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8/2/2019 Guide Pour Le Controle Vibrato Ire Des Planchers
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Lg Crb ErpeSectis Merct Brs
Gie pr le ctrôle vibrtire esplcers
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Ce gie prsete e mte ’vlti cmprtemet vibrtire es plcers i e grtirle crt es ccpts. Cette mte se bse sr lesrsltts ’e rcete recerce erpee(RFCS Prject "Vibrti lrs” [1]).
Le cmprtemet e l strctre est termi sivt estries selles bie ces.
©
C l a u d e V a s c o n i A r c h i t e c t e - C h a m b r e d e C o m m e r c e d e L u x e m b o
u r g
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Tble es mtières:
1. Introduction 3
2. Défnitions 7
3. Détermination des caractéristiques des planchers 11
4. Classifcation des vibrations 15
5. Procédure d’évaluation et diagrammes 19
Annex A Formules pour calculs manuels 31
Annex B Exemples 43
Support technique & parachèvement 52
Réérences 52
Vos partenaires 53
1
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1. InTRoduCTIon
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Les structures de planchers sont généralement
dimensionnées aux Etats Limites Ultimes (ELU)
ainsi qu’aux Etats Limites de Service (ELS) :
l Les Etats Limites Ultimes traitent de
la stabilité et de la résistance,
l Les Etats Limites de Service ont
essentiellement réérence aux vibrations
et par conséquent dépendent des
raideurs, des masses, de l’amortissement
et des mécanismes d’excitation.
Pour les structures de planchers minces,
comme celles en acier ou mixtes acier-
béton, les critères de service sont souvent
prépondérants dans le dimensionnement.
Ce guide aborde les points suivants :
l Déinition des vibrations acceptables par le
biais d'une classiication (chapitre 4) et,
l Evaluation de la réponse vibratoire du plancher
aux actions d’origine humaine en onction del’utilisation prévue du bâtiment (chapitre 5).
La igure 1 montre une vue générale de la
procédure d’évaluation présentée au chapitre 5.
Plusieurs caractéristiques dynamiques
du plancher sont nécessaires pour
l'évaluation du comportement vibratoire.
Ces caractéristiques et les méthodes
simpliiées pour leur détermination, sont
brièvement abordées dans l’annexe A.
L’annexe B reprend des exemples de calcul.
1. Itrcti
Le guide se repose sur des méthodes et des
recommandations simples pour juger de
l’acceptabilité des vibrations provoquées par
des personnes lors d’une utilisation normale.
Les mesures réelles eectuées sur site
après construction pourraient diérer des
valeurs évaluées, sans pour autant que ces
dernières puissent être remises en cause.
Les méthodes de calcul des vibrations de
plancher ont réérence aux vibrations de
résonance d’origine humaine, provoquées par
la marche de personnes lors d’une utilisationnormale du plancher du bâtiment. Les
vibrations provoquées par des machines ou
celles provenant d’un traic de véhicule, ou
autre ne seront pas traitées dans ce guide.
De même, ce guide ne peut pas être utilisé
dans le cas de passerelles pour piétons
ou toute autre structure n’ayant pas de
caractéristiques structurelles ou d’utilisation
similaires aux planchers de bâtiment.
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1. Itrcti
Figure 1: procédure d’évaluation(voir Chapitre 5)
Détermination des caractéristiquesdynamiques du plancher:
- Fréquence propre- Masse modale- Amortissement
(Chapitre 3 ; Annexe A)
Lecture de la valeur d’ OS-RMS90(Chapitre 5)
Détermination de la classe d’acceptabilité
(Chapitre 4)
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©
A r c e l o r M i t t a l P h o t o L i b r a r y
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2. déFInITIonS
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2. dfitis
Les défnitions ici présentes sontapplicables uniquement dansle contexte de ce guide.
Amortissement D L’amortissement est la dissipation d’énergie d’un système vibrant. L’amortissement total
consiste en
l L’amortissement dû aux matériaux et à la structure,
l L’amortissement dû au mobilier et aux initions (ex. aux-plaond),
l La redistribution de l’énergie dans l’ensemble du bâtiment
Masse modale M mod Dans de nombreux cas chaque mode d’un système comportant plusieurs degrés de liberté
peut être assimilé à un système à un seul degré de liberté
avec f est la réquence propre du mode considéré,
K mod est la raideur modale,
M mod est la masse modale.
La masse modale peut donc être interprétée comme la masse activée dans un mode vibratoirespécique.
La détermination de la masse modale est décrite au chapitre 3.
mod
mod
2
1
M
K f
π=
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2. diitis
9
Fréquence propre f Chaque structure a son propre comportement dynamique ace à la orme et la durée T[s] d’une
seule oscillation. La réquence f est l’inverse du temps d’oscillation ou période T ( f = 1/ T ).
La réquence propre est la réquence d’un système l ibre pouvant osciller sans excitation extérieure
continue.
Chaque structure a autant de réquences propres et de modes vibratoires (ormes d’oscillation)
associés que de degrés de liberté. Elles se distinguent généralement par les diérents niveaux
d’énergie créés par l’oscillation. La réquence propre (ondamentale) est celle qui correspond au
niveau d’énergie le plus bas. C’est donc celle qui sera activée de préérence en premier.
L’équation de la réquence propre d’un système libre à un degré de liberté est
où : K est la raideur,
M est la masse.
La détermination des réquences est décrite dans le chapitre 3.
OS-RMS90 RMS- Valeur ecace de la vitesse (verticale) sous l'eet de la marche d'une personne couvrant
90% de personnes marchant normalement.
OS: “One step” pas unique
RMS: Root Mean Square = valeur ecace de la vitesse
où : T est la période étudiée.
2
)(1
0
2
T
RMS dt t T
== ∫
M
K f
π2
1=
vvv
v
pointe
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©
S I N G L E S p e e d I M A G E - P e t e r V a n d e r w a r k e r - P a u l P e d i n i
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3. déTERMInaTIon dESCaRaCTéRISTIquES dES PLanChERS
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3. dtermities crctristieses plcers
Les caractéristiques des planchers peuvent être
déterminées soit par calcul simpliié soit par
analyse aux éléments inis ou encore par essai.
Puisque ce guide est une aide à la vériication
essentiellement pour les nouvelles constructions,
les procédures de test ne sont par abordées
mais seulement réérencées en [1].
Les diérents programmes de calcul par
éléments inis permettent des calculs
dynamiques et orent la possibilité d’obtenir
les réquences propres. La masse modale estaussi donnée par la plupart des programmes
par une analyse de la réquence.
Dans la pratique, il existe des diérences
d'un programme à l'autre au niveau des
résultats d'analyses par éléments inis, en
onction de la déinition des éléments, de la
considération de l'amortissement, et enin du
type de résultat donné par le calcul. De ce ait,
seulement quelques inormations générales
seront données dans ce guide à ce sujet.
Si les analyses par éléments inis sont utilisées
pour le dimensionnement des planchers
par rapport aux vibrations, il est à noter
que les calculs dynamiques (ELS) pourront
être très diérents des calculs aux ELU
car ils se limitent aux petites déormations
engendrées par les vibrations. Un exemple
typique est la diérence des conditions
limites en analyse vibratoire: Un appui peut
être considéré comme simple aux ELU mais
comme encastré lors d’un calcul de vibration.
Le module d’élasticité dynamique du
béton devrait être admis égal au module
sécant statique Ecm augmenté de 10%.
Les réquences et les masses modales
des plaques isotropes et orthotropes
ainsi que celles des poutres peuvent
être calculées manuellement par les
ormules contenues dans l’annexe A.
L’amortissement a une inluence importante
sur le comportement vibratoire d’un plancher.
La valeur de l’amortissement d’un système envibration peut être calculée indépendamment
des réquences et des masses modales en
considérant les valeurs données dans la Table
1. Ces valeurs prennent en compte l’inluence
de l’amortissement de la structure en onction
des diérents matériaux, de l ’amortissement
dû au mobilier et de celui dû aux initions.
L’amortissement D est obtenu par l’addition
des valeurs appropriées de D1 à D3.
Pour le calcul des caractéristiques dynamiques
du plancher, il est ortement conseillé
d’ajouter une raction réaliste des charges
d’exploitation (variables) à la masse même
du plancher (m, M). Suivant l’expérience
dans les bâtiments résidentiels et les
bureaux, les valeurs vont de 10 % à 20 %
des charges d’exploitation (variables).
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3. dtermiti es crctristies es plcers
Table 1: Calcul de l’amortissement
Type Amortissement(% de l’amortissement critique)
Amortissement de la structure D1
Bois 6%
Béton 2%
Acier 1%
Mixte acier-béton 1%Amortissement du mobilier D2
Bureau de 1 à 3 personnes avec cloisons 2%
Bureau sans armoires ni étagères 0%
Bureau ouvert “open space” 1%
Librairie 1%
Résidentiel 1%
Ecoles 0%
Hall de sport 0%
Amortissement des fnitions D3
Faux-plaond 1%
Faux-plancher 0%
Chape fottante 1%
Amortissement total D = D1 + D2 + D3
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4. CLaSSIFICaTIon dESVIBRaTIonS
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4. Clssiicties vibrtis
La perception des vibrations par les personnes
et le sentiment individuel de gêne dépendent
de plusieurs aspects. Les plus importants sont :
l La direction de la vibration, même
si dans ce guide uniquement la
vibration verticale est considérée,
l La posture des personnes comme
être debout, allongée ou assise ;
l L’activité dans laquelle la personne se
trouve est importante pour sa perceptiondes vibrations; Une personne travaillant
dans une usine de production perçoit dié-
remment les vibrations que celle qui est
assise, concentrée, dans un bureau ou bien
eectuant une opération chirurgicale,
l L’âge et l’état de santé des personnes
rencontrées sont aussi des acteurs
importants conditionnant le sentiment
de gêne causé par les vibrations.
La perception des vibrations est doncun problème individuel qui ne peut être
décrit que d’une açon qui réponde aux
attentes de conort de la majorité.
Il est à noter que ce guide se penche uniquement
sur les vibrations qui touchent au conort des
occupants et non à l’intégrité de la structure.
Ain d’obtenir une procédure de vériication
universelle pour les vibrations d’origine
humaine, il est recommandé d’adopter comme
mesure la valeur OS-RMS. Cette valeur cor-
respond à l’oscillation harmonique causée
par un pas de réérence sur le plancher.
Comme l’eet dynamique de la marche sur
un plancher dépend de certaines conditionscomme, par exemple, le poids de la personne, la
vitesse de la marche, le type de chaussure ou du
revêtement, etc, il est recommandé de prendre
comme valeur de réérence 90 % de OS-RMS
(OS RMS90). L’indice « 90 » indique que 90
pourcent de toutes les valeurs OS-RMS sont
couvertes par cette valeur.
La Table 2 donne des recommandations
en onction des diérentes classes
et de l ’utilisation du plancher.
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Table 2:Classiication des planchers et recommandations en onction de l’utilisation
Recommandé
Critique
Non recommandé
C l a s s e
L i m i t e i n f é r i e u r e
L i m i t e
s u p é r i e u r e
E n d r o i t s e n s i b l e
S a n t é
E d
u c a t i o n
R é s i d e n t i e l
B
u r e a u
R
é u n i o n
C o
m m e r c e
H ô t e l
I n
d u s t r i e l
S p o r t
OS-RMS90 utilisation du plancher
A 0.0 0.1
B 0.1 0.2
C 0.2 0.8
D 0.8 3.2
E 3.2 12.8
F 12.8 51.2
4. Clssiicti es vibrtis
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5. PRoCéduREd’éVaLuaTIon ETdIaGRaMMES
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5. Prcre’vlti etigrmmes
Une vue générale de la procédure d’évaluation
est montrée à la Figure 2. La méthode présente
3 étapes dans lesquelles la détermination des
caractéristiques dynamiques du plancher est la
plus complexe. C’est pourquoi des explications
générales sont données dans le chapitre 3 ainsi
que des méthodes simpliiées dans l’Annexe A.
Lorsque la masse modale et la réquence ont
été obtenues, la valeur de l’OS-RMS90 et la
classe d’acceptabilité du plancher peuvent être
déterminées grâce aux diagrammes suivants
(igures 4 à 12). Le choix du diagrammedépend de la valeur de l’amortissement du
plancher en condition réelle d’utilisation
(initions et mobilier compris), voir chapitre 3.
Les diagrammes ont été élaborés par l’institut
TNO Bouw, aux Pays-Bas dans le cadre de [1].
Détermination des caractéristiquesdynamiques du plancher:
- Fréquence propre- Masse modale- Amortissement
(Chapitre 3 ; Annexe A)
Lecture de la valeur d’ OS-RMS90(Chapitre 5)
Détermination de la classe d’acceptabilité(Chapitre 4)
Figure 2: Procédure d’évaluation
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5. Prcre ’vlti et igrmmes
21
Figure 3: Principe d’applicationdes diagrammes
Le diagramme s’utilise en repérant la
masse modale sur l’axe des abscisses et
la réquence correspondante sur l’axe des
ordonnées. La valeur OS-RMS et la classe
d’acceptabilité sont directement lues au
point de coordonnées correspondantes.
F r e q u e n c y
o f t h
e
f l o o r [ H z ]
Modal Mass of the floor [kg]
B
F
E
D
C
A
: signie une zone en dehors du domaine tolérable
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5. Prcre ’vlti et igrmmes
Masse modale du plancher (kg)
F r é q u e n c e p r o p r e d u p l a n c h e r ( H z )
Classiication pour un amortissement de 1 %
B
F
E
D
C
A
Figure 4: OS-RMS90 pour un amortissement de 1 %
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5. Prcre ’vlti et igrmmes
Masse modale du plancher (kg)
F r é q u e n c e p r o p r e d u p l a n c h e r ( H z )
B
F
E
D
C
A
Figure 5: OS-RMS90 pour un amortissement de 2 %
Classiication pour un amortissement de 2 %
8/2/2019 Guide Pour Le Controle Vibrato Ire Des Planchers
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5. Prcre ’vlti et igrmmes
Masse modale du plancher (kg)
F r é q u e n c e p r o p r e d u p l a n c h e r ( H z )
B
F
E
D
C
A
Classiication pour un amortissement de 3 %
Figure 6: OS-RMS90 pour un amortissement de 3 %
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5. Prcre ’vlti et igrmmes
Masse modale du plancher (kg)
F r é q u e n c e p r o p r e d u p l a n c h e r ( H z )
B
F
E
D
C
A
Figure 7: OS-RMS90 pour un amortissement de 4 %
Classiication pour un amortissement de 4 %
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5. Prcre ’vlti et igrmmes
Masse modale du plancher (kg)
F r é q u e n c e p r o p r e d u p l a n c h e r ( H z )
B
F
E
D
C
A
Classiication pour un amortissement de 5 %
Figure 8: OS-RMS90 pour un amortissement de 5 %
8/2/2019 Guide Pour Le Controle Vibrato Ire Des Planchers
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5. Prcre ’vlti et igrmmes
Masse modale du plancher (kg)
F r é q u e n c e p r o p r e d u p l a n c h e r ( H z )
B
F
E
D
C
A
Figure 9: OS-RMS90 pour un amortissement de 6 %
Classiication pour un amortissement de 6 %
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5. Prcre ’vlti et igrmmes
Masse modale du plancher (kg)
F r é q u e n c e p r o p r e d u p l a n c h e r ( H z )
B
F
E
D
C
A
Classiication pour un amortissement de 7 %
Figure 10: OS-RMS90 pour un amortissement de 7 %
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5. Prcre ’vlti et igrmmes
Masse modale du plancher (kg)
F r é q u e n c e p r o p r e d u p l a n c h e r ( H z )
B
F
E
D
C
A
Figure 11: OS-RMS90 pour un amortissement de 8 %
Classiication pour un amortissement de 8 %
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B
F
ED
C
A
5. Prcre ’vlti et igrmmes
Figure 12: OS-RMS90 pour un amortissement de 9 %
Classiication pour un amortissement de 9 %
Masse modale du plancher (kg)
F r é q u e n c e p r o p r e d u p l a n c h e r ( H z )
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annExE a FoRMuLES PouR unCaLCuL ManuEL
a.1 Frece prpre et msse mle es lles istrpes 32a.2 Frece prpre et msse mle es ptres 34a.3 Frece prpre et msse mle es lles rttrpes 35a.4 apprce pr le pis prpre pr l rece prpre 36a.5 apprce dkerley pr l rece prpre 37a.6 apprimti e l msse mle 38
31
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M ; M = βmod
Fréquence ; Masse modale
α
β λ Ratio = L/B λ
)(. 21571 λ α +⋅=
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.000.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
α
β λ Ratio = L/B λ
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
α
42 145521571 λ λ α ... ++=
42442922145571 λ λ α .... ++=
β λ
9.00
8.00
7.00
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
α
λ
λ
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.000.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
α
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
α
42 145521571 λ λ α ... ++=
42442922145571 λ λ α .... ++=
)(. 21571 λ α +=
)1(12 2
3
2 υ
α
−=
m
t E f
β
λ
β
β
rapport = l/b
rapport = l/b
pour tout
λpour tout
λrapport = l/bλpour tout
l
l
l
l
b
b
b
a.1 Frece prpreet msse mle eslles istrpes
Les tableaux suivants permettent le
calcul de la réquence propre (selon [2])
et de la masse modale de dalles pour
diérentes conditions d’appuis.
Les équations prennent pour hypothèses
qu’il n’y a pas de glissement latéral
possible sur le pourtour des dalles.
Conditions d’appui :
encastré rotulé
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3
2
α=
t E f ; M = βmod
α
β λ Ratio = L/B λ
)(. 21571 λ α +⋅=
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.000.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
α
β λ Ratio = L/B λ
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
α
Ratio = L/B λ
42 145521571 λ λ α ... ++=
42442922145571 λ λ α .... ++=
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
α
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.000.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
α
18.00
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
α
3
2
α=
t E f M ; M = βmod
Fréquence ; Masse modaleConditions d’appui :
encastré rotulé
E Module d’élasticité en N/m²
t Epaisseur de la dalle en m
m Masse suracique du plancher incluant
les nitions et une partie
représentative des charges variables
(voir Chapitre 3) en kg/m²
υ Coecient de Poisson
M tot Masse totale du plancher incluant les
nitions et une partie représentative
des charges variables en kg
42 4423321571 λ λ α ... ++=
42442722442571 λ λ α .... ++=
42 145133145571 λ λ α .... ++=
β
β
ββ 0.17
)1(12 2υ−m
λrapport = l/bλpour tout
λrapport = l/bλpour tout
λrapport = l/b
λpour tout
l
l
l
l
b
b
b
aee a Frmles pr clcl mel
33
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a.2 Frece prpre etmsse mle es ptres
Conditions aux appuis Fréquence propre Masse modale
l M µ410mod =4370
34
l
EI f
µπ .
=
l M µ450mod =420
32
l
EI f
µπ .=
l M µ50mod =4490
32
l
EI f
µπ .
=
l M µ640mod =4240
3
2
1
l
EI f
µπ .=
Table 3: Calcul de la réquence propre des poutres
.
.
.
.
l
l
l
l
La réquence propre d’une poutre peut être
calculée à l'aide des ormules de la Table 3 pour
diérentes conditions d’appuis:
E Module d’élasticité [N/m²]
I Moment d’inertie [m4]
µ Masse suracique m du plancher
(voir p. 33) multipliée par la largeur
d'infuence [kg/m]
Longueur de la poutrel
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y
x y
EI
EI
l
b
l
b
l m
EI f
+
+=42
41 212
π
aee a Frmles pr clcl mel
35
a.3 Frece prpreet msse mle eslles rttrpes
Les planchers orthotropes, comme par exemple
les planchers mixtes avec des poutres dans
la direction longitudinale et la dalle portant
transversalement, ont des raideurs diérentes
suivant la longueur ou suivant la largeur
( EI x > EI y). Voir Figure 13 ci-dessous.
La réquence propre d’une dalle orthotrope
simplement supportée sur les quatre cotés est :
Figure 13: Dimensions et axes de réérence d’une dalle orthotrope
Avec :
m est la masse suracique du plancher incluant les nitions et une
partie représentative des charges variables (voir Chapitre 3) en
kg/m²,
l est la longueur du plancher en m (dans la direction X),
b est la largeur du plancher en m (dans la direction Y),
E est le module d’élasticité en N/m²,
I x est le moment d’inertie pour la fexion autour de l’axe Y en m4,
I y est le moment d’inertie pour la fexion autour de l’axe X en m4
.
xxxxxxxx
z
y
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
l
b
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a.4 apprce pr lepis prpre pr vlerl rece prpre
L’approche par le poids propre est une
approximation très pratique dans les cas où
la déormée maximaleδmax due à la masse
m est déjà connue comme par exemple
suite à des calculs par éléments inis.
Cette méthode a pour origine l’équation
générale de la réquence :
La raideur K peut être déduite par l’hypothèse :
Avec
M est la masse totale du système
en vibration,
m/s2 l’accélération de la
pesanteur et
est la déormation moyenne
[mm].
La valeur approximative de la
réquence propre est
Oùδmax est la déormée maximale sous
charges relatives à la masse m.
M
K
f π2
1
=
43
g M K =
δ
81.9 g =
43 δ
][
18
3
4
2
1
2
1
max mm
g
M
K f
δmaxδππ===
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aee a Frmles pr clcl mel
37
a.5 apprce dkerleypr vler lrece prpre
L’approche Dunkerley est une approximation
pour calculs manuels. Elle est applicable lorsque
la nature des vibrations semble très complexe
mais elle permet de diviser le problème en
plusieurs modes simples. La réquence propre
pourra alors être déterminée en utilisant les
ormules décrites aux paragraphes A.1 à A.3.
La Figure 14 montre un exemple d’un plancher
mixte avec deux poutres simplement appuyées
et une dalle béton libre aux extrémités.Le mode vibratoire escompté est divisé
en deux modes simples indépendants ; un
pour la dalle en béton, l’autre pour la poutre
mixte. Les deux ormes ont leur propre
réquence propre ( f 1 pour la vibration de la
dalle en béton et f 2 pour la poutre mixte).
Selon l’approche Dunkerley, la réquence
propre résultante f du système totale est:
...11112
3
2
2
2
1
2 +++= f f f f
Figure 14: Exemple de la décomposition des modes
Système initial :
Mode de la dalle béton :
Mode de la poutre mixte :
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a.6 apprimti e lmsse mle
Figure 15: Application de charges pour l’obtentiondu mode escompté (exemple)
mode escompté:
Application des charges:
La masse modale peut être interprétée comme
la raction de la masse totale d’un plancher qui
est activée lorsque ce dernier oscille dans un
mode spéciique. Chaque mode de vibration a sa
réquence propre et sa masse modale spéciique.
Pour le calcul de la masse modale, le mode
doit être connu et être décrit en onction
relative à la déormation maximale. Puisque
le mode ne peut être déterminé par un calcul
manuel, des approximations du premiermode seront généralement utilisées.
De même, les analyses par éléments inis
(AEF) sont souvent utilisées en alternative
au calcul manuel. Si les programmes ne
ournissent pas la masse modale comme
résultat de l’analyse modale, le mode de
vibration peut être obtenu par l’application de
charges poussant la dalle vers la déormation
du mode escompté, voir Figure 15.
Si le mode vibratoire du plancher
peut être approché par une onction
normalisée δ(x,y) (c.a.d. |δ(x,y)|max =1,0)
la masse modale correspondante se
traduit dans l’équation suivante par:
Avec
µ est la distribution des masses
δ(x,y) est la déformée verticale au point x,y
Cette équation devient lorsque le
mode est calculé par AEF:
Avec
δi est la déormée verticale au nœud
i (relative à la déormée maximale)
dM i est la raction de masse représentée
au nœud i
Si la onction δ(x,y) représente la solution exacte
pour le mode vibratoire, l’équation décrite ci-dessus conduit alors à la masse modale.
dF y xM F
∫ = ),(2
mod µ ∑=i
ii dM M 2
modδ δnœud
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aee a Frmles pr clcl mel
39
Les eemplessivts illstret esclcls mels el msse mle
Exemple 1:
Dalle simplement appuyée surquatre cotés, ~
l approximation du premier mode de vibration:
l distribution de la masse
l masse modale
=
y x l
y
l
x y x
ππsinsin),(
y x l l
M =µ
4
sinsin),( 222
mod
y x y x F
M
dydxl
y
l
x
l l
M dF y xM
=
== ∫
ππµ
xl yl xl yl
01,(max
= y x .
δ
δ )
δ ∫ ∫ 0 0
l y l x
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Exemple 2:
Dalle simplement appuyée auxquatre cotés, l x<<l y
l approximation du mode ondamental de vibration:
1. et
2.
l distribution de la masse
l masse modale
20 xl y ≤≤ : y
x y l y
l l ≤≤−
2
=
y x l
y
l
x y x
ππsinsin),(
22
x y
x l l y
l −≤≤ : 0.1sin),(
=
xl
x y x
π
y x l l
M =µ
01),(max
= y x .
01),(max
= y x .
= ∫ F
dF y xM ),(2
mod µ
−=
y
x
l
l M 2
4
+
= ∫ ∫ ∫ ∫
−= l
l
l
x
y
y x y x
dydxl xdydx
l y
l x
l l M x
x
x sinsinsin20
22
0
2
0 0
22 y πππ = y
xl yl
xl xl 2 2
l x
2l
δ
δ
δ
δ
δ
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aee a Frmles pr clcl mel
41
Exemple 3:
Dalle portant dans une seule directionentre poutres, dalle et poutressimplement appuyées
l approximation du mode fondamental de vibration:
avec
δx = déormée de la poutre
δ y = déormée de la dalle considérant la
déormée des appuis (c.à.d. ladéormée de la poutre) comme nulle
δ = δx +δ y
l distribution de la masse
l masse modale
+
=
y
y
x
x
l
y
l
x y x
π
δ
δπ
δ
δsinsin),(
y x l l
M =µ
xl
yl
01),(max
= y x .
+
+=
22
228
2 δ
δδ
πδ
δδ y x y xM 2
+
== ∫ ∫ ∫
2
2
mod sinsin),( πδδπ
δδµ l l
y
y
x
x
y x F
dydxl y
l x
l l M dF y xM
x y
0 0
δ
δ
δ
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annExE B ExEMPLES
B.1 dlle fligre (pr-lle) vec ptre celllire aCB mite (bâtimet e bre) 44B.1.1 descripti plcer 44B.1.2 dtermiti es crctristies ymies plcer 47B.1.3 Evlti 47B.2 Bâtimet e bre à 3 ive 48B.2.1 Itrcti 48B.2.2 descripti plcer 48B.2.3 dtermiti es crctristies ymies plcer 50B.2.4 Evlti 51
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B.1 dlle iligre (pr-lle)vec ptre celllire aCBmite (bâtimet e bre)
Dans ce premier exemple de bureaux ouverts
dits « open space », le comportement d’un
plancher coulé sur pré-dalles avec aux-
plancher est contrôlé par rapport à la marche.
La dalle porte sur 4,2 m entre poutres.
L’épaisseur totale est de 160 mm. Les poutres
principales sont des poutres cellulaires
ArcelorMittal (ACB) agissant comme poutres
mixtes. Elles sont connectées aux poteaux
verticaux avec un assemblage d’encastrement.
La vue en plan est donnée à la Figure 18.
Pour une analyse vibratoire, il est suisant
d’étudier seulement une partie du plancher
(travée représentative du plancher). La partie
représentative du plancher à considérer dans cet
exemple est indiquée en hachuré à la Figure 18.
B.1.1 Descriptiondu plancher
Figure 16: Structure du bâtiment
Figure 18: vue en plan
Figure 17: Assemblagepoutre-poteau
y
x
1 . 0
1 . 0
4 . 2
1 6 . 8
2 3 . 0
3.2 4.2 1.0
4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 1.0 8.41.0 1 . 0
2 1 . 0
1 . 0
1 6 . 8
3 9 . 8
1 5 . 8
1 . 0
4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 1.01.0
31.4
[m]
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.
45
aee B Eemples
Pour les poutres de 16,8 m de portée, les
proilés ACB/HEB/HEM400 de qualité S460
ont été choisis, celles plus petites de 4,2 m
sont des ACB/HEM360, aussi en S460.
Les poutres transversales qui portent dans
la direction globale X sont négligées pour
les calculs, puisqu’elles ne contribuent pas
au transert des charges de la structure.
Figure 19: Section transversale
Les propriétés nominales des matériaux sont
Comme annoncé dans le chapitre 3, le
module élastique nominal du béton sera
augmenté pour les calculs dynamiques par :
Le mode de vibration escompté qui correspond
à la réquence propre de la partie du plancher
est dessiné à la Figure 20. De par le mode
représenté ici, on peut conclure, pour les calculs
dynamiques suivants, que chacun des champs de
la dalle se comporte comme simplement appuyé.
De même pour les conditions aux appuis de la
poutre principale, suivant le type d’assemblage
poutre-poteau montré à la Figure 17, il semble
évident que pour des aibles amplitudes
comme celles rencontrées dans l’analyse
des vibrations, la rigidité rotationnelle de
l’assemblage est suisante pour permettre
de considérer la poutre comme encastrée.
l Acier S460: E s = 210000 N/mm², f y = 460 N/mm²
l
Béton C25/30: E cm = 31000 N/mm², f ck = 25 N/mm²
²/100341.1, mm N E E cmdync ==
Figure 20: Mode escomptécorrespondant à lapremière réquencepropre de la partiedu plancher
1 6 0
HE400B
HE400M
2 8 7 . 9
5
3 0 4 . 0
5
5 9 2
7 6 . 9
5
4 2 2
9 3 . 0
5
[mm]
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Propriétés de la section Charges
Dalle:l Poids propre (avec 1.0 kN/
m² pour le aux-plancher):
l
Charge variable: généralement une chargevariable de 3 kN/m² est recommandée
pour les bâtiments de bureaux. La raction
de charge variable considérée pour le
calcul dynamique est d’environ 10 %
de la charge variable totale, d’où
Poutre principale:l Poids propre (avec 2,00 kN/m pour l’ACB) :
l Charge variable:
3 50.12510160 kN g =+××= −
3.00.31.0q =×=
00.230.222
2.40.5 g =+××=
22
2.43.0q =××=
2m
kN 2m
kN m
kN m
Dalle:Les propriétés de la dalle suivant:
la direction globale X sont :
Poutre principale:La largeur participante de la poutre mixte
est obtenue par l’équation suivante
en considérant le mode ondamental
de vibration décrit auparavant :
Les propriétés de la section nécessaires pour les
états limites de service (sans issuration) sont :
Aa,net = 21936 mm2
Aa,total = 29214 mm2
Ai = 98320 mm2
I i = 5.149 x 109 mm4
mmmm A xc
2
, 160=
mmmm I xc 45, 1041.3 ×=
l l bbb eff eff eff
88
002,1,
=
+=+=
m94.28
8.167.02 =××
dalle
dalle
dalle
poutre
1.26
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66
47
aee B Eemples
Fréquence propre
La fréquence propre est calculée selon l’approche
du poids propre. La déformée maximale totale
sera obtenue par superposition de la déformée
de la dalle et de celle de la poutre principale :
Avec
La déormée maximale est
La première réquence propre sera alors
obtenue (suivant l’Annexe A.4) par
Masse modale
La masse totale de la dalle est
Suivant l’exemple 3 du chapitre A.6, la
masse modale de la dalle se calcule par
B.1.2 Détermination des caractéristiquesdynamiques du plancher
Amortissement
Le rapport d’amortissement de la dalle acier-
béton avec aux-plancher se déduit de la
Table 1:
D = D 1 + D 2 + D 2 = 1 + 1+ 1 = 3%
Avec
D 1 = 1,0 (dalle acier-béton)
D 2 = 1,0 (bureau ouvert)
D 3 = 1,0 (aux-plancher)
Selon les caractéristiques modales
calculées ci-dessus, le plancher est de
classe C (Figure 6). La valeur OS-RMS90
espérée est d’environ 0,5 mm/s.
Suivant la Table 2, la classe C ait partie du
domaine recommandé pour les bâtiments
de bureaux, l’exigence est donc remplie.
B.1.3 Evaluation
δδδ +=
mm9.11041.334100384
420010)3.00.5(55
43
=×××
××+×=
−
δ
δ
mm.6.49.1 =+=δ
Hz f .7.6
181 ==
kg M 373972.48.1610)3.05( 2 =×××+=
kg M .6
.49.18
.62
.49.137397
222
22
mod =
××+
×
+×=
π
max
max
dalle
dalle
poutre
poutre mm10149.5210000384
16800)0.23(19
4=
××××+×= 1.26
4.7
6
6
7
0
7
6
74172
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B.2 Bâtimet ebre à 3 ive
La méthode procure, en général, des résultats
sécuritaires lorsqu’elle est appliquée à travées
simples utilisant le mode issu de la réquence
propre.
Cependant, dans les cas spéciaux où la masse
modale provenant d’un mode plus élevé a une
valeur suisamment basse, signiiant ainsi queles modes plus élevés doivent être considérés,
l’exemple suivant s’applique.
B.2.1 Introduction Figure 21: vue d’ensemblede la structure
Figure 22: Vue en plan du plancher avec désignation des sections en acier.
IPE600 IPE600 IPE600
IPE600 IPE600 IPE600
I P E 6 0 0
I P E 6 0 0
I P E 6 0 0
I P E 6 0 0
I P E 6 0 0
I P E 6 0 0
I P E 6 0 0
I P E 6 0 0
I P E 6 0 0
I P E 6 0 0
9 x 2.5
7 . 5
A B C D1
2
[m]
La portée du plancher de ce bâtiment, voir
Figure 21, est de 15 m de bord à bord. Les
poutres secondaires sont des IPE600 et ont
un entre-axe de 2,5 m. Les poutres primaires
de rives, de portée 7,5 m de poteau à poteau,
sont aussi des IPE600, voir Figure 22.
B.2.2 Descriptiondu plancher
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aee B Eemples
Figure 23: Compositiondu plancher avecCoradal 70
Propriétés des sections
Dalle (transversale aux poutres; E=210000 N/mm²): A = 1170 cm²/m
I = 20355 cm4/m
Poutre mixte(be = 2,5m; E=210000 N/mm²):
A = 468 cm²
I = 270089 cm4
Charges
Dalle (transversale aux poutres ; E=210000 N/mm²):Charge permanente
g = 3.5 kN/m² (poids propre)
g = 0.5 kN/m² (poids propre) g + g = 4.0 kN/m² (charge permanente)
Charge variable
q = 3.0 x 0.1 = 0.3 kN/m²
(10% des charges variables totales)
Poutre mixte(be = 2,5m; E=210000 N/mm²):Charge permanente
g = (3.5+0.5) x 2.5 + 1.22 = 11.22 kN/m
Charge variable
q = 0.3 x 2.5 = 0.75 kN/m
l Acier S235: E s = 210000 N/mm², f y = 235 N/mm²
l Béton C25/30: E cm
= 31000 N/mm², f ck
= 25 N/mm²
E c, dyn = 1.1 E cm = 34100 N/mm²
La dalle est une dalle mixte d’épaisseur totale
de 15 cm avec un bac acier COFRASTRA 70,
Figure 23. Pour plus d’inormations concernant
COFRASTRA 70, voir www.arval-construction.fr .
Les propriétés nominales des matériaux sont
Pour les calculs dynamiques (analyse
vibratoire) le module sécant élastique
sera augmenté selon le Chapitre 3
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Conditions d’appuis
Les poutres secondaires aboutissent sur des
poutres primaires qui sont des sections
ouvertes à aible raideur de torsion.
Ces poutres seront donc considérées
comme simplement appuyées.
Fréquence propre
Pour cet exemple, la réquence propre est
calculée suivant trois méthodes: la ormule
de la poutre négligeant la raideur transversale
du plancher, la ormule des dalles orthotropes
et la méthode du poids propre en prenant
en compte la raideur transversale.
l Application de l’équation de la
poutre (Chapitre A.2):
l Application de l’équation des dalles
orthotropes (Chapitre A.3):
B.2.3 Détermination des caractéristiquesdynamiques du plancher
400.1.4
27008921000
203553410
15
5.2
15
5.221
151220
1027008910210000
2
212
42
4
86
42
41
=×=
×
×
+
+
×
×××=
+
+=
−π
π
y
x y
EI
EI
l
b
l
b
l m
EI f
Hz .8 8
×
mkg mkN p /122081.9/100097.11/97.11 =×=⇒= µ
l
EI f
15122049.0
102700891021000032
49.0
324
86
4=
××
××××==
−
πµπ Hz 4.8
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aee B Eemples
l Application de la méthode du poids
propre (Chapitre A.4):
Masse modale
La détermination de la réquence propre a montré ci-
dessus que le comportement dynamique du plancher
peut être assimilé au modèle d’une poutre simple. Ce
même modèle sera aussi utilisé pour la masse modale.
Amortissement
Le rapport d’amortissement de la dalle acier-béton
avec aux-plancher se déduit de la Table 1:
Avec
D1 = 1,0 (dalle acier-béton)
D2 = 1,0 (bureau ouvert)
D3 = 1,0 (aux-plaond)
Selon les caractéristiques modales
calculées ci-dessus, le plancher est de
classe D (Figure 6). La valeur OS-RMS90
espérée est d’environ 3,2 mm/s.
Suivant la Table 2, la classe C ait partie du
domaine recommandé pour les bâtiments
de bureaux, l’exigence est donc remplie.
B.2.4 Evaluation
%3111321 =++=++= D D D D
kg l M 91501512205050mod =××== µ ..
δδδ +=
mm3.0100355.234100384
2500103.455
43=
××××××= −δ
mm9.1310270089210000384
1500097.1154
4
=×××
××=δ
mm2.149.133.0 =+=δ
Hz f .4
2.14
181 ==⇒ 8
max
max
dalle
dalle
poutre
poutre
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Réérences :
[1] European Commission – Technical Steel Research: “Generalisation o criteria or foor
vibrations or industrial, oce, residential and public building and gymnastic halls”, RFCS
Report EUR 21972 EN, ISBN 92-79-01705-5, 2006, http://europa.eu.int
[2] Hugo Bachmann, Walter Ammann: “Vibration o Structures induced by Man and Machines”
IABSE-AIPC-IVBH, Zürich 1987, ISBN 3-85748-052-X
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