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Guia Util Sobre funciones, funcion epiyectica, biyectiva , inyectiva
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GUIA FUNCIONES
(1) verifique si la ecuación define a “y” como una función de “x”
(a) 𝑥! + 2𝑦 = 4 (b) 3𝑥 + 7𝑦 = 21 (c) 𝑥 = 2𝑦! (d) 𝑥! + 𝑦 = 9 (e) 𝑥!𝑦 + 𝑦 = 1 (f) 𝑥 + 𝑦 = 12 (g) 2𝑥 + 𝑦 = 0
(2) Evalúe la función en los valores indicados: (a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥! + 3𝑥 − 1, evalúe lo siguientes: (a1) !(!)!!(!)
!= (a2) 𝑓(−𝑎) (a3) 𝑓(𝑎 + ℎ) (a4) !(!!!)!!(!)
!, ℎ ≠ 0
(b) 𝑔(𝑡) = 𝑡 + !
!
(b1) 𝑔(2) = (b2) 𝑔(−1) = (b3) 𝑔 !!= (b4) 𝑔(𝑎 − 1)
(b5) !(!)!!(!)!!!
= (b6) !(!!!)!!(!)!
= (c) 𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑥 (c1) 𝑓(−2) (c2) 𝑓(4) (c3) 𝑓(0) (c4) 𝑓(𝑥!) (c5) 𝑓 !
!
(d) 𝑔(𝑥) = !!!!
!!!
(d1) 𝑔(1) (d2) !(!)!!(!)!!!
(d3) !(!!!)!!(!)!
(e) 𝑓(𝑥) = 𝑥! 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
(e1) !(!)!!(!!)!(!)!!
(e2) 𝑓(3)− 𝑓(2) ! − 𝑓(−2)− 𝑓(−2) ! =
(f) 𝑔(𝑥) =𝑥! + 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
𝑥 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 1−1 𝑠𝑖 𝑥 > 1
(f1) !(!!)!!(!)!!(!)!!(!)!!(!)
= (f2) (𝑔𝑜𝑔𝑜𝑔)(−1) (3) En las siguientes funciones determine !(!)!!(!)
!!! y !(!!!)!!(!)
!, 𝑐𝑜𝑛 ℎ ≠ 0
(a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥! + 2𝑥 (c) 𝑓(𝑥) = 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. (d) 𝑓(𝑥) = !!!!
!!!! (e) 𝑓(𝑥) = 1− 2𝑥 − 3𝑥! (d) 𝑓(𝑥) = !!!!
!!
Universidad de Tarapacá-‐Facultad de Ciencias-‐Departamento de Matemática Iquique, Cálculo I
(3) Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones: (a) 𝑓(𝑥) = 𝑥! 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 (b) 𝑓(𝑥) = 1 𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑥2+ 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
(c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 2
3𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 (d) 𝑓(𝑥) = 4 𝑠𝑖 𝑥 < −1 −2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1
(f) 𝑓(𝑥) =𝑥! + 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
𝑥 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 1−1 𝑠𝑖 𝑥 > 1
(g) 𝑓(𝑥) =−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
9− 𝑥! 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 1𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 > 1
(4) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 y 𝑔(𝑥) = 𝑥! − 3, determine: (a) 𝑓(𝑔(0)) (b) 𝑔(𝑓(0)) (c) 𝑓(𝑔(𝑥)) (c) 𝑔(𝑓(𝑥)) (d) 𝑔(𝑔(2)) (e) 𝑓(𝑓(𝑥)) (f) 𝑓(𝑓(−1)) (g) 𝑔(𝑔(𝑥)) (h) 𝑔(𝑔(−1)) (5) Determine 𝑓𝑜𝑔𝑜ℎ:
(a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = 3𝑥, ℎ(𝑥) = 4− 𝑥
(b) 𝑓(𝑥) = 𝑥! + 1, 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1, ℎ(𝑥) = 2𝑥
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = !!!!
, ℎ(𝑥) = !!
(d) 𝑓(𝑥) = !!!!!!
, 𝑔(𝑥) = !!
!!!!, ℎ(𝑥) = 2− 𝑥
(6) Evalúe cada expresión con el uso de las funciones:
𝑓(𝑥) = 𝑥! 𝑠𝑖 𝑥 < 1 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0 3𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
(a) 𝑓(𝑔(0)) (a) 𝑔(𝑓(1)) (a) 𝑓(𝑓(2)) (a) 𝑔(𝑔(𝑓(0))) =
TIPOS DE FUNCIONES (i) Función Inyectiva: Una función 𝑓 entre los conjuntos A y B se dice que es inyectiva, cuando cada elemento de la imagen de 𝑓 lo es, a lo sumo, de un elemento de A. Seule decirse también que la función es uno a uno. Dicho de otra forma:
𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⇔ ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ⇔ 𝑎 = 𝑏 Ejercicios: (1) Determina si cada una de las aplicaciones siguientes es inyectiva:
(a) A cada alumno de cálculo se le asigna el número que corresponde a su edad.
(b) A cada país en el mundo se le asigna la longitud y la latitud de su capital.
(c) A cada libro escrito por un determinado autor, se le designa con el nombre del
mismo.
(d) A cada país en el mundo que tenga un primer ministro se le asigna su primer
ministro.
(2) Determina si 𝑓 es inyectiva:
(a) 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3
(b) 𝑓(𝑥) = 𝑐, con c: constante,
(c) 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥!
(d) 𝑓: ℝ− 1 → ℝ− 2 tal que 𝑓(𝑥) = !!!!!!!
(e) 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥! − 5𝑥 + 1
(3) Defina las siguientes funciones para que sean inyectivas:
(a) 𝑓(𝑥) = !!!!!!!!
(b) 𝑓(𝑥) = 3− 2𝑥 (c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥! − 3𝑥 + 1
(d) 𝑓(𝑥) = 𝑒!!! (e) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 (f) 𝑓(𝑥) = 3− 2𝑥 − 𝑥!
(g) 𝑓(𝑥) = 1− 𝑥
(ii) Función Epiyectiva o Suprayectiva: Una función 𝑓 entre los conjuntos A y B se dice que es epiyectiva, suprayectiva o sobreyectiva, cuando cada elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A, es decir,
𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ⇔ ∀𝑏 ∈ 𝐵,∃ 𝑎 ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑎) = 𝑏 En otras palabras, 𝑓 es sobreyectiva si la imagen de 𝑓 es todo el conjunto B, es decir si 𝐼𝑚𝑔(𝑓) = 𝐵 Ejercicios: (1) Sea 𝑓: 𝐴 → 𝐵 donde 𝐴 = 𝐵 = ℝ y 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, ∀𝑥 ∈ 𝐴, es sobreyectiva? (2) Defina las siguientes funciones para que sean sobreyectivas
(a) 𝑓(𝑥) = !!!!!!!!
(b) 𝑓(𝑥) = 3− 2𝑥 (c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥! − 3𝑥 + 1
(d) 𝑓(𝑥) = 𝑒!!! (e) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 (f) 𝑓(𝑥) = 3− 2𝑥 − 𝑥!
(g) 𝑓(𝑥) = 1− 𝑥 (iii) Funciones Biyectivas: Una función 𝑓 entre los conjuntos A y B se dice que es biyectiva, cuando es, a un mismo tiempo, inyectiva y sobreyectiva. Ejercicios: (1) Analice si las siguientes funciones son biyectivas: (a) 𝑓: 𝐴 → 𝐵 donde 𝐴 = 𝐵 = ℝ y 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3
(b) 𝑓: 𝐴 → 𝐵 donde 𝐴 = 𝐵 = ℝ y 𝑓(𝑥) = !!!!!
(c) 𝑓: 𝐴 → 𝐵 donde 𝐴 = 𝐵 = ℝ y 𝑓(𝑥) = 2𝑥! − 𝑥 + 1
(d) 𝑓: ℝ− 2 → ℝ− 1 donde 𝑓(𝑥) = !!!!!!
(e) 𝑓: −1,1 → 0,1 , 𝑓(𝑥) = 𝑥!
(f) 𝑓: −1,1 → 0,1 , 𝑓(𝑥) = 𝑥! − 𝑥
(2) Defina las siguientes funciones para que sean biyectivas
(a) 𝑓(𝑥) = !!!!!!
(b) 𝑓(𝑥) = 1− 4𝑥
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑥! − 3𝑥 + 1
(d) 𝑓(𝑥) = 1− 2𝑥!
(e) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
(f) 𝑓(𝑥) = 1− 𝑥