- 1 -

Hálózatok és rendszerek képletgyűjtemény

Háre1 (Fincsi, mi?)

Rezisztív hálózatok Feszültség-, és áramosztók

u1 =u0R1

R1+ R2i1 = i0

R2R1+ R2

ikjju1 =u0 C2C1+C2

yzz Csillag-delta átalakítások

Teljesítményillesztés Rb = Rf

Pfmax =uT2

4 Rb Nonenergikus elemek és vezérelt források - Ideális transzformátor:

u1=nu2 Rbe=n2 R2

i2= −ni1 u1i1+u2 i2=0 HNonenergikusL

- Feszültségvezérelt feszültségforrás:

i1 =0

u2 =µu1 µ: feszerősítési tényező

- Feszültségvezérelt áramforrás:

i1 =0

i2 =gu1 g: vezérlő elem

konduktanciája - Áramvezérelt feszültségforrás:

u1 =0

u2 =ri1 r: vezérlő elem ellenállása

- Áramvezérelt áramforrás:

u1 =0

i2 = αi1 α: áramerősítési tényező

- Áramvezérelt áramgenerátor:

u1 = R1 i1i2 = αi1+G2 u2

A többi generátor hasonlóképpen képezhető a forrásokból mint az áramvezérelt áramgenerátor az áramvezérelt áramforrásból.

- Csillagból deltába:

R12 =R1 R2

R1×R2×R3

R13 =R1 R3

R1×R2×R3

R23 =R2 R3

R1×R2×R3

- Deltából csillagba:

R1 =R12 R13

R12+ R13+ R23

R2 =R12 R23

R12+ R13+ R23

R3 =R13 R23

R12+ R13+ R23

- 2 -

- Girátor:

u1 =−r i2 Rbe =r2

R2r :girációs tényező

u2 =r i1 Nonenergikus! - Csatolt tekercs:

(Ez ugyan dinamikus elem, mégis itt láttam célszerűnek szerepeltetni a karakterisztikáját.)

u1 = L1 io1+ Mi

o2

u2 = L2 io2+ Mi

o1

W =1

2L1i1

2+1

2L2i2

2+ M i1 i2

Csatolási tényező:

k ~ 1: szoros csatolás k < 1: laza csatolás k max = 1

Helyettesítő kapcsolás:

(Csak akkor alkalmazható, ha 1 és 2 pontok ekvipotenciálisak, azaz összeköthetők!)

Rezisztív kétkapuk - Impedanciakarakterisztika:

u1 = R11 i1+ R12i2 @RD = Ωu2 = R21 i1+ R22i2

- Admittanciakarakterisztika:

i1 =G11 u1+G12u2 @GD = Si2 =G21 u1+G22u2

R== G

=

−1

- Hibrid karakterisztika:

u1 = H11 i1+ H12u2 @H11D = Ω @H22D = Si2 = H21 i1+ H22u2 @H12D = @H21D = 1

- Inverz-hibrid karakterisztika:

i1 = K11 u1+ K12i2 @K11D =S @K22D = Ωu2 = K21 u1+ K22i2 @K12D = @K21D = 1

H== K

=

−1

- Lánc karakterisztika:

Lánc referenciairány:

u1 =A11 u2+A12i2 @A11D = @A22D = 1i1 =A21 u2+A22i2 @A12D = Ω @A21D = S

- Inverz-lánc karakterisztika:

u2 = B11 u1+ B12i1 @B11D = @B22D = 1i2 = B21 u1+ B22i1 @B12D = Ω @B21D = S

- Reciprocitás és szimmetria

Általános feltételek: Reciprok, ha:

u2H1Li1H1L =

u1H2Li2H2L

Szimmetrikus, ha még:

u1H1Li1H1L =

u2H2Li2H2L

Feltételek paraméterekkel: ∆X= X11 X22− X12 X21

k=Mè!!!!!!!!!!L1 L2

Reciprok, ha: R12 = R21G12 =G21H12 =−H21K12 =−K21∆A= ±1

∆B= ±1

Szimmetrikus, ha még: R22 = R11G22 =G11∆H= 1

∆K= 1

A22 =±A11B22 = ±B11

- 3 -

- Passzivitás

F11 >0 F22 > 0 De valamelyik lehet nulla, továbbá:

F11 F22 ≥ J F12+ F212

N2

F lehet: R, G, H és K. Nonenergikus, ha: F22 = F11 = 0 és F12+ F21 =0

- Helyettesítőképek

- Reciprok kétkapuk Ha mindkettő létezik, akkor átalakíthatók egymásba a csillag-delta átalakítások segítségével. Ha nincs se R, se G mátrixa a kétkapunak, akkor nem létezik se T, se Π helyettesítőképe. Ez esetben ideális transzformátor lesz a helyettesítőkép.

- Szimmetrikus kétkapuk

X-tag (hídkapcsolás):

RH = R11+ R21 R11 =RH+ RK2

RK = R11− R21 R21 =RH− RK2

- Nem reciprok kétkapuk

1. Természetes helyettesítőkép

Impedanciakarakterisztikából közvetlenül felrajzolva:

A természetes helyettesítőkép közvetlenül felrajzolható az R, G, H és K paraméterekből.

2. Hibrid T/Π helyettesítőkép

- Lezárt kétkapuk

1. Generátor szempontjából vizsgálva

RB1 = R11−R12 R21R22+ Rf

2. Fogyasztó szempontjából vizsgálva

RB2 = R22−R12 R21R11+ Rb

uT =usR21

R11+ Rb iN = −is

G21G11+Gb

3. Hullámimpedancia

Az az R0 impedancia, mellyel lezárva a kétkaput, a másik oldali bemeneti impedancia is R0. Csak szimmetrikus kétkapunál van értelmezve! Másnéven karakerisztikus impedancia.

T-tag:

R1 = R11− R12R2 = R22− R12R3 = R12

Π-tag:

Ga =G11+G12Gb =G22+G12Gc =−G12

R1 = R11− R21R2 = R22− R12R3 = R12r3 = R21− R12 R1 = R11− R12R2 = R22− R12R3 = R12r2 = R21− R12 Ga =G11+G21Gb =G22+G12Gc =−G12gc =G12−G21 Ga =G11+G12Gb =G22+G12Gc =−G12gb =G21−G12

- 4 -

R0 ="################R112 − R212 =

è!!!!!!!!!!!RH RK =

è!!!!!!!!!!!!Rrz Rü

Rrz = HRB1LRf=0 Rü = HRB1LRf=∞

4. Átviteli tényezők

- Feszültség-, és áramátviteli tényező:

Wu =ikjj u2u1 yzzRf = ikjjufu1 yzzRf Wi =

ikjj− i2i1 yzzRf - Átviteli konduktancia és rezisztencia:

GT =ikjj ifu1 yzzRf = ikjj− i2u1 yzzRf RT =

ikjjufi1 yzzRf - Átviteli tényezők kifejezése paraméterekből:

Wu =R21 Rf

R11 Rf+∆RWi =

R21Rf+ R22

GT =R21

R11 Rf+∆RRT =

R21 RfRf+ R22

- Átviteli tényezők kifejezése egymásból:

Wu = Rf GT Wi =RTRf

Dinamikus hálózatok Alapelemek - Csatolt tekercs:

Lásd fentebb!

Állapotváltozós leírás

xo= A

=x—+ B

=s—

y—= C

=

Tx—+ D

=s—

- Megoldás öszzetevőkre bontással

1. Szabad-, és gerjesztett összetevő: xfo=A

=xf—

xgo=A

=xg—+ B

=s—

2. Általános megoldás kezdetiértékek

figyelembevételével: x—= xg

—+xf

—

- Megoldás elsőrendű rendszer esetén

xf = Mλt

λ = A

Aszimptotikus stabilitás feltétele: λ 0

uHtL =u0 HkonstansL esetén:

xg =xg H0L = − BAu0

x= xg+xf = MAt−B

Au0

xH+0L = M− B

Au0 M =xH+0L −xg H0L

Tehát: xHtL = HxH+0L −xg H0LL At+xg HtL yHtL = HyH+0L −yg H0LL At+yg HtL Másképp:

yHtL =yst+ HyH+0L −ystL −tτ Hyst =yH+∞LL

τ = −1

λ= RC =

L

RHidőállandóL

- Megoldás magasabb fokú rendszer esetén

- Sajátértékek és sajátvektorok meghatározása JA=− λ1

=N M—=0—

DetAA=− λ1

=E = 0

DetAA=− λ 1

=E = 0 : karakterisztikus egyenlet

DetAA=− λ 1

=E : karakterisztikus polinom

- Kondenzátor:

Q= CuC @CD = As

V= F

iC =Cu

oC

uC =uC H0L + 1

C‡0

tiC τ

WC =1

2CuC

2

PC =d

dt J 12CuC

2N

- Tekercs:

Ψ = LiL @LD = Vs

A= H

uL = LioL

iL =iL H0L + 1

L‡0

tuL τ

WL =1

2LiL

2

PL =d

dt J 12LiL

2N

- 5 -

- Szabad-, és gerjesztett összetevő meghatározása

xf—=‚i=1

n

Mi—λit xg

—=xg H0L

—= −A

=

−1 B—u0

- Végül a teljes megoldás, a kezdetiértékek (k) figyelembevételével

xH+0L—

=‚i=1

n

ki Mi—+xg H0L

—

K—= @k1... knD−1 = AM1

—... Mn

—E−1 JxH+0L

—−xg H0L

—N

Gerjesztés-válasz stabilitás: Re 8λi< 0

Vizsgálójelek módszere - Egységugrás

∂HtL = 90 t 01 t> 0

- Impulzus

δHt,τL = 9 0 0 >t > τ1τ

0 t τ ‡

−∞

∞

δHt,τL t= 1δHt,τL = @∂HtL − ∂Ht−τLD 1

τ

Ha τ→ 0: δHt,τL → δHtL HDirac impulzusL‡−∞

∞

fHtL δHt−TL t =fHTL HMintavételező tulajdonságL

Ugrásválasz: ∂HtL re adott válasz HgHtLL ∂'HtL = δHtLImpulzusválasz:δHtL re adott válasz HhHtLL g'HtL = hHtL - Kauzális rendszer válasza tetszőleges belépő gerjesztésre,

konvolúció:

yHtL =‡−0

tuHt−τLhHτL τ

yHtL =uHtL ∗hHtL Duhamel tétel: gHtL = ∂HtL g0 HtLyHtL =g0 H+0L uHtL + ∂HtL‡

0

tgo0 Ht−τLuHτL τ

- Impulzusválasz meghatározása az állapotegyenletekből

hHtL a válasz szabadösszetevője

xH+0L—

= B—=‚i=1

n

ki Mi—

ebből megvan ki

hHtL =C—

T ‚i=1

n

ki Mi—λit+ DδHtL

Másképp: hHtL = DδHtL + ∂HtL CTAt B

Komplex leírásmód - Komplex jelű függvény

uHtL = Ucos Hωt+ ϕL = Re 9U¸ϕ ¸ωt= Jelölések:

U—= U¸ ϕ : Komplex csúcsérték, vagy fazor

¸ ωt

: szinor

u—HtL = U— ¸ ωt : Komlpex jelű függvény

U—eff =

U—

è!!!!2 = Ueff ¸ ϕ

- Műveletek komplex alakban

u1 HtL +u2 HtL = Re 9IU1 ¸ ϕ1+ U2 ¸ ϕ2M ¸ ωt=cuHtL = Re 9c U¸ϕ ¸ ωt= duHtLdt

= Re 9¸ ωu—HtL=‡ uHtL t = Re 9 u—HtL

¸ ω=

- Dinamikus elemek komplex leírása

1. Kondenzátor:

U—C =Z

—C I—C Z

—C =

1

¸ ωCHkondi impedanciájaL

2. Tekercs: U—L =Z

—L I—L Z

—L = ¸ ω L Htekercs impedanciájaL

3. Fazorábrák:

- Soros rezgőkör

ω0 =1è!!!!!!!LC

x—=‚i=1

n

ki Mi—λit+xg

—

- Kondenzátor:

- Tekercs:

Ha ω L=1

ωC Z

—e = R HrezonanciaL

- 6 -

Paraméter átváltó táblázat (Szimmetrikus referenciairányokra)

p1 p2 p3 p4 p5 p6

R (Z) 1 R11 R12 R21 R22 ∆R

K (H-1

) K11 1 – K12 K21 ∆K K22

B (A-1

) B21 – B22 1 – ∆B B11 – B12

A A21 A11 – ∆A 1 – A22 – A12

H H22 ∆H H12 – H21 1 H11

G (Y) ∆G G22 – G12 – G21 G11 1

∆X = X11 X22 - X12 X21

Sorok és oszlopok arányosak. Pl.: A második sort elosztva K11-el, az első sort kapjuk. (K -> R)

Reciprok kétkapura: p3 = p4 Szimmetrikus kétkapura: p3 = p4, p2 = p5

Tetszőleges téglalapon a csúcsok átlós szorzata egyenlő. pki plj = pkj pli

A főátlóra szimmetrikus elemek szorzata 1. Pl.: A11 K21 = 1

- 7 -

Háre2

Teljesítmények számítási képletei

- Rezgőkörök vizsgálata fazorábrával

- Egyszerű (elektrolitikus) középérték és effektív érték

ue =1

T‡0

TuHtL t ueff =$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1

T ‡0

TuHtL2 t

- Teljesítmények szinuszos gerjesztésű hálózatban

A gerjesztés alakja: uHtL = Ucos Hωt+ ϕLiHtL =Icosωtϕ = ρu− ρi 1. Pillanatnyi teljesítmény:

[W] 2. Hatásos teljesítmény:

[W]

W = ‡t1

t2pHtL t ≈PHt2 −t1L

3. Meddő teljesítmény:

[var]

Csak reaktanciáknak van meddő teljesítménye. Tekercsre: Q > 0 Kondira: Q < 0 Megmaradási törvény érvényes rá:

4. Látszólagos teljesítmény:

[VA] ( Csak szinuszos esetben! )

- Teljesítménytényező:

λ =P

Sλ = cosϕ HCsak szinuszos esetben!Lλmax =1 P S ∞

- P és S szemléletes jelentése:

5. Komplex teljesítmény:

[VA]

- Definíció: pHtL =uHtL iHtLP=

1

T‡0

TpHtL t

Q=è!!!!!!!!!!!!!S2−P2

S=UI

2

S—=U—I—∗

2

- Általános képlet: pHtL =P+Scos Hωt+ ϕLP=

UI

2cosϕ = Scosϕ = Re 9S—=

Q=UI

2sinϕ = Ssinϕ = Im 9S—=

S=è!!!!!!!!!!!!!P2+Q2 = S

—

S—= P+ ¸ Q = S¸ ϕ

- Lineáris kétpólus esetén:

pHtL = RiHtL2 = GuHtL2

P= RIeff2

=1

2RI2 =

1

2G U2

Q=1

2 XI2 = −

1

2B U2

S=1

2 ZI2 =

1

2Y U2

S—=1

2 Z—I2 =

1

2Y—∗U2

pHtL =uHtL iHtL

P=1

T‡0

TpHtL t

S=UI

2

Q=è!!!!!!!!!!!!!S2−P2

‚Qi =0

S—=U—I—∗

2

- 8 -

- Teljesítményillesztés

Z—t =Z

—b∗

Z—b = Rb+ ¸ Xb

Pmax =ub2

8 RbZ—t = Rt +¸ Xt

- Átviteli tényező

H—=

Adott frekvencián a válasz komplex csúcsa

Adott frekvencián a gerjesztés komplex csúcsa - Alkalmazása: H—= H¸ ϕ U

—2 = H

—U—1 = H

¸ ϕ U1 ¸ρ1

⇓

u2HtL = H U1 cos Hωt+ ρ1+ϕL

- Átviteli karakterisztika HH¸ ωL = átviteli tényező a körfrekvencia függvényében

HH¸ ωL = HHωL ¸ ϕHωL HHωL: Amplitúdókarakterisztika I HH¸ ωL abszolútértékeMϕHωL: Fáziskarakterisztika I HH¸ ωL szöge MHHωL és ϕHωL log. egységekben ábrázolva : Bode diagram

H ϕHωL - nál a szög fokban! L

Nyquist diagram : HH¸ ωL komplex része ábrázolva

valós részének függvényében.

Periodikus gerjesztésű hálózatok - Fourier-sor

1. Valós alak:

uHtL = U0+‚k=1

∞ IUkA coskω1 t+ UkBsinkω1 tM

ω1 =2 π

T

Páros függvény H y−tengelyre tükrös L : Uk

B=0

Páratlan függvény H origóra tükrös L : UkA= 0

2. Komplex alak:

3. A valós alak egy másik formája:

uHtL = U0+‚k=1

∞

Uk cosHkω1 t+ρkLUk =2 U

—kC="#########################HUkAL2+ HUkBL2

ρk =arg U—kC= −arctg

UkB

UkA= arccos

UkA

Uk

4. Összefüggések az együtthatók közöt:

- Effektív érték a Fourier-sorból

Ueff =&'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''U02+1

2‚k=1

∞

IHUkAL2+ HUkBL2M =&'''''''''''''''''''''''U02+1

2‚k=1

∞

Uk2

- Hatásos teljesítmény a Fourier-sorból

= U0I0+‚k=1

∞ UkIk2

cos Hρuk− ρikLIUk és Ik helyett vehetjük Uk

A- t és Ik

A- t,

majd UkB- t és Ik

B- t, hasonlóan mint Ueff− nél.M

ρuk− ρik =ϕHkω1Lρu1−ρi1 = az impedancia szöge az alapharmonikuson

ρu2−ρi2 = az impedancia szöge a 2. harmonikuson - Periodikus gerjesztésű hálózatok számítása

A válasz effektív értékét is csak a válasz Fourier-során keresztül kaphatjuk meg. A rendszer a különböző frekvenciákat különböző módon viszi át. Példa: u1HtL = U10+ U11 cosω1 t+ U12cos2 ω1 tu2HtL= HH0L U10+ HHω1L U11cosHω1 t+ ϕHω1LL

+HH2 ω1L U12 cosH2 ω1 t+ ϕH2 ω1LLRezonancia: HH¸ kω1L nevezője valóssá válik.

U0 =1

T‡0

TuHtL t

UkA=2

T ‡0

TuHtLcoskω1 t t

UkB=2

T ‡0

TuHtLsinkω1 t t

( Egyszerű középérték )

uHtL = ‚k=−∞

∞

U—kC¸ kω1 t

U—kC=1

T‡0

TuHtL −¸ kω1 t t

A negatív frekvencia nem ad új tagot, csupán az eredmény valóssá tételét szolgálja.

U—kC=

ikjjjjjjjjjjjjU0 ha k= 0UkA−¸ Uk

B

2ha k >0

UkA+¸ Uk

B

2ha k 0

yzzzzzzzzzzzz

U—kC=1

2 IUkA − ¸ Uk

BM

U0 = U—0C

UkA=2 Re 9U—kC=

UkB= −2Im 9U—kC=

- 9 -

Vizsgálat a frekvenciatartományban Fourier-transzformáció

fHtL = 1

2 π ‚i

FHωiL ∆ω¸Iωi t+ρHωiLM

Egy függvény -transzformáltja = a függvény spektruma. Keskeny impulzus fl széles spektrum Széles impulzus fl keskeny spektrum ( Időbeli és frekvenciabeli szélesség szorzata konstans. ) Időfüggvény szélessége = spektrumának szélessége. FH¸ ωL = FHωL ¸ ρHωLFHωL: Amplitúdóspektrum HsűrűségfüggvényLρHωL: Fázisspektrum

- A -transzformáció tételei: 8a1 f1HtL +a2 f2HtL< =a1 8f1HtL< +a2 8f2HtL<HLinearitásL 8fHt−t0L< = −¸ ωt0 FH¸ωL HEltolási tételL 9fHtL ¸ω0 t= = FH¸Hω−ω0LL 9dfHtL

dt= = ¸ ω FH¸ωL

9‡ fHtL t= = FH¸ ωL¸ ω

+ FH0L δHωL

8fHtL∗gHtL< = FH¸ ωLGH¸ ωL HKonvolúciós tételLE= ‡

−∞

∞

fHtL2 t=

1

2 π ‡

−∞

∞

FH¸ ωL 2 ωFH¸ ωL 2 energiaspektrum

Modulációs tétel

8fHtLcosω0 t< = 1

2 FH¸Hω+ω0LL + 1

2 FH¸Hω−ω0LL

8fHtLsinω0 t< = 1

2 ¸ FH¸Hω+ω0LL − 1

2 ¸ FH¸Hω−ω0LL

Jcosω0 t, sinω0 t: vivőjel

fHtL : moduláló jelN

ω0 ≥∆ω∂ H ∆ω∂ a spektrum sablonos jelölése LA viv ferekvenciája legyen nagyobb a moduláló jel

sávszélességénél, ekkor ugyanis nem torzul a

spektrum és így az idfüggvény visszaállítható.

- Néhány függvény -transzformáltja: 8δHtL< =1 81< = 2 π δHωL 8∂HtL< = π δHωL+ 1

¸ ω

8∂HtL −αt< = 1

¸ ω +α=

1è!!!!!!!!!!!!!ω2+ α2H FH¸ωL = FHωL! L

9−α»t»= = 2α

ω2+α2

9−αt2= =$%%%%%%πα

− ω24α

8pTHtL< =2 T sinωT

ωTpTHtL = ∂Ht+TL− ∂Ht−TL

- Periodikus függvények spektruma:

FH¸ ωL =2 π ‚k=−∞

∞

F—kCδHω− kω1L H impulzusokból állL

A -transzformáció alkalamzása hálózatok számítására

- Karakterisztikák: Ellenállás: UH¸ ωL = RIH¸ ωLTekercs: UH¸ ωL = ¸ ω LIH¸ ωLKondenzátor: UH¸ ωL = 1

¸ ωC IH¸ ωL

- Az átviteli karakterisztika legáltalánosabb definíciója:

HH¸ ωL = a válasz spektruma

a gerjesztés spektruma

FH¸ ωL =‡−∞

∞

fHtL −¸ ωt t

fHtL = 1

2 π ‡

−∞

∞

FH¸ ωL ¸ ωt ω

Feltétele, hogy f(t) abszolút integrálható legyen.

- 10 -

- Sávszélességek:

Az átviteli karakterisztika sávszélessége annak a frekvenciatartománynak a sávszélessége, melyben az amplitúdókarakterisztika nem tér el túlságosan valamely szélsőértékektől. Az időfüggvény sávszélessége: A sávszélességnyi intervallumba essen bele a jel energiatartalmának 90%-a.

- Sávszélesség egyeztetés:

A spektrum-módszer egy példán keresztül:

Vizsgálat a komplex frekvenciatartományban Laplace-transzformáció

s = σ + ¸ ω

Konvergenciatartomány: Minden f(t)-hez tartozik egy s0, melynél nagyobb s-kra a definíciós integrál konvergens.

- A -transzformáció tételei:

8a1 f1HtL +a2 f2HtL< =a1 8f1HtL< +a2 8f2HtL<HLinearitásL 8∂Ht−TLfHt−TL< = −sT FHsL HEltolási tételLIHa egy - transzformált

−sT− vel van szorozva,

akkor a hozzá tartozó időfüggvény tÄ T- re zérus.M 8fHtL −αt< = FHs+αL HCsillapítási tételL

9dfHtLdt

= =s FHsL −fH−0L 9d2 fHtL

dt2= = s2 FHsL −sfH−0L −fH−0L'

9‡ fHtL t= = 1

s FHsL

8fHtL∗gHtL< = FHsLGHsL HKonvolúciós tételL 8tnfHtL< = H−1Ln dn FHsL

dsn

8fHktL< = 1

k FI s

kM

fH+0L = lims→∞

s FHsL HKezdetiérték tételLfH+∞L =lim

s→0s FHsL HVégérték tételL

- Néhány függvény -transzformáltja:

8δHtL< =1 8∂HtL< = 81< = 1

s

8−αt< = 8∂HtL −αt< = 1

s+α

8cosωt< = s

s2+ω2

8sinωt< = ω

s2+ω2

8t< = 8∂HtLt< = 1

s2

8tn< = n!

sn+1

- Inverz transzformáció:

Részlettörtekre bontás:

FHsL = s polinomja

s polinomja Feltételek:

- polinom/polinom alak

9−α»t»= = 2α

ω2+α2

2α

ω2+α2=0.1

2

α

ω2+ α

2=10α2

∆ω∂ =3α

HHωL = 1è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1+ω2 R2C2

=0.9

ω RC= 0.48

⇓

∆ω= 0.481

RC≥3α

FHsL =‡−0

∞

fHtL −st t

fHtL = 1

2 π ¸‡σ −¸ ω

σ +¸ω

FHsL st s

- 11 -

- nevező fokszáma legyen nagyobb a számlálóénál

- a nevező minden gyöke egyszeres legyen Ekkor:

FHsL = c1s−s1

+c2

s−s2 fHtL = ∂HtL Hc1 s1t+c2 s2tL

A -transzformáció alkalamzása hálózatok számítására

- Karakterisztikák:

Ellenállás: UHsL = RIHsLTekercs: UHsL = s LIHsL − LiH−0LKondenzátor: IHsL = sC UHsL −CuH−0L

a.) Energiamentes eset ( iL(-0)=0, uC(-0)=0 )

Tekercs: UHsL = s LIHsLKondenzátor: UHsL = 1

sC IHsL

- Operátoros impedancia:

ZHsL = feszültség - transzformáltja

áram - transzformáltja - Átviteli függvény:

HHsL = válasz - transzformáltja

belépő gerjesztés - transzformáltja

b.) Nem energiamentes eset

A - és -transzformált kapcsolata

FH¸ ωL = HFHsLLs=¸ ω

Rendszerjellemző függvények 1. Időtartomány

hHtL Impulzusválasz

yHtL =uHtL ∗hHtL

2. Frekvenciatartomány

HH¸ ωL Átviteli karakterisztika

yHtL =−1 8HH¸ ωL 8uHtL<<

3. Komplex frekvenciatartomány

HHsL Átviteli függvény

yHtL =−1 8HHsL 8uHtL<<

Az átviteli függvény ábrázolása:

HHsL = b0sm + b1 sm −1+..+ bmsn +a1sn−1+..+an

=

= b0Hs−z1L Hs−z2L.. Hs−zmLHs− p1L Hs−p2L.. Hs−pnL

Számláló gyökei: zérusok (z) jelölés: o Nevező gyökei: pólusok (p) jelölés: x Ezekből felrajzolható a pólus-zérus elrendezés. Stabilitás: Zérus lehet bárhol, pólus csak a bal félsíkon, illetve ha van az origóban is, akkor még lehet stabil, de nem biztosan az.

Rendszerjellemző függvények kapcsolata

hHtL =−1 8HH¸ωL<

( Feltétele mindkét irányú transzformációnál az abszolút integrálhatóság.) hHtL =

−1 8HHsL<

( Feltétele mindkét irányú transzformációnál a válasz belépő tulajdonsága. ) HH¸ ωL = HHHsLLs=¸ ω

( Feltétele a GV stabilitás, ellenkező irányú áttérésnél pedig a válasz belépő tulajdonsága. ) Belépő függvény -transzformáltjának valós és képzetes része (abszolút értéke és szöge) egymást meghatározzák, egymásból kiszámíthatók. Az átviteli karakterisztika abszolút értéke és szöge (amplitúdó- és fáziskarakterisztika) egymást meghatározza, kiszámíthatók egymásból a Bode-képletekkel.

Tekercs: UHsL =s LIHsL − LiH−0LIHsL = 1

s L UHsL + iH−0L

s

Kondenzátor: IHsL =sC UHsL −CuH−0LUHsL = 1

sC IHsL + uH−0L

s

- 12 -

- Az amplitúdó- és fáziskarakterisztika szerkesztése a p-z elrendezésből

HH¸ ωL = b0 H¸ ω −z1L H¸ ω −z2L.. H¸ ω−zmLH¸ ω− p1L H¸ ω − p2L.. H¸ ω− pnLHHωL = b0

zérustávolságok szorzata

pólustávolságok szorzata

ϕHωL = arc b0+ zérusszögek összege− pólusszögek összege

Néhány különleges rendszer 1. Mindent áteresztő

Az amplitúdókarakterisztikája konstans. A pólusok a zérusok képzetes tengelyre vett tükörképei. ( zi = -pi )

2. Minimálfázisú

A zérusok is (nem csak a pólusok) a bal félsíkon vannak. (Zérusok valós része kisebb egyenlű nulla.)

Minden átviteli karakterisztika/függvény felírható egy mindent áteresztő és egy minimálfázisú átviteli karakterisztika/függvény szorzataként.

Diszkrét idejű hálózatok

Az idő változó csak diszkrét értékekre van értelmezve. Csak egyirányú áramfolyás lehetséges ï jelfolyam típusú hálózat.

Alapelemek

Összekapcsolási kényszerek

Állapotváltozós leírás

x—@k+1D =A

=x—@kD + B

—u@kD

y@kD = C—

Tx—@kD + Du@kD

Állapotváltozók: a késleltetők kimeneti változói. A hálózat rendszáma: a független álapotváltozók száma.

- Megoldás fokozatos behelyettesítéssel

1. Behelyettesítünk k-ba nullát: x1@1D =a11 x1@0D +a12 x2@0D+ b1 u@0Dx2@1D =a21 x1@0D +a22 x2@0D+ b2 u@0Dy@0D = c1 x1@0D+c2 x2@0D +du@0D ( Látszik, hogy ismernünk kell a kezdeti értékeket! ) Ebből megvannak az első ütembeli értékek, illetve a válasz a nulladik ütemben.

2. Behelyettesítünk k-ba egyet 3. Ezt folytatjuk a szükséges ütemszámig…

- Megoldás összetevőkre bontással

- Sajátértékek és sajátvektorok meghatározása az állapotmátrixból.

λi: sajátértékek

Mi—: sajátvektorok

- Szabadösszetevő számítása:

Aszimptotikus stabilitás:

λi 1 - Gerjesztett összetevő:

A gerjesztéshez hasonló alakú próbafüggvényeket veszünk fel ismeretlen együtthatókkal. Ezeket helyettesítve az állapotegyenletbe, az állandó tagok együtthatóinak egyezéséből, valamint az exponenciális tagok együtthatóinak egyezéséből meghatározhatók a konstansok, majd a konstansokat visszaírva, megkapjuk a gerjesztett összetevőket. Pl.: u@kD =Cγk Hγ ≠ λiL xg@kD =AγkHaγ = λi Hegyszeres sajátértékL xg@kD =Ak λi

k

- Teljes megoldás:

x—@kD = xf

—@kD +xg

—@kD

x—@0D kezdeti értékek adottak

‡ ‚i=1

n

ki Mi—= x—@0D−xg

—@0D Hebből megvan kiL

- Szorzó (erősítő):

- Forrás:

- Késleltető:

- Nyelő:

- Összegző:

- Szétágazó:

xf—@kD =‚

i=1

n

ki Mi—λik

- 13 -

x—@kD =‚

i=1

n

ki Mi—λik+ xg

—@kD

- Impulzusválasz meghatározása komponensekre bontással

Ha u[k] = d[k], akkor az állapotvektort a szabadösszetevő adja. (A rendszer k ¥ 1 esetén gerjesztetlen!) x—@0D = 0

—figyelembevételével az

x—@k+1D =A

=x—@kD + B

—δ@kD - ból x

—@1D = B

—adódik.

Tehát:

x—@kD =‚

i=1

n

pi Mi—λik−1 k ≥1, ‚

i=1

n

pi Mi—= B—

Az impulzusválasz tehát:

h@kD = Dδ@kD+ ∂@k−1DC—

T‚i=1

n

pi Mi—λik−1

Jh@kD = Dδ@kD+ ∂@k−1DC

—A=

k−1 B—N

A rendszeregyenlet - Általános alak

y@kD+‚i=1

n

ai y@k−iD =‚i=0

m

biu@k−iD

y@kD =‚i=0

m

biu@k−iD Hnem rekurzívL

- A rendszeregyenlet megoldása komponensekre bontással

y@kD = yf@kD +yg@kD k ≥ m −n - Szabadösszetevő:

Meghatározzuk a rendszeregyenlet sajátértékeit (melyek megegyeznek az állapotmátrix sajátértékeivel, de nem biztos, hogy azok özül itt mind szerepel) a rendszeregyenletből közvetlenül felírt egyenlettel, majd ezekkel felírható a szabadösszetevő: λn+a1 λ

n−1+a2 λ

n−2+..+an =0

yf@kD =A1 λ1k+A2 λ2k+..+An λnk Ai ismeretlen együtthatók. (n db)

- Gerjesztett összetevő:

Ha a gerjesztést egyszerű függvény írja le, akkor hozzá hasonló alakú próbafüggvényt választhatunk ismeretlen konstansokkal. Ezen konstansokat az állapotváltozós leírásnál megismert módon számíthatjuk ki.

Mivel a rendszeregyenlet jobb oldala csak k ¥ m ütemtől írható le egyszerű függvénnyel, a gerjesztett válasz is csak k ¥ m esetén lesz helyes. Azonban mivel a szabadösszetevő kifejezése n db ismeretlent tartalmaz, ezek alkalmas megválasztásával a gerjesztett válasz kiterjeszthető még m-et megelőző n db ütemre. Így a megoldás k ¥ m-n esetén lesz helyes.

- Az együtthatók meghatározása:

Az n db Ai ismeretlen az y[m-1], y[m-2], … y[m-n] kezdeti értékek ismeretében számítható ki. A k < 0 ütemre esőket vehetjük nullának, a többit pedig fokozatos behelyettesítéssel kapjuk meg. Ezek után az ismeretlenek meghatározására az alábbi egyenletrendszer adódik: ‚i=1

n

Ai λik= y@jD−yg@jD

H j = m−n, m− n+1, .., m− 1 L

- Az impulzusválasz meghatározása a rendszeregyenletből

Megvizsgáljuk, hogy a rendszer mikortól gerjesztetlen, azaz a rendszeregyenlet jobb oldala mely ütemtől lesz nulla. Legyen k ¥ j ütemtől nulla. Ekkor:

h@kD =‚i=1

n

Ai λik k≥ j

Ezután jön a kiterjesztés: Lépésről lépésre módszerrel kiszámítjuk h[k] j-1, j-2, .. j-n ütembeli értékeit, majd ezeket visszahelyettesítve h[k] kifejezésébe, kapunk n db egyenletet az n db Ai együtthatóra. A kapott megoldás k ¥ j-n –re lesz érvényes.

- A válasz számítása az impulzusválaszból

Szinuszos gerjesztésű hálózatok X[k] = X cos(J k + r)

X: csúcsérték J: DI körfrekvencia (dimenziótlan) J k + r: fázis r: kezdőfázis

Periodikusság feltétele: J felírható 2pM/L alakban, ahol M/L racionális, és ekkor L a periódusidő.

DI konvolúció:

y@kD = ‚n=−∞

∞

u@nD h@k−nD

Belépő gerjesztés és kauzális rendszer esetén:

y@kD =‚n=0

k

u@k−nDh@nD

- 14 -

Komplex leírásmód

Teljesen analóg a FI esettel.

x@kD = Re 9X— ¸ϑ k= X—= X¸ρ

- Szabályok: x1@kD +x2@kD X

—1+ X

—2

q@kD = p@k−1D Q—= P—−¸ϑ

JEgy ütemnyi késleltetés = szorzás −¸ϑ

- val.Np@kD = Kq@kD P

—= KQ

—

- Rendszeregyenlet megoldása komplex módszerrel:

Y—+‚i=1

n

ai Y—−¸iϑ

=‚i=0

m

bi U—−¸iϑ

Y—=b0+ b1 −¸ ϑ +..+ bm −¸ m ϑ

1+a1 −¸ ϑ +..+an −¸ nϑ

Y—= H

—U—

H—: átviteli tényező

- Átviteli karakterisztika: HI¸ ϑM = átviteli tényező a körfrekvencia üggvényében

HI¸ ϑM = KHϑL ¸ ϕHϑLKHϑL: Amplitúdókarakterisztika

ϕHϑL: Fáziskarakterisztika

KHϑL és ϕHϑL ϑ - nak 2 π szerinti periodikus függvénye

KHϑL ϑ - nak páros függvénye

ϕHϑL ϑ - nak páratlan függvénye

DI Fourier-sor

1. Valós alak: x[k + K] K: ütemperiódus (páros).

x@kD =‚i=0

Kê2IXiAcosiϑ1 k+ XiB siniϑ1 kM ϑ1 =2 π

K

HA legnagyobb harmonikus Kê2!!L

2. Komplex alak:

3. A valós alak egy másik formája: X—i komplex egyötthatók ismeretében:

x@kD = X0+‚i=1

M

Xicos Hiϑ1 k+ξiL + XKê2H−1Lk

4. Összefüggések az együtthatók közöt: i

kjjjjjjx@kD = X0

A+‚i=1

HKê2L−1HXiA cosiϑ1 k+ XiB siniϑ1 kL ++XKê2A cos K

2 ϑ1 k

yzzzzzz

Vizsgálat a frekvenciatartományban DI Fourier-transzformáció

- A DI -transzformáció tételei:

8x@k−k0D< = XI¸ ϑM −¸ ϑ k0

9x@kD ¸ ϑ0k= = XJ¸Hϑ −ϑ0LN

Y—= Y¸ ρy

U—= U¸ ρu

H—= K¸ ϕ

Y= K U

ρy = ϕ + ρu

x@kD = ‚i=0

K−1

X—i

¸iϑ1 k

X—i =

1

K ‚k=0

K−1

x@kD −¸iϑ1 k

x@kD = ‚i=− K

2−1

K2−1

X—i

¸iϑ1

X0 = X—0

Xi =2 X—i

ξi =arg X—i

XKê2 = X—Kê2Hi= 1, 2, .., ML

X—i =

i

k

jjjjjjjjjjjjjjjjjjj

X0A ha i =0

XiA−¸ Xi

B

2ha 0 i K

2

XiA+¸ Xi

B

2ha − K

2i 0

XKê2A Ha i= K2

y

zzzzzzzzzzzzzzzzzzz

XI¸ ϑM = ‚k=−∞

∞

x@kD −¸ ϑ k

x@kD = 1

2 π ‡

−π

π

XI¸ ϑM ¸ ϑ k ϑ

Feltétele az abszolút összegezhetőség.

Jmax = p

Ha K páratlan: M =K−1

2és XKê2 =0.

Ha K páros: M =K

2−1.

X0A= X—0

XiA=2 Re 9X—i=

XiB=−2Im 9X—i=

XKê2A= X—Kê2

- 15 -

8x@kDcosϑ0 k< = 1

2 ikjjXJ¸Hϑ −ϑ0LN +XJ−¸Hϑ −ϑ0LNyzz

8x@kDsinϑ0 k< = 1

2 ¸ ikjjXJ¸Hϑ −ϑ0LN −XJ−¸Hϑ −ϑ0LNyzz

8x@kD∗y@kD< = XI¸ ϑM YI¸ϑME= ‚

k=−∞

∞

x2@kD = 1

2 π ‡− π

π J XI¸ ϑM N2ϑ

- Néhány függvény DI -transzformáltja:

8δ@kD< = 1 8δ@k−iD< =−¸iϑ

9∂@kDqk= = 1

1−q−¸ϑH q 1L

ikjjjj =‚k=0

∞

qk−¸ ϑ kyzzzz 9q k= = 1

1−q¸ ϑ+

1

1−q−¸ ϑ−1 H q 1L

A rendszeregyenlet megoldása DI -transzformációval teljesen megegyezik a komplex módszerrel történő megoldással. Az átviteli karakterisztika meghatározása DI -transzformációval teljesen analóg a FI esetben megismert módszerrel.

Vizsgálat a komplex frekvenciatartományban A z-transzformáció (DI Laplace)

- A z-transzformáció tételei:

8∂@k−k0Dx@k−k0D< = XHzLz−k0 8∂@k+1Dx@k+1D< = z XHzL −zx@0Dikjjjj 8x@k−k0D< = XHzLz−k0 + ‚

i=0

k0−1

x@i−k0Dz−i, k0 ≥ 1yzzzz

9qkx@kD= = XJ zqN

9 ∂ x@k, qD∂ q

= = ∂ XHz,qL∂ q

8x@kD∗y@kD< = XHzL YHzLx@0D = lim

z→∞XHzL

x@+∞D =limz→1

Hz−1L XHzL zi 1

- Néhány függvény z-transzformáltja:

8δ@kD< = 1 8∂@kD< = 81< = z

z−1

9∂@kDak= = 9ak= = z

z−a

9x@kDak= = XI zaM

9kak= = azHz−aL2

- Inverz transzformáció:

XHzL = z−1 polinomja

z−1 polinomja Ha z-1 – ben a nevező nem nagyobb fokszámú a számlálónál: részlettörtekre bontás

a.) Ha lehet, emeljük ki a számlálóból z-1 valamely hatványát. Lehet, hogy már ezzel előáll a szükséges fokszám-különbség. b.) Ha a.) -ra nincs lehetőség, akkor polinomosztás z-1 – ben. Minden lépés után vizsgáljuk meg, hogy van-e lehetőség a.) -ra. Ha nevező fokszám > számláló fokszám, akkor áttérünk z pozitív hatványaira, majd:

XHzL = MHzLNHzL = z

M1HzLNHzL = zikjj c1

z−z1+

c2z−z2

+..yzz ‡ x@kD = ∂@kD Ic1z1k+c2 z2k+..M

- Átviteli függvény:

HHzL = a válasz z−transzformáltja

a belépő gerjesztés z−transzformáltja

A rendszeregyenletből, vagy az állapotegyenletekből az átviteli karakterisztikánál megismert módon számítható.

XHzL =‚k=0

∞

x@kDz−k

x@kD = 1

2 π ¸ ®z >r0

XHzLzk−1 z

z= r¸ϑ

konvergenciasugár:

z > r0

- 16 -

A DI - és z-transzformált kapcsolata

XI¸ ϑM = HXHzLLz=¸ ϑ

Rendszerjellemző függvények 1. Időtartomány

h@kD Impulzusválasz

y@kD = u@kD∗h@kD

2. Frekvenciatartomány

HI¸ ϑM Átviteli karakterisztika

y@kD = −1 9HI¸ ϑM 8u@kD<=

3. Komplex frekvenciatartomány

HHzL Átviteli függvény

y@kD = −1 8HHzL 8u@kD<<

Az átviteli függvény ábrázolása:

HHzL = b0+ b1z−1 +..+ bm z−m

1+a1z−1+..+an z−n

= z−m+n b0 zm + b1 zm −1+..+ bmzn +a1zn−1+..+an

= b0 z−m+n Hz−q1L Hz−q2L.. Hz−qmLHz− p1L Hz− p2L.. Hz− pnL

q: zérus, p: pólus A p-z elrendezésbe be szokás rajzolni az egységkört. Stabilitás: Ha a pólusok az egységkörön belül vannak, akkor stabil a rendszer.

Rendszerjellemző függvények kapcsolata

h@kD = −1 9HI¸ ϑM=

( Feltétele mindkét irányú transzformációnál az abszolút összegezhetőség.) h@kD =

−1 8HHzL<

( Feltétele mindkét irányú transzformációnál a válasz belépő tulajdonsága. ) HI¸ ϑM = HHHzLLz=¸ ϑ

( Feltétele a GV stabilitás és a válasz belépő tulajdonsága. )

Néhány különleges rendszer 1. Véges impulzusválaszú rendszer

Véges ütemszámú az impulzusválasza. (Finite Impulse Response) Lényeges tulajdonsága, hogy biztosan GV stabil!

2. Mindent áteresztő

Amplitúdókarakterisztikája állandó. Minden zérus valamely nem nulla pólus reciproka, azaz tükörképe az egységsugarú körre.

3. Minimálfázisú

Egyetlen zérusa sincs az egységsugarú körön kívül.

Sávkorlát

Mintavételi tétel:

Tπ

Ωrad ∆ω∂ : sávszéleség

Ω: sávkorlát Hmindig ω = 0 −nál kezdődikL FI rendszerek DI közelítése - Szimulátor meghatározása időtartományban

Impulzusválasz egyeztetés:

hHtL =AδHtL + ∂HtL fHtL T: mintavételi időköz

h@kD = Aδ@kD+T∂@k−1DfHkTL fHkTL = f@kD h[k]-t z-transzformáljuk, amiből felírható a rendszeregyenlet, abból pedig felrajzolható a DI hálózat.

- Szimulátor meghatározás a komplex frekvenciatartományban

FI átviteli függvényben s helyére mindenhol:

a.\1

T I1−z−1M - t írunk Hhátralépő Euler integrátorL

b.\T

2

1+z−1

1−z−1- t írunk HCrank− Nicholson integrátorL

c.\2

T 1−z−1

1+z−1- t írunk HCrank− Nicholson derivátorL

FI nemlineáris hálózatok

Legalább egy olyan elem van a hálózatban, melynek feszültség - áram karakterisztikáj nem lineáris.

Munkapont

A hálózatba ágyazott nemlineáris elemen létrejövő feszültség - áram párost munkapontnak nevezzük.

- 17 -

Ha egy nemlineáris elem van, akkor annak kapcsaira nézve Thevenin-helyettesítőképet határozunk meg:

Ha több munkapont jön ki a számításoknál, akkor csak azt kell figyelembe venni, amely eleget tesz a nemlineáris elem karakterisztikájának. Ha van köztük olyan, melyet komplex szám jellemez, akkor az nem stabil munkapont. Ha több lehetséges munkapont is van, akkor az, hogy melyikbe fog a rendszer beállni, a dinamikus elemek bekapcsolási viselkedésétől és a hálózat előéletétől függ. Ennek megállapítása dinamikus hálózatanalízissel lehetséges.

A hálózat számítása

Kirchhoff – egyenletek és karakterisztikák. Redukált alak: a lineáris elemek ármát és feszültségét kiküszöböljük. Ha a karakterisztikák kifejezhetők a feszültségre ( u1(i1), u2(i2) ), akkor nemlineáris egyenletrendszert kapunk. Más esetben iterációval kell megoldani: Newton-módszer

pl. : fHuL = RbIs ikjjuuT −1yzz+u−ub =0

uT =kT

qHtermikus feszültség, szobahőn 26 mVL

un+1 =un−fHunLfHunL'

Munkaponti linearitás

i= i—+i

∼

i—: egyen

i∼: váltó

Munkaponti dinamikus ellenállás, illetve statikus ellenállás: Jdudi

NM= HRdLM uHiL

i= Rs

A váltakozó komponensek közti kapcsolat olyan, mint egy Rd nagyságú lineáris ellenállás. A váltakozó komponens hatására a feszültség átlagértéke nem egyezik a munkapont értékével. Munkaponti linearitásnál az eltérést elhanyagolhatónak vehetjük.

Nemlineáris elemre jutó hatásos teljesítmény

Áramérzékenység: ∆i

P=

fH2L2fH1L

Nemlineáris dinamikus elemek

Linearizálásuk:

1. Munkapont meghatározása

Nemlin rezisztív hálózatra jutunk (konstans gerjesztésnél nemlin tekercs rövidzár, nemlin kondi szakadás).

2. Munkaponti dinamikus elemek meghatározása

Rd , Ld és Cd .

3. Linearizált hálózat számítása

(Gerjesztésnél csak a váltakozót tüntetjük fel!)

u∼

szinuszos:komplex számítási módszer

u∼

periodikus: - sor +komplex számítási módszer

u∼

nem periodikus Hpl. impulzusL: - transzformáció

P=U2

2 fH1L

pHtL = Ucosωt UfH1L cosωt

u=dψ

dt

i=dq

dt

J dψdi

Ni— = HLdLi—

u∼= Ld

di∼

dt

J dqdu

Nu—= HCdLu—

i∼= Cd

du∼

dt