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ejercicion de matematica 1
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UNIDAD I
La presente unidad esta dedicada al estudio de las desigualdades, intervalos, desigualdades
con valor absoluto y sistemas de coordenadas cartesianas; además se darán las fórmulas de
la distancia entre dos puntos y punto medio de un segmento de recta. Así mismo se
presentaran las rectas en el plano cartesiano, formas de la ecuación de la recta y la
circunferencia con sus ecuaciones.
1. DESIGUALDADES
Entre los números reales y los puntos de una recta existe una correspondencia
biunívoca, en el sentido de que a cada número real le corresponde uno y sólo un punto
en y viceversa, a cada punto le corresponde un número real. Denotemos por O el
punto de la recta correspondiente al número 0 (cero). Los números reales que corresponden
a los puntos ubicados a la derecha del punto O, se denominan números reales positivos, y
los que se encuentran a la izquierda se denominan números reales negativos.
Si son números reales y es positivo, se dice que y se
escribe . Esto es equivalente a decir que ( ). Los símbolos > y <
se llaman signos de desigualdad y expresiones como y se denominan
desigualdades. La expresión se lee a es menor que b o bien que a = b. El símbolo
se interpreta de manera análoga.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Propiedad EjemploSi
Si un número real cualquiera, entonces
Si
Si
Además se cumplen otras propiedades similares si cada signo de desigualdad, <, entre
1
INTERVALOS
Definición. Sean dos números reales tales que . En la siguiente tabla se definen
las diferentes clases de intervalos sobre la recta real.
Tipos de Intervalos Definición Notación de Intervalo
Gráfica
Abierto
Cerrado
Semi-abierto a la derecha
Semi-abierto a la izquierdaInfinito
Infinito
Infinito
Infinito
Infinito
Los números se denominan extremos del intervalo.
A continuación se presentan ejemplos de resolución de inecuaciones.
1.1 Desigualdad Lineal.
Ejemplo 1.1.1 Resolver
Solución. Para resolver la inecuación planteada se despeja la variable x, para ello se
efectuarán diversas operaciones fundamentadas en las propiedades de las desigualdades.
Se suma 2 a ambos lados de la desigualdad para obtener
2
Se multiplica cada lado de la desigualdad por resultando
Por lo tanto la solución es el conjunto de todos los valores
Ejemplo 1.1.2 Hallar la solución de .
Solución. Para resolver esta inecuación se agruparán de un sólo lado de la misma los
múltiplos de la incógnita ; obsérvese que es irrelevante el lado se elija para tal fin. Para
ello sumemos 3x y 3 a ambos lados de la inecuación.
De donde la solución es el intervalo .
1.2 Doble Desigualdad Lineal.
Ejemplo 1.2.1 Resolver
Solución Se suma algebraicamente –9 a cada miembro de la doble desigualdad, para
obtener
Seguidamente se multiplica por cada miembro de la doble desigualdad, para obtener
Por lo tanto la solución es el conjunto de todos los valores de
Ejemplo 1.2.2 Resolver la siguiente desigualdad .
Solución. Para determinar la solución de la desigualdad planteada se resolverán
separadamente las desigualdades según el procedimiento
3
seguido en el ejemplo 1.1.2 y luego se intersectan ambas soluciones. Se deja al lector la
verificación de que el resultado es
1.3 Desigualdad Cuadrática.
Ejemplo 1.3.1 Resolver
Solución. Para resolver este tipo de desigualdad puede procederse de la siguiente manera.
i. Se iguala a cero el polinomio de la desigualdad dada:
ii. Se factoriza el polinomio:
iii. Se construye un diagrama de signos para el polinomio.
Para este fin se divide la recta real, utilizando las raíces obtenidas en la
factorización del polinomio en los siguientes intervalos: . Lo que se
muestra en la siguiente figura.
Posteriormente en cada intervalo se elige un elemento arbitrario, distinto de las
raíces, y se evalúa la expresión cuadrática en cada uno de estos valores, para determinar
el signo de dicha expresión en el intervalo respectivo. Por ejemplo: a) consideremos el
elemento , al sustituirlo en la expresión cuadrática se obtiene:
Obsérvese que al ser positivo el signo de la cantidad resultante, también será positivo el
signo de cualquier número obtenido mediante la evaluación de la expresión cuadrática en
todo elemento del intervalo .
b) Escojamos 5/2 en el intervalo (2, 3). Si evaluamos en este número, se tendrá
4
Como en el caso a), podemos afirmar que la función cuadrática mantendrá constante el
signo negativo en el intervalo (2, 3).
c) Repitiendo el procedimiento para el número 4 en el intervalo , se tiene
Por lo tanto el signo de en el intervalo será positivo.
Representamos los resultados obtenidos en los casos a, b y c, en la siguiente figura
Los intervalos solución de la desigualdad planteada, serán aquellos en los que la evaluación
de la expresión cuadrática dio como resultado un número positivo. Por lo tanto la solución
de la desigualdad cuadrática es Obsérvese que los extremos de los
intervalos no forman parte de la solución, pues éstos anulan la ecuación cuadrática y
consecuentemente no satisfacen la desigualdad estricta.
Otro procedimiento para la resolución de la desigualdad cuadrática.
Dado que se requiere que el producto de los dos factores sea positivo, por
lo que ambos factores deben tener el mismo signo, es decir o
.
Caso 1.
Si entonces y por lo tanto
simultáneamente. En consecuencia , así la solución parcial de este
primer caso es .
Caso 2.
Si entonces , de donde
simultáneamente, lo cual quiere decir que , por lo que la solución
parcial correspondiente a este caso es .
5
Finalmente la solución de la desigualdad es la unión de las soluciones parciales, es decir
1.4 Desigualdad tipo Cociente de expresiones algebraicas.
Ejemplo 1.4.1 Resolver
Solución. Un método para resolver esta clase de desigualdades esta definido mediante
los pasos que se describen a continuación.
i. Determinación de las raíces del numerador y del denominador de la fracción.
Para calcular las raíces del numerador y del denominador, se resuelven las ecuaciones
y , cuyas soluciones son respectivamente.
ii. Se construye un diagrama de signos para el cociente.
Procediendo como en el ejemplo anterior, se divide la recta real en los intervalos
. Seleccionemos un número en cada intervalo para evaluar la
expresión
(1)
y determinar el signo de la cantidad resultante. Si elegimos –3 en el intervalo y lo
sustituimos en la fracción, se obtiene , por lo tanto el signo de la expresión (1)
es positivo sobre el intervalo en cuestión. Se deja al lector la verificación de que
toma sólo valores negativos sobre el intervalo y sólo positivos en el intervalo
.
Estos resultados quedan representados en el gráfico siguiente.
Según los resultados, los intervalos (- forman parte del conjunto
solución de la desigualdad. Cabe destacar que extremo –2 del primer intervalo, pertenece a
6
la solución porque al ser raíz del numerador de la fracción (y no del denominador), anula la
fracción por lo que se satisface la desigualdad Conviene aclarar que el extremo 2
no forma parte de la solución dado que es raíz del denominador, pues es bien conocido el
hecho de que no es posible dividir entre cero.
Por lo tanto la solución de la inecuación es
Ejemplo 1.4.2 Resolver
Solución.
i. Se transforma la desigualdad, de manera tal que en el lado derecho aparezca el
valor cero, es decir, debe llevarse a una expresión como la planteada en el caso anterior.
Para ello se debe restar 1 a ambos lados de la desigualdad y se resuelve la operación
algebraica resultante:
A continuación se sigue el procedimiento aplicado en el ejemplo anterior.
ii. Determinación de las raíces del numerador y del denominador de la fracción.
Al resolver las ecuaciones y se obtienen las siguientes soluciones
respectivamente.
iii. Se construye un diagrama de signos para el cociente.
Dividimos la recta real en los intervalos Seleccionemos
un número en cada intervalo para evaluar la expresión
(2)
7
y determinar el signo de la cantidad resultante. Se deja al lector el ejercicio de verificar
que, la expresión (2) toma sólo valores negativos sobre el intervalo y sólo
positivos en los intervalos
Estos resultados quedan representados en el gráfico siguiente.
Según estos resultados, el intervalo forma parte del conjunto solución de la
desigualdad. Es importante señalar que ninguno de los extremos pertenece a la solución
pues el número 2 es raíz del numerador y la desigualdad es estricta, adicionalmente el
valor –3/2 anula el denominador y no está permitido dividir por cero.
Por lo tanto la solución de la desigualdad es el intervalo abierto
2. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Iniciaremos esta sección con la definición del valor absoluto de un número real y las
propiedades del valor absoluto.
Definición. El Valor Absoluto de un número se denota con y se define como:
Propiedades del Valor Absoluto.
Sean números reales cualesquiera, en el siguiente cuadro se enuncian las
propiedades del Valor Absoluto más frecuentemente utilizadas.
8
PROPIEDAD EJEMPLO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. y evidentemente
8. siendo
9.
A continuación se presentan ejemplos de resolución de desigualdades con valor absoluto.
Ejemplo 2.1 Resolver
Solución.
Por la propiedad 6 de la tabla anterior se tiene la siguiente desigualdad doble:
Por lo tanto resolver la desigualdad con valor absoluto planteada es equivalente a resolver
cada una de las desigualdades:
y luego intersectar las dos soluciones.
Primero se determinará la solución de la inecuación
9
Como se puede apreciar dicha desigualdad es del tipo cociente de expresiones algebraicas
dado en el ejemplo 1.4.2.
Para transformar la inecuación, se restará a ambos lados el valor y luego se
resuelven las operaciones resultantes, para así obtener
Determinación de las raíces del numerador y del denominador de la fracción.
Al resolver las ecuaciones y se obtienen las siguientes soluciones
respectivamente.
Se construye un diagrama de signos para el cociente.
Dividimos la recta real en los intervalos Seleccionemos un
número en cada intervalo para evaluar la expresión.
(1)
y determinar el signo de la cantidad resultante. Se deja al lector el ejercicio de verificar
que, la expresión (1) toma sólo valores positivos sobre el intervalo y sólo
negativos en los intervalos
Estos resultados quedan representados en el dibujo siguiente.
1
Según estos resultados, la solución de la desigualdad es la unión de los intervalos
, es decir . Es importante señalar que el extremo
no pertenece a la solución pues la desigualdad es estricta.
A continuación se determinará la solución de la inecuación . Siguiendo
los pasos de la parte I, se deja al lector la comprobación de que la solución de la
desigualdad II es . Intersectando los resultados de
I y II, obtenemos la solución
Ejemplo 2.2 Resolver
Solución. Por la propiedad 7 del valor absoluto, tenemos que
si y sólo si
Por lo tanto para resolver la desigualdad planteada debemos hallar las soluciones de a)
y b) y luego unirlas. Ambas desigualdades se resuelven según el procedimiento empleado
en los ejemplos 1.4.1 y 1.4.2. Al hacer esto, se obtienen los siguientes resultados: el
intervalo es solución de la desigualdad a) y el intervalo de la
desigualdad b). Consecuentemente la solución de la desigualdad con valor absoluto es
1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Resolver las siguientes desigualdades.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
2. Resolver las siguientes desigualdades con valor absoluto.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
1
3. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
3.1 Representación de puntos en el sistema de coordenadas cartesianas
El Sistema de Coordenadas Cartesianas es un sistema de referencia en el
plano que permite localizar puntos en él, mediante pares ordenados de números reales.
Dicho sistema se construye a partir de dos rectas perpendiculares que se intersectan
en un punto denominado origen. Generalmente una de las rectas es horizontal y se
denomina eje o eje de las abscisas y la recta vertical es denominada eje o de las
ordenadas. Se establece una escala numérica a lo largo del eje de manera que los
números reales positivos estén ubicados a la derecha del origen y los negativos a la
izquierda, similarmente se adopta una escala numérica a lo largo del eje en la cual los
números positivos se encuentran por encima del origen y los negativos por debajo de él.
Un punto en el plano se representará de forma única en este sistema de coordenadas
mediante un par ordenado de números reales de la siguiente manera: dado un par
ordenado de números reales se trazan rectas paralelas a cada uno de los ejes
coordenados de tal forma que una de ellas intersecte al eje Y en y la otra al eje X en
El punto que se obtiene por la intersección de dichas rectas tiene coordenadas
Recíprocamente, dado un punto en el plano, si se trazan rectas paralelas a los ejes
X e Y que pasen por y cuyos cortes con tales ejes sean los números a y b
respectivamente, el punto del plano tendrá coordenadas , tal como se muestra en
el siguiente gráfico.
Ejemplo 3.1.1 Representar los siguientes puntos en el sistema de coordenadas
cartesianas.
Los ejes coordenados dividen al plano en cuatro cuadrantes de tal forma que los signos de
las coordenadas de los puntos que se hallan en cada uno de los cuadrantes son los que se
indican en la siguiente figura.
3.2 Fórmula de la distancia entre dos puntos
Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) puntos en el sistema de coordenadas cartesianas. La
distancia entre los puntos P1 y P2 es, por definición, la longitud del segmento de
recta que une a P1 y P2, la cual se calcula mediante la siguiente fórmula, obtenida a partir
del Teorema de Pitágoras, como se observa en la siguiente figura.
Ejemplo 3.2.1. Calcular la distancia entre los puntos P1(-2,3) y P2 (-1,2/3).
Solución. Al Sustituir las coordenadas de los puntos dados, en la fórmula de la distancia
resulta
de donde
3.3 Fórmula para el punto medio de un segmento de recta.
El punto medio del segmento de recta con extremos es
el punto denotado por cuyas coordenadas son
Ejemplo 3.3.1. Hallar el punto medio del segmento que une los puntos
Solución. Al sustituir las abscisas y ordenadas en la fórmula respectiva se obtiene
Por lo tanto
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Trazar un sistema de coordenadas y marcar en él:
a) Los puntos ( ,3), (-7,-2), (9, ) y (
b) El conjunto de puntos cuya abscisa es
c) El conjunto de puntos cuya ordenada es
2. Si se dan los puntos determinar el punto como intersección de la horizontal
trazada por y de la vertical trazada por Además halle la distancia entre
a) b) c)
d) e)
3. Los puntos medios de los lados de un triángulo son (2,5), (4,2) y (1,1). Hallar las
coordenadas de los tres vértices.
4. Demostrar los puntos son los vértices de un triángulo
rectángulo.
5. En el segmento el punto A tiene coordenadas y el punto medio tiene
coordenadas (4,3). Hallar las coordenadas de
6. Sean y Si la distancia entre es 10m, hallar la ordenada
y de B.
4. RECTAS EN EL PLANO CARTESIANO
En esta sección expondremos detalladamente lo concerniente a la recta y sus ecuaciones.
4. 1. Ángulo de inclinación de una recta
El ángulo de inclinación de una recta es el menor ángulo , que forma
la parte positiva del eje X con , medido en sentido contrario a la marcha de las
manecillas del reloj.
4. 2. Pendiente de una recta
Sean una recta no paralela al eje Y y dos puntos distintos
sobre ella, el número dado por la igualdad:
se denomina pendiente de
A continuación daremos otra forma de calcular la pendiente de una recta.
Sea el ángulo de inclinación de la recta con entonces:
La siguiente figura nos explica esta igualdad.
Si es paralela al eje X, o coincide con él, entonces si es
paralela al eje Y o coincide con él, entonces y no esta definida la pendiente
correspondiente de
4.3 Posiciones relativas de dos rectas.
Teorema 4.3.1 Dos rectas no verticales son paralelas si, y sólo si, sus
pendientes son iguales.
Teorema 4.3.2 Dos rectas no verticales son perpendiculares si, y sólo si, sus
pendientes son recíprocas y de signo contrario, es decir:
Ejemplo 4.3.1 Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los
puntos P1(1,0) y P2(2, ).
Solución. De 4.2, se tiene que:
y entonces , por lo tanto
4.4 Formas de la ecuación de la recta
4.4.1 Ecuación punto- pendiente
Si una recta pasa por el punto P(x0, y0) y tiene pendiente m, entonces su ecuación tiene la
Forma:
Ejemplo 4.4.1.1 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2, -3) y cuyo
ángulo inclinación es
Solución. Para formar la ecuación dada en 4.5.1, se requiere conocer la pendiente y las
coordenadas de un punto por el que pase la recta.
Según 4.2, conocido el ángulo de inclinación es posible determinar la pendiente de la
recta calculando la tangente de este ángulo, es decir . De donde la ecuación
de la recta es . Por lo tanto . Desarrollando esta
ecuación resultará
3y - x + 9 +2 = 0
Al multiplicar ambos lados de la ecuación por –1, se obtiene
4.4.2 Ecuación pendiente-ordenada en el origen.
Si una recta de pendiente m corta al eje de las ordenadas en el punto de coordenadas
tiene por ecuación
Esta ecuación se obtiene sustituyendo el punto de coordenadas en la ecuación
punto- pendiente (4.4.1).
Ejemplo 4.4.2.1. Determinar la ecuación de la recta con pendiente –2 y ordenada en el
origen 6.
Solución. Como m = -2 y b = 6, la ecuación tendrá la forma
Reescribiendo esta ecuación se tiene
4.4.3 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
La recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2(x2, y2) tiene por ecuación
Ejemplo 4.4.3.1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-2,1) y Q(3, -4).
Solución. Sabemos que m = , luego sustituyendo en la ecuación dada en
4.5.3, se obtiene , de donde y + 4 = -x + 3. De aquí resulta que
x + y + 1 = 0
4.4.4 Forma simétrica de la ecuación de la recta.
La recta cuya intersección con los ejes X e Y son respectivamente,
tiene por ecuación
Ejemplo 4.4.4.1. Determinar la ecuación de la recta que corta al eje X en el punto
y al eje Y en .
Solución. Los puntos de cortes con los ejes X e Y, nos indican que ,
entonces aplicando la expresión correspondiente a la ecuación simétrica de la recta se
tiene que
Reescribiendo la ecuación simétrica se obtiene
Seguidamente al multiplicar ambos lados de la ecuación por 3, resulta
De donde:
4.4.5. Ecuación General de la recta.
La ecuación
donde A,B y C son constantes, con A y B no simultáneamente iguales a cero, se denomina
Ecuación General de la recta.
Observación. Cabe destacar que las ecuaciones resultantes en los ejemplos de las secciones
4.4.1, 4.4.2, 4.4.3 y 4.4.4, corresponden a la Ecuación General de la recta.
Ejemplo 4.4.5.1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3,1) y es paralela a
la recta que une los puntos (2,4) y (4,7).
Solución. Sea R la recta que pasa por el punto (-3,1) y cuya ecuación, en su forma punto-
pendiente, se quiere calcular. Como R es paralela a la recta L que contiene a los puntos
(2,4) y (4,7), la pendiente de esta última es igual a la de R. Es decir,
Seguidamente sustituyendo en la ecuación punto-pendiente el punto (-3,1) y la
pendiente , resulta que
Desarrollando las operaciones, se obtiene
Por lo tanto la ecuación de la recta R es
Ejemplo 4.4.5.2. Hallar la ecuación de la recta R que pasa por el punto (4,7) y es
perpendicular a la recta L cuya ecuación es
Solución. Como en el anterior ejemplo, determinaremos la ecuación de la recta en su forma
punto-pendiente. Con este fin calcularemos su pendiente haciendo uso del teorema
4.3.2 que afirma, que al ser R y L rectas perpendiculares, sus pendientes satisfacen la
siguiente igualdad Para hallar se reescribe la ecuación de L en la forma
pendiente-ordenada en el origen, resultando
De aquí se tiene que . Por lo tanto la pendiente de R es
Sustituyendo el punto (4,7) y la pendiente en la ecuación punto-pendiente, se tiene
que
De donde
Por lo tanto la ecuación de la recta R es:
Ejemplo 4.4.5.3. Hallar la distancia del punto a la recta de ecuación
Solución. En la figura se muestra que la distancia entre el punto (4,2) y la recta ,
está dada por la longitud del segmento de recta , el cual es perpendicular a la recta dada.
Para calcular la longitud de dicho segmento, se determinarán las coordenadas (a, b) del
punto de intersección de con la recta
Con este fin hallemos la ecuación de la recta que contiene al segmento . Para ello
calculemos la pendiente de la recta despejando de la ecuación:
De donde la pendiente es . Por el teorema 4.3.2, la recta perpendicular a la recta dada y
que pasa por el punto (4, 2) tiene pendiente . Luego la ecuación de la recta buscada es
. Reescribiendo esta última ecuación se obtiene A
continuación plantearemos el sistema de ecuaciones
para determinar el punto de intersección de ambas rectas. Este sistema podemos resolverlo,
entre otros, por el método de reducción. Para ello multiplicamos la primera ecuación por 4
y la segunda por 3, para obtener
Por lo tanto . Conocido el valor de , despejamos el de utilizando
cualquiera de las dos ecuaciones del sistema. Elijamos para esto la segunda ecuación
De aquí tenemos que
Por lo que Entonces las coordenadas del punto de intersección son
.
La siguiente gráfica muestra las coordenadas del punto
Con el punto (4,2) y el punto de intersección hallado, podemos calcular la distancia
entre ellos, mediante la fórmula
Resultando
Así la distancia entre el punto (4,2) y la recta es .
Observación. Toda recta horizontal tiene por ecuación donde es el punto de
corte con el eje Por otra parte, toda recta vertical esta dada por la ecuación siendo
el punto de corte con el eje
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4,2) y (-5,7).
2. Hacer la representación gráfica de:
a) La recta de pendiente que pasa por el punto (2,5)
b) La recta 2x+4y-8=0
3. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y cuya intersección con el eje Y es
4. Una recta corta los ejes X e Y en los puntos 2 y –3 respectivamente. Hallar su ecuación.
5. Demostrar que los puntos (-5,2), (1,4) y (4,5) son colineales, hallando la ecuación de
la recta que pasa por dos de estos puntos.
6. ¿El punto , está en la recta que pasa por los puntos ?.
Demuéstrelo.
7. Determine por medio de la pendiente si los puntos A(-6,-8), B(4,2) y C(14,4) son
colineales.
8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3, ) y es perpendicular a la recta
4x+8y=16.
9. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de
intersección de las rectas 2x+y-3=0 y 3x-2y+4=0.
10. Una recta pasa por la intersección de las rectas 3x+2y+8=0 y 2x-9y-5=0. Hallar su
ecuación sabiendo que es paralela a la recta 6x-2y+11=0.
11. Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones 7x-2y=0 y 4x-y-1=0 y
es perpendicular a la recta 3x+8y-19=0. Hallar su ecuación.
12. Hallar la distancia entre las rectas 3x-4y+8=0 y 6x-8y+9=0.
13. Hallar el valor de para que la recta sea paralela a la recta
14. ¿Para qué valores de tendrá la recta las siguientes propiedades:
a) pendiente 1; b) intersección con el eje en 2; c) pase por el punto ; d) sea
paralela a la recta ; e) sea perpendicular a la recta
5. LA CIRCUNFERENCIA
Definición. Circunferencia es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo. Este punto fijo, denotado por se denomina centro de la circunferencia
La distancia constante se llama radio de la circunferencia
5.1 Ecuaciones de circunferencia.
5.1.1 Ecuación ordinaria o canónica.
La circunferencia de centro el punto y de radio la constante tiene por
ecuación
Esta ecuación se obtiene como resultado de la aplicación de la fórmula que permite
calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano.
Ejemplo 5.1.1.1. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (-1,1) y cuyo
centro es el punto (3,-2).
Solución. Conociendo el centro de la circunferencia y un punto de ella, se puede determinar
el radio , aplicando la fórmula de la distancia entre ambos puntos, es decir,
Al sustituir el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia en la ecuación
canónica, se tiene
Así la ecuación canónica de la circunferencia es
Ejemplo 5.1.1.2. Hallar la ecuación de la circunferencia en la que una de las cuerdas que
contiene al centro tiene por extremos los puntos de coordenadas (1,-2) y (-3, 2).
Solución. Como la cuerda contiene al centro de la circunferencia, éste debe coincidir con el
punto medio de la cuerda. Por lo tanto las coordenadas del centro de la circunferencia son
las siguientes:
Halladas las coordenadas del centro de la circunferencia, podemos determinar el radio
calculando la distancia entre cualquiera de los puntos dados y el centro.
Luego, la ecuación canónica de la circunferencia es
5.1.2 Ecuación general
La expresión
representa una circunferencia de radio diferente de cero, solamente si
Las coordenadas del centro son, entonces, y el radio es
Observación. Cabe mencionar que al desarrollar la ecuación ordinaria de la circunferencia,
se obtienen las expresiones anteriores.
Ejemplo 5.1.2.1. Reducir la siguiente ecuación a la forma ordinaria de la ecuación de la
circunferencia. Si la ecuación representa una circunferencia, hallar su centro y radio.
Solución. Para llevar la ecuación a la forma ordinaria se deben seguir los siguientes pasos:
a) Si los coeficientes de son diferentes de 1 e iguales, se divide la ecuación
dada por el valor de tales coeficientes, es decir en este caso al dividir la ecuación por
2, se obtiene
Si ambos coeficientes valen 1, ir directo al paso b).
b) Ubicar el término independiente en el lado izquierdo de la ecuación. Para ello, se debe
sumar ambos lados de la ecuación por esto nos da, después de ordenar los
términos,
c) Completación de cuadrados: Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de y
el cuadrado de la mitad del coeficiente de a ambos miembros de la ecuación
obtenida en b). Esto da
d) Reescribir los polinomios en cada paréntesis usando la factorización por trinomio
cuadrado perfecto. Con lo que se tiene
De donde, podemos decir que la ecuación dada representa una circunferencia cuyo centro
es y cuyo radio es 4.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar la ecuación de la circunferencia de:
a) Centro y radio 2.
b) Centro y radio 3.
c) Centro y radio 5.
d) Centro y radio
1. En cada uno de los siguientes ejercicios: reducir la ecuación dada a la forma ordinaria y
determinar si representa o no una circunferencia. Si la respuesta es afirmativa, hallar su
centro y su radio.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2. El centro de una circunferencia es La referida circunferencia es tangente a la
recta dada por Hállese su ecuación.
3. Una circunferencia pasa por los puntos y su centro está en la recta
Hallar su ecuación.
Ayuda. Toda recta perpendicular que pase por el punto medio de una cuerda contiene al
centro de la circunferencia.
1. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia
en los puntos de ordenada
Ayuda. Toda recta perpendicular a una recta tangente a una circunferencia, que la
intersecte en el punto de tangencia, pasa por el centro de la circunferencia.
2. Hallar el centro y el radio de la circunferencia que pasa por y es tangente a la
recta en el punto .
3. Hallar las ecuaciones canónicas de las circunferencias de radio 2, tangentes a ambas
rectas
4. Hallar el valor de de manera que sea la ecuación de una
circunferencia de radio 5.
5. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por el punto y son tangentes
a las rectas
6. Hallar la ecuación canónica de la circunferencia concéntrica con al circunferencia
y es tangente a la recta