Hasta ahora se ha estudiado como estimar una propiedad utilizando los valores conocidos de dicha propiedad obtenidos en puntos vecinos o cercanos o bien como hacer uso de una función de tendencia para guiar la estimación de la propiedad.

A continuación estudiaremos algunas técnicas geoestadísticas propuestas para obtener estimaciones de la propiedad de interés cuando se dispone de observaciones de otras variables relacionadas con la variable en estudio.

Geoestadística multivariada

Entre este tipo de técnicas se encuentran:

Cokriging Simple y Ordinario

Cokriging colocado (collocated cokriging)

Geoestadística multivariada

Al igual que en el caso de geoestadistica univariada, lo fundamental es contar con una herramienta que mida la correlación espacial de las variables involucradas y su interrelación.

La correlación espacial de cada una de las variables involucradas se obtiene como antes a través de la función de covarianza o del variograma.

La correlación espacial conjunta o la interrelación se obtiene a traves de la funcion de covarianza cruzada que estudiaremos a continuación

VARIOGRAMA CRUZADOcomportamiento espacial en conjunto

ZS

Si Z y S son funciones aleatorias estacionarias o intrínsecas, el variograma cruzado de ellas se define como :

))]()(())()([(21

)( hxSxShxZxZEhZS

))()(())()((2

1)(*

jihxx

jiZS xsxsxzxzhN

h

ji

Para su estimación se utiliza el variograma cruzado experimental

ZS

1) 00 ZS

2) hhZSZS

3) El variograma cruzado es una función simétrica

Algunas propiedades del variograma cruzado son:

hhSZZS

4) Relación con la función de covarianza cruzada

SZZS mhxSmxZEhC

La función de covarianza cruzada se define como:

ZS

hChCCh SZZSZSZS 21

0)(

La función de covarianza cruzada se relaciona con el variograma cruzado a través de la ecuación

Esta expresión se debe al hecho de que la función de covarianza no necesariamente es simétrica. Es decir, en general

hChC SZZS

ZS

Sin embargo, una práctica común es asumir que la función de covarianza es simétrica. Esto simplifica enormemente los cálculos asociados a la estimación de la función de covarianza conjunta. En ese caso,

hCCh ZSZSZS 0)(

ZS5) Relación de dependencia

Es importante tener presente que entre el variograma cruzado y los variogramas de cada una de las variables, existe una relación de dependencia. Por ejemplo, se puede demostrar que:

hhh SZZS 2Desigualdad de Hölder

2222SZZS

En particular, El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor que el cuadrado del sill del variograma cruzado.

En consecuencia, el modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de cada uno de los modelos de variogramas

individuales !

5) El modelo de coregionalización lineal

ZS

Anteriormente se aseguraba que la varianza de combinaciones lineales de la variable de interés era positiva utilizando modelos de variograma. Al incluir más variables, es necesario asegurar que la varianza de combinaciones lineales de estas sea positiva.

Para lograr esto se utiliza el modelo lineal de coregionalización, que establece que los variogramas individuales y el cruzado son combinaciones lineales de modelos de variogramas. En el caso de 2 variables se tiene que:

hwhwhwh

hvhvhvh

huhuhuh

mmZS

mmS

mmZ

2211

2211

2211

Las ecuaciones anteriores se puede escribir en forma matricial como:

)(0

0)(

)(0

0)(

)()(

)(

1

1

11

11

h

h

vw

wu

h

h

vw

wu

hh

hh

m

m

mm

mm

SZS

ZSZ

ZS

Cada una de las matrices que contienen los variogramas son definidas positivas, por lo tanto para que el resultado final sea una matriz definida positiva debe ocurrir que:

0ju 0jv 02 jjj wvu

ZSEl uso del modelo de coregionalización lineal tiene las siguientes consecuencias:

1) Todo estructura presente en el variograma cruzado deber estar presente en los variogramas individuales. El recíproco no es cierto.

2) Los variogramas individuales tendrán todos el mismo rango y la forma del variograma será la misma. Sólo se diferenciarán en los valores del sill

Esto hace que en general resulte engorroso ajustar variogramas experimentales de las variables y sus variogramas cruzados, ya que al cambiar los valores del variograma cruzado cambian los valores de los variogramas individuales. La forma de juzgar la bondad del ajuste es establecer un compromiso entre el ajuste de cada uno de los variogramas y su desviación de los valores experimentales.

3) Los variogramas individuales tendrán todos la misma dirección de anisotropía

ZS

4) Envolvente del variograma cruzado

Debido a la relación entre los parámetros u, v y w el variograma cruzado se encuentra siempre dentro de dos curvas que conforman su envolvente.

h

ZS

Planteamiento básico de la estimación por Cokriging:

Cokriging

Considerar la estimación de como una combinación lineal de lasobservaciones disponibles de Z más combinaciones lineales de las observaciones de las variables relacionadas.

Z Propiedad o variable principal, por ejemplo porosidad

S Información o variable secundaria, por ejemplo impedancia acústica

Ejemplo:

+

Combinación lineal de la variable principal

Combinación lineal de la variable secundaria

Cokriging

Z Propiedad o variable principal, por ejemplo porosidad

iS Variables secundarias, por ejemplo atributos sísmicos

En el caso general lo único que se complica es la notación :

Combinaciones lineales de las variables secundarias

Combinación lineal de la variable principal

+

+ ++

Cokriging

El caso más simple se denomina cokriging simple y la hipótesis básica es la estacionaridad de todas las variables junto con el hecho de que se asume que las medias de todas las variables son conocidas. Esto es,

COKRIGING SIMPLE

conocidaesy mmuZE

jmmuSE jjj conocidaesy

A continuación se obtendrán las ecuaciones de cokriging simple en el caso en que se considera solo una variable secundaria. En este caso el estimador propuesto es

Cokriging

Al igual que antes, las condiciones de optimalidad son:

1) Estimador insesgado uZEuZE cok ))(( *

2) ]var[ * uZuZ cok mínima

La primera condición se obtiene automáticamente al utilizar que:

0 muZE

011 1 mxSE

Con lo cual,

uZEmuZE cok ))(( *

Cokriging

La condición de varianza mínima se obtiene derivando respecto a los parámetros y e igualando a cero cada una de las derivadas obtenidas.

Ncok juZuZ

j

,,2,1*

0)]()(var[

1,,2,1*

0)]()(var[

Ncok juZuZ

j

Para calcular explícitamente la expresión de la varianza hay que proceder con cautela debido a que aparecen nuevos términos a considerar.

))(),(cov(2)](var[)](var[)]()(var[ *** uZuZuZuZuZuZ cokcokcok

1T 2T 3T

Cokriging

21 )](var[ uZT

)](var[ *2 uZT cok

)(2)()( jiZSjiiSjiiZji xuCxxCuuC jj

)))((),)((cov(2)))((var()))((var( jjjiijjjii mxSmuZmxSmuZ

Covarianza de la variable principal

Covarianza de la variable secundaria

Covarianza cruzada entre la variable primaria y la variable secundaria

)(2)(2))(),(cov(2 *3 jZSjiZicok xuCuuCuZuZT

Cokriging

Al calcular las derivadas respectivas se obtiene que

NiZ

N

jjiZSj

N

jjiZj

i

cok iuuCxuCuuCuZuZ

,,2,1

11

*222

)]()(var[

1,,2,1

11

*)(222

)]()(var[NiZS

N

jjiZSj

N

jjiSj

i

cok ixuCxuCxxCuZuZ

Ahora la expresión detallada del sistema de ecuaciones es

Cokriging

1111111

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2121

21222212

12112111

2121

22212212

12111121

0|

|

0|

0|

|

|0

|

|0

|0

NS

S

S

NZ

Z

Z

N

N

SNSNSNNSZNSZNSZ

NSSSNSZSZSZ

NSSSNSZSZSZ

NNZSNZSNZSZNZNZ

NZSZSZSNZZZ

NZSZSZSNZZZ

xuC

xuC

xuC

uuC

uuC

uuC

CxxCxxCuxCuxCuxC

xxCCxxCuxCuxCuxC

xxCxxCCuxCuxCuxC

xuCxuCxuCCuuCuuC

xuCxuCxuCuuCCuuC

xuCxuCxuCuuCuuCC

Su

Zu

SSZ

ZSZ

C

C

CC

CC

Cokriging

COKRIGING ORDINARIO

Al igual que en el caso de kriging ordinario, se asume que las medias de las variables son desconocidas y se imponen condiciones para filtrarlas.

+

El estimador propuesto es

Con lo cual,

K

j

N

jcok

j

j

jmmuZE

1 1

* ))((

Y se obtienen las condiciones,

1 K

N

jj

j

j,,2,1

1

0

Cokriging

Ahora se procede nuevamente como en el kriging ordinario pero con K+1 parámetros de Lagrange. Cuando se tiene tan solo una variable secundaria, el sistema de ecuaciones del cokriging ordinario es

0

1

0010

0001

10

01

2

1

Su

Zu

SSZ

ZSZ

C

C

CC

CC

Cokriging

OBSERVACIONES

1) Con sólo 2 variables se requieren 4 funciones de covarianza. En general, con N variables secundarias se requieren 2N+1 funciones de covarianza.

3) Las variables secundarias deben poseer un número mucho mayor de observaciones que la variable principal.

2) Debe existir una correlación lineal entre las variable principal y las variables secundarias

Cokriging

4) Imposible estimar las covarianzas cruzadas con datos NO coincidentes

Variable secundaria (impedancia acústica)

Variable principal (porosidad)

Cokriging

5) Resultados satisfactorios se obtienen con datos parcialmente coincidentes

Variable secundaria (impedancia acústica)

Variable principal (porosidad)

Variable principal y variable secundaria

Cokriging

6) Con datos totalmente coincidentes

Conveniente para estimar de manera consistente el tope y la base de un yacimiento

Tope

Base

No se obtiene una mejora sustancial sobre los métodos de kriging cuando la variable secundaria es la información sísmica.

Cokriging

Cuando las variables están intrínsicamente relacionadas, es decir cuando ocurre que los modelos de variograma o covarianza de todas las variables son proporcionales a un un mismo modelo de variograma o covarianza, entonces el kriging y el cokriging con datos totalmente coincidentes son iguales.

!

Collocated Cokriging

Una simplificación al sistema de ecuaciones del Cokriging se obtiene cuando se considera solo una variable secundaria y únicamente en el punto donde se requiere realizar la estimación.

En este caso, el estimador propuesto es

Al igual que antes se obtienen distintas versiones cuando se conoce o no la media de las variables involucradas.

A continuación estudiaremos el cokriging colocado simple y el cokriging colocado ordinario.

Collocated Cokriging

COLLOCATED SIMPLE COKRIGING

La hipótesis básica es la estacionaridad de las variables junto con el hecho de que se asume que las medias de las variables son conocidas. Esto es,

conocidaesy mmuZE

conocidaesy SS mmuSE

En este caso, el estimador propuesto es

Al proceder exactamente igual que en el caso de cokriging simple se obtiene que:

Collocated Cokriging

NiZiZS

N

jjiZj

i

ck iuuCuuCuuCuZuZ

,,2,1

1

*222

)]()(var[

)0(222)]()(var[

1

2*

ZS

N

iiZSjS

ck CuuCuZuZ

Ahora se obtiene un sistema de ecuaciones de N+1 variables con N+1 incógnitas en lugar del sistema de N+ N1 ecuaciones con N+ N1 variables del kriging simple con solo una variable secundaria.

El sistema de ecuaciones se escribe en forma matricial como:

Collocated Cokriging

0

0

0

0

2

1

2

1

221

21

2212

1121

ZS

NZ

Z

Z

N

SNZSZSZS

NZSZNZNZ

ZSNZZZ

ZSNZZZ

C

uuC

uuC

uuC

uuCuuCuuC

uuCCuuCuuC

uuCuuCCuuC

uuCuuCuuCC

Es importante observar que:

• No se requiere conocer la función de covarianza de la variable secundaria.

• El sistema sólo depende de la función de covarianza de la variable principal y de la función de covarianza cruzada.

• Es necesario conocer el valor de la variable secundaria en todo los puntos donde se requiere estimar el valor de la variable primaria.

Collocated Cokriging

Aproximación de la covarianza cruzada

En el cokriging colocado se asume que la función de covarianza cruzada y la función de covarianza de la variable principal son proporcionales. Es decir, que

hhCbhC ZZS

Esta hipótesis tiene sentido porque se asume una relación lineal entre las variables. Además, en particular se tiene que:

000

00/0

0

0ZS

Z

ZSZS

Z

ZS CCC

CCC

C

Cb

000 ZS

ZCC

CZS

ZS

Z

SC

C 0

0

En consecuencia,

hhC

C

ChC Z

Z

SZS ZS

0

0

Collocated Cokriging

Correlación lineal entre las variables Z y S.

Esta expresión permite manipular el coeficiente de correlación y obtener así diversas estimaciones de la variable principal para distintos grados de correlación con la variable secundaria.

Es importante cuando se tiene incertidumbre sobre el grado de relación lineal de las variables involucradas.

COLLOCATED ORDINARY COKRIGING

Collocated Cokriging

Al igual que en el caso del cokriging ordinario se asume que las medias de la variable principal y la variable secundaria son desconocidas y constantes.

Ahora el estimador propuesto es:

Bajo esta suposición, la forma del estimador es distinta puesto que si se utiliza la anterior se obtiene =0 y la variable secundaria no es tomada en cuenta.

Valores de la variable principal y la variable secundaria medidos en los mismos puntos

Valor de la variable secundaria en el punto a estimar

Collocated Cokriging

Para que el estimador sea insesgado se debe verificar que:

NN

w11

0y 1

Ahora se procede como antes, considerando dos multiplicadores de Lagrange para incluir las restricciones anteriores. El sistema de ecuaciones es:

0

1

β

λ

001

000

10

2

1

2ZS

ZS

Z

SZS

S

ZS

c

c

wcc

c

c

tt

tt

ts

tSZS

ZSZ

10

01

10CC

01CC

La idea consiste en asumir que la propiedad observada Z(u) es la suma de diversos factores aleatorios e independientes. Es decir,

uZuZuZuZ K 21

Los factores no son directamente observables, sólo se cuenta con la observación Z(u).

La descomposición anterior puede variar dependiendo de las condiciones asumidas sobre la propiedad observada.

Por ejemplo, si se conoce el valor promedio m de la propiedad entonces se considera

uZuZuZmuZ K 21

y los factores como funciones aleatorias independientes de media cero.

Kriging Factorial

Kriging Factorial

La importancia de considerar a los factores como independientes es que se puede demostrar que:

hChChC KZ 1

Y es esta relación la que permite obtener estimaciones de cada una de los factores en la descomposición de la variable Z.

A continuación se estudiarán las ecuaciones para la obtención de dichas estimaciones.

Kriging Factorial

CASO 1

Se asume que Z es una función aleatoria estacionaria con media igual a cero que se descompone como suma de K factores aleatorios de media cero e independientes.

uZuZuZuZ K 21

El estimador propuesto para el factor j es:

KjuZuuZ j ,2,1*

Los Valores observados se utilizan para estimar los valores de los factores

Kriging Factorial

Como la variable y cada uno de los factores tienen media cero se obtiene directamente que:

uZEuZE jj *

Respecto a la varianza del error, se tiene que:

uZuZuZuZuZ jjjjjj**2* ,cov2]var[]var[

i

ijZj uZuZuuC )(),(cov2,

2

uuCuuC jZj 2,

2

Independencia de los factores

Kriging Factorial

A partir de esta expresión se tiene que:

NuuCuuCuZuZ

jZjj ,2,122

]var[ *

Y al igualar a cero se obtiene el sistema de ecuaciones:

NuuCuuC jZ ,2,1

Matriz de kriging simple de Z

Vector asociado a la función de covarianza del factor j

Kriging Factorial

1) La matriz de kriging es siempre la misma y lo que cambia es el vector asociado a la función de covarianza del factor j. Esto implica que es necesario invertir la matriz sólo una vez para obtener la estimación de todos los factores.

Observar que:

2) Si alguno de los factores está asociado a un effecto nugget puro entonces este no se puede estimar. Este procedimiento sólo cambia los valores de las variable Z en los puntos observados.Para efectos prácticos es mejor no considerarlo en la descomposición.

3) El número de factores se puede obtener a partir del número de estructuras presentes en la función de covarianza o variograma de la variable Z

4) La descomposición de la variable Z en factores debe tener sentido físico y no ser producto solamente de las estructuras observadas en el variograma.

Kriging Factorial

0.

0.

10.

10.

20.

20.

30.

30.

40.

40.

X (Kilometer)

X (Kilometer)

0. 0.

10. 10.

20. 20.

30. 30.

40. 40.

Y (Kilometer)

Y (Kilometer)

>=12.968612.125811.282910.449.597168.754297.911427.068566.225695.382824.539953.697082.854222.011351.168480.325613-0.517255-1.36012-2.20299-3.04586-3.88873-4.73159-5.57446-6.41733-7.2602-8.10307-8.94593-9.7888-10.6317-11.4745-12.3174-13.1603<-14.0031

N/A

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9

Z

Z

Kriging Factorial

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9

0.

0.

10.

10.

20.

20.

30.

30.

40.

40.

X (Kilometer)

X (Kilometer)

0. 0.

10. 10.

20. 20.

30. 30.

40. 40.

Y (Kilometer) Y

(Kilometer)

>=7.154796.713766.272735.83175.390674.949644.508614.067583.626553.185532.74452.303471.862441.421410.9803770.5393470.0983174-0.342712-0.783742-1.22477-1.6658-2.10683-2.54786-2.98889-3.42992-3.87095-4.31198-4.75301-5.19404-5.63507-6.0761-6.51713<-6.95816

N/A

0.

0.

10.

10.

20.

20.

30.

30.

40.

40.

X (Kilometer)

X (Kilometer)

0. 0.

10. 10.

20. 20.

30. 30.

40. 40.

Y (Kilometer) Y

(Kilometer)

>=9.285238.707568.129897.552226.974556.396885.819215.241544.663864.086193.508522.930852.353181.775511.197840.6201670.0424957-0.535175-1.11285-1.69052-2.26819-2.84586-3.42353-4.0012-4.57887-5.15654-5.73421-6.31189-6.88956-7.46723-8.0449-8.62257<-9.20024

N/A

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9

CASO 2

Se asume que Z es una función aleatoria estacionaria con media igual a m que se descompone como suma de K factores aleatorios de media cero e independientes.

uZuZuZmuZ K 21

El estimador propuesto para el factor j es:

KjuZuuZ j ,2,1*

Ahora se tiene que

i

ij uZEmuZE

*

Kriging Factorial

Kriging Factorial

Y por lo tanto, para que el estimador sea insesgado se debe imponer la condición

1

Ahora se procede como en el caso de kriging ordinario y se obtiene el sistema de ecuaciones

Nj

N

Z uuCuuC ,,2,1

1

101111

10

10

10

2

1

2

1

22

212

121

Nj

j

j

NZNZNZ

NZZZ

NZZZ

uuC

uuC

uuC

CuuCuuC

uuCCuuC

uuCuuCC

Matriz de kriging oridnario de Z

Vector asociado a la función de covarianza del factor j

Kriging Factorial

CASO 3

Se asume que Z es una función aleatoria con una función de tendencia m(u) conocida que se descompone como suma de K factores aleatorios de media cero e independientes.

uZuZuZumuZ K 21

El estimador propuesto para el factor j es:

KjuZuuZ j ,2,1*

Ahora se tiene que

i

ij uZEumuZE

*

Kriging Factorial

Y por lo tanto, para que el estimador sea insesgado se debe imponer la condición

0

um

Kriging Factorial

Ahora se procede como en el caso de kriging universal y se obtiene el sistema de ecuaciones

Nj

N

Z uuCumuuC ,,2,1

1

CASO 4

Se asume que Z es una función aleatoria con una función de tendencia m(u) desconocida que se descompone como suma de K factores aleatorios independientes.

uZuZuZuZ K 21

El problema que se tiene ahora es saber cuál es la contribución de cada uno de los factores a la tendencia de la función Z ya que

uZEuZEuZEuZE K 21

El problema puede ser resuelto asumiendo dos condiciones que a priori resultan arbitrarias.

Kriging Factorial

Kriging Factorial

• Se asume que solo uno de los factores está asociado a la función de tendencia que se observa en la variable Z mientras que los otros tienen media cero. Asi, se tendría por ejemplo:

1,2,10 KjuZE j

umuZE K

• Análogamente al caso de kriging universal, se asume que la función de tendencia es de la forma:

100

fufaumL

jjj

Kriging Factorial

De esta forma,

uZEuZE Kj*

l

ll ufa

Y al igual que en el caso de kriging universal hay que imponer la condición siguiente para asegurar que el estimador es insesgado:

Kjsiufl 0

Kjsiufuf ll

ó

Kriging Factorial

Ahora se procede como en el caso de kriging universal y se obtiene el sistema de ecuaciones

Njl

ll

N

Z uuCufuuC ,,2,1

1

Donde

nosi

jisiji

0

1 (Función Delta de Kronecker)

Kriging Factorial

FILTERING

Hasta ahora se ha visto como estimar cada uno de los factores presentes en la descomposición de Z.

Otra aplicación posible es obtener una estimación de la variable original Z pero filtrando uno o varios factores.

uZuZuZuZ K 21

)(uZ f

Zf (u) se obtiene al filtrar la componente Z1 (u). Por consiguiente, una estimación

de Z filtrando el valor de Z1 se obtiene al estimar Zf (u)

Kriging Factorial

Asumiendo que todas las variables tienen media cero, el estimador

uZuZ f )(*

es insesgado. Además, la varianza del error es

uZuZuZuZuZuZ ffffff*** ,cov2]var[]var[]var[

K

jjf uZ

2

2]var[ Por la independencia de los factores

jiZjji

if uuCuZ ,

* ]var[

uuCuZuZZuZfZfff ,cov,cov * Por la independencia de los

factores

NuuCuuCuZuZ

fZZff ,2,122

]var[ *

Y al igualar a cero se obtiene el sistema de ecuaciones:

NuuCuuCfZZ ,2,1

En consecuencia,

Kriging Factorial

Kriging Factorial

Debido a la independencia entre los factores, la función de covarianza de la variable filtrada se conoce, ya que

hChChChCKf ZZZZ

32