Profesora: Corina Claro Collado Departamento de Ciencias Físicas y Matemáticas

GUIA 1 DE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

I) Resolver para x las siguientes ecuaciones

1)3

1

3

23 1

xx

2) )1(312 x

x aa

3) 0252·104 xx4) 122 552 xx

5) 12

5

4

25:

5

2 23

221

xxx

6) 1)4log()23log( xx

7) )13(log2)79(log 12

12 xx 8) 2 xx ee

9) )12(65572 32 xx10) xxx 311425 1553

11) 2142 xx ee 12)1236 xx

13) 13log279log 12

12 xx

14) 0366 2x32x3

15) 0)4log(4log1log xxx

16) 4log)1log(1log xxx

Profesora: Corina Claro Collado Departamento de Ciencias Físicas y Matemáticas

II) Problemas

1) La producción ( en millones de pies cúbicos por acre ) para un bosque a los

t años de edad viene dada por :

Hallar el volumen por acre cuando:

a) t = 20 años

b) t = 50 años

c) ¿Hacia qué valor tiende el volumen por acre cuando ha transcurrido mucho tiempo?

d) Grafique la función

2) El cuerpo elimina cierto fármaco a través de la orina. Supón que para una dosis inicial de10mg, la cantidad A(t) en el cuerpo , t horas después de administrada, está dada por

A (t) =t)8.0(10 .

a) Calcula la cantidad de medicamento en el cuerpo ocho horas después de la dosisinicial.

b) ¿Qué porcentaje del producto que permanece en el cuerpo se elimina cada hora?

3) Ley de Newton del enfriamiento. Según esta ley, la rapidez con que un objeto se enfríaes directamente proporcional a la diferencia en temperatura entre el objeto y el mediocircundante. La cara de una plancha doméstica se enfría de 125 a 100 en 30 minutos enun cuarto que permanece a una temperatura constante de 75. Por cálculo integral , latemperatura f(t) de la cara de la plancha , después de t horas de enfriamiento , estádada por

f(t) = 75)2(50 2 t .

a) Supón que t = 0 corresponde a la 1:00 p.m. y calcula, al décimo de grado más cercano,la temperatura a las 2:00, 3:30 y 4:00 p.m.

b) Traza la gráfica de f para 0 t 4

4) La variación de la masa de cierta cantidad de Carbono-14, a través del tiempo puedecalcularse , aproximadamente, aplicando la siguiente función:

teV48

7,6

Profesora: Corina Claro Collado Departamento de Ciencias Físicas y Matemáticas

M(t)= Mi · 0,886t donde Mi ( en gramos) es la masa inicial, t ( en miles de años) es eltiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono que queda comoconsecuencia de la desintegración radiactiva.

Se halló un fósil con 100 g. de carbono – 14 y se sabe que cuando estaba vivo, contenía200 g. de Carbono-14 ¿Cuántos años de antigüedad tiene?

5) Una famosa escala para medir la cantidad de energía liberada por un sismo es la escalade Richter, representada por la ecuación:

Log E = 1,5 R + 11, 8Donde E: energía liberada medida en ergios;

R: magnitud del sismo en grados de la escala de Richter.

a. Calcula la cantidad de energía liberada en un sismo de grado 7.R: 1020,8; 1022,3

b. ¿Qué aumento representa en la cantidad de energía liberada, el aumento de un gradoen la escala Richter? Si el aumento fuera de dos grados, ¿cómo aumenta la energíaliberada?

c. El terremoto de mayor magnitud registrado corresponde al ocurrido en 1960 en laciudad de Valdivia, el cual fue de 9,5 grados Richter. ¿Cuál fue la energía liberada poreste sismo?

R: E= 1026.05

6) La población de una ciudad en un instante t está dada por

P(t) = 1,1 · e 0,025t millones. ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento por año?

R: 2,53%

7) Un plato de lentejas con temperaturas de 80º C se pone en la mesa de un comedor que estaa 22 º C. Su temperatura después de x minutos está dada por, f(x) = 22 + 58e-0,051x º C.

¿Cuánto cada plato de lentejas en enfriarse hasta llegar a una temperatura de 37º C?

R: 26 min. Aprox.

8) La siguiente función de crecimiento corresponde a una población de mosquitos:

Profesora: Corina Claro Collado Departamento de Ciencias Físicas y Matemáticas

F (t) = 0,02

500.000

1 499· te t: tiempo en días

F: en cientos de mosquitos

a) ¿Cuál es la población en 50 días? , ¿Y en 300 días? ¿Y en 800 días?

b) ¿Cuántos días se demoran en haber aproximadamente 1400 mosquitos?

9) La población de cierta nación desarrollada se sabe que está dada (en millones dehabitantes) por la fórmula

P = 15 et02.0

En donde t es el número de años transcurridos a partir de 1960.

a) Determine la población en 1990

b) Determine la población proyectada para el año 2010, suponiendo que la fórmula es válidahasta entonces.

Despejar “t” en la fórmula.

10) Una compañía está ampliando sus instalaciones y tiene opción para escoger entre dosmodelos. Las funciones de costos son

C 1 (x) = 3.5 + log (2x+1) C 2 (x) = 2 + log ( 60x +105 )

Donde “x” es la tasa de producción. Encuentre la tasa x en la cual los dos modelos tienen losmismos costos. ¿Para valores grandes de x, cuál modelo es más barato?