Ham Nhieu Bien Va Cuc Tri Cua Ham 3548

S ha bi Trung tm Hc liu i hc Thi Nguyn http://www.Lrc-tnu.edu.vn

I HC THI NGUYN

TRNG I HC S PHM ------------ 0 -------------

Phm Th Thu Trang

HM NHIU BIN

V CC TR CA HM

Chuyn ngnh: Ton gii tch

M s: 60.46.01

LUN VN THC S KHOA HC TON HC

Thi Nguyn - 2009


I HC THI NGUYN

TRNG I HC S PHM

------------ 0 -------------

Phm Th Thu Trang

HM NHIU BIN

V CC TR CA HM


M s: 60.46.01

LUN VN THC S TON HC

Ngi hng dn khoa hc:

GS TS Trn V Thiu

Thi Nguyn - 2009


I HC THI NGUYN

TRNG I HC S PHM

------------ 0 -------------

Phm Th Thu Trang

HM NHIU BIN

V CC TR CA HM


M s: 60.46.01

TM TT LUN VN THC S TON HC

Thi Nguyn - 2009


CNG TRNH C HON THNH TI

TRNG I HC S PHM I HC THI NGUYN

Ngi hng dn khoa hc : GS.TS. Trn V Thiu

Phn bin 1: PGS.TS VN LU

Phn bin 2 : GS.TSKH L DNG MU

.

Lun vn c bo v trc Hi ng chm lun vn hp ti:

Trng i hc S phm i hc Thi Nguyn

Ngy 8 thng 11 nm 2009

C th tm hiu lun vn ti th vin

TRNG I HC S PHM THI NGUYN

S ha bi Trung tm Hc liu i hc Thi Nguyn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2

MC LC Trang

LI NI U 3

Chng 1: KIN THC CHUN B 5

1.1 Tp hp li trong RN

5

1.2. Quan h v hm s 7

1.3. T p trong RN

10

1.4. Tnh lin tc 17

1.5. nh l tn ti 20

Chng 2: HM GI TR THC 23

2.1. Hm s thc v cc tp c lin quan 23

2.2. Mt s hm thng dng 26

2.2.1. Hm li v hm ta li 27

2.2.2. Hm lm v hm ta lm 29

2.3. Vi phn ca hm s 30

2.3.1. Hm mt bin 31

2.3.2. Hm nhiu bin 32

2.3.3. Hm thun nht 36

Chng 3: BI TON TI U 40

3.1. Cc tr ca hm s 40

3.2. Ti u khng rng buc 41

3.3. Ti u c rng buc 48

3.3.1. Rng buc ng thc 49

3.3.2. Rng buc khng m 59

3.3.3. iu kin Karush- Kuhn- Tucker 61

KT LUN 66

TI LIU THAM KHO 67


LI NI U

Ton hc ni chung v ton gii tch ni ring c nhng ng dng a dng

trong nhiu ngnh khoa hc khc nhau, c bit trong khoa hc kinh t. Cc

nghin cu v phn tch kinh t v mt nh lng thng c tin hnh thng

qua cc m hnh kinh t ton (dng ton hc m t, phn tch cc mi quan

h, cc qu trnh hay i tng kinh t). V th cc nh nghin cu kinh t ngy

cng c nhu cu s dng nhiu hn cc cng c ton hc, c bit l cng c

gii tch (nh hm s, o hm, vi phn) v cc phng php ti u ho.

ti lun vn cp ti nhng kin thc ton gii tch v ti u ho c

bn cn dng trong kinh t. Vic tm hiu nhng kin thc ny l hon ton cn

thit v hu ch, gip hiu su hn v cc cng c ton gii tch, ti u ho v

vn dng tt hn trong thc tin ging dy ton cho cc i tng kinh t.

Mc tiu ca lun vn l tm hiu v trnh by khi qut nhng kin thc

ton hc c bn cn dng trong cc nghin cu kinh t, c bit trong nghin

cu l thuyt kinh t vi m (micro-economic theory). Cc ni dung cp ti

trong lun vn c trnh by khng qu hnh thc m gn gi vi t duy kinh

t, vi nhiu v d minh ho c th v c gii thch ngha kinh t khi c th,

nhng vn gi tnh chnh xc, cht ch v mt ton hc.

Ni dung lun vn c chia thnh ba chng:

Chng 1 Kin thc chun b gii thiu tm tt mt s khi nim c

bn v tp hp v nh x, quan h v hm s: tp m, tp ng, tp compact

trong Rn; cn trn (cn di) ca tp hp s thc; tnh lin tc ca nh x, mi

quan h gia tnh lin tc vi nh ngc ca cc tp m (ng), nh lin tc ca

tp compact; nh l Weierstrass v tn ti gi tr cc tr ca hm lin tc trn

tp compact; tp li v tnh cht, nh l Minkowski v tch cc tp li ...


Chng 2 Hm gi tr thc cp ti cc hm s thc thng gp trong

kinh t v mt s tp c lin quan mt thit vi hm: th, tp mc, tp mc

trn, tp mc di. Xt tnh tng (gim), tnh li (lm), tnh li cht (lm cht),

dc, cong v mi lin h vi cc tp mc, vi o hm v vi phn ca

hm s, hm thun nht v tnh cht ...

Chng 3 Bi ton ti u trnh by khi qut vn cc tr ca hm s:

cc tr a phng v cc tr ton cc, cc tr t do v cc tr c iu kin, iu

kin cn, iu kin ca cc tr (cp 1 v cp 2). Tnh duy nht ca im cc

tiu (cc i) lin quan vi tnh li (lm) cht. ca hm. Cc tr vi rng buc

ng thc (phng php Lagrange), vi rng buc khng m v tng qut hn l

vi rng buc bt ng thc (iu kin Karush-Kuhn-Tucker (iu kin KKT) ...

Do thi gian c hn nn lun vn ny mi ch dng li vic tm hiu, tp

hp ti liu, sp xp v trnh by cc ni dung chnh theo ch t ra. Trong

qu trnh vit lun vn cng nh trong x l vn bn chc chn khng trnh khi

c nhng sai st nht nh. Tc gi lun vn rt mong nhn c s gp ca

cc thy c v cc bn ng nghip lun vn c hon thin hn.

Nhn dp ny, tc gi xin by t lng bit n su sc n thy hng dn

GS-TS Trn V Thiu tn tnh gip trong sut qu trnh lm lun vn.

Tc gi xin chn thnh cm n cc thy, c ca Trng i hc S phm

Thi Nguyn v Vin Ton hc ging dy v to mi iu kin thun li

trong qu trnh tc gi hc tp v nghin cu.

Thi Nguyn, thng 9/2009

Tc gi


Chng 1

KIN THC CHUN B

Chng ny cp ti mt s khi nim c bn v gii tch lin quan ti

cc hm v cc tr ca hm. Ni dung ca chng da ch yu trn cc ngun

ti liu [2], [3], [4].

1.1. TP LI TRONG n (Convex sets in n)

Tp s thc c biu th bi k hiu c bit v c nh ngha nh sau

{x | - < x < + }.

Nu ta xy dng tch ca hai tp hp

{(x1, x2) | x1 , x2 }

th mt im bt k thuc tp ny (cp hai s thc bt k) c ng nht vi

mt im trong mt phng Descarte v Hnh 1.1. Tp i khi c gi

l khng gian Euclid hai chiu v c k hiu ngn gn bi 2.

Hnh 1.1. Mt phng Descarte 2

Tng qut, vct n- chiu l mt cp c th t ca n s (x1, x2, , xn) v

c xem nh mt im trong khng gian Euclid n - chiu hay n - khng

gian. Cng nh trc, n - khng gian c nh ngha nh tch ca n tp hp

n {(x1, x2, , xn) | xi , i = 1, 2, , n}.

n ln

Ta s thng k hiu cc vct (hay im) trong n bng ch in m. V

d, x {x1, x2, , xn}. i khi ta mun thu hp s ch vo tp con ca n,

gi l gc khng m v k hiu n , trong

x1

x2

-

-

+

+

x02

x0 = (x

01 , x

02 )

x01


n {(x1, x2, , xn) | xi 0, i = 1, 2, , n} n.

Ta qui c vit x 0 ch cc vct trong n m mi thnh phn xi ca

n ln hn hay bng 0 v dng k hiu x > 0 ch cc vct m mi thnh

phn ca n thc s dng. Tng qut, vi bt k x, y n, ta vit x y xi

yi, i = 1, , n, v x > y xi > yi, i = 1, , n.

nh ngha 1.1. Tp hp li trong n

Tp S n c gi l li nu vi mi x1 S v x2 S ta c

tx1 + (1 t)x

2 S.

i vi mi t trong khong 0 t 1.

Nh vy mt tp hp l li nu n cha hai im bt k th n cha tt c

cc im trung bnh theo trng s (tng trng s bng 1) ca hai im .

Cc v d v tp li v tp khng li v Hnh 1.2. Cc tp hp li c hnh

dng p: khng c h, khng nt gy, khng b cong queo trn bin.

Cc tp hp li Cc tp hp khng li

Hnh 1.2. Cc tp li v tp khng li trong 2

Ta ch ti tnh cht n gin nhng quan trng ca cc tp li.

nh l 1.1. Giao ca cc tp li l li

Gi s S v T l cc tp li trong n. Khi , S T l mt tp li.


Chng minh. Gi s S v T l hai tp hp li v x1, x

2 l hai im bt k

thuc S T. Do x1 S T nn x

1 S v x

1 T. Cng cy, do x

2 S T nn

x2 S v x

2 T. Cho z = tx

1 + (1 t)x

2 vi t [0, 1] l mt t hp li bt k

ca x1 v x

2. Do S l tp li nn z S v do T l tp li nn z T. V z S v z

T nn z S T. Do mi t hp li ca hai im bt k thuc S T cng

thuc S T nn S T l mt tp hp li.

1.2. QUAN H V HM S(Relations and Functions)

Ta thy mi cp c th t (s, t) tu t tng ng phn t s S no

vi phn t t T. Cc phn t ca S v T khng nht thit l cc s m c

th l nhng i tng bt k (ngi, vt hay vt, ). Ta ni mt h hay

mt tp tu cc cp c th t l mt quan h nh nguyn (binary relation) ca

hai tp S v T. Nh vy, quan h nh nguyn l mt tp hp con ca tch hai

tp, trong phn t u ca mi cp thuc S v phn t sau thuc T.

Thng thng, h cc cp c thit lp khi gia hai phn t ca cp c

mi quan h ngha no . Chng hn, S l tp cc thnh ph {H Ni,

Wasington, London, Paris, Marseilles, Hu} v T l tp cc nc {Vit Nam,

Hoa K, Anh, Php, c}. Cm t l th ca xc nh nn mt quan h

m n l tp con ca tp tch S T, bao gm cc cp {(H Ni, Vit Nam),

(Wasington, Hoa K), (London, Anh), (Paris, Php)}. Ta thng t mt k

hiu chung ch quan h, thay cho bn thn quan h v c cm t l th

ca.

K hiu R ch cm t c quan h ngha no vi. Ta ni R xc

nh mt quan h v c xRy l x c quan h vi y. phn bit gia tp tt

c cc cp c quan h bi cm t R vi bn thn pht biu R , ta t k hiu

xc nh quan h trong hai du nhy kp. Nh vy, nh ngha tng qut ca

mt quan h c cho bi

R {(s, t) | s S, t T v sR t} S T.


Hay gp nht l cc quan h nh nguyn xc nh bi mt tp con ca tch

mt tp hp no vi chnh n. Chng hn, S l tp cc im thuc khong

ng n v S = [0, 1]. Vi cm t c ngha R ln hn hay bng th quan h

nh nguyn

{(x, y) | x S, y S v x y}

c minh ho Hnh 1.3. Quan h ny bao gm mi cp c th t cc s gia

0 v 1, trong s th nht ln hn hay bng s th hai. Khi quan h nh

nguyn l tp con ca tch mt tp S vi chnh n th ta ni l mt quan h

trn S.

1

S = {0, 1}

S S = {(x, y) | x S, y S}

= {(x, y) | x S, y S, x y}

S S 0 1

Hnh 1.3. Quan h trn S = [0, 1]

Hm (function) cng l mt quan h v l mt kiu quan h ht sc c

bit. C th, hm l quan h t tng ng mi phn t ca mt tp vi mt

phn t duy nht ca mt tp khc. Ta ni hm f l mt nh x (mapping) t mt

tp D vo mt tp khc T v vit f : D T. Tp D cc phn t c nh x t

gi l min xc nh (domain) v tp T cc phn t c nh x chuyn ti

c gi l min tr (range). Nu y l mt im thuc min tr c nh x

chuyn ti t mt im x thuc min xc nh th ta vit y = f(x) v gi y l nh

(image) ca x. Nu tp im A trong min tr c nh x ti bi tp im B

trong min xc nh th ta vit A = f(B). minh ho, ta xt Hnh 1.4. Hnh v

(A) khng phi l mt hm, v nhiu im trong min tr c gn vi cng mt

im trong min xc nh, x1 chng hn. Hnh v (B) m t mt hm, v mi

im thuc min xc nh c gn vi mt im duy nht trong min tr.


y "1

y '1

y1

(A) (B)

Hnh 1.4. Hm v khng phi hm

nh ca D l tp im trong min tr m c mt im thuc min xc nh

nh x ti , tc l tp I f(D) = {y | y = f(x) vi x no D} T. nh

ngc ca tp im S I c nh ngha l tp f-1

(S) {x | x D, f(x) S}.

th ca hm f hiu theo ngha thng thng, l tp cc cp c th t G

{(x, y) | x D, y = f(x)}. Mt s khi nim v th c minh ho Hnh 1.5.

Hnh 1.5 (A), D = , T = v n m t th ca hm y = sin(x). Tuy nhin,

hm sin(x) khng bao gi ly gi tr nh hn - 1 v ln hn 1. V th nh ca D

l tp con I = {-1, 1} ca min tr T. Hnh 1.5 (B) l th ca hm f : [0,1]

[0, 1] cho bi y = 21 x. y ta gii hn min xc nh v min tr trong khong

n v [0, 1]. nh ca D l tp con I = [0, 21 ] ca min tr.

y y

1 - 1 -

I = [-1, 1]

. . . . . x 21 -

- -/2 0 /2 T

S I

-1 - 0 - x

(A) (B)

Hnh 1.5. Min hu hiu, min tr v min nh (image)

x1

A = f(B)

B

f-1

(S) D

1


Hnh 1.5 (A) cho thy trong nh ngha ca hm khng ngn cm c nhiu

phn t trong min xc nh nh x vo cng mt phn t trong min tr. Nu

mi im trong min tr c gn ti a vi mt im trong min xc nh th

hm c gi l nh x mt-mt. Thm vo , nu mi im trong min tr

u l nh ca mt im no trong min xc nh th hm c gi l nh x

ln. Nu hm l nh x 1 - 1 ln th hm ngc f-1

: T D tn ti, cng l nh

x 1 - 1 ln.

1.3.T P TRONG n

Mc ny cp ti mt s khi nim c bn v tp v thit lp mt s

kt qu quan trng v tp hp v v nh x lin tc t mt tp vo mt tp khc.

Mc d nhiu khi nim cp ti y c th m rng cho cc loi tp bt k,

song ta ch hn ch xt cc tp trong n, tc l tp s thc hay tp vct thc.

Ta bt u bng khi nim metric v khng gian metric (metric space).

Mtric hiu n gin l s o khong cch (distance). Khng gian metric chnh

l mt tp, trong c nh ngha khi nim khong cch gia cc phn t ca

tp . ng thng s thc l mt khng gian metric. Khong cch hay

metric trong chnh l hm gi tr tuyt i. Vi hai im x1, x2 bt k thuc

khong cch gia chng, k hiu d(x1, x

2) c cho bi

d(x1, x

2) = | x

1 - x

2|.

Mt phng Descarte 2 cng l mt khng gian metric. Khong cch gia

hai im tu x1 = (x

11 , x

12 ) v x

2 = (x

21 , x

22 ) trong

2 c cho bi

d(x1, x

2) =

212

22

211

21 )xx()xx( .

Tng qut, vi hai im bt k x1 v x

2 trong n ta nh ngha

d(x1, x

2) =

22n

1n

222

12

221

11 )xx(...)xx()xx( .

cho gn ta dng k hiu d(x1, x

2) = ||x

1 - x

2||. Ta gi l chun (metric)


Euclid. Cng l l t nhin, ta gi khng gian metric n s dng chun ny

o khong cch l khng gian Euclid n.

Khi c metric, ta c th a ra khi nim gn nhau ca hai im. Ta ly

im bt k x0 n v gi tp im c khong cch ti x0 nh hn > 0 l mt

-hnh cu m tm x0. Tp im c khong cch ti x

0 khng qu > 0 l mt

-hnh cu ng tm x0. Ni mt cch chnh xc, ta c

nh ngha 1.2. Hnh cu bn knh m v ng (open & closed -balls)

1. Hnh cu m tm ti im x0 n v bn knh > 0 ( l mt s

thc) l tp cc im trong n:

B(x0) {x n | d(x0, x) < }

nh hn hn

2. Hnh cu ng tm ti im x0 n v bn knh > 0 l tp cc

im trong n:

B (x0) {x n | d(x0, x) }

nh hn hay bng

Cc khong m v khong ng trn ng thng s thc l cc tp c

nhng tnh cht hon ton khc nhau. Trong ta c mt cm nhn trc quan

kh tt v s khc nhau . Khi nim -hnh cu cho php ta hnh thc ho s

khc bit ny v tng qut ho n c th p dng c cho nhng tp trong

khng gian s chiu cao hn.

Di y ta s dng khi nim -hnh cu nh ngha tp m, tp ng

v thit lp mt s tnh cht quan trng ca chng.

nh ngha 1.3. Tp m trong n (open set)

Ta ni tp S n l m nu vi mi x S tn ti > 0 sao cho hnh cu

m B(x) S. Ni nm na, tp S l m nu ta c th v trong S mt hnh cu

m, d to hay nh, bao quanh mt im bt k thuc S.


nh l 1.2. V cc tp m trong n

1. Tp rng l mt tp m.

2. Ton khng gian n l mt tp m.

3. Hp ca hai (hay mt s bt k) tp m l mt tp m

4. Giao ca mt s hu hn bt k cc tp m l mt tp m.

Chng minh. (1) hin nhin, v tp khng cha phn t no. (2) cng l

t nhin, v B(x) n x n v > 0. chng minh (3) gi s A, B l

cc tp m, ta chng minh A B cng l tp m. Tht vy, vi x A B th x

A hoc x B. Nu x A th do A m nn tm c > 0 sao cho B(x) A.

Nu x B th do B m nn tm c > 0 sao cho B(x) B. Trong mi

trng hp, vi bt k x A B ta lun tm c mt hnh cu m tm x nm

trn trong A B, v th A B l tp m. Chng minh (4) tng t.

Cc tp m c nhng tnh cht l th v hu ch. Tp m lun c th c

m t chnh xc bi h cc tp m khc nhau! Gi s ta bt u t mt tp m

no . V tp l m nn ta c th bc mi im ca tp ny bi mt hnh cu

m sao cho mi im thuc hnh cu u nm trong tp chn. Bn thn mi

hnh cu m li l mt tp m, nh minh ho Hnh 1.6.

Hnh 1.6. Hnh cu m l tp m Hnh 1.7. Tp m/ ng trong 2

By gi xt hp ca tt c cc hnh cu m ny. Theo nh l 1.2, hp

l mt tp m. C th thy rng trn thc t hai tp ny l mt. Tnh cht ny

ca cc tp m l rt quan trng chng t vai tr ca nh l sau.

S = Be(x0)

d(x0, x)

x e e

x1

x2

x0

x S

S

x int S

x1

x2

S x S


nh l 1.3. Mi tp m l h ca cc hnh cu m

Gi s S n l mt tp m. Vi mi x S chn s x > 0 sao cho Bx

(x)

S. Khi

S = Sx

)x(Bx

.

Ta dng tp m nh ngha tp ng.

nh ngha 1.4. Tp ng trong n

Ta ni tp S Rn l ng khi v ch khi phn b cS = (n \ S) l tp m.

Ni nm na, mt tp l m nu n khng cha im no trn bin ca n

v l tp ng nu n cha mi im trn bin ca n. Chnh xc hn, im x

c gi l im bin ca tp S nu mi -hnh cu tm x u cha nhng im

thuc S v nhng im khng thuc S. Tp cc im bin ca S c k hiu l

S. Tp S l m nu n khng cha im bin no ca n hay nu S S = .

Tp S l ng nu n cha mi im bin ca n hay nu S S.

Cho mt tp bt k S n. im x S gi l im trong ca S nu tm c

-hnh cu tm x nm trn trong S: B(x) S. Tp tt c cc im trong ca S

gi l phn trong ca S v c k hiu l int S. Theo cch ny ta thy rng tp

S l m nu n ch cha cc im trong, tc l nu S = int S. Tri li, tp S l

ng nu n cha mi im trong cng vi mi im bin ca n, tc l nu S =

int S S .

Tp ng c cc tnh cht tng t nh tnh cht tp m nu trong nh l 1.2.

nh l 1.4. V cc tp ng trong n

1. Tp rng l mt tp ng.

2. Ton khng gian n l mt tp ng.

3. Hp ca mt s hu hn bt k cc tp ng l mt tp ng.

4. Giao ca hai (hay mt s bt k) tp ng l mt tp ng.


Chng minh. Tp rng v ton |Rn l hai tp duy nht va ng va m

trong n. Theo nh l 1.2 hai tp ny l m. Do trong n tp ny l phn b

ca tp kia nn chng l cc tp ng.

chng minh (3) gi s A, B l hai tp ng. Ta chng minh A B cng

l tp ng. Tht vy, do A, B ng nn theo nh ngha 1.4 cc phn b cA, cB

ca chng l cc tp m. Theo nh l 1.2. tng giao cA cB l tp m. Lut

De Morgan v nh ngha tp ng cho thy c(cA cB) = A B l tp ng.

Chng minh (4) tng t.

Cc tp ng trn ng thng thc c mt tnh cht kh c th v thc t

n t ra rt hu ch: mt tp ng bt k trong c th xem nh tng giao

(hu hn hay v hn) ca hp cc khong ng n gin.

Chnh xc hn, c th chng minh nh l sau.

nh l 1.5. Cc tp ng trong v cc khong ng

Gi s S l mt tp ng bt k trong . Khi ,

S = Ii

ii ),b[]a,(

.

vi cc s thc ai < bi v tp ch s I no .

nh l 1.5 cng ng cho cc tp ng gm cc s thc khng m. Ta c

nh l sau y.

nh l 1.6. Cc tp ng trong + v cc khong ng

Gi s S l mt tp ng bt k trong +. Khi ,

S = Ii

ii ),b[]a,0[

.

vi cc s thc 0 ai < bi v tp ch s I no .

Mt khi nim quan trng khc l tp b chn. Ni nm na, tp l b

chn nu n khng i ra v hn. Sau y l nh ngha chnh xc ca khi

nim ny.

nh ngha 1.5. Tp b chn trong n (bounded set)


Tp S n c gi l b chn nu n cha c trong mt hnh cu (m

hay ng) bn knh no . Ngha l, S b chn nu x n v s > 0 S

B(x).

Theo nh ngha ny, mt tp l b chn nu ta c th v mt -hnh cu

bao quanh tp . C mt cch nh ngha khc vi ni dung trc quan hn khi

ta hn ch hnh cu tm ti gc 0 n. Theo cch ny c th thy tp S b

chn khi v ch khi c mt e > 0 hu hn sao cho mi im trong S cch gc

khng qu .

C mt s thut ng lin quan ti cc tp b chn trn ng thng thc .

Gi s S l mt tp s thc khc rng bt k. Mt s thc l bt k (khng

nht thit thuc S) tho mn l x vi mi x S c gi l mt cn di

(lower bound) ca S. Chng hn, nu S = {3, 5, 7} th s 0 S l mt cn di

ca S, s 3 S cng l mt cn di ca S. Cng vy, mt s thc u bt k

(khng nht thit rhuc S) sao cho x u vi mi x S c gi l mt cn trn

(upper bound) ca S. Trong v d va xt 8 S l mt cn trn ca S, s 7 S

cng l mt cn trn ca S. Tp S gi l b chn di nu n c mt cn

di v b chn trn nu n c mt cn trn. Khong (- , 3) b chn trn

nhng khng b chn di. Tp s bt k va b chn trn va b chn di tt

nhin b chn theo nh ngha 1.5.

Ta va thy mt tp hp s c th c nhiu cn di hay cn trn. S ln

nht trong cc cn di ny gi l cn di ln nht (greatest lower bound)

hay cn di ng ca tp S. S nh nht trong cc cn trn gi l cn trn nh

nht (least upper bound) hay cn trn ng ca tp S. C th dng tin c

bn ca h thng s thc chng minh rng mt tp b chn bt k trong

lun c mt cn di ln nht v mt cn trn nh nht

C th chng minh rng mt tp ng bt k trong s cha cn di ln

nht v cn trn nh nht ca n (nu c).


Tri li, mt tp m bt k trong s khng cha cn di ln nht v cn

trn nh nht ca n.

nh l 1.7. Cn trn v cn di ca tp hp s thc

1. Gi s S l mt tp m b chn v gi s a l cn di ln nht

ca S v b l cn trn nh nht ca S. Khi , a S v b S.

2. Gi s S l mt tp ng b chn v gi s a l cn di ln

nht ca S v b l cn trn nh nht ca S. Khi , a S v b S.

Chng minh. Ta chng minh cc kt lun u, phn sau chng minh tng t

Gi s S l tp m cc s thc v a l cn di ln nht ca S. nh l

khng nh a S. Nu gi s a S ta s tm ra mu thun. Tht vy, do gi thit

a S v S l tp m nn tm c > 0 sao cho B(a) S. T im a - /2

S. Do a - /2 < a v a - /2 S nn iu ny tri vi a l cn di ln nht ca S.

V th khng th c a S m phi c a S..

chng minh nh l cho trng hp tp ng, gi s S l tp ng,

b chn v a l cn di ln nht ca S. Theo nh ngha cn di, a x x S.

Nu a = x vi x no S th a S v chng minh kt thc.

Nu a < x x S th a S, v th a cS (phn b ca S). Do S ng nn

cS m. Khi tm c > 0 sao cho mi im thuc hnh cu m B(a) = (a- ,

a+) cha trong cS. T cho thy mi im thuc khong m (a - , a + ) u

thc s nh hn mi im trong S. Ni ring, im a + /2 (a - , a + ) v a +

/2 < x x S, ngha l a + /2 l mt cn di ca S v a < a + /2, tri vi a l

cn di ln nht ca S. Vy ta phi c a S.

Mt tp trong n va ng, va b chn c gi l mt tp compact. Cc

tp ny kh quen thuc trong nhiu ng dng. Ta nhc li nh ngha dng

sau ny.

nh ngha 1.6 (Heine - Borel). Tp compact trong n

Tp S n c gi l compact khi v ch khi S ng v b chn.


Khong m trong khng phi l mt tp compact. N c th b chn

nhng khng ng. Cng vy, hnh cu m trong n khng compact. Tuy nhin

mi khong ng b chn trong , cng nh mi hnh cu ng trong n l mt

tp compact. Ton b n khng compact v n khng b chn, mc d n ng.

Tnh compact thc ra l mt tnh cht tp. Tuy nhin, nh l Heine-Borel cho

thy i vi cc tp trong n tnh cht compact tng ng vi tnh ng v b

chn.

1.4. TNH LIN TC(Continuity)

Khi nim nh x lin tc (continuous mapping) hay hm lin tc (conti-

nuous function) l mt khi nim quan trng trong gii tch. Trong nhiu ng

dng kinh t hoc ta mun gi thit cc hm cp ti l hm lin tc hoc

mun bit liu chng c lin tc khi m ta khng mun n gin ch l gi thit

n. D trng hp no i na, tt nht l nn c hiu bit r th no l hm lin

tc v cc tnh cht ca hm lin tc.

V i th, mt hm gi l lin tc nu mt di chuyn nh trong min

xc nh khng gy ra bc nhy ln trong min tr. C th hn, mt hm gi

l lin tc ti im x0 trong min xc nh nu vi mi > 0 tm c > 0 sao

cho mi im trong min xc nh, cch x0 khng qu c nh x f chuyn

ti mt im trong min tr, cch f(x0) khng qu . nh ngha sau y cho

cch hiu chnh xc v nh x lin tc, p dng cho cc nh x t tp D bt k

vo tp T bt k khc, khng nht thit trong khng gian Euclid m trong cc

khng gian mtric bt k.

nh ngha 1.7. (Cauchy) Tnh lin tc (Continuity)

Cho D l mt tp, T l mt tp khc v gi s f : D T. Hm f c gi l

lin tc ti im x0 D khi v ch khi vi mi > 0 tn ti mt > 0 sao cho

f(B(x0)) B(f(x

0)).

Hm f c gi l lin tc (trn D) nu n lin tc ti mi im x D.

Documents

Ham Nhieu Bien Va Cuc Tri Cua Ham 3548