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ejercicios
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UNIVERSIDAD ANDRS BELLO
DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS
GUA DE EJERCICIOS: DERIVADAS
1.- Usando la definicin de derivada calcule las siguientes derivadas:
a) 12)( += xxf b) 53)( 2 ++= xxxf c) 2
1)(
=x
xf
2.- Obtenga )(' xf para las siguientes funciones:
a) 32
)(xx
xxxf
+=
b) xxxf sen2cos3)( += Resp.: xx cos2sen3 +
c) xx
xxxf
cossen
cossen)(
+=
d) x
xxf16
1)( 3 2 += Resp: 2
3
1
16
3
2
xx
e) x
xxf
2)1()(
= Resp.: 2
122
x
xxxx +
f) x
xexf
x
sen1
cos)(
=
g) xexf x ln2)( += Resp.: x
xe 12 +
h) )sen(cos)( xxexf x +=
i) x
x
xe
xexf
sen)(
+=
j) x
xxf1
)( = Resp.: 2
3
2
1
2
1
xx
+
k) 1
1)(
+=
x
xxf Resp.:
2)1(
2
x
l) 1)( 2 += xxxf Resp.: 12
132
2
++xx
x
m) 25
)5()1()( 32 += xtxf n)
3122 )2()1()( += xxxxf
o) xxxf 27
23
sen7
2sen3
2)( = Resp.: ( ) xx cossen 21
p) )(cos2)( 2 xecxf =
3.- Derivar implcitamente las expresiones que se indican
dx
dy:
a) 16= yxxy Resp.: y
x
x
y
x
y
2
2
b) xyyx cossen = Resp.: yxx
yxy
coscos
sensen
+
c) ))(( 222 yxyxy += Resp.: 22
22
32
23
yxy
xyyx
++
+
d) xyx =+ )cos( Resp.: )sen(
11yx+
e) yezx x ln)sen( =+ Resp.: [ ]x
x
e
yyezx
++ ln)cos(
f) 22cossen =+ yx Resp: y
x
2sen2
cos
4.- Demostrar que la funcin dada satisface la ecuacin respectiva:
a) y)x1('xyxey 222x
== b) y)x1('xyxey x ==
c) 0y)2x('xy2''yxxsenxy 22 =++= d)
xx xey'xy''yey =+= e) 0y'y''y'''yxcos2senxy =++++=
5.- Obtenga
dx
dy para las funciones dadas en forma paramtrica.
a) )cos1();sen( tayttax == Resp.: t
t
cos1
sen
b) tt eyex 22 ; == Resp.: te 4 c) 13;13 33 +=++= ttyttx Resp.:
33
332
2
+
t
t
d) teytex tt sen;cos == Resp,: tt
tt
sencos
cossen
+
6.- Demuestre que 2
2 xexy = satisface la ecuacin diferencial xey
dx
dy
dx
yd =+ 22
2
.
7.- Sea 12
1
3
2)( 23 += xxxxf . Hallar los puntos de la grfica de f en que la pendiente de
la recta tangente en ese punto sea igual a: a) 0 b) 1 c) 5.
Resp: a) 12
1 == xx b) 2
10 == xx c) 22
3 == xx
8.- Sea baxxxf ++= 2)( . Hallar los valores de a y b tales que la recta xy 2= sea tangente a la grfica de f en el punto ( 2, 4 ). Resp: 4;2 == ba
9.- Hallar los valores de las constantes a, b y c para los cuales las grficas de los dos
polinomios cxxf = 3)( y baxxxg ++= 2)( se corten en el punto ( 1, 2 ) y tengan la misma tangente. Resp.: 1;2;1 === cba
10.- Demostrar que la recta xy = es tangente a la curva dada por la ecuacin xxxy 86 23 += . Hallar los puntos de tangencia.
11.- Existe un polinomio dcxbxaxxP +++= 23)( tal que: 10)0('' ; 1)0(' ; 2)1()0( ==== PPPP . Calcular a, b, c y d.
12.- Mediante derivacin implcita, demuestre que si 32
3
2
3
2
ayx =+ entonces 3'x
yy =
13.- Si teytex tt cos ; sen == . Encuentre dx
dy. Resp:
te2
14.- En qu punto de la curva xxy = la tangente es paralela a la recta 063 =+ yx ?. Resp: 40 == xx
15.- Para qu valores de x la grfica de 87632)( 23 += xxxxf tiene una tangente horizontal?. Resp: 61.061.1 == xx
16.- En qu punto de la curva 4xy = la recta normal tiene la pendiente 16?. Resp:
4
1=x
17.- Si el costo de manufacturar x artculos es C(x) = 159020 23 +++ xxx , halle la funcin de costo marginal y compare el costo marginal en x = 50 con el costo real de manufacturar el artculo
nmero 50. Resp.: 9590)50(' =C ; 9421)49()50( =CC
18.- Si el costo de producir q unidades de un artculo est dado por 80050)( 2 += qqqC , determine el costo marginal para un nivel de produccin de 100 unidades. 19.- La demanda semanal de televisores plasmas es:
000.12x0x05.0600p = Donde p denota el precio en dlares y x la cantidad demandada. La funcin del costo total semanal vinculada con la produccin de estos televisores est dada por:
80000x400x03.0x000002.0)x(C 23 ++= donde C(x) denota el costo total de produccin de x televisores. a) Encuentre la funcin Ingreso R y la funcin de Ganancia P b) Encuentre la funcin de Costo Marginal C, la funcin de Ingreso Marginal R y la funcin de ganancia marginal P.
c) Encuentre la funcin de Costo Promedio ( )C asociada a la funcin de costo )x(C . d) Encuentra la funcin de Costo Promedio Marginal
20.- la funcin de consumo para la economa de Estados Unidos de 1929 a 1941 es:
05.95x712.0)x(C += donde C(x) es el gasto personal y x es el ingreso personal, ambos en miles de millones de dlares. Encuentre la razn de cambio del consumo con respecto al ingreso. A esta cantidad se le denomina Propensin marginal al consumo. 21.- Para las siguientes funciones, determine los puntos crticos, indicando si representan mximos, mnimos o ninguno de ellos.
a) 152 += xxy . Resp: 2
5=x min. b) 120 25 += xxy . Resp: 0=x mx; 2=x min c) 133 ++= xxy . Resp: no existe mximo ni mnimo. d) 242 ++= xxy . Resp: 2=x max. e) 23 34 += xxy . Resp: 0=x no es mximo ni mnimo;
2
3=x min. 22.- Estudie las siguientes funciones, indicando puntos crticos, mximos o mnimos, puntos de inflexin, intervalos de concavidad, monotona y grfica.
a) 12 +
=x
xy
b) 2xey =
c) xexy =
d) )(2
1 xx eey =
23.- Dada la funcin 2)(x
exxf
= determine: a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Mximos y mnimos de f, si es que existen. c) Puntos de inflexin de f, si existen. d) Intervalos de concavidad. 24.- Las utilidades de una empresa para los primeros once aos de vida estn dados por U(t) = 2t3 - 36t2 + 162t 50 donde U: ingreso en $ y t: tiempo en aos. Determine:
a) El trazado de la grfica U(t) b) En que aos se regstrale mnimo y el mximo de la utilidades Resp: 3;9 == tt
25.- Si el costo de produccin de q artculos es 2535)( 241 ++= qqqC , y el precio de venta de
cada artculo es qp 2150 = , determine:
a) La produccin que maximiza la Utilidad Resp: 10 artculos b) La Utilidad mxima Resp: 50 U.M.
26.- Un vendedor de bicicletas ha determinado que el costo anual del inventario C depende del nmero de bicicletas ordenadas q, mediante la funcin:
750000154860
qC
Determinar: a) El nmero de bicicletas que se deben ordenar para que el costo anual del inventario sea mnimo.
Resp: 18 bicicletas b) El valor del costo mnimo. Resp: 750540 27.- Determine el nivel de produccin que maximice la ganancia en una empresa en donde las
funciones de costo y demanda son : 100
50)(1000
53800)(2 x
xpx
xxC =+=
( No olvidar que Ingreso (x) = x P(x) ) Resp: 2250 unidades 28.- Las funciones de costo e ingreso totales de un producto son:
20001.020000.50)( qqqC ++= 2004.060)( qqqI =
a) Calcule las funciones de costos e ingresos marginales, y calcule cuantas unidades se deben producir para que se tenga que los ingresos marginales sean iguales a los costos marginales.
b) Encuentre cuntas unidades maximizan la utilidad. Recuerde que Utilidad = Ingreso Costo. Compare con la respuesta dada en a). Resp.: a) 4878 b) 4878 29.- Calcular los siguientes lmites aplicando la regla de LHopital:
a) 30
2)2(
x
xexlim
x
x
. Resp: -1/6
b) 1
12
1
1
x
elim
x
x
c) ))ln(cos(
))ln(cos(
0 bx
axlimx
. Resp: 2
2
b
a
d) 1
ln
1 xx
limx
e) 20
1tg
x
xcxlimx
. Resp: -1/3.
f) 4
222 +
x
xlimx
g) 30
sen
x
xxlimx
30.- Aplicando LHopital, hallar la constante c de modo que 4=
+
x
x cx
cxlim Resp: 2ln=c