Guía Nº5 Trigonometría Matemática 3º Año ES 2020

Apellido y Nombre:

División: Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

Guía Nº5 – Trigonometría 1 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

La ola marina más alta registrada oficialmente fue medida a bordo del barco estadounidense

“Ramapo’’, durante la noche del 6 al 7 de febrero de 1993.

Utilizando cálculos trigonométricos, el teniente Margraff pudo averiguar que la ola tenía,

hasta la cresta, una altura aproximada de 34 metros.

La palabra trigonometría es de origen griego y proviene de los vocablos tri (tres), gono

(ángulo) y metría (medida).

Se cree que, como ciencia, la trigonometría nació con Hiparco (siglo II a.C.). Este gran

astrónomo creó una matemática aplicada para predecir los eclipses y los movimientos de los astros,

para contar con calendarios más precisos y para lograr mayor seguridad en la navegación.

La trigonometría, que se ocupa de relacionar las medidas de los lados de un triángulo con

sus ángulos, es de gran utilidad cuando se trata de medir longitudes inaccesibles al ser humano,

como lo son, por ejemplo, la altura de montañas, torres y árboles, o la anchura de ríos, pantanos y

lagos.

Guía Nº4 – Trigonometría 2 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

Considerando el triángulo 𝑨𝑩𝑪 rectángulo en ��

La HIPOTENUSA es 𝐴𝐶

Los CATETOS son 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶

Si nos situamos en el ángulo ��, (como si estuviéramos parados sobre ese ángulo)

El CATETO OPUESTO (el que vemos enfrente del ángulo donde estamos parados)

es 𝐵𝐶 .

El CATETO ADYACENTE (el cateto que forma uno de los lados del ángulo donde

estamos ubicados) es 𝐴𝐵 .

Si nos situamos en el ángulo ��, (como si estuviéramos parados sobre ese ángulo)

El CATETO OPUESTO (el que vemos enfrente del ángulo donde estamos parados)

es 𝐴𝐵 .

El CATETO ADYACENTE (el cateto que forma uno de los lados del ángulo donde

estamos ubicados) es 𝐵𝐶 .

Como se habrán dado cuenta, el concepto de CATETO OPUESTO y CATETO

ADYACENTE depende del ángulo que utilicemos para los cálculos.

Por el momento no vamos a utilizar el ángulo recto para los cálculos de trigonometría que

vayamos a resolver.

Guía Nº4 – Trigonometría 3 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

(o si prefieren con los elementos de geometría, en una hoja de carpeta)

Construyan un triángulo rectángulo con un ángulo de 30°. (La herramienta que permite

construir un ángulo de valor específico es )

Midan los lados y completen la siguiente tabla (con respecto al ángulo de 30°)

NOMBRE MEDIDA

Ángulo de 30°

HIPOTENUSA

CATETO OPUESTO

CATETO ADYACENTE

Construyan otros dos triángulos semejantes al anterior y vuelvan a completar la tabla, para

cada uno de ellos.

NOMBRE MEDIDA

Ángulo de 30°

HIPOTENUSA

CATETO OPUESTO

CATETO ADYACENTE

NOMBRE MEDIDA

Ángulo de 30°

HIPOTENUSA

CATETO OPUESTO

CATETO ADYACENTE

Guía Nº4 – Trigonometría 4 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

Primero calculemos la razón entre el CATETO OPUESTO y la HIPOTENUSA para los tres

triángulos realizados anteriormente.

TRIÁNGULO 1 TRIÁNGULO 2 TRIÁNGULO 3 𝐶𝐴𝑇𝐸𝑇𝑂 𝑂𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝑂

𝐻𝐼𝑃𝑂𝑇𝐸𝑁𝑈𝑆𝐴

¿A qué conclusión puedes llegar?

………………………………………………………………………………….......

Hagamos lo mismo con la razón entre el CATETO ADYACENTE y la HIPOTENUSA para los tres

triángulos realizados anteriormente.

TRIÁNGULO 1 TRIÁNGULO 2 TRIÁNGULO 3 𝐶𝐴𝑇𝐸𝑇𝑂 𝐴𝐷𝑌𝐴𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸

𝐻𝐼𝑃𝑂𝑇𝐸𝑁𝑈𝑆𝐴

¿A qué conclusión puedes llegar?

………………………………………………………………………………….......

Y por último calculemos la razón entre el CATETO OPUESTO y el CATETO

ADYACENTE para los tres triángulos realizados anteriormente.

TRIÁNGULO 1 TRIÁNGULO 2 TRIÁNGULO 3 𝐶𝐴𝑇𝐸𝑇𝑂 𝑂𝑃𝑈𝐸𝑆𝑇𝑂

𝐶𝐴𝑇𝐸𝑇𝑂 𝐴𝐷𝑌𝐴𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸

¿A qué conclusión puedes llegar?

………………………………………………………………………………….......

Guía Nº4 – Trigonometría 5 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

Observemos la primera razón que calculamos y completemos la siguiente definición

Llamamos seno de un ángulo a la razón entre ………………………………………………………..

Observemos la segunda razón que calculamos y completemos la siguiente definición

Llamamos coseno de un ángulo a la razón entre ……………………………………………………

Observemos la tercera razón que calculamos y completemos la siguiente definición

Llamamos tangente de un ángulo a la razón entre ……………………………….…………………..

Guía Nº4 – Trigonometría 6 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

o Primero debemos fijarnos que la calculadora esté en modo DEG ó D

o Si queremos calcular el seno de un ángulo de 25º, pulsamos:

SIN 2 5 º ´ ´´ = .

o Si queremos calcular el coseno de un ángulo de 37º 45´, pulsamos:

COS 3 7 º ´ ´´ 4 5 º ´ ´´ = .

o Si queremos calcular la tangente de un ángulo de 86º 58´´, pulsamos:

TAN 8 6 º ´ ´´ 0 º ´ ´´ 5 8 º ´ ´´ = .

o Debemos realizar un despeje, en el que utilizaremos sus inversas.

𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 → 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 → 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜

𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 → 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

o Si sabemos que: 𝑠𝑒𝑛 �� = 0,5 ⇒ �� = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 0,5

o Si sabemos que: 𝑐𝑜𝑠 �� = 0,73 ⇒ �� = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 0,73

o Si sabemos que: 𝑡𝑔 �� = 1,23 ⇒ �� = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1,23

Guía Nº4 – Trigonometría 7 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

o Primero debemos fijarnos que la calculadora esté en modo DEG ó D

o Si queremos calcular el arco seno de 0,5, pulsamos:

SHIFT SIN 0 . 5 = .

o Si queremos calcular el arco coseno de 0,73, pulsamos:

SHIFT COS 0 . 7 3 = .

o Si queremos calcular el arco tangente de 1,23, pulsamos:

SHIFT TAN 1 . 2 3 =.

Guía Nº4 – Trigonometría 8 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

Composición y descomposición de Fuerzas

La composición y la descomposición de fuerzas son los procedimientos que consisten en

transformar una fuerza en sus dos componentes rectangulares (descomposición) o sus dos

componentes rectangulares en una fuerza (composición).

Descomposición de Fuerzas

La descomposición de fuerzas en componentes rectangulares consiste en hallar las proyecciones de

una fuerza sobre sus dos ejes cartesianos. Es decir que se transforma una fuerza en otras dos que se

encuentren sobre los ejes y que sumadas dan la fuerza original.

Por ejemplo, una fuerza de 50N con un ángulo de 30° la podemos representar de la siguiente

manera:

Lo que hacemos entonces es proyectar cada fuerza dada sobre los ejes X e Y, reemplazándola de

esta manera por dos fuerzas perpendiculares entre sí que sumadas dan la fuerza original.

Guía Nº4 – Trigonometría 9 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

Debido a que entre las fuerzas y los ejes se forman triángulos rectángulos, descomponer una fuerza

consiste en hallar dos catetos a partir del valor de la hipotenusa y de algún ángulo. Por lo tanto para

llevar a cabo la descomposición se aplican relaciones trigonométricas:

cos �� =𝐹𝑦

𝐹 ⇒ 𝐹𝑦 = 𝐹 ∙ cos ��

sen �� =𝐹𝑥

𝐹 ⇒ 𝐹𝑦 = 𝐹 ∙ sen ��

En el ejemplo anterior tenemos a la componente Fx como cateto adyacente al ángulo y a un cateto

de igual longitud que la componente Fy opuesto al ángulo. Por lo tanto:

𝐹𝑦 = 50𝑁 ∙ cos 30° 𝐹𝑦 = 50𝑁 ∙ sen 30°

También podemos componer fuerzas. Es decir a partir de dos fuerzas hallar una sola. Es equivalente

a tener dos catetos de un triángulo y buscar la hipotenusa. Esto se hace utilizando el teorema de

Pitágoras (para hallar el largo) y relaciones trigonométricas para hallar el ángulo.

Composición de Fuerzas

Para hallar la resultante total hay que realizar el procedimiento inverso, es decir componer las dos

fuerzas.

El módulo se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada componente

(Teorema de Pitágoras):

𝐹𝑟 = √𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦2

El ángulo se calcula con la tangente:

𝑡𝑔 �� =𝐹𝑦

𝐹𝑥

�� = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (𝐹𝑦

𝐹𝑥)

Guía Nº4 – Trigonometría 10 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

Importante: En los ejercicios a resolver, si fuese necesario, debes realizar una figura de

análisis, en la que colocarás los datos que fueron dados para resolver la situación

problemática. Además debes indicar claramente que estás calculando en cada momento.

1. Hallar con la calculadora: sen 50º, cos 30º, tg 60º, sen 34º56’, tg 45º 6’, cos 32º45’,

sen 45º25’12’’, cos 70º34’27’’, tg 11º7’20’’.

2. Resolver los siguientes triángulos rectángulos en a utilizando solamente los datos dados:

(Debes calcular todos los ángulos y lados faltantes)

a) bc = 25,4 m b = 63º 38’ 42” c) ac = 75 cm c = 30º 19' 47''

b) ac = 11 cm b = 72º 5’ 12” d) ab = 12,50 m c = 47º 20' 8''

3. Para determinar la altura de un poste, un observador se coloca a 3,5 m de su pie y ve al

poste bajo un ángulo de 53º 20’ 15”. ¿Cuál es la altura del poste?

4. Cuando el sol se encuentra a 20º sobre el horizonte, ¿cuánto medirá la sombra que proyecta

una torre de 62 m de altura?

5. Una escalera está apoyada contra la pared de un edificio y su base se encuentra a una

distancia de 2 m de esa pared. ¿Cuál es la longitud de la escalera si el ángulo que forma con

el suelo es de 70º?

6. El teodolito es un instrumento con el que trabajan los agrimensores y los topógrafos para

medir ángulos y distancias. Para hallar la altura de un acantilado, se ubicó un teodolito a 20

m de su pie y se obtuvo un ángulo de elevación de 68º. Indicar cuál es la altura del

acantilado.

7. Unos observadores en dos pueblos A y B, a cada lado de una montaña de 12000pies de

altura, miden los ángulos de elevación entre el suelo y la cumbre de la montaña. (VER

FIGURA). Calcule la distancia, en km, entre ellos. (Tené en cuenta que 1pie equivale a

30cm aproximadamente)

Guía Nº4 – Trigonometría 11 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

8. La longitud de un avión Boeing 747 es de 69,3m. ¿A qué altura viaja un avión, si abarca un

ángulo de 2° cuando está directamente arriba de un observador en el suelo? (VER FIGURA)

9. Hallar x:

a. sen x = 0,5

b. cos x = 0,894

c. tg x = 2,345

d. cos x = 0,342

e. sen x = 0,2

f. tg x = 1,264

g. sen x = 0,866

h. cos x = 0,866

i. tg x = 1

10. Resolver los siguientes triángulos rectángulos en a utilizando solamente los datos dados:

a) bc= 49 cm ac = 30 cm c) bc = 42,18 m ab = 33,40 m

b) ac = 100 m ab = 32 m d) ac = 7,5 m ab = 10 m

11. Calcular el ángulo que forma con el suelo una rampa de 6 m de largo y que llega a una

altura de 1,5 m.

12. Un edificio tiene una escalera de 22 escalones desde la planta baja hasta un primer nivel.

Cada escalón tiene 14 cm de alto y 38 cm de base. Se desea construir, en ese espacio, una

rampa con cinta transportadora que una esos dos pisos.

a. ¿Cuánto mide el ángulo que forma la cinta con la horizontal?

b. ¿Qué distancia recorre una persona ubicada sobre esa cinta?

13. Un pintor tiene que apoyar una escalera en una pared. Sabe que, para que no se resbale, el

pie de la escalera debe estar a 1,20 m de la pared y que ésta debe formar un ángulo de 70º

con el piso. Se quiere averiguar cuánto mide la escalera, a qué altura llega y qué ángulo

forma con la pared.

14. Calcula el perímetro y el área de un rectángulo sabiendo que su diagonal mide 7,42 cm y el

ángulo que ella determina con la base es igual a 54º.

Guía Nº4 – Trigonometría 12 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

15. Una de las diagonales de un rombo es de 30 cm y forma con uno de los lados del mismo un

ángulo de 25º. Calcular la otra diagonal y el perímetro del rombo (Las diagonales de un

rombo se cortan perpendicularmente por su punto medio y son bisectrices de sus ángulos).

16. Dos árboles están en las orillas opuestas de un río, como se ve en la FIGURA. Se mide una

línea de referencia de 100 pies del árbol T1 y de esa posición se mide un ángulo 𝛽 a T2, que

resulta de 29.7°. Si la línea de referencia es perpendicular al segmento de recta entre T1 y T2,

calcule la distancia, en cm, entre los dos árboles. (Tené en cuenta que 1pie equivale a 30cm

aproximadamente)

17. Descomponer las siguientes fuerzas

a. �� = 37𝑁, con ángulo de 45°

b. �� = 122,5𝑁, con ángulo de 13° 25′

c. �� = 3,22𝑁, con ángulo de 80° 58′′

d. �� = 24,4𝑁, con ángulo de 72° 15′ 23′′

e. �� = 65,05𝑁, con ángulo de 26°

f. �� = 73,125𝑁, con ángulo de 37° 33′ 57′′

g. �� = 18,12𝑁, con ángulo de 51° 39′′

h. �� = 59𝑁, con ángulo de 66° 47′

Guía Nº4 – Trigonometría 13 Prof. Américo A. Castello / Tomás Cerrotta

2.

a. �� = 26°21′18′′; 𝑎𝑏 = 11,28𝑚; 𝑎𝑐 = 22,76𝑚

b. �� = 17°54′48′′; 𝑎𝑏 = 3,56𝑐𝑚; 𝑏𝑐 = 11,56𝑐𝑚

c. �� = 59°40′13′′; 𝑎𝑏 = 43,88𝑐𝑚; 𝑏𝑐 = 86,89𝑐𝑚

d. �� = 42°39′52′′; 𝑏𝑐 = 17𝑚; 𝑎𝑐 = 11,52𝑚

3. 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒 = 4,70𝑚

4. 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎 = 170,34𝑚

5. 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎 = 5,85𝑚

6. 𝑎𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜 = 49,5𝑚

7. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 = 10,25𝑘𝑚

8. 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 2271,89𝑚

10.

a. �� = 35°45′7′′; �� = 52°14′53′′; 𝑎𝑏 = 38,74𝑐𝑚

b. �� = 72°15′19′′; �� = 17°44′41′′; 𝑏𝑐 = 105𝑚

c. �� = 37°38′30′′; �� = 52°21′30′′; 𝑎𝑐 = 25,76𝑚

d. �� = 36°52′12′′; �� = 53°7′48′′; 𝑏𝑐 = 12,5𝑚

11. á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 14°28′39′′

12. á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 20°13′29′′; 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 890,93𝑐𝑚

13. 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎 = 3,51𝑚; 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 3,3𝑚; á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 20°

14. 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 20,72𝑐𝑚; 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = 26,16𝑐𝑚2

15. 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 = 14𝑐𝑚; 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 66,2𝑐𝑚

16. 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 1711,17𝑐𝑚