Gry dwuosobowe o sumie zero - dydaktyka.polsl.pldydaktyka.polsl.pl/KWMIMKM/gry_dwuosobowe.pdf · Gry dwuosobowe o sumie zero Ponadto suma częstości (prawdopodobieństwa) stosowania

GRY(część 1)

Gry dwuosobowe o sumie zeroGry dwuosobowe o sumie zero

Gry dwuosobowe o sumie zero

Zastosowanie:

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występujądwie antagonistyczne strony.

Najbardziej znane modele:

- wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy

3

firmy

- wybór strategii postępowania przedwyborczego przez konkurujących ze sobą polityków

- analiza strategicznych konfliktów międzynarodowych

- problem wspólnego pastwiska (problem of commons)

- problem gazeciarza


Założenia:

- każdy z graczy dysponuje pewną ilością strategii

- każdy z graczy zna możliwe strategie przeciwnika

- gracze podejmują decyzje równocześnie i niezależnie *

4

- gracze podejmują decyzje równocześnie i niezależnie *

- żaden z graczy nie wie, którą strategię wybierze przeciwnik

- gracze postępują ostrożnie i zakładają, że przeciwnik postępuje racjonalnie


Rozwiązanie gry:

- określenie optymalnych strategii dla każdego z graczy

5


ad. założenie *:

gracze podejmują decyzję równocześnie i niezależnie

skutki jednoczesnego zastosowania przez graczy swoich strategii opisuje tzw. macierz wypłat

6

Interpretacja macierzy wypłat:macierz korzyści Gracza 1. i macierz strat Gracza 2.

Gracz 1. – maksymalizuje wygranąGracz 2. – minimalizuje przegraną


Przykład 6.

Sztaby wyborcze dwóch polityków, kandydujących do senatuspodziewają się, że decydujący wpływ na wynik kampaniimogą mieć jej dwa ostatnie dni. Obaj politycy zdają sobiesprawę, że kluczową rolę w wyborach mogą odegrać głosymieszkańców dwóch dużych miast: X i Y.Każdy z polityków może wybrać jedną z trzech strategii

7

Każdy z polityków może wybrać jedną z trzech strategiipostępowania:- spędzić dwa dni w mieście X- spędzić dwa dni w mieście Y- spędzić jeden dzień w mieście X i jeden w mieście YSztab wyborczy Polityka 1. przygotował prognozy przyrostugłosów na Polityka 1. kosztem Polityka 2. w zależności odwybranych przez nich strategii.


Polityk 1. Polityk 2.Przyrost głosów na Polityka 1., kosztem Polityka 2.

( w tys. głosów)

XX XX -50

XX YY -30

XX XY 40

YY XX 20

8

YY YY -10

YY XY 20

XY XX 50

XY YY 10

XY XY 20

Tabela 6.1.


Na podstawie tablicy prognoz, zbudować macierz wypłat.

Polityk 1. – Gracz 1. Polityk 2. – Gracz 2.

9

XX – strategia 1.

YY – strategia 2.

XY – strategia 3.


Polityk 2.

strategie XX YY XY

XX -50 -30 40

10

Polityk 1. YY 20 -10 20

XY 50 10 20

Tabela 6.2.


Gracz 2.

strategie 1 2 3

1 -50 -30 40

11

Gracz 1. 2 20 -10 20

3 50 10 20

Tabela 6.3.


Przykład 7.

Dwa koncerny samochodowe konkurują ze sobą na rynkupewnego kraju. Koncern A rozważa uruchomienie w lokalnejfabryce jednego z czterech modeli samochodów. Koncern Bnatomiast jednego z pięciu modeli samochodów.W macierzy wypłat przedstawiono zyski koncernu A (stratykoncernu B) przy produkcji poszczególnych samochodów, w

12

koncernu B) przy produkcji poszczególnych samochodów, wzależności od decyzji podjętych przez koncerny.Należy podjąć decyzję o rodzaju produkcji, będącdyrektorem koncernu A.

Koncern A – Gracz 1. Koncern B – Gracz 2.


Gracz 2.

strategie 1 2 3 4 5

1 200 70 10 30 120

2 70 80 100 80 110

13

Gracz 1.2 70 80 100 80 110

3 80 150 0 80 30

4 70 70 90 20 60

Tabela 7.1.


I. ETAP: REDUKCJA MACIERZY WYPŁAT

Poszukiwanie strategii zdominowanych

14

aij – element macierzy wypłat

i = 1...m m – ilość strategii Gracza 1. (ilość wierszy)

j = 1...n n – ilość strategii Gracza 2. (ilość kolumn)


Poszukiwanie strategii zdominowanych dla Gracza 1.

Porównujemy parami strategie Gracza 1.

Jeżeli dla danej pary strategii spełniony jest warunek:

15

1...zj dja a j n≤ =

to strategia z jest zdominowana przez strategię d.

(strategia d to strategia dominująca strategię z)

oraz co najmniej raz jest on spełniony ostro,


Strategie 1 i 2:

1 200 70 10 30 120

2 70 80 100 80 110

Warunek dominacji nie jest spełniony

Tabela 7.2.a.

16

Strategie 1 i 3:

1 200 70 10 30 120

3 80 150 0 80 30


Tabela 7.2.b.


Strategie 1 i 4:

1 200 70 10 30 120

4 70 70 90 20 60


Tabela 7.2.c.

17

Strategie 2 i 3:

2 70 80 100 80 110

3 80 150 0 80 30


Tabela 7.2.d.


Strategie 2 i 4:

2 70 80 100 80 110

4 70 70 90 20 60

Warunek dominacji jest spełniony

Strategia 4. – zdominowana Strategia 2. - dominująca

Tabela 7.2.e.

18

Strategia 4. – zdominowana Strategia 2. - dominująca

Z macierzy wypłat usuwamy strategię 4. Gracza 1.

Porównane zostały wszystkie możliwe pary strategii Gracza 1.

Kończymy poszukiwania strategii zdominowanych dla Gracza 1.


Gracz 2.

strategie 1 2 3 4 5

Gracz 1.

1 200 70 10 30 120

2 70 80 100 80 110

19

Gracz 1. 2 70 80 100 80 110

3 80 150 0 80 30

Tabela 7.3.


Poszukiwanie strategii zdominowanych dla Gracza 2.

Porównujemy parami strategie Gracza 2.

Jeżeli dla danej pary strategii spełniony jest warunek:

20

1...iz ida a i m≤ =

to strategia d jest zdominowana przez strategię z.

(strategia z to strategia dominująca strategię d)

oraz co najmniej raz jest on spełniony ostro,


Strategie 1 i 2:

1 2

200 70

70 80

80 150Warunek dominacji nie jest spełniony

Tabela 7.4.a.

21

Strategie 1 i 3:

1 3

200 10

70 100


Tabela 7.4.b.


Strategie 1 i 4:

1 4

200 30

70 80


Tabela 7.4.c.

22

Strategie 1 i 5:

1 5

200 120

70 110


Tabela 7.4.d.


Strategie 2 i 3:

2 3

70 10

80 100


Tabela 7.4.e.

23

Strategie 2 i 4:

2 4

70 30

80 80

150 80Warunek dominacji

jest spełniony

Tabela 7.4.f.


Strategia 2. – zdominowanaStrategia 4. - dominująca

24



Strategie 3 i 4:

3 4

10 30

100 80


Tabela 7.4.g.

25

Strategie 3 i 5:

3 5

10 120

100 110

0 30Warunek dominacji

jest spełniony

Tabela 7.4.h.


Strategia 5. – zdominowanaStrategia 3. - dominująca

26




27



Gracz 2.

strategie 1 3 4

Gracz 1.

1 200 10 30

2 70 100 80

28

Gracz 1. 2 70 100 80

3 80 0 80

Tabela 7.5.


Zmieniła się ilość strategii dla Gracza 2.

29

Ponownie poszukujemy strategii zdominowanych dla Gracza 1.


Strategie 1 i 2:

1 200 10 30

2 70 100 80


Tabela 7.6.a.

30

Strategie 1 i 3:

1 200 70 10

3 80 0 80


Tabela 7.6.b.


Strategie 2 i 3:

2 70 100 80

3 80 0 80


Tabela 7.6.c.

31




Nie zmieniła się ilość strategii dla Gracza 1.

32

Nie zmieniła się ilość strategii dla Gracza 1.

Nie poszukujemy strategii zdominowanych dla Gracza 2.


Uwaga!!!W przypadku wyeliminowania strategii Gracza 1., należy ponownie sprawdzić strategie dla Gracza 2. itd....

33


II. ETAP: POSZUKIWANIE PUNKTU SIODŁOWEGO

- dla każdego wiersza znajdujemy wartość minimalną

- dla każdej kolumny znajdujemy wartość maksymalną

34

- dla każdej kolumny znajdujemy wartość maksymalną


Gracz 2.

strategie 1 3 4

Gracz 1.

1 200 10 30 10

2 70 100 80 70

min ijj

a

35

Gracz 1. 2 70 100 80 70

3 80 0 80 0

200 100 80

Tabela 7.7.

max iji

a


- dla wyznaczonych minimalnych wartości z wierszy określamy wartość maksymalną:

max(min ) max(10,70,0) 70ijji

a = =

- dla wyznaczonych maksymalnych wartości z kolumn

36

- dla wyznaczonych maksymalnych wartości z kolumn określamy wartość minimalną:

min(max ) min(200,100,80) 80ijj i

a = =


Punkt siodłowy istnieje, gdy spełniony jest warunek:

max(min ) min(max )ij ija a=

37

max(min ) min(max )ij ijj ji i

a a=


W tym przykładzie warunek istnienia punktu siodłowego nie jest spełniony

Stwierdzamy brak rozwiązania w zbiorze strategii czystych

38

Stwierdzamy brak rozwiązania w zbiorze strategii czystych

Szukamy rozwiązania w zbiorze strategii mieszanych


III. ETAP: DEFINICJA ZADAŃ PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

Macierz wypłat: 200 10 30

70 100 80

80 0 80

=

A

39

T

200 70 80

10 100 0

30 80 80

=

A


Gracz 1. będzie stosował:

Strategię 1. z częstością (prawdopodobieństwem) p1



40

(dla wyeliminowanej strategii 4. p4 = 0)

v – wartość gry


Na podstawie transponowanej macierzy wypłat:

- wygrana Gracza 1. w przypadku, gdy Gracz 2. będziestosował strategię 1:

1 2 3200 70 80p p p v+ + = �


41

stosował strategię 3:

1 2 310 100 0p p p v+ + = �


1 2 330 80 80p p p v+ + = �


Ponadto suma częstości (prawdopodobieństwa) stosowania wszystkich strategii musi być równa 1:

1 2 3 1p p p+ + = �

42

Strategia optymalna, przy dowolnym postępowaniu Gracza 2.powinna zapewnić Graczowi 1. wygraną nie mniejszą niżwartość gry v.


Czyli ograniczenia przyjmują postać:

1 2 3200 70 80p p p v+ + ≥ �

1 2 310 100 0p p p v+ + ≥ �

1 2 330 80 80p p p v+ + ≥ �

43

oraz:

1 2 3 1p p p+ + = �


Gracz 1. dąży do maksymalizacji swojej wygranej.

Funkcja celu:

44

MAXv → �


v – jest wartością nieznaną

Rozwiązanie zadania programowania liniowego jest niemożliwe

45

Aby się uniezależnić od wartości v:

- układ ograniczeń dzielimy obustronnie przez v

- podstawiamy:i

i

px

v=


1 2 3200 70 80 1x x x+ + ≥ �

10 100 0 1x x x+ + ≥ �

46

1 2 310 100 0 1x x x+ + ≥ �

1 2 330 80 80 1x x x+ + ≥ �


1 2 3

1x x x

v+ + =

Korzystając z �:

Otrzymujemy funkcję celu:

MAXv → �

47

1 2 3

1MINx x x

v+ + = → �


Model matematyczny:

1 2 3

1MINx x x

v+ + = → �

1 2 3200 70 80 1x x x+ + ≥ �

10 100 0 1x x x+ + ≥ �

48

1 2 310 100 0 1x x x+ + ≥ �

1 2 330 80 80 1x x x+ + ≥ �

1 2 3, , 0x x x ≥


Gracz 2. będzie stosował:

Strategię 1. z częstością (prawdopodobieństwem) q1



49


Na podstawie macierzy wypłat:

- przegrana Gracza 2. w przypadku, gdy Gracz 1. będziestosował strategię 1:

1 3 4200 10 30q q q v+ + = �


50

stosował strategię 2:

1 3 470 100 80q q q v+ + = �


1 3 480 0 80q q q v+ + = �


Ponadto suma częstości (prawdopodobieństwa) stosowania wszystkich strategii musi być równa 1:

1 3 4 1q q q+ + = �

51

Strategia optymalna, przy dowolnym postępowaniu Gracza 1.powinna zapewnić Graczowi 2. przegraną nie większą niżwartość gry v.


Czyli ograniczenia przyjmują postać:

1 3 4200 10 30q q q v+ + ≤ �

1 3 470 100 80q q q v+ + ≤ �

1 3 480 0 80q q q v+ + ≤ �

52

oraz:

1 3 4 1q q q+ + = �


Gracz 2. dąży do minimalizacji swojej przegranej.

Funkcja celu:

53

M INv → �


Aby się uniezależnić od wartości v:

- układ ograniczeń dzielimy obustronnie przez v

- podstawiamy:

54

- podstawiamy:j

j

qy

v=


1 3 4200 10 30 1y y y+ + ≤ �

70 100 80 1y y y+ + ≤ �

55

1 3 470 100 80 1y y y+ + ≤ �

1 3 480 0 80 1y y y+ + ≤ �


1 3 4

1y y y

v+ + =

Korzystając z �:

Otrzymujemy funkcję celu:

MINv → �

56

1 3 4

1MAXy y y

v+ + = → �


Model matematyczny:

1 3 4

1M AXy y y

v+ + = → �

1 3 4200 10 30 1y y y+ + ≤ �

70 100 80 1y y y+ + ≤ �

57

1 3 470 100 80 1y y y+ + ≤ �

1 3 480 0 80 1y y y+ + ≤ �

1 3 4, , 0y y y ≥


IV. ETAP: ROZWIĄZANIE

Rozwiązanie zadania programowania liniowego dla Gracza 1.:

3 3 31 2 30.584 10 9.941 10 2.339 10x x x− − −= ⋅ = ⋅ = ⋅

58

Rozwiązanie zadania programowania liniowego dla Gracza 2.:

3 3 31 3 43.654 10 0.365 10 8.844 10y y y− − −= ⋅ = ⋅ = ⋅


Obliczenie wartości gry v.

Gracz 1.: 1 2 3

1FC : x x x

v+ + =

1 2 3

1 177.73

0.012864v

x x x= = =

+ +

59

Gracz 2.: 1 3 4

1FC : y y y

v+ + =

1 3 4

1 177.73

0.012864v

y y y= = =

+ +


Obliczenie częstości stosowania strategii.

Gracz 1.:1 1 0.045455p x v= ⋅ =

2 2 0.772727p x v= ⋅ =

3 3 0.181818p x v= ⋅ =

60

Gracz 2.:1 1 0.284091q y v= ⋅ =

3 3 0.028409q y v= ⋅ =

4 4 0.6875q y v= ⋅ =


Gracz 2.

strategie 1 3 4

Gracz 1.

1 200 10 30 0.045455

2 70 100 80 0.772727

ip

61

Gracz 1. 2 70 100 80 0.772727

3 80 0 80 0.181818

0.284091 0.028409 0.6875

Tabela 7.8.

jq


Wartość gry v = 77.73

Wartość gry zawsze mieści się w przedziale:

( )max(min ),min(max )ij ijj ji i

a a

62

Tutaj: ( )70,80v ∈


Przykład 8.

Dana jest następująca macierz wypłat:

Gracz 2.

strategie 1 2 3

63

Gracz 1.

1 520 350 250

2 650 420 400

3 750 600 540

Tabela 8.1.


Gracz 2.

strategie 1 2 3

Gracz 1.

1 520 350 250 250

2 650 420 400 400

min ijj

a

64

Gracz 1. 2 650 420 400 400

3 750 600 540 540

750 600 540

Tabela 8.2.

max iji

a


max(min ) 540ijji

a = min(max ) 540ijj i

a =

Punkt siodłowy istnieje

65

Punkt siodłowy istnieje

Stwierdzamy, że istnieje rozwiązanie gry w zbiorze strategii czystych


Wartość gry: v = 540

Gracz 1. powinien stosować strategię 3.


66



Przykład 9.

Dana jest macierz wypłat:Gracz 2.

strategie 1 2 3

67

Gracz 1.1 -2 8 2

2 3 -1 0

Tabela 9.1.


Gracz 2.

strategie 1 2 3 min ijj

a

68

Gracz 1.1 -2 8 2 -2

2 3 -1 0 -1

3 8 2

Tabela 9.2.

max iji

a


max(min ) 1ijji

a = − min(max ) 2ijj i

a =

Wartość gry: ( 1,2)v ∈ −

69

W przypadku, gdy nie wiadomo, czy v jest liczbą dodatnią czyujemną należy przekształcić macierz wypłat.


Znajdujemy w macierzy wypłat element najmniejszy:

11 2a = −

70

Do każdego elementu macierzy wypłat dodajemy wartość bezwzględną tego elementu, czyli 2.


Gracz 2.

strategie 1 2 3

71

Gracz 1.1 0 10 4

2 5 1 2

Tabela 9.3.


Gracz 2.

strategie 1 2 3 min ijj

a

72

Gracz 1.1 0 10 4 0

2 5 1 2 1

5 10 4

Tabela 9.4.

max iji

a


Po rozwiązaniu gry, o wartość bezwzględną z elementunajmniejszego należy zmniejszyć v, aby otrzymać rzeczywistąwartość gry.

73

wartość gry.

Documents

Gry dwuosobowe o sumie zero - dydaktyka.polsl.pldydaktyka.polsl.pl/KWMIMKM/gry_dwuosobowe.pdf · Gry dwuosobowe o sumie zero Ponadto suma częstości (prawdopodobieństwa) stosowania