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Hausarbeit Operations Research
- Der Simplex-Algorithmus -
Eingereicht von:
Christoph Böhm
MatrikelNr.: 10014637
Am Anger 30a 91365 Weilersbach (0163) 26 09 738
vorgelegt bei:
Dipl.- Stat. Adriane Sommer
Fachhochschule Südwestfalen
Sommersemester 2008
Weilersbach, den 14.08.08
II
Inhaltsverzeichnis
1. EINLEITUNG ................................................................................................ - 1 -
2. DARSTELLUNG DES SIMPLEX-ALGORITHMUS ................................... - 2 -
2.1. Einordnung im Gesamtgebiet des Operations Research ....................................................... - 2 -
2.2. Theoretische Grundlagen des Simplex-Algorithmus .............................................................. - 2 -
2.3. Komplexität ................................................................................................................................... - 3 -
3. MATHEMATISCHES LÖSUNGSVERFAHREN ........................................ - 4 -
3.1. Prozess der Lösungsermittlung .................................................................................................. - 4 -
3.2. Das Standard-Maximum-Problem ............................................................................................. - 6 -
3.2.1. Darstellung des Ausgangsproblems ...................................................................................... - 6 - 3.2.2. Begriff des Standard-Maximum-Problems .......................................................................... - 7 - 3.2.3. Rechnerische Ermittlung des Optimums............................................................................. - 7 - 3.2.4. Interpretation des Gesamttableaus ..................................................................................... - 11 -
3.3. Modifikation des Standard-Maximum-Problems .................................................................. - 11 -
3.3.1. „Größer Gleich“ Ungleichungen als Restriktionen ......................................................... - 11 - 3.3.2. Gleichungen als Restriktion ................................................................................................. - 13 -
3.4. Minimierungs-Problem .............................................................................................................. - 16 -
3.5. Optimalitätskriterium ................................................................................................................. - 16 -
4. ANWENDUNG DES SIMPLEX-ALGORITHMUS IN DER PRAXIS ..... - 17 -
5. RESÜMEE .................................................................................................... - 18 -
6. ANHANG ........................................................................................................ - 1 -
Begriffsdefinition ......................................................................................................................................... - 1 -
Anhang: Simplex Tableau 1 - Umrechnung ............................................................................................ - 2 -
Anhang: Simplex Tableau 10 ..................................................................................................................... - 2 -
Anhang: Simplex Tableau 11 ..................................................................................................................... - 2 -
- 1 -
1. Einleitung
Die Komplexität von Unternehmensentscheidungen hat sich in der Industrie über die
letzten 50 Jahre hinweg wesentlich gesteigert. Dabei sind Manager häufig gefordert aus
einer sehr großen Anzahl von Alternativen diejenige auszuwählen, die dem Unternehmen
zukünftig den größten Erfolg verschaffen wird. Um die große Anzahl an Restriktionen und
Abhängigkeiten der einzelnen Entscheidungen erfassbar zu machen hat der Simplex-
Algorithmus als ein Verfahren zur rechnerischen Lösung linearer Programme eine
herausragende Bedeutung in der Unternehmensplanung.
Der Simplex-Algorithmus wurde 1947 von George Dantzig entwickelt und konnte sich
seitdem als wichtigstes und gebräuchlichstes rechnerisches Lösungsverfahren für lineare
Systeme mit beliebig vielen Variablen profilieren.1
So nennt Zimmermann2 beispielhaft den Einsatz des Simplex-Algorithmus in der
Produktionsprogrammplanung bei Vorliegen von Kapazitätsbeschränkungen,
Verschnittminimierung bei der Produktion von Gütern,
Mischungsoptimierung - beispielsweise in der Lebensmittelindustrie zur Erreichung
geforderter Eigenschaften.
Vor allem in der Informationstechnologie, wo der Simplex-Algorithmus heute in vielen
Standardsoftwarelösungen integriert ist, ermöglich er auch ohne entsprechende
Sachkenntnisse auf sehr schnellem Weg optimale Lösungen für betriebswirtschaftliche
Probleme.3 So verwendet die Firma SAP in ihrem Modul SCM (Supply Chain
Management) diese Methode zur Optimierung von Logistiknetzwerken und zur
Beschaffungsplanung.4
Ziel dieser Hausarbeit ist es die Idee des Simplex-Algorithmus darzustellen, anhand eines
Beispiels zu erläutern und eine Interpretation der ermittelten Ergebnisse vorzunehmen.
Es sollen deshalb in Kapitel 2 die theoretischen Eigenschaften des Algorithmus geklärt
werden um anschließend in Kapitel 3 auf den Prozess der Lösungsermittlung theoretisch
sowie anhand eines Beispiels einzugehen. Hier wird zuerst das Standard-Maximum
Problem näher betrachtet während danach in Kapitel 3.3 sowie 3.4 auf einzelne
Sonderprobleme eingegangen wird.
1 Vgl. Friedrich, A, Lineare Optimierung – Probleme und Lösungen aus Wirtschaft und Technik, S. 30ff.
2 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 48.
3 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 65 sowie http://www.ilog.com/ als Standardpaket zum
Durchführen von Optimierungsaufgaben.
4 SAP Deutschlang AG: http://www.sap.com/germany/media/50062625.pdf, Seite 13 Zugriff am 03.07.08.
- 2 -
2. Darstellung des Simplex-Algorithmus
2.1. Einordnung im Gesamtgebiet des Operations Research
Die Simplex-Methode ist ein Verfahren aus dem Bereich der linearen Optimierung zur
rechnerischen Lösung von in Normalform (in der Literatur auch Standardform genannt)
vorliegenden Ausgangsproblemen.5 Unter linearer Optimierung versteht man die
Optimierung – das heißt die Maximierung oder Minimierung – einer linearen Funktion, der
so genannten Zielfunktion, deren Variablen einem System von linearen Ungleichungen
oder Gleichungen, den so genannten Restriktionen, genügen müssen.6
Zur rechnerischen Lösung von linearen Optimierungsaufgaben hat sich eine große Anzahl
an Verfahren entwickelt, wobei das hieraus bekannteste und gebräuchlichste das
Simplexverfahren ist.7
2.2. Theoretische Grundlagen des Simplex-Algorithmus
Der Begriff Simplex-Algorithmus lässt sich aus der Bezeichnung der Lösungsmenge des zu
lösenden Problems ableiten. Hiernach ist die Menge der zulässigen Lösungen eines linearen
Programms durch ein konvexes Polyeder darstellbar, der auch als n-dimensionaler Simplex
bezeichnet wird. Unter einem Polyeder versteht man einen Körper, der ausschließlich von
geraden Flächen begrenzt wird.8
Nach dem Hauptsatz der linearen Optimierung kann nun bewiesen werden, dass ein
Maximum oder Minimum, falls vorhanden, immer in einem, oder sofern mehrere
Lösungen vorliegen, in mehreren Eckpunkten des Polyeders gefunden werden kann.9
Zur Ermittlung eines gesuchten Optimums ermöglicht das Simplexverfahren ausgehend
von einem Startpunkt in einem Iterationsverfahren den jeweils nächst besseren Eckpunkt
des Polyeders zu bestimmen. Dieser Schritt wird solange wiederholt bis eine optimale
Lösung, falls vorhanden, ermittelt wurde. Andererseits gibt es auch Probleme, dessen
Lösung unbeschränkt beziehungsweise nicht zulässig ist.10
5 Grötschel, M., Lineare Optimierung, 2002, S. 111.
6 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 48.
7 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 48.
8 Schick, C., Lineares Optimieren, 1975, S. 80 – 82.
9 Grötschel, M: Lineare Optimierung, 2002, S. 111.
10 Grötschel, M: Lineare Optimierung, 2002, S. 126.
- 3 -
2.3. Komplexität
Das Simplexverfahren zählt zu den erprobtesten Verfahren des Operations Research und
erweist sich in der Praxis als sehr schnell. Bei einer Vielzahl an Problemen konnte gezeigt
werden, dass es vielen anderen vergleichbaren Methoden überlegen ist.11 Hier gilt als
Faustregel, dass die Laufzeit des Simplexverfahrens weitgehend linear von der Anzahl der
Restriktionen und sogar geringer als linear mit der Anzahl der Variablen ansteigt.12
Ein weiterer großer Vorteil des Simplexverfahrens ist dessen Fähigkeit bei einer leichten
Veränderung des Ausgangsproblems, beispielsweise beim Hinzufügen einer zusätzlichen
Restriktion, die vorhandene Lösung als Ausgangspunkt zu nutzen. Somit kann mit einer im
Vergleich zum Ausgangsproblem sehr geringen Anzahl an Iterationen die neue optimale
Lösung ermittelt werden.13
Im Gegensatz zu den empirischen Ergebnissen aus der Praxis über den niedrigen
durchschnittlichen Rechenaufwand konnten Mathematiker Optimierungsprobleme
erstellen, bei dem der Simplex-Algorithmus sich als sehr langsam erweist. So konnten Klee
und Minty 1972 ein Beispiel konstruieren, bei dem der von Danzig ursprünglich
entwickelte Algorithmus eine exponentielle Laufzeit aufweist. 14 In diesem Fall wird der
Simplex-Algorithmus alle möglichen Eckpunkte des zulässigen Bereichs absuchen bevor
die optimale Lösung erreicht wird.15 Dieses Verhalten des Algorithmus stellt das
schlechtmöglichste Laufzeitverhalten dar. Jedoch sind solche Beispiele immer als
Ausnahmen zu sehen.
11 Neumann, K. / Morlock K., Operations Research, München, Carl Hanser Verlag, 2002, S. 160.
12 Neumann, K. / Morlock K., Operations Research, München, Carl Hanser Verlag, 2002, S. 160.
13 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 65.
14 Klee, V. / Minty, G.J.: How good is the simplex algorithm? In: O. Shisha (Hrsg.), Inequalities, Academic
Press, S. 159 – 175.
15 Dempe, S. /Schreier H., Operations Research, 2006, S. 66-67 und S. 346 ff.
- 4 -
3. Mathematisches Lösungsverfahren
3.1. Prozess der Lösungsermittlung
Der Simplex-Algorithmus löst lineare Optimierungsaufgaben, welche in Normalform
vorliegen. Unter einer Normalform16 versteht man ein lineares Gleichungssystem der
Form:
(1) c1x1 + c2x2 + … + cnxn Max lineare Zielfunktion
(2) a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 Restriktionen
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
(3) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, …, xn ≥ 0 Nichtnegativitätsbedingungen
Mit i = {1,…,m} wird die Zeilenindexmenge beschrieben, mit j = {1,…,n} die
Spaltenindexmenge.
xj Strukturvariablen
cj Koeffizienten der Zielfunktion
aij Koeffizienten der Beschränkungen
bi Rechte Seite der Beschränkungen
Meistens liegt aber eine gegebene lineare Optimierungsaufgabe nicht in Normalform vor.
Jedoch kann gezeigt werden, dass alle linearen Programme, die diese Voraussetzungen
nicht erfüllen, auf solche zurückgeführt werden können. Damit der Simplex-Algorithmus
universell für alle Probleme der linearen Optimierung einsetzbar.17 In den nachfolgenden
Kapiteln 3.2.3, 3.3 sowie 3.4 wird neben der Ermittlung zur Lösung einer in Normalform
vorliegenden Optimierungsaufgabe auch ein Schwerpunkt auf die Transformation eines
Ausgangsproblems zur Normalform gelegt.
Für das Gleichungssystem in Normalform, so die Annahme, gilt, dass m < n ist und es
damit unterbestimmt ist. 18 Es ist damit nicht möglich eine eindeutige Lösung mit Hilfe des
Gauß’schen Eliminationsverfahrens zu ermitteln.19 Um trotzdem, sofern existierend, eine
eindeutige Lösung zu bestimmen, werden wie im Verlauf dieser Hausarbeit gezeigt wird,
gezielt einzelne Variablen genullt, um das lineare Optimierungsproblem lösen zu können.
Liegt das lineare Programm in Normalform vor, so muss in einem ersten Schritt ein
Einstiegspunkt für den Simplex-Algorithmus, das heißt eine erste Basislösung gefunden
werden, von dem aus die iterative Optimierung starten kann. Unter einer Basislösung
16 Schick, C., Lineares Optimieren, 1975, S. 102.
17Grötschel, M: Lineare Optimierung, 2002, S. 113.
18 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 51.
19 Grötschel, M: Lineare Optimierung, 2002, S. 112.
- 5 -
versteht man eine zulässige Lösung der Zielfunktion, die sowohl die Nichtnegativitäts- als
auch die Restriktionsbedingungen erfüllt.
Von diesem Startpunkt aus ist es dann Ziel, eine Basislösung zu finden, welche einen
maximalen Wert der Zielfunktion erreicht. Ob dieser Zustand erreicht wurde ist an der
Zielfunktion zu erkennen. Weißt diese noch negative Koeffizienten auf, so ist klar, dass
eine weitere Optimierung möglich ist. Dies wird erreicht indem die zugehörige Variable in
die Basis aufgenommen wird. 20
Bei der Auswahl der zu überführenden Nichtbasisvariable können verschiedene Strategien
verfolgt werden. In dieser Arbeit wird aus Vereinfachungsgründen das Element
ausgewählt, das den größten negativen Koeffizient in der Zielfunktion aufweist. Das
theoretische Problem hierbei ist, dass die Restriktionen bei der Auswahl unbeachtet
bleiben, wobei diese einen wesentlichen Beitrag auf die Wirksamkeit des
Optimierungsschrittes haben können. Andere Strategien versuchen deshalb zuerst den
größten Fortschritt zu berechnen (bezeichnet in der Literatur als „Größte-Fortschritt-
Regel“).21
Ergebnis der Optimierung ist dann ein ermitteltes Optimum beziehungsweise die
Feststellung, dass die Lösung unbeschränkt oder unlösbar ist.
Folgende Übersicht soll die verschiedenen Phasen der Lösungsermittlung noch einmal
verdeutlichen:
Gegebene
lineare
Optimierungsaufgabe
NormalformOptimale Lösung
oder keine Lösung
Iterative
OptimierungTransformation
Darstellung 1: Abbildung in Anlehnung an Dempe, 2006, S. 20
20 Schick, C., Lineares Optimieren, 1975, S. 120.
21 Grötschel, M: Lineare Optimierung, 2002, S. 145.
- 6 -
3.2. Das Standard-Maximum-Problem
3.2.1. Darstellung des Ausgangsproblems
Zur Abhandlung und Verdeutlichung des Simplex-Algorithmus wird im nachfolgenden ein
Beispiel aus der Produktionsplanung aufgegriffen und dies unter Verwendung des Simplex-
Algorithmus optimal gelöst. 22
Für einen Kleinbetrieb ist das gewinnmaximale Produktionsprogramm zu ermitteln. Es
können die Artikel 1 und 2 mit einem Gewinn von g1 = 500 € und g2 = 800 € gefertigt
werden.
Die zur Produktion vorhandenen Kapazitäten sind jedoch beschränkt. In der Produktion
stehen nur die zwei Maschinen A und B zur Verfügung sowie eine beschränkte Anzahl an
Mitarbeitern in der Montageabteilung. Die technischen Daten sind in folgender Tabelle
aufgelistet:
Artikel Kapazität pro Tag 1 ≙ x1 2 ≙ x2
Maschine A Maschine B Montageabteilung
5 Stunden 1 Stunde 6 Stunden
2 Stunden 5 Stunden 6 Stunden
24 Stunden 24 Stunden 36 Stunden
Gewinn pro Stück 500 € 800 €
Tabelle Verbrauch und Kapazitäten
Die 36 Stunden Kapazität in der Montageabteilung bedeuten, dass alle Mitarbeiter
zusammen diese Anzahl an Stunden pro Tag arbeiten. Die mathematische Formulierung
des Problems lautet:
Lineare Zielfunktion
Z = 500x1 + 800x2 Zielfunktion (kurz Z) Max!
Lineare Restriktionen
(1) 5x1 + 2x2 ≤ 24 (2) x1 + 5x2 ≤ 24 (3) 6x1 + 6x2 ≤ 36
Nichtnegativitätsbedingungen
(4) x1 ≥ 0 (5) x2 ≥ 0
Gesucht ist nun die Anzahl an Produkten 1 und 2, die gefertigt werden müssen, um den Gewinn des Unternehmens pro Tag zu optimieren.
22 Beispiel in Anlehnung an Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 49f.
- 7 -
3.2.2. Begriff des Standard-Maximum-Problems
Bei dem vorliegenden Problem handelt es sich um ein Standard-Maximum-Problem.
Hierunter versteht man ein lineares Optimierungsprogramm der Form
(1) c1x1 + c2x2 + … + cnxn Max
(2) a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm
(3) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, …, xn ≥ 0
Wie an den ≤ Zeichen in den Restriktionen ersichtlich ist, liegen solche Probleme nicht in
Normalform vor. Zur Überführung werden Schlupfvariablen y1,…,yn eingeführt, um die
vorliegenden linearen Restriktionsungleichungen in Gleichungen zu überführen. Die
Schlupfvariablen fungieren damit als Puffer zwischen b1,…,bn und den linken Seiten der
Ungleichungen. Sie nehmen die Differenz des Betrags zwischen den zwei Seiten auf. Auch
für diese speziellen Variablen muss die Nichtnegativitätsbedingung gelten. In der linearen
Zielfunktion werden die Schlupfvariablen mit null multipliziert, da natürlich die Werte
dieser keine Auswirkungen auf die Zielfunktion haben sollen.23
3.2.3. Rechnerische Ermittlung des Optimums
Ausgangspunkt für das Simplexverfahren sind die Restriktionen. Wie bereits aufgezeigt,
können durch das Hinzufügen von Schlupfvariablen aus den bestehenden Ungleichungen
Gleichungen erstellt werden.
(1) 5x1 + 2x2 +y1 = 24
(2) x1 + 5x2 +y2 = 24
(3) 6x1 + 6x2 +y3 = 36
Möchte man hier eine Interpretation der Schlupfvariablen vornehmen, so können diese als
Leerlaufzeit interpretiert werden, also der Differenz der verfügbaren und der für die
Produktion der Produkte 1 und 2 benötigten Kapazitäten auf der linken Seite des
Gleichheitszeichens.24 Der nächste Schritt besteht in der Umstellung der Zielfunktion Z
nach null sodass diese anschließend lautet:
Z - 500x1 - 800x2 = 0.
Die vorhandenen Funktionen werden mit Ausnahme der Nichtnegativitätsbedingungen in
ein sogenanntes Simplex Tableau übernommen, wobei fehlende Koeffizienten der
einzelnen Funktionen durch eine null gekennzeichnet werden.
23 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 51.
24 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 18.
- 8 -
Die Nichtnegativitätsbedingungen werden nicht erfasst und müssen implizit bei jedem
Optimierungsschritt überprüft werden.
Z x1 x2 y1 y2 y3 bi
1,00 -500,00 -800,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 5,00 2,00 1,00 0,00 0,00 24,00
0,00 1,00 5,00 0,00 1,00 0,00 24,00
0,00 6,00 6,00 0,00 0,00 1,00 36,00
Darstellung 2: Simplex Tableau
Bei linearen Problemen, die dem Standard-Maximum-Problem entsprechen kann durch
Gleichsetzung der Entscheidungsvariablen mit Null eine erste zulässige Basislösung
gefunden werden.
Entscheidungsvariablen sind diejenigen veränderlichen Variablen, deren Wert in
Abhängigkeit von der Zielfunktion optimal zu bestimmen ist, in unserem Fallbeispiel also
x1 sowie x2.
Diese gefundene Basislösung entspricht bei graphischer Darstellung dem Ursprung des
Koordinatensystems. Die Basisvariablen y1, y2 und y3 zeichnen sich dadurch aus, dass sie in
genau einer einzigen Zeile des Tableaus auftreten. Möchte man die gefundene Lösung
beispielhaft an Restriktion 2 verdeutlichen so kann folgende Gleichung abgelesen werden.
0Z + 1x1 + 5x2 + 0 y1 +1y2+ 0 y3 = 24
Da x1 sowie x2 aufgrund ihres Status als Nichtbasisvariable der Wert Null zugewiesen wird,
kann die Funktion zusammengefasst werden zu
y2 = 24
Dies bedeutet, dass 24 Stunden freie Kapazitäten auf der Maschine 2 verfügbar sind.
Ähnliches kann für alle anderen Restriktionen ermittelt werden.
Da die gefundene Basislösung eine Einstellung der Produktion bedeuten würde, ist
praktisch bereits ersichtlich, dass eine optimale Lösung noch nicht erreicht wurde. Dies
lässt sich zusätzlich an den negativen Nichtbasisvariablen-Koeffizienten in der Zielfunktion
ablesen, welche aufzeigen, dass eine weitere Optimierung möglich ist und damit der
Gewinn durch die Produktion der Produkte 1 oder 2 steigen wird.25 Besonders das
Produkt 2 mit einem zusätzlichen Gewinn von 800 € pro Stück sollte unter Beachtung der
Restriktionen in höchstmöglicher Stückzahl produziert werden. Damit wird die Spalte der
Variable x2 als Pivotspalte ausgewählt um sie zu einer Basisvariable zu überführen.26
25 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 53.
26 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 53.
Zielfunktion
Restriktion
1.
2.
3.
- 9 -
Unter einer Pivotspalte, in der Literatur auch Austauschspalte genannt, versteht man jene
Spalte in einem Simplex Tableau, welche ausgewählt wird, um sie zu einer Basisvariablen zu
überführen.27
Die maximale Produktionsmenge kann ermittelt werden, indem alle einzelnen
Restriktionsgleichungen wieder als Ungleichungen aufgefasst werden und auch x2 weiterhin
mit Null gleichgesetzt wird. Dann ergibt sich:
2 x2 ≤ 24 x2 ≤ 12 Stück
5 x2 ≤ 24 x2 ≤ 4,8 Stück
6 x2 ≤ 36 x2 ≤ 6,0 Stück
Damit stellt die Maschine 2 mit nur 4,8 Stück produzierbaren Einheiten einen Engpass dar.
Die Zelle des Schnittpunkts aus der Pivotspalte und der ermittelten Pivotzeile ergibt dann
anschließend das Pivotelement. Die Auswahl des niedrigsten Engpasses garantiert, dass das
Tableau nach Durchführung der Optimierung nicht aus dem zulässigen Lösungsbereich
fällt.28
Die unten dargestellte Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen. Die Spalte qi dient der
Ermittlung des Pivotelements, indem wie oben beschrieben die Spalte bi durch die
Pivotspalte geteilt wird. Die grün hinterlegte Spalte verdeutlicht das gefundene
Pivotelement.29
Nichtbasisvariablen Basisvariablen
Z x1 x2 y1 y2 y3 bi qi
1,00 -500,00 -800,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 5,00 2,00 1,00 0,00 0,00 24,00 24 / 2 = 12
0,00 1,00 5,00 0,00 1,00 0,00 24,00 24 / 5 = 4,8
0,00 6,00 6,00 0,00 0,00 1,00 36,00 36 / 6 = 6,0
Simplex Tableau 1
Zu beachten ist bei der Ermittlung der Pivotzeile, dass Restriktionen, dessen Engpasswert
kleiner oder gleich null ist, nicht in die Auswahl zur Pivotzeile genommen werden dürfen.
Dies würde bei der noch zu erläuternden Umrechnung zur Basisvariable zu einem Verstoß
gegen die Nichtnegativitätsbedingungen führen und damit zu einer unzulässigen
Basislösung.30
27 Grötschel, M., Lineare Optimierung, 2002, S. 137.
28 Josef Leydold: http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node159.html, Zugriff am
05.08.08.
29 Grötschel, M., Lineare Optimierung, 2002, S. 120.
30 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 22.
Engpass
Pivotspalte
- 10 -
Um dieses Tableau in eine neue Basislösung zu überführen, muss die Pivotspalte so
umgerechnet werden, dass sie als Basisvariable auftritt.31
Hierzu muss die Pivotzeile im ersten Schritt komplett durch das Pivotelement geteilt
werden. Anschließend wird von der so ermittelten Zeile ein entsprechendes Vielfaches der
anderen Zeilen addiert beziehungsweise subtrahiert32, so dass ein Einheitsspaltenvektor in
der Pivotspalte entsteht.33
Durch die Anwendung der oben genannten Vorgehensweise entsteht folgende zweite
Tabelle. Die detailierte Umrechnung des Simplex Tableau 1 befindet sich im Anhang.
Nichtbasisvariablen Basisvariablen
Z x1 y2 x2 y1 y3 bi qi
1,00 -340,00 160,00 0,00 0,00 0,00 3840,00
0,00 4,60 -0,40 0,00 1,00 0,00 14,40 14,40 /4,60 = 3,13
0,00 0,20 0,20 1,00 0,00 0,00 4,80 4,80 / 0,20 = 24,0
0,00 4,80 -1,20 0,00 0,00 1,00 7,20 7,20 / 4,80 = 1,50
Simplex Tableau 2
Bei Überprüfung der Zielfunktion auf Optimalität ist feststellbar, dass noch kein optimales
Ergebnis erreicht wurde, da der Koeffizient von x1 weiterhin negativ ist und damit als
Pivotspalte zu einer Basisvariable überführt werden muss. Auch hier ist ähnlich wie im
ersten Tableau die Pivotzeile beziehungsweise der Engpass zu ermitteln und aus dem
Schnittpunkt der Pivotzeile mit der Pivotspalte das Pivotelement festzulegen. Das
Pivotelement ist im vorliegenden Fall der Wert 4,80, der im Simplex Tableau 2 grün
unterlegt dargestellt ist. Durch weitere Optimierung erhält man anschließend folgendes
Tableau:
Nichtbasisvariablen Basisvariablen
Z y2 y3 y1 x1 x2 bi qi
1,00 75,00 70,83 0,00 0,00 0,00 4350,00
0,00 0,75 -0,96 1,00 0,00 0,00 7,50
0,00 0,25 -0,04 0,00 0,00 1,00 4,50
0,00 -0,25 0,21 0,00 1,00 0,00 1,50
Simplex Tableau 3
31 Grötschel, M., Lineare Optimierung, 2002, S. 120.
32 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 23.
33 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 19.
- 11 -
Da im vorliegenden Fall für alle Variablen der Zielfunktion ein positiver Wert erreicht wird,
ist die Optimalitätsbedingung erfüllt und die Zielfunktion hat unter Einhaltung der
Restriktionsbedingungen einen maximalen Wert erreicht. 34
3.2.4. Interpretation des Gesamttableaus
Aus dem Simplex Tableau 3 können vielfältige Rückschlüsse gezogen werden. Wichtige
Kennzahlen sind grün im Tableau unterlegt. Der maximale Gewinn beträgt im
vorliegenden Fall 4350 € und wird bei einer täglichen Produktion von 1,5 Stück von
Produkt 1 sowie 4,5 Stück von Produkt 2 erwirtschaftet. Dieses Ergebnis kann an den
Basisvariablen x1 sowie x2 abgelesen werden, indem die Zeile mit dem Wert Eins gesucht
und dann der zugehörige Wert bi abgelesen wird.35
Die Basisvariable y1 lässt erkennen, dass auf Maschine A noch 7,5 Stunden freie Kapazität
zur Verfügung stehen, die nicht genutzt werden.
Neben dieser Grundinterpretation können aber noch weitere Interpretationen
vorgenommen werden. Die in der Zielfunktion bestehenden Koeffizienten der
Nichtbasisvariablen können als Opportunitätskosten der nicht gefertigten Produkte oder
der bis zur Kapazitätsgrenze genutzten Produktionsfaktoren interpretiert werden.36 Diese
Opportunitätskosten bedeuten folgendes:
Für jede Stunde Mindereinsatz der Maschine B (Spalte y2) geht der Gewinn um 75 €
zurück, beziehungsweise für jede zusätzliche Einsatzstunde der Maschine steigt der
Gewinn um eben diesen Betrag. Ähnliches gilt für die Montagegruppe (Spalte y3). Für jede
nicht gearbeitete Stunde entgehen dem Unternehmen 70,83 € Gewinn.37
Durch die Interpretation kann das Simplex Tableau als Entscheidungsgrundlage dienen
und helfen, eine Aussage darüber zu treffen, ob eine Ausweitung der Produktion sinnvoll
ist oder nicht. Sollten im vorliegenden Fall exemplarisch die Kosten für Überstunden an
Maschine 1 geringer als 75 € sein, kann somit eine Produktionsausweitung empfohlen
werden.
3.3. Modifikation des Standard-Maximum-Problems
3.3.1. „Größer Gleich“ Ungleichungen als Restriktionen
Das in Kapitel 3.2 beschriebene Verfahren zur Überführung eines Standard-Maximum-
Problems kann nur solange angewandt werden, wie die Restriktionen alle ≤ Zeichen
34 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 53.
35 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 26.
36 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 35.
37 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 27.
- 12 -
aufweisen. Bereits problematisch ist das Vorliegen eines Problems mit einer ≥ Restriktion.
Zwar kann durch Multiplikation der betroffenen Restriktion mit -1 das ≥ zu einem ≤
umgedreht werden,38 jedoch weißt anschließend die betroffene Zeile einen negativen Wert
auf und verstößt damit gegen die Nichtnegativitätsbedingung. Um trotzdem zu einer
zulässigen Basislösung zu gelangen muss die bisher als Basisvariable geführte negative
Variable aus dem Tableau in eine Nichtbasisvariable überführt werden, was in einer
vorgelagerten Phase geschehen muss. 39
Zu beachten ist, dass falls in der Pivotzeile tatsächlich nur positive Nichtbasis-Variablen
auftreten, keine Lösung für das Problem gefunden werden kann und der Simplex-
Algorithmus beendet ist.40
Das in Kapitel 3.2.1 dargestellte Ausgangsproblem soll zur Verdeutlichung des Vorgehens
dienen.
Neben den bereits vorgestellten Restriktionen soll nun gelten, dass von Produkt 1 und 2
aufgrund von Kundenverpflichtungen zusammen mindestens 3 Stück pro Tag produziert
werden sollen. Die hieraus zu berücksichtigende Restriktion
x1 + x2 ≥ 3.
kann durch Multiplikation mit -1 in eine Kleiner-Gleich-Beziehung überführt werden. Eine
weitere Schlupfvariable y4 wird eingeführt um eine der Normalform entsprechende
Gleichung zu erhalten:
-x1 - x2 + y4 = -3
Das Ausgangstableau lautet damit
Nichtbasisvariablen Basisvariablen
Z x1 x2 y1 y2 y3 y4 bi qi
1,00 -500,00 -800,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 5,00 2,00 1,00 0,00 0,00 0,00 24,00
0,00 1,00 5,00 0,00 ,00 0,00 0,00 24,00
0,00 6,00 6,00 0,00 0,00 1,00 0,00 36,00
0,00 -1,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 -3,00
Simplex Tableau 4
Im Ausgangstableau kann in den grün hinterlegten Feldern der Verstoß gegen die
Nichtnegativitätsbedingung erkannt werden. Die Schlupfvariable y4 weist einen negativen
Wert auf. Die ermittelte Lösung ist damit nicht zulässig. Um dieses Problem zu beheben
38 Dempe, S. /Schreier H., Operations Research, 2006, S. 18.
39 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 57.
40 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 57.
neue Restriktion
- 13 -
muss eine Phase vor der eigentlichen Optimierung geschaltet werden. Zu Beginn muss zur
Überführung das negative Pivotelement x2 ausgewählt werden.
Da sowohl x1 als auch x2 einen negativen Wert enthalten ist das Auswählen des
Pivotelements hierbei frei.41 Anschließend kann das Tableau passend umgerechnet werden.
Nichtbasisvariablen Basisvariablen
Z x1 y4 x2 y1 y2 y3 bi qi
1,00 300,00 -800,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2400,00
0,00 3,00 2,00 0,00 1,00 0,00 0,00 18,00 9,00
0,00 -4,00 5,00 0,00 0,00 1,00 0,00 9,00 1,80
0,00 0,00 6,00 0,00 0,00 0,00 1,00 18,00 3,00
0,00 1,00 -1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 3,00 -3,00
Simplex Tableau 5
Das Ergebnis dieser Umrechnung ist ein in Normalform befindliches Ausgangstableau,
dass nun wie gewohnt optimiert werden kann, so dass nach Durchführung der
Optimierung folgendes Tableau für das optimierte Produktionsprogramm vorliegt
(Zwischenschritt siehe Simplex Tableau 10 im Anhang).
Nichtbasisvariablen Basisvariablen
Z y2 y3 x1 x2 y1 y4 bi qi
1,00 75,00 70,83 0,00 0,00 0,00 0,00 4350,00
0,00 0,75 -0,96 0,00 0,00 1,00 0,00 7,50
0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,00 1,00 3,00
0,00 -0,25 0,21 1,00 0,00 0,00 0,00 1,50
0,00 0,25 -0,04 0,00 1,00 0,00 0,00 4,50
Simplex Tableau 6
Das Ergebnis des optimalen Tableaus empfiehlt nun 1,5 Stück von Produkt 1 sowie 4,5
Stück von Produkt 2. Trotzdem werden die Kapazitäten nicht voll ausgenutzt. Auf
Maschine 1 stehen noch insgesamt 7,5 Stunden freie Kapazitäten zur Verfügung.
3.3.2. Gleichungen als Restriktion
Liegen anstelle der Ungleichungen in den Restriktionen Gleichungen vor, so muss auch
hier die Optimierung solange zurückgestellt werden bis eine erste zulässige Basislösung
ermittelt wird. Durch die Einführung einer zusätzlichen Schlupfvariable in der Restriktion
kann eine solche Basislösung gefunden werden.42 Diese Vorgehensweise macht Sinn, da sie
nachdem die Variable zur Nichtbasisvariable überführt wurde, anschließend mit einem
41 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 38.
42 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 58.
- 14 -
Sperrvermerk versehen wird um zu verhindern, dass diese wieder als Basisvariable
eingeführt wird.
Durch die Umwandlung zur Nichtbasisvariable wird erreicht, dass die Schlupfvariable Null
wird und damit die Gleichung erfüllt ist.43
Dem eigentlichen Simplex-Algorithmus muss damit wiederum eine weitere Phase
vorgeschaltet werden, in dem die mit einem Sperrvermerk versehenen Variablen als
Pivotzeilen bestimmt werden. Die Behandlung der einzelnen Zeilen bei vorliegen mehrerer
mit Sperrvermerk versehenen Variablen ist vollkommen beliebig. Als zugehörige Pivot-
spalte ist eine beliebige Nichtbasisvariable wählbar, sofern die Nichtbasisvariable ≠ 0 ist. 44
Das Verfahren soll wieder an dem unter Punkt 3.2.1 dargestellten Ausgangsproblem
dargestellt werden.
Hierbei soll ein dritter Artikel in das Produktionsprogramm aufgenommen werden. Bei
einem Gewinn von 100 € pro Stück wird eine Fertigungszeit von je 3 Stunden auf
Maschine A benötigt. Abgesehen von einer Einheit des Artikels 1 kann der Artikel 3 nur
zusammen mit dem Artikel 1 verkauft werden. Es ist damit eine zusätzliche
Restriktionsgleichung der Form x1 = 1 + x3 einzuführen, die nach Umstellung in die Form
x1 - x3 = 1 als Restriktion in das vorliegende Gleichungssystem einfließen wird:
(1) 5x1 + 2x2 +3x3 ≤ 24 (2) x1 + 5x2 ≤ 24 (3) 6x1 + 6x2 ≤ 36 (4) x1 - x3 = 1
Wiederrum zum Simplex Tableau überführt ergibt sich folgende Darstellung:
Nichtbasisvariablen Basisvariablen
Z x1 x2 x3 y1 y2 y3 y4(g) bi
1,00 -500,00 -800,00 -100,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 5,00 2,00 3,00 1,00 0,00 0,00 0,00 24,00
0,00 1,00 5,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 24,00
0,00 6,00 6,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 36,00
0,00 1,00 0,00 -1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00
Simplex Tableau 7
Die Variable y4 wird mit einem kleinen g für gesperrt gekennzeichnet. Die neu hinzugefügte
Restriktion wird gleichzeitig zur Pivotzeile und als zugehörige Pivotspalte wird
anschließend x1 ausgewählt. Durch Umrechnung wird die Variable y4 zur
Nichtbasisvariablen transformiert und damit das Simplex Tableau zu einer zulässigen
Basislösung überführt.
43 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 41.
44 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 58.
neue Restriktion
- 15 -
Nichtbasisvariablen Basisvariablen
Z x2 x3 y4(g) x1 y1 y2 y3 bi
1,00 -800,00 -600,00 500,00 0,00 0,00 0,00 0,00 500,00
0,00 2,00 8,00 -5,00 0,00 1,00 0,00 0,00 19,00 9,50
0,00 5,00 1,00 -1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 23,00 4,60
0,00 6,00 6,00 -6,00 0,00 0,00 0,00 1,00 30,00 5,00
0,00 0,00 -1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 -- / --
Simplex Tableau 8
Nachdem diese Form erreicht wurde kann wie gewohnt mit der Optimierung begonnen
werden. Auf Darstellung des Zwischenschrittes zur Optimierung des Simplex Tableaus
wird an dieser Stelle verzichtet, sodass direkt die optimierte Lösung dargestellt wird. Im
Anhang (Simplex Tableau 11) kann der fehlende Schritt jedoch nachgeschlagen werden.
Simplex Tableau 9
Wie an der oberen Lösung erkannt werden kann weißt die Nichtbasisvariable y4 im Simplex
Tableau 9 auch im optimalen Zustand einen negativen Wert in der Zielfunktion auf. Trotz
dieses Umstands ist das an dieser Stelle vorliegende Ergebnis optimal, da ja die Variable y4
als gesperrt gekennzeichnet ist.
Nichtbasisvariable Basisvariablen
Z y2 y3 y4 x1 x2 x3 y1 bi
1,00 50,00 91,67 -100,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4400,00
0,00 1,50 -1,58 3,00 0,00 0,00 0,00 1,00 6,00
0,00 0,25 -0,04 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 4,50
0,00 -0,25 0,21 -1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,50
0,00 -0,25 0,21 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,50
- 16 -
3.4. Minimierungs-Problem
Auch bei der Minimierung eines linearen Programms besteht die grundlegende Frage wie
man dieses Problem in die für die Anwendung des Simplexverfahrens notwendige
Normalform überführen kann. Hierfür gilt45
Z = Min ↔ (-Z) = Max
Generell kann die Aussage getroffen werden, dass eine lineare Funktion ein Minimum dort
erreicht, wo sie multipliziert mit minus eins ein Maximum hat.46 Bevor der Simplex-
Algorithmus zur Lösung des Problems angewandt werden kann, muss auch hier überprüft
werden, ob die zu optimierende Aufgabe in Normalform vorliegt und die Basislösung
zulässig ist.
Das anschließende Ergebnis kann dann durch Multiplikation mit -1 als Z interpretiert
werden.
3.5. Optimalitätskriterium
Wie in Kapitel 3.2.3 gezeigt wurde, gilt eine Zielfunktion und damit das Tableau als optimal
gelöst, wenn alle Variablen einen positiven Wert einnehmen.
Jedoch kann es immer wieder vorkommen, dass eine unbeschränkte Lösung vorliegt, dass
heißt das Optimum liegt im Unendlichen. Eine unbeschränkte Lösung liegt dann vor, wenn
die Pivotspalte nur negative Werte aufweist.47 Dies würde dazu führen, dass die Lösung bei
steigendem Wert der Basisvariable auch steigen würde und dabei weder die eigentlichen
Nichtnegativitätsbedingungen noch die Restriktionen verletzt werden würden.
45 Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, 2002, S. 50f.
46 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 60.
47 Fernuniversität Hagen: http://www.fernuni-hagen.de/BWLOR/assets/courses/k00053-9-4.pdf, S. 7
Zugriff 16.07.2008.
- 17 -
4. Anwendung des Simplex-Algorithmus in der Praxis
SAP bietet mit SAP Advanced Planner and Optimizer (kurz SAP APO) ein System, dass
die Planung und Optimierungsaufgaben im Rahmen des Supply Chain Management
übernimmt. Zur Verdeutlichung des Simplex-Algorithmus wird im Nachfolgenden eine
Optimierung mithilfe des Supply Network Planning Optimizer (SNP optimizer)
dargestellt.48
Ziel des SNP optimizer ist es, anhand einer Zielfunktion, die zum Beispiel aus Transport-,
Produktions-, Lager- und Umschlagskosten besteht, eine Logistikkette so aufeinander
abzustimmen, dass die Minimalkostenkombination hieraus entsteht.
Das bei der Optimierung in SAP zugrundeliegenden Modell bietet die Möglichkeit, so
genannte Softconstraints zu definieren, also Restriktionen die nicht unter allen Umständen
zu berücksichtigen sind. Verletzungen werden genau dann hingenommen wenn dies billiger
ist als sie einzuhalten. Damit wird eine Priorisierung einzelner Aspekte des zu
optimierenden Modells möglich. So kann eine sehr schnelle Lieferung dadurch gefördert
werden, dass entsprechend hohe Verzugskosten kalkuliert werden.49
Datenbasis
Bestellung vornehmenLineares Modell erzeugen
Optimization Solver
Lösungskonsistenz überprüfen und Optimallösung ermitteln
Daten erfassen
Ausgangsmodell Optimiertes Modell
Aktualisierte Bestellungen
Darstellung 3 nach Bartsch, H / Teufel T: Supply Chain Management mit SAP APO
Das oben dargestellte Modell zeigt den Ablauf einer Optimierung mit Hilfe von SAP auf.
Die entsprechende Zusammenstellung der Elemente der Lieferkette wird im Anschluss
automatisiert von APO vorgeschlagen.
Ausgewählt werden kann das Verfahren des primären oder dualen Simplexverfahren
beziehungsweiße das Innere Punkt Verfahren zur Lösung des Modells.50
48 Bartsch, H. / Teufel T., Supply Chain Management mit SAP, 2002, S. 318.
49 Bartsch, H. / Teufel T., Supply Chain Management mit SAP, 2002, S. 319.
50 Bartsch, H. / Teufel T., Supply Chain Management mit SAP, 2002, S. 319.
- 18 -
5. Resümee
Der hier vorgestellte Algorithmus zeigt die von Dantzig geschaffenen Grundlagen zur
Lösung linearer Probleme auf. Dieser wird auch als primale Simplexmethode bezeichnet,
da zu jeder Simplexlösung auch eine duale Lösung ermittelt werden kann, die im
Wesentlichen auf dem Tausch von Spalten und Zeilen beruht.
In der Mathematik haben sich optimierte Verfahren zum Originalverfahren von 1947
entwickelt. Als moderner Vertreter des Simplexverfahrens ist, aufgrund seiner schnelleren
Rechenzeit, das revidierte Simplexverfahren, dass sich die Eigenschaft zu nutze macht, dass
trotz des Vorhandenseins einer großen Anzahl von Restriktionen nur ein gewisser
Prozentsatz hieraus verwendet wird. Eine weitere Optimierung stellt die LU-Zerlegung dar,
die das als Matrix dargestellte Ausgangsproblem in eine untere und obere Dreiecksmatrix
unterteilt. Sie macht sich zu nutzen, dass anschließend viele Gleichungssysteme mit
derselben Matrix, aber unterschiedlichen rechten Seiten effizient gelöst werden können.51
Bei der Anwendung des Simplexverfahrens in der Praxis muss jedoch immer berücksichtigt
werden, dass hierfür eine Reihe von Annahmen getroffen werden müssen, um das Problem
in Gleichungs- beziehungsweise Ungleichungsform zu bringen. Einzelne technische oder
wirtschaftliche Aspekte können in einem solchen mathematischen Modell oft nicht
ausreichend beschrieben werden. Es entstehen Abweichungen von der realen
Problemstellung, die sich dann auch auf das Ergebnis des Verfahrens auswirken.
Alleine die in Kapitel 3.2.1 erstellte Zielfunktion geht von einem gleich bleibenden Gewinn
je abgesetztes Stück aus, was in der Praxis als sehr unrealistisch einzuschätzen ist. Eine
mögliche Fixkostendegression wird hierbei zum Beispiel nicht betrachtet.
Doch werden im Operations Research, besonders aus den Themengebieten der
Nichtlinearen Optimierung sowie der Ganzzahlen Optimierungen Lösungswege aufgezeigt,
um solche Probleme zu begegnen.52
51 Grötschel, M., Lineare Optimierung, 2002, S. 169 sowie
Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Simplex-Algorithmus, Zugriff am 02.08.08.
52 Zimmermann, W., Operations Research, 1990, S. 208f.
- 19 -
Literaturverzeichnis
Bartsch, H / Teufel T: Supply Chain Management mit SAP APO – Supply-Chain Modelle mit
dem Advanced Planner and Optimizer, Galileo Verlag, 2002
Dempe, Stephen / Schreier, Heiner: Operations Research – Deterministische Modelle und
Methoden, Wiesbaden, B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, 2006
Friedrich, Alfred: Lineare Optimierung – Probleme und Lösungen aus Wirtschaft und Technik,
Renningen-Malsheim, 2001
Grötschel, M: Lineare Optimierung – Algorithmische Diskrete Mathematik, Technische
Universität Berlin – Institut für Mathematik, 2003
Schick, Karl: Lineares Optimieren, Frankfurt am Main, 1972
Sturm, Manfred: Wirtschaftsmathematik – Lerneinheit 2, Hagen, IfV NRW, 2002
Zimmermann, Werner: Operations Research – Quantitative Methoden zur
Entscheidungsvorbereitung, München, Oldenburg, 1990
I
6. Anhang
Begriffsdefinition
nach Sturm, M., Wirtschaftsmathematik Lerneinheit 2, S.69
Basislösung gegeben ist ein lineare Gleichung mit m Gleichungen und n
Variablen (m>n). Weist man einer beliebigen Auswahl von (m-n)
Variablen (den sogenannten „freien Variablen“) den Wert Null zu,
so erhält man eine eindeutige Lösung für den restlichen n
Variablen. Die Lösung hierzu nennt man Basislösung mit n
Basisvariablen und m-n Nichtbasisvariablen.
Basisvariable siehe Basislösung.
Entscheidungs-
variable
verändlerliche Variable, deren Wert in Abhängigkeit von der
Zielfunktion optimal zu bestimmen ist; stellt die
Handlungsalternative im praktischen Problem dar.
Gesperrte
Schlupfvariable
aus mathematischen Gründen zusätzlich definierte Variable in
Zusammenhang mit einer Gleichung als Nebenbedingung:
Hintergrund ist die Idee das diese Variable einmal zur
Nichtbasisvariable überführt und damit nie mehr ≠ 0 sein kann.
Nebenbedingung Rahmenbedingung, die bei der Optimierung einer Zielfunktion
beachtet werden muss.
Nichtbasisvariable siehe Basislösung.
Nichtnegativitäts-
bedingung
Restriktion, um nicht zuzulassen, dass die Entscheidungsvariablen
oder Schlupfvariablen negativ werden.
Schlupfvariable Variable um eine Ungleichung() in eine Gleichung umzuwandeln.
Zielfunktion Funktion, die in Abhängigkeit vom praktischen Problem die
Zielsetzung des Handelns bestimmt; hierbei ist die Funktion
entweder zu maximieren oder minimieren.
II
Anhang: Simplex Tableau 1 - Umrechnung
Anhang: Simplex Tableau 10
Zur Vervollständigung der Ausarbeitung wird hier der Zwischenschritt zu Kapitel 3.3.1
dargestellt.
Nichtbasisvariablen Basisvariablen
Z x 1 y2 x2 y1 y3 y4 bi qi
1,00 -340,00 160,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3840,00
0,00 4,60 -0,40 0,00 1,00 0,00 0,00 14,40 3,13
0,00 -0,80 0,20 0,00 0,00 0,00 1,00 1,80 -2,25
0,00 4,80 -1,20 0,00 0,00 1,00 0,00 7,20 1,50
0,00 0,20 0,20 1,00 0,00 0,00 0,00 4,80 24,00
Simplex Tableau 9
Anhang: Simplex Tableau 11
Zur Vervollständigung der Ausarbeitung wird hier der Zwischenschritt zu Kapitel 3.3.2
dargestellt.
Nichtbasisvariablen Basisvariablen
Z x3 y2 y4(g) x1 x2 y1 y3 bi
1,00 -440,00 160,00 340,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4180,00
0,00 7,60 -0,40 -4,60 0,00 0,00 1,00 0,00 9,80 1,29
0,00 0,20 0,20 -0,20 0,00 1,00 0,00 0,00 4,60 23,00
0,00 4,80 -1,20 -4,80 0,00 0,00 0,00 1,00 2,40 0,50
0,00 -1,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 1,00 -1,00
Simplex Tableau 10
Nichtbasisvariablen Basisvariablen
x1 x2 y1 y2 y3 bi
-500 + 800 * 0,2 = -340
-800 + 800 * 1 = 0
0 + 800 * 0 = 0
0 + 800 * 0,2 = 160
0 + 800 * 0 = 0
0 + 800 * 4,8 = 3840
5 - 2 * 0,2 = 4,6
2 - 2 * 1 = 0
1 - 2 * 0 = 1
0 - 2 * 0,2 = -0,4
0 - 2 * 0 = 0
24 - 2 *4,8 = 14,4
1 / 5 = 0,2
5 / 5 = 1
0 / 5 = 0
1 / 5 = 0,2
0 / 5 = 0
24 / 5 = 4,8
6 - 6 * 0,2 = 4,8
6 - 6 * 1 = 0
0 - 6 * 0 = 0
0 - 6 * 0,2 = -1,2
1 - 6 * 0 = 1
36 - 6 * 4,8 = 7,2