MATEMATICA I

LA ANTIDERIVADA

(TEORIA)

INTRODUCCION.-

La operación inversa de la derivada se llama INTEGRACION. Mediante una integración se encuentra la función cuya derivada es dada. La función que se halla se denomina ANTIDERIVADA ó INTEGRAL INDEFINIDA de la función dada.

DEFINICIÓN.- Una función F es una antiderivada o una primitiva de la

función f en un intervalo si .

Ejemplo:

Si C es una constante cualquiera, entonces

TEOREMA.-

Si F es una antiderivada de f en , entonces G es una antiderivada de f

en , si solo si existe una constante C tal que .

NOTACION PARA LA ANTIDERIVADA.-

; Esto es, si F es una antiderivada de f en un intervalo,

entonces: , donde C es una constante.

El símbolo es llamado símbolo de la integral.

En , la función f es el integrando, la notación dx se usa para indicar que x es la variable de integración.

A continuación se presentan los teoremas que son notables para ayudar al cálculo de las integrales.

Teoremas.-

1) Fórmula de la Potencia:

2)

3)

4) Regla del factor constante:

5) Regla de la suma o diferencia para Integrales:

6) Fórmulas para integrales de funciones trigonométricas:

INTEGRACION POR SUSTITUCIÓN.-

TEOREMA.-

Si F es una antiderivada de f y es diferenciable, entonces:

OBSERVACION: Interpretando este teorema se puede ver en términos de diferenciales, del modo siguiente:

Si ; entonces , quedando

En general esta expresión es la que más se utilizará en la práctica.

INTEGRACION DE UNA FUNCION RACIONAL IMPROPIA.-

Una función racional es impropia cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Para integrar este tipo de funciones, en primer lugar, se debe efectuar la división del numerador entre el denominador a fin de llevarlas a integrales conocidas y fácil de resolver.

Ing. Belkis Maluff.-