Halmazelmélet

A halmazok jelölésére latin nagy betűket használunk, elemeit pedig kis betűvel jelöljük.

Pl: A:={a;b;c;d}, ahol aЄA, vagyis a eleme az A halmaznak.

B: = { páros számok} A halmazokat gyakran jelenítik meg ún. Venn diagramm segítségével Pl.

A matematikai halmazelmélet megalapítója Georg Cantor (1845—1918) matematikus. Cantor Oroszországban született, de életét Németországban töltötte.

Egy halmazt elemei megadásával tekintünk ismertnek. Az elemeket felsorolással,vagy ha lehet a rájuk jellemző közös tulajdonság megadásával adunk meg.

11-k-11. (2008. október 2 pont) Adja meg a 24 egyjegyű pozitív osztóinak halmazát!

11-k-5.. (2006. október 2 pont) Sorolja fel a H halmaz elemeit, ha H = {kétjegyű négyzetszámok}.

Melyik halmaz?Miért? ◦ A={ barátságos emberek} ◦ B={páros természetes számok}

CS:Mi lehet a következő halmazokban a közös tulajdonság? ◦ D={132,84,60,7524,720,1080} ◦ E={135,45,2505,1080, 60,720} ◦ F={320,1080,6020,60, 940,720}

Műveletek halmazokkal Két halmaz metszete(közös része): Azok az

elemek, amelyek mind a két halmaznak elemei. Jelölése: B∩A

Venn-diagrammal:

11-k-3. (2006. május 2 pont) Az A halmaz elemei a 10-nél nem kisebb és a 20-nál nem nagyobb páros számok, a B halmaz elemei a néggyel osztható pozitív számok. Adja meg az A ∩ B halmaz elemeit!

Részhalmaz: Az A halmaz akkor részhalmaza B halmaznak, ha A minden eleme B-nek is eleme.

Jelölés: A⊂B (A részhalmaza B-nek)

Komplementer halmaz: Azok az elemek, amelyek nem elemei A-nak.__

Jel: A

11-k-14. (2009. május 2 pont) Írja fel az A ={3; 6;15; 28} halmaz minden olyan részhalmazát, amelynek csak páros számok az elemei!

Adjunk meg részhalmazait a 11-k-3 feladatban szereplő számhalmaznak.

Két halmaz különbsége: A és B halmaz különbségén azokat az elemeket értjük, amelyek elemei A halmaznak, de nem elemei B halmaznak.

Jele: A\B Venn diagrammal:

Két halmaz uniója(egyesítése): azoknak az

elemeknek a halmaza, amelyek a két halmaz közül legalább az egyiknek elemei. Jele: A∪B

Venn diagrammal:

Feladat 11-k-18. (2011. május 2 pont) Tekintsük a következő két

halmazt: A={36 pozitív osztói}; B={16-nak azon osztói, amelyek négyzetszámok}. Elemeik felsorolásával adja meg a következő halmazokat: A; B; A ∩ B ; A \ B .

11-k-4. (2006. május 3 pont) Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az angol és a német nyelv valamelyikét. Hatan beszélnek közülük németül, nyolcan angolul. Hányan beszélik mindkét nyelvet? Válaszát indokolja számítással, vagy szemléltesse Venn-diagrammal!

11-k-15. (2009. május 3 pont) A H halmaz elemei legyenek a KATALINKA szó betűi, a G halmaz elemei pedig a BICEBÓCA szó betűi. Írja fel a H U G halmaz elemeit! Hány elem van ebben a halmazban?

http://www.mozaweb.hu/Lecke-Matematika-Matematika_9-Feladatok-100901

Ismétlés Halmaz, jelölés Halmazműveletek Részhalmaz Metszet Únió Komplementer, Részhalmaz Különbség Fa:AUB={a,b,c,d,e,f} A\B={c,f} A∩B={d}. Adja meg A és

B elemeit

Halmaz számossága: Az A halmaz elemeinek számát A számosságának nevezzük.

Jelölés: IAI

11-k-12. (2008. október 2 pont) Sorolja fel az A ={1;10;100} halmaz összes kételemű részhalmazát!

11-k-6. (2006. október 2 pont) Egy iskola teljes tanulói létszáma 518 fő. Ők alkotják az A halmazt. Az iskola 12. c osztályának 27 tanulója alkotja a B halmazt. Mennyi az A∩B és A \ B halmaz számossága?

11-k-4. (2006. május 3 pont) Egy 10 tagú csoportban mindenki beszéli az angol és a német nyelv valamelyikét. Hatan beszélnek közülük németül, nyolcan angolul. Hányan beszélik mindkét nyelvet? Válaszát indokolja számítással, vagy szemléltesse Venn-diagrammal!

S={-3; 2/5; 0,25; -3/4; 2,121231234…; -61; 8; -3,3333…; 10/3; -1/4, -117; 49; -3,141592653…; 0}

Ábrázoljuk S elemeit számegyenesen. Nevezetes halmazok: Speciális halmaz az üres halmaz: az a halmaz, aminek

nincs eleme. Jel:B:={} B:=Ø Természetes számok halmaza N:={0;1;2;3;4;5;...} Egész számok halmaza Z:={...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...} Racionális számok halmaza Q:={a/b | a; b; b≠0}

(törtek) Irracionális számok halmaza: azon a számok halmaza,

amelyek nem írható fel a/b alakban. Jele: Q* Valós számok halmaza: racionális és irracionális

számok összessége. Jele: R

Intervallumok: A valós számok részhalmazai, amelyet számegyenesen jelölünk. Pl. a≤x≤b jelölése: [a;b]

Ábrázolja a 3≤x≤5 zárt intervallumot, Ábrázolja a -2<x<2nyílt intervallumot, és az x≤-1, x>0 intervallumokat számegyenesen. Adjuk meg és szemléltessük a következő

egyenlőtlenségek megoldáshalmazát, ha az alaphalmaz A) a természetes számok; B) az egész

számok; C) a nemnegatív valós számok halmaza! a) x < 10; b) –x > 5; c) 2x < 0. Írjuk fel az ábrával adott intervallumokat:

11-k-20. (2011. október 3 pont) Jelölje N a természetes számok halmazát, Z az egész számok halmazát és ∅az üres halmazt! Adja meg az alábbi halmazműveletek eredményét!

a) N Z; b) Z ∅; c) ∅ \ N.

11-k-9. (2008. május 4 pont) Egy fordítóiroda angol és német

fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik mindkét nyelven? Válaszát indokolja!