Hacia Una Lógica Temporal-epistémica

HACIA UNA LGICA TEMPORAL-EPISTMICABASADA EN LENGUAJES HBRIDOS

JOS RAFAEL HERRERA GONZLEZUniversidad de La Laguna - Grupo LEMA*

[email protected]

MARGARITA VZQUEZ CAMPOSUniversidad de La Laguna - Grupo LEMA*

[email protected]

Resumen

Nuestro principal objetivo en este trabajo es el de analizar si es posible construirsistemas lgicos temporales-epistmicos lo sucientemente satisfactorios. Sin embargo,las principales dicultades para lograr este propsito provienen del hecho de tener quecombinar una perspectiva temporal absoluta con una perspectiva epistmica relativa acada agente; es decir, por un lado, los instantes de tiempo vienen determinados desde elpunto de vista de un observador situado fuera del mundo, y, por otro lado, las alternativasepistmicas de cada agente (en cada instante) son relativas a dicho agente. Pensamos quealgunas de estas dicultades podran ser superadas con la ayuda de las lgicas hbridas,puesto que este tipo de lgicas simplica la combinacin de sistemas temporales yepistmicos, y as podemos evitar tener que construir modelos excesivamente complicados.

PALABRAS CLAVE: Lgica epistmica; Lgica temporal; Lgica hbrida; Combinacinde lgicas.

Abstract

Our main goal in this paper is to analyse if it is possible to build some suitable Temporal-Epistemic Systems. However, the main difculties in order to aim this goal come fromthe fact of having to combine an absolute temporal perspective with a relative (to eachagent) epistemic perspective; that is, on one hand, temporal points (instants) aredetermined from the point of view of an observer placed outside the world, and, on theother hand, the epistemic alternatives of each agent (in each instant) are relative tothat agent. We think that some of these difculties could be solved with the help of

ANLISIS FILOSFICO XXXI N 1 - ISSN 0326-1301 (mayo 2011) 33-46

* Grupo de Investigacin en Lgica, Epistemologa, Mente y Accin, de la Universidadde La Laguna (dirigido por Manuel Liz). Los autores agradecen a los miembros del gruposus valiosos comentarios a versiones previas de este trabajo.

Este trabajo se ha llevado a cabo dentro del Proyecto de Investigacin FFI2008-01205("Puntos de vista. Una investigacin losca"), nanciado por el Ministerio deEducacin y Ciencia del Gobierno de Espaa.

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ANLISIS FILOSFICO XXXI N 1 (mayo 2011)

hybrid logics, because this kind of logics simplies the combination of temporal andepistemic systems, and so we can avoid building highly complicated models.

KEY WORDS: Epistemic Logic; Temporal logic; Hybrid logic; Combining logics.

I. Introduccin

La lgica modal epistmica, tal y como se ha desarrollado desdemediados del siglo pasado, proporciona un aparato formal muy til parael anlisis de las nociones de conocimiento y creencia, pero gran parte delos sistemas propuestos se limitan a dar cuenta del conocimiento y lascreencias de un agente, o de un grupo de agentes, en un momentodeterminado, es decir, sin tomar en consideracin las modicaciones quepueden experimentar a lo largo del tiempo.

En este trabajo nos proponemos enriquecer la capacidad expresivade la lgica de las modalidades epistmicas, de tal forma que podamosexpresar los cambios producidos a lo largo del tiempo en el sistema deconocimientos y creencias de los sujetos. De este modo, podremos hablar,entre otras cosas, de aumento o prdida de conocimiento, o de abandonode creencias (y de su sustitucin por otras). No en vano, uno de los rasgosms sobresalientes del conocimiento y las creencias es su variabilidad enel tiempo, ya sea porque se disponga de nueva informacin o porque sereestructure la que ya se tena.

Nos interesa tambin poder expresar los conocimientos y lascreencias que los sujetos albergan en un momento determinado en relacinal pasado y al futuro. En el primer caso podremos hacer armaciones deltipo En el futuro el sujeto x sabr que o En el pasado el sujeto x creaque ; en el segundo caso podremos decir, por ejemplo, que El sujeto x sabeque en el pasado o que El sujeto x cree que en el futuro .

Para conseguir nuestro objetivo, primero analizaremos algunos delos desarrollos ms interesantes, a nuestro juicio, que se han llevado a caboen la combinacin de la lgica temporal y la epistmica, y a continuacinpresentaremos una propuesta encaminada a congurar una lgica temporal-epistmica basada en la lgica hbrida, pues, como veremos, los lenguajeshbridos pueden superar en gran medida algunas de las principalesdicultades con las que tropezamos al tratar de combinar una dimensintemporal y una dimensin epistmica en un mismo sistema lgico.

II. Sistemas temporales-epistmicos

En esta seccin estudiaremos tres de los sistemas que se hanpropuesto para la combinacin de la lgica temporal y la epistmica, a

saber: el Sistema mnimo S5T (Engelfriet 1996), la extensin temporaldel Sistema KL (Kraus y Lehmann 1988) y el Sistema temporal-epistmico FH (Fagin y Halpern 1988). En nuestro anlisis abordaremoslas principales ventajas que presentan estos sistemas lgicos, as comosus limitaciones ms relevantes.

II. 1. El Sistema temporal-epistmico mnimo S5T

Engelfriet (1996) propone un sistema mnimo de lgica temporal-epistmica, S5T, mediante el que podemos expresar los cambios que seproducen en el conocimiento de un agente en funcin del tiempo. Para ello,toma como base el Sistema S5 de la lgica epistmica proposicional(Engelfriet 1996, p. 235) y un Sistema de tiempo lineal transitivo1

(Engelfriet 1996, p. 237).En el Sistema S5T encontraremos los siguientes tipos de operadores

lgicos:a) Los operadores epistmicos K y M, de tal modo que Kx expresa

que el sujeto x sabe que es el caso2 y Mx indica que el sujetox considera posible que es el caso, establecindose la siguientedenicin: Mx =df Kx

b) Los operadores temporales habituales P, F, H, G, donde Pexpresa que al menos una vez en el pasado fue el caso, Fque al menos una vez en el futuro ser el caso, H quesiempre en el pasado fue el caso y G que siempre en elfuturo ser el caso. Denindose: P =df H y F =df G.

El Sistema temporal-epistmico mnimo S5T de Engelfriet constade los siguientes elementos:

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1 Para una presentacin y anlisis detallados de los principales elementos formalesque conguran la lgica modal epistmica, cf. Meyer y van der Hoek (1995). Asimismo,en Meyer (2001) y Lenzen (2004) podemos encontrar exposiciones de conjunto brevese interesantes de esta rama de las lgicas no clsicas. Por otra parte, para una visingeneral de la lgica temporal y sus principales sistemas, cf., por ejemplo, Gabbay,Hodkinson y Reynolds (1994) y Gabbay, Finger y Reynolds (2000).

2 Cuando en la lgica modal epistmica armamos Kx (el sujeto x sabe que ),significa que se da en todos los mundos posibles (o alternativas epistmicas)compatibles con el conocimiento de x. De modo similar, Bx (el sujeto x cree que )nos indica que se da en todos los mundos posibles (alternativas doxsticas) que soncompatibles con las creencias de x. Finalmente, Mx (el sujeto x considera posible que) implica que es el caso en, al menos, uno de los mundos posibles compatibles conel conocimiento (o las creencias) de x.

A) Lenguaje formal. El lenguaje del Sistema S5T de Engelfriet secongura de acuerdo con las siguientes clusulas (Engelfriet 1996, p. 236):

i) Si es una frmula bien formada (en adelante, fbf) del lenguajepara la lgica clsica de proposiciones, entonces es una fbfrespecto al lenguaje del Sistema S5T.

ii) Si es una fbf del lenguaje de la lgica epistmica proposicional(en lo que sigue, LEP), y en particular del Sistema S5, entonces es una fbf respecto al lenguaje del Sistema S5T.

iii) Si es una fbf de acuerdo con i) y ii), tambin lo son P, F, Hy G.

B) Semntica. Para la semntica del Sistema S5T, Engelfrietemplea la misma estructura que para una lgica de tiempo lineal,aadiendo a las clusulas de la funcin de evaluacin que:

Si es una fbf del lenguaje de la LEP (en particular, del SistemaS5), entonces v(,t)=1 syss vS5(,t)=13 (Engelfriet 1996, p. 236).

C) Sistema axiomtico. El Sistema axiomtico S5T consta de losaxiomas del Sistema de lgica temporal para tiempo lineal, con suscorrespondientes reglas de derivacin (Modus Ponens y Generalizacinde H y G), introduciendo nicamente la siguiente clusula:

Para toda fbf del lenguaje de la LEP (en particular, del SistemaS5), si S5, entonces S5T (Engelfriet 1996, p. 237).

Asimismo, Engelfriet muestra que el Sistema S5T es consistentey completo (Engelfriet 1996, pp. 237-238).

Como puede comprobarse, las clusulas para la constitucin dellenguaje formal del Sistema S5T permiten la ocurrencia de operadoresepistmicos bajo el alcance de operadores temporales, pero no as laocurrencia de operadores temporales bajo el alcance de operadoresepistmicos. Y es esta, a nuestro juicio, la principal limitacin quepresenta este Sistema lgico, pues si bien puede expresar los cambios queexperimenta el conocimiento de los agentes en funcin del tiempo, nopuede, sin embargo, formalizar el conocimiento del que disponen losagentes acerca del futuro o el pasado. Es decir, con la lgica de Engelfrietpodemos expresar, por ejemplo, que En el futuro el sujeto x sabr que, pero no que El sujeto x sabe que en el futuro ser el caso. Por estopodemos afirmar que el sistema S5T no constituye una autntica



3 La expresin vS5(,t)=1 se lee el valor de verdad de en t es 1 de acuerdo con lasclusulas de la funcin de evaluacin del Sistema S5.

combinacin de lgica temporal y epistmica, en el pleno sentido de laexpresin, sino, ms bien, una temporalizacin de la lgica epistmica.

II. 2. La extensin temporal del Sistema KL

Kraus y Lehmann (1988) desarrollan un sistema axiomtico, al quenos referiremos como Sistema KL, que nos permite considerarconjuntamente diversas nociones epistmicas y doxsticas, as como lasinterrelaciones formales que se establecen entre ellas. Este sistemaincluye los operadores monarios K (conocimiento), B (creencia), E(conocimiento conjunto), F (creencia conjunta), K (conocimientocomn), B (creencia comn)4.

Kraus y Lehmann enriquecen su lenguaje formal incluyendooperadores temporales para poder expresar los cambios que se producenen el conocimiento y las creencias de los agentes a lo largo del tiempo, ascomo tambin los diversos tipos de creencias que los agentes puedenalbergar acerca del futuro (Kraus y Lehmann 1988, pp. 166-168). Entrelos operadores temporales que introducen podemos destacar (momentosiguiente), de modo que si es una fbf, tambin lo es (en el momentosiguiente ser el caso).

Partiendo de estas ideas, Kraus y Lehmann distinguen entre dos tiposbsicos de creencia, en funcin de su carcter ms o menos central para losagentes, es decir, dependiendo de si pueden ser modicadas o abandonadaspor estos con mayor o menor dicultad (Kraus y Lehmann 1988, pp. 166-167):

1. Creencia en sentido dbil (creencia como hiptesis). Es un tipode creencia que un agente mantiene en un momento determinado, peroque estara dispuesto a abandonar tan pronto como esta se vieracontradicha por nueva informacin. Para este tipo de creencia se cumplela siguiente expresin: Bx Bx Kx (Para x= 1, ..., h, siendo hel nmero total de agentes que estemos considerando); es decir, si unagente x cree algo, entonces mantendr su creencia hasta que sepa queefectivamente es falsa. Una versin dbil de este axioma es la siguiente:



4 Se dice que en un grupo de agentes se da el conocimiento conjunto de (E) si todoslos miembros del grupo saben que es el caso; igualmente, se dice que se da la creenciaconjunta en (F) si todos los componentes del grupo creen que . A su vez, elconocimiento comn de (K) signica que en el grupo de agentes en cuestin todossaben que , todos saben que todos saben que , todos saben que todos saben que todossaben que ... Por su parte, la creencia comn en (B) implica que todos loscomponentes del grupo creen que , todos creen que todos creen que , todos creen quetodos creen que ... (Kraus y Lehmann 1988, pp. 155-156).

Bx Bx Bx (Para x= 1, ..., h), lo cual indica que un sujeto dejade creer en algo cuando cree que es falso.

2. Creencia seria. Es un tipo de creencia de carcter central, por loque los agentes no estn dispuestos a abandonarla. Son, como sealan Krausy Lehmann, creencias acerca de cosas que sabemos que son verdaderas oque no pueden ser probadas como falsas (Kraus y Lehmann 1988, p. 166).Un ejemplo de esta clase de creencias lo constituyen las creencias de carcterreligioso. Si un agente cree, en este sentido serio de creencia, que algo serel caso en el futuro, sabe que en el futuro no descubrir que tal cosa no esel caso. El axioma siguiente reeja esta propiedad de este segundo tipo decreencia: Bx KxKx (Para x= 1, ..., h). De acuerdo con esto, si el agentex cree que en el futuro ser el caso que , puesto que su creencia no puedeser contradicha, en el futuro tambin mantendr su creencia. Esto nos dael siguiente axioma: Bx Bx (Para x= 1, ..., h). Ahora bien, Kraus yLehmann (1988, p. 167) sugieren que este ltimo axioma recoge unanocin poco realista de creencia, y concluyen que el tipo de creencia al queusualmente hacemos referencia est ms prximo a la creencia en sentidodbil (creencia como hiptesis) (Kraus y Lehmann 1988, p. 167).

As pues, la extensin temporal del Sistema KL nos permiteexpresar distintas propiedades acerca de nociones epistmicas y doxsticasen relacin al tiempo. Sin embargo, el principal inconveniente quepresenta esta lgica es que no dispone de una semntica adecuadarespecto a la cual sean vlidos los anteriores axiomas que combinanconocimiento, creencia y tiempo.

II. 3. El Sistema temporal-epistmico FH

Fagin y Halpern (1988) presentan una lgica del conocimientoconsciente5 de marcado carcter sintctico. El trmino conocimientoconsciente (representado por el operador monario A) hace referencia aqua aquellas frmulas de las que puede percatarse un sujeto en un estadodeterminado: as Ax indica que el sujeto x es consciente del hecho (de lafrmula) . Fagin y Halpern no dan una interpretacin precisa de esteconcepto, aunque sealan una serie de condiciones que podemos imponera esta nocin, de tal modo que pueda presentar diferentes propiedadesen funcin del contexto en que nos encontremos (Fagin y Halpern 1988,pp. 54-55). Pero lo que aqu nos interesa es la extensin temporal de estalgica epistmica. El sistema temporal-epistmico resultante (que aqu



5 Traducimos por conocimiento consciente el trmino ingls awareness.

denominaremos Sistema FH) podemos encontrarlo en Fagin y Halpern(1988, pp. 61-63), y en l se introducen dos nuevos operadores modalesmonarios, a saber: (momento siguiente) y (eventualmente, o ahorao alguna vez en el futuro). De este modo, si es una fbf, tambin lo son (en el momento siguiente ) y (eventualmente , o tambin ahorao alguna vez en el futuro ).

En el Sistema FH se concibe el tiempo como lineal, discreto einnito hacia el futuro, contemplndose, adems, la siguiente denicinmetalingstica: =df ; es decir, que es verdadero si esverdadero ahora y por siempre en el futuro.

Este sistema de lgica temporal-epistmica nos permite, porejemplo, hacer que en cada instante el sujeto recuerde los conocimientosque en el pasado haba establecido en relacin a ese instante. Es decir,podemos hacer vlida la expresin Kx()Kx, que nos dice que si elagente x sabe (ahora) que ser el caso en el momento siguiente,entonces en el momento siguiente tambin sabr que es el caso. Faginy Halpern reconocen que esta propiedad es, en muchos casos, pocorealista, como ocurrira, por ejemplo, si estuviramos rerindonos alconocimiento de agentes humanos; pero podra resultar interesante, sinembargo, para modelar el comportamiento epistmico en inteligenciaarticial (Fagin y Halpern 1988, p. 62). En cualquier caso, est claro queesta propiedad no es adecuada para las creencias, pues estasfrecuentemente se ven contradichas y son abandonadas por los sujetos.

En el Sistema FH tambin podemos conseguir, de una formarelativamente sencilla, que el conocimiento consciente de un sujeto x (Ax)nunca disminuya a lo largo del tiempo, as como que dicho agente x sea,eventualmente, consciente de toda fbf. Podemos, asimismo, hacer que elconocimiento consciente de un sujeto aumente con el tiempo (o al menosno disminuya), sin que por ello dicho agente haya de ser eventualmenteconsciente de toda frmula. Finalmente, podemos formalizar situacionesms complejas en las que se combine el conocimiento consciente, elrazonamiento local (racimos de creencias) y el tiempo. As, podramoslograr que un agente x modique sus creencias siempre que llegue a serconsciente de que son incoherentes, lo cual se expresara mediante elaxioma: [(BxBx)Ax(BxBx)] [(BxBx)] (Fagin y Halpern1988, pp. 62-63).

Todo esto pone de maniesto que el Sistema FH de Fagin yHalpern permite modelar interesantes propiedades relativas a laadquisicin, prdida o modicacin de conocimientos (y de creencias) porparte de los sujetos epistmicos; y todo ello estableciendo condicionesrelativamente simples en los modelos semnticos de su lgica epistmica.



III. Lgicas hbridas

Las lgicas hbridas son un tipo de lgicas modales que permitenreferirse a los puntos (mundos) del modelo. En el caso de la lgicatemporal, permiten referirse a un instante particular.

El introductor de las primeras ideas relacionadas con la lgicahbrida fue Arthur Prior al nal de los aos sesenta del pasado siglo (Prior1967). En los aos noventa, se increment el nmero de publicacionessobre el tema, especialmente entre un grupo de investigadoresrelacionados con la Universidad de Amsterdam6.

La lgica hbrida introduce los nominales como una herramientapara nombrar los puntos del conjunto de los mundos posibles semnticos.Esos nominales aparecen en la sintaxis y podemos tener fbfs en las queestos aparezcan (como algo distinto de las variables proposiciones).Hacen el papel de los trminos en lgica clsica de primer orden, perosin ser trminos. Los nominales son verdaderos solamente en un puntode cada modelo; nombran este nico punto, siendo verdaderos all yen ningn sitio ms. Este punto se suele llamar la denotacin delnominal; sin embargo, un solo punto puede ser la denotacin dedistintos nominales.

Hay dos operadores normalmente asociados con los nominales.Estos son el anclaje (en ingls, binder), , y el operador de satisfaccin,@. El anclaje vincula un nominal con un punto concreto, nombrando sloeste punto, el punto de la evaluacin actual, como la denotacin delnominal. El operador de satisfaccin @ traslada el punto de evaluacinhasta la denotacin del nominal. Algunas veces, al denir fbfs hay unadiferencia entre los nominales y las variables de mundo: los nominalesno pueden ser ligados por , mientras que las variables de mundo s. Eneste caso, se suele emplear i, j, k para los nominales y x, y, z para lasvariables de mundo.

En lgica temporal, los nominales se han usado como un mecanismopara referirse a momentos, resolviendo as una limitacin de estaslgicas (Blackburn 1994). Cuando decimos algo como Juan cant esimportante tener un nico punto de referencia, donde sea verdad que Juancante, antes del punto actual. La representacin de Juan cant sera P(i^ Juan canta), donde P es el operador temporal de pasado habitual,mientras que i es un nominal. En este ejemplo, podemos referirnos alpunto exacto donde Juan cant. Como i es un nominal, sabemos que i es



6 Cf., por ejemplo, Blackburn y Seligman (1998), Blackburn (2000) y Areces,Blackburn y Marx (2001).

verdadero en un nico punto del modelo y que en ese punto es verdad queJuan canta.

Se pueden denir sintcticamente algunas propiedades de losmarcos no denibles en la lgica temporal corriente. As tenemos lairreexibidad (x.x), la asimetra (x.x), la antisimetra (x.(xx),la densidad (x..@xy), la transitividad (x.y.@xy), etc. Lairreexividad es especialmente importante en la lgica temporal y suausencia se suele subsanar con el uso de la denominada Regla deGabbay.

IV. Un sistema temporal-epistmico basado en las lgicas hbridas

Nuestro objetivo en esta seccin es el de presentar una serie dedesarrollos formales encaminados a congurar un sistema temporal-epistmico que combine el Sistema S5 de la lgica modal epistmica conun sistema temporal para tiempo lineal. Al tratar de articular lasemntica de este sistema temporal-epistmico, encontramos que es fcilevaluar las frmulas puramente temporales y las puramente epistmicas.Tampoco presenta mayores dicultades el tratar de evaluar frmulas enlas que operadores epistmicos se encuentran bajo el alcance deoperadores temporales (de hecho, esto es lo que ocurre en el Sistema S5Tde Engelfriet, presentado en la seccin II.1). Donde surgen los problemases al intentar evaluar las frmulas en las que operadores temporalesaparecen bajo el alcance de operadores epistmicos, es decir, aquellasfrmulas que expresan el conocimiento (o las creencias) que los agentesalbergan acerca del pasado o el futuro.

Para salvar estos inconvenientes distinguimos, a nivel semntico,los diferentes estados actuales correspondientes a cada instante deltiempo, siendo s el estado actual en el instante s, t el estado actualen el instante t, y as sucesivamente. Y tambin tenemos en cuenta elconjunto de estados que un sujeto x considera posibles, no slo enrelacin al momento en que se encuentra, sino tambin en relacin acualquier otro instante del pasado o del futuro: as x(t,t) representa elconjunto de estados que el sujeto x considera posibles en el instante t enrelacin a dicho instante t; x(t,s) representa el conjunto de estados que xconsidera posibles en el instante t en relacin a otro instante anterior oposterior s (s

x(s,s) x(t,t) x(s,s)| | |

x(s,t) x(t,s) x(s,t)s t s

(s

(a) Toda variable proposicional (p, q, r ...) es una fbf1.(b) Si es una fbf1, tambin lo son K, Ki, Ki, , Mi, Mi.(c) Si y son fbf1, tambin lo son (), (), (), ().(d) Si es una fbf1, es una fbf2.(e) Si es una fbf2, tambin lo son , P, H, F, G.(f) Si y son fbf2, tambin lo son (), (), (), ()

Los parntesis externos de las frmulas pueden ser eliminados.Denimos un modelo de la lgica temporal-epistmica como una

estructura M=

Las clusulas vii-x anteriores nos permiten evaluar las frmulasque reejan los conocimientos de los sujetos acerca del futuro o elpasado. As, por ejemplo, si un sujeto sabe (en el estado actual) que enel futuro i ser el caso que , la clusula ix nos permite comprobar quecualquier estado considerado posible por el sujeto (desde el estadoactual) tiene un estado ulterior, que es la denotacin de i, y en el cual es verdadero.

V. Consideraciones nales

En la seccin anterior hemos pretendido mostrar que los lenguajeshbridos simplican las combinaciones de lgica temporal y epistmica. Yes que los nominales, al permitirnos hacer referencia a puntosdeterminados, propician que podamos referirnos, de forma sencilla, ainstantes concretos, o mejor an, a determinados estados situados en elpresente, pasado o futuro. Gracias a esto, podemos evitar tener que recurrira modelos semnticos excesivamente complejos, pues articulamos nuestrosmodelos basndonos en la nocin de estado (entendiendo por tal unmundo posible localizado en un instante concreto del tiempo). Contamos,adems, con dos tipos de relaciones de accesibilidad entre estados: unarelacin de equivalencia (R) y una relacin de orden parcial irreexivo (

adecuada, de las relaciones formales que se establecen entre creencia,conocimiento y tiempo. Pensamos que la principal dicultad con la quetropezamos al intentar alcanzar este objetivo tiene que ver con lanecesidad de combinar lo que podramos denominar dos puntos de vistadistintos: por un lado, un punto de vista temporal absoluto y, por otro,un punto de vista epistmico relativo a cada sujeto cognoscente. Esto esas porque en la lgica temporal la sucesin de instantes se determina enrelacin a un observador absoluto, que se sita fuera del mundo,mientras que las nociones epistmicas son siempre relativas al sujeto queconoce. Esto dificulta enormemente la configuracin de modelossemnticos para la lgica temporal-epistmica, y de ah que lainvestigacin futura haya de incidir de manera especial en la superacinde las dicultades derivadas de este hecho.

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