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UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA FACULTAD DE INGENIERIA , CIENCIAS Y ADMINISTRACIÓN DEPTO. DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA.

Mg.: Arnoldo Rafael Lopetegui B. Alumno: ………………

GUÍA DE EJERCICIOS N° 4: Funciones crecientes, decrecientes. Ejercicios de aplicación.

I) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de las siguientes funciones. Calcular los extremos que corresponden a máximos o mínimos si es que existen. Grafica.

1) f( x) = x 2) f ( x) = -x 3) f(x) = 2x + 1 4) f( x) = 2 – 6x

5) f( x) = 6) f( x) = 7) f( x) =

8) f( x) = -30 –x - 9) f( x) = 9 - 10) f( x) =

11) f( x) = 12) f( x) = 13) f( x) =

14) f(x) = 15) f( x) = - 16) f( x) = 17) f( x) =

18) f( x) = 19) f( x) = 20) f ( x) = 21) f( x) =

22) f( x) = 23) f( x) = 24) f( x) = 25) f( x) = x

26) f ( x) = 27) f(x) = 28) f ( x)= log x 29) f ( x) = ln x

30) f ( x) = 31) f ( x) = 2 32) f ( x) = 33) f ( x) =

II) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de las siguientes funciones. Calcular los extremos que corresponden a máximos o mínimos si es que existen

1) f ( x) = 2) f ( x) = x 3) f ( x) =

4) f ( x) = ax + sen x 5) f ( x) = arc sen ( x+1) 6) f ( x) =

III) Hallar los máximos o mínimos absolutos de cada una de las siguiente funciones cuando existan en los intervalos indicados. Grafica.

1) f ( x) = ; 2) f ( x) =

3) f ( x) = 4) f ( x) =

5) f ( x) = 3 6) f ( x) = 3

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7) f ( x) = x + 8) f ( x) =

IV) Use el criterio de la segunda derivada para encontrar los máximos y mínimos si es que existen de las siguientes funciones. Investigue la concavidad y puntos de inflexión. Grafique.

1) f( x) = 2) f( x) = 3) f( x) =

4) f( x) = -30 –x - 5) f( x) = 9 - 6) f( x) =

7) f( x) = 8) f( x) = 9) f (x) =

10) f ( x) = 11) f (x) = x + 12) f( x) =

13) f( x) = 14) f( x) = 15) f( x) =

V) Aplicaciones de máximos y mínimos.-

1) Encuentre dos números cuya suma sea 10 y su producto sea máximo.

2) Hallar dos números positivos cuya suma sea 12 y el producto de sus cuadrados sea máximo.

3) Encuentre dos números positivos cuyo producto sea 20 y la suma de sus cuadrados sea mínima.

4) Encuentra el número que excede a su cubo en la mayor cantidad.

5) ¿ Qué número excede a su raíz cuadrada principal en la menor cantidad?

6) Expresa el número ocho como la suma de dos números positivos tales que la suma del cuadrado del primero y el cubo del segundo sea lo más pequeña posible.

7) Hallar las dimensiones del rectángulo de máximo perímetro que pueda ser inscrito en un círculo de radio cuatro.

8) Hallar la distancia mínima entre el punto P ( 1,-2) y un punto sobre la recta de ecuación :

3x +y +5 = 0

9) Se desea construir una caja rectangular con un pedazo de cartón de 24 cms. de largo y 9 cms. de ancho, cortando un cuadrado en cada esquina y volteando hacia arriba los lados. Encuentre las dimensiones para que el volumen sea máximo.

10) Un segmento rectilínea de “ a “ unidades de largo une los puntos P ( 0,y) y Q ( x,0) Hallar “ x “ e “ y “ tales que el segmento, el eje x y eje y formen un triángulo de área máxima.

11) Si a y b son los lados de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 1. Hallar el valor máximo de : 2a + b.

12) Probar que entre todos los rectángulos de área dada el cuadrado es el de menor perímetro.

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13) Una caja cerrada con base cuadrada va a tener un volumen de 2000 El material de la tapa y

de la base tiene un costo de $ 3000.- por y el material para los lados un costo de $ 1500.- por

Si se quiere que el costo del material sea mínimo. Encontrar las dimensiones de la caja.

14) Un fabricante de cajas de cartón desea hacer cajas abiertas de piezas de cartón de doce pulgadas cuadradas por lado, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados. Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible. R : 2

15) Un campo rectangular va a ser cercado, a lo largo de un río no se requiere cerca alguna. Si el material de la cerca cuesta $ 2000.- por pie línea para los dos lados extremos y de $ 3000.- por pie lineal para el lado paralelo al río. Encontrar las dimensiones del campo de mayor área posible que se pueda cercar con un costo de $ 9.000.000.-

16) Un fabricante de cajas de estaño desea hacer uso de piezas de estaños de dimensiones de 18 por 15 pulgadas. Cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados. Encontrar la longitud del lado del cuadrado que será cortado para obtener una caja abierta que tenga el mayor volumen posible de cada pieza de estaño.

VI) Calcular los siguientes límites si estos existen usando REGLA DE L’HOPITAL.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) R : 0

12) R: 13) 14) R : e

15) R : 1 16) R:

17) R: 1 18) R : 0 19) R: 1

20) R: 21) R: 22) R: 1

23) R :

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