Embed Size (px)
Citation preview
GUÍA EXAMEN
EXTRAORDINARIO
MATEMÁTICAS II Turno vespertino – Mayo 2018
ELABORARON Prof. Luis Castillo Peña
Prof. Juan Domínguez Martínez
Prof. Nicolás Sánchez Hernández
Profa. Ana Margarita Granados Molina
Profa. Maribel Morales Villafuerte
Prof. Gustavo Peralta Enríquez
Profa. María Teresa Plata Jiménez
Prof. Leonardo Damián Soria Rodríguez
Prof. Oscar Sosa Flores
GUÍA VIGENTE
1
Hoja de asesorías
Es requisito que algún profesor de la academia de Matemáticas del turno vespertino revise
el correcto avance de tu guía, con la finalidad de que llegues lo mejor preparado para
presentar el examen extraordinario.
Bloque I:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
Bloque II:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
Bloque III:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
Bloque IV:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
Bloque V:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
Bloque VI:
Fecha: _____________________ Firma del profesor: _____________________
2
DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO
CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO N° 2 “LIC. JESÚS REYES HEROLES”
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS II
GUIA EXAMEN EXTRAORDINARIO
BLOQUE I. Ángulos y triángulos INSTRUCCIONES: Relacione las columnas proporcionada en la primera columna, con la
gráfica que le corresponde en la segunda columna
Definición Grafica
Ángulo Agudo ( ) a.
Ángulo Recto ( ) b.
Ángulo Obtuso ( ) c.
Ángulo llano ( ) d.
Ángulos Complementarios ( ) e.
Ángulos Suplementarios ( ) f.
Ángulo Conjugados ( ) g.
3
Ángulos opuestos por el vértice
( ) h.
Ángulos Adyacentes ( ) i.
Ángulo nulo ( ) j.
INSTRUCCIONES: REALIZA LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
2. Dado ángulo A = (7x + 4)°, y ángulo B = (3x + 16)°A, hallar:
La medida del ángulo A y B si son complementarios.
La medida del ángulo B si son suplementarios.
La medida del ángulo A y B si son conjugados.
3. Sean M y N dos ángulos conjugados, donde M = 2(4x-10)°, N = 10(x+2)°;
encuentra la medida del ángulo B
Hallar la medida del ángulo AOB y BOC.
4. Hallar la medida del ángulo AOB y BOC y los valores de “x” y “y”.
5. Hallar la medida del ángulo AOB y BOC.
D
B C
o
(7x + 53)0
A (3x + 85)0
(6x - 8)0 (5x + 2)0
D
B C
o
(15y + 8)0
A
O C A
B
(10x + 25)o (10x - 5)o
4
6. Resuelve los siguientes ejercicios.
Sean A y B dos ángulos suplementarios,
donde A=8(2x-3)° y B=10(x+3.5) °. Encuentra
la medida del ángulo A.
Sean A y B dos ángulos
complementarios, donde A=4(x+3)
° y B=7(x-3) °. Determina la
medida del ángulo B.
Encuentra las medidas de los ángulos AOB y
BOC.
Encuentra las medidas de los
ángulos AOB y BOC.
Halla el valor de x e y con base en la siguiente
figura.
Si 𝑀𝑃̅̅̅̅̅ ∥ 𝑄𝑅 ̅̅ ̅̅ ̅, determina el valor
de x, así como la medida de los
ángulos STP, PTV, RVW y QVW.
7. En la siguiente figura el ángulo 3 mide 125°; encuentra la medida de los demás
ángulos, si AB ║ CD . Y argumenta que criterio utilizaste
8. Si r1 ║ r2 hallar el valor de x y y
1= 5=
2= 6=
3= 7=
4= 8=
1 2
4 3
5 6
8 7
A
C
B
D
r1 r2
150
(15x + 30)° (12y + 36)°
5
9. Sean A, B y C los ángulos interiores de un triángulo; donde A = (2x + 35)°, B = (4x
– 10)°, C = (3x – 7)°. Determina la medida de los ángulos.
10. Define los siguientes tipos de triángulos de acuerdo con la medida de sus
lados.
Triángulo Equilátero.
Triángulo Isósceles.
Triángulo Escaleno.
11. En los casos siguientes indique cuáles son los triángulos congruentes y establecer el criterio de congruencia respectivo
6
12. En la siguiente figura se muestran dos triángulos congruentes, encuentre el valor
de x e y.
13. Si un edificio de 150 metros de altura proyecta una sombra de 300 metros a cierta hora de la tarde, ¿cuál será la longitud de la sombra de un poste de 3 metros de altura? 14. Encuentre
7
TEOREMA DE THALES
15. Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, dos segmentos
cualesquiera de una de éstas son proporcionales a los dos segmentos correspondientes de la
otra.
Las rectas A, B y C son paralelas, encontrar la longitud de x:
16. Las rectas A y B son paralelas. Teniendo en cuenta las medidas que se dan en el
dibujo,
¿Se puede asegurar que la recta C es paralela a las rectas A y B? Justifica tu respuesta.
17. Encuentra el valor de los segmentos a y b:
A B C
2
5
x 7
A B C
4.5 cm
9 cm
3 cm6 cm
4 64
2
a
b
8
18. Encuentra los valores de “x” y “y”.
19. Determine el valor de “x” para las siguientes figuras.
Problemas de aplicación: 20.- Calcula la longitud de una escalera sabiendo que está apoyada en la pared a una distancia de 1.80 m de la pared y alcanza una altura de 7 m. 21.- Calcula la altura de un triángulo equilátero de 8 cm de lado
8 cm
4 cm
9
23.- Calcula la altura de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas? 24.- En el siguiente triángulo rectángulo: ¿qué expresión algebraica representa la hipotenusa?
25.- Un albañil apoya una escalera contra un muro vertical. Calculen a qué altura se encuentra la parte superior de la escalera.
A
C B
a = 4x - 1
b = 2x + 2
c = ?
10
26. Encuentra el valor del segmento HG, de la siguiente figura.
Bloque 2. Propiedades de los polígonos
Llena la siguiente tabla, anexa una imagen de cada polígono.
NOMBRE NÚMERO DE LADOS.
Triángulo.
Cuatro
Cinco
Hexágono
Siete
Ocho
Eneágono
Define los siguientes conceptos.
Polígono.
Polígono Convexo.
Polígono Cóncavo.
Ángulo Central.
Diagonal.
Ángulo interior.
Ángulo exterior.
11
Completa la siguiente tabla.
CALCULO FORMULA
Número total de diagonales
Diagonales de un vértice
Ángulo interior
Ángulo exterior
Ángulo central
En un hexágono regular calcula: a) La medida de cada ángulo interior. b) La medida de cada ángulo exterior c) El número total de diagonales.
El ángulo interior de un polígono regular mide 156°. Determina: a) El número de lados del polígono b) El número total de diagonales que se
pueden trazar en el polígono. c) El valor de cada ángulo exterior.
El ángulo exterior de un polígono regular mide 45°. Halla: a) El número de lados. b) La suma de los ángulos interiores. c) El número total de diagonales que se
pueden trazar en el polígono. d) La medida de cada ángulo interior.
Un polígono regular tiene 15 lados. Determina:
a) La suma de ángulos interiores. b) La medida de cada ángulo interior. c) La medida de cada ángulo exterior. d) El número total de las diagonales que se
pueden trazar en el polígono.
Calcula el área de un pentágono de lado 5cm. Y 3.44cm de apotema.
El área de un polígono regular es de 58.14cm2, la longitud de su lado y apotema son 4 y 4.5cm, respectivamente, ¿Cuántos lados tiene?
Un octágono regular tiene un área de 309.2cm2. Si su apotema mide 9.66cm, ¿Cuánto mide uno de sus lados?
Selecciona la respuesta que consideres la adecuada.
1.- Puntos donde concurren dos lados de cualquier polígono.
A) Diagonal
B) Vértice
C) Ángulo
D) Área
12
2.- Medida de la superficie de un polígono.
A) Altura
B) Perímetro
C) Circunferencia
D) Área
3.- Suma de las longitudes de los lados de un polígono.
A) Altura
B) Polígonos
C) Perímetro
D) Área
Hallar la suma de los ángulos interiores de un octágono.
Un polígono regular tiene 12 lados.
1. halla la medida de cada ángulo interior.
2. hallar el número de diagonales que pueden trazarse desde todos sus
vértices.
3. hallar la medida de cada ángulo central del polígono.
Los ángulos interiores de un hexágono se representan con: A=5x°, B=3x°,
C=2.5x°, D=3.5x°, E=5x° y F=5x°. Hallar la medida del ángulo A.
Encuentra la medida del ángulo C de un pentágono cuyos ángulos interiores se
representan con: A=2x°, B=x°, C=3x°, D=4x°, E=5x°
13
El ángulo exterior de un polígono regular mide 45°. Halla:
a) El número de lados.
_________
b) La suma de los ángulos interiores.
_________
c) El número total de diagonales que se pueden trazar en el polígono. _________
d) La medida de cada ángulo interior.
_________
Un polígono regular tiene 15 lados. Encuentra:
e) La suma de los ángulos interiores.
_________
f) La medida de cada ángulo interior.
_________
1) Calcule el área de un hexágono regular si la longitud de su apotema es de 5√3
2) Calcule el perímetro, si la longitud de un lado es de 42
3 y el número de lados es 24.
Obtén el volumen de:
14
Volumen de un contenedor
1.
15
BLOQUE 3. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
1) Conteste los datos faltantes de la tabla siguiente:
Elemento Definición Figura
Cuerda
Diámetro
16
Arco
Secante
Tangente
2) Conteste los datos faltantes de la tabla siguiente:
Tipo de ángulo Posición del vértice Diagrama Formula de la
medida
Ángulo central
Ángulo inscrito
Ángulo semiinscrito
Si el área de un círculo es 625 pi. Calcular el radio y la longitud de la
circunferencia.
Determinar el radio y el área del círculo si la longitud de la circunferencia es 8 pi.
17
En cada uno de los siguientes ejercicios encuentra la medida
del ángulo o arco que se te indica. El punto O representa el
centro de la circunferencia.
A z=50°
B
C
x O
________
_____
_____
Z
X
ANB=84°
AMC=140°
A= 24°
BC=36°
x= _________
18
x = __________
Calcula el área de la parte sombreada. El lado de cada cuadrado mide 12cm.
El radio de la circunferencia mide 20cm.
La figura muestra un círculo inscrito en un cuadrado, ¿cuál es el área sombreada?:
19
BLOQUE IV. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.
DESCRIBES LAS 6 RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA RESOLVER
TRIANGULOS RECTANGULOS
Halla el valor de las razones trigonométricas para el ángulo A y el ángulo B del triángulo rectángulo.
ANGULO A
B
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
cosecante
A partir de un triángulo equilátero de lado 2 unidades de longitud, obtener las razones
trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°
A
Hipotenusa
Lado opuesto del < A
Lado adyacente del < A
a
b
c
B
C
c =
X
B
C A
a = 16
b = 30
20
Sea un triángulo rectángulo isósceles de lados iguales de una unidad de longitud, obtenga
las razones trigonométricas del ángulo de 45°
Obtenga el valor exacto de la expresión trigonométrica dada. No use calculadora.
cos2(𝜋
3)
𝑠𝑒𝑛 60° 𝑐𝑜𝑠30°
6𝑡𝑎𝑛30° + 7𝑡𝑎𝑛60°
3𝑠𝑒𝑛𝜋
4− 5𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
Resuelva los triángulos rectángulos completando la siguiente tabla
No. Cateto (a) Cateto (b) Hipotenusa (c) A B
a) 12 24° 27’
b) 100 14° 2’
c) 5 12
d) 8 17
e) 8 53° 8’
1. Desde un avión que está a 1800 m sobre el centro de una ciudad, el ángulo de depresión a otra
población es de 100 14´. Calcula la distancia entre las dos poblaciones.
2. Calcula la altura de una torre si desde un punto situado a un kilómetro de la base se ve la
cúspide con un ángulo de elevación de 160 42´.
3. Un asta bandera está fijada verticalmente en lo alto de un edificio. Desde un punto a 50 m del
pie del edificio los ángulos de elevación al pie y a la punta del asta son de 210 50´ y 330 03´. Halla la
medida del asta.
4. Desde lo alto de una torre de 37 m, los ángulos de depresión de dos objetos situados de un
mismo lado y en la misma línea horizontal que el pie del edificio, son, respectivamente, 100 13´ y 150 46´.
Encuentra la distancia entre los dos objetos.
5. Desde la cumbre de un cerro de 300 m de alto, el ángulo de depresión de un barco es de 170 35´.
Calcula la distancia del barco al punto de observación.
21
6. Unos observadores en dos pueblos A y B, a cada lado de una montaña de 12000 pies de altura, miden
los ángulos de elevación entre el suelo y la cumbre de la montaña. Suponiendo que los pueblos y la montaña
están en el mismo plano vertical, calcule la distancia en metros entre ellos.
7. Una bandera está a la orilla de un acantilado de 50 pies de altura, en la orilla de un rio de 40 pies de
ancho. Un observador en la orilla opuesta del rio mide un ángulo de 9 entre la visual a la punta de la asta y su
visual a la base dl asta. Calcule la altura de la asta.
22
BLOQUE V. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Dada la siguiente función, estudia todas sus características. Representa su
gráfica.
y = sen (5x)
1) Dominio: Dom(f) = R
2) Recorrido: Im(f) = [-1 , 1]
3) Periodicidad:
Como la función seno es periódica de período 2π, la función f(x) = sen (5x) es
periódica de período: 2π = 5x ⇔ x = 2π/5
Es periódica de período 2π/5.
También podemos hallar el período de la función así:
f(x) = sen(5x) = sen(5x + 2π) = sen[ 5 (x + 2π/5) ] = f(x + 2π/5)
También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:
Periodo = 2π/5
4) Puntos de corte:
Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función. Puntos de corte con el eje Y: Si x = 0 ⇒ y = sen 0 ⇒ y = 0 ⇒ (0 , 0)
Puntos de corte con el eje X: Si y = 0 ⇒ 0 = sen (5x) ⇒ 5x = 0 ó 5x = π ⇒ x = 0 ó
x = π/5 ⇒ (0,0) , (π/5 , 0)
5) Máximos y mínimos:
Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período de la función.
Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación:
23
1 = sen (5x) ⇒ 5x = π/2 ⇒ x = π/10 ⇒ (π/10, 1)
Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación: -1 = sen (5x) ⇒ 5x = 3π/2 ⇒ x = 3π/10 ⇒ (3π/10, -1)
Dada la siguiente función, estudia todas sus características. Representa su gráfica.
y = 2 cos(x)
1) Dominio: Dom(f) = R 2) Recorrido: Im(f) = [-2 , 2] 3) Periodicidad: Como la función coseno es periódica de período 2π , la función f(x) = 2 cos(x) tiene el mismo período: 2π .
También podemos sacar el período de la función así: f(x) = 2 cos(x) = 2 cos(x + 2π) = f(x + 2π)
4) Puntos de corte: Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.
Puntos de corte con el eje Y: Si x = 0 ⇒ y = 2 cos 0 ⇒ y = 2 ⇒ (0 , 2)
Puntos de corte con el eje X: Si y = 0 ⇒ 0 = 2 cos(x) ⇒ cos(x) = 0 ⇒ x = π/2 ó x = 3π/2 Luego los puntos de corte con el eje X son: (π/2 , 0) , (3π/2 , 0)
5) Máximos y mínimos: Calculamos los máximos y mínimos que se encuentran dentro del primer período
de la función. Los puntos máximos de la función vendrán dados por la ecuación: 2 = 2 cos(x) ⇒ 1 = cos(x) ⇒ x = 0 ó x = 2π ⇒ (0 , 2) , (2π , 2)
Los puntos mínimos de la función vendrán dados por la ecuación:
24
-2 = 2 cos(x) ⇒ -1 = cos(x) ⇒ x = π ⇒ (π , -2)
Dada la siguiente función, estudia todas sus características e indica sus asíntotas.
Representa su gráfica.
y = cotg(2x)
1) Dominio:
La función cotangente no está definida en: kπ , k ∈ Z
Por tanto, nuestra función tampoco estará definida en:
2x = kπ k ∈ Z ⇔ x = kπ/2 , k ∈ Z
Luego: Dom(f) = R - { kπ/2 | k ∈ Z }
2) Recorrido: Im(f) = R
3) Periodicidad: Como la función cotangente es periódica de período π , la función f(x) = cotg
(2x) es periódica de período: 2x = π ⇔ x = π/2 Es periódica de período π/2 .
También podemos sacar el período de la función así: f(x) = cotg(2x) = cotg(2x + π) = cotg( 2(x + π/2) ) = f(x + π/2)
También podemos calcular el periodo de forma más fácil aplicando directamente la siguiente fórmula:
25
Periodo = π/2
4) Puntos de corte: La función cotangente no corta al eje Y, por tanto, la función f(x) =
cotg(2x) tampoco. Sabemos que la función cotangente corta al eje X en:0 = cotg(x) ⇔ x = π/2 ó x = 3π/2
En nuestro caso: 0 = cotg(2x) ⇔ 2x = π/2 ó 2x = 3π/2 ⇔ x = π/4 ó x = 3π/4
Como el período de nuestra función es π/2, los puntos de corte con el eje X en el
primer período son: (π/4 , 0) , (3π/4 , 0)
5) Máximos y mínimos: La función cotangente no tiene máximos ni mínimos, por tanto, f(x) =
cotg(2x) tampoco los tiene.
26
BLOQUE VI. LEYES DE SENOS Y COSENOS
1. Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC si a = 22 m, <A 350 ,<B = 650
a) <A = 800 , b = 34.7 m ,c = 37.7 m b) <A = 800 , b = 43.7 m ,c = 73.7 m
c) <A = 800 , b = 44.7 m ,c = 77.7 m
2. Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC si c = 15 m, <A 1100 10´,<B = 520
a) <C = 170 50´ , a = 98 m , b = 38.6 m b) <C = 190 , a = 45.98 m , b = 38.6 m c) <C = 170 50´ , a = 45.98 m , b = 38.6 m
3. Resuelve el triángulo oblicuángulo ABC si a = 36 m, b = 48 m, c = 30 m,
a) <A = 480 30´,<B = 920 52´, <C = 380 38´ b) <A = 480 30´,<C = 920 52´, <B = 380 38´ <A = 480 30´,<H = 920 , <D = 338´
