Upload
lamnguyet
View
220
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Hans Walser
Die allgemeine Fibonacci-Folge
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge ii
Inhalt 1 Die Rekursion ......................................................................................................... 1
2 Heuristischer Hintergrund ....................................................................................... 1
3 Formel von Binet .................................................................................................... 1
4 Übersicht................................................................................................................. 2
5 Sonderfälle.............................................................................................................. 3
6 Beispiele ................................................................................................................. 3
6.1 Die gewöhnliche Fibonacci-Folge .................................................................... 3
6.2 Nullfolge .......................................................................................................... 4
6.3 Kreis als Grenzkurve ........................................................................................ 5
6.4 Regelmäßige Kreisteilung................................................................................. 6
6.5 Logarithmische Spirale als Grenzkurve ............................................................ 7
6.6 Kreisring .......................................................................................................... 8
6.7 Zyklische Folge................................................................................................ 9
6.8 Divergenz....................................................................................................... 10
7 Zyklische Fibonacci-Folgen .................................................................................. 11
7.1 Reelle Rekursion ............................................................................................ 11
7.1.1 Beispiel m = 5.......................................................................................... 12
7.1.2 Beispiel m = 3.......................................................................................... 15
7.1.3 Beispiel m = 4.......................................................................................... 16
7.1.4 Beispiel m = 6.......................................................................................... 17
7.1.5 Beispiel m = 8.......................................................................................... 19
7.1.6 Sinus statt Kosinus................................................................................... 21
7.2 Rein imaginärer Faktor p ................................................................................ 22
7.2.1 Beispiel m = 2.......................................................................................... 23
7.2.2 Beispiel m = 3.......................................................................................... 23
7.2.3 Beispiel m = 4.......................................................................................... 24
7.2.4 Beispiel m = 5.......................................................................................... 25
last modified: 7. Oktober 2007
Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel www.math.unibas.ch/~walser [email protected]
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 1
1 Die Rekursion Wir studieren Folgen mit der Rekursion
an+2 = 2pan+1 + qan , p,q
Der Faktor 2 beim ersten Summanden hat nur ästhetische Gründe. Weiter definieren wir:
1 = p + p2 + q( )12
2 = p p2 + q( )12
2 Heuristischer Hintergrund
Aus der Folge an{ } bilden wir die Quotientenfolge:
cn =an+1an
Für diese Folge cn{ } gilt die Rekursion:
cn+1 = 2p +qcn
Falls diese Folge cn{ } einen Grenzwert hat, gilt:
= 2p +q
2 2p q = 0
1,2 = p ± p2 + q( )12
Es gilt dann (Satz von Vieta):
2p = 1 + 2
q = 1 2
3 Formel von Binet
Für die Folge an{ } mit Startwerten a0 und a1 gilt explizit die Formel von Binet:
an =1
1 2a1 a0 2( ) 1
n+ a0 1 a1( ) 2
n( )
Dies kann induktiv bewiesen werden:
Für n = 0 und n = 1 erhalten wir a0 beziehungsweise a1 .
Um die Rekursion an+2 = 2pan+1 + qan zu prüfen, setzen wir die Formel von Binet links und rechts ein.
Linke Seite:
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 2
an+2 =1
1 2a1 a0 2( ) 1
n+2+ a0 1 a1( ) 2
n+2( )= 1
1 2a1 1
n+2 a0 1n+2
2 + a0 1 2n+2 a1 2
n+2( )
Für die rechte Seite verwenden wir zusätzlich die Beziehungen 2p = 1 + 2 und q = 1 2 und erhalten:
2pan+1 + qan =1
1 2
1 + 2( ) a1 a0 2( ) 1n+1
+ a0 1 a1( ) 2n+1( )
1 2 a1 a0 2( ) 1n+ a0 1 a1( ) 2
n( )
= 11 2
a1 1n+2 a0 1
n+22 + a0 1
22n+1 a1 1 2
n+1
+a1 1n+1
2 a0 1n+1
22+ a0 1 2
n+2 a1 2n+2
a1 1n+1
2 + a0 1n+1
22 a0 1
22n+1
+ a1 1 2n+1
= 11 2
a1 1n+2 a0 1
n+22 + a0 1 2
n+2 a1 2n+2( )
Die beiden Seiten stimmen überein, die Rekursion ist erfüllt.
Die Folge an{ } ist also die Summe zweier geometrischer Folgen mit den Basen 1 und
2 . Für das Konvergenzverhalten sind die Beträge 1 und 2 entscheidend.
Die Funktion
a t( ) = 11 2
a1 a0 2( ) 1t+ a0 1 a1( ) 2
t( ), t
liefert eine Interpolation der Folge an{ } ; der zugehörige Funktionsgraf in der Gauß-
schen Ebene setzt sich aus logarithmischen Spiralen zusammen.
4 Übersicht Für 1 2 gilt folgende Übersicht:
2 < 1 2 = 1 2 > 1
1 < 1 NullfolgeKreis als
Grenzkurve
Logarithmische
Spirale als
Grenzkurve
1 = 1Kreis als
Grenzkurve
Begrenzung
durch Kreisringdivergent
1 > 1
Logarithmische
Spirale als
Grenzkurve
divergent divergent
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 3
5 Sonderfälle
• Für 1 = 1 , 2 < 1 ergibt sich ein Kreis als Grenzkurve. Dieser Kreis hat den Ur-
sprung als Zentrum und den Radius r1 =a1 a0 2
1 2. Falls zusätzlich 1 = e
2 is1 ,
s1 =m1n1
, ggT m1,n1( ) = 1 , streben die Folgenglieder gegen die Ecken eines regel-
mäßigen n1-Eckes . Für 1 < 1 , 2 = 1 ergibt sich analog ein Kreis als Grenzkur-
ve. Dieser Kreis hat den Radius r2 =a0 1 a11 2
. Falls zusätzlich 2 = e2 is2 ,
s2 =m2n2
, ggT m2,n2( ) = 1 , streben die Folgenglieder gegen die Ecken eines
regelmäßigen n2-Eckes .
• Für 1 = 1 und 2 = 1 sind die Folgenglieder durch einen Kreisring beschränkt.
Dieser hat den Außenradius raußen = r1 + r2 und den Innenradius rinnen = r1 r2 .
• Für
1 = e
2 is1 , s1 =m1n1, ggT m1,n1( ) = 1
2 = e2 is2 , s2 =
m2n2, ggT m2,n2( ) = 1
erhalten wir eine zyklische Folge mit der Zyklenlänge z = kgV n1,n2( ) .
• Falls 1 und 2 beide reell und positiv sind, ergibt sich für den Funktionsgrafen
von a t( ) in der Gaußschen Ebene eine Gerade.
• Für 1 = 2 , also für p2 + q = 0 versagt die Formel von Binet (Division durch Null).
6 Beispiele Die Beispiele werden in der Gaußschen Ebene illustriert. Die Startwerte sind grün ein-getragen, die weiteren Folgenglieder rot, der Funktionsgraf von a t( ) blau.
6.1 Die gewöhnliche Fibonacci-Folge Mit der Rekursion
an+2 = an+1 + an
erhalten wir 1 =1+ 52
1.618 (Goldener Schnitt), 2 =1 52
0.618 und für die
Startwerte a0 = 0 und a1 = 1 :
a[0] = 0 a[1] = 1 a[2] = 1 a[3] = 2 a[4] = 3
a[5] = 5
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 4
Der Funktionsgraf macht merkwürdige Schlenker ins Komplexe. Dies ist eine Folge des negativen 2 , was bei nicht ganzzahligen Werten von t zu komplexen Zahlen führt.
1 2 3 4 50
x
y
an+2 = an+1 + an
Wenn wir die Folge auch auf negative Indizes ausdehnen, wird die Figur noch dramati-scher.
a[-5] = 5 a[-4] = -3 a[-3] = 2 a[-2] = -1 a[-1] = 1 a[0] = 0 a[1] = 1 a[2] = 1 a[3] = 2 a[4] = 3
a[5] = 5
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Negative Indizes
Der Funktionsgraf von a t( ) nähert sich für t einer logarithmischen Spirale.
6.2 Nullfolge Für die Rekursion
an+2 =9101+ i( )an+1
81100
ian
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 5
gilt 1 =910
, 2 =910i ; es ist 1 = 2 =
910
< 1. Wir haben daher eine Nullfolge. Mit
den Startwerten a0 = 1 und a1 =12+ i erhalten wir:
a[0] = 1.0 a[1] = 0.5 + 1.0*I a[2] = - 0.45 + 0.54*I a[3] = - 0.081 - 0.324*I a[4] = 0.6561 a[5] = 0.32805 + 0.6561*I a[6] = - 0.295245 + 0.354294*I a[7] = - 0.0531441 - 0.2125764*I a[8] = 0.43046721 a[9] = 0.215233605 + 0.43046721*I a[10] = - 0.1937102445 + 0.2324522934*I a[11] = - 0.03486784401 - 0.139471376*I a[12] = 0.2824295365 a[13] = 0.1412147682 + 0.2824295365*I a[14] = - 0.1270932914 + 0.1525119497*I a[15] = - 0.02287679245 - 0.09150716982*I a[16] = 0.1853020189 a[17] = 0.09265100944 + 0.1853020189*I a[18] = - 0.0833859085 + 0.1000630902*I a[19] = - 0.01500946353 - 0.06003785412*I
a[20] = 0.1215766546
1
1
x
y
Nullfolge
Wir sehen, dass in diesem Beispiel jedes vierte Folgenglied reell ist.
6.3 Kreis als Grenzkurve Für die Rekursion
an+2 =32+ 45i( )an+1 + 27
501825i( )an
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 6
gilt 1 =35+45i , 2 =
910
; es ist 1 = 1 und 2 =910
< 1. Wir erhalten eine Folge,
welche sich einem Kreis annähert.
Mit den Startwerten a0 = 2 und a1 = 1+ i erhalten wir:
−1 1 2
−2
−1
1
x
y
Kreis als Grenzkurve
Für den Kreisradius erhalten wir in unserem Beispiel r1 =a1 a0 2
1 21.498858013 .
Da das Argument von 1 =35+45i in keinem rationalen Verhältnis zu 2 steht, gibt es
auf dem Grenzkreis keine isolierten Häufungspunkte.
6.4 Regelmäßige Kreisteilung
Für 1 = e382 i
und 2 =910
ergibt sich die Rekursion:
an+2 =910
22
+22i( )an+1 + 2 9
20920i( )an
Es ist 1 = 1 und 2 =910
< 1. Wir erhalten eine Folge, welche sich einem Kreis an-
nähert.
Mit den Startwerten a0 = 2 und a1 = 1+ i erhalten wir:
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 7
1 2
1
x
y
Regelmäßige Kreisteilung als Grenzpunkte
Für den Kreisradius erhalten wir in unserem Beispiel r1 =a1 a0 2
1 20.7293731937 .
Wegen 1 = e382 i
streben die Folgenglieder gegen die Eckpunkte eines regelmäßigen Achteckes.
6.5 Logarithmische Spirale als Grenzkurve
Für 1 =810
+710i und 2 =
12i ergibt sich die Rekursion:
an+2 =4+6i5
an+1 +7 8i20
an
Es ist 1 > 1 und 2 < 1 . Wir erhalten eine Folge, welche sich in einer logarithmi-
schen Spirale annähert.
Mit den Startwerten a0 = 4 und a1 = 1+ i erhalten wir für a2 bis a25 :
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 8
−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5
−7−6−5−4−3−2−1
123456
x
y
Logarithmische Spirale als Grenzkurve
6.6 Kreisring
Für 1 =35+45i und 2 =
513
+1213i ergibt sich die Rekursion:
an+2 =64+112i65
an+1 +33 56i65
an
Es ist 1 = 1 und 2 = 1 . Wir erhalten eine Folge, welche sich in einem Kreisring
bewegt.
Mit den Startwerten a0 = 2 und a1 = 1+32i erhalten wir für a2 bis a500 :
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 9
−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−3.0
−2.5
−2.0
−1.5
−1.0
−0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
y
Im Kreisring
Der Kreisring hat den Außenradius raußen 2.578438802 und den Innenradius
rinnen 0.7756631643 . Da die Argumente von 1 =35+45i und 2 =
513
+1213i nicht in
einem rationalen Verhältnis zu 2 stehen, schließt sich der Funktionsgraf nicht.
6.7 Zyklische Folge
Für 1 = e142 i
und 1 = e162 i
ergibt sich die Rekursion:
an+2 =12+ 1+ 3
2( ) i an+1 + 32
12i( )an
Wir erhalten eine zyklische Folge der Zyklenlänge z = 12 . Mit allgemeinen Startwerten a0 = f und a1 = g ergibt sich nämlich:
a[0] = f a[1] = g a[2] = f*(1/2*3^(1/2) - 1/2*I) + 2*g*(1/4*I*3^(1/2) + 1/4 + 1/2*I) a[3] = (1/2 + 1/2*I)*f - (3/2 - 1/2*I)*g + (1/2 + 1/2*I)*3^(1/2)*f - (1/2 - 1/2\ *I)*3^(1/2)*g a[4] = - (1/2 - 3/2*I)*f - (3/2 + 3/2*I)*g - (1/2 - 1/2*I)*3^(1/2)*f - (1/2 + 1\ /2*I)*3^(1/2)*g a[5] = (1 - 3/2*I)*g - 3/2*f - (1 + 1/2*I)*3^(1/2)*f + (1/2 - I)*3^(1/2)*g a[6] = (2 + I)*g - 2*I*f - I*3^(1/2)*f + 3^(1/2)*g a[7] = (2 - I)*f + 2*I*g + 3^(1/2)*f + I*3^(1/2)*g a[8] = (1 + 3/2*I)*f - 3/2*g + (1/2 + I)*3^(1/2)*f - (1 -
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 10
1/2*I)*3^(1/2)*g a[9] = - (3/2 - 3/2*I)*f - (1/2 + 3/2*I)*g - (1/2 - 1/2*I)*3^(1/2)*f - (1/2 + 1\ /2*I)*3^(1/2)*g a[10] = (1/2 - 1/2*I)*g - (3/2 + 1/2*I)*f - (1/2 + 1/2*I)*3^(1/2)*f + (1/2 - 1/\ 2*I)*3^(1/2)*g a[11] = (1/2 - I)*f + 1/2*I*g - 1/2*I*3^(1/2)*f + 1/2*3^(1/2)*g a[12] = f
a[13] = g
Es ist also a12 = a0 und a12 = a1 .
Mit den Startwerten a0 = 2 und a1 = 1+ i erhalten wir:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Zyklische Folge
Der Funktionsgraf ist eine Überlagerung von zwei Kreisbewegungen.
6.8 Divergenz
Für 1 =65e142 i
und 1 = e162 i
ergibt sich die Rekursion:
an+2 =12+ 6
5+
32( ) i an+1 + 3 3
535i( )an
Wegen 1 =65
divergiert die Folge. Mit den Startwerten a0 = 2 und a1 = 1+ i erhal-
ten wir für a2 bis a17 :
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 11
−25 −20 −15 −10 −5 5 10 15
−15
−10
−5
5
10
15
20
x
y
Divergente Folge
7 Zyklische Fibonacci-Folgen Wir diskutieren einige spezielle zyklische Fibonacci-Folgen, also Folgen mit:
1 = e
2 is1 , s1 =m1n1, ggT m1,n1( ) = 1
2 = e2 is2 , s2 =
m2n2, ggT m2,n2( ) = 1
Die Zyklenlänge ist dann z = kgV n1,n2( ) .
7.1 Reelle Rekursion
Für m , m 3 , sei =
2m
. Die Rekursion
an+2 = 2cos( )an+1 an
ist reell und führt zu einer zyklischen Folge der Länge m.
Wegen p = cos( ) und q = 1 ist:
1 = p + p2 + q( )12= cos( ) + cos2 ( ) 1
= cos( ) + sin2 ( ) = cos( ) + i sin( ) = ei
2 = p p2 + q( )12= cos( ) cos2 ( ) 1
= cos( ) sin2 ( ) = cos( ) i sin( ) = e i
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 12
Die Bedingung für eine zyklische Folge ist erfüllt, die Zyklenlänge ist m. Der Funkti-onsgraf setzt sich aus zwei Kreisbewegungen entgegengesetzt gleicher Frequenz zu-sammen und ist daher eine Ellipse. Lange und kurze Halbachsen dieser Ellipse sind:
Lange Halbachse = r1 + r2 =a1 a0 2
1 2+
a0 1 a1
1 2
Kurze Halbachse = r1 r2 =a1 a0 2
1 2
a0 1 a1
1 2
7.1.1 Beispiel m = 5 Mit der Rekursion
an+2 = 2cos25( )an+1 an =
1+ 52
an+1 an
und beliebigen Startwerten a0 = f und a1 = g erhalten wir:
a[0] = f a[1] = g a[2] = 1/2*g*(5^(1/2) - 1) - f a[3] = -1/2*(5^(1/2) - 1)*(f + g) a[4] = 1/2*5^(1/2)*f - g - 1/2*f a[5] = f
a[6] = g
Bei reellen Startwerten sind alle Folgenglieder reell: mit den reellen Startwerten a0 = 2 und a1 = 1 erhalten wir:
a[0] = 2 = 2.0 a[1] = 1 = 1.0 a[2] = 1/2*5^(1/2) - 5/2 = -1.381966011 a[3] = 3/2 - 3/2*5^(1/2) = -1.854101966 a[4] = 5^(1/2) - 2 = 0.2360679775 a[5] = 2 = 2.0
a[6] = 1 = 1.0
−2 −1 1 2
−1
1
x
y
Reelle Situation
Mit den komplexen Startwerten a0 = 1 und a1 = 1+ i ergibt sich:
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 13
−1 1
−1
1
x
y
Affin reguläres Fünfeck
Die Folgenglieder beecken ein so genanntes affin reguläres Fünfeck, ein affines Bild eines regulären Fünfeckes. Wie im regulären Fünfeck sind sämtliche Diagonalen paral-lel zu einer der Seiten.
Diese affine Regularität kann so eingesehen werden: Mit den speziellen Startwerten
a0 = e0 = 1 und a1 = e1 = e152 i
(das sind die ersten beiden fünften Einheitswurzeln)
erhalten wir, wie mit einiger Rechnung gezeigt werden kann, an = en = en52 i
, also die Ecken des regulären Fünfeckes:
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 14
−1 1
−1
1
x
y
Reguläres Fünfeck
Nun bilden wir die beiden speziellen Startwerte affin auf die aktuellen Startwerte ab; dabei soll der Ursprung ein Fixpunkt sein. Da die Fibonacci-Rekursion affin invariant ist, werden auch die übrigen Folgenglieder entsprechend abgebildet.
Allgemein erhalten wir mit der Rekursion
an+2 = 2cos2m( )an+1 an
ein affin reguläres m-Eck.
Die Rekursion an+2 =1+ 52
an+1 an mit dem Goldenen Schnitt als erstem Faktor
kann auch geometrisch nachvollzogen werden: Wir ergänzen die drei Punkte
0, an ,1+ 52
an+1 zum Parallelogramm. Die vierte Ecke ist dann an+2 .
an0
an+1
1+ 52 an+1
an+2
Geometrische Rekurison
Das führt dann zu einer Schließungsfigur.
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 15
Schließungsfigur
Die Schließungsfigur ist ein affines Bild der folgenden regulären Figur.
Reguläre Figur
7.1.2 Beispiel m = 3 Mit der Rekursion
an+2 = 2cos23( )an+1 an = an+1 an
und beliebigen Startwerten a0 = f und a1 = g erhalten wir:
a[0] = f a[1] = g a[2] = - f - g
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 16
a[3] = f a[4] = g
Mit den komplexen Startwerten a0 = 2 und a1 = 1+ i ergibt sich:
−3 −2 −1 1 2 3
−1
1
x
y
Dreieck mit Schwerpunkt im Ursprung
Es ergibt sich ein Dreieck mit dem Schwerpunkt im Ursprung.
Die Rekursion kann geometrisch interpretiert werden: Die Punkte an und an+1 werden am Ursprung gespiegelt, die Spiegelpunkte an zusammen an+1 mit dem Ursprung zum Parallelogramm mit den Ecken an , 0, an+1 ,an+2 ergänzt.
an
an+1
an
an+1an+2
Geometrische Rekursion
Mit dieser Rekursion entsteht eine Schließungsfigur:
a0 = a3
a1 = a4
a0
a1a2
a2
Schließungsfigur
7.1.3 Beispiel m = 4 Wir erhalten die Rekursion:
an+2 = 2cos24( )
=0
an+1 an = an
Das ist nicht besonders lustig. Mit beliebigen Startwerten a0 = f und a1 = g ergibt sich:
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 17
a[0] = f a[1] = g a[2] = -f a[3] = -g a[4] = f
a[5] = g
Mit komplexen Startwerten, zum Beispiel a0 = 2 und a1 = 1+ i , erhalten wir ein Paral-lelogramm, ein affin verzerrtes Quadrat also.
−2 −1 1 2
−1
1
x
y
Parallelogramm mit Schwerpunkt im Ursprung
7.1.4 Beispiel m = 6 Wir erhalten die Rekursion:
an+2 = 2cos26( )an+1 an = an+1 an
Mit beliebigen Startwerten a0 = f und a1 = g ergibt sich:
a[0] = f a[1] = g a[2] = g - f a[3] = -f a[4] = -g a[5] = f - g a[6] = f
a[7] = g
Mit komplexen Startwerten, zum Beispiel a0 = 3 2i und a1 = 2 + i , erhalten wir ein affin reguläres Sechseck.
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 18
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Affin reguläres Sechseck
Auch dieses Beispiel kann geometrisch sehr einfach illustriert werden: Wir bilden das
Dreieck 0anan+1 mit einer Punktspiegelung an 12an+1 ab. Die „neue“ Ecke ist dann
an+2 .
an
an+1
an+2
0
Geometrische Rekursion
Es ergibt sich eine Schließungsfigur.
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 19
a0
a1
a2
0
a3
a4
a5 Schließungsfigur
7.1.5 Beispiel m = 8 Wir erhalten die Rekursion:
an+2 = 2cos28( )an+1 an = 2 an+1 an
Mit beliebigen Startwerten a0 = f und a1 = g ergibt sich:
a[0] = f a[1] = g a[2] = 2^(1/2)*g - f a[3] = g - 2^(1/2)*f a[4] = -f a[5] = -g a[6] = f - 2^(1/2)*g a[7] = 2^(1/2)*f - g a[8] = f
a[9] = g
Mit komplexen Startwerten, zum Beispiel a0 = 2 und a1 = 1+ i , erhalten wir ein affin reguläres Achteck.
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 20
−2 −1 1 2
−1
1
x
y
Affin reguläres Achteck
Die Rekursion an+2 = 2 an+1 an kann geometrisch nachvollzogen werden: Wir stre-
cken an+1 mit dem Faktor 2 , anschließend ergänzen wir die drei Punkte
0, an , 2 an+1 zum Parallelogramm. Der vierte Parallelogrammpunkt ist dann an+2 .
an
an+1
2 an+1an+2
0 Rekursion
Dies führt zu einer Schließungsfigur.
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 21
Schließungsfigur
Die Figur ist das affine Bild einer regulären Figur.
Reguläre Figur
7.1.6 Sinus statt Kosinus Wir ersetzen in der Rekursionsformel den Kosinus durch den Sinus:
an+2 = 2sin2m( )an+1 an
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 22
Damit erhalten wir ebenfalls eine zyklische Folge. Die Zyklenlänge ist allerdings nicht mehr m, sondern:
z m( ) = 4mggT 4m, m 4( )
Der Grund für diese etwas komplizierte Formel liegt darin, dass wir bei der Berechnung von 1,2 eine zusätzlichen Faktor i, geometrisch also eine Vierteldrehung, erhalten.
Tabelle: m z 3 12 4 1 5 20 6 12 7 28 8 8 9 36 10 20 11 44 12 6 13 52 14 28 15 60 16 16 17 68 18 36 19 76 20 5
Beispiel m = 10 . Wir haben die Zyklenlänge 20. Für die Startwerte a0 = 2 und a1 = 1+ i ergibt sich folgende Figur mit „Überspringungen“.
−2 −1 1 2
−1
1
x
y
Überspringungen
7.2 Rein imaginärer Faktor p
Es sei wieder =2m
. Die Rekursion
an+2 = 2i sin( )an+1 + an
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 23
führt für m 4 zu einer zyklischen Folge.
Wegen p = i cos( ) und q = 1 ist:
1 = p + p2 + q( )12= i sin( ) + sin2 ( ) +1 = i sin( ) + cos( ) = ei
2 = p p2 + q( )12= i sin( ) sin2 ( ) +1 = i sin( ) cos( ) = e-i
Fallunterscheidung: Für m gerade ergibt sich eine Zyklenlänge z = m . Für m ungerade ergibt sich eine Zyklenlänge z = 2m .
7.2.1 Beispiel m = 2 Wir erhalten die Rekursion an+2 = an . Die Folge besteht alternierend aus a0 und a1 .
7.2.2 Beispiel m = 3
Wir erhalten die Rekursion an+2 = i 3 an+1 + an . Für beliebige Startwerte a0 = f und a1 = g ergibt sich:
a[0] = f a[1] = g a[2] = f + I*3^(1/2)*g a[3] = I*3^(1/2)*f - 2*g a[4] = - 2*f - I*3^(1/2)*g a[5] = g - I*3^(1/2)*f a[6] = f
a[7] = g
Wir sehen die Zyklenlänge 6.
Mit den Startwerten a0 = 5 + 3i und a1 = 1+ 2i ergibt sich:
−9−8−7−6−5−4−3−2−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1
123456
x
y
m = 3
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 24
7.2.3 Beispiel m = 4 In diesem Fall ist an+2 = 2i an+1 + an . Ferner ist 1 = 2 = i ; die Formel von Binet funktioniert also nicht (Division durch Null). Für beliebige Startwerte a0 = f und a1 = g ergibt sich:
a[0] = f a[1] = g a[2] = f + 2*I*g a[3] = 2*I*f - 3*g a[4] = - 3*f - 4*I*g a[5] = 5*g - 4*I*f a[6] = 5*f + 6*I*g a[7] = 6*I*f - 7*g a[8] = - 7*f - 8*I*g a[9] = 9*g - 8*I*f a[10] = 9*f + 10*I*g a[11] = 10*I*f - 11*g a[12] = - 11*f - 12*I*g a[13] = 13*g - 12*I*f a[14] = 13*f + 14*I*g a[15] = 14*I*f - 15*g a[16] = - 15*f - 16*I*g a[17] = 17*g - 16*I*f a[18] = 17*f + 18*I*g a[19] = 18*I*f - 19*g a[20] = - 19*f - 20*I*g
a[21] = 21*g - 20*I*f
Mit den Startwerten a0 = 5 + 3i und a1 = 1+ 2i ergibt sich:
−40 −20 20 40
−40
−20
20
40
x
y
Archimedische Spirale?
Der Polygonzug ist annähernd eine eckige archimedische Spirale.
Hans Walser: Die allgemeine Fibonacci-Folge 25
7.2.4 Beispiel m = 5 Die Zyklenlänge ist 10.
−10 10
−10
10
x
y
Zyklenlänge 10