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Hệ Phương Trình - Phần 3
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Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 1
H PHNG TRNH (Phn III)
201. 2
2 2
1 4 3 0
22 9 18 4 3 76
x x y y
x y x
202.
6 3 2 29 28 30
2 3
x y x y y
x x y
203. 2 2
2
3 3
3
x y x x y
x y x x
204.
2 3
2
2 2
1 2
1log 1 1 log 2
x y x y
yx
205.
2 2 2
2
1 3
1 3 0
x x xy y x y
y y xy x
206.
2 2
2
5 0
2 5 1 0
x y xy x y
xy y y
207.
2 2
2 2 3 2
2 2 3 0
2 3 2 6 1 0
x y x y
x xy y x y y
208.
2 2 4 22 4 3 3
227 2 2 5 1 454x
y y x x x
y x x
209.
11 10 22 12
4 4 2 237 13 8 2 . 3 3 1
x xy y y
y x y x x y
210. 2
4
16 2 3
x y x y x y
x y x
211. 2 4 2 4 2
2
2 2 1 2 3 2
3
x y xy y x y
x y x
212.
2 3 2
2 4 3 8 13
x x y
x y
213.
2 263 3
2 2
3 3 2. 3 10 3
2 4 5 3
x y x y x xy y
x x y y
214.
2 2
2 2
1 1 4
6 4 6
x x y y
x x y y
215.
3 3 2
3 3
13 2
42
2ln ln 2ln 03
x y xy y x
y x x x y
216.
2 2
3
3
1 2 1 2 2 1 2
68 15
x y xy
xx y
217.
3 3
2 2
2 2
3 10 12
62 3
x xy y
x yx x y
x y xy
218.
2
1 2
3 3 2
2 2 2 6
x yx
x y x y
x y x y
219. 3 2 3
3
2 4 3 1 2 2 3 2
2 14 3 2 1
x x x x y y
x x y
220.
3 2 22 1 1
1 1 10
x x y x y y
x y y
221.
2 2 3
22 2
2 3 4 0
1 3
x y xy y x y
xy x y xy x y
222.
3 2 2 2 2 2 2
3 2
2 2
2 3 6 12 13
x y x y y x x x y
x x y x
223.
4
2 24 4
3 4
9 7 33ln 0
64 32 8 3
x y x y
x y x yx y x
y
224.
2
2
22 2
2
01
2 1 3
yx y
x x
xx y
y
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 2
225.
2 2
2 2
1 12
2
1 1
2
x yx y
y xx y
226.
2 2
29 2 4
21 9 18
y xx y
x y
x y
y x
227. 3 2
2
2 2 3 5 1 0
3 1 3 14 14
x y x y x y
y x x
228. 30 18 1
45 2 20 2
x y
y x
229.
2
22 2 2 2 2 2
2207 1 1
2 2 4 10 14 5
y y x
x y xy x y x xy y
230. 2
2
2 5 6 7 0
5 4 5 11 12 7
x y y
x y x y
231.
2 2 2 2
4 4
1 13 3
2
1 12
2
x y x yx y
y xx y
232.
2 2
2 2
9
5
5 3
6 5
x x y x
x x y
x x
y y
233.
2 23 2 1 1 4 2 1
3 3
y y x y x y
y y x y
234.
3 3
3 3
3 5 2 6
2 3 3 8
x y xy
x y xy
235.
22 7 10 3 1 1
31 2
1
y y x y y x
y x yx
236. 2 23
1 1 2
7229. 4
x y
xyx y
x y
237.
2
4 2 3 2
1 4 2 5 2 1 5
3 ( ) 6
x y y x
x x y x y y
238. 10 10 4 48
y yx xxy
y x
x y x y
239.
2 2
2 2
2 2
2 2
3
21
2
21
x y x y
x y
y x x y
x y
240.
1 4
2
2 22
x y x y
xx
x y xy
yy
241. 22 2
2
9 9 22 1
2 4 1 0
x x y y
x y y
242.
22 23
2
4 1 32 4
40 14 1
y x x x
x x y x
243.
4 3 4 1
2 3 4 5 4 1
x y y x
y x y x y x x y
244.
2 23 3 14
14 36
x y x y xy
x y x xy y
245. 3 2
2
2 2 1 1
4 2 1 4 1 0
y y x y x
x x y x y x
246.
2
2
2 3 17 13
2 4 10 13
x x xy
y y xy
247.
22 2 1 7 2
4 1 7 3
x y x y x x y
x x y
248.
2 5
3 4
x y xy x y xy
x y xy x y xy
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 3
249.
4 4
3 3 4 4
2 1
2
243
xy x y
x y x y
250.
2
2
1 2
1 5
1 1
1 2
y xy
y
x xy
x
251.
2 2
3 3 3
1 1 1 1 1
3 4 1 0
x y x x y y
x x x y x y
252.
2 2
4 2 2 4
x xy y x y
x x y y x y
253. 3 2
2
2 8 3 3 3 2
2 1 0
x x xy x y y
x x y
254.
2 2 4 2
2 2 3
x y x y
xy xy x y
255.
3
4 2 2
2 4 3 0
2 4 2 3 1 0
x y xy
x y x xy y x y
256. 3 3
1
y x x
x y x
257. 3 3 2 2
2
3 4 4 45
2 3 4
x y y x y xy
xy x y
258.
2
2
12 2 4
1 2 5 2
x y
y y x
259. 3 2 3 2
23
1 3 2 1 3 3
3 5 2 1
x x y x xy y x y y
x y y x
260.
2 2 2 2 1 0
2 2 1
x y x y
x y y
261.
33 2
1 12 2
2 2
ln 2
y xx y
x y
x xe x y y x e
262.
2 2
5 5
3 3
3
31
7
x xy y
x y
x y
263. 2 2
2 2
2 5 3 4
3 3 1 0
x x x y y
x y x y
264.
2 3
2 2
6 2 35 0
5 5 2 5 13 0
x y y
x y xy x y
265.
3 3
3 3 3
8 6 2 6 13
5 2 6 2 1 0
y xy x y x
x x x y x y
266.
2 2
2 2 3
x y xy x y
x y
267.
12
2
2
1
2 9 64 18 20 1
2 9 8
xyx y
x xx x y
x x
268.
32 2 2 2
2 2 3
2
76 20 2 4 8 1
x x y x x y
x y x x
269.
2
2 4 3 2
2 6 5 4 3
2 5 4 4
x x y
x y y y y
270.
3 31 2 9 5
5 1 1 3
xy y xy
xy y y
271.
3 2 2 3 2
2
12 3 7 3 7 2
2 3 5 0
y x xy x x y x y
x xy x
272.
3
2
3 55 64
3 3 12 51
x y
xy y y x
273.
2
2
1 2007
12007
1
y
x
x x
y y
274. 2 23
4 1 4
42 1
x x y
xyx y
x y
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 4
275. 2 2 2
2 2
3 2 5 2 1 2 1 2 2
2 2 4 3
x x x x y y y
x y x y
276.
2 2
2 2 8
2
x y y x
x y
277.
223 3
2
3
3
77 7 0
23 35 98
3 21 7 27
x xy x y x
x xx y x y
x
278.
2
2
1 1 11 2 1 7 2
2 43 1 3 1
xyx y
y x xy
y xy x
279.
2
2
2 2 1 34 2
2 2 1 34 2
x x y xy x
y x y xy y
280.
3 4 2
3 4 2
x y xy x
y x yx y
281.
2 2
3 3
2
2 1 2 log 2 log 2
4 4 32.2 260
x x y
x y
x y
y x
282.
2 2
2 2 2 2
6 3 7
3 6 2
x y y x xy
x x y y x y
283.
2
2 2
1 1
32 1 2 1 0
x x x x y y
x x x y
284. 2
2 4 1 2
12 19
x y
x x y
285. 2 2
2 1 4
1 2 1
x y x y
x x y y y x
286.
2 2 1
2 1 4 3
x y
x y xy
287.
3 2 3 2
2
3 2 3
3 2 8
x x y y
x y y
288. 2
2 4 1 2
12 19
x y
x x y
289.
3
3
2010 2011 2012 2013 1
2010. 4024 2012
x y
x y
290.
3 2 2 2
3 2 2 2
3 1 2
3 1 2
x xy x y xy x
y yx y y xy x
291.
3 3 2
2 2
3 17 27 3 13
6 5 10 0
y xy x x x y
x y xy y x
292.
4
13 4
3 2
x y x
x y x y
293.
2 2
2 2
3 4 18 22 31 0
2 4 2 6 46 175 0
x y xy x y
x y xy x y
294.
3 2 3
1
4 12 9 6 7
xy x y
x x x y y
295.
3 3
2 2
3 2
2
7 4log log 2
2 2
4 2 1 66 11
x
y x
x y
y y x yx y
x
296. 2 2
11 1 1
4
x yx
xyx y x y
x y
297.
4 3 2
4 3 2
2 11 12 41
2 11 12 31
x x y y
y y x x
298.
22
1 2 3 7 2
6 2 7
x x x y
y x y
299. 2 2 2 2 3
5 2 2
1 4 4 1 1 8
8 4 2 0
x x y x y x y
x y x y x
300.
3 4
2 2 3
28
2 18 2
y x x
xy x y x
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 5
CC BI GII
Bi 201: iu kin 3y v 3 4x .
Khng kh pht hin ra hm s phng trnh th nht ca h. Phng trnh th nht ca
h tng ng vi: 2 1 4 3x x y y (*). Xt hm s 2 1f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t nn hm s f t ng bin trn . Mt khc (*) c dng:
2 20 0
3 33 3
x xf x f y x y
y x y x
Th vo phng trnh th hai ta c: 2
2 222 9 3 18 4 3 76x x x (**).
Nhn thy x = 0 v x = 4
3 u khng l nghim ca (**).
Xt hm s 2
2 222 9 3 18 4 3g x x x x trn 4
0;3
. Hm s c o hm:
3 227 16 27 4 4 27
' 36 64 36 369 3 34 3 4 3 4 3
g x x x x x x x xx x x
Vi 4
0;3
x
th ' 0g x (do 4 4
03 3
x x x
v 27
04 3x
) nn hm s g x
nghch bin trn 4
0;3
. Mt khc thy 1 76f nn (**) 21 3 2x y x .
Vy h c nghim duy nht l , 1;2x y Bi 202: iu kin 2 3 0x . Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
26 2 3 2 2 29 28 30 1 3 3 1x x y y y x x y y (*).
Xt hm s 2 1f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t nn hm s f t ng bin trn . Mt khc (*) c dng: 2 2 23 3 3f x f y x y y x . Th vo phng trnh th hai ca h ta c:
2 22 3 3 2 3 3x x x x x x
2 2
2 22
3 0 3 0 3 6
3 1 2 2 13 2 3
x x x x x y
x x x x yx x x
Vy nghim ca h l , 3;6 , 2;1x y Cch gii khc: Khi nhm c mt nghim ca phng trnh l x = 3:
2 22 3 3 6 3 2 3 0x x x x x x 6 23 2 02 3 3
xx x
x
3
23 2 0 2
2 0 (**)2 3 32 3 3
x
x xxx
x
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 6
+) Vi x = 3 th y = 6.
+) (**) tng ng vi 2 2 3 3 2x x .
Vi 3;
2x
th hm s 2 2 3 3g x x x ng bin (d thy khi x tng th
g x tng). Mt khc ta li c 2 0g nn (**) 2 1x y . Cch lm ny c th chp nhn c nhng dng nh cha thuyt phc! Bi v nghim
2x th khng phi ai cng nhm c m phi s dng n my tnh b ti.
Bi 203: iu kin 0x v 2 0x y .
Vi iu kin trn th phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2 22 2 2 2
2 2
33 3
3
x y xx x x y x x y x x
x y x
(*).
Th vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 23 3 3 3x x x x x x . n y bi lm gn ta dng cch nh gi:
+) Nu 0 1x th 2 23 1 3 1 3x x , khng tha mn.
+) x = 1 tha mn.
+) Nu 1x th 2 3 3x x , khng tha mn nt.
Vy x = 1, thay vo (*) ta c: 1 3 8y y .
Vy h c nghim duy nht l , 1;8x y
Bi 204: iu kin 0x v 1
2 0x
1
2x
hoc 0x .
Vi iu kin trn th phng trnh th hai ca h tng ng vi:
2 2 22 22 2
log 1 log 4 1 4 3 2y y xy xx x
.
Lc ny h c vit li thnh: 2 3 2 3
22
1 2 2 2 (1)
3 2 (2)3 2
x y x y x y xy x y
x xyx xy
Cng v theo v ca (1) v (2) ta c:
2 3 2 2 3 2 0x y x xy xy y x xy y xy x y
2 2 20 1 0 1 0x y
x x y y x y x y x y x yx y
+) Vi x = y thay vo (2) ta c: 23
13 2 2 1 0
2
x yx x x x
x y
(tha mn)
+) Vi 2 21 0 1x y y x , thay vo (2) ta c:
23 2 1 2 2 0 1 3x x x x x x (tha mn iu kin).
Nu 1 3x th 26 2
1 2 3 2 32
y x y
.
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 7
Nu 1 3x th 26 2
2 3 2 32
y y
.
Vy nghim ca h l 6 2 6 2
, 1; 1 , 2;2 , 1 3; , 1 3;2 2
x y
Bi 205: Nu x = 0 th h tr thnh:
2
2
30
1 0
y yy
y y
.
Nu x khc 0 th phng trnh th hai ca h tng ng vi: 2 1
3y y
xyx
.
Thay vo phng trnh th nht ca h ta c:
2 2
2 2 2 2 2 4 2 2 21
1 1y y
x x x y x x y y x x yx
4 4 2 2 2 2 2 2 2 20 1 0x y x y x x y x y x y x 2 2 1 0x y x (do 0x nn 2 2 0x y ) 2 21y x x .
Th vo phng trnh th hai ca h ta c:
23
3 0 2 3 0 2 3 01 2
y x x xy x x xy y xy y yx
.
(d thy x = 1
2 th phng trnh trn tr thnh 3 = 0, v l
1
2x )
Li tip tc th vo y phng trnh th nht ta c:
2
2 23 3 31 3 .1 2 1 2 1 2
xx x x
x x x
23 3 3
1 3 01 2 1 2 1 2
xx x x
x x x
2
3 31 . 0
1 2 1 2
xx x x
x x
22 2 4 3 22
91 0 1 2 1 9 0 4 8 3 10 0
1 2x x x x x x x x x
x
23
2 11 2
2 1 4 4 5 03
1 11 2
x yx
x x x x
x yx
(tha mn)
Vy nghim ca h l , 0;0 , 2; 1 , 1;1x y Bi 206: R rng thy y = 0 khng tha mn phng trnh th hai ca h nn y phi khc 0.
Lc ny phng trnh th hai ca h tng ng vi: 2 5 1
2
y yx
y
.
Th x vo phng trnh th nht ca h ta c:
22 2 2
25 1 5 1 5 1. . 5 02 2 2
y y y y y yy y y
y y y
2
2 2 2 2 25 1 2 5 1 . 2 5 1 20 0y y y y y y y y (nhn hai v vi 4y)
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 8
2
4 2 2 3 5 5 1 5 13 1 02 2 2
y y y y
hoc 5 1
2y
5 1 5 5
2 2
5 1 5 5
2 2
y x
y x
hoc
5 1 5 5
2 2
1 5 5 5
2 2
y x
y x
Vy h c bn nghim l 5 5 5 1 5 5 5 1
, ; , ;2 2 2 2
x y
Bi 207: Ly phng trnh th hai tr i phng trnh th nht v theo v ta c:
2 2 3 22 2 2 3 3 2 6 1 0xy y x y y x y y 2 2 3 22 2 2 3 3 2 6 1 0xy xy x y xy x y y
22 3 22 2 3 1 0 1 2 1 2 1 1 0xy xy x y y x y y y y
1
1 2 1 1 0 1 12
y y x y y y y x .
+) Vi 1y , thay vo phng trnh th nht ca h ta c: 2 3 0 3x x .
+) Vi 1
2y , thay vo phng trnh th nht ca h: 2
3 3 2 33
4 2x x x
.
+) Vi 1y x , thay vo phng trnh th nht ca h:
22 2 22 3 1 0 4 6 3 0x x x x x , v nghim do 0 .
Vy h c bn nghim l 3 2 3 1, 3; 1 , ;2 2
x y
Cch gii khc: Phn tch h a hai phng trnh trong h v dng:
2 2
2
2 2 0
2 3 1 0
x y x y
x y x y
n y ta t n ph a x y v 22b x y gii h hai n.
Dng nh cch gii ny c v c h thng hn, bi v khng d g pht hin c vic phi tr hai v ca h cho nhau. Bi 208: iu kin 2 5 2y x . Bin i phng trnh th nht:
2 2 4 2 3 6 2 42 4 3 3 8 6 3 0y y x x x y x x y x
2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 22 4 2 3 2 0 2 4 2 3 0y x y yx x x y x y x y yx x x
22 2
22 2 4 2 2 2 2
22 0 2
04 2 3 0 3 3 0
y xy x y x
x yy yx x x x y y x
R rng x = y = 0 khng tha mn phng trnh th hai ca h, loi.
Th 22y x vo phng trnh th hai ca h ta c: 2227 2 5 1 454x x x x (*).
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 9
Xt hm s 2227 2 5 1xf x x x x trn .
o hm 22
1' 227 . 1 2 5 1 .227 ln227
2 5
x xxf x x x xx x
.
2
2
2
1 2 5' 227 . 2 5 1 .227 ln227
2 5
x xx x xf x x x xx x
.
22
1' 227 1 2 5 ln227
2 5
xf x x x xx x
.
Ta c:
2 2 2
1 1 1 1ln227 ln227 0
22 5 2 51 4x x x xx
.
2 221 2 5 1 1 5 1 1 1 1 0x x x x x x x x x .
T hai iu ny suy ra ' 0f x x . Mt khc 1 454f nn phng trnh (*) c
nghim duy nht l 2 1
12 2
xx y .
Vy nghim ca h l 1
, 1;2
x y
Bi 209: Vi y = 0 th thay vo phng trnh th nht ta c x = 0. R rng cp s ny khng tha mn h, vy nn ta phi c y khc 0.
Lc ny chia hai v ca phng trnh th nht cho 11y ta c:
11
11x x y yy y
(*).
Xt hm s 11f t t t trn . o hm 10' 11 1 0f t t nn ng bin trn . Mt
khc (*) li c dng 2x x
f f y y y xy y
(suy ra x > 0).
Th vo phng trnh th hai ca h ta c:
2 2 23 32 3 27 13 8 3 1
7 13 8 2 . 3 3 1 2. 3x x x x x xx x x x x
33 2 2 2
8 12 10 1 3 1 33 3 2. 3
x x x x x x x
3
32 2
2 2 1 3 1 31 2. 1 3 2. 3
x x x x x x
Xt hm s 3 2g t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 2 0g t t nn hm s g t ng bin trn . Mt khc (*) c dng:
3
3 32 2 2
2 1 3 2 1 3 2 1 31 3 1 3 1 3g g
x x x x x x x x x
3 2 2
8 13 3 1 8 1 1 5 892 0 1 5 2 0 1
16x
x x x x x x x
.
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 10
Do x > 0 nn 1
0x , ta ch ly
1 5 89 5 89 5 89
16 4 2x y x
x
.
Vy nghim ca h l 5 89 5 89
, ;4 2
x y
Bi 210: iu kin 4, 3x y x v 4x y .
Bnh phng hai v phng trnh th nht ca h ta thu c:
22 2 22 2 4 2 2 2 4x x y x y y x x y y x x y (do 3 2y x x ) 2 4 4 0 4 4 0 4 4 0y xy y y y x y x (do 3 0y x ) 4 4y x .
Th vo phng trnh th hai ca h ta c:
2 216 2 4 16 3 1 4 0x x x x
2
2 2
25 5 5 10 5 0
1 4 1 416 3 16 3
x x xx
x xx x
5x (tha mn)
(D thy 2 2
5 5 5 11
3 1 416 3 3
x x x
x xx x
nn biu thc trong ngoc vung lun
dng) Vi x = 5 th ta tm c y = 16.
Vy nghim ca h l , 5;16x y
Bi 211: iu kin 2x y v 2 4 2 42 1x y xy y .
Thy rng 2
2 4 2 4 2 42 1 1x y xy y xy y , nn khi ta nhn lin hp vi lng cha
cn v tri phng trnh th nht th s c dng hiu ca hai bnh phng chnh l
2
2 41 9xy y . Biu thc ny li c lin h vi 23y v tri, v vy ta th thc hin php
nhn lin hp. iu ch l khi thc hin php nhn lin hp ny th phi ch n iu kin ca biu thc lin hp khc 0. (+) Nu y = 0 th phng trnh th nht ca h tr thnh: 2 1 0 , v l! (+) Nu y khc 0 th phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2 4 2 4 2 22 1 2 2 2 3 2 0x y xy y y x y
22 4
2 2
22 4 2
1 92 3 1 0
1 2 2
xy yy xy
xy y y
2 2 2 2
2 2
22 4 2
1 3 1 32 1 3 0
1 2 2
xy y xy yxy y
xy y y
2 22 2
22 4 2
1 31 3 2 0
1 2 2
xy yxy y
xy y y
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 11
2 22 2
22 4 2
1 31 3 0 (*) 2
1 2 2
xy yxy y
xy y y
(**).
mch gii c lin tc ta s x l (**) trc. Nhn thy phng trnh ny l phng trnh
ng bc nn d nhn ta t 2 1a xy v 2b y 1; 0a b . Lc ny (**) tr thnh: 2
2 2
2 22 2 4 2 1 2 1 4 2
2 2
a b a aa b a b b
b ba b b
(***).
t 1a
t tb
th phng trnh (***) tr thnh:
2
222
4 2 1 4 2 11 4 2 2 1
3 2 4 2 1 37 8 2 01 4 2 4 1
t tt t
t tt t
H ny v nghim, tc l (**) khng xy ra.
Vy 2 2 2 21
1 3 0 3 13
xy y y x yx
(d thy x khc 3).
Th vo phng trnh th hai ca h ta c:
2
22
31 1 3
3 3 1 33 3 3
3
xx x
x x x x xx x x
x
3 223 3 2
2 8 14 03 1 3 0 4 2
x x x
x x xx x x x
+) Vi x = 2 th 2 1 1y y , tha mn cc iu kin.
+) Vi 4 2x th 2 2 1 1 2y y , tha mn cc iu kin.
Vy h c cc nghim l 2 ; 1 , 4 2 ; 1 2x Cch gii khc: u tin ta cng c th t n ph a , b nh trn v a phng trnh th nht
v dng: 2 2 2 2 2 6a b a b v gii phng trnh ng cp ny cng thu c kt qu nh trn.
Bi 212: iu kin 0 , 8x y v 2 3 0x y .
p dng bt ng thc CauchySchwart:
2
2 2 213 2 4 3 8 2 3 4 8 1x y x y x y (*).
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2 2 2 23 2 3 4 1 2 3 1x x y x x y x y x x x y (**). T (*) v (**), ta c du ng thc cc bt ng thc trn phi xy ra, tc l:
2 2 3 00
84 1
2 3
x x x yx
yx y
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 12
Th li thy y l nghim ca h.
Nh vy h c nghim duy nht l , 0 ;1x y
Bi 213: iu kin 2 23 10 3 0 3 3 0x xy y x y x y .
Nhn xt thm 3 33 3 0x y x y , kt hp vi iu kin ta c 3 0
3 0
x y
x y
(*)
Lc ny phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2
3 6 6 3 6 63 2. 3 . 3 3 0 3 3 0x y x y x y x y x y x y
6 63 3 3 3x y x y x y x y x y .
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 22 4 5 3x x x x (**). Ta gii nhanh (**) bng cch nhn lng lin hp:
(**) 2 2 22 4 5 4 1 2 4 5 2 1x x x x x x x x
22
2 2
2
4 5 22 2 4 5 2 4 5 4
4 5 2
x x xx x x x x x x
x x x
2 4 9 0 2 15x x x .
(+) Nu 2 15x th 2 15y , khng tha mn iu kin (*).
(+) Nu 2 15x th 2 15y , tha mn iu kin (*).
Vy nghim ca h l , 2 15;2 15x y Bi 214: iu kin 2 1y y .
H ny thc ra l mt h d, nhng vi v b ngoi li nhn c v khng d!
Tht vy nu ta t 2 1a x x v 23
1 , 04
b y y a b
th h tr thnh:
2 22 22 2
4 44
5 4 5 6 4 5 6 55 5 6
b a b aa b
a a a aa b
2 2
2 2 2 2
4 4
5 6 31
4 5 36 5 12 5 2 5 3 5
b a b a
a a
a a a a a
2 22
4 4
2 2 231 31
25 55 20 20 02 5 9 5
b a b a
aa a
b
a aa a
(tha mn)
Vi 2a b th
2
2 2 2
2
1 13
3 0 21 1 4
5 0 1 21
2
xx x
x x y y ay y
y
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 13
Vy h c bn nghim l 1 13 1 21
, ;2 2
x y
Bi 215: iu kin , 0x y v 2ln 0x y . Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2 2 2 21 1
3 0 3 04 4
x y x xy y x y x y x xy y x y
.
(d thy 22 2 2 21 1 5 1 13 0
4 2 2 2 4x xy y x y x y ).
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 3 32
2ln ln 2ln 03
x x x x x .
3 3 32ln 2ln 2ln 2ln 2lnx x x x x x x x x (*). Xt hm s 3 2lnf t t t t trn 0 ; .
Hm s c o hm: 22
' 3 1 0 0;f t t tt
nn hm s ng bin trn 0 ; .
Mt khc (*) c dng 33 32ln 2ln 2ln 0f x f x x x x x x x x (**). Tip tc xt hm s 3 2lng x x x x trn 0 ; .
Hm s c o hm: 22
' 3 1g x xx
.
Ta c: 3
3 23 2' 0 0 3 2 0 1 3 3 2 0 1x x
g x x x x x x xx
.
Lp bng bin thin, ta thy 1 0g x g . Phng trnh (**) li c dng 0g x nn n phi tng ng vi x = 1. T y suy ra y = 1.
Vy nghim ca h l , 1;1x y
Cch gii khc: Khi gii (*), c th t n ph 3 2lny x x v a v h i xng: 3
3 3
3
2ln2ln 2ln
2ln
x y yx x x y y y
y x x
(tr hai phng trnh trong h).
T y tng t ta cng xt hm v suy ra rng x y .
Bi 216: iu kin 1 2 0xy . Ta s dng bt ng thc x l phng trnh th nht:
2 2 222 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2x y x y x y (*).
(y l bt ng thc vct thng c s dng).
Ta li c 222
1 1 2 2 4 2.2 2 1 2 2 1 2x y xy xy xy (**).
T (*) v (**) ta suy ra 2 21 2 1 2 2 1 2x y xy .
Nh vy nn phng trnh th nht ca h phi tng ng vi: 00
x yx y
xy
.
Th vo phng trnh th hai ta c:
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 14
3 6 2 6 23
68 1568 15 15 2 17 0x x x x x
x x
2 4 2 217 . 17 2 0 17x x x x ( loi 2 17 3 02
x
, v l).
4 17x .
n y ta kt lun h c hai nghim l 4 4 4 4, 17 ; 17 , 17 ; 17x y Cch gii khc: C nhiu cch dng bt ng thc chng minh bt ng thc trn, v d l dng bin i tng ng phng trnh th nht (bnh phng hai v):
2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 4 1 2x y x y xy
2 2 2 21 1 2 1 2 2 4x y x y xy .
Ta c:
2 2
2 2
1 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 (Cauchy Schwart)
x y xy
x y xy xy
T y ta cng suy ra x y 0 .
Bi 217: iu kin 0xy v 2 2 0x y .
Nhn thy trong tt c ba s hng phng trnh th hai ca h (khng k h s t do) th chng u c bc l 1. Nhn xt thm phng trnh th nht ca h c v phi cha mt a thc bc 1. V vy ta hon ton c th a h phng trnh trn v dng ng cp. V bi gii c gn hn, ta s nh gi nh sau:
Bin i phng trnh th hai ca h: 2 2
2 2
2 26 . 2 3 0
x y xyx x y x y
x y xy
(*).
Ta thy rng nu x < 0 th 0y . Lc ny th 2 2
2 26 . 0
x y xyx x y
x y xy
, mu thun (*).
Nh vy ta phi c 0 0x y . Th s 3 phng trnh th hai nh sau:
3 3
2 2
2 2
6 3 102
4
x y x xy yx x y
x y xy
3
3 2
2 2
2
36 1 10 1
2 14
1
x x x
y y yx x
x xy y
y y
(*) (do 0y ).
n y ta t 0x
ty
th (*) tr thnh:
3
2
2
6 1 3 10 12 1
1 4
t t tt t
t t
(**).
n y ta nhm c nghim l t = 1. Th nhng nu dng nhn lin hp thng thng th dng nh cng khng c kt qu. S dng o hm cng khng kh quan. Ta ngh n s
dng bt ng thc. Bin i (**) thnh:
3
2
2
6 11 52 1
4 1 2
tt tt
t t
(***).
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 15
Ta s phn tch mt cht s dng bt ng thc. Th cc gi tr ca x vo th ta thy rng v tri ln hn v phi. Nh vy ta s chng minh v tri ln hn hoc bng v phi. C thm cc nhn xt sau: Bc cao nht ca v tri l bc nht. V bc cao nht ca v phi cng l bc nht. V phi cha n hai du cn lm ta lin tng n vic s dng bt ng thc Cauchy,
nhng mt iu rc ri khi s dng bt ng thc Cauchy vi s hng 22 1t th s lm
tng bc ca n (thnh bc hai, c th: 2
2 2 12 12
tt
). V vy khi chng minh th ta
nn bnh phng hai v ln. V gn gng th ta s c gng quy s hng 5
2
t b hn hoc
bng mt bi no ca 22 1t vic bnh phng tr nn gn nh.
Ta c: 2
25 5 1 5. . 2 12 2 2 4
t tt
, t y suy ra: 2 2
5 92 1 . 2 1
2 4
tt t .
By gi ta s i chng minh rng: 3
2
2
6 19 1. 2 1
4 4 1
ttt
t t
(1).
Tht vy bt ng thc trn tng ng vi:
(1) 2 2 2 39 1 2 1 1 1 24 1t t t t t t t
2 2
2 2 3 281.2 1 1 25 2 2 25t t t t t t
6 5 4 3 2436 244 544 610 544 244 463 0t t t t t t
2 4 3 21 463 702 379 702 463 0t t t t t , lun ng.
Vy (1) lun ng. Suy ra 3
2
2
6 15 12 1
2 4 1
tt tt
t t
. Vy nn nu mun c (***) th
du bng ti (1) phi xy ra, tc l t = 1. Th li t = 1 tha mn (***). Vi t = 1 th x y . Thay vo phng trnh th nht ca h tm c x = y = 1. y cng chnh
l nghim duy nht ca h.
Vy nghim ca h l , 1;1x y Nhn xt: Bi ton trn s dng phng php ng bc, kh rc ri v mt bin i. Li gii c th gn hn nh sau:
Ta c: 12 3 10 3 10. 8 4 2 32
x yx xy y x y x y x y
.
Suy ra 2 2 2 22 3 2 2x y x y x y . Ta s chng minh:
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
6 62 2 2
x y x yx y x y x x y x y
x y xy x y xy
.
chng minh iu ny ta i chng minh mt kt qu mnh hn l:
3 3
2 2 2 2 2 2 3 3
2 2
62 2 2 3
x yx y x y xy x y x y
x y xy
(2).
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 16
Chia hai v ca (2) cho 3y v t x
ty
th (2) tr thnh:
2 2
2 2 3 2 2 31 2 1 3 1 2 1 1 9 1t t t t t t t t
26 5 4 3 2 4 3 27 4 8 10 8 4 7 0 1 7 10 5 10 7 0t t t t t t t t t t t , lun ng.
* Bi ton gc ca bi h trn c bi l
3 3
2 2
2 2
3 10 12
62 3
x xy y
x yx x y
x y xy
Vi bi nh th ny th chng ta s khng p dng c bt ng thc Cauchy cho s hng
10 xy ging nh trn do khng bit x , y dng hay m. Tht vy, nu x khng m th c th
p dng, th nhng ta thy nu x m th bt phng trnh th hai nm trong h s lun ng, tc l xem nh bt phng trnh cho ta mt iu hin nhin. Lc ny, x m th y s m, v t ta s tm c v s nghim ca phng trnh th nht ca h, tc l h c v s nghim. Bi 218: iu kin 3 , 0x x v 0y .
Vi iu kin trn th phng trnh th nht ca h l phng trnh ng cp.
t y tx ( 0t ) th phng trnh th nht ca h tr thnh:
2 2
22 2
2 2 2 2 2 2 2 22
1 2 2 1 2 12 3 1
3 3 2 3 3 22
x x tx t t t tt t t
x t x x t x t x t tt x
24 3 2 23 4 0 2 1 0 2 0 2 2t t t t t t t t y x (x > 0) Th vo phng trnh th hai ca h ta c:
2
2 2 22 2 2 2 6 4 4 8 2 6 4 8 2 6x x x x x x x x x x
2
2 2 21 1 1 14 8 2. 4 8 . 2 6 2. 4 8 .2 4 2 4
x x x x x x x
2 2 2
2 2 21 25 1 54 8 4 10 4 8 22 4 2 2
x x x x x x x
22
22
1 54 8 2
4 6 2 02 2
1 5 4 10 3 04 8 2
2 2
x x xx x
x xx x x
H thng trn ch c duy nht mt nghim dng l 23 17 13 3 17
4 4 32
xx y
.
Vy nghim duy nht ca h l 17 3 13 3 17
, ;4 32
x y
Bi 219: iu kin 2x v 3
2y .
Nhn xt rng x = 0 lm phng trnh th nht ca h tr thnh iu v l nn suy ra x khc 0.
Vi x khc 0 th ta c th chia hai v ca phng trnh th nht cho 3x ta c:
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H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 17
2 3 24 3 1 1 2 1
2 2 2 3 2 2 1 4 2 3 2y y y yx x x x x x
(*).
Xt hm s 2 1f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t nn hm s ng
bin trn . Mt khc (*) c dng 11 3 2f f yx
nn (*)
11 3 2y
x .
Th vo phng trnh th hai ca h ta c:
3 33
12 14 1 1 2 15 1 2 15 1 0x x x x x x
x
(**).
Xt hm s 32 15 1g t x x trn D 2; .
Hm s lin tc trn D v c o hm
2
3
1 1' 0 D \ 2;15
2 2 3. 15
g t xx x
nn
g t ng bin trn D. Mt khc ta c 7 0g nn (**) 7x .
Vi x = 7, thay li ta c: 1 49 143
1 3 2 3 27 64 128
y y y .
Vy nghim ca h l 143
, 7;128
x y
Bi 220: iu kin 21 , 2 1 0y x y v nhn xt thm 1 0 1x y x y .
Vi iu kin trn th phng trnh th nht ca h tng ng vi:
22
3 2 2 2
2
2 1 12 1 1 0 0
2 1 1
x y yx x y x y y x x y
x y y
2 22 2
2 20 0
2 1 1 2 1 1
x y x yx x y x y x x y
x y y x y y
.
(vi 1x y v 1 0y th biu thc trong du ngoc vung lun dng).
Vi x = y, th vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 1 1 10x x (*).
t 21 0 1t x x t . Phng trnh (*) tr thnh:
2 3 22 3 10 2 3 10 0 2 2 4 5 0 2t t t t t t t t (tha mn). Vi t = 2 th x = y = 3.
Vy nghim ca h l , 3;3x y Bi 221: Bi ton ny tng t cu 3 thi tuyn sinh i hc khi A nm 2011 2012. Phng trnh th hai ca h tng ng vi:
2 2 2 2 2 21 1 1 0xy x y xy x y x y xy xy 2 2 2 21 1 0 1 1xy x y xy x y .
(+) Nu xy = 1 th th ln phng trnh th nht ca h ta c:
2 2 3 2 2 3 2 22 3 4 0 3 6 3 0 3 2 0x y xy y xy x y x y xy y y x xy y
2 2
3 0 0y x y x y x y (d thy vi xy = 1 th y khc 0).
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 18
Th x = y tr li vo xy = 1 ta c: 21 1
11 1
y xy
y x
(+) Nu 2 2 1x y , th ln phng trnh th nht ca h ta c:
2 2 3 2 2 3 2 2 32 3 4 0 4 5 2 0x y xy y x y x y x x y xy y (*). +) Nu y = 0 th thay vo (*) ta c x = 0. Cp s ny khng l nghim ca h.
+) Nu y khc 0 th chia hai v ca (*) cho 3y ta c: 3 2 2
3 2 2
4 5 2 41 0 1 1 0 1 0 1
x x x x x x x xy x
y y y y y y y y
.
(d thy
22
2
4 1 11 1 0
2 2
x x x
y y y
).
Vi y = x, thay vo 2 2 1x y ta c 2
2 2
2 22 1
2 2
2 2
x y
x
x y
Vy h c cc nghim 2 2 2 2
, 1; 1 , 1;1 , ; , ;2 2 2 2
x y
Bi 222: Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
3 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0 1 1 2 1 0x y x y y x y x x x y x y x x x
2 2 2 2 2 21
1 2 02
xx x y y x
x y y x
+) Nu x = 1 th thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 13
1 6 253
y y
.
+) Nu 2 2 2 2x y y x (d thy x 0) 2
2 2 2
2 2
2 11 2 1
1 1
x xy x x y
x x
.
T y cng suy ra 1 1y 1 0y .
Phng trnh th hai ca h li c vit li thnh:
23 22 3 12 7 6 6 0 2 7 1 6 1 0x x x y x x y (*). Do x 0 v 1 0y nn v tri ca (*) lun khng m, v vy nn:
(*)
212 7 1 0
11 0
xx x
yy
Th li thy chnh l nghim ca h phng trnh.
Vy h c hai nghim l 13
, 1; 1 , 1;3
x y
Bi 223: iu kin 3 3 0x y . t t = x + y th phng trnh th nht ca h tr thnh:
24 4 23 4 4 3 0 1 2 3 0 1t t t t t t t t .
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 19
(khng kh nhn thy rng 22 2 3 1 2 0t t t )
Vi t = 1 th x + y = 1 1y x . Thay vo iu kin ta c:
3 1 3 0 3 2 0 2 3x x x x x . Tng t ta cng tm c iu kin ca y l 2 3y .
Vi iu kin trn th phng trnh th hai ca h tng ng vi:
2 24 4 9 7
3ln 3 3ln 3 064 32 8
x y x yx yx y
4 2 4 29 7 9 7
3ln 3 3ln 364 32 8 64 32 8
x x x y y yx y (1)
Xt hm s 4 29 7
ln 364 32 8
t t tf t t trn D 2;3 . Hm s c o hm:
2 23 4 3 2 1 69 7 3 3 9 13 6' 0 D
16 16 8 3 16 3 16 3
t t tt t t t t tf t t
t t t
Nh vy vi t thuc D th hm s f t nghch bin. Mt khc phng trnh (1) c dng
f x f y x y . Kt hp vi 1x y th ta tm c 1
2x y .
Vy nghim ca h l 1 1
, ;2 2
x y
Bi 224: iu kin 0y .
H c vit li:
2
2 22
2 2
22 22
22 2
2
11 00
1
2 1 32 1 3
y x xx y x x yx y
x xx
x yxyx y
y
22
222 2 2
2
1 01 0
2 2 1 2 3 2 1 3
xxy x xx x y
yy
x xy x x x y x xy y
t x
a yy
v 21b x x th h trn li tr thnh:
2 2
0 1 3
1 32 3 2 3 0
a b b a a a
b ba b a a
(+) Nu
2 2
22
1 0
1 111
11 1 1 1
1 1
xx x
y ya xy y yb y
x x x xx x
0
1
x
y
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 20
(+) Nu 23
1 33
ax x
b
.
iu ny v l do 2 21 x x x , tc l 21 x x lun dng.
Vy h c nghim duy nht , 0;1x y Bi 225: iu kin 0x v 0y .
Nhn thy h trn c dng ng cp, th nhng nu ta gii theo kiu ng cp th s thu c mt phng trnh ng cp bc 4. Th nhng, nghim ca phng trnh ny rt l, khng th dng phng php thng thng gii n mt cch ngn gn c. Bi h phng trnh ny c cch gii ring ca n. l:
Cng v theo v hai phng trnh ta c: 2 2 3 22
3 3 2x y x xyx (1).
Ly phng trnh th nht tr i phng trnh th hai v theo v ta c:
2 2 2 31 3 3 1x y x y yy (2).
By gi ta tip tc cng (1) vi (2) v theo v ta c:
33 2 2 3 33 3 3 3 3x x y xy y x y x y (3).
Ly (1) tr i (2) v theo v ta c: 33 2 2 33 3 1 1 1x x y xy y x y x y (4).
Kt hp (3) v (4) ta c h:
3
3
3
3 1
3 2
1 3 1
2
xx y
x yy
Vy nghim ca h l 3 33 1 3 1
, ;2 2
x y
Bi 226: iu kin 20 , 0 , 2 0x y y x v 29 0x y .
Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 2 2
2 2 2 2
2 18 18 2 189 18 9 9 2
x y x y x yxy
xy y x y x xy y x .
t 9y
a xx
v 2x
b yy
, 0a b th ta c:
2 22 2 2 189 9 2 2 2 4 2
y x x ya b x y xy ab
x y y x
(do , 0a b )
Phng trnh th nht ca h tr thnh: 2 4a b .
Nh vy ta c h 2
4 2 4 22 4 1
4 2 22 22 4 2 0
a b a ba b b
b bab ab b
(tha mn)
222 2
22 2 2 22
9 4 4 99 4 4 9
2 2 2 0 4 9 2 4 9 01
yx a y x xx y x y x xx
x y x y y x y x x x x xy by
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 21
22
24 3 2
4 94 9
9 1 9 7 2 081 72 25 2 0
y x xy x x
x x x xx x x x
1
0 9
0 1
3
xx
yy
Nh vy h cho c hai nghim l 1 1
, 0;0 , ;9 3
x y
Bi 227: iu kin 1y .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
3 2 2 23 3 3 5 5 5 0x x y x x xy x x y 2 1 3 1 5 1 0x x y x x y x y
2 3 5 1 0 1 0x x x y x y (do 2
2 3 113 52 4
x x x
)
1y x . Th vo phng trnh th hai ca h ta thu c: 23 3 14 14x x x (*).
t 0t x t th (*) tr thnh:
4 2 22
2 4 3
3 3 14 14 1 2 3 9 7 0 1 1 0
3 9 7 0 (VN)
t x y
t t t t t t t t x y
t t
Vy h c hai nghim l , 1;0 , 4;3x y
Bi 228: iu kin 45
182
y
v 30 20x .
H phng trnh ny khng h kh, ch c iu hnh thc ca n lm chng ta hi s. Tht
vy, ta t 30a x v 18b y (iu kin 0 5 2a v 9 2
02
b ) th:
2 2 2
2 2 2
18 18 45 2 81
30 30 20 50
b y y b y b
a x x a x a
H ban u tr thnh: 2
2 22
1
81 2 50 2
1
81 2 1 50 2 (1)
b a
a
b
a
a
b a
(1) 2 22 2 281 2 1 50 2 81 2 1 50 4 4 50a a a a a
2
2 2 2 225 4 4 50 (*) 25 4 16 50a a a a a a
4 3 28 18 200 175 0 5 1 5 7 0a a a a a a a a 5 1 5 7a a a a .
Th li vo iu kin ca a , kt hp vi vic th li vo (*) ta ch ly cc nghim:
+) 29
1 018
xa b
y
+)
55 4
2
xa b
y
+) 19
7 618
xa b
y
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 22
Nh vy h c ba nghim l , 29;18 , 5;2 , 19; 18x y Bi 229: iu kin 0 1x v 0y .
+) Nu x = 0 th thay vo phng trnh th hai ta c: 2
2 2 22 .5 0y y y y . Th li y
chnh l nghim ca h.
+) Nu x khc 0, t 0y tx t . Lc ny phng trnh th hai ca h tr thnh:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 4 10 14 5x t x tx x t x x tx t y
2 2
4 2 4 2 2 2 2 22 2 4 5 14 10 2 2 4 5 14 10x t t x t t t t t t t t
2
2 2 2 4 3 22 2 4 5 14 10 10 37 60 36 0t t t t t t t t t
2 2
2 3 0 2 3t t t t (tha mn).
li gii c ngn gn th ta s bin i phng trnh th nht thnh:
2
2
1 12207 2207 .
1 1 1 1
x xy y y y
x x
2207 2207 2207
1 1 21 1
yy
x x
hay chnh l
2207
2t . iu ny cho thy hai nghim t
trn u khng tha mn.
Vy nghim duy nht ca h l , 0;0x y
Bi 230: iu kin 2 4 5 0x y .
Vi bi ton ny ta s s dng mt n gin nhng li t c s dng, l rt th. Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2
2 2 2 2
2
5 72 6 5 7 2 6 5 7
2 6
xx y y x y x x y
x
.
Th vo phng trnh th hai ca h ta c:
2 2 4 2 3 2
2
2 2 2 2
4 5 7 12 5 7 2 1 11 23 33 215 5 11 7 5
2 6 2 6 3 3
x x x x x x xx x
x x x x
2
2
2 2
2
15 3 1 11 12 21
3
xx x x x
x
(1).
Nhn thy v tri lun khng m nn v phi cng khng m. Ta li c 211 12 21 0x x (v n l mt tam thc bc hai c h s a > 0 v 0 ), nn t suy ra 1 0x , tc 1x .
(1) 2 2 25 1 3 1 11 12 21x x x x x
2 25 1 1 1 1 11 12 21x x x x x x
22 2 22 2
11 0
25 1 1 11 12 21 (*)5 1 1 11 12 21
xx
x x x xx x x x
+) Nu x = 1 th y = 3
2
.
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 23
+) Gii (*) 4 3 296 314 556 554 146 0x x x x (**).
Xt hm s 4 3 296 314 556 554 146f x x x x x trn 1; .
Hm s c o hm: 3 2 2 2' 384 942 1122 554 2 1 192 279 277f x x x x x x x , lun dng vi mi 1;x , suy ra f x ng bin trn 1; . Mt khc ta c 1 210 0f nn phng trnh (**) v nghim.
Nh vy nghim ca h l 3
, 1;2
x y
Bi 231: Tng t Bi 225, th vic gii phng trnh ny theo kiu ng cp li kh khn hn (do h ny ng cp bc 6!). Ta p dng cch gii cng tr i s. iu kin , 0x y .
Cng v theo v hai phng trnh trong h ta c:
4 4 2 2 2 2 4 2 2 4 5 3 2 42 2
2 2 3 3 10 5 10 5 2y x x y x y x x y y x x y xyx x (1).
Ly phng trnh th nht tr i phng trnh th hai v theo v ta c:
2 2 2 2 4 4 4 2 2 4 5 2 3 41 1
3 3 2 2 10 5 10 5 1x y x y x y y y x x y x y x yy y (2).
Ly phng trnh (1) cng vi phng trnh (2) v theo v ta c:
55 4 3 2 2 3 5 55 10 5 3 3 3x x y x y x y y x y x y .
Ly phng trnh (1) tr i phng trnh (2) v theo v ta c:
55 4 3 2 2 3 55 10 5 1 1 1x x y x y x y y x y x y .
Ta c h: 5 5 53 1 3 1 3
, ;2 21
x yx y
x y
Nh vy h c duy nht mt nghim l 5 51 3 1 3
, ;2 2
x y
Bi 232: iu kin 2 20 , , 5x y x x y y .
Nhn thy v tri ca phng trnh th nht c bc 0, cn v phi li l bc nht. V nu ta thay c v phi bng mt a thc bc 0 th n s tr thnh mt phng trnh ng cp, d lm hn rt nhiu. Phng trnh th hai ca h tng ng vi:
9 6
6 5 5 3 9 30 5 15
x xx y y x xy x y
y (1).
Th ln phng trnh th nht ca h ta c:
22 2
2 2 2 2 2 2
2 22 2
2 26 6 61 1 1
x x yx x y x x x y yx x x
y y y y yx x y
2 2 2 2 2 22 2
2 2
2 2 6 3. 1 1 . 3 0
x y x y x yx x x x x x x x
y y y y y y y y y y y
(2)
Nhn xt rng 0x y nn 0x
y . Mt khc ta bin i nh trn th thy rng:
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 24
2
2 2
2
9
5
x x y x
y
nn 0x . Kt hp vi (1) ta suy ra 0y .
Nh vy (2) 2 2 2
22 2
2
35
3 0 1 33
1 3
x
yx yx x x x
y y y y yx x
y y
.
Vi 5
3
x
y , thay vo (1) ta tm c
9 39 5 3
5 5
x xx y (tha mn iu kin).
Vy h c nghim , 5;3x y
Bi 233: iu kin 2 2 1 0x y .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2
22 2 2 2 2 24 4 2 1 2 1 2 2 2 1y y x y x y x xy y y x y x y
2
2
2
2 12 2 1
3 2 1
x y x yy x y x y
y x x y
2
2
2 2
00 3 0
2 2 1
3 0
9 6 2 1
2 1 9 2 1
2 6
y xy x y x
y xy y
y x
y
y y y yx
xy y
xy y
+) Trng hp 1: 0y x v 2 2 1
2
y yx
y
. Thay vo phng trnh th hai ca h:
2 2 1 12 1 3 73 3 2 0 7 41
2 2 23 21
y xy y y
y y y yy y x
Th li thy ch c , 1;1x y tha mn h.
+) Trng hp 2: 3y x v 29 2 1
2
y yx
y
. Thay vo phng trnh th hai ca h:
2 29 2 1 7 53 3 4 0
2 2 2
y y yy y y y
y
(phng trnh ny v nghim).
Nh vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 234: y l mt h phng trnh kh th v!
Ta xem h trn nh l h phng trnh bc nht hai n l 3x v 3y , cn tham s l xy .
Lc ta tm c
3
3
22 21
13 12
x xy
y xy
(*).
Nhn thy x = 0 khng tha mn h nn ta c th nhn v theo v ca hai phng trnh trn:
3 23 3 22 21 13 12 273 538 264 0x y xy xy xy xy xy
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 25
2 21 274 264 0 1 137 19033xy x y xy xy xy . +) Nu 1xy , thay vo (*) ta c: 3 3 1 1x y x y .
+) Nu 137 19033xy , thay vo (*) ta c:
3 3
3 3
2899 21 19033 2899 21 19033
1793 13 19033 1793 13 19033
x x
y y
+) Nu 137 19033xy , thay vo (*) ta c:
3 3
3 3
2899 21 19033 2899 21 19033
1793 13 19033 1793 13 19033
x x
y y
Vy nghim ca h l
3 3
3 3
, 1;1 , 2899 21 19033; 1793 13 19033 ,
2899 21 19033; 1793 13 19033
x y
Bi 235: iu kin 1x , 1y v 22 7 10 3 0y y x y . Phng trnh th hai ca h c vit li thnh:
21 1 3 1 2 1 1 2 2 3x y x x y x y x xy x y (1). Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
22 7 10 3 1 1y y x y x y
22
1 1
2 7 10 3 1 1 2 1 1 (2)
x y
y y x y x y x y
Th (1) vo (2) ta c:
22 22 7 10 3 1 1 2 2 2 3y y x y x y x xy x y 2 23 3 2 4 2 0x xy x y y (3).
Xem (3) nh l phng trnh bc hai n x v tham s y th ta c:
2 223 3 4 2 4 2 1y y y y . Nh vy phng trnh c hai nghim l 2 2x y v 1x y .
+) Nu 2 2x y , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
3 4 3
1 2 (*) 13 2 2 3
yy y
y y
2 2 3 2 6 152 3 1 4 3 4 24 21 0 0
2y y y y y y y y
.
Th li ch c hai gi tr tha mn l
0 2
6 1515 4
2
y x
y x
Th li iu kin xc nh ta ch ly nghim , 2;0x y . +) Nu 1 1 2x y x y , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 26
23 11 1 1
2 2
y yy y y
y y
.
Nhn thy v tri khng m, cn v phi m (do 2 1 0y y v ( 2y ) < 0) nn phng trnh
ny v nghim.
Vy nghim ca h l , 2;0x y Bi 236: iu kin 1, 1,x y x y .
y li l mt h phng trnh c hnh thc kh chu.
Ta s t 1x a v
2
2 2
2
2 2
1
1 12
, 0;2
x ax y a b
y b y bx y a b
a b
Lc ny h tr thnh:
2 2
2 2 2 232 2
2 (1)
72 1 12 (9 2 24 )
a b
a ba b a b
a b
T (1) ta rt 2 22 4 4b a b a a , ri th vo phng trnh (2) ta c:
2 2
2372 1 4 3
29. 4 4 2 4 2 44 4
a a aa a a
a
2 2318 1 4 3 29. 8 1 2 1 4a a a a a a
33 2 3 2318 3 3 58. 1 4 9 3 3 29 1 2a a a a a a a a
3 21 2
9 27 20 4 0 2 3 1 3 2 0 23 3
a a a a a a a a a (tha).
+) Nu a = 2 th b = 0. Thay tr li bc t ta tm c 3x v 1y .
+) Nu 1
3a th
5
3b . Thay tr li bc t tm c
8
9x
v
16
9y .
+) Nu 2
3a th
4
3b . Thay tr li bc t ta tm c
5
9x
v
7
9y .
Vy h c ba nghim l 8 16 5 7
, 3; 1 , ; , ;9 9 9 9
x y
Bi 237: iu kin 1x , 2y v 2
5 2 1y x .
Phng trnh th hai ca h tng ng vi:
4 3 2 23 6 2 0 2 3 1 0 0 2x x y x xy x x y x x x y . (+) Nu x = 0 th thay vo phng trnh th nht ta c:
4 2 4 2 4 8 2 4 2 4 2 16 4 2 4 2 4y y y y y y
2 24 2 4 2 16 16 4 16 0 0y y y y y . Th li cp s ny tha mn h cho. (+) Nu x = 2y th thay vo phng trnh th nht ca h ta c:
21 4 3 4 5x x x x (iu kin 1 4x ).
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 27
1 15
1 4 1 4 2 1 4 02 2
x x x x x x
21 15
1 4 1 4 02 2
x x x x
1 4 3x x (tha mn) hoc 1 4 5x x (v l, loi).
5 2 1 4 9 1 4 2 1 4 4x x x x x x
2
0 (TM) 0
3 0 33 (TM)
2
x y
x xx y
Tm li h c hai nghim l 3
, 0;0 , 3 ;2
x y
Cch gii khc: Khi nhn c phng trnh: 4 2 4 2 4y y , ta c th dng bt ng
thc CauchySchwart nh gi nh sau:
2 24 2 4 2 1 1 4 2 4 2 4y y y y . Du ng thc xy ra khi x = 0. Bi 238: iu kin 0x v 0y .
p dng bt ng thc Cauchy (AM GM) ta c:
+) 2 2 4y yx x
xy xy xy xyy x
(1).
+) 4 4 10 10 5 58 2 4x y x y x y xy (2).
T (1) v (2) ta suy ra du bng ti cc bt ng thc trn phi xy ra, ng thi xy = 4.
Tc l
10 10
0, 0
2
4
x y
y yx x
x yy x
x y
xy
. y chnh l nghim ca h phng trnh.
Vy nghim ca h l , 2;2x y
Bi 239: iu kin 2 21 0x y . Vi iu kin ny th h cho tng ng vi: 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
12 3
2 3 21
2 2
x y x y x y
x y x y x y y x x y
x y y x x y
2 2
2 2 2 22 21
4 3 2
x y x y y x x yx y
2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 22 2 2 21
4 3 2
x x y y xy x y y x y x xy x yx y
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 28
p dng tnh cht ca dy t s bng nhau ta c:
2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 22 2 2 21
4 3 2
x x y y xy x y y x y x xy x yx y
2 22 2
22 2 4 2 2 4 2 2 2 2
112
4 4
x yx yx y x x y y x y x y
2
2 2 2 2 2 24 5 1 0 1x y x y x y (loi) 2 21
4x y .
Nu 2 21
4x y , thay vo h ta c:
1.
32
23
4
x y v
1.
22
23
4
y x , hay tc l:
3 6 6
2 4 6
6 3 2 6
2 4 6
yx x
xy y
Th li thy y l nghim ca h.
Vy nghim ca h l 6 6 3 2 6
, ;6 6
x y
Bi 240: iu kin 0x v 0y .
H cho tng ng vi:
2 3 22 3
2 2 (1)2 2
2 2 3 22 2 4 (2)
x y y xx yx yx y
x yx
y x x y y xx y
y x y
Ly (1) nhn vi (2) v theo v ta c:
2 2 2
2
2 3 2 4 9 48 2 8 2 12 4
x y y x x x y x xx y
x y y y x y y
(3).
(Chia hai v cho y)
t 0x
ty
th (3) tr thnh:
2 2 39 9
8 2 4 12 4 4 8 0 8 9 1t t t t t t t tt t
(tha mn).
Vi t = 1 th x = y , thay vo (2) ta c: 4 5 1 1 1x x x x y .
Th li thy y chnh l nghim ca h.
Vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 241: iu kin 1y .
Vi bi ton ny dng nh n gi cho ta mt hng i kh gay go v cm by, l th 2 4 1 2x y y vo phng trnh th nht ca h. Th nhng sau mt hi my m th kt
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 29
qu nhn c khng c kh quan. Chng ta c th tm ra mt s nghim bng php th, th nhng li khng th tm ht c cc nghim cn li. Vi bi ton ny, nu nhn xt c rng phng trnh th nht l phng trnh bc hai n y v tham s l x th vic gii phng trnh s kh nhanh chng.
Phng trnh th nht tng ng vi: 2 2 4 222 9 125 22 9 0y x y x x .
Phng trnh ny c bit thc 2 2
2 4 2 29 125 4.22 22 9 13 117x x x x nn
phng trnh c hai nghim l 2 11
2
xy
v
22
11
xy
.
(+) Nu 2
211 2 112
xy x y
.
Th vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 13 4 1 0y y y (*).
d nhn ta s t 21 0 1t y t y t , lc ny (*) tr thnh:
2 2 3 22 1 13 4 1 0 4 2 4 15 0t t t t t t (**). Gii phng trnh trn bng my tnh b ti, ta thy ngay n ch c mt nghim m. V vy, ta
s chng minh rng 3 24 2 4 15 0f t t t t vi t khng m.
Hm s c o hm: 2' 8 4 4f t t t . Ta c: ' 0 1f t t hoc 1
2t
.
D thy trn 0; th 1 13f t f . Vy nn (**), suy ra (*) v nghim.
(+) Nu 2
24 2 1122
xy x y
.
Th vo phng trnh th nht ca h ta c:
11 4 1 0y y y 211 4 1 0 0 2 2y y y x x .
Vy nghim ca h l , 2 ;0x y Bi 242: iu kin 14 1x . H phng trnh ny s dng phng php nh gi! Vi x > 0 th t phng trnh th hai suy ra y > 0. p dng bt ng thc AM GM:
22 2 214 140 14 1 80 12 1
2
y xx x y x y x x
(1).
Tip tc s dng bt ng thc AM GM nh sau:
2 222 2 23 32 4 1 1 2 16 2 14 1 32 4
3 3
x x x xy x x x y
(2).
T (1) v (2) chng ta suy ra:
2
22 22 16 2 1 1
80 12 1 128 32 2 0 2 8 1 0 8 13 8
x xx x x x x x x
.
Thay 1
8x tr li h ta c:
2 1 134
23 3
4 2
y
yy
.
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 30
Vy nghim ca h phng trnh l 1 3
, ;8 2
x y
Bi 243: iu kin 3 4y x v 4 1x y .
Vi iu kin trn th phng trnh th nht ca h tng ng vi:
4 3 41 4 3 4 8 4
4 3 4
x y y xx y y x x y
x y y x
.
Ly phng trnh ny tr i phng trnh th nht ca h v theo v ta c:
2 3 4 8 4 1y x x y (1).
Th (1) vo phng trnh th hai ca h:
2 28 4 1 5 4 1 4 4 8 4 0x y y x y x x y x xy y x y
2 2 0 2
2 4 2 02 4 0 2 4
x y y xx y x y
x y y x
(+) Nu y = 2x th thay vo phng trnh th nht ca h ta c:
2 2 1y y , iu ny r rng v l.
(+) Nu y = 2x 4, thay vo phng trnh th nht ca h:
4 2 2 12 1x x (*) 4 2 2 12
1 4 2 2 12 164 2 2 12
x xx x
x x
(**).
Ly (*) cng vi (**) ta c: 273 257
2 4 2 17 16 8 2898 4
x x x y .
Cp s ny chnh l nghim ca h phng trnh.
Nh vy nghim ca h l 273 257
, ;8 4
x y
Bi 244: iu kin 0xy .
D thy h phng trnh cho l h ng cp vi x v y. Th nhng nu ta gii theo cch ng cp vi x v y th s nhn c mt phng trnh vi cc bc gii kh di dng. Vi bi ton ny, chng ta cn nhn xt thm y l h i xng. Mt bc t s gip vic nhn nhn h ng cp ny theo kiu va i xng, va ng cp nh sau:
H cho vit li:
2
2
3 4 14
12 36
x y xy xy
x y x y xy
t a x y v b xy 0b th h trn tr thnh:
2 2
2 2 2 2
2 2
3 4 . 1436 3 4 . 14 12
12 36
a b ba b b a a b
a a b
(*).
(*)
3 2
3 2 2 37 54 84 72 0 7 54 84. 72 0a a a
a a b ab bb b b
2
2
7 126 12 0 6
a a a a
b b b b
(do
22 2
2 2
7 1212 6 1 6 0
a a a a
b b b b
)
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H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 31
Vi 6 6a
a bb , thay vo h cha a v b trn ta tm c:
1 1 1
2 2
3 2 2 3 2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
2 2
4
3 3 3
b xy xy
a x y yx
x
y
x
y
Vy nghim ca h l 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
, ; , ;2 2 2 2
x y
Bi 245: iu kin 2 2 1 0x y x .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2 22 2 1 1 2 2 2 1 0 2 1y x y x y y y x y x (do 2 2 0y ).
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 24 2 2 3 3 0x x x x (*).
t
2 2
23
2 2 0 3 12
t xt x x t x
th phng trnh trn tr thnh:
2 2
2 23
4 0 3 8 3 0 3 3 0 3 32
t xxt t tx x t x t x x t t x
.
(+) Nu x = 3t (vi t > 0) th x dng. R rng x dng lm cho v tri ca (*) lun dng nn (*) v nghim trong trng hp ny, loi.
(+) Nu 22 2
0 1 173 2 2 3
82 2 9
xt x x x x x
x x x
.
Vi 1 17 9 17 9 17
2 18 8 16
x y x y
.
Vy nghim ca h l 1 17 9 17
, ;8 16
x y
Bi 246: Cng hai v ca hai phng trnh trong h ta c:
2 217 10 26 2 2 1x y xy x y
2 2 2 216 9 24 1 2 2 2 0x y xy x y x x xy
2 2 4 3 0 3
4 3 1 01 0 4
x y xx y x y
x y y
Th li thy y l nghim ca h phng trnh.
Vy nghim ca h l , 3;4x y Bi 247: Ly phng trnh th nht tr i phng trnh th hai ca h v theo v ta c:
2 2 22 2 1 4 1 2 2 0x y x y x x x x y x y x y x y
2 2
2 2 0 22 1 01 0 1
x y y xx y x y
x y y x
Nu 22y x , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
2 24 1 7 6 2 7 0x x x x x , phng trnh ny v nghim do 0 .
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 32
Nu 1y x , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
21 17 3 17
4 44 1 7 3 1 4 2 4 0
1 17 3 17
4 4
x y
x x x x x
x y
Vy h c hai nghim l 1 17 3 17 1 17 3 17
, ; , ;4 4 4 4
x y
Bi 248: Nu x = 0 th thay vo h tm c y = 0 v ngc li, thay y = 0 vo h ta cng tm c x = 0. Trng hp x v y u khc 0. Chia hai v ca h cho xy 0 ta c:
1 1 1 12 5 5 2
5 2 4 3 0 2 11 1 1 1
3 4 4 3
x y x yx y x y
x y x y x y
x y x yx y x y
.
Thay x = 2y 1 tr li phng trnh th nht ca h ta c:
3 23 1 2 1 5 2 5 2 1 10 19 10 1 0y y y y y y y y y
2
9 41 1 41
20 10
1 10 9 1 0 1 1
9 41 1 41
20 10
y x
y y y y x
y x
Nh vy h c tt c 4 nghim 9 41 1 41 9 41 1 41
, 0;0 , 1;1 , ; , ;20 10 20 10
x y
Bi 249: T phng trnh th hai nhn xt rng xy > 0, tc l x v y cng du. S dng bt ng thc Cauchy (AM GM) ta c:
4 4 2 21
1 2 2.2 33
xy x y xy x y xy xy (*).
Tip tc s dng bt ng thc Cauchy (AM GM) cho 5 s:
5
4 4
4 4 4 4 3 2 22 1 1. 2 . 2 . 2 . . .243 58 8
xy x yxy xy xy x y x y
(1).
Ta li c:
4 4 4 42 2 5 2
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3
xy x y xy xy x y xy
(2).
(s dng phng trnh th nht v bt ng thc (*)).
Nh vy t (1) v (2) ta c:
5
2 1 1 5 2 2. .
243 5 3 2438
.
Nh vy du ng thc (*), (1) v (2) u phi xy ra. Tc l:
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 33
24 4 4 4
4 4
4 44
11
31 1 3
13 3 122 3
2 33
xx y x yx y
xy xy x y
x yxyxy x y
x
Th li thy y chnh l nghim ca h.
Vy h c hai nghim l 1 1 1 1
, ; , ;3 3 3 3
x y
Bi 250: T hai phng trnh ca h, d nhn thy rng 0x , 0y v 1xy .
Lc ny h cho tng ng vi:
5 11 (1)
2
12 1 (2)
xy yy
xy xx
Ly (1) tr i (2) v theo v ta c:
11 1 1 1 1
1 12 2 2
y x xy y xxy y x xy
x y xy xy
2
2 2 22
yy x xy x y y x
y
(*) (d thy 2y ).
n y ta th vo phng trnh (2) ta c:
22 22 2 2 2 4 22 2 22 1
2 2 2 2 2 2
y y y yy y y
y y y y y y
2 2 3 24 2 2 5 4 4 8 9 12 4 0y y y y x y y y 22 8 7 2 0 2y y y y (do tam thc 28 7 2y x c bit thc 0 ).
Vi y = 2 thay vo (*) ta c x = 1 (tha mn).
Vy nghim ca h l , 1;2x y
Bi 251: iu kin 3 1x y .
Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 3 3 24 1 3 .x y x y x x (1). Xt hm s 2 3f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 3 0f t t nn hm s f t ng bin trn . Mt khc (1) c dng:
3 3 3 2 3 20 0
1 11 1 (2)
x xf x f x y x y x
x y x y x x
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
2 2 21 1 1 1 1 1 1x y x y y x x y y 2 2 21 1 1y x x y y (3).
Th (2) vo (3) ta c phng trnh bc 8 sau y:
2 2
3 2 2 3 2 3 21 1 1 1 1 0x x x x x x x x
.
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 34
Rt gn phng trnh ny ta c:
8 7 5 2 6 5 42 0 1 2 2 1 0x x x x x x x x x x
24 41 1 1 0 0x x x x x x
(tha mn) 1x (tha mn).
(d thy 24 41 1 0x x x ).
(+) Vi x = 0, thay vo (2) ta c y = 1. (+) Vi x = 1, thay vo (2) ta c y = 1.
Vy h c hai nghim l , 0;1 , 1; 1x y Bi 252: H cho tng ng vi:
2 22 2
2 2 2 24 2 2 4
x xy y x yx xy y x y
x xy y x xy y x yx x y y x y
2 22 2
2 22 2
3 44 4
3 44 4 4 4
x y x y x yx xy y x y
x y x y x y x yx y x xy y x y
t a x y v b x y th h trn tr thnh: (*)
2 2
2 2
3 4 (1)
3 4 (2)
a b a
a a b b
Nhn thy phng trnh (1) c th rt 2b theo a, th nhng th vo phng trnh (2) th cn bnh phng hai v phng trnh (2) ln.
Bnh phng h qu hai v phng trnh (2) ta c: 2
2 2 2 23 16a a b b (3).
T (1) ta rt 2
2 4
3
a ab
ri thay vo (3) ta c:
2
2 22
2 2 2 2 24 43 16. 8 4 48 43 3
a a a aa a a a a a a
2 4 2 5 3 5 30
4 4 1 3 4 4 3 03 0
aa a a a a a a a a
a a a
(+) Nu a = 0 th thay vo h (*) ta tm c b = 0. Vi a = b = 0 th 0 0x y x y x y . Th li tha mn h ban u.
(+) Nu 5 3 3 0a a a (4).
Xt hm s 5 3 3f a a a a trn . Hm s c o hm 4 2' 5 3 1 0f a a a nn hm s f a ng bin trn . Mt khc thy a = 1 l mt nghim ca (4) nn (4) 1a .
Vi a = 1, thay vo h (*) ta c:
2
2
2
1 3 41 1
3 4
bb b
b
.
+) Nu 1a b th 1
10
xx y x y
y
. Th vo h ban u thy tha mn.
+) Nu 1 1 0
1 1 1
a x y x
b x y y
. Cp s ny khng tha mn h ban u, loi.
Nh vy h c hai nghim l , 0;0 , 1;0x y
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 35
Cch gii khc: gii (*), ta c th gii theo cch ng cp: Vi 0a th tm c b = 0. Vi 0a th t .b t a , lc ny h tr thnh:
22 2 22
22 2 2 22 2 22
2
41 3 43 4 16 41 3
43 4 33 4 1 33
aa ta t a a tt
ta a t a ta ta t t tat
Gii phng trnh n t trn v tm nghim. Bi 253: iu kin 2y .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
3 2 37 3 3 2 3 2x x xy x y y y x x
3 2 33 2 3 2 2 2 2x x y x y y y x y x x
3
32 2x y x y x x (1).
Xt hm s 3f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t nn hm s f t ng bin trn . Mt khc (1) c dng:
2 2 2 2 0f x y f x x y x y x (2). Th (2) vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 1 0 1x x (do 0x ).
Vi x = 1, thay vo (2) ta c: 2 2 2y y .
Nh vy nghim ca h l , 1;2x y
Bi 254: H c vit li thnh:
2 22 2
2 2
2 44 2
1 2 3 2 3
x x y yx y x y
xy x y x x y y
Theo nh l Vit o 2x x v 2 2y y l nghim ca phng trnh sau: 2 4 3 0 1 3t t t t .
TH1: Nu 2
2
1 51
22 3
3 1
x x x
y yy y
TH2: Nu
2
2
1 133
22 1
1 2
x x x
y yy
Vy h cho c tm nghim l 1 5 1 5 1 13
, 1; , 3; , ; 1 22 2 2
x y
Bi 255: Vi mi x v y ta lun c bt ng thc sau:
2 2 3 2
0 4 2 3 4 4x y x y xy x y x y xy xy
3 2 2
2 3 0 1 2 3 3 0 1x y x y x y x y x y x y
.
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 36
(do 2 2 23 1 3
2 3 3 1 02 2 2
x y x y x y x y )
Phng trnh th hai ca h vit li thnh: 4 2 2
2 2 1 0x y x y x y y (*).
Ta c:
4 2 2
2 1 1x y x y x y x y x y x y x y
0 vi mi 1x y .
4 2 2
2 2 1 0x y x y x y y .
Nh vy c (*) th ng thc cc bt ng thc trn xy ra, tc l
11
2 1 02
x y
y x y
x y
.
Th li thy y l nghim ca h phng trnh.
Vy h c duy nht mt nghim l 1 1
, ;2 2
x y
Bi 256: iu kin , 0x y .
Vi iu kin trn th phng trnh th nht ca h tng ng vi:
33
3
x xy x x
x x
(1).
Th (1) vo phng trnh th hai ca h ta c:
3 1 3 3 2 0 3 1 3 2 0 3 2 1x x x x x x x x . Vi x = 1 th thay tr li (1) ta tm c y = 1.
Vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 257: Nu y = 0, thay vo h ta tm c x = 3. Nu y 0 th h cho tng ng vi:
3 3
2 2 2 23 31 4 45 1 4 45
3 32 4 2 4
x xx y xy x y xy
y y y y
x xxy xy
y y y y
3 2 23 3 2 22 3 4 4 45 8 40 50 72 0
33 2 42 4
xy x y xyx y x y xy
xx y xyxy
y
2 22 4 4 4 9 0 4
4 32 4 3
xy x y xy xy
x yx y xy
(d thy 2 24 4 9 0x y xy )
3 73 3 734 3 8 2
4 3 4 3 73 3 73
8 2
y xx y
y yy x
H cho c ba nghim l 3 73 3 73 3 73 3 73
, 3;0 , ; , ;2 8 2 8
x y
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 37
Bi 258: H cho tng ng vi:
22 2 2
22 2 2
12 2 4 2 8 4 0 (1)
1 2 5 2 4 20 2 24 0 (2)
554,4,
22
x y x y y
y y x x y x y
y xy x
Bi ton ny nu gii theo cch thng thng th cng kh n gin, chng ta s trnh by cch gii v xem n c rt ra t u nh! Ly phng trnh (1) nhn 2 ri tr i phng trnh (2) v theo v ta c:
2
2 2 2 2 14 162 2 8 4 4 20 2 24 020
y yx y y x y x y x
(3).
Th (3) vo phng trnh (1) ta c:
22
2 4 3 214 162 8 4 0 28 364 1152 1056 020
y yy y y y y y
2 22 24 264 0 2 0 2y y y y y (tha mn iu kin). (Do
22 24 264 12 102 0y y y )
Vi 2y , thay tr li h ta tm c x = 2.
Vy nghim ca h l , 2; 2x y Cch gii khc: Bi ton ny c n ba cch gii khc! Cch m chng ta trnh by trn thc cht ch l mt trng hp c xy dng suy ra t phng php h s bt nh. Ta thy (1), (2) l cc tam thc i vi x v y nn ta ngh n vic cng hai phng trnh ny theo mt t l no thu c mt tam thc bc hai n x khc c nghim p (nghim c th biu din theo y).
2 2 2 22 8 4 4 20 2 24 0x y y x y x y ( v khc 0)
2 2 2 22 8 4 4 20 2 24 0x y y x y x y
(*).
n y ta t K
th (*) c vit li thnh:
2 2 2 22 8 4 4 20 2 24 0x y y K x y x y 2 22 4 20 1 8 2 4 24 0K x Kx K y K y K (**).
Phng trnh (**) l phng trnh bc hai vi n x v tham s l y v K c bit thc:
2 2' 10 2 4 1 8 2 4 24x K K K y K y K
hay 2 2' 2 1 1 2 2 1 2 8 2 2 2 32 4x K K y K K y K K (***). rt c x theo y d dng th ta phi c 'x l bnh phng ca mt biu thc i vi y v K
(hoc ch i vi y , hoc ch i vi K) (1). iu ny xy ra khi phng trnh 'x = 0 c mt
nghim duy nht (c th theo bin K hoc bin y). V mc ch ca chng ta l i tm K nn ta coi phng trnh 'x = 0 l phng trnh n y , tham s l K.
Lc ny phng trnh 'x = 0 c bit thc:
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 38
2 2 2' 1 2 8 2 4 1 1 2 2 32 4y K K K K K K
23 2' 4 1 2 4 13 4 12 4 1 2 4 3 2y K K K K K K K
Phng trnh 'x = 0 c mt nghim duy nht 1 3
' 0 22 4
y K K K
.
Chng ta hy th xem vi cc gi tr trn th ta s c g nh!
+) Vi 1
2K
, thay vo (*) ta c:
2 2 14 167 8 10 0
2 20
y y yy x x
.
y chnh l cch trnh by trn bi gi,
+) Vi 3
4K
, thay vo (*) ta c:
22 1315 14 0
2 2
y yx x .
Phng trnh ny c bit thc:
22 13 169 13'
4 2 4 2 2x
y y y
(hoc c th (thay vo (***)).
n y tm c 12
yx hoc 14
2
yx . Th tr li vo mt phng trnh trong h tm
nghim. (y chnh l Cch 2)
+) Vi K = 2, thay vo (*) ta c: 2 210 3 40 12 52 0x y x y .
Phng trnh ny c bit thc: 2
' 30 2x y . Mun phng trnh trn c nghim th
2
' 0 30 2 0 2x y y . Vi y = 2, thay tr li phng trnh tm c x = 2. (y
chnh l Cch 3) Chng ta cn c Cch 4, l nh gi. Cng hai v ca hai phng trnh trong h ban u vi nhau v chuyn v ta c:
2 22 12 2 1 2 1 8x x y y y (4) p dng bt ng thc CauchySchwart (Bt ng thc Bunhiacpxki) ta c:
2 2 2 22 12 2 2. 2 1. 12 2 2 1 2 12 2 6x x x x x x
2 2 2 21 2 1 1. 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2y y y y y y y y y y Cng hai bt ng thc trn v theo v v kt hp vi phng trnh (4) ta tm c nghim.
Lu : (1) bi ton trn, ta c th tm c ngay K = 1
2
bi v khi K =
1
2
th 'x tr thnh
2
10K , l mt bnh phng ca mt biu thc i ch vi K.
iu t ra y l lm sao tm c h s K trong khi thi gian lm bi l rt hn ch? Mt cng c rt hu ch c s dng tm h s K mt cch nhanh chng nht chnh l s dng chc nng SOLVE ca my tnh b ti.
Vi bi: Gii h phng trnh: 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
0 (1)
0 (2)
a x b y c xy d x e y f
a x b y c xy d x e y f
Ta t: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2; ; ; ; ;a a ka b b kb c c kc d d kd e e ke f f kf , sau
nhp vo my phng trnh n k sau ri s dng chc nng SOLVE: 2 2 24cde abf ae bd fc .
Sau khi tm c h s K, chng ta ch cn ly phng trnh (1) cng vi K ln phng trnh (2) s c mt phng trnh c bit thc p.
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H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 39
Bi 259: iu kin 2y .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
3 2 2 3 2 22 3 3 3 0x x y xy y x xy y x y
2 2 2
3 1 0 1 3 1 0x y x y x y x y x y x y x y
2
1 3 0 1 0x y x y x y
(do 2
3 0x y ) 1y x .
Th y = x + 1 vo phng trnh th hai ca h ta c:
23 3 2 1 1x x x x (*) (iu kin 1x ).
t 1 0t x 2 2 2 21 3 2 1 2 1x t x x x x t t . Lc ny phng trnh (*) tr thnh:
3 32 2 2 2 2 2 2 33 1 1 1 1 1t t t t t t t t t t t t t
2
220 1 20
1 1 1 01 2 31 0
t x ytt t t t t
t x yt
(do 2
1 1 0t t t vi mi 0t ).
Nh vy h c hai nghim l , 1;2 , 2;3x y Bi 260: Vi h phng trnh ny th chng ta chn cch gii n gin nht, l rt th. Nu bi ton ny s dng phng php h s bt nh nh Bi 258 (cng phng trnh th hai vi K ln phng trnh th nht) th cng ch tm c K = 0 l nghim p, tc l ta ch s dng phng trnh th hai ca h. T phng trnh th hai ca h ta thy 0y . Lc ny phng trnh tng ng vi:
2
11 12 2 2 2
2
yx y x y x
y y y
(1).
Th vo phng trnh th nht ca h ta c:
4 2 4 2
22
2 2
1 1 1 4 12 1 0 1 0
4 4
y y y y yy y y
y y y
2 2 22
2 2
2 2
1 2 1 4 1 11 0 1 0
4 4
y y y y y yy y
y y
2
2 2
2
11 1 0 1 0 1
4
yy y y
y
.
Vi y = 1, thay vo (1) ta c 2x .
Nh vy nghim ca h l , 2;1x y
Bi 261: iu kin 2 2 0y x .
Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
4 1 4 14 1 4 1 (*) ln 4 1 ln 4 1
2 2
y xx x
y xx y x y
xy xyy x
(1).
(Ly lga Npe hai v ca (*)). +) Nu x = 0 th y = 0, tha mn h.
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 40
+) Nu 0x . Nhn xt rng 4 1 1x v 4 1 1y nn ln 4 1 0x v ln 4 1 0y . Kt hp vi (1) suy ra x v y phi cng du ( 0y ).
Lc ny (1) c vit li thnh: ln 4 1 ln 4 1x y
x y
(2).
Xt hm s ln 4 1t
f tt
trn D = 0\ . Hm s c o hm:
2 2 2
4 .ln4. ln 4 1 4 . ln4 4 1 ln 4 1 4 .ln4 4 1 ln 4 1
4 1' .4 1 4 1
tt t t t t t t t
t
t t
t tf t
t t t
Ta xt t m th r rng 4 . ln4 0 4 1 ln 4 1t t tt nn ' 0f t .
Cn vi t dng th
0 4 4 1
0 ln4 ln 4 1
t t
t t
4 .ln4 4 1 ln 4 1 0 ' 0t t t t f t .
Tm li vi t D th ' 0f t , tc l hm s f t nghch bin trn ;0 v 0; . (+) Nu x v y cng m. Lc ny (2) c dng f x f y vi f t l hm nghch bin trn
;0 nn (2) x y . (+) Nu x v y cng dng. Lc ny (2) c dng f x f y vi f t l hm nghch bin trn 0; nn (2) x y . Tm li (2) 0x y . Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
3 3
23 2 3 1 7ln 2 ln 0
2 4
x x x xe x x x x e e e x x x
(3).
Nu 33 0x x x x th
3
2
3
1 7ln ln1 0
2 4
x xe e
x
x x
VP(3) > 0, khng tha mn.
Nu 3x x cng khng tha mn.
Thy 3x x tha mn (3), tc l (3) 3 23 1x x x x x (do 0x ) 1
1
x y
x y
Nh vy h cho c hai nghim l , 0;0 , 1;1 , 1; 1x y
Bi 262: iu kin 3 3x y x y . D thy rng y l mt h phng trnh ng cp.
Nu x = 0 th h tr thnh:
2
2
3
31
7
y
y
. Hai phng trnh trong h ny r rng mu thun, loi.
Nh vy 0x . Lc ny ta c th t y t x ( 1t ) v h tr thnh:
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 41
22 22 2 2 22
5 5 5 2 5 3
23 3 3
3 5
3(1)1 33 1
31 1 31 1317 1 7 7 1
xx t tx tx t x t t
x t x x t txx t x t t
3 2
2 25 4 3 2
31 1 31 1 13 3
1 17 1 7 1 1
t t t t
t t t tt t t t t t
2
4 3 2 2 2 4 3 2 2 221 1 31 1 1 21 1 31 1t t t t t t t t t t t t t t
4 3 2 4 2 4 3 221 1 31 1 10 21 10 21 10 0t t t t t t t t t t 2
2
2
21 10 1 110 21 10 0 10 21 10 0t t t t
t t t t
1 2
5t
t (loi do
12t
t ) hoc
1 5
2t
t
(tha mn)
2 5 11 02 2
t t t
hoc 2t (tha mn).
Nu 2t th 2y x , thay vo (1) c 21 2
11 2
x yx
x y
Nu 1
2t
th
2
xy
, thay vo (1) c 2
2 14
2 1
x yx
x y
Nh vy h cho c bn nghim , 1; 2 , 2;1 , 1;2 , 2; 1x y Bi 263: Cng v theo v hai phng trnh ca h ta c:
2 2 2 22 2 5 3 1 3 4x x x x y y y y
2 2 2 21 1 4 4x x y y (1).
Xt hm s 4f t t t trn 0; .
Hm s c o hm 1
' 1 0 0;2 4
f t tt
nn f t ng bin trn 0; .
Mt khc phng trnh (1) li c dng 2 21f x f y nn:
(1) 2 2
11
1
y xx y
y x
+) Nu 1y x , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
22 3 11 3 3 1 1 0 2 3
2 2x x x x x x y .
+) Nu 1y x , thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
22 3 11 3 3 1 1 0 3 4 0
4 4x x x x x x y .
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 42
Nh vy h cho c hai nghim l 3 1 3 1
, ; , ;2 2 4 4
x y
Cch gii khc: C th gii (1) bng cch thc hin php nhn lin hp:
2 22 21 1 4 4 0x y x y
2 22 2
2 2
11 1 0 1 0
1 4 4
x y x y
x y
.
Bi 264: Cng phng trnh th nht vi ba ln phng trnh th hai v theo v ta c:
2 3 2 26 2 35 3 5 5 2 5 13 0x y y x y xy x y 2 3 36 15 3 2 5 2 15 39 35 0y x y x y y y 2 23 2 5 3 2 5 2 5 5 7 0y x y x y y y
2 22 5 3 3 5 7 0y x x y y
2 2
5
21 52 5 3 0
1 52 2, ;
2 2
y
y x y
x y
Cp s 1 5
, ;2 2
x y
tha mn h ban cho.
Vi 5
2y
, thay tr li h ta tm c
1
2x .
Nh vy nghim ca h l 1 5
, ;2 2
x y
Bi 265: iu kin 3 1 2x y .
Phng trnh th hai ca h c vit li thnh:
3 3 22 6 2 1 5 .x y x y x x (1). Xt hm s 2 5f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 5 0f t t t nn hm s ng bin trn .
Mt khc (1) c dng 3 3 3 20
2 1 2 1 1
2
x
f x y f x x y x x xy
Th vo phng trnh th nht ca h ta c:
23 2 3 2
6 5 41 14 2 6. 02 2
x x x xx x x
3 2 22 0 1 2 2 0 1x x x x x x (tha mn).
Vi x = 1 th 3 2 1 1
2 2
x xy
(tha mn iu kin).
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 43
Vy nghim ca h l 1
, 1;2
x y
Bi 266: H cho c vit li thnh:
2 21 3
4 4
3
x y x y x y
x y x y
By gi ta t a x y v b x y th h trn tr thnh:
2 2
222 4 3
2
3 331 3
4 41 3 9
3 2 3 3 0. 4 27 04 4
b bba b a a aa
ab a a aa a a aa
3 3 2
1 1 1
a x y x
b x y y
Vy nghim ca h l , 2;1x y
Bi 267: iu kin 1y v 5
22
x .
Phng trnh th nht ca h l dng phng trnh cha hm m nh trn th ta thng ly Lga Npe hai v ri s dng hm s. Th nhng khi s dng hm s th ta li gp vn l hm s khng n iu trn tp xc nh ca n! Vy nn ta phi chn y c th s dng hm s.
t 24 18 20t x x (iu kin 1
0;2
t
) th phng trnh th hai ca h vit li thnh:
2
2 2
8 41 1 1
4 4
tt y t y
t t
.
Xt hm s 24
14
f t tt
trn 1
0;2
.
o hm
22
8 1' 1 0 0;
24
tf t t
t
(do
2 2
2
8 8 1. 1
4 24
t
t
), tc l hm s ng
bin trn 1
0;2
. Nh vy vi 1
0;2
t
th 0f f t hay chnh l:
2
22 1 1 2 3
4t y y
t
.
Tr li vi phng trnh th nht, vi iu kin 5
22
x v 3y th ta c th ly Lga Npe
hai v: ln 1ln
1 ln ln 11
yxy x x y
x y
(1).
Xt hm s ln t
f tt
trn 2; . Hm s c o hm: 21 ln
't
f tt
.
Ta c: ' 0 ln 1f t t t e . n y c th d thy
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 44
+) Hm s f t ng bin trong khong 2;e ln ln2
2
x
x (do
52;
2x
) (2).
+) Hm s f t nghch bin trong khong ;e ln 1 ln4
1 4
y
y
(do 1 4y ) (3).
T (2) v (3) suy ra (1) 2 2
1 4 3
x x
y y
(tha mn).
Nghim ca h phng trnh l , 2;3x y
Bi 268: iu kin x 2y .
Phng trnh th nht tng ng vi: 3
3 2 22 0x x x y x y (1).
t 2 0a x y th (1) tr thnh:
3 2 3 2 2 2 22 0 2 0 2 0x a
x xa a x a x xa ax xa a
+) Nu
2 22 2
2
072 0 0 0 0
2 4 0
xa ax xa a x a x x y
x y
.
Thay vo phng trnh th hai ca h thy khng tha mn.
+) Nu x = a 22 2 2 2
0 0x xx x y
x x y y x x
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c: 2 396 20 2 4 8 1x x x x (2). p dng bt ng thc Cauchy cho cc s khng m:
33 331 1 16 8 3 1
4 8 1 . 16 . 8 1. 2 . 42 2 3 2
x xx x x x x
.
2
2 21 3 1 196 20 2 4 96 24 0 96 02 2 8 8
x x x x x x x
.
Th li thy 1
8x l nghim ca (2). y cng chnh l nghim duy nht ca (*).
Vi 2 21 7 7
8 64 8x y x x y .
Vy h c hai nghim l 1 7
, ;8 8
x y
Bi 269: iu kin 3
4y .
Phng trnh th hai ca h tng ng vi: 2
22 2
2
22
2
x y yx y y
x y y
Nu 2 2x y y , thay vo h ta c:
2
2 2 4 3 22 2 6 2 5 4 3 2 4 4 2 1 4 3y y y y y y y y y y (1).
Lovebook Nh sch ca hc sinh Vit Nam
H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 45
Nhm c nghim y = 1, v vic nhn lin hp vi mt hng s khng cho ta kt qu nh mong mun nn ta nh gi:
4 3 1
4 3 .1 2 12
yy y
(*)
Kt hp vi (1) suy ra:
4 3 2 4 3 22 4 4 2 1 2 1 2 2 2 2 1 0y y y y y y y y y
2 22 1 1 0 1y y y . Th li thy y = 1 tha mn phng trnh (1) v iu kin. T y suy ra 2 2 2x y y .
Nu 2 2x y y , thay vo h ta c:
2
3 22 422 2 6 2 5 4 2 4 163 414 325yy y y y y yy y y (2).
Kt hp vi (*) suy ra 4 3 2 4 3 22 4 16 14 25 2 1 2 4 16 16 26 0y y y y y y y y y
2 22 22 8 1 7 18 0y y y y , v l. Suy ra (2) v nghim.
Nh vy nghim ca h l , 2;1x y Cch gii khc: Thng th sau khi nhm c nghim y = 1, ta s th s dng php nhn lin hp. Th nhng vi bi ton ny th vic nhn lin hp c v t ra di dng hn:
3 2 2 4 42 2 2 1 1 4 3 0 2 1 1 01 4 3
yy y y y y y y y y
y
24
1 2 1 01 4 3
y y y yy
n y ta ch cn tm thm nghim ca biu thc trong ngoc vung.
Xt 24
2 11 4 3
f y y y yy
trn 3;
4
o hm
2
2
8 3' 12 4 2 0 ;
41 4 3 4 3
f y y y y
y y
nn hm s ng
bin. Ta li thy y = 1 l mt nghim ca phng trnh 0f y v cng l nghim duy nht ca phng trnh. Bi 270: D thy y = 0 khng tha mn phng trnh ban u ca h nn y khc 0. Lc ny chia hai v ca phng trnh th nht cho y 3 v chia hai v ca phng trnh th hai ca h cho y ta c:
3
3 3
1 11 5 3 5 32 9 5
1 1 1110 18 0 2 12 05 3
xy x xy xx xy y yy
x xy x xxy xy y yy
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H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 46
2
1 1 12 2 6 0 1
2
1 5 55 3
x x xxy y y
y
xyxy xy
(d thy biu thc trong du ngoc vung lun dng)
1 12 2
1
1 2 15 2 . 5 1 1
x xyy y
xy
y y
Nh vy nghim ca h l , 1;1x y Bi 271: Phng trnh th nht ca h tng ng vi:
3 3
2 1 2 1x y x y x x (*).
Xt hm s 3f t t t trn .
Hm s c o hm 2' 3 1 0f t t nn hm s ng bin trn . Mt khc (*) c dng 2 1f x y f y nn (*) 2 1 1x y x y x .
Thay vo phng trnh th hai ca h ta c:
2 21 0
2 1 3 5 0 3 2 5 0 5 8
3 3
x y
x x x x x xx y
Vy h c hai nghim 5 8
, 1;0 , ;3 3
x y
Bi 272: T phng trnh th nht ca h suy ra 0x . Vi 0x th h cho tng ng vi:
3
333 2
33 2
643 55
64 12 4 123 6 4 1 3 1
123 3 51
yx
y y y y yx x x x
y y yx
(*).
Xt hm s 3 3f t t t trn . Hm s c o hm 2' 3 3 0f t t t nn f t
ng bin trn . Mt khc (*) c dng 4
1f y fx
nn (*)
41y
x .
Thay 4
1yx vo phng trnh th hai ca h (sau khi bin i) ta c:
3 2 3 2 23 3 3 1 51 3 54 0 3 6 18 0y y y y y y y y y
3y (d thy 22 6 18 3 9 0y y y )
41 4 1y x
x .
Vy nghim ca h l , 1;3x y
Bi 273: H cho xc nh vi mi s thc x, y. Bin i h tng ng vi:
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H Vn Din THPT Thi Lo Ti liu v h phng trnh Trang 47
2
2 2
2
1 20072007 1 2007 1
1 2007
yyx
x
x xx x y y
y y
(*).
Xt hm s 22007 1tf t t t trn . Hm s c o hm:
2
2 2
1' 2007 .ln2007 1 2007 .ln2007 0
1 1
t tx x xf t xx x
.
(do ln2007 0 v 2 1 0x x x x ).
T y suy ra f t ng bin trn . Mt khc phng trnh (*) li c dng f x f y nn (*) x y . Thay vo phng trnh th nht ca h ta c:
22
12007 2007 1 1
1
y yy y
y y
(**)
Xt hm s 22007 1yg y y y trn . Hm s c o hm:
22
' 2007 .ln2007 . 1 1 .20071
y yyg y y y
y
2
2
2
1' 2007 1 ln2007
1
y y yg y y yy
22
1' 2007 1 ln2007 0
1
yg y y yy
(do ln2007 > 1 v 2
11
1y
).
Suy ra g y ng bin trn . T ta li suy ra phng trnh (**) c nhiu nht mt nghim. Nhn thy 0 1g nn (**) 0 0y x .
Vy nghim ca h l , 0;0x y Bi 274: iu kin 1x v x y.
t a = 1x v b = 1y (iu kin a, b 0) th
2
2 2
2
2 2
1
12
, 0;2
x ax y a b
y bx y a b
a b
Phng trnh th nht ca h c vit li thnh:
1 4 1 4 1x x y , hay chnh l 2 22a b (*).
Phng trnh th hai ca h c vit li thnh:
2 2
2 2 2 232 2
4 1 12. 2 1
a ba b a b
a b
(**).
Th (*) vo (**) ta c:
2 2
234 1 4 3
2. 4 4 2 4 2 14 4
a a aa a a
a
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32 231 4 3 2. 8 1 1 1 4 3 4 1 1a a a a a a a a
33 23 3 1 1 1 1 1 1 2a a a a a a .
Vi a = 2 th 2 0 0b b . Thay tr li ta c 3
1
x
y
l nghim ca h phng trnh.
Vy nghim ca h l , 3; 1x y Bi 275: H cho xc nh vi mi s thc x, y. Tr v theo v hai phng trnh trong h:
2 2 2 22 2 2 5 2 1 2 1 2 2 2 4 3x y x x x y y y x y
2 2 2 22 2 1 2 4 2 2 1 2 2x x x y y y y y
2 22 2 1 1 1 1 1x x x y y y (*)
Xt hm s 2 2 1f t t t t trn .
Hm s c o hm: 2 2
2 2
2 2' 2 1 2 2. 1. 2 2 0
1 1
t tf t t t t t t t
t t
.
(Du ng thc trn khng xy ra, tc l ' 0f t ) Suy ra f t ng bin trn . Mt khc (*) li c dng 1 1f x f y x y . Thay x = y + 1 vo phng trnh th hai ca h ta c:
22 22 1 2 4 1 3 3 6 3 0 1 2x x x x x x x y .
Vy nghim ca h l , 1; 2x y Bi 276: iu kin 0x v 0y .
p dng bt ng thc Cauchy Schwart ta c:
2
21 1 2 2x y x y x y .
22 2 2 2 21 1 2 2x y x y x y . p dng bt ng thc Cauchy:
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 .2 2 2 2. 2 8x y y x x y y x x y x y .
Kt hp vi phng trnh th nht ca h ta phi c du bng ba bt ng thc trn phi xy ra, tc l khi x = y = 1. y chnh l nghim ca h phng trnh.
H c nghim duy nht , 1;1x y Bi 277: Vi iu kin 7x th h cho bin i thnh:
23 3
3
3
2 2 7 7 7 0
7 3 143 7 7 2
7
y x y x x x
x xx y x y
x
2 23 3 3
2 2 33
2 2 7 7 2 7 7 0
3 14 7 3 7 2 7 0
y y x x x x x
x x x y y x
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