Guzman Ozamiz Miguel - Los Pitagoricos

8/20/2019 Guzman Ozamiz Miguel - Los Pitagoricos

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LOS PITAGORICOS MIGUEL DE GUZMAN OZAMIZ

LOS PITAGÓRICOS

MIGUEL DE GUZMAN OZAMIZ

Catedrático de la Universidad Complutense -1986

ORIGENES DEL PITAGORISMO

El nacimiento y la pervivencia del pitagorismo es uno de los fenómenos másinteresantes en la historia de la ciencia y de la cultura en general. urgió! sedesarrolló y se e"pandió como un modo de vida religioso. u arma#ón intelectualconsistió en una visión del universo como un cosmos! en contraposición al caos!es decir como un todo ordenado y organi#ado de acuerdo con leyes ase$ui%les ala ra#ón humana. El mismo impulso religioso conduc&a hacia la %'s$ueda ycontemplación de la armon&a intelectual implantada en este universo como

paradigma de conducta humana y como camino y m(todo de elevación espiritual!en %'s$ueda de las raices y fuentes de la naturale#a.

En nuestra cultura actual, fuertemente impregnada por elespíritu cientíco, que acepta esta cosmovisión de fondo comobase implícita e indiscutida, transmitida en sus líneas generalesa través de los siglos desde las mismas raíces pitagóricas, elbrillo de la idea fundamental de la racionalidad del universo senos presenta apagado y desgastado por la costumbre. Laarmonía de las esferas no es para nosotros más que el constante

ruido de fondo que escuchamos en nuestro quehacer racional.

ero el mundo del siglo !" en que a itágoras le tocó vivir eramuy distinto. Las invasiones persas habían apro#imado hacia losgriegos las milenarias culturas orientales con su abigarradoespíritu religioso y su actitud mística y contemplativa, queoriginaban una especial forma de racionalidad. El espíritu

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religioso oriental no buscaba, ni busca, su camino hacia lacomunión con lo divino a través de la contemplación racional deluniverso, sino más bien mediante la negación de la b$squedamisma de la ra%ón, hacia formas de comunicación en %onas másinternas del espíritu. ero &unto con esta vena mística del

espíritu, la cultura oriental había reali%ado admirablesconquistas de la ra%ón, plasmadas, por e&emplo, en losdesarrollos astronómicos y aritméticos de los babilonios más deun milenio antes de que itágoras naciese. 'al ve% una de lasra%ones profundas del hondo enrai%amiento del movimientopitagórico en la cultura griega y en su heredera la culturaoccidental en que hoy vivimos, consistió en el acierto deitágoras para unicar ambas tendencias, racional ycontemplativo(religiosa, al dar forma a lo que llegó a ser, mucho

más que una escuela de pensamiento, una forma de vida.

)itagoras. *a comunidad pitagorica. +eneraciones de

,atemáticos. lgunos fragmentos de la ensean#a pitagórica. *os pitagóricos del helenismo y de la era

romana. *os cuatro ,athemata. *a geometr&a de los pitagóricos. *a aritm(tica de los pitagóricos. rmon&a cient&fica de los pitagóricos. /igencia del pitagorismo.

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PITAGORAS

La gura de itágoras nos aparece coloreada y fuertementefabulada por la pluma de sus hagiógrafos tardíos )iógenesLaercio y orrio, del siglo """ d. de *., y "ámblico, del siglo "!.ero ya incluso en el siglo ! a. de *. +erodoto mismo presentaun itágoras mítico confundido con una gura tan fabulosa comoalmo#is, medio héroe, medio dios. - también la gura queristóteles dibu&a de itágoras en los fragmentos que seconservan aparece entre las brumas de la leyenda. Es lástimaque la obra que ristóteles dedicó a los pitagóricos, ba&o estetítulo, oi Pythagoricoi, no haya llegado hasta nosotros, pues sinduda con ella tendríamos una visión mucho más cabal delpitagorismo primitivo, aunque probablemente no mucho me&orsobre itágoras mismo.

Lo que sobre la vida de itágoras se sabe con relativaseguridad es lo siguiente. /ació en la isla de 0amos, &unto a1ileto, en la primera mitad del siglo !". 2ue hi&o de 1enesarco,tal ve% un rico comerciante de 0amos. robablemente via&ó aEgipto, 2enicia y 3abilonia. !olvió a 0amos durante la dictadurade olicrates 4567(5889. +acia 58: via&ó al sur de "talia y fundóen *rotona la fraternidad pitagórica. 1urió muy anciano en1etaponto.




e discute so%re los siguientes datos de su vida. o de su nacimiento 26334

Eratóstenes! 534 risto"eno7. Cronolog&a e"acta de sus viaes. u( sucedió con(l cuando los ciudadanos de Crotona e"pulsaron a los pitagóricos en 539. imurió violentamente o no en ,etaponto.

0e pueden distinguir tres etapas en su vida; la primera en elmundo griego, la segunda de via&es a 3abilonia y Egipto y latercera en lo que más tarde se llamó la 1agna <recia 40ur de"talia9, con un intermedio en 0amos entre la segunda y la terceraetapas.

oco se sabe de las dos primeras. "ámblico cuenta queitágoras visitó a 'ales en 1ileto, lo que cronológicamente esacorde y geográcamente muy posible por la pro#imidad entre0amos y 1ileto. 'ambién allí pudo conocer al lósofona#imandro personalmente. *omo su maestro se cita sobretodo a 2ere=ides de 0iros 4ristóteles, risto#eno, )icaiarcos9 aquien ristóteles caracteri%a como teólogo y taumaturgo.

0obre los via&es a >riente de itágoras e#isten muchasleyendas que sus biógrafos posteriores narran en detalle. ero elhecho de sus estancias en Egipto y 3abilonia aparece yaatestiguado en escritores mucho más antiguos como "socrates4"!.a. de *9, +erodoto 4! a. de *.9 y risto#eno 4"! a. de *9. orotra parte el parentesco de muchas de las ideas pitagóricasprimitivas, tanto matemáticas y astronómicas como religiosas,delatan claramente el fuerte in?u&o oriental y egipcio y se puedepensar con conan%a que pertenecen al acervo de ense@an%asiniciales de itágoras mismo.

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0eg$n algunas tradiciones, al volver itágoras a 0amos se lepidió que ense@ase sus ideas a sus propios conciudadanos. lparecer les resultó demasiado abstracto y su ense@an%a tuvopoco é#ito. Esto, &unto con la opresión del tirano olicrates, ledebió de conducir a tomar la decisión de emigrar.

En 58: itágoras se trasladó a la polis 4ciudad(estado9 de*rotona, fundación aquea del siglo !""" a. de *., en la parte surdel golfo de 'arento. Las colonias griegas del sur de "taliago%aban entonces de una gran prosperidad, sobresaliendo entreellas 0íbaris, famosa en el mundo griego por sus rique%as y suvida lu&osa. *rotona era su principal rival y vecina. llí llegóitágoras con un sistema de pensamiento más o menosperlado después de su larga e#periencia por >riente y Egipto.La ciudad le pidió que e#pusiera sus ideas y, seg$n la tradición,itágoras dirigió por separado cuatro grandes discursos a los

&óvenes, al 0enado a las mu&eres y a los ni@os. El contenido deestos cuatro discursos tal como ha sido transmitido por diversosconductos, está lleno de reconmendaciones morales de granperfección, derivadas fundamentalmente de la necesidad dea&ustar la conducta humana a los cánones de armonía y &uste%aque se derivan de la naturale%a misma de las cosas e ilustradascon elementos especícos de la mitología de los habitantes de*rotona. *omo consecuencia de este primer contacto surgió, al

parecer, no sólo en *rotona, sino en toda "talia un granentusiasmo por itágoras.

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)urante alg$n tiempo, muchos historiadores recientes hanconsiderado a los biógrafos posteriores de itágoras como pocomás que novelistas que pretendían e#clusivamente proponeruna imagen edicante del santo patrón del pitagorismo de sutiempo, tanto en su actividad como en su ense@an%a religiosa ycientíca. +oy e#iste una cierta tendencia, representada sobretodo por la obra reciente de van der Aaerden Die Pythagoreer 4B:C:9, que me sirve de pauta principal en mi e#posición, aconcederles una mayor verosimilitud, teniendo en cuenta que

ellos, muy probablemente, pudieron disponer de documentosantiguos, hoy perdidos, testimonios de tradiciones mucho máscercanas a los orígenes del movimiento pitagórico.

* C;,U<=>> )=?+@A=C. +E<EAC=;<E >E

,?E,B?=C;.

*os ciudadanos de Crotona propusieron! al parecer! a )itágoras $ue continuasesu la%or de formación moral e intelectual de óvenes y adultos. *os esfuer#os de)itágoras se de%ieron de centrar! en lo $ue concierne a la formación personalcompleta! en los óvenes a $uienes encontró más fle"i%les y con más capacidad

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de a%sor%er el esp&ritu pitagórico plenamente. )uesto $ue su sistema de pensamiento esta%a %asado en el descu%rimiento y contemplación de la armon&adel cosmos y a ello se ha%r&a de llegar muy fundamentalmente a trav(s de laintroducción en consideraciones cient&ficas! muy dif&ciles para los más adultos!ocupados en los asuntos de la ciudad! esta%leció de modo natural dos formas

distintas de ensean#a. s& es como e"plica =ám%lico 2/ita )yth. 887 la e"istenciaen la primitiva comunidad pitagórica de dos clases de miem%ros! los matemáticos2mathematioi! conocedores7 es decir los iniciados a $uienes )itágorascomunica%a los conocimientos cient&ficos a su disposición y los acusmáticos2aousmatioi! oidores7 $ue participa%an de los conocimientos y creencias! de los

principios morales! ritos y prescripciones espec&ficas de la hermandad! si %ien sinconocer en profundidad las ra#ones de su credo y su proceder. Esta distinciónresultó ser de enorme trascendencia en la evolución de la comunidad pitagórica.*os acusmáticos se constituyeron en custodios de las ensean#as de )itágoras ysu preocupación fue $ue (stas se conservaran tal como )itágoras las ha%&atransmitido. *os matemáticos se considera%an continuadores más %ien delesp&ritu de )itágoras! %asado en el conocimiento cient&fico! y puesto $ue esconnatural a (ste su propia evolución era claro para ellos $ue el conunto deconocimientos de )itágoras era suscepti%le de perfeccionamiento. Era natural $ueesta diversidad de pareceres ha%&a de conducir a la división de la comunidad conla desaparición de )itágoras y as& sucedió en efecto.

La distinción entre matemáticos y acusmáticos es transmitidapor m$ltiples canales. "ámblico es quien narra más por e#tensola división entre ellos y su narración parece haber sido tomadade la obra perdida de ristóteles sobre los pitagóricos. lparecer fue +ipaso el principal representante de losmatemáticos. 0e debió de ocupar con notable é#ito de haceravan%ar los conocimientos matemáticos. principios del siglo !45DD(7D9 entró en con?icto con los acusmáticos, ya que fue elprimero en ofrecer por escrito al p$blico en general Fel secretode la esfera de los doce pentágonosF 4"ámblico, !ita yth.779, encastigo de lo cual murió en un naufragio. El Fsecreto de laesfaera de los doce pentágonosF alude a cierta construcción

relacionada con el dodecaedro regular que los pitagóricosprimitivos deseaban mantener en secreto, como el grueso de sudoctrina en general. En otro lugar "ámblico mismo 4!ita yth.8G(8C9 cuenta que aquél que reveló Fla naturale%a delconmensurable y del inconmensurable a quienes no eran dignosde participar de tales conocimientosF, fue e#pulsado de lacomunidad. Los pitagóricos le erigieron una tumba como si para




ellos ya hubiera muerto. arece probable que fue +ipaso mismoeste persona&e que reveló por primera ve% la e#istencia delongitudes inconmensurables y precisamente a través de unestudio del pentágono regular como veremos más adelante."ámblico acusa a +ipaso de haberse atribuído el mérito de sus

descubrimientos, Fsiendo así que todos proceden de ElF, es decirde itágoras. 0e puede pensar ra%onablemente que +ipaso fueun gran matemático que efectivamente dió por primera ve% conla e#istencia de longitudes inconmensurables, es decir tales queuna no es un m$ltiplo de una parte de la otra, dando con ello altraste con la acariciada creencia de los pitagóricos primitivos deque todo debe estar regido por los n$meros enteros y lasproporciones entre ellos. La versión que "ámblico cuenta,acusando a +ipaso de plagio, proviene seg$n la con&etura de

van der Aaerden, del círculo de pitagóricos matemáticosanónimos entre 7D(6D de quienes la tomó ristóteles mismo.Estos pitagóricos fueron potentes matemáticos con la estrategiacom$n de atribuir a itágoras mismo sus descubrimientosmatemáticos.

H*omo pudo tener lugar el descubrimiento de +ipaso de losinconmensurablesI. En B:5 Jurt von 2rit% publicó un artículoimportante, The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum, nnals of 1athematics G 4B:59, 88(8G. )e

acuerdo con sus investigaciones se puede pensar que fue más omenos como sigue. Los pitagóricos primitivos estabanprofundamente familiari%ados con el pentágono regular. 0eg$nparece el emblema que les servía para reconocimiento mutuoera el pentagrama, es decir la estrella de cinco puntas formadapor las diagonales de un pentágono regular. En sus cincovértices solían colocar las letras de la palabra ugieia, salud. Lasra%ones de la especial veneración de los pitagóricos por estagura no nos es bien conocida, pero uno se inclina a pensar queen ella, al igual que en la tetra=tis, que luego e#aminaremos

más a fondo, encontraban armonías geométricas y numéricase#traordinariamente llamativas. Es fácil ver que todos losángulos que aparecen en la gura son m$ltiplos enteros del máspeque@o de entre ellos 4C8K8#6GK, BD7K6#6GK, BK#6GK,B7DK5#6GK9. arece natural que los pitagóricos se preguntaransobre la proporción en que se encuentran también lossegmentos que aparecen en esta gura.

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<o es dif&cil ver! siempre con los elementos $ue los pitagóricos del tiempode Dipaso ten&an a su disposición! $ue cada segmento de los di%uados está con el$ue es inmediatamente mayor e"actamente en la misma proporción! $ue es

precisamente la proporción los pitagóricos ten&an ya! como veremos más tarde endetalle! el proceso denominado antanairesis! o cancelación de uno y otro lado!$ue se corresponde geom(tricamente con el llamado algoritmo de Euclides parahallar el má"imo com'n divisor de dos n'meros.

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BM <eneración 456D(5DD9; itágoras. 8M <eneración 458D(7D9; +ipaso de

1etaponto, lcmeon. 6M <eneración 47D(6D9;

1atemáticos anónimos.

M <eneración 4D(DD9; 2ilolao, 'eodoro.

5M <eneración 4DD(6GD9; rquitas de 'arento.

Los matemáticos anónimos de la tercera generación debieronde constituir un grupo muy interesante del que ristóteles sehace eco con admiración. )e ellos habla como de los fundadoresde la matemática tal como se cultivaba en su tiempo, unamatemática bien adulta, rigurosa y ampliamente evolucionada.)e ellos decía ristóteles4seg$n "ámblico )e communi math. sci.C79 que Festiman mucho la e#actitud de la argumentación en lasciencias matemáticas, porque solo ellas poseendemostracionesF. 1ás adelante tendremos ocasión de e#aminarel fuerte impacto que de&aron en la geometría y en la aritmética,que quedó plasmado en los Elementos de Euclides.

2ilolao, de la M generación, fue de estilo grandilocuente yampuloso, sin mucho rigor matemático. 0u astronomía también

carece de rigor cientíco. *onocía y utili%aba los conocimientosmatemáticos, pero su lógica y su matemática resulta más bien?o&a.

ALGUNOS FRAGMENTOS DE LA ENSEÑANZA

PITAGÓRICA.

ARMONÍA DEL COSMOS

)ocos filósofos y muchos menos han sido los cient&ficos $ue hayan sa%idoencarnar sus ensean#as con elementos sensi%les con tanto acierto como)itágoras. *a famosa armon&a de las esferas de la ensean#a pitagórica primitiva

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era mucho más profunda $ue la mera conetura de la consonancia de las notas$ue los astros producen en su movimiento.

)ara )itágoras la visión fundamental consistió en $ue el universo es un cosmos!un todo ordenado y armoniosamente conuntado. El destino del hom%re consiste

en considerarse a s& mismo como una pie#a de este cosmos! descu%rir el lugar propio $ue le está asignado y mantener en s& y en su entorno! en lo $ue está de su parte! la armon&a $ue es de%ida de acuerdo con el orden natural de las cosas.

La armonía cósmica entendida en este sentido fueprobablemente una auda% conclusión de madure% a la queitágoras llegó a través de la observación de la congruencia desus consideraciones cientícas sobre n$meros, guras, notasmusicales, con las ideas orientales sobre el alma, los astros y ladivinidad.

Los n$meros constituían el arma%ón inteligible de las formasen la aritmética gurativa de los pitagóricos, construída por ellosmediante piedras 4psefoi, cálculos9. l mismo tiempo losn$meros desvelaban las proporciones que regían lasconsonancias musicales. H/o era natural ver en el n$mero elprincipio inteligible a través del cual el cosmos divino gobernadopor el espíritu manifestaba al hombre su armonía internaI.

0eg$n cuenta orrio 4!ita yth. 6D(6B9 y "ámblico 4!ita yth.G(GG9 en un pasa&e que toman de /icómaco de <erasa 4ca 5D(B5D d. de *.9, quien por su parte parece hacerse eco de fuentespitagóricas antiguas, itágoras Fdirigía su oído y su espírituhacia las sublimes consonancias del cosmos gracias a unainefable capacidad divina difícil de imaginar. *on ello oía yentendía él solo, seg$n e#plicaba, toda la armonía y el conciertode las esferas y los astros que en él se muevenF.

La m$sica era a la ve% entre los pitagóricos el símbolo de laarmonía del cosmos y un medio para lograr el equilibrio internoen el espíritu mismo del hombre.

EL JURAMENTO PITAGÓRICO

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Iao diversas formas se ha conservado una %reve fórmula pitagórica de dif&cilinterpretación $ue! seg'n es de suponer! conten&a algo muy cercano a la $uintaesencia del esp&ritu pitagórico. En la versión más corriente re#a as&J K<o! por $u(l $ue ha entregado a nuestras almas la Tetraktis! una fuente $ue contiene las

ra&ces de la naturale#a eternaK.

l parecer constituye un &uramento de secreto sobre elcontenido de la ense@an%a pitagórica, reservado a miembros dela comunidad e#clusivamente. FquélF, por supuesto, esitágoras mismo, a quien los pitagóricos primitivos no osabannombrar. La 'etra=tis, o cuaterna, consiste probablemente enlos n$meros B,8,6,, que con&untamente solían representar lospitagóricos en esta forma gurativa

x x x

x x x x x x x

LEn $u( sentido la ?etratis pod&a ser Kfuente de las ra&ces de la naturale#aeternaK4. eg'n parece! la ?etratis alude a la iluminación pitagórica inicial yfundamental so%re las proporciones num(ricas $ue rigen las notas musicales

consonantesJ el tono 21J17! la octava 21J07! la $uinta 2J07 y la cuarta 2:J7. ,ásadelante tendremos ocasión de considerar en detalle los e"perimentos musicalescon cuerdas $ue pusieron de manifiesto tales proporciones. En la e"periencia

pitagórica esta o%servación de%ió de constituir el est&mulo decisivo hacia lae"trapolación cuasim&stica de $ue el cosmos es en alg'n modo alcan#a%le atrav(s del n'mero. ?al ve# es en este sentido en el $ue se e"alta la ?etratis comofuente del conocimiento de las ra&ces de la armon&a de la naturale#a eterna! en elcual se %asa la e"istencia pitagórica.

0e puede uno preguntar; Hcuál fue el sentido del secreto

pitagórico que el &uramento solemnemente imponeI. Entonces,como hoy, el secreto compartido constituye un fuerte vínculo decone#ión de los miembros de una comunidad reducida. Lacomunidad pitagórica llegó a tener una complicada organi%acióninterna, con largos períodos de noviciado, pruebas de silencio yde robustecimiento del espíritu a través de e#perienciasencaminadas a fomentar la humildad y la asimilación paulatina

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del espíritu pitagórico. 1uchas de las doctrinas esotéricas de lospitagóricos se prestaban, fuera de su conte#to total, amalentendidos que era conveniente evitar. Las mismasense@an%as matemáticas cobraban probablemente un haloespecial colocadas dentro del ambiente de los iniciados

pitagóricos, constituyendo para ellos un soporte de su caminode vida con un signicado que va mucho más allá del carácterde mera curiosidad especulativa que podía constituir para losespectadores e#ternos. or otra parte, en la vida religiosa de la<recia contemporánea a itágoras abundabane#traordinariamente los misterios o ceremonias asimismosecretas de iniciación y puricación progresiva, con la nalidadde provocar en el espíritu del iniciado un estado de veneración,fervor religioso y entusiasmo místico, llevadas a cabo en una

parte oculta del templo. Los festivales nacionales de )elfos,Eleusis, incluían misterios celebrados con genuina e#altaciónreligiosa. arece muy probable que itágoras adoptase en latarea de formación de sus adeptos los métodos y técnicas quehabía observado ser de gran ecacia..

Este rasgo secretista de la ense@an%a pitagórica primitiva fuemitigado más adelante. El F/oF rotundo del &uramento aparececonvertido en sí en los !ersos ureos, una compilación deense@an%as pitagóricas escrita probablemente en el segundo o

tercer siglo después de *risto, teniendo a la vista fuentes muchomás antiguas, y destinada a e#pandir la doctrina pitagórica atodos los hombres.

+e aquí algunas de sus consideraciones con más probabilidadde pertenecer al pitagorismo primitivo.

B. F +onra ante todo a los dioses inmortales, como manda

la ley, 8. y observa el &uramento. +onra también a los nobleshéroes

6. y a los dioses del mundo inferior con las ofrendasprescritas.

...................................................

1:




:. ...... acost$mbrate a ser se@or

BD. ante todo de tu vientre, del sue@o, de la lascivia y de la

ira. /unca hagas nada vergon%oso ni con otros ni contigo

mismoN sobre todo avergOen%ate de tí mismo....

BC. +ay dolores que llegan a los humanos por designiodivino. or ello

B7. cuando la fatalidad te alcance, sopórtala y no la llevesmal.

B:. Pemédiala, cuanto de tu parte esté y piensa

8D. que el destino al que es bueno no le reserva mucho deella.

....................................................

D. /o de&es que el sue@o suave llegue a tus o&os

B. antes de que hayas repasado en tu mente por tres vecescada una de tus acciones del día.

8. FHEn qué he faltadoI HQué he hechoI HQué he omitidoIF. 6. *omien%a desde el principio y recórrelo todo. . 0i has hecho algo mal, arrepiénteteN si has hecho algo

bien, alégrate. G. Esto te conducirá por las huellas de la virtud divina. C. 0i, por quél que ha entregado a nuestra alma la

'etra=tis

fuente de la naturale%a eternaF.

INMORTALIDAD DEL ALMA

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orrio, en su biografía de itágoras 4!ita yth. B:9 transmiteun testimonio de )icaiarcos un alumno de ristóteles, queresume las ense@an%as de itágoras en estos cuatro puntos;

4B9Que el alma es inmortal.

489 Que las almas cambian su lugar, pasando de una forma devida a otra.

469Que todo lo que ha sucedido retorna en ciertos ciclos y queno sucede nada realmente nuevo.

49 Que hay que considerar todos los seres animados como

459emparentados entre sí.

La creencia pitagórica del origen divino del alma vienee#presada en los versos áureos cno las siguientes palabras;

G6. Fero t$ ten ánimo. )e naturale%a divina son losmortalesF.

Este aspecto de la losofía pitagórica aparece fuertemente

emparentado con la mentalidad del orsmo, un movimientoreligioso que, probablemente viniendo de oriente, se instaura en<recia empe%ando por 'racia en siglo !" a. de *. La <reciaanterior al siglo !" tenía en los libros homéricos un equivalentede las escrituras sagradas de otros pueblos. El pensamiento deun alma inmortal es totalmente a&eno al espíritu griego antiguo.ero al parecer esta situación cambió radicalmente a partir delsiglo !", muy posiblemente ba&o la in?uencia de multitud demovimientos religiosos que procedentes de ersia, de la "ndia@y@ de Egipto, se asentaron en el mundo griego. )e hecho el

panorama de creencias religiosas es totalmente diferente en elsiglo "! a. de *. El orsmo tenía a )iónisos como dios y a >rfeocomo su sacerdote, reuniendo cierto sentido místico con unaascética de puricación. El espíritu humano procede de otromundo y se encuentra como desterrado en este, encadenado alcuerpo por la sensualidad. E#iste un mundo de acá y otro demás allá y la vida debe vivirse como una fuga de lo terreno.

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1uy probablemente itágoras amalgamó elementos órcoscon otros, posiblemente de origen persa, como el del eternoretorno que aparece mencionado en el punto 6 de )iocaiarcos, ycon sus propias concepciones sobre la constitución del cosmos ysobre el modo concreto de puricación a través de la

contemplación, dando primacía al elemento racional ymatemático sobre el poético de aquellas cosmmogoníasprimitivas, para producir una síntesis que resultó profundamenteatrayente no sólo para sus contemporáneos, sino para losmuchos movimientos de inspiración pitagórica durante más dedie% siglos.

l parecer, en el modo de vida de los pitagóricos primitivos lametafísica como tal era poco importante. Lo queverdaderamente importaba era la vida pura, concretada en laarmonía del alma con el cosmos, que habría de concluir con laliberación del alma del círculo de reencarnaciones. Lo queimportaba era la elevación del alma al cielo de losbienaventurados tras la muerte.

LOS PITAGÓRICOS DEL ELENISMO ! DE LA ERA

ROMANA.

0eg$n aparece en diversas fuentes, aunque los pitagóricos de*rotona del tiempo de itágoras no constituyeron propiamenteun grupo político, sin embargo llegaron a adquirir una granin?uencia y poder en las decisiones de la ciudad. oco después

de que los crotoniatas destruyeran la ciudad de 0íbaris, su rival,en el a@o 5BD, se despertó en *rotona un movimientoantipitagórico de oscuro origen. En el a@o 5D: itágoras tuvoque e#iliarse en 1etaponto, donde murió el a@o 5DD. Lacomunidad pitagórica se rehi%o de nuevo más tarde en *rotona,perdurando allí hasta 5D. l parecer la concepción políticaderivada del pitagorismo era más bien de tipo aristocrático, lo

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que no casaba con los aires democráticos que en el siglo ! serespiraban en toda <recia con el comien%o de la era de ericles.En 5D la casa de los pitagóricos de *rotona fue incendiada ycasi todos los pitagóricos fueron muertos. símismo hubopersecuciones de pitagóricos en otras ciudades de "talia. 1uchos

emigraron a <recia, como 2ilolao, que se trasladó a 'ebas. )etoda "talia, tan sólo en 'arento sobrevivió una ?orecientecomunidad pitagórica presidida por rquitas.

En el siglo "! hubo diversos grupos de pitagóricos; losdiscípulos de 2ilolao en 2liusN el grupo de rquitas en 'arentoN losllamados FpitagoristasF, eque entre 67D y 68D vivieron entenas y de los que hacen mofa varias de las comedias deltiempo.

En el siglo """ a. de *. los pitagóricos de 'arento se dedicarona diseminar por escrito hacia varias ciudades griegas, enparticular le&andría, las ense@an%as pitagóricas.

El primer contacto importante del mundo romano con elpitagorismo tuvo lugar en el a@o 8D: a. de *. cuando *atón el1ayor fue huésped en 'arento durante una temporada delpitagórico /earco. llí se convirtió *atón en seguidor de lasense@an%as y modo de vida pitagóricos, como cuentan *icerón

en su diálogo *ato 1aior y lutarco en su !ida de *atón. +aciaB7D a. de *. se encontraron en Poma los llamados Libros de/uma, de ense@an%as pitagóricas, que, aunque no auténticos,demuestran el esfuer%o divulgador de los pitagóricos en elmundo romano. /o casaban bien las doctrinas religiosaspitagóricas, que entre otras consas prohibían las ofrendas deanimales, con los cultos ociales romanos y fueronconsiguientemente reprimidas y perseguidas. +acia el a@o CD a. de *. /igidio 2íguralo, un amigo de *icerón,fundó una comunidad pitagórica en Poma, dando así comien%o

al neopitagorismo. +acia el a@o 5D d. de *., en tiempos de*laudio, construyeron los pitagóricos una basílica, un lugar dereunión dise@ado de acuerdo con las necesidades de la vidapitagórica.

0e puede pensar con bastante seguridad que la tradiciónpitagórica fue conservada en 'arento con delidad desde los

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tiempos de rquitas 4hacia 67D a. de *.9 hastaapro#imadamente el a@o B7D a. de *. oco se sabe de lascomunidades pitagóricas desde B7D hasta el a@o CD a. de *. 'alve% en este período de más de un siglo tuvo el pitagorismo unavida más bien lánguida hasta que /igidio 2ígulo restauró el

fervor primitivo, ciertamente con caracteres mucho másromanos, orientando más la ascesis y puricación hacia elesfuer%o por la gloria de Poma que hacia la contemplación yempe@o cientícos, como el pitagorismo de los griegos. Eseparece ser el sabor del pitagorismo que aparece, por e&emplo,en el 0ue@o de Escipión, un fragmento del libro !" de la obra de*icerón )e Pepublica que muchos se@alan entre sus obras másinspiradas.

Lo cierto es que los pitagóricos de esta época romana noreali%aron en las ciencias matemáticas ninguna laborcomparable, ni de le&os, con las de sus antecesores griegos.

LOS CUATRO MATEMATA. En tiempos de )latón y ristoteles 2siglo =/ a. de C.7! y en virtud so%re todo de

los esfuer#os de los pitagóricos anteriores! el cuerpo de doctrina de las cienciase"actas ya esta%a plenamente codificado. *as ciencias esta%an constitu&das por los cuatro mathemata.

,athema es etimológicamente Klo $ue se aprendeK. *os cuatro mathemata!aritm(tica! geometr&a! astronom&a y m'sica constitu&an! por lo tanto! el sa%er por antonomasia. s& se e"presa ristóteles en uno de los fragmentos conservados!

so%re la relación de los pitagóricos con las ciencia e"actas 2,etaf&sica 985 %7! del$ue sealar( los párrafos más clarificadoresJ

F En este tiempo 4de Leucipo y )emócrito, segunda mitad dlesiglo "! a. de *.9 y ya antes se ocuparon los llamados pitagóricosde las ciencias matemáticas 4ta mathemata9. Ellos fueron losprimeros que cultivaron estas ciencias y, al introducirse en ellas,

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llegaron a la opinión de que los principios de estas ciencias sonlos principios de todas las cosas. - como los n$meros son pornaturale%a los primeros de entre estos principios y comopensaban ver en los n$meros muchas seme&an%as con lo que esy lo que ocurre, más bien que en el fuego, tierra y agua,

opinaron que una cierta cualidad de los n$meros era la &usticia,otra el alma y la ra%ón, otra la ocasión adecuada, etc. - comotambién veían que las propiedades y relaciones de la armoníamusical están determinadas por los n$meros y que todas lascosas están también conformadas seg$n los n$meros y que losn$meros son lo primero en toda la naturale%a, pensaron que loselementos de los n$meros son los elementos de todas las cosasy que el cielo entero es armonía y n$meroF.

unque ristóteles no enumera e#plicitamente cuáles son enconcreto las ciencias matemáticas, el uso com$n de su tiempo,como se puede ver también en latón, consideraba ba&o eltérmino mathemata la aritmética, geometría, astronomía ym$sica, si bien en las palabras de ristóteles citadas no aparecela geometría de modo tan e#plícito como las otras ciencias.Leyendo el relato completo de ristóteles se llega a laconclusión de que para él hay un diferencia fuerte entre lospitagóricos más antiguos 4los del tiempo de Leucipo y )emócritoy anteriores, es decir, los de los dos primeros tercios del siglo !9

y los más recientes, a los que alude hablando en presente4probablemente 2ilolao y sus disc$pulos, $ltima parte del siglo !y posteriores9. )e aquéllos se e#presa con sumo respeto, comode los fundadores de las ciencias e#actas. Los $ltimos soncriticados por introducir novedades mal &usticadas.

En lo que sigue trataré de e#poner brevemente algunos delos puntos más importante de las ense@an%as de los pitagóricosen <eometría, ritmética y 1$sica. La stronomía de lospitagóricos será tratada en otra e#posición de esta serie, por el

profesor R.1. 'orro&a, dedicada a la astronomía de los griegos. Enmi e#posición utili%aré como guía fundamental la obra ya citadade van der Aaerden, )ie ythagoreer.

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LA GEOMETR"A DE LOS PITAGÓRICOS.

*a principal fuente de nuestro conocimiento so%re la geometr&a de los pitagóricos se encuentra en el comentario de )roclo a los Elementos de Euclides.)roclo escri%e en leandr&a! muy aleado de )itágoras en el tiempo! pues viviódel :13 al :85 d. de C.! pero es seguro $ue tuvo ante sus oos la Distoria de la+eometr&a $ue Eudemo! un disc&pulo de ristóteles! escri%ió hacia el ao 03 a.de C. l comien#o de su comentario a los Elementos )roclo transmite unresumen de lo $ue fue la historia de Eudemo. ;tra fuente de considera%leimportancia es el mismo li%ro de los Elementos de Euclides. ealar( acontinuación algunas de las porciones de los elementos $ue parecen provenir defuentes pitagóricas! a u#gar por diversos testimonios y por ra#ones lógicasinternas.

LA !U#TAPOSICIÓN DE SUPERFICIES

Euclides, en ", , propone la siguiente construcción; F-u#taponer a un segmento dado, seg$n un ángulo dado, un

paralelogramo que sea igual 4en área9 a un triángulo dadoF. En su comentario a este e&ercicio escribe roclo;

FEstas cosas son antiguas, como arman los que siguen aEudemo,

y son invenciones de los pitagóricos, a saber la yu#taposición4parabolé9

de supercies, su e#ceso 4hyperbolé9 y su defecto 4elleipsis9.

)e ellas tomaron los más recientes los nombres y losaplicaron a las llamadas secciones del cono y las denominaron auna parábola, a la ota hipérbola y a la tercera elipse, mientrasque aquellos antiguos y divinos hmbres 4los pitagóricos9 dieronsignicado a estos nombres fundamentándose en laconstrucción de supercies planas sobre un segmentoF.

Los problemas de yu#taposición de supercies se puedenproponer e forma más sencilla, como lo hicieron los pitagóricos,omitiendo la referencia a paralelogramos, del siguiente modo;

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49 -u#taponer a un segmento dado 3 un rectángulo P quesea igual 4en área9 a un triángulo dado 4parabolé9.

2)ara nosotros! resolver yaG7

439 -u#taponer a un segmento dado 3 un rectángulo P igual aun triángulo dado 0 de modo que le falte un cuadrado Q4elleipsis9.

2)ara nosotros! resolver "yG! "MyGa7

4*9 -u#taponer a un segmento dado 3 un rectángulo P igual aun triángulo dado 0 de modo que le sobre un cuadrado Q4hyperbolé9.

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2)ara nosotros! resolver "yG! "-yGa7

*omo se ve, la solución de estos problemas equivale a la deuna ecuación de segundo grado. Los problemas sone#traordinariamente importantes y así Euclides los trata en tres

ocasiones diferentes.

La solución de los griegos procede como lo haríamosnosotros mismos, sólo que todo viene fraseadogeométricamente. 0i queremos resolver #y0, #(ya, loreducimos a y4ySa9 0, que se puede poner, completando elcuadrado yT8Say S4aU89T8 0S S4aU89T8, es decir 4ySaU89T8 0 S 4aU89T8. 0e trata ahora de construir un cuadrado de áreaigual a la de 0S4aU89T8 y así se obtiene ySaU8 y por tanto y.

'odas estas operaciones algebraicas son las que aparecen e

lengua&e puramente geométrico en la solució de Euclides. 0i,como opina van der Aaerden y otros muchos, es cierto lo queroclo arma sobre el origen pitagórico de estos problemas ysus soluciones, se puede pensar que los pitagóricos,probablemente ya los pitagóricos anónimos de la tercerageneración, si no antes, tuvieron conocimiento de una partebien substanciosa de los Elementos, en particular, por lo que deaquí se desprende, de "(5, "(C, ""(5, ""(G, ""(B, que contienenlas herrmientas para las soluciones de los problemas deyu#taposición de supercies.

POLIGONOS REGULARES

0




El libro "! de los Elementos ense@a cómo inscribir en uncírculo un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono, unhe#ágono y un pentadecágono. E#isten varios escolios es decir,notas marginales que se encuentran en diversos manuscritos,que atribuyen los teoremas de este libro "! a los pitagóricos.

0eg$n A. 3ur=ert en su obra Aeisheit und Aissenschaft 4p. 8G9,estos escolios proceden de Eudemo. Los teoremas que aparecenen el libro "! se presentan en un estilo unitario a e#cepción delque se reere a la construcción del pentadecágono. rocloe#plica que la intención de Euclides al introducir elpentadecágono en este conte#to estaba motivada en lasnecesidades de los astrónomos. +acia D a. de *. >inópides deQuios había determinado en 8K la inclinación de la eclíptica.Este ángulo es precisamente 6GDKUB5 y así coincide con el

ángulo correspondiente al lado del pentadecágono desde sucentro. 0eg$n parece por todos los indicios, los pitagóricosantiguos supieron cómo construir polígonos regulares. sí, contodos estros datos, se puede pensar co van der Aaerden y otros,que el libro "!, a e#cepción del $ltimo problema, sobre elpentadecágono, constituía una unidad de ense@an%a muchoantes de que Euclides la incorporara a su obra, incluso se puedecon&eturar que sea anterior al D a. de *.

)e todas las construcciones del libro "! la más interesante es

la que se reere al pentágono regular 4"!, BD(BB9. estaconstrucción se apoya de modo decisivo en la observación deque cada diagonal corta a otra en dos segmentos en proporciónáurea, o bien en lo que Euclides llama Fmedia y e#trema ra%ónF.Los pitagóricos tenían especiales ra%ones como hemos visto,para ocuparse intensamente del pentágono regular. La estrellaformada por las diagonales, el pentagrama, era su símbolo dereconocimiento y de deseo de salud. arece natural pensar enun intenso interés por construir e#actamente tal gura y porentenderla racionalmente a fondo. *omo hemos visto antes al

tratar de +ipaso, el dodecaedro regular, y por tanto elpentágono regular, entra@aban para los pitagóricos hechos muyfundamentales. En este conte#to pienso que se debe hacernotar que las consideraciones sobre la inconmensurabilidad dela diagonal con el lado que antes hicimos son independientes dela posibilidad de construcción efectiva del pentágono regular. /oes necesario pensar que +ipaso supiera construir el pentágono

0:




regular al modo de Euclides, aunque tampoco hay motivos parapensar que efectivamente no lo supo. or otra parte, laconstrucción de la Fmedia y e#trema ra%ónF que en Euclidesaparece en "", BB, no requiere otra cosa que la solución de unproblema de yu#taposición de supercies, que los pitagóricos

antiguos, seg$n hemos visto, dominaban totalmente. sí teniendo en cuenta estas cone#iones lógicas, se puede concluirque los pitagóricos conocieron la construcción de la ra%ón áureaque se propone en los Elementos "", BB.

<uiados por los testimonios históricos, por argumentos detipo lógico como los aducidos y por otros derivados del estilo depresentación y de congruencia interna, tanto van der Aaerdencomo otros historiadores llegan a la conclusión de que los libros"" y "! de los Elementos proceden completa o casicompletamente de los pitagóricos.

)el libro """, relativo a cuerdas y tangentes en el círculo y deángulos en el círculo, /euenschVander ha mostrado que unagran parte era conocida de los pitagóricos antiguos y de+ipócrates de Quíos. El libro " de los Elementos tiene un caráctermucho menos transparente. 0e puede aventurar que tal ve% lospitagóricos hayan formulado una a#iomática incipiente, pues losa#iomas B,8,6,C,7 son citados verbalmente 4estilo pitagórico9 en

los libros "" y "!, de procedencia más claramente pitagórica. Laproposición ", 8: sobre la igualdad de los ángulos determinadospor paralelas era conocida de los pitagóricos que demostraronmediante ella que la suma de los ángulos de un triángulo midedos rectos. *onocieron también ",C4el Fteorema de itágorasF9,pero la demostración que poseían era a través de la teoría deproporciones, que Euclides evita en este libro.

ara acabar con los puntos más sobresalientes de lageometría de los pitagóricos se puede decir que, de acuerdo con

un escolio al libro W""" de los Elementos, los pitagóricosconocieron de los cuerpos regulares, el cubo, el tetraedro y eldodecaedro. 0eg$n el mismo escolio, que parece muy verosímil,el octaedro y el icosaedro parecen haber sido estudiados por ve%primera por 'eeteto, en la primera mitad del siglo "! a. de *.

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LA ARITM$TICA DE LOS PITAGÓRICOS.

l estudiar la aritm(tica de los pitagóricos es necesario distinguir claramenteentre la aritm(tica cient&fica y la aritm(tica popular. *a aritm(tica cient&fica delos griegos se encuentra resumida en los li%ros /==! /=== y =N de los Elementosde Euclides $ue fueron escritos hacia el ao 33 a. de C. )or testimonioshistóricos se puede concluir $ue algunas porciones de los li%ros /== y /=== eso%ra de los pitagóricos. En particular el li%ro /== de%e de proceder de losmatemáticos anónimos anteriores a r$uitas y el /=== de los de la escuela der$uitas. lgunas porciones del li%ro =N! como la doctrina del Kpar e imparK es

anterior incluso a los pitagóricos anónimos y posi%lemente procede del tiempo deDipaso de ,etaponto 2hacia el ao 533 a. de C.7.

/o me ocuparé aquí de detallar especícamente el contenidode esta aritmética cientíca, pues esto será reali%ado en otraconferencia de esta serie, por el profesor lberto )ou, dedicadaa Euclides. 0ólo quisiera se@alar dos puntos particularmentenotables de la aritmética de los Elementos, de los cuales unocon seguridad es de procedencia pitagórica y el otro con granprobabilidad también.

El primero se reere a los llamados Fn$meros lado ydiagonalF. El segundo es el llamado Falgoritmo de EuclidesF parala obtención del má#imo com$n divisor de dos n$meros. Losn$meros lado y diagonal constituyen pares de n$merosformados recursivamente que servían a los pitagóricos paraapro#imar mediante fracciones, cada ve% con mayor e#actitud,la relación entre la diagonal y el cuadrado, es decir paraapro#imar la raí% de 8. )e esta forma se e#presa roclo en sucomentario al libro sobre la Pep$blica de latón;

FLa unidad, como origen de todos los n$meros, espotencialmente tanto lado como diagonal. 0e toman ahora dosunidades; una como unidad(lado y otra como unidad(diagonal yse forma un nuevo lado, a@adiendo a la unidad(lado la unidad(

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diagonal, y una nueva diagonal, a@adiendo a la unidad(diagonalel doble de la unidad(ladoF

El proceso de formación de los pares de n$meros lado ydiagonal prosigue de la misma forma. El nuevo lado es suma de

los n$meros lado y diagonal anteriores, la nueva diagonal es lasuma de la diagonal anterior y dos veces el lado anterior, esdecir;

L>e dónde proviene la e"traa idea de este proceso recursivo! pro%a%lementeel primero de tal naturale#a en la historia de la matemática4.

eg'n )roclo! los pitagóricos demostraron el siguiente teoremaJ

K i * y > son lado y diagonal de un cuadrado! entonces tam%i(n *F G*M> y

>FG>M0* son lado y diagonal de un cuadradoK

- roclo arma que la demostración de los pitagóricos de estapropiedad se reali%ó mediante la proposición "", BD de losElementos de Euclides, que representa la identidad que nosotrosescribiríamos así

0




48WS-98S-88W8S84WS-98

En efecto, si suponemos que WL, -) son lado y diagonal deun cuadrado, se tiene )88L8 y así substituyendo arriba ysimplicando -88W8, resulta

48LS)9884LS)98

es decir, 8LS) es diagonal del cuadrado de lado LS).

Es posible que la idea original de tal hilo de pensamiento y dedemostración esté implicita en el proceso de antanairesis con elque, seg$n >.3ec=er y otros 4*f. >.3ec=er, <rXsse und <ren%e

der 1athematischen )en=Veise, Jarl lber !erlag, B:5:N trad.esp. Pialp, B:G:9 se procedía originariamente a la demostraciónde la irracionalidad de raí% de 8. El proceso aparece muyclaramente sugerido por la siguiente gura;

i l1GEH y d1GEC son lado y diagonal de un cuadrado! entonces >CGl 0Gl1Md1 yCGd0Gd1M0l1 son tam%i(n lado y diagonal de otro cuadrado. El proceso de

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antanairesis es efectivamente la vuelta atrás del proceso de construcción de los pares de n'meros lado y diagonal. En realidad! desde el punto de vistamatemático es mucho más ra#ona%le pensar $ue el camino de las ideas fue elinverso! es decir! a fin de hallar la unidad com'n! si e"iste! capa# de medir altiempo lado l0 y diagonal d0! era natural su%straer de la diagonal el lado l 0!

o%teniendo as& CH y luego tratar de hallar la unidad com'n de CHGl 1 y >CGd0!restando CHGEHG>E de >C para o%tener as& ECGd1. l tratar de o%tener launidad com'n de ECGd1 y HCGl1 o%servamos $ue estamos en las condicionesiniciales pues d1 y l1 son diagonal y lado de un nuevo cuadrado. El proceso noaca%a nunca y esto viene a demostrar la no e"istencia de tal unidad com'n. *avuelta atrás de esta antanairesis aplicada al cuadrado fue pro%a%lemente lamotivación del m(todo de construcción de los n'meros lado y diagonal.

El proceso de antanairesis $ue hemos seguido no es otra cosa $ue la versióngeom(trica del algoritmo de Euclides para la o%tención del má"imo com'ndivisor de dos n'meros 2/==! 7. s&! tanto por la estructura lógica de los li%ros/== y /=== de los Elementos como por consideraciones históricas! parecera#ona%le concluir $ue los pitagóricos! en particular pro%a%lemente alguno de losmatemáticos anónimos del siglo / conoció y estructuró estos dos algoritmos deuna %rillante# y profundidad $ue a'n hoy d&a nos llenan de asom%ro.

La aritmética popular de los pitagóricos tenía otro sabortotalmente distinto del de estos reta%os de la aritméticacientíca que hemos e#aminado. 0u nalidad era hacerinteligible a todos las fascinantes propiedades de los n$meros.La principal fuente de nuestro conocimiento de esta aritméticaes la "ntroducción a la ritmética de /icómaco de <erasa 4ca.5D(B5D d. de *.9, obra que se e#tendió e#traordinariamente a

&u%gar por el gran n$mero de manuscritos 49 que de ella seconservan. En este traba&o aparecen por e#tenso la teoríagurativa de los n$meros, los n$meros triangulares, cuadradosrectangulares, pentagonales, etc. y se habla de las fabulosas ymísticas propiedades de ciertos n$meros en concreto.

ARMON"A CIENT"FICA DE LOS PITAGÓRICOS .

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*a armon&a! como hemos visto anteriormente! está en el cora#ón mismo del pitagorismo. *a m'sica era el m(todo de elevación y purificación del alma y al

mismo tiempo o%eto de contemplación intelectual $ue revela%a! con suscongruencias e"presa%les mediante relaciones num(ricas! la armon&a más profunda del cosmos. *a capacidad cuasimágica de la m'sica es elementoheredado por el pitagorismo de las corrientes órficas más primitivas. El análisiscient&fico de los sonidos armónicos es en cam%io rasgo muy espec&ficamente

pitagórico! $ue casi con toda seguridad se remonta al mismo )itágoras.

E#isten varias versiones sobre el modo concreto comoitágoras llegó a desentra@ar las relaciones numéricas entre lossonidos consonantes, es decir aquellos cuya producción

simultánea origina una sensación agradable en nuestro oído; eltono, la octava, la quinta y la cuarta. /icómaco de <erasa,<audencio y 3oecio hablan de la observación de itágoras de losdiferentes sonidos producidos en el yunque del herrero pormartillos de diferentes pesos. Yn martillo cuyo peso era como Gproducía el tono, otro con peso B8 producía la octava, otro conpeso : la quinta y otro de peso 7 la cuarta. itágoras volvió acasa, colgó tales pesos de cuatro cuerdas iguales y observó quese producían los sonidos consonantes correspondientes. Este esel e&emplo típico de una de esas historias cuya falsedad podría

haber comprobado un historiador con sentido crítico sin más quetratar de repetir la e#periencia. La frecuencia del sonidoproducido por una cuerda vibrante no está en proporción con latensión, sino con la raí% cuadrada de la tensión.

)iógenes Laercio propone a itágoras mismo como inventordel monocorde, no un instrumento musical, sino más bien unaparato cientíco para vericar la teoría musical utili%ado por lospitagóricos. <audencio e#plica pormenori%adamente ele#perimento más verosímil con el que itágoras comprobó ycuanticó su intuición genial de la cone#ión de la armoníamusical con los n$meros. itágoras tensó una cuerda musicalque producía un sonido que tomó como fundamental, el tono.+i%o se@ales en la cuerda, que la dividían en doce partesiguales. isó la cuerda en el G y entonces

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itágoras. /o hay pruebas concluyentes de tal armación, perosí se puede asegurar que esta teoría pertenece al pitagorismoprimitivo.

La armonía fue una ocupación constante de la escuelapitagórica en todas las etapas de su evolución. latón habíamanifestado su descontento con el carácter empírico tanto de laarmonía como de la astronomía de los pitagóricos. 'al ve% por suin?u&o se produ&o una curiosa fundamentación; a#iomática de laarmonía pitagórica, relatada por el astrónomo 'olomeo 4ca. B6Dd.de *.9 en su obra sobre armonía Los a#iomas puedene#presarse así;

B.( los sonidos musicales corresponden n$meros. losdel mismo tono el mismo n$mero, a los de distinto tono n$merosdistintos.

8.( Los n$meros correspondientes a sonidos consonantes secomportan entre sí como el numerador y el denominador de las

fracciones más perfectas aUb, que son aquéllas en que elnumerador es m$ltiplo del denominador, a nb, o bien aquéllasen que a sobrepasa a b en una parte de b, es decir abSbUn, yesta relación es tanto más perfecta cuanto más simple, es decircuanto más peque@o sea n.

6.( la octava, como más perfecta, debe corresponder larelación 8UB.

)e esta forma resulta por pura deducción lógica que a laquinta le debe corresponder 6U8 y a la cuarta U6.

)e entre los desarrollos ulteriores de la armonía cientíca delos pitagóricos se puede destacar la e#plicación,asombrosamente acertada, de la naturale%a del sonido como

0




una sucesión de percusiones en el aire, haciendo depender eltono del n$mero de percusiones que se producen por unidad detiempo, es decir, de la frecuencia. *on ello se e#plica de modonatural y e#acto la producción de sonidos siológica ypsicológicamente agradables, consonantes, en la cuerdas cuyas

longitudes se comportan como los n$meros más sencillos. Laspercusiones del aire producidas simultáneamente por unacuerda y la cuerda con la misma tensión, de longitud mitad, tonoy octava, llegan al tímpano de una forma representable en el e&edel tiempo de la manera siguiente;

0u composición da lugar a una estructura de percusionescomo la que sigue;

$ue es sencilla y previsi%le! armoniosa! para nuestro o&do.

En cam%io la producción de dos sonidos de frecuencias de percusión




ar%itrarias dará lugar a una estructura un tanto caótica $ue para nuestro o&doresulta opaca! no previsi%le! en una pala%ra! disonante. )ara mayor informaciónso%re estos pro%lemas profundamente interesantes puede consultarse el art&culode I.*. van de Qaerden! >ie Darmonielehre der )ythagoreer! Dermes 8 219:716.

%IGENCIA DEL PITAGORISMO .

*a estela dael pitagorismo en la historia del pensamiento cient&fico esincompara%lemente más %rillante y duradera $ue la de cual$uier otromovimiento. *a fe pitagórica en la tarea humana de entender el cosmos es lamisma $ue ha inspirado toda la actividad cient&fica a lo largo de más de 05 siglos.Es llamativo o%servar cómo a trav(s de un per&odo tan dilatado las armon&as delcosmos $ue impresionaron tan hondamente a )itágoras y a sus disc&pulos hansido capaces de seguir admirando y atrayendo la capacidad contemplativa de loshom%res de tantas (pocas distintas. )itágoras se apoyó en el sentimiento religioso

de la (poca para constituir una s&ntesis cient&fico-religiosa de una gran capacidadde pervivencia. )latón! con su profundidad filosófica y su incompara%lesensi%ilidad est(tica se hi#o veh&culo de transmisión de una gran porción deln'cleo de pensamiento pitagórico. El esp&ritu pitagórico! incluso con fervores $ueemulan los de las primitivas comunidades griegas! ha aparecido en momentos y

personas $ue representan verdaderos puntos de cam%io de rum%o en la evolucióndel pensamiento cient&fico. e puede pensar por eemplo en Repler! con suMysterium Cosmograpi!um y su "armo#i!e Mu#$i o en *ei%ni# con su ideade la Cara!teristi!a U#i%ersa&is.

En nuestros d&as! la confian#a pitagórica en nuestra capacidad para e"plorar yentender el universo es algo tan inmerso en el m(todo cient&fico $ue $uien lae"plicita! la pondera! se maravilla de ella y trata de e"plicársela! corre peligro deaparecer como un iluminado. *as posturas y e"plicaciones ante el hecho de laadecuación de las estructuras mentales del cient&fico con la realidad e"terior a la$ue se aplican pueden ser diferentes 2compárese Iour%ai en L'Ar!ite!ture $esMatemati(ues! E.). Qigner en Te U#reaso#a)&e E*e!ti%e#ess o*

:




Matemati!s i# te Natura& S!ie#!es! S. von <eumann en TeMatemati!ia#7 pero todas ellas pasan por la afirmación de tal acuerdo.

?ampoco faltan en nuestros d&as voces influyentes $ue $uisieran asignar a lamatemática un papel más profundo! en cierto modo semeante al $ue el

pitagorismo le seala%a. En 19 le fue concedida al matemático sovi(tico =.A.hafarevich el premio Deinemann! por la cademia de Ciencias de +Tttingen!

por el valor de su investigación matemática. Con tal motivo pronunció undiscurso interesante titulado Ko%re ciertas tendencias en el desarrollo de lamatemáticaK! pu%licado en ruso y en alemán en Sahr%uch der ademie der Qissenschaften in +Tttingen 19! -:0! y más tarde traducido al ingl(s en ?he,athematical =ntelligencer 219817 ! 180-18:. En (l hafarevich despu(s deargumentar $ue el o%etivo 'ltimo $ue ustifica la actividad matemática no puedeencontrarse en su mera aplica%ilidad! se remonta a los pitagóricos con lassiguientes pala%rasJ

K*a matemática como ciencia nació en el siglo /= a. de C. en la comunidadreligiosa de los pitagóricos y fue parte de esta religión. u propósito esta%a %ienclaro. Aevelando la armon&a del mundo e"presada en la armon&a de los n'meros

proporciona%a un sendero hacia una unión con lo divino. Hue este o%etivoelevado el $ue en a$uel tiempo proporcionó las fuer#as necesarias para un logrocient&fico del $ue en principio no puede darse parangón. *o $ue esta%ainvolucrado no era el descu%rimiento de un %ello teorema ni la creación de unanueva rama de la matemática! sino la creación misma de las matemáticas.

Entonces! casi en el momento de su nacimiento ha%&an aparecido ya a$uellas propiedades de la matemática gracias a las cuales las tendencias humanasgenerales se manifiestan más claramente $ue en ninguna otra parte. Esta es

precisamente la ra#ón por la $ue en a$uel tiempo las matemáticas sirvieron comomodelo para el desarrollo de los principios fundamentales de la cienciadeductiva.

En conclusión $uiero e"presar la esperan#a de $ue por esta misma ra#ón la

matemática ahora pueda servir como modelo para la solución del pro%lemafundamental de nustro tiempoJ re%e&ar u# supremo o)+eti%o y prop,sitore&igiosos para &a a!ti%i$a$ !u&tura& uma#a-.

Quede ahí la sugerencia de 0hafarevich. *on quienciertamente no se puede menos de estar de acuerdo es con ./.Ahitehead, que cierra así su capítulo sobre la matemática en lahistoria del pensamiento en su obra Ciencia y el Mundo

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Moderno; F!erdaderamente itágoras, con su fundación de lalosofía europea y de la matemática europea, la dotó con la másafortunada de las con&eturas Ho acaso fue un resplandor degenio divino que penetró hasta la naturale%a más íntima de lascosasIF.

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Guzman Ozamiz Miguel - Los Pitagoricos