Upload
hana-fristin-sparinda
View
242
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
KIMIA KUANTUMKIMIA KUANTUMKIMIA KUANTUM
D1B233
YATI B. YULIATI, Dra., M.S.
IMAN RAHAYU, S.Si.,M.Si
Prasyarat : D1A102 Matematika II
D1B232 Kimia Fisik II
Bahasan
• Teori atom dan lahirnya kuantum• Dasar-dasar Teori Kuantum• Konsep operator• Sistem mekanika gelombang dengan energi
potensial konstan• Sistem mekanika gelombang dengan energi tidak
konstan• Interaksi materi dan energi• Struktur molekul
Pustaka
• Chandra, Introductory Quantum Chemistry• Atkins, Physical Chemistry
Hubungan dengan kuliah ini
• Kuliah ini mendasari:– Kuliah lanjut kimia (kimia inti dan radiokimia)
• Sangat penting untuk memahami:– Struktur molekul– Spektroskopi molekul
Mekanika klasik• Perilaku atom/molekul dikaitkan dengan objek sehari-hari dan planet-
planet• Gagal menjelaskan partikel-partikel sangat kecil
Persamaan fisika klasik
• Lintasan dalam hubungannya dengan energi
E = Ek + V
Energi Total
Ek = Energi kinetikV = Energi potensial
2
1
2
m
V) - E(2
dt
dx
Vmv2
1 E
Persamaan ini untuk energi total menunjukan posisi partikel sebagai fungsi waktu (lintasan partikel)
Hukum Kedua Newton = tentang gerakan partikel
dt
dx . m p
F dt
dp
Gerakan Rotasi
Momentum sudut J sebuah partikelJ = I
Osilator Harmonis
Gerakan osilator = vibrasi atom pada sebuah ikatan F = -kx
Gerakan Partikel Lainnya
Kegagalan Fisika Klasik
• Menerangkan transfer energi pada kuantitas yang sangat kecil
• Pemerian mengenai gerakan partikel karena massa yang kecil dan momen inersia yang kecil
Apa yang salah dengan M. Klasik ?
I. Gagal menjelaskan radiasi benda hitam
• Semua benda panas mengeluarkan radiasi
• Semakin tinggi suhu, puncak bergeser ke rendah
• Secara empiris ada:
• Hk. Stefan boltzman M=k.T4, M=energi radiasi/satuan luas permukaan
• Hk. Pergeseran Wien T. max = konstan
Radiasi benda hitam
• Representasi masalah radiasi ini adalah benda hitam (benda ideal yang dapat mengabsorpsi dan memancarkan radiasi di semua rentang spektrum dengan uniform)
Penjelasan Klasik
• Rayliegh dan Jeans yang melakukan
• Berdasarkan prinsip ekuipartisi, energi terserap sebagai kontinum
• Menghasilkan formula:
• Skandal UV
pd = 8kT-4d
Hipotesa Planck (Kuantum)
• Berdasarkan asumsi, energi terserap tidak sebagai kontinum, tapi paket.
• Menghasilkan ungkapan:
pd = 8kT-5(ehc/kT-1)-1
II. Gagal menjelaskan Efek Fotolistrik
Hasil Percobaan
• Tak ada elektron keluar, walau sebesar apapun intensitas, bila frekuensi ambang tak dilewati
• EK elektron yang dilepas naik dengan naiknya frekuensi, tetapi tak bergantung pada intensitas
• Pada intensitas serendah apapun, elektron tetap dilepaskan sepanjang frekuensi ambang dilewati.
Mekanika Klasik gagal
• Mekanika klasik meramalkan dengan naiknya intensitas energi elektron yang dilepas akan naik pula
• Secara klasik tak ada alasan mengapa EK harus bergantung pada frekuensi
• Sukar menjelaskan bagaimana energi dapat terkonsentrasi dalam ruang yang kecil.
Penjelasan Kuantum (Einstein)
• Melangkah lebih lanjut dari Planck: tidak hanya dalam proses penyerapan, dalam proses transportnya energi juga terkuantisasi
• Paket energi besarnya berbanding dengan frekuensi
Apa Yang Salah dengan M.Klasik ?
III. Gagal menjelaskan Spektrum Atom
• Sejak abad 1 telah diamati, bila gas diberi nyala akan diamati beragam warna
• Segera dikenali dengan prisma, spektrumnya bukan kontinu
• Beberapa unsur ditemukan dengan mengenali spektrumnya
Spektrum Atom H
• 1885 Balmer menemukan ada hubungan matematik antar garis di spektrum H:
• Balmer memprediksi ada deret lain, dengan mengganti 2 dengan 1, 3, 4
= b{n2/(n2-22)}
Spektrum Atom H
• Ternyata memang diamati daerah lain
• Total ada daerah:
• Lyman(uv)
• Balmer (tampak)
• Ritz (IR)
• Brackett (IR)
Mekanika Klasik Gagal
• Menurut Klasik, energi kontinum, sehingga spektrum garis dengan frekuensi tertentu tidak dapat dijelaskan
Penjelasan Kuantum (Bohr)
• Energi elektron tertentu, tercermin dengan momentum sudut yang tertentu.
• Didapat ungkapan:
• En = -13.6/n2
E = mc2
p
h
mc
hλ c = kecepatan cahaya
p = momentum
λ
c h hν mc 2
Dasar – Dasar Teori Kuantum
Radiasi cahaya memiliki sifat dualisme:
1. Berupa arus partikel / foton
2. Gerak gelombang
Sifat dualisme cahaya diterapkan oleh de Broglie (1923) terhadap elektron yang bergerak mengelilingi inti.
Menurut teori relativitas Einstein, energi suatu partikel adalah
Sedangkan E = h , maka didapat:
Sehingga untuk foton:
Demikian juga hal tersebut berlaku untuk elektron
p
h
m
hλ
= kecepatan elektron
Prinsip ketidaktentuan Heisenberg :
Nilai sepanjang pengamatan khas tak dapat ditentukan secara simultan dengan ketelitian tinggi. Contohnya: pasangan momentum dan kedudukan, pasangan energi dan waktu.
q . p ћ/2E . t ћ/2 2
h
Hal ini menunjukkan sifat gelombang dari materi.
Dengan adanya teori gelombang dari elektron, maka kedudukan elektron sekeliling inti tak tertentu.
Batas ketelitian pengukuran fisik dinyatakan oleh hubungan:
Persamaan Schrodinger:
1. Menggambarkan energi elektron
2. Kedudukan elektron digambarkan sebagai kebolehjadian
Untuk elektron yang berbentuk dalam satu dimensi
Sebagai f(x), panjang gelombang
2
2
2
2 4 -
dx
d…………………………………. (1)
Hal ini tidak berarti untuk benda besar tetapi sangat berarti untuk elektron, atom dari molekul.
Kedudukan dan momentum dari elektron memberikan informasi mengenai kebolehjadian menemukan elektron di sekeliling inti
Persamaan Schrodinger = mekanika kuantum/mekanika gelombang yang menggambarkan prilaku elektron
Persamaan gelombang:
Untuk 3 dimensi persamaan menjadi:
04
2
2
2
2
2
2
2
2
dz
d
dy
d
dx
d
= (x,y,z) = koordinat Cartes
Dapat juga dituliskan:
04
2
22
2
2
2
2
2
22
dz
d
dy
d
dx
d
= del
…………………………………. (2)
…………………………………. (3)
…………………………………. (4)
Dengan persamaan dimanap
Hubungan tersebut disubstitusikan ke persamaan (3) maka dihasilkan:
Persamaan gelombang ini dapat digunakan untuk menghitung tingkat energi atom hidrogen dengan energi kinetik = ½ mv2 = E-V
…………………………………. (5)04
2
2222
h
m
mpdanh
2
r
eV
4
2
Substitusi hubungan ke dalam persamaan (5) memberikan:)(2
2 VEm
V
0 )(8
2
22 VE
h
m
Persamaan Schrodinger
dapat diubah menjadi:
…………………………………. (6)
…………………………………. (7)
E 8
22
2
V
m
h
OPERATOR CONCEPT
IN
QUANTUM CHEMISTRY
An operator is a symbol for a certain mathematical procedure which transforms one function into another. For example, the operator of evaluating the derivative with respect to x is represented by the symbol d/dx. When this operator is applied to the function xn we obtain a new function as
A list of typical examples of different mathematical operations along with the results of the operations on the function, x3 is given in
1)( nnxxdx
d n
Operation OperatorResult of operation
on x3
Talking the square ( )2 x6
Talking the square root X3/2
Multiplication by a constant
k Kx3
Differentiation with respect to x
d/dx 3x2
Integration with respect to x
( ) dx X4/4 + c
(Operator) . (function) = (Another function)
Additional and Subtraction of Operators
If A and B are two different operators, then new operators A + B and A – B can be defined as
A + B = B + Â
A - B = -B + Â
(A + B) = Â + B
(A - B) = Â - B Where is an operand it is also true that
Multiplication of Operators
B1 = 1
Then 1 operated on by  to obtain the final function 11 as
Â1 = 11
So that
 B = 11
  = Â2
Linear Operator
Commutator
Were i, j, k are unit vectors along the x, y and z axes. Operating on a scalar function , this operator generates a vector called the gradient of .
Vector Operator
Laplacian
Eigenfunctions and Eigenvalues
= Eigenfunction = Eigenvalues
POSTULATE OF QUANTUM MECHANICS
Postulat I
• Setiap keadaan dari sistem dinamik H partikel digambarkan oleh fungsi (q1,,q2,…q3n, t)
• Besaran * sebanyak dengan kebolehjadian menentukan q1 antara q1 + q1 + q2 antara q2 + dq2,…
Postulat IIUntuk setiap sifat dari sistem yang teramati, ada operator Hermit.Operator Hermit didefinisikan dari hubungan:
seluruh ruang * j d = seluruh ruang i * *j d α α
Postulat III
Nilai yang dapat diukur dari besaran A diamati secara fisik adalah nilai eigen ai :
ii ψψ A ia
A = operator sesuai dengan yang diamati
nnE χ
Substitusi persamaan (3,7) ke dalam persamaan (1.64), didapat:
Evm
h 2
2
2
atau
0)(2
22
VEm
h
Postulat IV
Nilai rata-rata dari yang teramati yang berhubungan dengan A dinyatakan sebagai:
drAa ˆ*
= fungsi gelombang ternormalisasi untuk suatu keadaan.
Postulat V
Fungsi gelombang suatu sistem berubah dengan waktu menurut persamaan:
t
trihtr
),(
),(ˆ
= operator Hamilton untuk sistem
1. SYARAT – SYARAT FUNGSI GELOMBANG ψ
1τ|ψ| 2 d
1. Mempunyai nilai tunggal
2. Tidak mempunyai nilai tak terhingga
3. Fungsi gelombang dan turunannya harus kontinu
4. Fungsi normal yaitu memenuhi syarat :
2. Pembentukan Operator
• Berdasarkan sifat partikel dan gelombang• Fungsi gelombang bebas pada sumbu x
Atau
Turunan Pertama:
xp
h
dx
d
i
hpx 2ˆ
tetapanA 2π
sin A ψ x
tetapan C C ψx
2π
ie
xi
Cei
dx
d
22ψ
ψ2
i
ψ2ψ
xph
i
dx
d
3. Persamaan Operator Momentum Linier
dx
d
i
hpx 2ˆ
4. Operator Energi
Operator Energi Total Ĥ (Hamiltonian)
VmvH 2
2
1H = energi total
m = massa partikel
v = kecepatan
V = energi potensial
Ĥ = Operator Hamiltonian
(Operator Energi)
Vm
pH
2
2
p = momentum linier
Operator energi (satu dimensi) V
dx
d
m
hH
2
2
2
2
8ˆ
Operator energi tiga dimensi
Vdz
d
dy
d
dx
d
m
hH
2
2
2
2
2
2
2
2
8ˆ
Atau
LaplacianVm
hH 22
2
2
8
ˆ
5. Persamaan Operator
Energi Total
(fungsi waktu)
Momentum Sudut
Energi Total
(tiga dimensi)
Energi Total
(satu dimensi)
Momentum linier
x
Mekanika KuantumMekanika Kuantum
Pers. OperatorOperatorVariabel
x x
xp
yp
zp
dx
d
i
h
2
dy
d
i
h
2
dz
d
i
h
2
ΗE ˆatau ˆ Vdx
d
m
h
2
2
2
2
8
ΗE ˆatau ˆ Vm
h 2
2
2
8
xL
yL
zL
dx
dy
dy
dx
i
h
2
dz
dx
dx
dz
i
h
2
dy
dz
dz
dy
i
h
2
H
2ih
6. Sistem Kuantum Sederhana
I. Sistem Energi Potensial Tetap
- Kotak satu dimensi
- Kotak tiga dimensi
- Partikel dalam lingkaran- Bidang perintang potensial
- Rotator kaku
II. Sistem Energi Potensial Berubah
- Osilator Harmonik
- Atom hidrogen dan atom-atom yang menyerupainya
7. Kotak Satu Dimensi
Sebuah elektron bermassa m bergerak dalam arah sumbu x dari x=0 sampai x=a
I & III = energi potensial tak
terhingga V = ~
II = energi potensial nol
V = 0
Permasalahan
1. Fungsi gelombang
2. Energi elektron
I III
x=0 x=a
II
V
e
8. Solusi
Sumbu x satu dimensiPersamaan gelombang
Ĥ = Operator Hamiltonian
E = Energi
ψ = Fungsi gelombang
ψψˆ EH
ψψψ
8 2
2
2
2
EVxm
h
0ψ)(8ψ
2
2
2
2
VEh
m
x
Daerah I & III
Daerah II
22
28kE
h
m
Y = C cos kx + D sin kx
0ψ)(8ψ
2
2
2
2
Eh
m
x
0ψ0ψ2
2
x
0ψ8ψ
2
2
2
2
Eh
m
x
0ψψ 22
2
kx
9. Pada x = 0 ψ I = ψ II
0 = C cos 0 + D sin 0jadi
C = 0
Pada x = a ψ II = ψ III
C cos k a + D sin k a = 0
C = 0} D sin k a = 0
Sin k a = 0
k = a
n
Jadi fungsi gelombang
utama) kuantum(bilangan ....3,2,1
sinψ
n
tetapanD
xa
nDn
10. Normalisasi Fungsi Gelombang
1sin0
22 dxa
nD
a
θ)2cos1(2
1 θsin 2
Maka:1
2cos
2
1
2
1
0 0
2
a a
xdxa
ndxD
102
2
a
D
aD
2
a xsampai 0 x batas sinψ xa
nDn
1|ψ|0
2 dxa
n
Jadi fungsi gelombang normal untuk elektron dalam kotak satu dimensi
11. Fungsi gelombang normal pada bilangan kuantum yang berbeda (nnl)
Fungsi gelombang pada n dan nl bersifat ortogonal
Transisi elektron
ψ nI ψ n
22
22
8
)'(h
ma
nnE
xa
n
an
sin
2ψ
0ψψ0
' dxa
nn
Frekuensi transisi diperoleh melalui hubungan
h
E
hma
nn2
22
8
)'(
Panjang gelombang
hnn
Cma
}.)'{(
822
2
12. Tingkat-tingkat Energi Elektron
22
28kE
h
m
a
nk
Jadi 2
22
8ma
hnE
2
2
8
h E 1n
mauntuk
2
2
8
4h E 2n
ma
2
2
8
9h E 3n
ma
2
2
8
16h E 4n
ma
dst En ~ n2
n=4
n=3
n=2
n=1
E4
E3
E2
E1E0
Jarak antara tingkat energi, semakin besar
• Energi terkecil dari elektron adalah 2
2
8ma
hEl
• Karena energi potensial = 0 merupakan energi
kinetik
2
2
8ma
hEl
• Elektron selalu bergerak
13. Karakteristik Fungsi Gelombang
Fungsi gelombang ψ bergantian simetrik dan antisimetrik
ψ1 : Simetrik
ψ2 : Antisimetrik
ψ3 : Simetrik
ψ4 : Antisimetrik
dst
|ψ|2 = ψ*ψ adalah kebolehjadian |Peluang| mendapatkan elektron
ψ4
ψ2
ψ3
ψ1
KOTAK TIGA DIMENSI
Elektron dalam kubus sisi kubus a, energi potensial V dalam kubus = 0 dan energi potensial V luar kubus =
Kedudukan Elektron : (x,y,z) = f(x) f(y) f(z)
za
πnsiny
a
πnsinx
a
πnsin
a
8 z)y,ψ(x, zyx
3
2
2222
8
)(
ma
hnnnEEEE zyx
zyx
Operator energi Ĥ = Vzyxm
h
2
2
2
2
2
2
2
2
8
nx = 1,2,3,…ny = 1,2,3,…nz = 1,2,3,…
} Bilangan kuantum utama arah x,y dan z
Ada tiga keadaaan elektron dengan energi yang sama yaitu pada:
nx, ny, nz (2, 1, 1)
(1, 2, 1)
(1, 1, 2)} 2
2
8
6
ma
hE
Jika dimensi kotak tidak sama (a, b dan c)
Fungsi Gelombang
2
2
2
2
2
22
8 c
n
b
n
a
n
m
hE zyx
Energi
zyxnx
c
πnsin
b
πnsin
a
πsin
abc
8 z)y,ψ(x, zy
Elektron dalam Lingkaran
(x=0)
• Gerakan elektron dibatasi sepanjang bidang yang berbentuk lingkaran
• x adalah titik yang berubah-ubah pada lingkaran (x=0 samapai x=c, dimana c adalah panjang dari lingkaran
e-
• Fungsi gelombang harus mempunyai nilai tunggal, sehingga
(x) = (x+c)
Persamaan Gelombang
0V)ψ(Eh
m8π
x
ψ2
2
2
2
Karena V=0 dan 22
28kE
h
m
kx cos Bkxsin A ψ Maka
Pada x=0 (0) = (c)
A sin k.o + B cos k.o = A sin k.c + B cos k.c
B = A sin k.c + B cos k.c
k xsin k B -k x cosAk x
ψ
cx0x x
ψ
x
ψ
Ak = Ak Cos k c – B k sin k c
B = A sin k c + B cos k c} c
2nπk
dari 22
2
kEh
m8π
2
22
2mc
hnE
C = panjang lingkaran
Jadi fungsi gelombang
xC
2nπcos Bx
C
2nπsinA ψ
Normalisasi
1 c
2ncos B
c
2nsin A 2
dxxx
c
o
12
cos2
sin22
cosB 2
sin00
22
0
22 xdxc
nx
c
nABxdx
c
nxdx
c
nA
ccc
Fungsi Gelombang
α x
c
2nπsin
c
2 ψ
xc
2nπcossinα
c
2 x
c
2nπsin cosα
c
2ψ
12
)( 22 C
BAC
BA222
osC
A C 2
Sin 2
CA
SISTEM DENGAN BIDANG POTENSIAL BERUBAH
V=VO
V=0 E
X=0
I II
X
Elektron (masa =m) bergerak dalam arah sumbu x positif dalam suatu bidang potensial
V=0 untuk x<0
V=Vo untuk x>0
Persamaan Schrodinger
0)ψV-(E8
II.
0Eψ8
I.
II02
2
2
2
I2
2
2
2
h
mπ
x
ψ
h
mπ
x
ψ
II
I
Jika 0<E<Vo maka :
0)ψV-(E8
II. II02
2
2
2
h
mπ
x
ψ II
0Eψ8
I. I2
2
2
2
h
mπ
x
ψ I
konstanta B A,
xikxik BA 11Iψ
0E)ψ-(V8
II02
2
2
2
h
mπ
x
ψ II xkxk DC 22IIψ
: berarti kontinu, x
ψdan ψ :Syarat
0 xpada ,ψ
x
ψdan ψ ψ III
III
x
0
BA 211 xikxik
x
C xk } A + B =C1.
2.0
B,ikA ik, 2112
xikxik
x
Ck xk } ik,A - ik,B = -k2C
A-B = - 1
2
ik
Ck
2
)/1( 2 likkcA
2
)/1( 2 likkcB
}
l
l
ikk
ikk
2
2
)(
2
2
l
l
ikk
ikk
2
2 kik
kik
l
l
l
l
ikk
ikk
A
B
/1
/1
2
2
21
22
l22
2 )ik(k
||
||
kkA
B
Intensitas elektron yang dipantulkan
Kemungkinan adanya partikel-partikel elektron yang ditransmisikan
dalam daerah II dinyatakan dengan koefisien transmisi dalam
mekanika klasik koefisien transmisi ini tidak dapat diramalkan
dianggap =0
2
A
C
lll kkkikkikA
C
2
2
2l
2
l
2
l
24k
2ik
2ik
Substitusi: E)-(Voh
m8πkdan E
h
m8πk
2
22
22
22
l
Maka: transmisiKoef. , 0 Vo
4E
2
A
C
Tidak nol kecuali energi potensial dari rintangan tidak terbatas. Besarnya koef. transmisi tergantung pada energi potensial dari rintangan dan masa partikel jadi elektron/partikel jika dalam gerakannya dihalangi suatu perintang yang mempunyai energi potensial tertentu ia dapat meneruskan gerakannya. Hal ini ditemukan dalam desintegrasi radioaktif dari inti atom oleh partikel alfa.
ROTATOR KAKU
Misal rotasi molekul diatonik dalam ruang dimana panjang rantai tidak berubah selama perputaran.
Molekul diatonik dengan masa masing-masing m1 dan m2 dan jaraknya R.
Jika O: pusat gaya berat dan
O- m1 = r1 m1r1 = m2r2
O- m2 = r2 r1 + r2 = R}
21
21 mm
Rmr
&
21
12 mm
Rmr
Energi kinetik perputaran atom:
222
211 2
1
2
1vmvmEk
Dimana V1= kecepatan linear m1
V2= kecepatan linear m2
Jika w = kecepatan sudut maka:
22
22
21
21 ω
2
1ω
2
1rmrmEk
I adalah kelembaman I momen inersial momen sudut total dari rotasi , maka energi kimia dapat ditulis:
I
LIEk
2ω
2
1 22
ωILdan )r(rmm
mmI 2
2121
21
Jika energi potensial rotator V=0 dan perator Hamiltonian
adalah:I
LH
2ˆ
2
L2 dinyatakan dalam koordinat bola dimana:
L = iLx + jLy +kLz &
L = L.L = Lx2 + Ly2 + Lz2
Operator momentum sudut ditransformasikan ke koordinat bola sbb:
z
x
y
y
zr
x = r sin cos
y = r sin sin
z = r cos
z2 + y2 + x2 = r2 cos2 + r2 sin2 sin2 + r2 sin2 cos2
z2 + y2 + z2 = r2
= r2 (cos2 + sin2 )
= r2 (cos2 + sin2 (sin2 cos2 ))
= r2 (cos2 + sin2 sin2 + sin2 cos2 )
Fungsi gelombang dalam koordinat bola
= f ( r, , )
dddr
r
xxx
r
rx
yyy
r
ry
r2 = x2 + y2 + z2
cossin)zy(x
x
2.)(2
1
1/2222
2/1222
r
x
xzyxx
r
r = ( x2 + y2 + z2 )1/2
cos
r
z
z
r
x
yy
xi
hzL
2ˆ
Momentum-momentum sudut dinyatakan dalam koordinator bola
sinsin
r
y
y
r
y
zz
yi
hxL
2ˆ
z
xx
zi
hyL
2ˆ
2
2
22
22
sin
1sin
sin
1
4ˆ
2ˆ
sincotgcos2
ˆ
coscotgsin2
ˆ
hL
i
hzL
i
hyL
i
hxL
Persamaan Schrodinger untuk rotator kaku: Ĥ=E dimana
maka :I
LH
2ˆ
2
E
I
h
2
2
2
2
sin
1sin
sin
1
28
08
sin
1sin
sin
12
2
2
2
2
E
h
I
Persamaan ini terdiri dari 2 variable sudut dan . Hal ini dapat diselesaikan dengan metoda pemisahan variable = ()()
Metoda ini menghasilkan suatu bentuk fungsi gelombang total dari rotator kaku, dinyatakan oleh:
)m(θ,rmm(θ, θ)ψ (θ, ,)()
dimana:
,...),3,2,1,0(2
1)( mm im
)(cos|||)!|(2
|)!|(12)(,)( mP
m
mm
Sehingga fungsi gelombang rotator kaku dapat dinyatakan dengan:
immm P
m
m
)(cos|)!|(2
|)!|(12
2
1),( ||
,
Polinom Legendre
dimana:
1
!2
1)( 2 x
dx
dxP
)()1()( 2||
2 xPdx
dxxP
m
mmm
11!2
1)( 2
||
||2
||2||
xdx
dxxP
m
mmm
dan m = bilangan kuantum rotasi
= 0,1,2,… dan m = - , , …0, …
1 ,1
Beberapa fungsi polimer Legendre untuk beberapa nilai dan m
)(|| xp m
1)()( 00
0 xPxP
xxxPxP )2(2
1)()( 1
01
2/1211 )1()( xxP
)13(2
1)( 20
2 xxP
xxxP 3)1()( 2/1212
222 )1(3)( xxP
)1(15)( 223 xxxP
Contoh:
Fungsi gelombang untuk =1 dan m= ± 1 m,
i
2
12 )cos1(
2.2
12
2
1),(1,1
i sin22
3
i sin22
3
Besarnya energi kinetik rotasi:
Dimana I=momen kelembaman/mersia. Energi suatu rotator kaku tidak tergantung pada bilangan kuantum m dan keadaan paling dasar berlaku pada =0 dan m=0
I
hE
2
2
8
)1(