Guía de Técnicas Experimentales Para Laboratorios de Física - Adames, Miguel Angel - 1ed

Guía de Técnicas Experimentalespara Laboratorios de Física

1992Angel Chaparro 2004Bernardo GómezRaúl Panqueva Miguel Angel AdamesJorge Rangel Ricardo BonillaBenjamín Oostra Juan David LizarazoEdgar Benavides Juanita LopezJorge GalanJuan Pablo Negret

Departamento de FísicaAgosto 2004

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Índice general

Introducción v

1. Instrumentación para el Laboratorio de Mecánica 11.1. Medidas de Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Medidas de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Técnicas de Medición 72.1. Medición de Longitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Medición de Tiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Medición de Velocidad y Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4. Medición de Masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5. Medición de Volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6. Medición de Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Análisis de Datos 11

4. Notas sobre Cálculo de Errores 154.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2. Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3. Determinando Incertidumbres Experimentales Debidas a Errores Aleatorios . . . . . . . . 164.4. Valor Medio (µ) y Desviación Estándar (σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5. Propagación de Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5. Gra�cando los DatosGrá�cas y Análisis Grá�co 235.1. Grá�cas Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2. La Recta en Grá�cas log-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.3. Grá�cas Semilogarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4. La Línea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5. Regresión Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

iii


ÍNDICE GENERAL

iv


Introducción

Objetivos

El curso de laboratorio de física está diseñado para que los estudiantes apliquen de forma practicalos conceptos e ideas abordadas en el curso magistral y tengan una aproximación experimental de losprincipios ahí expuestos. De la misma forma se pretende que los estudiantes se familiaricen con el métodoexperimental, a medida que comprueban teorías, miden variables, constantes físicas y corroboran rela-ciones. Se pretende despertar en el estudiante la curiosidad cientí�ca de forma rigurosa y organizada, almismo tiempo que se vuelven críticos de las experiencias planteadas. Se quiere �nalmente que aprendany se acostumbren a describir, justi�car, argumentar y concluir sobre los resultados obtenidos en cualquierempresa, en este caso una experiencia cientí�ca.

Metodología

En grupos de dos estudiantes se abordará una experiencia que se realizará y analizará en el transcursodel laboratorio. Para esto se siguirán los planteamientos de las guías que los estudiantes tendrán con ante-rioridad. El estudiante debe preparar adecuadamente su laboratorio, estudiando la guía y estructurandoun marco teórico especí�co a la experiencia que se va a abordar. Durante la clase cada grupo montarásu experiencia, realizará las mediciones necesarias y analizará sus resultados. El análisis de estos datos selleva a cabo con la ayuda de los conceptos físicos expuestos en el marco teórico, mediante la realización degrá�cas y con la ayuda de cálculos estadísticos, de la misma forma se espera que el estudiante concluya ysea capaz de extraer las ideas principales planteadas en la experiencia.Cada grupo deberá contar con un cuaderno donde redacte el informe correspondiente a la práctica.En este cuaderno se consignará toda la información pertinente al experimento.Objetivos.Marco teórico.Esquema del montaje.Análisis cualitativoAnálisis cuantitativo.Conclusiones.

El informe será entregado al �nal de cada laboratorio y el profesor está comprometido a traer a la siguienteclase el cuaderno con el informe corregido.v


IntroducciónNormas generales

El estudiante es responsable de tener los conocimientos necesarios para realizar adecuadamente ellaboratorio.Cada uno de los informes realizados deberá ser �rmado por ambos integrantes del grupo al entregar elcuaderno, esto con el �n de comprobar la autoría del mismo. En el caso que un grupo este incompletoy alguien deba realizar la experiencia junto con otro grupo los tres integrantes �rmarán el informe.En cualquier caso todos los cuadernos deben ser entregados al profesor al �nalizar la práctica.La nota �nal del curso se calcula como el promedio de todos los laboratorios menos uno, esto daráel 80% de la nota �nal del curso. Habrá igualmente un examen �nal que será el 20% restante paracalcular la nota �nal.Todos los estudiantes al �nalizar el semestre deben haber realizado 12 prácticas de laboratorio. En elcaso de haber faltado a una práctica, habiendo presentado la escusa pertinente y haber sido aceptadapor el profesor, esta se podrá recuperar al �nal del semestre durante el periodo de exámenes �nales.Tres ausencias injusti�cadas a los laboratorios será causal de perdida de la materia con la notamínima de 1,5. Toda ausencia deberá ser entonces justi�cada por escrito.El estudiante no podrá ingresar al laboratorio después de 15 minutos de la hora �jada para el iniciode la práctica y no se permite la entrada, sin autorización, de personas ajenas a esta.Es importante recodar que el estudiante se hace responsable por el material puesto a su disposicióndurante el laboratorio.

Las guías

Las guías de los laboratorios están enfocadas de manera tal que el estudiante no sólo realice una prác-tica de laboratorio siguiendo un procedimiento experimental sino que comprenda el contexto en el quese realiza la experiencia entienda por qué se realiza el montaje qué se propone hacer y cómo con él sepueden cumplir los objetivos. Dentro de esta �losofía de entender antes que simplemente interactuar conlos equipos, las guías cuentan con un numeral de análisis cualitativo, en el cual el estudiante describe ladinámica que observa y la justi�ca con argumentos físicos.Para un adecuado desarrollo de los laboratorios los estudiantes deberán preparar con

anterioridad la guía del laboratorio, esto es: leerla, visualizar la experiencia que va a realizar,entender la metodología y el procedimiento experimental y armar un marco teórico referentea la experiencia.

Para la elaboración de este marco teórico la guía centra al estudiante en los conceptos necesarios paracada experiencia, de esta forma no se aleja del tema y se limita a lo importante. En el marco teórico sele plantea de vez en cuando inquietudes y preguntas puntuales que serán de gran importancia para elanálisis y desarrollo del laboratorio. El estudiante debe dar entonces respuesta a estas preguntas comoejercicio adicional a la redacción del marco teórico. De igual forma en el marco teórico se le puede pediral estudiante que demuestre una relación o deduzca una fórmula en particular.El laboratorio como tal está dividido en dos partes: la primera parte consta de un análisis cualitativo yla segunda parte de un análisis cuantitativo. En la primera parte se quiere que el estudiante se familiaricecon su montaje, realice el experimento sin necesariamente tomar datos, y describa, explique y justi�quecon argumentos físicos la dinámica del sistema. En la segunda parte el estudiante tomará datos de su ex-perimento y realizará el análisis respectivo. Tanto en la parte cualitativa como cuantitativa el estudiantees guiado en su razonamiento mediante procedimientos especí�cos del equipo, planteándole preguntas e

vi


Introduccióninquietudes, solicitándole un cálculo en particular, etc.

Finalmente la guía recuerda que es importante extraer conclusiones de toda la experiencia. En estepunto se deja que el estudiante realice por su cuenta la abstracción de las ideas importantes desarrolladasen la práctica y redacte sus propias conclusiones.Un punto importante a tener en cuenta en el manejo de las guías de laboratorio es que el numeral deprocedimiento experimental no es un punto que el estudiante deba resolver, es un punto informativo decomo se sugiere que se manipulen los equipos y se lleve a cabo la toma de datos cuando esta sea necesaria.

Los informes

Los informes se redactan según las pautas que plantea la guía del laboratorio y las pautas que puedaestablecer el profesor durante la práctica.Aquí se quiere presentar al estudiante unas de estas pautas como por ejemplo: la forma de consignarsus datos, realizar las grá�cas, calcular las variables pertinentes, hacer el cálculo de error, como comentary analizar los datos resultados de sus cálculos, dibujar las grá�cas.Hay que tener en cuenta que un informe debe estar redactado de forma que cualquier persona seacapaz de entender qué se midió, cuál fue el análisis de dicha medida y qué conclusiones se extraen dedicho análisis. Por esta razón la información debe estar presentada y explicada en forma clara.De todas las tomas de datos se debe hacer una tabla que contenga dicha información, esta tabla debetraer un título o una explicación de qué tipo de información contiene. En las columnas o �las de la tablase debe especi�car las unidades de la variable que se está midiendo junto con su incertidumbre.Puede resultar cómodo en la misma tabla, en columnas adicionales, consignar la información de uncálculo realizado con dicha variable. En este caso no es necesario escribir de forma explícita en el informepara cada dato el cálculo matemático que se realizó. Antes de la tabla o después de esta se puede darun ejemplo de cómo se calcularon las columnas adicionales con alguno de los datos. Finalmente recordarsiempre utilizar el número de cifras signi�cativas pertinente para cada variable, ya que la tendencia es aconsignar todas las cifras que la calculadora nos proporciona (ver guía de técnicas experimentales).Sobre cada una de las tablas se debe realizar un análisis que indique que información se extrae de losdatos y cálculos que se hicieron. Para poder realizar este análisis normalmente se busca una tendencia enlos datos o el cálculo de un promedio. Hay que tener claro, qué se busca: si los datos medidos o calculadosdebieran en teoría ser el mismo, se busca un promedio y una dispersión sobre este valor, si los datosdescriben una tendencia se realiza sobre estos una regresión que nos indique cuál es la relación entreestas variables. En el caso de una regresión los datos importantes son las constantes que acompañan a lasvariables x e y. Estas constantes se relacionan por lo general con constantes físicas dadas por el modeloque describe el fenómeno.Hay que tener presente que no se realiza siempre una regresión lineal, los datos pueden tener un com-portamiento en forma de potencia o logarítmica. Para poder identi�car que tipo de regresión se realizauna grá�ca. La grá�ca da la tendencia y sugiere el tipo de regresión a hacer sobre los datos, para esto esnecesario estar entonces familiarizado con la forma típica de las grá�cas lineales, de potencia, logarítmicas,exponenciales, de la forma 1

x .Acerca de las grá�cas es importante: Nombrar los ejes, establecer claramente la escala que tiene cadauno de ellos y anotar sus unidades. Al igual que para las tablas, la grá�ca debe traer un título o unaexplicación del tipo de relación que se quiere representar. Cuando una grá�ca representa una tendencia

vii


Introducciónse puede dibujar la mejor curva que una la mayoría de puntos y deje tantos por debajo de ella comopor encima, casi nunca se unen todos los puntos por medio de rectas. Hay que recordar que los puntossobre la grá�ca son producto de mediciones que tienen una incertidumbre, la forma de representar estaincertidumbre es trazando barras de error. Una barra de error tanto en x como en y es del tamaño de laincertidumbre de la medida. Si el punto, que representa un dato, es producto de una sola medida, la barrade error será del tamaño de la incertidumbre en la medida, si el dato se tomó varias veces, la barra de errorserá del tamaño de la desviación estándar del cálculo del promedio sobre la raiz cuadrada del número deveces que se hizo la medida. En el caso que la incertidumbre sea muy pequeña y no se pueda representarsobre la grá�ca no se dibuja la barra de error asociada a esa variable (ver guía de técnicas experimentales).

Luego de tabular los datos, calcular promedios y desviaciones estándar, o de hacer la grá�ca y calcularla regresión numérica sobre los datos, normalmente se procede a interpretar los resultados obtenidos.Esta parte siempre se recuerda en las guías como: �Comente y analice sus resultados�. Al solicitar estainformación se quiere que se analicen los datos según lo que se está calculando o buscando. Si se calculóun promedio comentar si el valor está dentro de un rango válido para el experimento, calcular el errorrelativo y comentarlo: si es grande o pequeño, si hace del valor medido o calculado un valor preciso oimpreciso, etc. (ver guía de técnicas experimentales). Si se hizo una regresión numérica extraer de lasconstantes de la función que describen la tendencia alguna relación física: Los datos producto de unaregresión se relacionan usualmente con alguna variable física o sirven para corroborar la teoría, se esperaentonces que se comenten y analicen desde este punto de vista estos datos. En caso que uno de estosvalores calculados se pueda determinar teóricamente o se conozca su valor verdadero se calcula un errorabsoluto. Nuevamente se comenta este resultado diciendo si el valor obtenido es exacto o inexacto y cualespueden ser las causas de esta inexactitud, si se pueden suprimir o disminuir, etc. Si el valor era el valorestimado o no parece tener relación y por qué.Es importante tener en cuenta que cada vez que una idea se proponga para explicar

el comportamiento de una variable o la dinámica del fenómeno es necesario sustentarlay justi�carla con argumentos físicos. Esto quiere decir que si de los datos se deduce unarelación entre las variables, esta misma relación debe poderse explicar mediante relacionesde tipo físico entre los diferentes sistemas que están interactuando. Para sustentar las ideasse utilizan entonces conceptos físicos como fuerza, acción - reacción, potencial, aceleración,energía, disipación, conservación, superposición, condiciones de frontera, etc.

Finalmente se espera que de las tablas, las grá�cas y los cálculos salgan conclusiones parciales queindiquen que tan bien se está comprobando la teoría o que tanto se está uno acercando a los objetivospropuestos. Este tipo de conclusiones se pueden decir a medida que se desarrolla el laboratorio y nonecesariamente dejarlas para el �nal, de esta forma no se olvidan ideas ni detalles muy especí�cos alos datos medidos. En las conclusiones en cambio se espera que se resuman las principales ideas quese abordaron el el laboratorio junto con las conclusiones parciales, se concluya acerca de los objetivospropuestos y de la precisión y exactitud de los resultados. En las conclusiones debe enfocar sus resultadoshacia la explicación física del fenómeno observado, hacer referencia a conceptos fundamentales de la físicacomo por ejemplo leyes de conservación de momento o energía. Es importante recordar que no se puedenconcluir ideas que no sean re�ejo de los datos que se midieron, aún si así debió ser. En este caso se puedeantes que concluir redactar una discusión y analizar lo que se esperaba frente a lo que se obtuvo.

Sugerencias de procedimiento

En cada una de las guías de laboratorio se plantea la metodología a seguir para lograr los objetivosplanteados y se sugiere un procedimiento experimental para la manipulación de los instrumentos. Esteprocedimiento experimental es en sí una sugerencia, así que el estudiante puede realizar las variacionesque considere necesarias, pertinentes o que mejor se acomodan a su forma de trabajo. En cualquier casose espera que el estudiante analice su experimento antes de realizar alguna modi�cación y utilice en todoviii


Introducciónmomento su sentido común. Es claro que siempre podrá solicitar ayuda, consejo o aprobación del cambioque desea realizar. Se recomienda ser en todo caso muy meticuloso en su procedimiento.

El procedimiento experimental está redactado con las manipulaciones necesarias para montar el sis-tema y realizar la toma de datos que se consideró eran e�cientes y prácticas, sin embargo es necesario queel estudiante establezca claramente, antes de interactuar con el montaje, que es lo que quiere e imaginela mejor forma de realizar las medidas necesarias.Estas son algunas recomendaciones que pueden ayudar a volver e�ciente la toma de datos:Leer toda la guía antes de empezar el laboratorio, así podrá organizar las tareas a realizar y sutiempo.NO tome datos en el numeral de procedimiento experimental . Este es un numeral infor-mativo, lleve a cabo la toma de datos cuando esta sea necesaria.Antes de realizar mediciones interactúe con el montaje para establecer las mejores condiciones. Estoes que sea fácil la toma de datos, que sea precisa, que sea e�ciente, que esté dentro del rango de losinstrumentos de medición, etc. Imagine como va a tomar los datos y planteese siempre la inquietudsi habría una mejor forma de hacerlo.Recuerde que son dos integrantes en el grupo y que la toma de datos se agiliza si los dos integrantesparticipan. Es claro que es más e�ciente si uno de ellos realiza las mediciones y el otro las apunta.Uno de ellos al estar concentrado tomando los datos reconoce fácilmente una dinámica sospechosay el otro al anotarlos puede identi�car fácilmente una tendencia o un posible error.Se sugiere dibujar la tabla de datos antes de realizar la toma de los mismos, de esta forma se sabeque se quiere medir y se puede ir llenando la tabla a medida que se toman los datos. Además alanotar los datos directamente en el informe se agiliza la redacción.Revise constantemente las condiciones de su montaje, por ejemplo: que continúe alineado, que siga�rmemente sujetado, que el sistema no se haya atascado o que existan roces que in�uencien ladinámica, que los instrumentos de medición estén siendo bien utilizados, que estén en las unidadescorrectas, en la escala correcta y correctamente conectados (caso particular de los multímetros).Esto da con�anza a la hora de realizar el análisis, pues se descartan errores en la manipulación y enla toma de datos y se centra la atención en la justi�cación física.Si duda de un resultado o la dinámica del experimento no pareciera ser la esperada, repita la toma dedatos e intente justi�car el resultado. Recuerde nuevamente que son dos, comente con su compañero.Existen dos tendencias para resolver un problema: La de empezar todo de nuevo y la de realizar laúltima tarea e irse devolviendo hasta identi�car la falla. En cualquiera de los casos tenga en cuentaque un error puede provenir del montaje, de la forma en que tomó los datos, del cálculo realizadoen la calculadora, de un error en el álgebra al despejar la ecuación, del modelo teórico utilizado, delfenómeno mismo.No es recomendable que los integrantes se encuentren realizando tareas muy distintas del laboratorioya que se pierden de datos importantes que pueden dar ideas para el análisis. Es claro que al trabajaren grupo se hace una repartición del trabajo, pero en ningún caso se debe ignorar el trabajo delcompañero. Ambos integrantes son responsables de la totalidad del laboratorio.

ix


Introducción

x


Capítulo 1

Instrumentación para el Laboratorio deMecánica

1.1. Medidas de Longitud

Calibrador Pie de Rey o Vernier

Instrumento de precisión que se utiliza para medir pequeñas longitudes como: diámetros externos,internos y profundidades.La grá�ca muestra un calibrador pie de rey que consiste en una regla �ja, graduada en milímetros, ypulgadas, esta regla tiene dos apoyos o topes, A, C. Y sobre ella se desliza una regla móvil, o �NONIO�,esta pieza tiene dos apoyos B, D y una varilla E llamada pie de rey.

Por lo general, la escala del nonio tiene una longitud de 9 mm dividido en diez partes iguales, de talmanera que cada división valga 9/10 de mm y numerada de 0 a 10. O en otras palabras nueve divisionesde la regla �ja corresponden a diez del nonio (ver la siguiente �gura):

En la construcción de un nonio que se aproxime a la enésima parte de la regla principal se toman,n− 1, partes de la regla �ja y se dividen en n partes del nonio. Así si A, es la apreciación o aproximación,

1www.elsolucionario.net

CAPÍTULO 1. INSTRUMENTACIÓN PARA EL LABORATORIO DE MECÁNICAM , el valor de una división de la regla �ja, N , el valor de una división del nonio y n, el número de partesen que se ha dividido el nonio veri�quemos que:

M −N =M

n= A

Cuando se hacen corresponder, n + 1, divisiones del nonio con, n, de la regla se veri�ca:(n + 1)N = nA

La apreciación del nonio es el cociente entre el valor de una división de la regla principal y el númerode divisiones del nonio.Si al deslizar el nonio sobre la regla �ja encontramos el siguiente desplazamiento tomamos la lecturacomo lo muestra el dibujo:

Antes de realizar cualquier medición con un calibrador pie de rey, es preciso observar cuál es la relaciónentre las divisiones del nonio y la regla �ja, es decir calcular su aproximación.Si se desea medir un objeto debemos empezar por ajustar convenientemente el aparato de tal maneraque el cero de la regla principal coincida con el cero del nonio, evitando así �ERROR DE CERO�, estoocurre debido al uso o a defectos técnicos de este aparato; en caso de que no exista dicha concordancia esnecesario al efectuar una medición sumar o restar el error según el caso.Dependiendo de la medición a realizar, debemos proceder a colocar el calibrador así:Para medir diámetros internos: el objeto debe ser colocado entre los topes C y D.Para medir diámetros externos: el objeto debe ser colocado entre los topes A y B.Para medir profundidades: el objeto se coloca dentro del tope medidor E.

De acuerdo a la posición que le hemos dado al calibrador para hacer la lectura, la distancia entre lasbases del mismo nos indicará la medida correspondiente, la cual se debe hacer de acuerdo al siguienteproceso:Paso 1: Observar en la regla la fracción indicada antes del cero de la regla móvil ya sea en milímetros oen pulgadas.


CAPÍTULO 1. INSTRUMENTACIÓN PARA EL LABORATORIO DE MECÁNICAPaso 2: A la lectura anterior debemos adicionar la fracción que nos indica la reglilla móvil, teniendo encuenta la apreciación del instrumento. Dicha fracción se obtendrá observando cuál de las divisionesde la reglilla coincide con una división de la regla y ésta será su lectura.

Cuando no exista coincidencia perfecta entre la marca del nonio y la regla �ja se busca la marca delnonio que más cerca esté de la coincidencia por falta y se evalúa visualmente esta fracción.La precisión de un calibrador pie de rey es por lo general 1/10 mm.

Tornillo Micrométrico

Instrumento de precisión utilizado para medir pequeñas longitudes con apreciable aproximación, sebasa en la propiedad que presenta un tornillo de avanzar o retroceder en la misma longitud cuando se ledá una vuelta, denominada paso de rosca que nos indica el número de divisiones que avanza el tornillo enuna vuelta.El tornillo micrométrico, está constituído por una pieza en forma de herradura, con un tope �jo T , yun tope móvil T ′, unido al tornillo micrométrico en sí, situado dentro de un mango, M , sobre el que hayuna escala graduada en milímetros enteros cuyas marcas están ubicadas normalmente alrededor de unalínea central de tal manera que queden a un lado las marcas de los milímetros enteros y en otra la delos milímetros medios. El tornillo termina en su parte derecha en un tambor, D, provisto de una escalacircular, generalmente dividida en cien partes iguales, este tambor posee un trinquete, R, o tornillo deajuste.

La apreciación del tornillo micrométrico se de�ne como la relación entre el paso de rosca, o sea,la distancia que avanza al dar una vuelta completa y el número de divisiones del tambor. Sea, A, laapreciación, P , el paso del tornillo y N , el número de divisiones del tambor, tenemos entonces que laapreciación viene dada por:A =

P

N

Cuando el tope �jo y móvil están en contacto, los ceros de la escala graduada y el tambor debencoincidir, en caso contrario debe corregirse mediante el tornillo de ajuste o trinquete, si no se lograefectuar esta corrección se sumará o restará el valor de este error a la lectura de�nitiva según sea el caso.La línea central de que consta la escala graduada situada en el mango sirve de índice para la lecturade la escala circular situada en el tambor.Para efectuar cualquier medición se coloca el objeto a medir entre el tope �jo y el tope móvil y se leela parte entera en la escala graduada y se le adiciona el producto de la apreciación de la división y de laescala graduada del tambor que coincida o más se aproxime a la línea central de la escala.La precisión de un tornillo micrométrico es por lo general 1/100 mm.

Esferómetro

Es un instrumento para medir pequeños espesores de láminas de caras paralelas, y también paramedir el radio de curvatura de casquetes esféricos. El esferómetro consiste de un tornillo micrométrico,3


CAPÍTULO 1. INSTRUMENTACIÓN PARA EL LABORATORIO DE MECÁNICAque termina en punta y se enrosca en una tuerca que descansa sobre tres puntas que forman un triánguloequilátero, cuyo plano es perpendicular al eje de tornillo. El tornillo está unido a un disco graduado llamadolimbo que se mueve frente a una escala vertical, �ja al armazón, escala está graduada en milímetros.

Antes de comenzar a trabajar con el instrumento es necesario determinar la apreciación, esta se de�necomo la relación entre el paso de la rosca del tornillo milimétrico y el número de divisiones del limbo. SiA es la apreciación del esferómetro, P , el paso de rosca y N , el número de divisiones del limbo tendremos:

A =P

N

Lo primero que se debe tener en cuenta al tomar una medida es que el cero de la escala vertical coincidacon el cero del limbo, esto se logra colocando la punta del tornillo y el trípode en un mismo plano.Si existe error de cero, este se sumará o se restará según sea el caso.Para efectuar la lectura, la parte entera se lee en la escala vertical, adicionando el número de divisionesdel límbo que está frente a la escala vertical o más próximo a ella, dando así la lectura �nal.Cuando el esferómetro se coloca sobre una super�cie esférica como un casquete por ejemplo, adoptauna posición como la que se observa en el siguiente diagrama:

Si AB, es el plano en el cual descansan las tres patas del esferómetro, el tornillo caerá en M (verdiagrama).Observando el diagrama y aplicando el teorema de Pitágoras el triángulo ACC ′, tendremos:

R =d2 + h2

2h


CAPÍTULO 1. INSTRUMENTACIÓN PARA EL LABORATORIO DE MECÁNICAdonde h, es la distancia de lectura del esferómetro, R es el radio de la super�cie esférica y d, la distanciadesde cada parte del esferómetro a la pata central, sobre un plano horizontal.

1.2. Medidas de Masa

Tomar la medida de una masa es compararla con otra de�nida como unidad.La masa de un cuerpo tiene un valor constante y es independiente de cualquier condición en donde seencuentre el cuerpo (altura, presión, temperatura, etc.). Esta observación es válida cuando la velocidaddel cuerpo es inferior a un décimo de la velocidad de la luz.Esta comparación se hace con la balanza, ayudada de masas previamente calibradas con las masaspatrones.Hay diferentes tipos de balanzas las cuales son:Balanza de precisión (o balanza de laboratorio).Balanza electrónica.Balanza común.Balanza romana.


CAPÍTULO 1. INSTRUMENTACIÓN PARA EL LABORATORIO DE MECÁNICA


Capítulo 2

Técnicas de Medición

Mediciones son la esencia del método experimental de la física. De hecho, es imposible que el medidorno altere de alguna manera, aunque sea muy pequeña, lo que pretende medir. Por más preciso que sea uninstrumento, el resultado no es con�able en manos de una persona que no sabe utilizarlo. La diferenciaentre una buena y una mala medida depende del cuidado a las técnicas de medición.

2.1. Medición de Longitudes

Hay varios instrumentos para medir longitudes: reglas de 1 metro o de 10 centímetros, cintas de 10metros o de 100 metros, calibradores �pie de rey� o Vernier, tornillos micrométricos, y otros más. Elegimosel instrumento según el tamaño del objeto que queremos medir, y también, de acuerdo a la precisióndeseada. Una cinta de 100 metros no tendrá marcados los milímetros, pero no los necesita, porque a nadiele interesa esa precisión cuando está midiendo calles. Necesitaremos una precisión de milímetros solamenteen objetos del orden de o menores que 1 metro, y para eso están las reglas graduadas en milímetros. Conun calibrador Vernier podemos medir décimas o vigésimas de milímetro; pero es muy pequeño para medirobjetos de medio metro (sólo de 10 o 15 centímetros). El tornillo micrométrico es aún más preciso, porquepermite medir centésimas de milímetro, pero en objetos de máximo 2 o 3 centímetros.

Recomendación para el uso de la regla:

Para medir un objeto de 37 centímetros usamos dos sectores de la regla: alrededor del cero y alrededordel 37; o el sector del 20 y el sector del 57. Debemos �jarnos en que distingamos bien las marcas decentímetros y milímetros en ambos sectores; porque es posible que por el desgaste de la regla las marcasestén deterioradas. Especialmente la línea �cero centímetros� sufre del desgaste; muchas veces es mejormedir desde la línea �10 cm�.

Sobre el calibrador (o Vernier):

Con calibrador podemos medir diámetros externos o espesores de objetos; pero el instrumento tienetambién una �espuela� con el cual podemos medir diámetros internos de tubos o huecos.Para medir el espesor de un papel, podemos usar mejor el anillo micrométrico, pero como el papeles muy delgado, (su espesor es comparable con la incertidumbre de la medición), es mejor tomar 10 o

20 capas del mismo papel, ponerlas una sobre otra, y medir el espesor del conjunto; luego dividimos elespesor total por el número de capas.7


CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE MEDICIÓN2.2. Medición de Tiempos

En el laboratorio sólo necesitaremos medir tiempos de algunos segundos o minutos; la mayoría deestas mediciones se pueden realizar con un cronómetro manual. Hay cronómetros que miden hasta cen-tésimas de segundo, aunque una medición simple tal vez no tenga esa precisión, porque el re�ejo mentaly el movimiento del dedo necesitan aproximadamente un décimo de segundo. Veri�que esto tomando uncronómetro y tratando el menor tiempo posible entre iniciarlo y detenerlo.Si el tiempo a medir es de algunos segundos, podremos medirlo bien haciendo una medición simple conel cronómetro. Pero lo más importante es sincronizar el arranque y la detención del reloj con el comienzoy el �nal del proceso cronometrado. Para eso lo ideal es que la misma persona ponga a funcionar elexperimento y el reloj; no es recomendable la �colaboración� de dos personas, uno que suelte el experimentoy dice �½Ya!� para que el otro accione el reloj; la demora de los re�ejos del cronometrista introducirá unerror de varias décimas de segundo. Si es realmente imposible que la misma persona accione los dossistemas, hay que recurrir a una cuenta regresiva; uno de los dos hará un conteo como: �tres - dos - uno -½ya!� con intervalos muy uniformes.Una gran ventaja aparece cuando vamos a medir el período de un movimiento cíclico que se repitemuchas veces (por ejemplo un péndulo, o un movimiento circular uniforme). En ese caso medimos eltiempo gastado en 10 o 100 ciclos consecutivos, y luego dividimos ese tiempo por el número de cicloscontados; así el error cometido (al prender y apagar el reloj) se reduce el mismo número de veces. Parareducir aun más el error, debemos poner a andar el experimento antes que el reloj, observarlo durantealgunos ciclos, y entonces accionar el cronómetro (en una fase determinada del ciclo). Luego contamos elnúmero deseado de oscilaciones (recordando que el instante en que se pone en marcha el reloj no es �uno�sino �cero�), y detenemos el cronómetro en la misma fase (de la oscilación) en que habíamos comenzado.De esta manera es posible medir con bastante precisión períodos hasta de un quinto de segundo.Para medir tiempos más cortos existen cronómetros conectados con sensores electrónicos sobre elexperimento. Otro método es utilizar el Registrador de Tiempo, un vibrador de frecuencia conocida (porejemplo los 60 Hz de la red eléctrica) que en cada oscilación deja una marca sobre una cinta de papel quese mueve; el número de marcas es proporcional al tiempo transcurrido.

2.3. Medición de Velocidad y Aceleración

Es difícil medir la velocidad instantánea de un objeto, excepto con un �velocímetro� o instrumentocuya lectura depende físicamente de la velocidad. Lo que hacemos generalmente en el laboratorio es medirla velocidad media en cierto tramo, midiendo la distancia recorrida y el tiempo empleado. Si tenemosbuenas razones para creer que la velocidad es constante, la velocidad instantánea será igual a la media,es decir, a la distancia dividida por el tiempo transcurrido.Si la velocidad no es constante, en muchos casos podremos asumir que la aceleración sí es constante(¾por qué?); además, muchas veces la velocidad inicial será nula. En esos casos es su�ciente medir el tiempo

y la distancia total, para poder determinar la aceleración usando la relación d = a t2

2 . Si dudamos que laaceleración sea constante, podemos repetir el experimento �jando diferentes valores para la longitud, ymidiendo en cada caso el tiempo empleado; luego podremos comparar los diferentes valores obtenidos dela aceleración.

2.4. Medición de Masas

Normalmente determinamos la masa de un objeto midiendo la fuerza gravitatoria que actúa sobre él,es decir su peso (para medir directamente la masa, deberíamos someter el objeto a alguna fuerza conociday medir la aceleración).8


CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE MEDICIÓNCuando disponemos de una balanza calibrada, simplemente ponemos el objeto sobre la balanza, yajustamos la balanza hasta que esté en equilibrio; el ajuste necesario (por ejemplo correr una pesa sobreel brazo) indica la masa del objeto. Este tipo de balanza no depende del valor de la gravedad, puesto quelo que hace es comparar el peso del objeto con el peso de las partes de la balanza.Si sólo disponemos de algunas pesas patrón, podemos improvisar una balanza utilizando una varilla oregla, colgada de su centro de modo que quede suspendida horizontalmente. A un lado de la regla colgamosuna pesa patrón, y al otro lado el objeto a pesar, y ajustamos las distancias hasta que la balanza esté enequilibrio; a continuación determinamos la masa incógnita sabiendo que la proporción de los dos pesos esinversa a la proporción de las dos distancias (esto solamente si se puede despreciar el peso de la cuerda dedonde cuelgan o el peso del platillo donde reposan, pues de otra manera el cálculo es más complicado).Si no disponemos de pesas patrón del tamaño deseado, podemos sustituirlas por un recipiente en elcual ponemos volúmenes conocidos de agua, y usamos la densidad conocida del agua (1 kilogramo/litro).Para determinar masas con un dinamómetro de resorte, simplemente se cuelga el objeto del di-namómetro y se lee la masa o el peso, según las unidades en que esté graduada la escala. Hay querecordar que un dinamómetro mide fuerzas; y si su escala está en gramos, eso indica que el fabricanteasumió determinado valor de la gravedad.Finalmente, si tenemos varios objetos iguales, lo mejor es pesarlos simultáneamente (todos juntos) ydividir la masa total por el número de objetos; de esta manera los errores cometidos serán minimizados.

2.5. Medición de Volúmenes

Para objetos muy regulares (como esferas, cilindros o paralelepípedos bien formados) es su�cientemedir las dimensiones del objeto (por ejemplo con un calibrador) y calcular su volumen.Cuando trabajamos con objetos de forma irregular, debemos recurrir a otros métodos. Si conocemoscon su�ciente exactitud la densidad del material, podemos pesar el objeto y calcular su volumen; perogeneralmente las densidades no son lo bastante conocidas. También podemos sumergir el objeto en algúnlíquido y medir cuánto sube el nivel de éste (hay que cuidar que no queden burbujas de aire adheridas alobjeto). Para tener mayor precisión debemos hacer esta medición en una probeta o tubo de ensayo delmenor diámetro posible (donde apenas quepa el objeto), para que la diferencia de niveles sea máxima yse pueda medir con la mayor precisión posible. Una variante de este método es pesar el objeto dos veces:primero directamente, y luego pesarlo mientras está suspendido en el líquido; la diferencia de los dos pesosequivale a la densidad del líquido multiplicada por el volumen del objeto.Volúmenes de líquidos se miden en probetas u otros recipientes graduados, que tienen una escalavertical en litros o mililitros. Si el recipiente no tiene una escala adecuada, podemos llenarlo de agua ypesarlo. Por ejemplo, para medir la capacidad (volumen interno) de un tarro, bastaría pesarlo una vezvacío y otra vez lleno de agua.Si queremos medir la densidad de un objeto, lo más directo es medir su volumen y pesarlo para sabersu masa.

2.6. Medición de Ángulos

Con regular precisión podemos medir ángulos directamente usando un transportador, o papel polar,o algún otro instrumento que indique grados. En estos casos debemos tener especial cuidado de que elcentro (o vértice) del ángulo a medir coincida con el centro del transportador.Otra manera más precisa de medir un ángulo, es formar con él un triángulo rectángulo, y medir doslados de éste, calcular la función trigonométrica correspondiente, y de ahí obtener el valor del ángulo.Para usar este método debemos tener cuidado de que el ángulo recto del triángulo sea lo más recto posi-ble. Además, debemos escoger adecuadamente cuál función trigonométrica vamos a medir: para ángulos


CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE MEDICIÓNpequeños es mejor medir el seno o la tangente, mientras que para ángulos cercanos a 90◦ es mejor medirel coseno (¾por qué?).


Capítulo 3

Análisis de Datos

Cuando trabajamos en el laboratorio poseemos de antemano cierta idea de lo que vamos a hacer yde los resultados que obtendremos de acuerdo a un estudio teórico previo o a nuestra intuición. Conestas ideas se realiza el montaje del experimento estimando previamente cuales y cuantas medidas sonnecesarias y preparando el campo donde escribiremos los datos con un sistema de unidades coherente, enforma numerada o con algún orden que nos permita hacer un seguimiento del experimento. Es deseableque las medidas sean repetibles, para tomarlas de nuevo en caso de que algún resultado sea dudoso.Al hacer un chequeo de los datos, el sentido común es un elemento poderoso para saber cómo estamoshaciendo las cosas y podemos reconocer si las variables dependientes no posen el comportamiento esperadoo si algún dato se aleja mucho de donde debía ser. Debemos manejar nuestros datos con honestidad, yel rigor experimental nos obliga a registrar los eventos tal como aparecen en las mediciones y no comodesearíamos que fuesen.Por ejemplo, si deseamos calcular el valor de π podemos tomar una serie de discos de diferente tamañomidiendo su diámetro y perímetro (p = πd) no parece razonable medir el peso de cada disco salvo queel desarrollo posterior del experimento lo requiera. Nuestra tabla de datos la podemos hacer en formaascendente o al menos indicando que medida corresponde a cada disco.En una tabla de diámetros, perímetros y valores de π esperamos que los resultados se encuentren alrededor de 3, 14 pero podemos encontrar sorpresas que nos harán revaluar nuestros resultados. Si nuestrosvalores de π nos dan cercanos a 5,43 es señal de que algo anda mal y una investigación profunda nosdirá en que estamos fallando. Puede ser que estemos manejando mal los instrumentos de medición, que elplanteamiento teórico no es el correcto, no estamos haciendo los cálculos correctamente o que sencillamenteestamos haciendo otro experimento.Es más corriente que algunos de los datos no concuerden con los demás resultados. En este casopodemos repetir dicha medición con mayor cautela, darle un tratamiento especial a dicho dato o notenerlo en cuenta en caso de que no sea posible repetir la medida. Por ejemplo cuando un disco es muypequeño (p = 4 mm, r = 1 mm) las medidas presentan una incertidumbre alta, también pudo ocurrir queun disco estaba ovalado o que uno de ellos era de espuma y se deformaba cuando tomábamos la medida.La mejor forma de mirar el desarrollo de nuestro experimento es colocando los datos en una grá�-ca, donde se ve claramente como se comportan las variables del experimento. En una grá�ca perdemosinformación del valor numérico de cada variable, pero encontraremos valiosa información acerca del com-portamiento de las variables del experimento. Si gra�camos perímetro-diámetro la grá�ca será una rectadonde la pendiente será π y los datos con�ictivos saltarán a la vista. Si suponemos que π depende delpeso y el radio de un disco podremos gra�car peso-diámetro y encontraremos una grá�ca sin coherenciadonde al parecer a mayor radio mayor peso.Después de haber tomado la medidas de cualquier experimento, nos percatamos de que los resultadosson invariablemente diferentes y nuestra labor consiste en extraer la máxima información con unos datosque no nos brindan una respuesta exacta.


CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE DATOSEn ocasiones conocemos cuál debe ser el resultado de un experimento, como cuando buscamos el valorde π midiendo el perímetro y el radio de una circunferencia. Si conocemos el valor experimental (E) y elvalor conocido o exacto (K), de�nimos el porcentaje de error como:

% error =(E −K)

K100 %

Cuando no conocemos cual debe ser el resultado de un experimento, podemos tener una idea del posibleresultado, y es así como al preguntar la hora, la edad o la estatura de alguien no conocemos la respuesta,pero un resultado muy alejado de lo que esperamos nos hará reaccionar e investigar qué ha ocurrido.En mejores circunstancias podemos buscar un mismo resultado por diferentes caminos. El valor de πtambién se puede calcular sumergiendo una esfera en un recipiente con agua, y conoceremos su volumenmidiendo el nuevo nivel del agua. Cuando conocemos dos valores experimentales de�nimos el porcentajede diferencia como

% diferencia =(E1 − E2)E1 + E2

100 %

Si hacemos una lista de las mediciones obtenidas, los datos presentan una tendencia a agruparse o adispersarse en torno a un determinado patrón, producida por diversos errores. Cuando los datos estánmuy en torno a un valor que se conoce previamente decimos que son exactos, y cuando los datos estáncerca uno de otro decimos que son precisos.

Exacto, sin precisión Preciso, sin exactitud Exacto y precisoEn la primera grá�ca, dada la poca precisión de los datos, no podemos estar seguros de la con�abilidaddel experimento.El segundo caso nos indica la presencia de un error sistemático que no se ha tenido en cuenta.Este tipo de errores se producen por de�ciencias en el procedimiento y se reconocen por que afectan losresultado de una misma forma.Por ejemplo para medir el perímetro de una circunferencia tomamos una cinta alrededor del disco yrealmente medimos el perímetro del disco más la cinta, y si la cinta es muy gruesa los valores de π trataránde dar superiores a 3,14. Es común también que los aparatos estén mal calibrados o que asumamos algoque puede no ser cierto del todo. Por ejemplo al sumergir una esfera en agua suponemos que la densidaddel agua es 1 g/cm3, o en otro caso asumimos la densidad del cobre de acuerdo al valor de alguna tabla,valor que puede ser diferente del metal que estamos empleando.En un experimento intentamos minimizar el efecto de los errores sistemáticos para lograr el resultado dela tercera grá�ca. Esto se logra calibrando los instrumentos, manejando masas apropiadas para disminuirlos efectos de la fricción, emplear cuerdas livianas, etc.La primera grá�ca es similar a la tercera, y se diferencian en el grado de dispersión de los datos. Estas�uctuaciones se deben a errores aleatorios producidos por la di�cultad del observador para tomar lamedida y estimar el último dígito, así como a factores externos que alteran el experimento en forma


CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE DATOSaleatoria, como las vibraciones mecánicas del montaje experimental, cambios de temperatura y voltaje,brisas de aire, variaciones propias de los equipos y di�cultades en el proceso de medición.

En general los errores aleatorios hacen que los datos se encuentren en torno a determinado patrón,mientras que los errores sistemáticos hacen que dichos valores presenten un comportamiento claro que sealeja de los valores reales.En principio un error sistemático se puede eliminar, y los errores aleatorios se pueden disminuir peronunca eliminar. Cuando tomamos varias medidas de la misma cantidad, debemos emplear mecanismospara calcular el grado de precisión de una medida, y para esto empleamos las técnicas de cálculo de error.Debemos notar que el cálculo de error nos mide solamente el efecto de los errores aleatorios. Estimarel efecto de los errores sistemáticos es más complicado y debe hacerse de acuerdo a cada circunstancia.


CAPÍTULO 3. ANÁLISIS DE DATOS


Capítulo 4

Notas sobre Cálculo de Errores

4.1. Introducción

Parte de la actividad experimental es la medición de cantidades y debe ser claro que es imposible querealicemos medidas in�nitamente exactas. Por un lado, dependiendo de la calidad del trabajo y del equipocon que contemos, los resultados de las mediciones de un mismo experimento pueden ser más o menosexactas. Por otra parte, las mediciones que resultan en un solo experimento que hemos realizado variasveces son distintas.Teniendo todo esto en cuenta, en las mediciones no solo es importante reportar el valorde la cantidad medida, sino que también se debemos indicar que tan exacta es. De hecho, lo que podemosy debemos reportar en un experimento es el rango de valores de una cantidad medida y la forma usualpara denotarla es: 〈x〉±σx. Esto es, los resultados de la medición de la cantidad x oscilan entre los valores〈x〉 + σx y 〈x〉 − σx. 〈x〉 se denomina valor medio de la cantidad x, y representa el valor de la cantidadmedida. σx es el error absoluto en el valor promedio o incertidumbre experimental y nos da informaciónde la exactitud de la medición. Uno de los objetivos de este apéndice es indicar formas como podemosestimar la incertidumbre experimental (σx) en la medición de una cantidad x debida a diferentes factoresque resultan en las mediciones.

Por otra parte, en ocasiones usamos cantidades medidas para construir nuevas cantidades de interés(realizamos operaciones matemáticas con cantidades medidas). Por ejemplo, puede ser de interés deter-minar el área A, de una lámina de circular. Para ello medimos el diámetro D(D = 〈D〉 ± σD), y el áreala obtenemos usando:A =

πD2

4

Como el diámetro tiene una incertidumbre experimental, el área también la tiene (A = 〈A〉 ± σA). Dehecho, la incertidumbre en el área (σA) depende de la incertidumbre en la medición de diámetro (σD).Otro de los objetivos de éste apéndice es indicar formas para determinar la incertidumbre de una cantidadque se obtiene a partir de operaciones matemáticas de cantidades medidas. Esto último se conoce comopropagación de errores.

4.2. Errores

A los resultados de un experimento se les pueden asociar diferentes clases de errores.Error Relativo: Esta cantidad nos da una indicación de que tan lejos está nuestro resultado experimentalde la verdadera respuesta y se de�ne como la diferencia entre el valor calculado u observado y elvalor verdadero y usualmente se da en forma porcentual:


CAPÍTULO 4. NOTAS SOBRE CÁLCULO DE ERRORES

Error relativo( %) =|valor verdadero − valor observado|

|valor verdadero| 100 %

Generalmente nosotros no conocemos cual es el valor verdadero pero frecuentemente sabemos aprox-imadamente cual debería ser el valor, ya sea por experimentos anteriores al nuestro o por estimadosteóricos. Se puede decir que cuando más exacto es el experimento, más pequeño es el error. Claroestá, esta cantidad no es su�ciente para determinar la calidad del experimento ya que hace faltaconocer incertidumbre experimental. (No es lo mismo tener un error absoluto del 1,0 % con un er-ror debido a la incertidumbre del 95 % que tener un error absoluto del 1,0 % con un error debidoa la incertidumbre de 1,0 %). En otras palabras necesitamos contar con mecanismos que nos per-mitan determinar, de los propios datos, cuanta credibilidad podemos tener en nuestros resultadosexperimentales. Esto nos lleva a otras clases de errores.Errores Sistemáticos: Estos errores son incertidumbres que se deben por ejemplo a defectos en lacalibración de los aparatos de medición. También se deben a la tendencia de un aparato a correr losvalores de una cantidad siempre en la misma �dirección�. Por ejemplo si vamos a medir la longitud deun objeto y para ello utilizamos una regla graduada en centímetros, puede resultar que al compararlas marcas que corresponden a un cm con las de un metro patrón, éstas sean realmente de 0,99 cm,en este caso, nuestras mediciones estarán siempre sobreestimadas con respecto al valor verdadero.Errores Aleatorios: La causa de estos errores están en los factores que se presentan al azar en larealización de la medición y/o a la inherente naturaleza estadística del fenómeno a tratar (porejemplo el decaimiento radioactivo de algunos núcleos atómicos).

Por ejemplo, se desea medir un objeto con una regla graduada. Para ello realizamos un conjuntode medidas leyendo los valores indicados en la regla lo más preciso posible obteniendo en generaldistintos valores. Las diferencias que obtenemos son resultado de varios pequeños factores que no soncontrolados por el observador y que cambian de una medida a otra. Como por ejemplo, la inhabilidadde poner el cero de la regla exactamente en el mismo punto cada vez que se realiza una medición,expansión y contracción de la regla debido a cambios de temperatura, errores de paralaje, etc.Todo estos son la causa de errores instrumentales donde el término instrumental también incluyeal observador. Cuanto más atención pongamos a estos factores, obviamente, la magnitud de las�uctuaciones serán menores.En los errores aleatorios cada medida individual �uctúa independientemente de las otras, lo cualpermite tratar los errores aleatorios con las leyes de la estadística. Por otra parte, mientras el errorsistemático no cambia con el número se mediciones que hagamos (va en la misma �dirección�), elerror aleatorio tiende a disminuir al aumentar el número de mediciones. Esto último lleva a que unexperimento lo debemos repetir el mayor número de veces posible.Hay situaciones en las que una cantidad es medida una sola vez en un experimento. En estos casos,debemos estimar de la mejor forma posible la incertidumbre en la medición. Por ejemplo, la medicióncuidadosa a de una longitud con una regla calibrada en milímetros puede tener una incertidumbrede 0,5mm.

4.3. Determinando Incertidumbres Experimentales Debidas a Er-rores Aleatorios

En algunos experimentos realizaremos mediciones repetitivas y esto hace necesario que sepamos comodeterminar el valor medio y la incertidumbre experimental que resulta de los errores aleatorios. Como éstoserrores son de carácter estadístico, una presentación completa de este tema va más allá de un apéndicey del nivel del curso. Pero proceder a dar una guía práctica para su cálculo también es peligroso, ya quemuchas de las expresiones de utilidad son resultado de aproximaciones y es importante poder determinarsi la aproximación es válida o no. Por todo esto, a continuación vamos a presentar una guía prácticapara el cálculo del valor medio y la incertidumbre experimental y para dar claridad, algunas de�nicionespropias de la estadística.16


CAPÍTULO 4. NOTAS SOBRE CÁLCULO DE ERRORES4.4. Valor Medio (µ) y Desviación Estándar (σ)

Se desea medir la cantidad x. No esperamos que de una la medición obtengamos el valor verdaderode x. Si hacemos dos medidas, nosotros esperamos encontrar una discrepancia entre ellas debido a erroresaleatorios. Cuando realizamos más y más medidas, un patrón estadístico sobresaldrá de los datos. Algunasde las observaciones serán muy grandes, otra serán muy pequeñas. Pero en promedio, nosotros esperamosque nuestras mediciones se distribuyan alrededor del valor correcto.Hacemos N medidas de la cantidad x y las denotamos por x1, x2, etc. hasta un medida �nal xN . Lasuma sobre todas las medidas es de utilidad:

x1 + x2 + x3 + · · ·+ xN

Que en forma compacta se puede escribir como:N∑

i=1

xi = x1 + x2 + x3 + · · ·+ xN

El valor medio de x: µ, se de�ne para un número in�nito de mediciones como:

Valor medio de x: µ = lımN→∞

(∑Ni=1 xi

N

)

El valor medio es un parámetro que caracteriza la información que estamos buscando cuando realizamosun experimento. Tiene las mismas unidades que el �valor verdadero� y lo podemos considerar como el mejorestimado que se puede hacer del �valor verdadero�, bajo las condiciones experimentales prevalecientes.La varianza se denota por S2 y se de�ne como:

Varianza de x: S2 ≡ lımN→∞

(∑Ni=1(xi − µ)2

N

)

Y la desviación estándar σ se de�ne como:Desviación estándar σ: σ =

√S2

Ésta cantidad es una medida apropiada de la incertidumbre debido a las �uctuaciones en las observa-ciones y está relacionada a la incertidumbre experimental.Como en la práctica nos es posible realizar solo un número �nito y no un número in�nito de mediciones,quedamos limitados a estimar el promedio de x que denotamos por 〈x〉 y que para N mediciones se de�necomo:

µ ≈ 〈x〉 =

(∑Ni=1 xi

N

)(4.1)

Claro está, tanto mayor sea N tanto mejor es nuestro estimado para el promedio de x. Similarmenteel mejor estimado de la varianza será:

S2 ≈

(∑Ni=1(xi − µ)2

N

)


CAPÍTULO 4. NOTAS SOBRE CÁLCULO DE ERRORESEsta última expresión tiene el valor medio que requiere un número in�nito de mediciones. El mejorestimado de la varianza en términos de 〈x〉 es:

S2 ≈

(∑Ni=1 (xi − 〈x〉)2

N − 1

)

Y la desviación estándar queda como

σ ≈

√∑Ni=1(xi − 〈x〉)2

N − 1(4.2)

Finalmente, la incertidumbre experimental está dada por:Incertidumbre experimental: σx =

σ√N

(4.3)Las ecuaciones numeradas, son las que tienen utilidad práctica y son buenas aproximaciones si elnúmero de mediciones es grande. Por otra parte de ecuación (4.3) es fácil ver que la incertidumbreexperimental disminuye al aumentar el número de medidas.Finalmente, una importante cantidad asociada a la incertidumbre experimental es el error relativo.Éste error compara la incertidumbre con el valor medio. Usualmente el error relativo (al promedio) seexpresa el porcentaje y se de�ne como:

Error relativo (%): σx

〈x〉100 %

Su relevancia se hace evidente con el siguiente ejemplo: los resultados de las mediciones de dos longi-tudes son: L1 = 20,00m± 2 cm con un error relativo del 0,1 % y L1 = 2,00m± 2 cm con un error relativodel 1 %. Note ambas medidas tienen la misma incertidumbre experimental, pero el error en la segundamedida es diez veces más grande que el error en de la primera indicando que la medición para la longitudL1 es más exacta. En otras palabras, tener un error de 2 cm en una medida de 20,0m no es tan relevantecomo tener un error de los mismos 2 cm en una medida de 2,0m. Para que la segunda medida tenga elmismo error que la primera, es necesario que la incertidumbre sea de 2mm. Esto es, se necesita un aparatode medición más preciso.Ejemplo

Se desea determinar la longitud de un objeto, para ello se realizan 15 mediciones con los siguientesresultados:17,62 cm 17,62 cm 17,615 cm 17,62 cm 17,61 cm17,61 cm 17,62 cm 17,625 cm 17,62 cm 17,62 cm17,61 cm 17,615 cm 17,61 cm 17,605 cm 17,61 cm

Deseamos encontrar el mejor estimado para la longitud de este objeto. Para ello necesitamos el valormedio cuyo mejor estimado está dado por la ecuación (4.1) :

〈x〉 =

(∑Ni=1 xi

N

)=

(∑15i=1 xi

15

)= 17,61533 cm

También necesitamos calcular la incertidumbre, y para ello comenzamos calculando la desviación es-tándar (4.2):18



σ ≈

√∑Ni=1(xi − 〈x〉)2

N − 1= 0,00581 cm

Nota. Normalmente, estas dos cantidades se pueden evaluar en forma automática con la calculadora.Con esto, usamos (4.3) para calcular el error absoluto en el valor promedio o incertidumbre experi-mental:

σx =σ√N

= 0,0015 cmEntonces el mejor valor para la longitud de este objeto es (notar el número de cifras signi�cativas):

x = (17,615± 0,002) cmEl error relativo en esta caso está dado por:

σx

〈x〉100 % = 0,0085 %

Como resultado �nal se da el valor medido y el error relativo:

x = (17,615± 0,002) cm.σx

〈x〉100 % = 0,0085 %.

Ejemplo

Supongamos que las tres grá�cas del Apéndice C corresponden a las mediciones del tamaño de unobjeto de 10 cm de lado (representado por el origen en las grá�cas). Para ilustrar estos cálculos, tomamoslos valores en los ejes horizontales y determinamos los valores promedios, las desviaciones estándar, loserrores absolutos en el valor promedio (incertidumbres experimentales) y los errores relativos:9,7 8,8 9,59,2 8,7 10,311,1 8,7 9,89,7 9 10,18,4 8,6 10,49,4 9,1 9,510,2 8,9 10,111,1 10 9,910,3 10 10,210 10 9,7

N = 9 N = 7 N = 10〈x〉 = 9,900 〈x〉 = 8,829 〈x〉 = 9,950σ = 0,880 σ = 0,180 σ = 0,321

σx = ±0,293 σx = ±0,068 σx = ±0,101σx

〈x〉100 % = ±2,964 % σx

〈x〉100 % = ±0,770 % σx

〈x〉100 % = ±1,019 %


CAPÍTULO 4. NOTAS SOBRE CÁLCULO DE ERRORES4.5. Propagación de Errores

Ya hemos visto como se calcula la incertidumbre en cantidades que se miden directamente. Ahoranos interesa ver como la incertidumbre experimental afecta operaciones matemáticas que se realizan concantidades medidas.Acá trabajaremos con funciones de dos variables, pero la generalización a más variables es inmediata.Para ello consideremos una cantidad de interés x, que depende de dos cantidades medidas “u” y “v”.Matemáticamente se dice que x es una función de “u” y “v” y se denota como x = f(u, v). Asumimosque conocemos los valores medios (〈u〉 y 〈v〉) e incertidumbres (u y v) de las variables “u” y “v”. Ademásasumimos que “u” y “v” son dos variables estadísticamente independientes (la medición de una de ellasno afecta el resultado de la medición de la otra). Nos interesa determinar el valor medio de x, 〈x〉 y suincertidumbre σx. Estas dos cantidades están dadas por:Para: x = f(u, v) con: u = 〈u〉 ± σu y v = 〈v〉 ± σv conocidos:

Valor medio: 〈x〉 = f(〈u〉, 〈v〉)

La incertidumbre: σx =

√(σu

∂f

∂u

)2

+(

σv∂f

∂v

)2∣∣∣∣∣〈u〉,〈v〉

En donde (∂f∂u ) es la derivada de f(u, v) con respecto a “u” manteniendo “v” constante y (∂f

∂v ) es laderivada de f(u, v) con respecto a “v” manteniendo “u” constante. En la evaluación de las dos cantidadesen los valores medios es importante tener en cuenta las cifras signi�cativas.Ejemplos

Adición y Sustracción x = au± bv, donde a y b son constantes.∂f∂u = a y ∂f

∂v = ±b

Valor medio: 〈x〉 = a〈u〉 ± b〈v〉

Incertidumbre: σx =√

(σua)2 + (σvb)2

Multiplicación x = ±auv, donde a es una constante.∂f∂u = ±av y ∂f

∂v = ±au

Valor medio: 〈x〉 = ±a〈u〉〈v〉

Incertidumbre: σx = |a〈u〉〈v〉|√

( σu

〈u〉 )2 + ( σv

〈v〉 )2 = |〈x〉|

√( σu

〈u〉 )2 + ( σv

〈v〉 )2

División x = ±auv , donde a es una constante.

∂f∂u = ±a

v y ∂f∂v = ±a u

v2

Valor medio: 〈x〉 = ±a 〈u〉〈v〉

Incertidumbre: σx = |a 〈u〉〈v〉 |√

( σu

〈u〉 )2 + ( σv

〈v〉 )2 = |〈x〉|

√( σu

〈u〉 )2 + ( σv

〈v〉 )2


CAPÍTULO 4. NOTAS SOBRE CÁLCULO DE ERRORESPotencias x = au±b, donde a y b son constantes.∂f∂u = ±abu±b−1

Valor medio: 〈x〉 = a〈v〉±b

Incertidumbre: σx = |ab〈u〉±b−1σu| = |〈x〉b σu

〈u〉 |

Ejemplos numéricos

1. Se desea determinar el perímetro de una mesa rectangular. Para ello se mide su lado L y su anchoW obteniendo:

L = 2,00m± 2 cm (〈L〉 = 2,00m, σL = 2 cm)W = 1,50m± 1 cm (〈W 〉 = 1,50m, σW = 1 cm)

El perímetro está dado por: P = 2(L + W )Valor medio: 〈P 〉 = 7,00mIncertidumbre: σP = 2

√(σL)2 + (σW )2 = 4,5 cm

Como resultado �nal se tiene: P = (7,00± 0,04)m, σP

〈P 〉 ( %) = 0,64 %

2. Se desea determinar el área A, de un triángulo. Para ello se mide la base b y la altura h obteniendo:

b = 5,0 cm± 1mm (〈b〉 = 5,0 cm, σb = 1mm)h = 10,0 cm± 3mm (〈h〉 = 10,0 cm, σh = 3mm)

El área está dada por: A = bh2Valor medio: 〈A〉 = 25,0 cm2

Incertidumbre: σA = 〈A〉√

( σb

〈b〉 )2 + ( σh

〈h〉 )2 = 0,90 cm2

Como resultado �nal se tiene: A = (25,0± 0,9) cm2, σA

〈A〉 ( %) = 3,6 %




Capítulo 5

Gra�cando los DatosGrá�cas y Análisis Grá�co

El propósito de muchos experimentos es hallar la relación entre las diversas cantidades físicas medidas.Una de las mejores formas de alcanzar esto es gra�cando los datos y haciendo un análisis de la grá�ca.Una grá�ca es una representación de datos numéricos (por ejemplo los datos medidos en el laboratorio)por medio de puntos y líneas que hacen visible la relación existente entre estos datos.

En la grá�ca se utiliza siempre un sistema de coordenadas. Por lo general se acostumbra a usar unsistema rectangular, con el eje horizontal para la variable independiente (abscisa) y con el eje vertical parala variable dependiente (ordenada). Según el tipo de datos se utilizan otros sistemas de coordenadas queresulten más adecuados al caso particular, como por ejemplo un sistema polar de coordenadas.En la grá�ca se marcan las escalas utilizadas en cada eje (incluyendo las unidades respectivas). Losdatos a gra�car se marcan como puntos en forma de pequeños círculos, o triángulos, o cuadrados, con lasbarras de error propias de cada punto, tanto verticales como horizontales, correspondientes al error decada variable medida.


CAPÍTULO 5. GRAFICANDO LOS DATOSGRÁFICAS Y ANÁLISIS GRÁFICO

Los datos gra�cados pueden estar correlacionados o no. Si los puntos medidos parecen estar distribuídosaleatoriamente (al azar) en la grá�ca, sin que se pueda reconocer un orden o patrón, las variables no estaráncorrelacionadas.En cambio cuando los datos gra�cados demuestran un patrón ordenado, se tendrá una correlaciónentre las variables representadas en la grá�ca. En este caso se incluye en la grá�ca una curva, que puedeser:cualitativa, en la forma de curva suave, que �guía la vista�, mostrando cualitativamente la relaciónreconocida entre las variables,cuantitativa, como curva que resulta del análisis de los datos, como un ajuste de una funciónmatemática a los datos del experimento (��t�) utilizando el método de los �mínimos cuadrados�por ejemplo.

Para la elaboración de las grá�cas con los datos experimentales hay una serie de reglas y recomen-daciones establecidas internacionalmente como �normas prácticas�, que debemos seguir en lo posible muyestrictamente.

Haciendo la Grá�ca

Primero pensamos bien qué vamos a gra�car, qué variables o parámetros. Miramos los números, lastablas con los datos y nos preguntamos: ¾Qué aspecto puede tener la grá�ca? Si las variables son Ay B, ¾gra�camos A contra B, o B contra A? ¾Cuál va en el eje horizontal, cuál en el vertical?24


CAPÍTULO 5. GRAFICANDO LOS DATOSGRÁFICAS Y ANÁLISIS GRÁFICO¾Dónde hacemos la grá�ca, sobre qué papel? Según la precisión requerida para la grá�ca, optamospor papel cuadriculado, o por papel milimetrado.Recordemos: Es preferible utilizar papel milimetrado para la grá�ca, que luego pegamos sobre elcuaderno de informes.Pero también pensamos si usamos papel lineal-logarítmico (semilogarítmico), o papel logarítmico-logarítmico (log-log), o papel polar, etc., según el tipo de datos. Si por ejemplo medimos una cantidadfísica en función de un ángulo que variamos entre 0 y 2π radianes, una representación polar puedeser muy útil.El tamaño de la hoja para la grá�ca (papel milimetrado) debe ser su�cientemente grande para haceruna grá�ca clara. Si se requiere toda una hoja tamaño carta está bien, o media hoja tamaño carta.Debemos evitar grá�cas muy pequeñas que di�cultan luego su análisis.Luego pensamos en las escalas más convenientes para los ejes. Debemos evitar que la grá�ca resultemuy �parada� (escala muy comprimida en el eje horizontal), o muy �acostada� (escala muy comprim-ida en el eje vertical), pues esto di�cultaría el análisis de la grá�ca. Así más bien, la grá�ca deberesultar bien proporcionada, cubriendo cómodamente el espacio disponible en la hoja milimetrada.

Grá�ca muy �horizontal�.

Grá�ca muy �vertical�.Es cómodo y claro si los ejes se cruzan en (0, 0). Pero esto no es necesario, pueden cruzarse en otrosvalores. Frecuentemente obtener para una grá�ca bien proporcionada, es necesario limitarse a cubrirsolo a una pequeña porción de un cuadrante. Así los ejes se cruzarán no en (0, 0), sino donde sea lomás adecuado para una buena grá�ca agradable a la vista y cómoda para analizar.Teniendo ya claridad sobre las variables a gra�car, tipo de grá�ca, papel a utilizar, escalas selec-cionadas, procedemos a dibujar ejes, marcar las escalas con divisiones claras y cómodas, poner losnombres a cada eje y escribir las unidades utilizadas.



Grá�ca bien proporcionada.No debemos olvidar ponerle título conciso a la grá�ca y la fecha (día/mes/año). Más adelante (talvez un par de años más adelante) todavía nos interesará ver qué hicimos en el laboratorio y cuándolo hicimos. Entonces agradeceremos lo que facilite la comprensión de la grá�ca. También debemospensar que nuestra grá�ca debe poder ser entendida con facilidad por otros lectores, no solo pornosotros mismos.Elaboramos la grá�ca con lápiz de punta �na. Un lápiz muy grueso debe evitarse, pués introduceimprecisiones innecesarias.Representamos los datos, marcando los puntos en forma de pequeños círculos, o triángulos, o cuadra-dos, con las barras de error propias de cada medición. Las barras de error dibujadas correspondena una desviación estándar.Cuando hay una correlación clara para los datos representados en la grá�ca, dibujamos una �curvasuave� que pase por los puntos. Para esto nos distanciamos un poco de la grá�ca, de tal formaque nuestra vista cubra toda la grá�ca, todos los puntos. Entonces a mano alzada, con con�anza yseguridad, con el lápiz trazamos la curva que mejor reproduzca los datos. Al trazar la curva suave nomiramos la punta del lápiz, sino los puntos siguientes a los cuales nos dirigimos con el movimientorápido de la mano.Importante: La curva suave no une los puntos, sino señala la relación que hay entre las variables,dibuja el patrón que las correlaciona. Debemos procurar que la curva suave pase entre las barras deerror de los puntos gra�cados, pero no debemos forzarlo, si por hacerlo se rompe la suavidad de lacurva.Si los errores marcados con las barras de error son accidentales (tienen carácter aleatorio), entoncesun tercio de los puntos quedarán fuera de la curva suave, no alcanzarán con sus barras de error lacurva suave. (Recordemos que las barras de error cubren solo una desviación estándar.)Recordemos: Con�emos en nuestra vista para trazar la curva suave. El ojo humano es muy poderosopara hallar la mejor curva que reproduce los datos.

5.1. Grá�cas Logarítmicas

La utilización de escalas logarítmicas para las grá�cas resulta muy conveniente y recomendable cuando:los datos a gra�car abarcan un rango de valores tan amplio, que no pueden ser representados enpapel lineal de tamaño convencional,la forma de la relación matemática entre las variables a gra�car es tal, que la curva que representaesta relación resulta ser una línea recta en escala logarítmica pero no en escala lineal.


CAPÍTULO 5. GRAFICANDO LOS DATOSGRÁFICAS Y ANÁLISIS GRÁFICOPara elaborar la grá�ca logarítmica empleamos �papel logarítmico�, que existecomo papel �log-log�, donde los dos ejes para abscisa y ordenada vienen ya impresos en escalalogarítmica,como papel �semilogarítmico�, donde uno de los ejes es lineal, el otro logarítmico.

Papel semilogarítmico.

Papel logarítmico (log-log)El empleo de papel logarítmico evita que tengamos que calcular el logaritmo de los datos a gra�car,simplemente nos limitamos a trabajar con los valores medidos. El logaritmo de cada valor medido lo dala escala logarítmica ya impresa en el papel.Importante: No puede haber cero en escala logarítmica.

5.2. La Recta en Grá�cas log-log

Con frecuencia hacemos grá�cas log-log para obtener una recta al representar los datos del experimento,datos que en escala lineal dan una curva más difícil de analizar.Una recta en la representación log-log viene dada por:

log y = m log x + log y0,

donde m es la pendiente de la recta. log y0 da la interceptación de la recta con el eje log y.Si esta es la recta en la representación log-log, entonces entre las variables (x, y) la relación es:

y = y0xm,

lo que se comprueba tomando el logaritmo a los dos lados de esta última ecuación para llegar a la rectade la grá�ca log-log.27


CAPÍTULO 5. GRAFICANDO LOS DATOSGRÁFICAS Y ANÁLISIS GRÁFICOEjemplo

y = y0xm

y0 = 5m = 2,5

x y0 01 52 283 784 1605 2806 4417 6488 9059 121510 158111 200712 249413 304714 366715 435716 512017 595818 687319 786820 8944

Representación log-log28


CAPÍTULO 5. GRAFICANDO LOS DATOSGRÁFICAS Y ANÁLISIS GRÁFICOAsí siempre que las variables (x, y) satisfagan la relación

y = cxn

donde c y n son constantes, la representación log-log da una recta, que nos permite determinar n , lapotencia de x, a partir de la pendiente de la recta, y la constante c a partir del cruce de la recta con eleje log y.

5.3. Grá�cas Semilogarítmicas

Cuando gra�camos en papel semilogarítmico un eje de la grá�ca será logarítmico y el otro lineal.Utilizamos este papel cuando los datos están relacionados por una ecuación de la formay = aebx

donde e es 2,718 . . ., la base del logaritmo natural. Datos que siguen esta relación exponencial apare-cerán sobre una línea recta en la grá�ca semilogarítmica.

Ejemplo:

y = aebx a = 5 b = 0,38

x y0 51 72 113 164 235 336 497 718 1059 15310 22411 32712 47813 69914 102215 149416 218517 319518 467219 683220 9991


CAPÍTULO 5. GRAFICANDO LOS DATOSGRÁFICAS Y ANÁLISIS GRÁFICO5.4. La Línea Recta

La grá�ca más conveniente para el análisis de los datos:

Frecuentemente se desea dar la correlación entre las variables que fueron medidas en el experimento entérminos de una expresión analítica. Si con una representación grá�ca de los datos logramos aproximarlospor una línea recta, la relación analítica se obtiene fácilmente. Los demás casos son más difíciles de analizar.La curva podría ser un polinomio, una exponencial, o una función logarítmica complicada y presentar enestos casos el mismo aspecto cualitativo al ojo. En cambio la línea recta es muy fácil de reconocer y deanalizar.Recordemos: Es muy conveniente representar los datos de tal modo, que la grá�ca resulte ser una línearecta.Como hemos visto, la utilización de papel logarítmico y semilogarítmico es una ayuda para lograrrepresentar los datos en una línea recta. Pero solo el papel no es su�ciente. También debemos conocerqué se grá�ca contra qué para obtener una línea recta. En la siguiente tabla encontramos una serie demétodos para lograr representar los datos en una línea recta.

Relación Funcional Método de Gra�car Determinando grá�camente los parámetrosy = a + bx y versus x

en papel lineal

y = axb log(y) versus log(x)

en papel log-log


CAPÍTULO 5. GRAFICANDO LOS DATOSGRÁFICAS Y ANÁLISIS GRÁFICORelación Funcional Método de Gra�car Determinando grá�camente los parámetrosy = aebx log(y) versus x

en papel semilogarítmico

y = xa+bx

1y versus 1

x

en papel lineal

y = a + bx + cx2 y−y1x−x1

versus x

en papel lineal,x1, y1 son valores particu-lares

y = xa+bx + c x−x1

y−y1versus x

en papel linealx1, y1 son valores particu-lares.


CAPÍTULO 5. GRAFICANDO LOS DATOSGRÁFICAS Y ANÁLISIS GRÁFICORelación Funcional Método de Gra�car Determinando grá�camente los parámetrosy = aebx+cx2

log[(

yy1

) 1(x−x1)

]versus x

en papel semilogarítmicox1, y1 son valores particu-lares.

5.5. Regresión Lineal

Ajustando una Recta a los Datos ExperimentalesEl Método de los Mínimos Cuadrados

Cuando la relación entre los variables gra�cadas es lineal, la práctica estándar consiste en aplicar elmétodo de los mínimos cuadrados para hallar la mejor recta, que reproduce los datos experimentales. Aesto se le llama también hacer una regresión lineal.La idea es hallar una recta tal, que el promedio del cuadrado de las desviaciones sea mínimo. Lasdesviaciones son las de los datos medidos con respecto a la recta.Este criterio de minimizar el promedio del cuadrado de las desviaciones lleva a los más consistentesresultados y siendo la práctica estándar facilita la comparación de resultados, cuando diversos experimen-talistas aplican las mismas técnicas de análisis.Empecemos por la recta, que mejor reproduce nuestros datos. La forma matemática es:

y = a + bx

donde b es la pendiente y a es el cruce de la recta con el eje de y para x = 0.


CAPÍTULO 5. GRAFICANDO LOS DATOSGRÁFICAS Y ANÁLISIS GRÁFICOLa desviación δyi del i-ésimo punto medido (xi, yi) con respecto a la recta está dada por:

δyi = yi − (a + bxi)

La condición que el promedio del cuadrado de las desviaciones sea mínimo (para N puntos),∑

(δyi)2

N= f(a, b) sea mínimo,

implica que las derivadas parciales de f(a, b) deben ser cero:∂f(a, b)

∂a= 0

∂f(a, b)∂b

= 0

Reemplazando en estas derivadas parciales ∑(δyi)

2

N para f(a, b) y reemplazando yi − (a + bxi) paraδyi, obtenemos dos ecuaciones para hallar las incógnitas a, b. La solución simultánea de estas ecuacioneses lo que utilizamos en la práctica cuando �hacemos la regresión lineal�:

a =∑

(x2i )∑

yi−∑

xi

∑(xiyi)

N∑

(x2i )− (

∑xi)

2

b =N∑

(xiyi)−∑

xi

∑yi

N∑

(x2i )− (

∑xi)

2

Con estas dos expresiones queda determinada la recta, que mejor reproduce los datos experimentales,según el método de los mínimos cuadrados.Debemos hallar también las desviaciones estándar σa y σb para los valores de a y b obtenidos conel método de los mínimos cuadrados. ¾Por qué? Simplemente porque la recta y = a + bx que hemosdeterminado, es la que mejor se ajusta a los datos del experimento, pero no es la verdadera recta, noda la verdadera relación lineal entre las variables x, y. Así con una probabilidad del 63 % la pendiente

mverdadera y la intercepción bverdadera de la verdadera recta estarán dentro de los intervalos (a−σa, a+σa)y (b− σb, b + σb) respectivamente.Las desviaciones estándar son:

σa = σy

√ ∑(x2

i )N∑

(x2i )− (

∑xi)

2

σb = σy

√N

N∑

(x2i )− (

∑xi)

2

donde

σy =

√∑(δyi)

2

N − 2


CAPÍTULO 5. GRAFICANDO LOS DATOSGRÁFICAS Y ANÁLISIS GRÁFICOEjemplo

x y0 2.21 2.42 3.03 3.44 3.95 4.26 4.67 5.38 5.99 6.010 6.411 8.112 7.913 8.814 9.815 8.616 10.017 10.618 11.219 11.120 11.7Regresión Lineal

x y0 2.21 2.42 3.03 3.44 3.95 4.26 4.67 5.38 5.99 6.010 6.411 8.112 7.913 8.814 9.815 8.616 10.017 10.618 11.219 11.120 11.7

x2 xy δy δy2

0 0 0.29 0.081 2.4 -0.01 0.004 6. 0.09 0.019 10.2 -0.01 0.0016 15.6 -0.01 0.0025 21. -0.21 0.0436 27.6 -0.31 0.1049 37.1 -0.11 0.0164 47.2 -0.01 0.0081 54. -0.41 0.17100 64. -0.51 0.26121 89.1 0.69 0.48144 94.8 -0.01 0.00169 114.4 0.39 0.15196 137.2 0.89 0.80225 129. -0.81 0.66256 160. 0.09 0.01289 180.2 0.19 0.04324 201.6 0.29 0.08361 210.9 -0.31 0.10400 234. -0.21 0.04

Fit: Mínimos Cuadradosb = 0,50a = 1,94

σy = 0,399σb = 0,014σa = 0,168

∑x

∑y (

∑x)2

∑(x2)

∑xy

210 145,1 44100 2870 1837

∑(δy)2 N

3,018 2134




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Guía de Técnicas Experimentales Para Laboratorios de Física - Adames, Miguel Angel - 1ed