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H. Hamano, 問題解答 1
2. 力の釣合い
[問題 2.2]
(1) 333.3,02sin:0 ACAC NNV N, 667.2,0cos333.3:0 BCBC NNH N (2) ,060cos30cos:0,0260sin30sin:0 BCACBCAC NNHNNV
上第 2式より
30cos
60cosBCAC NN ,これと第 1式より 2.0N, 3.464NAC BCN N
(3) ,030cos60cos:0,0330sin60sin:0 BCACBCAC NNHNNV
上第 2式より
60cos
30cosBCAC NN ,これと第 1式より N5.1,N598.2 BCAC NN
[問題 2.3]
(1) N0.4,02105:0 AAB RRM , N0.6,010:0 BBA RRRV (2) N0.9,033695:0 AAB RRM , N0.1,035:0 BBA RRRV (3) N31412,0210460sin125:0 AAB RRM N0 7 8.8,01060sin12:0 BBA RRRV , N0.6,060cos12:0 AA HHH (4) N375.18/11,08523:0 BBA RRM N625.18/13,05638:0 AAb RRM
3. 力の合成・分解
[問題 3.1]
(1) kN6435 R (右向き)
(2) kN083.637)60sin3()60cos34(22 R
50712511
33tan
60cos34
60sin3tan 11
(P2から左回りに 507125 の方向)
(3) kN606.313)120sin3()120cos34(22 R
7060465
33tan
120cos34
120sin3tan 11
(P2から左回りに 706046 の方向)
(4) R=6.59kN, 754.0tan
[問題 3.2]
(4) 2 2(4cos60 3cos 45 3cos30 ) (4sin 60 3sin 30 3sin 45 ) 3.225kNR
85846130sin345cos360cos4
45sin330sin360sin4tan 1
(x軸から 858461 の方向)
(5) kN733.0
)30sin260sin345sin430sin3()30cos260cos345cos430cos3( 22
R
95158930cos260cos345cos430cos3
30sin260sin345sin430sin3tan 1
(x軸から 951589 の方向)
[問題 3.3] (省略)
問題解答
H. Hamano, 問題解答 2
[問題 3.4]
(1) (下向き)(左向き) kN50.230sin5,kN33.430cos5 yx PP
(2)
30sin560sin
30cos560cos
y
yx
P
PP これより kN887.2kN,887.2 yx PP
(3)
45sin460sin
45cos460cos
y
yx
P
PP これより kN266.3kN,461.4, yx PP
4. モーメント
[問題 4.1]
(1) Nm632O M
(2) Nm632O M
(3) Nm9244233O M
(4) Nm13352O M
(5) Nm391.47345cos5045sin5460cos8360sin8O M
[問題 4.2]
(1) kN853 R (下向き), m58
85
x (点 O から右へ 5mの位置)
(1) kN53343 R (下向き), m2.75
1036334
x (点 Oから右へ 7.2mの位置)
(2) kN63234 R (下向き), m5.26
23225384
x (点 Oから左へ 2.5mの位置)
(4) kN708.653)3234(322 R
50622435062632tan,23
3234tan 1
or
合力 Rは左斜め下がりであるから,水平軸より 5062243 の向き
m025.4708.6
2322538443
x , 点 O から合力までの垂直距離 4.025m
H. Hamano, 問題解答 3
5. 静定ばり
[問題 5.1]
-RB
Q-図
M-図
b
l
P
A B C
(1) a
l
+ RA
Q-図
M-図
a b
l
M
-
+
(2)
A C
B
RA -RB -
-
+
M-図
Q-図
Q-図
M-図
l
q (3)
l
MB (4)
A B A B
RA
-RB -
+
+
+
+ MB
Q-図
M-図 MC
Mmax
B
l
a b
q (6)
-7.14
7.86
10
[kN]
15.72 21.44
M-図
Q-図
5kN 10kN
2m 2m 3m
(5)
[kNm]
A B C D A C
RA +
-
+ +
H. Hamano, 問題解答 4
M-図
-3.33
4.67
19.46
[kN]
14.01 16.65
M-図
Q-図
5.335
3m 4m 5m
2kN/m
(7)
10.875
-16.125
-1.125
29.57 29.25 25.875
5.44
2kN/m 5kN/m
6m 3m 3m C
(8)
Q-図
[kNm]
[kN]
[kNm]
+
-
A D B C D A B
+
-
+
2m 2m 5m
2kN/m 2kN (9) 2kN/m
5kNm
6m 3m 3m
(10)
M-図
7.67
-4.33
-2.33
14.67
8.69
Q-図 8.583
-3.417
18.417 15.498
10.25
5.25
[kN] [kN]
[kNm] [kNm]
13.35
3.835
B A C D
A B C
D
+
-
+
- +
+ M-図
Q-図
2kN/m 5kNm
3m 3m 3m
(11) 10kNm
2m
C
D
A
3m 3m
5kN (12)
M-図
1.55
4.667
-4.444
+
-0.333
Q-図
4.336 4.941 5.0
M-図
-2.5 2.5
-2.5
7.5
Q-図
[kNm]
[kN]
[kNm]
[kN]
C A B
D A B
+ -
+
+ -
+ +
B
4m
1kN/m
6m 2m
2kN/m
(14)
x l
q
(13)
M-図
14.0 11.0
-5.5
19.271
3.5
Q-図
M-図
2次 Q-図
-ql/3 [kN]
[kNm]
ql/6
2次
6.832
A C
B D
+
+
A
+
+
3次 3次
H. Hamano, 問題解答 5
[問題 5.2]
4kN/m
B
10m
2kN/m
(16)
10m
2kN/m
(15)
M-図
6.667
4.226
-3.333
12.827
Q-図
3次
2次
3次
5.275
M-図
2次
Q-図
-16.667
13.333
37.615 [kNm]
[kN] [kN]
[kNm]
A B
+ +
A
+ +
3.667
-2.333
10.668 9.332
Q-図
M-図
2.667
-0.333
3.167
3.333
Q-図
M-図
1.5 -0.833
4.667
1.167
[kNm] [kNm]
[kN] [kN]
(1) (2)
A B A
2kN 4kN 4kN 2m 2m
4m 4m 4m 1 2
+
+
A B
2m 2m 2kNm
4m 4m 4m 1 2
+ 0.5
+
-18.0
72.0
-24.0
18.0
54.0
Q-図
M-図
54.0
24.0
[kNm]
[kN]
A B 1
4kN/m
l=4×3m
(3)
2 3
+
+
H. Hamano, 問題解答 6
[問題 5.3]
l a b
l
Q-図 -P
-Pb
Q-図
M-図
(1) (2)
-Pl
P
A B A B
P +
C
l
q
4m B A
P=10kN q=2kN/m
M-図
2次
Q-図
4m 4m
ql Q-図
M-図 M-図 -ql2/2
(3) (4)
A B C D
+ -8.0
-18.0
-120.0 -48.0
-16.0
l
λ/2
B
M
Q-図
M-図
P
Q-図
M-図
P/2
A B A
M
P
1 2
+
+
(5) (6)
q
Q-図
M-図
-ql
(7)
A B
H. Hamano, 問題解答 7
[問題 5.4]
)22(),2( ball
PRbla
l
PR BA
2222 )(
2,)(
2alb
l
qRbla
l
qR BA
)(2/)2/)(2/(1
2/)2/3)(2/(1
blPallaql
R
Pblalaql
R
B
A
2/2/12/)2/(
1
2 Plqal
R
Pllaqal
R
B
A
M-図
Q-図
P 2P
a
B C D A B C D
-qa
M-図
Q-図 2P
-P
M-図
Q-図
-Pa
qb
Mmax
(1) (2)
l b a l b
+ + +
+
-qa2/2
-qa2/2 -qb2/2
-2Pb
q
P(a-2b)/l
M-図
A B C D E
P
-qa
Q-図
B A C
M/l
M
P M
q (3) (4)
a l a b l/2 l/2
+
+
+
+ -Pb -qa2/2
A
P
B C D
-RB RA -qa
M-図
Q-図
[kN]
5kNm 10kN 2kN/m
A C B D
2m 6m 2m
1.833
-10.167
10.0
-20.0 5.0 M-図
Q-図
5.840 [kNm]
0.917m
q
a l/2
+ +
(5) (6)
+ +
l/2
-qa2/2
(Pl-qa2)/4
H. Hamano, 問題解答 8
[問題 5.5]
第 2章 静定ばり
[kN]
4m 2m 4m 2m 2m 2m 2m
2kN/m 6kN 10kN
-5.0
3.0 7.0
-4.0
2.0
-3.0
M-図
Q-図
8.0
-4.0
2.25
-8.0
6.0
[kNm]
5kN
3m 3m 1m 6m
[kN]
-2.5
7.5
M-図
Q-図
2.5
-2.5
0.417
[kNm]
(1) (2)
C A B D G A B C D E F G2 G1
+ +
+ + +
- -
+
+ +
2kN/m
7m 3m 5m 5m
5kN 10kN
7.0
-10.5
-18.0
9.5
-0.5
19.5
-12.0
-7.0
Q-図
[kN] -45.0
12.25 27.5
M-図
[kNm]
(3)
A C B D G
+ +
+ +
2kN/m 5kN 10kN
3m 3m 2m 2m 4m 4m 6m
-3.5 -8.5
14.0 4.0
-12.0
11.333
-0.667
-10.5
-36.0
-8.0
4.0
-32.0
0.111
M-図
Q-図
[kNm]
[kN]
(3)
A C D B F E G1 G2
+ +
H. Hamano, 問題解答 9
6. はりの影響線
[問題 6.1]
2m
C A
P=10kN
1 2 2m
q=2kN/m
B
4m 2m 2m
(3)
1 0.833 A1=2.667
0.167
A2=5.333
1
-0.167
A3=-0.333
RA-line
RB-line
QC-line
MC-line
RA=13.667kN
RB=12.333kN
QC=-0.333kN
MC=34.0kNm
A4=1.0
1.0
A5=12.0
+
+
+
+
1
P=5kN
A
P=10kN
2m 3m 2m D B C
0.714 0.429
0.286 0.571 1
0.714 0.429
1.429 0.857
RA-line
RB-line
QC-line
MC-line
RA=7.857kN
RB=7.143kN
QC=7.857kN
MC=15.715kNm
P=20kN q=6kN/m
4m 2m 2m 2m
B
1 0.8 A1=1.6
0.2
A2=2.4 1
0.8 A3=1.6
RA-line
RB-line
QC-line
MC-line
RA=25.6kN
RB=18.4kN
QC=25.6kN
MC=51.2kNm
A4=3.2 1.6
+
+
+
+
+
+
+
+
(1) (2)
A C D E
H. Hamano, 問題解答 10
[問題 6.2]
[問題 6.3]
RA-line
MC-line
RB-line
QC-line
RA=14.578kN
QC= 4.578kN
RB=13.426kN
MC=12.924kNm
5m 7m D B C
2m 3m
E A
P=10kN
12m
2m
F
q=2kN/m
1
1
2.401 -0.167 1.25
1.083
1.167 -0.083
7.128
0.250 0.083
2.041 -0.167
-0.583
10.210
-0.833
-4.5
-9
1
-1
MC-line
RB-line
MB-line
QC-line
+
+
-4
1
-1
+
2m
C A
P=10kN
6m
q=2kN/m
B
2m
C B A 4.5m 4.5m
(1) (2)
-10
A1=8.0
A2=-32.0
A3=-2.0
A4=-2.0
RB-line
MC-line
MB-line
QC-line
RB=26.0kN
QC=-14.0kN
MB=-164.0kNm
MC=-44.0kNm
q=2kN/m
RB=18.0kN
MB=-81.0kNm
QC=-9.0kN
MC=-22.5kNm
A1=9.0
A2=-81.0
A3=-4.5
A4=-11.25
-1.5
H. Hamano, 問題解答 11
[問題 6.4]
[問題 6.5]
P=5kN
3m 3m 3m 3m 3m
A
1
1.5
RA-line
RB-line
RA=2.5kN
1.5
-1.5
-0.75
0.75
-0.25
0.25
1
-0.5
1.0
1.5
3.0
1.0
-1.0
+
+
+
+
+
+
0.5
RB=3.75kN
RC=-1.25kN
RC-line
QD-line
MD-line
QD=1.25kN
MD=--3.75kNm
E G B D C
RB=30.0kN
QE=2.0kN
ME=15.0kNm
3m
8m
G2 5m 5m 3m
8m 8m 4m 4m
G1 G1,G2:ゲルバーヒンジ
-1
1
3 5
QE-line
+
+
1
1
ME-line
RB-line
RA-line
+
2.5
1.5
-0.5
4.0 -3.0
15.0
-1
1
3 5
QF-line + +
+ MF-line
0.5
+
7.5
-15.0
1.563
-0.563 3.0
7.5 1.563
-0.563
RA=2.0kN
QF=8.0kN
MF=-
15.0kNm
q=2kN/m
A B E C
D F
H. Hamano, 問題解答 12
7. 部材断面の性質
[問題 7.1]
断面積:A=ab, 微小面積:dA=bdx
y軸に対する断面1次モーメント 2
0 2
a
y
a bG xdA bxdx
[問題 7.2]
abA2
1 , x点の長さ )( xa
a
bb であるから
dxxaa
bdxbdA )(
a
y
bax d xxa
a
bx d AG
0
2
6)(
326
2
0
aabba
A
Gx
y
すなわち,y軸から 3分の 1 の点にある.
[問題 7.3]
(1) mm35)4030()2060(
20)4030(50)2060(0
y
(2) mm35160160
1016060160mm,25
160160
401601016000
yx
(3) m275.25.254
667.25.25.355.04m,855.1
5.254
333.25.25.152400
yx
[問題 7.4]
(1) 12
13
12,
3412,
12
32
33233
321
bhbhh
bhI
bhbh
hbhI
bhI xxx
(2) すべて 41017.1834 xI (mm4)
(a) 4433
cm1017.183412
90602
12
130140
xI (b)
4433
cm1017.183412
90120
12
130140
xI
(c) 4433
mm1017.183412
90120
12
130140
xI
(3) (a) mm3520012001
202001502001,cm400240302060 0
2
yA ,
423
23
mm0007402001)2035(12
40302001)3550(
12
2060
xI
(b) 2mm2004)10010()803010040(2 A
3
21
3
2
3
1
mm0002652
,mm000105)10010(105,mm00080)8030(50)40100(50
GGG
GG
x
mm1.632004
0002650
A
Gy x
4423
2
44233
1
mm1039.176)10010(9.4112
10100
,mm1058.46516001.1312
8030
12
100402
I
I
44
21 mm1097.6411 III x
(4)
22
3
2
2
2
1 cm168,cm75155,cm48412,cm45153 AAAA
図 7.2
b
x
y
x dx
a dA=bdx
dA
y
a
b
O x
b′
dx x
図 7.9
H. Hamano, 問題解答 13
33333
22
3
11 cm996,cm5.5625.7,cm962,cm5.3375.7 xGAGAGAG
cm93.5168
9960
A
Gy x
42442
3
3
423
2
423
1
30.334816893.59256,cm9256,cm5625755.712
155
,cm25648212
412,cm3375455.7
12
153
cmIII
II
Gx
[問題 7.5] (1) 02
000 Ab
AyxI xy , / 2
/ 2 00
a b
xya
I xydA xdx ydy
あるいは
(2) 422
22
00
baab
baAyxIxy ,
02 2 2 2
0
0 2 2 4
b
xya
a
b x a bI xydA ydy xdx
あるいは
[問題 7.6]
2s i n2c o s22
2s i ns i nc o s
s i ns i nc o s2c o s
)s i nc o s(
22
2222
22
xy
yxyx
xyyx
u
IIIII
III
dAxdAxydAy
dAxydAvI
2s i n2c o s22
2s i ns i nc o s
s i nc o ss i n2c o s
)s i nc o s(
22
2222
22
xy
yxyx
xyxy
v
IIIII
III
dAydAxydAx
dAyxdAuI
2c o s2s i n2
2c o s2s i n2
12s i n
2
1)s i n( c o s2s i n
2
12s i n
2
1
s i nc o ss i ns i nc o sc o s
)s i nc o s)(sincos(
22
2222
xy
yx
xyyxyx
uv
III
IIIdAxyII
dAxydAydAxdAxy
dAxyyxuvdAI
注)以上よりさらに次の関係が得られる.
2c o s22s i n2s i n2c o s2c o ss i n2)s i n(c o s2 xyyxxyyxu IIIIII
I
2c o s22s i n2s i n2c o s2)s i n(c o s2c o ss i n2 xyyxxyyxv IIIIII
I
uvvu I
II2
[問題 7.7]式(7.22)を 3元 1次の連立方程式として解く.第 1式と第 2式を加え合わせると
vuyx IIII
第 3式より
2tan22cos
yxuvxy
IIII
式(7.22)の第 1式より第 2式を引くと
2c o s
2s i n)(2t a n22c o s)(2s i n22c o s)(
2
yxuvyxxyyxvu IIIIIIIIII
2t a n22c o s
2t a n2)2s i n2( c o s2c o s
22
uv
yx
uv
yxI
III
II
ゆえに
2s i n22c o s)( uvvuyx IIIII
(3)
(1)
(2)
H. Hamano, 問題解答 14
式(1)と式(3)を加え合わせると,式(7.23)の第 1式が,式(1)から式(3)を引くと第 2式が得られる.
式(2)に式(3)を代入して変形する.
2c o s2s i n2
2c o s2c o s
2s i n22c o s2c o s
2s i n2s i n
22c o s
2t a n]2s i n22c o s)[(2
1
2cos2tan
22cos2
uvvu
uvuvvuuv
uvvuuv
uvvuuvyxuv
xy
III
IIIII
IIII
IIIIIII
I
これは,式(7.23)の第 3 式である.
[別解]式(7.22)の x,yと u,v を入れ替え, のかわりに とおけばよい.
[問題 7.8]式(7.22)の第 3式において Iuv=0とおくと,式(7.24)
2
2t a nyx
xy
II
I
が得られる.この式は,右図の関係を表している.したがって
2
2
2
2
2
22c o s,
2
2s i n
xy
yx
yx
xy
yx
xy
III
II
III
I
この関係を式(3.22)に適用すればよい.Iuv=0となる Iuを I1,Ivを I2とすると
2
22
2
1
2
22
2
1
22
2
2
2
222s i n2c o s
22
22
2
2
2
222s i n2c o s
22
xy
yxyx
xy
yx
yx
xy
xy
yx
yxyx
xy
yxyx
xy
yxyx
xy
yx
yx
xy
xy
yx
yxyx
xy
yxyx
IIIII
III
II
II
II
IIIII
IIIII
IIIII
III
II
II
II
IIIII
IIIII
[問題 7.9]
(1) )cm(5.31616
116616),cm(5.2
1616
41611600
yx
(2) )cm(67.68216112
28166
12
82 423
23
xI
3 3
2 2 48 2 2 81 16 4 16 362.67(cm )12 12
yI
)cm(16016141661 4xyI
(3) )cm(67.290)1616(5.367.682 42 uI
)cm(67.162)1616(5.267.362 42 vI
)cm(120)1616(5.25.31604uvI
Ix-Iy
2θ
2
H. Hamano, 問題解答 15
(4) 947530,875.164
120
2
2tan
vu
uv
II
I
22
2,122
uv
vuvu IIIII
I
より )cm(67.90),cm(67.362 42
4
1 II
[問題 7.10]
(1) P.7-7注意事項より求めよ.
(a) 6
,32
,62/
,12
23 h
A
WK
h
A
Ir
bh
h
IW
bhI x
(b) 6
,12
,23
,123/
,243/2
,36
223 h
A
WK
h
A
WK
h
A
Ir
bh
h
IW
bh
h
IW
bhI tc
c
txtc
(c) 4
,2
,4
,4
34 r
A
WK
r
A
Ir
r
r
IW
rI x
(2) 問題 7.4(3)aを用いる.
cm233.124
6.29,cm881.0
24
143.21
cm,756.124
74,cm143.21
5.3
74,cm6.29
5.2
74 33
tc
tc
kk
rWW
(3) (a) 問題 7.9を使用する.
323
1
4
0 cm05.835.3
67.290,cm72.44
5.6
67.290,cm67.290,5.3 WWIcmy x
(b) m275.25.254
667.25.25.355.04,m5.11451
2
115 0
2
yA
423
232
3
m70.3460.1233.038.047.35.742.10)14()5.0275.2(12
14
512
1275.21
3
5
36
51)51()275.25.3(
12
51
xI
33 m25.15275.2
70.34,m32.9
725.3
70.34 tc WW
(4) 2cm749121314 A
cm98.478.2474
17.1834
17.183412
912
12
1314 433
A
Ir
cmI
x
x
x
cm37.407.1974
03.1411
cm03.141101.3716)68.5933.457(2
29)154.5(12
29214)54.57(
12
1422
cm54.574
8641274
74
891271413
4
23
23
0
A
Ir
I
x
y
y
y
H. Hamano, 問題解答 16
8. 応力とひずみ
[問題 8.2] mm1018.3
4
1014.3100.2
00015 42
5
EA
Pll
[問題 8.3] 2522
mm/N1002.263.0
000269.63,N/mm69.63
4/20
00020
l
lE
A
P
[問題 8.4] 4)1030(001000.0100.2 5 N/mm2
[問題 8.5] A=
4
2214.3379.94mm2, 2N/mm95.3
94.379
5001
A
P
[問題 8.6]3つの部材は同じ大きさのひずみを生じるから
33
3
22
2
11
1
AE
P
AE
P
AE
P
一方,力の釣合いから 321 PPPP
であるから 332211332211
321
33
3
22
2
11
1
AEAEAE
P
AEAEAE
PPP
AE
P
AE
P
AE
P
したがって 332211
111
AEAEAE
APEP
,
332211
222
AEAEAE
APEP
,
332211
333
AEAEAE
APEP
すなわち,各部材の力はその部材の EA に比例した力が働いている.
[問題 8.7]コンクリートの断面積: 2mm50062250250 CA ,
鉄筋の断面積 : 22 mm76.519144/2214.3 SA
ここで 15C
S
E
En であるから
2N/mm586.076.51911550062
00050
SCSSCC
C
CnAA
P
AEAE
PE
2N/mm79.8586.015 CS n
[問題 8.8]2つの条件がある.1つは力の釣合いから PRRV 21:0 つぎに,部材 AC の伸びは部材 CB の縮みに等しい.すなわち
21 ll =
ここで 22
222
11
111 ,
AE
lRl
AE
lRl
式(3)を式(2)に代入して 22
22
11
11
AE
lR
AE
lR
式(1)と式(4)より PlAElAE
lAERP
lAElAE
lAER
122211
1222
122211
2111 ,
[問題 8.9]下底より xの点の微小要素 dxについて考える.x点に働く
応力 x はその重さ Ax によって
xA
Axx
応力 x による微小要素 dxの伸び量 dx は,Hookeの法則dx
dx より
dxE
xdx
Edx x
したがって,全体の伸び量は,これを x=0から lまで積分すればよい.
222
2
00 0
2 W
EA
l
E
lx
Exdx
Edxl
ll l
ここで, AlW は全自重を表す.すなわち,自重を無視して下端に W/2の引張り力を作用させ
たときの伸びと等しい.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
H. Hamano, 問題解答 17
[問題 8.10]
部材 1と部材 2には共に P=2kN の力が作用する.ゆえに
mm006.05050
0001
100100
0002
100.2
1025
3
2
2
1
1
A
l
A
l
E
P
EA
Pll
9. はりの応力度
[問題 9.1] (1) 243
N / m1075.182
12
0001
h
bhy
I
M
(2) 244
N / m104.1272
64
1000
d
dy
I
M
(3) 332
332
m100.412
3
1,m100.2
24
3
2
bh
h
IW
bh
h
IW CC
22 N/m0.25,N/m0.50 tc
[問題 9.2] 40 mm000740mm,35 Iy
2N / m m76.625000740
000200 Cc y
I
M
2N / m m46.935000740
000200 tt y
I
M
[問題 9.3]フランジ部分に対しては
3111 mm00018152060 yAG , 21
1 N / m m81.000074060
000180002
bI
QG
ウエッブ部分に対しては
3322112 mm10375.185.2)530(15)2060( yAyAG
2
3
1
2 N/mm62.100074030
010.180002
bI
QG
2
3
2
max2 N/mm66.100074030
01375.180002
bI
QG
6
3
2
1
62.1
81.0
2
1
30
60
20
x
40 y0
A1
A2
y0=35mm
I=740 000mm4
H. Hamano, 問題解答 18
10. モールの応力円
[問題 10.1]図 4.17(a)において点 C でモーメント釣合いを考える.
奥行き bとする.
yxxyyxxyC dybdxdxbdyM ,0:0
[問題 10.2]各辺の微小面積を nyx dAdAdA ,, とすると
sin,cos nxny dAdAdAdA
0 :
cos sin 0n n uv n x y xy x
H
dA dA dA dA
0 :
sin cos 0n n uv n y x xy y
V
dA dA dA dA
この 2式より
cos sin cos sin 0n uv x xy
sin cos sin cos 0n uv y xy
1 2(1) cos (1) sin
2sin2cos22
cossinsincos 22 xyyxyx
xyyxn
1 2(1) sin (1) cos
2 2( )sin cos (sin cos ) sin 2 cos22
x y
uv x y xy xy
[問題 10.3] 2 を式(4.26)に代入し, 2cos2cos,2sin2sin を用いる.
[問題 10.4]
(1) 22 N / m m49.6,N/mm25.16 uvu
(2) 22 N / m m81.10,N/mm75.13 uvu
(3) 22 N / m m81.10,N/mm75.13 uvu
[問題 10.5]図 4.18(b)より
2s i n2c o s22
2s i ns i n2c o sc o s)2c o s (
xy
yxyx
u CHCHOCCHOC
2c o s2s i n2
2c o ss i n2s i nc o s)2s i n (
xy
yx
uv CHCHCH
[問題 10.6]問題 4.15より
2
2
N/mm31.122cos2sin2
,N/mm16.112sin2cos22
xy
yx
uv
xy
yxyx
u
式(3.34)より
222
2
2,1 N/mm35.5,N/mm35.2022
xy
yxyx
式(3.35)より 24.0
2
2tan
yx
xy
(モールの応力円は省略)
A
B C
n
x
dAx
dAy
O
dAn
C
(a)
dy dx
(b)
図 4.17
(1)
H. Hamano, 問題解答 19
11. 弾性曲線によるはりのたわみ
[問題 11.1] 2階の微分方程式より求める.
x点の曲げモーメントは )1
(632
32 xl
lxqx
xl
qxRM Ax
これを弾性曲線の微分方程式に代入して積分する.また,簡単のため積分定数は積分の中に含め
て計算し,積分記号も省略する.
)1
(6
3
2
2
xl
lxEI
q
EI
M
dx
yd x
1
42
4
1
26Cx
lx
l
EI
q
dx
dy ,
21
53
20
1
66CxCx
lx
l
EI
qy
境界条件を適用する
60
70:,00:0
3
12
lCylxCyx よりより
したがって θy, は
xlxlxlEI
qy 4325 7103
360 , 4224 73015
360lxlx
EIl
q
dx
dy
ここで EI
ql
EI
qlBA
45,
360
7 33
最大たわみはたわみ角 0θ より 073015 4224 lxlx ,これより lx 519.0
これをたわみの式に代入して EI
qly
360
35.2 4
max を得る.
[別解] 4階の微分方程式より求める.順次積分すると
xEIl
q
dx
yd
4
4
, 1
2
3
3
2Cx
E I l
q
dx
yd
21
3
2
2
6CxCx
EIl
q
dx
yd , 32
214
224CxCx
Cx
EIl
q
dx
dy
4322315
26120CxCx
Cx
Cx
EI
qy
境界条件を適用する
,6
0:,00:0,00:0 124EI
qlCMlxCMxCyx
EI
qlCylx
360
70:
3
3
これより xlxlxlEI
qy 4325 7103
360 これは上に求めた結果と一致する.
[問題 11.2] x点の曲げモーメント: )( xll
MM Ax
弾性曲線の微分方程式
)(2
2
lxEIl
M
EI
M
dx
yd Ax
これを積分する.
21
23
1
2
26
1,
2
1CxCx
lx
EIl
MyClxx
EIl
M
dx
dy AA
H. Hamano, 問題解答 20
境界条件は 3
0:,00:02
12
lCylxCyx
ゆえに
)23(6
),263(6
22322 xllxxEIl
Myllxx
EIl
M AA ,また, EI
lM
EI
lM AB
AA
6,
3
[問題 11.3] 荷重より左のたわみを 1y ,右のそれを 2y とする.
ax 0 lxa
曲げモーメント: xl
MM x 曲げモーメント: Mx
l
MM x
21
3
1
1
21
2
1
2
6
2
CxCxl
MEIy
Cxl
M
dx
dyEI
xl
M
dx
ydEI
21
23
2
1
22
2
2
2
26
2
DxDxM
xl
MEIy
DMxxl
M
dx
dyEI
Mxl
M
dx
ydEI
境界条件: 0:0 1 yx 0: 2 ylx
連続条件: 21
21
:
:
ax
yyax
この 4つの条件より 2
),32(6
,0),632(6
2
2
22
12
22
1
MaDal
l
MDClaal
l
MC
ゆえに
xlaalxEIl
My
laalxEIl
M
)632(6
)632(36
223
1
222
1
222232
222
2
3)32(36
)32(636
laxallxxEIl
My
allxxEIl
M
EI
Mlla
laalEIl
Mx
A
A
24:
2
)632(6
:0 22
AB
B
EI
Mlla
alEIl
Mlx
24:
2
)3(6
: 22
ax におけるたわみ : )32(3
22 laalEIl
May ax
ax におけるたわみ角: )33(3
22 laalEIl
Max
2
lba のとき:
EIl
Mly ll
12,0
2
22
[問題 11.4] x点の曲げモーメント MM x
弾性曲線の微分方程式:EI
M
dx
yd
2
2
これを積分する.
21
2
12
1, CxCx
EI
MyCx
EI
M
dx
dy
境界条件 0,0:0 yx より 021 CC
したがって 22
, xEI
Myx
EI
M
H. Hamano, 問題解答 21
[問題 11.5] 反力は l
alPR
l
PaR BA
)(,
lx 0 alxl
曲げモーメント: xl
PaM x 曲げモーメント: )(
)(lx
l
alPx
l
PaM x
21
3
1
1
21
2
1
2
6
2
CxCxl
PaEIy
Cxl
Pa
dx
dyEI
xl
Pa
dx
ydEI
21
33
2
1
222
2
2
2
)(6
)(
6
)(2
)(
2
)()(
DxDlxl
alPx
l
PaEIy
Dlxl
alPx
l
Pa
dx
dyEI
lxl
alPx
l
Pa
dx
ydEI
境界条件: 0:0 1 yx 0: 2 ylx
0: 1 ylx
連続条件: 21: lx
この 4つの条件より 0,6
2211 DCP a l
DC
ゆえに
)(6
)3(6
23
1
22
1
xlxEIl
Pay
lxEIl
Pa
xallxalaxEIl
Py
allxalaxEIl
P
233
2
222
2
))((6
))((336
EI
Pallx
EI
Palx BA
3:,
6:0 1
)(3
),32(6
:
3:
2
12
alEI
Payal
EI
Paalx
EI
Pallx
CC
BB
[問題 11.6](解略)例題 5.1,5.5,問題 5.4参照.(2)の点 Aのたわみ角は負になることに注意.
第 5章 はりのたわみ
H. Hamano, 問題解答 22
12. 弾性荷重法によるはりのたわみ
[問題 12.1]
共役ばりにおいて
2
1
MlP
が三角形の図心位置に作用するとして,反力は
3
1
3
2
2
Ml
l
lMlRA
6
1
32
Ml
l
lMlRB
ゆえに
EI
Ml
EI
Q
EI
Ml
EI
Q
BB
AA
6
3
[問題 12.2]
反力は 3
,6
qlR
qlR bA
弾性荷重の荷重強度 xqは
)(6
32 xxll
qqx
弾性荷重の大きさは
244
1
26
)(6
3
0
422
0
32
0
qlxx
l
l
q
dxxxll
qdxqA
l
ll
x
点 Aを通る鉛直軸に対する断面 1次モーメントは
455
1
36)(
6
4
0
532
0
422
00
qlxx
l
l
qdxxxl
l
qdxqxxdAG
lll
x
l
x
ゆえに,弾性荷重の図心位置は
lqlql
A
Gx x
15
8
2445
34
0
共役ばりの反力は
360
8
15
8
24
1,
360
7
15
7
24
13333 ql
lql
lR
qll
ql
lR BA
ゆえに
EI
ql
EI
R
EI
ql
EI
R BB
A
A360
8,
360
7 33
l/3
P1
A B
M
+
図 21.8
B C 2l/3
EI1
l
+
図 21.94
A B x
x
dx
RA
RA RB
RB
q qx
l
+
図 21.94
A B x
x
dx
RA
RA RB
RB
q qx
H. Hamano, 問題解答 23
[問題 12.3]
l
MR
l
MR BA ,
l
MbP
l
MaP
2,
2
2
2
2
1
3232
323
2
326
,236
babal
MR
bbaal
MR
B
A
)(3
33
21ba
l
MPRQ AC
)(33
22
21ba
l
MabaPaRM AC
以上より
)32(6
),23(6
323
2
323
2baba
EIl
M
EI
Qbbaa
EIl
M
EI
Q BB
AA
)(3
),(3
22
2
33
2ba
EIl
Mab
EI
Myba
EIl
M
EI
Q CC
C
C
[問題 12.4]
x点の曲げモーメントは
2)(2
lxq
qx
点 Aから xの点の微小面積について考える.
6
)(2
3
0
2
0
qldxlx
qdxqR
ll
xB
EI
ql
EI
QqlRQ BBBB
6,
6
33
8
)(2
))((4
0
3
0
qldxlx
qxldxqM
ll
xB
EI
ql
EI
My BB
8
4
[問題 12.5]
曲げモーメントは正で一定である.
EI
Ml
EI
QMlR BBB
,
EI
Ml
EI
My
lMlM BBB
2,
2
2
l
M
a b
+ Mb/l
-Ma/l
2a/3 2b/3 3
b a 3
図 21.10
A
B
B
A
A B
P1 P2
C
x
l
q
x
dx
図 21.11
A B
+
l
x
図 21.12
C A
B
M
M
H. Hamano, 問題解答 24
[問題 12.6]
弾性荷重を 1/EIで統一するために,断面 2次モー
メントが 2Iの部分の曲げモーメントを 1/2倍する.
16
,4
2
2
2
1
PlP
PlP
EI
Pl
EI
QPlPPR BBB
16
5,
16
5 22
21
EI
Pl
EI
My
PllP
lPM BBB
16
3,
16
3
33
2 33
21
[問題 12.7]
単位は[kN], [kNm]とする.
5.22,25.1,5.7 321 PPP
EIEI
RR
CB
CB
5.2,
5
5.2,5
EIEI
QR
RRM
A
AA
BAG
22.12,22.12
013
2)25.1(35.226:0
EIEI
My
RPM
G
G
BG
83.5
83.53
5.25
3
225.11
3
22
EIEI
PRQRPQ
GlGr
AGlBGr
28.10,
25.6
28.10,25.6 32
2l/3
l l/2
2l/6
図 21.13
C B A
2I
P1 P2
P
-Pl/2
-Pl/2
5kN
3m 3m 1m 6m
-2.5
7.5
-2.5
RB′
RB′
RG′ RA′
RC′
図 21.14
A B
C D G
+
P1
P2
P3
+
H. Hamano, 問題解答 25
18 静定トラス
[問題 18.1]
(1) ,5
3s i n,
5
4c o s
PNNNNPNPN ACABABACACAC3
4cos,0cos,
3
5,0sin
(2) 2
1s i nc o s
PNNNN
PNNNPNN
BDADADBD
BDCDBDCDCB
cos,0cos
2,0sin,,0
(3) PHVaHaVMPHPaaHM AAAADDDA ,0:0,,0:0
P
NNNN
PNPNPNN
CD
CBCDCB
ABACCDBD
2cos
,0cos
,,,0
(4) PHPRPRaPaRM ABAAB ,2,2,02:0
PNNNNPP
NPN DECECEDEDEDE
cos,0cos,2sin
,0sin
P
HNNH
PNNPNNN
A
ADADA
BDABCEACCD
2cos
,0cos
2,0,,0
(5) 5
3c o s,
5
4s i n
kN69.4,0cos,kN81.7,0sin:
kN56.1,04sinsin:2
k63.5,0sincos,kN44.3,02sinsin:1
kN56.3,0cos,kN94.5,0sin:
kN25.612
75
12
57542kN,75.4
12
57,035649212:0
22444
332
1121221
11111
LLDDRDB
DDD
NUUDDDDD
LLDDRDA
RRRM
B
A
BAAB
部材力
反力
(6) 5
3c o s,
5
4s i n
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 2
3
25 25 20 0 : 9 10 6 5 3 0, 8.33kN, 10 5 6.67kN
3 3 3
: sin 0, 10.41kN, cos 0, 6.25kN
1 : sin 0, 8.33kN, cos 0, 6.25kN
2: sin 10, 2.09
: sin
B A A B
A
A
M R R R
A D R D D L L
D V V D U U
R D D kN
B D
反力
部材力
3 3 3
2 2 3
0, 8.33kN, cos 0, 5.00kN
2 : 0, 5.00kN
B BR D D L L
V L L
H. Hamano, 問題解答 26
[問題 18.2]
(1) 2
1sincos
PRPP
RaPaPaPaRM BAAB4
17,75.2
4
11,042234:0
PPPRQVPPa
ML
PPPRQ
DPPa
PaaR
a
MU
AA
AA
75.14
7,75.2
4
11
,47.24
27
sinsin,5.4
4
182
111
1
212
22
(2) 5
3c o s,
5
4s i n
kN10kN,67.66
40,kN67.6
6
40,04106:0 ABAAB HRRRM
kN00.5cos,0cos
,kN33.83
25
sin,0sin,0,kN10
2112
22222
DLLD
RDRVDVU BB
(3)
kNRkNRRM BAAB 5.55.124104,5.1212
150,03491012412:0
kN5.82
17)4(kN,375.6
8
51
4
3)4(
,kN875.18
15
sin,kN25.5
8
42
4
3106)4(
2121
2
212
22
AA
A
RQVR
h
ML
QD
R
h
MU
(4) 2
1c o ss i n
kN10,010sinsin:
-14.14kN21025,025,-7.07kN25:
15kNcos,0cos
-21.15kN215,0sin:
15
1122
12211
1111
11
VVUUF
UUUUDD
ULLU
URUA
kNRR
A
BA
(5) 三角形の相似より
PRR BA2
3
m85.417
20
14
54
21
2212,2:221:212221
22
MhNNMNM より∽
m12m,161
16,1:44:M121O1 axxより∽
m14.142102
20
24
420O,21:112:112O2
bPOOPP より∽
PP
h
PRUhUPRM AA 65.1
85.4
82,02:0 222
Ph
RLhLRM AA 5.1,0:0
1
2121
PP
b
aPaRDbDaPaRM AA 1 4 1.0
10
2)(,0)(:0 22O
H. Hamano, 問題解答 27
(6)
kN1061042,kN6,041016420224 BAA RRR
①: kN67.63
20,06428:0
332 LLRM A
③: 22 DD
②: kN33.33
10
sin2
2,0sin)(2:0 222
AA
RDDDRV
kN4,064:0221
UURM A
④: kN2sin4,04sin:0 2222 DVVDV kN2sin,0sin:0 2222 DVVDV 03 V
(7)
kN75.13,kN25.164
65,08102010241032 BAA RRR
①: kN103 V
②: kN5.172
35,0841081016:0 114 UURM A
-5.29kN275.34
215,0sin1010:0 33 DDRV A
③: kN07.725,0sin:0 223 DDVV
kN77.1225.14
25,0cos:0 4433 DDVDH
②′: 3442 kN25.21)4108(8
1,084108:0 LRLLRM AA
D4 D3
D2
V3
B
A
6@4m=24m
P1=2kN
h=6m
1 2
3
1′ 2′
3′
P2=4kN P5=10kN
4′ 5′
4 5
U2
D2
D2′
V2′
V2
L3
V3
① ②
③
④
図 8.19
P=10kN
D3
L3
8@4m=32m
D4
B A
D2
V3
U1
P=10kN P=10kN
4m
4m
1 2 3 4 5 6 7
1′
2′
3′
4′
5′
6′
7′
①
②
③
図 8.20
H. Hamano, 問題解答 28
[問題 18.3]図(1),(2),(3)の部材力( 21 ,, NNN )を下表に記す.
(4)
914.097/9cos,406.097/4sin,6.05/3cos,8.05/4sin,0 BA RR
1) 節点 A: 508.097
5
sin
sin,0sin1sin 33
NNRA
609.097
6coscos,0coscos 3131 NNNN
2) 節点 B: 508.097
5,0sinsin 3443 NNNN
609.097
6cos)(,0coscos 437347 NNNNNN
3) 節点 C: 508.097
5,0sinsin 4554 NNNN
0,0 26 NN
(5)
6.05/3c o s,8.05/4s i n,0 8 3.012/1 BA RR
1) 節点 A: 1 0 4.048
5
sin,0sin 33
AA
RNNR
0625.048
3cos,0cos 3131 NNNN
2) 断面 t-t 1 2 5.08
1,04
5
156:0 77 NNRM AC
部材 l N 1N 2N
1 6 6.00 0.375 1
2 6 9.75 0.375 0
3 5 -10.0 -0.625 0
4 5 7.50 0.625 0
5 5 1.25 0.625 0
6 5 -16.25 -0.625 0
7 6 -10.50 -0.750 0
1
A B
C
D E
1
1/5
A B C
D E
1/5
t
t
H. Hamano, 問題解答 29
0458.0240
11,0sincos
5
1:0 44 NNRV A
3) 節点 B: 104.048
5
sin,0sin 66
BB
RNNR
0625.048
3cos,0cos 6262 NNNN
4) 節点 E: 104.048
5,0sinsin 6565 NNNN
(6)
4/3c o s)90sin(sin,5/4sin)90cos(cos
6.05/3cos,8.05/4sin,0
BA RR
1) 021 NN
2) 節点 B: 208.024
5
sin
6/1,0sin
6
166
NN
125.08
1cos,0cos 6262 NNNN
3) 節点 E: 2 0 8.048
5,0sinsin 6565 NNNN
250.04
1cos)(,0coscos 567657 NNNNNN
4) 節点 C: 150.020
3
6
1
5
3
5
1
5
4
4
5,0
6
1sin
5
1sinsin 5454
NNNN
以上をまとめる.
部材 l 3N 4N 5N
1 6 0.609 -0.063 0.0
2 6 0.0 0.063 -0.125
3 5 0.508 0.104 0.0
4 5 -0.508 0.046 -0.150
5 5 0.508 0.104 -0.208
6 5 0.0 -0.104 0.208
7 6 0.609 -0.125 0.250
1/5
1/5
1/6 1/6
A B 1
D
E
C
2
H. Hamano, 問題解答 30
20. トラスの影響線
[問題 20.1]
(1) ハウトラスの影響線.
6λ
4 1 2 3 5
RA
1′ 2′
h
U2
D3
L3
RB
RA-line
RB-line
U2-line
D3-line
L3-line
θ A
B
3′ 4′ 5′
V2
V2-line
①
①
+
+
1
1
+
1
+
+
図 8.24
H. Hamano, 問題解答 31
(2) プラットトラスの影響線.
6λ
4 1 2 3 5
RA
1′ 2′
h
U2
D3
L3
RB
RA-line
RB-line
U2-line
D3-line
θ A B
3′ 4′ 5′
V2
①
+
+
1
+
1
+
+
V2-line
L3-line
①
図 8.25
H. Hamano, 問題解答 32
(3) ワーレントラスの影響線.
U2
D3 L3
RA-line
RB-line
U2-line
D3-line
L3-line
8λ
4 1 2 3 5
RA
6 7
RB
θ A B
V3
V3-line
1′ 3′ 2′
①
+
+
+
+
+
①
1
1
1
図 8.26
H. Hamano, 問題解答 33
(4) 曲弦トラスの影響線.
D2-line
b
alDlxDx
xaal
xl
bxaaR
bDbDxaaR
M
x
Dlxb
aDx
l
xl
b
aR
b
aDbDaR
M
lx
AA
AA
22
22
O
22
22
O
:,0:0
)(1
)(11
,0)(1
0
0
0:,:0
,0
0
2
これを描くには,図 8.27(c)において,点 Bと点 Aで-a/bの大きさの点 Aをとり, AB を O′まで
延長する.そして O′から点 A に引いた線を延長して,区間 2-4で修正する
a
1
4
3
O L2
D2
B
A
U2
b
h
N
P
h1
①
① 2
5
h2
l/4
l/2
P=1 x
RA=(l-x)/l
U2-line
D2-line
L2-line
+
+
O′
P=1
図 8.27
(a)
(b)
(c)
A
l
H. Hamano, 問題解答 34
(5) 曲弦トラスの影響線.
D1-line:
0:,:0,,0:0
2
:,0:0,11
,0)(1:0
0
1111O
1111O
Dlxb
aDx
l
xl
b
aaRDbDaRM
lx
b
alDlxDxx
l
a
bDbDxaaRM
x
AA
A
V2-line:
0:,:0,,0:0
3
:,0:0,11
,0)(1:0
20
2222O
2222O
Vlxa
aVx
l
xl
a
aVaVaRM
lx
a
alVlxVxx
l
a
aVaVxaaRM
x
A
A
V-lineを描くには,点 A上で-a/bの大きさをとり,点 Bで 0の線分を,O′まで延長する.そして
O′から点 A に引いた線を延長して,区間 2-4で修正する.
a
O
L3-line
b
h MO
①
①
x
RA=(l-x)/l
U1-line
D1-line
+
+
O′
6@3m=18m
P=1
h2=4m
h3=4.5m 1′
2′ U1
D1
L3
V2
L2
A
B 1 2 3
h1=3m
h3
h2 h1
P=1
O′
V2-line
a′
+
図 8.28
H. Hamano, 問題解答 35
(6) Kトラスの影響線.
RA=17kN,RB=15kN
B A
6@4m=24m
P1=10kN
h=6m
1 2
3
1′ 2′
3′
P2=4kN P3=8kN
P4=2kN
P5=8kN
4′ 5′
4 5
U3
D2
D2′
V2′
V2
L3
V3
①
①
②
②
D3′
D3
③
③
RA-line
RB-line
U3-line
D3-line
L3-line
V2-line -1/2
+
+
1
1
+
1
+
+
-8/6
5/6
8/6
図 8.29