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Guia 2 geodesia
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Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
GUÍA Nº2 GEODESIA I
1) De acuerdo a la figura demuestre que: ( ) ( )
12
2
2
2
=−+−b
kya
hx ; si aPFPF 221 =+
(0,0)X
Y
h
k
P (x,y)
V1 F1 F2 V2
aa b
c cC
2) A partir de la ecuación de la elipse 1 2
2
2
2
=+by
ax
; demuestre que:
( )( )
( ) 21
22
2
21
22 1
1 ;
1
cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sene
esenay
sene
ax
⋅−
−⋅⋅=⋅−
⋅=
3) A partir dela elipse meridiana demuestre:
Radio principal de curvatura y radio de curvatura en el meridiano.
X
Y
P
ϕ
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
4) Demuestre que:
a) ( ) 0º si ; 1
=−
= ϕf
bN
b) 0º si ; 2
== ϕρa
b
5) Calcule el valor de un arco de paralelo en el elipsoide. 6) Calcule el arco de paralelo entre los puntos A y B:
A: '20' 17' 70º ; ''10 '28 º37 −=−= λϕ B: '10' 25' 70º ; ''10 '28 º37 −=−= λϕ
Elipsoide WGS-84 ; 2572,2981
:6378135 == fa
7) Deducir el arco meridiano L, entre los puntos a y b, de latitudes 1ϕ y 2ϕ de acuerdo al
grafico que se adjunta.
L
ϕ1ϕ 2
a
b
M
8) Calcule el valor del radio medio de curvatura (Radio Gaussiano) 9) πλλϕϕ ⋅===== 2º360y 0º ,90ºy º0 Si 2121 Encuentre la superficie sobre el elipsoide, demuestre en forma fundada su respuesta
( ) ..........65432111 Si 54322 +−+−+−=+⇒< − xxxxxxx
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Solución: 1) F1 = ((h-c),k) ; F2 = ((h + c),k)
( )( )chxckybcb
chxckybcba
+−=−=+=
−−=−=+=⇒⋅=+
; pero ; PF
; pero ;PF 2PFPF Si22
2
221 21
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2222222
22222
2222
222
221
44
/2
2 : tantoloPor
PF ; PF
kychxkychxaakychx
kychxakychx
akychxkychx
kychxkychx
−++−+−++−⋅⋅−⋅=−+−−
−++−−⋅=−+−−
⋅=−++−+−+−−
−++−=−+−−=
( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) _244222
2442
:siguiente lo obtiene se binomios de cuadrados los ndoDesarrolla
44
:siguiente lo obtiene se lados ambos a Restando
2222222
2222222
22222
2
hxxkychxaacchhhxhxx
chchxxkychxaachchxx
chxkychxaachx
ky
⋅⋅−+−++−⋅⋅−⋅=+⋅⋅−+⋅⋅+⋅⋅−
+++⋅⋅−+−++−⋅⋅−⋅=−+−⋅⋅−
+−+−++−⋅⋅−⋅=−−
−
( )( ) ( )( )( ) ( ) 4 : / 4444
22 /224422
:siguiente lo obtiene se 2 lados ambos a Sumando : 22
222
222
22222
akychxaachcx
cxchcxchkychxaachcx
chhxxcchhcx
⋅−++−⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+−++−⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅⋅
−−⋅⋅+−+⋅⋅++⋅⋅−
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )222
222
22
2222
/
:expresión esta dofactorizan ;
1 /
kychxahxac
kychxahxac
kychxaacx
ach
kychxaa
cha
cxkychxa
ach
acx
−++−=
+−⋅−⇒−++−=+−⋅−
−++−=+⋅−⋅
−++−+−=⋅+⋅−⇒−⋅−++−−=⋅−⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )22222
2
22
22222
2
22
22222
2
22
2222
2
22
2
2
: obtiene se 22 lados ambos a Sumando
22222
22
kychhxxhxac
a
kychxhxhxac
a
hcxc
kycchhcxhxxhxac
hcxca
kychchxxhxac
hxca
−+++⋅⋅−=−⋅+
−++⋅⋅−+=−⋅+
⋅⋅−⋅⋅+
−++⋅⋅++⋅⋅−⋅⋅−=−⋅+⋅⋅+⋅⋅−
−++++⋅⋅−=−⋅+−⋅⋅−
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1 : /
1 :obtiene se doFactorizan
-1 /
22
2
2
222222
2
222
222
2
22
22222
2
222222
2
2
2222
2
22
=−−+−⇒−−=−+
−⋅−
−=−+
−⋅−
−=−+−+−⋅−⇒⋅−=−−−−−⋅
−++−=−⋅+
caky
ahx
cacakya
cahx
cakyac
hx
cakyhxhxac
ackyhxhxac
kychxhxac
a
Pero en el triangulo rectángulo (F1 C P) por el teorema de Pitágoras se cumple:
( ) ( )1 : tantoloPor
c PFPCCF
2
2
2
2
2222221
221
=−+−
−=⇒=+⇒=+
bky
ahx
cabab
2)
Y
X
P
Y
X
ϕ 90º + ϕ
( )
222222222
2
2
2
/1 elipse la deecuacion la De
su vez a :º90
baaybxbaby
ax
tgdydx
ctgdxdy
tgdxdy
⋅=⋅+⋅⇒⋅⋅=+
−=−=⇒+= ϕϕϕ
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Diferenciando con derivadas parciales obtendremos lo siguiente:
dydx
ab
xybdxxadyyy
dxdy
ba
yxadyybdxx
xadyybdxxadyybdxx
⋅⋅−=⇒⋅⋅−=⋅⋅
⋅⋅−=⇒⋅⋅−=⋅⋅
=⋅⋅+⋅⋅⇒=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
2
222
2
222
2222
:siguiente lo tendremos Despejando
:siguiente lo
tendremos despejando ; 02:/ 022
Reemplazando ,dydx
dxdy
en x, y en y respectivamente se obtiene:
( )22
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
222
222
2222
2
22
2
22
222
222
2
2
2
2
2
2
2
2
11
1 1 Si
/1 : elipse la deecuación la De
;
eba
eab
ab
ab
aa
ea
bae
atgab
xxaba
tgab
xx
aaby
xaby
ax
tgab
xyctgba
yx
−=⇒−=⇒−=−=⇒−=
=⋅⋅+⇒=⋅
⋅⋅+
=⋅+⇒⋅=+
⋅⋅=⋅⋅=
ϕϕ
ϕϕ
22
2222
2
222
222
222
2
2
2
2
/1: elipse la deecuación la De
bab
xyba
bxy
bya
bxb
by
ax
=⋅+⇒=⋅+
=+⋅⇒⋅=+
Reemplazando ϕctgba
yx ⋅⋅=2
2
:en la expresión anterior se obtiene:
( ) ( )
( )( )
( )2
22
22222
2
2
22
22
2
222
22
22
2
2
2
222
222
2222
2
22
2
22
1cos1cos
11
1
cos1
11
1 pero
cos
bsene
seneyb
seney
bsene
yyeb
ab
senba
yy
bctgba
yybab
ctgba
yy
=
⋅−
+⋅−⋅⇒=
⋅
−+⋅
=⋅−
⋅+⇒−
=⇒=⋅⋅+
=⋅+⇒=⋅
⋅+
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
( )( ) ( )( )
( ) 22
222222
2
222
222222222
222
2222
2
2
coscos
cos11
11 :obtiene se dofactorizan ; 1
: tantoloPor ; 1 : su vezA
asenesen
xasen
ex
atgexatgexx
atgab
xxeab
=
⋅−+⋅⇒=
⋅−+⋅
=⋅−+⋅=⋅−⋅+⇒
=⋅⋅+−⋅
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
( ) ( )( ) 2
12222
222
22
22222
1
cos /
1cos
cos1
tantolopor ; 1cos pero
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕ
sene
ax
senea
x
asene
xsen
⋅−
⋅=⇒⋅−
⋅=⇒
=
⋅−⋅=+
( )
( )( )( ) ( )222
22
22222
22
222 1 pero ;
11
y 11
eabsenesene
bbsene
seney −⋅=
−⋅−⋅=⇒=
⋅−−⋅
ϕϕ
ϕϕ
( ) 1cos pero ; 1
cos 22222
22222 =+=
⋅−
−+⋅ ϕϕ
ϕϕϕϕ
senbsene
seneseny
( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( ) 2
122
2
22
22222
22
22222
1
1
/ 11
111
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
sene
seneay
senesenea
ysene
seneeay
−
⋅−⋅=
−⋅−⋅=⇒
−⋅−⋅−⋅=
3)
Y
X
Y
90º + ϕX
P
ϕ
ϕ
N
X
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
De la figura se tiene lo siguiente :
ϕϕ
coscos
xN
Nx =⇒= ; pero
( ) ( ) ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕcos
1
1
cos
1
cos2
1222
122
⋅⋅−
⋅=⇒
⋅−
⋅=
sene
aN
sene
ax
por lo tanto ( ) 2
1221 ϕsene
aN
⋅−=
( )
( ) ( ) 21
2222
22
32
1cos 1
cos Si
cos'' ' ;'''1
−⋅−⋅⋅=⇒
⋅−⋅=
⋅=⇒−==+==
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕρ
seneaxsene
ax
dxd
ecyctgdxdy
yyy
M
Diferenciando la expresión queda:
( ) ( )
( ) ( ) 21
2223
2222
21
22223
22
11cos
1cos2121
cos
−−
−−
⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅=
⋅−⋅⋅−+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅=
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ
senesenaseneesena
senesenaseneseneaddx
( ) ( )[ ]( ) [ ]( ) ( )[ ]( ) [ ] ( ) [ ]22
32222
322
2222223
22
22222322
222223
22
11-1 /11
1cos pero ; 1cos1
1cos1
1cos1
esenesenaddx
esenesena
sensenesenesena
seneesenesena
seneesenesena
−⋅⋅−⋅⋅−=⇒⋅−⋅−⋅⋅=
=+⋅−+⋅⋅⋅−⋅⋅=
⋅+−⋅⋅⋅−⋅⋅=
⋅−−⋅⋅⋅−⋅⋅=
−⋅−
⋅−
⋅−
⋅−
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )2
23
222
23
2
2
2
23
222
23
2
2
23
22
23
22
2
11
cosec
cos1
11
cosec
1
11
1
1
esenasene
senM
esenasene
ctgM
esenasene
dxd
sene
esenaddx
−⋅⋅⋅−⋅
+
−=⇒
−⋅⋅⋅−⋅
+−=
−⋅⋅⋅−−=⇒
⋅−
−⋅⋅−=
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) 2
322
2
23
222
2
2
23
222
2
3
2
23
222
3
2
23
222
23
2
2
23
222
23
2
22
1
1 tantolopor ;
11
1
1cosec
11
11
cosec
1
11
cosec
1
11
cosec
cos
ϕρ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
sene
eaM
senesen
sen
eaM
sene
esenasen
M
esenasene
senM
esenasene
senM
esenasene
sensen
M
⋅−
−⋅==⋅−⋅⋅
−⋅−=
⋅−⋅
−⋅⋅⋅−=⇒
−⋅⋅⋅−⋅
−=
−⋅⋅⋅−⋅
−=⇒
−⋅⋅⋅−⋅
+
−=
4) a) ( ) 0º si ; 1
=−
= ϕf
bN
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
22
2122
122
22
22
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
222
21
2221
22
2 pero ; 1
1
/1
11
1 1 Si
0º0 º011
ffee
bN
e
ba
eb
a
eba
eab
ab
ab
aa
ea
bae
aNsensene
aN
sene
aN
−⋅=−
=∴−
=⇒−
=
−=⇒−=⇒−=−=⇒−=
=∴=⇒⋅−
=⇒⋅−
=ϕ
( )( ) ( ) ( )( ) 21
221
221
2 12121 f
bN
ff
bN
ff
bN
−=⇒
+⋅−=⇒
−⋅−=
Por lo tanto : ( )fb
N−
=1
b) 0º si ; 2
== ϕab
M
( )( )
( )( )
( )
( ) ( )ab
Mab
aMab
eeab
eaMsene
eaM
sene
eaM
2
2
2
2
22222
2
2322
2
2322
2
tantolopor ; 11 Si
1 00ºsen ; º01
1
1
1
=⋅=⇒=−⇒−⋅=
−⋅=∴=⋅−
−⋅=⇒⋅−
−⋅=ϕ
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
5)
S
ϕϕ
ϕ1ϕ2
R
De la figura se tiene que:
( ) ( ) 21
2221
22 1
''1cos
1
cos''
ϕ
λϕ
ϕ
ϕλ
sene
arcaS
sene
aXRarcRS
⋅−
⋅∆⋅⋅=∴
⋅−
⋅==⇒⋅∆⋅=
Además sabemos que ( ) 2
1221 ϕsene
aN
⋅−= , por lo tanto ''1cos arcNS ⋅∆⋅⋅= λϕ
6) A: '20' 17' 70º ; ''10 '28 º37 −=−= λϕ ; B: '10' 25' 70º ; ''10 '28 º37 −=−= λϕ
Elipsoide WGS-84 ; 2572,2981
:6378135 == fa
180066943805,02572,2981
2572,2981
222
22 =
−⋅=−⋅= ffe
( )
( )( )
⋅−⋅⋅⋅⋅
=⋅−
⋅⋅⋅∆=
−2
6
21
22
'10' 28' 37º-sen05180,00669438-1
''10 '28 º37 cos637813510848136811,4''470
1
cos''1''
ϕ
ϕλsene
aarcS
mts. 13.115497936778769,0388.638605010·848136811.4 '·'470 6 =⇒⋅⋅= − SS
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
7)
L
ϕ1ϕ 2
a
b
M
M = radio de un circulo cuyo arco es dL ; ϕdMdL ⋅=
Hagamos que la curva C tenga las ecuaciones paramétricas ( )tfx = ; ( )tgy = y
supongamos que f’ y g’ son continuas en el intervalo cerrado [ ]ba, .Entonces la longitud
del arco L unidades de la curva C, desde el punto ( ) ( )[ ]agaf , hasta el punto
( ) ( )[ ]bgbf , , está determinado por :
Si 2/122 )1(
cosϕ
ϕsene
aX
⋅−⋅= ; y
2/122
2
)1()1(
ϕϕ
senesenea
Y⋅−
⋅−⋅=
2/322
2
)1()1(ϕ
ϕϕ sene
seneaddx
⋅−⋅−⋅−= ;
2/322
2
)1(cos)1(ϕ
ϕϕ sene
eaddy
⋅−⋅−⋅=
ϕϕ
ϕϕ
ϕd
seneea
senesenea
dL2
2/322
22
2/322
2
)1(cos)1(
)1()1(
⋅−
⋅−⋅+
⋅−
⋅−⋅−=
∫ +=b
a
dttgtfL 22 ))('())('(
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
∫ ⋅⋅−
−⋅=2
12/322
2
)1()1(ϕ
ϕ
ϕϕ
dsene
eaL
ϕϕ
ϕϕd
seneeasenea
dL )1(
cos)1()1(322
22222222
⋅−⋅−⋅+⋅−⋅=
ϕϕ
ϕϕd
senesenea
dL )1(
)cos()1(322
22222
⋅−+⋅−⋅=
ϕϕ
dsene
eadL
)1()1(
2/322
2
⋅−−⋅= ( )⇒∫/
∫ −⋅−⋅−⋅=2
1
2/3222 )1()1(ϕ
ϕ
ϕϕ dseneeaL
Para desarrollar esta integral utilizaremos el binomio de Newton (1 + x) –n cuando x2 < 1
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
8cos1281
6cos161
4cos327
2cos167
12835
6cos321
4cos163
2cos3215
165
)4cos2cos43(81
)2cos1(21
8
6
4
2
+−+−=
−+−=
+−=
−=
sen
sen
sen
sen
ϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
12cos2048
1
10cos5123
8cos1024
336cos
51255
4cos2048495
2cos25699
1024231
10cos5121
8cos2565
6cos51245
4cos6415
2cos256105
25663
12
10
+−+−+−=
−+−+−=
sen
sen
..............................!6
)5)(4)(3)(2)(1(!5
)4)(3)(2)(1(!4
)3)(2)(1(!3
)2)(1(!2
)1(1)1(
65
432
−++++++++++
−++++++−++−=+ −
xnnnnnnxnnnnn
xnnnnxnnnxnnnxx n
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
∫
+++++++−=
2
1
..12sen12e1024300310sen10e
2566938sen8e
1283156sen6e
16354sen4e
18152sen2e
23
1*)21(
ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕϕϕ deaL
..............!6
213
211
29
27
25
23
!5211
29
27
25
23
432129
27
25
23
32127
25
23
2125
23
)(23
1))(1(
1212101088
6644
222/322
−⋅⋅⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅
⋅⋅⋅−
⋅
⋅⋅+⋅−−=⋅−+ −
senesenesene
senesenesenesene
ϕ
ϕϕϕϕ
......10243003
256693
128315
1635
1815
23
1))(1( 12121010886644222/322 +++++++=−+ − ϕϕϕϕϕϕϕ senesenesenesenesenesenesene
..........108642 +⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= ϕξϕεϕδϕγϕβϕα sensensensensenL
( ) ( )22
12
;180
1ea
BeaA −⋅⋅=−⋅⋅= βπ
α
( ) ( )22 16
;14
eaD
eaC −⋅⋅=−⋅⋅= δγ
( ) ( )22 110
;18
ef
eaE −⋅=−⋅⋅= ξε
108642
6533643659
1638411025
256175
6445
43
1 eeeeeA ⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+=
108642
6553672765
20482205
512525
1615
43
eeeeeB ⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
=
10864
1638410395
40962205
256105
6415
eeeeC ⋅
+⋅
+⋅
+⋅
=
1086
13107231185
2048315
51235
eeeD ⋅
+⋅
+⋅
=
108
655363465
16384315
eeE ⋅
+⋅
=
10
131072693
eF ⋅
=
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
8) El radio medio de curvatura o Radio Gaussiano, se define como la integral de Rα que
varía entre 0º y 360º Designando por Rm tal radio se tiene :
∫=π
ααπ2
0
21
dRRm
∫ ⋅+⋅⋅
=π
ααρα
ρπ
2
022 )cos(2
1d
senNN
Rm
Debido a la simetría, se considera sólo la integración del primer cuadrante, y dividiendo la
integral por α2cos⋅N , se tiene :
∫
⋅⋅+
⋅⋅
=2
02
2
2d
cos1
cos2π
α
ααρ
αρ
πN
senN
N
Rm
Sacando fuera de la integral N⋅ρ , obtenemos : ααρα
ρ
ρπ
π
dtg
N
NNRm 1
cos1
2 2
0 2
2
∫
⋅+
⋅⋅⋅⋅=
ααρααραρ2
2
cos ; sec ; Si
dN
dtdN
dttgN
t ⋅=⋅=⋅=
Reemplazando en la integral y cambiando los límites de integración, se tiene:
( )∫∞
+⋅⋅⋅=
021
2t
dtNRm ρ
π
si se tiene que : ∫∞ −
⋅⋅=⋅+0
1
cos1 n
ecmn
dxx
xm
m ππ; si m < n, luego se tiene que m = 1 y n = 2
∫∞ −
⋅=⋅+0
1
)2/(1
2)1( ππ
sendx
xx
n
m
; reemplazando en la formula del Rm de curvatura de Gauss,
tendremos:
)2/(1
22
ππρ
π senNRm ⋅⋅⋅⋅= ; si se tiene que π/2 = 90º , luego sen 90º = 1
por lo tanto el Radio medio de curvatura de Gauss, queda expresado por la siguiente
relación: NRm ⋅= ρ
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
Este Radio es de utilidad cuando se necesita el radio de una esfera que se aproxime al
elipsoide.
9) Si se desea calcular el área de una figura en el elipsoide, limitada por meridianos y
paralelos conocidos, es necesario conocer primero la figura diferencial que ella forma y
luego deducir su valor analítico.
λ1λ2
ϕ1
ϕ2
La figura diferencial formada por 2121 ,y , ϕϕλλ , nos muestra que :
21 ,ϕϕ ⇒ arco de meridiano
21 ,λλ ⇒ arco de paralelo
de las definiciones analíticas para la determinación de un arco de paralelo como para
encontrar el valor de un arco de meridiano, tendremos que:
Arco de paralelo = λϕ dN ⋅⋅cos
Arco de meridiano = ϕρ d⋅
de las definiciones anteriores tendremos entonces que la superficie de la figura sobre el
elipsoide formada por el perímetro 2121 ,y , ϕϕλλ , queda determinada por :
Superficie(S) = ⋅⋅⋅ λϕ dN cos ϕρ d⋅
( )
( ) ( )222
2
222
22
11
1
ϕϕρ
sene
b
sene
eaN
⋅−=
⋅−
−⋅=⋅
Profesor: Matías Saavedra A. Ayudante: Andrés Román E.
∫ ∫ ⋅⋅⋅−⋅=
2
1
2
122
2
)1(cosϕ
ϕ
λ
λ
λϕϕdd
senebS
Integrando respecto a λ se tendrá :
desarrollando al interior de la integral el valor de ( ) 2221−⋅− ϕsene , por medio de la serie
( ) ..;..........6543211 54322 +−+−+−=+ − xxxxxx se tendrá el desarrollo siguiente.
( ) ϕϕϕϕϕλ dsenesenesenebS .......4321cos 6644222 +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅∆⋅=
∫ +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅∆=2
1
6644222 .....)cos4cos3cos2(cos·ϕ
ϕ
ϕϕϕϕϕϕλ dsenesenesenebS
La superficie de una figura en el elipsoide queda entonces definida al resolver esta integral :
[ ( ) ( ) ( )
( ) ].........................74
53
32
17
276
15
254
13
232
122
+−⋅⋅
+−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅∆⋅=
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕλ
sensene
sensenesensenesensenbS
Si deseamos calcular la superficie de la mitad del elipsoide, entonces definiremos que
πλλϕϕ 2º360 ,º0 ;º90 ,º0 2121 =====
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅⋅= .............
116
95
74
53
32
12 1086422 eeeeebS π
La superficie total del elipsoide será la siguiente :
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅⋅= .............
116
95
74
53
32
14 1086422 eeeeebS π
∫ ⋅⋅−
∆⋅=2
1222
2
)1(cosϕ
ϕ
ϕϕ
ϕλ dsene
bS