizontais com de ″

= 41

1φ , espaçados de 3.333m na horizontal.

110

Figura 58-Vista Geral – visualização da superfície freática para modelo com 4

drenos subhorizontais com de ″

= 41

1φ , espaçados de 3.333m na horizontal e

de 1m na vertical. 111

Figura 59-Variação da vazão em relação ao diâmetro aplicado, sendo i igual a

inclinação do dreno subhorizontal. 112

Figura 60-Poço em aqüífero não saturado e inserido em malha discreta. 114

Figura 61-Poço em aqüífero não saturado e inserido em malha qualquer (Tipo 1).

115

Figura 62- Poço em aqüífero não saturado e inserido em malha qualquer (Tipo 2).

116

Figura 63-Dreno subhorizontal discreto na malha, para um tempo de simulação de

0.6 dias. 117

Figura 64-Dreno subhorizontal discreto na malha, em regime permanente. 118

Figura 65-Dreno subhorizontal em malha qualquer, para um tempo de simulação

de 0.6 dias. 119

Figura 66-Dreno subhorizontal em malha qualquer, em regime permanente. 120

Lista de tabelas

Tabela 1-Parâmetros do solo não saturado de acordo com o modelo de van

Genuchten, para o caso do poço não confinado (Simunek e outros, 1994) 96

Tabela 2-Valores de ( )λ,AuW para o aqüífero não confinado (Fetter, 1994). 98

Tabela 3- Valores de ( )λ,BuW para o aqüífero não confinado (Fetter, 1994). 98

Tabela 4-Parâmetros do solo não saturado de acordo com o modelo de van

Genuchten, para o caso do dreno subhorizontal (Simunek e outros, 1994) 103

Lista de Símbolos

mA Área molhada [L2]

[ ]A Matriz global de condutividade da equação de fluxo [L2T-1]

B Vetor global da carga de elevação da equação de fluxo [L3T-1]

C Capacidade de retenção especifica do solo [L-1]

DC Capacidade de retenção especifica do elemento drenante [L-1]

WC Capacidade de retenção especifica do elemento de poço [L-1]

D Vetor global de vazão prescrita devido à vegetação na equação de

fluxo [L3T-1]

D Diâmetro do elemento drenante [L]

[ ]F Matriz global de armazenamento da equação de fluxo [L3]

[ ]DF Matriz de armazenamento do elemento drenante [L3]

g Aceleração da gravidade [LT-2]

h Carga total [L]

H Carga hidráulica na distância R [L]

eh Carga de elevação [L]

eih Carga de elevação do elemento drenante i [L]

wh Carga hidráulica no poço [L]

aI Ponto de interseção a

bI Ponto de interseção b

Dk Permeabilidade do elemento de dreno [LT-1]

[ ]DK Matriz de condutividade do elemento drenante [L2T-1]

AijK Componentes do tensor de anisotropia [-]

rK Permeabilidade relativa [-]

sK Permeabilidade saturada [LT-1]

uK Permeabilidade radial [LT-1]

vK Permeabilidade vertical [LT-1]

Wk Permeabilidade do elemento de poço [LT-1]

el Comprimento do elemento drenante [L]

CL Espessura da camada confinante [L]

wM Massa de água no elemento drenante [L3]

n Parâmetro empírico do modelo de van Genuchten [-]

N Número total de nós da malha [-]

mP Perímetro molhado [L]

Q Vetor global de vazão prescrita ou variável da equação de fluxo [L3T-

1]

DQ Vetor de vazão prescrita no elemento drenante [L3T-1]

ix Coordenada do eixo i do sistema cartesiano [L]

r Menor distância de um ponto do domínio ao poço [L]

R Raio cuja distância corresponde ao de rebaixamento nulo [L]

hR Raio hidráulico [L]

pr Raio do poço [L]

ΩR Resíduo da equação de fluxo dado pela solução de Galerkin [T-1]

s Distância ao longo de el do elemento drenante [L]

eS Grau de saturação do solo [-]

vS Termo que representa a taxa de fluxo extraído pela vegetação [T-1]

S Coeficiente de armazenamento [-]

sS Armazenamento específico [L-1]

yS Porosidade efetiva [-]

t Tempo de análise [T]

T Transmissibilidade do aqüífero [L2T-1]

[ ]T Matriz transformação [-]

[ ]TT Matriz transposta da transformação [-]

u Relação adimensional da well function para regime permanente [-]

u Pressão neutra [ML-1T-2]

Au e Bu Relações adimensionais da well function para regime transiente [-]

V Volume total [L3]

Dv Velocidade de fluxo no elemento drenante [LT-1]

medV Velocidade média [LT-1]

VV Volume de vazios [L3]

wV Volume de água no elemento drenante [L3]

α Parâmetro empírico do modelo de van Genuchten

β Ângulo mostrado na figura 12 [-]

wγ Peso específico da água [ML-1T-2]

Γ Domínio no contorno

eΓ Domínio dado pelo segmento do contorno do elemento e

DΓ e NΓ Domínios dos contornos dos tipos Dirichlet e Neumann

1q∆ Variação de vazão de entrada e saída do elemento drenante [L3T-1]

2q∆ Vazão dada pela variação da massa de água do elemento no tempo

[L3T-1]

t∆ Intervalo de tempo [T]

θ Umidade volumétrica do solo [-]

rθ Umidade volumétrica residual do solo [-]

sθ Umidade volumétrica saturada do solo [-]

Dθ Umidade volumétrica do elemento drenante [-]

Diθ Umidade volumétrica do elemento drenante i [-]

λ Relação adimensional de Neumann [-] µ Viscosidade dinâmica da água [ML-1T-1] ρ Massa específica da água [ML-3]

1σ Fluxo prescrito no contorno NΓ [ML-1T-1]

σ Pressão total [ML-1T-2]

σ ′ Pressão efetiva [ML-1T-2]

φ Função de interpolação linear [-]

ψ Carga de pressão [L]

ψ Carga de pressão ponderada no domínio [L]

Dψ Carga de pressão no elemento drenante [L]

Ω Domínio dado pela região de fluxo

η Coeficiente de rugosidade do canal na fórmula de Manning

eΩ Domínio dado pela região de fluxo do elemento drenante

ξ Porosidade do solo [-]

,QWURGXomR

A instabilização de taludes naturais se deve a diversos fatores, a análise

destes sugere que possam ser subdivididos em 3 grupos, dependendo do efeito

causado: por variações no estado de tensões totais, por redução dos parâmetros de

resistência e por variações das poropressões. A grande ocorrência se

escorregamentos de deve a variações de poropressões quer por redução dos níveis

de sucção nas regiões não saturadas ou mesmo por desenvolvimento de

poropressões positivas (Gerscovich, 1994).

A instalação de um sistema de drenagem (horizontal ou vertical), pode ser

uma solução eficiente contra instabilidades devido ao decréscimo de poropressões

positiva ou por perda de sucção, sendo este último não eficaz com a aplicação de

drenos, segundo Rahardjo e Leong (2002).

O estudo da eficiência de elementos drenantes em solos exige previsões de

regimes de fluxo em meios saturados e não saturados. Esta previsão, por sua vez,

é objeto de estudo em diversas áreas da engenharia civil, ambiental, agronomia,

hidrogeologia e outros.

A solução analítica da equação de fluxo em meios não saturados só é

possível para casos simples, devido à não linearidade da equação. Sendo assim,

soluções numéricas, tais como método dos elementos finitos e método das

diferenças finitas, são aplicadas em geral.

O presente trabalho tem por objetivo apresentar o desenvolvimento de uma

ferramenta numérica capaz de avaliar o fluxo em taludes naturais contendo drenos

subhorizontais e poços verticais. Estes elementos são representados por “linhas

drenantes” dentro das malhas de elementos finitos 2D e 3D. O programa

desenvolvido foi aplicado a diferentes situações e condições de contorno típicas.

Em alguns casos foi possível comparar os resultados numéricos com

soluções analíticas.

21

A pesquisa descrita aqui está subdividida em 8 capítulos. O capítulo 2

aborda, quanto ao aspecto construtivo, os dispositivos de drenagem mais

utilizados na engenharia geotécnica, tais como poços e drenos subhorizontais.

O capítulo 3 descreve as soluções analíticas para poços confinados e não

confinados e em regime permanente e transiente. Estas soluções são empregadas

para comparações com os resultados numéricos obtidos.

O capítulo 4 apresenta os programas utilizados para as análises e as

implementações efetuadas. Neste capítulo são apresentadas as equações do

elemento drenante, representando poços e drenos e a estratégia numérica e sua

inclusão na malha de elementos finitos.

O capítulo 5 apresenta as sub-rotinas adicionais implementadas para

capacitar o programa de análise quanto à comunicação do programa principal com

os pré-processadores e os pós-processadores. É descrito um gerador de malha 3D

desenvolvido para modelos do tipo paralelepípedos.

O capítulo 6 descreve resultados numéricos obtidos e sua comparação com

os analíticos descritos no capítulo 4.

(OHPHQWRV'UHQDQWHVHP6RORV

Em muitas obras de engenharia a aplicação de sistemas de drenagem é

comum em serviços como de escavação ou mesmo de estabilização de taludes. O

sistema de drenagem subhorizontal tem por objetivo controlar as magnitudes das

poropressões geradas em taludes naturais, escavações, túneis, conseqüentemente

aumentando as tensões efetivas deste solo e seu fator de segurança.

O presente capítulo tem como objetivo fazer uma breve revisão dos tipos

de elementos drenantes, representados por drenos subhorizontais e poços, que são

normalmente utilizadas na engenharia geotécnica na estabilidade de taludes,

escavações e outros.

5HEDL[DPHQWRFRP'UHQRV+RUL]RQWDLV3URIXQGRV±'+3

O objetivo da drenagem profunda é promover o rebaixamento do nível

freático interno de um maciço de modo a evitar a surgência de água na face do

talude, principalmente nos períodos de chuvas, e garantir sua estabilidade. Sabe-se

que, os drenos subhorizontais são ineficazes nos casos de instabilidade por perda

de sucção, pois eles só são “ativados” a partir do momento que à frente de

saturação atinge-os.

Em maciços de “tálus” é muito comum ocorrer instabilidade, apesar de ser

constituído de grandes áreas com taludes suaves, mas devido à saturação parcial

ou total do solo decorrente das chuvas ou provenientes de nascentes soterradas

pelos antigos escorregamentos, que se infiltram na massa de solo e afloram na

face do talude (Alonso, 1999).

A instalação dos drenos subhorizontais pode ser feita em taludes ou em

túneis, sendo esta aplicada quando a espessura da camada de tálus é significativa.

Não existe a rigor um procedimento de cálculo para os drenos

subhorizontais. Comumente, instalam-se os mesmos onde haja surgência de água

23

e acrescentam-se mais unidades drenantes ou aumenta-se seu comprimento

aprofundando-os, até conseguir o rebaixamento freático desejado em projeto. Para

isso é feito um controle através de indicadores de nível de água e piezômetros.

&DUDFWHUtVWLFDV*HUDLV

Drenos constituem um sistema de drenagem simples e de fácil execução,

eles são perfurados com inclinação entre 3º a 10º com a horizontal, de modo que o

escoamento gravitacional seja satisfatório, estas são executadas em maciços de

solos podendo ser em aqüíferos confinados ou não confinados. As perfurações

possuem diâmetros que variam de 2” a 4” , sendo, geralmente, revestidas. A

remoção do revestimento de perfuração ocorre quando se atinge a profundidade

desejada. Em seguida insere-se um tubo perfurado de PVC ou de aço galvanizado

ranhurados ou com orifícios, sendo executados por perfurações direto na face do

talude. Em seguida o revestimento é extraído pela sonda ou perfuratriz que a

implantou, conforme mostrado pelas figuras 1 e 2.

Figura 1-Detalhe do dreno subhorizontal profundo (Hachich e outros,1998).

24

Figura 2-Detalhe instalação de drenos subhorizontais profundos (Alonso,1999).

Os diâmetros dos drenos variam de 1” a 2” , o que limita a quantidade de

água a ser extraída por unidade implantada. Seu comprimento pode atingir

centenas de metros, mas geralmente aplica-se de 10 a 20 m. A região corrugada

dos tubos possui furos de 5 a 10 mm, devendo evitar mais de dois furos por seção

o que refletiria na redução da resistência do mesmo.

Os drenos devem ser projetados para interceptar o maior número de veios

permeáveis possível ou mesmo aqüíferos confinados, pois a função do dreno é ser

um “ escape” de alívio para regiões onde ocorre subdireção, pois estes sistemas

rebaixam o nível piezométrico, sendo o volume extraído através do dreno

diretamente proporcional a permeabilidade e ao gradiente hidráulico. O fluxo

tende a reduzir, proporcionalmente à redução do gradiente, até restabelecer a

condição de regime permanente (GEO-RIO, 2000).

Assim, a determinação das condições hidrogeológicas como a posição do

lençol freático e direções preferenciais de fluxo, devem ser estabelecidas durante a

fase de investigações geotécnicas.

A prática demonstra que drenos mais longos e espaçados são mais

eficientes do que drenos curtos com espaçamento menor, pois o rebaixamento

ocorre ao longo do dreno e quando mais longo mais distante da face do talude

estará a superfície freática. Assim, quanto mais suave o talude, maior deverá ser o

comprimento do dreno. Existe um limite do comprimento que é dado pela

25

resistência do material do revestimento que para o caso do tubo de PVC não deve

exceder 40 m. Para comprimentos maiores deve-se utilizar materiais como aço

inoxidável ou ferro galvanizado.

(VSHFLILFDomRGD&RPSRVLomRGRV'UHQRV±'+3

7XER

Os drenos podem ser constituídos de PVC, ferro galvanizado ou aço

inoxidável, sendo a primeira mais empregada, devido ao custo, peso e manejo. Os

demais materiais devem ser utilizados em casos e que não é possível empregar o

tubo de PVC, como aplicações em grandes profundidades, já que o comprimento

deste não deve exceder 40 m.

Os tubos devem ser perfurados ou ranhurados, com diâmetros variando de

1” a 2” , e de preferência com encaixe tipo ponta e bolsa. Os furos e ranhuras

deverão atender a especificação de projeto e poderão ser executadas no canteiro

de obras, utilizando serra circular ou furadeira (GEO-RIO, 2000).

$UJDPDVVDGH&LPHQWR

Para preencher a parte inicial do furo, trecho inicial do tubo de PVC, sem

ranhuras, utiliza-se uma argamassa de cimento e areia no traço 1:3.

)LOWUR*HRVVLQWpWLFR

Para evitar a colmatação do tubo de dreno, pode-se empregar com uma

camada de geossintético não tecido todo o trecho do tubo que estiver em contato

com o interior do maciço, envolvendo a área de furos ou ranhuras do tubo.

O geossintético deverá dispor de permeabilidade e espessura adequadas ao

material local e ao volume de água a ser removida e deve satisfazer, também,

26

alguns requisitos de instalação como a resistência à tração, ao alongamento, ao

puncionamento e à propagação de rasgos.

([HFXomR

Para evitar a colmatação do tubo de dreno, deve-se empregar uma camada

de geossintético não tecido em todo o trecho do tubo que estiver em contato com o

interior do maciço, envolvendo a área de furos ou ranhuras do tubo.

5HEDL[DPHQWRFRP3RoRV

6LVWHPDFRP3RQWHLUDV)LOWUDQWHV

Este sistema consiste em dispor um conjunto de ponteiras, poços de

pequeno diâmetro, conectadas a um tubo coletor de 4” de diâmetro, ao longo da

periferia da área a ser rebaixada. As ponteiras são, geralmente, espaçadas de 0.5 a

3 m onde são conectadas no coletor pelas tomadas de água. Este espaçamento

depende da natureza do solo e do aqüífero a ser bombeado, conforme a figura 3.

27

Figura 3-Sistema de rebaixamento por ponteiras (Hachich e outros,1998).

A água extraída pelas ponteiras filtrantes é conduzida pelo tubo coletor até a

câmara de vácuo, onde é feita a separação da água e do ar, em seguida, a água é

recalcada para fora da obra.

Como a água é extraída do solo com a utilização de vácuo, todo o sistema

deve ser estanque, de forma a impedir a entrada de ar e reduzir a eficiência do

sistema. Porém, devido ao grande número de juntas do tubo coletor além de outras

ligações das ponteiras ao mesmo, sabe-se que não é possível obter o vácuo

absoluto, pois sempre haverá entrada no sistema.

A vantagem do emprego do sistema de ponteiras é a sua simplicidade,

baixo custo e rapidez de instalação, sendo eficazes quando instalados em solos

estratificados. Sua desvantagem é a limitação na altura de rebaixamento. Em

condições usuais de obra e para solos como areias siltosas ou argilosas, consegue-

se rebaixar de 4 a 5 m.

A vazão de água do solo que a ponteira consegue extrair do solo depende

da permeabilidade deste, sendo comuns vazões da ordem de 0.5 a 1 m3/h, se cada

conjunto deve conter em torno de 60 ponteiras, já que as bombas de recalque

utilizadas possuem uma vazão de trabalho da ordem de 30 a 40 m3/h.

28

6LVWHPDGH3RoRV3URIXQGRV

Quando é preciso rebaixamentos maiores que 4 a 5 m deve-se, então, optar

por um sistema de rebaixamento com poços profundos que podem ser de 2 tipos;

5HEDL[DPHQWRFRP,QMHWRUHV

Neste sistema são executados poços com diâmetros de 20 a 30 cm e

profundidades de até 40 m e são espaçados entre si de 4 a 10 m.

A figura 4 mostra as bases para o funcionamento do poço, que consiste na

circulação de água através de um bocal com conformação tal que reproduza um

tubo de Venturi.

Figura 4-Sistema de rebaixamento por injetores (Hachich e outros,1998).

29

O sistema funciona como um circuito semifechado em que a água é

impulsionada por uma bomba centrífuga através de uma tubulação horizontal de

injeção (tubo distribuidor geral) que possuem saídas para conexões verticais com

os tubos de injeção, conduzindo água sob alta pressão (0.7 a 1 MPa), até o injetor

no fundo do poço. Como conseqüência, tem-se sucção na extremidade inferior do

poço que resulta na extração da água do lençol freático.

A água aspirada do solo se soma com o volume injetado no sistema para

promover a sucção, a qual é conduzida até a superfície sendo lançados em uma

caixa de água, onde o nível é mantido constante.

A vantagem do emprego deste sistema é a possibilidade de rebaixar o

lençol freático a grandes profundidades com apenas uma disposição linear de

poços ao redor da área a ser escavada, sendo economicamente mais vantajoso

quando comparado o mesmo caso com sistema de ponteiras filtrantes com três ou

mais níveis.

A desvantagem é o baixo rendimento do sistema se relacionar o alto

consumo de energia por unidade de volume de água bombeada. O rendimento do

injetor, considerando as demais perdas do sistema, é de 15 a 20%.

5HEDL[DPHQWRFRP%RPEDVGH(L[R9HUWLFDO

Este sistema permite o rebaixamento do lençol freático a grandes

profundidades e em casos de aqüíferos espessos muito permeáveis. Neste caso

utilizam-se bombas submersíveis instaladas dentro de tubo filtro (figura 5). O

acionamento e o desligamento da bomba é feito automaticamente com o uso de

eletrodos, sendo ligados pelo contato com a água. O processo de instalação é o

mesmo do sistema com injetores, sendo que no fundo do poço é colocada uma

bomba centrífuga de alta capacidade.

30

Figura 5-Detalhe de um poço com bomba submersa.

A principal desvantagem do emprego de bombas de eixo vertical é o

elevado custo do investimento inicial para a instalação deste sistema,

considerando a aquisição da bomba, cabos elétricos, tubulações, quadro de

controle com alarmes óticos, acústicos e botoeiras.

&RQVLGHUDoHV*HUDLV

Sistemas drenantes são empregados em sua maioria para estabilidade de

taludes, escavações, túneis e outros, onde se faz necessário controlar a água.

Inúmeros escorregamentos podiam ser evitados se tivesse um sistema de

rebaixamento do lençol freático com poços ou drenos subhorizontais.

6ROXoHV$QDOtWLFDVGH)OX[RHP3RoRV&LUFXODUHV

As soluções analíticas apresentadas derivam da lei de Darcy aplicada para

o caso de fluxo radial representada pela equação 3.1.

$UK.4

∂∂= (3.1)

onde . é a permeabilidade saturada do solo [LT-1], K é a carga total aplicada [L],

U é o raio da distância do poço [L], $ é a área lateral do cilindro por onde se

processa o fluxo [L2].

As soluções analíticas para regime permanente foram resolvidas segundo

Thiem (Freeze, 1979). Os aqüíferos podem se apresentar confinados e não

confinados com fluxos em regimes permanentes ou não permanentes. Cada caso

possui suas particularidades e devem ser tratados separadamente.

Algumas simplificações estão associadas às soluções e isto implica em

tratar o modelo numérico para que possa representar a solução analítica.

$TtIHUR1mR&RQILQDGR

5HJLPH3HUPDQHQWH

A solução analítica de regime permanente para o caso de aqüífero não

confinado (figura 6), tem como variáveis o raio ( )U e a carga total ( )K que

determinam a área por onde processa o fluxo correspondente a uma superfície

cilíndrica dada pela equação 3.2.

32

Figura 6-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço

(Alonso, 1999).

UK$ π2= (3.2)

Assim, a vazão fica:

UKUK.4 π2

∂∂= (3.3)

Para resolver a equação diferencial precisa-se fornecer dois pontos dos

limites de integração. Estes pontos podem ser quaisquer, geralmente fornece-se

um ponto no poço, com UU =1 e KK =1 e outro a uma distância 5U =2 e

+K =2 , sendo U igual ao raio do poço, K igual a carga total no poço, 5 igual

ao raio cuja distância corresponde aquela em que o rebaixamento é nulo, + é a

carga total do ponto distante de 5 do poço.

UGU

.4KGK

π2= (3.4)

Integrando e aplicando os limites de integração, tem-se:

33

∫∫ =2

1

2

1 2

UGU

.4KGK

π (3.5)

A solução geral da integral resulta:

2

1

2

1

2

ln22

U.

4Kπ

= (3.6)

ou seja,

=−

1

221

22 ln U

U.4KK

π (3.7)

Assim, se os dados de campo são as leituras dos medidores de nível de

água, pode-se obter a vazão do poço pela equação 3.8.

−

=

1

2

21

22

ln

)(

UU

KK.4 π

(3.8)

Para a previsão do nível freático, e conseqüente rebaixamento, em

qualquer ponto do domínio, tem que conhecer a medição de um ponto e a vazão

do poço. A carga hidráulica em qualquer distância 2U é dada pela equação 3.9.

21

1

22 ln KU

U.4K

+

=

π (3.9)

Da mesma forma pode-se obter a vazão ou a carga hidráulica no domínio

pelas equações 3.10 e 3.11.

34

−

=

U5

K+.4ln

)( 22π

(3.10)

2ln

KUU

.4K +

=

π (3.11)

O valor de 5 pode ser calculado por formulação empírica ou lançado

conforme análise. Sabe-se que para grandes valores de 5 , pouco se reflete no

rebaixamento, pois se desenvolver a equação 3.10, tem-se:

( )22ln

K+4.

U5 −=

π

( )22 !"

#HU

5 −=∴

π

(3.12)

Pela expressão acima, o valor de 5 tende a uma constante quando 4

tende a se estabilizar. Na prática, sabe-se que 5 aumenta lentamente com o

tempo. Porém um erro no valor de 5 influi pouco no cálculo da vazão. A

avaliação de seu valor pode ser feita com formulação empírica como a de Sichardt

(Alonso, 1999).

$% .K+5 )(3000 −= (3.13)

sendo &. dado em m/s e as demais variáveis em metros.

35

5HJLPH7UDQVLHQWH

O fluxo de água em um aqüífero não confinado na direção do poço é

descrito pela equação 3.14 (Neumann & Witherspoon 1969) (Fetter, 1994).

WK6

]K.

UK

U.

UK. '())

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

2

2

(3.14)

onde K é a carga total [L], U é a distância radial do poço [L], ] é a elevação

acima da base do aqüífero [L], *6 é o armazenamento específico [L-1], +. é a

condutividade hidráulica radial [LT-1], ,. é a condutividade hidráulica vertical

[LT-1], W é o tempo [T]

Há três fases distintas da relação do rebaixamento no tempo do nível de

água no poço. A primeira fase ocorre logo após o início do bombeamento em que

o aqüífero responde pela contribuição de um pequeno volume de água sendo

resultado da compressibilidade da água e do solo. Durante este tempo o aqüífero

se comporta como se tivesse confinado com fluxo horizontal em direção ao poço,

se ajustando com a curva de Theis para 6 igual ao armazenamento específico

( )6 .

Na segunda fase ocorre um efeito de drenagem da região não saturada do

solo alimentando a região saturada de maneira a estabilizar o rebaixamento, o

fluxo apresenta componentes horizontal e vertical.

Na terceira fase, as variações na região não saturada são maiores o que

torna a parcela do armazenamento efetivo ( )-6 mais significativo no cálculo do

rebaixamento e a relação do rebaixamento no tempo se ajusta com a curva de

Theis para 6 igual a .6 .

A relação do rebaixamento no tempo, segundo Neumann & Witherspoon

(1969), é função da razão da permeabilidade horizontal pela vertical, da distância

radial do ponto de interesse ao poço e da espessura do aqüífero.

Para análise de fluxo transiente em aqüíferos não confinados, fez se uso da

solução de Neumann (1972) que reproduz as três fases na sua curva de

rebaixamento no tempo. O método de Neumann admite a existência de

36

componente vertical de fluxo e a solução geral do rebaixamento é apresentada

pela equação 3.15.

( ) ( )λπ

,,4

,0 /0 XX:74WUKK =− (3.15)

Sendo ( )λ,, 12 XX: conhecido como XQFRQILQHGZHOOIXQFWLRQ e 2

2

EU=λ .

A figura 7 mostra as curvas desta função para vários valores de λ . A

curva tipo A representa a solução de Theis para o armazenamento do solo igual a

36 , responsável pelas variações instantâneas do nível de água no poço. Assim sua

solução fica:

Figura 7-Curvas de rebaixamento versus tempo para um ponto no domínio

(Neumann, 1975).

( ) ( )λπ

,4

,0 4X:74WUKK =− (3.16)

onde

7W6UX 56

4

2

= (3.17)

37

A curva tipo B representa a solução de Theis para o armazenamento do

solo igual a 76 , responsável pelas variações a longo prazo do nível de água no

poço, resultando na equação 3.18.

( ) ( )λπ

,4

,0 8X:74WUKK =− (3.18)

onde

7W6UX 9:

4

2

= (3.19)

No item 6.1.2, serão apresentadas as tabelas 6.1 e 6.2 que definem os

valores numéricos obtidos por Neumann (1972).

$TtIHUR&RQILQDGR

5HJLPH3HUPDQHQWH

A solução do aqüífero confinado é a resolução da equação 3.1 levando em

consideração a área cilíndrica formada por onde se processa o fluxo, ilustrado pela

figura 8, sendo esta variável em função de U e a altura da superfície do cilindro é

a espessura da camada confinante ;/ .

38

Figura 8-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço

(Alonso, 1999).

<< U/$ π2= (3.20)

=> U/UK.4 π2

∂∂= (3.21)

Desenvolvendo a equação diferencial obtêm-se as relações de carga e

vazões para 2 pontos no domínio, conforme explicitado no caso do aqüífero não

confinado em regime permanente (item 3.1.1).

UGU

/.4GK ?

@ π2= (3.22)

Integrando e aplicando os limites de integração em pontos qualquer do

domínio, tem-se:

∫∫ =2

1

2

1 2

A

AB

C

C UGU

/N4GKπ

(3.23)

39

A solução geral da integral resulta:

2

1

2

1ln

2

DDEF

GG U/.

4Kπ

= (3.24)

ou seja,

=−

1

212 ln

2 UU

/.4KK H

I π (3.25)

A vazão do poço, conhecido dois pontos do domínio por leituras em

campo tem-se:

−

=

1

2

12

ln

)(2

UU

KK/.4 JK π

(3.26)

Se o caso for preciso prever o nível freático, e conseqüente rebaixamento,

em qualquer ponto do domínio, tem que conhecer a medição de um ponto e a

vazão do poço.

11

22 ln

2KU

U/.

4K LM

+

=

π (3.27)

As equações 3.28 e 3.29, mostram a forma mais usual, utilizando um ponto

no poço e outro a uma distância 5 do poço.

−

=

N

OPQ

U5

K+/.4ln

)(2 π

(3.28)

RRST

KUU

/.4K +

= ln

2 π (3.29)

40

5HJLPH7UDQVLHQWH

Quando o poço é instalado em aqüífero confinado, a água é obtida do

armazenamento elástico ou específico do aqüífero ( )U6 . Este coeficiente

representa o volume extraído devido à compressibilidade da água e do solo. Este

termo deve ser somado ao valor da capacidade de retenção específica ( )& da

parcela transiente da equação de fluxo (equação 3.30) para representar este efeito.

A primeira análise matemática do rebaixamento em fluxo confinado em

regime transiente foi publicado por Theis (1935), sendo esta deduzida a partir da

equação 3.30 de fluxo radial, considerando nulas as variações de carga ao logo da

coordenada ] e ao longo da variação angular ao redor do poço, devido às

características do fluxo em aqüífero confinado, tem-se a equação diferencial:

WK

76

UK

UUK

∂∂=

∂∂+

∂∂ 1

2

2

(3.30)

onde 6 é o coeficiente de armazenamento e 7 é a transmissibilidade do aqüífero.

A condição inicial para a solução é dada por:

( ) 00, 0 ≥= USDUDKUK (3.31)

onde 0K é a carga hidráulica inicial [L], K carga total [L], U é o raio dado pela

distância do ponto ao poço [L], W é o tempo [T]. A condição de contorno assume

rebaixamento nulo na carga hidráulica no contorno infinito.

( ) 0, 0 ≥=∞ WSDUDKWK (3.32)

Aplicando estas condições iniciais e de contorno chega-se à solução da

equação 3.30 que, por uma analogia com a teoria de fluxo de calor, resulta na

solução analítica dada em termos do rebaixamento.

41

( ) ∫∞ −

=−V

VGXX

H7

4WUKKπ4

,0 (3.33)

onde

7W6UX

4

2

= (3.34)

sendo 4 a vazão aplicada no poço [L3T-1], 7 a transmissibilidade do aqüífero

[L2T-1], 6 o armazenamento do aqüífero [-].

A integral da equação 3.33 é resolvida através do uso de uma série de

potência, sendo esta chamada de ZHOOIXQFWLRQrepresentada por ( )X: , assim tem-

se:

( ) ( )X:74WUKKπ4

,0 =− (3.35)

A curva resultante da relação ( )X: e X/1 é chamada curva de Theis. Para

a representação desta devem ser conhecidas as propriedades do solo como a

transmissibilidade do aqüífero ( )7 , armazenamento do solo ( )6 e vazão do poço

( )4 para simular o rebaixamento da carga hidráulica em um aqüífero confinado a

uma certa distância U e em algum tempo W após o início do bombeamento.

O valor de ( )X: pode ser expresso pela série abaixo:

( ) ( ) .......!4.4!3.3!2.2

ln5772.0432

+−+−+−−= XXXXXX: (3.36)

O rebaixamento para qualquer ponto em um dado tempo é diretamente

proporcional à vazão e inversamente proporcional a transmissibilidade ( )7 e ao

armazenamento do aqüífero ( )6 , sendo que a transmissibilidade exerce maior

influência no rebaixamento do que o armazenamento (Freeze, 1979).

,PSOHPHQWDomRGH3URFHGLPHQWRV1XPpULFRV

O presente capítulo apresenta os procedimentos empregados para a

implementação de elementos drenantes em um programa em elementos finitos de

fluxo. É estabelecida a equação de fluxo de meio saturado e não saturado do solo

e do elemento drenante. A estratégia numérica utilizada permite incorporar a

equação de um elemento linear (1D), representado pelo elemento drenante, à

equação do elemento triangular (2D) ou tetraédrico (3D), que descrevem o solo.

São apresentados também, os cálculos das propriedades geométricas e hidráulicas

referentes a cada elemento drenante. Todas as implementações foram aplicadas ao

programa SWMS nas versões 2D e 3D (Simunek e outros, 1994 e 1995).

2V3URJUDPDV6:06'H6:06B'

No trabalho foram utilizados os programas SWMS_2D e SWMS_3D,

ambos desenvolvidos por Simunek e outros (1994 e 1995) com o objetivo de

simular problemas de fluxos bidimensionais e tridimensionais em meios saturados

e não saturados. Estes programas resolvem numericamente a equação clássica de

Richards pelo método dos elementos finitos. O fluxo pode se dar em regiões

delineadas por contornos irregulares e compostas por solos não uniformes

podendo ter graus arbitrários de anisotropia local.

43

(TXDomRGH)OX[RHP0HLRV1mR6DWXUDGRV

O fluxo saturado e não saturado em um meio poroso pode ser representado

pela equação de Richards (equação 3.1).

6.[..[W −+

∂∂

∂∂=

∂∂

)]([ψθ

(4.1)

onde θ é a umidade volumétrica [-], ψ é a carga de pressão [L], 6 é o termo que

representa a taxa de fluxo extraído pela vegetação [T-1], [ são as coordenadas no

espaço [L], W é o tempo [T], . são as componentes do tensor de anisotropia

.

[-] e . é a permeabilidade saturada e não saturada do solo [L T-1] (equação 4.2).

),,,(),,(),,,( ]\[.]\[.]\[. ψψ = (4.2)

sendo . a permeabilidade relativa [-] e . a permeabilidade saturada do solo

[LT-1].

'HWHUPLQDomRGDV3URSULHGDGHV+LGUiXOLFDVGRV6RORV1mR6DWXUDGRV

As propriedades hidráulicas não saturadas dos solos podem ser, entre outros

modelos, determinadas pelas expressões de van Genuchten (1980). Baseados no

modelo de Mualen (1976) (Simunek e outros 1994 e 1995 ). A seguir descreve-se

as relações da umidade volumétrica ( )( )ψθ e da condutividade hidráulica ( )( )ψ. .

( ) ( )

≥⇒

<⇒+

−+

=

0

01

ψθ

ψαψ

θθθψθ

(4.3)

44

( )

≥⇒<⇒

=0

0)(

ψψψ

ψ

...

. (4.4)

sendo

QP 1

1−= , 1>Q (4.5)

onde

2

15.0 11

−−=

66. (4.6)

6

θθθθ

−−

= (4.7)

( ) ( )

≥⇒<⇒

=0

0

ψψψψ

.... (4.8)

Nas equações acima, θ e θ representam, respectivamente, a umidade

volumétrica residual e saturada do solo [-], . a permeabilidade do solo saturado

[LT-1], !6 o grau de saturação do elemento [-], α e Q são parâmetros empíricos

[-] do modelo de van Genuchten (1980). As relações apresentadas são mostradas

esquematicamente na figura 9.

45

(a) (b)

Figura 9-Curvas esquemáticas do modelo de van Genuchten. (a) curva que

define a relação da umidade volumétrica ( )θ versus a carga de pressão ( )ψ ; (b) curva

que define a relação da permeabilidade não saturada ( ). versus a carga de pressão

( )ψ .

&RQGLoHV,QLFLDLVHGH&RQWRUQR

Para a obtenção da solução do problema dado pela equação 3.1 é necessário

fornecer as condições iniciais da carga de pressão em todo o domínio e também

das condições de contorno. As condições de contorno podem ser quando a carga

de pressão é prescrita (tipo Dirichlet) (equação 4.9).

"]\[SDUDW]\[W]\[ Γ∈= ),,(),,,(),,,( ψψ (4.9)

Quando o tipo de contorno é dado pela especificação da velocidade (tipo

Neumann) no contorno.

#$%$ &

'

%$ ' ]\[SDUDW]\[Q.[.. Γ∈=

+

∂∂− ),,(),,,(1σψ

(4.10)

46

sendo (Γ e )Γ os domínios dos contornos dos tipos Dirichlet e Neumann,

respectivamente, ψ a carga de pressão [L] e 1σ a vazão no contorno [L3T-1] são

funções prescritas de [ , \ , ] e W . Os vetores *Q são componentes do vetor

normal do contorno +Γ .

6ROXomR1XPpULFDGD(TXDomRGH)OX[R

Na discretização no espaço o programa SWMS (Simunek e outros, 1994 e

1995) considera a região do fluxo subdividida em elementos que podem ser

triângulos, para os casos bidimensionais, e tetraedros para os casos

tridimensionais. Outros tipos de elementos podem ser empregados para análise de

fluxo, derivados de elementos triangulares e tetraédricos. As análises com os

elementos drenantes empregam apenas os elementos triangulares e tetraédricos.

As variáveis dependentes ( )W]\[ ,,,ψ e ( )W]\[ ,,,θ , podem ser aproximadas

pelas funções ( )W]\[ ,,,ψ e ( )W]\[ ,,,θ :

∑=

∧=

,

--- W]\[W]\[

1

)(),,(),,,( ψφψ (4.11(a))

∑=

∧=

.

/// W]\[W]\[

1

)(),,(),,,( θφθ (4.11(b))

onde 0φ são a um conjunto de funções de interpolação associada a carga de

pressão, e 1 é o número total de nós da malha.

A equação 4.12 apresenta o resíduo gerado pela equação de fluxo quando

se substitui a equação 4.11(a) e 4.11(b) em 4.1. A equação 4.13 mostra a

minimização deste resíduo ( )Ω5 , ponderado pelas funções de interpolação,

segundo o método de Galerkin (Desai, 1995):

47

++∂∂

∂∂−

∂∂=Ω 1

23 4

5

23 5

36.

[..

[W5 )]

ˆ([

ˆ ψθ (4.12)

.0=Ω∫Ω Ω G5 φ (4.13)

.0)]ˆ

([ˆ

=Ω

++∂∂

∂∂−

∂∂

∫ΩG6.

[..

[W6

78 9

:

78 :

8φψθ

(4.14)

onde Ω5 é o resíduo da equação [T-1], W∂

∂θ é a derivada da umidade volumétrica

no tempo [T-1], V∂

∂ψé o gradiente de pressão [-].

Integrando por partes a equação 4.14, obtém-se:

∑ ∫

∑ ∫∑ ∫

Ω

−

∂∂

−

+Γ

+

∂∂=Ω

∂∂

∂∂+

∂∂

Ω

ΓΩ

;<=

>

<?> @

;<>

?> @

A

?> A

; >

<

A

?> A<

G6[

..

GQ.[

..G[[

..W

B

BB

φφ

φψφψφθ ˆˆˆ

(4.15 (a))

Substituindo ψ e θ em 4.15(a), tem-se:

∑ ∫

∑ ∫∑ ∫

Ω

−

∂∂

−

+Γ

+

∂∂

=Ω

∂∂

∂∂

+∂

∂

Ω

ΓΩ

CDE

F

DGF H

CDF

GF HD

F

IGF J

CD

F

I

J

DGF JDI

D

G6[

..

GQ.[

..G[[

..W

K

KK

φφ

φψφψφφθφφ

(4.15 (b))

onde LΩ representa o domínio do elemento, MΓ representa o segmento do

contorno do elemento H .

A equação 4.15(b) pode ser descrita na forma matricial pela equação 4.16.

Para maiores detalhes ver Simunek (1994 e 1995).

48

[ ] ( ) ( )[ ] ( ) '%4$GWG) −−=+ ψψψψθ

(4.16)

onde

( ) ∑ ∫ Ω∂∂

∂∂

=Ω

N O

P

Q

RS

TQ OSPUR G[[..$

V

φφφψ (4.17)

( ) ∑ ∫ Ω∂∂

=Ω

W X

YZ

[X \ZY G[..%

]

φφψ (4.18)

∑ ∫ Ω=Ω

^_`U_`U_ G)

a

φδ (4.19)

∑ ∫ Γ−=Γ

bcdc G4

e

φφσ 1 (4.20)

∑ ∫ Ω=Ω

bcdfc G6'

e

φφ1 (4.21)

A equação 4.22 mostra a integração no tempo da equação 4.16 realizada

pelo método das diferenças finitas.

( ) ( ) ( ) ( ) 11111 ][][ ++++

+ −−=+∆

−ggggg

g

gg '%4$W) ψψψψθψθ

(4.22)

onde o índice 1+M está relacionado ao nível de tempo atual onde a solução está

sendo considerada, M se refere ao nível de tempo anterior, e o intervalo de tempo

hhh WWW −=∆ +1 . A equação 4.22 representa o conjunto final de equações algébricas

a serem resolvidas. Uma vez que ( )ψθ , ( )[ ]ψ$ e ( )[ ]ψ% são funções da variável

dependente ψ , este conjunto de equações é altamente não-linear.

49

Os programas SWSM_2D e SWMS_3D utilizam o método de Picard

(Huyakorn e Pinder, 1983), para se obter à solução da equação matricial global a

cada novo nível de tempo.

Neste método, uma primeira solução no tempo ( ) 1+iψ é obtida partir da

distribuição inicial (condição inicial) quando ( ) 0ψψ =j , definindo os valores dos

termos das matrizes ( )[ ]ψ$ , ( )[ ]ψ% e ( )ψθ . A cada nível de iteração uma nova

distribuição de ( ) 1+kψ é determinada, e as matrizes ( )[ ]ψ$ , ( )[ ]ψ% e ( )ψθ são

resolvidas novamente. O processo iterativo continua até que seja alcançado um

grau de convergência satisfatório (tolerância), ou seja, ( ) ( )lm

lmWRO+ 1

11 +

++ −= ψψ ,

sendo WRO+ a tolerância admitida para cada iteração, ( ) 11

++

noψ carga de pressão

determinada na iteração atual, ( )no

1+ψ carga de pressão determinada na iteração

anterior. Ainda, como controle de convergência, é verificada a tolerância da

umidade volumétrica, uma vez que esta se correlaciona com a carga de pressão

pela curva característica, sendo calculada por ( ) ( )pq

pqWRO7K 1

11 +

++ −= θθ , onde WRO7K é

a tolerância admitida para cada iteração, ( ) 11

++

rsθ a umidade volumétrica

determinada na iteração atual, ( )rs

1+θ a umidade volumétrica determinada na

iteração anterior.

Para cada iteração, um sistema de equações algébricas linearizadas é,

primeiramente, derivado da equação 4.22, após a incorporação das condições de

contorno, é resolvido pela sub-rotina, inserido no programa principal,

ORTHOFEM, baseado no método do gradiente conjugado de Mendoza et al

(1991).

Para melhorar a convergência no processo de iteração do termo que

representa a variação do teor de umidade volumétrico no tempo, o programa

utiliza um método de conservação de massa proposto por Celia. (1990), onde o

termo em questão é separado em duas partes.

50

[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) t

tut

t

ut

ut

t

tt

W)

W)W)

∆−

+∆−

=∆

−

+

++++

ψθψθ

ψθψθψθψθ

1

1111

(4.23)

onde 1N + e N representam os níveis de iteração atual e anterior,

respectivamente; 1M + e M representam os níveis de tempo atual e anterior,

respectivamente. Como, na equação 4.23, o segundo termo do lado direito é

conhecido previamente à iteração atual e o primeiro termo do lado direito pode ser

expresso em termos de carga de pressão, podendo-se escrevê-la na forma:

[ ] ( ) ( ) [ ][ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) v

vwv

v

wv

wv

vv

vv

W)

W&)W)

∆−

+∆−

=∆

−

+

+++

++

ψθψθ

ψψψψψθψθ

1

111

11

(4.24)

sendo xzy xzyx& &δ= e x& representam os valores nodais de capacidade de retenção

específica. O primeiro termo do lado direito da equação 4.24 deve desaparecer ao

final da iteração se a solução numérica convergir.

(TXDomRGH)OX[RGR(OHPHQWR'UHQDQWH

A equação que governa o fluxo unidimensional no elemento drenante

baseia-se no balanço de massa do elemento esquematizado na figura 10.

Figura 10-Fluxo através do elemento de linear.

GV || $Yρ

GV$VY$Y∂

∂+ ρρ

~O

51

Para a dedução da equação deve-se igualar a variação da vazão de entrada

e saída 1T∆ , com a variação da massa de água do elemento no tempo 2T∆ , assim

tem-se:

U 44T −=∆ 1 (4.25)

GV$VY$Y$YT∂

∂+−=∆ ρρρ1 (4.26)

GV$VYT∂

∂=∆ ρ1 (4.27)

W0T

∂∂=∆ 2 (4.28)

W9T

∂∂=∆ ρ2 , sendo: GV$9 θ= (4.29)

WGV$T

∂

∂=∆∴

θρ2 (4.30)

onde ρ é a massa especifica da água [ML-3], Y é a velocidade da água no

elemento drenante [LT-1], GV comprimento infinitesimal do elemento drenante

[L], $ é a área da seção transversal [L2], W0

∂∂

é a variação de massa de água

no elemento no tempo [MT-1], W9∂

∂ é a variação do volume de água no elemento

no tempo [L3T-1], θ é a umidade volumétrica do elemento drenante [-].

Igualando as variação de massa 1T∆ e 2T∆ ,tem-se:

21 TT ∆=∆ (4.31)

É utilizada para o elemento drenante uma equação de movimento que tem

a mesma forma da lei de Darcy.

52

( ) VKNY

∂∂−= ψ (4.32)

A expressão 4.32 é aproximada já que considera fluxo laminar e

desconsidera termos de inércia, eventualmente relevantes (Bear, 1972).

Assim, a equação diferencial que define o fluxo no elemento drenante é

representada pela equação 4.33.

( ) W$VKNV$

∂

∂=

∂∂

∂∂∴

θψ (4.33)

sendo, ( )ψN é a permeabilidade não saturada do elemento drenante [LT-1], K a

carga total nos nós do elemento [L].

As propriedades dos elementos serão descritas nos itens 4.53, 4.54 e 4.55.

6ROXomR1XPpULFDGDV(TXDoHVGH)OX[RGR(OHPHQWR'UHQDQWH

Para desenvolver numericamente a equação de fluxo do elemento drenante,

foi aplicado o método de Galerkin, as variáveis dependente ( )]\[ ,,ψ , ),,( ]\[K

e ),,( ]\[ θ no domínio do elemento é escrita como função das cargas de

pressão, elevação e da umidade volumétrica nodal, sendo expressa pelas funções

( )]\[ ,,ψ , ),,( ]\[K ¡∧ , ),,( ]\[¢∧θ , como abaixo:

∑=

∧=

£

¤¤¤ W]\[W]\[

1

)(),,(),,,( ψφψ (4.34)

∑=

∧=

¥

¦¦§¦§ K]\[]\[K

1

),,(),,( φ (4.35)

∑=

∧=

¨

©©ª©ª ]\[]\[

1

),,(),,( θφθ (4.36)

53

onde «¬K é a carga de elevação do nó L , ­®θ é a umidade volumétrica do nó L ¯φ é

a função de interpolação associada a carga de pressão.

A equação 4.37 apresenta o resíduo gerado pela equação de fluxo ( )Ω5

quando se substitui as equações 4.34, 4.35 e 4.36 em 4.33. A equação 4.37 mostra

a minimização deste resíduo, ponderado pelas funções de interpolação ( )°φ ,

segundo o método de Galerkin (Desai, 1995).

( )

∂∂

+∂∂

∂∂−

∂∂

=Ω VK

VN

V$

W$5 ±

²²²

²ˆˆˆ ψψθ

(4.37)

0=Ω∫Ω Ω G5 φ (4.38)

( ) 0ˆˆˆ

=Ω

∂∂

+∂∂

∂∂−

∂∂

∫ΩG

VK

VN

V$

W$ ³

´´´

´ φψψθ (4.39)

sendo Ω5 é o resíduo da equação, Wµ

∂∂θ

é a variação da umidade volumétrica do

elemento drenante no tempo [T-1], V∂

∂ψé o gradiente de pressão [-],

VK ¶∂∂ ˆ

é o

gradiente de elevação [-].

Integrando por partes a equação 4.39 obtém-se:

( )

( ) ( ) Γ

∂∂

+∂∂+Ω

∂

∂∂

∂−

=Ω

∂

∂+Ω

∂∂

∂∂

∑ ∫∑ ∫

∑ ∫∑ ∫

ΓΩ

ΩΩ

GVK

VN$G

VVKN$

GW

$GVV

N$

·¸

¸¹¹

¸

·¸¹¹

¸·

¹¹

¸

·¹¹

ºº

ºº

φψψφψ

φθφψψ

ˆˆˆ

ˆˆ

(4.40(a))

Substituindo ψ e θ em 4.40(a), tem-se:

54

( )

( ) ( ) Γ

∂

∂+

∂∂+Ω

∂∂

∂∂

−

=Ω

∂∂

∂∂

+∂

∂

∑ ∫∑ ∫

∑ ∫

ΓΩ

Ω

GVK

VN$GKVVN$

GVVNW$

»¼

»¼½½

¼»¼

¾»½½

¼»

¾»½½¾

»½

¿¿

¿

φψψφφψ

ψφφψθφφ

(4.40(b))

onde ÀΩ representa o domínio do elemento, ÁΓ representa o domínio no contorno

do elemento H .

A equação de fluxo 4.40(b) pode ser escrita na forma matricial pela

equação 4.41.

[ ] [ ] [ ] ÂÃÂÂ

ÂÂ 4K.GWG). +−=+

θψ (4.41)

onde

[ ] ( )

−

−=

1111

Ä

ÅÅÅ O

$N. ψ (4.42)

[ ]

=

2112

6ÆÇ

ÇO$) (4.43)

sendo [ ]È. a matriz de condutividade do elemento drenante [L2T-1], ÉO o

comprimento do elemento[L], [ ]Ê) matriz de armazenamento [L3], [ ]Ë4 matriz

de vazão aplicada aos nós dos elementos drenantes [L3T-1].

A integração no tempo é feita pelo método das diferenças finitas, em um

esquema implícito. A equação fica definida por:

[ ] [ ] [ ] 111

11 +++

++ +−=∆−

+ ÌÍÎÌÍÌÍÌÍ

ÍÌÌÍ 4K.W). θθψ (4.44)

Para melhorar o processo de convergência no tempo, adotou-se a mesma

estratégia empregada no programa original (Celia, 1990). Assim a variação da

umidade volumétrica é separada de forma que tem a variação no nível de iteração

55

e a variação no passo de tempo (equação 4.46). Em seguida, substitui-se a

derivada da umidade volumétrica no nível de iteração pela derivada da carga de

pressão correspondente, segundo a capacidade de retenção específica do elemento

drenante que correlaciona as duas grandezas[ ] 1+ÏÐ& , sendo este valor o coeficiente

de armazenamento do elemento drenante, dado por:

[ ]W

&W

ÑÒÑ

Ñ

∂∂

=∂

∂+

ψθ1 (4.45)

[ ] [ ] [ ] Ó

ÓÔÕÓÔ

ÔÓ

ÕÓÔ

ÕÓÔ

ÔÓ

ÓÔÓÔÔ

W)

W)

W)

∆−

+∆−

=∆

− +++++ θθθθθθ 11

111 (4.46)

Substituindo a equação 4.45 em 4.46, tem-se:

[ ] [ ][ ]

[ ] Ö

Ö×ØÖ×

×

Ö

ØÖ×

ØÖ×

Ö××Ö

Ö×Ö××

W)

W&)

W)

∆−

+∆−

=∆

−∴

+

+++

++

θθ

ψψθθ

1

111

11

(4.47)

,QFOXVmRGR(OHPHQWR'UHQDQWHHP0DOKD4XDOTXHU

Fisicamente, o processo de inclusão dos elementos drenantes consiste em

distribuir na malha de elementos finitos as vazões por elas transportadas. Isto pode

ser feito numericamente pelo uso de matrizes de transformação que contém, em

suas linhas e colunas, as funções de interpolação como mostrado nas equações

4.48 e 4.57.

No espaço, o conjunto dos elementos drenantes compõe a “linha

drenante”. Assim, com os dados iniciais, determina-se todo o conjunto de

elementos interceptados e seus pontos de interseção correspondente.

A estratégia adotada está baseada na incorporação da matriz de rigidez

destes na matriz de rigidez do solo. A compatibilização utilizada é semelhante à

descrita por Bello (1997) e Silva (1999). O primeiro utilizou para simular o

56

comportamento de estacas de bambu-cal e o segundo para simular inclusões de

grampos, ambos em maciços de solos.

O princípio desta compatibilização é transformar as matrizes do elemento

drenante com as matrizes do elemento de solo, seja ele 2D ou 3D. Para isso fez-se

uso das matrizes transformações compostas pelas funções de interpolação,

conforme determinados pelas figuras 12 e 14. Assim é possível o cálculo do fluxo

do elemento drenante sem que este esteja discreto na malha, pode-se aplicar

qualquer posicionamento da linha drenante, o que torna flexível para a análise de

vários casos, pois não necessita gerar para cada caso uma nova malha.

Aqui, é apenas considerado o caso em que o elemento drenante intercepta os

elementos da malha em 2 pontos, o que corresponde a existência de um

comprimento ÙO do elemento drenante. Uma vez que o fluxo gerado é função do

gradiente gerado e este depende do comprimento ÙO , não tem sentido físico

considerar aqueles elementos da malha que possuem um ponto de interseção.

A figura 11 mostra as interseções da linha drenante passando pelo elemento

2D, em que se determina os pontos Ú, e Û, .

Figura 11-Linha drenante interceptando um elemento bidimensional.

A figura 12 mostra a geração das funções de interpolação para um ponto

qualquer dentro do domínio do elemento 2D.

( )ÜÜÜ \[, ,ÝO

( )ÞÞÞ \[, ,

'UHQDQWH/LQKD←

57

Figura 12-Visualização do cálculo das funções de interpolação no elemento

bidimensional.

onde ß$ é a área de influência do nó L definido pela figura 8 e àâáφ a função de

interpolação dada pela razão da área de influência pela área total do elemento.

A matriz transformação associada ao elemento triangular é mostrada pela

equação 4.48.

[ ]

=

23

13

22

12

21

1132 φ

φφφ

φφ

ã7 (4.48)

sendo [ ] 32 ä7 a matriz transformação do elemento drenante.

Determinada a matriz transformação (equação 4.48), é possível

correlacionar cada nó do elemento drenante com os três nós do elemento

triangular da malha, por exemplo, a carga de pressão nos pontos de interseção, é

determinada por:

[ ] ( )'7 åååæ 2133212 ψψ = (4.49)

Aplicando a equação 4.49 na equação de fluxo do elemento drenante

(4.41), tem-se:

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )'4K.GWG)7. çèçé èçè

èçèçççè 212122222133222 +−=+

θψ (4.50)

3

$$ê

ê ë =φ

( )]\[, ,, j = nº interseção

i = nº do nó A1

A3

A2

2

1

58

Para gerar as matrizes a serem somadas às do elemento da malha, é

necessário pré-multiplicar todas as matrizes da equação de fluxo do elemento

drenante pela transposta da matriz transformação. Desta forma as funções de

interpolação distribuirão as propriedades do elemento drenante para o elemento da

malha.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( )'47K.7GW

G)77.7ìíì

îìï íìíì

î

íìíì

îìììíì

î

21223122223

222313322223

+−

=+θψ

(4.51)

fazendo

[ ] [ ][ ][ ]7.7. ðñ

ð = (4.52)

[ ] òóò 474 = (4.53)

[ ] [ ][ ]ôõ

ö÷ öø .7. = (4.54)

[ ] [ ][ ]ùú

ûzü ý )7) = (4.55)

Substituindo as matrizes 4.52, 4.53, 4.54 e 4.55 na equação 4.51, tem-se:

[ ] [ ] [ ] ( )'4K.GWG). þÿþ ÿþ

ÿþ þþÿ 2131223231333 +−=+

θψ (4.56)

A ordem das matrizes resultantes é igual à ordem das matrizes de fluxo da

malha, desta forma, dado a equivalência para o elemento da malha é feita à soma

das matrizes termo a termo.

De forma análoga, as funções de interpolação do elemento tetraédrico

serão dados de acordo com as interseções. A figura 13 mostra as interseções da

linha drenante passando pelo elemento 3D, em que se determina os pontos , e

, .

59

Figura 13-Linha drenante interceptando um elemento tridimensional.

A figura 14 mostra a geração das funções de interpolação para um ponto

qualquer dentro do domínio do elemento 3D, ponto.

Figura 14-Visualização do cálculo das funções de interpolação no elemento

tridimensional.

onde 9 é o volume de influência do nó L definido pela figura 10 e φ a função

de interpolação dada pela razão do volume de influência pelo volume total do

elemento.

99 =φ

V2

V3

V2

4

2

( )]\[, ,,

V1

1

j = nº interseção

i = nº do nó

3

( ) ]\[, ,, ( ),,, ]\[,

'UHQDQWH/LQKD←

O

60

A matriz transformação associada ao elemento tetraédrico é mostrada pela

equação 4.57. Assim, cada nó do elemento drenante se correlaciona com os três

nós do elemento tetraédrico da malha.

[ ]

=

24

14

23

13

22

12

21

1142 φ

φφφ

φφ

φφ7 (4.57)

sendo [ ] 42 7 a matriz transformação do elemento drenante.

Semelhante o que foi exposto para o caso plano, uma vez determinado a

matriz transformação, é possível correlacionar cada nó do elemento drenante com

os quatro nós do elemento tetraédrico da malha. Assim sendo, a carga de pressão

nos pontos de interseção fica:

[ ] ( )'7 3144212 ψψ = (4.58)

Aplicando a equação 4.58 na de fluxo do elemento drenante (4.41), tem-se:

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )'4K.GWG)7.

312122222144222 +−=+θψ (4.59)

Logo, pré-multiplicando as matrizes da equação 4.59 pela transposta da

matriz transformação, tem-se:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( )'47K.7GW

G)77.7

31224122224

222414422224

+−

=+θψ

(4.60)

Substituindo as condições dadas pelas equações 4.52, 4.53, 4.54 e 4.55 em

4.60, tem-se:

[ ] [ ] [ ] ( )'4K.GWG). ! "

#$ % 3141224241444 +−=+

θψ (4.61)

61

Da mesma forma que o caso bidimensional dado à equivalência para o

elemento da malha é feita à soma das matrizes termo a termo.

3URSULHGDGHV*HRPpWULFDVGR(OHPHQWRGH'UHQR

Para o cálculo da vazão no elemento de dreno, é necessário determinar as

características geométricas (figura 15).

Figura 15-Visualização das propriedades geométricas do elemento de dreno.

Conforme a figura 15, observa-se que o enchimento se dá ao longo de seu

diâmetro o que define uma relação não linear. A altura de nível de água dentro do

dreno corresponde à carga de pressão atuante (ψ ). Todas as outras variáveis a

determinar irão depender do ângulo ( )ψβ na formulação que, por sua vez,

depende de ψ (equação 4.62).

( )

−=

2cos1

2ψβψ '

(4.62)

isolando β , obtém-se.

( )

−= −

'ψψβ 2

1cos2 1 , ( ) πψβ 20 ≤≤ (4.63)

( )ψα

0 D

ψ

NA

b a

c

( )ψβ

62

Para o cálculo da área molhada )( &$ deve-se determinar a área do setor

circular delimitado por EFD0 e subtrair a área do triângulo ED0 acima da borda

livre do canal, resultando:

( ) ( ) ( )[ ] ψβψβψ VLQ'$' −=8

2

(4.64)

O perímetro molhado )( (3 correspondente é:

( ) ( )2'3) ψβψ = (4.65)

O raio hidráulico ( )5K é expresso pela razão da área molhada pelo

perímetro molhado, resultando:

( ) ( )[ ]( )

−=ψβ

ψβψ VLQ'5K 14

(4.66)

A figura 16 mostra o gráfico das variações destas propriedades ao longo do

diâmetro do tubo. Observa-se a não linearidade do valor do raio hidráulico tendo

seu valor máximo a aproximadamente 80% da altura da seção.

63

*,+.-0/1+2 35476547398;:<35->=;?9@+2 A9698;41-CBD+ 37EF-

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1GIH B

JKLJKMN OLN OMP OLPM

Am

Rh

Pm

Figura 16-Variação das propriedades geométricas em seções circulares.

onde 05K , 0$P e 03P são, respectivamente, o raio hidráulico

4'

, a área

molhada

4

2'π e o perímetro molhado ( )'π correspondentes a seção plena.

De acordo com o critério adotado o nível de água no dreno subhorizontal é

igual à carga de pressão do nó do elemento drenante. Porém, quando este nó

pertence ao contorno isto pode não verificar. Por exemplo, a carga de pressão de

um nó em uma face de percolação é nula, conseqüentemente a carga de pressão no

nó de saída do dreno também é nula, assim dever-se-ia assumir uma altura de

nível de água nulo. Para corrigir isto, é apresentado a seguir um cálculo para

determinar a altura de saída no nó de saída do dreno em uma face de percolação.

64

Figura 17-Representação do elemento drenante na face de percolação.

Aplicando a conservação de energia pela equação de Bernoulli (Giles,

1972), tem-se:

JY]J

Y] QQ22

22

22

21

11 ++=++ ψψ (4.67)

Isolando a velocidade do nó 1, tem-se:

( ) ( ) 2212121 2 RR Y]]JY +−+−= ψψ (4.68)

Aplicando a lei da continuidade no elemento drenante, tem-se:

2211 STST $Y$Y = (4.69)

logo

1

221 U

UVV Y

Y$$ = (4.70)

A velocidade do canal segundo a formulação de Manning (Giles, 1975) é

dada pela equação 4.71.

01 =ψ

02 ≅ψ

Face de percolação

65

η

2/13/22

2

L5Y WX = (4.71)

Substituindo as equações 4.68 e 4.71 em 4.70, resulta:

( ) ( ) 2

3/42

1212

22/13/2

21

2η

ψψηL5]]J

$L5$Y

ZYZ

+−+−

= (4.72)

Sabendo que a área molhada da seção circular é dada pela equação 4.73,

tem-se:

( ) ( )[ ]ψβψβ VLQ'$[ −=8

2

1 (4.73)

Substituindo a equação 4.73 em 4.72 chega-se a uma relação em que o

lado direto resulta em valor constante. Assim, iterativamente é possível encontrar

o valor de ( )ψβ igualando o lado direito com o esquerdo da equação 4.74.

( ) ( )( ) ( )

2

3/42

1212

22/13/2

22

2

8

ηψψη

ψβψβL5]]J

$L5'VLQ

\]\

+−+−

=− (4.74)

Com ( )ψβ definido é possível obter as demais propriedades geométricas

do nó de saída do dreno subhorizontal.

A condição aplicada à equação 4.74 é que o valor 01 =ψ , pois este

pertence à face de percolação e que o valor de 02 =ψ caso este seja maior que o

diâmetro do dreno ( '≤2ψ ).

66

3URSULHGDGHV+LGUiXOLFDVGR(OHPHQWRGH'UHQR

Para os elementos drenantes de dreno, deve-se determinar o coeficiente de

permeabilidade que represente o escoamento ao longo do tubo do dreno. Desta

forma, pode-se identificar três fases no enchimento deste elemento. A primeira

consiste nos elementos com carga de pressão negativa em seus nós, assim estes

não interferem no regime de fluxo. A segunda consiste em elementos com carga

de pressão positiva em um dos nós ou em ambos, porém seus valores não

excedem a altura dada pelo diâmetro do dreno. Nesta fase, o escoamento é

caracterizado como de um canal, sendo sua velocidade calculada pela fórmula de

Chézy (Giles, 1976) e seu coeficiente de atrito ( )& especificado segundo Manning

(Giles). A terceira fase é aquela em que o dreno trabalha em seção plena (sob

pressão) gerando parâmetros constantes. A equação 4.75 define a fórmula de

Chézy.

( ) 2/12/1 L&5Y ^_ ψ= (4.75)

onde `5 é o raio hidráulico [L], L é o gradiente de carga [-], η é o coeficiente de

rugosidade do canal (Manning) [-], aY é a velocidade média de fluxo no canal

[LT-1] e ( )& dado pela fórmula de Manning (equação 4.76)

η

6/1b5& = (4.76)

Desta forma, a velocidade do fluxo é dada pela equação 4.77, chegando a

uma relação permeabilidade versus gradiente.

( )ηψ 2/13/2 L5Y

bc = (4.77)

67

A permeabilidade resultante depende do raio hidráulico ( d5 ), do

coeficiente de rugosidade de Manning ( )η (equação 4.78).

( ) ( )η

ψψ3/2ef 5N = (4.78)

Para simular situações em que o dreno se encontra parcialmente cheio, é

preciso definir uma curva característica equivalente para o mesmo.

Diferentemente do solo, o elemento de dreno está não saturado quando ele já

apresentar carga de pressão positiva. Isto ocorre quando a carga de pressão for

maior que zero e menor que o diâmetro do tubo ( )φψ ≤≤0 .

A umidade volumétrica então é definida em função da carga de pressão.

4

2'$g π= (4.79)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )π

ψβψβψψθ2VLQ

$$

hih −==∴ (4.80)

sendo ( )ψj$ definido pela equação 4.64.

O gráfico da figura 18 mostra a relação dada pela equação 4.80, observa-se

que o valor de kθ varia no intervalo de 10 ≤≤ lθ , assim, toda seção pode ser

preenchida de tal forma que o tubo trabalhe em seção plena.

68

monqprFstmus1pvs5w9xyzp |qx w9s~qqy>q

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

1.0000

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000

\'

Dreno

Figura 18-Curva característica do elemento de dreno.

Para o cálculo da capacidade de retenção específica do dreno deve-se obter

a derivada da umidade volumétrica em relação à carga de pressão, assim

derivando a equação 4.80 resulta na equação 4.81.

( )( )ψψπ

ψ

ψψθ

−

−−

=→∂∂

−

+ ''&

21cos2cos1 1

1 (4.81)

O valor de & é apresentado na figura 19, onde seu valor máximo está a

meia seção

69

u7>;>qv00,Fu1157 0F>010z>5D1q5 ¡

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0.000 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000

ψ¢.£

¤ ¥¦ §¨© ª

Figura 19-Coeficiente de armazenamento do dreno ( «& )

3URSULHGDGHV*HRPpWULFDVH+LGUiXOLFDVGR(OHPHQWRGH3RoR

Assim como o elemento de dreno deve-se determinar as características

geométricas e hidráulicas do poço.

Figura 20-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço.

¬Oψ

NA

70

Na figura 20, observa-se que o enchimento se dá ao longo de seu

comprimento, o que define uma relação linear entre θ e ψ . O comportamento do

fluxo é como escoamento em encanamentos, assim igualando as tensões

cisalhantes na parede do tubo com a variação de pressão ao longo do mesmo,

obtém-se a velocidade do fluído ao longo da seção (Giles, 1976), sendo dada por:

( )( )2221

4UUO

SSY ­®

¯° −−

=µ

γ (4.82)

sendo 1S e 2S as pressões aplicadas [ML-1T-2], ±γ o peso específico da água

[ML-2T-2], ²U o raio do poço [L], U a distância do poço ao ponto de análise [L],

µ a viscosidade dinâmica da água [MTL-2].

Para o cálculo da velocidade média na seção ( )³0´¶µ9 basta resolver a

integral dada pela razão da vazão pela área, sabendo que Y varia com U conforme

a equação 4.82.

( ) ( )( ) ( )∫

∫∫

∫ −−

====·

·¸

¹º¹¹

¸»»

¼0º¶½ UGUUUOUSS

UUGUY

G$G$Y

$49

0

222

212

0

42

2

µππ

π

π (4.83)

( )¾

¿À0¾¶Á O

USS9µ8

221 −

= (4.84)

Logo, fazendo a velocidade média em função da carga de pressão, obtém-

se a equação da lei de Poiseville (Giles, 1976) sendo dada por:

( )Â

ÃÄÅ0妮 O

U9µ

ψψγ8

212 −

= (4.85)

Da equação 4.85, pode-se extrair o valor da permeabilidade a ser adotada

para o fluxo do poço.

71

µγ8

2ÇÈÉ UN = (4.86)

sendo, ÊN a permeabilidade do poço [LT-1].

A umidade volumétrica é dada por uma relação linear com a carga de

pressão no poço.

/99 Ë ψθ == (4.87)

/ψθ =∴ (4.88)

Assim, a capacidade de retenção específica do poço ( )&Z resulta:

/&Z

ÌÍ 11 =→

∂∂

+ψθ

(4.89)

sendo / o comprimento drenante total do poço. A figura 21 mostra a relação

linear.

72

Figura 21-Visualização das propriedades geométricas do elemento de poço.

*HUDomRGRV0RGHORVGH$QiOLVH

'HWHUPLQDomRGD*HRPHWULDH0DOKDGH(OHPHQWRV)LQLWRV

Os dados relevantes a serem levantados para uma modelagem numérica

bidimensional ou tridimensional são as interpretações das sondagens, perfurações

de poços, das plantas topográficas, isoespessura, mapeamento das feições

geológicas, fotos e outros dados observacionais, sendo estes necessários para

discretizar graficamente o modelo quanto à superfície topográfica, estratigrafia,

superfície do topo rochoso, localização do lençol freático, presença de fraturas.

O gerador de malha de elementos finitos aplicados a modelos 2D foi o

Mtool, software desenvolvido pelo Tecgraf – Puc-Rio, o mesmo software foi

utilizado para visualizar os resultados. Já para os modelos 3D, como gerador da

Curva Característica DHP e Poço

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

1.0000

0.0000 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000

\'

T

Poço

/&Z 1=→

∂∂ψθ

73

malha de elementos finitos tetraédricos, foi implementada sub-rotina

“MeshBox3D”, capaz de gerar a malha de modelos do tipo paralelepípedos. Este

gerador foi utilizado para gerar as malhas dos modelos das validações, devido a

sua facilidade e rapidez.

Para modelos tridimensionais com superfícies de contornos irregulares a

geração da malha acaba sendo problemática. O modelador gráfico Gocad 2.0.5

possui muitas ferramentas para a geração das superfícies, refinamento das faces,

porém gera elementos finitos altamente não uniformes.

Para visualizar os resultados tridimensionais, utilizou-se o software POS-

3D, sendo este desenvolvido pelo Tecgraf – Puc-Rio, e amplamente aplicado para

estudos tridimensionais.

'HWHUPLQDomRGDV&RQGLoHV,QLFLDLVHGH&RQWRUQR

As condições iniciais e as de contorno serão determinadas com base nas

interpretações das sondagens do local e dados pluviométricos, onde se podem

prever as condições da hidrogeologia local aplicada ao modelo tridimensional. As

condições de contorno no domínio podem ser do tipo carga de pressão prescrita

(condição de Dirichlet) ou fluxo normal prescrito (condição de Neuman), sendo a

primeira normalmente aplicada nos contornos simulando o efeito da hidrogeologia

local, e o segundo quando se quer simular a presença de poços, em que se extrai

fluxo do domínio. A condição atmosférica deverá ser simulada de acordo com os

dados pluviométricos, sendo aplicado à superfície livre do modelo tridimensional.

Os programas de fluxo, SWMS_2D e SWMS_3D (Simunek e outros, 1994

e 1995), precisam identificar e aplicar as condições de contorno, que devem ser

fornecidos na fase de pré-processamento. Assim, além das informações sobre a

geometria da malha, conjunto de nós e incidência dos elementos, tem-se a seleção

dos nós de contorno com suas imposições a serem determinados pelo gerador de

malha.

O programa Mtool, adaptado para leitura dos atributos referentes ao fluxo,

faz a seleção dos nós dos contornos na interface gráfica e fornecer seus dados para

posterior impressão do arquivo da saída.

74

No gerador MeshBox3D os atributos são fornecidos no arquivo

“GENE3.IN” na identificação das faces do modelo.

'HWHUPLQDomRGDV3URSULHGDGHVGRV0DWHULDLV(QYROYLGRV

Para a análise numérica, faz-se necessário o conhecimento dos parâmetros

hidráulicos dos solos saturados e não saturados aplicados ao domínio, a fim de

determinar as curvas características dos solos presentes na estratigrafia do modelo

e que regem o comportamento das variações da condutividade hidráulica e da

umidade volumétrica ( )θ∆ com as variações das cargas de pressão ( )ψ∆ . Sua

determinação se faz através de ensaios de campo ou de laboratório.

O modelo de cálculo da curva característica adotado é o de van Genuchten

(1980), conforme descrito no item 4.2.1, onde é necessário o conhecimento de

alguns parâmetros como:

Îθ = Umidade volumétrica residual;

Ïθ = Umidade volumétrica saturada;

Ð. = Permeabilidade saturada;

α e n = Parâmetros empíricos.

75

)OX[RJUDPDGD,PSOHPHQWDomR

A figura 22 apresenta um fluxograma da implementação realizada no

programa de fluxo SWMS para a contabilização das inclusões das linhas

drenantes.

Figura 22-Fluxograma da implementação das linhas drenantes.

Primeiramente na fase de pré-processamento, se constrói a malha do modelo

de análise, fornecendo os dados de entrada como as informações da geometria da

malha (conjunto de nós e elementos) e seus atributos (condição inicial e de

Tolerância

INPUT

FUNCINTERP

ADDINGMATRIX

MONTAGEM DAS MATRIZES

CALCPERM

PROPGEOM

Mtool (2D)

MeshBox3D (3D) DRAINAGEINF

PROGRAM

MAIN

OUTPUT Mtool (2D)

POS3D (3D)

DRAIN

INTERSECTION

3Up3URFHVVDGRUHV

3yV3URFHVVDGRUHV

sim

não

não

sim

3URFHVVDGRU

não

76

contorno). Para os casos 2D foi utilizado o programa Mtool e para os casos 3D

fez-se uso da sub-rotina MeshBox3D.

A seguir serão feitas considerações sobre as sub-rotinas envolvidas em cada

campo do fluxograma:

a) INPUT: Este campo representa o conjunto de sub-rotinas destinado à

leitura de dados de entrada, sendo oriundos do pré-processador no

formato neutro (neutral file).

b) DRAIN: Variável lógica que identifica se existe ou não o sistema

drenante no modelo.

c) DRAINAGEINF: Sub-rotina de leitura de dados referentes às linhas

drenantes, como coordenadas, diâmetro, vazão imposta, tempo de

instalação, comprimento não drenante, propriedades físicas da água.

d) INTERSECTION: Sub-rotina do cálculo das interseções geradas pela

linha drenante quando atravessa a malha de elementos finitos.

e) FUNCINTERP: Esta sub-rotina calcula as funções de interpolação

associadas às interseções no elemento.

f) PROPGEOM: Esta sub-rotina calcula as propriedades geométricas

associadas aos parâmetros hidráulicos de um fluxo em canal, como raio

hidráulico e área molhada.

g) CALCPERM: Sub-rotina do cálculo da permeabilidade, do elemento de

dreno subhorizontal ou do elemento de poço, associado aos parâmetros

hidráulicos.

h) Montagem das Matrizes: Determinados os coeficientes das matrizes da

equação de fluxo do elemento drenante, passa-se a preencher os termos

das matrizes de fluxo.

i) ADDINGMATRIX: Incluir a equação de fluxo transformada do

elemento drenante, somando com a do elemento da malha.

j) PROGRAM MAIN: Programa principal onde se processa o cálculo de

fluxo da malha com as propriedades já alterada pelo elemento drenante.

k) Tolerância: Parâmetro de entrada que controla o grau de convergência

da solução.

l) OUTPUT: Este campo representa o conjunto de sub-rotinas destinado à

impressão de dados de saída, sendo em arquivos de saída no formato

neutro (neutral file).

77

A última fase é de pós-processamento, onde os resultados da simulação são

interpretados segundo os arquivos de saída do campo “OUTPUT”. Para os casos

2D foi utilizado o programa Mtool e para os casos 3D utilizou-se o programa

POS-3D.

,PSOHPHQWDoHV$GLFLRQDLV

,PSOHPHQWDomRGR&RHILFLHQWHGH$UPD]HQDPHQWR(VSHFtILFRGR6ROR

Para as simulações de rebaixamento de poços em aqüíferos confinados e

não confinados, foi implementado ao programa a adição do termo de

armazenamento específico que leva em conta o efeito da compressibilidade do

solo e do fluído ( )6 . Este termo aparece quando se reescreve a parte do

armazenamento da equação de Richards, assim a dedução da equação de fluxo

fica:

W6

W6

W66.

[..

[

∂∂+

∂∂

+∂∂=−+

∂∂

∂∂ ξρξρρξψρ )]([ (5.1)

onde 6 é o grau de saturação e ξ é a porosidade do solo. A compressibilidade

do esqueleto é definida como:

’σ∂

∂

−= 99

& (5.2)

Admitindo que os grãos sólidos são incompressíveis, a variação é devida

somente ao volume de vazios:

’’ σξ

σ ∂∂−=

∂

∂

−= 99

&

(5.3)

Pelo princípio das tensões efetivas tem-se que:

79

X−= σσ ’ (5.4)

ψρJX = (5.5)

onde & é a compressibilidade dos grãos sólidos do solo, 9 é o volume do solo,

9 é o volume de vazios do solo, ’σ é a tensão efetiva e X é a pressão neutra.

Considerando a tensão total uma constante no processo de fluxo, tem-se:

ψρξ

ψρξ

σξ

∂∂=

∂−∂−=

∂∂−= JJ&

)(’ (5.6)

A compressibilidade do fluido é definida como:

X& ∂

∂

−= ρρ

(5.7)

ψρρ∂

∂−= J& 2 (5.8)

Sendo assim, obtém-se as seguintes relações:

WJ&W

∂∂=

∂∂ ψρξ

(5.9)

WJ&W

∂∂=

∂∂ ψρρ 2 (5.10)

Substituindo a equação 5.9 e 5.10 em 5.1 tem-se:

W66W66.[..[

∂∂+

∂∂

=−+∂∂

∂∂ ψξψ

)]([ (5.11)

Sendo o coeficiente de armazenamento específico dado por:

80

)( !! &&J6 ξρ += (5.12)

Este coeficiente representa o efeito físico dado pelo volume de água

expulso de um volume unitário quando este é submetido a uma variação unitária

de carga total. Sabendo que:

WWW6

∂∂−

∂∂=

∂∂ ξ

ξθθ

ξ 2

1 (5.13)

W66WW6.[..[ "#$%&

'( )

*

'( *

( ∂∂+

∂∂−

∂∂=−+

∂∂

∂∂ ψξ

ξθθψ

)]([ (5.14)

Admitindo que não ocorrem variações volumétricas durante o processo de

fluxo, tem-se:

.0=∂∂Wξ

(5.15)

Definindo o coeficiente de retenção específica como sendo:

W&∂∂= θψ )( (5.16)

Reescreve-se a equação 5.14 como sendo:

( )W

6&6.[..[+

,-. /

0

-. 0

. ∂∂

+=−+

∂∂

∂∂ ψ

ξψθψψ

)()]([ (5.17)

Para simulações de poços em aqüíferos não confinados a curva que define

o rebaixamento no tempo é composta por três fases. A primeira fase é

representada pelas variações envolvendo 16 . A segunda fase representa um

período de drenagem, em que o rebaixamento é constante no tempo. A terceira

fase apresenta as variações finais do rebaixamento, onde o termo do

81

armazenamento efetivo ( )26 , onde seu efeito está incluso no coeficiente de

retenção específica ( ( )ψ& ), regula estas variações.

,PSOHPHQWDomRGH&RQGLomRGH&RQWRUQRSDUD&DUJD+LGURVWiWLFD9DULiYHO

Devido à necessidade de controlar as variações da carga hidrostática no

tempo aplicada no contorno do modelo, foi criado o bloco de entrada

“LevelGroundWater”, dentro do arquivo de entrada “SELECTOR.IN”, sendo

necessário informar o histórico das cotas no nível de água e seus respectivos

tempos.

Assim, é possível simular as variações de pressões nos contornos como

casos de enchimento e rebaixamento do nível de água de uma barragem, tanto a

jusante quanto a montante. Outro caso seria simular as variações do nível do mar

em um talude de praia. O objetivo é simular e observar o tempo de resposta do

solo e assim prever as possíveis regiões de instabilidade.

/HLWXUDGHGDGRVGDOLQKDGUHQDQWH

O programa desenvolvido é capaz de ler um sistema drenante, composto

por drenos e poços, dispostos ao longo do modelo 2D ou 3D. Para isso, foi criado

o bloco de entrada “DrainsInformation”, dentro do arquivo de entrada

“SELECTOR.IN” fornece-se informações necessárias para a geração da linha

drenante, como:

a) Número de linhas drenantes ( )1' ;

b) As coordenadas dos dois pontos que definem esta linha, sendo o

primeiro localizado na superfície do modelo ( )333 =<; ,, ;

c) O comprimento não drenante, ou seja, o trecho liso do revestimento

que não interage diretamente com a matriz do solo ( )OX ;

d) O valor da vazão imposta, para o caso de poços ( )4 ;

82

e) O valor da carga de pressão mínima para ativar o bombeamento dos

poços, ou mesmo para desativá-los, caso o rebaixamento seja maior

que o esperado e atinja o limite prescrito de carga para o bom

funcionamento das bombas ( )PFD ;

f) O identificador do tipo de elemento drenante, sendo 0 para drenos

subhorizontais e 1 para poços ( ).' .

g) O valor para o tempo de aplicação da cada linha drenante, pois o

princípio é que drenos e poços podem ser instalados não

necessariamente ao mesmo tempo ( ))(L7HPS' ;

h) O valor do diâmetro da tela e do revestimento. Assim, pode-se separar

o efeito da condutividade sendo dada pelo diâmetro da tela e do

armazenamento dado pelo diâmetro do revestimento ( ))(),( L'FL'V ;

i) Propriedades do fluido, tais como o peso específico, viscosidade

dinâmica e o coeficiente de rugosidade de Manning ( )ηµ ,, 45J .

/HLWXUDH,PSUHVVmRGH'DGRV

Para as análises 2D e 3D foi preciso criar as malhas dos modelos em

programas geradores de malha para depois estas serem interpretadas pelo

programa de análise e, em seguida, serem visualizadas. Esta comunicação de

dados é feita por sub-rotinas implementadas no programa. Desta forma o

programa lê malhas 2D geradas pelo Mtool e 3D pelo gerador MeshBox3D. O

programa ainda lê malhas geradas pelo modelador Gocad 2.0.5, porém seu uso foi

descartado devido a não uniformidade das malhas geradas.

O Mtool utiliza o formato de arquivo neutro (Neutral File), onde é possível

obter as informações da malha de maneira simples, devido à facilidade de

composição e interpretação dos dados. Este formato foi adotado para todas as

análises, uma vez que os pós-processadores (Mtool e POS-3D) importam os

arquivos QHXWUDOILOH(*.nf).

83

*HUDGRU0HVK%R['

Devido a não uniformidade das malhas geradas pelo modelador Gocad

2.0.5, optou-se por implementar um gerador de malha, que pudesse gerar modelos

para as validações.

Para a entrada de dados, foi criado o bloco de entrada “ MeshBox3D

Generation” , dentro do arquivo de entrada “ GENE3.IN” , sendo necessário

informar o número de nós em cada direção ( )]\[ ,, , as dimensões dos segmentos

gerados e os atributos.

Os atributos são a condição inicial e de contorno da malha gerada. Na

condição de contorno deve-se identificar as faces do paralelepípedo e aplicar o

código correspondente à condição de contorno e o número da face, caso haja mais

uma face com o mesmo código.

O gerador cria malhas para modelos tipo paralelepípedo, podendo ser

discretizado algumas regiões. O limite do tamanho do modelo esta associada com

a capacidade da máquina em armazenar os dados para o processamento, sendo a

memória requerida função, basicamente, do número de nós e de elementos da

malha.

O algoritmo implantado divide o domínio conhecido, em elementos

hexaedros e em seguida, subdivide cada hexaedro em 5 tetraedros segundo a

disposição da incidência dos nós mostrado na figura 23.

84

Figura 23-Disposição dos subelementos tetraedros nos elementos hexaedros

(Simunek e outros, 1995).

5HVXOWDGRV2EWLGRV

São apresentados aqui os resultados obtidos para as versões 2D e 3D do

programa desenvolvido. Nos casos bidimensionais, os resultados representam

aquele dado em uma seção média do espaçamento entre linhas drenantes, sendo os

tridimensionais mais realistas.

Inicialmente são apresentados os resultados 3D para efeito de validação dos

procedimentos implementados e em seguida os resultados 2D.

(OHPHQWRGH3RoR

O modelo gerado para simular os casos confinados e não confinados está

ilustrado na figura 24. Devido às soluções analíticas para regime transiente

considerar o contorno no infinito, optou-se em gerar um modelo de grandes

dimensões com de 200m x 200m x 5m nas direções x, y e z, respectivamente.

A malha tridimensional, gerada pela sub-rotina “MeshBox3D”, varia de

acordo com o modelo, mas em média contém 44376 nós e 180625 elementos, com

tamanho médio do elemento de 1,903 m com um desvio padrão de 0,857, sendo a

malha mais refinada na vizinhança do poço.

O programa foi aplicado a vários casos que validasse o mesmo, simulando

as condições dadas por aqüífero confinado e não confinado e em regime

permanente e transiente.

86

Figura 24-Malha 3D usada para simulações do poço

$TtIHUR&RQILQDGR

O trabalho numérico desenvolvido por Sudicky et al (1995) serviu de base

para as validações apresentadas em um modelo de poço confinado em regime

transiente. Este modelo comparativo possui um domínio de 200m x 200m x 5m

nas direções x, y, e z, respectivamente. O poço foi considerado totalmente

penetrante e centrado no modelo com diâmetro de 0,20 m. A permeabilidade e o

coeficiente de armazenamento específico considerado são de 8.64 m/dia e 10-4

m-1, respectivamente. No contorno foi aplicada uma carga hidrostática de 20 m,

confinando todo o modelo.

A figura 25 apresenta a discretização da malha e o elemento de poço, usado

por Sudicky et al (1995). A malha é composta por elementos hexaédricos e o

elemento de poço passa pelas arestas dos elementos da malha.

87

Figura 25-Discretização do elemento de poço (Sudicky e outros, 1995).

Para o caso de regime permanente considerou-se o resultado numérico de

maior tempo de simulação quando se atinge a condição de equilíbrio das vazões

de entrada e de saída.

Na figura 26 o resultado obtido com a variação das equipotenciais do

modelo confinado.

Figura 26-Variação das equipotenciais no modelo de aqüífero confinado.

A seguir são apresentadas as validações do aqüífero confinado em regime

permanente e transiente.

88

5HJLPH3HUPDQHQWH

Para o regime permanente os detalhes da solução analítica são apresentados

no item 3.2. A seguir é apresentada uma série de curvas de rebaixamento,

resultantes da variação do tamanho do elemento ( )O , mostrando a comparação do

resultado analítico com os resultados numéricos, com e sem armazenamento do

elemento do poço. O diâmetro do poço simulado é de 0.20 m. Os tamanhos são de

0.5m, 0.75m, 1m e 1.5m.

Figura 27-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para

PO 5.0= .

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

!"# $% !&

Analítico Numérico - Poço c/ Cw Numérico - Poço s/ Cw

89

Figura 28-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para

PO ' 75.0= .

Figura 29-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para

PO ( 0.1= .

)*+,- .,/*012.),- 2

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

),- 23/4

5 67 89 :8;6<= >? ;@

Analítico Numérico - Poço c/ Cw Numérico - Poço s/ Cw

)*+,- .,/*012.),- 2

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

),- 23/4

5 67 89 :8;6<= >? ;@

Analítico Numérico - Poço c/ Cw Numérico - Poço s/ Cw

90

Figura 30-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para

PO A 5.1= .

Observa-se o bom comportamento das soluções numéricas para a

validação dos resultados em regime permanente.

5HJLPH7UDQVLHQWH

Procura-se aqui comparar os resultados obtidos com a implementação atual

com aqueles obtidos por Sudicky et al (1995).

Para reproduzir os resultados obtidos por Sudicky, criou-se um modelo com

o poço discreto, ou seja, fazendo a linha drenante passar pelas arestas dos

elementos interceptados, conforme a figura 25, e as mesmas características

geométricas e hidráulicas descritas no item 6.1.1. O resultado do modelo

comparativo é mostrado na figura 31.

BCDEF GEHCIJKGBEF K

0.000

0.500

1.000

1.500

2.000

2.500

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

BEF KLHM

N OP QR SQTOUV WX TY

Analítico Numérico - Poço c/ Cw Numérico - Poço s/ Cw

91

Figura 31-Comparação da solução numérica de Theis (1935) e Papadopulos and

Cooper (1967) (Sudicky e outros 1995) solução com armazenamento

A figura 31 apresenta o histórico da variação do rebaixamento para um

ponto do domínio. As comparações são feitas considerando ou não o coeficiente

de armazenamento do elemento de poço ( )Z& . A solução analítica de Theis

(1935) (Freeze, 1979) para aqüífero confinado, não considera a parcela do

armazenamento. As figuras 32 e 33 mostram os resultados numéricos obtidos pelo

programa desenvolvido a uma distância PU 0= e PU 5= do poço,

respectivamente. Sendo U o raio de um ponto no domínio, dado pela menor

distância dele com a linha drenante (poço).

92

Figura 32-Comparação da solução numérica implementada do modelo discreto

(com e sem armazenamento e PU 0= ) com a de Theis (1935). As curvas com [& se

referem as com armazenamento considerado.

Figura 33-Comparação da solução numérica implementada do modelo discreto

(com e sem armazenamento e PU 5= ) com a de Theis (1935).

\^]_a`b cd`def]gahjikckhj]demlniopiq]r isb tdudvj]whi

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03xy]nemldiz td|

~ ~

THEIS Numérico - Poço s/ Cw Numérico - Poço c/ Cw

r= 0.1 m

\^]_n`b cd`def]gwhikcfxy]deldiopiq]r isb tdudvj]whi

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03xy]deldiz td|

~ ~

THEIS Numérico - Poço s/ Cw Numérico - Poço c/ Cw

r= 5 m

93

A validação se dá na comparação dos resultados obtidos (figura 32) com os

da figura 31 e com a solução de Theis (1935).

A seguir são apresentadas uma série de simulações, variando o tamanho do

elemento, com U próximo ao poço ( PU 0≅ ) e linha drenante passando pelo meio

deste. Os tamanhos são de 0.5m, 0.75m, 1m e 1.5m.

Figura 34-Comparação da solução numérica implementada (com e sem

armazenamento e PU 0= ) com a de Theis.(1935). Tamanho do elemento de 0.5m.

^a ddfajkkjdmn

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03ydmn d

¡¢ £

THEIS Numérico - Poço s/ Cw Numérico - Poço c/ Cw

r=0.3535 m

94

Figura 35-Comparação da solução numérica implementada (com e sem

armazenamento e PU 0= ) com a de Theis (1935). Tamanho do elemento de 0.75m.

Figura 36-Comparação da solução numérica implementada (com e sem

armazenamento e PU 0= ) com a de Theis (1935). Tamanho do elemento de 1 m.

¤^¥¦a§¨ ©d§dªf¥«a¬j­k©k¬j¥dªm®n­

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03¯¥dªm®n­° ±d²

³ ´µ ¶· ¸¶¹´º» ¼½ ¹¾

THEIS Numérico - Poço s/ Cw Numérico - Poço c/ Cw

r= 0.5303 m

¤^¥¦a§¨ ©d§dªf¥«a¬j­k©k¬j¥dªm®n­

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03¯¥dªm®n­° ±d²

³ ´µ ¶· ¸¶¹´º» ¼½ ¹¾

THEIS Numérico - Poço s/ Cw Numérico - Poço c/ Cw

r= 0.707 m

95

Figura 37-Comparação da solução numérica implementada (com e sem

armazenamento e PU 0= ) com a de Theis (1935). Tamanho do elemento de 1.5m.

Os resultados se ajustam bem com a solução de Theis (1935), mesmo

variando o tamanho do elemento interceptado. As curvas com armazenamento são

validadas em comparação com o resultado obtido da figura 32 com o da figura 31

(Sudicky e outros, 1995).

$TtIHUR1mR&RQILQDGR

A solução numérica de Neumann (1975) foi utilizada como comparativa

com os resultados numéricos da implementação. O modelo utilizado é o mesmo

empregado para as simulações em aqüífero confinado. O poço, com diâmetro de

0,20 m foi considerado totalmente penetrante e centrado no modelo.

Estes modelos apresentam uma região não saturada do solo, sendo

necessário determinar os parâmetros não saturados do mesmo, segundo 3.2.1. As

características do solo empregado são:

¿^ÀÁaÂÃ ÄdÂdÅfÀÆaÇjÈkÄkÇjÀdÅmÉnÈ

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03ÊÀdÅmÉnÈË ÌdÍ

Î ÏÐ ÑÒ ÓÑÔÏÕÖ ×Ø ÔÙ

THEIS Numérico - Poço s/ Cw Numérico - Poço c/ Cw

r=1.06 m

96

Tabela 1-Parâmetros do solo não saturado de acordo com o modelo de van Genuchten,

para o caso do poço não confinado (Simunek e outros, 1994)

Úθ Ûθ Ü. Q α

0.02 0.35 0.6 1.964 4.1

Os parâmetros foram obtidos dos exemplos do manual do usuário do

programa SWMS (Simunek e outros, 1994), para o solo tipo areno-argiloso.

No contorno a carga hidrostática aplicada foi de 4.5 m.

Para o caso de regime permanente considerou-se o resultado numérico de

maior tempo de simulação quando se atinge a condição de equilíbrio das vazões

de entrada e de saída.

5HJLPH3HUPDQHQWH

Para o regime permanente a formulação da solução analítica é apresentada

no item 3.3. A seguir, é mostrada uma série de curvas de rebaixamento versus

raio, para diferentes tamanhos de elementos interceptados. A comparação do

resultado analítico com os resultados numéricos, com e sem armazenamento do

elemento do poço, é apresentada. O diâmetro do poço simulado é de 0.20m.

97

Figura 38-Comparação dos rebaixamentos numéricos com o analítico para

comprimento do elemento ( )ÝO de 0.1, 0.5 e 1.0 m.

5HJLPH7UDQVLHQWH

A solução numérica de Neumann (1975) para aqüífero não confinado, foi

usado para comparação com valores de ( )λ,ÞX: e ( )λ,ßX: apresentadas nas

tabelas 2 e 3 (maiores detalhes ver item 3.1.2).

àâáã äåàâæçdáã åyáèmæyédêëä

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

àâáã äìèí

î ïð ñò óñôïõö ÷ø ôù

Analítico Numérico - Poço Discreto Numérico - le=0.1 Numérico - le=0.5 Numérico - le=1

98

Tabela 2-Valores de ( )λ,AuW para o aqüífero não confinado (Fetter, 1994).

Tabela 3- Valores de ( )λ,BuW para o aqüífero não confinado (Fetter, 1994).

1/ua λ = .001 λ = .01 λ = .06 λ = .2 λ = .6 λ = 1.0 λ = 2.0 λ = 4.0 λ = 6.01.00E-01 2.48E-02 2.41E-02 2.30E-02 2.14E-02 1.88E-02 1.70E-02 1.38E-02 9.33E-03 6.39E-032.00E-01 1.45E-01 1.40E-01 1.31E-01 1.19E-01 9.88E-02 8.49E-02 6.03E-02 3.17E-02 1.74E-023.50E-01 3.58E-01 3.45E-01 3.18E-01 2.79E-01 2.17E-01 1.75E-01 1.07E-01 4.45E-02 2.10E-026.00E-01 6.62E-01 6.33E-01 5.70E-01 4.83E-01 3.43E-01 2.56E-01 1.33E-01 4.76E-02 2.14E-021.00E+00 1.02E+00 9.63E-01 8.49E-01 6.88E-01 4.38E-01 3.00E-01 1.40E-01 4.78E-02 2.15E-022.00E+00 1.57E+00 1.46E+00 1.23E+00 9.18E-01 4.97E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-023.50E+00 2.05E+00 1.88E+00 1.51E+00 1.03E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-026.00E+00 2.52E+00 2.27E+00 1.73E+00 1.07E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-021.00E+01 2.97E+00 2.61E+00 1.85E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-022.00E+01 3.56E+00 3.00E+00 1.92E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-023.50E+01 4.01E+00 3.23E+00 1.93E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-026.00E+01 4.42E+00 3.37E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-021.00E+02 4.77E+00 3.43E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-022.00E+02 5.16E+00 3.45E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-023.50E+02 5.40E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-026.00E+02 5.54E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-021.00E+03 5.59E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-022.00E+03 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-023.50E+03 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.08E+00 5.07E-01 3.17E-01 1.41E-01 4.78E-02 2.15E-02

1/ub λ = .001 λ = .01 λ = .06 λ = .2 λ = .6 λ = 1.0 λ = 2.0 λ = 4.0 λ = 6.01.00E-04 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.08E-01 3.18E-01 1.42E-01 4.79E-02 2.15E-022.00E-04 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.08E-01 3.18E-01 1.42E-01 4.80E-02 2.16E-023.50E-04 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.08E-01 3.18E-01 1.42E-01 4.81E-02 2.17E-026.00E-04 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.08E-01 3.18E-01 1.42E-01 4.84E-02 2.19E-021.00E-03 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.08E-01 3.18E-01 1.42E-01 4.78E-02 2.21E-022.00E-03 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.09E-01 3.19E-01 1.43E-01 4.96E-02 2.28E-023.50E-03 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.10E-01 3.21E-01 1.45E-01 5.09E-02 2.39E-026.00E-03 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.12E-01 3.23E-01 1.47E-01 5.32E-02 2.57E-021.00E-02 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.16E-01 3.27E-01 1.52E-01 5.68E-02 2.86E-022.00E-02 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.09E+00 5.24E-01 3.37E-01 1.62E-01 6.61E-02 3.62E-023.50E-02 5.62E+00 3.46E+00 1.94E+00 1.10E+00 5.37E-01 3.50E-01 1.78E-01 8.06E-02 4.86E-026.00E-02 5.62E+00 3.46E+00 1.95E+00 1.11E+00 5.57E-01 3.74E-01 2.05E-01 1.06E-01 7.14E-021.00E-01 5.62E+00 3.46E+00 1.96E+00 1.13E+00 5.89E-01 4.12E-01 2.48E-01 1.49E-01 1.13E-012.00E-01 5.62E+00 3.46E+00 1.98E+00 1.18E+00 6.67E-01 5.06E-01 3.57E-01 2.66E-01 2.31E-013.50E-01 5.63E+00 3.47E+00 2.01E+00 1.24E+00 7.80E-01 6.42E-01 5.17E-01 4.45E-01 4.19E-016.00E-01 5.63E+00 3.49E+00 2.06E+00 1.35E+00 9.54E-01 8.50E-01 7.63E-01 7.18E-01 7.03E-011.00E+00 5.63E+00 3.51E+00 2.13E+00 1.50E+00 1.20E+00 1.13E+00 1.08E+00 1.06E+00 1.05E+002.00E+00 5.64E+00 3.56E+00 2.31E+00 1.85E+00 1.68E+00 1.65E+00 1.63E+00 1.63E+00 1.63E+003.50E+00 5.65E+00 3.63E+00 2.55E+00 2.23E+00 2.15E+00 2.14E+00 2.14E+00 2.14E+00 2.14E+006.00E+00 5.67E+00 3.74E+00 2.86E+00 2.68E+00 2.65E+00 2.65E+00 2.64E+00 2.64E+00 2.64E+001.00E+01 5.70E+00 3.90E+00 3.24E+00 3.15E+00 3.14E+00 3.14E+00 3.14E+00 3.14E+00 3.14E+002.00E+01 5.76E+00 4.22E+00 3.85E+00 3.82E+00 3.82E+00 3.82E+00 3.82E+00 3.82E+00 3.82E+003.50E+01 5.85E+00 4.58E+00 4.38E+00 4.37E+00 4.37E+00 4.37E+00 4.37E+00 4.37E+00 4.37E+006.00E+01 5.99E+00 5.00E+00 4.91E+00 4.91E+00 4.91E+00 4.91E+00 4.91E+00 4.91E+00 4.91E+001.00E+02 6.16E+00 5.46E+00 5.42E+00 5.42E+00 5.42E+00 5.42E+00 5.42E+00 5.42E+00 5.42E+00

99

As figuras 39 e 40 apresentam as comparações obtidas da solução de

Neumann (1975) e dos valores numéricos da implementação. Na figura 39 tem-se

uma série de curvas de rebaixamento, referentes a uma distância aproximada do

poço de mr 10≅ , representando as variações em relação ao tamanho do elemento

interceptado nos valores de 0.1m, 0.5m e 1m, sendo, ainda, representado o caso do

poço discreto. A curva da solução de Neumann que se ajustou às séries de

resultados, apresentados na figura 39, é aquela que tem 0.2=λ , sendo 2

=brλ .

Figura 39-Curvas comparativas dos resultados numéricos obtidos com a solução

de Neumann (1975), a uma distância mr 10≅ do poço.

Na figura 40, tem-se as mesmas condições do modelo e os resultados se

referem a uma distância mr 15≅ . A curva da solução de Neumann que se ajustou

às séries de resultados, é aquela que tem 0.5=λ .

Neumann [1972]

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

ua - ub

Wu(

ua,u

b,n)

Neumann (f=2.0) r = 10.19 m / discreto r = 10.67 m / e=0.1 r = 10.64 m / e=0.5 r = 9.97 m / e=1

100

Figura 40-Curvas comparativas dos resultados numéricos obtidos com a solução

de Neumann (1975), a uma distância mr 15≅ do poço.

Observa-se um bom ajuste da curva que apresenta o menor elemento, ou

seja, quanto mais refinada a malha, melhor é o resultado. Porém, o erro existe nos

períodos inicias do rebaixamento, sendo minimizado para tempos maiores, de

acordo com a solução numérica de Neumann (1975).

As figuras 41 e 42 mostram a aplicação do algoritmo em um grupo de oito

poços.

Neumann [1972]

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

ua - ub

Wu(

ua,u

b,n)

Neumann (f=5.0) r = 15.33 m / discreto r = 15.66 m / e=0.1 r = 15.49 m / e=0.5 r = 15.81 m / e=1

101

Figura 41-Visualização do rebaixamento da superfície freática.

Figura 42-Visualização em corte do rebaixamento da superfície freática.

6.2. Elemento de dreno subhorizontal

Na pesquisa bibliográfica efetuada não foi encontrada uma solução analítica

para o caso de drenos subhorizontais, nisto procurou-se aqui propor uma

metodologia de cálculo considerando as propriedades geométricas e hidráulicas de

um elemento de dreno, descritos nos itens 4.53 e 4.54.

102

O estudo desenvolvido por Kenney et al (1977) apresenta algumas

considerações iniciais para um pré-dimensionamento como a primeira estimativa

do número, comprimento e espaçamento dos drenos relacionados com o

acréscimo do fator de segurança. Porém seus modelos não possuem informação

quanto aos parâmetros não saturados para uma possível comparação.

O modelo utilizado para as analises possui dimensões de 10m x 10m x 5m,

em x, y e z respectivamente. As condições de contorno aplicadas às malhas é

carga hidrostática constante em uma das faces ( ).0=x e condição de face de

percolação, segundo Simunek et al (1994), na face oposta ( )10=x (figura 43).

Figura 43-Malha tridimensional para a análise do dreno.

O dreno subhorizontal foi aplicado com diâmetros de

1′′ , ″4/11 , ″2/11 , ″4/31 , 2 ′′ .

x y

z

Face de percolação

Carga hidrostática

NA

103

O modelo apresenta uma região não saturada do solo, sendo necessário

determinar os parâmetros não saturados do mesmo. A característica do solo

empregada está mostrada na tabela 4.

Tabela 4-Parâmetros do solo não saturado de acordo com o modelo de van Genuchten,

para o caso do dreno subhorizontal (Simunek e outros, 1994)

rθ sθ sK n α

0.02 0.3 0.6 1.964 0.41

Os parâmetros foram obtidos dos exemplos do manual do usuário do

programa SWMS (Simunek, 1994), para o solo tipo arenoso.

A figura 44 e 45 mostra as isopressões de um modelo em corte e em

perspectiva, respectivamente, sem dreno subhorizontal, sendo o limite inferior das

isopressões igual à superfície freática.

Figura 44-Isopressão da condição inicial aplicada ao modelo.

104

Figura 45-Vista geral das isopressões da condição inicial aplicada ao modelo.

A seguir são apresentadas as figuras das simulações em corte e em

perspectiva dos drenos subhorizontais com diâmetros de 1′′ , ″4/11 , ″2/11 , ″4/31 , 2 ′′ e

inclinação de 0.05%, aplicado na metade da distância em x.

Figura 46-Corte longitudinal – Dreno 1′′=φ .

105

Figura 47- Corte transversal na saída do dreno – Dreno 1′′=φ .

Figura 48-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno 1′′=φ .

106

Figura 49-Corte longitudinal – Dreno ″

= 41

1φ .

Figura 50-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno ″

= 41

1φ .

107

Figura 51-Corte longitudinal – Dreno″

= 21

1φ .

Figura 52-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno ″

= 21

1φ .

108

Figura 53-Corte longitudinal – Dreno″

= 43

1φ .

Figura 54-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno ″

= 43

1φ .

109

Figura 55-Corte longitudinal – Dreno 2 ′′=φ .

Figura 56-Vista Geral – visualização da superfície freática – Dreno 2 ′′=φ .

110

As figuras 57 e 58 apresentam a instalação de grupos de drenos, sendo a

primeira com dois drenos e a segunda com duas linhas de dois drenos espaçados

de um metro.

Figura 57-Vista Geral – visualização da superfície freática para modelo com 2

drenos subhorizontais com de ″

= 41

1φ , espaçados de 3.333m na horizontal.

111

Figura 58-Vista Geral – visualização da superfície freática para modelo com 4

drenos subhorizontais com de ″

= 41

1φ , espaçados de 3.333m na horizontal e de 1m na

vertical.

112

A figura 59 mostra o crescimento da vazão do dreno em relação ao aumento

do diâmetro aplicado. Observa-se que para diâmetros maiores a vazão tende a ser

constante. O crescimento registrado, quando se compara o resultado do dreno de

1′′ com o de 2 ′′ , é de 9.88%.

Figura 59-Variação da vazão em relação ao diâmetro aplicado, sendo i igual a

inclinação do dreno subhorizontal.

Vazão x Diâmetro

0.3

0.305

0.31

0.315

0.32

0.325

0.33

0.335

2.5 3 3.5 4 4.5 5Diâmetro (cm)

Vazã

o (l/

s)

i =0.05%

113

6.3. Resultados Bidimensionais

Todo o algoritmo passou por uma primeira implementação na versão 2D do

programa de fluxo. Como o comportamento do fluxo em poços e drenos é de

caráter tridimensional, os resultados obtidos são qualitativos e representaria o

valor correspondente a seção média do espaçamento entre linhas drenantes.

O modelo do poço é representado com um domínio de 10 x 5m com uma

carga hidrostática de 4.5m aplicadas nos contornos laterais. Para o modelo do

dreno subhorizontal o domínio tem 5 x 5m com aplicação de uma carga

hidrostática de 5 m no contorno lateral direito, sendo o outro especificado como

face de percolação.

114

CARGA PRESSÃO

+0.00E+000+2.25E-001+4.50E-001+6.75E-001+9.00E-001+1.13E+000+1.35E+000+1.58E+000+1.80E+000+2.02E+000+2.25E+000+2.48E+000+2.70E+000+2.92E+000+3.15E+000+3.38E+000+3.60E+000+3.83E+000+4.05E+000+4.28E+000+4.50E+000

Figura 60-Poço em aqüífero não saturado e inserido em malha discreta.

115

CARGA PRESSÃO

+0.00E+000+2.25E-001+4.50E-001+6.75E-001+9.00E-001+1.13E+000+1.35E+000+1.58E+000+1.80E+000+2.02E+000+2.25E+000+2.48E+000+2.70E+000+2.92E+000+3.15E+000+3.38E+000+3.60E+000+3.83E+000+4.05E+000+4.28E+000+4.50E+000

Figura 61-Poço em aqüífero não saturado e inserido em malha qualquer (Tipo 1).

116

CARGA PRESSÃO

+0.00E+000+2.25E-001+4.50E-001+6.75E-001+9.00E-001+1.13E+000+1.35E+000+1.58E+000+1.80E+000+2.02E+000+2.25E+000+2.48E+000+2.70E+000+2.92E+000+3.15E+000+3.38E+000+3.60E+000+3.83E+000+4.05E+000+4.28E+000+4.50E+000

Figura 62- Poço em aqüífero não saturado e inserido em malha qualquer (Tipo 2).

117

CARGA_PRESSAO

+0.00E+000+2.50E-001+5.00E-001+7.50E-001+1.00E+000+1.25E+000+1.50E+000+1.75E+000+2.00E+000+2.25E+000+2.50E+000+2.75E+000+3.00E+000+3.25E+000+3.50E+000+3.75E+000+4.00E+000+4.25E+000+4.50E+000+4.75E+000+5.00E+000

Figura 63-Dreno subhorizontal discreto na malha, para um tempo de simulação de 0.6 dias.

118

CARGA_PRESSAO

+0.00E+000+2.50E-001+5.00E-001+7.50E-001+1.00E+000+1.25E+000+1.50E+000+1.75E+000+2.00E+000+2.25E+000+2.50E+000+2.75E+000+3.00E+000+3.25E+000+3.50E+000+3.75E+000+4.00E+000+4.25E+000+4.50E+000+4.75E+000+5.00E+000

Figura 64-Dreno subhorizontal discreto na malha, em regime permanente.

119

CARGA_PRESSAO

+0.00E+000+2.50E-001+5.00E-001+7.50E-001+1.00E+000+1.25E+000+1.50E+000+1.75E+000+2.00E+000+2.25E+000+2.50E+000+2.75E+000+3.00E+000+3.25E+000+3.50E+000+3.75E+000+4.00E+000+4.25E+000+4.50E+000+4.75E+000+5.00E+000

Figura 65-Dreno subhorizontal em malha qualquer, para um tempo de simulação de 0.6 dias.

120

CARGA_PRESSAO

+0.00E+000+2.50E-001+5.00E-001+7.50E-001+1.00E+000+1.25E+000+1.50E+000+1.75E+000+2.00E+000+2.25E+000+2.50E+000+2.75E+000+3.00E+000+3.25E+000+3.50E+000+3.75E+000+4.00E+000+4.25E+000+4.50E+000+4.75E+000+5.00E+000

Figura 66-Dreno subhorizontal em malha qualquer, em regime permanente.

&RQFOXVHV

O principal objetivo desta pesquisa foi desenvolver uma ferramenta

numérica capaz de simular o fluxo em meios porosos quanto ao aspecto de

drenagem, implementando os elementos drenantes na malha do solo,

representados por poços e drenos subhorizontais. Os programas de fluxo

utilizados foram SWMS_2D e SWMS_3D (Simunek e outros, 1994 e 1995).

A inclusão da linha drenante na malha de elementos finitos, representando o

poço ou dreno subhorizontal, passa interceptando uma série de elementos finitos,

gerando os elementos drenantes. A estratégia numérica baseia-se no cálculo da

vazão gerada no elemento drenante e a distribuição para os nós do elemento

interceptado, através das funções de interpolação armazenadas na matriz

transformação.

A validação da implementação do elemento de poço foi feita comparando as

soluções analíticas e numéricas que dispunha na literatura. As soluções analíticas

possuem uma série de simplificações impostas ao modelo que, muitas das vezes,

não representam a realidade.

As validações do poço confinado apresentaram resultados satisfatórios

quando comparados com a solução analítica de Theis (1935), e com a solução

numérica de Sudicky et al (1995) que inclui o efeito de armazenamento do poço.

As validações para o caso de poços não confinados foram feitas através de

comparações com a solução aproximada (analítica) de Neumann (1975). Os

resultados obtidos apresentaram uma discrepância, na fase inicial do rebaixamento

(item 6.1.2.2), provavelmente associado ao tamanho do elemento interceptado e

devido a não linearidade da região não saturada do solo. Entretanto, do ponto de

vista pratico, os resultados finais podem ser considerados satisfatórios,

principalmente para a condição de fluxo permanente.

A ferramenta numérica desenvolvida é capaz de analisar o comportamento

de poços em qualquer estratigrafia e topografia. Além de simular o efeito das

condições atmosféricas que alimentam o aqüífero.

122

Para os drenos subhorizontais foi proposta uma metodologia de cálculo,

baseado no comportamento hidráulico do elemento de dreno. Suas validações não

foram realizadas devido à falta de modelo comparativo na literatura, podendo

ainda ser feito em comparação com dados de campo ou, ainda, com modelos

reduzidos em laboratório. O estudo de Kenney et al (1977) visa à aplicação dos

drenos em modelo reduzido, porém seus modelos não apresentam parâmetros

necessários para uma analise comparativa.

Para o elemento de dreno o modelo de cálculo da permeabilidade foi

inspirado pela formulação de Manning, devido ao comportamento do escoamento

podendo ser em seção parcial como em um canal aberto. A equação 4.79 define o

valor da permeabilidade, sendo esta altamente não linear e quando somada à não

linearidade do solo pode-se gerar algumas instabilidades numéricas na hora de

convergir o resultado. Cabe aqui a sugestão de melhorar este modelo adicionando,

se necessário, os efeitos de inércia que podem ser gerados caso as velocidades

forem significativas, já que na hidráulica isto e representativo.

Todo o algoritmo passou por uma primeira implementação na versão 2D do

programa de fluxo. Como o comportamento do fluxo em poços e drenos é de

caráter tridimensional, os resultados obtidos representariam o valor

correspondente à seção média do espaçamento entre linhas drenantes. Como não

existe solução analítica para as validações os resultados são apenas qualitativos.

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