GUIA PRACTICA No. 5 PROGRAMACION LINEAL Problema de Transporte

7/26/2019 GUIA PRACTICA No. 5 PROGRAMACION LINEAL Problema de Transporte

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INVESTIGACION DE

OPERACIONES

EL MODELO DEL

TRANSPORTE

Gua de Prctica No.5

Mg Gregorio Cisneros Santos

Profesor Asociado de la EAP de Ingeniera Agroindustrial

Universidad Nacional Hermilio Valdizn - Hunuco

UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN

FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS

EAP DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL


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La modelizacin es una de las reas ms atractivas de la ingeniera y las ciencias

aplicadas. De hecho, los ingenieros necesitan construir modelos para resolver problemas

de la vida real.

El objetivo de un modelo consiste en reproducir la realidad de la forma ms fiel posible,

tratando de entender cmo se comporta el mundo real y obteniendo las respuestas que

pueden esperarse de determinadas acciones. En la prctica se utilizan muchos tipos de

modelos, tales como modelos de ecuaciones diferenciales, modelos de ecuaciones

funcionales, modelos en diferencias y de elementos finitos, y modelos de programacin

matemtica.

La seleccin del modelo adecuado para reproducir la realidad es una etapa crucial para

obtener una solucin satisfactoria a un problema real. Las estructuras matemticas

asociadas no son arbitrarias, sino una consecuencia de la realidad misma. En el cursoInvestigacin de Operaciones, se hace un esfuerzo importante por conectar las realidades

fsica y matemtica. Se muestra al estudiante el razonamiento que conduce al anlisis de

las diferentes estructuras, modelos y conceptos. Esto se pone de manifiesto en los

ejemplos ilustrativos, que muestran la conexin entre modelo y realidad.

En este curso se tratan los modelos de programacin matemtica, incluyendo los de

programacin lineal y no lineal.

Los problemas de programacin matemtica son problemas particulares a los que uno se

enfrenta con cierta frecuencia. Uno est preparado para resolverlos usando muchas de

las herramientas disponibles, procedimientos o paquetes de software. De hecho, estos

problemas se estudian en detalle en los estudios de grado y postgrado. Sin embargo, uno

puede no estar preparado para resolver otros problemas muy frecuentes como:

1. Problemas de programacin lineal con muchas variables y/o restricciones.2. Problemas de programacin no lineal.3. Tcnicas de descomposicin para problemas a resolver con herramientas de

programacin matemtica.4. Reglas para transformar otros problemas en problemas de programacin

matemtica.

En este curso se dan mtodos que permiten resolver una amplia coleccin de problemas

prcticos interesantes.

Cuando se analiza y discute la programacin matemtica, una posibilidad es la de dar un

profundo anlisis terico del problema y una discusin de los diferentes problemas y

mtodos. Esta opcin tiene algunos riesgos. Aunque a veces, inicialmente, el tratamiento

parece ser ms riguroso y profundo, el lector es conducido a ser demasiado curioso y

cuidadoso con los detalles matemticos pero sin preocuparse ni entender a dnde

conducen estos o de dnde proceden.

Presentacin


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Por ejemplo, no es infrecuente dar a una persona que ha estudiado durante aos

programacin lineal, un dibujo bidimensional sencillo en el que aparece el conjunto

factible, y preguntarle que marque la secuencia de puntos extremos asociada al mtodo

simplex, sin obtener una respuesta correcta. Ntese que esto significa que no se

comprende la esencia misma del mtodo simplex y de las ideas en que ste se basa.

Alternativamente, uno puede tratar este tema con la ayuda de ejemplos ilustrativos, y

tratar de transmitir al lector la profundidad y el ingenio que hay detrs de estos mtodos,

con lo que se hace el tema ms legible y atractivo.

No tratamos con mtodos o soluciones estndar. El lector que busque mtodos estndar

o referencias de trabajos con esta orientacin debera consultar uno de los muchos libros

sobre este tema que se encuentran en el mercado. Por el contrario, en este libro se

discuten los problemas antes mencionados desde otro punto de vista.

Adems de obtener soluciones, matemticos e ingenieros estn interesados en analizar

las condiciones que conducen a problemas bien definidos. En este contexto, los

problemas de compatibilidad y unicidad de solucin juegan un papel central. De hecho,

conducen a conclusiones fsicas e ingenieriles muy interesantes, que relacionan las

condiciones fsicas, obtenidas de la realidad, con las correspondientes condiciones que

hay tras los modelos matemticos. Los mtodos a desarrollar en este curso tambin

permiten concluir si el conjunto de restricciones conducen a la existencia de al menos una

solucin.

Mg. Gregorio Cisneros Santos


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Actividad Inicial:

Toda actividad propuesta se inicia con la formacin de grupos: El trabajo grupal siempre ser una

forma de potencial el aprendizaje; debern formar grupos que permanecern durante el desarrollo

de todo el curso, con la finalidad de poder compartir experiencias, tomar decisiones y sacar

conclusiones sobre los diferentes temas que se vayan abordando en el curso.

Objetivo:

Al culminar la presente prctica los alumnos habrn obtenido los conceptos bsicos de la

programacin lineal en el problema del transporte y estarn en condiciones de poder resolver

problemas de optimizacin relacionados con el algoritmo del transporte. De igual manera los

alumnos se conocern e intercambiarn ideas de cmo aprender mejor los temas.

Recomendaciones:

Recuerden que es importante conocernos para poder trabajar en grupos o en equipos. Es

necesario para nosotros los docentes y tambin para los alumnos. Para hacer posible este

acercamiento es necesario contar con un espacio de integracin y tiempo suficiente.

Cada grupo se organizar internamente y establecer su cdigo de tica. Este ser de

cumplimiento obligatorio de cada integrante. Se trata de formar una sociedad de trabajo, por lo

tanto, todos deben tener claras las reglas y posibles sanciones que hay en ellas. El docente

brindar las pautas para el desarrollo de sta importante actividad previa al aprendizaje.

Actividad Principal:

En cada prctica se tocar un tema del contenido del curso, para complementar los conocimientos

tericos de las clases dictadas previamente y se presentan los ejercicios y casos resueltos y casos

propuestos, que debern ser tratados por el grupo.

Tema 5:

PROBLEMA DEL TRANSPORTE


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MODELO DE TRANSPORTE

La empresa TRANSCEREAL transporta grano desde tres silos hasta tres molinos.

La oferta (en camionadas) y la demanda tambin en camionadas se resume en el

modelo de transporte que se presenta junto con los costos unitarios de transportepor camionada en las distintas rutas. Los costos unitarios estn en cientos de

soles. Se debe determinar el programa de transporte entre silos y molinos que

tenga costo mnimo.

INVESTIGACION DE OPERACIONES

MODELO DE TRANSPORTELa empresa TRANSCEREAL transporta grano desde tres silos hasta tres molinos. La oferta (en

camionadas) y la demanda tambin en camionadas se resume en el modelo de transporte que sepresenta junto con los costos unitarios de transporte por camionada en las distintas rutas. Los

costos unitarios estn en cientos de soles. Se debe determinar el programa de transporteentre silos y molinos que tenga costo mnimo.

ai

10 2 20 11

15

12 7 9 20

25

4 14 16 18

10

bj

Molino 1

Silo 1

X21

X31

5

Molino 2 Molino 3 Molino 4

X11 X12 X13 X14

X22 X23 X24Silo 1

X32 X33 X34Silo 3

15 15 15


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PASOS DEL ALGORITMO DEL TRANSPORTE

MODELO DE TRANSPORTE

PASO 1: Determinar una solucin bsica factible de i n ic io y seguir con el PASO 2.

PASO 2: Usar la condicin de OPTIMALIDAD del mtodo simplex para determinar la VARIABLE DE

ENTRADA entre todas las variables no bsicas. Si se satisface la condicin de optimalidad,

detenerse. En caso contrario seguir con el PASO3.PASO 3: Usar la condicin de FACTIBILIDAD del mtodo simplex para determinar la variable de salida

entre todas variables bsicasen ese momento y determinar la nueva solucin bsica.

Regresar al PASO 2.

PASO 1: SOLUCION FACTIBLE INICIAL: METODO ESQUINA NOR OESTE

10 2 20 11

15

12 7 9 20

25

4 14 16 18

10

5 10

5 15 5

10

5 15 15 15

Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4

Silo 1

Silo 1

Silo 3

Z = 5x10 + 10x2 + 5x7 + 15x9 + 5x20 + 10x18 = 520

PASOS DEL ALGORITMO DEL TRANSPORTEMODELO DE TRANSPORTE

PASO 2: METODO DE LOS MULTIPLICADORES (Condicin de Optimalidad)

10 2 20 11

15-16 4

12 7 9 20

25

3

4 14 16 18

10

-9 -9 -9

5 15 15 15

5u1= 5

10u3= 3

u1= 0

5 15

5 10

v1 = 10 v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15

9

SOLUCION

BASICA

SOLUCION

NO BASICA

X11 = 5

X12 = 10

X22 = 5

X23 = 15

X24 = 5

X34 = 10

X13 = 0

X14 = 0

X21 = 0

X31 = 0

X32 = 0

X33 = 0

VARIABLE

BASICAECUACION SOLUCION

X11

X12

X22

X23

X24

X34

u1

+ v1

= 10u1 + v2 = 2

u2 + v2 = 7

u2 + v3 = 9

u2 + v4 = 20

u3 + v4 = 18

u1

= 0 entonces v1

= 10u1 = 0 entonces v2 = 2

v2 = 2 entonces u2 = 5

u2 = 5 entonces v3 = 4


v4 =15 entonces u3 = 3

ui + vj = Cij : para cada xij bsica

VARIABLE

NO BASICASOLUCION

X13

= 0X14 = 0

X21 = 0

X31 = 0

X32 = 0

X33 = 0

u1

+ v3

- C13

= 0 + 4 - 20 = -16u1 + v4 - C14 = 0 + 15 - 11 = 4

u2 + v1 - C21 = 5 + 10 - 12 = 3

u3 + v1 - C31 = 3 + 10 - 4 = 9

u3 + v2 - C32 = 3 + 2 - 14 = -9

u3 + v3 - C33 = 3 + 4 - 16 = -9

ui + vj - Cij : para cada xij No bsica

Variable

que entra


8/10


10 2 20 11

15

-16 4

12 7 9 20

25

3

4 14 16 18

10

9 -9 -9

5- 15 5+

5- 10-u1= 0

u1= 5

u3= 3

v1 = 10

v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15

5 15 15 15

10-

X11 riable que

sale

X31Variable que

entra

10 2 20 11

15

12 7 9 20

25

4 14 16 18

10

5 15 15 15

10u1= 5

5 5u3= 3

u1= 0

0 15

15

v1 = 10 v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15

Nueva solucin:

Z = 15x2 + 0x7 + 15x9 + 10x20 + 5x4 + 5x18 = 475

520 - 475 = 45 (9x5)

PASO 2: METODO DE LOS MULTIPLICADORES (Condicin de Factibilidad)


10 2 20 1115

-9 -16 4

12 7 9 20

25

-6

4 14 16 18

10

-9 -9

0 15 10

15u1= 0

u1= 5

u3= 3

v1 = 1

5

v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15

5 15 15 15

5


VARIABLE


X12

X22

X23

X24

X31

X34

u1 + v2 = 2

u2 + v2 = 7

u2 + v3 = 9

u2 + v4 = 20

u3 + v1 = 4

u3 + v4 = 18


v2 = 2 entonces u2 = 5



u3 = 3 entonces v1= 1

v4 =15 entonces u3 = 3


VARIABLE

NO BASICASOLUCION

X11 = 0

X13 = 0

X14 = 0

X21 = 0

X32 = 0

X33 = 0

u1 + v1 - C11 = 0 + 1 - 10 = -9

u1 + v3 - C13 = 0 + 4 - 20 = -16

u1 + v4 - C14 = 0 + 15 - 11 = 4

u2 + v1 - C21 = 5 + 1 - 12 = -6

u3 + v2 - C32 = 3 + 2 - 14 = -9

u3 + v3 - C33 = 3 + 4 - 16 = -9


Variable

que entra

SOLUCION

BASICA

SOLUCION

NO BASICA

X12 = 15

X22 = 0

X23 = 15

X24 = 10

X31 = 5

X34 = 5

X11 = 0

X13 = 0

X14 = 0

X21 = 0

X32 = 0

X33 = 0


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Nueva solucin:

10 2 20 11

15

-9 -16 4

12 7 9

25

-6

4 14 16 18

10

-9 -9

0+ 15 10-

15- u1= 0

u1= 5

u3= 3

v1 = 1

5

v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15

5 15 15 15

5

X11Variable que

sale

X31Variable que

entra

10 2 20 11

15

12 7 9

25

4 14 16 18

10

10 15

5 10u1= 0

u1= 5

u3= 3

v1 = 1

5

v2 = 2 v3 = 4 v4 = 15

5 15 15 15

5

Z = 5x2 + 10x11 + 10x7 + 15x9 + 5x4 + 5x18 = 435

PASO 2: METODO DE LOS MULTIPLICADORES (Condicin de Factibilidad)

475 - 435 = 40 (10x4)


Solucin Optima: Z = 5x2 + 10x11 + 10x7 + 15x9 + 5x4 + 5x18 = 435

10 2 20 11

15

-13 -16

12 7 9

25

-10 -4

4 14 16 18

10

-5 -5

10 15

5 10u1= 0

u1= 5

u3= 7

v1 = -3

5

v2 = 2 v3 = 4 v4 = 11

5 15 15 15

5


VARIABLE


X12

X13

X22

X23

X31

X34

u1 + v2 = 2

u2 + v3 = 20

u2 + v2 = 7

u2 + v3 = 9

u3 + v1 = 4

u3 + v4 = 18


VARIABLE

NO BASICASOLUCION

X11 = 0

X13 = 0

X21 = 0

X24 = 0

X32 = 0

X33 = 0

u1 + v1 - C11 =

u1 + v3 - C13 =

u1 + v2 - C12 =

u2 + v4 - C24 =

u3 + v2 - C32 =

u3 + v3 - C33 =


SOLUCION

BASICA

SOLUCION

NO BASICA

X12 = 5

X13 = 10

X22 = 10

X23 = 15

X31 = 5

X34 = 5

X11 = 0

X13 = 0

X21 = 0

X24 = 0

X32 = 0

X33 = 0


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PROBLEMAS PROPUESTOS PARA RESOLVER APLICANDO EL ALGORITMO DEL

TRANSPORTE:

1. Cierto o Falso?

a) Para balancear un modelo de transporte se puede necesitar agregar tanto una

fuente ficticia como un destino ficticio?b) Las cantidades transportadas hasta un destino ficticio representan sobrantes

en la fuente de transporte?c) Las cantidades transportadas desde una fuente ficticia representan carencias

en los destinos receptores?

2. En cada uno de los siguientes casos determine si debe agregarse una fuente o undestino ficticio, para balancear el modelo

a) Oferta: a1= 10; a2= 5; a3= 4; a4= 6Demanda: b1= 10; b2= 5; b3= 7; b4= 9

b) Oferta: a1= 30; a2= 44Demanda: b1= 25; b2= 30; b3= 10

3. Compare las soluciones de inicio, obtenidas con los mtodos de esquina noroeste,de costos mnimos y de Vogel, en cada uno de los modelos siguientes:

5 1 8 12 0 2 1 6 1 2 6 7

2 4 0 14 2 1 5 7 0 4 2 12

3 6 7 4 2 4 3 7 3 1 5 11

9 10 11 5 5 10 10 10 10

4. En tres centros de distribucin se embarcan lotes de 50 cajas de conserva defrutas a cinco agencias. El costo de transporte se basa en la distancia entre lasfuentes y los destinos, y es independiente de si los camiones van con carga parcialo completa. En la tabla se ven las distancias entre los centros de distribucin y lasagencias, junto con las ofertas y demandas, expresadas en nmero de lotes. Uncamin puede transportar 18 lotes. El costo de transporte por kilmetro de camines $25.

AgenciaOferta

1 2 3 4 5

Centro1Centro 2Centro 3

100 150 200 140 35 40050 70 60 65 80 20040 90 100 150 130 150

Demanda 100 200 150 160 140

Formule el modelo de transporte y resuelva con el algoritmo.

Cada grupo deber presentar la solucin de la prctica en un informe fsico o virtual, de acuerdo alas instrucciones del docente.

Mg. Gregorio Cisneros SantosDocente del Curso

Email: [email protected]

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