Guia Tratamento Dados Experiment a Is

5/10/2018 Guia Tratamento Dados Experiment a Is - slidepdf.com

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Conteudo

1 Medidas Directas 31.1 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 O Sistema Internacional (SI) . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Multiplos e submultiplos das unidades . . . . . . . . . 3

1.2 Erro Instrumental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Craveira ou Paquımetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Micrometro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Erro Relativo e Precisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Erro de calibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7 Erros associados ao observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7.1 Erro de paralaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7.2 Medicao incorrecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7.3 Tempo de reaccao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8 Outros erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8.1 Variabilidade da quantidade a medir . . . . . . . . . . 111.8.2 Erro do metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9 Erros sistematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.10 Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.11 Erros Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.11.1 Media e desvio padrao da amostra . . . . . . . . . . . . 141.11.2 Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11.3 Arredondar numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.11.4 Erro padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.12 Precisao e exactidao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12.1 Precisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12.2 Exactidao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.13 Apresentacao do resultado obtido . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Determinacoes de grandezas fısicas a partir de valores medi-dos 28

2.1 Formula de propagacao dos erros . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Calculos e algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Exactidao de duas determinacoes experimentais . . . . . . . . 362.4 Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.2 Sımbolos a utilizar para os pontos experimentais . . . . 39

2.5 Linearizacao de equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1



3 Metodo dos Mınimos Desvios Quadrados 43

3.1 Coeficiente de correlacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Metodo dos mınimos desvios quadrados (MMDQ) . . . . . . . 44

3.2.1 Recta do tipo y = mx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.2 Recta do tipo y = mx + b . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Escolha da variavel a colocar no eixo das abcissas . . . . . . . 483.4 Erro associado aos parametros, m e b, da recta . . . . . . . . . 49

3.4.1 Recta do tipo y = mx . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4.2 Recta do tipo y = mx + b . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A Resumo do Guia de Tratamento dos Dados Experimentais 54

B Solucoes dos Exercıcios: 58

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As medidas efectuadas durante a realizacao experimental tem de ser regis-

tadas, apresentadas e analisadas. Os dados obtidos devem ser apresentadosnao so de forma a facilitar a sua leitura, mas tambem de forma a permitirobservar possıveis relacoes entre as quantidades medidas. Como iremos veri-ficar uma tabela e uma forma eficiente de preservar dados para uma analisefutura, ao passo que um grafico pode permitir a identificacao de uma relacaofuncional entre grandezas.

1 Medidas Directas

1.1 UnidadesNo cerne de uma experiencia existe uma medida e esta requer um sistema deunidades. E necessaria uma determinacao quantitativa. E para que estapossa ser comparada por observadores distintos estes tem que utilizar omesmo sistema de unidades. Um dos problemas no passado era precisa-mente a inexistencia de um sistema de unidades convenientemente definidoe de uso generalizado

• Dados experimentais, tabelas, graficos, calculos e conclusoes NAO TEMQUALQUER SIGNIFICADO a menos que sejam indicadas as unidades

utilizadas.Uma questao que devemos colocar quando nos preparamos para utilizar

um aparelho de medida e saber em que unidades e que esse aparelho mede.

1.1.1 O Sistema Internacional (SI)

As unidades fundamentais do Sistema Internacional (SI) sao apresentadas natabela 1

As outras unidades sao derivadas das unidades fundamentais. Por exem-plo, a unidade da grandeza velocidade, o metro por segundo (ms−1), e umaunidade derivada.

1.1.2 Multiplos e submultiplos das unidades

Em algumas medidas, utilizar um multiplo ou um submultiplo da unidadefundamental pode ser mais conveniente (Tabela 2).

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Quantidade Nome da Unidade Sımbolo

massa quilograma kgcomprimento metro mtempo segundo scorrente electrica ampere Atemperatura kelvin Kintensidade luminosa candela cdquantidade de substancia mole mol

Tabela 1: Unidades do Sistema Internacional

Potencia de 10 Prefixo Sımbolo Exemplo

10−15 fento f fs (fentosegundo ≡ 10−15s)10−12 pico p pF (picofaraday ≡ 10−12F)10−9 nano n nA (nanoampere ≡ 10−9A)10−6 micro µ µPa (micropascal ≡ 10−6Pa)10−3 mili m mJ (milijoule ≡ 10−3 J)10−2 centi c cm (centımetro ≡ 10−2 m)10+3 quilo k kV (quilovolt ≡ 10+3 V)10+6 mega M MW (megawatt ≡ 10+6 W)10+9 giga G GHz (gigahertz ≡ 10+9 Hz)10+12 tera T TΩ (teraohm

≡10+12 Ω )

Tabela 2: Potencias de base 10

1.2 Erro Instrumental

Apesar dos nossos melhores esforcos, o resultado de uma medicao e sempreafectado de alguma incerteza. Analisemos, por exemplo, a medicao efectuadacom uma regua de menor divisao igual a 1 mm. Se a medicao for realizada cui-dadosamente, e possıvel estimar o comprimento medido com uma resolucaode 0,5 mm. Sera, no entanto, improvavel que se consiga uma resolucao me-lhor do que esta. Podemos, por exemplo, decidir que o comprimento se situa

entre 15,50 cm e 15,60 cm. Escrevemos entao o comprimento do ob jecto como15, 55± 0, 05 cm. O sinal ± significa que acreditamos que o comprimento seencontra no intervalo de limites (15, 55− 0, 05) cm e (15, 55 + 0, 05) cm, ouseja, algures entre 15, 50 cm e 15, 60 cm.

Nao devemos ficar frustrados por nao conseguirmos efectuar uma medicaoabsolutamente precisa, isto e, sem qualquer incerteza.

• Uma medicao sem uma incerteza associada (erro) NAO EXISTE!

• O resultado de uma medida SO TEM SIGNIFICADO quando se faz

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acompanhar pela respectiva estimativa da incerteza.

Se a quantidade que estamos a medir nao varia, ou nao varia significativa-mente durante a medicao, e razoavel apresentar como incerteza da medicaoo Erro Instrumental, que e igual a

• metade da menor divisao da escala - Instrumento Analogico

• menor divisao da escala - Instrumento Digital

Note que existem excepcoes a regra dos instrumentos analogicos, comoiremos ver no caso da craveira, cujo erro instrumental e igual a menor divisao

da escala.O limite de resolucao do aparelho de medida representa a menor incerteza

que pode ser associada a uma medicao. Ou seja,

• o grau de incerteza de todas as medicoes esta limitada pelo aparelhode medida utilizado.

Se pretendermos medicoes mais rigorosas teremos que utilizar aparelhosde medida que tenham uma resolucao superior, ou seja, cuja menor divisao daescala de medida seja inferior. Por exemplo, podemos utilizar uma craveiraou um micrometro que tem, tipicamente, menores divisoes de 0,1 (ou 0,05)e 0,01 mm, respectivamente em substituicao de uma regua de menor divisaoigual a 1 mm.

1.3 Craveira ou Paquımetro

Este aparelho de medida e constituıdo por duas escalas: a escala principal ouregua (fixa) que esta graduada exactamente como uma regua (habitualmentede menor divisao 1 mm), e o nonio que desliza paralelamente a escala princi-pal. O nonio divide a menor divisao da regua num determinado numero, n,de subdivisoes. Na figura 1 o nonio tem 10 divisoes o que equivale a dizer que

estamos a dividir 1 mm em 10 subdivisoes. Ou seja a menor divisao destacraveira e 0,1 mm ou 0,01 cm.

A medida de um comprimento, d, e realizada do seguinte modo:

• lemos a distancia, dr, na escala da regua ate a primeira divisao imedia-tamente antes do zero do nonio. No caso da figura 2 temos dr = 0,60cm.

• verificamos, entao, para que divisao, k, do nonio existe uma coin-cidencia com a divisao da regua (na figura 2 - e a divisao 4 do nonio)

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Figura 1: Craveira ou Paquimetro

• a distancia medida e entao d = dr+ k × (menor divisao da escala). Nonosso exemplo d = 0, 60 + 4× 0, 01 cm = 0,64 cm. Atendendo a que oexperimentador escolhe sempre uma coincidencia entre as duas escalas,o erro instrumental da craveira considera-se igual a menor divisao daescala. A medicao efectuada exprime-se assim correctamente comod = 0, 64± 0, 01 cm.

Figura 2: Qual o valor de d ?

E de notar que nas craveiras existentes no laboratorio o nonio tem 20divisoes o que implica uma menor divisao igual a 0,05 mm (0,005 cm).

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Exercıcio

Tendo em conta a figura seguinte qual e o valor da distancia, d? (Noteque a figura nao esta a escala)

1.4 Micrometro

O Micrometro e outro aparelho de medida de precisao (figura 3). Este apare-

lho utiliza como escala movel um parafuso graduado que tal como na craveirasubdivide a menor divisao da regua horizontal (figura 4).

Figura 3: Micrometro

Nos exemplares disponıveis no laboratorio o parafuso contem 50 divisoessubdividindo, assim, 0,5 mm em 50 divisoes. O que significa que cada divisaoda escala do parafuso equivale a 0,01 mm (0, 5 mm ÷ 50 divisoes).

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Exemplo

Na figura seguinte apresenta-se uma medicao efectuada por um micrometro.

Figura 4: Qual o valor medido?

A distancia medida, d, e dada por d = dcilindro+ k ×(menor divisao daescala). Ou seja, d = 8, 000 + 11, 5× 0, 01 mm = 8,115 mm.

1.5 Erro Relativo e Precisao

No contexto das aulas laboratoriais vamos definir o erro relativo1 da grandezax±∆x, como

∆x

x (1)

Em geral o erro relativo exprime-se em percentagem∆xx

× 100 (%).

• Diz-se que a medida de uma grandeza e tanto MAIS PRECISA quantoMENOR FOR O SEU ERRO RELATIVO.

Nao existe, no entanto, uma regra que nos indique se um dado erro relativoe “bom” ou “mau”. A qualidade do valor medido vai ser determinada pela

1Note que em matematica o erro relativo tem outra definicao.

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utilidade que lhe vai ser dada e pela capacidade experimental da altura. Por

exemplo, uma determinacao de 50% e pior do que uma de 10%, mas se for aunica determinacao da quantidade em estudo e a melhor disponıvel.

Exercıcio LaboratorialMeca o diametro de um cilindro com uma fita metrica, uma craveira e

um micrometro tendo o cuidado de indicar o erro associado a cada uma dasmedicoes efectuadas. Qual das medicoes e mais precisa?

O erro instrumental nao e, no entanto, o unico erro associado ao processode medida.

1.6 Erro de calibracao

Um aparelho diz-se calibrado se ao medir a mesma grandeza que um instru-mento padrao obtem resultados iguais. E de notar que um aparelho descali-brado pode ter consequencias dramaticas ao afectar sistematicamente todasas medicoes com ele efectuadas.

ExercıcioComente a calibracao da regua (1) da figura seguinte. Assuma que a

regua que possui se encontra calibrada.

1.7 Erros associados ao observador

Ao efectuarmos uma medida pode acontecer que o proprio procedimento demedicao afecte o resultado obtido.

1.7.1 Erro de paralaxe

Um exemplo comum e o chamado erro de paralaxe que ocorre quando lemoso valor medido numa escala que se encontra afastada do objecto em causa oudo ponteiro do aparelho de medida. Ao olharmos para a escala de posicoesdiferentes obtemos valores diferentes. Nestas situacoes o observador deve

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colocar-se perpendicularmente a escala do aparelho de medida e alinhado

com a extremidade ou do objecto ou do ponteiro. Como e obvio,

• as medicoes efectuadas em aparelhos digitais nao sao afectadas por estetipo de erro.

1.7.2 Medicao incorrecta

O observador pode medir incorrectamente a quantidade em que esta interes-sado.

ExercıcioLarga-se uma esfera de uma dada altura e mede-se com um cronometro o

tempo que esta demora a atingir um sensor. Na figura 5, apresentam-se tresmedicoes do espaco percorrido pela esfera (h1, h2 e h3) efectuadas por variosgrupos de alunos da UA. Indique qual ou quais das medi coes sao correctas.Justifique sucintamente a sua resposta.

Figura 5: Estudo da queda livre de um corpo

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1.7.3 Tempo de reaccao

Um observador ao medir, com um cronometro, o tempo que um corpo demoraa percorrer uma dada distancia, habitualmente ve primeiro o corpo atingir oponto de referencia e so depois para o cronometro. Ou seja, os instantes daobservacao e da paragem do cronometro nao sao simultaneos. O tempo dereaccao e o tempo que decorre entre eles. Naturalmente o tempo de reaccaodepende quer do observador quer do estado em que este se encontra.

1.8 Outros erros

1.8.1 Variabilidade da quantidade a medir

Pode ainda acontecer que a quantidade a medir varie e esta variacao sejasuperior a menor divisao da escala. Por exemplo, pretende-se medir a tempe-ratura da agua que esta a ser aquecida dentro de um recipiente utilizando-seum termometro cuja escala tem uma menor divisao de 1C. A agua vai sendomisturada de forma a uniformizar a temperatura. Como consequencia vamosobservar uma grande variacao (quando comparada com o erro instrumental)nas temperaturas medidas. O termometro quer mede 34, quer 37 quer 35C. Apresentar o erro da nossa medicao como 1C e obviamente subestimar aincerteza que afecta a medicao. Nesta situacao e conveniente utilizar o bom

senso para decidir qual sera um valor razoavel para a incerteza. Note-se quenao existe uma regra bem definida neste tipo de situacoes, cada caso tera deser analisado individualmente. Por exemplo, se estimarmos a incerteza naleitura como menor do que 3C e maior do que 1C o bom senso implica aescolha de um compromisso entre estes dois valores. Neste caso poderıamosoptar por considerar que o erro que afecta as medicoes e de 2C. Note quedevemos nao so ter o cuidado de discutir o compromisso escolhido, comoo de transmitir esta informacao a um possıvel leitor dos nossos resultados,de modo a que este possa perceber as nossas opcoes e, consequentemente,critica-las.

No caso de podermos repetir a medida, existem outras tecnicas para es-timar a incerteza que realmente afecta a medicao, como veremos a frente.Ou seja, para ter uma ideia da variabilidade dos valores medidos devemos,sempre que possıvel, efectuar mais do que uma medic ao da quantidade emestudo.

1.8.2 Erro do metodo

Muitas vezes ao analisarmos um fenomeno fısico atraves de um dispositivoexperimental fazemos aproximacoes. Por exemplo, ao estudarmos a queda

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livre de um corpo no laboratorio e comum desprezar-mos a forca de atrito

que o ar exerce sobre o corpo. E claro que o metodo de medida so sera validose esta for uma boa aproximacao da realidade. Ou dito de outra maneira,se o efeito do atrito do ar for desprezavel quando comparado com os outroserros que afectam as medicoes. Note que ao desprezarmos uma forca que seopoe ao movimento, o tempo medido vai ser sempre superior ao tempo novacuo (caso ideal).

ExercıcioLargue da mesma altura uma esfera metalica e um lapis de massas dife-

rentes. Qual dos objectos chega ao solo primeiro? Largue da mesma altura

uma esfera metalica e uma folha de papel A4. Qual dos objectos chega aosolo primeiro? Comente qualitativamente os resultados.

1.9 Erros sistematicos

Erros que afectam todas as medicoes de forma identica. Este tipo de errospode resultar de erros de calibracao, de leitura ou do proprio metodo utilizadona medicao. Deve-se ter muito cuidado em evitar ”a priori” este tipo deerros, pois podem ser difıceis, senao impossıveis, de detectar posteriormentee podem implicar conclusoes erradas.

1.10 Tabelas

No trabalho laboratorial existem dois tipos de situacoes que ocorrem frequen-temente:

• sao efectuadas varias medicoes de uma grandeza para a qual nao existenenhuma razao para se supor que esta a variar. Por exemplo, o tempoque um objecto, em queda livre, demora a percorrer uma dada distancia.

• varia-se uma grandeza A e observa-se o efeito desta variacao no valor deuma outra grandeza B. Por exemplo, mede-se o tempo, t, que um corpoem queda livre demora a percorrer diferentes alturas, h. Pretende-se, desta forma, estabelecer uma relacao entre as duas quantidadesmedidas, t e h.

Em ambas as situacoes uma tabela e a forma conveniente de apresentaros dados obtidos.

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Para uma tabela ser util e necessario que contenha informacao das quan-

tidades em causa, das respectivas unidades e incertezas.

ExemploOs dados dizem respeito ao tempo que uma onda sonora demora a per-

correr no ar uma dada distancia fixa. A tabela 3 e um exemplo DO QUE SEDEVE EVITAR.

Espaco Percorrido Tempo1,00 ± 0,01 (m) 0,0028 ± 0,0001 (s)1,00

±0,01 (m) 0,0029

±0,0001 (s)

1,00 ± 0,01 (m) 0,0032 ± 0,0001 (s)1,00 ± 0,01 (m) 0,0030 ± 0,0001 (s)1,00 ± 0,01 (m) 0,0027 ± 0,0001 (s)

Tabela 3: Tabela construıda incorrectamente

O PROCEDIMENTO CORRECTO e o seguinte:

O tempo que o som no ar demorou a percorrer um espaco de1, 00± 0, 01 m e apresentado na tabela 4,

Tempo ± 0,1 (10−3s)2,82,93,23,02,7

Tabela 4: Tabela construıda correctamente

Note que o valor do espaco percorrido sendo constante e colocado notexto e nao na tabela. Observe a passagem do erro e das unidades, comunsa todas as medicoes do tempo, para primeira linha e a utilizacao da notacaocientıfica. Repare que a tabela 4 para alem de ser mais legıvel e de maisrapida construcao do que a tabela 3. (Imagine que em vez de 5 tinha 100medicoes)

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Note que alguns autores preferem indicar na primeira linha [(Tempo

±0,01)/s] em vez de [Tempo ± 0,01 (s)] . O argumento para utilizar a divisaoem vez dos parentesis e o seguinte: as tabelas so devem conter quantidadesadimensionais. Nesta experiencia mediu-se o tempo em segundos, pelo quepara anular esta unidade de forma a obtermos uma quantidade adimensio-nal as medidas teriam que ser divididas por 1 s. NESTA DISCIPLINA EACONSELHADO O USO DOS PARENTESIS.

• A medida que uma experiencia decorre os valores medidos devem seranotados numa tabela SEM QUALQUER MANIPULACAO.

Note que ao cometer um erro no processo de manipulacao da tabela, porexemplo, na subtraccao de uma constante ou na elevacao de uma quantidadeao quadrado, pode ser impossıvel descobri-lo e recuperar o valor medido.Um exemplo classico e efectuar mentalmente uma conversao de unidades eespantarmo-nos ao obtermos uma resposta final 1000 vezes maior (ou menor)que o valor esperado.

Uma preocupacao primordial na elaboracao de uma tabela e garantir asua legibilidade. Assim, sempre que possıvel, deve-se evitar a colocacao deconstantes na tabela, bem como, repeticoes desnecessarias.

1.11 Erros Aleatorios

1.11.1 Media e desvio padrao da amostra

Em muitos casos, apesar dos nossos melhores esforcos vai existir uma varia-bilidade nas medicoes efectuadas com um dado dispositivo experimental queresulta de uma serie de factores por vezes mal compreendidos. Estes errosaleatorios ou estatısticos afectam as varias medicoes da mesma grandeza deforma aleatoria e geralmente obedecem a distribuicao de probabilidade deGauss.

Um grupo de alunos da UA (Ana, Clara, Andreia) mediu o tempo que

um objecto em queda livre demora a percorrer uma distancia de 10,000 ±0,005 m. A medicao foi repetida mais 9 vezes nas mesmas condicoes. Osresultados obtidos sao apresentados na tabela 5.

Verifica-se que a variabilidade nas medicoes [1, 25;1, 64] e maior que oerro instrumental a elas associado (0, 01s) .

E razoavel esperar que o tempo real esteja situado algures entre o menore o maior valor obtido.

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i Tempo

±0,01 (s)

1 1,362 1,383 1,484 1,445 1,296 1,647 1,478 1,259 1,52

10 1,35

Tabela 5: Tempo de queda livre para uma distancia de 10, 000± 0, 005 m

• O valor mais provavel para a grandeza medida corresponde a mediaaritmetica.

Se uma grandeza x e medida DIRECTAMENTE n vezes

x1, x2, x3,...,xn

O seu valor medio, x = x , define-se como

x = x =

ni=1

xi

n(2)

sendo a nossa melhor estimativa para o valor da quantidade medida.

Qual sera a incerteza que afecta esta determinacao?

E razoavel pensar que a dispersao dos valores em torno da media e umindicador dessa incerteza. Se definirmos o desvio, di , da medicao, xi, refe-rente a media, x, como di = xi − x este mede o afastamento do valor xi aovalor medio, x. Os valores di vao ser positivos, negativos ou nulos. Poderia-mos pensar que uma medida da dispersao seria dada pela media dos desvios(desvio medio),

d = d =

ni=1

di

n=

ni=1

(xi − x)

n(3)

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mas pode-se demonstrar que o valor medio dos desvios e sempre nulo,

d = d = 0 (4)

A demonstracao matematica das igualdades desta seccao pode ser con-sultada nos livros referenciados na bibliografia. Estas sao, no entanto, faceis

de obter se tivermos em conta as seguintes igualdadesni=1

1 = n eni=1

Cxi =

C ni=1

xi = n Cx = nC x em que C e uma constante.

Um indicador da dispersao das medidas em torno da media e uma quan-tidade chamada variancia, V, que nao e mais do que o valor medio dos qua-drados dos desvios e que se define como:

V (x) =

ni=1

(xi − x)2

n= x2 − x2 =

x2− x2 ≥ 0 (5)

onde n e o numero de medidas efectuadas. Note que a variancia tem unidadesiguais ao quadrado das unidades das medidas originais.

E mais comum utilizar o desvio padrao, σn, como a medida da dispersaodos valores em torno da media, pois esta quantidade tem as mesmas di-mensoes das medicoes originais

σn (x) =√

V =

ni=1

(xi − x)2

n(6)

Ao efectuarmos uma medicao (n = 1) obtemos, pela definicao anterior,um desvio padrao nulo. E obvio que tal resultado nao significa que a incertezae nula, o que nos diz e que devido a termos efectuado apenas uma medicaonao temos qualquer informacao para estimar a dispersao dos valores em tornoda media. Na realidade, a quantidade que nos da a estimativa da dispersaoem torno da media e o desvio padrao da amostra, σn−1, que se define como:

σn−1 (x) =

ni=1

(xi − x)2

n− 1(7)

Se so efectuarmos uma medicao (n = 1) o desvio padrao da amostra, σn−1 eindeterminado. Ou seja, so com uma medicao nao temos qualquer informacaosobre a dispersao dos valores em torno da media.

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Note que diferentes autores utilizam notacoes diferentes para designar

algumas das quantidades estatısticas ja definidas, nomeadamente o desviopadrao da amostra.

E aconselhavel o uso da maquina de calcular sempre que for necessariocalcular estas quantidades. E, no entanto, FUNDAMENTAL que o alunoverifique qual o significado de determinado sımbolo na sua maquina, pois anotacao utilizada varia de fabricante para fabricante2. No final do capıtuloo exercıcio no 1 permite testar rapidamente qual a notacao que esta a serutilizada pela sua maquina de calcular.

O grupo da Ana obteve os resultados apresentados na tabela 6.

ti ± 0, 01 (s) (ti − t) (s) (ti − t)2 (s2)1,36 -0,059 0,0034811,38 -0,039 0,0015211,48 0,061 0,0037211,44 0,021 0,0004411,29 -0,128 0,0163841,64 0,221 0,0488411,47 0,051 0,0026011,25 -0,169 0,028561

1,52 0,101 0,0102011,35 -0,069 0,0048761

ni=1

(ti − t) = 0, 000ni=1

(ti − t)2 = 0, 12076

Tabela 6: Estudo dos desvios e seus quadrados para os dados obtidos pelogrupo da Ana

Ao calcular os valores para a media e para o desvio padrao da amostra as

maquinas de calcular apresentam em geral 10 algarismos. Sera que quandoapresentamos o valor vamos utilizar todos esses algarismos?

No nosso caso obtivemos t = 1,418 s e σn−1(t) = 0,11583513 s.A media e uma estimativa do valor real e o desvio padrao da amostra

e uma estimativa da dispersao dos valores em torno da media. Pode-sedemonstrar que a estimativa destas quantidades melhora a medida que onumero de medicoes efectuadas aumenta. Ou dito de outra forma, o desviopadrao da amostra tambem e afectado por uma incerteza.

2O manual das maquinas de calcular e para ser utilizado sempre que for necessario.

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•Devido ao numero de medicoes efectuadas no laboratorio, geralmente

igual ou inferior a dez, vamos considerar que o erro tem no m aximodois algarismos significativos.

• Note que, geralmente, o erro instrumental nao tem mais do que umalgarismo significativo.

1.11.2 Algarismos Significativos

O numero de algarismos significativos corresponde ao numero de algarismoscompreendidos entre:

• o primeiro algarismo diferente de zero e o ultimo algarismo inclusive,se este se encontrar a direita do ponto decimal

• o primeiro algarismo e o ultimo algarismo diferente de zero inclusive,se este se encontrar a esquerda do ponto decimal

ExemploNo valor 0,0010306 o primeiro algarismo diferente de zero e o “1”. Existem

mais quatro algarismos a direita do “1”, o numero tem portanto 5 algarismossignificativos.

O numero 89700 segundo a definicao dada anteriormente so tem, no en-tanto, tres algarismos significativos.

Suponhamos que numa dada experiencia foi medido um intervalo detempo de 346 ± 1 s. O erro associado e apresentado com um algarismosignificativo e o valor medido com tres. Nada nos impede, no entanto, deescrever o resultado noutras unidades por exemplo milisegundos. Terıamos,assim, 346000± 1000 ms. Repare que o numero de algarismos significativosmantem-se quer para o valor quer para o erro pois ao mudarmos de unidadesnao estamos a obter mais informacao sobre a quantidade em causa. Agora

suponhamos que utilizamos um aparelho de medida digital cuja menor di-visao da escala e 1 ms. O valor medido e agora 346000 ± 1 ms. Segundoa regra anterior, o valor so tem 3 algarismos significativos. Se atendermosao erro associado o valor deveria ter, de facto, 6 algarismos significativos.Uma solucao utilizada para resolver esta ambiguidade e apresentar o valorsegundo a notacao cientıfica 3, 46000× 105 ms. O resultado escreve-se entaocomo (3, 46000 ± 0, 00001) ×102 s.

18



1.11.3 Arredondar numeros

No processo de escrevermos um resultado com um determinado numero dealgarismos significativos deparamo-nos com o problema de ter que truncar ovalor original. As regras para o arredondamento sao as seguintes:

• Se o algarismo a direita do ultimo algarismo significativo e superior a5 (> 5), o ultimo algarismo significativo e aumentado de uma unidade.

• Se o algarismo a direita do ultimo algarismo significativo e inferior a 5(< 5), o ultimo algarismo significativo mantem-se inalterado.

• Se o algarismo a direita do ultimo algarismo significativo e igual a 5 (=5) e os algarismos seguintes ou nao existem ou sao iguais a zero este eaumentado de uma unidade se for ımpar.

• Se o algarismo a direita do ultimo algarismo significativo e igual a 5(= 5) e os algarismos seguintes sao diferentes zero este e aumentado deuma unidade.

Assim, por exemplo, os numeros 1,3625; 1,44987; 1,450 e 1,352863 apre-sentados com dois algarismos significativos escrevem-se, atendendo as regrasanteriormente expostas, como 1,4; 1,4; 1,4 e 1,4 respectivamente.

• Num calculo que envolva varios passos e bom procedimento so arre-dondar o resultado final, de outro modo o proprio processo de arredon-damento podera ter um efeito importante nesse mesmo resultado.

Como vimos o grupo da Ana obteve para o tempo medio, t = 1, 418s e para o desvio padrao da amostra σn−1(t) = 0, 11583513 s. O desviopadrao da amostra representado com dois algarismos significativos reduz-sea σn−1(t) = 0, 12 s (note o arredondamento efectuado).

1.11.4 Erro padrao

O grupo da Ana decidiu repetir a experiencia mas, desta vez mediu 100 vezeso tempo que o corpo demora a percorrer a distancia anterior de 10, 000±0, 005m em queda livre. Os valores medidos encontram-se entre 1, 16 ± 0, 01 s e1, 74± 0, 01 s.

A tabela 7 compara a media e o desvio padrao da amostra calculados paraos primeiros dez valores medidos e para o conjunto final de 100 medicoes.

19



Media, t (s) Desvio padrao da amostra, σn−1(t) (s)

10 Medicoes 1,42 0,12100 Medicoes 1,42 0,11

Tabela 7: Media e desvio padrao para os primeiros dez valores medidos epara o conjunto das 100 medicoes efectuadas

A primeira verificacao e que o valor do desvio padrao da amostra nao sealtera muito (0, 01 em aproximadamente 0, 1 isto e, uma variacao de ∼ 1%) amedida que o numero de medicoes aumenta. Ou seja, a dispersao dos valoresmedidos em torno da media mantem-se aproximadamente constante.

Havera entao alguma vantagem em efectuar um maior numerode medicoes?

Para responder a esta pergunta o grupo aproveitou para separar os dadosem subgrupos de dez valores medidos consecutivamente e calculou a media eo desvio padrao da amostra para cada um destes subgrupos. Os resultadosobtidos sao apresentados na tabela 8.

Medicoes Subgrupo, j Media t j (s) Desvio padrao da amostra, σn−1(t j)(s)

1 a 10 1 1,42 0,1111 a 20 2 1,44 0,1221 a 30 3 1,38 0,0731 a 40 4 1,44 0,0741 a 50 5 1,44 0,1051 a 60 6 1,43 0,1261 a 70 7 1,44 0,0871 a 80 8 1,37 0,1381 a 90 9 1,43 0,12

91 a 100 10 1,46 0,14

Tabela 8: Valores da media e do desvio padrao da amostra obtidos paradiferentes subgrupos de valores

Verifica-se imediatamente que a variabilidade dos dados e muito maiorno conjunto de 100 medidas ([1,16; 1,74]) que no conjunto de 10 mediasapresentadas na tabela 8 ([1,37; 1,46]). Esta verificacao nao e de estranhar,

20



visto que a media de um conjunto de dados e sempre um valor situado entre

os dois extremos do mesmo.Podemos agora calcular a media das medias,

t =

k j=1

t j

k

e o respectivo desvio padrao da amostra das medias,

σk−1 (t) = σ (t) =

k

j=1t j − t2k − 1

em que k e o numero de subgrupos.Na situacao em estudo, k = 10, obtem-se

t =

10 j=1

t j

10=

100i=1

ti

100= 1, 425s

e

σ (¯t) = 0, 028s

Note que

σ (t) = 0, 028 ≈ desvio padrao das 100 medidas√numero de medidas utilizadas em cada media

=0, 11√

10= 0, 034

De facto o erro associado a media e o erro padrao, definido como

sn−1 (t) =σn−1 (t)√

n(8)

Ou seja,

• o DESVIO PADRAO DA AMOSTRA e a uma estimativa da dispersaodos VALORES MEDIDOS EM TORNO DA MEDIA

e

• o ERRO PADRAO e uma estimativa da dispersao das MEDIAS CAL-CULADAS COM n VALORES EM TORNO DA MEDIA.

21



No de medidas utilizadas na media, n t (s) σn−1 (t)(s) sn−1 (t) (s)

5 1,427 0,040 0,04810 1,427 0,028 0,03420 1,427 0,021 0,024

Tabela 9: Erros padroes para medias calculadas com diferentes numeros depontos

A tabela 9 apresenta os resultados obtidos se utilizarmos subconjuntosde 5, 10 ou de 20 medicoes dos dados anteriores.

Conclui-se assim que e vantajoso medir muitas vezes porque

• o erro que afecta a nossa determinacao da media diminui a medida queo numero de medicoes, n, aumenta.

Se quisermos diminuir para metade o erro padrao teremos que quadrupli-car o numero de medicoes, como se pode constatar na tabela 9.

No nosso caso foram efectuadas 100 medicoes, n = 100. O erro padrao eigual a

sn−1 (t) = σn−1(t)√n

= 0, 11√100

= 0, 011s

Devido ao baixo numero de medidas efectuado no laboratorio, usualmentemenor ou igual a 10, o erro estatıstico deve ser comparado com o erro asso-ciado a cada uma das medidas.

• O erro associado a media e o maior de entre o erro estatıstico e o erroinstrumental.

ExemploNo caso do resultado do grupo da Ana, t = 1,425 s e sn−1 (t) = 0,011 s.

O erro padrao escrito com um algarismo significativo reduz-se a sn−1 (t) =0,01 s. Este numero tem duas casas decimais. O valor medio, t, encontra-seescrito na mesma potencia de 10 (neste caso 100 = 1) e portanto so deve terduas casas decimais, t = 1, 43 s. O resultado final escreve-se entao como,

t = 1, 42± 0, 01 s

22



Exercıcio

Reescreva correctamente (considerando um algarismo significativo no erro),os seguintes dados experimentais: 1245, 6789 ± 0, 1234; 3246782 ± 3456;125000 ± 5 e 0, 0025± 0, 6725.

Os erros aleatorios exibem geralmente um comportamento gaussiano por-que resultam de uma serie de factores. Segundo o

Teorema do Limite Central - Uma vari´ avel produzida pelo efeito cumu-lativo de muitas vari´ aveis independentes ter´ a aproximadamente uma distri-buic˜ ao gaussiana independentemente das distribuic˜ oes das vari´ aveis origi-

nais.

Para erros aleatorios obedecendo a uma distribuicao gaussiana x → µ, eσn−1 → σ a medida que o numero de medicoes n →∞. Onde µ correspondeao valor mais provavel de x e σ define a dispersao dos valores em torno de µ(ver figura 6).

Figura 6: A figura representa tres gaussianas de igual media e diferentesdesvios padroes.

23



Numa Gaussiana,

P (x) = 1√2πσ

e−(x−µ)22σ2

a area limitada pela curva, e pelo eixo dos xx entre [µ− σ, µ + σ], veja afigura 7, corresponde a 68,27% da area total entre a funcao e o eixo dos xx einterpreta-se como a probabilidade de um valor se encontrar neste intervalo.

Figura 7: Numa gaussiana de media, µ , e desvio padrao, σ , a area (asombreado na figura) compreendida entre a curva e o eixo das abcissas nointervalo [µ− σ; µ + σ] corresponde a 68,3% da area total entre a funcao e oeixo das abcissas

A tabela 10 apresenta as probabilidades correspondentes a varios interva-los do eixo dos xx, bem como o nmero aproximado de pontos experimentaissituado fora do intervalo considerado.

Area entre % da area total Pontos fora do intervalo (≈)[µ− σ, µ + σ] 68, 27 1 em 3[µ− 2σ, µ + 2σ] 95, 45 1 em 20[µ− 3σ, µ + 3σ] 99, 73 1 em 400[µ− 4σ, µ + 4σ] 99, 99 1 em 16000

Tabela 10: Probabilidades para diferentes intervalos no eixo dos x

24



No nosso exemplo, isto significa que aproximadamente 68, 3% de todas as

medicoes se encontram no intervalo [t− σn−1(t); t + σn−1(t)] . E ao escrever-mos o resultado final, t = 1, 42±0, 01 s, utilizando o erro padrao como o erroassociado a media dizemos que aproximadamente 68, 3% das medias efectu-adas com 100 medicoes se encontram no intervalo [t− sn−1(t); t + sn−1(t)] =[1, 42− 0, 01;1, 42 + 0, 01] s

1.12 Precisao e exactidao

1.12.1 Precisao

O grupo da Ana obteve 1, 42±

0, 01 s. Que conclusoes podemos retirar desteresultado? Pela nossa definicao este resultado tem um erro relativo de 0, 7%..

• A precisao esta relacionada com a dispersao dos valores em torno damedia.

Um valor e tanto mais preciso quanto menor e esta dispersao, ou dito deoutra forma, quanto menor e o seu erro relativo.

No laboratorio vamos definir, por experiencia, que uma determinacaoestatıstica que tenha um erro relativo inferior a 10% pode ser consideradaprecisa.

Podemos agora perguntar, estara o valor obtido de acordo como valor esperado?

1.12.2 Exactidao

A exactidao vai estar relacionada com o afastamento entre o valor obtidoexperimentalmente, xexperimental, e o valor esperado, xesperado.

Pretendemos definir um criterio objectivo que nos indique se o afasta-mento entre o valor obtido, xexperimental, e esperado, xesperado, e tal que po-demos considerar que os dois valores estao em desacordo.

Se o valor obtido experimentalmente foi xexperimental ± ∆xexperimental e ovalor esperado e xesperado e

|xexperimental − xesperado|∆xexperimental

> 3

os dois valores estao em desacordo. Note que a escolha de uma distanciaentre os dois valores superior a 3 vezes o erro associado ao valor experimental,∆xexperimental, resulta do facto de que se as medidas tivessem uma distribui cao

25



gaussiana isto implicava que a probabilidade de um valor se encontrar fora

deste intervalo e inferior a 0, 3%.

Para uma aceleracao gravıtica constante de 9, 8 ms−2, um corpo partindodo repouso demora t = 1, 43 s a percorrer uma distancia de 10 m no vacuo.

Logo,|xexperimental−xesperado|

∆xexperimental= 1 < 3. Ou seja o valor obtido nao esta em

desacordo com o valor esperado.

Note que este nao e o unico criterio de exactidao utilizado. Certos autoresutilizam a definicao de erro relativo,

xexperimental − xesperadoxesperado

como uma medida da exactidao. Nao e difıcil de compreender que esta quan-tidade e proporcional ao desvio entre os valores experimental e esperado.Usualmente e apresentada em percentagem e associada a um criterio, talcomo o definido para a precisao, que indica para que valores a determinacaose pode considerar, ou nao, exacta.

•O merito de um valor obtido experimentalmente deve, sempre que

possıvel, ser indicado pela analise da precisao e da exactidao deste.

Exercıcios

1. Calcule a media, o desvio padrao da amostra e o erro padrao para oconjunto [-1;0;1] manualmente e pela maquina de calcular. Compareos valores e determine qual a notacao utilizada pelo fabricante da suamaquina para as quantidades anteriores.

2. A massa de cinco roedores adultos, do mesmo sexo, de uma dada po-

pulacao e apresentada na tabela seguinte

Massa ± 0,1 (g) 66,1 77,1 74,6 61,8 71,5

Determine o valor mais provavel da massa e o respectivo erro.

26



3. Mediram-se as seguintes concentracoes de aminoacidos na hemolinfa de

um conjunto de artropodes.

Concentracao de aminoacidos ± 0,1 (mg/100ml)240,6238,2236,4244,8240,7241,3237,9

Determine o valor mais provavel da concentracao de aminoacidos e orespectivo erro.

1.13 Apresentacao do resultado obtido

O resultado obtido deve ser SEMPRE apresentado na forma:

valor± erro (unidades)

Devido ao baixo numero de medicoes (< 100) vamos apresentar o erro padraoou o resultado final de uma determinacao com apenas UM ALGARISMOSIGNIFICATIVO.

E obvio que estando o valor e o respectivo erro associado escritos namesma potencia de 10 ambos devem ter o mesmo numero de casas decimais.

27



2 Determinacoes de grandezas fısicas a partirde valores medidos

2.1 Formula de propagacao dos erros

Suponhamos que queremos determinar uma quantidade, f = ax + b, a partirde uma quantidade x medida, de incerteza associada ∆x, em que a e b saoconstantes.

Qual e a incerteza associada a nossa determinacao de f ?

Numa interpretacao estatıstica a incerteza vai estar relacionada com adispersao dos valores em torno do valor medio. Vamos por isso, tal comofizemos anteriormente, calcular a variancia de f. Tendo em conta as igualda-des ax = a x, a = a e x + y = x + y em que a e uma constante ex e y sao variaveis.

A variancia de f define-se como,

V (f ) =

f 2− f 2

Logo,

V (f ) =

f 2− f 2 =

=

(ax + b)2− (ax + b)2 =

a2x2 + 2abx + b2− (ax+ b)2 =

=

a2x2

+ 2abx +

b2− ax2 + 2 ax b + b2 =

= a2

x2

+ 2ab x + b2 − a2 x2 + 2ab x + b2

simplificando a expressao anterior obtem-se,

(∆f )2 ≡ V (f ) = a2

x2

− x2

= a2V (x) (9)

ExemploMediu-se o tempo de 10 oscilacoes de um pendulo elastico, t10. Qual o

perıodo, T, e o respectivo erro associado? Sabendo que,

T =t1010

=1

10t10 = at10

em que a = 110

. Tendo em conta a equacao 9 obtemos (∆T )2 =110

2(∆T 10)2.

Ou seja,

28



∆T =∆T 10

10

Considere-se o caso de uma funcao, f, de uma variavel x.

Figura 8: Funcao generica de x

Mediu-se o valor x0 ±∆x. Qual sera a incerteza associada a f (x0)?A tangente a curva no ponto, x0, e uma recta de equacao y = mx + b, em

que m e b sao constantes e m =df

dx

x0

por definicao.Como se pode ver pela figura 8,

f (x0 + ∆x)− f (x0) ≈ y(x0 + ∆x)− y(x0) =

df dx

x0

∆x

se ∆x for suficientemente “pequeno”. Ou seja, esta aproximacao e validapara erros “pequenos”, em que “pequeno” significa que a derivada da funcaonao varia significativamente na vizinhanca, isto e alguns ∆x, do ponto x0.Podemos entao escrever,

f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) +

df

dx

x=x0

∆x

29



ou equivalentemente,

f (x0 + ∆x) ≈ a∆x + b

em que a e b sao constantes de valoresdf

dx

x=x0

e f (x0), respectivamente.Tendo em conta a equacao 9 obtemos,

(∆f )2 ≡ V (f ) = a2V (x) =

df

dx

x=x0

2V (x)

ExemploNo laboratorio pretendemos determinar a area da base de um cilindro, A.

Para tal medimos o seu diametro, D±∆D. Sabe-se que A = πD2

2 = π

4D2.

Ou seja, A = f (D) logo,

(∆A)2 =

dA

dD

2∆D2 =π

2D2

∆D2

donde,

∆A =π

2D

∆D

No caso geral temos uma funcao, f , de n vari´ aveis independentes x1,...,xn.Se as variaveis forem determinadas experimentalmente e tiverem erros asso-ciados ∆x1,..., ∆xn, pode demonstrar-se que o erro da funcao f e dadopela

• Formula de propagacao dos erros

(∆f )2 ≡ V (f ) =ni=1

∂f

∂xi

2X0

∆x2i (10)

onde X 0 = x01,...,x0n e

∂f ∂xi

X0

e a derivada parcial da funcao f em ordema variavel xi.

Note que qualquer expressao so e valida enquanto forem validas as hipotesesusadas na sua determinacao. Neste caso a aproximacao e valida:

• para erros “pequenos”, isto e, a funcao nao varia muito na regiao deinteresse e

• as variaveis sao independentes.

30



Exemplo

Considere a funcao f = xy em que x e y sao duas variaveis independentes.

A derivada parcial de f em ordem a x e obtida efectuando a derivada dafuncao, f, considerando esta como apenas uma funcao de x. Utilizando aregra da diferenciacao da divisao:

∂f

∂x=

∂

∂x

x

y

=

∂x∂x

y − x∂y

∂x

y2

visto que∂x

∂x

= 1 e∂y

∂x

= 0

o resultado escreve–se,∂f

∂x=

1

y

Por outro lado

∂f

∂y=

∂

∂y

x

y

=

∂x∂y

y − x∂y

∂y

y2

=−x

y2

atendendo a que∂x

∂y = 0 e∂y

∂y = 1

Se as variaveis x e y forem medidas e tiverem erros associados ∆x e ∆y,respectivamente, o erro associado a f, ∆f, e dado por

∆f =

∂f

∂x

2∆x2 +

∂f

∂y

2∆y2 =

1

y

2∆x2 +

x

y2

2∆y2

ExemploNo laboratorio pretendemos determinar o volume de um cilindro, V . Para

tal medimos o seu diametro, D ±∆D e a sua altura, h±∆h. Sabemos que

V = πD2

2h = π

4hD2, ou seja, o volume, V , e funcao de duas variaveis inde-

pendentes, D e h, medidas, V = f (D, h). Logo pela formula de propagacaodos erros

(∆V )2 =

∂V

∂D

2∆D2 +

∂V

∂h

2∆h2

Aplicando as regras da derivacao obtemos,

31



∂V

∂D=

∂

∂D(V ) =

∂

∂D

π4

hD2

=∂

∂D

π4

h

D2 +∂

∂D

D2 π

4h

=

= 0 + 2Dπ

4h

=π

2hD = 2

V

D

∂V

∂h=

π

4D2 =

V

h

e substituındo estes resultados na expressao de (∆V )2 obtemos

(∆V )2 =π

2 hD2

∆D2 +π

4 D22

∆h2

donde,

∆V =

π2

hD2

∆D2 +π

4D22

∆h2

2.2 Calculos e algarismos significativos

Podemos ter uma ideia da ordem de grandeza do erro que afecta a deter-minacao de uma quantidade se seguirmos as regras que determinam o numerode algarismos significativos que resultam de um calculo

Regra no 1 - Multiplicacoes e divisoes - o resultado final deve serapresentado com o mesmo numero de algarismos significativos, do numeroque tiver menos algarismos significativos

Regra no 2 - Adicoes e Subtraccoes - o resultado deve ser apresentadocom o mesmo numero de casas decimais, do numero que tiver menos casasdecimais

• Estas regras aplicam-se quando N˜AO EXISTE CONHECIMENTO doserros que afectam as quantidades, ou simplesmente para calculos ma-

tematicos.

Exemplos

1. Suponhamos que queriamos determinar a area da base de um cilindro,A, sabendo o seu diametro, D = 1, 15 cm. Ao efectuarmos o calculo

32



com uma maquina de calcular obtemos A = πD4 2 = 0, 8157844888

cm2 (considerou-se π = 3, 1416). Ha no entanto algo perturbador nesteresultado. O diametro, D, e conhecido apenas com tres algarismossignificativos e, no entanto, a area e apresentada com dez. Sera istorazoavel? A resposta e nao. Segundo a regra no 1 o resultado final deveser apresentado com o mesmo numero de algarismos significativos donumero que tiver menos. Neste caso o numero com menos algarismossignificativos e D que tem 3. Note que o numero de algarismos signifi-cativos das constantes, neste caso o 4, nao e considerado. Escrevemosentao A = 0, 816 cm2.

2. Se tivermos duas quantidades a = 35, 5 e b = 2, qual o valor da razaof = ab

? Pela regra no 1, f = 20.

3. Tendo em conta os valores de a e b do exemplo anterior, o valor deg = a + b, pela regra no 2, e igual a 38.

As regras atras enunciadas podem ser relacionadas com a formula depropagacao dos erros se associarmos a cada numero um erro igual a metadedo valor da unidade do ultimo algarismo.

ExemplosAnalisemos de novo os exemplos anteriores.

1. O diametro da base de um cilindro, D, e igual a 1, 15 cm. Se associar-mos ao valor de D um erro de 0, 005 cm, pela formula de propagacaodos erros ∆A =π2

D

∆D = 0, 009 cm2. Ou seja, A = 0, 826 ± 0, 009cm2.

2. Se tivermos duas quantidades a = 35, 5 e b = 2. Qual o valor da razaof = a

b? Pela formula de propagacao dos erros

∆f =

∂f

∂a

2∆a2 +

∂f

∂b

2∆b2 = f

∆a

a

2+

∆b

b

2

Considerando ∆a = 0, 05e∆b = 0, 5. Obtem-se ∆f = 4, e consequente-mente, f = 18± 4.

33



3. Tendo em conta os valores de a e b anteriores, qual o valor da soma

g = a + b? Pela formula de propagacao dos erros

∆g =

∂g

∂a

2∆a2 +

∂g

∂b

2∆b2 =

√∆a2 + ∆b2 = 0, 5

Logo g = 37, 5± 0, 5.

Se compararmos os valores obtidos pela formula de propagacao dos errose pelas regras atras enunciadas, a menos de um algarismo significativo vemos

que os resultados sao iguais. Logo estas permitem-nos estimar, a falta demelhor informacao, o numero de algarismos significativos a apresentar aposum calculo matematico.

Exercıcios

1. Pretendemos determinar a massa volumica, ρ, de um dado materialdo qual temos varios cilindros no laboratorio. Utilizando uma balancamedimos a massa, m, e com uma craveira medimos o diametro, D, ea altura, h, do cilindro. Sabendo que m ± ∆m, D ± ∆D e h ± ∆hdetermine ∆ρ. Lembre-se que,

ρ =massa

volume=

m

πD2

2h

=4m

πhD2

2. Considere a funcao f (x) = s i n (x) e lembre-se que f (x0 + ∆x) ≈f (x0) +df

dx

x0

∆x. Se x e pequeno e expresso em radianos, para x0 = 0

podemos escrever que sin(x) ≈ x (visto que ∆x = x− x0 = x). Verifi-que que esta aproximacao nao e valida se o angulo x for expresso emgraus

x(o) x(rad) sin(x)0 0,00002 0,03495 0,0871

10 0,173630 0,500090 1,0000

34



3. Um angulo x foi medido, em radianos, com um erro ∆x. Determine o

erro das funcoes f = sin(x), g = cos(x) e z = tan(x).

4. Utilize os resultados do exercıcio anterior e calcule os erros de sin(x) ecos(x) para x = 0, 56 ± 0, 01 e x = 1, 56 ± 0, 01. Para o mesmo par devalores de x calcule o erro da funcao tan(x). Comente, sucintamente,os resultados obtidos.

5. A funcao f e dada por f = axyα

zβem que a, α e β sao constantes e

x, y e z sao tres variaveis independentes, de erros associados ∆x, ∆y e∆z, respectivamente. Demonstre que o erro em f devido aos erros nasdiferentes variaveis pode ser escrito como

∆f

f

2=

∆x

x

2+

α

∆y

y

2+

β

∆z

z

2

Sugere-se que utilize a formula de propagacao dos erros e ∂f

∂x= ayα

zβ= f

x,

∂f

∂y= aαyα−1

zβ= α f

y, ∂f

∂z= a (−β )yα

zβ+1 = (−β )f z

.

Note que qualquer funcao que possa ser escrita como a multiplicacaoe/ou divisao das variaveis das quais depende tera o quadrado do errorelativo dado por uma generalizacao da formula precedente

6. Pretendemos determinar a massa volumica, ρ, de um dado materialdo qual temos varios cilindros no laboratorio. Sabendo que m ± ∆m,D ±∆D, h±∆h e que

ρ =massa

volume=

m

πD2

2h

=4m

πhD2

Determine ∆ρ utilizando o resultado obtido no exercıcio anterior.

7. O erro associado a funcao, f = xy, utilizando a formula de propagacaodos erros, e dado por,

∆f = f ∆x

x

2+

∆yy

2(veja o resultado obtido anteriormente). Suponhamos que y = sin(x).Substituindo na equacao anterior obtemos,

(∆f )2 = f 2

(∆x)2

x2+

cos2(x) (∆x)2

sin2(x)

= f 2

1

x2+

cos2(x)

sin2(x)

(∆x)2

=

sin2(x) + x2 cos2(x)

(∆x)2

35



No entanto se escrevermos directamente f = x sin(x) e calcularmos o

respectivo erro pela formula da propagacao dos erros obtemos

(∆f )2 = (sin(x) + x cos(x))2 (∆x)2

Indique qual dos resultados e correcto. Justifique sucintamente a dis-crepancia obtida.

2.3 Exactidao de duas determinacoes experimentais

E frequente um experimentador ter de comparar os seus resultados com os de-

terminados independentemente por outrem. Se estatisticamente temos duasdeterminacoes da mesma quantidade x1 ± ∆x1 e x2 ± ∆x2, e razoavel per-guntar se os dois valores obtidos estao de acordo entre si. Vamos testar ahipotese que os dois valores sao iguais. Consideramos neste caso a funcaof experimental = x1 − x2 para o qual o valor esperado, f esperado, e igual a zero(f esperado = 0). Utilizando o criterio anteriormente definido rejeitamos estahipotese se

f experimental − f esperado∆f experimental

=

f experimental

∆f experimental

=

x1 − x2

(∆x1)2 + (∆x2)2

> 3

NOTE: Este criterio e apenas uma aproximacao (veja por exemplo [Barlow])

ExemploUm outro grupo de alunas da U.A. (Maria, Tania e Viviana), utilizando

um aparato experimental diferente, mediu o tempo que um corpo demoravaa percorrer 10,000 ± 0,005 m em queda livre, no mesmo local. Os resultadosobtidos sao apresentados na tabela

i Tempo ± 0, 001 (s)1 1,4302 1,4333 1,4424 1,4285 1,4346 1,4387 1,4258 1,4409 1,435

36



O valor obtido para o tempo medio foi de 1, 434

±0, 002 s. O grupo

da Ana tinha obtido 1, 43 ± 0, 01 s. Que conclusoes podemos retirar destesresultados? O erro do grupo da Maria e menor que o erro do grupo da Ana,ou seja os seus valores tem uma menor dispersao em torno do valor medio. Ovalor obtido pelo grupo da Maria e mais preciso do que o obtido pelo grupoda Ana (erros relativos de 0, 1% e 0, 7%, respectivamente).

Podemos rejeitar a hipotese de que os dois valores sao iguais?

f experimental

∆f experimental

=

1, 434− 1, 43

(0, 002)2 + (0, 01)2

= 0, 4

De acordo com o nosso criterio nao.

2.4 Graficos

A nossa habilidade a extrair informacao de uma figura e tao boa que parecenatural aproveita-la na analise dos dados obtidos numa experiencia. Quandoestes sao dispostos graficamente, correlacoes que seriam difıceis de reconhecerse os mesmos fossem apresentados numa tabela podem-se tornar evidentes.Por exemplo, os pontos experimentais podem sugerir dispor-se segundo umalinha recta ou uma curva. Isto e particularmente verdade quando o numero

de medicoes e elevado, da ordem das centenas ou milhares de pontos experi-mentais.

Adicionalmente um grafico e um excelente metodo de sintetizar informacaosobre os dados experimentais.

Em resumo um grafico indica de forma sucinta:

• a gama de valores medidos

• a incerteza de cada medicao

• a existencia ou nao de uma correlacao entre os pontos experimentais

• a existencia de um ou mais pontos experimentais que nao seguem atendencia da maioria

Os graficos cartesianos x − y sao extensivamente utilizados em ciencia eengenharia na apresentacao de dados experimentais e devem conter:

• um tıtulo - indica a relacao que esta a ser estudada

37



•a indicacao das grandezas utilizadas nos eixos tem, bem como respec-

tivas unidades. As unidades devem ser representadas na forma anteri-ormente definida para as tabelas

• escalas claramente definidas em ambos os eixos

• os pontos experimentais e, usualmente, as barras de erro a eles associ-adas

• uma legenda caso seja necessario um texto adicional que esclareca qual-quer particularidade do grafico. Por exemplo, num grafico que contemdois ou mais conjuntos de pontos experimentais a legenda deve identi-

ficar de forma nao ambıgua cada um dos conjuntos.

2.4.1 Escalas

Uma das caracterısticas mais importantes de um grafico e a sua legibilidade.Uma decisao importante na escolha das escalas dos eixos e se a origem,o ponto (0,0) e ou nao incluıdo no grafico. Esta decisao vai depender doobjectivo com que este e construıdo mas em princıpio os pontos experimentaisdevem ocupar o espaco disponıvel do papel milimetrico. Tendo-se o cuidadode deixar espaco suficiente para as escalas, unidades e tıtulo.

A maneira mais facil de definir uma escala, por exemplo para o eixo dosxx e escolher um

valor por centimetro ≥ (xmax − xmin)

numero de cm de papel milimetrico disponiveis

tendo o cuidado de que o menor valor de x que aparece no eixo ou e xmin ouum valor ligeiramente inferior a este.

Note que os dois lados do papel milimetrico tem usualmente dimensoesdiferentes. Em geral, nao e aleatorio escolher qualquer um deles para umdado eixo. Devem-se escolher as escalas que permitam marcar os pontosexperimentais com a maior precisao possıvel.

ExercıciosPretende construir o grafico de y em funcao de x numa folha de papel

milimetrico A4 (∼20×30 cm). Indique escalas adequadas para ambos oseixos. Se:

1. x ∈ [−18; 19] e y ∈ [1, 8; 5, 2]

2. x ∈ [225, 2500] e y ∈ [1253, 16; 1980, 25]

38



2.4.2 Sımbolos a utilizar para os pontos experimentais

A um conjunto de pontos experimentais deve ser atribuıdo um sımbolo queseja facilmente visıvel. Um sımbolo a evitar e o tradicional ponto (.). No casode coexistirem no mesmo grafico dois, ou mais conjuntos de pontos experi-mentais, estes devem ter sımbolos diferentes e tais que permitam distinguiras possıveis sobreposicoes. Por exemplo, se um conjunto de pontos fosse re-presentado por um ponto (.) e outro por um sinal mais (+) no caso de umasobreposicao o ponto “desaparecera”, no entanto, se representarmos os doisconjuntos por + e respectivamente as sobreposicoes aparecem como umsımbolo diferente dos anteriores, .

ExemploNa tabela 11 apresentam-se os comprimentos, l, das asas de 13 pardais

de diferentes idades, I .

Idade ± 0,08 (dia) Comprimento da asa ± 0,1 (cm)3,00 1,44,00 1,55,00 2,26,00 2,48,00 3,19,00 3,2

10,00 3,211,00 3,912,00 4,114,00 4,715,00 4,516,00 5,217,00 5,0

Tabela 11: Variacao do comprimento das asas dos pardais com a idade

A representacao grafica do comprimento da asa em funcao da idade eapresentada na figura 9.

2.5 Linearizacao de equacoes

Em muitas experiencias a relacao entre as variaveis x e y e conhecida e naocorresponde a equacao de uma recta. Por exemplo f (w) = 2w2+5 e a equacao

39



Figura 9: Comprimento da asa dos pardais com a idade

de uma parabola. E, no entanto, muitas vezes desejavel construir um graficode funcoes das variaveis medidas de tal forma que a relacao entre estas novasfuncoes seja uma recta. Chama-se a isto linearizar a equacao.Vejamos o caso

de f (w) = 2w2

+ 5. Se agora definirmos uma nova variavel z = w2

. A nossaequacao escreve-se como f (w) = 2z + 5. O que nao e mais do que dizer quef (w) = mz + b em que m = 2 e b = 5 sao constantes e tem o significado dedeclive e ordenada na origem, respectivamente.

ExercıcioPara a funcao anterior, f (x) = 2x2, trace os graficos de f em funcao de

x, e de f em funcao de g (= x2), para os valores 0;1;2;3 de x.

No caso geral em que duas variaveis medidas w e z estao relacionadas

40



atraves de uma dada equacao vamos, se possıvel e necessario, reescrever essa

equacao da forma

f 1(w) = mf 2(z) + b

em que m e b sao duas constantes, o declive e a ordenada na origem, respec-tivamente.

ExemploQuando temos um corpo suspenso de uma mola elastica e colocamos o

conjunto a oscilar, o seu perıodo de oscilacao, T, depende da constansteelastica da mola, k, e da massa do corpo, m

c,

T = 2π

mc

k

Com o objectivo de determinar a constante el astica da mola medimos operıodo de oscilacao para diferentes massas. Pretendemos construir umgrafico linearizado, isto e teremos de definir, se possıvel, duas funcoes f 1(T ) ef 2(mc) de tal modo que f 1(T ) = mf 2(mc) + b. Neste caso, o que nem sempreacontece, duas solucoes sao possıveis, se escrevermos

T =2π2

√k

(mc)

entao,

f 1(T ) =2π√

kf 2(mc)

com

f 1(T ) = T

f 2(m) =√

mc

m =2π

√kb = 0

Se alternativamente considerarmos

T 2 =4π2

k(mc)

entao,

f 1(T ) =4π2

kf 2(mc)

41



e

f 1(T ) = T 2

f 2(m) = mc

m =4π2

kb = 0

ExemploSabe-se que o numero de nucleos radioactivos, N, num dado instante, t,

e uma funcao do tempo da forma

N = N 0e−λt

em que N 0 representa o numero de nucleos no instante t = 0, e λ e a cons-tante de decaimento. No laboratorio mediu-se, N, para varios instantes, t.Pretende-se escrever f 1(N ) = mf 2(t) + b. Uma linearizacao de uma funcaoexponencial involve a utilizacao de logaritmos,

ln (N ) = ln

N 0e−λt

= ln (N 0)− λt

pelo que

f 1(N ) = ln (N )f 2(t) = t

m = −λ

b = ln (N 0)

Um grafico contendo todas as componentes discutidas neste capıtulo podeactuar como um resumo de todo o trabalho experimental. De facto muitaspessoas estudarao primeiro o grafico de forma a terem uma ideia geral decomo decorreu a experiencia.

Exercıcios1. Linearize a expressao M =

√kt + D em que M e t sao variaveis e k,

D sao constantes de valor desconhecido.

2. Linearize a expressao t2 = 1v2

(d2 + 4h2)em que t e d sao variaveis e v,h sao constantes de valor desconhecido.

3. Linearize a expressao t2 = 2hg

1 + I

M cR2

em que t e M c sao variaveis e

h, g, I e R sao constantes de valor desconhecido.

42



3 Metodo dos Mınimos Desvios Quadrados

3.1 Coeficiente de correlacao

Medimos pares de grandezas (xi; yi) define-se a covariancia das variaveis x ey como

cov(x, y) = xy − x y =

ni=1

(xi − x) (yi − y)

n(11)

Desta definicao verifica-se que (ver figura 10):

• o valor da covariancia vai ser positivo (cov(x, y) > 0) se os valores dex que estao acima da media (xi − x) > 0, tem tendencia para ocorrer juntos com os valores de y que estao acima da media (yi − y) > 0, eos valores de x que estao abaixo da media (xi − x) < 0, tem tendenciapara ocorrer juntos com os valores de y que estao abaixo da media(yi − y) < 0,

• o valor da covariancia vai ser negativo ( cov(x, y) < 0 ) se os valores dex que estao acima da media (xi − x) > 0, tem tendencia para ocorrer juntos com os valores de y que estao abaixo da media (yi − y) < 0,eos valores de x que estao abaixo da media (xi

−x) < 0, tem tendencia

para ocorrer juntos com os valores de y que estao acima da media(yi − y) > 0

• Por outro lado se um valor positivo de (xi − x) tem igual probabilidadede ser multiplicado por uma valor positivo ou negativo de (yi − y) , evice-versa, entao a covariancia vai ser proxima de zero, se nao igual azero. Se cov(x, y) = 0 diz-se que as variaveis sao independentes.

Note que a covariancia de uma variavel sobre si mesma cov(x, x) = x2 −x2 nao e mais do que a variancia de x, V (x). Define-se o coeficiente de

correlacao, r, como

r =cov(x, y) V (x)V (y)

=xy − x y

x2 − x2

y2 − y2 (12)

note que r e adimensional e que por definicao,

r ∈ [−1;1]

43



Figura 10: Diferentes coeficientes de correlacao

3.2 Metodo dos mınimos desvios quadrados (MMDQ)

3.2.1 Recta do tipo y = mx

Se suposermos, ou soubermos, que duas quantidades medidas xi e yi obede-cem idealmente a uma relacao do estilo f (x) = mx, queremos saber qual eo valor do declive, m, que define a recta que melhor aproxima os pontos ex-perimentais. Podemos em primeiro lugar questionar porque e que os valoresexperimentais nao se dispoem ao longo de uma recta. Acontece que mesmo

que a relacao entre as duas variaveis seja da forma f (x) = mx os valoresmedidos, xi e yi, tem, em geral, um erro associado, ∆xi e ∆yi, que leva a quealguns dos pontos experimentais se situem acima e outros abaixo da recta.Se:

• Hipotese no 1 - os valores, xi, nao sao afectados por qualquer erro.

Entao o desvio entre os pontos experimentais e a recta e apenas devidoao erro associado a variavel y

44



Se definirmos o desvio, di, entre o valor experimental yi e o valor da recta

correspondente a mesma abcissa xi como

di = yi − f (xi) = yi − (mxi)

e somarmos os quadrados dos desvios obtemos,

S 2 =ni=1

(di)2 =

ni=1

(yi − f (xi))2 =ni=1

(yi − (mxi))2

Note que S 2 e uma funcao da variavel m, S 2 = f (m) . Pode-se demonstrar

que a recta que melhor aproxima os pontos experimentais de entre todasas rectas possıveis e aquela cujo parametro, m, minimiza a funcao S 2. Paradeterminarmos os extremos de uma funcao, f (x), derivamos a funcao emordem a x e igualamos a derivada a zero,

d (S 2)

dm= 0

d (S 2)

dm=

d

dm

n

i=1[yi − (mxi)]2

=

=ni=1

d

dm[yi − (mxi)]2

=

=ni=1

2 [yi − (mxi)]

d

dm[yi − (mxi)]

=

=ni=1

2 [yi − (mxi)]

dyidm

− d (mxi)

dm

=

=n

i=1

(2 [yi − (mxi)] (−xi)) =n

i=1

(−2) [yixi − (mxi) xi]

tendo em conta que

dyidm

= 0 ;dxidm

= 0 edm

dm= 1

Utilizando a condicao de extremo da funcao obtemos

d (S 2)

dm= 0 ⇔

ni=1

yixi −mni=1

(xi)2 = 0

45



O valor de m e dado por

m =

ni=1

yixi

ni=1

(xi)2

(13)

Para demonstrar que este valor de m corresponde a um mınimo da funcaoS 2 temos que calcular a segunda derivada de S 2.

d2 (S 2)

d2m=

d

dm dS 2

dm =d

dm n

i=1

(−2yixi) + 2mn

i=1

(xi)2

= 2n

i=1

(xi)2 ≥ 0

Logo o valor obtido de m atraves da equacao 13 corresponde, de facto,ao mınimo da funcao S 2.

3.2.2 Recta do tipo y = mx + b

No caso das duas quantidades medidas xi e yi obedecerem idealmente a umarelacao do estilo f (x) = mx + b, os coeficientes da melhor recta, isto e, arecta mais provavel, correspondem aos valores de m e b que minimizam osquadrados dos desvios entre os pontos experimentais e a recta.

A deducao que vamos efectuar assume que o desvio entre os pontos experi-mentais e a recta e apenas devido aos erros associados a variavel y. Definimos,de novo, o desvio, di, como

di = yi − f (xi) = yi − (mxi + b)

A soma dos quadrados dos desvios e dada por,

S 2 =ni=1

(di)2 =

ni=1

(yi − f (xi))2 =ni=1

(yi − (mxi + b))2

Note que agora S 2 e uma funcao de duas variaveis m e b. Ou seja, de todas asrectas possıveis queremos escolher aquela cujos parametros, m e b, minimizama funcao S 2 = f (m, b) . Para determinarmos os extremos de uma funcao,f (x), derivamos a funcao em ordem a x e igualamos a derivada a zero o que,neste caso, equivale a igualar as seguintes derivadas parciais a zero,

∂ (S 2)

∂m= 0

∂ (S 2)

∂b= 0

46



de onde obtemos,

∂ (S 2)

∂m=

∂

∂m

ni=1

[yi − (mxi + b)]2

=ni=1

∂

∂m[yi − (mxi + b)]2

=

=ni=1

2 [yi − (mxi + b)]

∂

∂m[yi − (mxi + b)]

=

=ni=1

2 [yi − (mxi + b)]

∂yi∂m

− ∂ (mxi + b)

∂m

=

=n

i=1

(2 [yi−

(mxi + b)] (−

xi)) =n

i=1

(−

2) [yixi−

(mxi + b) xi]

tendo em conta que

∂yi∂m

= 0 ;∂xi

∂m= 0 ;

∂b

∂m= 0 e

∂m

∂m= 1

obtem-se assim,

∂ (S 2)

∂m= 0 ⇔

ni=1

yixi −mni=1

(xi)2 − b

ni=1

xi = 0 (14)

E

∂ (S 2)

∂b=

∂

∂b

ni=1

[yi − (mxi + b)]2

=ni=1

∂

∂b[yi − (mxi + b)]2

=

=ni=1

2 [yi − (mxi + b)]

∂

∂b[yi − (mxi + b)]

=

=ni=1

2 [yi − (mxi + b)]

∂yi∂b

− ∂ (mxi + b)

∂b

=

=ni=1

2 [yi − (mxi + b)] (−1)

ou seja,

∂ (S 2)

∂b= 0 ⇔

ni=1

yi −mni=1

xi − nb = 0 (15)

Temos agora um sistema de duas equacoes 14 e 15 a duas incognitas, me b.

47



ni=1

yixi −mni=1

(xi)2 − b

ni=1

xi = 0

ni=1

yi −mni=1

xi − nb = 0

Dividindo ambos os termos das duas equacoes por n, o numero de medicoes,permite-nos escreve-las numa notacao mais compacta

m = xy−bx

x2

b = y

−mx

Substituındo a equacao de b na de m e simplificando obtemos

m =xy − x y

x2 − (x)2(16)

b = y −mx (17)

Note que nao foi demonstrado que o extremo da funcao correspondia aomınimo que de facto e.

3.3 Escolha da variavel a colocar no eixo das abcissas

Como vimos na seccao anterior ao linearizarmos uma funcao escrevemo-la naforma

f 1(w) = mf 2(z) + b

E claro que a equacaof 2(z) = m

f 1(w) + b

em que m

= 1m

e b

= − bm

tambem esta linearizada.

Atendendo a que as equacoes deduzidas anteriormente utilizando o MMDQrequerem que ∆xi = 0 (Hipotese no 1) vamos ter que escolher entre as duaslinearizacoes possıveis. A Hipotese no 1 e de verificacao improvavel no la-boratorio, no entanto, as equacoes anteriormente deduzidas sao uma boaaproximacao se o erro de x implicar uma variacao da funcao f muito menorque o erro associado a y (∆y), isto e, se

∆y |f (x + ∆x)− f (x)| df

dx∆x

= |m∆x|

48



Ou seja, uma boa aproximacao da hipotese no 1 acontece quando na gama

de valores em estudo se verifica a condicao

∆y |m∆x| (18)

Na pratica podemos obter uma estimativa para o valor de m a partir dospontos experimentais

mestimativa =y j − yix j − xi

em que os pontos i e j sao escolhidos de forma a darem um valor tıpico parao declive. Nomeadamente nao devem ser pontos consecutivos. E utilizar a

estimativa assim obtida para verificar equacao 18 para os pontos experimen-tais.

3.4 Erro associado aos parametros, m e b, da recta

A deducao dos erros associados a determinacao dos parametros da recta maisprovavel no caso em que

• Hipotese no 2 - os erros, ∆yi ≡ ∆y, sao constantes e sao determinadosa partir da dispersao dos valores yi em torno da recta, isto e,

(∆y)2 =

ni=1

(yi − f (xi))2

n− 2

nao vai ser apresentada.

3.4.1 Recta do tipo y = mx

Aplicando a regra de propagacao dos erros a m e considerando a hipotese no

2 obtemos

∆m = ∆y ni=1

(xi)2

(19)

em que

∆y =

ni=1

(yi)2 −m2

ni=1

(xi)2

n− 2(20)

49



3.4.2 Recta do tipo y = mx + b

Neste caso os resultados obtidos podem ser escritos em funcao do coeficientede correlacao, r,

∆m = |m|

1r2− 1

n− 2(21)

∆b = ∆m

ni=1

x2i

n(22)

em que,

r = m

V (x)

V (y)= m

x2 − (x)2

y2 − (y)2(23)

Note o aparecimento de um factor (n− 2) na formula do erro dos para-metros da recta, m e b. Com dois pontos definimos uma recta mas nao temosqualquer outra informacao adicional que nos permita estimar o erro associadoaos parametros da mesma. Lembre-se do caso do desvio padrao da amostra.Note:

•que o coeficiente de correlacao, r, nao e mais do que uma indicacaoqualitativa da regressao linear

• que pode ser muito perigoso extrapolar as nossas conclusoes para forado espaco das variaveis estudado. Por exemplo, fara sentido utilizar arecta obtida para determinar a asa de um pardal com uma idade de100 dias?

ExemploTendo em conta os dados apresentados para a variacao do comprimento

da asa, l, com a idade para um conjunto de pardais (tabela 12) e o respectivografico 9, podemos suspeitar da existencia de uma relacao linear entre as duasgrandezas. Vamos utilizar o MMDQ para determinar a recta mais prov avel.Neste caso nao existe uma linearizacao a efectuar. Precisamos, no entanto,de determinar qual das variaveis, o comprimento ou a idade e que colocamosno eixo dos xx.

50



Idade

±0,08 (dias) l

±0,1 (cm)

3,00 1,44,00 1,55,00 2,26,00 2,48,00 3,19,00 3,2

10,00 3,211,00 3,912,00 4,114,00 4,7

15,00 4,516,00 5,217,00 5,0

Tabela 12: Analise dos dados de um conjunto de pardais

Estimamos o declive, m, a partir dos valores apresentados na tabela 12,

mestimativa ≈ y j − yix j − xi

=5, 0− 1, 4

17, 00− 3, 00= 0, 26

cm (dia)−1

e atendendo a que ∆x = 0, 08 (dia) temos que m∆x ≈ 0, 02. Logo ∆y (= 0,1)e da mesma ordem de grandeza que m∆x. Neste caso a analise utilizandoas equacoes anteriormente deduzidas vai violar a hipotese no 1. A falta deoutros conhecimentos prosseguimos com a analise, tendo esta informacao emconsideracao na discussao dos resultados. Obtem-se para y = mx + b:

m = 0, 270± 0, 013

cm (dia)−1

b = 0, 71± 0, 14 (cm)

r = 0, 987

Na figura 11 representam-se os pontos experimentais e a recta anterior-mente determinada.

Exercıcio

1. Utilize os valores do exemplo anterior e a as equa coes obtidas peloMMDQ para a funcao y = mx para calcular o parametro m da melhorrecta que aproxima os pontos experimentais. Compare os resultadosobtidos com os do exemplo e comente-os.

51



Figura 11: Comprimento da asa em funcao da idade

2. Mostre que a definicao de media aritmetica minimizando da soma dosdesvios quadrados, di.

3. A profundidade de uma camada de rocha pode ser determinada gerandoondas sonoras a superfıcie da terra. Microfones sao espalhados pela su-perfıcie de forma a captar as ondas sonoras reflectidas pelas camadasrochosas sob a superfıcie terrestre.A relacao entre a distancia, d, a quecada microfone se encontrava do ponto onde o som era gerado e o atrasona deteccao da onda, t e dada pela expressao t2 = 1

v2(d2 + 4h2) onde v

e a velocidade da onda e h a profundidade da camada de rocha. Utili-zando o MMDQ determine a velocidade da onda, v, e a profundidadeda rocha, h.

52



(x) d2 (m2) (y) t2 (s2)225 1253,16400 1317,69625 1376,41900 1459,24

1225 1576,091600 1705,692025 1840,412500 1980,25

4. Na tabela apresenta-se a taxa de consumo de oxigenio de uma especiede passaros medida a diferentes temperaturas ambientes. Os resultadosobtidos sao apresentados na tabela seguinte

Temperatura ± 0,05 (oC) Consumo de oxigenio ± 0,1 (ml g−1hr−1)-18,00 5,2-15,00 4,7-10,00 4,5

-5,00 3,60,00 3,45,00 3,1

10,00 2,719,00 1,8

Utilizando o MMDQ determine os parametros da recta mais provavele respectivos erros associados.

53



A Resumo do Guia de Tratamento dos DadosExperimentais

Uma medicao sem uma incerteza associada (erro) NAO EXISTE!!

Medidas Directas

Procure identificar e eliminar os erros de calibracao, paralaxe, metodo esistematicos.

Verifique se existe um tempo de reaccao.

Erro Instrumental

• Instrumento Analogico - habitualmente e metade da menor divisao daescala

• Instrumento Digital - menor divisao da escala

O valor medido, xi, escreve-se como

xi ±∆xi (unidades)

em que o erro associado ao valor medido vai ser o maior de entre o erroinstrumental e o erro experimental.

Tabelas

Sempre que util, os valores medidos, incertezas associadas e respectivasunidades devem ser apresentadas em tabelas legıveis. Numa tabela devemser evitadas repeticoes desnecessarias.

Erros Aleatorios

Em muitos casos vai existir uma variabilidade nas medicoes experimentaisda mesma quantidade. Nessa situacao, o valor mais provavel do valor medidoe dado pela media aritmetica, x, sendo o erro padrao, sn−1(x), a incertezaassociada media, isto e,

x = x =

ni=1

xi

ne sn−1 (t) =

σn−1 (t)√n

em que σn−1(x) e o desvio padrao da amostra.

54



NOTA: Quando o erro padrao e inferior ao erro associado a cada um dos

valores medidos considera-se este ultimo como o erro associado a media.

Determinacoes de grandezas fısicas a partir de valores medidos

O erro associado a uma funcao, f , de n vari´ aveis independentes x1,...,xnmedidas experimentalmente e com erros associados de ∆x1, ..., ∆xn, e dadopela formula de propagacao dos erros

∆f =

n

i=1

∂f

∂xi

2X0

∆x2i

Graficos

Os graficos x-y, na apresentacao de dados experimentais, devem conter:

• um tıtulo que indique a relacao que esta a ser estudada;

• a indicacao das grandezas utilizadas nos eixos bem como as respectivasunidades;

• escalas claramente definidas e identificadas em ambos os eixos;

• os pontos experimentais ;

• legenda - caso seja necessario um texto que esclareca qualquer parti-cularidade do grafico.

Escalas

De um conjunto de pontos experimentais, escolhe-se o valor mınimo, xmin,e o valor maximo, xmax (se x for, por exemplo, o eixo das abcissas), tal que

valor por centimetro≥

(xmax

−xmin)

numero de cm de papel milimetrico disponiveis

tendo o cuidado de que a escala deve iniciar-se no valor de xmin ou num valorligeiramente inferior a este.

Metodo dos Mınimos Desvios Quadrados (MMDQ)

Se soubermos ou suposermos que um para um dado conjunto de pontosexperimentais xi±∆xi, yi±∆yi os valores de y se relacionam com os dex atraves da equacao de uma recta e assumirmos que para todos os pontos

55



xi nao existe um erro associado (∆xi = 0), entao os parametros da recta, m

e b, mais provavel sao dados por:• Para y = mx

m =

ni=1

yixi

ni=1

(xi)2

• Para y = mx + b

m =

xy

−x y

x2 − (x)2 e b = y −mx

No caso dos erros respeitantes a variavel dependente, yi, serem constantese determinados a partir da dispersao dos valores em torno da recta, entaoexistem erros associados a cada um dos parametros da recta, ∆m e ∆b, e saodeterminados a partir de:

• Para y = mx

∆m =∆y ni=1

(xi)2

e ∆y =

n

i=1(yi)

2 −m2n

i=1(xi)

2

n− 2

• Para y = mx + b

∆m = |m|

1r2− 1

n− 2e ∆b = ∆m

ni=1

x2i

n

em que r e o coeficiente de correlacao que e, por definicao, igual a

r = xy − x y x2 − x2

y2 − y2

A aplicacao do MMDQ exige entao que a grandeza escolhida para variavelindependente xi, nao tenha erro associado. Na pratica tal nunca acontece,no entanto no caso de verificar a condicao

∆y |m∆x|

56



tem-se uma boa aproximacao da situacao ideal e o metodo pode ser usado

para determinar a equacao da recta mais provavel. O declive m, e entaoestimado a partir dos pontos experimentais pela expressao:

mestimativa =y j − yix j − xi

em que os pontos i e j sao escolhidos de forma a obtermos um valor tipicopara o declive. Nao devem, por isso, ser pontos consecutivos.

Precisao (Erro Relativo):

A precisao da-nos uma indicacao da dispersao dos valores, ∆x, em tornodo resultado, x, e e habitualmente expressa em percentagem∆x

x

× 100(%).

Exactidao:

A exactidao indica-nos se o valor obtido experimentalmente esta em de-sacordo com o valor esperado.

• Se o valor esperado nao tem erro associadoxexperimental − xesperado∆xexperimental

> 3 xexperimental e inexacto

• Se o valor esperado tem erro associado

xexperimental − xesperado (∆xexperimental)

2 + (∆xesperado)2

> 3 xexperimental e inexacto

57



B Solucoes dos Exercıcios:

1 Medidas Directas 31.3 Craveira ou Paquımetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

• dr = 1, 4 cm; k = 8. Logo d = 1, 4 + (8× 0, 01) = 1, 48. O resultadofinal escreve-se d = 1, 48± 0, 01 cm.

1.6 Erro de calibracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

• A escala nao esta calibrada.

1.6 Erros associados ao observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.2 Medicao incorrecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

• A distancia percorrida mede-se, para o mesmo ponto da esfera (conside-rada indeformavel), entre a posicao inicial e final. A medicao correctae por isso h3.

1.8.2 Erro do metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

• Desprezar o atrito para a folha de papel nao e uma boa aproximacao.

1.11 Erros Aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.11.4 Erro padrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

• 1245, 68± 0, 12; (3, 2468± 0, 0035)× 106; (1, 25000 ± 0, 00005)× 105 e0, 00± 0, 67

1.12 Precisao e exactidao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12.2 Exactidao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1. x = 0; σn−1 = 1; σn = 0, 8165; sn−1 = 0, 5774

2. Massa = 70± 3 g

3. Concentracao de aminoacidos = 240± 1 (mg/100ml)

58



2 Determinacoes de grandezas fısicas a partir de valores medi-

dos 282.2 Calculos e algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . 32

1. ρ = massavolume

= 4mπhD2

Logo,

∆ρ =

∂ρ

∂m

2(∆m)2 +

∂ρ

∂h

2(∆h)2 +

∂ρ

∂D

2(∆D)2 =

= 4

πhD22

(∆m)

2

+ 4m

πD2h22

(∆h)

2

+

2

4m

πhD32

(∆D)

2

2.

x(o) x(rad) sin(x)0 0,0000 0,00002 0,0349 0,03495 0,0873 0,0871

10 0,1745 0,173630 0,5236 0,5000

90 1,5708 1,0000

3.

f (x) ∆f sin(x) |cos(x)|∆x;cos(x) |sin(x)|∆x;tan(x) 1

cos2(x)∆x

4. Os resultados obtidos sao apresentados na tabela seguinte

x sin(x)±∆sin(x) cos(x)±∆cos(x) tan(x)±∆tan(x)0, 56± 0, 01 0, 5312 ± 0, 0085 0, 8473± 0, 0053 0, 623± 0, 0141, 56± 0, 01 0, 99994 ± 0, 00011 0, 0108± 0, 0010 (0, 1± 8, 5)× 103

Para x = 1, 56±0, 01 a aproximacao dos erros pequenos nao e validapara a funcao tan(x).

5. Substituindo as expressoes das derivadas e apos alguma manipulacaoalgebrica obtem-se o resultado pretendido.

59



6. ∆ρ

ρ

2=

∆m

m

2+

∆h

h

2+

2

∆D

D

2

7. O resultado correcto e (∆f )2 = (sin(x) + x cos(x))2 (∆x)2 , visto que aformula de propagacao dos erros so se aplica a variaveis independentes.

2.4.1 Escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1. (30 cm para x) - x: 1 cm corresponde a 1,5; y: 1 cm corresponde a 0,2;

2. (30 cm para x) - x: 1 cm corresponde a 80; y: 1 cm corresponde a 25;

2.5 Linearizacao de equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

x f(x) g(x)0 0 01 2 12 8 43 18 9

1. Pretende-se escrever a funcao M = √kt + D como f 1 (M ) = mf 2 (t)+bo que implica

f 1 (M ) = M 2

m = k

f 2 (t) = t

b = D

2. Pretende-se escrever a funcao t2 = 1v2

(d2 + 4h2) como f 1 (t) = mf 2 (d)+b o que implica

f 1 (t) = t2

m =1

v2

f 2 (t) = d2

b =4h2

v2

60



3. Pretende-se escrever a funcao t2 = 2h

g1 + I

M cR

2 como f 1 (t) = mf 2 (M c)+

b o que implica

f 1 (t) = t2

m =2hI

gR2

f 2 (t) =1

M c

b =2h

g

3 Metodo dos Mınimos Desvios Quadrados 43

1. Utilizando os mesmos eixos que no texto. E considerando que y = mxobtem-se

m = 0, 33± 0, 01

cm (dia)−1

r = 0, 44

Compare este resultado com o obtido anteriormente para a recta y =mx + b e comente-o.

2. S 2 =ni=1

(xi − a)2. Procuramos um extremo

∂f

∂a= 0

= 2ni=1

(xi − a)

∂ (xi − a)

∂x

=

= −2ni=1

(xi − a) = 0

Ou seja,

ni=1

xi = na

x ≡ a =

ni=1

xi

n

tal como esperado.

61



3.

m = 0, 3227± 0, 0039 s2m−2

b = (1, 1804 ± 0, 054) × 103 s2

r = 0, 9996

4. Como os erros relativos sao da mesma ordem de grandeza escolhem-sealeatoriamente os eixos

m = −0, 0878± 0, 0050 mlg−1hr−1C−1

b = 3, 471±

0, 060 mlg−1hr−1

r = −0, 990

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Referencias

[Barford] N. C. Barford Experimental Measurements: Precision, Error and Truth , John Wiley & Sons

[Barlow] R. J. Barlow 1995 Statistics, John Wiley & Sons

[Kirkup] L. Kirkup 1994 Experimental Methods, John Wiley & Sons

[Topping] J. Topping 1971 Errors of Observation and Their Treatment ,Chapman and Hall LTD

63

Documents

Guia Tratamento Dados Experiment a Is