LINEER CEBIR DERS NOTLARI 2.HAFTA

GAUSS ELIMINASYON YONTEMI

Bu bolumde lineer denklem sistemlerinin cozumu icin sistematik bir yontem

gelistirecegiz. Bu yontem; sisteme karsılık gelen katsayılar matrsisi uzerinde satır op-

erasyonlarını uygulama temeline dayanır. Lineer denklem sistemlerinin cozumg icin

yontemler dusundugumuzde; buyuk sistemler ile- ki bilgisayarlar ile cozulmelidir;

kucuk sistemler-ki elle cozulebilir ayrımını yapmak onemlidir. Ornegin; cok fazla

uygulama binlerce hatta milyonlarca bilinmeyeni olan lineer sistem olusturur. Ozel

teknikler gerektiren buyuk sistemler; hafıza buyuklugu, cozum zamanı, yuvarlama

hataları gibi konularla da iliskilidir. Bu teknikleri calısan dal numerik analiz olarak

adlandırılan alandır. Bu konuya burada cok az deginecegiz. Buna ragmen; buyuk

sistemler icin kullanılan metotların hemen hemen hepsi; bu bolumde gelistirecegimiz

fikirlere dayanmaktadır.

Eselon Formlar

Onceki bolumun son orneginde katsayılar matrisi ve x, y, z bilinmeyenleri ile

verilen lineer sistemi1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

matrisine indirgeyerek cozduk ve cozumu x = 1, y = 2, z = 3 bulduk.

Bu matris; bir matrisin satırca indirgenmis eselon form ornegidir. Bir matrisin

bu formatta yazılabilmesi icin asagıdaki ozelliklere sahip olması gerekir.

(1) Eger bir satır tamamen sıfır degilse; bu durumda sıfır olmayan ilk bilesen 1

dir. Buna lider 1 denir.

(2) Eger tamamı 0(sıfır) dan olusan satırları varsa; matrisin o satırlar matrisin

altkısmında gruplandırılabilir.

1

HANDAN KÖSE

(3) Sıfır olmayan bilesenlerden olusan ve ard arda gelen iki satırda; daha alttaki

lider 1; ustteki satırdan daha sagdadır.

Yukarıdaki uc ozellige sahip matris; satır eselon forma sahip olarak adlandırılır.

(4) Herbir sutun lider 1 icerir ve o sutundaki diger butun bilesenler 0 dır.

Boylece satırca indirgenmis eselon forma sahip matris; satır eselon formda ol-

masına ragmen; tersi dogru degildir. Yani satır eselon formda olan matrisler; satırca

indirgenmis eselon formda olmak zorunda degildir.

Ornek: (Satır eselon form ve satır indirgenmis eselon form)

1 0 0 4

0 1 0 7

0 0 1 −1

,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

0 1 −2 0 1

0 0 0 1 3

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

,

0 0

0 0

matrisleri satırca

indirgenmis eselon formdadır.1 4 −3 7

0 1 6 2

0 0 1 5

,

1 1 0

0 1 0

0 0 0

,

0 1 2 6 0

0 0 1 −1 3

0 0 0 0 1

matrisleri satır eselon

formdadır ancak satırce indirgenmis eselon formda degildir.

Ornek: Yukarıdaki ornek; satır eselon forma sahip bir matrisin, herbir lider 1 in

asagısının 0 oldugunu ve satırca indirgenmis eselon forma sahip bir matrisin herbir

lider 1 katsayısının; altının ve ustunun 0 oldugunu gosterir. Boylece, ∗ herhangi bir

reel sayıyı gostermek uzere;1 ∗ ∗ ∗

0 1 ∗ ∗

0 0 1 ∗

0 0 0 1

,

1 ∗ ∗ ∗

0 1 ∗ ∗

0 0 1 ∗

0 0 0 0

,

1 ∗ ∗ ∗

0 1 ∗ ∗

0 0 0 0

0 0 0 0

,

0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

0 0 0 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

0 0 0 0 1 ∗ ∗ ∗ ∗

0 0 0 0 0 0 0 1 ∗

matrisleri satır eselon formdadır.

2

HANDAN KÖSE

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

,

1 0 0 ∗

0 1 0 ∗

0 0 1 ∗

0 0 0 0

,

1 0 ∗ ∗

0 1 ∗ ∗

0 0 0 0

0 0 0 0

,

0 1 ∗ 0 0 0 ∗ ∗ 0 ∗

0 0 0 1 0 0 ∗ ∗ 0 ∗

0 0 0 0 1 0 ∗ ∗ 0 ∗

0 0 0 0 0 1 ∗ ∗ 0 ∗

0 0 0 0 0 0 0 0 1 ∗

matrisleri satırca indirgenmis eselon formdadır.

Ornek: (Tek Cozum)

x1, x2, x3, x4 bilinmeyenleriyle lineer sistem icin karsılık gelen katsayılar

matrisinin elementar operasyonlarla indirgenmis sekli:1 0 0 0 3

0 1 0 0 −1

0 0 1 0 0

0 0 0 1 5

olsun.

Bu matris satırca indirgenmis eselon formdadır ve karsılık gelen denklem:

x1 = 3

x2 = −1

x3 = 0

x4 = 5

dir. Boylece sistem bir tek cozume sahiptir ve bu cozum x1 = 3, x2 = −1,

x3 = 0, x4 = 5 seklindedir.

Ornek: (Uc bilinmeyenli lineer sistemler)

Asagıda x, y, z bilinmeyenleriyle katsayılar matrisi verilen lineer sistemlerin cozumlerini

bulunuz.

(a)

1 0 0 0

0 1 2 0

0 0 0 1

3

HANDAN KÖSE

(b)

1 0 3 −1

0 1 −4 2

0 0 0 0

(c)

1 −5 1 4

0 0 0 0

0 0 0 0

C. ozum: a) 0x + 0y + 0z = 1. Bu esitlik x, y, z nin hicbir degeri icin saglanmaz.

Yani; sistem tutarsızdır.

b) Lineer sistem;x + 3z = −1

y − 4z = 2

x + 0y + 0z = 0

seklindedir ve sistemden 0x + 0y + 0z = 0 esitligi cıkarılabilir. Bu durumda sistem

x + 3z = −1

y − 4z = 2

sistemine donusur. Burada x ve y lider degiskenler olarak adlandırılır; geriye kalan

degiskenlere (burada z) serbest degisken denir.

x = −1− 3z

y = 2 + 4z

z serbest degiskenine t gibi bir parametre atandıgında cozum kumesi parametrik

denklemler ile

x = −1− 3t, y = 2 + 4t, z = t

seklinde elde edilir.

t icin farklı degerler vererek; sistemin cesitli cozumlerini elde edebiliriz. Ornegin;

t = 0 icin x = −1, y = 2, z = 0

t = 1 icin x = −4, y = 6, z = 1

cozumleri elde edilir.

c) Sıfır satırlarına karsılık gelen denklemleri atabiliriz; boylece tek bir denklem;

x− 5y + z = 4

4

HANDAN KÖSE

elde edilir. Cozum kumesinin uc boyutta bir duzlem oldugunu gorebiliriz. y ve z ye

sırası ile y = s ve z = t parametreleri atayarak; x = 4 + 5s− t, y = s, z = t cozum

kumesi elde edilir.

Cogunlukla bir genel cozumde parametreleri r, s, t, . . . gibi harflerle gosteririz

ancak bu harfler; kullanılan bilinmeyenlerin ismiyle cakısmamalıdır. Uc bilinmeyen-

den daha fazla olan sistemler icin harflerin altına indis yazmak t1, t2, . . . gibi daha

uygundur.

Tanım: Eger bir lineer sistemin sonsuz sayıda cozumu varsa; bu durumda parametrik

denklemlerin kumesi- ki parametrelere atanan sayısal (numerik) degerlerle elde edilen

butun cozumler sistemin genel cozumu olarak adlandırılır.

Eliminasyon Metotları

Lineer denlem sisteminin cozumunun; karsılık gelen katsayılar matrisini satırca

indirgenmis eselon forma donusturerek kolayca nasıl bulundugunu gorelim. Simdi

herhangi bir matrisi satırca indirgenmis eselon forma donusturmek icin adım adım

eliminasyon prosedurunu verecegiz.0 0 −2 0 7 12

2 4 −10 6 12 28

2 4 −5 6 −5 −1

matrisini gozonune alalım.

1. Adım. 0(sıfır) ile baslamayan satırları bul ve yer degistir. 2. satır ile 1. satırı

yer degistirelim.

2 4 −10 6 12 28

0 0 −2 0 7 12

2 4 −5 6 −5 −1

2. Adım. 1. satırı 1

2ile carpalım.

1 2 −5 3 6 14

0 0 −2 0 7 12

2 4 −5 6 −5 −1

5

HANDAN KÖSE

3. Adım. Lider 1 in altındaki butun bilesenleri sıfırlamak icin 1. satırın (−2)

katı ile 3. satırı toplayıp; 3. satıra yazalım.

1 2 −5 3 6 14

0 0 −2 0 7 12

0 0 5 0 −17 −29

Simdi altmatrise yukarıdaki islemleri uygulayarak; satır eselon forma donene kadar

devam edelim.

4. Adım. 2. satırı −12

ile carpalım.1 2 −5 3 6 14

0 0 1 0 −72−6

0 0 5 0 −17 −29

5. Adım. 2. satırı (−5) ile carpıp 3. satır ile toplayıp; 3. satıra yazalım.

1 2 −5 3 6 14

0 0 1 0 −72−6

0 0 0 0 12

1

Yeni altmatriste lider 1 i elde etmek icin 3. satırı 2 ile carpalım.

1 2 −5 3 6 14

0 0 1 0 −72−6

0 0 0 0 1 2

Boylece baslangıctaki matris satır eselon formdadır. Satırca indirgenmis halini

bulmak icin asagıdaki ek adımlara ihtiyacımız vardır.

6. Adım. 3. satırı 72

ile carpıp 2. satır ile toplayıp; 2. satıra yazalım.

1 2 −5 3 6 14

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

7. Adım. 3. satırı −6 ile carpıp 1. satır ile toplayıp; 1. satıra yazalım.

6

HANDAN KÖSE

1 2 −5 3 0 2

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

8. Adım. 2. satırı 5 ile carpıp 1. satır ile toplayıp; 1. satıra yazalım.

1 2 0 3 0 7

0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 2

elde edilir.

Bir matrisi satırca indirgenmis eselon forma donusturmek icin tanımladıgımız bu

prosedur(algoritma) Gauss-Jordan eliminasyonu olarak adlandırılır.

Algoritma iki kısımdan olusur; ileri evre- ki lider 1 lerin altında kalan bilesenler

0(sıfırdır) ve geri evre- ki lider 1 lerin uzerindeki bilesenler 0(sıfırdır). Yalnızca

ileri evreden yararlanılırsa prosedur satır eselon formu uretir ve Gauss eliminasyonu

olarak adlandırılır.

Ornek: (Gauss-Jordan Eliminasyonu)

Gauss-Jordan yontemiyle

x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0

2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1

5x3 + 10x4 + 15x6 = 5

2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6

denklem sistemini cozunuz.

C. ozum: Sisteme karsılık gelen katsayılar matrisi;1 3 −2 0 2 0 0

2 6 −5 −2 4 −3 −1

0 0 5 10 0 15 5

2 6 0 8 4 18 6

7

HANDAN KÖSE

1. satırın (−2) katı ile 2. satır toplanıp 2. satıra ve 1. satırın (−2) katı ile 4.

satır toplanıp 4. satıra yazıldıgında;

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 −1 −2 0 −3 −1

0 0 5 10 0 15 5

0 0 4 8 0 18 6

2. satırı (−1) ile carpılıp 2. satıra yazıldıgında;

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 5 10 0 15 5

0 0 4 8 0 18 6

2. satırın (−5) katı ile 3. satır toplanıp 3. satıra yazıldıgında, 2. satırın (−4)

katı ile 4. satır toplanıp 4. satıra yazıldıgında

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 6 2

elde edilir.

3. satır ile 4. satır yer degistirildiginde;

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 6 2

0 0 0 0 0 0 0

3. satır 1

6ile carpıldıgında;

1 3 −2 0 2 0 0

0 0 1 2 0 3 1

0 0 0 0 0 1 13

0 0 0 0 0 0 0

8

HANDAN KÖSE

satır eselon formu elde edilir.

3. satırın (−3) katı ile 2. satır toplanıp 2. satıra yazıldıgında ve 2. satırın 2 katı

ile 1. satır toplanıp 1. satıra yazıldıgında

1 3 0 4 2 0 0

0 0 1 2 0 0 0

0 0 0 0 0 1 13

0 0 0 0 0 0 0

satırca indirgenmis eselon form matrisi elde edilir.

Boylece sistem;

x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 = 0

x6 =1

3

olarak bulunur.

Serbest degiskenlere x2 = r, x4 = s, x5 = t atandıgında genel cozum;

x1 = −3r − 4s− 2t, x2 = r, x3 = −2s, x4 = s, x5 = t, x6 =1

3

olarak bulunur.

HOMOJEN LINEER SISTEMLER

Eger lineer sistemde; sabit terimlerin hepsi birden 0 ise sistem “homojen sistem”

olarak adlandırılır. Yani;

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0

· · ·

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0.

Boyle sistemlerde x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 cozum oldugundan butun homojen

sistemler tutarlıdır. Bu cozum asikar cozum olarak adlandırılır.

Homojen lineer sistemler daima bir asikar cozume sahip oldugundan; cozumler

icin yalnızca iki olası durum vardır.

9

HANDAN KÖSE

1) Sistem yalnızca asikar cozume sahiptir.

2) Sistem asikar cozume ek olarak sonsuz sayıda cozume sahiptir.

Iki bilinmeyenli, iki denklemden olusan homojen sistemin ozel durumunda;

a1x + b1y = 0 (a1, b1 her ikisi 0 degil)

a2x + b2y = 0 (a2, b2 her ikisi 0 degil)

elde edilir.

Denklemlerin grafikleri orjinden gecen dogrulardır ve asikar cozum orjindeki

kesisim noktasıdır.

10

HANDAN KÖSE

SORU: Gauss-Jordan eliminasyon yonteminden yararlanarak asagıda verilen

homojen lineer sistemi cozunuz.

x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0

2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = 0

5x3 + 10x4 + 15x6 = 0

2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 0.

C. ozum: Verilen sisteme karsılık gelen katsayılar matrisi;1 3 −2 0 2 0 0

2 6 −5 −2 4 −3 0

0 0 5 10 0 15 0

2 6 0 8 4 18 0

seklindedir.

Dikkat edilirse bir onceki bolumun son ornegindeki; sabitlerin farklılık gosterdigi

gorulur. Bu matris satırca indirgenmis eselon forma donusturuldugunde;

1 3 0 4 2 0 0

0 0 1 2 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0

matrisine donusur ve denklem

x1 + 3x2 + 4x4 + 2x5 = 0

x3 + 2x4 = 0

x6 = 0

olur ve serbest degiskenlere x2 = r, x4 = s, x5 = t atandıgında genel cozum;

x1 = −3r − 4s− 2t, x2 = r, x3 = −2s, x4 = s, x5 = t, x6 = 0

bulunur. Ozel olarak r = s = t = 0 secilirse asikar cozum elde edilir.

Teorem: Eger bir homojen lineer sistem n-bilinmeyene sahip ve eger katsayılar

matrisinin satırca indirgenmis eselon formu r tane sıfır olmayan satıra sahipse, bu

durumda sistem n− r tane serbest degiskene sahiptir.

11

HANDAN KÖSE

Teorem: Denklemden fazla bilinmeyene sahip olan homojen lineer sistemin sonsuz

sayıda cozumu vardır.

SORU: x1, x2, x3, x4 bilinmeyenleriyle lineer sistemler icin karsılık gelen kat-

sayılar matrisi asagıda veriliyor. Bu matrislerin hepsi satır eselon formundan an-

cak satırca indirgenmis eselon formda degildir. Karsılık gelen lineer sistemlerin

cozumlerinin varlıgı ve tekligini arastırınız.

(a)

1 −3 7 2 5

0 1 2 −4 1

0 0 1 6 9

0 0 0 0 1

(b)

1 −3 7 2 5

0 1 2 −4 1

0 0 1 6 9

0 0 0 0 0

(c)

1 −3 7 2 5

0 1 2 −4 1

0 0 1 6 9

0 0 0 1 0

C. ozum: a) 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 1 esitliginden celiski elde edilir. Sistem

tutarsızdır.

b) 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0 sisteme bir etki yapmaz. x1, x2, x3 lider degiskenler ve

x4 serbest degiskendir. Sonsuz cozum vardır.

x1 − 3x2 + 7x3 + 2x4 = 5

x2 + 2x3 − 4x4 = 1

x3 + 6x4 = 9

ve x4 = t olarak parametrelenirse genel cozum x1 = −109 + 88t, x2 = −17 + 16t,

x3 = 9− 6t seklindedir.

12

HANDAN KÖSE

c) x4 = 0, x3 = 9, x2 = −17, x1 = −109 olup sistem bir tek cozume sahiptir.

Eselon Formlar Hakkında Bazı Gercekler

1) Her matris; bir tek satırca indirgenmis eselon forma sahiptir.

2) Satır eselon formlar tek degildir. Yani; farklı satır operasyonlarının uygulan-

masıyla farklı satır eselon formlar elde edilir.

3) Satır eselon formlar; tek olmamasına ragmen bir A matrisinin butun satır

eselon formlarında sıfır satırının sayısı aynıdır ve lider 1 ler A nın satır eselon

formlarında aynı adreste bulunurlar. Bunlar A nın pivot pozisyonları olarak

adlandırılırlar.

Ornek: (Pivot Pozisyonlar)

A =

0 0 −2 0 7 12

2 4 −10 6 12 28

2 4 −5 6 −5 −1

matrisinin satır eselon formu

1 2 −5 3 6 14

0 0 1 0 −72−6

0 0 0 0 1 2

seklindedir.

Pivot pozisyonları; 1. satır 1. sutun, 2. satır 3. sutun, 3. satır 5. sutun

seklindedir.

13

HANDAN KÖSE

SORULAR

1) Asagıda verilen matrislerin satır eselon form, satırca indirgenmis eselon form ya

da ikisi ya da hicbiri olup olmadıgını belirleyiniz.

(a)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(b)

1 0 0

0 1 0

0 0 0

(c)

0 1 0

0 0 1

0 0 0

(d)

1 0 3 1

0 1 2 4

(e)

1 2 0 3 0

0 0 1 1 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

(f)

0 0

0 0

0 0

(g)

1 −7 5 5

0 1 3 2

C. ozum: a, b, c, d, e, f satırca indirgenmis eselon form, g satır eselon form ornegidir.

14

HANDAN KÖSE

2) Asagıda verilen matrislerin satır eselon form, satırca indirgenmis eselon form ya

da ikisi ya da hicbiri olup olmadıgını belirleyiniz.

(a)

1 2 0

0 1 0

0 0 0

(b)

1 0 0

0 1 0

0 2 0

(c)

1 3 4

0 0 1

0 0 0

(d)

1 5 −3

0 1 1

0 0 0

(e)

1 2 3

0 0 0

0 0 1

(f)

1 2 3 4 5

1 0 7 1 3

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

(g)

1 −2 0 1

0 0 1 −2

C. ozum: a, c, d, e, g satır eselon form, g satırca indirgenmis eselon form ornegidir.

15

HANDAN KÖSE

3) Asagıda katsayılar matrisi verilen denklemlere karsılık gelen sistemleri cozunuz.

(a)

1 3 4 7

0 1 2 2

0 0 1 5

(b)

1 0 8 −5 6

0 1 4 −9 3

0 0 1 1 2

(c)

1 7 −2 0 −8 −3

0 0 1 1 6 5

0 0 0 1 3 9

0 0 0 0 0 0

(d)

1 −3 7 1

0 1 4 0

0 0 0 1

C. ozum: a) Verilen matrisin denklemi

x1 − 3x2 + 4x3 = 7

x2 + 2x3 = 2

x3 = 5

olur. x3 = 5 i yerine yazarsak tek cozum x1 = −22, x2 = −8 ve x3 = 5 bulunur.

b) x1, x2, x3 lider degiskenler ve x4 serbest degiskenlerdir. x4 = t dersek;

x3 = 2− t, x2 = 13t− 5 ve x1 = 13t− 10.

Sistem;

x1 + 8x3 − 5x4 = 6

x2 + 4x3 − 9x4 = 3

x3 + x4 = 2

16

HANDAN KÖSE

c) x1 + 7x2 − 2x3 − 8x5 = −3

x3 + x4 + 6x5 = 5

x4 + 3x5 = 9

0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0

x1, x3, x4 lider degiskenler; x2 ve x5 serbest degiskenlerdir. Buna gore genel

cozum x2 = s ve x5 = t seklinde parametrelendirldiginde genel cozum x1 = −7s +

2t− 11, x2 = s, x3 = −3t− 4, x4 = −3t + 9, x5 = t bulunur.

d) 0x1 + 0x2 + 0x3 = 1 oldugundan sistem tutarsızdır.

4) Asagıda satırca indirgenmis eselon formda verilen lineer denklem sistemleri icin

karsılık gelen katsayılar matrisini gozonune alalım. Sistemlerin cozumunu bulunuz.

(a)

1 0 0 −3

0 1 0 0

0 0 1 7

(b)

1 0 0 −7 8

0 1 0 3 2

0 0 1 1 −5

(c)

1 −6 0 0 3 −2

0 0 1 0 4 7

0 0 0 1 5 8

0 0 0 0 0 0

(d)

1 −3 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

5) Asagıdaki sistemi Gauss-Jordan eliminasyon yontemiyle cozunuz.

x1 + x2 + 2x3 = 8

−x1 − 2x2 + 3x3 = 1

3x1 − 7x2 + 4x3 = 10

17

HANDAN KÖSE

C. ozum: Sisteme karsılık gelen katsayılar matrisi;1 1 2 8

−1 −2 3 1

3 −7 4 10

seklindedir.

2. satırı 1. satır ile toplayıp 2. satıra; 3. satırı 1. satırın (−3) katı ile toplayıp

3. satıra yazalım. Buradan;

1 1 2 8

0 −1 5 9

0 −10 −2 −14

2. satırı (−1) ile carpalım; yeni satırın 10 katı ile 3. satırı toplayıp 3. satıra

yazalım.

1 1 2 8

0 1 −5 −9

0 0 −52 −104

3. satırı (− 1

52) ile carpalım ve 3. satıra yazalım.

1 1 2 8

0 1 −5 −9

0 0 1 2

2. satırı; 3. satırın 5 katı ile toplayalım ve 2. satıra yazalım.

1 1 2 8

0 1 0 1

0 0 1 2

2. satırı (−1) ile carparak 1. satır ile toplayıp; 1. satıra yazalım.

1 0 2 7

0 1 0 1

0 0 1 2

18

HANDAN KÖSE

3. satırın (−2) katı ile 1. satırı toplayıp; 1. satıra yazalım.

1 0 0 3

0 1 0 1

0 0 1 2

elde edilir. Buradan tek cozum x1 = 3, x2 = 1, x3 = 2 bulunur.

6) Asagıda verilen sistemleri Gauss-Jordan eliminasyon yontemiyle cozunuz.

a) 2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

− 2x1 + 5x2 + 2x3 = 1

8x1 + x2 + 4x3 = −1

b) − 2b + 3c = 1

3a + 6b− 3c = −2

6a + 6b + 3c = 5

c) 2I1 − I2 + 3I3 + 4I4 = 9

I1 − 2I3 + 7I4 = 11

3I1 − 3I2 + I3 + 5I4 = 8

2I1 + I2 + 4I3 + 4I4 = 10

C. ozum: I1 = −1, I2 = 0, I3 = 1, I4 = 2.

7) Asagıdaki sistemi Gauss-Jordan eliminasyon yontemiyle cozunuz.

x− y + 2z − w = −1

2x + y − 2z − 2w = −2

− x + 2y − 4z + w = 1

3x− 3w = −3

19

HANDAN KÖSE

C. ozum: Sisteme karsılık gelen katsayılar matrisi;

1 −1 2 −1 −1

2 1 −2 −2 −2

−1 2 −4 1 1

3 0 0 −3 −3

1. satırı (−2) ile carpıp 2. satır ile toplayıp; 2. satıra, 3. satırı 1. satır

ile toplayıp; 3. satıra, 1.satırı (−3) ile carpıp 4. satır ile toplayıp; 4. satıra

yazdıgımızda;

1 −1 2 −1 −1

0 3 −6 0 0

0 1 −2 0 0

0 3 −6 0 0

2. satırı 1

3ile carpıp 2. satıra yazdıgımızda;

1 −1 2 −1 −1

0 1 −2 0 0

0 1 −2 0 0

0 3 −6 0 0

2. satırı (−1) ile carpıp 3. satır ile toplayıp 3. satıra ve 2. satırı (−3) ile carpıp

4. satır ile toplayıp 4. satıra yazarsak;

1 −1 2 −1 −1

0 1 −2 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1. satır ile 2. satır toplanıp; 1. satıra yazıldıgında

1 0 0 −1 −1

0 1 −2 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

20

HANDAN KÖSE

matrisi elde edilir. Boylece x ve y lider degiskenler z ve w serbest degiskenler olmak

uzere; x = t− 1, y = 2r, z = r, w = t genel cozumu elde edilir.

8) Asagıda verilen homojen sistemlerin asikar olmayan cozumleri varsa bulunuz.

a) 2x1 − 3x2 + 4x3 − x4 = 0

7x1 + x2 − 8x3 + 9x4 = 0

2x1 + 8x2 + x3 − x4 = 0

b) x1 + 3x2 − x3 = 0

x2 − 8x3 = 0

4x4 = 0

c) a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0

a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0

d) 3x1 − 2x2 = 0

6x1 − 4x2 = 0

e) 2x1 + x2 + x3 = 0

x1 + 2x2 = 0

x2 + x3 = 0

f) 2x− y − 3z = 0

− x + 2y − 3z = 0

x + y + 4z = 0

21

HANDAN KÖSE

g) 3x1 + x2 + x3 + x4 = 0

5x1 − x2 + x3 − x4 = 0

h) v + 3w − 2x = 0

2u + v − 4w + 3x = 0

2u + 3v + 2w − x = 0

− 4u− 3v + 5w − 4x = 0

ı) 2x + 2y + z = 0

w − y − 3z = 0

2w + 3x + y + z = 0

− 2w + x + 3y − 2z = 0

i) x1 + 3x2 + x4 = 0

x1 + 4x2 + 28x3 = 0

− 2x2 − 2x3 − x4 = 0

2x1 − 4x2 + x3 + x4 = 0

x1 − 2x2 − x3 + x4 = 0

h) z3 + z4 + z5 = 0

− z1 − z2 + 2z3 − 3z4 + z5 = 0

z1 + z2 − 2z3 − z5 = 0

2z1 + 2z2 − z3 + z5 = 0

22

HANDAN KÖSE

9) Asagıda verilen sistemler icin sistemin hic cozumu olmayacak sekilde, yalnızca

bir cozumu ya da sonsuz cozumu olacak sekilde a nın degerini belirleyiniz.

a) x + 2y − 3z = 4

3x− y + 5z = 2

4x + y + (a2 − 14)z = a + 2

b) x + 2y + z = 2

2x− 2y + 3z = 1

x + 2y − (a2 − 3)z = a

c) x + 2y = 1

2x + (a−5)y = a− 1

d) x + y + 7z = −7

2x + 3y + 17z = −16

x + 2y + (a2 + 1)z = 3a

C. ozum: a) a = 4 ise sonsuz coklukta cozum var, a = −4 ise cozum yok, a 6= ±4

ise yalnızca tek cozum var.

10) Asagıdaki ifadelerin dogru ya da yanlıs olup-olmadıgını belirleyiniz.

a) Eger matris satırca indirgenmis eselon formda ise satır eselon formdadır.

b) Her matris bir tek satır eselon forma sahiptir.

C. ozum: a) Dogru, b) Yanlıs.

23

HANDAN KÖSE

BU BOLUMDE NELER OGRENDIK

KAVRAMLAR

• Satırca indirgenmis eselon form

• Satır eselon form

• Lider 1

• Lider degiskenler

• Serbest degiskenler

• Bir lineer sistemin genel cozumu

• Gauss eliminasyon

• Gauss-Jordan eliminasyon

• Ileri/geri evre

• Homojen lineer sistem

• Asikar cozum

• Asikar olmayan cozum

KAZANIMLAR

• Verilen bir matrisi eselon formda, satırca indirgenmis eselon formda ya da

hicbiri olup olmadıgını tanır.

• Bir lineer sisteme karsılık gelen katsayılar matrisi yardımıyla sistemin cozumunu

insa eder.

• Bir lineer sistemin genel cozumunu bulmak icin Gauss eliminasyonunu kullanır.

• Gauss-Jordan eliminasyon yonteminden yararlanır.

24

HANDAN KÖSE