Academia contabilidad

TEMA: Interés

f “ACADEMIA DE CONTABILIDAD & FINANZAS” f

/ Matemática Financiera clase A – 2015 1

Panorámica:

A.1 Alquiler de activos

A.2 El capital

A.3 Periodo de tiempo

A.4 Interés

A.5 Monto

A.5 Tasa de interés

A.1 Alquiler de activos

Los activos o capital, son factores de la producción que sa-

tisfacen las necesidades de la sociedad en que vivimos.

Una persona natural o empresa puede alquilar activos de

otra persona natural o jurídica, la primera se denomina

deudor y la segunda acreedor, dicha transacción se lega-

liza mediante un contrato de deuda donde el deudor se

compromete a devolver el activo y además un pago adi-

cional (por lo general monetario) denominado interés en

una fecha futura (fecha de vencimiento).

A.2 El capital

El capital es un factor productivo que junto a la mano de

obra y las habilidades empresariales crean valor a la so-

ciedad en el sentido de que satisfacen las necesidades de

esta.

El capital puede ser material (tangible) o inmaterial (in-

tangible), como ejemplo del primer tipo de capital está

la maquinaria industrial, los terrenos y edificaciones, con

la característica de que el acreedor demanda este bien,

los considera necesarios para producir. Como capital in-

tangible se considera las patentes, marcas registradas,

tecnologías en general.

El capital tiene un tratamiento especial en matemática

financiera, ya que se le considera de acuerdo al contexto

del alquiler de activos, como el monto inicial o valor pre-

sente al inicio de una transacción entre el deudor y el

acreedor

A.3 Periodo de tiempo

También llamado horizonte de tiempo o intervalo de

tiempo, es el tiempo que transcurre entre una fecha inicial

donde se pacta el acuerdo entre el deudor y el acreedor y

una fecha final (fecha de vencimiento) acordada. Para me-

dir periodos de tiempo en finanzas se utilizan muchas uni-

dades como por ejemplo: días, semanas, meses, años, etc.

Las fechas se representan habitualmente en el for-

mato numérico (día/mes/año).

Por defecto, si no se especifica, los meses tienen 30

días (mes comercial).

El año común tiene 365 días y el comercial tiene 360.

Para calcular el número de días entre dos fechas de-

terminadas puedes utilizar la regla de los nudillos.

p Sesión

A

E.1 Ejemplos didácticos

P.1 Problemas

: Valor numérico de una fecha inicial

: Valor numérico de una fecha final

Tiempo ∆

A.4 Interés

Es la compensación monetaria que recibe el acreedor de

parte del deudor por el alquiler de activos, esta compen-

sación se realiza en una fecha posterior a la celebración

del contrato (fecha de vencimiento).

Es el capital alquilado que genera o devenga intere-

ses en un intervalo de tiempo.

El interés puede ser pagado al acreedor conjunta-

mente con el capital arrendado, en este caso el valor

monetario total a devolver se denomina monto.

De acuerdo con la restricción de acumular o no los

intereses al capital o monto inicial, el interés puede

ser simple o compuesto.

El interés ganado por cada 100 unidades moneta-

rias se denomina tasa de interés y se expresa en por-

centaje.

Interés simple: Se denomina así al interés ga-

nado y que no se capitaliza, es decir el interés gene-

rado por el capital no genera sus propios intereses.

Interés compuesto: Se denomina así al inte-

rés ganado y que se capitaliza, a intervalos regula-

res de tiempo o de manera continua.

f “ACADEMIA DE CONTABILIDAD & FINANZAS” f

Interés

A.5 Monto

Es la suma monetaria del capital y los intereses devenga-

dos. El monto inicial es el capital, a medida que trascurre

el tiempo el monto se incrementa (acumula) continua-

mente, este crecimiento tiene un comportamiento dife-

renciado de acuerdo con el tipo de interés pactado.

El monto se calcula con dos fórmulas diferentes depen-

diendo si el interés es simple o compuesto.

Monto , ,

A.6 Tasa de interés

Es el porcentaje del monto anterior que se gana o

paga por alquilar activos, si el monto anterior solo

puede ser el capital (monto inicial), entonces la tasa

de interés es simple, de lo contrario es compuesta.

Dos tasas son equivalentes si colocadas sobre un

mismo capital e intervalo de tiempo generan un

mismo interés.

Una tasa nominal se expresa como un porcen-

taje sobre un periodo, que a su vez se capitaliza

en otro periodo.

Una tasa efectiva se expresa como un porcentaje

sobre un periodo, que a su vez se capitaliza en

ese mismo periodo. Generalmente las tasas

efectivas son anuales y se simbolizan (TEA).

Las tasas de interés se calculan de las ecuaciones an-

teriores, dependiendo de la clase de interés: simple o

compuesto

Aca

dem

ia

co

nta

bil

ida

d

Interés

: Monto final.

: Monto inicial o capital.

Interés simple ∙ ∙

: Tasa de interés simple

: Monto inicial o capital.

: Periodo de empo.

Interés compuesto

1

: Tasa efec va de interés compuesta

: Número de Periodos de empo de

capitalización

Con Interés simple

∙ 1 ∙

Con Interés compuesto

∙ 1

Ing. Del Carpio

Matemática Financiera A

2

Tasa efectiva equivalente:

1 ∙ 1

: Tasa de interés efec va.

: Tasa de interés nominal.

: Frecuencia de conversión.

: Número de periodos.

E.1 Ejemplos didácticos

1. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual que se

pactó?, si con s/. 6000 se liquidó un préstamo

de s/. 5000 en un plazo de 2.5 bimestres.

Solución:

De acuerdo a los datos, la fórmula del interés y

del interés simple son las adecuadas:

y ∙ ∙

En este caso el interés corresponde al interés sim-

ple, es decir , por lo tanto:

∙ ∙

Despejamos la tasa de interés simple, que es la

variable que pide el problema.

∙

Ahora reemplazamos los datos, teniendo en

cuenta las unidades adecuadas, como nos piden

una tasa anual el empo debe estar expresado en

años.

6000 5000

5000 ∙ 2.56

48 % anual

2. El 11 de marzo del año pasado, Carlos se prestó

s/.3000 del banco a una tasa compuesta del

30 % semestral y se comprometió liquidar el

préstamo este año; así mismo, el primero de ju‐

lio del año pasado Carlos presto 6000 soles a

Juan, que a su vez se comprometió pagarle el

monto en diciembre a una tasa compuesta de

10 % quincenal. ¿Cuál es el monto devengado

de Carlos para el 30 de agosto del año pasado,

por las transacciones descritas?

Solución:

De acuerdo a los datos, debemos graficar una lí-

nea del tiempo para las transacciones de Carlos:

El monto devengado de Carlos para el 30 de

agosto corresponde al monto acumulado por el

préstamo a Juan menos el monto acu-

mulado que se adeuda al banco .

6000 ∙ 1 0.10 8784.6

3000 ∙ 1 0.30 3854.79

Entonces el monto devengado para Carlos ,

para la transacción con Juan y el banco es:

8784.6 3854.79

4929.8 soles

3. Se debe pagar una deuda de s/. 3000 dentro de

6 años, pero en lugar de eso será saldada por

medio de tres pagos: s/. 500 ahora, a/. 1500

dentro de tres años y un pago final al término de

5 años. ¿Cuál será este pago si se supone un in‐

terés de 6 % anual compuesto semestral‐

mente?

Bimestre

A) B)

E) D)

C) 50 % 30 % 48 %

45 % 46 %

Ing. Del Carpio

Finanzas A 3

f “ACADEMIA DE CONTABILIDAD & FINANZAS” f

11/3 1/7 30/8

3000

6000

60 Días

0.10

Quincenal

172 Días

0.30 Semestral

A) B)

E) D)

C) s/. 1250.2

s/. 4250.3 s/. 4929.8

s/. 4850.3 s/. 4850.2

Bimestre

A) B)

E) D)

C) s/. 467.56 s/. 465.9 s/. 452.35

s/. 485.62 s/. 412.36

Año

2.5

R: C

R: E

6

Solución:

Como la tasa es nominal debemos primero trans-

formarla en efectiva.

1 ∙ 1

Donde la frecuencia de conversión , es el nú-

mero de capitalizaciones interiores por periodo,

para un tiempo total de periodos.

El periodo 1 ñ

1 ñ

1 2

La tasa efectiva equivalente anual 1 a la

tasa nominal de 6 % es:

1 0.06/2 6.09 % anual

Según el gráfico anterior tenemos como fecha fo-

cal el quinto año, en toda fecha los pagos son

igual a la deuda:

1500 1.0609 500 1.0609 3000 1.0609

467.56 soles

Se pagara 467.56 soles al quinto año de con-

traída la deuda.

2. ¿Cuánto capital se requiere invertir en un pro‐

yecto de 2 años para generar un interés de

s/. 440 a una tasa efectiva de 20 % anual?

3. El gerente de una compañía sabe que el 19 de

julio necesitará s/. 10000, ¿Cuánto debe deposi‐

tar el 20 de abril anterior en un banco que paga

25 % trimestral de interés efectivo, si el 21 de

marzo abrió una cuenta en otro banco con

s/. 1000 a una tasa efectiva de 33.1 % anual?

4. Una persona compra un pagare de s/. 2197 a 5

años, con una tasa nominal de 90 % semestral

capitalizable cada 40 días. A lo mucho, ¿cuánto

debería pagar Ud. por el pagare año antes de

su vencimiento?

5. ¿Cuál es precio contado de un juego de sala, re‐

camara y comedor, si se paga con anticipo del

40 % y dos cuotas de 3 y 5 meses de la compra

por s/. 2662 y s/. 1610.51 respectivamente? Considere intereses del 10 % mensual efectivo.

P.1 Problemas

1. ¿Cuantos semestres se requiere para aumentar

en 50 % un capital a una tasa efectiva com‐

puesta trimestralmente?

Ing. Del Carpio

Finanzas A 4

f “ACADEMIA DE CONTABILIDAD & FINANZAS” f

Aca

dem

ia

co

nta

bil

ida

d

500 1500 3000

1500 1.0609

500 1.0609

3000 1.0609

0 1 2 3 4 5 6

R: A

A) B)

E) D)

C) log √1.5

log √0.5 log

log 0.5 ln √1.6

A) B)

E) D)

C) s/. 2000 s/. 3000 s/. 2500

s/. 1000 s/. 1200

A) B)

E) D)

C) s/. 7562 s/. 7120 s/. 7520

s/. 7568 s/. 7168

A) B)

E) D)

C) s/. 1000 s/. 2000 s/. 2500

s/. 3000 s/. 2200

A) B)

E) D)

C) s/. 2000 s/. 4000 s/. 2600

s/. 5000 s/. 2600