CAPITULO I
GUIA DE MECNICA ESTTICA
CAPITULO I
ESTATICA DEL CUERPO RIGIDO
La esttica es la parte de la mecnica que se encarga del estudio
de los cuerpos slidos en reposo, para lo cual se estudiarn en este
texto, los cuerpos asumiendo que ellos son perfectamente rgidos,
aunque en la realidad se sabe que los elementos de mquinas y
estructuras sufren deformaciones debido a las cargas a las que son
sometidos. Estas deformaciones son habitualmente pequeas y no
afectan de manera considerable las condiciones de equilibrio del
cuerpo.
La mecnica se encarga de estudiar el movimiento y las
interacciones que lo producen.
Mecnica de la partcula:
Cuando las dimensiones fsicas del cuerpo son despreciables al
compararlas con su posicin. Por ejemplo, si el error con que se
mide la posicin de un punto de un cuerpo, es de la magnitud de las
dimensiones del cuerpo, no podramos distinguir un punto de otro
punto del cuerpo. Se dir que el cuerpo es un punto material o
partcula.
Este concepto de partcula es relativo; la luna con respecto a la
tierra o el sol puede ser considerada como una partcula, pero no
para los astronautas que desembarquen en ella.
Mecnica de los sistemas de partculas (Cuerpos):
Cuando se trata de un conjunto de puntos materiales. Este
estudio se puede dividir en:
a) Mecnica de los cuerpos rgidos: cuando la distancia entre los
puntos del sistema es constante
b) Mecnica de los cuerpos elsticos: cuando la distancia entre
los puntos del sistema es variable con esfuerzos
c) Mecnica de los Fluidos: Cuando las distancias entre los
puntos del sistema son variables sin esfuerzos
Tanto para la mecnica de una partcula como para la de los otros
sistemas se analiza generalmente:
a) La cinemtica: que estudia el movimiento de los cuerpos sin
importar las interacciones o los fenmenos que ocurren para que se
genere ste.
b) La esttica: que estudia las condiciones de equilibrio de los
cuerpos
c) La dinmica: que estudia las interacciones que producen los
movimientos de los cuerpos.
FUERZA
La primera idea de fuerza la da la sensacin de esfuerzo muscular
que tenemos que hacer para deformar cualquier objeto elstico, un
resorte por ejemplo, para acelerar (o desacelerar) un objeto.
As tenemos la nocin de los efectos que pueden producir una
fuerza aplicada a un cuerpo: efecto esttico o deformacin de un
cuerpo (fig. 1) y efecto dinmico o aceleracin del cuerpo (fig.
2)
Ntese que una fuerza, es siempre producida por un cuerpo sobre
otro cuerpo. Por esto, algunas veces se emplea la notacin FAB, para
indicar la fuerza que el cuerpo A ejerce sobre el cuerpo B.
La deformacin o aceleracin de un cuerpo depende de la direccin y
de la magnitud de la fuerza aplicada, lo cual implica que las
fuerzas pueden ser representadas como vectores.
Como ya se sabe, las fuerzas pueden representarse por vectores,
al ser de esta forma se puede reconocer la existencia de una lnea
de accin de la fuerza, que representa la lnea imaginaria sobre la
cual acta la fuerza en cuestin.
Sistemas de fuerzas:
Un sistema de fuerzas es simplemente un conjunto particular de
fuerzas. Un sistema de fuerzas es coplanar o bidimensional si las
lneas de accin de las fuerzas estn contenidas en un plano. De lo
contrario, el sistema es tridimensional. Un sistema de fuerzas es
concurrente si las lneas de accin de las fuerzas se encuentran en
un punto.
Fuerzas Externas e Internas:
Se dice que un cuerpo est sometido a una fuerza externa, si sta
es ejercida por un cuerpo diferente. Cuando una parte cualquiera de
un cuerpo est sometida a una fuerza por otra parte del mismo
cuerpo, est sometida a una fuerza interna
Fuerzas de Cuerpo y de superficie:
Una fuerza que acta sobre un cuerpo se denomina fuerza de cuerpo
si acta sobre el volumen del cuerpo y fuerza de superficie si acta
sobre su superficie.
Fuerza gravitatoria:
Cuando se levanta algo, se percibe la fuerza ejercida sobre un
cuerpo por la gravedad de la Tierra. La fuerza gravitatoria o peso
de un cuerpo al igual que todas las fuerzas, puede ser representada
por un vector.
La magnitud del peso de un cuerpo se relaciona con su masa:
Fuerza de contacto:
Las fuerzas de contacto son las resultan del contacto entre
cuerpos, por ejemplo al empujar una pared la superficie de la mano
ejerce una fuerza sobre la superficie de la pared que se puede
representar con un vector F, la pared ejerce una fuerza igual y
opuesta F sobre la mano.
Figura 5
PRINCIPIOS DE LA ESTTICA:
Principio de transmisibilidad:
Establece que las condiciones de equilibrio o movimiento de un
cuerpo rgido permanecern inmodificables si una fuerza acta sobre un
punto dado de un cuerpo rgido, que es reemplazado por otra de la
misma naturaleza, magnitud e igual direccin pero que acta en un
lugar diferente con la condicin que ambas fuerzas tengan la misma
lnea de accin.
Figura 6
Primera Ley de Newton:
Si la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula, es
igual a cero, el cuerpo permanecer en reposo, si estaba
originalmente en reposo, o se mover con velocidad constante, si
inicialmente estaba en movimiento.
Segunda Ley de Newton:
Si la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula es
distinta de cero, la partcula adquirir una aceleracin proporcional
a su fuerza (magnitud) y en direccin de esa resultante.
Figura 7
Tercera Ley de Newton:
La fuerza de accin y reaccin entre cuerpos en contacto tiene la
misma magnitud y direccin pero sentidos opuestos.
Figura 8
Ley de Gravitacin Universal:
Establece que dos partculas de masa m, que se encuentran a una
distancia l, se atraern mutuamente con fuerzas invariables y
opuestas.
APOYOS Y SUS REACCIONES
Para que los cuerpos se mantengan en su posicin es necesario que
estos cuenten con apoyos o soportes, los que dependiendo de su
naturaleza constructiva, podrn generar diferentes tipos de
reacciones. Estas reacciones corresponden a las fuerzas y momentos
ejercidos sobre un cuerpo por su soporte o apoyo.
Apoyo de pasador:
Una forma fcil de comprender el modo en que se genera la reaccin
en un apoyo o soporte, es realizando una anlisis simple de las
posibilidades de movimiento que tiene el cuerpo soportado con
respecto a su apoyo; para este caso particular, es posible ver que
el cuerpo no tiene la posibilidad de desplazarse ni en forma
horizontal ni en forma vertical, en consecuencia generar reacciones
en ambos sentidos, esto es una reaccin horizontal y una
vertical.
Figura 9
Apoyo de Rodillo:
Siguiendo el mismo razonamiento del caso anterior, se pueden
analizar los posibles movimientos que puede realizar el elemento
soportado, en este caso, el rodillo tiene la posibilidad de
desplazarse de modo horizontal, sin embargo no lo puede hacer de
manera vertical, por lo que se tendr entonces, una reaccin en
sentido vertical
Figura 10
Apoyo empotrado:
Para este caso la situacin se presenta completamente distinta,
puesto que un cuerpo empotrado no puede realizar ningn tipo de
movimiento, ni vertical, ni horizontal, ni de articulacin, por le
se tendrn reacciones en ambos sentidos, esto implica una reaccin
vertical y una reaccin horizontal, pero adems y debido a su
imposibilidad de articularse, presentar un momento o par como
t6ercera reaccin.
Figura 11
Apoyos comnmente usados:
APOYO
REACCIONES
Figura 12
APOYO
REACCIONES
Figura 13
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Este es una herramienta esencial de la mecnica y corresponde a
un esquema que muestra las condiciones fsicas del problema en
cuestin.
El dibujo de un diagrama de cuerpo libre consta de tres
pasos:
1. Identificar el cuerpo o partcula por aislar.
2. Dibujar un croquis del cuerpo aislado de su entorno y mostrar
las dimensiones y ngulos pertinentes.
3. Dibujar los vectores que representen todas las fuerzas
externas que actan sobre el cuerpo aislado o partcula, y
designarlos apropiadamente.
Habitualmente es necesario dibujar un sistema de coordenadas,
con el objeto de representar apropiadamente las dimensiones y adems
por que esto permite expresar las fuerzas que actan sobre el cuerpo
aislado o partcula en funcin de sus componentes, en caso de ser
necesario.
Ejercicios de aplicacin
N 1
Los cables A y B de la figura ejercen fuerzas FA y FB sobre el
gancho. La magnitud de FA es de 100 N, la tensin en el cable B se
ha ajustado para que la fuerza FA + FB sea perpendicular a la pared
a la que est unido el gancho.
a) Cul es la magnitud de FB?
b) Cul es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos
cables sobre el gancho?
Figura 14
Diagrama de cuerpo libre (D.C.L)
FA + FB = R
Rx = FAx + FBx
Ry = FAy + FBy
Como la fuerza resultante debe ser perpendicular a la pared,
entonces debe asumirse que Ry = 0
FAx = 100 lb * Cos50
FAx = 64,278 lb
FAy = 100 lb * Sen50
FAy = 76,604 lb
Ry = 0
Ry = FAy + FBy
76,604 lb + FB * Sen70 = 0
FB = 81,52 lb
FBx = 81,52 lb * Cos70
FBx = 27,881 lb
Por lo tanto:
R = Rx
R = FAx + FBx
R = 64,278 lb + 27,881 lb
R = 92,159 lb
N 2
Los cables AB y AC ayudan a soportar el techo en voladizo. Las
magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son |FAB| = 100
kN y |FAC| = 60 kN. Determine la magnitud de la fuerza
resultante.
Figura 15
D.C.L.
R = Rx + Ry
Rx = FABx + FAC
Ry = FABy
FABx = 100lb * Cos30FABy = 100lb * Sen30
FABx = 86,602 lb FABy = 50 lb
Rx = 86,602 lb + 60lbRy = 50 lb
Rx = 146,602 lb
R2 = Rx2 + Ry2
R2 = (146,602 lb)2 + (50lb)2
R = 154,893 lb
Fuerzas Concurrentes
Considrese una partcula sobre la cual actan varias fuerzas
coplanares, como todas la fuerzas consideradas pasan por la
partcula, se dice que son concurrentes. Los vectores que
representan las fuerzas pueden sumarse por la ley del polgono.
Puesto que la ley del polgono equivale a usar en forma repetida la
ley de paralelogramo, el vector resultante representa la fuerza
resultante de todas las fuerzas concurrentes que intervienen, es
decir la fuerza que nica que produce el mismo efecto que todas las
concurrentes. Importante es sealar que no importa el orden en que
las fuerzas sean sumadas, ya se obtendr siempre el mismo
resultado.
Figura 16
Descomposicin de una fuerza:
Como ya es sabido, dos o mas fuerzas que actan sobre una
partcula pueden remplazarse por slo una fuerza que produce el mismo
efecto que el conjunto de fuerzas; de igual modo si se tiene una
fuerza actuando sobre una partcula, esta fuerza puede ser
remplazada por dos o mas fuerzas que provocarn el mismo efecto que
la fuerza original, a estas fuerzas se les llama componentes de la
fuerza original F, y el proceso que se realiza para obtener estas
componentes se llama descomposicin de la fuerza F en sus
componentes.
Es importante sealar que para cada fuerza F existe un nmero
infinito de componentes y posibilidades de obtener componentes.
Figura 17
Componentes rectangulares de una fuerza:
Al descomponer F en Fx en direccin del eje x, y Fy en direccin
del eje y; a Fx y Fy se les llama componentes rectangulares
Figura 18
En consecuencia:
Fx = |F| * CosoFx = |F| * Sen
Fy = |F| * SenoFy = |F| * Cos
Obtencin de las componentes de una fuerza en funcin de dos
puntos cualquiera de la lnea de accin de sta:
Vector Unitario:
Un vector unitario es aquel que tiene magnitud uno (1) o igual a
la unidad, este vector especifica una direccin y permite expresar
en forma conveniente yn vectoe que tiene una direccin
particular.
En el plano cartesiano el vector unitario est definido por
(i,,j). As si se incorpora el vector unitario a las componentes
rectangulares de un vector se tiene:
Vector posicin:
Es aquel vector que queda definido por las coordenadas
cartesianas de dos puntos que forman parte de dicho vector. Si se
tienen dos puntos A y B de coordenadas (xA , yA) y (xB , yB)
respectivamente, rAB representar el vector que especifica la
posicin de B en relacin a A. De esta forma se define el vector que
va de un punto A a un punto B.
Figura 19
Por lo tanto:
Dividiendo el vector posicin por el mdulo del mismo es posible
obtener el vector unitario para ese vector; esto es:
Si se conoce el mdulo de la fuerza para el cual ya se conocen
dos puntos cualquiera de la lnea de accin de sta, es posible
obtener la fuerza escrita de manera vectorial.
Componentes en tres dimensiones:
Se puede separar el vector U en componentes vectoriales Ux, Uy y
Uz paralelas a los ejes x, y y z respectivamente.
Figura 20
U = Ux + Uy + Uz
Si incorporamos vectores unitarios en direccin positiva de los
ejes, se tiene:
U = Uxi + Uyj + Uzk
Figura 21
|U|2 = |Ux|2 + |Uy|2 + |Uz|2
As se tiene la magnitud del vector U en funcin de sus
componentes:
Cosenos Directores:
Una manera de describir la direccin de un vector en tres
dimensiones es especificar los ngulos (x, (y y (z entre el vector y
los ejes coordenados positivos.
Figura 22
Las cantidades Cos(x, Cos(y y Cos(z; se llaman cosenos
directores de U.
Introduciendo un vector unitario, se obtendr:
Si este vector unitario tiene la misma direccin que U,
entonces:
Entonces, las relaciones entre las componentes de U y e son:
Por lo tanto:
Los cosenos directores de cualquier vector U son las componentes
de un vector unitario que tiene la misma direccin que U. Por simple
despeje se obtiene:
Vector posicin en funcin de sus componentes:
Se tiene un vector que pasa por dos puntos A y B de coordenadas
A=(XA,YA,ZA) y B=(XB,YB,ZB), el vector posicin queda definido de
igual manera que en el plano, es decir por el diferencial de
coordenadas.
Figura 22
Dividiendo el vector posicin por el mdulo del mismo es posible
obtener el vector unitario para ese vector; esto es:
Si se conoce el mdulo de la fuerza para el cual ya se conocen
dos puntos cualquiera de la lnea de accin de sta, es posible
obtener la fuerza escrita de manera vectorial.
EQUILIBRIO DE UN SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES:
Equilibrio significa estado invariable, es decir una situacin
balanceada. En ocasiones las ecuaciones de equilibrio se usan para
determinar fuerzas desconocidas que actan sobre un cuerpo una
partcula en equilibrio.
Equilibrio de la partcula:
Cuando la resultante de todas las fuerzas que actan sobre una
partcula es igual a cero, se dice que la partcula est en
equilibrio.
Sistema bidimensional:
Sistema tridimensional:
Se obtienen de esta forma dos ecuaciones de equilibrio en el
caso del sistema bidimensional y tres ecuaciones de equilibrio para
el sistema tridimensional.
Sistema bidimensional:
Para problemas de equilibrio de una partcula en el plano,
resulta simple plantear las ecuaciones de equilibrio en funcin de
los ejes coordenados, es as como slo basta realizar sumatoria en
cada uno de los dos ejes, teniendo en cuenta que si la partcula est
en equilibro, la fuerza resultante en cada eje ser nula o igual a
cero.
Ejemplo:
El motor est suspendido por un sistema de cables. La masa del
motor es de 200 kg. Qu valores tienen las tensiones en los cables
AB y AC?
Figura 23
D.C.L.
P = 200 kg * 9.8 m/s2
P = 1960 N
(F = 0((Fx = 0 ;(Fy = 0
(Fx = 0
TAC * Cos45 - TAB * Cos60 = 0
0,707TAC 0,5 TAB = 0
TAC = 0,5TAB
0,707
TAC = 0,707 TAB
(Fy = 0
TAC * Sen45 + TAB * Sen60 - P = 0
TAC * Sen45 + TAB * Sen60 = 1960 N
0,707TAC + 0,866TAB = 1960 N
Reemplazando:
0,707 * (0,707TAB) + 0,866TAB = 1960 N
0,499TAB + 0,866TAB = 1960 N
1,365TAB = 1960 N
TAB = 1435,89 N
Por lo tanto:
TAC = 0,707 * 1435,89
TAC = 1015,17 N
Ejemplo:
Un cilindro de 1000 lb pende de techo por un sistema de cables
sostenidos en los puntos B, C y D. Cules son las tensiones en los
cables AB, AC y AD?
Figura 24
rAB = (4-0)i + (0-(-4))j + (2-0)k
rAB = 4i + 4j + 2k
|rAB| = (42 + 42 + 22=6
eAB = 4i + 4j + 2k=0,6i + 0,6j + 0,3k
6
TAB = |TAB| * e
TAB = |TAB| * (0,6i + 0,6j + 0,3k)
TAB = 0,6 TAB i + 0,6 TAB j + 0,3 TAB k
rAC = (-2-0)i + (0-(-4))j + (-2-0)k
rAC = -2i + 4j - 2k
|rAC| = (-22 + 42 + (-2)2=4,89
eAC = -2i + 4j - 2k=-0,4i + 0,8j - 0,4k
4,89
TAC = |TAC| * e
TAC = |TAC| * (-0,4i + 0,8j - 0,4k)
TAC = -0,4 TAC i + 0,8 TAC j - 0,4 TAC k
rAD = (-3-0)i + (0-(-4))j + (3-0)k
rAD = -3i + 4j + 3k
|rAD| = (-32 + 42 + 32=5,83
eAD = -3i + 4j + 3k=-0,51i + 0,68j - 0,51k
5,83
TAD = |TAD| * e
TAD = |TAD| * (-0,51i + 0,68j - 0,51k)
TAD = -0,51 TAD i + 0,68 TAD j + 0,51 TAD k
(Fx = 0
0,6TAB 0,4TAC 0,51TAD = 0
(Fy = 0
0,6TAB + 0,8TAC + 0,68TAD 1000 = 0
(Fz = 0
0,3TAB 0,4TAC + 0,51TAD = 0
TAB = 0,4TAC + 0,51TAD
0,6
TAB = 0,66TAC + 0,85TAD
TAD = 0,4TAC - 0,3TAB
0,51
TAD = 0,78TAC - 0,58TAB
TAD = 0,78TAC - 0,58*(0,66TAC + 0,85TAD)
TDA + 0,49TAD = 0,4TAC
TAD = 0,27TAC
0,6*(0,66TAC + 0,85TAD) + 0,8TAC + 0,68*(0,27TAC) = 1000
0,4TAC + 0,51TAD + 0,8TAC + 0,18TAC = 1000
1,38TAC + 0,51* (0,27TAC) = 1000
1,38TAC + 0,14TAC = 1000
TAC = 657,89 lb
(TAD = 0,27 * 657,89 ( TAD = 177,63 lb
(TAB = (0,66 * 657,89) + (0,85 * 177,63) ( TAB = 585,19 lb
Momento de una fuerza respecto de un centro:
Considrese una fuerza de magnitud F y un punto O, en direccin
perpendicular al plano que la contiene. La magnitud del momento de
la fuerza respecto a o es r * F, donde r es la distancia
perpendicular de o a la lnea de accin de la fuerza.
La fuerza tiende a provocar un giro alrededor del punto O.
Se considerarn momento positivos todos los que tienden a girar
en un sentido y negativos los que tienden a girar al lado
contrario.
Figura 25
Si la lnea de accin de F pasa por el punto, la distancia
perpendicular r se hace igual a cero y el momento de F respecto de
O es tambin igual a cero. En consecuencia a mayor distancia, mayor
momento.
Momento Menor Momento Mayor
Figura 26
Ejemplo:
Determine el momento de la fuerza de 40kN respecto al punto
A.
Figura 26
Solucin a:
Figura 27
r = 6 * Sen 30
r = 3 m
MA = 3m * 40 kN
MA = 120 kNm
Solucin b:
Figura 28
Fy = 40 kN * Sen 30 = 20 kN
Fx = 40 kN * Cos 30 = 34,64 kN
Como la lnea de accin de Fx pasa por el punto A, entonces el
momento que provoca esta componente es nulo, pero como Fy es
perpendicular a la barra, entonces:
MA = 6m * 20 kN
MA = 120 kNm
Vector Momento:
Para poder analizar u obtener momentos en funcin de vectores, es
necesario antes conocer el producto vectorial o mejor conocido como
producto cruz de vectores, lo que facilitar el entendimiento de
esta materia.
Producto cruz o vectorial:
Considrense dos vectores U y V. El producto cruz o vectorial,
(que se define as por que el resultado es un vector) de U y V,
denotado por U x V, se define como:
El ngulo ( es el ngulo entre U y V cuando los vectores se
colocan cola con cola. El vector e es un vector unitario definido
como perpendicular a U y V. Como esto implica dos posibles sentidos
para e, los vectores U, V y e se definen como un sistema
derecho.
Figura 29
Regla de la mano derecha:
Para determinar la direccin de e, se procede de la siguiente
forma: el pulgar apunta hacia e, cuando los cuatro dedos restantes
que apuntan hacia el vector U (primer vector en el producto) se
abaten hacia el vector V (segundo vector del producto cruz)
Figura 30
Las unidades del producto cruz, son el producto de las unidades
de los dos vectores.
El producto cruz de dos vectores no nulos, es igual a cero si y
solo si los dos vectores son paralelos.
Una propiedad del producto cruz reside en que no es conmutativo.
La magnitud del vector U x V es igual en magnitud del vector V x U,
pero la regla de la mano derecha indica que estos vectores son
opuestos en direccin.
El producto cruz es asociativo con respecto a la multiplicacin
escalar.
El producto cruz es distributivo con respecto a la adicin
vectorial
Producto Cruz en funcin de sus componentes:
Para obtener una ecuacin para el producto cruz de dos vectores
en funcin de sus componentes, debemos determinar los productos cruz
formados con los vectores unitarios i, j y k. Como el ngulo entre
dos vectores idnticos colocados cola con cola es igual a cero,
entonces:
i x i = 0
j x j = 0
k x k = 0
Aplicando la regla de la mano derecha:
Figura 31
Se tiene:
i x i = 0
j x i = -k
k x i = j
i x j = k
j x j = 0
k x j = -i
i x k = -j
j x k = i
k x k = 0
Figura 32
Vector de Momento:
El momento de una fuerza respecto a un punto, es un vector.
Considrese un vector de fuerza F y un punto O. El momento de F
respecto a O, es el vector:
Donde r es un vector posicin de o a cualquier punto sobre la
lnea de accin de F.
Figura 33
Magnitud del momento:
Donde ( es el ngulo entre los vectores r y F cuando se colocan
cola con cola.
La distancia perpendicular de O a la lnea de accin de F es D = r
* Sen( (figura 33.c), por consiguiente:
Sentido del Momento:
Por definicin del producto cruz, al tener r x F, se observa que
el momento es perpendicular a r y a F, esto significa que el
momento es perpendicular tambin al plano que contiene a O y a
F.
Para definier el sentido del Momento Mo, se emplea la ya
estudiada regla de la mano derecha, teniendo presente que Mo = r x
F
Figura 34
En resumen:
1. La magnitud del momento es igual al producto de la magnitud
de F y la distancia perpendicular de o a la lnea de accin de F.
2. El momento es perpendicular al plano que contiene a O y a
F.
3. La direccin de Mo indica el sentido del momento dado por la
regla de la mano derecha.
Ejemplo: Obtngase el momento de F con respecto a P
Figura 35
Solucin:
|F| = (42 + 42 + 72
|F| = 9
r = (12 - 3)i + (6 - 4)j + (-5 1)k
r = 9i + 2j 6k
Mp = r x F
Mp = (9i + 2j 6k) x (4i + 4j + 7k)
Mp = 36k 63j 8k + 14i 24j + 24i
Mp = 38i 87j + 28k
|Mp| = (382 + (-87)2 + 282
|Mp| = 98,97 lb*pie
D = |Mp|
|F|
D = 98,97 lb*pie
9 lbD = 10,99 pie
Teorema de Varignon:
Sea F1, F2 . . . FN un sistema concurrente de fuerzas cuyas
lneas de accin se interceptan en P. El momento del sistema respecto
al punto O es:
Donde rOP es el vector de O a P. El teorema de Varignon se
deriva de la propiedad distributiva del producto cruz.
Figura 36
Fuerzas Paralelas:
Un sistema de fuerzas paralelas cuya suma no sea cero (figura
37.a) se puede representar por una sola fuerza (figura 37.b)
Figura 37
Se puede determinar F de la condicin de que las sumas de las
fuerzas de los dos sistemas deben ser iguales. Para que los dos
sistemas sean equivalentes se debe escoger un punto de aplicacin P
de manera que la suma de los momentos respecto a un punto sean
iguales. Esta condicin permitir a conocer las coordenadas del punto
P.
Ejemplo:
El sistema 1 consiste en fuerzas paralelas. Supngase que se
quiere representar mediante una fuerza F (sistema 2). Qu valor
tiene F y donde corta su lnea de accin el plano xz.
Sistema 1
Figura 38
Sistema 2
Figura 39
Solucin:
(F = 0
((F)2 = ((F)1 : F = 30j + 20j 10j = 40j lb
La suma de los momentos respecto a un punto arbitrario deben ser
igual a cero, en este caso se considerar el origen O.
rO1 = (6-0)i + (0-0)j + (2-0)k
rO1 = 6i + 2k
Mo1 = (6i + 2k) x 30j
Mo1 = 180k 60i
rO2 = (2-0)i + (0-0)j + (4-0)k
rO2 = 2i + 4k
Mo2 = (2i + 4k) x -10j
Mo2 = -20k + 40i
rO3 = (-3-0)i + (0-0)j + (-2-0)k
rO3 = -3i - 2k
Mo3 = (-3i - 2k) x 20j
Mo3 = -60k + 40i
MoT = 180k 60i -20k + 40i -60k + 40i
MoT = 20i + 100k
MoT = r x FT
20i + 100k = r x 40j
(r = -0,5k + 2,5i
lo que significa que las coordenadas del punto P o el punto en
que la lnea de accin de F corta al plano xz es:
x = 2,5 pie yz = -0,5 pie
Par de Fuerzas:
Un par de fuerzas es un sistema formado por dos fuerzas, de
igual magnitud, con la misma direccin y en sentidos opuestos.
En la figura se puede ver un par de bueyes que dan vueltas sobre
un eje. El efecto combinado (sumado) de la fuerza de ambos
animales, se suma de tal forma que no se produce desplazamiento,
solo movimiento circular.
Figura 40
Otro ejemplo cotidiano es cuando al andar en bicicleta se gira
en una esquina, al mover el manubrio, se requiere por una lado
empujar y por el otro tirar hacia la persona el manubrio. Lo mismo
ocurre cuando se pedalea, pedalear es ejercer un par de fuerzas,
con el que se convierte fuerza muscular en movimiento
rectilneo.
Figura 41
Puesto que la resultante de las dos fuerzas que componen el par
es igual a cero, el nico efecto que el par produce es un giro o una
tendencia a la rotacin en la direccin especificada
Figura 42
El momento producido por un par, llamado momento de un par,
equivale a la suma de los momentos de ambas fuerzas del par,
determinados con respecto a cualquier punto arbitrario O en el
espacio.
Considrese los vectores posicin rA y rB dirigidos desde O hacia
los puntos A y B de las lneas de accin de F y F
respectivamente.
Figura 43
El momento del par calculado con respecto al punto O es:
Por medio de la regla del tringulo de la adicin de vectores, rA
+ r = rB o, r = rB rA, tenemos que:
Este resultado indica que un momento de un par es un vector
libre, es decir, que puede actuar en cualquier punto, puesto que M
depende solamente del vector posicin dirigido entre las fuerzas y
no de los vectores posicin rA y rB, dirigidos desde el punto O
hacia las fuerzas.
Pares Equivalentes:
Figura 44
Se dice que dos pares son equivalentes si producen el mismo
momento. Puesto que el momento producido por un par es siempre
perpendicular al plano que contiene las fuerzas de ste par, es
necesario por lo tanto que los pares de fuerzas iguales estn en el
mismo plano o en planos que sean paralelos entre si. De esta forma,
la direccin de cada momento del par ser el mismo, esto es,
perpendicular a los planos paralelos. Por ejemplo los dos pares
mostrados en la figura 44 son equivalentes. Un par es producido por
un par de fuerzas de 100N separados por una distancia de 0,5 m, y
el otro es producido por un par de fuerzas de 200N separadas una
distancia de 0,25 m. Puesto que los planos en los que las fuerzas
actan son paralelos al plano xy, el momento producido por cada uno
de los pares de fuerza, puede expresarse como M = 50k (Nm).
Ejemplo:
Un par acta sobre los dientes del engranaje como se muestra.
Reemplace este par por uno equivalente que tenga dos fuerzas que
acten a travs de a) los puntos A y b, y b) los puntos D y E.
Figura 45
Solucin:
Magnitud del momento del par:
M = F * d
M = 40 N * 0,6 m
M = 24 Nm
Puesto que la rotacin se realiza en sentido antihorario, el
momento resultante tiene su direccin saliendo de la hoja.
a)
M = F * d
24 Nm = F * 0,3m
F = 80N
a)
M = F * d
24 Nm = F * 0,2m
F = 120N
Equilibrio del cuerpo rgido:
Un cuerpo rgido no puede ser analizado de la misma forma en que
se hace con una partcula aislada, pues este cuerpo est constituido
por muchas partculas y por lo tanto el tamao tiene incidencia en
los efectos que provoca una fuerza externa al actuar sobre l.
Se entiende por cuerpo rgido, aquel que no se deforma. Para que
un cuerpo rgido se encuentre en equilibrio, debe cumplir con dos
condiciones.
1. La suma de todas las fuerzas externas que actan sobre l debe
ser igual a cero
Sistema bidimensional:
Sistema tridimensional:
2. La suma de los momentos con respecto a cualquier punto sea
igual a cero.
En el anlisis de cuerpos rgidos que estn en equilibro, es
importante tener en cuenta que deben considerarse cada uno de los
apoyos sobre los cuales pueda eventualmente descansar estos
cuerpos, puesto que estos apoyos inciden directamente en la
determinacin de fuerzas desconocidas y a su ves en la determinacin
de los momentos a que est afecto el cuerpo.
Ejemplo:
La viga de la figura tiene soportes de pasador y de rodillo y
est sometida a una fuerza de 2 kN. Qu valor tienen las reacciones
en los soportes?
Figura 46
Solucin:
Diagrama de cuerpo libre:
(Fx = 0
Ax B * Cos60 = 0
Ax = B * Cos60
Ax = 0,5B
(Fy = 0
Ay 2 kN + B * Sen60 = 0
Ay + 0,86B = 2 kN
(MA = 0
2kN * 3m (B * Sen60) kN * 5m= 0
4,33 * B = 6 kNm
B = 1,38 kN
Por lo tanto:
Ax = 0,5 * 1,38 kN (Ax = 0,69 kN
Ay = 2kN (0,866 * 1,38)kN(Ay = 0,80 kN
Ejemplo:
En la figura el cuerpo est empotrado y sometido a dos fuerzas y
un par Qu valor tienen las reacciones en el empotramiento?
Figura 47
Solucin:
Diagrama de cuerpo libre:
(Fx = 0
Ax (100 * Cos30)lb = 0
Ax = -86,6 lb
(Fy = 0
Ay 200 lb + (100 * Sen30)lb = 0
Ay = 200 lb - (100 * Sen30)lb
Ay = 150 lb
(MA = 0
MA (200lb*2pie) + (100*Sen30lb*4pie) - (100*Cos30lb*2pie) + 300
= 0
MA = 73,2 lbpie
Fuerzas distribuidas:
Figura 48
La carga ejercida sobre una viga que soporta el piso de un
edificio est distribuida sobre la longitud de la viga como se
muestra en la figura. Este es una de muchas aplicaciones de
ingeniera en que las cargas estn distribuidas en forma continua a
lo largo de lneas.
Con un ejemplo sencillo se puede demostrar cmo se expresan
analticamente tales cargas. Si se colocan sacos de arena sobre una
viga, como se muestra,
Figura 49
la carga se distribuye sobre la viga, y su magnitud en una
posicin x dada depende de lo alto que estn apilados los sacos en
esa posicin. Para describir la carga, se define una funcin w tal
que la fuerza hacia abajo sobre un elemento infinitesimal dx de la
viga es w dx. Con esto se puede representar la magnitud variable de
la carga ejercida por los sacos. Las flechas indican que la carga
acta hacia abajo
Figura 50
Las cargas distribuidas en lneas, desde los casos mas simples
como el del peso propio de una viga hasta los mas complicados como
la fuerza de sustentacin distribuida a lo largo del ala de un avin
se representan con w. Como el producto de w y dx es una fuerza, las
dimensiones de w son (fuerza)/(longitud).
Supngase que se conoce la funcin w que describe una carga
distribuida particular. La grfica de w se llama curva de carga.
Figura 51
Como la fuerza acta sobre un elemento dx de la lnea es wdx,
podemos determinar la fuerza F ejercida por la carga distribuida
integrando la curva de carga con respecto a x:
Se puede tambin determinar el momento respecto a un punto
ejercido por la carga distribuida. Por ejemplo, el momento respecto
al origen debido a la fuerza ejercida sobre el elemento dx es xwdx,
y el momento total respecto al origen debido a la carga distribuida
es:
Cuando slo interesan la fuerza total y el momento total
ejercidos por una carga distribuida, sta se puede representar con
una sola fuerza equivalente F.
Figura 52
Para que sea equivalente, la fuerza debe actuar en una posicin x
sobre el eje x tal que el momento de F respecto al origen sea igual
al momento de la carga distribuida respecto al origen:
Por consiguiente la fuerza F equivale a la carga distribuida si
la colocamos en la posicin
Obsrvese que el trmino wdx es igual a un elemento de rea dA
entre la curva de carga y el eje x.
Figura 53
As se tiene, que la fuerza total ejercida por la carga
distribuida es igual al rea A entre la curva de carga y el eje
x:
Sustituyendo wdx = dA, se obtiene:
ESTRUCTURAS:
En ingeniera, el trmino estructura se puede referir a cualquier
objeto que tiene la capacidad de soportar y ejercer cargas. Se
considerarn estructuras compuestas de partes interconectadas o
miembros (barras o elementos). Para disear tal estructura, o para
determinar si una ya construida es adecuada, se deben determinar
las fuerzas y los pares que actan sobre ella en su totalidad as
como en sus miembros individuales.
Figura 54
Armaduras:
Supngase que se conectan con pasadores los extremos de tres
barras para formar un tringulo, si se agregan soportes, se obtiene
una estructura que puede soportar cargas. Se puede construir
estructuras mas elaboradas agregando mas tringulos.
Las barras son los miembros de las estructuras y los lugares en
que las barras se unen entre si (articulaciones) son las juntas o
nudos de la armadura
Figura 55Figura 56
Si estas estructuras estn soportadas y cargadas en sus juntas y
se desprecian los pesos de las barras, cada uno de estos es un
miembro de dos fuerzas. Tales estructuras se denominan
armaduras.
Algunas Armaduras tpicas
Armadura de puente Howe:
Figura 57
Armadura de puente Pratt:
Figura 58
Armadura de techo Howe:
Figura 59
Armadura de techo Pratt:
Figura 60
Figura 61
Esta corresponde a una barra o miembro de una armadura. Como es
un miembro de dos fuerzas, las fuerzas en los extremos, que son la
suma de las fuerzas ejercidas sobre la barra en sus nudos, deben
ser de igual magnitud, direccin opuesta y dirigidas a lo largo del
eje axial de la barra.
Se llamar T a la fuerza axial en la barra. Cuando T es positiva
en la direccin mostrada, la barra est trabajando a traccin; cuando
se encuentra en sentido opuesto; (cuando se acerca una hacia la
otra) se dice que el miembro trabaja a compresin.
Clculo de armaduras:
Mtodo de las juntas, nudos o nodos:
Figura 62
D.C.L.
Figura 63
Ejemplo:
La armadura Warren tiene barras de 2 metros de longitud y
soporta cargas en B y D de 400N y 800N respectivamente. Se debe
determinar el valor de la carga a que est sometida cada barra y
adems el sentido de sta (compresin o traccin).
Figura 64
D.C.L.
Figura 65
(Fx = 0
Ax = 0
(Fy = 0
Ay + E 400N 800N = 0
Ay = 1200N E
(MA = 0
(400N * 1m) + (800N * 3m) (E * 4m) = 0
E = 700N
Por lo tanto:
Ay = 1200N 700N
Ay = 500N
Nodo A:
(Fx = 0
TAC TAB*Cos60 = 0
TAC = 0,5TAB
(Fy = 0
500N TAB*Sen60 = 0
TAB = 577N(La barra trabaja a traccin
( TAC = 289N(La barra trabaja a compresin
Nodo B:
(Fx = 0
577N*Cos60 TBC*Cos60 - TBD = 0
TBD = 289 0,5TBC
(Fy = 0
577N*Sen60 TBC*Sen60 - 400 = 0
TBC = -115N(La barra trabaja a traccin
( TBD = 346N(La barra trabaja a compresin
Nodo D:
(Fx = 0
346N + TDC*Cos60 + TDE*Cos60 = 0
TDC = -692 - TDE
(Fy = 0
TDC*Sen60 - 800N - TDE*Sen60 = 0
TDE = TDC - 800N
Reemplazando:
TDC = -692 (TDC - 800N)
TDC = 116N(La barra trabaja a compresin
( TDE = -808(La barra trabaja a compresin
Nodo E:
(Fx = 0
808N*Cos60 - TCE = 0
TCE = 404N(La barra trabaja a traccin
(Fy = 0
700N 808N*Sen60 = 0
700N 700N = 0
0 = 0
Mtodo de las secciones:
Este mtodo es til cuando slo se quiere conocer las fuerzas
axiales en ciertas barras de una armadura.
Ejemplo:
Figura 66
D.C.L.
Figura 67
(Fx = 0
Ax = 0
(Fy = 0
Ay + E 400N 800N = 0
Ay = 1200N E
(MA = 0
(400N * 1m) + (800N * 3m) (E * 4m) = 0
E = 700N
Por lo tanto:
Ay = 1200N 700N
Ay = 500N
Se corta imaginariamente la estructura en las barras que se
quieren determinar:
Figura 68
D.C.L de la seccin:
Figura 69
(Fx = 0
TBD + TBC*Cos60 + TAC = 0
TBD + 0,5TBC + TAC = 0(1)
(Fy = 0
500N 400N TBC*Sen60 = 0
TBC = 115N(La barra trabaja a compresin
(MB = 0
(500N * 1m) (TAC * 1,732m) = 0
TAC = 289N(La barra trabaja a compresin
En (1), se tiene:
TBD = -(0,5 * 115N) 288N
TBD = -346N(La barra trabaja a traccin
Rozamiento:
Es importante sealar que no existe ninguna superficie
perfectamente lisa. Cuando dos superficies estn en contacto, el
movimiento de una respecto a la otra produce fuerzas tangenciales
llamadas fuerzas de rozamiento. Por otro lado, estas fuerzas de
rozamiento tienen una magnitud limitada y no impiden el movimiento
si se aplican fuerzas suficientemente grandes. Por lo tanto, la
distincin entre superficies lisas y rugosas es una cuestin de
grados.
Leyes de rozamiento:
Estas leyes pueden clarificarse con el siguiente ejemplo:
Figura 70 Figura 71
Un bloque de peso P se coloca sobre una superficie plana
horizontal. Las fuerzas que actan sobre el bloque con su peso P
genera la reaccin de la superficie que se denota por N. Supngase
que se aplica sobre el bloque una fuerza horizontal F. Si F es
pequea, el bloque no se mover; entonces debe existir otra fuerza
horizontal que contrarreste a F, sta es la fuerza de rozamiento
esttico f que en realidad es la resultante de un gran nmero de
fuerzas que actan sobre toda la superficie de contacto entre el
bloque y la superficie plana.
Si se incrementa la fuerza F, la fuerza de rozamiento f tambin
crece oponindose a F hasta que su magnitud alcanza cierto valor
mximo fm. Si F sigue incrementndose, la fuerza de rozamiento ya no
ser capaz de contrarrestarla y el bloque comenzar a desplazarse. En
cuanto el bloque comienza a moverse, la magnitud de f cambia de fm
a un valor menor fk. Esto se debe a que cuando las superficies en
contacto se mueven una con respecto otra, la interpenetracin de las
irregularidades de las superficies es menor debido al movimiento. A
partir de este instante el bloque contina desplazndose e incrementa
su velocidad, mientras la fuerza de rozamiento fk llamada fuerza de
rozamiento cintico permanece relativamente constante
Figura 72
La evidencia experimental muestra que el valor mximo fm de la
fuerza de rozamiento esttico es proporcional a la componente normal
N de la reaccin de la superficie:
Donde (s es una constante llamada coeficiente de rozamiento
esttico. De igual modo se puede expresar la magnitud fk de la
fuerza de rozamiento cintico como:
donde (k es una constante llamada coeficiente de rozamiento
cintico. Los coeficientes (k y (s no dependen del rea de las
superficies en contacto, sino que de la naturaleza de estas
superficies.
Valores tpicos para coeficientes de rozamiento esttico:
Materiales en Contacto
(s
Metal sobre metal
0.15 0.60
Metal sobre madera
0.20 0.60
Metal sobre piedra
0.30 0.70
Metal sobre cuero
0.30 0.60
Madera sobre madera
0.35 0.50
Madera sobre cuero
0.25 0.50
Piedra sobre piedra
0.40 0.70
Tierra sobre tierra
0.20 1.00
Caucho sobre hormign
0.60 0.90
Angulo de Rozamiento:
En vez de que la reaccin ejercida en una superficie por su
contacto se descomponga en una fuerza normal N y en una fuerza de
friccin f, podemos expresarla en trminos de su magnitud R y del
ngulo de friccin ( entre la fuerza y la normal a la superficie.
Figura 73
La fuerza normal y de friccin estn relacionadas con R y (
por:
El valor de ( cuando el deslizamiento es inminente se llama
ngulo de friccin esttica (s, y su valor cuando las dos superficies
estn en movimiento relativo se llama ngulo de friccin cintica (k.
As se tiene:
Ejemplo:
El dispositivo ejerce una fuerza horizontal sobre la caja en
reposo. La caja pesa 800 N y el coeficiente de friccin esttica
entre el cajn y la rampa es (s 0.4.
a) si la cuerda ejerce una fuerza de 400 N sobre la caja, cul es
la fuerza de friccin ejercida por la rampa sobre la caja?
b) Cul es la mxima fuerza que la cuerda puede ejercer sobre la
caja sin que sta se deslice hacia arriba sobre la rampa?
Figura 74
Solucin:
a)
D.C.L.
Figura 74
(Fx = 0
f + (T * Cos20) (W * Sen20) = 0
f = - T * Cos20 + W * Sen20
f = -(400 * Cos20) + (800 * Sen20)
f = -102,3 N
El signo menos slo indica que la fuerza de friccin en realidad
est dirigida hacia abajo a lo largo de la rampa.
b)
D.C.L.
Figura 75
(Fx = 0
T (N * Sen20) - ((s * N * Cos20) = 0
(Fy = 0
(N * Cos20) - ((s * N * Sen20) W = 0
N = 800
Cos20 - (0,4)*Sen20
N = 996,4 N
Luego se tiene :
T = (N * Sen20) + ((s * N * Cos20)
T = 996,4 * (sen20 + 0,4Cos20)
T = 715,3 N
Rozamiento de una rosca:
Figura 76
Considrese un eje con roscas cuadradas , la distancia axial p de
una rosca a la siguiente se llama paso de la rosca, y el ngulo ( es
su pendiente. Considrese slo el caso en que el eje tiene una sola
rosca continua, en la cual la relacin entre el paso y la pendiente
es:
donde r es el radio medio de la rosca
Supngase que el eje roscado est sujeto por un manguito fijo con
ranura casante y sometido a una fuerza axial F. La aplicacin de un
par M en la direccin mostrada ocasionar que el eje empiece a girar
y se mueva en la direccin axial opuesta a F. El objetivo es poder
determinar el par M necesario para que el eje empiece a girar.
Figura 77
En la figura se dibuja el diagrama de cuerpo libre de un
elemento diferencial de la rosca de longitud dL, representando con
la fuerza dR la reaccin ejercida por la ranura casante. Si el eje
est a punto de girar, dR resiste el movimiento inminente y el ngulo
de friccin es el ngulo de friccin esttica (s. La componente
vertical de la reaccin sobre el elemento es dR Cos((s + (). Para
determinar la fuerza vertical total sobre la rosca, debemos
integrar esta expresin sobre la longitud L de la rosca. Por
equilibrio, el resultado debe ser igual a la fuerza axial F que
acta sobre el eje.
(1)
El momento respecto al centro del eje debido a la reaccin sobre
el elemento es rdR Sen((s + (). El momento total debe ser igual al
par M ejercido sobre el eje:
Dividiendo esta ecuacin entre la ecuacin (1), obtenemos el par M
necesario para que el eje est a punto de girar y moverse en la
direccin axial opuesta a F:
Sustituyendo el ngulo de friccin esttica (s en esta expresin por
el ngulo de friccin cintica (k, obtenemos el par requerido para que
el eje gire con velocidad constante
CENTROIDES
El peso de un cuerpo no acta en un solo punto sino que est
distribuido sobre su volumen total, sin embargo el peso se puede
representar con una sola fuerza equivalente actuando en u punto
llamado centro de masa. Por ejemplo cada parte de un automvil tiene
un peso propio, pero se puede representar su peso total con una
sola fuerza que acta en su centro de masa.
Por lo tanto se puede decir que el centroide es un peso
ponderado o peso promedio.
Se puede ejemplificar esta situacin con una seccin cuadrada que
permite una fcil determinacin de este centro de masa, sin embargo
es preciso sealar que cada figura geomtrica tiene sus ecuaciones
propias para la determinacin de su centro de masa.
Figura 78
Tabla de coordenadas de Centroide:
Area Rectangular = b * h
Area Triangular = * b * h
Area Triangular = * b * h
Area Circular = ( * r2
Area Semicircular = (( * r2) / 2
Area un cuarto de Circunferencia = (( * r2) / 4
Area sector circular = ( * r2
Ejemplo:
Determinar el centro de gravedad de la siguiente seccin:
Figura 79
Solucin:
Es conveniente separa la seccin en secciones mas pequeas y
trazar ejes coordenados que servirn como sistema de referencia
Figura 80
Como la figura es simtrica, entonces la coordenada en x del
centro de gravedad estar ubicada en cero del sistema de referencia
o dicho de otra forma al centro de la figura con respecto a la
horizontal.
y = (A1 * CG1) + (A2 * CG2) + (A3 * CG3)
AT
y = (A1 * y1) + (A2 * y2) + (A3 * y3)
AT
y = (6cm)(4cm)(2cm) + (4cm)(14cm)(7cm) + (6cm)(4cm)(2cm)
(6cm)(4cm) + (4cm)(14cm) + (6cm)(4cm)
y = 4,7 cm
Esto significa que el centro de gravedad (C.G.) est situado a
4,7 cm por debajo del eje x y en el centro de la figura dada su
simetra.
Momentos de Inercia:
Las cantidades llamadas momentos de inercia aparecen con
frecuencia en los anlisis de problemas de ingeniera. Por ejemplo,
los momentos de inercia de reas se utilizan en el estudio de las
fuerzas distribuidas y en el clculo de deflexiones de vigas. El
momento ejercido por la presin sobre una placa plana sumergida se
puede expresar en trminos del momento de inercia del rea de la
placa. En dinmica, los momentos de inercia de masa se usan para
calcular los movimientos rotatorios de objetos.
Los momentos de inercia de un rea son integrales de forma
similar a las usadas para determinar el centroide de un rea. Sea un
rea A en el plano xy:
Figura 81Figura 82
Se definen cuatro momentos de inercia de A:
Momento de Inercia respecto al eje x:
donde y es la ordenada del elemento diferencial de rea dA
Momento de Inercia respecto al eje y:
donde x es la coordenada x del elemento diferencial de rea
dA
Producto de Inercia:
Momento Polar de Inercia:
donde r es la distancia radial del origen O a dA
El momento polar de inercia corresponde a la suma de los
momentos de inercia respecto a los ejes x e y.
Las dimensiones de los momentos de inercia de un rea son
(longitud)4 y los radios de giro tienen dimensiones de longitud.
Las definiciones de los momentos de inercia Ix, Iy y Jo y las de
los radios de giro implican que ambos tienen valores positivos para
cualquier rea; no pueden ser negativos ni nulos.
Tabla de Momentos de Inercia y Productos de Inercia:
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos:
Normalmente se conocen los momentos de inercia de un rea
respecto a un sistema coordenado cualquiera, pero a veces se
requieren sus valores en trminos de un sistema de coordenadas
diferente. Si los sistemas coordenados son paralelos, es posible
obtener estos momentos de inercia.
Si se conocen los momentos de inercia de un rea A en trminos de
un sistema coordenado xy con su origen en el centroide del rea, y
se quieren determinar sus momentos de inercia con respecto a un
sistema coordenado paralelo xy. Las coordenadas del centroide de A
en el sistema coordenado xy se denota con (dx , dy) y d = ( dx2 +
dy2 es la distancia del origen del sistema xy al centroide.
Figura 83Figura 84
Es necesario obtener dos resultados previos antes de deducir los
teoremas de los ejes paralelos. Con respecto al sistema coordenado
xy, las coordenadas del centroide de A son:
Pero el origen del sistema coordenado xyest localizado en el
centroide de A, por lo que x = 0 y y = 0, por lo tanto:
(1)
Momento de inercia respecto al eje x. Con respecto al sistema
coordenado xy, el momento de inercia de A respecto al eje x es:
donde y es la coordenada del elemento de rea dA relativa al
sistema coordenado xy. En la figura 84 se observa que y = y + dy,
donde y es la coordenada de dA relativa al sistema coordenado xy.
Sustituyendo esta expresin en la ecuacin anterior se obtiene:
La primera integral a la derecha es el momento de inercia de A
respecto al eje x. De acuerdo con la ecuacin (1), la segunda
integral a la derecha es igual a cero. Por lo tanto:
Esta es la expresin del teorema de los ejes paralelos. Relaciona
el momento de inercia de A respecto al eje centroidal x con el
momento de inercia respecto al eje x paralelo.
Momento de Inercia respecto al eje y. En trminos del sistema
coordenado xy, el momento de inercia de A respecto al eje y es:
Por la ecuacin (1), la segunda integral a la derecha es cero.
As, el teorema que relaciona el momento de inercia de A respecto al
eje y centroidal con el momento de inercia respecto al eje y
paralelo es:
Producto de Inercia: El teorema de los ejes paralelos para el
producto de inercia es:
Momento polar de inercia. El teorema de los ejes paralelos para
el momento polar de inercia es:
Donde d es la distancia del origen del sistema coordenado xy al
origen del sistema coordenado xy.
Teorema de Papus Guldinus:
Primer Teorema:
Sea una lnea L en el plano xy. Sean x, y las coordenadas del
centroide de la lnea. Es posible generar una superficie haciendo
girar la lnea alrededor del eje x. Como la lnea gira alrededor del
eje x, su centroide se mueve en una trayectoria circular de radio
y.
Figura 85Figura 86Figura 87
El primer teorema establece que el rea de la superficie de
revolucin es igual al producto de la distancia que el centroide de
la lnea recorre y la longitud de la lnea
Para demostrar este resultado, se observa que conforme la lnea
gira alrededor del eje x, el rea dA generada por un elemento dL de
la lnea es dA = 2(y dL, donde y es la ordenada del elemento dL. Por
consiguiente, el rea total de la superficie de revolucin es:
Segundo Teorema:
Sea un rea A en el plano xy. Sean x, y las coordenadas del
centroide del rea. Se puede generar un volumen haciendo girar el
rea alrededor del eje x. Conforme el rea gira alrededor del eje x,
su centroide recorre la trayectoria circular de longitud 2(y.
Figura 88 Figura 89 Figura 90
El segundo teorema establece que la magnitud V del volumen de
revolucin generado es igual al producto de la distancia que recorre
el centroide del rea y la magnitud del rea.
Al girar el rea alrededor del eje x, el volumen dV generado por
un elemento dA del rea es dV = 2(y dA, donde y es la ordenada del
elemento dA. Por consiguiente, el volumen total es:
INDICE
Captulo I. ESTATICA DEL CUERPO RIGIDO
1.1
Mecnica de la Partcula
Pg.
1
1.2
Mecnica de los sistemas de partculas
Pg.
1
1.3
Fuerza
Pg.
2
1.3.1 Sistema de fuerzas
Pg.
3
1.3.2 Fuerzas externas e internas
Pg.
3
1.3.3 Fuerzas de cuerpo y de superficie
Pg.
3
1.3.4 Fuerza gravitatoria
Pg.
3
1.3.5 Fuerza de contacto
Pg.
4
1.4
Principios de la esttica
Pg.
4
1.4.1 Principio de transmisibilidad
Pg.
4
1.4.2 Primera Ley de Newton
Pg.
4
1.4.3 Segunda Ley de Newton
Pg.
4
1.4.4 Tercera Ley de Newton
Pg.
5
1.4.5 Ley de Gravitacin universal
Pg.
5
1.5
Apoyo y sus reacciones
Pg.
5
1.5.1 Apoyo de pasador
Pg.
5
1.5.3 Apoyo de rodillo
Pg.
6
1.5.3 Apoyo empotrado
Pg.
6
1.6
Diagrama de cuerpo libre
Pg.
8
1.7
Fuerzas concurrentes
Pg.
12
1.8
Descomposicin de una fuerza
Pg.
12
1.9
Componentes rectangulares de una fuerza
Pg.
13
1.9.1 Vector unitario
Pg.
13
1.9.2 Vector posicin
Pg.
13
1.10
Componentes en tres dimensiones
Pg.
15
1.10.1 Cosenos directores
Pg.
16
1.10.2 Vector posicin en funcin de sus componentes
Pg.
17
1.11
Equilibrio de un sistema de fuerzas concurrentes
Pg.
18
1.11.1 Equilibrio de la partcula
Pg.
18
1.12
Momento de una fuerza respecto a un centro
Pg.
23
1.13
Vector momento (Concepto)
Pg.
25
1.14
Producto cruz o producto vectorial
Pg.
25
1.15
Regla de la mano derecha
Pg.
25
1.16
Producto cruz en funcin de sus componentes
Pg.
26
1.17
Vector momento
Pg.
27
1.17.1 Magnitud del momento
Pg.
27
1.17.2 Sentido del momento
Pg.
28
1.18
Teorema de Varignon
Pg.
30
1.19
Fuerzas paralelas
Pg.
30
1.20
Par de fuerzas
Pg.
33
1.20.1 Pares equivalentes
Pg.
35
1.21
Equilibrio del cuerpo rgido
Pg.
36
1.22
Fuerzas distribuidas
Pg.
40
1.23
Estructuras
Pg.
43
1.23.1 Armaduras
Pg.
43
1.23.2 Clculo de armaduras
Pg.
45
1.23.2.1 Mtodo de las juntas
Pg.
45
1.23.2.2 Mtodo de las secciones
Pg.
49
1.24
Rozamiento
Pg.
51
1.24.1 Leyes de rozamiento
Pg.
51
1.24.2 Angulo de rozamiento
Pg.
52
1.24.3 Rozamiento de una rosca
Pg.
55
1.25
Centroides
Pg.
57
1.25.1 Tabla de coordenadas de centroides
Pg.
57
1.26
Momento de inercia
Pg.
60
1.26.1 Tabla de momentos de inercia y productos de inercia
Pg.
62
1.27
Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
Pg.
63
1.28
Teorema de Papus - Guldinus
Pg.
66
1.28.1 Primer teorema
Pg.
66
1.28.2 Segundo Teorema
Pg.
67
BIBLIOGRAFA
Fsica Fundamental
Valero, Michel
Editorial Norma, Bogot Colombia. 1986
Esttica. Mecnica para ingeniera
Bedford, Anthony Fowler, Wallace
Editorial Progreso, Mxico DF. 200
Dinmica. Mecnica para ingeniera
Bedford, Anthony Fowler, Wallace
Editorial Progreso, Mxico DF. 200
Fundamentos de Fsica
Tomo 1, Sexta edicin
Frederick J. Buecche David A. Jerde
McGraw Hill Interamericana Editores S.A.
Mxico. 1995
| e | = (exi2 + eyj2
(xB - xA)i
xA
e = exi + eyj
B
A
rAB
y
Fy
Fx
x
(yB - yA)j
|Uy +Uz|
z
y
x
|Ux|
y
x
|Uz|
|Uy|
|Uy +Uz|
F
y
x
|U|
z
y
x
( Mo = 0
(Fx = 0;(Fy = 0;(Fz = 0
(Fx = 0;(Fy = 0
( F = 0
x
y
z
0,5 m
0,25 m
M = 50k (Nm)
M = 50k (Nm)
100 N
100 N
200 N
200 N
M = r x F
M = (rB rA) x F
M = rA x (-F) + rB x F
B
A
O
rA
rB
Uz
r
-F
F
d
-F
F
O
z
y
x
P
F
O
z
y
x
(2, 0, 4) pie
(6, 0, 2) pie
(-3, 0, -2) pie
-10j lb
30j lb
20j lb
a
F3
F2
F1
b
F
rOP
P
O
FN
F3
F2
F1
rOP x F1 + rOP x F2 + . . . rOP x FN= rOP x (F1 + F2 + . . .
FN)
r
z
y
x
P
F
(12,6,-5)pie
(3,4,1) pie
z
y
x
P
F = 4i + 4j + 7k (lb)
(12,6,-5)pie
(3,4,1) pie
Mo
F
r
|MO| = D * |F|
|MO| = |r|*|F|*Sen(
b)
r
F
O
c)
D
r
F
O
a)
F
O
MO = r x F
k
j
i
U x (V x W) = U x V + U x W
a(U x V) = (aU) x V = U x (aV)
U x V = -V x U
(
V
U
V
U
U x V = |U| |V| Sen(e
Fx
Fy
40 kN
6 m
A
30
40 kN
30
r
6 m
A
30
6 m
A
30
r1
W
O
r2
W
O
MO = r * F
r
F
O
F
O
60
45
P
TAB
TAC
y
x
(Fx = 0;(Fy = 0;(Fz = 0
(Fx = 0;(Fy = 0
( F = 0
F = |F| * eF
eAB = rAB
|rAB|
|rAB| = ((xB - xA)2 + (yB - yA)2 + (zB - zA)2
rAB = (xB - xA)i + (yB - yA)j + (zB - zA)k
(XB XA)i
(ZB ZA)k
z
y
x
B
(YB YA)j
A
A = (XA,YA,ZA)
z
y
x
B = (XB,YB,ZB)
rAB
Cos(x = Ux;Cos(y = Uy ;Cos(y = Uy
|U| |U| |U|
Cos(x = ex; Cos(y = ey; Cos(z = ez
Ux = |U| ex ; Uy = |U| ey ; Uz = |U| ez
U = |U| * e
Cos(x2 + Cos(y2 + Cos(z2 = 1
U = |U| Cos(xi+ |U| Cos(yj + |U| Cos(zk
Ux = |U| Cos(x ; Uy = |U| Cos(y ; Uz = |U| Cos(z
(z
(y
(x
z
y
x
|U| = (Ux2 + Uy2 + Uy2
z
F
F
F
R
Q
P
T
T
Q
P
FAC = 60 kN
30
FAB = 100 kN
Uy
Ux
U
j
k
i
y
x
F = |F| * eF
eAB = rAB
|rAB|
|rAB| = ((xB - xA)2 + (yB - yA)2
rAB = (xB - xA)i + (yB - yA)j
B
A
rAB
y
x
(xB , yB)
(xA , yA)
yB
yA
xB
FB
50
70
FA = 100 lb
y
x
40
20
Reaccin
Accin
Movimiento y aceleracin en direccin de FR
FR
F2
F1
F
F
Cuerpo rgido
Lnea de accin
P = m * g
Figura 4
FC
FB
FA
Figura 3
Fuerza
Lnea de accin
Figura 1
F
x
Figura 2
F
a
T
T
RA
RB
P
A
C
D
B
A
RA
D
P
C
B
RB
500N
TAC
TAB
TBD
TAB = 577N
TBC
400N
346N
TBC
TDE
800N
700N
TCE
TDE = 808N
P
A
B
N
P
A
B
N
F
f
Equilibrio
Movimiento
fm
fk
f
F
fm = (s * N
fk = (k * N
A
B
N
f
R
(
f = R * Sen(
N = R * Cos(
tan(s = (s
tan(k = (k
tan( = p
2(r
Cos((s + () (L dR = F
rSen((s + () (L dR = M
M = r F tan((s + ()
y
x
x
y
C.G.
x = A * x/2
AT
y = A * y/2
AT
C.G. = (x , y)
10 cm
4 cm
6 cm
4 cm
6 cm
y
x
1
2
3
Ix = (A y2 dA
Iy = (A x2 dA
Ixy = (A xy dA
Jo = (A r2 dA
y = (A y dA
(A dA
x = (A x dA
(A dA
(A y dA = 0
(A x dA = 0
Ix = (A y2 dA
Ix = (A (y + dy)2 dA = (A (y)2 dA + 2dy (A ydA + dy2 (A dA
Ix = Ix d2yA
Iy = (A (x + dx)2 dA = (A (x)2 dA + 2dx (A xdA + dx2 (A dA
Iy= Iy d2xA
Ixy = Ixy dxdyA
Jo = Jo + (d2x + d2y)A = Jo + d2 A
A = 2(yL
A = 2( (L y dL
V = 2(yA
V = 2( (A y dA
